Математическое моделирование дифракции электромагнитных волн на трехмерных рассеивателях, расположенных в слоистой среде тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.16, кандидат физико-математических наук Ивахненко, Владимир Игоревич

• Ивахненко, Владимир Игоревич
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ивахненко, Владимир Игоревич

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

Введение

Глава 1. Моделирование рассеивания электромагнитного

поля на частице, расположенной на границе двух полупространств. 18 П. 1 Вывод объемного интегродифференциального уравнения

для рассеивателя, расположенного в свободном пространстве

П.2 Численный метод решения

П.З Решение системы линейных уравнений. 27 П.4 Вывод объемного интегродифференциального уравнения

для рассеивателя, расположенного на подложке

П.5 Численная реализация метода. 34 П.6. Вычисление электродинамических характеристик в дальней зоне. 36 Глава 2. Результаты математического моделирования

рассеяния электромагнитных волн на диэлектрических телах

П. 1. Рассеиватели, расположенные в свободном пространстве. 40 П.2. Рассеиватели, расположенные на границе двух

полупространств. 59 Глава 3. Моделирование дифракции электромагнитной волны

на локальном идеально проводящем экране

П1. Описание математической модели задачи дифракции

П.2 Численный метод решения системы уравнений

П.З Результаты математического моделирования

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование дифракции электромагнитных волн на трехмерных рассеивателях, расположенных в слоистой среде»

Введение.

Математическое моделирование дифракции электромагнитных волн на прозрачных и идеально проводящих трехмерных рассеивателях произвольной формы имеет важное значение для решения как прямых, так и обратных задач теории рассеяния электромагнитных волн и находит широкое применение в различных прикладных областях: радиоастрономии, геофизике, микроэлектронике, компьютерной томографии и многих других. Интерес со стороны прикладных областей к решению задач рассеяния обусловлен как возникновением новых технологий, так и развитием более совершенных подходов к интерпретации результатов измерений.

В микроэлектронике в связи с микроминиатюризацией интегральных схем и развитием технологии объемных интегральных схем (ОИС) существенно повысились требования к чистоте обработки кремниевых вафель, которые используются в качестве подложек ОИС. Размеры загрязнений (частиц различных материалов на поверхности вафель), критичных для технологического процесса производства ОИС, составляют десятую долю микрона, что находится вне границ визуального контроля. Современные системы контроля качества поверхностей кремниевых вафель используют лазерный луч, который сканирует поверхность вафли. При этом измеряются параметры, которые являются функционалами от интенсивности рассеяного поля.

Правильная интерпретация данных измерений невозможна без результатов математического моделирования рассеяния лазерного луча на частицах. Следует отметить, что в световом диапазоне волн относительная диэлектрическая проницаемость частиц (в зависимости от материала) может иметь как низкие, так и весьма высокие значения. Поэтому разработка достоверных и эффективных численных методов решения задач рассеяния на

частицах, диэлектрическая проницаемость которых может меняться в широком диапазоне, и математического обеспечения, позволяющего интерпретировать результаты измерений, является важной научно-технической задачей.

Другой важной проблемой является определение электродинамических характеристик функциональных узлов планарных ИС СВЧ: передающих линий, антенн, делителей мощности, фазовращателей, фильтров и согласующих элементов. Экспериментальное исследование требует прецезионного и дорогостоящего оборудования (безэховые камеры). Кроме того, экспериментальные результаты обладают рядом недостатков, из которых наиболее существенны следующие: необходимая точность измерений может быть обеспечена только для определенного диапазона углов между излучателем и приемником; невозможно точно учесть влияние подвесов на результаты измерений. Вместе с тем, электродинамические характеристики функциональных узлов могут быть определены путем математического моделирования, и разработка математических моделей, адекватно описывающих данные устройства, является актуальной проблемой.

При анализе процессов распространения электромагнитных волн в присутствии локальных рассеивателей резонансного диапазона частот (каш 1), преобладающей является тенденция исследования строгих трехмерных математических моделей в полной электродинамической постановке. Обе описанные выше проблемы относятся к классу векторных трехмерных задач дифракции на рассеивателях, расположенных на границе раздела сред. Поскольку размер рассеивателя существенно меньше расстояния до края подложки, эффектом отражения электромагнитного поля от края подложки можно пренебречь и рассматривать модель плоскослоистой среды.

Нахождение решения задачи дифракции на рассеивателе, расположенном в слоистой среде, возможно только лишь численными методами. Поскольку решение трехмерных векторных задач рассеяния требует весьма значительных

ресурсов ЭВМ (как оперативной памяти, так и времени счета), то особое значение приобретает разработка численных алгоритмов, приводящих к решению систем уравнений со специальными типами матриц (разреженными или же плотными, но хорошо структурированными), которые могут компактно храниться в памяти ЭВМ и для которых существуют эффективные численные методы решения систем [3].

В данной работе проводится математическое моделирование задач дифракции стороннего электромагнитного поля на следующих двух типах рассеивателей:

1. диэлектрическом теле с произвольной функцией распределения диэлектрической проницаемости, расположенном как на границе раздела двух полупространств, так и в свободном пространстве;

2. тонком идеально проводящем экране, расположенном как на границе раздела двух полупространств, так и в свободном пространстве.

Задача дифракции электромагнитного поля на диэлектрическом теле относится к числу классических в электродинамике. В настоящее время разработаны различные методы решения задач рассеяния электромагнитного поля на трехмерных прозрачных локальных рассеивателях, расположенных как в свободном пространстве, так и в слоистой среде. Существует обширная литература, относящаяся как к теоретическим вопросам существования и единственности решения задачи дифракции на диэлектрическом теле [6,8,14,23, 47,61,71,77], так и к построению и реализации численных алгоритмов [2426,30,33-43,46,49-52,63,65,68,72,74-76,79,81-89,91-94]. Выбор того или иного метода определяется конкретной задачей. Метод дискретных источников (ДИ) [8,46,49] является весьма эффективным для решения задач рассеяния на осесимметричных рассеивателях. Для решения задач дифракции на трехмерных рассеивателях произвольной формы применяются метод Т-матриц (и его модификации) [38,87,91], метод граничных интегральных уравнений [6,65,84],

метод конечных разностей [34,93], метод конечных элементов с использованием различных типов "реберных" функций [33,39,85], комбинированный метод конечных элементов и граничных интегральных уравнений [40,43], а также асимптотические методы [68].

Кроме перечисленных выше методов, существует подход, основанный на методе объемных интегральных уравнений (ОИУ) [6,23,30,32,37,63]. В этом случае в качестве неизвестного рассматривается полное электрическое поле Е внутри рассеивателя, относительно которого выписывается операторное уравнение [32]:

Е - (ТК + к20 ) \С(ег - 1)ЕА> = Е 0 (1)

Здесь в тензор Грина окружающей среды, гг - относительная диэлектрическая проницаемость рассеивателя, Е°- электрическое поле в отсутствии рассеивателя. Это уравнение также может быть записано относительно объемного тока поляризации 1 = (ег- 1)Е внутри рассеивателя:

—---)\вЫу=Е° (1а)

£ -1 и т/ г V

Если внести в (1) или (1а) операторы дифференцирования под знак интеграла, получится сингулярное интегральное уравнение [63], теоретическое исследование разрешимости которого при различных предположениях о свойствах распределения диэлектрической проницаемости было проведено в работах [23,24,77]. Вопросы численного решения сингулярных интегральных уравнений и, в частности, построение кубатурных формул для вычисления многомерных сингулярных интегралов исследованы в книге [19].

В случае, когда рассеиватель расположен в свободном пространстве, и его диэлектрическая проницаемость является непрерывно дифференцируемой функцией, значение которой на границе рассеивателя равно диэлектрической проницаемости окружающей среды, Мюллером было получено эквивалентное

исходной краевой задаче объемное интегродифференциальное уравнение (ИДУ) относительно тока поляризации и объемного заряда поляризации [71]. Это уравнение может быть записано в виде:

Щ-- l(VQGVPI + kfa)dvP=E°(Q) (16) er V

Для данного уравнения были доказаны теоремы существования и единственности решения, а также теорема эквивалентности решения ИДУ решению исходной задачи дифракции [71].

В работе [79] для случая двумерного рассеивателя в свободном пространстве впервые получены результаты численного моделирования. Вопросы численного решения ОИУ с применением метода моментов и различных координатных и проекционных функций, а также разные схемы сведения к системе линейных алгебраических уравнений рассматривались в работах [25,26,63,74,76,83,94].

Отметим особенности применения метода ОИУ, которые делают данный подход привлекательным для практических приложений. Использование равномерной сетки при дискретизации объема рассеивателя приводит к хотя и плотно заполненным, но хорошо структурированным матрицам, что позволяет эффективно хранить их в памяти ЭВМ и применять быстрое преобразование Фурье (БПФ) для умножения матрицы на вектор в итерационном методе решения системы линейных уравнений [3]. Объем, занимаемый матрицей в памяти ЭВМ, составляет О(N), где N число неизвестных. Применение БПФ позволяет существенно снизить затраты на решение системы уравнений, т.к. необходимое число арифметических операций в этом случае оценивается как NUa log N где Na - общее число итераций и степень а, как правило, меньше 0,4. Аналогичная оценка для метода конечных элементов с абсорбционными

граничными условиями составляет ]\[1,33[85]. Поскольку представления для

полей в методе ОИУ выписываются через тензор Грина окружающей среды, решение автоматически удовлетворяет условиям сопряжения на границе раздела сред и условиям излучения на бесконечности. Кроме того, в силу представления для полей через тензор Грина в методе ОИУ отсутствует характерная для метода конечных элементов погрешность, связанная с сеточной дисперсией ошибки.

Следует отметить, что при численном решении ОИУ апроксимационные свойства оператора, а следовательно, и точность получаемого решения существенно зависят от выбранной численной схемы. Большой интерес для приложений представляют методы, позволяющие получить решение с необходимой точностью при сравнительно небольших вычислительных затратах. Последнее означает, что предпочтительны численные схемы, которые позволяют вычислять матричные элементы, используя кубатурные формулы низкого порядка. Простейший подход основан на методе коллокаций с кусочно постоянной аппроксимацией тока поляризации. Зарубежом также широко применяется метод аппроксимации дискретными диполями (ДДА) [41,51,52,72,75,82], который можно рассматривать как модификацию коллокационной схемы для ОИУ с кусочно постоянной аппроксимацией поля внутри рассеивателя. Эквивалентность этих схем показана в работе [62].

Для рассеивателей, относительные диэлектрические проницаемости которых имеют небольшие значения эти методы дают правильные результаты. Однако, как показали результаты вычислительного эксперимента [52,57], для рассеивателей с большой относительной диэлектрической проницаемостью эти методы имеют очень медленную сходимость приближенного решения к точному, при уменьшении шага сетки. Это объясняется следующими причинами:

1. грубая аппроксимация электромагнитного поля на элементах, содержащих границу раздела сред;

2. кусочно-постоянная апрокснмацпя поля Е не позволяет правильно аппроксимировать йп> Е, которая должна быть непрерывной функцией внутри рассеивателя, если относительная диэлектрическая проницаемость рассеивателя является непрерывно-дифференцируемой функцией;

3. высокая сингулярность тензора Грина [8] приводит к неточному вычислению матричных элементов при кусочно постоянной аппроксимации, когда точки интегрирования и наблюдения совпадают или расположены близко друг к другу.

Следует отметить, что учет квадратичных членов разложения поля в ряд Тейлора наряду с нулевым членом разложения [74], а также более точная аппроксимация электромагнитного поля в окрестности границы [75] позволяют улучшить скорость сходимости как коллокационной схемы, так и метода ДДА для рассеивателей с большой относительной диэлектрической проницаемостью.

В данной работе предлагается иной подход к решению данных проблем, основанный на построении слабого решения объемного ИДУ, применении более гладких функций для построения аппроксимации тока поляризации и использовании концепции сглаживания диэлектрической проницаемости.

Идея построения слабого решения объемного ИДУ для рассеивателя, расположенного в свободном пространстве, впервые была предложена в работе [94], однако не была реализована полностью. Использованная авторами статьи аппроксимация векторного потенциала объемными функциями-"крышками" приводит к необходимости решать задачу на области существенно большей, чем занимаемая рассеивателем, что не позволяет применить данный подход для рассеивателей, расположенных на границе раздела сред. Для снижения сингулярности ядра можно использовать непрерывно дифференцируемые функции при аппроксимации объемного тока поляризации и перенести оператор дифференцирования с ядра на ток поляризации [30,37,76,83]. В общем случае эта операция приводит к нагруженному интегральному уравнению [76], что

нежелательно, т. к. дополнительные поверхностные интегралы по границам скачка диэлектрической проницаемости приводят к плотным плохо структурированным матрицам. Для того, чтобы избавиться от появления нежелательных дополнительных слагаемых в уравнении, предлагается использовать концепцию сглаживания диэлектрической проницаемости. В этом случае диэлектрическая проницаемость рассеивателя приближается непрерывно дифференцируемой функцией, которая на внешней границе равна диэлектрической проницаемости окружающей среды. В результате ток поляризации обращается в ноль на границе, и при переносе оператора дифференцирования с ядра на ток поляризации дополнительных слагаемых в уравнении не возникает.

Задача дифракции электромагнитного поля на тонком ограниченном идеально проводящем экране Э принадлежит к числу классических в электродинамике. Наиболее естественный подход к решению этой задачи -сведение ее к векторному интегродифференциальному уравнению на экране относительно неизвестных поверхностных токов у (известное в зарубежной литературе как интегральное уравнение смешанных потенциалов - МР1Е), которое впервые было получено А. Мауэ в 1949 году [64] для экрана, расположенного в свободном пространстве. Это уравнение на плоском экране Б имеет следующий вид для временной зависимости ехр(ггуг):

где Grad и D/v- операторы поверхностного градиента и поверхностной дивергенции, А - интегральный оператор:

Grad А (Div j) + к20А j = -io)s0Eincr (2)

Еы- стороннее электромагнитное поле;£й - диэлектрическая проницаемость свободного пространства; со- циклическая частота падающего поля. Индекс т показывает взятие касательных компонент к поверхности экрана. Для случая плоского экрана 8, расположенного на границе раздела слоистой среды, данное уравнение имеет вид [69]:

—вгай(А1 {Шу/)) + 1соА2) = Е°т (2а) со

где

электромагнитное поле, создаваемое в слоистой среде сторонними источниками, при условии, что экран 8 отсутствует; Ах и А2 - интегральный операторы:

Агту№= Цт^ояоьт*»

А2 т= \\т2(а,р)хр)с1*р

Ядра Т1 и Т2, имеют особенность 1/Я и определяются тензором Грина слоистой среды [7,28].

Центральным моментом при теоретическом исследовании уравнения (2) является правильный выбор пространств для решения и для правой части. Пространства решений и правых частей должны быть достаточно широкими, чтобы содержать все физически допустимые поля, и вместе с тем они должны обеспечить фредгольмовость и однозначную разрешимость уравнения (2). Следует отметить, что правильный выбор функциональных пространств имеет не только теоретическое, но и чисто прикладное значение, т.к. система координатных функций должна аппроксимировать точное решение по норме соответствующего пространства.

Изучение уравнения (2) проводилось в ряде работ разных авторов. Подробный обзор литературы по данной теме, начиная с первых работ и кончая современным состоянием проблемы, приведен в монографии [15], поэтому здесь мы отметим лишь наиболее существенные работы, опубликованные по данной теме.

В книге [31] была доказана теорема единственности для решения уравнения (2), исследовано поведение рассеянного поля на бесконечности и в окрестности гладкого края экрана, получены аналитические решения задач дифракции на тонком диске и сфере. В работе [29] была предпринята попытка построения теории разрешимости краевой задачи дифракции на тонком металлическом экране в пространстве Lx (S). В данной работе выбор пространств согласован с поведением полей в окрестности ребра, однако нет эффективного описания пространства образов оператора, определяемого левой частью уравнения (2). В статье [4] для случая плоского экрана была предложена процедура перехода от векторного интегродифференциального уравнения к векторному интегральному уравнению. Метод включает в себя решение еще двух дополнительных краевых задач для уравнения Гельмгольца, причем одну из них в общем виде, что не упрощает исходной задачи. В работе [12] данное уравнение изучалось в пространстве функций, непрерывных по Гельдеру с весом.

В отличие от задач дифракции на замкнутых поверхностях, для которых общая теория разрешимости была построена С. Muller еще в конце 60-х годов [71], строгая теория решения уравнения (2) на экранах была построена совсем недавно и изложена в книге [15]. Основным инструментом исследования задач дифракции на незамкнутых поверхностях является теория псевдодифференциальных (ПД) операторов, действующих в пространствах Соболева сечений векторных расслоений [22]. Краевая задача для уравнений Максвелла сводится к ПД уравнению на экране S (многообразии с краем).

Соответствующий ПД оператор Ь рассматривается в специально выбранных гильбертовых пространствах Ь : Нх —»Н2. Для задачи дифракции стороннего электродинамического поля на экране авторами получены теоремы о существовании и единственности решений краевой задачи для системы уравнений Максвелла в соответствующих функциональных пространствах.

Следует отметить, что численные методы активно применялись для решения задач дифракции на экранах различной формы с конца 60-х годов, но без достаточного математического обоснования. Не изучая математические свойства оператора краевой задачи, авторы применяли какую-либо численную схему (как правило, метод коллокаций, метод конечных элементов или метод Галеркина с различными типами координатных и проекционных функций) для сведения задачи к системе линейных уравнений и ограничивались анализом внутренней сходимости, которая в задачах электродинамики далеко не всегда обеспечивает сходимость к решению исходной задачи. Тем не менее, в численных решениях задач дифракции на тонком экране, расположенном как в слоистой среде, так и в свободном пространстве был накоплен большой опыт, в частности, в области применения различных типов координатных и проекционных функций, который суммирован в серии монографий [2,10,50,86]. Отметим также ряд публикаций, сыгравших важную роль в развитии численных методов решения задач дифракции на тонких экранах [5,11,67,69,70,78,90,95]. Построенная в [15] теория является также полезным инструментом для разработки новых численных методов решения задачи дифракции на экране, т.к. определяет функциональные пространства, в которых следует строить координатные и проекционные функции.

Сформулируем основные результаты, полученные автором, которые выносятся на защиту:

1. Разработаны эффективные численные алгоритмы решения трехмерных задач дифракции электромагнитных волн на неоднородных диэлектрических рассеивателях произвольной формы на подложке.

2. Проведено математическое моделирование процессов рассеяния на однородных и неоднородных диэлектрических телах, расположенных как на границе раздела двух полупространств, так и в свободном пространстве.

3. Исследовано влияние формы и неоднородности заполнения частицы на подложке на характеристики рассеяния, смоделирован эффект деполяризации.

4. Обоснована возможность применимости поверхностного интегродиф-ференциального уравнения к решению трехмерной задачи дифракции на идеально проводящем экране, расположенном на границе раздела сред. Разработан эффективный численный алгоритм решения данной задачи.

5. Проведено математическое моделирование процессов рассеяния поля плоской электромагнитной волны на пластинах, расположенных как в свободном пространстве, так и в слоистой среде.

Работа состоит из введения, трех глав и заключения. Каждая глава имеет свою нумерацию формул. При ссылке на формулу из другой главы добавляется номер данной главы. Остановимся на содержании глав диссертации.

В первой главе рассматривается математическое моделирование дифракции электромагнитных волн на трехмерных прозрачных диэлектрических рассеивателях, расположенных как в свободном пространстве, так и на границе раздела двух полупространств. Задача дифракции сводится к объемному ИДУ относительно токов поляризации внутри рассеивателя. Для обоих случаев внешней среды, окружающей рассеиватель, с целью построения эффективного

численного алгоритма используется концепция сглаживания диэлектрической проницаемости. Рассматривается "слабое" решение объемного ИДУ. Для построения численного решения объемного ИДУ применяется метод Галеркина. В качестве координатных и проекционных функций используются объемные функции-"крышки", заданные на равномерной прямоугольной сетке. Это позволяет получать системы уравнений с хорошо структурированными матрицами (трехдиагональная плюс трехуровневая блочно теплицевая матрицы для случая рассеивателя в свободном пространстве) и применять трехмерное быстрое преобразование Фурье (БПФ) для умножения матрицы на вектор при итерационном решении системы линейных уравнений. Рассматриваются особенности эффективной реализации данного подхода для случая рассеивателя, расположенного на границе раздела двух полупространств, для чего ядро интегрального оператора представляется в виде суммы двух тензоров. После применения метода Галеркина, интегральный оператор с первым тензором дает трехдиагональную плюс трехуровневую блочно теплицевую матрицу, а со вторым тензором - двухуровневую блочно теплицевую и одноуровневую блочно ганкелевую матрицу. Используя связь между ганкелевыми и теплицевыми матрицами, для второй матрицы также удается применять трехмерное БПФ при умножении матрицы на вектор.

Во второй главе приводятся результаты численного моделирования задач дифракции методом объемного ИДУ на различных диэлектрических рассеивателях, расположенных как в свободном пространстве, так и на границе раздела двух полупространств. Для тестирования алгоритма и верификации концепции сглаживания приводятся сравнения результатов расчетов нормированной интенсивности рассеянного поля с решением, полученным суммированием ряда Mie, для однородного и слоистого диэлектрического шара, расположенных в свободном пространстве. Численно исследуется точность получаемого решения в зависимости от шага сетки.

С целью изучения эффективности рассматриваемого метода по сравнению с существующими, приводятся результаты расчетов нормированной интенсивности рассеянного поля на однородном диэлектрическом шаре и кубе, данным методом и методом ДДА. Из сравнения полученных результатов для шара с рядом Mie вытекает, что разработанный метод позволяет более точно вычислять интенсивность рассеянного поля в дальней зоне, чем метод ДДА.

Далее, в главе проводятся сравнения результатов нормированной интенсивности рассеянного поля на диэлектрическом шаре (как однородном, так и слоистом), расположенном на границе раздела двух полупространств, методами объемного ИДУ и ДИ. Приводится также сравнение результатов моделирования с экспериментальными измерениями. С целью исследования зависимости результатов нормированной интенсивности рассеянного поля от формы тела проводились расчеты данной характеристики для рассеивателей различной формы. Для рассеивателей с несимметричным распределением диэлектрической проницаемости смоделирован эффект деполяризации света. Исследуется также зависимость нормированной интенсивности рассеянного поля от геометрии, ориентации и от функции распределения диэлектрической проницаемости рассеивателя.

В третьей главе проводится математическое моделирование дифракции на трехмерных идеально проводящих рассеивателях, расположенных как в свободном пространстве, так и в слоистой среде. (Предполагается, что читатель знаком с главами 2 и 4 книги [15]). Внешняя краевая задача для уравнений Максвелла сводится к векторному поверхностному интегродифференциальному уравнению. Доказано, что разработанная ранее теория разрешимости интегро-дифференциального уравнения для плоского экрана в свободном пространстве может быть обобщена на случай, когда экран расположен на границе раздела сред.

Для численного решения уравнения применяется метод Галеркина. В качестве координатных и проекционных функций предлагается использовать "реберные" функции, с носителями, заданными на треугольной или прямоугольной сетках. ("Реберные" функции являются обобщением функций -"крышек" для нерегулярных сеток.) Для задачи дифракции на плоском треугольном экране расчеты проводятся на различных неравномерных сетках и, в частности, на сетках, сгущающихся к ребрам и угловым точкам, что позволяет моделировать особенности поверхностных токов. Сравнение результатов численного эксперимента с результатами измерений дает возможность оценить (в пределах погрешности экспериментальных результатов) зависимость точности численного решения от размеров и геометрии элементов сетки, а также изучить влияние учета особенностей поверхностных токов в окрестностях ребер и угловых точек экрана на точность моделирования измеряемых электродинамических характеристик рассеивателя. Для задачи дифракции на прямоугольном экране, расположенном на границе раздела сред, используются "реберные" функции, заданные на равномерной прямоугольной сетке, что позволяет получать систему линейных уравнений с хорошо структурированной двухуровневой блочно теплицевой матрицей и применять двумерное БПФ при итерационном решении системы линейных уравнений. Приводятся результаты численного моделирования нормированной диаграммы рассеяния для прямоугольной пластины, облучаемой нормально падающей плоской волной.

В заключении сформулированы основные результаты работы. Основные материалы диссертации опубликованы в статьях [9,12,44,45,53-59,80].

Заключение диссертации по теме «Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (по отраслям наук)», Ивахненко, Владимир Игоревич

Заключение.

В заключении сформулируем основные результаты работы:

1. Разработаны эффективные численные алгоритмы решения трехмерных задач дифракции электромагнитных волн на неоднородных диэлектрических рассеивателях произвольной формы на подложке.

2. Проведено математическое моделирование процессов рассеяния на однородных и неоднородных диэлектрических телах, расположенных как на границе раздела двух полупространств, так и в свободном пространстве.

3. Исследовано влияние формы и неоднородности заполнения частицы на подложке на характеристики рассеяния, смоделирован эффект деполяризации.

4. Обоснована возможность применимости поверхностного интегргродифференциального уравнения к решению трехмерной задачи дифракции на идеально проводящем экране, расположенном на границе раздела сред. Разработан эффективный численный алгоритм решения данной задачи.

5. Проведено математическое моделирование процессов рассеяния поля плоской электромагнитной волны на пластинах, расположенных как в свободном пространстве, так и в слоистой среде.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ивахненко, Владимир Игоревич, 1998 год

Литература.

1. Вайнштейн JL А. Теория дифракции и метод факторизации,- М.: Советское Радио, 1966.

2. Васильев E.H. Возбуждение тел вращения. - М.: Радио и связь, 1987.

3. Воеводин В.В., Тыртышников Е.Е. Вычислительные процессы с теплицевыми матрицами. М.: Наука, 1987

4. Гринберг Г. А. Методы решения задач дифракции электромагнитных волн на идеально проводящих плоских экранах, основанный на изучении наводимых на экранах теневых токов. I и II // Журнал Теор. Физики, сер. Б, т.28, 1958, вып.З, с.542-568.

5. Давыдов А. Г., Захаров Е.В., Пименов Ю. В. Метод численного решения задачи дифракции электромагнитных волн на незамкнутых поверхностях произвольной формы. - Докл. АН СССР, 1984, т.276, №1, с. 96-100

6. Дмитриев В. И., Захаров Е. В. Интегральные уравнения в краевых задачах электродинамики. М.: Изд-во МГУ, 1987.

7. Дмитриев В. И. Электромагнитные поля в неоднородных средах.- М.:, Изд-во МГУ, 1969

8. Еремин. Ю. А., Свешников А. Г. Метод дискретных источников в задачах электромагнитной дифракции. М.: Изд-во МГУ, 1992.

9. Еремин Ю.А., Ивахненко В.И. Моделирование рассеяния света неосесимметричной частицей на подложке//Вестник МГУ, Сер. 15, Выч. Мат. и киберн. 1998, №2, С.12-17.

10. Захаров Е. В., Пименов Ю. В. Численный анализ дифракции радиоволн. М.: Радио и связь, 1982.

П.Захаров Е.В., Халеева И.В. Гиперсингулярные интегральные операторы в задачах дифракции электромагнитных волн на незамкнутых поверхностях. //

В сб. Математические модели и оптимизация вычислительных алгоритмов. М.: Изд-во МГУ, 1993.

12. Ивахненко В.И., Ильинский А.С Метод расчета микрополосковой антенны. // Вестник МГУ сер. 15, Выч. Мат. и киберн. 1994, №1, с.25-28.

13. Ивахненко В.И., Ильинский A.C., Солосин B.C. Дифракция электромагнитной волны на треугольной металлической пластине. // Радиотехн. и электроника, 1998 (в печати)

14. Ильинский А. С., Кравцов В. В., Свешников А. Г. Математические модели электродинамики. М.: Высшая школа, 1991.

15. Ильинский А. С., Смирнов Ю.Г. Дифракция электромагнитных волн на проводящих тонких экранах. М.: ИПРЖР, 1996.

16. Канторович JI.B., Акилов Г.П. Функциональный анализ. - М.: Наука, 1984.

17. Като Т. Теория возмущения линейных операторов. М.: Мир, 1972.

18.Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. М.: Мир, 1987.

19. Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент. М., 1995.

20. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных. - М.: Высшая школа, 1977

21. Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. М.: Физматгиз, 1962.

22. Ремпель Ш., Шульце Б.-В. Теория индекса эллиптических краевых задач. М.: Мир, 1986

23. Самохин А.Б. Исследование задач дифракции электромагнитных волн в локально-неоднородных средах. //ЖВМиМФ, 1990, т.30, №1, с. 107-121

24. Самохин А.Б. Интегральные уравнения электродинамики трехмерных структур и итерационные методы их решения. // Радиотехника и электроника, 1993, т. 38, №8, с. 1345-1369.

25. Самохин А.Б. Итерационный метод для интегральных уравнений задач рассеяния на трехмерном прозрачном теле. // Дифференциальные уравнения, 1994, т.ЗО, №12, с. 2162-2174

26. Самохин А.Б., Самохина А.С. Метод решения задач дифракции электромагнитных волн на трехмерном теле. // ЖВМиМФ, 1996, т.36, №8, с. 138-156

27. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980.

28. Фелсен JL, Маркувиц Н. Излучение и рассеяние волн. - М.: Мир, 1978

29. Фельд Я. Н. Дифракция электромагнитных волн на незамкнутых металлических поверхностях. // Радиотехника и электроника, 1975, т. 20, №1, с. 28-38.

30. Хзмалян А.Д., Чаплин А.Ф. Возбуждение неоднородного тела. // Радиотехника и электроника, 1990, т. 35, №7, с. 1398-1404.

31. Хенл X., Мауэ А., Вестпфаль К. Теория дифракции. М.: Мир, 1964.

32. Хижняк Н.А. Функция Грина уравнений Максвелла для неоднородных сред. // Ж. техн. физ. 1958, т. 28, № 7, с. 1592 - 1609.

33. Andersen L. S. and Volakis J. L. Mixed-Order Tangential Vector Finite Elements for Triangular Elements. /ЛЕЕЕ Antennas and Propagation Magazine, Vol. 40, No. 1, February 1998, pp. 104-108.

34. Berenger J.-P. Improved PML for the FDTD Solution of Wave-Structure Interaction Problems. .// IEEE Trans. Antennas Propagat., 1997, AP-45, No. 3, p.467-473

35. Bossavit A., Mayergoyz I, Edge-elements for scattering problems. .// IEEE Trans.on Magnetics, Vol.25, No 4, 1989, p. 2816-2821

36. Bossavit A., Whitneys forms: a class of finite elements for three-dimensional computations in electromagnetism. // IEE Proc.Д988, 135, Pt. A, No. 8, p.493-500.

37. Catedra M.F., Gago E., Nuno L. A numerical scheme to obtain the RCS of three-dimensional bodies of resonant size using the conjugate gradient method and the fast Fourier transform. // IEEE Trans. Antennas Propagat., 1989, AP-37, 5, P.528-537

38. Chew W. C. Waves and Fields in Inhomogeneous Media. // Van Nostrand Reinhold, New York, 1990.

39. Chew W.C., Lu C.C. Wang Y.M. Efficient computation of three-dimensional scattering of vector electromagnetic waves.// J.Opt. Soc. Am. A, 1994, 11, No 4, p.1528-1537

40. Cwik T., Zuffada C., Jamnejad V. Modeling Three-Dimensional Scatterers Using a Coupled Finite Element-Integral Equation Formulation // IEEE Trans. Antennas Propag., 1996. AP-44, No 4, p.453-459

41. Draine B.T., Flatau P. J. Discrete-dipole approximation for scattering calculations J. Opt. Soc. Am. A, Vol. 11, No 4, 1994, p.1491-1499.

42. Eibert T.F., Hansen V., On the Calculation of Potential Integrals for Linear Source Distributions on Triangular Domains. Formulation // IEEE Trans. Antennas Propag., 1995. AP-43, No 12, p.1499-1502

43. Eibert T.F., Hansen V., 3D FEM/BEM- Hybrid Approach for Planar Layered Media. //Electromagnetics, vol.16, 1996, p. 253-272

44. Eremin Yu., Ivakhnenko V. "Strict Mathematical Model of Light Scattering by 3D Arbitrary Shaped Defects of silicon wafers." // Proceedings of PIERS'97, Cambridge, MA, July 7-11, p. 827

45. Yu.A. Eremin and V.I. Ivakhnenko "Modeling of Light Scattering by Non-Spherical Inhomogeneous Particles," // J.Quant.Spectrosc.Radiat.Transfer, 60, 3. pp. 475-482, 1998.

46. Yu.A. Eremin and A.G. Sveshnikov,"The Discrete Sources Method for Investigating Three-Dimension Electromagnetic Scattering Problems, "Electromagnetics, 13, 2 ,pp.l-22, 1993.

47. Farzan R.H. Unicity of Solution of the Maxwell Equations with Discontinuous Coefficients in Infinite Domain // Annales Univ. Sei. Budapest., 36 (1993), p.247-252

48. Farzan R.H. Integral Equation Method for Maxwell Equations // Annales Univ. Sei. Budapest., Sect. Comp. 16 (1996), p.103-127

49. Hafner Ch., Bomholt L. The 3D Electrodynamic Wave Simulator, 3D MMP Software and User's Guide, John Wiley & Sons, Chichester, 1993

50. Harrington R. F. Field Computation by Moment Methods. // Macmillian Co., New York, 1968.

51.Hoekstra A.G., Sloot P.M.A. Coupled Dipole Simulations of Elastic Light Scattering on Parallel Systems, // Int. J.Mod. Phys. C 6, 663-679 (1995)

52. Hoekstra A.G., Sloot P.M.A. The Discrete Dipole Approximation. Possibilities and Problems to Simulate Elastic Light Scattering. // Proceedings of the 1st Workshop on Electromagnetic and Light Scattering. Theory and Applications, March 18-19, Bremen, Germany (1996).

53. Ivakhnenko V.l., Eremin Yu. A. "Silicon wafer Defects Analysis. Nonaxisym-metrical Model." // Proceedings of the 1-st Workshop on Electromagnetic and Light Scattering: Theory and Applications, Moscow, May 27-28, 1997, pp. 132134.

54. Ivakhnenko V.I, Eremin Yu. A. "Comparison of Different Methods for Modeling of High Scattering by Non-Sperical Particles." // Proceedings of the Workshop on Light Scattering: by Non-Sperical Particles, Helsinki, June 9-11, 1997, pp.15-16.

55. Ivakhnenko V.l., Ilyinsky A.S. Validity of Fredholm's Alternative for EFIE in the Scattering Problem for Microstrip Patch Antennas // Joint Symposia 1992, Chicago, p. 1749-1752

56. Ivakhnenko V.l., Il'inski A.S., Solosin V.S. "Difraction by Triangular Perfectly Conducting Plate." // Proceedings of the 1st Workshop on Electromagnetic and Light Scattering: Theory and Applications, Moscow, May 27-28, 1997, pp.52-54.

57. Ivakhnenko V. I. and Tyrtyshnikov E.E. "Block-Toeplitz-Structure-Based Solution Strategies for CEM Problems."// 11th Annual Review of Progress in Applied Computational Electromagnetics, Conference Proceedings, Monterey, CA, March 20-25, 1995, pp. 181-188.

58. Ivakhnenko V.l., Smirnov Yu.G., Tyrtyshnikov E.E., The Electric Field Integral Equation: Theory and Algorithms, in: Approximations and Numerical Methods for the Solution of Maxwell's Equations (ed. F. El Dabaghi et al.) 251— 262,Clarendon Press, 1998

59. Ivakhnenko V.l., Stover J.C. and Eremin Yu.A. "Modeling of Light Scattering by Non-Spherical Inhomogeneous Particles Located on Silicon Wafer," // Proceedings of 3rd Workshop on Electromagnetic and Light Scattering - Theory and Applications, Bremen, 16-17 March, 1998 pp. 125-132.

60. Jakobus U. Landstorfer M. Improved PO-MM Hybrid Formulation for Scattering from Three-Dimensional Perfectly Conducting Bodies of Arbitrary Shape.// IEEE Trans. Antennas Propagat., 1995, AP-43, No. 2, P.162-169

61. Jones D. S. Methods in Electromagnetic Wave Propagation. Second Edition. // Clarendon Press, Oxford, 1994.

62. Lakhtakia A. On two Numerical Techniques for Light Scattering by Dielectric Agglomerated Structures. //Journal of Research of NIST, Vol. 98, No 6, November - December 1993, pp. 699-716.

63. Livesay D.E., Chen K.M. Electromagnetic fields induced inside arbitrarily shaped biological bodies. // IEEE Trans, on Microwave Theory and Tech. 1974, V. MTT-22, N. 12 P. 1273-1280.

64. Maue A. W. Toward Formulation of a General Diffraction Problem via an Integral Equation. // Zeitschrift fur Physik, vol. 126, 1949, p. 601-618.

65. Medgyesi-Mitschang L. N., Putnam J.M. and Gedera M. B. Generalized method of moments for three-dimensional penetrable scatterers // J. Opt. Soc. Am. A., Vol.11., No 4, 1994, p.1383-1398

66. Mikhlin S. G., Prossdorf S. Singular integral operators. New York: Springer Verlag, 1986.

67. Miller E. K., Poggio A. J. Moment-Method Techniques in Electromagnetics from an Applications Viewpoint. //Electromagnetic Scattering. Edited by P. L. E. Uslenghi - New York, Academic Press, 1978, p. 315-358.

68. Mittra R., ed. Numerical and Asymptotic Techniques in Electromagnetics. New York: Springer Verlag, 1975.

69. Mosig J.R., Gardiol F.E. A Dynamical Radiation model for Microstrip Structures // Advances in Electronics and Electron Physics. - New York: Academic Press, 1982, Vol.59.

70. Mosig J.R., Gardiol F.E. General Integral Equation Formulation for Microstrip Antennas and Scatterers // IEE Proc. 1985, vol. 132, pt.H, No 7, pp.424-432.

71. Muller CI. Foundations of the Mathematical Theory of Electromagnetics Waves. New York: Springer Verlag, 1969.

72. Nebeker B.M., Starr G. W., Hirleman E.D. Modeling of Scattered Light from Circuit Features and Contaminant Particles Using the Discrete Dipole Approximation // Proceedings of the 1-st Workshop on Electromagnetic and Light Scattering: Theory and Applications, Moscow, May 27-28, 1997, pp. 119-121.

73. Nedelec J. C. Mixed Finite Elements in R3. //Num. Math., 35, 1980, pp. 315-341.

74. Peltoniemi J.I. Variational volume integral equation method for electromagnetic scattering by irregular grains.//./g ST, 1996, 11, 5, 637-647

75. Piller N. B. Influence of the edge meshes on the accuracy of the coupled-dipole approximation. // Optics Letters Vol. 22, No 22, 1997, p. 1674-1676.

76. Popovic B. D., Notaros B.M. Entire-domain polynomial approximation of volume currents in the analysis of dielectric scatterers.// IEE Proc.- Micow. Antennas Propag., 1995,142, 3, P.207-212

77. Potthast R. Integral Equation Methods in Electromagnetic Scattering from Anisotropic Media. Department of Mathematical Sciences, University of Delaware. January 30, 1998, pp. 1-17.

78. Rao S. M., Wilton D. R., Glisson A. W. Electromagnetic Scattering by Surfaces of Arbitrary Shape. //IEEE Trans. Antennas Propagation, vol. AP-30, No 3, 1982, p. 409-418.

79. Richmond J.H. Scattering by a dielectric cylinder of arbitrary cross section. // IEEE Trans. Antennas Propagat., 1965, AP-13, 3, P.334-341

80. C. Scheer, J.C. Stover, V.I. Ivakhnenko "Comparison of models and measurements of scatter from surface-bound particles." // Proc. of SPIE, V3275-16, San Jose, CA, Jan. 29-30, 1998.

81. Sun D., Manges J., Yuan X., Cendes Z. Spurious Modes in Finite-Element Methods. //IEEE Transactions on Antennas Propagation, AP-37, 5, October 1995, pp. 12-24.

82. Taubenblatt M. A. and Tran T. K. Calculation of Light Scattering from Particles and Structures on a Surface by the Coupled-Dipole Method. //J. Opt. Soc. Am. A. Vol. 10, No 5 / May 1993, pp. 912-919.

83. Tsai C.-T., Massoudi H., Durney C.H., Iskander M.F. A procedure for calculating fields inside arbitrarily shaped, inhomogeneous dielectric bodies using linear basis functions with the moment method.// IEEE Trans. Microwave Theory Tech., 1986, MTT-34, 11, 1131-1139

84. Umashankar K., Taflove V., Rao S.M. Electomagnetic scattering by arbitrary shaped three-dimensional homogeneous lossy dielectric objects.// IEEE Trans. Antennas Propag., 1986. AP-34, P.758-766

85. Volakis J.L., Chatterjee A., Kempel L.C. Review of the finite element method for three-dimensional electromagnetic scattering // J.Opt. Soc. Am. A 1994. 11, 4, P. 1422-1433

86. Wang J. H. H. Generalized Moment Methods in Electromagnetics. // New York: John Wiley & Sons, 1991.

87. Wang Y.M. and Chew W.C. A recursive T-matrix approach for the solution of electromagnetic scattering by many spheres. .// IEEE Trans. Antennas Propag., 1993, AP-41, 12, P. 1633-1639

88. Webb J. P. Edge Elements and What They Can Do for You. //IEEE Transactions on Magnetics, MAG-29, March 1993, pp. 1460-1465.

89. Webb J. P. and Forghani B. Hierarchical Scalar and Vector Tetrahedra. //IEEE Transactions on Magnetics, Mag-29, March 1993, pp. 1495- 1498.

90. Wilton D.R., Rao S.M., Glisson A.W., Schaubert D.H., Al-Bundak O.M., and Butler C.M. Potential integrals for uniform and linear source distributions on polygonal and polyhedral domains. // IEEE Trans. Antennas Propag., 1984, AP-32, No 3, p.276-281.

91. Wriedt T., Doicu A, T-Matrix Approaches of Light Scattering by Nonspherical Particles // Proceedings of the 1-st Workshop on Electromagnetic and Light Scattering: Theory and Applications, Moscow, May 27-28, 1997, pp.92-96.

92. Yaghjian A.D. Electric dyadic Green's functions in the source region, Proc. IEEE 68, 1980, p. 248-263.

93. Yee K.S., Chen J.S. The Finite-Difference Time-Domain (FDTD) and the Finite-Volume Time-Domain (FVTD) Methods in Solving Maxwell's Equations. // IEEE Trans. Antennas Propagat., 1997, AP-45, No.3, P.355-363.

94. Zwamborn A.P. M., van den Berg P.M., The three-dimensional weak form of the conjugate gradient FFT Method for solving scattering problems.// IEEE Trans. Micrwave Theory Tech. 1992., MTT-40, 9, P. 1757-1765

95. Zwamborn A.P. M., van den Berg P.M., A weak form of the conjugate gradient FFT Method for plate problems.// IEEE Trans. Antennas Propagat., 1991, AP-39, No.2, P.224-228.