Математическое моделирование теплофизических процессов на неизотермических поверхностях и их оптимизация тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат технических наук Юсуфов, Борис Сафалдинович

• Юсуфов, Борис Сафалдинович
• кандидат технических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат технических наук Юсуфов, Борис Сафалдинович

Перечень условных обозначений

Введение

Глава 1. Постановка задачи исследований и сущность научной задачи

1.1 Вводная часть

1.2 Постановка задачи исследований

1.3 Анализ существующих методик расчета неизотермических ребер

Глава 2. Математические модели и алгоритмы расчета

2.1 Расчет продольного ребра постоянного сечения при неоднородном 2? коэффициенте теплоотдачи

2.2 Методика расчета продольного ребра произвольного поперечного 35 сечения при переменном коэффициенте теплоотдачи

2.3 Расчет оптимальных шипов и анализ результатов

Глава 3. Постановка оптимизационной задачи

3.1 Постановка задачи оптимизации продольного ребра

3.2 Выбор математического аппарата и естественные 46 граничные условия

3.3 Численный анализ

Глава 4. Экспериментальные исследования

4.1 Технологические проблемы построения эффективных ЭВГ

4.2 Система обеспечения теплового режима ЭВГ

4.3 Результаты экспериментального исследования ЭВГ 66 Заключение 76 Литература 79 Приложения (комплексы программ)

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование теплофизических процессов на неизотермических поверхностях и их оптимизация»

Применение высокопроизводительных вычислительных машин привело к бурному развитию методов вычислительной математики [1-5,8,45,48] и методов численного типа решения для всех задач математической физики [51,67,63,70,75-89]. В современных условиях для решения проблем в различных областях науки и практики используются методы математического моделирования. Эти методы включают этапы разработки математических моделей, численных методов, программного обеспечения, параметрических исследований и анализа результатов с последующим внедрением в практику. Преимущество систематических применений методов в технике и технологии бесспорно — оптимизация проектирования, решение комплексных проблем, сокращение затрат на отработку, повышение качества продукции, уменьшение эксплуатационных расходов и т.д.

Особенностью задач тепло- и массообмена является существенное различие и сложность математического описания так называемых «элементарных» процессов теплопереноса, к которым относятся теплопроводность, конвекция, кипение и излучение, некоторые из которых определяются системами дифференциальных уравнений в частных производных или интегро-дифференциальных уравнений. Эти процессы имеют пространственно временной характер, включая эффекты, связанные с наличием малых параметров и нелинейности. Одними из сложных являются уравнения теплопроводности Фурье (Fourier), система уравнений конвективного теплообмена на основе уравнений Навье — Стокса. В реальных условиях упомянутые элементарные процессы взаимно обуславливают друг друга и проявляются в комплексе, причем практические задачи отличаются разнообразием геометрии, граничных условий и широким диапазоном определяющих параметров.

Полная схема численного решения конкретной задачи состоит из следующих этапов:

- разработка соответствующей физической модели; перевод физической модели в математическую на соответствующих дифференциальных уравнениях, с: соответствующими, начальными, и граничными условиями;

-дискретизация- дифференциальных уравнений^ и получение в общем случае системы-нелинейных алгебраических уравнений;

-анализ системы уравнений на устойчивость и? возможные: области аппроксимации, проверка на сходимость;

-если выбранная схема удовлетворяет поставленным требованиям, с использованием какого-либо матричного метода или итерационной схемы (например, метод Ньютона) переходят к решению полученной системы алгебраических уравнений. Если этого: сделать не удается, выбирают другую схему дискретизации и начинают сначала;;

Последним этапом ? схемы является проведение сопоставительного анализа результатов расчетов с динамикой протекания процессов в физической модели. Проверка адекватности математической модели реальным процессам.

Несмотря на. огромное количество публикаций; в научно - технической литературе: посвященных процессам тепломассобмена [6, 7, 9 , 42-44, 47, 5355,57,59,68, 69, 71, 76] на неизотермическош поверхности теплоотдачи единичного ребра, известные методы их расчета: являются полуэмпирическими с ограниченными областями применения.

Известные методы расчета [6 ,10, 11, 19; 25, 40, 44, 47, 50, 57, 65, 66, 70, 75, 76, 79, 86, 88-89] неизотермических ребер полагают при-расчете, что ребро по высоте условно можно разбить на несколько областей по механизмам, действующим на его поверхности. Для каждой из этих областей используется аппроксимация экспериментальной зависимости коэффициента теплоотдачи, от температурного; напора; Далее записывается дифференциальные уравнения для каждой; области, задаются, начальные и граничные условия. Дополнительно: на границе областей; задаются так называемые «условия сопряжения» областей, а фактически это условия равенства температур и тепловых потоков на стыках областей. Проблема заключается в том, что экспериментальные зависимости, определяющие коэффициент теплоотдачи соответствующей области не могут быть записаны универсальными параметрическими соотношениями для всех теплоносителей, различных параметров и геометрии поверхности ребра. Это требует для каждого теплоносителя материала и геометрии поверхности проведение экспериментальных исследований для определения постоянных входящих в расчетные соотношения. Таким образом, для каждого случая теплоносителя приходиться каждый раз решать фактически индивидуальную задачу. Автором были разработаны две методики расчета неизотермического продольного ребра постоянного сечения, позволяющие при наличии экспериментальной или расчетной кривой кипения (кривая Нукияма), выполнять расчет температурного распределения по высоте продольного ребра. Отличия данных методик от известных, является то, что при выводе решения не уточняется аналитическая форма режимов кривой кипения и одновременно рассчитывается распределение коэффициента теплоотдачи от температурного напора по высоте ребра. Результаты выполненных расчетов по данным методикам очень хорошо согласуются с результатами экспериментальных измерений полученных другими исследователями. Развивая разработанные методики, автором был разработан алгоритм расчета температурного распределения по высоте продольного ребра произвольно заданного поперечного сечения, с одновременным расчетом распределения локального коэффициента теплоотдачи согласно кривой кипения выбранного теплоносителя. В работе также рассматриваются вопросы оптимизации круглых ребер (шипов) по массогабаритным характеристикам, и формулируется задача оптимизации продольного ребра по максимуму теплового потока, с учетом неоднородного распределения коэффициента теплоотдачи по высоте оптимального ребра. Приведено большое количество полученных расчетных графиков распределения температурного напора и локального коэффициента теплоотдачи по высоте ребра, а также выполнен их анализ. Получены и.проанализированы расчетные профили оптимального круглого' ребра, графики распределения температурного напора по его высоте и распределения локального коэффициента теплоотдачи. Необходимость наличия подобных методов и соответствующих расчетных программных комплексов очевидна, так как это позволяет упростить инженерный расчет ребер и повысить его точность, а также максимально эффективно проектировать теплообменные устройства, строго работающих в заданном интервале изменения тепловых нагрузок, исключая их переход в аварийные - кризисные режимы работы,,тем самым повышая их надежность.

Целью работы является разработка эффективных алгоритмов и комплексов программ по» расчету распределения температурного напора и коэффициента теплоотдачи по высоте неизотермического ребра произвольного поперечного сечения, при наличии на их поверхности всех режимов теплообмена, использующих как экспериментальные, так и расчетные кривые кипения, для выбранного теплоносителя. Вариационная постановка задачи оптимизации продольного ребра по весогабаритным характеристикам, разработка алгоритмов численного расчета, для« всего интервала изменения температурного напора и соответствующего программного комплекса. Разработка эффективных алгоритмов и программного обеспечения для расчета оптимальной модели круглого шипа, в условиях произвольной внешней нагрузки.

Из поставленной цели вытекают следующие основные задачи исследований: разработать алгоритмы расчета распределения температурного напора и локального коэффициента теплоотдачи неизотермического продольного ребра постоянного поперечного сечения, при действии на его1 поверхности всех механизмов теплопереноса согласно кривой' кипения (экспериментальной или расчетной) выбранного теплоносителя, для всего интервала температурных напоров;

-сформировать модели и алгоритмы расчета распределения» температурного напора, и локального, коэффициента, теплоотдачи-неизотермического продольного ребра, произвольно заданного поперечного сечения; вовсем интервале действия' температурных напоров;, при? заданной? кривой кипения теплоносителя:.

-разработать- модели и алгоритмы оптимизации продольного ребра4 по максимуму теплового потока и минимуму массы- и получение его оптимального профиля, при действии на его поверхности5 всех режимов, теплообмена согласно кривой кипения теплоносителя.

-разработка алгоритмов расчета оптимальной модели круглого, шипа; для; произвольной кривой кипения.

-разработать программный моделирующий комплекс: для- проведения расчетов предложенных алгоритмов;.

Научная новизна исследования заключается в том, что::

- разработаны и исследованы алгоритмы» расчета (с заданной точностью) модели неизотермического продольного* ребра, постоянного г и переменного поперечных сечений^ отличающиеся; от. известных,, тем; что построенный; алгоритм расчета не. требует уточнения аналитической формы. режимов кривой кипения* теплоносителя. Последнее позволяют упростить, повысить точность и скорость проводимых инженерных, расчетов;

- предложен: алгоритм-расчета модели оптимального; по* весогабаритным характеристикам, круглого? шипа отличающийся« от известных: тем, что при построении алгоритма решения 1 нет необходимости: уточнять аналитическую форму режимов кривой кипения теплоносителя. Разработанный? алгоритм позволяет упростить и унифицировать процесс расчета модели; оптимального шипа для выбранного теплоносителя; . '

-разработана математическая- модель, оптимального по массе; и снимаемому тепловому потоку продольного ребра с использованием аппарата, вариационного исчисления, отличающаяся от известной! тем, что в ней учтена зависимость коэффициента теплоотдачи: от температурного напора согласно кривой кипения теплоносителя. Сформированная модель позволяет решить задачу оптимизации продольного ребра, на минимум массы и максимум снимаемой тепловой мощности, при действии на поверхности ребра всех механизмов теплопереноса при кипении жидкости;

Практическая- значимость работы заключается в том, что созданное математическое и программное обеспечение позволяет упростить процессы расчетов неизотермических ребер для различных теплоносителей, повысить их точность, что позволит максимально эффективно проектировать теплообменные устройства, работающие в заданном интервале изменения тепловых нагрузок, тем самым повышая их надежность. Последнее позволит снизить затраты, на проектирование, ремонт и восстановления оборудование. Разработанные методы расчета способствуют снижению массогабаритных характеристик теплообменных устройств. Например, расчетным путем показано, что в условиях реализации на поверхности круглого ребра всех режимов теплопереноса, оптимальное по форме ребро должно быть высотой не более 1.5 см. Анализ результатов исследований показывает, что при конструировании круглого ребра желательно свести к минимуму зоны, занятые мало интенсивными механизмами теплопереноса при свободной конвекции и пленочном кипении, с тем, чтобы на область пузырькового и переходного кипения приходилась максимальная доля теплоотдающей поверхности. Зона, занятая пленочным кипением сводиться' к минимуму применением ребра с относительно малым поперечным сечением в основании. Тем самым перепад температур в ребре, необходимый для передачи теплоты по ребру через его основание — зону пленочного кипения срабатывается на относительно небольшом участке. В области переходного режима кипения, где начинается рост коэффициента теплоотдачи, диаметр ребра резко увеличивается. Рост диаметра снижает градиент температур в ребре на данном участке, тем самым высокоэффективные области пузырькового и переходного режимов кипения распространяются на поверхность теплоотдачи сравнительно большой площади. И- наконец, когда коэффициент теплоотдачи при меньших температурных напорах начинает падать, поперечное сечение ребра вновь уменьшается, сходясь у вершины к нулю. Таким образом, передача теплоты оптимального ребра, окружающей жидкости резко увеличивается, за счет использования обеих ветвей кривой кипения, прилегающие к области первого критического теплового потока.

Работы проводились в рамках НИОКР по гранту от фонда «СТАРТ 2006» № госконтракта 3025р/5419, отчет зарегистрирован в ЦИТиС.

Основные положения, выносимые на защиту: математическая модель и алгоритмы расчета распределения температурного напора и локального коэффициента теплоотдачи продольных ребер как постоянного, так и переменного поперечных сечений, в интервале изменения температурных напоров согласно кривой кипения теплоносителя, а также соответствующее программное обеспечение. математическая модель оптимального продольного ребра работающего в широком интервале тепловых нагрузок (согласно кривой кипения теплоносителя) в вариационной постановке, алгоритмы ее расчета и соответствующее программное обеспечение. методика расчета распределения температурного напора и локального коэффициента теплоотдачи оптимального круглого шипа для произвольной кривой кипения, исходя из условия реализации максимума теплоотдачи и минимума массы, а также соответствующее программное обеспечение.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на научной сессии института проблем геотермии ДНЦ РАН, 2002г. Махачкала, международной конференции «Фазовые переходы, критические и нелинейные явления в конденсированных средах» Махачкала, ДНЦ РАН, 2002г, 3-й Российской национальной конференции по теплообмену, МЭИ, 2002г., публиковались в журнале Известия вузов, Приборостроение. 2004г., докладывлись на Международной конференции «Возобновляемая энергетика: проблемы и перспективы», Махачкала, Институт проблем геотермии ДНЦ РАН,,2005г., включены в сборник докладов международного научно-технического симпозиума «Образование через науку», посвященного 175-летию Московского государственного технического университета им. Н.Э. Баумана- в II томах. — М., 2005 «Проблемы газодинамики и тепломассообмена в энергетических установках», включены в сборник трудов Международной конференции: Опто - и, наноэлектроника, нанотехнологии и микросистемы. Ульяновск 2009г.

Публикации. Всего по материалам диссертации опубликовано 11 работ и в соавторстве с научным руководителем опубликовано 3 учебных пособия (допущенных советом УМО министерства образования РФ).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованных источников и приложения.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Юсуфов, Борис Сафалдинович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В, процессе решения задач поставленных в диссертационных исследованиях получены следующие результаты:

- разработаны две численные модели, алгоритмы .расчета и программное обеспечение по расчету неизотермических ребер- постоянного поперечного сечения, а также выполнено сопоставление результатов расчетов по данным моделям с результатами экспериментальных исследований других авторов. Результаты расчетов по обеим моделям - полностью совпадают, качественно и количественно достаточно хорошо описывают экспериментальные данные, что еще раз доказывает адекватность разработанных моделей. В расчетах использовалась модель процессов теплопереноса, изложенная в докторской диссертации Вердиева М:Г. В разработанных моделях кривая кипения задана дискретной функцией. Отличие первой модели (2.15) от второй (2.16) является то, что она является кусочно-непрерывной, а вторая модель является полностью дискретной;

- сформулирована математическая модель, разработаны алгоритмы и комплексы программного обеспечения по расчету неизотермических ребер произвольного поперечного сечения. Проанализированы вопросы устойчивости полученного решения, сформулированы критерии окончания итераций расчета и так называемый критерий «самосогласованности» решения. Причем функция профиля и кривая кипения задаются в виде произвольных дискретных функций. Разработанные алгоритмы показывают высокую скорость достижения решения с заданной погрешностью. Выполнены расчеты и построены соответствующие распределения температурного поля по длине ребра;

- разработан алгоритм и программное обеспечение для расчета модели оптимального круглого шипа, работающего В' условиях комплексного кипения, независящие от исходного вида кривой кипения. Результаты расчетов, показали удовлетворительное совпадение (как качественное, так и количественное) с результатами других авторов (для воды); выполнен анализ решений, полученных как с- использованием расчетной, кривой кипения по модели. Вердиева М.Г, так и с экспериментальной кривой кипения для изотермической поверхности, что показало их качественное совпадение. Как. показывает анализ» результатов расчетов при конструировании ребра желательно свести к минимуму зоны, занятые мало интенсивными механизмами теплоотдачи при свободной конвекции и пленочном кипении, с тем, чтобы на область пузырькового и переходного кипения приходилась максимальная, доля теплоотдающей поверхности. Зона, занятая пленочным кипением сводиться к минимуму применением ребра с относительно малым поперечным сечением в основании. Тем самым перепад температур в ребре, необходимый для передачи тепла по ребру через зону пленочного кипения срабатывается на относительно малом коротком участке. В области переходного режима кипения, где начинается рост коэффициента теплоотдачи, диаметр ребра резко увеличивается. Рост диаметра снижает градиент температур в ребре на данном участке, тем самым высокоэффективные области пузырькового и переходного режимов кипения распространяются на поверхность сравнительно большой площади. И наконец, когда коэффициент теплоотдачи при меньших температурных напорах начинает падать, поперечное сечение ребра вновь уменьшается, сходясь у вершины в острие. Таким образом, оптимальное ребро передает тепло окружающей жидкости очень эффективно, используя обе ветви кривой кипени, прилегающие к точке первого критического теплового потока. Такая форма ребра впервые была получена В.И. Толубинским;

- сформулирована математическая модель в вариационной форме, разработан алгоритм и программное обеспечение по расчету оптимального продольного ребра. При решении данной задачи были разработаны, алгоритм и программное обеспечение по расчету функционалов с производными до второго порядка включительно, при наличии- голономных связей (дифференциальных уравнений и изопериметрических ограничений), в подынтегральной функции, которое может быть использовано в учебном процессе. Расчеты по разработанной математической* модели- для: случая* усредненного коэффициента теплоотдачи количественно полностью совпали с классическим решением оптимизации продольного ребра, при постоянном коэффициенте теплообмена < изложенным в работе P.C. Шехтер. Расчет модели при неоднородном' коэффициенте теплоотдачи указывают на дополнительном исследования по поиску критериев устойчивости решения, что является предметом самостоятельных исследований;

- разработана конструкция и математическая модель системы обеспечения теплового режима электролизного водородно-кислородного генератора с оребренным теплообменником- в системе теплосброса. Совместно с научным руководителем проведены комплексные экспериментальные исследования всех режимов работы генератора, получены экспериментальные кривые по ВАХ, производительности генератора, сопротивлению электролита, температурному режиму генератора. По результатам' испытаний выбраны оптимальные режимы работы- электролизного- генератора водорода обеспечивающие его высокий КПД и высокую экологичность.

Совокупность полученных результатов проведенных исследований позволяет их использовать в качестве научной основы в дальнейшем* при проектировании эффективных и малогабаритных систем обеспечения тепловых режимов, а также в учебном процессе теплотехнических специальностей, и при разработке предметно - ориентированных программных продуктов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Юсуфов, Борис Сафалдинович, 2010 год

1. А. С. СССР. Способ контролируемого подвода тепла: / Вердиев М. Г. № 1163236. 1985г. БИ№ 23

2. A.C. 1158617 М.Кл. С25 В9/04. Устройство для получения гремучего газа из воды и водных растворов. /В.В. Синявский и др.// Открытия. Изобретения. 1985 № 20.

3. Андрющенко А. И. Основы технической термодинамики реальных процессов. М.: 1967, 268с.

4. Ахиезер Н. И. Лекции по вариационному исчислению. — М., Гостехиздат, 1955.

5. Бахвалов Н.С. Численные методы. «Наука», т. I, 1975.

6. Бертере Ш. А. Теплообмен при комплексном испарении жидкости в случае контакта с неизотермической стенкой В кн.: Тепло- и массоперенос. Минск: Наука и Техника, 1968, т.9, с.190-230.

7. Био М. Вариационные принципы в теории теплообмена. М.: «Энергия», 1979-209с.

8. Будылин A.M. Вариационное исчисление. Санкт — Петербург, Изд. «Спб» 2001,365с.

9. Вердиев М. Г., Алхасов А. Б., Юсуфов Б. С., Чупалаев Ч. М. Решение сопряженной задачи расчета неизотермического ребра.// Тр. 3-й Российской нац. конф. по теплообмену. М.:, МЭИ., 2002г.

10. Вердиев М.Г., Вердиев М. М. Система конвективного охлаждения водородно-кислородного электролизера: Сборник докладов Первой

11. Российской национальной конференции по теплообмену, М., МЭИ. 1994 г. 5с.

12. Вердиев М.Г., Алхасов А. Б.,Юсуфов Б. С. Кризис теплообмена при кипении жидкости; В сб. материалы IV международной конференции "Фазовые переходы ишелинейные явления в'Конденсированных средах", (6-9 сентября) 2000г., Махачкала, с. 213-214.

13. Вердиев М.Г., Юсуфов Б. С.,Салманов Н: Р: Высокоточный метод измерения теплового потока. // Известия вузов. Приборостроение. 2000. Т. 43, №5. С. 54-57.

14. Вердиев М.Г, Юсуфов Б.С. Теплообмен на оребренных поверхностях теплообменных аппаратов: Научная сессия института проблем геотермии ДНЦ РАН, 18 февраля 2002г. Махачкала. - С. 25-28.

15. Вердиев М.Г,Алхасов А. Б., Юсуфов Б. С. Расчет теплообмена на неизотермическом ребре на участке кипения- теплоносителя. //В естник Дагестанского государственного технического университета: Технические науки. 2000. - Вып. №4. -С; 23-27.

16. Вердиев М.Г., Алхасов А.Б., Юсуфов Б.С. Оптимизация неизотермического ребра на основе реализации максимума кривой Нукиями. Вестник Дагестанского государственного технического университета. Технические науки. — 2002. Вып. №5. - С. 11 - 15.

17. Вердиев М.Г., Алхасов А.Б., Юсуфов Б.С., Чупалаев Ч.М. Решение сопряженной задачи расчета неизотермического ребра. Теплопроводность, теплоизоляция: труды третьей Рос. нац. конф. по теплообмену. М.: МЭИ, 2002. - Т. 7. - С. 64 - 66.

18. Вердиев М.Г., ИсмаиловТ. А., Юсуфов Б.С. Физические основы подбора теплоносителей // Известия вузов. Приборостроение. 2004. -Т.47. - №7. - С. 65-69:

19. Вердиев М.Г., Исмаилов Т.А. Юсуфов Б.С. Методы экспериментального исследования процессов теплообмена (учебное пособие с грифом УМО МО и Н РФ). Махачкала: ДГТУ, 2004. 67 с.

20. Вердиев М.Г., Исмаилов Т.А. Юсуфов Б.С. Основы расчета-процессов тепломассопереноса с фазовыми переходами I рода-(учебное пособие с грифом УМО МО и Н РФ). Махачкала: ДГТУ, 2004. 44 с.

21. Вердиев М.Г., Исмаилов Т.А. Юсуфов Б.С. Физические основы процесса кипения жидкостей и теория теплопереноса (учебное пособие с грифом УМО МО и Н РФ). Махачкала: ДГТУ, 2004, 83 с.

22. Вердиев М.Г., Исмаилов.Т.А., Юсуфов Б.С. Изучение термоэлектрических эффектов в полупроводниках (учебное пособие с грифом УМО МО и H РФ). Махачкала: ДГТУ, 2003. 40с.

23. Вердиев М.Г., Исмаилов Т.А., Юсуфов Б.С. Физические основы подбора теплоносителя. Сборник тезисов докладов XXIV итоговой научно-технической конференции преподавателей, сотрудников, аспирантов и студентов ДГТУ. Махачкала: ДГТУ, 2003. - С. 624.

24. Вердиев М.Г., Юсуфов Б.С. Критерий качества теплоносителя. Фазовые переходы, критические и нелинейные явления.в конденсированных средах: сборник трудов международной конференции. Махачкала: ДНЦ РАН, 2002. - С. 116 - 119

25. Вердиев М.Г., Юсуфов Б.С. Упрощенная методика расчета неизотермического ребра. Теплопроводность, теплоизоляция: труды третьей Рос. нац. конф. по теплообмену. М.: МЭИ, 2002. — Т. 7. - С. 67-69.

26. Вердиев М.Г., Юсуфов Б.С., Набиев О.Н. Проблемы разработки затвора для гашения пламени водородных сварочных аппаратов: Сборниктезисов доклов XXV итоговой научно-технической конференции преподавателей, сотрудников, аспирантов.и студентов

27. ДГТУ. Махачкала: ДГТУ, 2004. - С. 395 - 396.

28. Гельфанд И. М., Фомин С. В. Вариационное исчисление. М., Наука; 1969.

29. Гриаффитс Ф. Внешние дифференциальные системы и вариационное исчисление. М.: Мир, 1986 360с.

30. Дваер О. Теплообмен при кипении жидких металлов. Пер. с англ. Под редакцией чл. корр. АН СССР В.И. Субботина. Изд. «Мир», М.: -1980, 520с

31. Джад P.JL, Хуан К. Модель теплоотдачи при кипении в большом объеме, учитывающая испарение микрослоя.// Теплоотдача, № 4, с.96-102- 1976.

32. Дулькин И. Н., Ракушина Н. И., Ройзен JI. И., Фастовский В. Г. Теплообмен при кипении воды и фреона-113 на неизотермической поверхности // ИФЖ. Т. 19, № 4, - с. 637 -645.

33. Иглин С.П. Вариационное исчисление с применением MATLAB. Учебное пособие для студентов всех форм обучения. Харьков: НТУ ХПИ, 2000.

34. Иоффе А. Ф. Полупроводники,и термоэлементы. M.-JL, Изд. АН СССР, 1960. 183 стр.

35. Исаченко В. П., Осипова В. А., Сукомел А. С. Теплопередача. Учебник для вузов./М.: Энергоиздат, 1981.-416с.

36. Калиткин H.H. Численные методы. «Наука», 1973, 510с.

37. Карташов Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел. Учебное пособие. М.:, «Высшая школа», 2001, 540с.

38. Керн Д. И Краус А. Развитые поверхности теплообмена. Пер. с англ. М.:, Энергия. 1977.-464 с.51 .Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). Под общей редакцией И. Г. Арамановича, М.: Наука., 1974-832 с.

39. Краснов JI. М., Макаренко Г. И., Киселёв А. И. Вариационноеисчисление. М., Наука, 1973.

40. Кутателадзе С.С. Сборник "Воспоминания. Из неопубликованных работ". С.-Петербург, 176с 1996.

41. Кутепов А.М., Стерман Л.С., Стюшин И.Г. Гидродинамика и теплообмен при парообразовании. М.: Высшая школа 1986г, 450с.

42. Лабунцов Д.А. Приближенная теория теплообмена при развитом пузырьковом кипении.//Известия РАН. Энергетика и транспорт, 1963, №1 с. 1677-1680.

43. Ланцош К. Вариационные принципы механики. Перевод с английского по Л. Полак. Гостехиздат. 1962, -409с

44. Лыков А. В. Теория теплопроводности. Гос. Изд. технико-теоретической литературы. М.: 1952. — 392 с.

45. Потёмкин В.Г. Система инженерных и научных расчётов МАТЬАВ 5.x. В 2-х томах. М., Диалог-МИФИ, 1999.

46. Разработка и оформление конструкторской документации радиоэлектронной аппаратуры: Справочник / Э. Т. Романычева, А. К.

47. Иванова, А. С. Куликов и др.; Под ред. Э. Т. Романычевой. 2-е изд. Перераб. и доп. — М.: Радио и свяь, 1989. - 448 с.

48. Ройзен JI. И., Дулькин И. Н. Тепловой расчет оребренных поверхностей. -М.: Энергия, 1977-254 с.

49. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. Гостехиздат, 1953.

50. Таинов Р. Р. Численные методы и алгоритмы решения инженерных и экономических задач на ЭВМ: Учебное пособие / Махачкала, ДПТИ, 1993 149 с.

51. Теория тепломассообмена: Учебник для вузов / С. И. Исаев, И. А. Кожинов, В. И. Кофанов и др.; Под ред. А. И. Леонтьева. М.: Высщ. школа, 1979.-495 с.

52. Тиктин С. А. Вапотронная техника. Киев: Техшка, 1975, 152 с.

53. Тихонов А.Н. Самарский A.A. Уравнения математической физики. Изд. 4-5. «Наука» 1972.

54. Толубинский В. И. Теплообмен при кипении / Киев: Наукова думка, 1980.316с.

55. Цлаф JI. Я. Вариационное исчисление и интегральные уравнения, (справочное руководство), М., Наука, 1966, 176с.

56. Цой П. В. Методы расчета задач тепло- и массопереноса. 2-е изд. перераб. и доп. М.: Энергоатомиздат, 1984. — 416 с.

57. Шехтер Р. С. Вариационный метод в инженерных расчетах. Перевод с английского В. Д. Скаржинского., под ред. А. С. Плешанова. М.: Мир., 1971 -235 с.

58. Ши Д. Численные методы в задачах теплообмена. Перевод с англ. К.ф.-м.н. И.Е. Зино и В.Л. Грязнова, Под ред. В.И. Полежаева, изд. Мир, 1988, 545с

59. Эккерт Э. Р., Дрейк Р. М. Теория тепло- и массообмена. М.: Госэнергоиздат, 1961.-680 с.

60. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. Изд. «Наука» главная редакция физико-математическойлитературы. М.: 1965, 425с.

61. На1еу К. W., Westwater J. W. Proc. Third Intern. Heat Transfer Conf., Chicago, 1966. 3. p.245.80.1ntemet ресурс*http://www.donmet.com.ua/index.php?action=news&ns id=24&type=l81 .Internet ресурс http.-//www.et.ua/welder/index.html

62. Mikic B.B., Rohsenow W.M. A New Correlation of Poof-Boiling Data Including the Effect of Heating-Surface Characteristics, Trans/ ASME, Ser. C, J. Heat Transfer, № 91, 245-1969.

63. Optimization Toolbox User's Guide. © COPYRIGHT 1990 - 1997 by The Math Works, Inc.

64. Partial Differential Equation Toolbox User's Guide. © COPYRIGHT 1984 - 1997 by The MathWorks, Inc.

65. Siman-Tov M. Analysis and design of extended surfaces in boiling liquids.-Chem. Eng. Progress. Symp. Ser., 1970, 66, N 102, r. 174-184.

66. Symbolic Math Toolbox User's Guide. © COPYRIGHT 1993 - 1997 by The MathWorks, Inc.

67. Westwater J. W. Development of extended surfaces for use in boiling liquids.-Chem. Eng. Progress. Symp. Ser., 1973, 69, N 131, r.1-9.

68. Wilkins J. E., Jr., J. Soc. Ind, Appl. Math., 1960. 8, p.630.