Метод функций Ляпунова в исследовании устойчивости по двум мерам функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Седова, Наталья Олеговна

• Седова, Наталья Олеговна
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Седова, Наталья Олеговна

Оглавление

Введение

I. К задаче об устойчивости по двум мерам неавтономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений

1. Основные понятия и вспомогательные утверждения

1.1. Определения устойчивости

1.2. Функции Ляпунова

2. Основные предположения. Предельная система

3. Исследование (/го, /^-устойчивости неавтономной системы

при предположении ограниченности решений

3.1. Взаимосвязь (/¿о, /г)-устойчивости неавтономной системы и предельных к ней систем

3.2. Метод предельных систем в сочетании с прямым методом Ляпунова

4. Исследование (/¿о, /^-устойчивости неавтономной системы без предположения ограниченности решений

4.1. Задача о локализации предельного множества решения неавтономной системы

4.2. Об асимптотической (/¿о, /^-устойчивости и неустойчивости системы (Б)

4.3. Случай автономной системы

II. К задаче об устойчивости нулевого решения неавтономных функционально-дифференциальных уравнений

1. Исследование устойчивости нулевого решения системы уравнений с конечным запаздыванием

1.1. Основные определения, предположения и вспомогательные утверждения

1.2. Теорема о локализации положительного предельного множества

1.3. Теоремы об асимптотической устойчивости и неустойчивости

2. Исследование устойчивости нулевого решения уравнений с бесконечным запаздыванием

2.1. Основные определения, предположения и вспомогательные утверждения

2.2. Теорема о локализации положительного предельного множества

2.3. Теоремы об асимптотической устойчивости и неустойчивости

2.4. Обобщение теорем о притяжении, асимптотической устойчивости и неустойчивости

IIIK задаче об устойчивости по двум мерам неавтономной системы функционально-дифференциальных уравнений

1. Основные понятия и предположения

2. Исследование (/¿о, /^-устойчивости систем с конечным запаздыванием

2.1. Функции Ляпунова и основные теоремы

2.2. Исследование (До, /^-устойчивости системы (SF)

3. Исследование (/го, /^-устойчивости систем с бесконечным запаздыванием

3.1. Пары Ляпунова-Разумихина и основные теоремы

3.2. Исследование (/¿о, /г)-устойчивости системы (SI)

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метод функций Ляпунова в исследовании устойчивости по двум мерам функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа»

Введение.

Исследование устойчивости идеальных процессов, установление возможности создания реального процесса с требуемыми свойствами является важнейшей практической задачей. Среди различных определений устойчивости наиболее общим, математически корректным и соответствующим физическому представлению об устойчивости и потере устойчивости признан подход гениального русского математика А.М.Ляпунова.

Ляпуновым были заложены основы теории двух методов исследования устойчивости решений обыкновенных дифференциальных уравнений. Эффективность так называемого прямого метода Ляпунова связана с тем, что использование введённых Ляпуновым вспомогательных функций позволяет исследовать устойчивость и неустойчивость, не находя самих решений уравнения, а используя свойства некоторых вспомогательных функций и их производных вдоль решений. Большую роль в становлении метода функций Ляпунова сыграли работы Н.Г.Четаева и его учеников (см. [25], [52] и др.)

В настоящее время сфера применения функций Ляпунова не ограничивается задачами классической теории устойчивости. Идеи прямого метода используются для решения задач управления и стабилизации движения, при исследовании систем, описываемых дифференциальными уравнениями с отклоняющимся аргументом и уравнениями с частными производными, разностными и стохастическими уравнениями и др. За сто лет теория устойчивости была развита во многих направлениях, и по сей день она остаётся объектом исследований многих учёных. Актуальность этой области науки определяется как необходимостью развития математического аппарата теории устойчивости, так и широкими её приложениями к анализу разнообразных динамических свойств нелинейных систем самой различной природы и формы описания.

При определении з^стойчивости прежде всего необходимо ввести меру отклонения возмущённого состояния от невозмущённого для каждого момента времени £ Е [¿о5+оо). В попытке разработать единый подход к ис-

следованию устойчивости решений дифференциальных уравнений возникло понятие устойчивости в терминах двух различных мер. В качестве меры отклонения, вообще говоря, принимается любой вещественный неотрицательный функционал, нижняя граница которого равна нулю в каждый момент времени на некотором множестве допустимых состояний процесса. Такой подход был предложен А.А.Мовчаном [29], [30] для изучения свойств систем с распределёнными параметрами, им же были сформулированы и доказаны основные теоремы типа теорем Ляпунова. Дальнейшее развитие это направление получило в работах В.В.Румянцева, Т.К.Сиразетдинова и других учёных. Например, Г.К.Пожарицкий изучал устойчивость положения равновесия и стационарных движений твёрдого тела с полостью, содержащей вязкую жидкость [33], а затем значительные результаты для этой и других механических задач были получены В.В.Румянцевым (см., например, [31], [32]). Различные технические задачи, связанные с изучением устойчивости систем с распределёнными параметрами, рассмотрены Т.К.Сиразетдиновым [49]. В дальнейшем теория устойчивости в терминах двух мер получила развитие в целом ряде работ отечественных и зарубежных учёных. Подробное изложение многих результатов содержится в монографии А.А.Шестакова [53]. Важным частным случаем устойчивости по двум мерам является устойчивость относительно части переменных. Систематическое изложение результатов, полученных при исследовании этого вида устойчивости для обыкновенных дифференциальных уравнений, дано в монографии В.В.Румянцева и А.С.Озиранера [42]. Среди последних работ в этом направлении следует отметить статьи [83], [84], в которых исследовалась устойчивость по двум мерам решений обыкновенных дифференциальных уравнений, а также [86] для уравнений с конечным запаздыванием.

Дифференциальные уравнения с запаздыванием (последействием) были впервые введены в классических трудах В.Вольтерра [10], [И]. Ими описываются разнообразные процессы в природе и технике. Основным свойством этого математического объекта является зависимость изменения состояния в каждый момент времени от предыстории процесса. Широкие

возможности применения таких уравнений в качестве математических моделей самых разнообразных процессов определили интерес и значительное развитие теории функционально-дифференциальных уравнений за последние полвека. История развития и современное состояние этой теории для случая конечного (ограниченного) запаздывания достаточно полно изложены в работах [19], [21], [56],[65], и наиболее полным описанием считается монография [50].

Для уравнений с неограниченным запаздыванием основной сложностью в построении теории оказался выбор подходящего пространства начальных функций (названного «фазовым пространством»). От этого выбора существенно зависели даже результаты существования и единственности решений. После того, как попытки построения теории уравнений с неограниченным запаздыванием были предприняты для большого количества фазовых пространств, назрела необходимость аксиоматического подхода к этой проблеме. Другими словами, следовало определить ряд аксиом, касающихся фазового пространства и правой части уравнения, таких, что любое конкретное пространство и функционал, удовлетворяющие этим аксиомам, автоматически обладали бы определёнными свойствами, в частности, удовлетворяли бы условиям существования и единственности решений. Такие аксиомы для конечномерных систем были предложены в работе [75], и в дальнейшем использовались (нередко с незначительными изменениями) во многих исследованиях, в том числе при изучении устойчивости и предельных свойств решений таких уравнений (см., например, [71], [76], [81], [89], [96] и др.)

Проблема распространения прямого метода Ляпунова на задачи устойчивости систем с запаздыванием возникла в 50-х годах нашего столетия и все эти годы исследовалась достаточно активно. Истоками этих исследований можно считать статьи [20], [37], в которых были сформулированы два подхода к этой проблеме.

Один из них основан на идее обобщения метода Ляпунова путём использования знакоопределённых функционалов, определённых на отрезках

интегральных линий. Эти функционалы являются естественным обобщением конечномерных функций Ляпунова с точки зрения функциональной трактовки решений уравнений с запаздыванием, для которых фазовое пространство является бесконечномерным. Дальнейшее развитие это направление получило в работах [15]-[20], [54], [55], [64]-[66], [68] и мн. др. Были доказаны теоремы об обратимости. Таким образом, данный метод можно считать теоретически обоснованным и в некотором смысле завершённым, но с другой стороны, построение функционалов для конкретных примеров, а также исследование их знакоопределённости зачастую превращается в достаточно трудную задачу.

Стремление сохранить знакоопределённые функции в качестве меры возмущений привело к другому пути построения теории устойчивости систем с последействием. При этом формальное перенесение формулировок теорем типа Ляпунова на случай функционально-дифференциальных уравнений оказалось невозможным, и конструктивные результаты в этом направлении были получены, как правило, на основе введённых Б.С.Разумихиным условий относительно производной функции Ляпунова (см. [37]). В связи с этим конечномерные функции, используемые при исследовании устойчивости решений уравнений с запаздыванием, получили в литературе название функций Ляпунова-Разумихина. Этот метод, хотя и был поначалу встречен скептически, со временем привлек внимание многих учёных, как отечественных [34]-[39], так и зарубежных [63], [70], [72], [73] и др., и был развит и обобщён для применения к исследованию неустойчивости [34], [35], для функционально-дифференциальных уравнений с бесконечным запаздыванием [72] и уравнений типа Вольтерра [69], [94], а также для задач о локализации положительного предельного множества ограниченного решения уравнения с запаздыванием [70], [72], [78]. Более того, идеи ослабления условий на производную, аналогичные условиям Разумихина, стали применяться также в теории функционалов (см., например, [81], [96]).

Эффективность метода функций Ляпунова в исследовании свойств нелинейных систем, с одной стороны, и трудности построения в конкретной

задаче функции (или функционала) Ляпунова определили интенсивное развитие теории в направлении ослабления условий, налагаемых на функцию Ляпунова и её производную.

Наиболее известным результатом такого рода для обыкновенных дифференциальных уравнений является теорема Барбашина-Красовского [9] об асимптотической устойчивости нулевого решения автономной системы при условии существования знакоопределённой функции Ляпунова со знакопостоянной вдоль решений производной. Это теорема была обобщена Н.Н.Красовским на случай периодической системы [21], а Ж.П.Ла-Саллем были получены результаты о притяжении решений автономных и периодических систем и сформулирован так называемый принцип инвариантности [23].

В поиске подобного свойства для неавтономных непериодических систем возник так называемый метод предельных систем, который позволил представить неавтономную систему как динамическую систему в расширенном фазовом пространстве [91] и исследовать асимптотические свойства её решений. В зависимости от того, какая топология вводится в функциональном пространстве, содержащем сдвиги правой части системы обыкновенных дифференциальных уравнений, определяются классы неавтономных систем, представляемых в соответствующем фазовом пространстве как динамические системы. Наиболее общий класс таких систем, для которых предельными являются также системы обыкновенных дифференциальных уравнений, определяется топологической динамикой, построенной в работе [59]. В работах [60], [61] рассматривается задача об исследовании связи свойств устойчивости и предельного поведения решений исходной и предельных систем. Однако для исследования притяжения решений, асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения неавтономной системы более эффективным методом оказывается исследование свойств предельных систем при условии существования функции Ляпунова со знакопостоянной производной. Результаты такого рода, в том числе для устойчивости по части переменных, получены А.С.Андреевым и изложены

в работах [4], [5] и др.

Аналогичная методика применима и к исследованию свойств решений функционально-дифференциальных систем. Если правая часть неавтономной системы с запаздыванием удовлетворяет условиям предкомпактности в открыто-компактной топологии [91], то для неё могут быть построены предельные системы и сформулирован принцип квазиинвариантности положительного предельного множества (см. [3], [78]). Связь свойств устойчивости для исходной и предельной систем изучена как для конечного [3], так и для бесконечного запаздывания [76], [88] и др. Кроме того, предположение существования функционалов Ляпунова со знакопостоянной вдоль решений системы производной позволяет доказать теоремы о локализации положительного предельного множества ограниченного решения, об асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения, аналогичные соответствующим теоремам для обыкновенных дифференциальных уравнений (см. [3], [8]).

В 1983 году Haddock и Terjeki [70] использовали технику Ляпунова-Разумихина для локализации положительного предельного множества решения автономного функционально-дифференциального уравнения с конечным запаздыванием и вывода принципа инвариантности. В 1990 г. теми же авторами аналогичные результаты были получены для автономных уравнений с бесконечным запаздыванием [72]. Благодаря использованию понятий предкомпактности и предельных уравнений становится возможным решить эту задачу для неавтономного случая, а также доказать теоремы об асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения неавтономного функционально-дифференциального уравнения при условии существования функции Ляпунова, производная которой удовлетворяет условиям типа Разумихина (то есть знакопостоянна на некотором подмножестве фазового пространства). Кроме того, для изучения различных свойств систем, описываемых как обыкновенными, так и функционально-дифференциальными уравнениями, могут оказаться полезными определения устойчивости в терминах двух мер и теоремы о достаточных условиях

такой устойчивости, которые используют свойства предельных систем и конечномерные функции Ляпунова и обобщают соответствующие результаты (как известные, так и полученные в данной работе) об устойчивости состояния равновесия системы.

Целью настоящей работы является:

• обоснование новых методов исследования притяжения, асимптотической устойчивости и неустойчивости по двум мерам для неавтономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений на основе использования функций Ляпунова со знакопостоянной производной;

• обоснование новых методов исследования притяжения, асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения неавтономной системы функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа с конечным и бесконечным запаздыванием на основе использования конечномерных функций Ляпунова;

• обоснование аналогичных методов исследования притяжения, асимптотической устойчивости и неустойчивости по двум мерам для неавтономной системы функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа.

В первой главе исследуются задачи об асимптотической устойчивости, в том числе равномерной и равномерной по начальным данным, и неустойчивости в терминах двух мер для предкомпактной неавтономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений при условии существования функции Ляпунова со знакопостоянной производной.

Первый раздел посвящён определениям: меры отклонения, устойчивости в терминах двух различных мер, функций Ляпунова и их свойств. Приведены основные теоремы прямого метода Ляпунова об устойчивости и неустойчивости в терминах двух А4ер.

Во втором разделе излагаются предположения относительно правой части неавтономной системы, обеспечивающие предкомпактность семейства

сдвигов правой части. Отдельно рассматриваются случаи, когда на устойчивость исследуются только ограниченные решения, и когда меры выбраны таким образом, что устойчивость по этим мерам не гарантирует ограниченности решений. Соответственно определяются два вида предельных систем, и приводятся утверждения, определяющие взаимосвязь решений исходной и предельной систем.

В третьем разделе исследуется задача об устойчивости и неустойчивости неавтономной системы по двум мерам в предположении ограниченности решений. Получены результаты, определяющие зависимость асимптотической устойчивости исходной системы от свойств решений предельных систем. На основе известных результатов о локализации положительного предельного множества в предположении существования функции Ляпунова со знакопостоянной производной и свойства квазиинвариантности относительно предельных систем доказаны теоремы о притяжении, асимптотической устойчивости и неустойчивости в терминах двух мер.

В четвёртом разделе исследуется задача об устойчивости и неустойчивости неавтономной системы по двум мерам, когда её решения не обязательно ограничены. Для этого обобщается понятие положительного предельного множества и соответственно теоремы о его квазиинвариантности относительно предельных систем и локализации в предположении существования функции Ляпунова со знакопостоянной производной, на основе которых доказываются теоремы об асимптотической устойчивости и неустойчивости. Приведены новые результаты для автономной системы, которые являются следствиями доказанных теорем.

Результаты первой главы развивают некоторые результаты работ [4], [5], [30], [61], [83].

Во второй главе исследуются задачи об асимптотической устойчивости, в том числе равномерной и равномерной по начальным данным, и неустойчивости нулевого решения предкомпактной неавтономной системы функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа как с конечным, так и с бесконечным запаздыванием при условии существования

функции Ляпунова со знакопостоянной производной.

В первом разделе эта задача рассматривается для систем с конечным запаздыванием. В предположениях, обеспечивающих предкомпактность семейства сдвигов правой части системы в открыто-компактной топологии, доказываются теоремы о локализации положительного предельного множества, об асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения системы в предположении существования функции Ляпунова, производная которой есть знакопостоянный функционал для определённого класса отрезков решений. При этом функция Ляпунова и её производная также предполагаются удовлетворяющими условиям пред компактности. Полученные результаты сравниваются с аналогичными теоремами, представленными в литературе. Доказательства приведённых теорем основаны на известных результатах, касающихся свойств предельных систем и предельного множества ограниченного решения уравнения с конечным запаздыванием.

Во втором разделе аналогичные результаты получены для уравнения с бесконечным запаздыванием. Существование и единственность решений, а также компактность положительного предельного множества ограниченного решения такой системы обеспечивается аксиоматическим определением допустимого фазового пространства системы и предположением полной непрерывности правой части. Введение предположений, обеспечивающих предкомпактность семейства сдвигов правой части в открыто-компактной топологии, позволяет определить предельные системы и взаимосвязь решений исходной и предельной систем, а также установить свойство инвариантности предельного множества ограниченного решения относительно предельных систем. Используя определение зависящей от времени и удовлетворяющей условиям предкомпактности пары Ляпунова-Разумихина (обобщения известной автономной), доказываются теоремы о локализации предельного множества, об асимптотической устойчивости и неустойчивости, которые затем обобщаются на более широкий класс систем с более общими условиями для пары Ляпунова-Разумихина. Приведённые примеры, иллюстрирующие применение полученных результатов, включают нелинейную

неавтономную систему типа Вольтерра, изучаемую во многих работах.

Теоремы, полученные во второй главе, развивают, в частности, результаты работ [15], [20], [34], [35], [70], [72], [78], [94], [95].

В третьей главе идеи первой и результаты второй глав используются для получения результатов об асимптотической устойчивости и неустойчивости по двум мерам неавтономной системы функционально-дифференциальных уравнений. Соответствующее определение меры и обобщённые определения устойчивости приведены в первом разделе.

Второй раздел посвящен уравнениям с конечным запаздыванием. Доказаны теоремы об устойчивости и неустойчивости по двум мерам в стиле теорем А.А.Мовчана [30], теоремы об асимптотической устойчивости и неустойчивости по двум мерам предкомпактной системы в предположении существования функции Ляпунова, которая вместе со своей производной удовлетворяет условиям предкомпактности; аналогичные теоремы для системы с вполне непрерывной правой частью в предположении существования функции Ляпунова, удовлетворяющей более общим предположениям.

В третьем разделе изложены аналогичные результаты для систем с бесконечным запаздыванием, основанные на введённом во второй главе понятии пары Ляпунова-Разумихина и полученных там же результатах, касающихся предельных систем и предельного множества для неавтономной системы, удовлетворяющей условиям предкомпактности.

Автором защищаются следующие научные положения:

• методы исследования притяжения, асимптотической устойчивости и неустойчивости по двум мерам для неавтономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений в предположении ограниченности решений и без него. Эти методы основаны на использовании функций Ляпунова со знакопостоянной производной и асимптотических свойств решений этой системы, определяемых её топологической динамикой;

® методы исследования притяжения, асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения неавтономной системы функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа

с конечным и бесконечным запаздыванием. В их основе - применение предельных уравнений и конечномерных функций Ляпунова, позволяющих оценить асимптотические свойства ограниченных решений;

• аналогичные методы исследования притяжения, асимптотической устойчивости и неустойчивости по двум мерам для неавтономной системы функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа как с конечным, так и с бесконечным запаздыванием.

Полученные результаты могут использоваться при исследовании обыкновенных и функционально-дифференциальных уравнений с точки зрения асимптотического поведения их решений, и, следовательно, применимы в задачах анализа динамических свойств широких классов систем разнообразной природы.

Отдельные результаты диссертации обсуждались:

- на Международной конференции «Моделирование и исследование устойчивости систем» (Киев, 19.05-23.05 1997 г.);

- на VII Четаевской конференции «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением» (Казань, 10.06-13.06 1997 г.)

- на Международной конференции по дифференциальным уравнениям и их приложениям «Equadiff 9» (Брно (Чехия), 25.08-30.08 1997 г.)

- на научном семинаре кафедры кибернетики, управления и устойчивости МГИЭиМ под руководством В.Б.Колмановского, В.Р.Носова, В.Н.Афанасьева (апрель 1998 г.)

- на Международном Конгрессе «Нелинейный анализ и его приложения.» (Москва, 01.09-05.09 1998 г.)

Основные результаты диссертации изложены в 10 работах [7] ,[44]-[48],[57],[58],[92],[93]. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 96 наименований источников отечественных и зарубежных авторов.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Седова, Наталья Олеговна

Заключение.

Доказанные теоремы и иллюстрирующие их примеры показывают, что анализ предельного поведения решений и свойств предельных систем позволяют получить новые утверждения, относящиеся к прямому методу Ляпунова, которые применимы к достаточно широкому классу дифференциальных систем и для этих систем позволяют получить более общие условия асимптотической устойчивости и неустойчивости в терминах двух абстрактных мер, чем известные результаты. При этом, конкретизируя меры в используемом обобщённом определении устойчивости, можно применять полученные результаты к изучению различных свойств самых разнообразных движений и систем. В заключение приведём краткое изложение полученных результатов.

1) Описаны новые методы исследования притяжения, асимптотической устойчивости и неустойчивости по двум мерам для неавтономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений (в предположении ограниченности решений и без него), полученные в предположении существования функции Ляпунова со знакопостоянной вдоль решений производной с учётом структуры предельных множеств решений этой системы. В качестве примера рассматривается двумерная система с предкомпактной правой частью, для которой получены достаточные условия равномерной асимптотической устойчивости и неустойчивости условно инвариантного множества.

2) Доказаны новые теоремы о локализации положительного предельного множества, различных видов асимптотической устойчивости (простой, равномерной, равномерной по начальным данным), и неустойчивости нулевого решения неавтономной системы функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа с конечным и бесконечным запаздыванием (последние рассматриваются в допустимых фазовых пространствах). Эти результаты получены при условии существования функций Ляпунова со знакопостоянной вдоль решений из некоторого множества производной, в предположении предкомпакт-ности правой части системы, что позволяет анализировать асимптотические свойства ограниченных решений.

3) Рассмотрены примеры систем с конечным запаздыванием, для которых доказанные теоремы позволяют получить достаточные условия асимптотической устойчивости и неустойчивости, более общие, чем получаемые другими известными методами. В частности, исследована асимптотическая устойчивость нестационарного режима работы ядерного реактора с двумя связанными активными зонами (исследование устойчивости стационарного режима такого реактора проведено в работе [13]); получены более общие результаты для примеров из [15], [78] и др. Приведён ряд примеров уравнений с неограниченным запаздыванием (как с предкомпактной, так и с вполне непрерывной правой частью), иллюстрирующих использование различных пространств в качестве фазовых для получения достаточных условий асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения. В частности, для нелинейного уравнения типа Вольтерра получена теорема об асимптотической устойчивости, обобщающая соответствующий результат статьи [94].

4) На основе результатов, описанных в п. 1,2, разработаны новые методы исследования притяжения, асимптотической устойчивости и неустойчивости по двум мерам для неавтономных систем функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа как с конечным, так и с бесконечным запаздыванием (в предположении ограниченности решений).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Седова, Наталья Олеговна, 1999 год

Библиографический список использованной

литературы.

[1] Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. - М.: Наука, 1991.

[2] Анаполъский Л.Ю., Иртегов В.Д., Матросов В.М. Способы построения функций Ляпунова. Ц Итоги науки и техники. Общая механика. -1975. - Т.2. - С.53-112.

[3] Андреев A.C. Методы исследования устойчивости неавтономных уравнений. Учебное пособие. - Ульяновск, изд. фМГУ, 1994.

[4] Андреев A.C. Об асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения неавтономной системы. Ц ПММ. - 1984. - Т.48, вып.2. - С.225-232.

[5] Андреев A.C. Об исследовании частичной асимптотической устойчивости и неустойчивости на основе предельных уравнений. Ц ПММ. -1991. - Т.55, вып.4. - С.539-547.

[6] Андреев A.C. Об устойчивости неавтономного функционально-дифференциального уравнения. Ц Доклады Российской Академии наук. - 1997. - Т.356, №2. - С.151-153.

[7] Андреев A.C., Седова И.О. К задаче об устойчивости по двум метрикам. Ц Тезисы Украинской конференции «Моделирование и исследование устойчивости систем». - Киев, 1996. - С.4.

[8] Андреев A.C., Хусанов Д.Х. О притяжении решений неавтономного функционально-дифференциального уравнения. Ц Межвуз. сб. «Функциональный анализ». - Ульяновск, УГПИ. - 1992. - вып.З. - С.16-23.

[9] Барбашин Е.А., Красовский H.H. Об устойчивости движения в целом. // Докл. АН СССР. - 1952. - Т.86, №3. - С.453-546.

[10] Волътерра В. Математическая теория борьбы за существование. - М., Наука, 1976. - 286 с.

[И] Волътерра В. Теория функционалов, интегральных и интегродиффе-ренциальных уравнений. - М., Наука, 1982. - 302 с.

[12] Гайшун И. В. Асимптотическая устойчивость одной системы с запаздыванием. Ц Дифференциальные уравнения. - 1972. - Т.8, №5.

[13] Горяченко В.Д. Методы исследования устойчивости ядерных реакторов. - М., Атомиздат, 1977. - 296 с.

[14] Зверкин A.M. Зависимость устойчивости решений линейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом от выбора начального момента. Ц Вест. Моск. ун-та. Сер. мат.,мех.,астр. - 1959. -№5. - С.15-20.

[15] Ким A.B. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости систем с последействием. - Екатеринбург, изд. Уральского универс., 1992.

[16] Ким A.B. Ко второму методу Ляпунова для систем с последействием. / Дифференц. уравнения. - 1985. - Т.21, №3. - С. 385-391.

[17] Колмановский В.Б. Об устойчивости нелинейных систем с запаздыванием. // Мат. заметки. - 1970. - Т.7, №6. - С.743-751.

[18] Колмановский В.Б. Об устойчивости некоторых систем с произвольным последействием. Ц Докл. РАН. - 1993. - Т.331, №4. - С.421-424.

[19] Колмановский В.Б., Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. М.: Наука, 1981. - 448 с.

[20] Красовский H.H. Об асимптотической устойчивости систем с последействием. // ПММ. - 1956. - Т.20, №4. - С.513-518.

[21] Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения. -М.: Гостехиздат, 1959. - 211 с.

[22] Красовский H.H. О применении метода функций Ляпунова для уравнений с последействием. / ПММ. - 1956. - Т.20, вып.2. - С.315-327.

[23] Ла-Саллъ Ж., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. - М.: Мир, 1964. - 168 с.

[24] Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. Собр. соч. -М.: Изд-во АН СССР. - 1956, Т.2. - 472 с.

[25] Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966. - 530 с.

[26] Матросов В.М. Метод векторных функций Ляпунова в анализе сложных систем с распределёнными параметрами. // А и Т. - 1973. - №1. -С.5-22.

[27] Матросов В.М. Нелинейный анализ динамики и управления сложных систем с распределёнными параметрами. Ц Дифферен. уравнения. -1990. - Т.26, №11. - С.1843-1859.

[28] Матросов В.М., Анаполъский Л.Ю., Васильев С.Н. Метод сравнения в математической теории систем. - Новосибирск: Наука, 1980. - 481 с.

[29] Мовчан A.A. О прямом методе Ляпунова в задачах устойчивости упругих систем // ПММ. - 1969. - Т.23, вып.З. - С.483-494.

[30] Мовчан A.A. Устойчивость процессов по двум метрикам. Ц ПММ. -1960. - Т.24, вып.6. - С.988-1001.

[31] Моисеев H.H., Румянцев В.В. Динамика тела с полостями, содержащими жидкость. - М.; Наука, 1965. - 439 с.

[32] Морозов В.М., Рубановский В.Н., Румянцев В.В., Самсонов В.А. О бифуркации и устойчивости установившихся движений сложных механических систем. // ПММ. - 1973. - Т.37, вып.З. - С.387-399.

[33] Пожарицкий Г.К. О влиянии вязкости на устойчивость равновесия и стационарных вращений твёрдого тела с полостью, частично заполненной жидкостью. // ПММ. - 1964. - Т.28, вып.1. - С.60-67.

[34] Прасолов A.B. О применении функций Ляпунова для исследования неустойчивости решений систем с последействием. Ц Вест. ЛГУ. - 1981.

- Сер.1, №19. - С.116-118.

[35] Прасолов A.B. Признаки неустойчивости для систем с последействием. // Вест. ЛГУ. - 1988. - Сер.1, №3. - С.108-109.

[36] Разумихин B.C. Метод исследования устойчивости систем с последействием. // Докл. АН СССР. - 1966. - Т.167, №6. - С. 1234-1237.

[37] Разумихин B.C. Об устойчивости систем с запаздыванием. Ц ПММ. -1956. - Т.20, №4. - С.500-512.

[38] Разумихин B.C. Прямой метод теории устойчивости систем с последействием. Ц Успехи мат. наук. - 1983. - Т.38, вып.5(233). - С.130.

[39] Разумихин B.C. Устойчивость эредитарных систем. - М.: Наука, 1988.

- 108 с.

[40] Румянцев В. В. Метод функций Ляпунова в теории устойчивости движения. В кн.: Механика в СССР за 50 лет. Т.1. - М.: Наука, 1968. -С.7-66.

[41] Румянцев В. В. О развитии исследований в СССР по теории устойчивости движения. Ц Дифферен. уравнения. - 1983. - Т.19, №5. - С.739-776.

[42] Румянцев В.В., Озиранер A.C. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных. - М.: Наука, 1987. - 253 с.

[43] Руш П., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. - М.: Мир, 1980. - 300 с.

[44] Седова И.О. Об исследовании устойчивости неавтономого ФДУ на основе функций Ляпунова и предельных уравнений. Ц Тезисы докладов Международной Конференции «Моделирование и исследование устойчивости систем». - Киев, 1997. - С.98.

[45] Седова Н.О. Об исследовании устойчивости неавтономого ФДУ на основе функций Ляпунова и предельных уравнений. Ц Тезисы докладов VII Четаевской конференции «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением». - Казань, 1997. - С.64.

[46] Седова Н.О. Об устойчивости по двум мерам неавтономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. - Ульяновск, 1997. - 32 е.- Рукопись рекомендована Ульяновским гос. университетом. Депо-нир. в ВИНИТИ, 01.04.97, N1022-B97.

[47] Седова Н.О. Метод функций Ляпунова и предельных уравнений в задаче об устойчивости ФДУ с конечным запаздыванием. Ц Фундаментальные проблемы математики и механики, Уч. записки УлГУ. - 1997. - Вып.4. - С.87-90.

[48] Седова Н.О. К задаче о неустойчивости для уравнений с неограниченным запаздыванием. / Фундаментальные проблемы математики и механики, Уч. записки УлГУ (в печати).

[49] Сиразетдинов Т.К. Устойчивость систем с распределёнными параметрами. Казань: Из-во Казанского авиац. ин-та, 1971. - 180 с.

[50] Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.:Мир, 1984. - 421 с.

[51] Хусаинов Д.Я., Шарковский А.Н. Об устойчивости решений дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. В кн.: Функциональные и дифференциально-разностные уравнения. Киев: Изд-е ин-та математики АН УССР, 1974. - С.141-147.

[52] Четаев Н.Г. Устойчивость движения. - М.: Наука, 1990. - 240 с.

[53] Шестаков A.A. Обобщённый прямой метод Ляпунова для систем с распределёнными параметрами. - М.: Наука, 1990. - 316 с.

[54] Шиманов С.Н. О неустойчивости движения систем с запаздыванием во времени. // ПММ. - 1960. - Т.24, №1. - С.55-63.

[55] Шиманов С.Н. Устойчивость систем с запаздыванием. Ц Труды II Всес. с'езда по теорет. и прикл. механике. Москва, 1964. - М.: Наука, 1965. - С.170-180.

[56] Элъсголъц Л.Э., Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. - М.: Наука, 1971. - 296 с.

[57] Andreev A., Sedova N. Liapunov-Razumikhin functions and stability of nonautonomous differential equation with delay. - Abstracts of Intern. Congress «Nonlinear analysis and its applications». - Москва, 1998. - С.60.

[58] Andreev A., Sedova N. On the stability of nonautonomous equations with delay via limiting equations. Ц Func. Diff. Equations (Israel). 1998. - Vol. 5, №1-2. - p.21-39.

[59] Artstem Z. Topological dinamics of ordinary differential equations. Ц J. Differ. Equations 23 (1977), p.216-223.

[60] Artstem Z. The limiting equations of nonautonomous differential equations. // J. Differ. Equations 25 (1977), p.184-202.

[61] Artstem Z. Uniform asymptotic stability via limiting equations. Ц J. Differ. Equations, 27 (1978), p.172-189.

[62] Atkinson F. and Haddock J. On determining phase spaces for functional differential equations. Ц Funkcial.Ekvac. 31(1988), p.331-348.

[63] Bernfeld S.R., Haddock J.R. Liapunov-Razumikhin functions and convergence of solutions of functional-differential equations. Ц Appl. Anal. 4(1979), p.235-245.

[64] Burton T.A. Uniform asymptotic stability in functional differential equations. // Proc. Amer. Math. Soc. 68(1978), p.195-199.

[65] Burton T.A., Hatvani L. Stability theorems for nonautonomous functional differential equations by Liapunov functionals. Ц Tohoku Math. Journ. 41(1989), p.65-104.

[66] Burton T.A., Hatvani L. On nonuniform asymptotic stability for nonau-tonomous functional differential equations. / Differ, and Integral Equat. 3(1990), p.285-293.

[67] Corduneanu C. and Lakshmikantham V. Equations with unbounded delay: a survey. / Nonlinear Analysis, Theory, Methods ¿¿Applications, 4 (1980), p.831-877.

[68] Driver R.D. Existence and stability of solutions of a delay-differential system. / Arch. Ration. Mech. and Anal. 10(1962), p.401-426.

[69] Grimmer R. and Seifert G. Stability properties of Volterra integridifferen-tial equations. / J. Differential equations 19 (1975), p.147-166.

[70] Haddock J. and Terjeki J. Liapunov-Razumikhin functions and an invariance principle for functional differential equations. / J. Differential equations, 48 (1983), p.95-122.

[71] Haddock J. and Hornor W. Precompactness and convergence in norm of positive orbits in a sertain fading memory space. / Funkcial.Ekvac., 31 (1988), p.349-361.

[72] Haddock J. and Terjeki J. On the location of positive limit sets for autonomous functional differential equations with infinite delay. / J. Differential equations, 86 (1990), p.1-32.

[73] Haddock J., Krisztin T., Terjeki J. Invariance principles for autonomous functional differential equations. / J.Integral Equat., 10 (1985),p.123-136.

[74] Hale J. Functional differential equations with infinite delays. / J. of Math.Analysis and Applic., 48 (1974), p.276-293.

[75] Hale J. and Kato J. Phase space for retarted equations with infinite delay. // Funkcialai Ekvacioj, 21(1978), p.11-41.

[76] Hino Y. Stability properties for functional differential equations with infinite delay. / Tohoku Math. J., 35 1983, p.597-605.

[77] Hmo Y., Murakami S. Stability properties of linear Volterra equations, / J. Differential equations, 89 (1991), p.121-137.

[78] Hornor W.E. Invariance principles and asymptotic constancy of solutions of precompact functional differential equations. / Tohoku Math. J., 42(1990), p.217-229.

[79] Kato J. Asymptotic behavior in functional differential equations with infinite delay. H Lecture Notes Math., 1982, №1017, p.300-312.

[80] Kato J. On Liapunov-Razumikhin type theorems. / Lect. Notes Math., 243(1971), p.54-65.

[81] Kato J. Stability problem in functional differential equations with infinite delay. // Funkcial. Ekvac., 21 (1978), p.63-80.

[82] Kato J. and Yoshizawa T. Remarks on global properties in limiting equations. // Funkcialaj Ekvasioj, 24(1981), p.363-371.

[83] Lakshmikantham V. and Xinzhi Liu. On asymptotic stability for nonau-tonomous differential systems. / Nonlinear Analysis, Theory, Methods & Applications, 13(1989), p.1181-1189.

[84] Lakshmikantham V. and Xmzhi Liu. Perturbing families of Lyapunov functions and stability in terms of two measures. / J. Math. Analysis and

. Applic., 14(1989), p.107-114.

[85] Lakshmikantham V. and Leela S. A unified approach to stability theory for differential equations with infinite delay. / J. Integral Equations, 10 (1985), p.147-156.

[86] Makay G. On the asymptotic stability in terms of two measures for functional differential equations. / Nonlinear Analysis, Theory, Methods h Applications, 16 (1991), p.721-727.

[87] Mikolajska Z. Une remarque sur des notes der Razumichin et Krasovskij sur la stabilité asimptotique. / Ann. Polon. Math., 22 (1969), p.69-72.

[88] Murakami S. Perturbation Theorem for functional differential equations with infinite delay via limiting equations, / J. Differential equations, 59 (1985), p.314-335.

[89] Parrott M. Convergence of solutions of infinite delay differential equations with an underlying space of continuous functions, jj in «Lecture Notes in Mathematics», Vol.846, Springer-Verlag, New-York, 1981.

[90] Salvadori L. Some contributions to asymptotic stability theory. / Ann. Soc. Sci. Bruxelles, 88 (1974), p.183-194.

[91] Sell G.R. Nonautonomous differential equations and topological dynamics. // Trans. Amer. Math. Soc., 127 (1967), p.214-262.

[92] Sedova N. On the stability of nonautonomous functional differential equation via limiting equation. Abstracts, Enlarged Abstracts of «Equadiff 9», Conference on Differential Equations and Their Applications. - Masaryk University, Brno, 1997. - P. 175-176.

[93] Sedova N. Asymptotic properties of solutions of nonautonomous FDE with finite delay // Conf.«Dyn.Syst.; Stab.,Contr.,Optim.», Abstracts. - Minsk, Belarus, 1998. - V.2. - P.240-243.

[94] Seifert G. Liapunov-Razumikhin conditions for asymptotic stability in functional differential equations of Volterra type, / J. Differential equations, 16 (1974), p.289-297.

[95] Terjéki J. On the asymptotic stability of solutions of functional differential equations. / Armalea Polonici Mathematici, 36 (1979), p.299-314.

[96] Wang Z. Comparison method and stability problem for functional differential equations, // Tohoku Math.J. 35 (1983), p.349-356.