Метод кососимметричной регуляризации для решения равновесных задач тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.09, кандидат физико-математических наук Шпирко, Сергей Валерьевич

• Шпирко, Сергей Валерьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Шпирко, Сергей Валерьевич

Введение

1 Кососимметричные функции и их свойства

§1.1 Кососимметричные функции и их свойства.

§1.2 Задача равновесного программирования.

§1.3 Слабая равновесная задача.

§1.4 Слабое решение сильно кососимметричных задач.

§1.5 Свойства оценочных функций.

2 Методы решения сильно кососимметричной задачи

§2.1 Метод проекции градиента.

§2.2 Метод усреднений.

§2.3 Экстраградиентный метод с фиксированной длиной шага

§2.4 Экстраградиентный метод с переменной длиной шага

§2.5 Сравнительная характеристика методов

3 Метод кососимметричной регуляризации

§3.1 Метод непрерывной кососимметричной регуляризации

§3.2 Метод итеративной регуляризавцщ «#».

§3.3 Регуляризация с постоянным параъ£ет]Ьо&*?*.

§3.4 Метод регуляризации с отслеживанием.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метод кососимметричной регуляризации для решения равновесных задач»

Равновесное программирование [4, 8, 9] можно рассматривать как одно из обобщений таких устоявшихся областей знаний как математическое программирование и теория игр. Актуальность развития теории и методов решения равновесных задач очевидна, поскольку именно эти задачи описывают на модельном уровне сложные ситуации, связанные с поиском компромисса и согласования частично (или полностью) противоположных интересов сторон конфликта [22, 33, 35].

Рассмотрим одну из постановок равновесной задачи, предложенную Антипиным А.С. [4, 5], - найти точку v* 6 V, удовлетворяющую неравенству:

Ф(и*, и*) < Ф(г>*, w) Vw£V. (1)

Эта задача представляет собой экономическую модель взаимодействия нескольких участников с совокупной стратегией w из допустимого множества V и функцией издержек (целевой функцией) Ф(г),и>). Здесь первая переменная v играет роль параметра, а вторая w - роль переменнной оптимизации. Таким образом, данная задача описывает ситуацию равновесия, при которой всем участникам не выгодно уклоняться от точки равновесия v*. что в противном случае приведет к увеличению функции издержек Ф(и",гс).

К конструкции (1) сводятся многие известные математические модели [2, 4]:

Седловые задачи

Пусть L(x,p) - непрерывная, выпуклая по ж и вогнутая по у функция, заданная на произведении выпуклых множеств X х Q. Седловая точка (х*,р*) находится как решение системы неравенств

L{x\p) < Ь{х'У) < L(x, р') Ух €Х, р£ Q, (2) что эквивалентно задаче - найти х' € Argmin{L(zjf) | г £ A'}, f 6 Argmin{-L{x*,у) | у Е Q}.

Введем переменные го = (z, у), v = (х,р) и рассмотрим нормализованную функцию (свертку) [32]

Ф(v,w) = L(z,p) - L(x,y). (3)

Тогда не трудно показать, что исходную седловую задачу можно свести к виду (1) - найти v* = (х*,р*): v* £ Argmin{<5>(v*, w) = L(z,p*) - L{x*,y) \ w = (z,y) £ X x Q}. Вариационные неравенства

Пусть задан непрерывный оператор А : V V. Задача вариационного неравенства заключается в нахождении точки v* £ V:

Av*, w - v*) >0 Vio е V.

He трудно заметить, что такая задача сводится к (1), если положить Ф(у,ги) = {/It1, w).

Игры п-лиц с равновесием по Нэшу

Пусть на рынке действуют n-игроков, каждый из которых имеет свою непрерывную функцию затрат ft(v) — /;(г>,, заданную на V = Vi х . xVtx . х Уп. Здесь V{ £ Уг - собственная стратегия, а г>, = (ul5., vt+1,., vn) £ Vi x . x V;-1 x Vi+\ x . x Vn - стратегии остальных участников. Задачей каждого игрока является минимизация своих затрат при условии, что остальные участники придерживаются своих стратегий, т.е. нужно найти (v*,., v*,., v*) £ V : fi(vhv-i) < fi(wi> VU) Vи,г eK г = 1,., п. Если ввести свертку и

1 = 1 то исходную игру также можно представить в виде (1). Задачи выпуклой и гладкой оптимизации

Пусть задана выпуклая, дифференцируемая функция /(и), где v £ V. Задача оптимизации заключается в отыскании точки и* £ V: f = f(v*)<f(v) W£V, что в данном случае эквивалентно поиску v* £ V: f'{v*),w-v*}> 0 Viu£V. Если положить Ф(г\ а>) = (f'(v),w), то эта задача также может быть сведена к

Обратные задачи линейного программирования

В простейшем виде данная задача формулируется следующим образом: необходимо так подобрать параметр р = р*, чтобы решение х* линейной параметрической задачи

Cz,p} —> min, Az < b, z > 0 попадало бы в наперед заданное множество D:

D = {х | Dx < d,x > 0}.

Не трудно показать, что данную задачу можно представить в виде игры двух лиц с равновесием по Нэшу: х* € Argmin{(Cz,p*) \ Az < b, z > 0}; (4) р* € Argmin{(d — Dx*,у) | у > 0}. Действительно, последнее экстремальное включение эквивалентно неравенству d- Dx*,f) <{d- Dx\y) Vy> 0, откуда следует (d — Dx*,p*) = 0. Теперь если допустить, что какая-нибудь компонента вектора d — Dx* строго отрицательна, то в силу произвольности у > 0 приходим к противоречию с неравенством

0 = (d- Dx*,p*) < (d- Dx*,y) Vy > 0.

Таким образом, решение задачи (4) является решением обратной задачи линейного программирования, и наоборот.

Положим теперь v = (х,р), w = (z,y) и рассмотрим свертку

Ф(и,ю) = (Cz,p) + (d- Dx,y), Az < b,Ax < b, x > 0,y > 0,z > 0,p > 0.

Отсюда не трудно убедиться, что обратная задача также может быть выражена в терминах задачи (1) с данной функцией Ф(г>,и;).

Возвращаясь к задаче (2), отметим, что после нормализации "седловитость" исходной задачи проявляется в виде свойства антисимметричности нормализованной функции:

Ф(г>, и>) - -Ф(w, v).

Естественным обобщением понятия антисимметричности является введенное Антипиным А.С. [4] условие кососимметричности:

Ф(и,г;) - - Ф(ги,и) + > 0 Vv,weV. (5)

Первый параграф первой главы диссертации как раз и посвящен выяснению свойств кососимметричных функций. В частности, в нем устанавливаются необходимые условия кососимметричности первого и второго порядков.

Наряду с (5) рассматривается важное условие сильной кососимметричности:

Ф(и,и) - Ф(и,к;) - Ф(го,г>) + Ф(ги,ю) > j3 ||t> - го||2 (6)

По аналогии с (5) устанавливаются необходимые условия сильной кососимметричности первого и второго порядков.

Во втором параграфе исследуется общая задача равновесного программирования (1):

Ф(г>*, v*) < Ф(и*, w) Vu>€ V.

В дальнейшем подразумевается, что относительно данной задачи выполнено

Предположение 1. Подмножество V конечномерного метрического пространства Rn - выпукло и замкнуто, а функция Ф(и,ги), заданная на произведении подмножеств V х V, выпукла по го и дифференцируема по w при фиксированном v, и удовлетворяет условию кососимметричности (5).

Важно подчеркнуть, что при сделанном Предположении 1 задача (1) эквивалентна решению вариационного неравенства

У2Ф(и*,и*),го - и*) > 0 VioGV, где через Х^Ф^и) обозначен частный градиент функции Ф(и,ю) по второй переменной w, взятый на диагонали w — v.

Принципиальный вопрос о существовании решения равновесной задачи разрешает теорема Какутани [2, 6, 33].

Дело в том, что при Предположении 1 целевая функция Ф(и,гу) порождает непустое точечно-множественное отображение, а именно каждой точке v из допустимого множества V она ставит в соответствие выпуклое, замкнутое подмножество

M(v) = Агдтт{Ф(у,и;) | w £ V}.

Тогда согласно теореме Какутани, если множество V - выпуклый компакт, а функция Ф(г>, гу) непрерывна по совокупности переменных, и выпукла по w при фиксированной v, то существует точка v*, которая содержится в своем образе M(v*), т.е. множество V* решений задачи (1) будет не пусто.

В связи с этим приводится конкретный пример, показывающий, что непрерывность целевой функции является существенным требованием теоремы.

В случае сильной кососимметричности устанавливается единственность решения задачи (1).

С равновесной задачей (1) тесно связана следующая задача - найти v G V :

Ф(го, г>) < Ф(ги,ю) \/w G V. (7)

Если функция Ф(и,ги) кососимметрична (5), то любое решение задачи (1) является решением и задачи (7). И, в обратную сторону, если $(v,w) выпукла и непрерывна по w, то решение (7) будет решением (1).

При этом заметим, что в случае выпуклости и непрерывности функции Ф(и,ш) по w множество V решений задачи (7) выпукло и замкнуто.

Предположим, что значение функции Ф(у,ги) есть прогноз проигрыша игроков, применяющих в настоящий момент совокупную стратегию v от замены v на w.

Тогда решение v можно считать точкой притяжения этой игры. Находясь в точке v* € V*, игроки никогда не захотят изменить эту стратегию. Находясь же вне множества V, игроки всегда будут стремиться туда придти. Интуитивно ясно, что условия для существования точек v должны быть слабее, чем для точек v*.

Обоснованием данного утверждения служит следующая теорема, доказанная в третьем параграфе.

Теорема. Если выполнено Предположение 1 и множество V ограничено, то задача (7) имеет хотя бы одно решение.

Заметим, что для существования решения (7) не требуется, в отличие от (1), непрерывность функции Ф(v,w) по v. Таким образом, исходная задача (1) обладает одним недостатком.

А именно, для некоторых важных классов оптимизационных постановок ( в частности, теории негладкой оптимизации) решения в смысле (1) не существует даже если такое решение корректно определено в исходной задаче.

Заметим,что устоявшегося названия для задачи (7) еще нет. Так, в [26] подобную задачу, выраженную в терминах вариационных неравенств, называют дуальной задачей. Но как следует из вышеизложенного материала, задача (7) имеет решение при более слабых требованиях, чем исходная задача (1). Поэтому в данной диссертации естественно рассматривать задачу (7) как обобщенную, слабую задачу, а задачу (1) как сильную.

В следующем, четвертом параграфе исследуется вопрос существования слабого решения (7) с сильно кососимметричной целевой функцией Ф(и, w). В этом случае удается доказать теорему существования без требования ограниченности допустимого множества.

Теорема. Если выполнено Предположение 1 и функция Ф(v,w) сильно кососимметрична (6) с константой (3, то задача (7) имеет единственное решение v, причем удовлетворяющее неравенству

Ф(го, и) + /3 ||гу — £>||2 < Ф(го, го) Vu; 6 V.

В то же время, как показывает приведенный пример, сильного решения (1) может и не существовать.

Естественной мерой сходимости метода к решению является невязка по аргументу |[v — и*||. Поскольку без дополнительного предположения о сильной кососимметричности функции Ф(г>, w) получения оценки для такой меры мы гарантировать не можем, приходится использовать более слабую меру сходимости по функционалу [24, 29, 31]. А именно для сильной задачи (1) вводится оценочная функция г>) = зир{Ф(г>, v) - Ф(и,ги)}, v € V, wev а для слабой задачи (7) - функция n{v) = эир{Ф(гг>,и) — Ф(гг>,и;)}, v 6 V. wev

Пятый, заключительный параграф первой главы посвящен выяснению свойств данных оценочных функций.

Прежде всего устанавливается, что данные функции являются характеристическими, т.е. они неотрицательны и принимают на соответствующем множестве решений и только на нем нулевые значения.

Таким образом, по значению данной функции можно судить о близости точки v к множеству решений равновесной задачи.

Не ограничивая общности рассуждений, считаем, что £(и) и fi(v) заданы на ограниченном множестве (diamV = R). В противном случае (когда V неограни-чено) будем рассматривать сильную и слабую меры заданными на пересечении V с шаром достаточного большого радиуса Я, содержащим соответствующую точку решения.

Далее, следуя работам [29, 30, 31], в качестве оценки эффективности методов предлагается использовать показатель трудоемкости (Л^ для сильной, а Nд для слабой задачи).

Он показывает сколько нужно сделать итераций метода, чтобы получающаяся при этом погрешность ({(vk) или fi(vk)) не превосходила заданного малого числа е.

В данной диссертации методы решения равновесной задачи исследуются на двух классах функций Ф(и, го): с липшицевым и равномерно ограниченным градиентом У2Ф(г>,ги). Здесь через УгФ(и,гу) обозначен частный градиент функции Ф(гуи>) по второй переменной w.

Вторая глава посвящена исследованию методов градиентного типа [4, 21] для решения сильно кососимметричной равновесной задачи.

В первом параграфе второй главы для решения задачи (1) рассматривается метод проекции градиента: vk+1 = nw(vk-akVMvk,vk))- (8)

На классе функций с липшицевым градиентом сходимость с постоянным шагом cv/j = а доказана в [4]. В данной диссертации сходимость на классе функций с равномерно ограниченным градиентом устанавливается при условии убывания к нулю длины шага Для нормы \\vk — i>*|| и слабой меры fj,(vk) выводятся оценки сходимости. На конкретном примере показывается, что условие убывания оск является существенным требованием для сходимости.

Во втором параграфе для поиска слабого решения (7) рассматривается метод усреднения. В его основе лежит идея модификации метода проекции градиента, а именно вместо последовательности из (8) рассматривается последовательность средних значений {vk}, где

9) г=0 г=0 т.е. рассматривается суммирование по Чезаро [10, 17]. Поскольку непосредственное применение формул (9) затруднительно, то предлагается пересчет точек vk по определенным рекуррентным формулам. В данной диссертации на классе функций с равномерно ограниченным градиентом удается установить сходимость метода и вывести оценки для — и|| и fi(vk). Строится пример, показывающий, что требование убывания к нулю длины шага ак является существенным для сходимости метода.

В третьей параграфе для решения сильной задачи (1) предлагается экстраградиентный метод, разработанный Корпелевич [27] и Антипиным [3, 5]. В основе данного метода лежит идея прогноза, а именно вначале находится прогнозная точка й* = тг (и*-аУ2Ф(и*У)), а затем вычисляется очередное приближение vk+1 = jrv{vk -аЧ2Ф(йк,йк)).

Как и в случае с методом (8), липшицевость градиента целевой функции обеспечивает сходимость экстраградиентного метода с постоянным шагом ак = а. При этом трудоемкость данного метода составляет величину 0( 1/к-.1п(1/е)).

Здесь через к обозначено отношение константы сильной кососимметричности и константы Липшица, которое можно рассматривать как степень обусловленности задачи. Как следует из [29, 31], данная трудоемкость является неулуч-шаемой на данном классе задач, и в этом смысле экстраградиентный метод является оптимальным.

В четвертом параграфе рассматривается модификация экстраградиентного метода в случае, когда константа Липшица задана неточно.

Возвращаясь к равновесной задаче (1), замечаем, что она не является устойчивой. Так, простые примеры показывают, что даже малое возмущение исходных данных приводит к тому, что задача перестает быть разрешимой, а если и имеет решение, то недопустимо далекое от исходного. Поэтому для ее решения приходится применять методы решения некорректных задач.

Одним из таких методов является метод регуляризации по А.Н. Тихонову, развиваемый для задач равновесного программирования в работах Ф.П. Васильева, А.С. Антипина, А.Б. Бакушинского, А.В. Гончарского и других [7, 12, 15, 16, 37].

В основе данной регуляризации лежит идея приближения решения исходной задачи решением возмущенной задачи с улучшенными свойствами.

Так, в [12] исходная задача регуляризируется с помощью сильно выпуклого стабилизатора Vt{w) = ||Н|2. Тогда при определенном согласовании параметров метода устанавливается сходимость последовательности регуляризованных решений к нормальному решению (элементу с минимальной нормой на множестве V'*) исходной задачи. При этом заметим, что данная функция tt(w) является просто кососимметричной функцией. Следовательно, наработанный во второй главе математический аппарат к такой регуляризованной задаче не применим.

С учетом этих рассуждений в третьей главе для решения (1) предлагается и исследуется метод кососимметричной регуляризации.

Для этой цели мы предлагаем ввести сильно кососимметричную функцию

Q,(v, w) = (и, го), г;,гг>еУ, и перейти к решению регуляризованной задачи - найти vp £ V:

Ф< Vw € v, (10) где

Ф/з(и, w) = Ф(v,w) + (3 Q(v,w).

Важно подчеркнуть, что данная регуляризованная задача эквивалентна решению следующего вариационного неравенства:

У2Ф(ур,ир) + (3 vp)w-vp) > 0 Vw€V.

Заметим, что факт сильной кососимметричности регуляризованной задачи обеспечивает единственность ее решения vp (если оно есть).

Таким образом, параметрическое семейство задач (10) порождает однозначную траекторию {vp}.

Заметим при этом, что данная функция tt(v,w) не удовлетворяет стандартным требованиям, предъявляемым к стабилизатору. В частности, она не является неотрицательной функцией. Однако кососимметричная регуляризация также обеспечивает устойчивость и сходимость траектории {vp} к решению исходной задачи (1).

В первом параграфе исследуется метод непрерывной кососимметричной регуляризации. Доказывается монотонная сходимость при fi —> 0 траектории {vp} к решению v* G V*, а точнее к проекции проксцентра (в данном случае это точка ноль) на множество V*.

В случае с неточно заданной целевой функцией указываются условия согласования параметров.

Во втором параграфе рассматривается случай с неточно заданным частным градиентом целевой функции. А именно предположим, что в каждой точке v £ V градиент У2Ф(и,и) вычисляется со сколь угодно малой погрешностью:

У2Ф('У,г;) — У2Ф(и,г>)|| < <£fc(l + IMD- (П)

В этом случае для поиска сильного решения v* £ У* развивается метод итеративной регуляризации, в которой шаг итеративного метода сочетается с уменьшением параметра регуляризации /3 [7, 12]. В данной диссертации исследуется вариант метода, когда в качестве основы выбран экстраградиентный метод: чк = тTw(vk - ак + /Зк vk)), vk+l = nY(vk - ак (Х?кФ(йк,ик) + 0к йк)).

Доказывается сходимость метода при следующих условиях согласования параметров: со lmf3k = lim^jfc = 0, = +ос, к=о

0к+1 < (Зк, lim ——=0, lim = 0 при к оо. афк Рк

На практике погрешность в задании исходных данных остается больше некоторого фиксированного числа. Поэтому вместо (11) более реальным выглядит условие:

У2Ф(г>,и) - < 5{l + |MI) Vi; € V, где 5 - фиксированно.

Следуя работам Ф.П. Васильева [15, 16], для предложенного метода с реализациями УзФ(г>, v) = v), Л: = 0,1,. сформулировано правило останова и построен регуляризирующий оператор.

В следующих двух параграфах рассматриваются методы регуляризации, обеспечивающие не только сходимость к решению исходной задачи, но и получение оценок сходимости. Необходимо подчеркнуть, что при выведении асимптотических оценок в классической регуляризации (по А.Н. Тихонову) существенно используется свойство неотрицательности стабилизатора [14]. Поскольку в кососимметрической регуляризации этого гарантировать мы не можем, то приходится использовать оценочный аппарат, развитый в предыдущей главе для сильно кососимметричных задач.

Так, в третьем параграфе исследуется регуляризация с постоянным параметром (3.

Для этой цели введем по аналогии сильную и слабую меру для регуляризо-ванной задачи (1): g(u) = sup{Ф/з(г;,г') - Фр(ь,и))}, v € V, wev np(v) = sup{<£,g(u;,i>) - Ф^(го,го)}, v <E V. we У

Поскольку задача (10) сильно кососимметрична, то любой из рассмотренных методов решает данную задачу со сколь угодно малой погрешностью 5. В частности, найдется такая точка vs, что < 5.

Напомним, что здесь константа (3 фиксирована.

В данной диссертации устанавливается следующий факт: если брать

Я 1 х £

Р 2R2' 2' то f(и5) < е.

Иными словами, если брать параметры достаточно малыми, то приближенное решение регуляризованной задачи (10) будет близко и к решению v* £ V*

Данный факт позволяет применять методы, рассмотренные во второй главе, и для решения исходной, просто кососимметричной задачи (1) (разумеется, в смысле сходимости по мерам и /и(г>)).

Так, на классе функций с липшицевым градиентом трудоемкость метода проекции градиента составляет 0(1/бМп(1/е)), а трудоемкость экстраградиентного метода - 0( 1/е1п(1/б)), что является неулучшаемой оценкой для данного класса.

На классе функций с равномерно ограниченным градиентом оптимальным является метод усреднений, реализующий неулучшаемую оценку трудоемкости N, = 0(1/б2). Заметим, что метод проекции является наихудшим и на таком классе функций (N^ = 0(1/е4)).

В четвертом параграфе для решения (1) рассматривается метод отслеживания траектории [24], построенный на основе экстраградиентного метода. В нем на очередном к-ом этапе производится столько внутренних итераций т(к) экстраградиентного метода и величина fa убывает таким образом, чтобы обеспечить попадание получающегося приближения vk в малую фиксированную окрестность точного решения:

- V0k\\ < 7 fa, 7 = const > 0. (12)

Таким образом, последнее условие является критерием останова вычислений на к-ом этапе. Далее конечная точка vk полагается начальной для следующего (к + 1)-го этапа.

Поскольку последовательность vpk —» v* при fa —> 0, то в силу критерия (12) последовательность vk также будет сходиться к v*. Подчеркнем, что здесь, как и во всей третьей главе, под v* подразумевается вполне определенная точка, а именно

U* = 7Гу* 0.

Поскольку в явном виде критерий (12) не применим, то в данной диссертации предлагается его достаточное условие, из которого и находятся требуемые параметры т(к) и fa.

В зависимости от выбора параметров рассматриваются два варианта метода с отслеживанием, доказывается их сходимость и выводятся оценки сходимости.

Основные результаты диссертации:

1) проведено исследование основной задачи равновесного программирования, получены необходимые условия кососимметричности первого и второго порядков;

2) предложена слабая равновесная постановка и на ее основе доказана теорема существования для исходной задачи в кососимметричном и сильно ко-сосимметричном случае;

3) предложена новая, кососимметричная регуляризация исходной равновесной задачи, доказана ее сильная сходимость при неточно заданной целевой функции и при неточной реализации метода.

4) предложен метод итеративной регуляризации с использованием экстраградиентного метода, исследована его сходимость и построен регуляризирую-щий оператор;

5) предложен метод регуляризации с постоянным параметром; на его основе для решения исходной задачи применены метод проекции градиента, метод усреднения и экстраградиентный метод, доказана их сходимость;

6) предложен метод отслеживания траектории с использованием экстраградиентного метода;

7) проведено сравнение предложенных методов по эффективности на основе сформированного математического аппарата.

Численные эксперименты, показывающие эффективность предложенных методов, приведены в [39].

Нумерация теорем, лемм в каждой главе самостоятельная; ссылки на формулы нумеруются одним числом. Так, например Теорема 2 из второй главы везде именуется Теоремой 2.2.

Автор выражает большую и искреннюю признательность своему научному руководителю Анатолию Сергеевичу Антипину за постановку задач, ценные советы и замечания в процессе.работы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Шпирко, Сергей Валерьевич, 2000 год

1. Антипин А.С. Непрерывные и итеративные процессы с операторами проектирования и типа проектирования// Вопр. ибернетики. Вычисл. вопросы анализа больших систем. М., 1989. С.5-43.

2. Антипин А.С. Итеративные методы прогнозного типа для вычисления неподвижных точек экстремальных отображений// Изв. ВУЗов. Математика, 1995, N 11, С.17-27.

3. Антипин А.С. О сходимости и оценках скорости сходимости проксимальных методов к неподвижным точкам экстремальных отображений//Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1995,Т.35,N5,С.688-704.

4. Антипин А.С. Равновесное программирование: методы градиентного типа// Автоматика и телемеханика.,1997,N8,С.166-178.

5. Антипин А.С. Вычисление неподвижных точек экстремального отображения с помощью методов градиентного типа//Ж. вычисл. матем. и матем. физ.,1997,Т.37,N1,0.1-12.

6. Aubin J.-P., Frankowska Н. Set valued analysis. Boston etc.: Birkhauser,1990.

7. Бакушинский А.Б., Гончарский А.В. Итеративные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1989.

8. Bianchi М., Hadjisavvas N. and Schaible S. Vector equilibrium problems with generalized monotone bifunctions// J.of Opt. Theory and Appl.-1997.-V.92,N3.-P.527-542.

9. Blum E., Oettli W. From Optimization and Variational Inequalities to Equilibrium Problems// The Mathematics Student.-1993.-V.63, Nl.-P.l-23.

10. Bruck R. On weak convergence of an ergodic iteration for the solution of variotional inequalities for monotone operators in Hilbert space// J.Math. Anal, and Appl.-1977.-V.61, N1.-P.159-164.

11. Вайнберг M.M. Вариационный метод и метод монотонных операторов. М.:Наука,1972.

12. Васильев Ф.П., Антипин А.С. Методы регуляризации поиска неподвижной точки экстремальных отображений//Вестн. Моск. Ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 1998. N 1, С.11-14.

13. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. -М.: Наука, 1980.

14. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. -М.: Наука, 1981.

15. Васильев Ф.П. Методы решения неустойчивых экстремальных задач с неточно заданными исходными данными. Дисс.док.физ.-матем. наук, М., МГУ, 1985.

16. Васильев Ф.П., Обрадович О. Регуляризованный проксимальный метод минимизации// Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1993. Т.ЗЗ N 2. С. 174188.

17. Голынтейн Е.Г., Третьяков Н.В. Модифицированные функции Лагранжа. М.: Наука, 1989.

18. Демьянов В.Ф., Малоземов В.Н. Введение в минимакс. М.: Наука, 1972.

19. Евтушенко Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в оптимизации. М.: Наука, 1982.

20. Fan Ку. A miriimax inequality and applications// Inequalities III. Acad. Press, 1972. P. 103-113.

21. P.T. Harker and J.-S. Pang. Finite-dimensional variational inequalities and nonlinear complementarity problems: A survey of theory, algorithms and applications// Math, programming. 1990.- V. 48, N 2. - P.161-220.

22. Карлин С. Математические методы в теории игр, программировании и экономике. М.: Мир, 1964.

23. Карманов В.Г. Математическое программирование. М.: Наука, 1986.

24. A. Kaplan, R. Tichatschke. Stable Methods for Ill-Posed Variational Problems. Berlin,1994.

25. Коннов И.В. Комбинированные релаксационные методы для поиска точек равновесия и решения смежных задач// Изв.вузов.-1993.-N 2,- С.46-53.

26. Коннов И.В. Методы решения конечномерных вариационных неравенств. Курс лекций. Казань, 1998.

27. Корпелевич Г.М. Экстраградиентный метод для отыскания седловых точек и других задач//Экономика и матем.MeT.-1976.-T.XII.-N 4.-С.747-756.

28. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973.

29. Немировский А.С., Юдин Д.Б. Сложность задач и эффективность методов оптимизации. М.:Наука,1979.

30. Нестеров Ю.Е. 0(1/к2) скорость сходимости метода минимизации гладких выпуклых функций. Докл.Акад. Наук СССР, 269 (1983), С. 543-547.

31. Нестеров Ю.Е. Общий подход к построению оптимальных методов минимизации гладких выпуклых функций// Экономика и матем. методы, 24(1988), С. 509-517.

32. Nikaido Н., Isoda К. Note on noncooperative convex game// Pacific J. Math. 1955. - V.5, N 1. - P. 807-815.

33. Обен Ж.-П. Нелинейный анализ и его экономические приложения. М.: Мир,1988.

34. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. М.: Наука, 1983.

35. Смольяков Э.Р. Равновесные модели при несовпадающих интересах участников. М.: Наука, 1986.

36. Сухарев А.Г., Тимохов А.В., Федоров В.В. Курс методов оптимизации.-М.: Наука, 1986.

37. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986.

38. Хоботов Е.Н. О модификации экстраградиентного метода для решения вариационных неравенств и некоторых задачоптимизации// Журн.вычисл.матем. и матем.физ.-1987.-Т.27.- N 10.-С. 1462-1474.

39. Шпирко С.В. Решение игр многих лиц с помощью градиентного метода прогнозного типа// Изв. ВУЗов. Математика.- 2000.-N 6.-С. 63-69.

40. Шпирко С.В. Решение игр многих лиц с помощью проксимального метода прогнозного типа// Докл. XI Всеросс. конф." Математическое программирование и приложения", Тезисы докладов, 1999, С. 291-292.

41. Антипин А.С., Шпирко С.В. Метод кососимметричной регуляризации для поиска неустойчивых точек равновесия// Докл. VI конф. " Обратные и некорректно поставленные задачи", Тезисы докладов, 2000, С.7-8.