Метод нелинейного объемного сингулярного интегро-дифференциального уравнения решения обратной задачи определения эффективной диэлектрической проницаемости тела в волноводе тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Гришина, Елена Евгеньевна

• Гришина, Елена Евгеньевна
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Гришина, Елена Евгеньевна

Содержание

Введение

1 Постановка задачи определения эффективной диэлектрической проницаемости тела в прямоугольном волноводе

1.1 Постановка задачи дифракции на диэлектрическом теле в прямоугольном волноводе (прямая задача)

1.2 Постановка обратной задачи определения эффективной диэлектрической проницаемости по коэффициенту отражения

1.3 Постановка обратной задачи определения эффективной диэлектрической проницаемости по коэффициенту прохождения

2 Численный метод решения обратной задачи

2.1 Теорема о существовании и единственности решения интегро-дифференциального уравнения и обратной краевой задачи при использовании коэффициента отражения

2.2 Теорема о существовании и единственности решения интегро-дифференциального уравнения и обратной краевой задачи при использовании коэффициента прохождения

2.3 Проектирование на конечномерные подпространства

2.4 Вычислительный алгоритм для решения интегро-дифференциального уравнения

3 Вычислительная сходимость и тестирование итерационного метода

3.1 Расчеты по коэффициенту отражения

3.2 Расчеты по коэффициенту прохождения

4 Особенности вычисления матриц на мини-кластере

4.1 Применение мини-кластера для вычисления матриц

4.2 Оптимизация программы вычисления матриц

Заключение

Приложение. Формирование коэффициентов матрицы в проекционном

методе

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метод нелинейного объемного сингулярного интегро-дифференциального уравнения решения обратной задачи определения эффективной диэлектрической проницаемости тела в волноводе»

Введение

Восстановление электрофизических параметров образцов композитных материалов (в частности, наноматериалов и метаматериалов), с различной геометрией, представляет собой весьма актуальную задачу наноэлектроники и нанотехнологии. Эта задача приводит к решению обратных краевых задач дифракции для системы уравнений Максвелла.

Обратные электромагнитные задачи были рассмотрены в работах ряда авторов. В трудах Д. Колтона и Р. Кресса разработана классическая теория решения обратных электродинамических задач на идеально проводящих телах в свободном пространстве [1] (акустические задачи изучались в [2]). Прямые и обратные задачи дифракции электромагнитных волн на теле в волноводе исследовались в работах В.П. Шестопалова и Ю.К. Сиренко [3], В.П. Шестопалова и Ю.В. Шестопалова [4], A.C. Ильинского и Ю.Г. Смирнова [5,6]. В работах этих авторов впервые было проведено математически строгое исследование данного круга задач. В настоящее время продолжение этих исследований можно найти в работах Ю.Г. Смирнова [9, 10]. В работах [11-15] исследовались задачи в слоистых структурах.

Самохиным А.Б. [16-19] краевая задача дифракции на теле была сведена к объемному интегральному уравнению, получены основные результаты о разрешимости объемных сингулярных интегральных уравнений.

Такие авторы, как A.C. Ильинский [20], А.Б. Самохин, A.A. Цупак [21], М.Ю. Медведик, Ю.Г. Смирнов [22, 23], Е.М. Карчевский [24], Р.З. Даутов, Е.М. Карчевский [25], В.И. Ивахненко [26], использовали данный подход в своих работах.

В настоящее время существуют различные подходы к решению задачи восстановления магнитных и диэлектрических параметров наноматериалов.

Один из возможных вариантов определения данных параметров -экспериментальные измерения. Но, вследствие композитного характера материалов, применение данного способа к решению рассматриваемой задачи является затруднительным. Другой путь поиска параметров наноматериалов состоит в применении математического моделирования и решении задач численно с помощью компьютеров.

Решение трехмерных векторных краевых задач для системы уравнений Максвелла в полной электродинамической постановке, (к которым приводит рассматриваемая задача), является актуальной проблемой современной электродинамики. Решение таких задач требует большого объема вычислений, охватить который оказывается затруднительным даже для наиболее мощных современных компьютеров. При восстановлении параметров наноматериалов возникает проблема решения обратных электродинамических задач на сложной системе поверхностей и тел в резонансном диапазоне частот. Эта проблема является особенно острой и актуальной. В известных пакетах прикладных программ, предназначенных для решения задач электродинамики, применяются, как правило, конечно-разностные методы и методы конечных элементов. (Решение задач конечно-разностным методом предложено, например в [27,28].) При этом не задействуются суперкомпьютеры. Такие результаты, с точки зрения точности вычислений, не являются удовлетворительными.

Методы, применяемые в пакетах, о которых говорилось выше, встречают определенные препятствия при решении краевых задач в неограниченных областях. Одна из таких трудностей состоит в том, что область, в которой ищется решение, должна быть сделана конечной. Это приводит к возникновению неконтролируемой ошибки. Кроме того, размеры области, для ее редукции, должны быть достаточно велики. При решении задачи рассматриваемыми методами появляется необходимость работать с разреженными матрицами порядка 109 и более.

Существуют и другие методы решения задач в неограниченных областях. Такими методами являются метод интегральных уравнений и метод интегро-дифференциальных уравнений. Метод интегральных уравнений применялся, например, в работах [29, 30]. Он состоит в том, что рассматриваемая задача сводится к решению интегрального или интегро-дифференциального уравнения. При этом область неоднородности в которой решается интегральное или интегро-дифференциальное уравнение на порядки меньше области решения задачи при применении методов конечных элементов и конечно-разностных методов. Дискретизация задачи, решаемой методом интегро-дифференциальных уравнений, приводит к системе уравнений с плотными матрицами. Размеры этих матриц существенно меньше. (Порядка 104).

Численное решение интегро-дифференциальных уравнений с помощью пакетов прикладных программ имеет два основных недостатка. Первый состоит в том, что не принимаются во внимание результаты новейших исследований, как самих интегро-дифференциальных уравнений, так и их численного решения. Вторым недостатком является то, что не учитываются особенности решения рассматриваемых задач с помощью параллельных вычислений. Одной из особенностей матриц СЛАУ, с которыми приходится иметь дело, решая задачу численным методом, является их блочно-теплице-ганкелевая структура. Другая состоит в том, что вычисление интегралов, с помощью которых формируются элементы матриц, может производиться параллельно и независимо друг от друга. Данная специфика расчетов дает возможность применять параллельные вычисления для рассматриваемого круга задач.

Если рассматривать решение обратных задач на сложной системе поверхностей и тел, возникает необходимость решать комплексные СЛАУ порядка 105 с плотными матрицами. Для решения таких уравнений требуется

применять методы параллельных вычислений. Однако не всегда бывают доступны такие кластеры как «Чебышев» и «Ломоносов» в МГУ им. М.В.Ломоносова. В настоящее время во многих ВУЗах используются мини-кластеры. В данной диссертации приводятся особенности работы с такими матрицами на мини-кластерах.

Обратная задача определения диэлектрической проницаемости изотропного однородного тела в волноводе была рассмотрена Ю.Г. Смирновым [31, 32], Смирновым Ю.Г. и Медведиком М.Ю. [33], Смирновым Ю.Г. и Мироновым Д.А. [34], Смирновым Ю.Г. и Шестопаловым Ю.В. [35]. Идея применения метода нелинейного объемного сингулярного интегро-дифференциального уравнения для решения обратной задачи была впервые предложена Смирновым Ю.Г. в [31, 32]. В данной диссертации рассматривается метод нелинейного объемного сингулярного интегро-дифференциального уравнения для решения обратной задачи нахождения эффективной диэлектрической проницаемости тела произвольной геометрической формы, расположенного в волноводе.

Смирновым Ю.Г. и Васюниным Д.И. [36], Смирновым Ю.Г. и Шестопаловым Ю.В. [35] был рассмотрен двухслойный итерационный метод решения обратной задачи определения диэлектрической проницаемости неоднородного тела в волноводе по коэффициенту прохождения. В отличие от этих работ, в которых диэлектрическая проницаемость представляла собой тензорную функцию, в данной диссертационной работе определяется по коэффициентам прохождения или отражения константа - эффективная диэлектрическая проницаемость, являющаяся интегральной характеристикой неоднородного образца.

Смирновым Ю.Г. и Медведиком М.Ю. [33] , Смирновым Ю.Г., Шестопаловым Ю.В. и КоЬауаБЫ К. [37] была рассмотрена прямая

7

задача дифракции электромагнитной волны на диэлектрическом теле в волноводе и предложены численные методы для ее исследования.

В диссертации применяется субиерархический подход. Он состоит в следующем. (В силу свойств интегро-дифференциальных операторов в уравнениях возможно использование субиерархических методов для численного решения уравнений.) Сначала находим решение задачи для некоторой канонической геометрии, например для прямоугольника или параллелепипеда. Далее будем решать задачу для фигуры с такой сложной геометрической формой, которая полностью содержится в канонической. Матрицу можно получить выбором соответствующих элементов из канонической матрицы. При этом, повторно эти элементы пересчитывать не нужно. Время решения задачи уменьшается на 1-2 порядка. Таким образом, используя субиерархические методы, мы получаем базу данных матричных элементов, которую можно применять для решения задач дифракции на поверхностях и телах сложной геометрической формы. На основе этой базы данных можно построить пакет прикладных программ.

Целями диссертационной работы являются:

1) Корректная постановка обратной краевой задачи определения эффективной диэлектрической проницаемости тела в волноводе по (измеренным) коэффициентам прохождения или отражения и ее обоснование.

2) Разработка численного метода нахождения эффективной диэлектрической проницаемости по коэффициенту прохождения или отражения.

3) Программная реализация численного метода, его тестирование и проведение расчетов для конкретных образцов материалов.

В первой главе приводится постановка задачи определения эффективной диэлектрической проницаемости образцов материалов сложной

геометрической формы в волноводе по коэффициентам прохождения или отражения.

В разделе 1.1 Описываются функции Грина, использованные для перехода к интегро-дифференциальным и интегральным уравнениям. Задача сводится к решению интегро-дифференциального уравнения. Показывается эквивалентность интегро-дифференциальной и исходной формулировок соответствующих задач. В разделе 1.2 приводится постановка обратной задачи определения эффективной диэлектрической проницаемости по коэффициенту отражения. В разделе 1.3 рассматривается постановка задачи нахождения эффективной диэлектрической проницаемости по коэффициенту прохождения.

Вторая глава является основной в работе. В разделе 2.1 предложен итерационный метод решения нелинейного объемного сингулярного уравнения. Доказана теорема о существовании и единственности решения интегро-дифференциального уравнения и обратной краевой задачи при использовании коэффициента отражения. В разделе 2.2 приведена теорема о существовании и единственности решения интегро-дифференциального уравнения и обратной краевой задачи при использовании коэффициента прохождения. В разделе 2.3 представлена общая схема проектирования на конечномерные подпространства. В разделе 2.4 рассмотрен вычислительный алгоритм для решения интегро-дифференциального уравнения электрического поля.

В третьей главе приведены результаты численного решения нелинейного объемного интегрального уравнения. Для результатов, приведенных в данной главе были разработаны программы для решения обратной задачи восстановления эффективной диэлектрической проницаемости образцов материалов различной геометрической формы.

В разделе 3.1 выполнено тестирование метода решения задачи определения диэлектрической проницаемости образцов композитных материалов различной геометрической формы по коэффициенту отражения. Проведены сравнения результатов расчетов с аналитическими решениями. Также представлены результаты расчетов для фигуры сложной формы. В разделе 3.2 приведены численные результаты определения диэлектрической проницаемости композитных материалов различной геометрической формы итерационным методом по коэффициенту прохождения.

В четвертой главе приведены особенности расчета матрицы, используемой в п. 3.2 и 3.3, на мини-кластерах. Рассмотрены различные способы вычисления коэффициентов матрицы, найден эффективный способ расчета. Распараллеливание решения задачи в настоящей работе достигается использованием системы MPI на мини-кластере и рассмотрено в п. 4.1. Оптимизация кода задачи рассмотрена в п. 4.2.

В Заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.

Результаты работы опубликованы в четырех статьях [38, 39, 40, 41] (в журнале из списка ВАК РФ), в статье [42], докладывались на конференциях [43, 44, 45, 46, 47, 48, 49], и были представлены на научных семинарах кафедры Математики и суперкомпьютерного моделирования Пензенского государственного университета и кафедры Прикладной математики Казанского (приволжского) федерального университета.

1 Постановка задачи определения эффективной диэлектрической проницаемости тела в прямоугольном волноводе

В данной главе рассматривается постановка задачи дифракции. Используется традиционная формулировка с использованием уравнений Максвелла. Приводится постановка прямой задачи, а также постановка обратной задачи определения эффективной диэлектрической проницаемости по коэффициенту отражения и прохождения.

1.1 Постановка задачи дифракции на диэлектрическом теле в прямоугольном волноводе (прямая задача)

Рассмотрим прямую задачу дифракции.

Пусть объемное тело Q расположено в прямоугольном волноводе Р-{х:0 < х, < а, 0 < х2 < Ъ, —со < х3 < со}. Поверхность волновода дР идеально проводящая. Данное тело характеризуется постоянной магнитной проницаемостью ¡л§ и диэлектрической проницаемостью б .

Предполагается, что граница области является кусочно-гладкой. Пусть также тело 0 не касается стенок волновода, дQг^дP = 0. В области P\Q среда представляет собой изотропную и однородную. При этом £0(>0), //£)(> 0) являются постоянными.

Прямая задача дифракции формулируется следующим образом. Необходимо найти электромагнитное (полное) поле Е, Не/^Сб)- Данное

поле возбуждается сторонним полем с временной зависимостью вида ё~ш, со > 0 - круговая частота.

Рассмотрим (обобщенные) решения системы уравнений Максвелла:

гоШ = -шеЕ,

з- (1.1)

гс^Е-/£У/4)Н, хеЯ 11

Такие решения подчиняются следующим условиям на бесконечности [50]. Пусть |х31 > С для достаточно больших С > 0. Тогда поля Е и Н могут быть представлены в виде

' ^Преъ-1у{рУ2П1 -ше0{у2 иР)хез

ГеМ

и

+

(1.2)

(Здесь + соответствует +оо, - соответствует -оо). В формуле (1.2)

1т^7)>0 или = 0, ку^ > 0 и Пр(хьх2) и

Шр[х1,х2) =£у2£-0>Ц)| - полная система собственных значений и ортонормированных в П) собственных функций двумерного оператора Лапласа -А в прямоугольнике П := {(*1,Х2): 0 < х^ < а,0 < х2 < б} с условиями Дирихле и Неймана, соответственно, и У2 =е^д/дх^ +е2д/дх2 .

Верны следующие оценки для коэффициентов разложений (1.2)

= (1.з)

для некоторого

Почленное дифференцирование по х^ любое число раз рядов (1.2)

представляется возможным благодаря условиям (1.3). Эти же условия обеспечивают экспоненциальную сходимость рядов (1.2).

Если рассматривать условия (1.2) с физической точки зрения, то их можно трактовать следующим образом: полное поле является суммой падающего и рассеянного полей, а рассеянное поле представляет собой суперпозицию нормальных волн, которые расходятся от тела.

На стенках волновода для Е, Н должны выполняться краевые условия

Ег IдР- °> \дР~

(1.4)

Предположим, что Е° и Н° являются решениями описанной выше краевой задачи в отсутствие тела

го1 Е° = /<у//0Н°

(1.5)

с краевыми условиями

Е?|ар=0,н!!|э/,= 0. (1.6)

Данные решения могут не удовлетворять условиям на бесконечности. Е° и Н° могут являться ТМ- или ТЕ-модой волновода.

__А

Далее будет использоваться диагональный тензор Грина СЕ, который приведен в [23]. Его компоненты имеют вид

0 0

0 0

0 V 0

где

е-У„т\ъ-Уг\

аЬп=0 И=1 7^(1 + 6^) а

со со е-У„и|хз-Л| _ пп

пп . 71 т пп . пт .„ соб-x] бш-Х2 СОБ-^бш-у2 , (1.7)

п т

а

пп

пт

аЪ Л=1 т=0 У„„,(1 + а

оо 00 _ пп _ пт

БШ — Л^СОБ-х2зт-^СОБ — у2, (1.8)

а

. пп . пт -Бт—дс^т—х2 бш—^бш—у2 аЪ „=1 т=1 упт а Ъ а Ъ

(1.9)

Компоненты (1.7) - (1.9) представляют собой фундаментальные решения уравнения Гельмгольца в Р с коэффициентом &02 = о)2е0/л0. Для них выполняются краевые условия первого или второго рода на дР, которые обеспечивают обращение в нуль тангенциальных составляющих напряженности электрического поля на стенках волновода.

В выражениях (1.7) - (1.9) уг

С Л2 ,

[ пт л

+и

-к] . Ветвь

ТСП

V а У

квадратного корня выбирается таким образом, чтобы было верно 1шу >0.

С™ могут быть записаны с выделенной особенностью при х = у

Ое=~-¡ + (1-10)

4п\х-у\

где функция gmeCc°(QxP). В силу симметрии функций Грина

СЦ (х, у) = (у, х), (т = 1,2,3) тензор Грина &Е может быть представлен в виде:

1 'к0\х~У\ „

Яб=-г\-;1 + й{х,У\ х,уеР (1.11)

4п\х-у\

где матрица-функция (тензор) § е С™(¿2 х Р) и £ е С00^ х 0.

Функции Грина имеют единственную особенность вида--и не

4л\х-у\

имеют других особенностей в силу сделанного нами предположения о том, что тело не касается поверхности волновода.

Предположим, что существуют и единственны решения краевых задач (1.1) - (1.4), (1.5) - (1.6). Рассмотрим (1.1). Оно может быть записано в форме:

го1Н'=-/соепЕ/'+.Г,

(1.12)

гЫЕр = /соц0Нр

При этом

^=-/ш(е-80)Е (1.13)

является электрическим током поляризации.

Решение краевой задачи (1.12), (1.4) может быть представлено в виде

Е = /со ц.0 Ае--grad сііу АЕ, Н = гої А

гює0

(1.14)

е

где

= \6Е(г)У(у)с1у

(1.15)

р

- векторный потенциал электрического тока. Для АЕ верно

ААЕ+к20АЕ=-Зр.

(1.16)

Потенциал Ая является сверткой с тензором Грина прямоугольного

волновода для уравнения Гельмгольца, обеспечивающей выполнение требуемых краевых условий для полей.

Формулы (1.14) задают неявные соотношения для решения задачи (1.12) так как ток Зр зависит от Е. Из (1.14)-(1.15) следует интегро-дифференциальное уравнение. Опуская точку на тело, переходим к следующему представлению электромагнитного поля

Ер (х) = ісо/л0 (е - є0)6еЕ(у))(1у +

е

и, после несложных преобразований, получаем:

(1.17)

Кроме того,

+

/ \

І--1

VBo J

grad div jÔE (r)E(y)dy, x є P\Q. (1.18)

Формула (1.18) дает представление решения Е(х) в области P\Q, если Е(_у), y&Q - решение уравнения (1.17). Поле Н выражается через решение (1.17) в виде

is Л

Щх) = И°(х)-тг0 —-1 rot \GE(r)K(y)dy, хеР. (1.19)

р J

v о J q

Утверждения об однозначной разрешимости уравнения (1.17) при любой правой части Е° имеются, например, в [56].

Задача о дифракции на магнитном теле в волноводе с магнитной проницаемостью ц в Q (вне Q ц = |о,0) при постоянной во всем объеме волновода диэлектрической проницаемостью (е = е0) решается аналогично описанной выше. В этом случае краевая задача сводится к объемному сингулярному интегральному уравнению (такого же типа) для магнитного поля и выражению для электрического поля через решение этого уравнения

И(х) = Н°(*) + к20 fii - ll JGH (r)H(y)dy +

Jo

f \

+

v

,

grad div Jgw {r)W{y )dyb x є Q,

Е(х) = Е°(х) + /соц0 --lirai \дн{г)Щу)(1у, xgP.

Uo ; eJ

Здесь GH{x,y) - тензорная функция Грина прямоугольного волновода, отвечающая произвольному распределению источников магнитного поля.

А

Как и для рассматривавшейся функции Грина GE(x,y), имеет место представление в виде суммы сингулярного слагаемого того же вида и гладкой функции. Следовательно, для обратной краевой задачи об

определении эффективной магнитной проницаемости материала будут верны теоремы, аналогичные сформулированным в этой главе.

1.2 Постановка обратной задачи определения эффективной диэлектрической проницаемости по коэффициенту отражения

Будем рассматривать обратную краевую задачу для определения эффективной диэлектрической проницаемости образца наноматериала, расположенного в волноводе по коэффициенту отражения. Будем считать, что £ - неизвестная константа (эффективная диэлектрическая проницаемость) образца. Предположим, что п/а<к$ <п/Ь. В этом случае в волноводе может распространяться только одна мода потому что

1тур^=0, У[2) = ^о ~%2/> 0 и 1ту(/)>0 для всех рза исключением р = 1 и у=2. Мы также предполагаем, что

а а

Здесь А- (известная) амплитуда распространяющейся волны,

1 3

^ =со8 71Х1/<2. Следовательно, —»0 и —»0 равномерно по при Х3 —» —оо . Мы также получаем

аЬ ую а а

равномерно по у^О, прихз~>•—оо. Затем, мы имеем сНуС?^—»0

дСт^

равномерно по у е при х3 —» —оо (потому что —— —>• 0 равномерно по

йх2

уе@ прих3 —»-оо). Вычислив предел при х3—>—ОО в (1.18) получим уравнение

с

8

Е(х) = Е°(х) + £02--1 (1.21)

ч8о

и, принимая во внимание условие на бесконечности (1.2) при —> —со.

, ч -,у(2)х, . ТС . ТСХ, -■_•> . ТС . ЮС.

е2А(+)е *коц0-81п—1- + е2<2\ Уу' ^со^-Бт—1- = а а а а

= е2А{ }е 71 —эт—1 +

а а

| ^0е2

аЬу

— -1] (ЕО/)• е2)ф. (1.22)

а а

ю

Из этого следует асимптотическое уравнение

г

Ф = --кт^е-'^ (ЕСу)• е2)аУ. (1.23)

¿>у10гжй|^Де0 )> а

Мы предполагаем, что коэффициент <з[ ^ известен из эксперимента. Уравнение (1.23) - это дополнительное условие, из которого будет определяться диэлектрическая проницаемость материала. Коэффициент зависит от круговой частоты со.

Обратная задача определения эффективной диэлектрической проницаемости образца материала, помещенного в волновод, по коэффициенту отражения состоит в том, чтобы найти проницаемость по

известному коэффициенту = на различных частотах.

1.3 Постановка обратной задачи определения эффективной диэлектрической проницаемости по коэффициенту прохождения

Будем считать, что 8 = - неизвестная константа (эффективная

диэлектрическая проницаемость) образца [57, 58]. Предположим, что тс/а<к0<п/Ь. В этом случае в волноводе может распространяться только

одна мода потому что 1ту[2^ =0, -7г2 / а2 >0 и 1т у^ >0 для всех

за исключением р-1 и у = 2. Мы также предполагаем, что

-Е°(х) = .

а а

Здесь А^ - (известная) амплитуда распространяющейся волны, ц/^созтщ/а. Следовательно, »0 и —>0 равномерно по у eQ при х3 —>• +оо. Мы также получаем

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Гришина, Елена Евгеньевна

Заключение

В Заключении сформулируем основные результаты, полученные в работе:

1. Предложена и обоснована корректная постановка обратной краевой задачи определения эффективной диэлектрической проницаемости неоднородного тела, помещенного в волновод по коэффициенту прохождения или отражения. Доказаны теоремы о существовании и единственности решений обратной краевой задачи.

2. Предложен и обоснован итерационный метод для численного решения обратной задачи. Доказаны теоремы о сходимости метода.

3. Численный метод реализован в виде пакета программ на языке Си. Метод и программы тестированы на модельных задачах. Выполнены расчеты для ряда конкретных обратных задач для различных геометрических фигур с разными параметрами. Изучены особенности вычисления коэффициентов матрицы на мини-кластерах, найден эффективный способ расчета.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Гришина, Елена Евгеньевна, 2013 год

Список литературы

1. Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. М.: Мир, 1987.

2. Ramm A. Scattering by Obstacles. D. Reidel Publishing, Dordrecht, Holland, 1986.

3. Шестопалов В.П., Сиренко Ю.К. Динамическая теория решеток. Киев, Наукова Думка, 1989.

4. Shestopalov V. and Shestopalov Y. Spectral Theory and Excitation of Open Structures (London: Peter Peregrinus), 1996.

5. Ilinski A. and Smirnov Y. Electromagnetic Wave Diffraction by Conducting Screens (Utrecht: VSP Int Science Publishers), 1998.

6. Ильинский A.C., Смирнов Ю.Г. Дифракция электромагнитных волн на проводящих тонких экранах. - М.: ИПРЖР, 1996.

7. Shestopalov Y. and Lozhechko V. Direct and inverse problems of the wave diffraction by screens with arbitrary finite inhomogeneities J. Inverse Ill-Posed Problems, 2003.

8. Shestopalov Y. and Yakovlev V. Uniqueness of complex permittivity reconstruction in a parallel-plane waveguide Radio Sci, 2007.

9. Smirnov Y. Inverse boundary value problem for determination of permittivity of a dielectric body in a waveguide using the method of volume singular integral equation IEE J. Fundam. Mater., 2009.

Ю.Смирнов Ю.Г. Применение ГРИД технологий для решения нелинейного объемного сингулярного интегрального уравнения для определения эффективной диэлектрической проницаемости наноматериалов. // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2008. №3. С. 2-10.

11.Buchanan J., Gilbert R., Wirgin A. and Xu Y. Marine Acoustics. Direct and Inverse Problems (Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics), 2004.

12.1kehata M., Makrakis G. and Nakamura G. Inverse boundary value problem for ocean acoustics Math. Methods Appl. Sci., 2001.

13.1kehata M., Makrakis G. and Nakamura G. Inverse boundary value problem for ocean acoustics using point sources Math. Methods Appl. Sci., 2004.

14.Nakamura G. and Sini M. On the near field measurement for the inverse scattering problem for ocean acoustics. Inverse Problems, 2004.

15.Ramm A. Scattering by Obstacles. D. Reidel Publishing, Dordrecht, Holland, 1986.

16.Samokhin A. Integral Equations and Iteration Methods in Electromagnetic Scattering ed. Y. Shestopalov (Utrecht: VSP Int. Science Publishers), 2001.

17.Самохин А.Б. Дифракция электромагнитных волн на локально-неоднородном теле и сингулярные интегральные уравнения // ЖВМиМФ. 1992. Т.32, №5.

18.Самохин А.Б. Интегральные уравнения и итерационные методы в электромагнитном рассеянии. - М.: Радио и Связь, 1998.

19.Самохин А.Б. Исследование задач дифракции электромагнитных волн в локально-неоднородных средах // ЖВМиМФ., 1990. Т.ЗО, №1.

20.Ильинский А.С., Самохин А.Б., Капустин Ю.Ю. Метод сингулярного интегрального уравнения для решения задачи дифракции на неоднородном теле // Меж. Сб. «Дифракция и распространение радиоволн», М.:МФТИ, 1998.

21.Смирнов Ю.Г., Цупак A.A. Исследование электромагнитной задачи дифракции на диэлектрическом теле методом объемного сингулярного интегрального уравнения. // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2004. -Т. 44, N12.-С. 2252-2267.

22.Медведик М.Ю., Смирнов Ю.Г. Применение ГРИД-технологий для решения объемного сингулярного интегрального уравнения для задачи дифракции на диэлектрическом теле субиерархическим методом // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2008. №2. С. 2-14.

23.Медведик М.Ю., Смирнов Ю.Г. Численное решение объемного сингулярного интегрального уравнения методом коллокации. // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2009. № 4. С. 55-71.

24.Карчевский Е.М. Применение методов теории сингулярных интегральных операторов в, задаче о собственных модах волновода с размытой границей // Труды математического центра имени Н.И. Лобачевского. - Казань: изд-во Казанского мат. Общ-ва, 2002.Т.17. С. 64-78.

25.Даутов Р.З., Карчевский Е.М. Метод интегральных уравнений и точные нелокальные граничные условия в теории диэлектрических волноводов. - Казань: Казан, гос. ун-т, 2009. -271с.

26.Еремин Ю.А., Ивахненко В.И. Строгие и приближенные модели царапины на основе метода интегральных уравнений // Дифф. уравнения. 2001. Т.37, №10. С. 1386-1394.

27.Eves E., Kopyt P. and Yakovlev V. Determination of complex permittivity with neural networks and FDTD modeling Microw. Opt. Tech. Lett., 2004.

28.Eves E., Murphy K. and Yakovlev V. Reconstruction of complex permittivity with neural-network-controlled FDTD modeling J. Microw. Power Electromag. Energy., 2007.

29.Morgenrother K. and Werner P. On the principles of limiting absorption and limit amplitude for a class of locally perturbed waveguides: Part I. Time-independent theory Math. Methods Appl. Sci., 1988.

30.Werner P. Resonance phenomena in local perturbations of parallelplane waveguides Math. Methods Appl. Sci., 1996.

31. Smirnov Y. Inverse boundary value problem for determination of permittivity of a dielectric body in a waveguide using the method of volume singular integral equation IEE J. Fundam. Mater., 2009.

32.Смирнов Ю.Г. Применение ГРИД-технологий для решения нелинейного объемного сингулярного интегрального уравнения для определения эффективной диэлектрической проницаемости наноматериалов.// Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2008. № 3. С.39-54.

33.Медведик М.Ю., Смирнов Ю.Г. Численное решение объемного сингулярного интегрального уравнения методом коллокации. // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2009. № 4. С. 54-69.

34. Смирнов Ю.Г., Миронов Д.А. О существовании и единственности решений обратной краевой задачи определения диэлектрической проницаемости материалов. // ЖВМиМФ. 2010. Т.50, №9. С. 1587-1597.

35.Yu. G. Smirnov, Yu. V. Shestopalov Existence and uniqueness of a solution to the inverse problem of the complex permittivity reconstruction of a dielectric body in a waveguide// Inverse Problems. - 2010. - V.26,№ 105002. -P.l-14.

36.Васюнин Д.И., Смирнов Ю.Г. Итерационный метод определения диэлектрической проницаемости неоднородного образца материала // Известия вузов. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2011 - № 1 - с. 20-30.

37.Kobayashi К., Yu. V. Shestopalov, Yu G. Smirnov Investigation of Electromagnetic Diffraction by a Dielectric Body in a Waveguide Using the Method of Volume Singular Integral Equation// SIAM Journal of Applied Mathematics.- 2009.- V.70,№3. - P. 969-983

38.Гурина (Гришина) E. E, Медведик M. Ю., Смирнов Ю. Г. Численное и аналитическое решение задачи дифракции электромагнитного поля на диэлектрическом параллелепипеде, расположенном в прямоугольном волноводе.// Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2010. №2. С.44-53.

39.Гурина (Гришина) E. Е., Деревянчук Е. Д., Медведик М. Ю., Смирнов Ю. Г. Численное и аналитическое решение задачи дифракции электромагнитного поля на двух секциях с разной диэлектрической проницаемостью, расположенных в прямоугольном волноводе. // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. -2010. № 4. С.73-81.

40.Гришина E. Е., Медведик М. Ю., Смирнов Ю. Г. Итерационный метод определения эффективной диэлектрической проницаемости неоднородного образца материала. // Известия

высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. -2011. -№ 3.-C.3-14.

41.Гришина Е. Е. Численный метод решения обратной задачи восстановления эффективной диэлектрической проницаемости по коэффициенту отражения. // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. -2012. - № 2. - С.76-85.

42.Гришина Е. Е. Особенности использования мини-кластера при расчете параметров наноматериалов // Молодой ученый. - 2012. -№ 9. - С.45-50.

43.Elena Е Grishina, Yury G. Smirnov. Reconstruction of complex effective permittivity of a nongomogenious body in rectangular waveguide using the iteration method. Abstracts of International Conference Days On Diffraction. - Saint Petersburg, Russia, May 28 -June 1, 2012, p53.

44.Yury G. Smirnov, Mikhail Yu. Medvedik, Elena E. Grishina. Reconstruction of complex effective permittivity of a nongomogenius body of arbitrary shape in rectangular waveguide. PIERS Proceeding. - Moscow, Russia, August 19-23, 2012, P. 420-424

45.Гришина E. E.,. Гурин Е.И. Спецпроцессор для решения задач определения диэлектрических и магнитных параметров материалов. Труды IX международной научно-техническ. конференции "Новые информац. технологии и системы". Ч. 1. -Пенза, 2010.-С. 169-176

46.Гришина Е.Е. Определение электродинамических параметров наноматериалов произвольной геометрической формы, расположенных в волноводе. Труды международного симпозиума «Надежность и качество 2011», Т. II, С. 130-132

47.Гришина Е.Е. Определение диэлектрической проницаемости неоднородного образца наноматериала с помощью итерационного метода. Сборник статей XV международной научно-методической конференции «Университетское образование». - Пенза: Издательство ПТУ, 2011. - С.250-253

48.Гришина Е.Е. Применение итерационного метода при определении электродинамических параметров наноматериалов. Сборник статей V Международной научно-технической конференции молодых специалистов, аспирантов и студентов «Математическое и компьютерное моделирование естественнонаучных и социальных проблем». - Пенза: Приволжский Дом Знаний, 2011. - С. 265-267.

49.Гришина Е.Е., Гурин Е.И. Построение вычислительных систем с использованием ПЛИС для решения задач математической физики. Сборник статей XI Международной научно-технической конференции «Проблемы информатики в образовании, управлении, экономике и технике» - Пенза: Приволжский Дом знаний, 2011. -С.169-172.

50.Смирнов Ю.Г. Применение ГРИД технологий для решения нелинейного объемного сингулярного интегрального уравнения для определения эффективной диэлектрической проницаемости наноматериалов. // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2008. №3. С. 39-55.

51.Цупак A.A. Метод Галеркина для решения интегрального уравнения в задаче дифракции на локально неоднородном теле в случае Н-поляризации // Труды математического центра имени Н.И. Лобачевского. - Казань: НИИММ им. Чеботарева, 2000. Т. 6. С. 240-248.

52.Tsupak A.A. Vector integral equation method for diffraction problem in a cavity resonator 11 Processing and abstracts of 2001 Far-Eastern school-seminar on mathematical modeling and Numerical Analysis. -Nakhodka, Russia: August 22-28, 2001. P. 200

53.Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. -М.: Физматгиз, 1962.

54.Михлин С.Г. Сингулярные интегральные уравнения // Успехи математических наук. 1948. Т. 3, №3. С. 29-112.

55.Самохин А.Б. Интегральные уравнения и итерационные методы в электромагнитном рассеянии. - М.: Радио и Связь, 1998.

56.Смирнов Ю.Г. О существовании и единственности решений обратной краевой задачи для определения эффективной диэлектрической проницаемости материалов. // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. -2009.-№ 1.-С.11-23.

57.Shestopalov Yu.V., Smirnov Yu.G., Yakovlev V.V. Volume Singular Integral Equations Method for Determination of Effective Permittivity of Meta- and Nanomaterials. Proceedings of Progsess in Electromagnetics Research Symposium (PIERS 2008), Cambridge, USA, My 2-6, 2008. - P. 291-292.

58.Shestopalov Yu.V., Smirnov Yu.G., Yakovlev V.V. Development of Mathematical Methods for Reconstructing Complex Permittivity of a Scatterer in a Waveguide. Proceedings of 5th International Workshop on Electromagnetic Wave Scattering, October 22-25, Antalya, Turkey, 2008.

59.Валовик Д. В., Смирнов Ю. Г. Метод коллокации для решения уравнения электрического поля. // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2010. №4. С. 89-101.

бО.Ортега Дж. Введение в параллельные и векторные методы решения линейных систем. - М.: Мир, 1991.

61.Медведик М.Ю., Миронов Д. А., Смирнов Ю.Г. Субиерархический подход для решения объемного сингулярного интегрального уравнения задачи дифракции на диэлектрическом теле в волноводе методом коллокации. // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2010. №2. С. 32-43.

62.Воеводин В.В., Воеводин Вл. В. Параллельные вычисления. -СПб.: БХВ-Петербург, 2002.

63.Гергель В.П., Стронгин Р.Г. Основы параллельных вычислений для многопроцессорных вычислительных систем: Учебное пособие. - Нижний Новгород, 2003.

64.Антонов А. С. Введение в параллельные вычисления. - М.: МГУ, 2002.

65.Букатов А. А., Дацюк В. Н., Жегуло А. И. Программирование многопроцессорных вычислительных систем. Ростов-на-Дону. Издательство ООО «ЦВВР», 2003, 208 с.

66.Шпаковский Г.И., Серикова Н. В. Программирование для многопроцессорных систем в стандарте MPI. - Минск: БГУ, 2002.

67.Касперски, К. Техника оптимизации программ. Эффективное использование памяти. - СПб.: БХВ-Петербург, 2003. - 464 с.

68.Гербер, Р. Оптимизации ПО. Сборник рецептов / Р. Гербер, А. Бик, К. Смит, К. Тиан. - СПб.: Питер, 2010. - 352 с.

69.Макконнел, С. Совершенный код. Мастер-класс / Пер. с англ., С. Макконнел. - Издательско-торговый дом «Русская Редакция»; СПб.: Питер, 2005. - 352 с.

70.Reconfigurable Computing: The Theory and Practice of FPGA-Based Computation. Edited by Scott Hauck and Andrre DeHon. Morgan Kaufmann Publishers, Elsevier Inc., 2008, 908 c.

71.И.А. Каляев, И.И. Левин, E.A. Семерников, В.И. Шмойлов Реконфигурируемые мультиконвейерные вычислительные структуры. Ростов-на-Дону, Издательство ЮНЦ РАН, 2008, 398 С.

72.Reconfigurable Computing Accelerating Computation with Field-Programmable Gate Arrays. P. Graham, M. Gokhale, Springer, The Netherlands, 2005, 238 c.