Методика моделирования течений вязкого газа в ортогональных криволинейных координатах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор наук Абакумов Михаил Владимирович
Абакумов Михаил Владимирович
доктор наук
2021
- Специальность ВАК РФ05.13.18
- Количество страниц 348
Оглавление диссертации доктор наук Абакумов Михаил Владимирович
Введение
Глава 1. Разностные схемы годуновского типа для расчетов течений вязкого газа в ортогональных криволинейных координатах
1.1. Уравнения динамики вязкого газа в ортогональных криволинейных координатах
1.1.1. Уравнения в произвольных ортогональных криволинейных координатах
1.1.2. Уравнения в цилиндрических координатах
1.1.3. Уравнения в сферических координатах
1.2. Методика построения разностных схем в ортогональных криволинейных координатах
1.2.1. Разностная схема Роу-Эйнфельдта-Ошера
1.2.2. Разностные схемы для произвольной ортогональной криволинейной системы координат
1.2.3. Разностные схемы для цилиндрических координат
1.2.4. Разностные схемы для сферических координат
1.2.5. Аппроксимация «вязких» слагаемых в цилиндрических координатах
1.2.6. Аппроксимация «вязких» слагаемых в сферических координатах
1.3. Схемы на неравномерных сетках, выбор шага по времени, аппроксимация граничных условий
1.4. Результаты тестовых расчетов
Глава 2. Математическое моделирование в некоторых прикладных
задачах
2.1. Моделирование течений вязкого газа в пространстве между двумя коаксиально вращающимися цилиндрами и концентрическими сферами
2.1.1. Постановка задачи и стационарные решения
2.1.2. Результаты моделирования течений между коаксиальными цилиндрами
2.1.3. Результаты моделирования течений между концентрическими сферами
2.1.4. Промежуточные выводы
2.2. Моделирование конвективных процессов в жидком ядре Земли
2.2.1. Математическая модель
2.2.2. Результаты численных расчетов
2.2.3. Промежуточные выводы
2.3. Моделирование газодинамических течений, сопровождающих ветры бора
2.3.1. Математическая модель
2.3.2. Базовый вариант расчетов
2.3.3. Влияние параметров задачи
2.3.4. Промежуточные выводы
2.4. Моделирование процессов в аккреционном диске двойной звездной системы
2.4.1. Математическая модель
2.4.2. Равновесные конфигурации политропного газа, вращающегося около гравитирующего центра
2.4.3. Результаты моделирования в двумерном приближении____
2.4.4. О влиянии параметров задачи
2.4.5. Результаты численных расчетов в трехмерном приближении
2.4.6. Расчеты в области, содержащей обе компоненты двойной системы
2.4.7. Влияние аппроксимационной вязкости и порядка точности разностной схемы
2.4.8. Промежуточные выводы
Глава 3. Разработка программных средств визуализации расчетных данных
3.1. Разработка и реализация некоторых методов визуализации данных нестационарных многомерных расчетов
3.1.1. Метод построения линий уровня функции двух переменных
3.1.2. Метод «сдвоенного окна»
3.1.3. Построение линий уровня сеточной функции
3.1.4. Цветовая «заливка»
3.1.5. Представление сеточных данных
3.1.6. Генерация видео
3.2. Разработка интерфейсного модуля комплекса программ для ге-модинамических расчетов на графе сосудов
3.2.1. Структура данных графа сердечно-сосудистой системы
3.2.2. Генерация объемной модели
3.2.3. Реализация взаимодействия управляющей программы и солвера CVSS
3.2.4. Особенности реализации управляющей программы
Заключение
Литература
Рекомендованный список диссертаций по специальности «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», 05.13.18 шифр ВАК
Метод адаптивной искусственной вязкости для решения задач вычислительной гидродинамики2022 год, доктор наук Попов Игорь Викторович
Метод базисных операторов построения дискретных моделей сплошной среды2012 год, доктор физико-математических наук Коробицын, Владимир Анатольевич
Обобщение схемы КАБАРЕ на многомерные уравнения газовой динамики2014 год, кандидат наук Кондаков, Василий Гаврильевич
Обобщение схемы КАБАРЕ на многомерные уравнения задач газовой динамики2014 год, кандидат наук Кондаков Василий Гаврильевич
Квазиакустическая схема для уравнений Эйлера газовой динамики2013 год, кандидат наук Исаков, Виктор Александрович
Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методика моделирования течений вязкого газа в ортогональных криволинейных координатах»
Введение
Различные задачи механики сплошной среды не перестают быть актуальными во многих отраслях современной науки и техники. В качестве примеров можно отметить астрофизику, физику Земли и других планет, физиологию, биомедицину, авиастроение, нефтегазовую промышленность. В перечисленных направлениях экспериментальные методы исследования возникающих задач зачастую невозможны или слишком дороги. Поэтому активно применяются методы математического моделирования исследуемых процессов. При этом системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, характерные для математического описания задач механики сплошной среды, лишь в редких случаях допускают аналитическое решение. Этим обусловлено постоянное развитие численных методов решения таких систем уравнений.
Многие задачи механики сплошной среды описываются газодинамическими математическими моделями. Поэтому появилось и продолжает появляться огромное количество научных работ, посвященных вычислительным методам газовой динамики. Такое многообразие работ, с одной стороны, обусловлено тем, что эффективность того или иного численного метода относительна и наряду с общими объективными сложностями приближенного решения возникающих систем уравнений во многом определяется конкретной решаемой задачей. С другой стороны, совершенствование вычислительной техники сделало возможным математическое моделирование многомерных течений газа на достаточно подробных сетках, позволяющее отражать влияющие друг на друга процессы различных масштабов. Это требует адаптации существующих численных методов, которые обычно детально разработаны и исследованы в одномерном варианте. Такая адаптация может потребовать значительных усилий, особенно, если требуется проводить расчеты газодинамических течений в криволинейных координатах.
Диссертационная работа направлена на создание нового подхода к построению явных консервативных разностных схем для расчета течений вязко-
го газа в ортогональных криволинейных координатах. Верификация предложенного подхода проводится на основе практического применения построенных разностных схем для численного решения модельных задач. Апробация разработанных методов осуществляется в ходе численного решения ряда актуальных прикладных задач. В частности, в сопоставлении с известными данными экспериментов для несжимаемой жидкости исследуются течения вязкого газа в пространстве между двумя коаксиально вращающимися цилиндрами и концентрическими сферами. Моделируются конвективные процессы в жидком ядре Земли. Путем проведения серий вычислительных экспериментов изучается совокупность факторов, приводящих к катастрофическим атмосферным явлениям при новороссийской боре (бора — сильный холодный порывистый местный ветер). Проводятся двумерные и трехмерные расчеты газодинамических течений в аккреционном диске двойной звездной системы, в частности, исследуется влияние спиральных ударных волн на перераспределение углового момента. Для обеспечения полного цикла проводимых математических экспериментов рассматривается задача визуализации и анимации результатов нестационарных газодинамических расчетов. Разработаны новые и модифицированы существующие методы эффективного решения этой задачи. Предлагается общая идеология визуализации данных, заданных координатами в пространстве, применимая в том числе и для отображения результатов гидродинамических расчетов на пространственных графах. В частности, показана ее эффективность для гемодинамических расчетов на трехмерных графах сосудов.
Решение перечисленных задач приводит к необходимости построения новых математических моделей, численных методов, алгоритмов, а также комплекса вычислительных программ и программных средств визуализации.
Во введении дано описание основных подходов к решению рассматриваемых в диссертации задач, приводится обзор литературы. Отражается степень разработанности проблем и место полученных результатов среди исследований других авторов. Обосновывается актуальность темы диссертации. Формулируются цели проведенных исследований, приводится структура диссертационной работы и ее краткое содержание. Формулируются выводы о научной новизне, практической ценности полученных результатов и основ-
ные положения, выносимые на защиту. Приводятся сведения об апробации результатов диссертации.
Актуальные задачи динамики сжимаемых жидкостей и газов в большинстве случаев описываются квазилинейными гиперболическими системами уравнений в частных производных (см., например, [1-3]). Отличительной особенностью таких систем уравнений является возможность неограниченного роста со временем абсолютных значений производных газодинамических параметров в решениях задачи Коши при сколь угодно гладких начальных данных. Это влечет за собой необходимость рассмотрения разрывных обобщенных решений. Применительно к газовой динамике разрывные решения соответствуют образованию ударных волн или контактных разрывов [1-5].
Эта специфика гиперболических систем уравнений порождает значительные сложности разработки численных методов их решения. Основной, но далеко не единственной, здесь является проблема расчета разрывных решений. Также следует отметить сложности, возникающие при численном решении задач в геометрически сложных областях, требующих аппроксимации уравнений на неструктурированных сетках. Далеко не всегда просто решаются вопросы, связанные с аппроксимацией граничных условий. В ряде случаев не ясны пути повышения точности алгоритмов. Как уже отмечалось, немалые трудности возникают при адаптации существующих алгоритмов для расчетов в криволинейных координатах.
Прежде, чем приступить к изложению результатов диссертации, направленных на выработку новых подходов к решению последнего вопроса, представляется целесообразным рассмотреть общую картину развития методов вычислительной газодинамики, чтобы обозначить основные трудности их разработки, которые лишь усугубляются при переходе к криволинейным координатам.
В вычислительной газовой динамике различают конечно-разностные схемы (finite-difference schemes), аппроксимирующие систему уравнений в дифференциальной форме, и конечно-объемные (finite-volume schemes), аппроксимирующие интегральные формы уравнений [6]. Последние хороши тем, что по построению обладают свойством консервативности [7-10], то есть обеспечивают выполнение сеточных аналогов законов сохранения, при-
сущих дифференциальной задаче. Важность этого требования одними из первых была показана А.Н.Тихоновым и А.А.Самарским [11,12].
Дальнейшее развитие методики построения консервативных схем привело к появлению полностью консервативных схем [10], в которых выполняются дополнительные разностные соотношения баланса по видам энергии. Для построения полностью консервативных разностных схем используются различные подходы, в том числе вариационно-разностный метод [13-16]. Подобные схемы применимы в основном для расчетов в лагранжевых координатах.
При построении численных методов решения гиперболических систем уравнений активно используются их характеристические свойства. Так в прямых методах характеристик [17] эти свойства учитываются как при аппроксимации уравнений, так и при определении положения узлов сетки. Развитие этого подхода применительно к фиксированным разностным сеткам привело к разработке обратных или сеточно-характеристических методов [18]. К ограничениям применимости методов характеристик следует отнести необходимость явного выделения поверхностей разрывов, возникающих в численных решениях. Кроме этого, схемы, построенные методом характеристик, в большинстве случаев не являются консервативными.
Методы с выделением разрывов нашли эффективное применение в задачах, где структура решения заранее известна [19,20]. К таковым можно отнести, например, задачи обтекания тел сложной формы сверхзвуковым потоком газа с образованием отошедшей ударной волны (см. также [21,22]). В таких методах разностная сетка связана с положением разрывов, конечные разности используются для аппроксимации уравнений только в областях между выделенными разрывами, а на разрывах требуется выполнение соотношений Гюгонио [1-5]. При этом в многомерном случае выделение всех разрывов может оказаться весьма сложной задачей, поэтому применяется частичное выделение основных разрывов [8,18,22-25]. Если структура решения заранее неизвестна или в решениях с течением времени возникают подвижные разрывы, используются методы с выделением «плавающих» разрывов [25-27], однако в многомерном случае соответствующие алгоритмы многократно усложняются. Таким образом, в многомерном случае примене-
ние методов с выделением разрывов, если их положение заранее неизвестно, не представляется целесообразным.
Наряду с описанными выше методами с выделением разрывов, приводящими к неоднородным вычислительным алгоритмам, активно развивались и продолжают развиваться так называемые методы сквозного счета. В таких (однородных) методах используется единообразная аппроксимация исходных уравнений во всех узлах вводимой разностной сетки. Специфичным здесь является то, что на разрывных решениях классическое понятие аппроксимации [7-10,24], строго говоря, перестает быть применимым. Поэтому порядок аппроксимации становится условной величиной, характеризующей свойства схемы исключительно на достаточно гладких участках решений исходной дифференциальной задачи.
Одними из первых были построены схемы сквозного счета первого порядка Куранта-Изаксона-Риса [28], Лакса-Фридрихса [29] и Годунова [30, 31]. Позже появились схемы второго порядка Лакса-Вендроффа [32,33], Фромма [34], МакКормака [35], Бима-Ворминга [36,37], а также схемы более высокого порядка аппроксимации (см., например, [38-42]). Подробный обзор развития явных разностных схем сквозного счета можно найти в монографии [8]. Практическое использование и исследование (см., например, [43-45]) указанных схем выявило их некоторые общие свойства. В частности, характерным для численных решений, полученных по таким схемам, является либо сильное «размазывание» разрывов, либо возникновение в их окрестности осцилляций нефизического характера. Подобные эффекты могут трактоваться как проявление собственных диссипативных и дисперсионных свойств разностных схем [10,46-48]. Для устранения осцилляций в схемах повышенного порядка используются различные приемы. В том числе вводятся различные добавки, например, линейная или квадратичная искусственная вязкость [10,48-52]. Также используются различные фильтры [53,54]. Однако следует отметить, что использование искусственных диссипативных добавок может существенно исказить решение [8] и привести к неадекватным численным результатам.
Возникновение нефизических осцилляций в численных решениях, полученных по схемам сквозного счета, также может трактоваться как отсутствие
монотонности схем. Применительно к разностным схемам для численного решения гиперболических систем уравнений это свойство рассматривается наряду с такими классическими понятиями, как аппроксимация, устойчивость, сходимость и консервативность [7-10,24,55]. Существуют различные определения монотонности разностных схем. Одно из них требует сохранения монотонности профиля численного решения на следующем временном слое при его монотонности на текущем слое, если указанное свойство имеет место для точного решения задачи. Для линейных разностных схем, аппроксимирующих простейшее уравнение гиперболического типа — линейное уравнение переноса, определение монотонности может быть сформулировано строго. С.К.Годуновым была доказана теорема [31], из которой вытекает, что среди явных линейных двухслойных схем для этого уравнения с порядком аппроксимации выше первого нет монотонных.
Преодолеть ограничения, вытекающие из теоремы Годунова, возможно отказавшись от требования линейности разностной схемы. Для линейного уравнения переноса эта идея впервые была реализована Р.П.Федоренко [56]. Последующее развитие этой идеи привело к созданию гибридных методов, в которых применялось гладкое «переключение» между схемами первого и второго порядка [57]. В дальнейшем были построены гибридные схемы для гиперболических систем уравнений общего вида [53,58], где, в частности, использовалась комбинация схем Лакса-Фридрихса [29] и Лакса-Вендрофа [32,33] первого и второго порядка точности соответственно.
Важным этапом развития схем переменного порядка точности является предложенный Борисом и Буком метод, основанный на так называемой процедуре коррекции потоков FCT (Flux Corrected Transport) [59-61]. Для повышения порядка аппроксимации используется двухшаговый вычислительный алгоритм типа предиктор-корректор. На первом шаге используется монотонная схема первого порядка точности. Вводимые на втором шаге антидиффузионные добавки ограничиваются таким образом, чтобы на следующем временном слое не возникали новые локальные экстремумы и не возрастали амплитуды существующих на начало шага локальных минимумов и максимумов. Указанное требование фактически является одним из возможных аналогов условия монотонности схемы. В дальнейшем подобные требования к разност-
ной схеме были формализованы и привели к условию невозрастания полной вариации численного решения TVD (Total Variation Diminishing) [62,63].
В TVD-схемах для повышения порядка аппроксимации обычно используется экстраполяция сеточных функций из прилегающих разностных ячеек. При этом эффективной оказывается специальная процедура кусочно-линейной реконструкции сеточных функций внутри разностных ячеек. Одной из первых TVD-схем второго порядка аппроксимации по пространству, при построении которой использовался этот подход, является MUSCL (Monotone Upstream-centered Scheme for Conservation Laws) [64]. При вычислении разностных потоков на границе ячейки для выполнения TVD-условия наклоны кусочно-линейных распределений сеточных функций ограничиваются. Для этого используются специальные ограничители потоков (flux limiters), являющиеся функциями разностных отношений. Анализ свойств TVD-схем с различными ограничителями потока можно найти в работах [6,65-69].
Повышение качества схем переменного порядка точности достигалось, в том числе, за счет дальнейшего развития подходов, используемых при построении TVD-схем. Появились их многочисленные модификации, такие как UNO (Uniformly NonOscillatory) [70], TVB (Total Variation Bounded) [71], WAF (Weighted Average Flux) [72, 73] и другие. В частности, эффективным оказался переход от кусочно-линейной к кусочно-параболической реконструкции, позволивший повысить порядок аппроксимации разностной схемы по пространству до третьего, как, например, в PPM (Piecewise Parabolic Method) [74]. В ENO-схемах (Essentially Non-Oscillatory) [70,75,76] и WENO-схемах (Weighted ENO) [77] для реконструкции сеточных функций используются интерполяционные многочлены на различных шаблонах. Разработка подобных методик позволила существенно повысить качество численных решений не только в областях их гладкости, но и в окрестности разрывов. Применительно к таким методам в настоящее время используется название «схемы высокого разрешения» (High Resolution Schemes). Помимо перечисленных к схемам высокого разрешения можно отнести методы, построенные на основе несколько иных подходов. Здесь следует отметить «квазимонотонные» схемы [78-81], схемы «Кабаре» [82-86], а также методы, использующие подвижные адаптивные сетки [87-89].
Многие идеи, лежащие в основе построения явных разностных схем газовой динамки, заложены в ставшем уже классическим методе С.К.Годунова [23,30,31]. В схеме Годунова первого порядка точности аппроксимируется дивергентная форма уравнений, что обеспечивает ее консервативность. Используется кусочно-постоянная реконструкция сеточных функций в ячейках разностной сетки. Потоковые величины на границах разностных ячеек находятся путем точного решения задачи Римана о распаде произвольного разрыва между двумя состояниями газа (с постоянными параметрами) в соседних ячейках. Такой подход имеет ясную физическую интерпретацию, которая приводит к естественному ограничению на выбор шага по времени (см. также [24]), аналогичному условию Куранта-Фридрихса-Леви [90] для линейных гиперболических уравнений. Важно отметить, что ограничение позволяет выбирать шаги по времени того же порядка, что и шаги по пространству. Это обстоятельство является определяющим для эффективного применения явных разностных схем для численного решения гиперболических систем уравнений.
Основные вычислительные затраты в схеме Годунова приходятся на решение задачи Римана о распаде разрыва для каждой границы между разностными ячейками. Задача сводится к нелинейной системе алгебраических уравнений, для нахождения решения которой применяется какой-либо итерационный метод. Таким образом, при использовании схемы, особенно в многомерном случае, требуется большой объем вычислений. По этой причине в дальнейшем стали активно разрабатываться схемы годуновского типа, в которых задача Римана решается приближенно. Были предложены различные консервативные модификации [47] схем типа Куранта-Изаксона-Риса [28]. Другие способы линеаризации используются в методах Роу [91,92] и Оше-ра [93-95]. В настоящее время в качестве приближенных «решателей» задачи Римана (approximate Riemann solvers) также широко используются метод HLL (Harten, Lax and van Leer) [96] и его модификации, такие как HLLE (HLL, Einfeldt) [97,98] и HLLC (HLL Contact) [99,100]. Для более детального ознакомления с соответствующими подходами можно рекомендовать обзоры [69,101].
Следует отметить наличие и других подходов к построению численных методов решения задач газовой динамики. В качестве примеров можно привести метод крупных частиц [102,103], «бессеточный» метод свободных точек [104], метод гладких частиц [105,106] и частиц в ячейках PIC (Particle-In-Cell) [107,108], разрывный метод Галеркина [109-111], кинетически согласованные разностные схемы [112-115].
При адаптации численных методов газовой динамики для расчетов в криволинейных координатах используются различные подходы. Один из них состоит в применении метода конечных объемов [6,11,12] на криволинейных сетках. Метод предполагает построение консервативных разностных схем фактически заново. При этом многими авторами отмечается, что применение для криволинейных координат декартовых алгоритмов реконструкции сеточных функций в неизменном виде может приводить к дефектам разностных схем. Так, например, отмечено [116], что при построении схем второго порядка для корректной реконструкции значения средних величин следует относить к центроидам контрольных объемов, а не к геометрическим центрам разностных ячеек. Существенные модификации требуются и для адаптации к криволинейным координатам таких схем повышенного порядка точности, как TVD, PPM и WENO [117-119].
Для построения разностных схем также используется конечно-разностная аппроксимация различных форм записи уравнений в криволинейных координатах. В работах [120,121] получена строго консервативная форма записи уравнений Навье-Стокса для криволинейных координат общего вида (см. также [122]). Путем аппроксимации этих уравнений строятся консервативные разностные схемы, в частности, TVD (см., например, [123]) и WENO (см., например, [124]). В других формах записи уравнений в криволинейных координатах их строгая дивергентность, как правило, нарушается. При их аппроксимации необходимо отдельно позаботиться об обеспечении консервативности схемы. Так, например, в цилиндрических координатах уравнения иногда записываются в так называемых консервативных переменных, что позволяет аппроксимировать разностные потоки так же, как в декартовых координатах [125,126]. Однако использование таких «нефизических» переменных может иметь и негативные последствия [8]. В работе [127] де-
монстрируется, что из трех различных форм записи одномерной (зависимость только от радиуса) нестационарной системы уравнений газовой динамики в цилиндрических или сферических координатах только одна допускает построение WENO-схемы, одновременно обладающей повышенным порядком и консервативностью. Как для несжимаемого, так и для сжимаемого варианта системы Навье-Стокса для построения разностных схем в произвольных криволинейных координатах может использоваться форма уравнений, содержащая контравариантные компоненты скорости [128]. В двумерном приближении для вязкой несжимаемой жидкости консервативные схемы могут быть построены путем аппроксимации уравнений в криволинейных ортогональных координатах в переменных вихрь - функция тока - момент вращения [129]. Используется конечно-разностная аппроксимация уравнений Навье-Стокса, выписанных в универсальной векторной форме, содержащей скорость и завихренность, с применением перемежающихся сеток (различные группы сеточных функций определяются в различных системах узлов) [130]. В некоторых методах типа предиктор-корректор на первом этапе аппроксимируются уравнения в недивергентной форме, а на втором — в дивергентной форме записи [131]. Описанная группа методов построения разностных схем в криволинейных координатах приводит к необходимости дискретизации уравнений, записанных в переменных, отличных от обычно рассматриваемых в декартовом случае.
Для построения разностных схем в криволинейных координатах, а также на нерегулярных и неортогональных сетках эффективен метод опорных операторов [16]. Развитие этого метода позволяет реализовать подход к построению подобных разностных схем, при котором для перехода к криволинейным координатам преобразуются не исходные дифференциальные уравнения, а непосредственно разностные схемы. Таким способом строятся дифференциально-разностные схемы механики сплошной среды в переменных Лагранжа [132]. При этом используются формализованные преобразования дискретных базисных операторов (аналоги дифференциальных преобразований) при переходе от декартовых к криволинейным координатам. Такой подход также приводит к необходимости радикальных изменений декартовых вычислительных алгоритмов.
Существующее многообразие, а также непрерывное развитие описанных выше подходов свидетельствуют об отсутствии универсального метода численного решения задач газовой динамики. Целесообразность применения того или иного метода по-прежнему определяется спецификой конкретной задачи. Однако можно выделить широкий класс явных разностных схем, допускающих запись в потоковой форме, к которому, в частности, относятся схемы годуновского типа. Такая форма записи отражает упоминавшееся ранее свойство дивергентности исходных уравнений и обеспечивает консервативность схем. В настоящее время такие схемы используются при численном решении прикладных задач наиболее часто. При этом следует отметить, что дивергентность уравнений имеет место лишь в прямоугольных декартовых координатах. В криволинейных координатах появляются дополнительные слагаемые, что делает невозможным использование алгоритмов (обычно детально разработанных для одномерного случая декартовых координат) без их существенных модификаций.
Таким образом, подходы к построению разностных схем, как правило, отрабатываются на декартовых сетках, и только потом со значительными усилиями переносятся на случай криволинейных координат. Необходимы кардинальные изменения декартовых алгоритмов, а в некоторых случаях схемы фактически строятся заново. При этом зачастую требуется предпринимать дополнительные усилия для обеспечения консервативности модифицированных разностных схем. Модификации влекут за собой необходимость коренной переработки программного кода декартовых схем и его последующей отладки.
В диссертации разработан новый подход к построению явных консервативных потоковых разностных схем для расчетов течений вязкого газа в произвольных ортогональных криволинейных координатах, позволяющий минимизировать указанные трудности.
В предлагаемом методе за основу берется произвольная декартова схема годуновского типа, аппроксимирующая уравнения Эйлера. Алгоритм вычисления разностных потоков в базовой декартовой схеме считается известным и никак не модифицируется. Потоковые комбинации газодинамических функций, вычисленные по алгоритмам декартовой схемы, относятся к центрам
граней криволинейной разностной ячейки. При этом предполагается, что компоненты скорости, входящие в потоковые комбинации (как правило, неизвестные по отдельности) заданы в локальных базисах этих центров. Считается, что для каждой грани криволинейной ячейки известна параметризация ее поверхности в какой-либо декартовой системе координат. С использованием параметризации поверхностей граней и выражений для декартовых потоков специальным образом аппроксимируются интегральные уравнения баланса массы, импульса и энергии по объему криволинейной ячейки. В результате получаются разностные уравнения, в которых газодинамические функции входят лишь в виде потоковых комбинаций базовой декартовой схемы. Для обобщения предложенного метода на случай уравнений Навье-Стокса (для сжимаемой жидкости и газа) достаточно учесть влияние тензора вязких напряжений. Такой учет осуществляется путем введения разностных добавок к декартовым потокам, аппроксимирующим компоненты тензора, выписанные в рассматриваемых ортогональных криволинейных координатах. Таким образом, предложенный метод сочетает в себе конечно-разностный (в части вычисления декартовых потоков и компонент тензора вязких напряжений) и конечно-объемный подход к построению схемы, обеспечивающий ее консервативность.
Похожие диссертационные работы по специальности «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», 05.13.18 шифр ВАК
Метод численного моделирования газодинамических течений и его применение в задаче о Т-слое2013 год, кандидат наук Галанина, Анна Михайловна
Численное исследование задач динамики деформируемых сред сеточно-характеристическими методами1991 год, доктор физико-математических наук Петров, Игорь Борисович
Развитие схем на основе квазиодномерного подхода для решения задач аэроакустики на неструктурированных сетках2013 год, кандидат наук Бахвалов, Павел Алексеевич
Балансно-характеристические схемы для дифференциальных уравнений гиперболического типа с инвариантами Римана2003 год, кандидат физико-математических наук Кобринский, Илья Михайлович
Полностью консервативные разностные схемы газовой динамики в эйлеровых переменных1984 год, кандидат физико-математических наук Рязанов, Михаил Александрович
Список литературы диссертационного исследования доктор наук Абакумов Михаил Владимирович, 2021 год
Литература
1. Курант Р. Уравнения с частными производными. — М. : Мир, 1964. — 830 с.
2. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. — М. : Наука, 1977.— 735 с.
3. Рождественский Б. Л., Яненко Н. Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. — М. : Наука, 1978. — 688 с.
4. Кочин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидродинамика. Часть 2. — 4-е, перераб. и дополн. изд. — М. : Физматлит, 1963. — 728 с.
5. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика: учебное пособие в 10 т. — 3-е, перераб. изд. — М. : Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986.— Т. VI. Гидродинамика. — 736 с.
6. Hirsch C. Numerical Computation of Internal and External Flows. — Chichester : John Wiley & Sons, 1988. — Vol. 1. — 515 p.
7. Годунов C. К., Рябенький В. С. Разностные схемы (введение в теорию). — М. : Наука, 1977. — 440 с.
8. Роуч П. Д. Вычислительная гидродинамика / Под ред. П. И. Чушкин. — М. : Мир, 1980.— 616 с.
9. Самарский А. А. Теория разностных схем. — 3-е испр. изд. — М. : Наука, 1989. —616 с.
10. Самарский А. А., Попов Ю. П. Разностные методы решения задач газовой динамики: Учеб. пособие; Для вузов. — 3-е доп. изд. — М. : Наука, 1992.—424 с.
11. Тихонов А. Н., Самарский А. А. О сходимости разностных схем в классе разрывных коэффициентов // Доклады Академии наук СССР. — 1959. — Т. 124, № 3. — С. 529-532.
12. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Об однородных разностных схемах // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1961. — Т. 1, № 1. — С. 5-63.
13. Головизнин В. М., Самарский А. А., Фаворский А. П. Вариационнй подход к построению конечно-разностных моделей в гидродинамике // Доклады Академии наук СССР. — 1977. — Т. 235, № 6. — С. 1285-1288.
14. Фаворский А. П. Вариационно-дискретные модели уравнений гидродинамики // Дифференциальные уравнения. — 1980. — Т. 16, № 7. — С. 1308-1321.
15. Вариационно-операторные разностные схемы для уравнений математической физики / Т. К. Коршия, В. Ф. Тишкин, А. А. Самарский и др. — Тбилиси : Изд. ТГУ, 1983. — 143 с.
16. Разностные схемы на нерегулярных сетках / А. А. Самарский, А. В. Кол-доба, Ю. А. Повещенко и др. — Минск : ЗАО «Критерий», 1996. —273 с.
17. Чушкин П. И. Метод характеристик для пространственных сверхзвуковых течений. — М. : ВЦ АН СССР, 1968. — 122 с.
18. Магомедов К. М., Холодов А. С. Сеточно-характеристические численные методы. — М. : Наука, 1988. —290 с.
19. Пространственное обтекание гладких тел идеальным газом / К. И. Ба-бенко, Г. П. Воскресенский, А. Н. Любимов, В. В. Русанов. — М. : Наука, 1964. — 505 с.
20. Любимов А. Н., Русанов В. В. Течения газа около тупых тел (в 2-х частях).—М. : Наука, 1970. —668 с.
21. Погорелов Н. В., Шевелев Ю. Д. Численное исследование сверхзвукового обтекания затупленных тел сложной формы под большими углами атаки // Численные методы динамики вязкой жидкости. — Н. : Ин-т теор. и прикл. мех. СО АН СССР, 1983. — С. 262-268.
22. Шевелев Ю. Д. Пространственные задачи вычислительной аэрогидродинамики. — М. : Наука, 1986.— 367 с.
23. Годунов С. К., Забродин А. В., Прокопов Г. П. Разностная схема для двумерных нестационарных задач газовой динамики и расчет обтекания с отошедшей ударной волной // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1961. — Т. 1, № 6. — С. 1020-1050.
24. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. — М. : Мир, 1972. —418 с.
25. Численное решение многомерных задач газовой динамики / С. К. Годунов, А. В. Забродин, М. Я. Иванов и др. — М. : Наука, 1976. — 400 с.
26. Moretti G. Floating shock fitting technique for imbedded shocks in unsteady multidimensional flows // Heat Transfer and Fluid Mechanics Institute. — Standford University Press, 1974. — P. 184-201.
27. Moretti G. On the matter of shock fitting // Proceedings of the Fourth International Conference on Numerical Methods in Fluid Dynamics / Ed. by R. D. Richtmyer. - Berlin : Springer-Verlag, 1975. - Vol. 35. - P. 287292.
28. Courant R., Isaacson E., Rees M. On the solution of nonlinear hyperbolic differential equations by finite differences // Communications on Pure and Applied Mathematics. - 1952. - Vol. 5, no. 3. - P. 243-255.
29. Lax P. D. Weak solutions of nonlinear hyperbolic equations and their numerical computation // Communications on Pure and Applied Mathematics. - 1954.-Vol. 7, no. 1.-P. 159-193.
30. Годунов С. К. Разностный метод расчета ударных волн // Успехи математических наук. - 1957. - Т. 12, № 1(73). - С. 176-177.
31. Годунов С. К. Разностный метод численного расчета разрывных решений гидродинамики // Математический сборник. - 1959. - Т. 47(89), № 3.-С. 271-306.
32. Lax P. D., Wendroff B. Systems of conservation laws // Communications on Pure and Applied Mathematics. - 1960. - Vol. 13, no. 2. - P. 217-237.
33. Lax P. D., Wendroff B. Difference schemes for hyperbolic equations with high order of accuracy // Communications on Pure and Applied Mathematics. - 1964. - Vol. 17, no. 3. - P. 381-398.
34. Fromm J. E. A method for reducing dispersion in convective difference schemes // Journal of Computational Physics. - 1968. - Vol. 3, no. 2. -P. 176-189.
35. MacCormack R. W. The effect of viscosity in hypervelocity impact cratering // AIAA Paper. - 69 no. 354. - 1969.
36. Beam R. M., Warming R. F. An implicit finite-difference algorithm for hyperbolic systems in conservation-law form // Journal of Computational Physics. - 1976. - Vol. 22, no. 1. - P. 87-110.
37. Warming R. F., Beam R. M. Upwind second-order difference schemes and applications in aerodynamic flows // AIAA Journal. - 1976. - Vol. 14, no. 9.-P. 1241-1249.
38. Strang G. Accurate partial difference methods I: Linear cauchy problems // Archive for Rational Mechanics and Analysis. - 1963. - Vol. 12, no. 1. -P. 392-402.
39. Русанов В. В. Разностные схемы третьего порядка точности для сквозного счета разрывных решений // Доклады Академии наук СССР. — 1968. — Т. 180, № 6. — С. 1303-1305.
40. Warming R. F., Kutler P., Lomax H. Second- and third-order noncentered difference schemes for nonlinear hyperbolic equations // AIAA Journal. — 1973. — Vol. 11, no. 2. — P. 189-196.
41. Zwas G., Abarbanel S. Third and fourth order accurate schemes for hyperbolic equations of conservation law form // Mathematics of Computation. — 1971. — Vol. 25, no. 114. — P. 229-236.
42. Abarbanel S., Gottlieb D., Turkel E. Difference schemes with fourth order accuracy for hyperbolic equations // SIAM Journal on Applied Mathematics. — 1975. — Vol. 29, no. 2. — P. 329-351.
43. Emery A. F. An evaluation of several differencing methods for inviscid fluid flow problems // Journal of Computational Physics. — 1968. — Vol. 2, no. 3. —P. 306-331.
44. Taylor T. D., Ndefo E., Masson B. S. A study of numerical methods for solving viscous and inviscid flow problems // Journal of Computational Physics. — 1972. — Vol. 9, no. 1. — P. 99-119.
45. Sod G. A. A survey of several finite difference methods for systems of nonlinear hyperbolic conservation laws // Journal of Computational Physics. — 1978. — Vol. 27, no. 1. — P. 1-31.
46. Давыдов Ю. М., Скотников В. П. Дифференциальные приближения разностных схем. — М. : Изд-во ВЦ АН СССР, 1978. — 72 с.
47. Холодов А. С. О построении разностных схем с положительной аппроксимацией для уравнений гиперболического типа // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1978. — Т. 18, № 6. — С. 1476-1492.
48. Шокин Ю. И., Яненко Н. Н. Метод дифференциального приближения. Применение к газовой динамике. — Новосибирск : Наука, 1985. — 364 с.
49. VonNeumann J., Richtmyer R. D. A method for the numerical calculation of hydrodynamic shocks // Journal of Applied Physics. — 1950. — Vol. 21, no. 3. —P. 232-237.
50. Куропатенко В. Ф. Метод построения разностных схем для численного интегрирования уравнений гидродинамики // Известия высших учебных заведений. Математика. — 1962. — № 3(28). — С. 75-83.
51. Самарский А. А., Арсенин В. Я. О численном решении уравнений газодинамики с различными типами вязкости // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1961. — Т. 1, № 2. — С. 357360.
52. Мухин С. И., Попов С. Б., Попов Ю. П. О разностных схемах с искусственной дисперсией // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1983. — Т. 23, № 6. — С. 1355-1369.
53. Harten A., Zwas G. Switched numerical Shuman filters for shock calculations // Journal of Engineering Mathematics. — 1972. — Vol. 6, no. 2. —P. 207-216.
54. Колган В. П. Конечно-разностная схема для расчета двумерных разрывных решений нестационарной газовой динамики // Ученые записки ЦАГИ. — 1975. — Т. 6, № 1. — С. 9-14.
55. Рябенький В. С., Филиппов А. Ф. Об устойчивости разностных уравнений. — М. : Гостехиздат, 1956. — 171 с.
56. Федоренко Р. П. Применение разностных схем высокой точности для численного решения гиперболических уравнений // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1962. — Т. 2, № 6. — С. 1122-1128.
57. Гольдин В. Я., Калиткин Н. Н., Шишова Т. В. Нелинейные разностные схемы для гиперболических уравнений // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1965. — Т. 5, № 5. — С. 938-944.
58. Harten A., Zwas G. Self-adjusting hybrid schemes for shock computations // Journal of Computational Physics. — 1972. — Vol. 9, no. 3. —P. 568-583.
59. Boris J. P., Book D. L. Flux-corrected transport. I. SHASTA, a fluid transport algorithm that works // Journal of Computational Physics. — 1973.—Vol. 11, no. 1. —P. 38-69.
60. Book D. L., Boris J. P., Hain K. Flux-corrected transport II: Generalizations of the method // Journal of Computational Physics. — 1975. — Vol. 18, no. 3. —P. 248-283.
61. Boris J. P., Book D. L. Flux-corrected transport. III. Minimal-error FCT algorithms // Journal of Computational Physics. — 1976. — Vol. 20, no. 4.— P. 397-431.
62. Harten A. High resolution schemes for hyperbolic conservation laws // Journal of Computational Physics. — 1983. — Vol. 49, no. 3. — P. 357-393.
63. Harten A. On a class of high resolution total-variation-stable finite-difference schemes // SIAM Journal on Numerical Analysis. — 1984. — Vol. 21, no. 1. —P. 1-23.
64. van Leer B. Towards the ultimate conservative difference scheme. V. A second-order sequel to Godunov's method // Journal of Computational Physics. — 1979. — Vol. 32, no. 1. — P. 101-136.
65. Sweby P. K. High resolution schemes using flux limiters for hyperbolic conservation laws // SIAM Journal on Numerical Analysis. — 1984. — Vol. 21, no. 5. —P. 995-1011.
66. Roe P. L. Some contributions to the modeling of discontinuous flows // Lectures in Applied Mathematics. — AMS, 1985. — Vol. 22. — P. 163-193.
67. Yee H. C. A class of high-resolution explicit and implicit shock-capturing methods. — California, 1989. — 218 p. — (NASA Technical Memorandum 101088).
68. Hirsch C. Numerical Computation of Internal and External Flows. — Chichester : John Wiley & Sons, 1990. — Vol. 2. — 691 p.
69. Toro E. F. Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics. — Berlin : Springer, 1999. — 624 p.
70. Harten A., Osher S. Uniformly high-order accurate nonoscillatory schemes. I // SIAM Journal on Numerical Analysis. — 1987. — Vol. 24, no. 2. — P. 279-309.
71. Shu C.-W. TVB uniformly high-order schemes for conservation laws // Mathematics of Computation. — 1987. — Vol. 49, no. 179. — P. 105-121.
72. Toro E. F. A weighted average flux method for hyperbolic conservation laws // Proceedings of the Royal Society. — 1989. — Vol. 423, no. 1865. — P. 401-418.
73. Toro E. F. The weighted average flux method applied to the Euler equations // Philosophical Transactions of the Royal Society A. — 1992. — Vol. 341, no. 1662.— P. 499-530.
74. Colella P., Woodward P. R. The piecewise parabolic method (PPM) for gas-dynamical simulations // Journal of Computational Physics. — 1984. — Vol. 54, no. 1. —P. 174-201.
75. Shu C.-W., Osher S. Efficient implementation of essentially non-oscillatory shock-capturing schemes. I // Journal of Computational Physics. — 1988. — Vol. 77, no. 2.— P. 439-471.
76. Shu C.-W., Osher S. Efficient implementation of essentially non-oscillatory shock-capturing schemes. II // Journal of Computational Physics. — 1989. — Vol. 83, no. 1. — P. 32-78.
77. Liu X.-D., Osher S., Chan T. Weighted essentially non-oscillatory schemes // Journal of Computational Physics. — 1994. — Vol. 115, no. 1. — P. 200-212.
78. Вязников К. В., Тишкин В. Ф., Фаворский А. П. Квазимонотонные разностные схемы повышенного порядка точности. — М., 1987. — 27 с. — (Препр. / ИПМ АН СССР №36).
79. Вязников К. В., Тишкин В. Ф., Фаворский А. П. Квазимонотонные разностные схемы для уравнений газодинамики. — М., 1987. — 24 с. — (Препр. / ИПМ АН СССР № 175).
80. Вязников К. В., Тишкин В. Ф., Фаворский А. П. Численные примеры квазимонотонных схем газовой динамики. — М., 1988. — 26 с. — (Препр. / ИПМ АН СССР № 121).
81. Вязников К. В., Тишкин В. Ф., Фаворский А. П. Построение монотонных разностных схем повышенного порядка аппроксимации для систем уравнений гиперболического типа // Математическое моделирование. — 1989. —Т. 1, № 5.— С. 95-120.
82. Головизнин В. М., Самарский А. А. Разностная аппроксимация конвективного переноса с пространственным расщеплением временной производной // Математическое моделирование. — 1998. — Т. 10, № 1. — С. 86-100.
83. Головизнин В. М., Самарский А. А. Некоторые свойства разностной схемы «Кабаре» // Математическое моделирование. — 1998. — Т. 10, № 1. — С. 101-116.
84. Головизнин В. М., Карабасов С. А. Нелинейная коррекция схемы Кабаре // Математическое моделирование. — 1998. — Т. 10, № 12. — С. 107123.
85. Головизнин В. М., Карабасов С. А., Кобринский И. М. Балансно-характеристические схемы с разделёнными консервативными и потоковыми переменными // Математическое моделирование. — 2003. — Т. 15, № 9. — С. 29-48.
86. Новые алгоритмы вычислительной гидродинамики для многопроцессорных вычислительных комплексов: Монография / В. М. Головизнин, М. А. Зайцев, С. А. Карабасов, И. А. Короткин. — М. : Издательство Московского университета, 2013. — 472 с.
87. Ivanenko S. A. Harmonic mappings // Handbook of Grid Generation / Ed. by J. F. Thompson, B. K. Soni, N. P. Weatherill. — Boca Raton : CRC Press, 1999.— P. 249-291.
88. McRae D. S., Laflin K. R. Dynamic grid adaption and grid quality // Handbook of Grid Generation / Ed. by J. F. Thompson, B. K. Soni, N. P. Weatherill. — Boca Raton : CRC Press, 1999.— P. 882-914.
89. Zegeling P. A. Moving grid techniques // Handbook of Grid Generation / Ed. by J. F. Thompson, B. K. Soni, N. P. Weatherill. — Boca Raton : CRC Press, 1999. — P. 969-990.
90. Courant R., Friedrichs K., Lewy H. Über die partiellen Differenzengleichungen der mathematischen Physik // Mathematische Annalen. — 1928. — Vol. 100, no. 1. — P. 32-74.
91. Roe P. L. Approximate Riemann solvers, parameter vectors, and difference schemes // Journal of Computational Physics. — 1981. — Vol. 43, no. 2. — P. 357-372.
92. Roe P. L. Characteristic-based schemes for the Euler equations // Annual Review of Fluid Mechanics. — 1986. — Vol. 18, no. 1. — P. 337-365.
93. Osher S. Numerical solution of singular perturbation problems and hyperbolic systems of conservation laws // North-Holland Mathematics Studies. — 1981. — Vol. 47. — P. 179-204.
94. Osher S., Solomon F. Upwind difference schemes for hyperbolic systems of conservation laws // Mathematics of Computation. — 1982. — Vol. 38, no. 158.— P. 339-374.
95. Osher S. Riemann solvers, the entropy condition, and difference // SIAM Journal on Numerical Analysis. — 1984. — Vol. 21, no. 2. — P. 217-235.
96. Harten A., Lax P. D., van Leer B. On upstream differencing and Godunov-type schemes for hyperbolic conservation laws // SIAM Review. — 1983. — Vol. 25, no. 1. —P. 35-61.
97. Einfeldt B. On Godunov-type methods for gas dynamics // SIAM Journal on Numerical Analysis. — 1988. — Vol. 25, no. 2. — P. 294-318.
98. On Godunov-type methods near low densities / B. Einfeldt, C. D. Munz, P. L. Roe, B. Sjogreen // Journal of Computational Physics. — 1991. — Vol. 92, no. 2. —P. 273-295.
99. Toro E. F., Chakraborty A. The development of a Riemann solver for the steady supersonic euler equations // The Aeronautical Journal. — 1994. — Vol. 98, no. 979.— P. 325-339.
100. Toro E. F., Spruce M., Speares W. Restoration of the contact surface in the HLL-Riemann solver // Shock Waves. — 1994. — Vol. 4, no. 1. — P. 25-34.
101. Куликовский А. Г., Погорелов Н. В., Семенов А. Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. — М. : Физматлит, 2001. — 608 с.
102. Численное решение некоторых задач газовой динамики / О. М. Бело-церковский, Ф. Д. Попов, А. И. Толстых и др. // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1970. — Т. 10, № 2. — С. 401-416.
103. Белоцерковский О. М., Давыдов Ю. М. Метод крупных частиц в газовой динамике. — М. : Наука, 1982. — 392 с.
104. Дьяченко В. Ф. Об одном новом методе численного решения нестационарных задач газовой динамики с двумя пространственными переменными // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1965. — Т. 5, № 4. — С. 680-688.
105. Monaghan J. J., Gingold R. A. Shock simulation by the particle method SPH // Journal of Computational Physics. — 1983. — Vol. 52, no. 2. — P. 374-389.
106. Monaghan J. J. Particle methods for hydrodynamics // Computer Physics Reports. — 1985. — Vol. 3, no. 2. — P. 71-124.
107. Harlow F. H. The particle-in-cell method for numerical solution of problems in fluid dynamics // Proceedings of Symposium in Applied Mathematics. — Vol. 15. —American Mathematical Society, 1963.— P. 269-288.
108. Харлоу Ф. Х. Численный метод частиц в ячейках для задач гидродинамики // Вычислительные методы в гидродинамике. — М. : Мир, 1967. — 384 с.
109. Cockburn B., Shu C.-W. Runge-Kutta discontinuous Galerkin methods for convection - dominated problems // Journal of Scientific Computing. — 2001.—Vol. 16, no. 3. — P. 173-261.
110. Галанин М. П., Савенков Е. Б., Токарева С. А. Решение задач газовой динамики с ударными волнами RKDG-методом // Математическое моделирование. — 2008. — Т. 20, № 11. — С. 55-66.
111. Ладонкина М. Е., Неклюдова О. А., Тишкин В. Ф. Использование разрывного метода Галеркина при решении задач газовой динамики // Математическое моделирование. — 2014. — Т. 26, № 1. —С. 17-32.
112. Елизарова Т. Г., Четверушкин Б. Н. Кинетические алгоритмы для расчёта газодинамических течений // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1985. - Т. 25, № 10. - С. 1526-1533.
113. Елизарова Т. Г. О классе кинетически согласованных разностных схем газовой динамики // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1987. - Т. 27, № 11. - С. 1748-1752.
114. Абалакин И. В., Четверушкин Б. Н. Кинетически-согласованные разностные схемы как модель для описания газодинамических течений // Математическое моделирование. - 1996. - Т. 8, № 8. - С. 17-36.
115. Четверушкин Б. Н. Кинетически согласованные схемы в газовой динамике.-М. : Изд-во МГУ, 1999.-232 с.
116. Monchmeyer R., Muller E. A conservative second-order difference scheme for curvilinear coordinates. I: Assignment of variables on a staggered grid // Astronomy and Astrophysics. - 1989. - Vol. 217, no. 1-2. - P. 351367.
117. Yee H. C., Harten A. Implicit TVD schemes for hyperbolic conservation laws in curvilinear coordinates // AIAA Journal. - 1987. - Vol. 25, no. 2.-P. 266-274.
118. Blondin J. M., Lufkin E. A. The piecewise-parabolic method in curvilinear coordinates // The Astrophysical Journal. - 1993. - Vol. 88. - P. 589-594.
119. Mignone A. High-order conservative reconstruction schemes for finite volume methods in cylindrical and spherical coordinates // Journal of Computational Physics. - 2014. - Vol. 270. - P. 784-814.
120. Vinokur M. Conservation equations of gasdynamics in curvilinear coordinate systems // Journal of Computational Physics. - 1974. - Vol. 14, no. 2.-P. 105-125.
121. Viviand H. Conservation forms of gas dynamic equations // La Recherche Aerospatiale. - 1974. - no. 1974-1. - P. 65-68.
122. Андерсон Д., Таннехилл Д., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен. - М. : Мир, 1990. - Т. 1. - 384 с.
123. Гильманов А. Н., Кулачкова Н. А. Численное исследование двумерных течений газа со скачками методом TVD на физически адаптивных сетках // Математическое моделирование. - 1995. - Т. 7, № 3. - С. 97106.
124. Sun Z., Ren Y.-X. A characteristic-wise hybrid compact-WENO scheme for solving the navier-stokes equations on curvilinear coordinates // Computational Fluid Dynamics 2008. — Springer Berlin Heidelberg, 2009. —P. 437-442.
125. Кузнецов О. А. Обобщение монотонной схемы Roe на случай лагран-жевых и СЭЛ-переменных. — М., 1992. — 32 с. — (Препр. / ИПМ АН СССР №29).
126. Дудоров А. Е., Жилкин А. Г., Кузнецов О. А. Двумерный численный код для осесимметричных самогравитирующих МГД-течений // Математическое моделирование. — 1999. — Т. 11, № 11. —С. 109-127.
127. Wang S., Johnsen E. High order schemes for cylindrical/spherical coordinates with radial symmetry // 21st AIAA Computational Fluid Dynamics Conference. — American Institute of Aeronautics and Astronautics, 2013.— P. 1-10.
128. Daiguji H., Shin B. R. Some numerical schemes using curvilinear coordinate grids for incompressible and compressible navier-stokes equations // Sadhana. — 1993. — Vol. 18, no. 3-4. — P. 431-476.
129. Фрязинов И. В. Консервативные разностные схемы для уравнений несжимаемой вязкой жидкости в криволинейных ортогональных координатах // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1982. — Т. 22, № 5. — С. 1195-1207.
130. Никитин Н. В. Прямой расчет турбулентных течений в эксцентрических трубах // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2006. — Т. 46, № 3. — С. 509-526.
131. Ковеня В. М., Еремин А. А. Метод предиктор-корректор для численного решения уравнений Эйлера и Навье-Стокса // Вестник Новосибирского государственного университета. Математика, механика, информатика. — 2015. — Т. 15, № 2. — С. 22-37.
132. Коробицын В. А. Ковариантные преобразования базисных дифференциально-разностных схем на плоскости // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2011. — Т. 51, № 11. —С. 2033-2041.
133. Chakravarthy S. R., Osher S. A new class of high accuracy TVD schemes for hyperbolic conservationlaws // 23rd Aerospace Sciences Meeting. — American Institute of Aeronautics and Astronautics, 1985. — P. 1-11.
134. Линь Ц.-Ц. Теория гидродинамической устойчивости. — М. : Из-во иностранной литературы, 1958. — 194 с.
135. Гринспен X. Теория вращающихся жидкостей. - Л. : Гидрометеоиздат, 1975.-304 с.
136. Джозеф Д. Устойчивость движений жидкости. - М. : Мир, 1981. -638 с.
137. Chandrasekhar S. Hydrodynamic and Hydromagnetic Stability. - New York : Dover, 1981.-708 p.
138. Гидродинамические неустойчивости и переход к турбулентности / X. Су-инни, Дж. Голлаб, О. Ланфорд и др. ; Под ред. X. Суинни, Дж. Гол-лаб. - М. : Наука, 1984. - 344 с.
139. Дразин Ф. Введение в теорию гидродинамической устойчивости. - М. : Физматлит, 2005. - 288 с.
140. Tu X. C., Liu D., Kim H.-B. Quantitative investigation of the transition process in Taylor-Couette flow // Journal of Mechanical Science and Technology. - 2013. - Vol. 27, no. 2. - P. 407-412.
141. Mahloul M., Mahamdia A., Kristiawan M. Experimental investigation of the spherical Couette flow using electrodiffusion technique // The European Physical Journal Plus. - 2019. - Vol. 134, no. 8. - P. 1-11. - 392.
142. Жиленко Д. Ю., Кривоносова О. Э. Подавление турбулентности в течениях с вращением // Письма в Журнал технической физики. -2019. -Т. 45, № 17.-С. 20-23.
143. Жиленко Д. Ю., Кривоносова О. Э. Квазидвумерная и трехмерная турбулентность во вращающихся сферических слоях жидкости // Письма в Журнал экспериментальной и теоретической физики. - 2015. - Т. 101, № 8. - С. 583-588.
144. Experiment and numerical simulation of Taylor-Couette flow controlled by oscillations of inner cylinder cross section / A. Abdelali, H. Oualli, A. Rahmani et al. // Journal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences and Engineering. - 2019. - Vol. 41, no. 6. - P. 259-267.
145. Bengana Y., Tuckerman L. S. Spirals and ribbons in counter-rotating Taylor-Couette flow: Frequencies from mean flows and heteroclinic orbits // Physical Review Fluids. - 2019. - Vol. 4, no. 4. - P. 1-14. -044402.
146. Taylor-Couette flow control using inner cylindre cross-section variation strategy / M. Khirennas, H. Oualli, M. Mekadem et al. // SSRN Electronic Journal. -2018. - P. 1-10.
147. Волков-Музылёв В. В., Борисов Ю. А., Калашников Д. А. Исследование характеристик течения Куэтта-Тейлора в современных газодинамических подшипниках // Наукоград. — 2017. — № 2(12). — С. 63-65.
148. Taylor G. I. Stability of a viscous liquid contained between two rotating cylinders // Philosophical Transactions of the Royal Society. — 1923. — Vol. A223. — P. 289-343.
149. Proudman I. The almost-rigid rotation of viscous fluid between concentric spheres // Journal of Fluid Mechanics. — 1956. — Vol. 1, no. 05. — P. 505516.
150. Stewartson K. On almost rigid rotations // Journal of Fluid Mechanics. — 1957.—Vol. 3, no. 1. —P. 17-26.
151. Stewartson K. On almost rigid rotations. part 2 // Journal of Fluid Mechanics. — 1966. — Vol. 26, no. 01. — P. 131-144.
152. Haberman W. L. Secondary flow about a sphere rotating in a viscous liquid inside a coaxially rotating spherical container // Physics of Fluids. —
1962. — Vol. 5, no. 5. — P. 625-626.
153. Овсеенко Ю. Г. О движении вязкой жидкости между двумя вращающимися сферами // Известия высших учебных заведений. Математика. —
1963. —№ 4.— С. 129-139.
154. Langlois W. E. Slow viscous flow. — New York : MacMillan, 1964. — 229 p.
155. Munson B. R., Joseph D. D. Viscous incompressible flow between concentric rotating spheres. Part 1. Basic flow // Journal of Fluid Mechanics. — 1971. — Vol. 49, no. 2. — P. 289-303.
156. DiPrima R. C., Stuart J. T. Hydrodynamic stability // Journal of Applied Mechanics. — 1983. — Vol. 50, no. 4b. — P. 983-991.
157. Беляев Ю. Н., Яворская И. М. Течения вязкой жидкости во вращающихся сферических слоях и их устойчивость // Итоги науки и техники (ВИНИТИ). Механика жидкости и газа. — 1980. — Т. 15. — С. 3-80.
158. Беляев Ю. Н. Гидродинамическая неустойчивость и турбулентность в сферическом течении Куэтта. — М. : МГУ, 1997. — 348 с.
159. Physics of Rotating Fluids / Ed. by Egbers C., Pfister G. — Berlin, Heidelberg : Springer, 2000. — 442 p.
160. Sha W., Nakabayashi K. On the structure and formation of spiral Taylor-Gortler vortices in spherical Couette flow // Journal of Fluid Mechanics. — 2001. — Vol. 431. — P. 323-345.
161. Жиленко Д. Ю., Кривоносова О. Э., Никитин Н. В. Развитие пространственных структур течения при ламинарно-турбулентном переходе в широком сферическом слое // Доклады Академии наук. - 2007. - Т. 414, № 1.-С. 39-43.
162. Abbas S., Yuan L., Shah A. Existence regime of symmetric and asymmetric Taylor vortices in wide-gap spherical Couette flow // Journal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences and Engineering. - 2018. -Vol. 40, no. 3.
163. Rogers S. E., Kwak D., Kiris C. Steady and unsteady solutions of the incompressible Navier-Stokes equations // AIAA Journal. - 1991. -Vol. 29, no. 4.-P. 603-610.
164. Liu M., Delgado A., Rath H. J. A numerical method for study of the unsteady viscous flow between two concentric rotating spheres // Computational Mechanics. - 1994. - Vol. 15, no. 1. - P. 45-57.
165. Пальцев Б. В., Ставцев А. В., Чечель И. И. Численное исследование основных стационарных сферических течений Куэтта при небольших числах Рейнольдса // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2007. - Т. 47, № 4. - С. 693-716.
166. Жарков В. Н. Внутреннее строение Земли и планет. Элементарное введение в планетную и спутниковую геофизику. - М. : Наука и образование, 2013.-414 с.
167. Решетняк М. Ю., Павлов В. Э. Эволюция дипольного геомагнитного поля. Наблюдения и модели // Геомагнетизм и аэрономия. - 2016. -Т. 56, № 1.-С. 117-132.
168. Bloxham J., Gubbins D. The secular variation of Earth's magnetic field // Nature. - 1985. - Vol. 317, no. 6040. - P. 777-781.
169. Bloxham J., Gubbins D. Thermal core-mantle interactions // Nature. -1987. - Vol. 325, no. 6104. - P. 511-513.
170. Small-scale structure of the geodynamo inferred from Oersted and Magsat satellite data / G. Hulot, C. Eymin, B. Langlais et al. // Nature. - 2002. -Vol. 416, no. 6881.-P. 620-623.
171. Olson P., Aurnou J. A polar vortex in the Earth's core // Nature. - 1999. -Vol. 402, no. 6758.-P. 170-173.
172. Livermore P. W., Hollerbach R., Finlay C. C. An accelerating high-latitude jet in Earth's core // Nature Geoscience. - 2016. - Vol. 10, no. 1. - P. 6268.
173. Holme R. Large-scale flow in the Core // Core Dynamics (Treatise on Geophysics) / Ed. by P. Olson, G. Schubert. — Amsterdam : Elsevier, 2007.-Vol. 8.— P. 107-130.
174. Song X., Richards P. G. Seismological evidence for differential rotation of the Earth's inner core // Nature. — 1996. — Vol. 382, no. 6588. — P. 221224.
175. Laske G., Masters G. Limits on differential rotation of the inner core from an analysis of the Earth's free oscillations // Nature. — 1999. — Vol. 402, no. 6757.— P. 66-69.
176. Experiments on convection in Earth's core tangent cylinder / J. Aurnou, S. Andreadis, L. Zhu, P. Olson // Earth and Planetary Science Letters. — 2003.—Vol. 212, no. 1-2.— P. 119-134.
177. Вайнштейн С. И., Зельдович Я. Б., Рузмайкин А. А. Турбулентное динамо в астрофизике. — Наука изд. — М., 1980. — 352 с.
178. Моффат Т. Возбуждение магнитного поля в проводящей среде. — М. : Мир, 1980.— 339 с.
179. Паркер Е. Космические магнитные поля. Их образование и проявления. — М. : Мир, 1982. — Т. 1,2. — 608 ,479 с.
180. Hollerbach R., Rudiger R. The Magnetic Universe. Geophysical and Astrophysical Dynamo Theory. — Weinheim : WILEY-VCH, 2004. — 332 p.
181. Зельдович Я. Б., Рузмайкин А. А., Соколов Д. Д. Магнитные поля в астрофизике. — Москва-Ижевск : РХД, 2006. — 384 с.
182. Брагинский С. И. К теории гидромагнитного динамо // Журнал экспериментальной и теоретической физики. — 1964. — Т. 47, № 6. — С. 21782193.
183. Краузе Ф., Рэдлер К.-Х. Магнитная гидродинамика средних полей и теория динамо. — М. : Мир, 1984. — 320 с.
184. Jones C. A. Convection-driven geodynamo models // Philosophical Transactions of the Royal Society A. — 2000. — Vol. 358, no. 1768. — P. 873-897.
185. Решетняк М. Ю. Моделирование в геодинамо. — Saarbrücken : Palmarium Academic Publishing, 2013. — 180 с.
186. Glatzmaier G. A., Roberts P. H. A three-dimensional selfconsistent computer simulation of a geomagnetic field reversal // Nature. — 1995. — Vol. 377, no. 6546. — P. 203-209.
187. Kuang W., Bloxham J. An Earth-like numerical dynamo model // Nature. -1997.-Vol. 389, no. 6649. - P. 371-374.
188. Решетняк М. Ю. Гидромагнитная спиральность в моделях геодинамо Буссинесковского типа // Физика Земли. -2006. - № 6. - С. 3-13.
189. Вельтищев Н. Ф., Степаненко В. М. Мезометеорологические процессы.-М. : МГУ, 2006.-101 с.
190. Гутман Л. Н., Франкль Ф. И. Гидродинамическая модель боры // Доклады Академии наук СССР. - 1960. - Т. 130, № 3. - С. 533-536.
191. Барри Р. Г. Погода и климат в горах. - Л. : Гидрометеоиздат, 1984. -312 с.
192. Durran D. R. Downslope winds // Encyclopedia of Atmospheric Sciences / Ed. by J. R. Holton, J. A. Pyle, J. A. Curry. - Academic Press, 2003. -P. 644-650.
193. Durran D. R. Mountain waves and downslope winds // Atmospheric Processes over Complex Terrain. - American Meteorological Society, 1990.-P. 59-81.
194. Кожевников В. Н. Возмущения атмосферы при обтекании гор. - М. : Научный мир, 1999.-С. 160.
195. Grisogono B., Belusic D. A review of recent advances in understanding the meso- and microscale properties of the severe bora wind // Tellus. -2009.-Vol. 61, no. 1.-P. 1-16.
196. A Description of the Advanced Research WRF Version 3 / W. C. Skamarock, J. B. Klemp, J. Dudhia et al. - Boulder, Colorado, USA : UCAR/NCAR, 2008. - 113 p.
197. Ефимов В. В., Барабанов В. С. Моделирование черноморской боры // Известия Российской академии наук. Физика атмосферы и океана. -2013. - Т. 49, № 6. - С. 688-698.
198. Торопов П. А., Мысленков С. А., Самсонов Т. Е. Численное моделирование новороссийской боры и связанного с ней ветрового волнения // Вестник Московского университета. География. - 2013. - № 2. -С. 38-46.
199. Гавриков А. В., Иванов А. Ю. Аномально сильная бора на черном море: наблюдение из космоса и численное моделирование // Известия Российской академии наук. Физика атмосферы и океана. -2015. - Т. 51, № 5.-С. 615-626.
200. Бисикало Д. В., Жилкин А. Г., Боярчук А. А. Газодинамика тесных двойных звезд. — М. : ФИЗМАТЛИТ, 2013. — 632 с.
201. Масевич А. Г., Тутуков А. В. Эволюция звёзд: теория и наблюдения. — М. : Наука, 1988. — 280 с.
202. De Loore C. W. H., Doom C. Structure and Evolution of Single and Binary Stars. — Springer Netherlands, 1992. — 458 p.
203. Kopal Z. Close binary systems. — London : Chapman and Hall, 1959.
204. Boyarchuk A. A. Symbiotic stars // The Realm of Interacting Binary Stars. — Springer Netherlands, 1993. — P. 189-207.
205. Колесниченко А. В. Некоторые проблемы конструирования космических сплошных сред. Моделирование аккреционных протопланетных дисков. — М. : ИПМ им. М.В. Келдыша, 2017. — 372 с.
206. Фридман А. М., Хоперсков А. В. Физика галактических дисков. — М. : ФИЗМАТЛИТ, 2011. — 640 с.
207. Шакура Н. И. Дисковая модель аккреции газа релятивистской звездой в тесной двойной системе // Астрономический журнал. — 1972. — Т. 49, № 10.— С. 921-929.
208. Shakura N. I., Sunyaev R. A. Black holes in binary systems. Observational appearance // Astronomy and Astrophysics. — 1973. — Vol. 24. — P. 337355.
209. Papaloizou J. C. B., Lin D. N. C. Theory of accretion disks I: Angular momentum transport processes // Annual Review of Astronomy and Astrophysics. — 1995. — Vol. 33, no. 1. — P. 505-540.
210. Balbus S. A. Enhanced angular momentum transport in accretion disks // Annual Review of Astronomy and Astrophysics. — 2003. — Vol. 41, no. 1. — P. 555-597.
211. Велихов Е. П. Устойчивость течения идеально проводящей жидкости между вращающимися цилиндрами в магнитном поле // Журнал экспериментальной и теоретической физики. — 1959. — Т. 36. — С. 1398-1404.
212. Balbus S. A., Hawley J. F. A powerful local shear instability in weakly magnetized disks. I. linear analysis. II. nonlinear evolution // The Astrophysical Journal. — 1991. — Vol. 376, no. 1. — P. 214-233.
213. Winters W. F., Balbus S. A., Hawley J. F. Chaos in turbulence driven by the magnetorotational instability // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. — 2003. — Vol. 340, no. 2. — P. 519-524.
214. Goodman J. A local instability of tidally distorted accretion disks // The Astrophysical Journal. - 1993. - Vol. 406. - P. 596-613.
215. Lubow S. H., Pringle J. E., Kerswell R. R. Tidal instability of accretion disks // The Astrophysical Journal. - 1993. - Vol. 419. - P. 758-767.
216. Cabot W. The nonaxisymmetric baroclinic instability in thin accretion disks // The Astrophysical Journal. - 1984. - Vol. 277. - P. 806-812.
217. Rossby wave instability of thin accretion disks. II. detailed linear theory / H. Li, J. M. Finn, R. V. E. Lovelace, S. A. Colgate // The Astrophysical Journal.-2000.-Vol. 533, no. 2.-P. 1023-1034.
218. Klahr H. H., Bodenheimer P. Turbulence in accretion disks: Vorticity generation and angular momentum transport via the global baroclinic instability // The Astrophysical Journal. - 2003. - Vol. 582, no. 2. -P. 869-892.
219. Роль крупномасштабной турбулентности в перераспределении углового момента в аккреционных звездных дисках / Е. П. Велихов, А. Ю. Лу-говский, С. И. Мухин и др. // Астрономический журнал. - 2007. -Т. 84, № 2.-С. 177-184.
220. Развитие крупномасштабной неустойчивости в аккреционных звездных дисках и ее влияние на перераспределение углового момента / А. Ю. Лу-говский, С. И. Мухин, Ю. П. Попов, В. М. Чечеткин // Астрономический журнал. - 2008. - Т. 85, № 10. - С. 901-905.
221. Lubow S. H., Papaloizou J. C. B., Pringle J. E. On the stability of magnetic wind-driven accretion discs // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. - 1994. - Vol. 268, no. 4. - P. 1010-1014.
222. Cao X., Spruit H. C. Instability of an accretion disk with a magnetically driven wind // Astronomy and Astrophysics. -2002. - Vol. 385, no. 1. -P. 289-300.
223. Blandford R. D., Payne D. G. Hydromagnetic flows from accretion discs and the production of radio jets // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. - 1982. - Vol. 199, no. 4. - P. 883-903.
224. Lynden-Bell D. On why discs generate magnetic towers and collimate jets // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. - 2003. -Vol. 341, no. 4.-P. 1360-1372.
225. Lin D. N. C., Papaloizou J. Tidal torques on accretion discs in binary systems with extreme mass ratios // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. - 1979. - Vol. 186, no. 4. - P. 799-812.
226. Lubow S. H. Vertically driven resonances in accretion disks // The Astrophysical Journal. — 1981. — Vol. 245. — P. 274-285.
227. Vishniac E. T., Diamond P. A self-consistent model of mass and angular momentum transport in accretion disks // The Astrophysical Journal. —
1989. — Vol. 347. — P. 435-447.
228. Papaloizou J., Pringle J. E. Tidal torques on accretion discs in close binary systems // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. — 1977. — Vol. 181, no. 3. — P. 441-454.
229. Lin D. N. C., Papaloizou J. C. B., Savonije G. J. Propagation of tidal disturbance in gaseous accretion disks // The Astrophysical Journal. —
1990. — Vol. 365. — P. 748-756.
230. Dgani R., Livio M., Regev O. On the effects of tidal interaction on thin accretion disks: an analytic study // The Astrophysical Journal. — 1994. — Vol. 436.— P. 270-272.
231. Бисноватый-Коган Г. С., Блинников С. И. Горячая корона вокруг диска, аккрецирующего на чёрную дыру, и модель источника Лебедь X-1 // Письма в Астрономический журнал. — 1976. — Т. 2. — С. 489-493.
232. Paczynski B. Close binaries // Comments on Astrophysics. — 1976. — Vol. 6. — P. 95-98.
233. Shakura N. I., Sunyaev R. A., Zilitinkevich S. S. On the turbulent energy transport in accretion discs // Astronomy and Astrophysics. — 1978. — Vol. 62.— P. 179-187.
234. Lin D. N. C., Papaloizou J. On the structure and evolution of the primordial solar nebula // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. — 1980.—Vol. 191. —P. 37-48.
235. Michel F. C. Hydraulic jumps in "viscous" accretion disks // The Astrophysical Journal. — 1984. — Vol. 279, no. 2. — P. 807-813.
236. Sawada K., Matsuda T., Hachisu I. Spiral shocks on a roche lobe overflow in a semi-detached binary system // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. — 1986. — Vol. 219, no. 1. — P. 75-88.
237. Spruit H. C. Stationary shocks in accretion disks // Astronomy and Astrophysics. — 1987.—Vol. 184. — P. 173-184.
238. Spiral shocks and accretion in discs / H. C. Spruit, T. Matsuda, M. Inoue, K. Sawada // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. — 1987. — Vol. 229, no. 4. — P. 517-527.
239. Spruit H. C. Physics of accretion by spiral shock waves // Theory of Accretion Disks. - Springer Netherlands, 1989. - P. 325-340.
240. Syer D., Narayan R. Steady flow on to a conveyor belt: causal viscosity and shear shocks // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. -1993. - Vol. 262, no. 3. - P. 749-763.
241. Spruit H. C. Dynamo action by differential rotation in a stably stratified stellar interior // Astronomy and Astrophysics. - 2002. - Vol. 381, no. 3.-P. 923-932.
242. Sawada K., Matsuda T., Hachisu I. Accretion shocks in a close binary system // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. - 1986. -Vol. 221, no. 3.-P. 679-686.
243. Is the standard accretion disc model invulnerable? / K. Sawada, T. Matsuda, M. Inoue, I. Hachisu // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. - 1987. - Vol. 224, no. 2. - P. 307-322.
244. RoZyczka M., Spruit H. C. Spiral shocks in accretion disks: A preliminary numerical study // Theory of Accretion Disks. - Springer Netherlands,
1989.-P. 341-354.
245. Mass transfer by tidally induced spiral shocks in an accretion disk / T. Matsuda, N. Sekino, E. Shima et al. // Astronomy and Astrophysics. -
1990.-Vol. 235.-P. 211-218.
246. Molteni D., Belvedere G., Lanzfame G. Three-dimensional simulation of polytropic accretion discs // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. - 1991. - Vol. 249, no. 4. - P. 748-754.
247. Sawada K., Matsuda T. Three-dimensional hydrodynamic simulation of an accretion flow in a close binary system // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. - 1992. - Vol. 255, no. 1. - P. 17-20.
248. Savonije G. J., Papaloizou J. C. B., Lin D. N. C. On tidally induced shocks in accretion discs in close binary systems // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. - 1994. - Vol. 268, no. 1. - P. 13-28.
249. Yukawa H., Boffin H. M. J., Matsuda T. Spiral shocks in three-dimensional accretion discs // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. -1997.-Vol. 292, no. 2.-P. 321-330.
250. Структура холодного аккреционного диска в полуразделенных двойных системах / Д. В. Бисикало, А. А. Боярчук, П. В. Кайгородов и др. // Астрономический журнал. - 2004. - Т. 81, № 6. - С. 494-502.
251. Matsuda T. Numerical simulation of accretion discs in close binary systems and discovery of spiral shocks // Astrophysics and Space Science. — 2000. — Vol. 274. — P. 259-273.
252. Steeghs D. Spiral waves in accretion discs — observations // Lecture Notes in Physics. Astrotomography. — Springer Berlin Heidelberg, 2001. — Vol. 573.— P. 45-68.
253. Баяковский Ю. М., Галактионов В. А., Михайлова Т. Н. Графор. Графическое расширение фортрана. —М. : Наука, 1985. —288 с.
254. Базаров С. Б., Баяковский Ю. М. Комплекс графических программ ГРАФОР в среде WINDOWS. — М., 2000. — 10 с. — (Препр. / ИПМ РАН №30).
255. Адаптация комплекса графических программ ГРАФОР в операционных системах WINDOWS и LINUX / С. Б. Базаров, Ю. М. Баяковский, Ф. Ф. Сайдалиева, А. Ю. Скачков. — М., 2002. — 16 с. — (Препр. / ИПМ РАН №27).
256. Бартеньев О. В. Современный Фортран. — М. : Диалог МИФИ, 2005. — 560 с.
257. VTK (the Visualization ToolKit). —2019. — Access mode: https://vtk. org (online; accessed: 2019-12-11).
258. ParaView. — 2019. — Access mode: https://www.paraview.org/ (online; accessed: 2019-12-09).
259. VisIt. — 2019. — Access mode: http://wci.llnl.gov/simulation/ computer-codes/visit (online; accessed: 2019-12-09).
260. Tecplot (CFD Visualization & Analysis Software). —2019. — Access mode: https://www.tecplot.com (online; accessed: 2019-12-11).
261. Gnuplot. — 2019. — Access mode: http://www.gnuplot.info (online; accessed: 2019-12-11).
262. IDL (the Interactive Data Language). — 2019. — Access mode: https: //www.harrisgeospatial.com/Software-Technology/IDL (online; accessed: 2019-12-11).
263. OpenGL. Руководство по программированию. Библиотека программиста. 4-е издание / M. By, Т. Девис, Дж. Нейдер, Д. Шрайнер. — СПб. : Питер, 2006. — 624 с.
264. Walnum C. Microsoft Direct3D Programming. — Indianapolis : Sams Publishing, 2003. — 456 p.
265. Математические модели квази-одномерной гемодинамики: Методическое пособие / В. Б. Кошелев, С. И. Мухин, Н. В. Соснин, А. П. Фаворский. - М. : МАКС Пресс, 2010. - 114 с.
266. MPEG (the Moving Picture Experts Group). - 2019. - Access mode: https://mpeg.chiariglione.org (online; accessed: 2019-12-09).
267. Nemirovsky M., Tullsen D. M. Multithreading architecture // Synthesis Lectures on Computer Architecture. - 2013. - Vol. 8, no. 1.-P. 1-109.
268. Suffern K. G. Quadtree algorithms for contouring functions of two variables // The Computer Journal. - 1990. - Vol. 33, no. 5. - P. 402407.
269. Тейксейра С., Пачеко К. Delphi 5. Руководство разработчика. - М. : Вильямс, 2000.-832 с.
270. Стационарные дисковые структуры около гравитирующих компактных объектов / М. В. Абакумов, С. И. Мухин, Ю. П. Попов,
B. М. Чечеткин // Астрономический журнал (RSCI; ИФ РИНЦ: 1.21). - 1996. - Т. 73, № 3. - С. 407-418. - Перевод: Studies of equilibrium configurations for a gaseous cloud near a gravitating center / M. V. Abakumov, S. I. Mukhin, Yu P. Popov, V. M. Chechetkin // Astronomy Reports (IF WoS: 1.16; Scopus SJR: 0.47). - 1996. - Vol. 40, no. 3.-P. 366-377.
271. Математическая модель гемодинамики сердечно-сосудистой системы / М. В. Абакумов, К. В. Гаврилюк, Н. Б. Есикова и др. // Дифференциальные уравнения (RSCI; ИФ РИНЦ: 1.01). - 1997. - Т. 33, № 7. -
C. 892-898. - Перевод: Mathematical model of the hemodynamics of the cardio-vascular system / M. V. Abakumov, K. V. Gavrilyuk, N. B. Esikova et al. // Differential Equations(IF WoS: 0.68; Scopus SJR: 0.46). - 1997. -Vol. 33, no. 7.-P. 895-901.
272. Газодинамические процессы в аккреционном диске двойной звездной системы / М. В. Абакумов, С. И. Мухин, Ю. П. Попов, В. М. Че-четкин // Математическое моделирование (RSCI; ИФ РИНЦ: 0.91). -1998.-Т. 10, № 5.-С. 35-46.
273. Методика математического моделирования сердечно-сосудистой системы / М. В. Абакумов, И. В. Ашметков, Н. Б. Есикова и др. // Математическое моделирование (RSCI; ИФ РИНЦ: 0.91). - 2000. - Т. 12, № 2.-С. 106-117.
274. Абакумов М. В., Мухин С. И., Попов Ю. П. О некоторых задачах гравитационной газовой динамики // Математическое моделирование (RSCI; ИФ РИНЦ: 0.91). - 2000. - Т. 12, № 3. - С. 110-120.
275. Математическое моделирование структуры аккреционных дисков в двойных звездных системах / М. В. Абакумов, С. И. Мухин, Ю. П. Попов, В. М. Чечеткин // Астрономический журнал (RSCI; ИФ РИНЦ: 1.21). — 2001. — Т. 78, № 6. — С. 505-513. — Перевод: Mathematical modeling of the structure of an accretion disk in a stellar binary system / M. V. Abakumov, S. I. Mukhin, Yu P. Popov, V. M. Chechetkin // Astronomy Reports (IF WoS: 1.16; Scopus SJR: 0.47). — 2001. — Vol. 45, no. 6.— P. 434-441.
276. Сравнение результатов математического моделирования структуры аккреционного диска двойной звездной системы в двумерном и трехмерном приближении / М. В. Абакумов, С. И. Мухин, Ю. П. Попов, В. М. Чечеткин // Астрономический журнал (RSCI; ИФ РИНЦ: 1.21). — 2003. — Т. 80, № 1. — С. 14-22. — Перевод: Comparison between two- and three-dimensional modeling of the structure of an accretion disk in a binary system / M. V. Abakumov, S. I. Mukhin, Yu P. Popov, V. M. Chechetkin // Astronomy Reports (IF WoS: 1.16; Scopus SJR: 0.47).—2003.—Vol. 47, no. 1. —P. 11-19.
277. Ударные волны разрежения в численных решениях задач газовой динамики / М. В. Абакумов, С. И. Мухин, Ю. П. Попов, Д. В. Рогожкин // Математическое моделирование (RSCI; ИФ РИНЦ: 0.91). — 2008. — Т. 20, № 1. — С. 48-60. — Перевод: Expansion shock waves in numerical solutions of gasdynamic problems / M. V. Abakumov, S. I. Mukhin, Yu P. Popov, D. V. Rogozhkin // Mathematical Models and Computer Simulations (Scopus SJR: 0.42). — 2009. — Vol. 1, no. 1. —P. 21-30.
278. Квазиакустическая схема для уравнений эйлера газовой динамики / М. В. Абакумов, А. М. Галанина, В. А. Исаков и др. // Дифференциальные уравнения (RSCI; ИФ РИНЦ: 1.01). — 2011. — Т. 47, № 8.— С. 1092-1098. — Перевод: Quasi-acoustic scheme for the euler equations of gas dynamics / M. V. Abakumov, A. M. Galanina, V. A. Isakov et al. // Differential Equations (IF WoS: 0.68; Scopus SJR: 0.46). — 2011. — Vol. 47, no. 8. —P. 1103-1109.
279. Луговский А., Абакумов М., Чечеткин В. Математическое моделирование и визуализация течений вещества в аккреционных звездных дисках // Научная визуализация (ИФ РИНЦ: 0.67; Scopus SJR: 0.27). — 2014. — Т. 6, № 2. — С. 21-33. — Перевод: Lugovsky A., Abakumov M., Chechetkin V. Mathematical modeling and visualization of matter flows in accretion stellar disks // Scientific Visualization (Scopus SJR: 0.27). — 2014.—Vol. 6, no. 2. —P. 21-33.
280. Абакумов М. В., Луговский А. Ю. О методах визуализации сеточных данных и их реализации в прикладной программе ClcView // Науч-
ная визуализация (ИФ РИНЦ: 0.67; Scopus SJR: 0.27). - 2014. - Т. 6, № 1.-С. 58-95.
281. Абакумов М. В. Метод построения разностных схем годуновского типа в криволинейных координатах и его применение для цилиндрических координат // Прикладная математика и информатика: Труды факультета Вычислительной математики и кибернетики. - Т. 43. - М. : МАКС Пресс, 2013. - С. 25-44. - Перевод: Abakumov M. V. Method for the construction of godunov-type difference schemes in curvilinear coordinates and its application to cylindrical coordinates // Computational Mathematics and Modeling (Scopus SJR: 0.24). - 2014. - Vol. 25, no. 3.-P. 315-333.
282. Абакумов М. В., Попов Ю. П., Родионов П. В. Распад произвольного газодинамического разрыва в квазиодномерном приближении // Журнал вычислительной математики и математической физики (RSCI; ИФ РИНЦ: 1.17). - 2015. - Т. 55, № 8. - С. 1391-1404. - Перевод: Abakumov M. V., Popov Y. P., Rodionov P. V. The riemann problem in the quasi-one-dimensional approximation // Computational Mathematics and Mathematical Physics (IF WoS: 0.57; Scopus SJR: 0.51). - 2015.-Vol. 55, no. 8.-P. 1356-1369.
283. Абакумов М. В. Метод построения разностных схем годуновского типа в криволинейных координатах и его применение для сферических координат // Прикладная математика и информатика: Труды факультета Вычислительной математики и кибернетики. - Т. 45. - М. : МАКС Пресс, 2014. - С. 63-83. - Перевод: Abakumov M. V. Construction of godunov-type difference schemes in curvilinear coordinates and an application to spherical coordinates // Computational Mathematics and Modeling (Scopus SJR: 0.24). - 2015. - Vol. 26, no. 2. - P. 184-203.
284. Абакумов М. В., Попов Ю. П. Влияние аппроксимационной вязкости на численное решение задачи об аккреционном диске двойной звёздной системы // Дифференциальные уравнения (RSCI; ИФ РИНЦ: 1.01). -2016. - Т. 52, № 7. - С. 866-877. - Перевод: Abakumov M. V., Popov Y. P. Influence of the approximation viscosity on the numerical solution of the problem on the accretion disk in a binary star system // Differential Equations (IF WoS: 0.68; Scopus SJR: 0.46). - 2016. -Vol. 52, no. 7.-P. 824-835.
285. Абакумов М. В., Липанов А. М., Попов Ю. П. Математическое моделирование газодинамических течений, сопровождающих ветры бора // Математическое моделирование (RSCI; ИФ РИНЦ: 0.91). - 2016. -Т. 28, № 6. - С. 3-17. - Перевод: Abakumov M. V., Lipanov A. M., Popov Y. P. Mathematical simulation of gas dynamic flows accompanying
the bora winds // Mathematical Models and Computer Simulations (Scopus SJR: 0.42). — 2017. — Vol. 9, no. 1. — P. 1-11.
286. Абакумов М. В., Чечеткин В. М., Шалимов С. Л. Математическое моделирование конвективных процессов в жидком ядре земли и его следствия для интерпретации вариаций геомагнитного поля в полярных широтах // Физика Земли (RSCI; ИФ РИНЦ: 1.59). — 2018. — № 3. — С. 84-91. — Перевод: Abakumov M. V., Chechetkin V. M., Shalimov S. L. Mathematical simulation of convective processes in the liquid core of the earth and implications for the interpretation of geomagnetic field variations in polar latitudes // Izvestiya, Physics of the Solid Earth (IF WoS: 0.80; Scopus SJR: 0.41). —2018. —Vol. 54, no. 3. — P. 466-473.
287. Абакумов М. В. Математическое моделирование течений вязкого газа в пространстве между двумя коаксиально вращающимися концентрическими цилиндрами и сфера // Журнал вычислительной математики и математической физики (RSCI; ИФ РИНЦ: 1.17). — 2019. — Т. 59, № 3. — С. 409-428. — Перевод: Abakumov M. V. Mathematical simulation of viscous gas flows between two coaxially rotating concentric cylinders and spheres // Computational Mathematics and Mathematical Physics (IF WoS: 0.57; Scopus SJR: 0.51). — 2019. — Vol. 59, no. 3. — P. 384-401.
288. Исследование равновесных конфигураций газового облака вблизи гра-витирующего центра / М. В. Абакумов, С. И. Мухин, Ю. П. Попов, В. М. Чечеткин. — М., 1995. — 26 с. — (Препр. / ИПМ РАН №33 (ИФ РИНЦ 2014: 0.66)).
289. Математическое моделирование процессов в аккреционном диске двойной звездной системы / М. В. Абакумов, С. И. Мухин, Ю. П. Попов,
B. М. Чечеткин. — М., 1996. — 34 с. — (Препр. / ИПМ РАН №82 (ИФ РИНЦ 2014: 0.66)).
290. Абакумов М. В. Исследование и модификация разностных схем метода крупных частиц. — М., 1996. — 33 с. — (Препр. / ИПМ РАН №47 (ИФ РИНЦ 2014: 0.66)).
291. Математическая модель гемодинамики сердечно-сосудистой системы / М. В. Абакумов, К. В. Гаврилюк, Н. Б. Есикова и др. — М., 1996. — 25 с. — (Препр. / ИПМ РАН №104 (ИФ РИНЦ 2014: 0.66)).
292. Особенности схемы Roe при расчете задач обтекания / М. В. Абакумов,
C. И. Мухин, Ю. П. Попов, С. Б. Попов. — М., 1996.— 30 с. — (Препр. / ИПМ РАН №46 (ИФ РИНЦ 2014: 0.66)).
293. Разностная схема решения задач гемодинамики на графе / М. В. Абакумов, Н. Б. Есикова, С. И. Мухин и др. - М. : Диалог-МГУ, 1998. -16 с. - (Препр. / ВМК МГУ).
294. Аккреционные диски в двойной звездной системе с переменным расстоянием между компонентами. Математическое моделирование / М. В. Абакумов, А. А. Жданов, С. И. Мухин и др. - М., 2003. -37 с. - (Препр. / ИПМ РАН №65 (ИФ РИНЦ 2014: 0.66)).
295. Абакумов М. В. О некоторых методах визуализации сеточных данных. - М., 2004. - 40 с. - (Препр. / ИПМ РАН №72 (ИФ РИНЦ 2014: 0.66)).
296. Абакумов М. В. Об особенностях использования газодинамических схем с потоками в полярных координатах. - М. : МАКС Пресс, 2006. -24 с. - (Препр. / ВМК МГУ).
297. Об ударных волнах разрежения в вычислительной газовой динамике / М. В. Абакумов, С. И. Мухин, Ю. П. Попов, Д. В. Рогожкин. - М., 2006. - 28 с. - (Препр. / ИПМ РАН №3 (ИФ РИНЦ 2014: 0.66)).
298. Абакумов М. В. Построение потоковых разностных схем для расчета течений вязкого сжимаемого газа в цилиндрических координатах. - М. : МАКС Пресс, 2010. - 44 с. - (Препр. / ВМК МГУ).
299. Абакумов М. В., Фаворский А. П., Хруленко А. Б. Представление уравнений Навье-Стокса в криволинейных координатах. - М. : МАКС Пресс, 2011. - 28 с. - (Препр. / ВМК МГУ).
300. Абакумов М. В. Построение потоковых разностных схем и их применение при расчетах течений газа в аккреционном диске. - М. : МАКС Пресс, 2012. - 48 с. - (Препр. / ВМК МГУ).
301. Gas dynamic processes in the accretion disk of the binary star system / M. V. Abakumov, S. I. Mukhin, Ju P. Popov, V. M. Chechetkin // Proceedings of 9th European and 5th Euro-Asian Astronomical Society Conference (JENAM-2000). - Moscow, 2000.-P. 70-70.
302. Программный комплекс для моделирования гемодинамики на пространственном графе сердечно-сосудистой системы / М. В. Абакумов, В. Б. Кошелев, С. И. Мухин и др. // Тезисы докл. V Всеросс. конф. «Физиология кровообращения». -М. : МАКС Пресс, 2012.-С. 15-15.
303. Математическое моделирование гемодинамики / М. В. Абакумов, А. Г. Борзов, А. Я. Буничева и др. // Тезисы докл. Междунар. конф. «Современные проблемы математической физики и вычислительной математики». -М. : МАКС Пресс, 2014.-С. 66-67.
304. Абакумов М. В., Липанов А. М., Попов Ю. П. Математическое моделирование газодинамических течений, сопровождающих ветры бора // Тезисы докл. Междунар. конф. «Тихоновские чтения». — М. : МАКС Пресс, 2015. —С. 33-33.
305. Application of hemodynamic modeling for solution of related physiological problems / S. Mukhin, M. Abakumov, A. Borzov et al. // Proceedings 4th International Conference on Computational & Mathematical Biomedical Engineering. — Swansea, United Kingdom : CMBE Zeta Computational Resources Ltd, 2015. — P. 52-53.
306. Абакумов М. В., Попов Ю. П. Математическое моделирование неустойчивости течений вязкого газа между вращающимися соосными цилиндрами и сферами // Тезисы докл. Междунар. конф. «Современные проблемы математической физики и вычислительной математики». — М. : МАКС Пресс, 2016. — С. 82-83.
307. Абакумов М. В., Мельчукова А. Д. О методах построения картины линий тока двумерных векторных полей // Тезисы докл. Междунар. конф. «Ломоносовские чтения». —М. : МАКС Пресс, 2018.— С. 15-15.
308. Математическое моделирование гемодинамики человека в примерах / М. В. Абакумов, А. Я. Буничева, С. И. Мухин и др. // Тезисы докл. Междунар. конф. «Современные проблемы вычислительной математики и математической физики» памяти академика А.А.Самарского. — М. : МаксПресс, 2019. —С. 140-141.
309. Абакумов М. В. О построении и применении разностных схем году-новского типа для расчетов течений вязкого газа в криволинейных координатах // Тезисы докл. Междунар. конф. «Современные проблемы вычислительной математики и математической физики» памяти академика А.А.Самарского. — М. : МаксПресс, 2019. — С. 138-139.
310. Кочин Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. — М. : Наука, 1965. —427 с.
311. Седов Л. И. Механика сплошной среды. — М. : Наука, 1970. —Т. 1. — 492 с.
312. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа: Учеб. для ВУЗов. — М. : Дрофа, 2003. — 840 с.
313. Карпов В. Я., Фаворский А. П., Хруленко А. Б. Векторные и тензорные модели. Часть I: Учебное пособие. — М. : МАКС Пресс, 2008. — 120 с.
314. Карпов В. Я., Фаворский А. П., Хруленко А. Б. Векторные и тензорные модели. Часть II: Учебное пособие. — М. : МАКС Пресс, 2010. — 116 с.
315. Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — М. : Наука, 1971. — 271 с.
316. Roe P. L. The use of the Riemann problem in finite-difference schemes // Lecture Notes in Physics. — 1981. — Vol. 141. — P. 357-372.
317. Кузнецов О. А. Численное исследование схемы Роу с модификацией Эйнфельдта для уравнений газовой динамики. — М., 1998. — 44 с. — (Препр. / ИПМ РАН №43).
318. Воеводин В. В., Кузнецов Ю. А. Матрицы и вычисления. — М. : Наука, 1984.— 320 с.
319. Галанин М. П., Савенков Е. Б. Методы численного анализа математических моделей. — М. : МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2010. —591 с.
320. Colella P., Woodward P. R. The numerical simulation of two-dimensional fluid flow with strong shocks // Journal of Computational Physics. — 1984.—Vol. 54, no. 1. —P. 115-173.
321. Von Helmholtz H. On discontinuous movements of fluids // Philosophical Magazine. — 1868. — Vol. 36. — P. 337-346.
322. Kelvin W. Hydrokinetic solutions and observations // Philosophical Magazine. — 1871. — Vol. 42. — P. 362-377.
323. Liska R., Wendroff B. Comparison of several difference schemes on 1D and 2D test problems for the euler equations // SIAM Journal on Scientific Computing. — 2003. — Vol. 25, no. 3. — P. 995-1017.
324. Bakhvalov P., Kozubskaya T. EBR-WENO scheme for solving gas dynamics problems with discontinuities on unstructured meshes // Computers and Fluids. — 2017. — Vol. 157. — P. 312-324.
325. Ван-Дайк М. Альбом течений жидкости и газа. — М. : Мир, 1986. — 184 с.
326. Karman T. Über den mechanismus des widerstandes, den ein bewegter korper in einer flüssigkeit erfahrt // Gottingen Nachrichten. — 1911. — P. 547-556.
327. Karman T. Über den mechanismus des widerstandes, den ein bewegter korper in einer flüssigkeit erfahrt // Gottingen Nachrichten. — 1912. — P. 509-517.
328. Mallock A. Determination of the viscosity of water // Proceedings of the Royal Society. — 1888. — Vol. 45. — P. 126-132.
329. Couette M. Etudes sur le frottement des liquides // Annales de chimie et de physique. — 1890. — Vol. 6. — P. 433-510.
330. Mallock A. Experiments on fluid viscosity // Philosophical Transactions of the Royal Society A. — 1896. — Vol. 187. — P. 41-56.
331. Rayleigh L. On the dynamics of revolving fluids // Proceedings of the Royal Society. — 1917. — Vol. 93, no. 648. — P. 148-154.
332. Coles D. Transition in circular Couette flow // Journal of Fluid Mechanics. — 1965. — Vol. 21, no. 3. — P. 385-425.
333. Davey A., Di Prima R. C., Stuart J. T. On the instability of taylor vortices // Journal of Fluid Mechanics. — 1968. — Vol. 31, no. 1. — P. 1752.
334. Gollub J. P., Swinney H. L. Onset of turbulence in a rotating fluid // Physical Review Letters. — 1975. — Vol. 35, no. 14. — P. 927-930.
335. Fenstermacher P. R., Swinney H. L., Gollub J. P. Dynamical instabilities and the transition to chaotic Taylor vortex flow // Journal of Fluid Mechanics. — 1979.— Vol. 94, no. 1. —P. 103-128.
336. Walden R. W., Donnelly R. J. Reemergent order of chaotic circular Couette flow // Physical Review Letters. — 1979. — Vol. 42, no. 5. — P. 301-304.
337. Andereck C. D., Dickman R., Swinney H. L. New flows in a circular couette system with co-rotating cylinders // Physics of Fluids. — 1983. — Vol. 26, no. 6.— P. 1395-1401.
338. Яворская И. М., Астафьева К. М. Течения вязкой жидкости в сферических слоях. Обзор. — М., 1974. — 42 с. — (Препр. / ИКИ АН СССР Пр-06-Ю).
339. Монахов А. А. Граница устойчивости основного течения в сферических слоях // Известия Российской академии наук. Механика жидкости и газа. — 1996. — № 4. — С. 66-70.
340. Eкman V. W. On the influence of the Earth's rotation on ocean currents // Arkiv foer Matematik, Astronomi och Fysik. — 1905. — Vol. 2, no. 11. — P. 1-52.
341. Pearson C. E. A numerical study of the time-dependent viscous flow between two rotating spheres // Journal of Fluid Mechanics. — 1967. — Vol. 28, no. 2.— P. 323-336.
342. Rosenhead L. Laminar Boundary Layers. — Oxford : Clarendon Press, 1963. —687 p.
343. Greenspan D. Numerical studies of steady, viscous, incompressible flow between two rotating spheres // Computers and Fluids. — 1975. — Vol. 3, no. 1. —P. 69-82.
344. Bonnet J. P., De Roquefort T. A. Ecoulement entre deux spheres concentriques en rotation // Journal de Mecanique. — 1976. — Vol. 15, no. 3. —P. 373-397.
345. Schultz D., Greenspan D. Improved solution of steady, viscous, incompressible flow between two rotating spheres // Computers and Fluids. — 1979. — Vol. 7, no. 3. — P. 157-163.
346. Якушин В. И. О неустойчивости движения жидкости в тонком шаровом слое // Известия Академии наук СССР. Механика жидкости и газа. — 1969. —№ 1. —С. 119-123.
347. Якушин В. И. О неустойчивости движения жидкости между двумя вращающимися сферическими поверхностями // Известия Академии наук СССР. Механика жидкости и газа. — 1970. — Т. 4. — С. 155-156.
348. Астафьева Н. М. Численное решение задачи о малых возмущениях сферического течения Куэтта. — М., 1985. — 53 с. — (Препр. / ИКИ АН СССР Пр-1027).
349. Астафьева Н. М. Анализ устойчивости течений во вращающихся сферических слоях (линейная теория, трехмерные возмущения) // Известия Академии наук СССР. Механика жидкости и газа. — 1997. — № 6. — С. 66-76.
350. Астафьева Н. М. Устойчивость и неединственность осесимметричных течений во вращающихся сферических слоях (нелинейная теория) // Известия Академии наук СССР. Механика жидкости и газа. — 1998. — № 1. —С. 75-86.
351. Сорокин М. П., Хлебутин Г. Н., Шайдуров Г. Ф. Исследование движения жидкости между вращающимися сферическими поверхностями // Прикладная механика и техническая физика. — 1966. — № 6. — С. 103104.
352. Хлебутин Г. Н. Устойчивость движения жидкости между вращающейся и покоящейся концентрическими сферами // Известия Академии наук СССР. Механика жидкости и газа. — 1968. — № 6. — С. 53-56.
353. Munson B. R., Menguturk M. Viscous incompressible flow between concentric rotating spheres. Part 3. Linear stability and experiments // Journal of Fluid Mechanics. — 1975. — Vol. 69, no. 4. — P. 705-719.
354. Яворская И. М., Беляев Ю. Н., Монахов А. А. Экспериментальное изучение сферического течения Куэтта // Доклады Академии наук СССР. - 1975. - Т. 221, № 5. - С. 1059-1062.
355. Яворская И. М., Беляев Ю. Н., Монахов А. А. Исследование устойчивости и вторичные течения во вращающихся сферических слоях при произвольных числах Россби // Доклады Академии наук СССР. — 1977. — Т. 237, № 4. —С. 804-807.
356. Неединственность последовательности переходов к турбулентности во вращающихся слоях / Ю. Н. Беляев, А. А. Монахов, С. А. Щербаков, И. М. Яворская // Доклады Академии наук СССР. — 1984. — Т. 279, № 1. —С. 51-54.
357. Беляев Ю. Н., Яворская И. М. Проблемы устойчивости и возникновения хаоса в замкнутых гидродинамических течениях // Труды Математического института Академии наук СССР. — 1989. — Т. 186. — С. 106-116.
358. Беляев Ю. Н., Яворская И. М. Сферическое течение куэтта — переходы и возникновение хаоса // Известия Академии наук СССР. Механика жидкости и газа. — 1991. — № 1. — С. 10-18.
359. Беляев Ю. Н. Об одном подходе к исследованию возникновения турбулентности при течениях вязкой жидкости в замкнутых объемах // Прикладная механика и техническая физика. — 1995. — № 1. — С. 6472.
360. Жиленко Д. Ю., Кривоносова О. Э. Изменение свойств турбулентных течений в сферическом слое под действием модуляции скорости вращения // Письма в Журнал технической физики. — 2017. — Т. 43, № 10. — С. 87-94.
361. Gissinger C., Ji H., Goodman J. Instabilities in magnetized spherical couette flow // Physical Review. — 2011. — Vol. 84, no. 2. — P. 1-10.
362. Ньютон И. Математические начала натуральной философии / Под ред. Л. С. Полак. — М. : Наука, 1989. —688 с.
363. Клеро А. К. Теория фигуры Земли, основанная на началах гидростатики / Под ред. Н. И. Илельсон. — М. : АН СССР, 1947. — 364 с.
364. Гильберт В. О магните, магнитных телах и о большом магните - Земле / Под ред. А. Г. Калашникова. — М. : АН СССР, 1956. —412 с.
365. Гаусс К. Ф. Избранные труды по земному магнетизму / Под ред. Б. М. Яновский. — Ленинград : АН СССР, 1952. — 343 с.
366. Решетняк М. Ю. Модели геодинамо // Известия высших учебных заведений. Радиофизика. — 2018. — Т. 61, № 8. — С. 605-613.
367. Cowling T. G. The magnetic field of sunspots // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. — 1934. — Vol. 94. — P. 39-48.
368. Гершуни Г. З., Жуховицкий Е. М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. — М. : Наука, 1972. — 392 с.
369. Веселовский К. С. О климате России. — СПб. : Импер. АН, 1857. — 327 с.
370. Врангель Ф. Ф. Новороссийская бора и ее теория. — Николаев : тип. Ю.Г. Рено, 1876. — 17 с.
371. Коростелев Н. А. Новороссийская бора. — СПб. : тип. Акад. наук, 1904. — 135 с.
372. Новороссийская бора. // Труды Морского гидрофизического института / Под ред. А. М. Гусев. — Т. 14. — М. : Изд-во АН СССР, 1959. — 140 с.
373. Репина И. А. «Ветер, ветер на всем божьем свете.. . ». О природе местных катабатических ветров // Природа. — 2008. — № 5. — С. 36-43.
374. Хромов С. П., Петросянц М. А. Метеорология и климатология: Учебник - 5-е изд., перераб. и доп. — М. : Изд-во МГУ, 2001. — 528 с.
375. Белоцерковский О. М., Опарин А. М., Чечеткин В. М. Образование крупномасштабных структур в зазоре между вращающимися цилиндрами (задача релея-зельдовича) // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2002. — Т. 42, № 11. —С. 1727-1737.
376. Абакумов М. В. Построение, исследование и применение методов численного решения задач гравитационной газовой динамики : Диссертация на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук : 01.01.07 / Михаил Владимиович Абакумов ; МГУ имени М. В. Ломоносова. — М., 1996. — 158 с.
377. Сравнение 2D и 3D моделей структур течения в полуразделенных двойных системах / Д. В. Бисикало, А. А. Боярчук, О. А. Кузнецов,
B. М. Чечеткин // Астрономический журнал. — 1999. — Т. 76, № 12. —
C. 905-916.
378. Лагранж Ж. Аналитическая механика (пер. с франц.). — М.-Л. : Гос. изд-во техн.-теор. лит-ры, 1950. — Т. 1. — 594 с.
379. Lorensen W. E., Cline H. E. Marching cubes: A high resolution 3d surface construction algorithm // Proceedings of the 14th annual conference on Computer graphics and interactive techniques - SIGGRAPH '87. — ACM Press, 1987.
380. Suffern K. G., Fackerell E. D. Interval methods in computer graphics // Computers & Graphics. — 1991. — Vol. 15, no. 3. — P. 331-340.
381. Переберин А. В. Построение изолиний с автоматическим масштабированием // Вычислительные методы и программирование. —2001. — Т. 2, № 2.— С. 22-32.
382. Кандалов П. И. Алгоритм визуализации линий уровня двухмерных скалярных полей на регулярной сетке // Программные продукты и системы. — 2011. — № 4.— С. 49-51.
383. Проурзин О. В. Оптимизированный алгоритм построения изолиний методом пошаговой интерполяции и его программная реализация // Вестник гражданских инженеров. — 2012. — № 2(31). — С. 343-349.
384. Cabral B., Leedom L. C. Imaging vector fields using line integral convolution // Proceedings of the 20th Annual Conference on Computer Graphics and Interactive Techniques. — SIGGRAPH '93. — 1993. — P. 263270.
385. Turk G., Banks D. Image-guided streamline placement // Proceedings of the 23rd Annual Conference on Computer Graphics and Interactive Techniques. — SIGGRAPH '96. — 1996. — P. 453-460.
Обратите внимание, представленные выше научные тексты размещены для ознакомления и получены посредством распознавания оригинальных текстов диссертаций (OCR). В связи с чем, в них могут содержаться ошибки, связанные с несовершенством алгоритмов распознавания. В PDF файлах диссертаций и авторефератов, которые мы доставляем, подобных ошибок нет.