Методы реализации в пространстве состояний для нечетких динамических систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат физико-математических наук Кожухарь, Виктория Андреевна

• Кожухарь, Виктория Андреевна
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кожухарь, Виктория Андреевна

Введение

Список обозначений

Глава 1. Представление линейных динамических систем в простран- 15 стве состояний

1.1. Проблема реализации для динамических систем в пространстве 15 состояний

1.2. Методы решения' задач точной реализации

1.3. Теория нечетких множеств в исследовании динамических систем 31 Выводы

Глава 2. Общая теория нечетких линейных систем

2.1. Предварительные сведения

2.2. Линейность общих нечетких систем

2.3. Нечеткие динамические системы

2.4. Нечеткие линейные динамические системы 56 Выводы

Глава 3. Задача реализации для линейных динамических систем над 6S нечеткими числами и методы ее решения

3.1. Линейные динамические системы с дискретным временем над 69 нечеткими числами

3.2. Достаточное условие реализуемости нечетких динамических сис- 74 тем

3.3. Методы алгебраической реализации знакоопределенных им- 77 пульсных последовательностей над нечеткими треугольными числами

3.4. Задача реализации в расширенной нечеткой арифметике

3.5. Метод реализации, основанный на параллельной декомпозиции 102 динамических систем над нечеткими треугольными числами

Выводы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы реализации в пространстве состояний для нечетких динамических систем»

При изучении реальных объектов управления часто приходится сталкиваться с различного рода неопределенностью в исходных данных. Реальные задачи содержат в себе нечеткие условия и некоторую нечеткость цели в связи с тем, что их постановку осуществляет человек. Иногда нечеткость вызвана ошибками округления, измерений, приближенным представлением исследуемого процесса, воздействиями внешней среды и т. д. Чаще всего конкретное содержание задачи требует обеспечения заданного уровня нечеткости решения. Особенностью изучения реальных объектов управления является то, что значительная часть информации, которая необходима для их математического описания, существует в форме представлений или пожеланий человека. Но в языке традиционной математики нет объектов, с помощью которых можно было бы достаточно точно отразить нечеткость представлений. Поэтому учет такого рода неопределенностей всегда был важен и остается актуальным в настоящее время.

Задача реализации является одной из основных задач не только теории управления, но и математической теории систем, решение которой зависит от экспериментальных данных. Фундаментальные исследования проблемы реализации в теории систем связаны с именами М. Месаровича и Я. Такахары [41], Р. Калмана [27, 106, 112, 113], Б.Л. Хо [105, 106], С. Эйленберга [94], Э. Зонтага [133-135], Я. К. Виллемса [17, 138-140], П. Фурмана [98-101], Р. Айсинга [9597], Дж. Риссанена [128] и др.

На протяжении долгого времени при моделировании систем, которые существуют в условиях большого количества случайных факторов (воздействия внешней среды, ошибки, шумы и т.д.), наиболее часто использовалась методология, основанная на привлечении аппарата математической статистики. Однако использование только данных методов ограничивается следующими обстоятельствами: необходимостью учета факторов, имеющих не статическую природу; ограниченностью информации, приводящей к неустойчивости получаемых распределений вероятности; необходимостью учета разнородной и противоречивой информации, приводящей к сложно преодолимым математическим трудностям; и др. Не учет этих факторов приводит к заведомо не приемлемым решениям.

В тоже время проблема неопределенности исходных данных привела к развитию математических исследований, а также, методов и алгоритмов, которые являются частью интервального анализа. Интервальный анализ предназначен для работы в условиях неопределенности с величинами, для которых задан интервал допустимых или возможных значений. Основные результаты, достигнутые в этой области, изложены в работах А.Б. Куржанского [38, 39], Ю.И. Шокина [82, 132], А.П. Вощинина [18], Р. Мура [121-123],, Г. Алефельда [2] и др.

Для систем, в которых существенную роль играют сложность и неопределенность, характерно наличие одновременно разного рода информации: точечных замеров и значений параметров; допустимых интервалов их изменения; статистических законов распределения для отдельных величин; лингвистических критериев и ограничений, полученных от специалистов-экспертов; отсутствие возможности статистического описания из-за уникальности и неоднозначности ситуаций; психологические аспекты принятия человеком предлагаемых решений и т.д. Наличие в таких системах одновременно различного вида неопределенности делает необходимым для их анализа использование дополнительного математического аппарата. Традиционно методы математического анализа используются при точных исходных данных. Математическая статистика и теория вероятностей использует экспериментальные данные, обладающие строго определенной точностью. Кроме того, применение для оперирования с неопределенными величинами аппарата теории вероятностей приводит к тому, что неопределенность, независимо от ее природы, отождествляется со случайностью, между тем как основным источником неопределенности во многих процессах принятия решений является нечеткость или расплывчатость.

Таким образом, возникает необходимость использования для принятия решений такой теории, которая позволяет адекватно учесть все имеющиеся виды неопределенности. В последнее время, для исследования систем с нечеткостью и неоднозначностью в данных все чаще в качестве эффективного инструмента используются такие подходы, как теория нечетких множеств (Л. Заде [23, 145], А. Н. Аверкин [1], Д. А. Поспелов [54], Д. Дюбуа, А. Прад [22], С. А. Орловский [46], Р.А. Алиев, Э.Г. Захарова, С.В. Ульянов [3,4] и др.).

Теория нечетких (размытых) множеств была впервые предложена американским математиком Лотфи Заде в 1965 г. [145] и предназначалась для преодоления трудностей представления неточных понятий, анализа и моделирования систем, в которых участвует человек.

Как отмечено выше, для обращения с неточно известными величинами обычно применяется аппарат теории вероятностей. Однако случайность связана с неопределенностью, касающейся принадлежности некоторого объекта к обычному множеству. В то время как понятие нечеткость относится к классам, в которых могут быть различные градации степени принадлежности, промежуточные между полной принадлежностью и не принадлежностью объектов к данному классу. Это различие между нечеткостью и случайностью приводит к тому, что математические методы нечетких множеств совершенно не похожи на, методы теории вероятностей. Они во многих отношениях проще, так как понятию вероятностной меры в теории вероятностей соответствует более простое понятие функции принадлежности в теории нечетких множеств. По этой причине даже в тех случаях, когда неопределенность в процессе принятия решений может быть представлена вероятностной моделью, обычно удобнее оперировать с ней методами теории нечетких множеств без привлечения аппарата теории вероятностей. Такой подход позволяет свести воедино всю имеющуюся неоднородную информацию: детерминированную, статистическую, лингвистическую и интервальную. Он дает приближенные, но достаточно эффективные способы описания поведения систем, настолько сложных и плохо определенных, что они не поддаются точному математическому анализу. Вместе с тем теоретические основания данного подхода вполне точны и строги в математическом смысле и не являются сами по себе источником неопределенности. Основные приложения данного подхода используются при управлении экономическими, социальными и техническими системами, при решении задач планирования в условиях неопределенности, в системах искусственного интеллекта, лингвистике, поиске информации, распознавании образов, психологии, экономике и других областях человеческой деятельности.

Большинство работ посвященных анализу, синтезу и исследованию систем управления в последнее время основываются на представлении систем в терминах пространства состояний. При решении задач многомерных систем и сложных замкнутых систем методы пространства состояний позволяют осуществить четкую формализацию и легкость выполнения вычислительных процедур, в то время когда классические методы (частотный анализ, алгебра передаточных функций, преобразовании Лапласа и т. д.) оказываются несостоятельными из-за вычислительных трудностей. Основные результаты, связанные с представлением динамических систем в пространстве состояний в теории автоматического управления принадлежат П. Деруссо, Р. Рой и Ч. БСлоуз [20], Г. Розенброку [129], В. Стрейцу [71], Ф.Л. Черноусько [76] и др. Описание систем в пространстве состояний основано на матричных и векторных представлениях. Матричная форма записи весьма удобна при численном решении на ЭВМ. Алгебраические методы для исследования различных проблем теории управления связаны с именами Р. Калмана [27, 109, 110, 111], Л. Заде [25], Р. Броккета [87], Ю.И. Параева [47], Б.Т. Поляком [52, 53] и др.

Анализ литературы, посвященной динамическим системам с нечеткой неопределенностью, показал, что моделированию и тесно связанной с ним проблеме реализации не уделяется достаточного внимания. В настоящий момент не существует эффективных методов и алгоритмов для нахождения описания такой системы в пространстве состояний, а методы классической теории реализации неприменимы, так как алгебраические свойства множества нечетких чисел в рамках естественной нечеткой арифметики, основанной на принципе распространения, не являются достаточно удовлетворительными. Они не образуют таких удобных алгебраических структур, как кольцо или поле.

Настоящая работа посвящена разработке методов решения задачи реализации для линейных динамических систем с дискретным временем над нечеткими числами. Она заключается в нахождении (по возможности минимального) описания пространства состояний динамической системы над нечеткими числами по известному описанию вход-выход, основанному на наблюдении во времени входных сигналов и соответствующей им реакции системы (выходных сигналов).

Целью настоящей работы является исследование проблемы формализации способов описаний нечетких систем, разработка методов и алгоритмов решения задачи реализации для линейных динамических систем с дискретным временем над нечеткими треугольными числами.

Поставленная цель достигается решением следующих задач:

1. Рассмотрением класса нечетких динамических систем и свойств нечетких динамических систем, линейных над полями.

2. Постановкой задачи реализации для класса линейных динамических систем с дискретным временем над нечеткими числами.

3. Получением критериев реализуемости для динамических систем над нечеткими числами, поведение вход-выход которых описывается импульсной последовательностью матриц над нечеткими числами.

4. Разработкой методов вычисления алгебраических реализаций и созданием на базе этих методов алгоритмов для решения задач реализации.

В качестве методической основы для разработки методов, предложенных в данной работе, выбран алгебраический подход к теории систем и методы теории нечетких множеств.

Научная новизна результатов, полученных в настоящей работе, состоит в следующем:

1. Рассмотрен класс нечетких динамических систем. Для данного класса систем с использованием понятия нечеткого линейного отношения введено понятие нечеткой линейной динамической системы. Доказана теорема о возможности декомпозиции реакции нечеткой динамической системы на две части, отвечающие входным и выходным объектам системы.

2. Получен достаточный критерий алгебраической реализуемости для класса линейных динамических систем с дискретным временем над нечеткими числами.

3. Сформулированы и обоснованы два новых подхода к построению алгебраических реализаций. Метод алгебраической реализации знакоопределен-ных импульсных последовательностей над нечеткими треугольными числами, основанный на построении алгебраических реализаций последовательностей матриц, составленных из центральных, левых и правых границ нечетких треугольных чисел. Разработан подход погружения в расширенную нечеткую арифметику, позволяющий вычислять алгебраические реализации для динамических систем над положительными нечеткими треугольными числами.

4. Предложен метод алгебраической реализации динамических систем над нечеткими треугольными числами на основе их декомпозиции в параллельное соединение.

Практическая значимость результатов диссертации заключается в том, что полученные результаты являются шагом на пути построения общей теории нечетких систем. Разработанные методы и алгоритмы представления динамических систем над нечеткими числами в пространстве состояний можно использовать при решении практических задач моделирования, прогнозирования и управления в технических, производственных, экологических, экономических и других системах для построения моделей объектов управления с нечеткой неопределенностью.

Положения, выносимые на защиту:

1. Теорема о возможности декомпозиции реакции нечеткой динамической системы на две части, отвечающие входным и выходным объектам системы.

2. Достаточный критерий алгебраической реализуемости динамических систем с дискретным временем над нечеткими числами.

3. Метод алгебраической реализации знакоопределенных импульсных последовательностей над нечеткими треугольными числами, основанный на построении алгебраических реализаций последовательностей матриц, составленных из центральных, левых и правых границ нечетких треугольных чисел.

4. Метод реализации для динамических систем над положительными нечеткими треугольными числами, основанный на погружении в расширенную нечеткую арифметику.

5. Метод алгебраической реализации динамических систем над нечеткими треугольными числами на основе их декомпозиции в параллельное соединение.

6. Комплекс алгоритмов для решения задачи реализации для динамических систем над нечеткими треугольными числами.

Апробация работы. Основные выводы и теоретические положения диссертации докладывались на региональных конференциях по математике «МАК-2005», «МАК-2006», «МАК-2007», «МАК-2008» (Барнаул), на совещаниях в рамках всероссийского симпозиума «Абелевы группы» (Бийск, 2005), на региональной научно-методической конференции "Математическое образование на Алтае" (Барнаул, 2005) и международной научно-практической конференции "Математическое образование в Регионах России" (Барнаул, 2007), на II Международной научно-технической конференции молодых специалистов, аспирантов и студентов (Пенза, 2008).

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и приложений. Во введении дана общая характеристика работы, обоснована ак

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Кожухарь, Виктория Андреевна

Основные результаты настоящей работы состоят в следующем:

1. Рассмотрен класс нечетких динамических систем. Для данного класса систем с использованием понятия нечеткого линейного отношения введено понятие нечеткой линейной динамической системы и исследованы некоторые свойства нечетких динамических систем линейных над полями.

2. Доказана теорема о возможности декомпозиции реакции нечеткой динамической системы на две части, отвечающие входным и выходным объектам системы.

3. Получен достаточный критерий реализуемости нечетких динамических систем.

4. Разработан метод алгебраической реализации знакоопределенных импульсных последовательностей над нечеткими треугольными числами, основанный на построении алгебраических реализаций последовательностей матриц, составленных из центральных, левых и правых границ нечетких треугольных чисел.

5. Предложен алгоритм, позволяющий строить алгебраические реализации для динамических систем над полностью отрицательными нечеткими треугольными числами.

6. Разработан метод вычисления алгебраических реализаций для динамических систем над положительными нечеткими треугольными числами, основанный на погружении в расширенную нечеткую арифметику.

7. Доказана теорема о параллельной композиции динамических систем над положительными нечеткими треугольными числами.

8. Разработан метод алгебраической реализации динамических систем над нечеткими треугольными числами на основе их декомпозиции в параллельное соединение.

Дальнейшее исследование проблемы можно проводить в следующих направлениях:

- формулировка и обоснование необходимых критериев реализуемости нечетких динамических систем;

- разработка методов вычисления алгебраических реализаций минимальной размерности для линейных нечетких динамических систем;

- описание структуры множества конечномерных реализаций.

116

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Данная работа посвящена развитию методов реализации в пространстве состояний для нечетких линейных динамических систем. Результат теоретического анализа проблемы и проверки методов и алгоритмов представления нечетких линейных динамических систем в пространстве состояний, полученный в ходе работы, позволяет сделать вывод об актуальности проведенного исследования и дальнейших перспективах изучения проблемы.

В первой главе исследования определены основные понятия теории линейных динамических систем, описаны методы и алгоритмы решения задачи реализации для таких систем, приведены основные подходы к определению нечетких динамических систем, дан обзор работ в области управления нечеткими динамическими системами.

Во второй главе исследуется проблема формализации способов описаний нечетких систем. Она посвящена анализу понятия нечеткой линейности для класса нечетких динамических систем. В ней рассмотрен также класс общих нечетких систем, понятие нечеткой линейности для данного класса, а также класс нечетких линейных систем. Введен класс нечетких динамических систем. Введено понятие нечеткой линейной динамической системы. Рассмотрены некоторые свойства нечетких динамических систем, линейных над полями. В частности, доказано фундаментальное для линейных систем свойство, заключающееся в возможности декомпозиции реакции системы на две части, отвечающие входным и выходным объектам системы, соответственно.

В третьей главе исследования предлагается несколько определений линей-цых динамических систем над нечеткими числами с дискретным временем. Введена в рассмотрение задача реализации для систем рассматриваемого типа. Получен достаточный критерий реализуемости нечетких динамических систем. Разработан метод и алгоритмы алгебраической реализации знакоопределенных импульсных последовательностей над нечеткими треугольными числами, метод погружения в расширенную нечеткую арифметику для динамических систем над положительными нечеткими треугольными числами. Рассмотрен метод алгебраической реализации динамических систем над смешанными нечеткими треугольными числами. Представленный метод основывается на параллельной композиции подсистем исходной динамической системы. Доказана теорема о параллельной композиции динамических систем над положительными нечеткими треугольными числами, дающая возможность конструировать различные алгоритмы реализации динамических систем над нечеткими треугольными числами.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кожухарь, Виктория Андреевна, 2008 год

1. Аверкин А.Н., Батыршин И.З., Блишун А.Ф и др. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта. - М.: Наука, 1986.

2. Алефельд Г., Херцбергер Ю. Введение в интервальные вычисления. — М.: Мир, 1987.

3. Алиев Р.А., Захарова Э.Г., Ульянов С.В. Нечеткие модели управления динамическими системами // Итоги науки и техники. Сер. Техн. кибернетика. -М.: ВИНИТИ, 1990. - Т. 29. - С. 127-196.

4. Алиев Р.А., Церковный А.Э., Мамедова Г.А. Управление производством при нечеткой исходной информации. -М.: Энергоатомиздат, 1991.

5. Алтунин А.Е., Семухин М.В. Модели и алгоритмы принятия решений в нечетких условиях: Монография. — Тюмень: Изд-во Тюменского государственного университета, 2000.

6. Ащепков Л.Т., Стегостенко Ю.Б. Стабилизация линейной дискретной системы управления с интервальными коэффициентами // Известия высших учебных заведений. Математика. 1998. - №12. С. 3-10.

7. Ащепков JI.T., Давыдов Д.В. Стабилизация наблюдаемой линейной системы управления с постоянными интервальными коэффициентами // Известия высших учебных заведений. Математика. 2002. - №2. - С. 11-17.

8. Беллман Р. Динамичекое програмирование. М.: ИЛ, 1958.

9. Беллман Р., Заде Л. Принятие решений в расплывчатых условиях В сб.: Вопросы анализа и процедуры принятия решений. М: Мир, 1976, с. 172215.

10. Белов В.М., Суханов В.А., Унгер Ф.Г. Теоретические и прикладные аспекты метода центра неопределенности. Новосибирск: Наука. Сибирская издательская фирма РАН, 1995.

11. Богомолов А.С., Сперанский Д.В. Об одной разновидности задачи стабилизации линейной дискретной системы // Автоматика и телемеханика. -2002.-№9.-С. 111-124.

12. Богомолов А.С., Сперанский Д.В. Синхронизирующие эксперименты с интервальными линейными системами // Автоматика и телемеханика. — 2002.- №6. -С. 166-173.

13. Бочарников В.П. Fuzzy-технология: Математические основы. Практика моделирования в экономике. Санкт-Петербург: «Наука» РАН, 2001.

14. Бочарников В.П., Захаров К.В., Цыгынок А.В. Логистика, эффективность и риски внешнеэкономических операций. Санкт-Петербург: «Наука» РАН, 2000.

15. Бродский М.И. Моделирование многокритериальной динамической системы с нечеткой постановкой для принятия решений при планировании производства (на примере пищевой промышленности): Дисс. На соискание ученой степени кандидата технических наук. Омск, 2006.

16. Брусин В.А. Об управлении динамическими системами в условиях неопределенности // Соросовский образовательный журнал, «Математика». — 1996.- №6.- С. 115-121.

17. Виллемс Я.К. От временного ряда к линейной системе // Теория систем. Математические методы и моделирование: Сборник переводных статей. — М.: Мир, 1989.-С. 8-191.

18. Вощинин А.П., Сотиров Г.Р. Оптимизация в условиях неопределенности. М.: София: МЭИ (СССР); Техника (НРБ), 1989.

19. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. 4-е изд. - М.: Наука, 1988.

20. Деруссо П., Рой Р., Клоуз Ч. Пространство состояний в теории управления.-М.: Наука, 1970.

21. Дилигенский Н.В., Дымова Л.Г., Севастьянов П.В. Нечеткое моделирование и многокритериальная оптимизация производственных систем в условиях неопределенности: технология, экономика, экология. М.: «Издательство Машиностроение - 1», 2004.

22. Дюбуа Д., Прад А. Теория возможностей. Приложение к представлению знаний в информатике.: Пер. с фр. -М.: Радио и связь, 1990.

23. Жирабок А.Н. Нечеткие множества и их использование для принятия решений // Соросовский образовательный журнал, «Математика». — 2001. -т. 7.-№2.-С. 109-115.

24. Заде JL Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений: Пер. с англ. М.: Мир, 1976.

25. Заде Л., Дезоер Ч. Теория линейных систем. (Метод пространства состояний), Под редакцией Г. С. Поспелова. Перевод с английского. Изд-во «Наука», М., 1970.

26. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. -М.: Мир, 1971.

27. Кожухарь В.А. Достаточное условие алгебраической реализуемости для линейных динамических систем над нечеткими числами // Материалы девятой региональной конференции по математике «МАК-2006». Барнаул: Изд-во Алт. ун-та, 2006. - С. 81-82.

28. Кожухарь В.А., Пушков С.Г. О задаче реализации для линейных динамических систем над нечеткими числами // Известия Алтайского государственного университета. — 2007. С. 24-29.

29. Кожухарь В.А., Пушков С.Г. Об одном методе реализации в пространстве состояний динамических систем над треугольными нечеткими числами //

30. Материалы десятой региональной конференции по математике «МАК-2007». Барнаул: Изд-во Алт. ун-та, 2007. - С. 124-125.

31. Кожухарь В.А. Методы реализации в пространстве состояний для нечетких динамических систем // Материалы одиннадцатой региональной конференции по математике «МАК-2008». Барнаул: Изд-во Алт. ун-та, 2008. - С. 93-95.

32. Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств. — М.: Радио и связь, 1982.

33. Кулинич А.А., Титова Н.В. Интегрированная модель поддержки принятия решений в условиях неопределенности. Труды Института проблем управления. Том 26. М.: Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова.-2005.-С. 19-38.

34. Куржанский А.Б. Задача идентификации — теория гарантированных оценок // Автоматика и телемеханика. — 1991. — №4. — С. 3-26.

35. Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М: Наука, 1977.

36. Математические методы в теории систем: сборник переводных статей // Под ред. Ю.И. Журавлева. -М.: Мир, 1979.

37. Месарович М., Такахара Я. Общая теория систем: математические основы. -М.: Мир, 1978.

38. Миронов A.M. Нечеткие модальные логики // Фундаментальная и прикладная математика. 2003. - том 9. - № 1. - С. 201-230.

39. Негойце К. Применение теории систем к проблемам управления. М: Мир, 1981.

40. Нечеткие множества и теория возможностей. Последние достижения.: Пер. с англ./ Под ред. P.P. Ягера. — М.: Радио и связь, 1986.

41. Орловский С. А. Проблемы принятия решений при нечеткой исходной информации. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981.

42. Параев Ю.И. Алгебраические методы в теории линейных систем управления. — Томск: Изд-во ТГУ, 1980.

43. Петров Б.Н., Уланов Г.М., Гольденблат И.И., Ульянов С.В. Теория моделей в процессах управления. — М.: Наука, 1978.

44. Петров Б.Н., Уланов Г.М., Ульянов С.В. Динамические системы со случайной и нечеткой структурами // Итоги науки и техники. Сер. Техн. кибернетика. -М.: ВИНИТИ, 1979. Т. 11.-С.З-76.

45. Петров Б.Н., Уланов Г.М., Ульянов С.В., Хазен Э.М. Информационно-семантические проблемы в процессах управления и организации. М.: наука, 1977.

46. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Сверхустойчивые линейные системы управления. I. Анализ // Автоматика и телемеханика. 2002. — №8. — С. 37-53.

47. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Сверхустойчивые линейные системы управления. П. Синтез // Автоматика и телемеханика. — 2002. — №11. — С. 56-75.

48. Поспелов Д.А. Логико-лингвистические модели в системах управления. -М.: Энергоатомиздат, 1981.

49. Поспелов Д.А. Моделирование рассуждений. Опыт анализа мыслительных актов. М.: Радио и связь, 1989.

50. Поспелов Д.А. Системный подход к моделированию мыслительной деятельности // Проблемы методологии системного исследования. М.: Мысль, 1970. - С. 333-358.

51. Поспелов Д.А. Ситуационное управление: теория и практика. М.: Наука, 1986.

52. Поспелов Д.А., Осипов Г.С. Прикладная семиотика // Новости искусственного интеллекта. 1999. - №1. - С. 9-35.

53. Прикладные нечеткие системы: Пер. с япон./ К. Асаи, Д. Ватада, С. Иваи и др.; под редакцией Т. Тэрано, К. Асаи, М. Сугено. М.: Мир, 1993.

54. Пушков С.Г. Комплекс программного обеспечения для решения задач точной и приближенной реализации // Материалы IV Юбилейной научно-практической конференции, посвященной 290-летию г. Бийска. — Барнаул: Изд-во АГТУ, 2000. С. 197-201.

55. Пушков С.Г. Конечномерные реализации импульсной характеристики, основанные на псевдообращении ганкелевой матрицы // Известия РАН. Теория и системы управления. 2002. - №3. - С. 5-12.

56. Пушков С.Г. О вычислении конечномерной реализации // Кибернетика и системный анализ. — 1991. №6. — С. 107-112.

57. Пушков С.Г. Об алгоритме конечномерной реализации // Автоматика и телемеханика. — 1991. №10. - С. 56-63.

58. Пушков С.Г. Об общей теории нечетких систем: глобальные состояния и нечеткая глобальная реакция нечеткой системы // Изв. РАН. ТиСУ. 2001. №5.-С. 105-109.

59. Пушков С.Г. К общей теории нечетких систем: глобальные состояния, условия согласованности и линейность // Вестник Томского государственного университета. — 2002, № 1П(П). С. 169-174.

60. Пушков С.Г. Представление динамических систем в пространстве состояний: точная и приближенная реализация: Монография. — Барнаул: Изд-во АлтГТУ, 2003.

61. Пушков С.Г., Кривошапко С.Ю. О проблеме реализации в пространстве состояний для интервальных динамических систем // Вычислительные технологии 2004, т. 9, №1. - С. 75-85.

62. Пушков С.Г., Кожухарь В.А. К общей теории нечетких систем: нечеткая линейность и нечеткие динамические системы // Изв. РАН. ТиСУ. 2008, №5.-С. 77-86.

63. Пушков С.Г., Тырышкина В.А. Нечеткие линейные динамические системы // Материалы Восьмой региональной конференции по математике «МАК-2005». Барнаул: Изд-во Алт. ун-та, 2005. - С. 63-64.

64. Пушков С.Г., Тырышкина В.А. Нечеткие динамические системы линейные над полями // Фундаментальная и прикладная математика, 2007, том 13, №3, С. 147-155.

65. Стрейц В. Метод пространства состояний в теории дискретных линейных систем управления. — М.: Наука, 1985.

66. Современные методы идентификации систем./ Под. ред. Эйкхоффа. — М.: Мир, 1983.

67. Тырышкина В.А. Нечеткие динамические системы, линейные над полями// Абелевы группы: Труды Всероссийского симпозиума. Бийск: РИО БЕГУ им. В.М. Шукшина, 2005. - С. 41-43.

68. Тырышкина В.А. К вопросу о формализации способов описаний нечетких динамических систем // Материалы региональной научно-методическойконференции "Математическое образование на Алтае". Барнаул: Изд-во АлтГТУ, 2005. - С. 122-123.

69. Ульянов С.В. Нечеткие модели интеллектуальных промышленных систем управления // Известия АН СССР. Техническая кибернетика, №3, 1991. — С. 38-49.

70. Черноусько Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. -М.: Наука, 1988.

71. Шарый С.П. Алгебраический подход во «внешней задаче» для интервальных линейных систем // Вычислительные технологии. 1998. — Т. 3, №2.-С. 67-114.

72. Шарый С.П. Алгебраический подход к анализу линейных статических систем с интервальной неопределенностью // Известия РАН. Теория и системы управления. 1997. — №3. - С. 51-61.

73. Шарый С.П. Интервальные алгебраические задачи и их численное решение: Дисс. на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. — Новосибирск, 2000.

74. Шарый С.П. Линейные статические системы с интервальной неопределенностью: эффективные алгоритмы для решения задач управления и стабилизации // Вычислительные Технологии. 1995. - Т. 4, №13. - С. 64-80.

75. Шарый С.П. Новый подход к анализу статических систем с интервальной неопределенностью в данных // Вычислительные Технологии. 1997. - Т. 2, №1. — С.84-102.

76. Шокин Ю.И. Интервальный анализ. Новосибирск: Наука, 1981.

77. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления. М.: Мир, 1975.

78. Ярушкина Н.Г. Основы теории нечетких и гибридных систем: Учеб. пособие. М.: Финансы и статистика, 2004.

79. Яхъяева Г. Э. Нечеткие множества и нейронные сети. БИНОМ. Лаборатория знаний, Интернет-университет информационных технологий ИН-ТУИТ.ру, 2006.86.