Модели устойчивой двухуровневой кооперации в дифференциальных играх тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.09, кандидат наук Колабутин, Николай Валерьевич

• Колабутин, Николай Валерьевич
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Колабутин, Николай Валерьевич

Оглавление

Введение

Глава 1. Модель некооперативной игры коалиций

1.1 Математическая модель

1.2 Равновесие по Нэшу в игре ГА( х°,Т — ¿о)

1.3 Распределение выигрыша внутри коалиции Ki

1.3.1 Вычисление значений характеристической функции

в игре TKi(x°,T-t0)

1.3.2 Супераддитивность характеристической функции

уЩ10) (K,xK{t),T-t)

1.3.3 Процедура распределения выигрыша в игре TKl (ж0, Г — ¿о) —

1.4 Коалиционное решение. Построение устойчивого PMS-вектора в игре Гд x°,T-t0)

1.5 Численный пример

Глава 2. Двухуровневая кооперация в игре технологического альянса

2.1 Постановка задачи

2.2 Кооперация коалиций

2.3 Построение характеристической функции в игре технологического альянса

2.3.1 Вычисление значения характеристической функции для максимальной коалиции (технологического альянса коалиций)

2.3.2 Вычисление значений характеристической функции для произвольной коалиции К С N

2.3.3 Супераддитивность полученной характеристической функции

2.4 Процедура распределения выигрыша в технологическом альянсе

коалиций

2.5 Построение кооперативной игры между членами коалиции К[

2.6 Вектор Шепли в игре ГК1(х°К1,Т — ¿о)

2.7 ЕБ-вектор в игре ТК1(х°К1, Т - ¿0)

2.8 Пропорциональное решение в игре ГК1(х°К1,Т — ¿о)

2.9 Численные примеры

2.9.1 Пример 1. Распределение выигрыша по вектору Шепли

2.9.2 Пример 2. Распределение выигрыша по вектору Шепли и ЕБ-вектору

2.9.3 Пример 3. Распределение выигрыша по вектору Шепли и согласно пропорциональному решению

Глава 3. Двухуровневая кооперация в кооперативной игре сокращения выброса вредных веществ

3.1 Постановка задачи

3.2 Кооперация между коалициями (игра ГА (йо^о))

3.3 Характеристическая функция в игре ГА(««Ь*,0)

3.4 Процедура распределения выигрыша в игре ГА (зоЛо)

3.5 Распределение выигрыша внутри коалиции К1

3.6 Вычисление характеристической функции в игре

Тк'(я0Л0)

3.7 Процедура распределения выигрыша внутри коалиции К1

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Модели устойчивой двухуровневой кооперации в дифференциальных играх»

Введение

Актуальность темы. Кооперативные дифференциальные игры - один из наиболее актуальных разделов теории игр, поскольку с их помощью возможно моделирование непрерывно развивающихся во времени конфликтно-управляемых процессов в различных областях, в первую очередь в менеджменте и в экономике. Диссертационная работа посвящена исследованию устойчивости кооперативных соглашений в моделях двухуровневой кооперации. Теория дифференциальных игр возникла в середине 20 века. До середины шестидесятых годов исследовались в основном антагонистические дифференциальные игры, в которых рассматривался конфликт между двумя сторонами с противоположными интересами. В 1965 году Р. Айзеке опубликовал фундаментальную работу по теории дифференциальных игр, в которой исследовались антагонистические игры преследования [29], и которая оказала заметное влияние на развитие динамического программирования и оптимального управления. Появились работы JI.C. Понтрягина [23], H.H. Красовского [13], JI.A. Петросяна [14] и др. Однако данный класс был применим только для ограниченного числа задач, в которых конфликтное взаимодействие носило антагонистический характер.

Затем стал рассматриваться класс неантагонистических дифференциальных игр [16]. Они использовались для моделирования различных социально-экономических процессов. В качестве принципа оптимальности, как правило, использовалось равновесие по Нэшу, полученное в программных или позиционных стратегиях. После стали рассматриваться кооперативные дифференциальные игры, в которых участники имеют возможность кооперироваться с целью получения большего совместного выигрыша с его последующим распределением между участниками. В случае кооперации участники получали больше, чем в условиях конкуренции.

Следует отметить, что уровень строгости решений дифференциальных игр,

в частности, игр преследования, которые базируются на решении уравнения Айзекса-Беллмана, ограничен областью фазовых переменных, для которых указанное уравнение имеет смысл. Строгое обоснование этих решений можно получить, используя фундаментальные результаты H.H. Красовского и его учеников. Именно на основе той формализации дифференциальной игры, которую предложил H.H. Крассовский [12], оказывается возможным связать дескриптивную теорему о значении игры и ситуации равновесия с обобщенным минимаксным решением уравнения Айзекса-Беллмана. То же самое относится и к неантагонистическим дифференциальным играм, для которых также были получены подобные результаты [5].

Решением кооперативной дифференциальной игры является соглашение о максимизации суммарного выигрыша и связанное с этим соглашением оптимальное поведение участников (игроков), а также выбор принципа оптимальности, по которому распределяется этот выигрыш. Поскольку дифференциальные игры всегда рассматриваются на некотором временном интервале, то появилось требование устойчивости кооперативного решения. Прежде всего, рассматривался вопрос о динамической устойчивости (временной состоятельности) выбранного принципа оптимальности. Это понятие было впервые формализовано Л.А. Петросяном [15].

Динамическая устойчивость (временная состоятельность) означает, что выбранный в начале игры принцип оптимальности сохраняет свою состоятельность на протяжении всего игрового процесса. Другими словами, при развитии игры вдоль изначально выбранной кооперативной траектории игроки следуют одному и тому же принципу оптимальности в каждый момент игры и, следовательно, не имеют причин отклониться от изначально выбранного решения.

Вопрос о динамической устойчивости в дифференциальных играх тщательно изучался в течение последних трех десятилетий. Исследования показали,

что изначально выбранное кооперативное решение почти всегда теряет свою оптимальность с течением времени, т.е. является динамически неустойчивым (не состоятельным во времени). Это явление имеет место даже без изменения интересов участников или каких-либо внешних воздействий. Кроме Л.А. Петро-сяна [15] это обстоятельство было обнаружено Ф. Кидландом и Е. Прескоттом [32]. Чтобы сохранить устойчивость решения, необходимо в каждый момент времени проводить регуляризацию выбранного принципа оптимальности. В работе Л. А. Петросяна и Н. Н. Данилова [19] было введено понятие "процедуры распределения дележа". Б. Толвинский, А. Ори и Дж. Лейтман в своей работе [39] исследовали кооперативное равновесие в дифференциальных играх, в которых вводились стратегии наказаний и угроз для поддержания кооперативного соглашения. В работах Л. А. Петросяна [33], [34] представлен подробный анализ динамической устойчивости в кооперативных дифференциальных играх, и введен метод регуляризации принципа оптимальности для построения динамически устойчивого (состоятельного во времени) кооперативного решения. В работе Л. А. Петросяна и Д. Янга [40] представлены состоятельные во времени решения в дифференциальных играх, и описаны условия, которым должна удовлетворять процедура распределения дележа. Л. А. Петросян и Дж. Заккур [36] привели динамически устойчивый (состоятельный во времени) вектор Шепли в кооперативной дифференциальной игре сокращения вредных выбросов.

С развитием теории кооперативных дифференциальных игр стали исследоваться такие коалиционные решения, в которых участники объединяются в различные коалиции, выступающие как отдельные игроки. Здесь возможны различные постановки задач. Иногда предполагают, что образованные коалиции играют между собой в бескоалиционную игру, и каждая коалиция получает свой выигрыш, который затем распределяется между ее участниками в соответствии с некоторым принципом оптимальности. Для данных моделей также

ставится вопрос о динамической устойчивости (временной состоятельности).

С недавнего времени стали исследоваться модели двухуровневой кооперации, в которых участники объединяются в коалиции, выступающие как отдельные игроки, при этом коалиции также кооперируются для увеличения совместного выигрыша. В этом случае коалиции играют в свою кооперативную игру, получая общий выигрыш и распределяя его между собой в соответствии с некоторым принципом оптимальности. Это верхний уровень кооперации. Затем доля (выигрыш) каждой коалиции распределяется между ее участниками так же в соответствии с некоторым кооперативным принципом оптимальности, необязательно совпадающим с принципом оптимальности верхнего уровня игры. Это нижний уровень кооперации. Таким образом, получается двухуровневое объединение игроков, и двухуровневое распределение полученного выигрыша.

Встает вопрос об устойчивости таких кооперативных соглашений, которая должна поддерживаться как па верхнем уровне (в кооперации между коалициями) так и на нижнем (внутри каждой коалиции).

В более ранних работах [4], [8], [11], [41], [42], [43] была описана модель игры совместного предприятия или технологического альянса, в которой строилось кооперативное решение, обладающее динамической устойчивостью. Поскольку рынки продолжают становиться более глобальными, то и фирмы все больше становятся интернациональными. Совместные предприятия обеспечивают фирмам возможности для быстрого роста и распространения и для получения новых средств и технологий, которые было бы очень трудно получить самостоятельно.

В данной работе рассмотрены модели двухуровневой кооперации на примере дифференциальной игры технологического альянса и на примере дифференциальной игры сокращения выбросов в атмосферу. Для игры технологического альянса предварительно рассмотрена модель коалиционного решения, когда

образованные коалиции выступают как отдельные игроки, но играют в бескоалиционную игру. Показано, каким образом будут различаться простое коалиционное решение и решение в двухуровневой кооперации. Для распределения совместного выигрыша рассмотрены различные принципы оптимальности. Для каждой модели исследуются вопросы динамической устойчивости (временной состоятельности). Для моделей дифференциальных игр технологических альянсов приведены численные примеры.

Цель диссертационной работы. Целью диссертационной работы является построение решений в кооперативных дифференциальных играх с двухуровневой кооперацией между участниками и изучение вопроса их динамической устойчивости (временной состоятельности).

Научная новизна работы. Научная новизна работы заключается в разработке новых теоретико-игровых моделей технологических альянсов и сокращения выбросов вредных веществ.

В дифференциальной игре технологического альянса впервые построено коалиционное решение, при котором коалиции выступают как отдельные игроки и играют между собой в бескоалиционную игру. В данной игре найдено равновесие по Нэшу между игроками-коалициями. Внутри коалиции для распределения выигрыша между ее участниками вычислена характеристическая функция, доказана ее супераддитивность, и построена динамически устойчивая (состоятельная во времени) процедура распределения дележа.

В дифференциальной игре технологического альянса впервые построена и исследована модель двухуровневой кооперации, когда коалиции выступают как отдельные игроки и кооперируются между собой На верхнем и нижнем уровне кооперации построена характеристическая функция, и доказана ее супераддитивность. Построены процедуры распределения совместного выигрыша между коалициями и внутри каждой коалиции Доказана динамическая устойчивость

(временная состоятельность) построенного кооперативного решения.

Впервые построена модель двухуровневой кооперации в дифференциальной игре сокращения выбросов вредных веществ. Построено кооперативное решение, в котором для каждого уровня кооперации вычислена характеристическая функция, и доказана ее супераддитивность. Для распределения совместного выигрыша на обоих уровнях кооперации определена процедура распределения дележа, и показана ее динамическая устойчивость.

Теоретическая и практическая значимость. Полученные результаты диссертационного исследования применимы при построении моделей взаимодействия крупных фирм, картелей или концернов. При этом взаимодействие между картелями и концернами описывается на верхнем уровне кооперации, а на нижнем уровне кооперации описывается взаимодействие участников картельных соглашений. Большое практическое значение имеют построенные двухуровневые процедуры распределения совместного выигрыша, гарантирующие устойчивость кооперативного соглашения.

Положения, выносимые на защиту.

1. Построено коалиционное решение в дифференциальной игре технологического альянса. Найдено равновесие по Нэшу между игроками-коалициями, а для распределения выигрыша между участниками коалиции используется кооперативная теория. С этой целью используется характеристическая функция, показывается ее супераддитивность, и определяется динамически устойчивая (состоятельная во времени) процедура распределения дележа. В качестве принципа оптимальности используется РМБ-вектор.

2. Построена теоретико-игровая модель двухуровневой кооперации в дифференциальной игре технологического альянса. На верхнем уровне кооперации строится специальным образом характеристическая функция, и доказывается ее супераддитивность. В качестве принципа оптимальности выбран динамиче-

ский вектор Шепли, и показана его состоятельность во времени. На нижнем уровне также строится характеристическая функция, и доказывается ее супераддитивность. В качестве принципов оптимальности используются динамический вектор Шепли, ES-вектор и вектор пропорционального распределения выигрышей. Показана их динамическая устойчивость

3. Предложена теоретико-игровая модель двухуровневой кооперации в дифференциальной игре сокращения вредных выбросов. На верхнем уровне кооперации строится характеристическая функция, и доказывается ее супераддитивность. В качестве принципа оптимальности выбран динамический вектор Шепли, для реализации которого определяется процедура распределения совместного выигрыша. Доказывается динамическая устойчивость данного принципа. На нижнем уровне также строится характеристическая функция, и доказывается ее супераддитивиость. В качестве принципа оптимальности используется дележ, пропорциональный динамическому вектору Шепли, и доказывается его временная состоятельность.

Апробация работы. Основные результаты, составляющие содержание работы, были представлены на научных конференциях:

1. Стамбул, Конференция IFAC CEFIS: Synergy of Computational Economics and Financial and Industrial Systems (2007)

2. Санкт-Петербург, Конференция "Процессы управления и устойчивость" ПМПУ (2008)

3. Вроцлав, Конференция 13th International Symposium on Dynamic Games and Applications (2008)

4. Санкт-Петербург, Конференция "Процессы управления и устойчивость" ПМПУ (2009)

5. Санкт-Петербург, Конференция "Game theory and management"

GTM (2009)

6. Санкт-Петербург, Конференция "Процессы управления и устойчивость" ПМПУ (2010)

7. Санкт-Петербург, Конференция "Game theory and management" GTM (2010)

8. Вена, Конференция "Computational Management Science"CMS (2010)

9. Санкт-Петербург, Международная научная конференция "Математика, экономика, менеджмент: 100 лет со дня рождения JI.B. Канторовича (2012)

10. Санкт-Петербург, Конференция "Game theory and management" GTM (2014)

Публикации. Список основных работ по теме диссертации включает 8 наименований, в том числе 4 статьи в рецензируемых научных журналах ([4], [9], [10], [37] общим объемом 105 авторских листов) и 4 публикации в трудах материалов конференций. Общий объем опубликованных материалов составляет 119 авторских листов.

Личный вклад автора. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, заключения и списка использованной литературы. Полный объем диссертации составляет 122 страницы. Диссертация содержит 11 рисунков и 17 таблиц. Библиографический список включает 44 наименования и занимает 6 страниц.

В первой главе рассматривается коалиционная модель на примере дифференциальной игры технологического альянса. В разделе 1.1 рассматривается постановка задачи. Участниками игры выступают фирмы, обладающие некоторой технологией. Вводятся понятие игрока и его основных параметров - уровня

технологии и затрат на технологическое развитие. Задается уравнение динамики развития игрока и формула для вычисления его выигрыша. Определяется коалиция игроков, задается уравнение динамики развития игроков в коалиции, отмечается ее отличие от уравнения динамики при индивидуальном развитии. Выигрыш коалиции вычисляется, как сумма выигрышей входящих в нее игроков. Вводится коалиционное разбиение множества игроков, и определяется коалиционная игра. Считается, что коалиции из заданного разбиения выступают как отдельные игроки и играют между собой в бескоалиционную игру. Вводится понятия управления коалиции и уравнение динамики развития коалиции. В разделе 1.2 определяется равновесие по Нэшу в игре коалиций. Для каждой коалиции задается оптимальное управление игроков и уравнение динамики развития. Вычисляется максимальный выигрыш каждой коалиции в ситуации равновесия. В разделе 1.3 показано распределение выигрыша коалиции между ее участниками. Вначале строится и вычисляется характеристическая функция для игры внутри коалиции (раздел 1.3 1) для всех возможных случаев. Вычисляется значение характеристической функции для отдельного игрока, для всей коалиции и для любой ее подкоалиции. Затем доказывается супераддитивность вычисленной характеристической функции (раздел 1.3.2). Далее определяется процедура распределения выигрыша (раздел 1.3.3), согласно которой члены коалиции делят между собой долю коалиции от совместного выигрыша. В качестве принципа оптимальности для распределения выигрыша внутри коалиции используется динамический вектор Шегши. Определяются формулы выигрыша участников коалиции после перераспределения Показана динамическая устойчивость (временная состоятельность) построенного решения. В разделе 1.4 обобщаются результаты предыдущих разделов, и приводится общий алгоритм построения устойчивого РМБ-вектора. В разделе 1.5 приводится численный пример для построенного решения. Приведены графические иллюстрации

состояний игроков и их прибылей и таблицы с численными результатами.

Во второй главе рассматривается модель двухуровневой кооперации в дифференциальной игре технологического альянса. В разделе 2.1 приводится математическая модель игры. Игроками вновь являются фирмы, обладающие некоторой технологией. Уравнение технологического развития и выигрыши для отдельного игрока и для коалиции игроков берутся из предыдущей главы. Задается коалиционное разбиение множества игроков, и вводятся основные параметры коалиций. Задается уравнение динамики развития каждой коалиции из разбиения, и определяется выигрыш коалиции, как сумма выигрышей ее участников. В разделе 2.2 показана кооперация между коалициями из разбиения, динамика развития игроков в объединенных коалициях и выигрыши объединенных коалиций, которые также вычисляются через сумму выигрышей участников. Вводится понятие максимальной коалиции или технологического альянса коалиций. В разделе 2.3 описано построение характеристической функции для верхнего уровня кооперации. Поскольку иа верхнем уровне кооперации в качестве игроков выступают коалиции, а не отдельные игроки, то данная характеристическая функция рассматривается только для сформированных коалиций и их возможных объединений. В разделах 2.3.1 и 2.3.2 вычисляются значения характеристической функции на верхнем уровне соответственно для максимальной коалиции в игре и для произвольной коалиции. Для равновесия по Нэшу в игре коалиций значение характеристической функции было найдено в разделе 1.2. В разделе 2.3.3 доказывается супераддитивность построенной характеристической функции. В разделе 2.4 строится процедура распределения совместного выигрыша между коалициями. В качестве принципа оптимальности используется динамический вектор Шепли. Поскольку на верхнем уровне кооперации в качестве игроков выступают коалиции а не отдельные игроки, то данный вектор Шепли также строится через коалиции из заданного разбие-

ния и их возможные объединения. Для реализации данного принципа строится процедура распределения дележа, и доказывается ее динамическая устойчивость (состоятельность во времени) на верхнем уровне. В разделе 2.5 описано распределение выигрыша внутри каждой коалиции. Приведено вычисление характеристической функции на нижнем уровне кооперации для всех возможных случаев, указано отличие от обыкновенной коалиционной игры. Доказана супераддитивность вычисленной характеристической функции. В разделах 2.6, 2.7 и 2.8 показаны процедуры распределения выигрыша коалиции между ее участниками. В каждом из разделов используется свой принцип оптимальности. В разделе 2.6 в качестве принципа оптимальности используется динамический вектор Шепли. В разделе 2.7 в качестве принципа оптимальности берется Е8-вектор. В разделе 2.8 в качестве принципа оптимальности используется пропорциональный дележ. Для каждого случая доказана динамическая устойчивость (временная состоятельность) решения на нижнем уровне. В разделе 2.9 и его подразделах приведены численные примеры построенной двухуровневой кооперации. Рассматриваются примеры для каждого из приведенных принципов оптимальности. В каждом примере построены графики изменения состояний игроков и их выигрышей, и приведены таблицы с результатами вычислений, показывающими перераспределение совместного выигрыша на верхнем и на нижнем уровне. Также приведены численные результаты, показывающие динамическую устойчивость построенных решений.

В третьей главе рассматривается модель двухуровневой кооперации в дифференциальной игре сокращения вредных выбросов в атмосферу. В отличие от предыдущей модели, данная игра является игрой с бесконечной продолжительностью. В разделе 3.1 приведена постановка задачи. Участниками являются предприятия, производство которых наносит вред окружающей среде. Задаются параметры игроков. Основным параметром игрока является его

уровень вредных выбросов в атмосферу, который является управлением игрока. Также для каждого игрока задается максимально допустимый уровень вредных выбросов в атмосферу. Определяются начальные условия игры, ограничение на параметры. Задается уравнение динамики игры и определяется выигрыш игрока, как его затраты на возмещение вреда окружающей среде от выбросов. Определяется коалиция игроков, вводятся основные ее основные параметры: число участников, уровень выбросов коалиции, которое также называется управлением коалиции. Выигрыш коалиции равен сумме выигрышей ее участников. Задается коалиционное разбиение на множестве игроков, и задаются параметры коалиции из разбиения. В разделе 3.2 описана кооперация между коалициями, выигрыши игроков в объединенных коалициях. В разделе 3.3 описывается построение и вычисление характеристической функции для верхнего уровня кооперации. Данная характеристическая функция так же рассматривается только для сформированных коалиций и их возможных объединений. Вычисляются значения характеристической функции соответственно для случаев равновесия по Нэшу в игре коалиций, для максимальной коалиции и для произвольного объединения коалиций. Здесь же доказывается субаддитивность вычисленной характеристической функции. В разделе 3.4 строится процедура распределения совместного выигрыша на верхнем уровне. В качестве принципа оптимальности используется динамический вектор Шепли. Данный вектор Шепли также строится через сформированные коалиции и их возможные объединения. Далее определяется функция процедуры распределения выигрыша, и доказывается ее динамическая устойчивость (временная состоятельность) на верхнем уровне. В разделе 3.5 описана общая суть распределения выигрыша внутри каждой коалиции. Заданы основные формулы распределения совместного выигрыша. В разделе 3.6 описано построение и вычисление характеристической функции на нижнем уровне кооперации для всех возможных случаев.

В этом же разделе доказана субаддитивность вычисленной характеристической функции. В разделе 3.7 описана процедура распределения совместного выигрыша внутри коалиции. В качестве принципа оптимальности используется дележ, пропорциональный динамическому вектору Шепли. Также в этом разделе доказана динамическая устойчивость (состоятельность во времени) построенного решения на нижнем уровне.

В заключении содержится краткий обзор полученных результатов. В диссертационной работе использована тройная нумерация формул. Первая цифра соответствует номеру главы, вторая является номером раздела в данной главе, третья - номером формулы в данном разделе. Подразделы также имеют тройную нумерацию, где первая цифра означает номер главы, вторая

- номер раздела в главе, третья - номер подраздела в разделе. Рисунки и таблицы имеют двойную нумерацию. Первая цифра обозначает номер главы, вторая

- номер рисунка или таблицы в этой главе. Список литературы приведен в алфавитном порядке.

Глава 1

Модель некооперативной игры коалиций 1.1 Математическая модель

Рассмотрим дифференциальную игру ГЛ Т — £о), в которой участвуют фирмы, разрабатывающие некоторую продукцию. Обозначим за, N = {1,п} множество фирм-участников. Главным параметром каждой фирмы i £ N является ее технологический уровень, который обозначим за хг Е Л+. Для простоты будем называть этот параметр просто уровнем технологии фирмы или состоянием фирмы. На данный параметр наложено ограничение хг > 0. Игра начинается из начального состояния х° = (а;®, х®, х^) в момент ¿о и продолжается период Т — £ о 5 в течение которого фирмы получают определенный выигрыш от использования своей технологии. В момент Т - момент окончания игры, фирмы получают некоторый дополнительный выигрыш.

Целью каждой фирмы является максимизация ее собственного выигрыша. Т.к. выигрыш растет с ростом уровня технологии, то фирма постоянно стремится повысить этот уровень, для чего инвестирует в развитие своей технологии. Уровень инвестиций фирмы г Е ./V в технологическое развитие, являющийся ее стратегией в игре, обозначим за иг Е Я+. Этот параметр будем также называть управлением фирмы.

Развитие технологического уровня фирмы I Е N для простоты будем называть технологическми развитием. Оно описывается дифференциальным уравнением:

хг(з) = аг [иг(5)а:г(5)]1/2 - (1-1.1)

где хг(з) Е Я+ - переменная состояния фирмы г; иг(з) Е Я+ - переменная управления фирмы г; а, и 5 - положительные константы. Величина аг [иДй)^^)]1/2

определяет прирост уровня технологии фирмы г, а величина <5хг(я) - устаревание технологии.

Обозначим правую часть уравнения (1.1.1) за /г [^(s), глг(s)]. Считаем, что на правые части наложены условия, гарантирующие существование, единственность и продолжимость решений для любых кусочно-непрерывных управлений ut(s),s G [to,T], т.е. fг [^(s),пг(й)] непрерывна в области [to,T] х [0,оо) и удовлетворяет условию Липшица в этой области. Выигрыш фирмы г имеет вид:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Колабутин, Николай Валерьевич, 2015 год

Литература

1. Вайсборд Э.М., Жуковский В.И. Введение в дифференциальные игры нескольких лиц и их приложения // М."Советское радио". 1980.

2. Гихман И.И., Скороход A.B. Введение в теорию случайных процессов, второе издание. 1963.

3. Денисов А. М., Разгулин А. В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. // Пособие для студентов 2 курса. МГУ им. М.В.Ломоносова. 2008. 70 С.

4. Зенкевич H.A., Колабутин Н.В., Д. Янг Стохастическая модель совместного предприятия. // Управление большими системами. Вып. 26.1, М., ИПУ РАН. 2009. С. 287-318

5. Клейменов А.Ф. Неантагонистические позиционные дифференциальные игры. // Екатеринбург "Наука". 1993. С. 184

6. Козловская Н.В. Супераддитивность характеристической функции в теоретико-игровой модели территориального экологического производства // Труды 41-й международной научной конференции аспирантов и студентов "Процессы правления и устойчивость". СПб: Изд. СПбГУ. 2010. С. 623-627.

7. Козловская Н.В., Петросян Л.А., Ильина A.B. Коалиционное решение в задаче сокращения вредных выбросов // Вестник СПбГУ, сер. 10. 2010. Вып.2. С. 46-59.

8. Колабутин Н.В. Количественное моделирование динамически устойчивого совместного предприятия // Процессы управления и устойчивость: Труды 39-й международной научной конференции аспирантов и студентов / Под

ред. Н. В. Смирнова, Г. Ш. Тамасяна. СПб.: Издат. Дом С.-Петерб. гос. ун-та. 2008. С. 47-51

9. Колабутин Н.В. Двухуровневая кооперация в дифференциальной игре сокращения вредных выбросов // Математическая теория игр и её приложения, том 6. 2014. вып. 4 С. 3-36

10. Колабутин Н.В. Двухуровневая кооперация в дифференциальной игре технологического альянса // Вестник СПбГУ, сер. 10. 2015. Вып.1. С. 42-63.

11. Колабутин Н.В., Петросян JI.A. . Условие Д.В.К. Янга для динамического совместного предприятия // Процессы управления и устойчивость: Труды 40-й международной научной конференции аспирантов и студентов / Под ред. Н. В. Смирнова, Г. Ш. Тамасяна. СПб.: Издат. Дом С.-Петерб. гос. ун-та. 2009. С. 624-629

12. Красовский Н. Н., Котельникова А. Н. О дифференциальной игре на перехват. // Тр. ИММ УрО РАН, 16, № 5. 2010. С. 113-126

13. Красовский H.H., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. // М.: Наука. 1974. 458 С.

14. Петросян JI.A. Дифференциальные игры преследования // Изд-во Ле-нингр. ун-та. 1977. 222 С.

15. Петросян JI.A. Устойчивые решения дифференциальных игр со многими участниками. // Вестник Ленинградского Университета, 19. 1977. С. 46-52

16. Петросян Л.А. Неантагонистические дифференциальные игры. // Управление динамическими системами, Выи. № 2. 1978 С. 173-181

17. Петросян JI.А., Громова Е.В. Двухуровневая кооперация в коалиционных дифференциальных играх. // Екатеринбург: Тр. ИММ УрО РАН Том. 20. 2014. № 3. С. 193-203

18. Петросян Л.А., Данилов H.H. Устойчивость решений в неантогонистиче-ских дифференциальных играх с трансферабельными выигрышами. // Вестник Ленинградского Университета. №1. 1979. С. 52-59

19. Петросян Л.А., Данилов H.H. Кооперативные дифференциальные игры и их приложения. // Издательство Томского Университета, Томск. 1982. 273 С.

20. Петросян Л.А., Захаров В.В. Введение в математическую экологию. //Л. Изд-во Ленингр. Ун-та. 1986. 224 С.

21. Петросян Л.А., Зенкевич H.A., Семина Е.А. Теория игр. // М.: Высш. шк., Книжный дом "Университет". 1998. 304 С.

22. Петросян Л.А., Зенкевич H.A. Принципы устойчивой кооперации. // Мат. теория игр и её приложения, Т 1. 2009. Вып. 1. С. 102-117.

23. Понтрягин Л. С. Линейная дифференциальная игра убегания. // Тр. МИ-АН СССР, том 112. 1971. С. 30-63

24. Чаплыгин С. А. Новый метод приближенного интегрирования дифференциальных уравнений. // М.-Л.: Гостехиздат. 1950. 103 С.

25. Aumann R., Myerson R. Endogenous Formation of Links between Players and of Coalitions: An Application of the Shapley value // Essays in honor of Llyoyd Shapley. Cambridge university press. 1988. P. 175-191.

26. Barrett S. International Cooperation for Environmental Protection // Dorfman R., Dorfman N.S. (eds) Economics of the Environment. Selected Readings. -3-rd ed. New York - London. W.W. Norton and Company. 1993. P. 445-463

27. Breton M., Zaccour G., Zahaf M. A. Game-Theoretic Formulation of Joint Implementation of Environmental Projects // European Journal of Operational Research. No. 168. 2006. P. 221-239

28. Haurie A Springer. A note on nonzero-sum differcnrial games with bargaining solutions. //In Journal of Optimization Theoryand Application, 18. 1976. P. 31-39

29. Isaacs R. Differential Games: A Mathematical Theory with Applications to Warfare and PursiLit, Control and Optimization // John Wiley and Sons, New York. 1965. 408 P.

30. Iljina A. V., Kozlovskaya N.V. D.W.K. Yeung's Condition for the Coalitional Solution of the Game of Pollution Cost Reduction // Contributions to game theory and management. Vol. III. Collected papers presented on the Third 139 International Conference game theory and management / Editors Leon A. Petrosyan, Nikolay A. Zenkevich. - SPb.: Graduate school of management SPbSU. 2010. P. 171-181

31. Kozlovskaya N.V., Petrosyan L.A., Zenkevich N.A. Coalitional solution of a game-theoretic emission reduction model // International Game Theory Review. Vol. 12. No. 3. 2010. P. 275-286

32. Kidland F.E. and Prescott E.C. Rules rather than decisions the inconsistency of optimal plans. //In Journal of Political Economy, vol. 85. 1977. P. 473-490

33. Petrosyan L.A. Differential Games of Pursuit // World Scientific, Singapore. 1993. 326 P.

34. Petrosyan L. A., Zenkevich N.A. Game Theory. // World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd.: Singapore. 1996. 352 P.

35. Petrosyan L.A. Bargaining in Dynamic Games. // In: Petrosyan L, Yeung D (ed) ICM Millenium Lectures on Games- Springer - Verlag, Berlin. 2003. P. 139-143.

36. Petrosyan, L. A., Zaccour G. Time-consistent Shapley value allocation of pollution cost reduction. // Journal of economic dynamics and control, 27 (3). 2003. P. 381-398

37. Petrosyan, L. A., Kolabutin, N. V. D. W. K. Yeung condition for dynamically stable joint venture. // Contributions to Game Theory and Management. Vol II. Collected papers/ Editors Leon A. Petrosjan, Nikolay A. Zenkevich , SPb, Graduate School of Management, SPbU. 2009. P. 220-240

38. Shapley L. S. A value for n-person games. // Contributions to the Theory of Games II. Princeton University Press: Princeton. 1953. P. 307-317

39. Tolwinski B., Haurie A., Leitmann G. Cooperative equilibria in differential games. // Journal of Mathematical Analysis and Applications, 119. 1986. P. 182-202

40. Yeung D.W.K., Petrosyan L. A. Proportional time-consistent solution in differential games. // Yanovskaya E.B. (ed) International Conference on Logic, Game Theory and Social Choice, Saint-Petersburg State University. 2001. P. 254-256

41. Yeung D., Petrosyan L. A. Cooperative Stochastic Differential Games // Springer. 2006. 253 P.

42. Yeung D.W.K., Petrosyan L. A. Subgame Consistent Economic Optimization // Springer. 2012. 403 P.

43. Zenkevich N.A., Kolabutin N.V. Quantitative Modeling of Dynamic Stable Joint Venture. // In : Preprint Volume of the 11th IFAC Symposium "Computational Economics and Financial and Industrial Systems IFAC, Dogus University of Istanbul, Turkey. 2007. P. 68-74.

44. Zenkevich N.A., Kolabutin N.V. Quantitative Modeling of Dynamic Stable Joint Venture under Uncertainty // 13th International Symposium on Dynamic Games and Applications/ Editors Arik A. Melikyan, Andrzej S. Nowak, Krzysztof J. Szajowski, Wroclaw University of Technology. 2008. P. 224-226