Моделирование нелинейного осциллятора при наличии упругих соударений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Нарожнов Виктор Валерьевич

• Нарожнов Виктор Валерьевич
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Нарожнов Виктор Валерьевич

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОСЦИЛЛЯТОРА С СОУДАРЕНИЯМИ

1.1 Удар и контактные явления

1.1.1 Упругие волны в неограниченной среде

1.1.2 Распространение волн в упругом полупространстве

1.1.3 Вязкоупругие тела

1.1.4 Механика контактного взаимодействия. Теория Герца

1.2 Нелинейный осциллятор

1.3 Математические модели нелинейных осцилляторов с соударениями

1.4 Эффективная масса осциллятора

1.5 Модуляционные режимы атомно-силового микроскопа

1.6 Выводы по главе

ГЛАВА 2 ПРИМЕНЕНИЕ КОМПЛЕКСА ПРОГРАММ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ОСЦИЛЛЯТОРА С СОУДАРЕНИЯМИ

2.1 Линейная модель осциллятора

2.2 Нелинейная модель осциллятора

2.3 Применение программы Mathcad

2.4 Применение программы Simulink

2.5 Применение программы COMSOL Multiphysics

2.6 Выводы по главе

ГЛАВА 3 ФУРЬЕ- И ВЕЙВЛЕТ-АНАЛИЗ КОЛЕБАНИЙ НЕЛИНЕЙНОГО ОСЦИЛЛЯТОРА С СОУДАРЕНИЯМИ

3.1 Фурье-анализ колебаний осциллятора

3.2 Вейвлет-анализ колебаний осциллятора

3.3 Применение Wavelet Toolbox

3.4 Выводы по главе

ГЛАВА 4 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ ЭКСПЕРИМЕНТОВ ПО ИССЛЕДОВАНИЮ ОСЦИЛЛЯТОРА С СОУДАРЕНИЯМИ

4.1 Измерительный стенд для исследования осциллятора с соударениями

4.2 Применение метода линейной регрессии

4.3 Спектральный анализ сигналов

4.4 Схемотехническое моделирование осциллятора с соударениями

4.5 Выводы по главе

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность работы. В большинстве случаев колебания реальных механических систем описываются нелинейными дифференциальными уравнениями. В нелинейных консервативных или диссипативных механических системах модули упругости могут зависеть от деформаций, коэффициенты трения могут зависеть от скорости скольжения, массы тел могут зависеть от их скоростей. Помимо этого, в нелинейных колебательных системах нарушается свойство изохронности, и не выполняется принцип суперпозиции. Эти специфические свойства нелинейных колебательных систем, однако, позволяют широко использовать их на практике. В качестве примеров, ставших уже классическими, можно привести осцилляторы Дуффинга и Ван-дер-Поля, которые выступают в качестве математических моделей различных процессов в физике, химии и биологии.

Многим вопросам теории нелинейных колебаний посвящены известные монографии1. Современная теория нелинейных колебаний включает в себя такие разделы, как моделирование динамических систем, регулярные и хаотические колебания, аналитические, качественные и численные методы теории колебаний, теория бифуркаций, динамика машин и конструкций, управление колебаниями механических систем, прикладные задачи теории колебаний.

1 Вибрации в технике: Справочник. В 6-ти т. Том 2. Колебания нелинейных механических систем / Под ред. И. И. Блехмана. М.: Машиностроение, 1979. 351 с. Магнус К. Колебания: Введение в исследование колебательных систем / Пер. с нем. М.: Мир, 1982. 304 с. Мун Ф. Хаотические колебания: Вводный курс для научных работников и инженеров. М.: Мир, 1990. 312 с. Стокер Дж. Нелинейные колебания в механических и электрических системах / Пер. с англ. М.: Иностранная литература, 1952. 264 с. Тимошенко С. П., Янг Д. Х., Уивер У. Колебания в инженерном деле. М.: Машиностроение, 1985. 474 с. Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. М.: Физ.-мат. литература, 1959. 916 с. Кузнецов А. П., Кузнецов С. П., Рыскин Н. М. Нелинейные колебания. Саратов, 2011. 314 с.

Нелинейные колебания возникают в механических системах при исследовании вибраций и устойчивости объектов современной техники в таких областях, как машиностроение, железнодорожный транспорт, судостроение, авиация и реактивная техника. В механических системах нелинейность, чаще всего, возникает вследствие нарушения закона Гука. Помимо этого, нелинейность может вноситься благодаря трению. Известно, что при обтекании тел жидкостью прямая пропорциональность между скоростью и вязкой силой трения имеет место лишь при малых скоростях (закон Стокса). При больших скоростях он модифицируется, и в определенном диапазоне скоростей сила оказывается приблизительно пропорциональна квадрату скорости, что приводит к нелинейному дифференциальному уравнению. В электрических цепях нелинейные электромагнитные колебания возникают при использовании активных элементов (например, диодов и транзисторов) и положительной обратной связи. Нелинейные колебания возникают также и за счет пассивных компонентов: конденсатор с нелинейной зависимостью поляризации диэлектрика и катушка индуктивности с ферромагнитным сердечником, который характеризуется петлей гистерезиса. В целом, нелинейные колебания в физике и технике встречаются значительно чаще, чем линейные, которые можно считать некоторой идеализацией или упрощением. Теме нелинейных колебаний посвящены многочисленные отечественные и зарубежные научные конференции.

В настоящей диссертационной работе проводится математическое моделирование нелинейного осциллятора с соударениями, который находит широкое применение в зондовой нанотехнологии. Так, задачи об осцилляторе с соударениями возникают при рассмотрении физических процессов в атомно-силовом микроскопе (АСМ), который используется для диагностики поверхностей твердых тел на атомном и наноразмерном уровне разрешения. Базовая конструкция АСМ содержит микрокантилевер с нано-наконечником, который в процессе колебаний наносит удары по поверхности образца

(полуконтактный режим или tapping mode). Полуконтактный режим используется, главным образом, для исследования топографии твердых поверхностей. Однако, измеряемые сигналы в данном случае содержат также ценную информацию об упругих свойствах объекта исследования. Чтобы расширить область применения АСМ для диагностики этих свойств, необходимо провести математическое моделирование нелинейного осциллятора с учетом упругих соударений, что позволит определить зависимости частотных, амплитудных и фазовых характеристик сигналов от параметров моделей, характеризующих вязкоупругие свойства исследуемой поверхности.

Кроме того, практически важный вариант реализации осциллятора с соударениями используется при создании различных микроэлектромеханических систем (МЭМС), которые являются перспективными устройствами для современной цифровой электроники. Так, например, известен проект Millipede, который представляет собой качественно новую технологию запоминающих устройств, которая разрабатывается фирмой IBM. Для считывания и записи информации в данном случае используется гибридная микросхема, состоящая из набора микрокантилеверов и специального основания, на которое механическим способом осуществляется запись цифровых данных. В подобных устройствах при записи и считывании информации могут возникать осцилляции чувствительных элементов при их соударениях с основанием.

Несмотря на практическую важность, ряд вопросов, посвященных математическому моделированию осциллятора с соударениями, остается неизученным. Так, известные математические модели осциллятора с соударениями для АСМ и МЭМС фактически не учитывают удар с конечной длительностью, который имеет место при определенной амплитуде колебаний осциллятора2. В научной литературе практически отсутствует информация о

2 Физика быстропротекающих процессов. Том 2 / Под ред. Н. А. Златина. М.: Издательство «Мир», 1971. 518 с.

спектральном анализе колебаний такого осциллятора, например, с использованием Фурье- и вейвлет-преобразований.

В диссертационной работе, по существу, впервые предлагается рассмотреть осциллятор с соударениями в качестве динамического инструмента для исследования упругих свойств материалов. Отметим, что в настоящее время широкое распространение получили статические методы исследования, которые реализуются путем вдавливания штампа в образец (микро- и нанотвердомеры). К сожалению, динамические методы до сих пор не находят широкого применения для исследования упругих свойств. В связи с этим, тема настоящей диссертационной работы представляется актуальной, а ее результаты перспективными для практического применения. Это, кроме того, подтверждается разработкой на основе результатов математического моделирования нового измерительного стенда для неразрушающей диагностики упругих свойств металлов и сплавов

Цель работы - повышение функциональных возможностей зондового метода диагностики упругих свойств твердых материалов за счет математического моделирования осциллятора с соударениями и математической обработки результатов натурных экспериментов.

Научные задачи

Реализация поставленной цели осуществлялась путем решения следующих основных научных задач:

- анализ модуляционных режимов функционирования АСМ и известных математических моделей осцилляторов с соударениями;

- разработка методики математического моделирования осциллятора с соударениями, которая позволит адекватно описать процессы, возникающие при

3 Стенд для исследования вязкоупругих свойств металлов и сплавов с помощью зондового акустического метода: пат. №2552600 Рос. Федерация: G01N11 / 00 / Нарожнов В. В., Рехвиашвили С. Ш.; заявитель и патентообладатель Институт прикладной математики и автоматизации. № 2013124372/28; дата приоритета 27.05.2013; опубликован 10.06.2015 г. в Бюл. №

взаимодействии зонда АСМ с поверхностью исследуемого тела в полуконтактном режиме;

- разработка методики имитационного моделирования осциллятора при наличии упругих соударений, которая позволит провести идентификацию параметров нелинейного уравнения колебаний, что может играть конструктивную роль при практической реализации осциллятора с соударениями в АСМ для диагностики упругих свойств твердых материалов;

- разработка эффективного алгоритма численного моделирования осциллятора с соударениями;

- разработка и создание электромеханического осциллятора для экспериментального исследования физических процессов, возникающих в системе «ударник на пружине - образец» и верификации предложенных моделей;

- разработка алгоритма реализации спектрального анализа колебаний осциллятора с соударениями, который позволит существенно повысить информативность интерпретации результатов моделирования и натурных экспериментов;

- реализация разработанных методик и алгоритмов с помощью комплекса программ.

Объект исследования - нелинейный осциллятор с соударениями, совершающий вынужденные колебания.

Предмет исследования - математические модели, численные методы и комплексы программ для моделирования нелинейных колебательных систем.

Методы исследования

В работе использованы методы математического, имитационного и схемотехнического моделирования, теорий упругости и колебаний, Фурье - и вейвлет-анализа сигналов и регрессионного анализа.

Согласно паспорту специальности, содержанием диссертации может являться применение математического моделирования, численных методов и

комплексов программ для решения научных и технических, фундаментальных и прикладных проблем. В связи с этим, научная новизна настоящей диссертационной работы выражается в следующем.

В области математического моделирования:

1. Разработана методика математического моделирования осциллятора с соударениями, которая позволяет адекватно описывать процессы, возникающие при взаимодействии зонда АСМ с поверхностью исследуемого тела в полуконтактном режиме.

2. Разработана методика имитационного моделирования осциллятора при наличии упругих соударений, которая позволяет провести идентификацию параметров нелинейного уравнения колебаний, что может играть конструктивную роль при практической реализации осциллятора с соударениями в АСМ для диагностики упругих свойств твердых материалов.

3. Разработан и сконструирован электромеханический осциллятор для экспериментального исследования физических процессов, возникающих в системе «ударник на пружине - образец» и верификации предложенных моделей.

В области численных методов:

4. Разработан эффективный алгоритм численного моделирования осциллятора с соударениями, основанный на совместном применении таких методов, как метод Рунге-Кутты 4-го порядка, быстрое преобразование Фурье, дискретное вейвлет-преобразование, метод конечных элементов, численный регрессионный анализ.

5. Разработан алгоритм реализации спектрального анализа колебаний осциллятора с соударениями, который позволил существенно повысить информативность интерпретации результатов моделирования и натурных экспериментов.

В области использования комплексов программ:

6. Разработанные методики и алгоритмы математического, численного и имитационного моделирования осциллятора с соударениями реализованы путем совокупного применения таких программ, как Mathcad, MATLAB (Simulink и Wavelet Toolbox), COMSOL Multiphysics, Electronic Workbench.

Практическая значимость результатов работы

Результаты диссертационной работы легли в основу качественно новой методики исследования упругих свойств материалов, основанной на измерении акустических сигналов, которые возникают при периодических соударениях зонда-осциллятора с образцом. На данную методику получен патент РФ4. Результаты диссертационной работы также могут использоваться в зондовой нанотехнологии при изучении упругих свойств твердых материалов. Получено свидетельство о регистрации программы моделирования эквивалентной электрической схемы механического осциллятора с соударениями5.

Соответствие паспорту специальности

Диссертационная работа выполнена в соответствии с требованиями специальности 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ (технические науки). Область исследования: 1) разработка новых математических методов моделирования объектов и явлений; 5) комплексные исследования научных и технических проблем с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента; 6) разработка новых математических методов и алгоритмов проверки адекватности математических моделей объектов на основе данных натурного эксперимента.

4 Стенд для исследования вязкоупругих свойств металлов и сплавов с помощью зондового акустического метода: пат. №2552600 Рос. Федерация: G01N11 / 00 / Нарожнов В. В., Рехвиашвили С. Ш.; заявитель и патентообладатель Институт прикладной математики и автоматизации. № 2013124372/28; дата приоритета 27.05.2013; опубликован 10.06.2015 г. в Бюл. №

5 Нарожнов В. В. Свидетельство о регистрации электронного ресурса «Программа моделирования эквивалентной электрической схемы осциллятора с соударениями» № 23689. Дата регистрации: 3 июля 2018 г.

Достоверность и обоснованность полученных результатов

обеспечивается хорошей разработанностью теории колебаний и теории упругости, корректностью исходных предположений и допущений, корректным использованием численных методов, использованием известных программ для математического и имитационного моделирования. Достоверность построенных математических моделей подтверждена сравнением результатов проведенных численных экспериментов с натурными данными.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложения. Список литературы содержит 109 наименований. Общий объем диссертации 134 страницы.

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цель и задачи исследования, определена научная новизна и практическая значимость работы, приведена краткая характеристика полученных результатов, и представлены положения, выносимые на защиту.

В первой главе проведен обзор научной литературы по теме диссертации, из которого следует, что следует, что осциллятор с соударениями находит широкое практическое применение. Показано, что в случае соударений, не связанных ни с эффектами сжимаемости, ни с разрушением соударяющихся тел, распространение волн и деформация в месте контакта являются основными процессами в изучаемом явлении. Если скорость удара не превышает скорость звука в материале, то удар можно описывать в рамках контактной теории Герца. Уравнение колебаний нелинейного осциллятора в большинстве случаев не может быть решено в аналитическом виде. Это уравнение сводится к системе из двух дифференциальных уравнений первого порядка, которая решается численно.

Во второй главе сформулирована задача о моделировании осциллятора с соударениями. В качестве простой модели осциллятора рассмотрена модель двух сталкивающихся шаров с невесомой пружиной между ними. Разработан алгоритм

численной реализации нелинейной модели осциллятора с соударениями, в которой удар описывается в рамках контактной теории Герца. Построены фазовые портреты колебаний, и определена роль бифуркаций. В среде Simulink реализована имитационная модель нелинейного осциллятора при наличии упругих соударений. Результаты моделирования согласуются с результатами, полученными путем численного решения задачи Коши методом Рунге-Кутты в программе Mathcad.

В третьей главе проведен Фурье-анализ решений задачи Коши для модели нелинейного осциллятора с соударениями. С помощью программы Mathcad численно реализован алгоритм БПФ, и получено решение с выделенными частотными характеристиками. Проведена вейвлет-фильтрация решения уравнения колебаний нелинейного осциллятора. Разработан алгоритм спектрального анализа численных решений уравнения колебаний осциллятора с соударениями с одновременным применением программ Simulink и Wavelet Toolbox. С помощью численного моделирования показано, что с помощью вейвлет-преобразования можно эффективно выделять детали численного решения задачи о колебаниях осциллятора, соответствующие его соударениям.

В четвертой главе с помощью специально разработанного стенда проведено экспериментальное исследование соударений осциллятора с поверхностью твердого тела. Эксперименты показали, что при малых амплитудах колебаний зависимость амплитуды отклика линейно зависит от амплитуды возбуждающего сигнала. Для обработки этой зависимости использовался метод линейной регрессии. С использованием Фурье- и вейвлет-преобразований проведен спектральный анализ экспериментальных сигналов, измеренных при соударениях осциллятора. Разработана эквивалентная электрическая схема осциллятора с соударениями.

Положения и научные результаты, выносимые на защиту

1. Методика математического моделирования осциллятора с соударениями, которая позволяет адекватно описывать процессы, возникающие при взаимодействии зонда АСМ с поверхностью исследуемого тела в полуконтактном режиме.

2. Методика имитационного моделирования осциллятора при наличии упругих соударений, которая позволяет провести идентификацию параметров нелинейного уравнения колебаний, что может играть конструктивную роль при практической реализации осциллятора с соударениями в АСМ для диагностики упругих свойств твердых материалов.

3. Эффективный алгоритм численного моделирования осциллятора с соударениями, основанный на совместном применении таких методов, как метод Рунге-Кутты 4-го порядка, быстрое преобразование Фурье, дискретное вейвлет-преобразование, метод конечных элементов, численный регрессионный анализ.

4. Алгоритм реализации спектрального анализа колебаний осциллятора с соударениями, который позволил существенно повысить информативность интерпретации результатов моделирования и натурных экспериментов.

5. Разработанные методики и алгоритмы математического, численного и имитационного моделирования осциллятора с соударениями могут быть реализованы путем совокупного применения таких программ, как Mathcad, MATLAB (Simulink и Wavelet Toolbox), COMSOL Multiphysics, Electronic Workbench.

Личный вклад автора

Цели и задачи диссертационной работы были сформулированы и поставлены научным руководителем, который также является соавтором некоторых совместных публикаций. Вычислительные и натурные эксперименты, основные результаты и выводы, были проведены и получены лично автором.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование нелинейного осциллятора при наличии упругих соударений»

Апробация работы

Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях: X, XI, XII, XIV Школы молодых ученых «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы современного анализа и информатики» (Нальчик, 2012-2016 гг.); II Международная конференция молодых ученых «Математическое моделирование фрактальных процессов, родственные проблемы анализа и информатики» (Нальчик, 2012 г.); Всероссийская научная конференция молодых ученых «Современные вопросы математической физики, математической биологии и информатики» посвященная памяти академика А.А. Самарского в связи с 95-летием со дня его рождения (Нальчик, 2014 г.); International Russian - Chinese Conference on Actual Problems of Applied Mathematics and Physics and Scientific School for young scientists "Nonlocal Boundary Problems and Modern Problems in Algebra, Analysis and Informatics" (Терскол, 2015 г.); Международная научная конференция «Актуальные проблемы прикладной математики и информатики» (Терскол, 2016 г.); Международная научная конференция «Актуальные проблемы прикладной математики и физики» (Нальчик, 2017 г.); а также на заседаниях научно-исследовательского семинара НИИ ПМА КБНЦ РАН по современному анализу, информатике и физике (20122018 гг.).

Публикации

По теме диссертации опубликовано 16 работ: из них 7 статей в рецензируемых научных изданиях, рекомендованных ВАК при Минобрнауки России; 7 в сборниках трудов международных и российских конференций и школ молодых ученых; 1 патент РФ на изобретение; 1 статья в издании, индексируемом в РИНЦ.

ГЛАВА 1 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОСЦИЛЛЯТОРА С

СОУДАРЕНИЯМИ

1.1 Удар и контактные явления

При соударении твердых тел в них возникают различные процессы, особенности которых зависят от формы и физических характеристик взаимодействующих тел, а также от скорости их соударения. В зависимости от того, как при этом ведут себя материалы, выделяют следующие механические состояния: упругое (стекла), пластическое (алюминий, медь), вязкое (смолы, компаунды), а также их комбинации (свинец, полимеры).

В отличие от статического соприкосновения двух тел, при ударе силы, действующие на точку контакта, возникают на короткий промежуток времени, вследствие чего возникают волны напряжения и деформация поверхности.

При соударении сферических твердых тел равного диаметра энергия, передаваемая волнами напряжения, мала по отношению к начальной кинетической энергии системы, поэтому ей можно пренебречь по сравнению с энергией, затрачиваемой на контактную деформацию. В случае соударений, не связанных ни с эффектами сжимаемости, ни с разрушением соударяющихся тел, распространение волн и деформация в месте контакта являются основными процессами в изучаемом явлении. Величина возникающих при этом напряжений превышает предельный уровень текучести не более чем на два порядка, а скорость движения частиц в материале меньше скорости звука. Для простоты, такие процессы рассматриваются как изотермические, т.е. температура и другие термодинамические эффекты не учитываются. Вследствие чего, наблюдаемые явления определяются упругими волнами, вызываемыми контактными силами,

которые зависят от геометрических и кинематических условий удара, а также от материала сталкивающихся тел6.

1.1.1 Упругие волны в неограниченной среде

Теория распространения волн различной физической природы в твердых телах хорошо разработана отечественными и зарубежными авторами7. При описании процесса, как правило, используются дифференциальные уравнения движения и соответствующие уравнения состояния. Решение этих уравнений в значительной степени зависит от начальных и граничных условий, которые определяются геометрическими и механическими свойствами соударяющихся тел.

Для однородных, изотропных, упругих материалов, уравнение состояния выражается через закон Гука:

< =Ж + , т]к = мУ]к, к= 1,2,3, (П)

где < и т к - нормальная и касательная компоненты напряжения, £. и у.к -

соответствующие компоненты деформации, А - сумма нормальных деформаций или объемное расширение, а Л и ^ - упругие константы Ляме, характеризуют среду и могут быть выражены через модуль Юнга Е и коэффициент Пуассона V -при помощи следующих соотношений:

6 Физика быстропротекающих процессов. Том 2 / Под ред. Н. А. Златина. М.: Издательство «Мир», 1971. 518 с.

7 Davies R. M., Batchelor G. K. Surveys in Mechanics. Cambridge, University Press, 1956. 475 p. Ewing W. M., Jardetsky W. S., Press F. Elastic Waves in Layered Media. New York, Toronto, London: MGH, 1957. 380 p. Горелик Г. С. Колебания и волны. М.: Физ.-мат. литература, 1959. 572 с. Miklowitz J. Recent developments in elastic wave propagation // Appl. Mech. Rev. 1960. Vol. 13. № 12. P. 865-878. Kolsky H. Stress Waves in Solids. New York: Dover Publications, 1963. 217 p. Mason W. P. Physical Acoustics: Principles and Methods. New York: Academic Press, 1964. 514 p. Morse P. M., Ingard K. U. Theoretical Acoustics. Princeton University Press, 1968. 927 p. Graff K. F. Wave Motion in Elastic Solids. New York: Dover Publications, 1975. 649 p. Miklowitz J. Elastic Waves and Waves and Waveguides. Amsterdam: NHP company, 1978. 626 p. Лепендин Л. Ф. Акустика. М.: Высшая школа, 1978. 448 с. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухоруков А.П. Теория волн. М.: Наука, 1979. 384 с. Blackstock D. T. Fundamentals of Physical Acoustics. Wiley-Interscience, 2000. 560 p. Hirschberg A., Rienstra S. W. An Introduction to Acoustics. Eindhoven University of Technology, 2004. 288 p. Rossing T. Springer Handbook of Acoustics. Springer, 2007. 1182 p.

уЕ Е

А =-, Ц

(1 + у)(1 - 2у) 2(1 + у)

Используя уравнение движения Ньютона и понятие бесконечно малой деформации, соотношения (1.1) можно свести к уравнениям движения вида:

дА д2и.

Ц72п] + (А + ц)— = р —2., .= 1, 2, 3, (1.2)

дц] дг

где и. - компоненты вектора перемещения, д. - соответствующие координаты, V2

- оператор Лапласа, а р - массовая плотность.

В случае бесконечного тела отсутствуют граничные условия, поэтому уравнение (1.2) легко интегрируется.

Так как вектор перемещения раскладывается на вихревую (волны сдвига) и безвихревую (волны расширения-сжатия) составляющие, то можно предположить, что каждая компонента изменяется независимо, что приводит к дифференциальным уравнениям:

и. = сУ V, и. = с22 V V, . = 1, 2, 3, (1.3)

представляющие собой продольную и поперечную волну, которые распространяются с постоянными скоростями

с1 =

А + 2ц

и С2 =

Р

Р 1 V

соответственно. Решение уравнения (3) может быть записано в форме: и. = / (1х + ту + т - сг) + g (1х + ту + т + сг),

где I, т и п - направляющие косинусы, а с - соответствующая волновая скорость. Также известно8, что любая плоская (продольная или поперечная) волна в бесконечной однородной изотропной упругой среде может распространяться только с одной из двух скоростей С1 и С2.

8 Крауфорд Ф. Берклеевский курс физики. Том 3. Волны / Пер. с англ. М.: Наука, 1984. 512 с.

В случае упругой среды с граничными поверхностями анализ волновых явлений приводит к изучению поведения бесконечной гармонической волны с частотой / = с / 2п, длиной волны Л = 2п / к и перемещением

щ = А/^, 7 = 1, 2, 3, (1.4)

где ю - круговая частота, к - волновое число, А¡- - функция координат и длины волны (или же частоты), которая описывает природу деформаций или вид колебания тела и зависит от характера граничных условий и типа распространяющейся волны. Также граничные условия определяют соотношение между ю и к, из которого следует скорость распространения отдельной волновой компоненты, известная как фазовая скорость с = с / к.

1.1.2 Распространение волн в упругом полупространстве

Точное решение системы уравнений (1.2) и (1.4) и соответствующие граничные условия получены только для полупространства, тонкой пластины, прямого цилиндрического стержня и оболочки, т.е. для тел, бесконечных в направлении распространения волны.

В случае полупространства Рэлеем9 было показано, что это решение описывает поверхностную волну, которая создает параллельные и перпендикулярные направлению распространения перемещения их и щ на свободной поверхности вдоль осей, и перемещение щ по внутренней нормали к поверхности. Данные перемещения выражаются формулами:

их = 1Бк (е ~дг в~ " )е'(кх-с), и = 0,

у '

9 Бирюков С. В., Гуляев Ю. В., Крылов В. В., Плесский В. П. Поверхностные акустические волны в неоднородных средах. М.: Наука, 1991. 416 с.

uz = Bk (е - ^e - ^ У (Ьс-ш),

где

)

*2 = k 2(1 - 4) , д2 = ^(1 - 4 с^ 2 - 2у С,,

Здесь В - произвольная константа, а CR - недисперсная фазовая скорость, определяемая частотным уравнением:

Г Л6

Со

V С2

- 8

+

V С2у

24 -16

1 - 2у

2 - 2У

г \ Сс

+16

А С2 У

1 - 2у

2 - 2У

-1

= 0

Впоследствии свойства таких волн, вызываемых различными источниками на поверхности, стали известны как задача Лэмба и были также хорошо

изучены

10

1.1.3 Вязкоупругие тела

Что касается вязкоупругих тел, то анализ распространения волн в них ограничивается в основном линейными материалами, в которых деформация, вызванная суперпозицией серии импульсов напряжения, равна сумме отдельных деформаций от каждого импульса. В большинстве полимеров, в том числе фотоупругих веществах, сохраняется такой принцип суперпозиции, однако в линейной области они проявляют явно неупругое поведение. Металлы же, напротив, не отвечают такому поведению, так как они остаются существенно упругими до возникновения остаточной деформации, не зависящей от времени.

Для наглядной демонстрации поведения различных вязкоупругих материалов используют хорошо известные механические модели Кельвина-Фойгта, Максвелла и модель стандартного линейного твердого тела, которые

4

2

С

R

10 Поручиков В. Б. Методы динамической теории упругости. М.: Наука, 1986. 328 с.

описывают связь двух функций K и F. Функция ползучести K описывает деформацию под действием приложенного напряжения, тогда как функция релаксации F определяет зависимость напряжения от деформации. В интегральной форме эти зависимости можно представить следующим образом:

s(t) = — W) + Г^Мk(t-т)с1т\, t > 0,

Ed { -L di

j(t) = Ed\s{t) - Г^Й F (t - T)dr\, t > 0, [ -i dr

где s(t)- деформация, <j(t)- напряжение, Ed - динамический модуль Юнга.

Для решения динамических задач, возникающих в этих материалах, часто пользуются операционными методами. Согласно принципу соответствия, при неизменных во времени граничных условиях, основное уравнение системы можно получить из идентичного уравнения для упругого случая путем замены модуля сдвига G на G(1 - l{k}) , где l{k} - преобразование Лапласа.

1.1.4 Механика контактного взаимодействия. Теория Герца

Классическими результатами, которые лежат в основе современной теории контактного взаимодействия принято считать работы Г. Герца. Он рассматривал распределение напряжений при статическом сжатии двух упругих тел вдоль общей нормали к их поверхностям в точке контакта. Он впервые выдвинул гипотезу о том, что в общем случае контакт не является точечным, а имеет некоторую конечную длину и эллиптическую форму. Также им было высказано предположение о том, что для определения локальных деформаций каждое из тел может рассматриваться как упругое полупространство, что позволяет при решении краевых задач использовать хорошо разработанные математический методы. Возникающие в таком случае напряжения вблизи контакта исследуются

независимо от общих распределений напряжений, которые определяются формой и способом закрепления контактирующих тел.

Рисунок 1.1 - Схема контакта в теории Герца.

Основным результатом разработанной Герцем теории является зависимость между контактной силой ^ и деформацией d вдоль общей нормали к поверхностям взаимодействующих тел. Рассмотрим теорию Герца согласно11. Схема контакта сферического штампа с упругим полупространством приведена на рисунке 1.1.

Перемещение точки упругого полупространства, первоначально лежащей на плоской поверхности в области контакта, до конечного положения на поверхности сферического штампа радиуса R записывается в виде

и = d

2 R

х2 + у2 + z2

С другой стороны, распределение давления по Герцу р = р0дД - (г / а)2 приводит к смещению вдоль оси z:

2

г

г

11 Попов В. Л. Механика контактного взаимодействия и физика трения. От нанотрибологии до динамики землетрясений. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2013. 352 с.

и = (2а2 - г2),

z 4 Е V '

1 1 -V2 1 -у22 — =-- +--

Е Е Е2

где У1, VI и Е1, Е2 - коэффициенты Пуассона и модули упругости взаимодействующих тел, Е* - приведенный модуль упругости. Полная сила при этом равна

а 2

Е = 2п| р(г) г dг =—р0па2. 0 3

Тогда, выбрав а и р0 определенным образом, получим

1 яр0-(2а2 - г2)= d - ^

Е 4а 4 ' 2Я

Отсюда для а и d находим

а =пМ d =

2 Е * 2 Е *

Для радиуса контакта и максимального давления в центре контакта получим

а = Rd, р = — Е \ ^ .

0 п \Я

Из данных соотношений получается формула для полной силы

4

Е = -Е*Я11Чъп. (1.5)

3

Принимая во внимание определение Е = -ди / дd, можно найти потенциальную энергию контактирующих тел

и = 8 Е * Я1/Ч5/2. 15

Теория Герца дает хорошее согласие с различными экспериментальными результатами, описывая особенности взаимодействия упругих тел не только при статическом контакте, но также и в динамическом случае при отсутствии пластического течения. Так, было показано12, что соотношение (1.5) применимо для описания начальной фазы процесса взаимодействия вязкоупругих тел.

1.2 Нелинейный осциллятор

Нелинейный осциллятор представляет собой формальную математическую модель для описания колебательных процессов различной природы13. При этом модель линейного осциллятора является частным случаем модели нелинейного осциллятора. Интерпретация динамической функции x(t) зависит от того, какая конкретно физическая система рассматривается. Так, различные нелинейные дифференциальные уравнения возникают в электротехнике при описании автоколебаний в цепях с активными элементами - диодами и транзисторами (уравнения Льенара, Ван-дер-Поля, Эйлера и др.). Нелинейные колебания также возможны в чувствительных элементах атомно-силового микроскопа в полуконтактном (tapping mode) и латеральном (lateral force mode) режимах функционирования.

Нелинейное уравнение движения осциллятора с учетом диссипативной силы и начальные условия записываются в виде

12 Pao Y. Extension of the Hertz theory of impact to the viscoelastic case // Journal of Applied Physics. 1955. Vol. 26. № 9. P. 1083-1088. Hunter S. C. The Hertz problem for a rigid spherical indenter and a viscoelastic half-space // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 1960. Vol. 8. № 4. P. 219-234. Lee E. H., Radok J. R. M. The Contact Problem for Viscoelastic Bodies // Journal of Applied Mechanics. 1960. Vol. 27. № 3. P. 438-444.

13 Мун Ф. Хаотические колебания: Вводный курс для научных работников и инженеров. М.: Мир, 1990. 312 с.

т — + 2уу = Е (х, t), (1.6)

dt

х(0 = -V ЧО = V

где сила Е (х, t) является нелинейной функцией х. Задача Коши (1.6) сводится к уравнению Вольтерра второго рода

1 1

х(г) = х0 + v0(t -10) + — Г [2у х^') + (t -1') Е(х^'), t')]dt'. (1.7)

т :

С уравнением (1.7) возникает принципиальная трудность - его решение невозможно представить через резольвенту. Приближенное аналитическое или численное решение уравнения (1.7) может быть найдено методом последовательных приближений с помощью рекуррентной формулы вида

* (t) = (p{t) + J7(t,t';xn_i(t'))dt' (n = 1,2,...), (1.8)

to

где ф и f - некоторые известные функции. В большинстве случаев иметь дело с итерационной последовательностью вида (1.8) не очень удобно, поэтому с помощью численных методов решается исходное уравнение (1.6). Отметим, что численные методы в качестве встроенных функций имеются в таких программах, как MatLab, Maple, Mathemat^a и Mathcad, которые широко используются для решения нелинейных дифференциальных уравнений. Уравнение (1.6) сводится к системе из двух дифференциальных уравнений первого порядка, численное решение которой находится, например, методом Рунге-Кутты. Для графического отображения решений нелинейного уравнения движения часто используется фазовая плоскость (x,v).

Для нелинейного осциллятора в случае стационарного потенциала и при у=0 закон сохранения энергии записывается в следующем виде

mv2

2

Интегрируя (1.9), находим формулу для периода колебаний

+ U(x) = E . (1.9)

o

V2 VЕ - и (х)

где Хтах и Хшт - точки поворота, являющиеся корнями уравнения Е=и(х). Ниже рассматриваются некоторые физические модели нелинейных осцилляторов.

Рассмотрим в качестве важного примера осциллятор Дуффинга, который является простейшей консервативной нелинейной моделью осциллятора, совершающего свободные колебания. Потенциальная функция для осциллятора Дуффинга имеет вид

к Х 2 к Х 4

и (х) = М-^, (1.11)

где к1 и к2 - константы. С учетом (1.11) уравнение движения (1.6) принимает вид

б2 Х

^Х + со^х + в х3 = 0, (1.12)

б

с0 =

]1

Ь в =

т

к 2

т

Решение уравнения (1.12) в замкнутой форме получить не удается. Исследован, однако, ряд свойств этого уравнения. Доказано, что уравнение (1.12) имеет большое число периодических решений. Для него возможны гармонические колебания с зависящей от частоты амплитудой (амплитудная кривая). На некоторых частотах могут возникать несколько видов колебаний с различной амплитудой. При определенных условиях имеют место субгармонические и хаотические колебания.

Период колебаний осциллятора Дуффинга можно приближенно оценить, если подынтегральную функцию в (1.10) с учетом (1.11) разложить в ряд с точностью до первых трех членов:

1 1 к, 2 3к,2 + 4Ек2 4

+ —¡=± х +—1—.— 2 х . (1.13)

■у]е - и(х) 4Е 4Е з2л[Е После интегрирования (1.10) с учетом (1.13) находим

г = -1

1 + -^(Лх)2 + 3к' + 4Ек2 (Ах)4 3Е 160 Е2

(1.14)

Е = т^о(Лх)2, лх = х - х

тах шт

2

Из (1.14) следует, что период колебаний осциллятора Дуффинга зависит от энергии. Это означает неизохронность колебаний. Данное свойство является характерным для всех нелинейных колебательных систем.

Для численного анализа уравнение Дуффинга целесообразно привести к безразмерному виду:

й 2ы

+ и + и3 = 0, (1.15)

* , в

и = ах, * = ?, а = —.

Численное решение уравнения (115) показывает, что возникновение периодических решений зависит от величины коэффициента при квадратичном слагаемом, а также от начальных условий. С увеличением резонансной частоты то и уменьшением параметра а колебания приближаются к гармоническим, а фазовый портрет приобретает форму эллипса.

1.3 Математические модели нелинейных осцилляторов с соударениями

Представляет интерес рассмотреть отдельно различные математические модели нелинейных осцилляторов, которые близки к теме настоящей диссертационной работы.

В статьях14 и диссертационных работах15 рассматривались различные аспекты математического моделирования осциллятора при наличии соударений. В частности, изучалась роль бифуркаций, которые могут возникать при упругом ударе осциллятора в процессе колебаний. Реальные динамические системы описываются дифференциальными или интегральными уравнениями, или их системами. Компактное подмножество фазового пространства динамической системы, все траектории которого стремятся к нему при ^ю, представляет собой аттрактор. Простейший аттрактор - это одна притягивающая точка в случае осциллятора с динамическим тернием. При ^ю колебания осциллятора постепенно прекращаются, фазовая траектория стремится к точке. Возможна ситуация, когда фазовая траектория стремится к некоторой замкнутой кривой. Такой аттрактор называется предельным циклом и характеризует устойчивые автоколебания. В нелинейных диссипативных системах может возникать также странный аттрактор, описывающий хаотические колебания или турбулентность. Примером является хорошо известный аттрактор Лоренца, который возникает при численном решении системы уравнений гидродинамики. Расхождение фазовых кривых аттрактора означает потерю устойчивости системы. Если имеется предельный цикл, то потеря устойчивости системы будет сопровождаться его гибелью. Слияние в динамической системе (например, в механической или химической системе) устойчивого положения с неустойчивым положением обязательно приводит к скачкообразному изменению состояния всей системы.

14 Lawrence N. V., Christopher J. B. Nonlinear features in the dynamics of an impact-friction oscillator // AIP Conference Proceedings. 2000. Vol. 502. P.469-475. Chin W., Ott E., Nusse H. E., Grebogi C. Grazing bifurcations in impact oscillators. // Physical Review E. 1994. Vol. 50. № 6. P.4427-4444. Ing J., Pavlovskaia E., Wiercigroch M., Banerjee S. Bifurcation analysis of an impact oscillator with a one-sided elastic constraint near grazing // Physica D. 2010. Vol. 239. P. 312-321.

15 Foale S. Bifurcations in Impact Oscillators: Theoretical and Experimental Studies. PhD dissertation. University College, London, 1993.161 p. Yevstignejev V. Application of the Complete Bifurcation Groups Method for Analysis of Strongly Nonlinear Oscillators and Vibro-Impact Systems. Abstract of dissertation. Riga: RTU, 2008. 32 p.

В статье N.V. Lawrence16 проводилось экспериментальное и численное исследование динамики осциллятора с соударениями при наличии вязкого демпфирования. Исследовались такие характеристики, как «сила-отклонение» и «сила-скорость». Система изучалась с учетом нелинейной жесткости и эффектов трения, рассматриваемых отдельно. В своих исследованиях авторы наблюдали множество бифуркационных явлений, в том числе возникновение бифуркаций при ударе (в английской терминологии - grazing bifurcations). Было отмечено, что бассейны притяжения аттрактора дают информацию относительно полного набора решений для системы, учитывая определенный набор параметров. В работе «Grazing bifurcations in impact oscillators»17 авторы наблюдали три основных типа бифуркаций при ударе осциллятора: 1) переход с одного устойчивого цикла на другой с добавлением каскада; 2) переход от устойчивого цикла к хаотическому аттрактору; 3) столкновение хаотического аттрактора и устойчивого цикла, который считается локальной бифуркацией. Бифуркации такого типа являются «нетрадиционными», в том смысле, что они не встречаются в гладких системах. В статье J. Ing18 изучались аттракторы осциллятора с соударениями. Были обнаружены различные бифуркационные сценарии, возникающие при изменении амплитуды возбуждения осциллятора. Отмечено, что наиболее типичный сценарий имел место, когда устойчивый цикл аттрактора в результате соударений осциллятора переходил к другому устойчивому циклу. Другой динамический сценарий связан с эволюцией аттрактора, которая определяется сложным взаимодействием между гладкими и негладкими бифуркациями. В некоторых случаях проявилось сосуществование аттракторов

16 Lawrence N. V., Christopher J. B. Nonlinear features in the dynamics of an impact-friction oscillator // AIP Conference Proceedings. 2000. Vol. 502. P. 469-475.

17 Chin W., Ott E., Nusse H. E., Grebogi C. Grazing bifurcations in impact oscillators // Physical Review E. 1994. Vol. 50. № 6. P. 4427-4444.

18 Ing J., Pavlovskaia E., Wiercigroch M., Banerjee S. Bifurcation analysis of an impact oscillator with a one-sided elastic constraint near grazing // Physica D. 2010. Vol. 239. P.312-321.

через прерывистый переход от одного цикла к другому. Наблюдался также переход и к хаотическому аттрактору через удвоение цикла.

Задача об осцилляторе с соударениями возникает при рассмотрении физических процессов в атомно-силовом микроскопе (АСМ), который используется для диагностики поверхностей твердых тел на атомном и наноразмерном уровне разрешения как в воздушной, так и в жидкой среде. АСМ в основном используется для измерения механических, химических и биологических свойств исследуемого образца. Базовая конструкция АСМ содержит микрокантилевер с нано-наконечником, а также чувствительную схему для сканирования изображений.

В работе S.I. Lee19 посредством теоретического и экспериментального анализа изучен нелинейный динамический отклик кантилеверов АСМ при соударении с образцом. С помощью эксперимента показаны нелинейные особенности для системы кантилевер-образец, включая явление многократного отскока кантилевера от образца, ведущее к образованию петли гистерезиса. Устанавливается тесная связь между особенностями потенциального взаимодействия и нелинейным откликом кантилевера. В частности, подробно обсуждаются эффекты нелинейных сил Ван-дер-Ваальса, наноразмерные контактные нелинейности, затухание микрокантилевера, а также влияние вынужденного и параметрического возбуждения на бифуркации и неустойчивости вынужденного периодического движения системы. Результаты показывают, что методы идентификации нелинейных систем могут быть использованы в качестве эффективных инструментов для извлечения подробной информации о потенциале взаимодействия наконечник-поверхность.

19 Lee S. I., Howell S. W., Raman A., Reifenberger R. Nonlinear dynamics of microcantilevers in tapping mode atomic force microscopy: a comparison between theory and experiment // Physical review B. 2002. Vol. 66. P. 115409.

В работе «On the Tapping Mode Measurement for Young's Modulus of Nanocrystalline Metal Coatings»20 проводилось измерение модуля Юнга нанокристаллических металлических покрытий с помощью осциллирующего кантилевера с алмазным наконечником в режиме простукивания. Резонансная частота кантилевера изменяется, когда алмазный наконечник приходит в контакт с поверхностью образца. Развивается чрезмерно упрощенная модель, основанная на контакте Герца, с использованием членов высшего порядка в разложении ряда Тейлора для определения зависимости между уменьшенным модулем упругости и сдвигом резонансной частоты кантилевера в процессе упругого контакта наконечника и поверхности образца. Предлагаемый метод может быть использован для точного определения модуля Юнга, который коррелирует с кристаллической ориентацией поверхности образца, что продемонстрировано для нанокристаллических покрытий никеля, ванадия и тантала.

В статье M.M. Salgar21 проводится динамический анализ прямоугольных микрокантилеверов с массивным наконечником в режиме простукивания. Компьютерное моделирование выполняется для моделей с распределенными и сосредоточенными параметрами. Межатомные силы между наконечником и поверхностью образца учитываются с помощью модели Леннард-Джонса и модели Дерягина-Муллера-Топорова (ДМТ). Уравнения движения выводятся при наличии гармонического возбуждения, как для модели с сосредоточенными параметрами и одной степенью свободы, так и для модели с распределенными параметрами. Также исследуется нелинейные свойства кантилевера с учетом кубической жесткости. Модель с распределенными параметрами рассматривается в одномодовом приближении с помощью схемы Галеркина. Полученные

20 Tanvir Ahmed H. S., Brannigan E., Jankowski A. F. On the Tapping Mode Measurement for Young's Modulus of Nanocrystalline Metal Coatings // Journal of Nanotechnology. 2013. Vol. 2013. 10 p.

21 Salgar M. M. Dynamic Modeling of AFM Cantilever Probe Under Base Excitation system // Thesis for the degree of Master of Technology in Machine Design and Analysis. Department of Mechanical Engineering National Institute of technology. Rourkela, India, 2013. 49 p.

нелинейные динамические уравнения решаются численно с использованием метода Рунге-Кутты в программе MATLAB. Получены собственные частоты микрокантилевера и динамический отклик. Вопросы динамической устойчивости изучаются с использованием фазовых диаграмм и частотных откликов. Экспериментальная работа проводится, чтобы изучить изменения динамических характеристик хромированного стального микрокантилевера, изготовленного методом электроэрозионной резки. Электродинамический силовой привод крепится к основанию консоли, а выходной сигнал подается на осциллограф через лазерный виброметр Доплера. Возбуждающая синусоидальная развертка задается генератором и усилителем мощности сигнала. Полученная частотная характеристика используется для определения собственных частот и коэффициентов затухания.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Нарожнов Виктор Валерьевич, 2018 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Вибрации в технике: Справочник. В 6-ти т. Том 2. Колебания нелинейных механических систем / Под ред. И. И. Блехмана. - М.: Машиностроение, 1979. -351 с.

2. Магнус, К. Колебания: Введение в исследование колебательных систем / К. Магнус; Пер. с нем. - М.: Мир, 1982. - 304 с.

3. Мун, Ф. Хаотические колебания: Вводный курс для научных работников и инженеров / Ф. Мун. - М.: Мир, 1990. - 312 с.

4. Стокер, Дж. Нелинейные колебания в механических и электрических системах / Дж. Стокер; Пер. с англ. - М.: Иностранная литература, 1952. - 264 с.

5. Тимошенко, С. П. Колебания в инженерном деле / С. П. Тимошенко Д. Х. Янг, У. Уивер. - М.: Машиностроение, 1985. - 474 с.

6. Андронов, А. А. Теория колебаний / А. А. Андронов, А. А. Витт, С. Э. Хайкин. - М.: Физ.-мат. литература, 1959. - 916 с.

7. Кузнецов, А. П. Нелинейные колебания / А. П. Кузнецов, С. П. Кузнецов, Н. М. Рыскин. - Саратов, 2011. - 314 с.

8. Физика быстропротекающих процессов. Том 2 / Под ред. Н. А. Златина. -М.: Издательство «Мир», 1971. - 518 с.

9. Стенд для исследования вязкоупругих свойств металлов и сплавов с помощью зондового акустического метода: пат. №2552600 Рос. Федерация: G01N11 / 00 / Нарожнов В.В., Рехвиашвили С.Ш.; заявитель и патентообладатель Институт прикладной математики и автоматизации - № 2013124372/28; дата приоритета 27.05.2013; опубликован 10.06.2015 г. в Бюл. № 16.

10. Davies, R. M. Surveys in Mechanics / R. M. Davies, G. K. Batchelor. -Cambridge, University Press, 1956. - 475 p.

11. Ewing, W. M. Elastic Waves in Layered Media / W. M. Ewing, W. S. Jardetsky, F. Press. - New York, Toronto, London: MGH, 1957. - 380 p.

12. Горелик, Г. С. Колебания и волны / Г. С. Горелик. - М.: Физ.-мат. литература, 1959. - 572 с.

13. Miklowitz, J. Recent developments in elastic wave propagation / J. Miklowitz // Appl. Mech. Rev. - 1960. - Vol. 13. - № 12. - P. 865-878.

14. Kolsky, H. Stress Waves in Solids / H. Kolsky. - New York: Dover Publications, 1963. - 217 p.

15. Mason, W. P. Physical Acoustics: Principles and Methods / W. P. Mason. -New York: Academic Press, 1964. - 514 p.

16. Morse, P. M. Theoretical Acoustics / P. M. Morse, K. U. Ingard. -Princeton University Press, 1968. - 927 p.

17. Graff, K. F. Wave Motion in Elastic Solids / K. F. Graff. - New York: Dover Publications, 1975. - 649 p.

18. Miklowitz, J. Elastic Waves and Waves and Waveguides / J. Miklowitz. -Amsterdam: NHP company, 1978. - 626 p.

19. Лепендин, Л. Ф. Акустика / Л.Ф. Лепендин. - М.: Высшая школа, 1978. - 448 с.

20. Виноградова, М.Б. Теория волн / М. Б. Виноградова, О.В. Руденко, А.П. Сухоруков. - М.: Наука, 1979. - 384 с.

21. Blackstock, D. T. Fundamentals of Physical Acoustics / D. T. Blackstock. -Wiley-Interscience, 2000. - 560 p.

22. Hirschberg, A. An Introduction to Acoustics / A. Hirschberg, S. W. Rienstra. - Eindhoven University of Technology, 2004. - 288 p.

23. Rossing, T. Springer Handbook of Acoustics / T. Rossing. - Springer, 2007. - 1182 p.

24. Крауфорд, Ф. Берклеевский курс физики. Том 3. Волны / Ф. Крауфорд; Пер. с англ. - М.: Наука, 1984. - 512 с.

25. Бирюков, С. В. Поверхностные акустические волны в неоднородных средах. / С. В. Бирюков, Ю. В. Гуляев, В. В. Крылов, В. П. Плесский. - М.: Наука, 1991. - 416 с.

26. Поручиков, В. Б. Методы динамической теории упругости / В. Б. Поручиков. - М.: Наука, 1986. - 328 с.

27. Попов, В. Л. Механика контактного взаимодействия и физика трения. От нанотрибологии до динамики землетрясений / В. Л. Попов. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2013. - 352 с.

28. Pao, Y. Extension of the Hertz theory of impact to the viscoelastic case / Y. Pao // Journal of Applied Physics. - 1955. - Vol. 26. - № 9. - P. 1083-1088.

29. Hunter, S. C. The Hertz problem for a rigid spherical indenter and a viscoelastic half-space / S. C. Hunter // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. - 1960. - Vol. 8. - № 4. - P. 219-234.

30. Lee, E. H. The Contact Problem for Viscoelastic Bodies / E. H. Lee, J. R. M. Radok // Journal of Applied Mechanics. - 1960. - Vol. 27. - № 3. - P. 438-444.

31. Lawrence, N. V. Nonlinear features in the dynamics of an impact-friction oscillator / N.V. Lawrence, J. B. Christopher // AIP Conference Proceedings. - 2000. -Vol. 502. - P.469-475.

32. Chin, W. Grazing bifurcations in impact oscillators. / W. Chin, E. Ott, H. E. Nusse, C. Grebogi // Physical Review E. - 1994. - Vol. 50. - № 6. - P.4427-4444.

33. Ing, J. Bifurcation analysis of an impact oscillator with a one-sided elastic constraint near grazing / J. Ing, E. Pavlovskaia, M. Wiercigroch, S. Banerjee // Physica D. - 2010. - Vol. 239. - P.312-321.

34. Foale, S. Bifurcations in Impact Oscillators: Theoretical and Experimental Studies. PhD dissertation. - University College, London, 1993. - 161 р.

35. Yevstignejev, V. Application of the Complete Bifurcation Groups Method for Analysis of Strongly Nonlinear Oscillators and Vibro-Impact Systems. Abstract of dissertation. - Riga: RTU, 2008. - 32 р.

36. Lee, S. I. Nonlinear dynamics of microcantilevers in tapping mode atomic force microscopy: a comparison between theory and experiment / S. I. Lee, S. W. Howell, A. Raman, R. Reifenberger // Physical review B. - 2002. - Vol. 66. -P.115409.

37. Tanvir Ahmed, H. S. On the Tapping Mode Measurement for Young's Modulus of Nanocrystalline Metal Coatings / H. S. Tanvir Ahmed, E. Brannigan, A. F. Jankowski // Journal of Nanotechnology. - 2013. - Vol. 2013. - 10 p.

38. Salgar, M. M. Dynamic Modeling of AFM Cantilever Probe Under Base Excitation system / M. M. Salgar // Thesis for the degree of Master of Technology in Machine Design and Analysis. - Department of Mechanical Engineering National Institute of technology. Rourkela, India, 2013. - 49 р.

39. Щербин, Б.О. Измерение силы удара зонда атомно-силового микроскопа, работающего в режиме амплитудной модуляции / Б.О. Щербин, А.В. Анкудинов, А.В. Киюц, О.С. Лобода // Физика твердого тела. - 2014. - Т.56. - № 3. - P.516-521.

40. Zhang, W. Nonlinear dynamics of micro impact oscillators in high frequency MEMS switch application / W. Zhang, W. Zhang, K. L. Turner // The 13th International Conference on Solid-state Sensors, Actuators and Microsystems. - Seoul, Korea, 2005. - June 5-9.

41. Wei, X. Design and Fabrication of a Nonlinear Micro Impact Oscillator / X. Weia, C. Anthony, D. Lowe, M. Ward // Procedia Chemistry 1. - 2009. - Vol. 1. -№ 1.-P.855-858.

42. Нарожнов, В. В. Исследование влияния плотности монтажа компонентов на колебательные характеристики многослойных печатных плат / В. В. Нарожнов, С. Ш. Рехвиашвили, М. О. Мамчуев, М. М. Ошхунов, А. Х. Тлибеков // Известия высших учебных заведений. Электроника. - 2018. - Т.23. - №2. - С. 141-148.

43. Ландау, Л. Д. Теория упругости / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. - М.: Физматлит, 2001. - 264 с.

44. Работнов, Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела / Ю. Н. Работнов. - М.: Наука, 1988. - 744 с.

45. Тимошенко, С. П. Колебания в инженерном деле / С. П. Тимошенко. -М.: Наука, 1967. - 444 с.

46. Миронов, В. Л. Основы сканирующей зондовой микроскопии / В. Л. Миронов. - Нижний Новгород: РАН, Институт физики микроструктур, 2004. -110 с.

47. Bhushan, B. Scanning probe microscopy in nanoscience and nanotechnology. Volume 2 / B. Bhushan. - London: Springer, 2010. - 816 p.

48. Рехвиашвили, С. Ш. Новые аспекты в моделировании физических процессов в атомно-силовом микроскопе: дис. ... д-ра физ.-мат. наук: 01.04.01 / Рехвиашвили Серго Шотович. - Тольяттин. гос. ун-т, 2009. - 256 с.

49. Быков, И. В. Режимы притяжения и отталкивания в полуконтактном и методе атомно-силовой микроскопии. Автоматизированные способы оптимизации работы в режиме притяжения / И. В. Быков // Труды международного симпозиума «Нанофизика и наноэлектроника». - Н. Новгород: ИФМ РАН, 2007. - С. 263-264.

50. Kolosov, O. Nonlinear detection of ultrasonic vibrations in an atomic force microscope / O. Kolosov, K. Yamanaka // Jap. J. Appl. Phys. - 1993. - Pt. 2. - Vol. 32. - № 8A. - P. 1095-1098.

51. Rabe, U. Acoustic Microscopy by Atomic Force Microscopy / U. Rabe, W. Arnold // Appl. Phys. Lett. - 1994. - Vol. 64. - № 12. - P. 1493-1495.

52. Rabe, U. The Atomic Force Microscope as a Near-field Probe for Ultrasound / U. Rabe, M. Dvorak, W. Arnold // Thin Solid Films. - 1995. - Vol. 264. -№ 2. - P.165-168.

53. Efimov, A. E. Atomic Force Acoustic Microscopy as a tool for polymer elasticity analysis / A. E. Efimov, S. A. Saunin // Proceeding of the All-Russia Conference "Scanning probe microscopy-2002". - N. Novgorod, IPM RAS., 2002. - P. 79-81.

54. Батог, Г. С. Расчет толщин и упругих свойств тонкопленочных покрытий на основании данных атомно-силовой акустической микроскопии / Г. С. Батог, А. С. Батурин, В. С. Бормашов, Е. П. Шешин // ЖТФ. - 2006. - Т.76. -№8. - С. 123-128.

55. Нарожнов, В. В. Нелинейная динамика и акустические сигналы при упругих соударениях зонда с поверхностью твердого тела / В. В. Нарожнов, С. Ш. Рехвиашвили // Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика. - 2013. - Т. 21. - № 6. - С. 49-57.

56. Нарожнов, В. В. Исследование соударений осциллятора с упругим полупространством / В. В. Нарожнов, М. М. Ошхунов, С. Ш. Рехвиашвили // Известия КБНЦ РАН. - 2016. - Т. 71. - № 3. - С. 13-17.

57. Ошхунов, М. М. Метод дискретно-динамических частиц в задачах механики деформируемого твердого тела / М. М. Ошхунов, З. В. Нагоев // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. - 2011. - № 4. -С.155-169.

58. Ошхунов, М. М. Удар жесткой сферы о слой, лежащий на жестком основании / М. М. Ошхунов // Труды МФТИ, серия «Аэрофизика и прикладная математика». - Долгопрудный, 1973. - С. 52-59.

59. Джонсон, К. Механика контактного взаимодействия / К. Джонсон. -М.: Мир, 1989. - 510 с.

60. Нарожнов, В. В. Имитационное моделирование нелинейного осциллятора с учетом упругих соударений / В. В. Нарожнов // Нелинейный мир. -2014. - Т. 12. - № 11. - С. 32-36.

61. Бахвалов, Н. С. Численные методы / Н. С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г. М. Кобельков. - М.: Бином. Лаборатория знаний, 2003. - 632 с.

62. Кирьянов, Д. В. Mathcad 13 / Д. В. Кирьянов. - СПб.: БВХ-Петербург, 2006. - 608 с.

63. Поршнев, С. В. MATLAB 7. Основы работы и программирования / С. В. Поршнев — М.: ООО «Бином-Пресс», 2011. - 320 с.

64. Дьяконов, В. П. Simulink 5/6/7: Самоучитель / В. П. Дьяконов - М.: ДМК-Пресс, 2008. - 784 с.

65. Морозов, В. К. Моделирование информационных и динамических систем: учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений / В. К. Морозов, Г. Н. Рогачев -М.: Издательский центр «Академия», 2011. - 384 с.

66. Нарожнов, В. В. Математическое моделирование упругого контакта цилиндрического зонда с плоской поверхностью / В. В. Нарожнов // Актуальные проблемы прикладной математики и физики: материалы Международной научной конференции. - Нальчик, ИПМА КБНЦ РАН, 2017. - С. 157-158.

67. Negrea, A. The elastic contact of a sphere with an elastic half-space, a comparison between analytical and finite elements solutions / A. Negrea, M. V. Predoi // UPB Scientific Bulletin. Series A. - 2012. - Vol. 74. - № 4. - P.69-78.

68. Pryor, R. W. Multiphysics modeling using COMSOL: a first principles approach / R. W. Pryor. - Sudbury, MA: Jones and Bartlett Publishers, 2011. - 852 p.

69. Tabatabaian, M. COMSOL5 for Engineers / M. Tabatabaian. - Sterling, VA: Mercury Learning & Information, 2015. - 312 p.

70. Красников, Г. Е. Моделирование физических процессов с использованием пакета COMSOL Multiphysics. Учебное пособие / Г. Е. Красников, О. В. Нагорнов, Н. В. Старостин. - М.: НИЯУ МИФИ, 2012. - 184 с.

71. Анурьев, В. И. Справочник конструктора-машиностроителя / В. И. Анурьев; перераб. и доп. Под редакцией И.Н. Жестковой. - М.: Машиностроение, 2001. - Том 1. - 920 с.

72. Нуссбаумер, Г. Быстрое преобразование Фурье и алгоритмы вычисления свёрток / Г. Нуссбаумер; пер. с англ. Ю. Ф. Касимова, И. П. Пчелинцева. - М.: Радио и связь, 1985. - 248 с.

73. Гольденберг, Л. М. Цифровая обработка сигналов: Учебное пособие для вузов / Л. М. Гольденберг, Б. Д. Матюшкин, М. Н. Поляк. - М.: Радио и связь, 1990. - 256 с.

74. Саломатин, С. Б. Цифровая обработка сигналов в радиоэлектронных системах / С. Б. Саломатин. - Мн.: БГУИР, 2002. - 87 с.

75. Астафьева, Н. М. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения / Н. М. Астафьева // УФН. - 1996. - Т.166. - №11. - С.1145-1170.

76. Добеши, И. Десять лекций по вейвлетам / И. Добеши. - Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. - 464 с.

77. Дьяконов, В. П. Вейвлеты. От теории к практике / В. П. Дьяконов -М.: СОЛОН-Р, 2002. - 448 с.

78. Короновский, А. А. Непрерывный вейвлетный анализ и его приложения / А. А. Короновский, А. Е. Храмов. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 176 с.

79. Рехвиашвили, С. Ш. Применение вейвлет-преобразования для обработки изображений в атомно-силовом микроскопе / С. Ш. Рехвиашвили // Письма в ЖТФ. - 2002. - Т.28. - №6. - С.46-50.

80. Нарожнов, В. В. Применение вейвлет-анализа для моделирования нелинейного осциллятора / В. В. Нарожнов // Известия КБНЦ РАН. - 2017. -№5(79). - С.14-20.

81. Конструктор блок-схем [электронный ресурс]. - URL: https://www.draw.io/

82. Muzy, J. F. Multifractal formalism for fractal signals: The structure-function approach versus the wavelet-transform modulus-maxima method / J. F. Muzy, E. Bacry, A. Arneodo // Physical Review E. - 1993. - Vol.47. - № 2. - P.875-884.

83. Mallat, S. A Wavelet Tour of Signal Processing. The Sparse Way / S. Mallat. - MA: Academic Press, 2009. - 805 p.

84. Ke, L. A Novel Wavelet Transform Modulus Maxima Based Method of Measuring Lipschitz Exponent / L. Ke, W. Houjun // International Conference on Communications, Circuits and Systems. - Kokura, 2007. - Р. 628-632.

85. Физические величины: Справочник / А. П. Бабичев, Н. А. Бабушкина, А. М. Братковский и др.; под ред. И. С. Григорьева, Е. З. Мейлихова. - М.: Энергоатомиздат, 1991. - 1232 с.

86. Puckov, A. Wavelet Transform Modulus Maxima Approach for World Stock Index Multifractal Analysis / A. Puckov, A. Matveev // Information Technology and Management Science. - 2012. - Vol.15. - P.76-86.

87. Rudnitsky, V. A. Material testing by the method of dynamic indentation / V. A. Rudnitsky, V. V. Djakovicht // Nondestructive Testing and Evaluation. - 1996. -Vol.12. - № 4. - 253-261.

88. Koeppel, B. J. Dynamic Indentation Hardness of Metals / B. J. Koeppel, G. Subhash // IUTAM Symposium on Micro- and Macrostructural Aspects of Thermoplasticity. Solid Mechanics and its Applications, Dordrecht. - 1999. - Vol 62. -P. 447-456.

89. Cohen, S. R. Dynamic nanoindentation by instrumented nanoindentation and force microscopy: a comparative review / S. R. Cohen, E. Kalfon-Cohen // Beilstein J. Nanotechnol. - 2013. - Vol.4. - P. 815-833.

90. Oliver, M. C. Measurement of hardness and elastic modulus by instrumented indentation: Advances in understanding and refinements to methodology / W. C. Oliver, G. M. Pharr // Journal of Materials Research. - 2004. - Vol.19. - № 1. -P. 3-20.

91. Asif, S. A. S. Nanoindentation and contact stiffness measurement using force modulation with a capacitive load displacement transducer / S. A. S. Asif, K. J. Wahl, R. J. Colton // Rev. Sci. Instrum. - 1999. -Vol. 70. - P. 2408-2413.

92. Rabe, U. Vibrations of free and surfacecoupled atomic force microscope cantilevers: Theory and experiment / U. Rabe, K. Janser, W. Arnold // Rev. Sci. Instrum. - 1996. - Vol. 67. - P.3281-3293.

93. Höper, R. Imaging elastic sample properties with an atomic force microscope operating in the tapping mode / R. Höper, T. Gesang, W. Possarta, O.-D. Hennemann, S. Boseck // Ultramicroscopy. - 1995. - Vol. 60. - № 1. - P. 17-24.

94. Kumar, A. Mapping of Elastic Stffness in an alpha + beta Titanium Alloy using Atomic Force Acoustic Microscopy / A. Kumar, U. Rabe, W. Arnold // Japanese Journal of Applied Physics. - 2008. - Vol.47. - № 7. - P.6077-6080.

95. Bendjus, B. Determination of deformation fields by atomic force acoustic microscopy / B. Bendjus, B. Köhler, H. Heuer, U. Rabe, A. Striegler // Proc. SPIE 6175, Testing, Reliability, and Application of Micro- and Nano-Material Systems IV. - 2006. - P. 617509.

96. Бронштейн, И. Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. - 13-е изд., исправленное / И. Н. Бронштейн, К. А. Семендяев. -М.: Наука, 1986. - 544 с.

97. Пугачев, В. С. Теория вероятностей и математическая статистика. - 2-е изд., исправленное и дополненное / В. С. Пугачев. - М.: Физматлит, 2002. - 496 с.

98. Кибзун, А. И. Теория вероятностей и математическая статистика. базовый курс с примерами и задачами / А. И. Кибзун, Е. Р. Горяинова, А. В. Наумов, А. Н. Сиротин. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 224 с.

99. Marsh, S. P. LASL Shock Hugoniot Data / S. P. Marsh. - University of California Press, 1980. - 658 p.

100. Таблицы физических величин. Справочник / Под ред. акад. И.К. Кикоина. - М.: Атомиздат, 1976. - 1008 с.

101. Сергиенко, А. Б. Цифровая обработка сигналов / А. Б. Сергиенко; 3-е издание. - СПб.: БХВ-Петербург, 2011. - 758 с.

102. Солонина, А. И. Цифровая обработка сигналов. Моделирование в MATLAB / А. И. Солонина, С. М. Арбузов. - СПб.: БХВ-Петербург, 2008. - 816 с.

103. Лебедева, Е. А. Вейвлет Мейера улучшенной локализации / Е. А. Лебедева, Е. Б. Постников // Вычислительные методы и программирование. -2006. - Т.7. - С.122-124.

104. Атабеков, Г. И. Линейные электрические цепи / Г. И. Атабеков. - М.: Государственное издательство оборонной промышленности, 1957. - 175 с.

105. Титце, У. Полупроводниковая схемотехника / У. Титце, К. Шенк; 12-е изд.; пер. с нем. - М.: ДМК Пресс, 2008. - Том I. - 832 с.

106. Хоровиц, П. Искусство схемотехники / П. Хоровиц, У. Хилл; Пер. с англ. Изд. 2-е. - М.: БИНОМ, 2014. - 704 с.

107. Карлащук, В. И. Электронная лаборатория на IBM PC. Программа Electronics Workbench и ее применение / В. И. Карлащук. - М.: СОЛОН-Р, 1999. -506 с.

108. Разевиг, В. Д. Применение программ P-CAD и PSpice для схемотехнического моделирования на ПЭВМ. Выпуск 3 / В. Д. Разевиг. - М.: Радио и связь, 1992. - 120 с.

109. Нарожнов, В. В. Свидетельство о регистрации электронного ресурса «Программа моделирования эквивалентной электрической схемы осциллятора с соударениями» № 23689. Дата регистрации: 3 июля 2018 г.

ПРИЛОЖЕНИЕ

* Задание на моделирование эквивалентной электрической схемы осциллятора с

* соударениями

* AC Voltage Source(s) V1 11 0 DC 5

V2 12 0 AC 1 0 DISTOF1 1 0 DISTOF2 1 0 SIN(0 2.82843 25 0 0 0)

* Resistor(s) R2 0 9 1MEG R3 611 1K R4 0 6 500

* Capacitor(s) C2 8 9 150p C17 810u

* NPN Transistor(s) Q1 6 12 0 Qnideal

* Inductor(s) L1 6 7 500u

* 3-Terminal Opamp(s) X_opamp3_0 0 6 8 op_ideal

* Misc

.TRAN 56Ош 280ms 0s 560us

.MODEL Qnideal NPN(Is=1e-16 BF=100 BR=1 Rb=0 Re=0 Rc^ Cjs=0 Cje=0 Cjc=0 +Vje=750m Vjc=750m Tf=0 Tr=0 mje=330m mjc=330m VA=1e+30 ISE=0 +IKF=1e+30 Ne=1.5 NF=1 NR=1 VAR=1e+30 IKR=1e+30 ISC=0 NC=2 ^=^+3О +RBM=0 XTF=0 VTF=1e+30 ITF=0 PTF^ XCJC=1 VJS=750m MJS=0 XTB=0 +EG=1.11 XTI=3 KF=0 AF=1 FC=500m)

.SUBCKT op_ideal 1 2 3 Vos 4 1 DC 0V Ib1 4 О 0A Ib2 2 О 0A G1 О 5 4 2 100m G2 О 6 5 О 1ОО G3 О 3 6 О 1ОО Ri 4 2 ^ohm R1 5 О 1Kohm R2 6 О 1ohm R3 3 О1ohm C1 5 О 159.155p C2 6 О 1.59155e-33 .ENDS

.OPTIONS ITL4=25.END

Mobile Robots

ОБЩЕСТВО С ОГРАНИЧЕННОЙ ОТВЕТСТВЕННОСТЬЮ

«МОБИЛЬНЫЕ РОБОТЫ»

3601ИЮ. г. Пальчик, у.']. И- Аршнл Л7А. тел. [phone] fax: [phone] Ismail: mohilerobinsltj^üiiiail.com ОГР11 1130725000394 ИНН 071 1022562 Iii II I 072501001

«01» марта 2018 г.

№3

АКТ

о внедрении результатов диссертационного исследования Нарожиова Виктора Валерьевича

«Моделирование нелинейного осциллятора при наличии упругих соударений» на соискание ученой степени кандидата технических наук по научной специальности 05.13.18. - «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

Настоящим актом подтверждается использование результатов диссертационного исследования Нарожнова Виктора Валерьевича «Моделирование нелинейного осциллятора при наличии упругих соударений» в ООО «Мобильные роботы».

Основные результаты, полученные в диссертации автора, имеют важное научно-практическое значение. Эти результаты применяются при разработке принципиально новых мехатронных систем для диагностики упругих и прочностных свойств твердых тел и конструкционных материалов.

Директор

ООО "Мобильные роботы"