Моделирование управляемого движения ползающих роботов по гладкой поверхности тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.06, кандидат технических наук Абдельрахман Мохамед Абдельнасир Мохамед Зейн

• Абдельрахман Мохамед Абдельнасир Мохамед Зейн
• кандидат технических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат технических наук Абдельрахман Мохамед Абдельнасир Мохамед Зейн

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ШАРНИРНОГО ДВУ

ЗВЕННИКА ПО ЭЛЛИПСУ

1.1. Кинематика шарнирного двузвенника

1.2. Получение уравнения движения в форме уравнения Лагранжа.

1.3. Выбор закона управления.

1.4. Компьютерное моделирование движения двузвенника.

Глава 2. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ПОЛЗАЮЩЕГО РОБОТА С ПЯТЬЮ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ

2.1. Вывод основных соотношений динамики ползающего робота

2.2. Получение полной системы уравнений движения робота.

2.3. Выбор закона управления.

2.4. Компьютерное моделирование движения робота.

2.5. Уточнённая модель ползающего робота.

Глава 3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ПОЛЗАЮЩЕГО РОБОТА С ВОСЕМЬЮ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ

3.1. Конструкция ползающего робота и уравнения его динамики

3.2. Уравнения движения ползающего робота

3.3. Управление движением робота

3.4. Результаты компьютерного моделирования.

3.5. Проверка адекватности модели

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование управляемого движения ползающих роботов по гладкой поверхности»

А. Общая характеристика проблемы.

Ползающее движение — вид движения, достаточно широко распространённый в живой природе (достаточно вспомнить змей, червей, улиток и многих других живых существ). Речь идёт о таком перемещении движущегося объекта по той или иной опорной поверхности, при котором несколько (или бесконечное множество) его точек непрерывно находится в контакте с этой поверхностью, причём совокупность контактирующих точек остаётся неизменной (в случае же качения или ходьбы на смену одним точкам контакта приходят другие).

При ползании источником перемещения объекта служат внутренние силы, величиной которых он управляет, целенаправленно их изменяя. Изменение внутренних сил влечёт за собой изменение внешних сил, возникающих при контакте объекта с опорной поверхностью; последние и служат непосредственной причиной перемещения объекта.

Упомянутые выше внутренние силы, целенаправленно изменяемые ползающим объектом, в рамках механики управляемых систем трактуются как управляющие воздействия. Возникает, таким образом, следующая проблема: необходимо разработать такие алгоритмы управления (т.е. алгоритмы формирования управляющих воздействий), которые обеспечили бы заданное движение объекта.

Что касается технических применений принципа ползающего движения, то практическая реализация идей по разработке и исследованию- машин с ползающим движением началась относительно недавно. В последние годы, однако, это новое научное направление развивается весьма активно — прежде всего в связи с созданием мобильных роботов для движения и выполнения функциональных задач в ограниченных пространствах (например, в трубах).

Б. Обзор предшествующих исследований.

Одним из первых анализ механической картины ползающего движения дал академик А.Ю.Ишлинский [ 1 ]. Он рассматривал движение гибкого стержня внутри гладкого изогнутого канала переменной кривизны. Изменение кривизны самого стержня происходило благодаря действию внутренних сил. Внешними силами, ответственными за перемещение стержня, при этом оказывались реакции идеальных связей, действовавшие на стержень со стороны внутренней поверхности канала.

При этом в случае спиралевидной формы канала стремление стержня выпрямиться приводило к его движению в направлении внешнего конца спирали, а попытка стержня свернуться влекла его перемещение к внутреннему её концу. В случае же синусоидальной формы канала движение в ту или иную сторону обеспечивалось надлежащим согласованным изменением усилий вдоль стержня; при этом кривизна оси стержня с течением времени изменялась волнообразно - от одного конца к другому.

А.Ю.Ишлинский отмечал, что подобная механическая модель может использоваться также для понимания механизма плавания рыб (роль стенок канала играют слои воды, окружающие рыбу).

Позднее появились публикации, посвященные техническим применениям принципа ползающего движения. В них речь прежде всего шла о разработке и исследовании мобильных роботов нетрадиционной конструкции, предназначенных для работы в сложных условиях и недетерминированной обстановке.

Заметим, что возможны различные способы реализации ползающего движения — как за счёт сил трения, так и за счёт реакций идеальных связей.

Наибольшее внимание привлёк первый способ реализации ползающего движения - при помощи сил трения. Здесь следует упомянуть работы С.Хиросе, В.Г.Градецкого, Дж.Бёрдика, Ф.Л.Черноусько, В.Ф.Журавлёва, М.М.Князькова, Т.Ю.Фигуриной, Х.Гонсалеса-Гомеса, И.Танева, Р.П.Чаттер-джи и др. [2-26]. В этих работах изучались кинематика и динамика и разрабатывались алгоритмы управления многозвенными ползающими роботами; конструкция таких роботов имеет биомеханическое происхождение, поскольку их движение аналогично ползанию змей.

Поскольку в качестве непосредственной причины перемещения этих ползающих роботов выступают силы трения, возникающие при контакте робота с поверхностью, по которой осуществляется его движение, то в данной ситуации мы имеем дело со случаем неидеальных связей.

Преимуществом подобных робототехнических систем является их возможность перемещаться по произвольно ориентированным в пространстве поверхностям и проникать в узкие и извилистые ходы (например, в трубопроводы или подземные коммуникации). Результаты упомянутых исследований привели к создании ряда моделей роботов для движения внутри труб: KARO и KRA4 (Германия), Jjo-2 и Nomad (США), Theseuss (Япония).

Заметим, однако, что число публикаций, посвящённых ползающим роботам, сравнительно невелико. Теории таких роботов ещё предстоит развиться в сложившееся направление робототехники. Основные же усилия исследователей, занимавшихся вопросами динамики и управления мобильными роботами, сосредоточены на более традиционных их разновидностях: шагающих аппаратах (упомянем здесь работы [27-39]) и колёсных мобильных роботах (работы [42-55]).

Второй способ реализации ползающего движения — за счёт реакций идеальных связей - относится к случаю, когда опорная поверхность является гладкой. Применительно к этому случаю до сих пор изучались лишь модельные задачи; помимо уже упомянутой работы А.Ю.Ишлинского, данный способ реализации ползающего движения рассматривался в публикациях Ю.Г.Мартыненко и Н.В.Осадченко [56, 57].

В работах [56, 57] исследовалась динамика управляемого движения механической системы, которая состояла из трёх материальных точек, соединённых невесомыми стержнями и движущихся по кривой переменной кривизны (в качестве простейшего примера такой кривой рассматривался эллипс). Предполагалось, что упомянутая кривая физически реализована как прорезь внутри металлической плиты, и в этой прорези движутся штифты, соединённые с тремя материальными точками.

В отличие от работ [2—26], поверхность, по которой движутся материальные точки, теперь предполагается абсолютно гладкой, так что принцип приведения робота в движение здесь - существенно иной (по существу, он — тот же, что и в модели А.Ю.Ишлинского, однако контакт с неподвижной поверхностью осуществляется уже не по линии, а в трёх точках). Решаемая задача, по существу, носит модельный характер; но её исследование позволяет понять поведение роботов более сложной конструкции, использующих тот же принцип передвижения.

В связи со сказанным выше представляет значительный интерес изучение возможных конструкций ползающих роботов, способных к целенаправленному передвижению по гладким поверхностям (в частности, по внутренним поверхностям труб); при разработке алгоритмов управления такими роботами должен существенным образом учитываться односторонний характер связей в точках контакта робота с поверхностью.

В перспективе такие ползающие роботы могут найти своё применение при проведении диагностических и ремонтных работ в трубопроводах, а также - если говорить о наноробототехнике [58] - при выполнении медицинских процедур, предусматривающих передвижение наноробота по кровеносным сосудам пациента.

В. Краткое содержание работы.

Данная работа посвящена дальнейшей разработке научных основ проектирования новых поколений транспортных машин. Цель её состоит в том, чтобы разработать алгоритмы управления движением мобильного ползающего робота, позволяющие обеспечить (используя лишь внутренние управляющие силы) требуемое перемещение данного робота в поперечном сечении гладкой трубы эллиптического сечения. К управлению при этом предъявляется дополнительное требование (вызванное тем, что связи, налагаемые на робот в точках контакта с трубой, являются односторонними): постоянно поддерживать соприкосновение робота с поверхностью трубы.

Конкретизируем требования к движению робота: будем считать, что нужно обеспечить его разгон (т.е. монотонное и ускоренное возрастание углов, характеризующих его текущую конфигурацию), а его центральная платформа должна выводиться в начало координат (т.е. в центр эллипса), причём её движение должно быть устойчивым.

В данной работы были впервые рассмотрены две конструкции мобильных ползающих роботов, предназначенных для движения по гладкой внутренней поверхности трубы эллиптического сечения. Для этих роботов созданы их математические модели и найдено управление, обеспечивающее требуемое их движение в режиме разгона из состояния покоя с соблюдением требования о сохранении контакта робота с опорной поверхностью (что учитывает одностороннюю природу связей).

В качестве основного метода исследования был выбран метод компьютерного моделирования. Заметим, что круг проблем, связанных с компьютерным моделированием динамики роботов и робототехнических систем, традиционно относится к числу важнейших мест сосредоточения интересов специалистов в области робототехники [30,35-37,45,48]. Это и неудивительно, поскольку роботы обычно представляют собой достаточно сложные механические системы, и уравнения их движения редко поддаются непосредственному аналитическому решению.

При моделировании динамики рассматриваемых в диссертации механических систем использован математический пакет Maple [59,60]. Maple представляет собой комплексную компьютерную систему с расширенными возможностями в области математики, включающую средства для выполнения как символьных, так и численных расчётов. Аналитические возможности пакета Maple, его графическая база и богатые вычислительные возможности позволили успешно использовать его в качестве инструмента компьютерного моделирования.

Первая глава диссертации посвящена решению вспомогательной механической задачи - изучению динамики управляемого движения шарнирного двузвенника. Такой двузвенник в принципе аналогичен рассматривавшемуся в работах [56, 57], однако конкретная механическая модель его изменена: речь идёт уже не о системе материальных точек, а о совокупности двух однородных материальных стержней, соединённых между собой вращательным шарниром.

Таким образом, впервые была исследована динамика управляемого движения шарнирного двузвенника по гладкому эллипсу для модели, учитывающей непрерывное распределение масс его стержней. В ходе этого исследования для двузвенника были составлены уравнения движения, выбрано управление и выполнено компьютерное моделирование его движения.

В первом параграфе первой главы изучалась кинематика шарнирного двузвенника; при этом были получены явные выражения для всех кинематических величин, фигурирующих в формуле для кинетической энергии двузвенника.

Во втором параграфе первой главы было составлено выражение для кинетической энергии двузвенника и выведены уравнения его движения в форме уравнений Лагранжа второго рода. Поскольку в их правых частях фигурировали некоторые угловые переменные (утлы ср 7 и ф3), для которых не удалось найти в явном виде их зависимости от обобщённой координаты, то уравнения движения были составлены с использованием [61] избыточного набора переменных. В результате была получена система из четырёх нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка, описывающая управляемое движение двузвенника.

В третьем параграфе первой главы был выбран закон управления (т.е. предложена конкретная формула для управляющего момента), позволяющий обеспечить разгон двузвенника; попутно была решена задача о получении приближённых выражений для углов ф, и ф3.

В параграфе 1.4 представлены результаты компьютерного моделирования управляемого движения двузвенника. В рамках серии вычислительных экспериментов было изучено влияние различных параметров на- движение данной механической системы.

Во второй и третьей главах диссертации изложен основной её материал. Он посвящен анализу управляемого движения более сложных механических систем — мобильных ползающих роботов, каждый из которых включает центральную платформу с приборами, соединённую при помощи телескопических штанг с тремя двузвенниками описанной выше конструкции.

Вторая глава диссертации посвящена изучению динамики управляемого движения ползающего робота с пятью степенями свободы. Рассмотрены конструкция исследуемого робота, получены уравнения его движения, сформулированы цели управления и предложены способы достижения этих целей. Изложены основные результаты, полученные при компьютерном моделировании движения ползающего робота.

В первом параграфе второй главы были получены основные соотношения, описывающие кинематику и динамику ползающего робота (в частности, с использованием принципа Даламбера [62] были записаны уравнения динамики робота, позволившие найти явные выражения для реакций внешних связей).

Параграф 2.2 посвящен получению уравнений движения ползающего робота с пятью степенями свободы (данные уравнения были записаны в виде системы из 16 обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка).

В третьем параграфе второй главы проводился выбор закона управления движением ползающего робота, в результате чего были предложены конкретные формулы для используемых управляющих воздействий.

В параграфе 2.4 приведены результаты компьютерного моделирования движения управляемого движения ползающего робота с пятью степенями свободы. Выполнено исследование влияния различных параметров на движение данного робота, потребовавшее проведения серии вычислительных экспериментов.

В последнем параграфе второй главы рассмотрена более точная модель робота, в которой центральная платформа моделировалась уже не материальной точкой, а телом конечных размеров — однородным диском. Для этой модели робота также были составлены уравнения движения, а затем выполнено компьютерное моделирование движения применительно к данной уточнённой модели.

В третьей главе диссертации изучался мобильный ползающий робот другой конструкции, обладающий уже восемью степенями свободы. Для этого робота были также получены уравнения движения, предложено соответствующее управление и - путём проведения серии вычислительных экспериментов - обоснована работоспособность предлагаемого подхода к управлению движением робота данной конструкции.

В первом параграфе третьей главы описана конструкция ползающего робота с восемью степенями свободы и получены основные соотношения, описывающие его кинематику и динамику.

Параграф 3.2 посвящён выводу уравнений движения ползающего робота с восемью степенями свободы (вновь получилась система из 16 обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка, но теперь уже техника моделирования в избыточном наборе переменных не использовалась).

В третьем параграфе третьей главы применительно к ползающему роботу с восемью степенями свободы были предложены конкретные формулы для используемых управляющих воздействий.

В параграфе 3.4 представлены результаты компьютерного моделирования движения управляемого движения ползающего робота с восемью степенями свободы. В рамках серии вычислительных экспериментов проведено исследование влияние различных параметров на движение данного робота.

В последнем параграфе третьей главы рассмотрена уточнённая модель этого робота, где центральная платформа моделировалась однородным диском. Приведены результаты компьютерного моделирования управляемого движения робота с уточнённой моделью.

В заключении приведена сводка результатов, полученных в данной диссертации.

Приложение содержит текст программы на входном языке математического пакета Maple, которая вычисляет явные выражения для коэффициентов аи, a2i, bu, b2i, си и c2i, входящих в уравнения движения ползающего робота с восемью степенями свободы.

Основные результаты данной диссертации опубликованы в работах [63-66] и доложены на:

• Международной научной конференции "Современные проблемы математики, механики и информатики" (Тула, Тульский государственный университет, ноябрь 2007 г.);

• Четырнадцатой международной научно-технической конференции студентов и аспирантов "Радиоэлектроника, электротехника и энергетика" (Москва, Московский энергетический институт, февраль 2008 г.).

Работа выполнена на кафедре теоретической механики и мехатроники Московского энергетического института под руководством кандидата физико-математических наук, доцента Н.В.Осадченко.

Заключение диссертации по теме «Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры», Абдельрахман Мохамед Абдельнасир Мохамед Зейн

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Настоящая диссертационная работа была выполнена в рамках исследований по разработке научных основ проектирования новых поколений транспортных машин. В работе проведено исследование динамики управляемого движения механических систем, которые осуществляют ползающее движение по гладким поверхностям переменной кривизны. При этом решена проблема нахождения управления, обеспечивающего требуемое их движение, и предложены конкретные выражения для управляющих воздействий. При нахождении управления существенным образом учитывался односторонний характер связей в точках контакта робота с опорной поверхностью.

Полученные результаты служат обоснованием возможности создания мобильных ползающих роботов, способных целенаправленно передвигаться по гладким поверхностям переменной кривизны (в частности, по внутренним поверхностям труб). Результаты работы могут применяться при проектировании и создании технических устройств, использующих принцип ползающего движения. Они могут быть использованы в учебных курсах, посвящённых теории современных мобильных машин.

Сформулируем основные результаты работы:

1. Применительно к модели шарнирного двузвенника, учитывающей непрерывное распределение масс его стержней, решена задача о выборе управляющего момента, который обеспечивает ускоренный разгон двузвенника в его движении по гладкому эллипсу, и выполнено компьютерное моделирование движения двузвенника.

2. Предложены две конструкции мобильных ползающих роботов, предназначенных для движения в поперечном направлении по гладкой внутренней поверхности трубы эллиптического сечения.

3. Найдены законы управления, обеспечивающие требуемое движение ползающих роботов предложенной конструкции в режиме ускоренного разгона из состояния покоя при выполнении ряда требований к движению, включая требование (мотивированное односторонним характером связей) о поддержании постоянного соприкосновения робота с поверхностью трубы.

4. Построены математические модели динамики рассмотренных мобильных ползающих роботов, что включало вывод основных соотношений, описывающих их кинематику и динамику, и составление полной системы уравнений движения каждого робота.

5. Разработано и отлажено программное обеспечение, позволяющее осуществлять компьютерное моделирование движения рассмотренных ползающих роботов и, в частности, производить поиск значений параметров управления, подходящих для реализации требуемого движения робота.

6. Методом компьютерного моделирования обоснована принципиальная возможность создания мобильных ползающих роботов, способных целенаправленно передвигаться по гладким поверхностям переменной кривизны.

7. Выполнены вычислительные эксперименты по исследованию влияния параметров модели на количественные характеристики управляемого движения ползающего робота; в частности, показано, что уменьшение значения параметра формы управляющего момента содействует разгону робота, причём для робота с пятью степенями свободы такое содействие весьма существенно, а для робота с восемью степенями свободы оно незначительно.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Абдельрахман Мохамед Абдельнасир Мохамед Зейн, 2009 год

1. Ишлинский А.Ю. О некоторых проблемах механики // Наука и человечество: Междунар. ежегодник. М.: Наука, 1985. С. 303-325.

2. Hirose S. Biologically Inspired Robots: Snake-Like Locomotors and Manipulators. Oxford: Oxford University Press, 1993. 240 p.

3. Мобильные механические системы, перемещающиеся по произвольно ориентированным в пространстве поверхностям / Вешников В., Градец-кий В., Калиниченко С. и др. М.: Ин-т прикл. механики РАН, 1994. Препринт.^ 537. 38 с.

4. Gradetsky V., Veshnikov V., Kalinichenko S. Multilinks Walking Robot // Proc. ICAR'95 7th Intern. Conf. on Advanced Robotics. St.Felin de Gulxols, Sept. 1995, 20-22. V.I. Barselona: Universitat Politechnica de Catalunya, 1995. P.401-405.

5. Ostrowski J., Burdick J. Gait Kinematics for a Serpentine Robot // Proc. IEEE Intern. Conf. on Robotics and Automation. Minneapolis, 1996. N.Y.: 1996. P. 1294-1299.

6. Черноусько Ф.Л. Движение многозвенника по горизонтальной плоскости // ПММ. 2000. Т. 64. Вып.1. С. 8-18.

7. Ma S. Analysis of Creeping Locomotion of a Snake-Like Robot // Advanced Robotics. 2001. V. 15. Issue 2, June 2001. P. 205 224.

8. Черноусько Ф.Л. О движении трёхзвенника по горизонтальной плоскости //ПММ. 2001. Т. 65. Вып.1. С. 15-20.

9. Смышляев А.С., Черноусько Ф.Л. Оптимизация движения многозвенни-ков на горизонтальной плоскости // Изв. РАН. ТиСУ. 2001. № 2. С. 176184.

10. Черноусько Ф.Л. Управляемые движения двухзвенника по горизонтальной плоскости // ПММ. 2001. Т. 65. Вып. 4. С. 578-591.

11. Журавлёв В.Ф. Об одной модели механизма движения змеи // ПММ. 2002. Т. 66. Вып. 4. С. 534-538.

12. Mori М., Hirose S. Three-Dimensional Serpentine Motion and Lateral Rolling by Active Cord Mechanism ACM-R3 // Proc. of IEEE/RSJ. Intelligent Robots and Systems. 2002, October. V. 1. P. 829-834.

13. Градецкий В.Г, Князьков M.M., Кравчук Л.Н., Соловцов В.Н. Микросенсорное управление движением миниатюрных роботов внутри труб малых диаметров // Микросистемная техника. 2002. № 8. С. 11 19.

14. Черноусько Ф.Л. Движения многозвенников по плоскости // Проблемы механики. М.: Физматлит, 2003. С.783-802.

15. Фигурина Т.Ю. Квазистатические движения двузвенника по горизонтальной плоскости // Изв. РАН. МТТ. 2003. № 1. С. 31 -41.

16. Фигурина Т.Ю. Управляемые квазистатические движения двузвенника по горизонтальной плоскости // Изв. РАН. ТиСУ. 2004. № 3. С. 160 -176.

17. Gonzalez-Gomez J., Aguayo Е., Boemo Е. Locomotion of a Modular WormLike Robot Using a FPGA-bazed Embedded MicroBlaze Soft-processor // Proc. 7th Intern. Conf. on Climbing and Walking Robots, CIA WAR 2004, CSIC. Madrid, Sept. 2004. P. 869-878.

18. Князьков M.M., Башкиров С.А. Плоское передвижение многозвенного робота по поверхности с сухим трением // Мехатроника, автоматизация, управление. 2004. № 3. С.28 -32.

19. Градецкий В.Г, Князьков М.М., Кравчук Л.Н., Соловцов В.Н., Семёнов Е.А. Исследование управляемых движений электромагнитных микророботов в трубах малых диаметров. Препринт № 770. М.: Ин-т прикл. механики РАН. 2004. 24 с.

20. Granosik G., Hansen М., Borenstein J. The OmniTread Serpentine Robot for Industrial Inspection and Surveillance // Intern. J. on Industrial Robots. Special Issue on Mobile Robots. V. IR32-2, April 2005. P. 139-148.

21. Фигурина Т.Ю. Управляемые медленные движения трёхзвенника по горизонтальной плоскости // Изв. РАН. ТиСУ. 2005. № 3. С. 149 -156.

22. Tanev I., Ray Т., Buller A. Automated Evolutionary Design, Robustness and Adaptation of Sidewinding Locomotion of a Simulated Snake-Like Robot // IEEE Trans, on Robotics. 2005. V.21. No.4, August 2005. P.632-645.

23. Градецкий В.Г, Князьков М.М., Кравчук JI.H., Семёнов Е.А. Методы движения миниатюрных управляемых внутритрубных роботов // Нано- и микросистемная техника. 2005. № 9. С. 37 -43.

24. Градецкий В.Г, Князьков М.М., Семёнов Е.А. Динамические процессы в миниатюрных многозвенных роботах // Нано- и микросистемная техника. 2006. №9. С. 39-43.

25. Сорокин K.C. Управление перемещением трёхзвенника на плоскости с трением // Изв. РАН. ТиСУ. 2009. № 3. С. 165 -176.

26. Белецкий В.В. Динамика двуногой ходьбы // Изв. АН СССР. МТТ. 1975. №3. С.3-14.

27. Вукобратович М. Шагающие роботы и антропоморфные механизмы. М.: Мир, 1976. 543 с.

28. Болотин Ю.В., Новожилов И.В. Управление походкой двуногого шагающего аппарата // Изв. АН СССР. МТТ. 1977. № 3. С.47-52.

29. Калинин В.В. Управление ходьбой четырёхногого шагающего аппарата // Труды Моск. энерг. ин-та. Вып. 331. М.: МЭИ, 1977. С. 85 -92.

30. Ларин В.Б. Управление шагающими аппаратами. К.: Наукова думка, 1980. 168 с.

31. Формальский A.M. Перемещение антропоморфных механизмов. М.: Наука, 1982. 362 с.

32. Белецкий В.В. Двуногая ходьба: модельные задачи динамики и управления. М.: Наука, 1984. 288 с.

33. Новожилов И.В. Управление пространственным движением двуногого шагающего аппарата // Изв. АН СССР. МТТ. 1984. № 4. С. 47-53.

34. Охоцимский Д.Е., Голубев Ю.Ф. Механика и управление движением автоматического аппарата. М.: Наука, 1984. 312 с.

35. Vukobratovic М., Borovac В., Surla D., Stokic D. Biped Locomotion. Scientific Fundamentals of Robotics, Vol. 7. N.Y.: Springer-Verlag, 1990. 400 p.

36. Голубев Ю.Ф., Погорелов Д.Ю. Компьютерное моделирование шагающих роботов // Фундамент, и прикл. математика. 1998. Т. 4. №2. С. 525534.

37. Сирегар Х.П. Колебания корпуса двуногого шагающего аппарата // Информационные средства и технологии. Междунар. форум информатизации МФИ-2002: Тез. докл. В 3-х т. Т.З. М.: Изд-во "Станкин", 2002. С. 117-120.

38. Голубев Ю.Ф., Корянов В.В. Построение движений инсектоморфного робота, преодолевающего комбинацию препятствий с помощью сил куло-новского трения // Изв. РАН. ТиСУ. 2005. № 3. С. 143 -155.

39. Корецкий А.В., Осадченко Н.В. Компьютерное моделирование кинематики манипуляционных роботов. М.: Изд-во МЭИ, 2000. 48 с.

40. Евстигнеев Д.В., Тягунов О.А. Программные комплексы для моделирования систем управления роботов и транспортных роботов // Интеллектуальные технологии в задачах идентификации и управления: Межвузовск. сб. науч. тр. М.: МИРЭА, 1997. С. 51-61.

41. Мартыненко Ю.Г. Алгоритмы управления мобильным роботом при движении по маякам // Докл. междунар. конф. "Информационные средства и технологии" (Москва, 1998 г.). Т. 2. М.: Изд-во "Станкин", 1998. С. 7580.

42. Кобрин А.И., Мартыненко Ю.Г. Неголономная динамика мобильных роботов и её моделирование в реальном времени // Докл. научн. школы-конф. "Мобильные роботы и мехатронные системы" (Москва, 1-3 декабря 1998 г.). М.: Изд-во Моск. ун-та, 1999. С. 107 -123.

43. Тягунов О.А. Программный комплекс для автоматизированного проектирования промышленных транспортных роботов // Проблемы машиностроения и надёжности машин. 1999. № 4. С. 94-96.

44. Тягунов О.А. Исследование динамики управляемых транспортных роботов // Проблемы машиностроения и надёжности машин. 1999. №6. С. 90-91.

45. Мартыненко Ю.Г. Динамика мобильных роботов // Соросовский образовательный журнал. 2000. № 5. С. 110 -116.

46. Зенкевич С.Л., Назарова А.В., Лисицын Д.М. Моделирование движения мобильного робота по сложному маршруту // Материалы научн. школы-конф. "Мобильные роботы и мехатронные системы" (Москва, 5 -6 декабря 2000 г.). М.: Изд-во Моск. ун-та, 2000. С. 14-27.

47. Корянов В.В. Компьютерное моделирование движения трёхколёсного мобильного робота // Материалы научн. школы-конф. "Мобильные роботы и мехатронные системы" (Москва, 3 -4 декабря 2001 г.). М.: Изд-во Моск. ун-та, 2001. С. 127-131.

48. Буданов В.М., Девянин Е.А. О движении колёсных роботов // ПММ. 2003. Т. 67. Вып. 2. С. 244-255.

49. Павловский В.Е., Евграфов В.В., Павловский В.В. Планирование и реализация гладких движений мобильного робота с дифференциальным приводом // Proc. 9th Intern. Conf. "Stability, Control, and Rigid Bodies Dynamics". ICSCD-2005. P. 54-55.

50. Павловский В.Е., Евграфов В.В., Павловский В.В. Синтез и исполнение гладких движений мобильного колёсного робота с дифференциальным приводом // Информационно-измерительные и управляющие системы. М.: Радиотехника, 2005-2006. Т.4. № 1-3. С. 30-35.

51. Тягунов О.А. Математические модели и алгоритмы управления промышленных транспортных роботов // Информационно-измерительные и управляющие системы. 2007. Т. 5. № 5. С. 63 -69.

52. Мартыненко Ю.Г., Осадченко Н.В. Движение шарнирного двузвенника по гладкому эллипсу // Труды конференции по теории колебаний и управлению. М.: МГУ, 2000. С.98-99.

53. Мартыненко Ю.Г., Осадченко Н.В. Движение шарнирного двухзвенника по гладкой кривой переменной кривизны // Вестник МЭИ. 2001. № 3. С. 14-18.

54. Cavalcanti A., Freitas R.A. Nanorobotics Control Design: a Collective Behavior Approach for Medicine // IEEE Trans, on Nanobioscience. 2005. V.4. No. 3. P. 133-140.

55. Говорухин B.H., Цибулин В.Г. Введение в Maple. Математический пакет для всех. М.: Мир, 1997. 208 с.

56. Алексеев Е.Р., Чеснокова О.В. Решение задач математики в пакетах Mathcad 12, MATLAP 7, Maple 9. М.: НТ Пресс, 2006. 466 с.

57. Зацепин М.Ф., Новожилов И.В. Уравнения движения механических систем в избыточном наборе переменных // Сб. научно-методических статей по теоретической механике. Вып. 16. М.: Высшая школа, 1987. С. 62 -66.

58. Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Я. Курс теоретической механики. T.II: Динамика. М.: Наука, 1985. 496 с.

59. Абдельрахман A.M. Моделирование управляемого движения ползающего робота // Вестник ТулГУ. Сер. Актуальные вопросы математики и механики. 2007. Вып. 3. С. 217-224.

60. Осадченко Н.В., Абдельрахман A.M. Компьютерное моделирование движения ползающего робота // Четырнадцатая Междунар. науч.-тех. конф. студентов и аспирантов: Тез. докл. В 3-х т. Т. 3. М.: Издательский дом МЭИ, 2008. С.236.

61. Осадченко Н.В., Абдельрахман А.М.З. Компьютерное моделирование движения мобильного ползающего робота // Вестник МЭИ. 2008. № 5. С.131-136.

62. Осадченко Н.В., Абдельрахман А.М.З. Моделирование движения ползающего робота по гладкой поверхности // Вестник МЭИ. 2009 (в печати).

63. Теория механизмов и машин // К.В.Фролов, С.А.Попов, А.К.Мусатов и др. М.: Высшая школа, 1987. 496 с.

64. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. М.: Мир, 1980. 280 с.

65. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987. 600 с.

66. Хайрер Э., Нёрсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежёсткие задачи. М.: Мир, 1990. 512 с.