Модификация метода Шварца, регуляризация и параллелизация МГЭ-решений в комплексе программ расчета упругих микронеоднородных тел тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Бормотин, Константин Сергеевич

• Бормотин, Константин Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Бормотин, Константин Сергеевич

Введение

ОГЛАВЛЕНИЕ

1.Обзор методов решения интегральных уравнений теории упругости и постановка задач исследования.

1.1. Аналитическое решение интегральных уравнений, решение задачи Дирирхле.

1.2. Численные методы решения задач теории упругости.

1.3. Методы расчета тонкослоистых и мелкодисперсных композитных материалов.

1.4. Методы регуляризации численного решения в случае сближенных границ.

Выводы по главе.

2. Исследование методов регуляризации в МГЭ-расчётах кусочно-однородных тел с тонкими элементами структуры.

2.1. Математические основы МГЭ.

2.2. Исследование методов регуляризации в задаче о тонком покрытии

2.2.1. Постановка задачи.

2.2.2. Градиентный и регуляризованный градиентный метод.

2.2.3. Метод регуляризации Тихонова.

2.2.4. Проксимальный метод.

2.2.5. Регуляризованный проксимальный метод.

Выводы по главе.

3. Разработка метода, алгоритма и программы последовательного и параллельного расчёта кусочно-однородных упругих тел на основе итерационной модификации алгоритма Шварца.

3.1. Алгоритм Шварца решения линейных эллиптических задач.

3.1.1. Решение задачи Дирихле для многосвязной области на плоскости.

3.1.2. Обобщенный алгоритм Шварца.

3.2. Разработка итерационной модификации метода Шварца.

3.3. Применение модифицированного метода Шварца в МГЭ для однородных и кусочно-однородных областей.

3.4. Тестирование и сравнение методов решения.

3.5. Алгоритм распределенного вычисления итерационной модификацией метода Шварца и анализ эффективности.

3.5.1. Программная реализация модифицированного метода Шварца

3.5.2. Анализ эффективности.

Выводы по главе.

4. Применение разработанных методов и программ в задачах расчета режущего инструмента с покрытиями.

4.1. Сравнение расчетов РИ в комплексе программ DPHS, Distribution SOLIEq, MSC.Nastran

4.2. Постановка задач исследования инструмента.

4.3. Моделирование состояния режущего инструмента с тонкослоистыми и дискретными покрытиями.

Выводы по главе.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Модификация метода Шварца, регуляризация и параллелизация МГЭ-решений в комплексе программ расчета упругих микронеоднородных тел»

Работа посвящена исследованию и разработке методов решения одного класса неустойчивых (некорректных) задач вычислительной теории упругости. Речь идёт о численном решении плоских статических задач для упругих тел с микронеоднородными (тонкими или малыми) элементами структуры, характерный масштаб которых значительно меньше характерного размера рассматриваемой области. Это могут быть задачи для композитов, матрица которых армирована тонкими включениями (относительно жёсткими чешуйками или лентами), для пар трения с упругим микродискретным контактом, для тонкослоистых материалов, для элементов конструкций и инструментов с тонкими покрытиями и так далее. Численное решение данных задач обычно не является непрерывно зависящим от входных данных: приближенное решение может как угодно сильно отличаться от искомого точного решения при сколь угодно малых погрешностях исходных данных.

Основы теории и методов решения неустойчивых задач заложены в работах А.Н. Тихонова, В.К. Иванова, М.М. Лаврентьева, Ф.П. Васильева и других авторов. Применение метода стабилизации А.Н. Тихонова при решении неустойчивых задач вычислительной теории упругости рассмотрено в работе А.О. Кузьмина и А.И. Олейникова (2003г.). Однако, этот метод регуляризации требует значительных вычислительных и временных затрат: по сравнению с решением устойчивых задач продолжительность вычислений нормального решения может возрастать на три и более порядка. Для решения практических задач потребовалась параллелизация вычислений на кластере из 18 стандартных ПЭВМ. Поэтому здесь актуальной темой остаётся исследование степени эффективности других методов регуляризации, а также разработка новых алгоритмов.

Так, например, для решения эллиптических краевых задач в многосвязных областях может быть использован метод альтернирования

Шварца. Этот метод применяется также в численных расчетах такими методами, как метод конечных элементов (МКЭ) и граничных элементов (МГЭ). Эффективность алгоритма Шварца основана на возможности представления исходной многосвязной области в виде пересечения односвязных подобластей и разделения вычислений для каждой подобласти. Это приводит к декомпозиции объема вычислений и к возможности их естественной параллелизации. В последнее время метод последовательных приближений Шварца применяется и для решения сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений теории упругости в многосвязных плоских областях при наличии трещин (М.А. Греков, 2001г.).

Однако метод Шварца в классической формулировке Неймана-Михлина-Соболева, обычно, сходится весьма медленно, особенно, как раз, для рассматриваемого случая сближенных границ подобластей. Для улучшения его сходимости применялись различные способы ускорения процесса, которые, однако, применимы только к областям и внешним нагрузкам специального типа. В этой связи актуальным является разработка общего способа ускорения сходимости метода Шварца.

Отметим также, что в механике сплошной среды учет влияния данных микроструктур производится, обычно, на основе методов осреднения, теории оболочек и пластин, асимптотических разложений. Однако, такое описание сопряжено с утратой информации об искомых полях в самой микроструктуре и вблизи неё.

Информация о напряжениях в композиционных материалах позволяет предсказать как зарождение разрушения (положения и размеры очага разрушения), так и его распространение. В настоящее время значительно расширился круг практических вопросов, связанных с решением таких задач, что обусловлено расширением областей применения и использования в современных технике и технологиях композиционных, слоистых и наноструктурных материалов. В частности, тонкослоистые конструкции используются при изготовлении эффективных износостойких покрытий, например, на режущих инструментах.

В данной работе для описания напряжённо-деформированного состояния упругих тел в основном используется подход, основанный на применении теории интегральных уравнений, и его численная реализация методом граничных элементов. К преимуществам МГЭ относится необходимость дискретизации только границ исследуемой структуры, что приводит к системам существенно более низкого порядка, чем в других методах, а также эффективность и точность расчёта высокоградиентных полей. Однако, решение задач при наличии малых и тонких областей сопряжено появлением вычислительной неустойчивости, связанной с близостью границ тонких элементов структуры и использованием интегральных уравнений для перемещений, являющимися уравнениями первого рода. В этих условиях для получения удовлетворительного численного решения применяются различные варианты методов регуляризации.

Проведен сравнительный анализ решений тестовой задачи о тонком покрытии отверстия в пластине методом граничных элементов с использованием регуляризации, классическим методом Шварца и итерационным методом Шварца.

Разработан программный комплекс параллельного расчета итерационным методом Шварца, представлена его эффективность по сравнению с последовательными алгоритмами и программным комплексом DPHS распределенного решения задач методом граничных элементов с использованием регуляризации по Тихонову.

В заключении приводится применение полученного алгоритма и программного комплекса для расчета напряженного состояния режущего инструмента с тонкими покрытиями, в сравнении с решениями полученным DPHS и методом конечных элементов в MSC.Nastran & MSC.Patran.

Исходя из наиболее актуальных вычислительных проблем моделирования и текущего состояния экспериментальных и теоретических исследований, посвященных состоянию граничных интегральных уравнений и методов их решения, а также регуляризации, цель диссертационной работы сформулирована в следующем виде: Разработать эффективные методы, алгоритмы и программы решения неустойчивых задач вычислительной теории упругости для микронеоднородных сред. Задачи исследования.

- установить эффективный вариант метода регуляризации непрямого метода граничных элементов для кусочно-однородных упругих тел;

- описать метод Шварца для непрямого метода граничных элементов;

- разработать итерационную модификацию численного метода Шварца решения систем сингулярных интегральных уравнений;

- предложить способы ускорения итерационной модификации метода Шварца;

- построить и реализовать параллельный алгоритм получения устойчивого численного решения для данного класса задач на кластере рабочих станций;

- применить разработанный программный комплекс к расчету напряженного состояния режущих инструментов со сплошными и дискретными покрытиями.

Методы исследования. В диссертационной работе используются методы функционального анализа, теории решения некорректных задач, интегральных сингулярных уравнений теории упругости, вычислительной математики и численных методов, а также объектно-ориентированного программирования, с использованием архитектуры СОМ и DCOM.

Научная новизна результатов диссертации заключается в следующем:

- исследованы методы регуляризации МГЭ-расчета и определен наиболее эффективный;

- дано описание метода Шварца применительно к системе граничных интегральных уравнений кусочно-однородного тела;

- получена новая модификация метода Шварца для многосвязной области, позволяющая существенно ускорить процесс сходимости;

- разработан параллельный алгоритм расчета МГЭ, использующий декомпозицию матрицы коэффициентов (основанной на алгоритме Шварца) и позволяющий получать устойчивое численное решение широкого класса задач расчёта кусочно-однородных тел и допускающий эффективную программную реализацию;

- на основе полученного алгоритма Шварца создан программный модуль расчета в параллельном режиме;

- применение разработанного комплекса программ к расчету напряженного состояния режущего инструмента с износостойкими покрытиями позволило установить эффективные геометрические параметры сплошного и дискретного покрытия.

Достоверность. Достоверность результатов диссертации определяется применением апробированных методов теории упругости, теории некорректных задач, а также прямым сравнением в частных случаях полученных численных решений с существующими точными. Практическая ценность работы.

Разработанные методы, алгоритмы и программы позволяют наиболее эффективно решать новые задачи вычислительного моделирования, связанные с разработкой и совершенствованием тонкослоистых структур, изделий, инструментов, использующих нанесение покрытий для повышения работоспособности и долговечности. Построенный программный продукт

DSOLIEq» позволяет автоматизировать процесс вычислений и распараллелить расчёт на кластере персональных компьютеров.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях: Международная научная конференция «Фундаментальные и прикладные вопросы механики» (г. Хабаровск, 2003 г.), Международная конференции по вычислительной математике МКВМ-2004 (г. Новосибирск, 2004 г.), Всероссийская научно-техническая конференция "Новые материалы и технологии" (г. Москва, 2004 г.), Научно - практическая конференция (г. Комсомольск-на-Амуре, 2004 г., 2006 г.), XXXII International Summer School-Conference "Advanced Problems in Mechanics" (г. Санкт Петербург, 2004 г.), Зимняя школа по механике сплошных сред (четырнадцатая) (г. Екатеринбург, 2005 г.), Дальневосточная математическая школа-семинар имении академика Е.В. Золотова (г. Владивостоке, 2006 г.), Научная конференция "Фундаментальные и прикладные вопросы механики" (г. Владивосток, 2006 г.), Всероссийская конференция "Деформирование и разрушение структурно-неоднородных сред и конструкций" (г. Новосибирск, 2006 г.), семинарах по математическому моделированию Центра вычислительного моделирования и информатики КнАГТУ (2003-2006 гг.).

Публикации. Материалы диссертационного исследования опубликованы в 12 научных работах. Получено свидетельство о регистрации программы для ЭВМ, ещё одно находится в стадии рассмотрения (список приведен в заключении). Отдельные разделы диссертации представлены в технических отчётах по хоз/договору № 64102/03 с КнААПО.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы. Объем диссертации составляет 140 страниц, включая 82 рисунка и 5 таблиц. Список литературы содержит 55 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Бормотин, Константин Сергеевич

Выводы по главе

Из приведенных расчетов режущего инструмента различными комплексами программ обнаруживается одинаковый характер распределения напряжений, что говорит о достоверности решения.

Полученные результаты вычислительного моделирования позволяют определить эффективные диапазоны параметра дискретного покрытия. Они также обосновывают повышение прочности и износостойкости дискретного покрытия по сравнению со сплошным в 3.5 раз для передней грани и в 1.1.2 раза для задней грани режущего инструмента. Очевидно, что для различных параметрах предполагаемого контакта определяются различные эффективные диапазоны покрытия.

Заключение

В настоящее время актуальным является вопрос вычислительного моделирования свойств новых композиционных материалов, а также изделий с малыми и тонкими элементами структуры. Вследствие потери устойчивости решения, ограниченности вычислительных ресурсов задачи становятся не решаемыми, что вызывает необходимость исследования степени эффективности методов регуляризации, а также разработки новых алгоритмов.

В данной диссертации представлен подход решения указанной проблемы с использованием алгоритма Шварца, в результате чего появляется возможность декомпозиции матрицы и следовательно, использования эффективных параллельных алгоритмов. Однако метод Шварца в классической формулировке Неймана-Михлина-Соболева, обычно, сходится весьма медленно. В данной работе метод Шварца преобразуется в общий итерационный метод, процесс сходимости которого существенно ускоряется. Для проведения расчётов однородных и кусочно-однородных изотропных линейно-упругих тел модифицированным методом Шварца используется метод граничного элемента.

В работе получены следующие новые результаты:

1. Для получения устойчивого численного решения систем линейных уравнений методом граничных элементов проведено исследование различных методов регуляризации. На примере тестовой задачи самый эффективный по скорости сходимости из рассмотренных оказался проксимальный метод.

2. Дан алгоритм решения системы граничных интегральных уравнений упругого кусочно-однородного тела методом Шварца.

3. Разработана новая итерационная модификация метода Шварца. Применяя алгоритма "итераций по отдельным координатам" к данному методу практически в два раза увеличивается сходимость. Модификация метода Шварца применена совместно с непрямым методом граничных элементов для решения плоских краевых задач на случай однородных и кусочно-однородных изотропных линейно-упругих тел.

4. Для реализации разработанной модификации метода Шварца создан программный комплекс, реализующий последовательный и параллельный алгоритм вычислений на кластере рабочих станций. Представлена эффективность полученного распределенного алгоритма по сравнению с последовательным и с комплексом DPHS, реализующим параллельный расчет МГЭ с регуляризацией.

5. Посредством разработанных: программ, а также комплексами DPHS, MSC.Nastran&MSC.Patran решены некоторые задачи о расчёте режущих инструментов с тонкими покрытиями. Представлено исследование на оптимальные параметры покрытия. Полученные результаты вычислительного моделирования позволяют определить эффективные диапазоны параметра дискретного покрытия. Они также обосновывают повышение прочности и износостойкости дискретного покрытия по сравнению со сплошным в 3. 5 раз для передней грани и в 1.1. .2 раза для задней грани режущего инструмента.

По теме диссертации опубликовано 12 научных работах, получено свидетельство о регистрации программы для ЭВМ, ещё одно находится в стадии рассмотрения:

1. Бормотин К.С., Олейников А.И. О расчете кусочно-однородных тел тонкой структуры // Сборник докладов международной научной конференции «Фундаментальные и прикладные вопросы механики» -Хабаровск: Изд-во Хабар, гос. техн. ун-та, 2003. С. 743-751.

2. Бормотин К.С., Олейников А.И. Регуляризованные параллельные алгоритмы расчета упругих тел с тонкими элементами структуры // Труды Международной конференции по вычислительной математике

МКВМ-2004. 4.1/Под ред. Г.А. Михайлова, В.П. Ильина, Ю.М. Лаевского. - Новосибирск: Изд. ИВМиМГ СО РАН, 2004. С. 192-196.

3. Бормотин К.С., Олейников А.И. Regularizing parallel algorithms boundary - element calculation of elastic bodies with thin elements of structure // Book of Abstracts of XXXII International Summer School-Conference "Advanced Problems in Mechanics (АРМ)" 2004. P. 81-82.

4. Бормотин K.C., Олейников А.И. Моделирование состояния режущего инструмента с тонкослоистыми и дискретными покрытиями // "Информатика и системы управления" №2(8), 2004. С. 14-19.

5. Бормотин К.С., Олейников А.И. Эффективная регуляризация метода граничного элемента при моделировании изделий с покрытиями // "Информатика и системы управления" №2(8), 2004. С. 19-26.

6. Бормотин К.С., Олейников А.И. Расчет режущих инструментов и покрытий максимальной работоспособности и долговечности // НОВЫЕ МАТЕРИАЛЫ И ТЕХНОЛОГИИ-НМТ-2004. Тезисы докладов Всероссийской научно-технической конференции. В 3-х томах. Т.2.- М.: ИЦ "МАТИ'-РГТУ им. К.Э.Циолковского, 2004. С. 8-9.

7. Бормотин К.С., Олейников А.И. Вычислительное моделирование НДС режущего инструмента с тонкослоистыми и дискретными покрытиями // Зимняя школа по механике сплошных сред (четырнадцатая) Тезисы докладов. Екатеринбург: УрО РАН, 2005. С. 38.

8. Бормотин К.С., Олейников А.И. Расчет эффективной толщины и рельефа износостойкого покрытия в CAE-системах // Международный журнал "Проблемы машиностроения и автоматизации" №3, 2005. С. 60-64.

9. Олейников А.И., Бормотин К.С., Григорьев Я.Ю, Клешнина А.Л. 2 и 3d инженерный анализ и программные решения для , оценки технологичности проектов // Проблемы и пути решения инвестиционной и инновационной политики на предприятиях

Хабаровского края. Технопарки. Инновационные центры: Материалы всероссийской научно-практической конференции: В 3 ч. Ч. 2. / Редкол.: Ю.Г. Кабалдин (отв.ред.) и др. - Комсомольск-на-Амуре: ГОУВПО "КнАГТУ", 2005. С.10-12.

Ю.Бормотин К.С., Олейников А.И. Итерационная модификация метода Шварца для расчета кусочно-однородных изотропных тел // Научно-техническое творчество аспирантов и студентов: материалы 36-й научно-техническй конференции аспирантов и студентов, г. Комсомольск-на-Амуре, ГОУВПО КнАГТУ, 2006. С.33-35.

П.Олейников А.И., Бормотин К.С., Минеева Н.В. Методы и алгоритмы параллельных расчетов тел с покрытиями и процессов формообразования панелей RRJ // Фундаментальные и прикладные вопросы механики. Материалы Всероссийской конференции, посвященной 70-летию академика В.П. Мясникова. Владивосток: ИАПУ ДВО РАН, 2006. С.26-27.

12. Бормотин К.С., Олейников А.И. Итерационная модификация метода Шварца для расчета кусочно-однородных изотропных тел // XXXI Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е.В. Золотова: Тезисы докладов. -Владивосток: Дальнаука, 2006. С.35-36.

13. Бормотин К.С., Олейников А.И. Модификация метода Шварца для расчета многосвязных кусочно-однородных упругих тел // СибЖИМ, 2007 (принята к печати).

М.Свид. о регистр, программы для ЭВМ. Программа для ЭВМ «SOLIEq» / Олейников А.И., Бормотин К.С. (Россия) - №2006612140; Заявл. 24.04.2006; Зарегистр. 20.06.2006.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Бормотин, Константин Сергеевич, 2006 год

1. Артамонов Е.В., Ефимов Н.Я., Утешев Я.Г. Измерение контактных нагрузок на режущий инструмент с использованием лазерной этенферентометрии // Сборник научных трудов ИСТМ НАНУ. 2004. С. 117123.

2. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Метод граничных элементов в прикладных науках: Пер. с англ. М.: Мир, 1984. С. 494.

3. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1980.

4. Васильев Ф.П., Обрадович О. Регуляризованный проксимальный метод для задач минимизации с неточными исходными данными // ЖВМиМФ, 1993. Том 33. №2. С. 182-188.

5. Георгадзе А .Я. Об одном применении метода последовательных приближений в теории упругости. // Труды Тбилисского математического института, 1938. Т. 4. С. 13-42.

6. Годунов С.К. Решение систем линейных уравнений. Новосибирск: Наука, 1980. С. 178.

7. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления : Пер. с англ. М.: Мир, 1999. С. 548.

8. Грегори, Кейт. Использование Visual С++6. Специальное издание.: Пер. с англ. М.; СПб.; К.: Издательский дом "Вильяме", 2001. С. 864.

9. Греков М.А. Сингулярная плоская задача теории упругости- СПб.: Изд. С.-Петербургского университета, 2001. С. 192.

10. Кильчевский Н.А. Динамическое контактное сжатие твёрдых тел. Удар. К., Наукова Думка, 1976.

11. Кильчевский Н.А. Основы аналитической механики оболочек. ч.1, К., Изд-во АН УССР, 1963.

12. Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика. М.: "Мир", 1969. С. 448.

13. Краснов M.JI. Интегральные уравнения. (Введение в теорию). М.: Наука, 1975. С. 304.

14. Круглински Д., Уингоу С., Шеферд Дж. Программирование на Microsoft Visual С++ 6.0 для профессионалов / Пер. с англ. Спб.: Питер; М.: Издательско-торговый дом "Русская Редакция", 2004. С. 861.

15. Купрадзе В.Д. Методы потенциала в теории упругости. М.: Физматгиз, 1963.

16. Купрадзе В.Д., Алексидзе М.А., Метод функциональных уравнений для приближённого решения некоторых граничных задач. Вычислительная математика и математическая геофизика, 1964. Т.4. Вып.4.

17. Купрадзе В.Д., Бурчуладзе Т.В. Динамические задачи теории упругости и термоупругости. В сб.: Современные проблемы математики. М., ВИНИТИ АН СССР. 1975. Т.7.

18. Купрадзе В.Д., Гегелия Т.Г., Башелейшвили М.О., Бурчуладзе Т.В. Трёхмерные задачи математической теории и термоупругости. М., Наука, 1976.

19. Ланцош К. Практические методы прикладного анализа. Государственное издательство физико-математической литературы, М., 1961.

20. Линьков A.M. Комплексный метод граничных интегральных уравнений теории упругости. СПб.: Наука, 1999. С. 382.

21. Линьков A.M. Плоские задачи о статическом нагружении кусочно-однородной среды // Прикл. математики и механика. 1983. Т.47. С.644-657.

22. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1980.

23. Метод эффективного поля в механике композитных материалов/ С.К. Канаун, В.М. Левин; Петрозаводский гос. ун-т. Петрозаводск, 1993. С. 600.

24. Михлин С.Г. Интегральные уравнения и их приложение к некоторым проблемам механики, математической физики и техники. М.: Гос. изд-во техн.-теор. лит., 1949. С. 380.

25. Михлин С.Г. Интегральные уравнения. М.-Л.: Гостехиздат, 1974.

26. Михлин С.Г. Метод последовательных приближений в применении к бигармонической проблеме // Труды Сейсмологического института АН СССР, 1934. №39. С. 1-14.

27. Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения.-М.: Физматгиз, 1962.

28. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М., Наука, 1966

29. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М., Наука, 1968.

30. Найштут Ю.С. Об одном способе расчета пластинок с отверстиями и его численной реализации // Известия АН СССР Механика твердого тела, 1970. №1. С.80-90.

31. Намм Р.В. К характеристике предельной точки в методе итеративной ргох-регуляризации // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. -Новосибирск, 1998. Т.1, №2. С. 143-152.

32. Намм Р.В. О скорости сходимости алгоритма с ргох-регуляризацией в задачах выпуклого программирования: Препринт / Институт прикладной математики ДВО РАН СССР, Владивосток, 1989. С. 19.

33. Намм Р.В., Скачков С.А. Об устойчивом методе решения задачи Мосолова и Мясникова с трением на границе, основанном на схеме двойственности // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. -Новосибирск, 2002. Т.5, №4. С. 351-365.

34. Народецкий М.З. Определение напряжений в круговом кольце под действием сосредоточенных сил // Известия АН СССР, ОТН, 1948. №1. С.7-18.

35. Олейников А.И., Кузьмин А.О. Параллельная реализация метода граничного элемента по расчёту тел с тонкими покрытиями на кластере рабочих станций // Информатика и системы управления. 2002. №1. С. 2438.

36. Олейников А.И., Кузьмин А.О. Программное обеспечение по автоматизации параллельного расчета изделий с покрытиями // Проблемы машиностроения и автоматизации. 2003. № 1. С. 45-52.

37. Олейников А.И., Кузьмин А.О. Расчёт напряжённого состояния и оценка прочности режущего инструмента с тонким покрытием // Проблемы прочности. НАН Украины. 2003. №1. С. 27-38.

38. Партон В.З., Перлин П.И. Интегральные уравнения теории упругости. М.: Наука, 1977. С. 312.

39. Пелех Б.Л., Максимук А.В., Коровайчук И.М. Контактные задачи для слоистых элементов конструкций и тел с покрытиями Киев: Наук. Думка, 1988.

40. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. Уч. пособие для вузов. 2-е изд., испр. -М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. С. 712.

41. Расчёт напряжений в породных массивах методом граничных интегральных уравнений / А.И. Олейников и др.: Кривой Рог: НИГРИ, 1982. С. 24. .

42. Саврук М.П. Плоские задачи теории упругости для многосвязной области с отверстиями и трещинами // Физ.-хим. механика материалов. 1980. Т.16. С.51-56.

43. Седов Л.И. Механика сплошной среды.Т.2. М.: Наука, 1970. С. 568.

44. Соболев С. Алгорифм Шварца в теории упругости // ДАН СССР, 1936, Т. 4 (13), №6 (110). С. 235-238.

45. Танана В.П. Методы решения операторных уравнений. М.: Наука, 1981.

46. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости, перев. с англ. М.: Наука, 1975г. С. 576.

47. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы регуляризации некорректных задач. Главная редакция физико-математической литературы изд-ва "Наука", М., 1974.

48. Трельсен Э. Модель СОМ и применение ATL 3.0: Пер. с англ.-СПб.:БХВ-Петербург, 2001. С. 928.

49. Шерман Д.И. Метод интегральных уравнений в плоских и пространственных задачах статической теории упругости. Труда II Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике. М., Изд-во АН СССР, 1962.

50. Crouch S.L., Starfield A.M. Boundary element method in solid mechanics. Boston: George Allen & Unwin, 1983. P. 328.

51. Cruse T.A. Numerical solutions in three-dimensional elastostatics // Int. J. Solids Structures. 1969. V.5. P. 1259-1274.

52. Radoslaw Gorski, Piotr Fedelinski. Analysis, optimization and identification of composite structures using boundary element method // Journal of Computational and Applied Mechanics, 2005. Vol. 6., No. 1. P. 53-65.

53. Rizzo F.J. An integral equation approach to boundary value problems of classical elastostatics // Q. Appl. Math. 1967. V.25. P.83-95.

54. Watson J. O. Boundary Elements from 1960 to the Present Day // Electronic Journal of Boundary Elements, 2003. Vol. 1, No. 1. P. 34-46.