Некоторые математические проблемы теории упругих и вязкоупругих конструкций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, доктор физико-математических наук Лебедев, Леонид Петрович

• Лебедев, Леонид Петрович
• доктор физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Лебедев, Леонид Петрович

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ВЯЗКОУПРУГОГО МАТЕРИАЛА

1.1. Уравнения состояния линейной вязкоупругости

1.2. Понятие устойчивого материала

1.3. Механизмы релаксации

1.4. Устойчивость материала в рамках задачи квазистатики

1.5. Спектр динамических задач линейной вязкоупругости и устойчивость вязкоупрогого материала

1.6. Некоторые функциональные пространства

1.7. Обобщенные решения в линейной вязкоупругости и некоторые функциональные пространства

1.8. Достаточные условия устойчивости в динамических задачах вязкоупругости

1.9. Об устойчивости вязкоупругих материалов

ГЛАВА 2. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ

ВЯЗКОУПРУГИХ ОБОЛОЧЕК

2.1. Основные соотношения нелинейной теории

вязкоупругих оболочек

2.2. Обобщенная постановка задачи динамики непологих вязкоупругих оболочек; некоторые функциональные пространства

2.3. Другие краевые задачи динамики непологих оболочек

2.4. Обобщенная постановка задачи динамики пологих вязкоупругих оболочек

2.5. Пологие вязкоупругие оболочки (без учета инерции

продольных колебаний)

ГЛАВА 3. НЕКОТОРЫЕ ПРОБЛЕМЫ ВЯЗКОУПРУГОГО

ПОВЕДЕНИЯ И УСТОЙЧИВОСТИ ОБОЛОЧЕК

3.1. Задача квазистатики вязкоупругой оболочки

3.2. Динамическая устойчивость решения задач квазистатики вязкоупругих оболочек

3.3. Приложения термодинамики к проблеме устойчивости

упругих конструкций на примере фермы Мизеса

ГЛАВА 4. НЕКОТОРЫЕ ПРОБЛЕМЫ СТАТИКИ НЕЛИНЕЙНЫХ

УПРУГИХ ОБОЛОЧЕК; МЕТОД КОНЕЧНОГО ЭЛЕМЕНТА

4.1. Нелинейная задача статики в теории упругих пологих

оболочек (декартовы координаты); вариационный подход

4.2. Энергетические нормы в криволинейных координатах; теоремы вложения; обобщенная постановка некоторых линейных задач

4.3. Задача статики пологих упругих оболочек в криволинейных координатах; метод конечного элемента

4.4. Задача статики пологих упругих оболочек в криволинейных координатах; топологический подход

4.5. Метод конечного элемента в задаче статики пологих упругих оболочек в общих криволинейных координатах

4.6. К вопросу о корректности задачи статики нелинейной

теории упругих пологих оболочек

4.7. Задача о равновесии пластины, подкрепленной

ребрами жесткости

ЛИТЕРАТУРА

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые математические проблемы теории упругих и вязкоупругих конструкций»

Введение

Актуальность исследований. Математическое исследование задач теории упругости и вообще механики сплошной среды имеет столь продолжительную и насыщенную событиями историю, что для ее написания потребовалось бы много томов. Дополнительная проблема здесь заключается в том, что зачастую решение частной задачи механики сплошной среды является прорывом в области качественного математического исследования общих задач. Достаточно вспомнить классические исследования устойчивости стержня Эйлером или исследования Сен-Венана. Поэтому в данной работе, в качестве исторической справки, уместно упомянуть лишь одну ветвь математических исследований задач механики сплошной среды, основанную на общей современной теории уравнений в частных производных и методах функционального анализа и объединенную, в основном, методами и аппаратом исследования. Общепризнанным родоначальником этого направления является выдающийся отечественный математик С.Л. Соболев, с классических работ которого в обиходе исследователей появились понятия обобщенных производных, соболевских пространств и теорем вложения. Упомянем здесь его классическую книгу "Приложения функционального анализа в математической физике" (1951) и его раннюю работу по механике 1939 г. Впрочем, корни этого аппарата прослеживаются в работах выдающихся математиков прошлого века. Ограничимся этой более частной областью методов исследований механики.

В дальнейшем исследовании математических проблем механики сплошной среды приняли участие как отечественные, так и зарубежные специалисты. Под термином "математические проблемы механики", которое здесь поневоле приходится сузить, мы будем понимать исследование математической постановки задач механики сплошной среды, их

разрешимость в различных классах, единственность и неединственность решения, качественные свойства решений такие, как их дифференциальные свойства, поведение решений в определенных условиях, в частности, неисчерпаемая проблема устойчивости решений и состояний объекта исследований. С этим кругом вопросов неразрывно связана теория приближенных методов решения соответствующих задач механики сплошной среды. Здесь возникают вопросы сходимости приближенных методов, решение которых часто дает ответ на чисто математические проблемы, такие как проблема разрешимости задачи или качественного поведения ее решения. Проблема математического исследования приближенных методов, как, впрочем, и вся общая математическая теория механики сплошной среды, весьма далека от своего завершения.

Основой современного подхода к изучению математических вопросов механики является метод обобщенных решений. Существуют различные способы введения этого понятия в конкретных задачах. В западной литературе отправной точкой для техники обобщенных решений являются чисто формальные математические преобразования и теория распределений Л. Шварца. В данной диссертации используется один из наиболее последовательных подходов к обобщенной постановке задач, который был разработан И.И. Воровичем в серии работ по теории оболочек [17, 18]. Он характеризуется тесной привязкой постановки задачи к её механическому содержанию, к вариационным принципам механики, а также использованием в качестве пространств, в которых рассматривается соответствующая задача, так называемых энергетических пространств, нормы которых образованы путем выделения из функционала внутренней энергии его квадратичной части. Данный подход удачно сочетается с методами функционального анализа, в частности теорией соболевских пространств. Получаемые результаты, как правило, имеют очевидную

механическую трактовку и наглядность. Топологический подход, развитый в [17, 18], позволяет, практически не меняя средств исследования качественных вопросов соответствующих краевых задач, рассматривать вопросы сходимости широкого круга вычислительных методов, применяемых в механике сплошной среды.

Целью работы является математическое исследование постановки задач динамики и статики упругих и вязкоупругих нелинейных оболочек, а именно, исследование определяющих соотношений теории и обобщенной постановки задач, доказательство теорем разрешимости, обоснование приближенных методов решения данных задач, а также изучение некоторых аспектов проблемы устойчивости решений.

Научную новизну составляют следующие результаты, полученные автором:

1. Получены необходимые и достаточные условия устойчивости решений начально-краевых задач линейной вязкоупругости с определяющими соотношениями в дифференциальной форме (динамика и квазистатика). Введение понятия устойчивости вязкоупругого материала.

2. Дается полная обобщенная постановка задач для вязкоупругих пологих и непологих оболочек при дифференциальной форме определяющих соотношениях. Доказаны теоремы разрешимости для нескольких вариантов данной теории в задачах динамики и квазистатики. Получены теоремы единственности для задач динамики при некоторых дополнительных ограничениях. Обоснованы проекционные методы решения данного класса задач, в том числе метода конечного элемента.

3. Для упругих пологих оболочек доказаны теорема разрешимости для случая оболочек с устранимой особенностью координатной системы на срединной поверхности при общих краевых условиях.

4. Получены достаточные условия устойчивости решения для упругих нелинейных оболочек. Отмечена зависимость устойчивости решений упругих задач от термодинамических режимов нагружения оболочек.

5. Доказана корректность постановки задач нелинейной теории упругих оболочек по отношению к слабым изменениям формы оболочки и типа ее краевых условий.

6. Дается обобщенная постановка задач для пластины с подкрепляющими ребрами и получена теорема разрешимости задачи в общем случае.

Методика исследований. В работе использован традиционный аппарат нелинейной теории дифференциальных уравнений частных производных в модификации, разработанной, в основном, в [17, 18]. Основой методики служит введение понятия обобщенных решений, основывающееся на вариационных принципах механики. В дальнейшем обобщенное решение задач и некоторые численные методы его нахождения исследуются с использованием вариационной и топологической техники.

Практическое значение диссертации. Дается строгое обоснование возможности применения различных моделей теории упругих и вязкоупругих оболочек в теоретических и практических исследованиях.

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались на семинаре кафедры теории упругости Ростовского госуниверситета, руководимой академиком И.И. Воровичем, семинаре, руководимом проф. Н.Ф. Морозовым (Ленинградский государственный университет),

а также на следующих конференциях и семинарах:

11-й Всесоюзн. конф. по теории оболочек и пластин, Харьков, 1977;

Семинар по некл. пробл. теории пластин и оболочек, Ивано-Франковск,

1980;

Всесоюзн. семинар "Проблемы нелин. механики сплошной среды", 1987; 5th National Congress on Mechanics, Greece, Ioannina, 1998; Восьмая межвузовская научная конференция Математическое Моделирование и Краевые Задачи", 1998.

Публикации. Основное содержание диссертационной работы отражено в 19 работах, из которых 10 опубликовано в центральной печати.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка используемой литературы, содержащего 131 наименование. Полный объем диссертации - 296 стр. машинописного текста.

Содержание работы

В диссертации рассматриваются различные вопросы математической теории упругих и вязкоупругих оболочек, связанные с проблемой разрешимости задач, с понятием устойчивости и обоснованием численных методов решения.

При исследовании задач механики центральная роль отводится проблеме определяющих соотношений. В данной работе рассматриваются упругие и вязкоупругие оболочки. Несмотря на то, что теория вязкоупругости уже достаточно установившаяся наука, в ней имеется довольно большое число открытых вопросов, касающихся определяющих соотношений. Существуют различные типы моделей вязкоупругой среды, из которых можно выделить интегральную форму представления определяющих соотношений и дифференциальную. Дифференциальная форма соотношений вязкоупругости в определенных условиях может быть сведена к интегральной. Поэтому, в основном, теоретические исследования общих вопросов вязкоупругости касались именно интегральной формы представления определяющих соотношений. Имеет смысл отметить, что интегральная форма определяющих соотношений, будучи более общей, однако вносит существенные и неустранимые трудности при численном

решении задач. Поэтому при практическом решении задач в основном используется дифференциальная модель.

Начальный период развития теории вязкоупругих задач связан с именами Максвелла, Кельвина, Фойхта. Современный подход к теории был разработан в трудах B.D. Coleman, W. Noll, С. Truesdell. Различные аспекты теории и практики решения задач вязкоупругости были рассмотрены в трудах и монографиях А.А. Ильюшина, Б.Е. Победри, Ю.Н. Работнова и др.

Для исследования вопроса устойчивости вязкоупругих оболочек в геометрически нелинейной теории необходимо предварительно изучить понятие устойчивости поведения самого вязкоупругого материала. Этому вопросу и посвящается первая глава диссертации. Здесь рассматривается одна общая проблема теории линейной вязкоупругости, тесно связанная с проблемой устойчивости тривиального решения краевых задач. Первые теоретические результаты по устойчивости решений задач линейной вязкоупругости были получены в работах С.М. Dafermos. В данной диссертации исследуется понятие устойчивости вязкоупругого материала, основанное на предложенном в [16] принципе устойчивости естественного ненапряженно-недеформированного состояния вязкоупругих тел. Вязкоупругий материал называется устойчивым, если для всех "разумно поставленных" краевых задач для любой формы области и любых краевых условиях вязкоупругих тел тривиальное решение является (асимптотически) устойчивым по Ляпунову. Естественно, краевые условия для этого класса задач должны быть такими, чтобы за их счет не происходила "подпитка" энергии во время релаксации. Такие устойчивые вязкоупругие материалы существуют. Для качественного исследования данного класса материалов исследуется проблема устойчивости решений для дифференциальной модели вязкоупругости. Получены необходимые и достаточные условия устойчивости тривиального решения для ограниченных тел и различных

типов краевых условий. Математический аппарат использует как теорию собственных функций Коссера, так и теорию преобразования Лапласа в пространствах функций, принимающих значения в некотором гильбертовом пространстве. Получены следующие качественные выводы:

1) Устойчивость вязкоупругого материала - понятие, тесно связанное с естественной постановкой начально-краевых задач линейной вязкоупругости.

2) Устойчивость однородных состояний конкретного вязкоупругого тела, вообще говоря, не гарантирует устойчивости вязкоупругого материала.

3) Из (асимптотической) устойчивости по Ляпунову тривиального решения задачи квазистатики вязкоупругого тела, вообще говоря, не вытекает такая же устойчивость в динамике.

4) Из (асимптотической) устойчивости по Ляпунову тривиального решения для первой основной задачи линейной вязкоупругости не вытекает, вообще говоря, такая же устойчивость в рамках второй или смешанной задачи.

5) Достаточные условия устойчивости по Ляпунову тривиального решения трехмерных динамических задач вязкоупругости не являются достаточными для подобной устойчивости в задаче о плоском напряженном состоянии.

Дальнейшая часть диссертации посвящена непосредственно математическим вопросам нелинейной теории оболочек. В развитии этой части теории оболочек принимали участие как отечественные, так и зарубежные специалисты. Следует подчеркнуть существенный вклад в теорию работ И.И. Воровича [17, 18], определивших и сформировавших современные представления в этом круге вопросов, в частности, в теории упругих пологих оболочек. Весьма важный круг задач качественной теории пластин и оболочек был рассмотрен в работах Н.Ф. Морозова и его

учеников. Среди работ, посвященных проблеме устойчивости вязкоупругих оболочек, следует отметить работы Э.И. Григолюка, Ю.В. Липовцева [35, 36].В исследовании различных аспектов линейной и нелинейной математической теории оболочек принимали участие Б.Д. Аннин, Н.И. Векуа, Ю.А. Дубинский, A.C. Кравчук, В.А. Крысько, С.Г. Михлин,

B.И. Седенко, JI.C. Срубщик, А.М. Хлуднев, Ш.М. Шлафман, Б.А. Шойхет. Список зарубежных исследователей также не слишком велик. Здесь можно упомянуть S.S. Antman, M S. Berger, M.Bernadou, P.G. Ciarlet, G. Fichera, P.

C. Fife, W.T. Koiter, J.-L. Lions, J. Wolkowisky.

Вторая глава посвящена различным математическим вопросам динамики вязкоупругих оболочек. В данной главе рассматриваются некоторые общие вопросы нелинейной теории вязкоупругих оболочек среднего изгиба, основанной на гипотезах Кирхгофа-Лява. Кинематические соотношения теории впервые были предложены в [126, 18], они существенно используют аппарат дифференциальной геометрии. Изучается постановка основных краевых задач динамики как пологих, так и непологих оболочек.

Построение определяющих соотношений начинается с соотношений теории трехмерной линейной вязкоупругости дифференциального типа. В конечном итоге определяющие соотношения для оболочки сводятся к интегральным соотношениям, учитывающим начальное состояние оболочки. На базе принципа возможных перемещений с учетом динамики (принцип Даламбера) вводятся уравнения динамики оболочки. Данные уравнения служат базой для естественного введения понятия обобщенного решения задач динамики вязкоупругих оболочек. Впервые такой подход был предложен в [13] для решения задач динамики упругих оболочек.

Каждый из рассматриваемых вариантов теории вязкоупругих оболочек требует отдельного исследования вследствие наличия

особенностей, присущих каждому из них. Внутри каждого из вариантов теорий пологих и непологих оболочек имеются подварианты постановки задач динамики: инерция движения может вводиться как с учетом инерции вращения элемента так и без учета. Помимо этого, в рамках задач для пологих оболочек часто бывает можно пренебречь инерцией продольных колебаний. Этот класс задач также требует отдельного рассмотрения. Строгая математическая постановка соответствующих задач требует введения так называемых энергетических пространств. Свойства элементов и норм в этих пространствах исследованы и сформулированы. Введение обобщенной постановки задач проводится единообразно, но для каждого типа используется ему соответствующее энергетическое пространство. Обобщенная постановка вводится таким образом, чтобы классические решения задач были бы и обобщенными решениями этих же задач.

Далее проводится исследование разрешимости обобщенной постановки задач. Пользуясь методом, разработанным в [13] для упругих пологих оболочек, доказаны теоремы о существовании решения в рамках всех рассматриваемых задач на любом конечном отрезке времени. Способ доказательства использует метод Бубнова-Галеркина приближенного решения задач. Таким образом, доказательство теоремы о существовании решения служит одновременно обоснованием применимости метода Бубнова-Галеркина, а значит и метода конечных элементов, в рамках этих задач. Выписаны уравнения Бубнова-Галеркина для всех рассматриваемых задач динамики, доказана разрешимость этих задач в каждом приближении на любом конечном интервале времени. Затем показана сходимость последовательности приближенных решений к решению основных задач и изучается характер этой сходимости. Затрагивается вопрос разрешимости задач с неоднородными граничными условиями. Здесь удается включить в рассмотрение некоторые типы нагрузки, действующей на граничном

контуре. Для варианта пологих оболочек без учета инерции продольных колебаний, в более узком, чем класс функций с конечной энергией, получена теорема единственности. Таким образом, принципиальная возможность решения задач теории пологих и непологих оболочек среднего изгиба обоснована в достаточно широкой области.

При исследовании движения вязкоупругих оболочек часто оказывается возможным вообще пренебречь инерционными членами. В таком случае получается так называемая задача квазистатики вязкоупругой оболочки. Она является аналогом задачи статики упругих оболочек, однако описывает медленные, безынерционные изменения решения во времени. Такой приблизительный характер описания движения, как показали численные расчеты (см., например, [24, 2В]), приводит к тому, что имеются нагрузки (медленно меняющиеся или даже стационарные), при которых в некоторый момент времени решение может обрываться.

В рамках задачи квазистатики введено понятие обобщенного решения задачи. Получены достаточные условия, когда решение задачи может быть продолжено на больший интервал времени. Нарушение этого условия является условием обрыва гладкой ветви решения задачи. Эти условия трактуются как условия потери устойчивости вязкоупругой оболочки. Как и ранее, рассматриваются как пологие, так и непологие вязкоупругие оболочки. Обсуждаются некоторые качественные аспекты квазистатического поведения вязкоупругих оболочек, в частности, проблема устойчивости решения на конечном промежутке времени при малых постоянно действующих возмущениях нагрузки.

Следующим вопросом является соотнесение решения задачи квазистатики и динамики. Выводятся достаточные условия близости на конечном отрезке времени решений квазистатической и динамической задач под одной и той же нагрузкой и при близких начальных условиях. Получить

глобальный результат здесь не удалось: соответствующий результат устойчивости доказан лишь для малых квазистатических решений. Данный результат свидетельствует одновременно о корректности самой теории вязкоупругих оболочек. Как и выше, рассматриваются два варианта теории вязкоупругих оболочек, пологих и непологих.

Метод, которым исследуется движение вязкоупругой оболочки под малой нагрузкой, переносится на случай упругих оболочек. Тот же метод рассуждений позволяет установить для пологих и непологих упругих оболочек эффективное достаточное условие устойчивости по Ляпунову состояния равновесия. Приводится исследование самого условия и его трактовка. Близкий результат в других терминах был ранее получен в [98, 97] для пологих оболочек в простейшем варианте теории, когда для срединной поверхности выбирается метрика плоскости.

В последнем, третьем параграфе третьей главы рассматривается модельная задача устойчивости фермы Мизеса с учетом температурного фактора. Указывается, что учет тепловых процессов может коренным образом влиять на характер устойчивости конструкции. В рамках основных термодинамических процессов, для которых построены термодинамические потенциалы, показано, что устойчивость положения равновесия в смысле Гиббса эквивалентна устойчивости этого же состояния в смысле Ляпунова. Такое утверждение хорошо известно в теории упругих систем в изотермическом случае. Более интересно, что состояния равновесия фермы, устойчивые в рамках одного процесса, могут оказаться неустойчивыми в условиях другого типа процесса. Подобное поведение имеет место и в оболочечных конструкциях. Кажется вероятным, что тепловые процессы могут существенным образом влиять на характер деформирования, в частности на возможность реализации в эксперименте форм равновесия, ответвляющих от основной формы.

В четвертой главе обсуждаются некоторые математические проблемы статики упругих пологих оболочек. Фундаментальные исследования [17, 18] в этой области оставили не слишком много открытых вопросов в теоремах о разрешимости задачи. Первый параграф данной главы рассматривает проблему обобщенной разрешимости задачи, когда тангенциальные краевые условия являются смешанными, а именно, когда некоторая часть границы закреплена в тангенциальном направлении, а на другой части задаются нагрузки. Здесь рассматривается старейший вариант теории пологих полочек, когда геометрия срединной поверхности оболочки отождествляется с плоской, хотя в компонентах тензора деформаций остаются кривизны. Этот вариант теории по-прежнему используется практически и нам хотелось, помимо всего прочего, продемонстрировать, как переносятся результаты, полученные в общей теории, на данный частный вариант. При условии малости внешних тангенциальных нагрузок доказывается теорема об обобщенной разрешимости задачи в энергетическом пространстве, а также обосновывается применение метода конечного элемента в рамках данной задачи. Здесь применяется вариационный подход к доказательству.

Далее идет обсуждение вопроса замены координат в рамках обобщенной постановки задач механики сплошной среды. Обычно в западных источниках все исследования задач механики проводятся в декартовых координатах. Поскольку применяется аппарат теории распределений, то возможность замены координат не является очевидной. Этот вопрос разрешается в рамках подхода, разработанного в [17, 18]. В рамках данного подхода замена координат проводится достаточно легко. Основная трудность при замене координат приходится на случай, когда внутри области, занимаемой телом, имеются особые точки координатной системы. В таком случае формулировки классических теорем вложения Соболева должны заменяться на другие формулировки, в которых

появляются весовые нормы, и которые также получаются путем простой замены переменных. Такой подход позволяет включить в рассмотрение нелинейные задачи теории пологих оболочек с вырождающимися метрическими коэффициентами срединной поверхности, когда срединная поверхность может быть разбита на конечное число областей с независимой координатной сеткой, не имеющей точек вырождения. В последнем случае будем говорить, что область имеет координатную систему с устранимой особенностью.

Применению результатов предыдущего параграфа к общей задаче теории пологих оболочек в общих криволинейных координатах с устранимой особенностью рассмотрены в двух следующих параграфах. В третьем параграфе рассматривается вариационная постановка задачи. Здесь результаты в какой-то степени повторяют результат первого параграфа данной главы, но в общих координатах срединной поверхности оболочки, которые могут иметь устранимые особые точки. Таким образом, здесь получена теорема разрешимости при малых тангенциальных нагрузках и обоснование применимости метода конечного элемента к решению данной задачи.

Следующий, четвертый параграф, посвящен исследованию тех же задач, что и в третьем параграфе, но уже с применением топологических методов. Срединная поверхность оболочки по-прежнему может иметь устранимую особенность координатной системы. Топологический подход, а именно, получение значения важной топологической характеристики задачи, вращения вполне непрерывного векторного поля, связанного с уравнениями задачи в энергетическом пространстве, позволяет доказывать теоремы о разрешимости и обосновывать применимость численных методов в едином ключе. Топологический и вариационный подходы доставляют взаимно дополняющую друг друга информацию о решениях задачи. В

данном случае, при условии закрепления всей границы в тангенциальном направлении, "снимаются" требования малости внешней тангенциальной нагрузки. Получено, что все обобщенные решения задачи равновесия лежат внутри некоторой сферы конечного радиуса энергетического пространства и вращение соответствующего поля на этой сфере есть +1. Тем самым обоснована разрешимость данной задачи. Обсуждается возможность расширения постановки относительно краевых условий, когда результаты остаются по-прежнему справедливыми.

Следующий, пятый параграф четвертой главы посвящен обоснованию применимости метода конечного элемента к задачам, рассмотренным в четвертом параграфе. Мы рассматриваем конформный вариант теории, когда конечные элементы принадлежат энергетическому пространству. Пользуясь техникой, разработанной в [17, 18] для обоснования метода Бубнова-Галеркина, мы доказываем в общем случае разрешимость уравнений метода конечного элемента в любом приближении и показываем сходимость приближенных решений к обобщенному решению задачи. Исследуется также характер сходимости приближенных решений. Для неособого обобщенного решения указывается, что сходимость приближений соразмерна со сходимостью наилучшего приближения конечными элементами решения задачи в энергетической норме. Последнее утверждение позволяет перенести все уже классические результаты относительно скорости сходимости МКЭ в энергетическом пространстве в рамках линейных задач на данный случай.

В монографии [18] рассмотрен вопрос, как влияет малое изменение внешних сил. а также малое изменение упругих характеристик оболочки на изменение неособого решения задачи. Тот же вопрос изучен для малых изменений формы оболочки, которые не вызывают изменения области изменения координат срединной поверхности и частей границ, где заданы

различные типы краевых условий. В [18] показана непрерывность данной зависимости, т. е. корректность задачи по отношению к подобным возмущениям. Вопрос о характере зависимости неособого решения по отношению к слабому возмущению размеров и формы оболочки, которые приводят к изменению области на которую отображается срединная поверхность оболочки (например, увеличению или уменьшению угла раствора пологого сферического купола), а так же к малым изменениям размера частей границы, вдоль которой осуществляется тот или иной вид краевых условий (например, какая-то часть жестко закрепленной по отношению к переменной и3 границы становится свободной),

рассматривается в шестом параграфе главы 4. Важность этого вопроса становится особо понятной в связи с тем, что большая часть теорем сходимости метода конечного элемента в линейных задачах (которые непосредственно переносятся на случай неособых решений рассматриваемых нами нелинейных задач) доказана для областей многоугольной формы. В случае криволинейной границы области О желательно иметь качественные результаты относительно зависимости решения от формы области с тем, чтобы и здесь можно было судить о сходимости МКЭ. Здесь показано, что достаточно малое изменение размеров оболочки, ее формы, а также характера краевых условий влечет за собой "устойчивость" неособого решения, т. е. измененная оболочка в некоторой малой окрестности основного неособого решения имеет единственное неособое решение.

В седьмом параграфе главы четыре рассматривается более частная, но весьма важная в практических приложениях задача о равновесии нелинейной пластины, подкрепленной ребрами. Математически данная нелинейная задача характеризуется тем, что подкрепляющие ребра

фактически образуют дополнительную часть границы, на которой заданы некоторые краевые условия. Характерной особенностью этих условий служит то обстоятельство, что дифференциальный порядок уравнений, определяемый соотношениями для самих ребер, для которых принимаются справедливыми классические гипотезы Бернулли для балок, подвергаемых одновременному растяжению, изгибу и кручению, здесь выше, нежели обычный порядок краевых условий в теории пластин. Тем не менее, вариационный подход позволяет легко перенести все результаты относительно разрешимости задачи и сходимости конечно-элементного метода, полученные для пластин без подкрепления, на этот класс задач.

Основные результаты и выводы

1. Необходимые и достаточные условия устойчивости решений начально-краевых задач линейной вязкоупругости с определяющими соотношениями в дифференциальной форме (динамика и квазистатика). Введение понятия устойчивости вязкоупругого материала.

2. Полная обобщенная постановка задач для вязкоупругих пологих и непологих оболочек при дифференциальной форме определяющих соотношениях. Доказаны теоремы разрешимости для нескольких вариантов данной теории в задачах динамики и квазистатики. Получены теоремы единственности для задач динамики при некоторых дополнительных ограничениях. Обоснованы проекционные методы решения данного класса задач, в том числе метода конечного элемента.

3. Для упругих пологих оболочек доказаны теорема разрешимости для случая оболочек с устранимой особенностью координатной системы на срединной поверхности при общих краевых условиях.

4. Получены достаточные условия устойчивости решения для упругих нелинейных оболочек. Отмечена зависимость устойчивости решений упругих задач от термодинамических режимов нагружения оболочек.

5. Доказана корректность постановки задач нелинейной теории упругих оболочек по отношению к слабым изменениям формы оболочки и типа ее краевых условий.

6. Дается обобщенная постановка задач для пластины с подкрепляющими ребрами и получена теорема разрешимости задачи в общем случае.

Основное содержание диссертации отражено в работах [23 -25, 27, 38, 53-59, 61--64, 66, 108, 129].

В работах [23, 25, 108] научному консультанту принадлежит постановка задач и обсуждение результатов, диссертанту принадлежит разработка методов решений и доказательств, в [108] 1А. Агагщо принадлежит перевод на английский язык и обсуждение результатов.

В работе [27] научному консультанту принадлежит обсуждение результатов, диссертанту принадлежит постановка задач и разработка методов доказательств.

В работе [38] В Л. Еремееву принадлежит разработка метода решения, диссертанту принадлежат постановка задачи и обсуждение результатов. Работы [24, 62, 63] принадлежат соавторам в равной мере. О.М.Ь. Окс^еИ перевел работу [61] на английский язык, все результаты принадлежат диссертанту.

В работе [129] диссертанту принадлежат все результаты, соавторы редактировали перевод.

Автор выражает глубокую благодарность научному консультанту академику И.И. Воровичу за участие, принятое в работе, стимулирующее влияние и полезное обсуждение результатов диссертации.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Лебедев, Леонид Петрович, 1998 год

Литература

1. Агранович М.С., Вишик М.И., Эллиптические задачи с параметром и

параболические задачи общего вида, УМН, 1964, т. 19, вып. 3

2. Андрейчиков И.П., Юдович В.И., Об устойчивости вязкоупругих

стержней; Изв. АН СССР, МТТ\ 1974, №2, с.79-87

3. Андрейчиков И.П., Юдович В.И., Об автоколебаниях вязкоупругих

стержней; Изв. АН СССР, МТТ, 1974, №6, с.126-134

4. Бердичевский В.Л., Вариационные принципы механики сплошной среды; Наука, Гл.ред. физ. -мат. лит-ры, М., 1983, 448 с.

5. Бубнов И.Г., Отзыв о работе С. 11. Тимошенко "Об устойчивости упругих

систем"; Сб. Института инженеров путей сообщений, 1913, вып. XXXI

6. Векуа И.Н., Обобщенные аналитические функции, Физматгиз, М., 1959,

578 с.

7. Власов В.З., Общая теория оболочек; М., Гостехиздат, 1949

8. Ворович И.И., О поведении круглой плиты после потери устойчивости;

Уч. зап. Ростовского ун-та, 1955, т.32, №4

9. Ворович И.И., О некоторых прямых методах в нелинейной теории

пологих оболочек; ДАН СССР, 1955, т. 105, №1, с. 42-45

10. Ворович И.И., О существовании решений в нелинейной теории оболочек; Язе. АН СССР, сер. матем., 1955, т. 19, №4, с. 173-183

11. Ворович И.И., О некоторых прямых методах в нелинейной теории пологих оболочек; Прикладная математика и механика, 1956, т.20, вып.4, с. 449-474

12. Ворович И.И., О методе Бубнова-Галеркина в нелинейной теории колебаний пологих оболочек; ДАН СССР, 1956, т. ПО, №5, с. 723-726

13. Ворович И.И., О некоторых прямых методах в нелинейной теории колебаний пологих оболочек; Изв. АН СССР, сер. матем., 1957, т. 21, №6, с. 747-784

14. Ворович И.И., О существовании решений в нелинейной теории оболочек; ДАН СССР, 1957, т. 117, №2, с. 203-206

15. Ворович И.И., Некоторые вопросы устойчивости оболочек в большом; ДАН СССР, 1958, т. 122, №1

16. Ворович И.И., О некоторых свойствах операторов вязко-упругости, в сб. "Избранные проблемы прикладной механики", посвящ. 60-летию акад В.Н. Челомея, Москва, ВИНИТИ, 1974, с. 225-244

17. Ворович И.И., Некоторые математические вопросы нелинейной теории оболочек; Докторская диссертация, Ростов-на-Дону, 1957

18. Ворович И.И., Математические проблемы нелинейной теории пологих оболочек; М., Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1989, 374 с.

19. Ворович И.И., Лебедев Л.П., О существовании решений в нелинейной теории пологих оболочек; Прикладная математика и механика, 1972, вып.4, с. 691-704

20. Ворович И.И., Лебедев Л.П., О методе Бубнова-Галеркина в нелинейной теории колебаний вязкоупругих оболочек; Прикладная математика и механика, 1973, вып. 6, с.1117-1124

21. Ворович И.И., Лебедев Л.П., Шлафмаи Ш.М., О некоторых прямых методах и существовании решения в нелинейной теории упругих непологих оболочек вращения; Прикладная математика и механика, 1974, вып. 2, с. 339-348

22. Ворович И.И., Лебедев Л.П., О задаче квазистатики вязкоупругого тела с перемещающейся границей; Известия СКНЦ ВШ, сер. естеств.наук, 1976, №2, с. 16-19

23. Ворович И.И., Лебедев Л.II., О разрешимости нелинейной задачи равновесия пологой оболочки; Прикладная математика и механика, 1988, вып.5, с. 814-820

24. Ворович И.И., Лебедев Л.П., Минакова Н.И., Царюк Л.Б., Некоторые вопросы устойчивости тонкостенных конструкций из материалов, обладающих вязкоупругостью и текучестью; Тез. докл. 11-й Всесоюзн. конф. по теории оболочек и пластин, Харьков, 1977

25. Ворович И.И., Лебедев Л.П., О методе конечных элементов в нелинейной теории оболочек; Русский журнал вычислительной механики, 1993, т. 1, №1, с. 1-21

26. Ворович И.И., Лебедев Л.П., К задаче равновесия пластины, подкрепленной ребрами жесткости, Прикладная математика и механика (принято к печати)

27. Ворович И.И., Лебедев Л.Г1., О корректности задачи статики нелинейной теории упругих пологих оболочек, Прикладная математика и механика, 1998, вып.4, 678-682

28. Ворович И.И., Минакова Н.И., Шепелева В.Г., Некоторые вопросы устойчивости вязкоупругих и вязкопрластических систем на примере фермы Мизеса; Изв. АН СССР, МТТ, 1979, №4, с. 120-132

29. Гантмахер Ф.Р., Теория матриц; Изд. 3; Наука, Гл.ред.физ.-мат. литры, М., 1967, 575 с.

30. Гиббс Дж.В., Термодинамика. Статистическая механика; Наука, М, 1982, 584 с.

31. Гольденвейзер А.Л., Теория упругих тонких оболочек; М., Гостехиздат, 1953

32. Гольденгершель Э.И., Об устойчивости по Эйлеру вязкоупругого стержня; ДАН СССР, 1972, т.207, №2

33. Гольденгершель Э.И., Об устойчивости по Эйлеру вязкоупругого стержня; Прикладная математика и механика, 1974, вып. 1, с. 187-192

34. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г., Теория вольтерровых операторов в гильбертовом пространстве и ее приложения; Наука, Гл.ред. физ. -мат. лит-ры, М., 1967, 508 с.

35. Григолюк Э.И., Липовцев Ю.В., Устойчивость оболочек в условиях ползучести; ПМТФ, 19965, №4

36. Григолюк Э.И., Липовцев Ю.В., Локальная устойчивость вязкоупругих оболочек вращения; Изв АН СССР, Механика твердого тела, 1969, №1

37. Доннел Л.Г., Балки, пластины и оболочки; Наука, Гл.ред.физ.-мат. литры, М, 1982, 567 с.

38. Еремеев В.А., Лебедев Л.П., Об устойчивости пологой фермы Мизеса при термосиловом нагружении; Известия СКНЦВШ, сер. естеств.наук, 1991, №3, с. 22-26

39. Ильюшин A.A., Победря Б.Е., Основы математической теории термовязко-упругости; Наука, М., 1970, 280 с.

40. Иосида К., Функциональный анализ; Мир, М., 1967, 624 с.

41. Като Т., Теория возмущений линейных операторов; Мир, М., 1972, 740 с.

42. Келлер Дж. Б., Антмаи С., редакторы, Теория ветвления и нелинейные задачи на собственные значения; Мир, М, 1974, 254с.

43. Киндерлерер Д., Стампаккья Г., Введение в вариационные неравенства и их приложения; Мир, М., 1983, 256 с.

44. Красносельский М.А., Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений; М, Гостехиздат, 1956

45. Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко ПЛ., Рутицкий Я.Б., Стеценко В.Я., Приближенное решение операторных уравнений; Наука, Гл.ред.физ.-мат. лит-ры, М., 1969, 455 с.

46. Кристенсен Р., Введение в теорию вязкоупругости; Мир, М., 1974, 338 с.

47. Ладыженская O.A., Краевые задачи математической физики; Наука, Гл.ред.физ.-мат. лит-ры, М., 1973, 408 с.

48. Ладыженская O.A., Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости; Наука, Гл.ред.физ.-мат. лит-ры, М., 1970, 288 с.

49. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H., Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа; Наука, Гл.ред.физ.-мат. лит-ры, М., 1967, 736 с.

50. Ладыженская O.A., Уральцева H.H., Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа; Наука, Гл.ред.физ.-мат. лит-ры, М., 1973,576 с.

51. Лебедев Л.П., Об однозначной разрешимости и некоторых приближенных методах решения задачи линейной вязкоупругости; Прикладная математика и механика, 1973, вып. 3, с. 505-514

52. Лебедев Л.П., Некоторые математические вопросы теории упругости и ползучести; Кандидатская диссертация, Ростов-на-Дону, 1973, 146 с.

53. Лебедев Л.П., Об устойчивости естественного ненапряженного состояния вязкоупругих тел; Прикладная математика и механика, 1975, вып. 6, с. 1110-1117

54. Лебедев Л.П., О равновесии свободной нелинейной пластины; Прикладная математика и механика, 1980, вып.1, с. 161-165

55. Лебедев Л.П., О поведении вязкоупругой пластины; Тез. докл. семинара по некл. пробл. теории тастин и оболочек, Ивано-Франковск, 1980

56. Лебедев Л.П., О решении динамической задачи вязкоупругих оболочек; ДАН СССР, 1982, т. 267, №1, с. 62-64

57. Лебедев Л.П., Устойчивость и эффект многомерности в теории вязкоупругости; Тез. докл. Всесоюзн. семинара Проблемы нелин. механики сплошной Среды, в журн. Известия СКНЦ ВШ, сер. естеств. наук, 1988, №3

58. Лебедев Л.П., О свойствах решений нелинейной задачи квазистатики вязкоупругих оболочек; Известия СКНЦ ВШ, сер. естеств.наук, 1983, №2, с. 36-37

59. Лебедев Л.П., К термодинамике и устойчивости фермы Мизеса; Изв. АН СССР, Механика те. тела, 1991, №2, с. 177-178

60. Лебедев Л.П., Ворович И.И., Глэдвел Ж.М.Л.: Lebedev L.P., Vorovich 1.1., Gladwell G.M.L., Functional Analysis; Applications in Mechanics and Inverse Problems; Series Solid Mechanics and Its Applications, Kluvver Academic Publishers, vol. 41, Dorfrecht/Boston/London, 1996, 248 p.

61. Лебедев Л.П., Глэдвел Ж.М.Л.: Lebedev L.P., Gladwell G.M.L., Spatial effects of modeling in linear viscoelasticity, Journal of Elasticity, 1997, т.47, №3, с. 241-250

62. Лебедев Л.П., Семигук В.M., О некоторых свойствах операторов термовязкоупругости; Известия СКНЦ ВШ, сер. естеств.наук, 1978, №4, с. 27-28

63. Лебедев Л.П., Семигук В.М., О поведении решения задачи линейной вязкоупругости; Известия СКНЦ ВШ, сер. естеств.наук, 1980, №2, с. 20-22

64. Лебедев Л.П., О разрешимости нелинейных задач динамики вязкоупругих оболочек, Доклады Академии Наук, 1998, т. 361, №2, 201203

65. Лебедев Л.П., К вопросу о разрешимости нелинейных задач статики упругих пологих оболочек, Доклады Академии Наук (принято к печати)

66. Лебедев Л.II., О некоторых математических вопросах нелинейной теории пологих оболочек, Тезисы докл. "Восьмая межвузовская научная конференция Математическое Моделирование и Краевые Задачи 1998

67. Лионе Ж.-Л., Некоторые методы решения нелинейных краевых задач; Мир, М.,1972, 588 с.

68. Лионе Ж.-Л., Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными; Мод М., 1972, 414 с.

69. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э., Неоднородные граничные задачи и их приложения; Мод М, 1971, 372 с.

70. Лурье А.И., Теория упругости; Наука, Гл.ред.физ.-мат. лит-ры, М., 1970, 940 с.

71. Лурье А.И., Статика тонкостенных упругих оболочек; М, 1947

72. Мазья В.Г., Михлин С.Г. О спектре Коссера уравнений теории упругости; Вестник ЛГУ, сер. матем., мех. и астр., 1967, вып.З, с. 5863

73. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике; Наука, Глред. физ. -мат. лит-ры, М., 1970, 512 с.

74. Михлин С.Г., Проблема минимума квадратичного функционала; ГИТТЛ, М.-Л., 1952,216 с.

75. Михлин С.Г., О функциях Коссера; в сб. "Проблемы матем. анализа. Краевые задачи и инт. ур-я ", Изд. ЛГУ, 1966, с. 59-69

76. Михлин С.Г. Дальнейшее исследование функций Коссера; Вестник ЛГУ, сер. матем., мех. и астр., 1967, вып.2

77. Михлин С.Г., Спектр Коссера плоской задачи теории упругости; "Исследования по упругости и пластичности", 1969, №8

78. Михлин С.Г., Спектр пучка операторов теории упругости; Успехи Мат. Наук, т. 28, 1973, №3, с. 43-82

79. Морозов II.Ф., К нелинейной теории тонких пластин; ДАН СССР, 1957, т.114,№5

80. Морозов Н.Ф., Нелинейные задачи теории тонких анизотропных пластин; Изв.ВУЗов, Математика, 1960, №6

81. Морозов Н.Ф., К вопросу о существовании несимметричного решения в задаче о больших прогибах круглой пластинки, загруженной симметричной нагрузкой; Изв.ВУЗов, Математика, 1961, №2

82. Морозов Н.Ф., К нелинейным задачам теории тонких пластин с р осями симметрии; ДАН БССР, 1963, т.7, №6

83. Морозов Н.Ф., Существование гладкого решения задачи о нелинейных колебаниях тонкой пластины; ЖВМи МФ, 1966, т. 6, №4

84. Морозов Н.Ф., О нелинейных колебаниях тонких пластин с учетом инерции вращения; ДАН СССР, 1967, т. 176, №3

85. Мосолов ПЛ., Мясников В.П., Доказательство неравенства Корна, ДАН СССР, 1971, т.201, №1

86. Муштари Х.М., Галимов К.З., Нелинейная теория упругих оболочек; Казань, 1957

87. Новожилов В.В., Теория тонких оболочек; Судпромгиз, 1951

88. Оден Дж., Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред; Мир, М., 1976, 464 с.

89. Пановко Я.Г., Губанова И.И., Устойчивость и колебания упругих систем; Наука, М., 1979, 384 с.

90. Победря Б.Е., О сходимости метода упругих решений в нелинейной вязкоупругости; ДАН СССР, 1970, т. 195, №2

91. Работнов Ю.Н., Механика деформируемого твёрдого тела; Наука, Гл.ред. физ. -мат. лит-ры, М., 1979, 744 с.

92. Работнов Ю.Н., Ползучесть элементов конструкций; Наука, Гл.ред.физ.-мат. лит-ры, М., 1966, 752 с.

93. Работнов Ю.Н., Элементы наследственной механики твёрдых тел; Наука, Гл.ред.физ.-мат. лит-ры, М., 1977, 384 с.

94. Расчеты машиностроительных конструкций методом конечных элементов. Справочник. Под ред. В.И. Мяченкова; Машиностроение, М., 1989, 520 с.

95. Скрыпник И.В., Методы исследования нелинейных эллиптических граничных задач; Наука, Гл.ред. физ. -мат. лит-ры, М., 1990, 442 с.

96. Соболев С.Л., Некоторые применения функционального анализа в математической физике; Изд. 3; Наука, Гл.ред. фт. -мат. лит-ры, М., 1988, 333 с.

97. Срубщик СЛ., Выпучивание и послекритическое поведение оболочек; Изд-во Ростов-на-Дону ун-та, 1981

98. Срубщик СЛ., Юдович В.И., Замечание об устойчивости мембранных решений в нелинейной теории пластин и оболочек; Прикладная математика и механика, 1966, т.30, вып. 1, с. 116-123

99. Сьярле Ф., Метод конечных элементов для эллиптических задач; Мир, М., 1980, 512 с.

100. Треногин В.А. Функциональный анализ; Наука, Гл.ред.физ. -мат. литры, М., 1980, 496 с.

101. Трусделл К., Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред; Мир, М., 1975,592 с.

102. Фридрихе К.О., Возмущение спектра операторов в гильбертовом пространстве; Мир, М., 1969

103. Эскин Г.И. Краевые задачи для эллиптических псевдодифференциальных уравнений; Наука, М., 1973, 232 с.

104. Юдович В.И., Метод линеаризации в гидродинамической теории устойчивости; РГУ, Ростов-па-Дону, 1984, 192 с.

105. Alexandrescuiosifescu О., Existence and regularity of the solution of Koiter nonlinear, 2-dimensional shallow-shell model, Comptes Rendus de V Academic des Sciences serie i-Mathematique, 1995, Vol. 321, No.9, pp. 1269-1274

106. Antman S.S., The influence of elasticity on analysis: Modern developments, Bull. Amer. math. Soc., 1983, No. 9, pp.267-291

107. Antman S.S., Nonlinear problems of elasticity, Springer-Verlag, Berlin, 1996

108. Arango J.A., Lebedev L.P., Vorovich 1.1., Some boundary value problems and models for coupled elastic bodies", Quarterly of Applied Mathematics (Providence, USA), 1998, том LVI, № 1, pp. 157-172

109. Berger M. S., Von Karman's equations and the buckling of a thin elastic plate; Comm. Pure Appl. Math., 1967, part 1: v.20, №4 pp. 687-719

110. Berger M. S., Fife P. С., Von Karman's equations and the buckling of a thin elastic plate; Comm. Pure Appl. Math., 1968, part 2: v.21, pp. 227-241

111. Bernadou M., Méthodes d'éléments finis pour les problèmes de coques minces; Masson, Paris, 1994, 384 pp.

112. Bernadou M., Ciarlet P.O., Miara В., Existence theorems for two-dimensional linear shell theories, J. of Elasticity, 1994, 14pp.

113. Bernadou M., Oden J.T., An existence theorem for a class of nonlinear shallow shell problems; J. Math, pures et appl, 1981, v.60, pp.285-308

114. Ciarlet P.O., Plates and junctions in elastic multi-structures, North Holland, 1988

115. Ciarlet P.O., Paumier J.C., A justification of the Marguerre von Karman equations for shallow shells, Comptes Rendus de I ' Academie des Sciences serie 1-Mathematique, 1985, Vol.301, No. 18, pp.857-860

116. Cibula J., Von Karman equations in. Solvability of the von Karman equations with conditions for geometry of the boudary of the domain; Applications of mathematics, 1991, v.36, no.5, pp. 368-379

117. Cosserat Eugene et Francois, Sur la deformatin infiniment petite d'un ellipsoide elastique soumis a des efforts donnes sur la frontière; Comptes Rendus des seances de VAcad. dSciencesFrançaise, 1901, 133, pp.361-364

118. Dafermos C.M., An abstract Volterra equation with applications to linear viscoelasticity; J. of Differ. Equations, 1970, v.7, no.3, p.p. 554-569

119. Dafermos C.M., Asymptotic stability in viscoelasticity; Arch. Rational Me.ch.Anal, 1971, p.p.297-308

120. Dikmen M., Recent advances for the general theory of thin elastic shells; Internat. J. Engrg. Set, 1979, v. 17, pp. 235-250

121. Figueiredo I. M. N., Local Existence and Regularity of the Solution of the Nonlinear Thin Shell Model of Donnell-Mushtari-Vlasov; Applicable Analysis, 1990, v.36, pp. 221-234

122. John Q., Naumann J., On regularity of variational solutions of the von Karman equations; Math. Nac.hr., 1976, v.71, pp. 23-36

123. Kavian O, Rao B.P., A remark on the existence of nontrivial solutions to the Marguerre-von Karman equations, Comptes Rendus de V Academie des Sciences serie I-Mathematique, 1993, Vol.317, No. 12, pp.1137-1142

124. Knightly G. H., An existence theorem for the von Karman equations; Arch. RationalMech. Anal, 1968, v.27, pp. 223-242

125. Koiter W.T., The energy criterion of stability for continuous elastic bodies; Proc. K. Akad. Wet., 1965, B 68, pp. 178-202

126. Koiter W.T., On the nonlinear theory of thin elastic shells. I; Proc. Kon. Ned. Akad. Wetensch, 1966, B 69, pp. 1-54

127. Koiter W.T., A sufficient condition for the stability of shallow shells; Proc. K. Akad. Wet, 1967, B 70, pp. 367-380

128. Kubrusly R.S., On the existence of post-buckling solutions of shallow shells under a certain unilateral constraint, International Journal of Engineering Science, 1982, Vol.20, No.l, pp.93-99

129. Lebedev L.P., Kalpakides V.K., Foutsitzi G., On Existence in Non-Linear Theory of Viscoelastic Shells, in "Proceedings of the 5th National Congress on Mechanics", Ioannina, August, 1998, Vol. 2, 1101-1111, Editors:P.S. Theocharis, D. I. Fotiadis, C.V. Massalas, "Printing Centre of the University of Ioannina"

130. Orlov V.P., Stability of zero solution of mathematical model of multidimensional barotropic viscoelastic medium, Nonlinear Analysis, Theory, MethodsSApplicaíions, 1996, v. 26, No. 12, pp. 1937-1950

131. Sanders J.L., An improved first approximation theory for thin shells; NASA Reports, 1959, 2