Нелагранжевы калибровочные системы: геометрия и квантование тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, доктор физико-математических наук Шарапов, Алексей Анатольевич

• Шарапов, Алексей Анатольевич
• доктор физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Шарапов, Алексей Анатольевич

Введение

1 Деформационное квантование виковского типа

1.1 Многообразия Федосова-Вика.

1.2 Конструкция виковского *-произведения.

1.3 Эквивалентность вейлевских и виковских символов.

1.4 Гамильтоновы системы со связями второго рода.

1.5 Виковское квантование кокасательных расслоений.

1.5.1 Формальная кэлерова структура

1.5.2 Голоморфные координаты и сходимость.

1.5.3 Класс Чженя виковской структуры.

1.5.4 Пространства постоянной кривизны и нелинейные сигма-модели

1.6 Струна с некоммутативной геометрией мирового листа.

1.6.1 Виковская деформация бозонной струны.

1.6.2 Струнные инстантоны и голоморфные кривые

2 Деформационное квантование квазисимплектических многообразий

2.1 Квазисимплектические многообразия: определение и примеры.

2.2 Симплектическое вложение и конверсия.

2.2.1 Симплектическое вложение.

2.2.2 Неабелева конверсия

2.3 Квантование.

2.3.1 Классический БРСТ-заряд.

2.3.2 Квантование расширенного фазового пространства.

2.3.3 Квантовые наблюдаемые и *-произведение.

2.4 Факторизуемые скобки Пуассона общего вида.

3 Эффективные нелагранжевы модели в классической теории поля

3.1 Самодействие в линейных теориях

3.2 Регуляризация классических источников.

3.3 Конкретные модели.

3.3.1 Минимально взаимодействующие браны.

3.3.2 Браны с неминимальным взаимодействием.

3.3.3 Сокращение расходимостей.

3.3.4 Электродинамика безмассовых частиц.

3.4 Реакция излучения и перенормировка в нелинейных моделях.

4 Геометрические модели и квантование спиновых частиц

4.1 Пресимплектическое многообразие массивной релятивистской частицы со спином.

4.2 Модель массивной спиновой частицы в пространстве-времени произвольной размерности.

4.3 Квантование.

4.4 Минимальное взаимодействие.

5 Гомологическая механика - гамильтонова версия

5.1 Слабая гамильтонова структура.

5.2 БРСТ-вложение слабой гамильтоновой структуры.

5.2.1 Расширенное антисимплектическое многообразие.

5.2.2 Производящие мастер-уравнения

5.2.3 Физические наблюдаемые.

5.2.4 Слабая пуассонова структура и Р^-алгебры

5.3 Деформационное квантование.

5.4 Сигма-модельная интерпретация

6 Гомологическая механика - лагранжева версия

6.1 Лагранжева структура и ^-алгебры.

6.1.1 Классическая динамика.

6.1.2 Регулярные калибровочные системы

6.1.3 Лагранжева структура.

6.1.4 ^-алгебры.

6.2 БРСТ-комплекс

6.2.1 Пространство вложения.

6.2.2 Классический БРСТ-заряд.

6.2.3 D-когомологии и точность лагранжевой структуры.

6.2.4 Гамильтонова интерпретация.

6.2.5 Физические наблюдаемые.

6.3 Квантовые БРСТ-когомологии и средние физических величин.

6.3.1 Обобщенное уравнение Швингера-Дайсона.

6.3.2 Представление амплитуды вероятности континуальным интегралом

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нелагранжевы калибровочные системы: геометрия и квантование»

Данная диссертация содержит изложение результатов исследований автора, посвященных разработке ковариантных методов квантования калибровочных теорий общего вида, включая нелагранжевы и негамильтоновы системы, а также приложению этих методов к ряду актуальных задач теоретической и математической физики. Прежде чем переходить собственно к постановке рассматриваемых проблем, отметим значение и место данной тематики в общем контексте развития современной теоретической физики фундаментальных взаимодействий.

Прогресс квантовой теории поля как математической основы физики фундаментальных взаимодействий был всегда неразрывно связан с разработкой общих методов квантования. Так, создание в конце 40-х - начале 50-х годов прошлого века квантовой электродинамики породило концепцию фейнмановского интеграла по траекториям [1-4], а открытие неабелевых калибровочных теорий и построение на их основе теоретико-полевых моделей сильного и электрослабого взаимодействий придало мощный импульс развитию общих методов квантования систем со связями [5]. Важным шагом на этом пути явилось определение Фаддеевым и Поповым континуального интеграла для полей Янга-Миллса [6], вовлекающего наряду с исходными полевыми переменными дополнительные нефизические поля (духи), а также открытие Бекки, Руэ, Стора и Тютиным (БРСТ) глобальной фермионной симметрии [7-9], смешивающей калибровочные поля с духами Фаддеева-Попова. Открытие БРСТ-симметрии стало прологом к разработке методов обобщенного канонического квантования Батал и на- Вилков ы с ко го- Ф р ад к ин а [10-13] и ла-гранжевого квантования Баталина-Вилковыского [14-16], составляющих теперь основу общей БРСТ-теории [17,18].

В настоящее время БРСТ-теория является наиболее мощным и универсальным методом квантования калибровочных теорий. Помимо собственно задачи квантования данный метод оказывается эффективным в теории перенормировок, при анализе аномалий, а также как инструмент построения совместных взаимодействий в калибровочных моделях. Заметен рост интереса к использованию БРСТ-методов и в ряде разделов математики, особенно в задачах, связанных с деформацией алгебраических структур (квантовые группы и алгебры, деформационное квантование и пр.). Практически все наиболее важные с современной точки зрения алгебраические структуры могут быть адекватно сформулированы или реинтерпретированы на языке производящих уравнений БРСТ-алгебры для подходящих калибровочных систем. Активное проникновение методов БРСТ-теории и связанной с ней гомологической алгебры в различные разделы теоретической и математической физики привело даже к появлению термина "когомологическая физика" [19].

Можно констатировать, что современный этап развития квантовой теории поля характеризуется все большим смещением акцента в сторону разработки непертурбативных методов анализа классической и квантовой динамики полей с нетривиальной геометрией фонового, конфигурационного или фазового пространства. Неудивительно, что движение в этом направлении сопровождается интенсивным применением самых современных идей и конструкций дифференциальной геометрии, гомологической алгебры, алгебраической топологии и их синтезом с методами БРСТ-теории. Среди наиболее востребованных методов, имеющих непосредственное отношение к задачам непертурбативной квантовой теории поля, следует выделить метод деформационного квантования.

Концепция деформационного квантования [20-23], возникшая в 70-х годах прошлого века как математически строгая и последовательная схема квантования гамильтоно-вых систем с нелинейным фазовым пространством, получила бурное развитие в течение последних двадцати лет и является в настоящее время активным полем исследований как математиков, так и физиков-теоретиков. Среди последних ярких достижений в этой области можно отметить конструкцию деформационного квантования Федосова симплектических многообразий "[24, 25], а также общую схему деформационного квантования пуассоновых многообразий, предложенную Концевичем [26]. Помимо решения собственно проблемы квантования теорий с нелинейным фазовым пространством многие развиваемые в этой области идеи и методы находят применение и в других (существенно отличных по характеру) задачах теоретической и математической физики, в частности, являются эффективным инструментом построения новых физических моделей. Среди последних можно упомянуть виттеновскую формулировку полевой теории струн [28], калибровочные теории на некоммутативных пространствах [29,30], модели взаимодействия полей высших спинов [33,34]. В этом своем аспекте теория деформационного квантования тесно переплетается с математическими конструкциями некоммутативной геометрии Коннэ [36], являющейся нетривиальным и многообещающим обобщением классического дифференциального исчисления на гладких многообразиях.

Следует заметить, что переход от механических к теоретико-полевым моделям, т. е. системам с бесконечномерным фазовым пространством, приводит к необходимости решения ряда вопросов, выходящих за рамки формальной математической процедуры деформационного квантования. Наличие квантовых расходимостей, например, делает нетривиальным вопрос о выборе правильной схемы квантования даже для полей с простой геометрией фазового пространства. Считается общепринятым, что последовательное квантование теоретико-полевых моделей должно основываться на представлении операторов рождения-уничтожения, т. е. виковском символе для полевых операторов. К сожалению, для большинства физических моделей такое представление известно лишь на уровне свободных полей, а вклад взаимодействия учитывается пертурбативно. Несмотря на известные достижения пертурбативной теории поля, такое разложение на свободную часть и взаимодействие не всегда адекватно физической ситуации, так как может разрушать фундаментальные симметрии исходной классической модели. Важными примерами такого рода теорий могут служить нелинейные сигма-модели [37] и, в частности, струны в пространстве анти-де Ситтера. Стандартное разложение по методу ковариантно-го фонового поля над плоским фоном приводит к спонтанному нарушению симметрий сигма-модели, что делает, например, принципиально невозможным прямое отождествление спектра элементарных возбуждений струны с известным спектром элементарных частиц в пространстве анти-де-Ситтера, а также оставляет открытым вопрос о точном (непертурбативном) значении критических параметров теории. Класс виковских символов является, таким образом, выделенным с точки зрения квантовой теории поля и заслуживает дальнейшего развития в сторону непертурбативного учета глобальной геометрии полей в существенно нелинейных моделях и системах со связями. Решение этих задач, по-видимому, невозможно без глубокого синтеза методов деформационного квантования и БРСТ-теории [38,39].

Еще одной выраженной тенденцией развития современной теоретической физики высоких энергий является все возрастающий интерес к калибровочным теориям, классические уравнения движения которых не допускают естественной вариационной формулировки, т. е. не могут быть получены из принципа наименьшего действия. Среди наиболее фундаментальных моделей такого рода стоит отметить самодуальные поля Янга-Миллса, киральные бозоны, уравнения Дональдсона-Уленбек -Яу, различные многомерные конформные теории поля с расширенной суперсимметрией, уравнения Зайберга-Виттена, теории безмассовых полей высших спинов, а также уравнения, описывающие самосогласованную динамику частиц струн и бран во внешних динамических полях. Отсутствие вариационной формулировки для этих моделей делает принципиально невозможным непосредственное применение стандартных рецептов квантования (операторного БВФ или ковариантного БВ), поэтому обычный подход к квантованию таких теорий состоит в конверсии исходной нелагранжевой динамики в лагранжеву путем введения некоторой системы вспомогательных полей. Вспомогательные поля вводятся так, чтобы эффективная лагранжева теория была динамически эквивалентна исходной (нелагранжевой) теории (т. е. чтобы вспомогательные поля входили в теорию либо чисто алгебраически и исключались на уравнениях движения, либо оказывались чисто калибровочными модами). Хотя в некоторых простых случаях такой подход оказывается действительно эффективным, выбор вспомогательных полей, а также включение их в исходную (нелагранжеву) динамику до сих пор остается в большей степени искусством, нежели конструктивной процедурой.

Показательным примером здесь может служить теория безмассовых полей высших спинов. Так, на свободном уровне состав вспомогательных полей и соответствующие лагранжианы были найдены еще в 70-х годах Фронсдалом [40]. В то же время идентификация полного набора вспомогательных полей для нелинейных уравнений высших спинов (уравнений Васильева [31-35]) до сих пор остается открытой проблемой. Указанные трудности делают актуальной разработку общих методов квантования нелагранжевых калибровочных теорий, которые выводили бы известные схемы БВ- и БВФ-БРСТ-квантований за рамки вариационной динамики.

Исходя из описанного выше общего контекста развития современной теоретической физики высоких энергий и имеющегося круга нерешенных проблем в данной диссертации были поставлены следующие конкретные цели и задачи: сформулировать ковариант-ную процедуру виковского квантования гамильтоновых систем с нелинейной геометрией фазового пространства и/или связями; обобщить схему деформационного квантования Федосова на широкий класс нерегулярных скобок Пуассона, ассоциированных с сим-плектическими алгеброидами Ли; разработать методы получения, исследования и перенормировки эффективных уравнений движения протяженных релятивистских объектов (бран) с учетом реакции излучения; построить и проквантовать релятивистские модели частиц высших спинов в пространстве-времени произвольной размерности; обобщить методы БРСТ-квантования на случай нелагранжевых и негамильтоновых калибровочных систем общего вида, а также отработать практику применения этих методов в ряде актуальных моделей теории поля; разработать теорию характеристических классов калибровочных систем как инструмента исследования глобальной геометрической структуры калибровочной динамики и квантовых аномалий.

Центральными разделами диссертации являются главы 5 и б, посвященные обобщению методов деформационного квантования и БРСТ-теории на случай невариационных калибровочных систем общего вида. Мы называем это обобщение гомологической механикой, чтобы подчеркнуть особую роль гомологических методов [41] при построении соответствующего математического формализма. Как и обычная механика, основанная на принципе наименьшего действия, механика гомологическая допускает две эквивалентные формулировки - лагранжеву и гамильтонову. Данная терминология, однако, не имеет ничего общего с возможностью задания классической динамики на основе того или иного вариационного принципа, а относится лишь к способу описания пространства состояний механической системы. Гамильтонова картина соответствует прямому описанию состояний как точек фазового пространства, а динамики - как фазового потока. При этом, вообще говоря, не предполагается, что фазовое пространство несет какую-либо пуассонову структуру, согласованную с потоком. В лагранжевой картине исходным объектом является конфигурационное пространство всевозможных траекторий системы, а физические состояния отождествляются с подпространством истинных траекторий, т. е. траекторий, удовлетворяющих классическим уравнениям движения. В отсутствие калибровочных симметрии задание классических уравнений движения и начальных данных полностью фиксирует эволюцию системы; при этом совершенно неважно, могут ли эти уравнения быть получены на основе вариационного принципа или нет. Ясно, что между обоими картинами нет принципиальной разницы - каждый поток задается системой дифференциальных уравнений первого порядка по времени, а каждая система дифференциальных уравнений может быть представлена как фазовый поток путем введения вспомогательных переменных.

Хотя дифференциальные уравнения движения являются самодостаточными для формулировки классической динамики, переход к квантовомеханическому описанию требует привлечения дополнительных структур на конфигурационном/фазовом пространстве системы в зависимости от того, какой смысл вкладывается в слово "квантование". В га-мильтоновой картине естественным подходом к квантованию является уже упомянутый выше метод деформационного квантования, суть которого состоит в построении одно-параметрической (по постоянной Планка К) ассоциативной деформации коммутативной алгебры функций на фазовом пространстве системы (так называемого *-произведения). Задание на множестве физических наблюдаемых ^-произведения, а также следовой меры позволяет сформулировать последовательное квантовомеханическое описание системы. Центральным результатом теории деформационного квантования является утверждение о том, что каждая ассоциативная деформация коммутативной алгебры функций определяется в первом порядке по % некоторой скобкой Пуассона и, наоборот, - по каждой скобке Пуассона можно построить некоторое ассоциативное *-произведение в пространстве физических наблюдаемых. Если скобка Пуассона невырождена, т. е. фазовое пространство системы является симплектическим многообразием, соответствующие классические уравнения движения являются гамильтоновыми и могут быть получены на основе вариационного принципа. Замечательно, что метод деформационного квантования сохраняет свою работоспособность и в случае, когда пуассонова структура является вырожденной х. При этом даже не требуется, чтобы фазовый поток задавался некоторым гамильтонианом - достаточно, чтобы он сохранял скобки Пуассона. Таким образом, применение метода деформационного квантования позволяет, в принципе, квантовать как вариационную, так и невариационную динамику в фазовом пространстве (по крайней мере, в отсутствие связей и калибровочных симметрий, о чем будет сказано ниже).

В лагранжевой картине в качестве физических наблюдаемых выступают функционалы траекторий системы или, более точно, их ограничения на подпространства истинных траекторий. Под квантованием при этом понимается построение квантовых средних физических величин путем их усреднения по всевозможным траекториям системы с

Для нулевой скобки Пуассона, например, ^-произведение совпадает с обычным умножением функций, а квантовые уравнения движения - с классическими. некоторой весовой функцией - амплитудой вероятности. В случае обычной лагранжевой механики в качестве последней постулируется фейнмановская амплитуда вероятности, имеющая вид экспоненты от функционала действия, деленного на —ih. Исходя из формальной эквивалентности между лагранжевой и гамильтоновой картинами естественно задаться вопросом о том, что является лагранжевым аналогом вырожденной пуассоно-вой структуры в случае, когда уравнения движения системы не допускают вариационной формулировки. Условно возникающую ситуацию можно изобразить следующей диаграммой:

Лагранжева картина Гамильтонова картина S ^ (Н,ш)

I I

V,n)

Вертикальные стрелки диаграммы символизируют переход от вариационной к невариационной динамике, S - функционал действия на пространстве траекторий, а Н - функция Гамильтона на симплектическом многообразии с симплектической 2-формой со (du> = 0). Наконец, нижний правый угол диаграммы содержит структуры, необходимые для последовательного квантовомеханического описания (невариационной) динамики в фазовом пространстве, а именно - Пуассонов бивектор П и согласованное с ним векторное поле V ([П, П] = О, [П, V] = 0). Знак вопроса в левом нижнем углу соответствует гипотетической лагранжевой структуре, отвечающей за квантование в пространстве траекторий системы. По своему смыслу лагранжева структура должна: (i) содержать исходные уравнения движения, (и) определять амплитуду вероятности на пространстве траекторий, (iii) быть лагранжевым аналогом вырожденной скобки Пуассона. Естественно также предположить, что аналогом нулевой скобки Пуассона должна быть классическая амплитуда вероятности, имеющая вид ^-функции, сосредоточенной на решениях уравнений движения.

На самом деле, верхний левый угол диаграммы не является полным. Известно, что в лагранжевой механике, как и в гамильтоновой, имеет место бинарная скобочная операция - так называемая антискобка Баталина-Вилковыского. Однако, в отличие от гамильтоно-вого случая, эта скобка является нечетной и определяется не на пространстстве состояний и даже не на пространстве всех траекторий, а на нечетном кокасательном расслоении к пространству траекторий. Именно последнее обстоятельство делает ее присутствие и полезность не столь очевидными. Тем не менее, антискобка является необходимым ингредиентом БВ-квантования и, как будет показано ниже, ее роль далеко не ограничивается проблемой ковариантного квантования теорий с сингулярными лагранжианами. Добавление антискобки в левый верхний угол диаграммы восстанавливает зеркальную симметрию между гамильтоновой и лагранжевой картинами в случае вариационной динамики и подсказывает естественную кандидатуру на роль лагранжевой структуры. А именно: будет показано, что каждая лагранжева структура задается парой объектов -классическими уравнениями движения и согласованной с ними слабой антискобкой на расширенном пространстве траекторий. Термин "слабая" означает, что скобочное тождество Якоби может размыкаться вне поверхности уравнений движения или, как говорят, выполняться в слабом смысле. Если антискобка является невырожденной, то из условий ее согласования с уравнениями движения немедленно следует, что соответствующая динамика допускает вариационную формулировку. Однако, вся конструкция остается самосогласованной и без предположения о невырожденности.

Предыдущие рассуждения относились, в основном, к случаю динамических систем без связей и/или калибровочных симметрий. В противном случае условия согласованности динамики с (анти)пуассоновой структурой допускают дальнейшее нетривиальное обобщение. Суть этого обобщения состоит в том, чтобы потребовать выполнение тождества Якоби для (анти)скобки лишь в пространстве калибровочно-инвариантных величин н только на поверхности связей. (В лагранжевом случае роль связей играют классические уравнения движения.) Систематическое развитие этой концепции естественно приводит нас к понятиям Р^- и ^-алгебр [283], являющихся сильно гомотопическими аналогами, соответственно, пуассоновых и антипуассоновых алгебр. Значок оо указывает на то, что каждая такая алгебра задается бесконечным набором гг-арных скобочных операций на расширенном фазовом/конфигурационном пространстве системы, связанных обобщенными тождествами Якоби. При этом 1-скобка несет всю информацию о связях и калибровочных генераторах системы, 2-скобка определяется слабой (анти)скобкой, 3-скобка контролирует размыкание тождества Якоби для 2-скобок и т.д.

Будет показано, что вся иерархия скобочных структур, отвечающая невариационной калибровочной динамике со связями, допускает компактное БРСТ-описание в терминах производящих мастер-уравнений. Однако соответствующий БРСТ-комплекс существенно отличается от стандартных БВ- и БВФ-комплексов как спектром духовых переменных, так и структурой соответствующих БРСТ-генераторов. Производящее мастер-уравнение для Роо-структуры вовлекает, например, бозонное мастер-действие с духовым числом 2 вместо классического БРСТ-заряда с духовым числом 1. Существенное расширение спектра духовых полей по сравнению с канонической БРСТ-теорией является отражением более богатой структуры калибровочной алгебры, имеющей место в случае невариационной динамики. Так, наличие у системы калибровочных симметрий вовсе не означает зависимости между ее уравнениями движения и наоборот, а наличие инволю-тивного набора связей на фазовом пространстве системы не порождает, вообще говоря, нетривиальных калибровочных преобразований. Таким образом, стандартные соответствия между генераторами калибровочных симметрий и тождествами Нетер в лагранжевом формализме (или связями первого рода в гамильтоновом) оказываются нарушен

11 ными для невариационных динамических систем. В соответствии с общей логикой БРСТ-теории это означает, что при построении БРСТ-влол<ения невариационной динамики в расширенное конфигурационное/фазовое пространство каждому из упомянутых выше объектов должна отвечать своя пара канонически сопряженных духов.

Замечательно, что классические БРСТ-комплексы, отвечающие невариационным динамическим системам, допускают естественную деформацию, индуцирующую квантование исходной динамики. В гамильтоновом случае существование такой деформации обеспечивается теоремой формальности Концевича, а результатом квантования является слабо ассоциативное -t-произведение на расширенном фазовом пространстве системы. Здесь "слабая ассоциативность" означает ассоциативность в БРСТ-когомологиях, в частности, в подпространстве физических величин слабо гамильгоновой системы. В лагран-жевой картине результатом квантования является квантовая амплитуда вероятности на пространстве траекторий системы. Не вдаваясь в дальнейшие подробности, отметим, что суть предлагаемого метода лагранжева квантования может быть выражена следующим тезисом.

Каждая классическая теория поля в d-мерном пространстве-времени эквивалентна некоторой лагранжевой топологической теории в (d + l)-мерном пространстве, имею-ш,ем исходное пространственно-временное многообразие в качестве своей границы; конструкция продолжения (нелагранжевой) d-мерной теории в d+1 измерение не является однозш,чпой, по контролируется выбором лагранжевой структуры.

Применение стандартной процедуры БВ-квантования к топологической теории в (d + 1)-мерном пространстве индуцирует некоторое квантование исходной нелагранжевой динамики в d измерениях.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Шарапов, Алексей Анатольевич

Основные результаты, представленные в диссертации, опубликованы в 30 работах [66], [67], [80], [87], [92], [93], [107], [108], [109], [130], [160], [161], [180], [181], [184], [222], [223], [224], [225], [226], [227], [228], [229], [273], [276], [277], [281], [310], [314], [315].

В заключение хочу выразить глубокую благодарность своему учителю и коллеге Семену Леонидовичу Ляховичу, оказавшему большое влияние на формирование моих научных интересов. Его участие и поддержка на всех этапах нашего многолетнего сотрудничества были для меня исключительно важными. Мне также приятно поблагодарить своих учеников и коллег К.М. Шехтера, В.А. Долгушева, П.О. Казинского, В.Г. Куприянова и Е.А. Мосман за плодотворное сотрудничество. В разные годы большое влияние на меня оказали научные дискуссии и совместная работа с С.М. Кузенко, А.Ю. Сегалом, А.Г. Сибиряковым и И.В. Горбуновым. Я глубоко признателен заведующему кафедрой квантовой теории поля Томского государственного университета Владиславу Гаврииловичу Багрову, чью постоянную помощь и заботу я ощущаю на себе вот уже более 15 лет. Я также благодарен всем сотрудникам кафедр квантовой теории поля и теоретической физики за создание исключительно благоприятной атмосферы для проведения данных исследований.

Считаю также необходимым отметить материальную поддержку работ, вошедших в диссертацию, со стороны INTAS, РФФИ, Министерства образования РФ, а также фонда некоммерческих программ "Династия" и Международного института теоретической физики в Москве.

Заключение

Сформулируем основные результаты, полученные в диссертации.

1. Построено виковское обобщение деформационного квантования Федосова для кэле-ровых и паракэлеровых многообразий общего вида. Установлены явные когомологические препятствия к существованию глобальной эквивалентности между ви-ковским и вейлевским квантованиями. В случае гамильтоновых систем со связями установлены эффективные критерии, которым должны удовлетворять связи второго рода, чтобы редуцированное фазовое пространство обладало кэлеровой поляризацией, согласованной с поляризацией объемлющего фазового пространства.

В контексте этой же проблематики поставлен и решен вопрос о существовании ви-ковской структуры для гамильтоновых систем на кокасательных расслоениях к ри-мановым многообразиям. Показано, что такая структура всегда может быть построена, исходя из римановой метрики на конфигурационном пространстве в классе наблюдаемых аналитичных по импульсам. Указан конкретный сценарий приложения этой конструкции к проблеме непертурбативного виковского квантования нелинейных сигма-моделей.

2. На основе развитой схемы виковского квантования построена модель бозонной струны с некоммутативной геометрией мирового листа, являющаяся полевым аналогом матричной ИККТ-модели. Показано, что наличие некоммутативности эквивалентно включению взаимодействия бозонной струны с бесконечным мультиплетом фоновых полей, подчиненных условиям И^-симметрии. Для случая некоммутативной струны в четырехмерном евклидовом пространстве найдены явные решения уравнений движения, являющиеся струнными аналогами инстантонных решений в теории Янга-Миллса.

•3. Разработан общий ковариантный метод регуляризации и перенормировки реакции излучения в линейных и нелинейных моделях теории поля с сингулярными источниками. В случае линейных моделей найдены явные выражения для членов асимптотического ряда, задающего силу самодействия источников. Доказана лагранже-вость его сингулярной части в случае регулярного вложения мировой поверхности источника в объемлющее пространство Минковского. Для нелинейных моделей разработана пертурбативная процедура вычисления членов асимптотического ряда и установлена структура ведущих расходимостей.

Введено понятие классически перенормируемой теории поля с сингулярными источниками, аналогичное понятию перенормируемости в квантовой теории поля. Доказана классическая перенормируемость линейных моделей и установлены общие критерии классической перенормируемости в терминах размерностей констант связи теории. Изучен ряд конкретных моделей минимального и неминимального взаимодействия р-бран с калибровочными полями (р+ 1)-форм, скалярным полем и полем линеаризованной гравитации и получены соотношения на параметры теории, обеспечивающие взаимное сокращение расходимостей.

На основе развитой техники регуляризации и перенормировки выведены эффективные уравнения движения для массивной заряженной частицы в пространстве-времени произвольной размерности, являющиеся многомерными обобщениями известного уравнения Лоренца-Дирака, а также получены эффективные уравнения движения для безмассовой заряженной частицы в четырехмерном пространстве Минковского.

4. В рамках общего геометрического подхода Кириллова-Костанта-Сурье предложена классическая модель массивной спиновой частицы в пространстве-времени произвольной размерности, допускающая непротиворечивое взаимодействие с произвольными электромагнитными и гравитационными полями. Проведено геометрическое квантование модели и показано, что в зависимости от выбора свободных параметров соответствующая квантовая теория описывает неприводимое унитарное представление группы Пуанкаре произвольного фиксированного спина.

5. Сформулирована процедура БРСТ-квантования квазисимплектических многообразий, ассоциированных с алгеброидами Ли. Показано, что предложенная процедура может быть также использована для квантования треугольных биалгебр Ли.

Сформулирована ВРСТ-подобная производящая процедура для иерархии дифференциально геометрических структур, обобщающих классическое уравнение Янга-Бакстера на случай n-кратно приводимых алгеброидов Ли, согласованных с невырожденной r-матрицей. В частности, установлено взаимнооднозначное соответствие между категорией симплектических 2-алгеброидов Ли и расслоениями антипуассо-новых алгебр с абелевой связностью Федосова.

6. Разработана БРСТ-теория негамильтоновых калибровочных систем со связями, являющаяся обобщением стандартной схемы БВФ-БРСТ-квантования. Под нега-мильтоновыми калибровочными теориями со связями понимаются динамические системы в фазовом пространстве, физические степени свободы которых получаются ограничением динамики на поверхность связей с последующей факторизацией но действию калибровочных преобразований; при этом не предполагается, что фазовый поток, задающий эволюцию системы и согласованный с редукцией, может быть получен на основе принципа наименьшего действия. Для такого рода систем введено понятие слабой гамильтоновой структуры и построены производящие уравнения БРСТ-алгебры. В случае, когда исходное фазовое пространство снабжено слабой пуассоновой структурой (бивекторным полем, индуцирующим скобку Пуассона в пространстве физических величин), построено деформационное квантование системы на основе теоремы формальности Концевича и дана его сигма-модельная интерпретация.

Предложено обобщение стандартной схемы БВ-квантования на случай нелагранже-вых калибровочных систем общего вида. Ключевым элементом конструкции является введенное впервые понятие лагранжевой структуры, которая может рассматриваться либо как "сильно гомотопическое" обобщение стандартной БВ-алгебры, либо как нечетный аналог слабых скобок Пуассона. Задание лагранжевой структуры позволяет сформулировать обобщенные уравнения Швингера-Дайсона на квантовую амплитуду вероятности теории и производящий функционал функций Грина.

Показано, что квантовая амплитуда вероятности на пространстве траекторий нелагранжевой системы допускает два эквивалентных представления в терминах континуального интеграла для некоторой вспомогательной теории. В основе первого подхода лежит идея конверсии исходной нелагранжевой динамики в ^-мерном пространстве-времени в эквивалентную ей лагранжеву топологическую теорию в d + 1. Применение затем стандартных процедур БРСТ-квантования к топологической сигма-модели индуцирует квантование исходной (нелагранжевой) теории. Второй подход, названный методом огментации, основан на специальном вложении исходной нелагранжевой динамики в некоторую более широкую лагранжеву теорию в том же пространстве-времени. Показано, что усреднение фейнмановской амплитуды вероятности огментированной теории по всем вспомогательным полям дает решение обобщенного уравнения Швингера-Дайсона для амплитуды вероятности исходной нелагранжевой теории.

Проведено ковариантное квантование ряда актуальных нелагранжевых моделей теории поля: максвелловской электродинамики с монополями, киральных бозонов в размерностях d = + 2, уравнений Дональдсона-Уленбек-Яу. Во всех случаях указаны явно ковариантные локальные лагранжевы структуры и определены континуальные интегралы для вычисления квантовых средних. В частности, с использованием техники огментации установлена взаимосвязь между квантовой теорией

Дональдсона-Уленбек-Яу и многомерными аналогами калиброванной G/G-модели Весса-Зумино-Виттена на кэлеровых многообразиях.

9. Исходя из геометрической трактовки классического БРСТ-дифференциала как гомологического векторного поля на (анти)симплектическом супермногообразии, разработана теория характеристических классов калибровочных систем. Характеристические классы определяются как глобальные геометрические инварианты калибровочной динамики и строятся в терминах самого гомологического векторного поля. Построены три бесконечные серии характеристических классов, вовлекающие первые и вторые ковариантные производные гомологического векторного поля, и сформулирована общая классификационная теорема. Установлена связь между простейшими характеристическими классами с духовыми числами 1 и 2 и квантовыми аномалиями в методах БВ- и БВФ-БРСТ-квантований.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Шарапов, Алексей Анатольевич, 2007 год

1. Feynman R.P. Space-time approach to nonrelativistic quantum mechanics // Rev. Mod. Phys. - 1948. - V.20. - N 2. - P.367-387.

2. Feynman R.P. Mathematical formulation of the quantum theory of electromagnetic interaction // Phys. Rev. 1950. - V.80. -N 3. - P.440-457.

3. Feynman R.P. An operator calculus having applications in quantum electrodynamics // Phys. Rev. 1951. - V.84. - N 2. - P.108-128.

4. Попов B.H. Континуальные интегралы в квантовой теории поля и статистической физике. М.: Атомиздат, 1976. - 256 с.

5. Дирак П.A.M. Принципы квантовой механики. М.: Мир, 1979. - 480 с.

6. Faddeev L., Popov V. Feynman diagrams for the Yang-Mills field // Phys. Lett. B. 1967. - V.25. - P.30-31.

7. Becchi C., Rouet A., Stora R. Renormalization of the abelian Higgs-Kibble model // Commun. Math. Phys. 1975. - V.42. - P. 127-133.

8. Becchi C., Rouet A., Stora R. Renormalization of gauge theories // Ann. Phys. -1976. -V.98. P.287-321.

9. Тютин И.В. Калибровочная инвариантность в теории поля и статистической механике. Препринт ФИАН N 39, 1975.

10. Fradkin E.S., Vilkovisky G.A. Quantization of relativistic systems with constraints // Phys. Lett. B. 1975. - V.55. - P.224-226.

11. Batalin I.A., Vilkovisky G.A. Relativistic S-matrix of dynamical systems with boson and fermion constraints // Phys. Lett. B. 1977. - V.69. - P.309-312.

12. Batalin I. A., Fradkin E.S. Operator quantization of relativistic dynamical systems subject to first class constraints // Phys. Lett. B. 1983. - V.128. - N 5. - P.303-308.

13. Batalin I. A., Fradkin E.S. A generalized canonical formalism and quantization of reducible gauge theories // Phys. Lett. B. = 1983. V.122. = P.157-164.

14. Batalin I.A., Vilkovisky G.A. Gauge algebra and quantization j j Phys. Lett. B. 1981. -V.102. - P.27-31.

15. Batalin I.A., Vilkovisky G.A. Quantization of gauge theories with linearly dependent generators // Phys. Rev. D. 1983. - V.28. - P.2567-2582.

16. Batalin I.A., Vilkovisky G.A. Existence theorem for gauge algebra // J. Math. Phys. -1985. V.26. - P. 172-184.

17. Henneaux M., Teitelboim C. Quantization of Gauge Systems. Princeton U.P., NJ, 1992. - 520 p.

18. Gitman D.M., Tyutin I.V. Quantization of Fields with Constraints. Springer-Verlag, Berlin, 1990. - 291 p.

19. Secondary Calculus and Cohomological Physics / Contemp. Math. 1998. - V.219. -219 P

20. Березин Ф.А. Квантование // Изв. АН СССР, Сер. мат. 1974. - Т.38. - N 5. - С.1116-1175.

21. Berezin F.A. General concept of quantization // Commun. Math. Phys. 1975. - V.40. -P.153-174.

22. Bayen F., Flato M., Fronsdal C., Lichnerowicz A., Sternheimer D. Deformation theory and quantization.I Deformation of symplectic structures // Ann. Phys.(N.Y.) 1978. -V.lll. - P.61-110.

23. Bayen F., Flato M., Fronsdal C., Lichnerowicz A., Sternheimer D. Deformation theory and quantization. II Physical Applications // Ann. Phys.(N.Y.) 1978. - V.110. - P.lll-151.

24. Fedosov B.V. A simple geometric construction of deformation quantization // J. DifF. Geom. 1994. - V.40. - P.213-238.

25. Fedosov B.V. Deformation quantization and Index Theory. Akademia Verlag, Berlin, 1996. - 324 p.

26. Kontsevich M. Deformation quantization of Poisson manifolds, I // Lett. Math. Phys. -2003. V.66. - P.157-216.

27. Dito G., Sternheimer D. Deformation quantization: genesis, developments and metamorphoses / Deformation quantization (G. Halbout, ed.), IRMA Lectures in Math. Theor. Phys. 1, 9-54, Walter de Gruyter, Berlin, 2002.

28. Witten E. Non-commutative geometry and string field theory // Nucl. Phys. B. 1986. -V.268. - P.253-282.

29. Connes A., Rieffel M. Yang-Mills for noncommutative two-tori / Contemp. Math. 1987.- V.62. P.237-266.

30. Seiberg N. Witten E. String Theory and Noncommutative Geometry // JHEP. 1999. -V.09. - N 032.

31. Fradkin E.S., Vasiliev M.A. Cubic Interaction in Extended Theories of Massless Higher-Spin Fields // Nucl. Phys. B. 1987. - V.291. - P.141-171.

32. Fradkin E.S., Vasiliev M.A. Superalgebra of Higher Spin and Auxiliary Fields // Int. J. Mod. Phys. A. 1988. - V.3. - P.2983-3010.

33. Vasiliev M.A. Consistent equations for interacting gauge fields of all spins in (3+1)-dimensions // Phys. Lett. B. 1990. - V.243. - P.378-382.

34. Vasiliev M.A. Higher spin gauge theories in various dimensions // Fortsch. Phys. 2004.- V.54. P.702-717.

35. Vasiliev M.A. Actions, charges and off-shell fields in the unfolded dynamics approach // Int. J. Geom. Meth. Mod. Phys. 2006. - V.3. -P.37-80.

36. Connes A. Noncommutative Geometry. Academic Press, San Diego, 1994. - 661 p.

37. Кетов С.В. Нелинейные сигма-модели в квантовой теории поля и теории струн. -Новосибирск: Наука, 1992. 240 с.

38. Grigoriev М.А., Lyakhovich S.L. Fedosov Deformation Quantization as a BRST Theory // Commun. Math. Phys. 2001. - V.218. - P.437-457.

39. Баталин И.А., Григорьев M.A., Ляхович С.JI. ^-произведение для систем со связями второго рода из БРСТ-теории // ТМФ. 2001. - Т.128. - С.1109-1139.

40. Fronsdal С. Massless fields with integer spin // Phys. Rev. D. 1978. - V.18. - P.3624.

41. Маклейн С. Гомология. H.: ИО НФМИ, 2000. - 540 с.

42. De Wilde М., Lecomte P. Existence of Star-Products and of Formal Deformations of the Poisson Lie Algebra of Arbitrary Symplectic Manifolds // Lett. Math. Phys. 1983. -V.7. - P.487-496.

43. Карасев M.B., Маслов В.П. Псевдодифференциальные операторы и канонический оператор в общих симилектических многообразиях // Изв. АН СССР. 1983.-Т.47. -N 5.- С.999-1029.

44. Карасев М.В., Маслов В.П. Нелинейные скобки Пуассона. Геометрия и квантование.-М.: Наука, 1991.-368 с.

45. Nest R., Tsygan В. Algebraic index theorem for families // Adv. Math. 1995. - V.113.- P.151-205.

46. Bertelson M., Cahen M., Gutt S. Equivalence of star products // Class. Quant. Grav.1997. V.14. - P. A93-A107.

47. Deligne P. Deformations de l'algebre des functions d'une variete symplectique: Comparaison entre Fedosov et De Wilde, Lecomte // Selecta Mathematica, New Series.- 1995. V.l. - P.667.

48. Perspectives on Quantization. Ed. L.A. Cobin, M.A. Rieffel / Contemp. Math. 214, AMS, Providence, 1996.

49. Quantization, Poisson Brackets and Beyond. Ed. Th. Voronov / Contemp. Math. 315, AMS, Providence, 2002.

50. Bordemann M., Neumaier N., Waldmann S. Homogeneous Fedosov Star Products on Cotangent Bundles I: Weyl and Standard Ordering with Differential Operator Representation // Commun. Math. Phys. 1998. - V.198. - P.363-396.

51. Bordemann M., Neumaier N., Waldmann S. Homogeneous Fedosov Star Products on Cotangent Bundles II: GNS Representations, the WKB Expansion, and Applications // J. Geom. Phys. 1999. - V.29. - P.199-234.

52. Xu P. Fedosov ^-products and quantum momentum maps // Commun. Math. Phys.1998. V.197. - P.167-197.

53. Березин Ф.А. Квантование в комплексных ограниченных областях // ДАН СССР. -1973. Т. 211. - N 6,- С.1263-1266.

54. Березин Ф.А. Квантование в комплексных симметрических пространствах // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1975. - Т.39. - N 2. - С.363-402.

55. Молчанов В.Ф. Квантование на мнимой плоскости Лобачевского // Функд. анализ и его прил. 1980. - Т. 14. - N2. - С. 73-74.

56. Cahen M., Gutt S., Rawnsley J. Quantizaton of Kahler manifolds, II j j Trans. Am. Math. Soc. 1993. - V.337. - P.73-98.

57. Bordemann M., YValdmann S. A Fedosov Star Product of Wick Type for Kahler Manifolds // Lett. Math. Phys. 1997. - V.41. - P.243-253.

58. Karabegov A.V. Deformation Quantization with Separation of Variables on a Kahler Manifold // Commun. Math. Phys. 1996. - V.180. - P.745-755.

59. Karabegov A.V. Pseudo-Kahler quantization on flag manifolds // Commun. Math. Phys. 1999. - V.200. - N2. - P.355-379.

60. Karabegov A.V. On Fedosov's approach to Deformation Quantization with Separation of Variables. Proc. of conference dedicated to Mosher Flato 1999, Math. Phys. Stud. 22, Vol. II, 167-176 (Kluwer Acad. Publ., Dordecht, 2000)

61. Karabegov A.V., Schlichenmaier M. Almost Kahler deformation quantization // Lett. Math. Phys. 2001. - V.57. - P. 135-148.

62. Moreno C. *-products on some Kahler manifolds // Lett. Math. Phys. 1986. - V.ll. -P.361-369.

63. Pflaum M.J. The Normal Symbol on the Riemannian Manifolds // New York J. Math. -1986. V.4. - P.97-125.

64. Reshetikhin N., Takhtajan L. Deformation Quantization of Kahler Manifolds // Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2. 2000. - V.201. - P.257-276.

65. Dolgushev V.A., Lyakhovich S.L., Sharapov A.A. Wick quantisation of a symplectic manifold // Nucl. Phys. (Proc. Supp.) 2001. - V.101&102. - P.144-149.

66. Dolgushev V.A., Lyakhovich S.L., Sharapov A.A. Wick-type deformation quantization of Fedosov manifolds // Nucl. Phys. B. 2001. - V.606. - P.647-672.

67. Gruceanu V., Fortunaty P., Gadea P.M. A survey on paracomplex geometry // Rocky Mountain Jornal of Mathematics. 1996. - V.26. - N 1. - P.83-113.

68. Newlander A., Nirenberg L. Complex analytic coordinates in almost complex manifolds

69. Ann. Math. 1957. - V.65. - N 3. - P.391-404.

70. Yano K. Differential Geometry on Complex and Almost Complex Spaces. New York: Peigamon Press, the MacMollan Company, 1965. - 326 p.

71. Woodhouse N.M.J. Geometric Quantization. New York: Clarendon, 1992. - 320 p.

72. Bonneau P. Fedosov star-products and 1-differentiable deformations. Preprint math/9809032.

73. Chern S.S. Complex manifolds without potential theory. Berlin: Universitext, Springer, 1979.- 270 p.

74. Kodaira K., Hirzebruch F. On the complex projective spaces // J. Math, pures et App.- 1957. V.36. - P.201-216.

75. Rothstein M. The structure of supersymplectic supermanifolds / Differential Geometric Methods in Mathematical Physics (C. Bartocci, U. Bruzzo, and R. Cianci eds.), Lecture Notes in Physics V.375 (Springer-Verlag, Berlin, 1991) P.331-335.

76. Bordemann M. On the deformation quantization of super-Poisson brackets. Preprint q-alg/9605038.

77. Batalin I.A., Fradkin E.S. Operator quantization of dynamical systems with irreducible first and second class constraints // Phys. Lett. B. 1986. - V.180. - P. 157-162.

78. Batalin I.A., Fradkin E.S. Operator quantization of dynamical systems subject to second-class constraints // Nucl. Phys. B. 1987. - V.279. - P.514-528.

79. Batalin I.A., Tyutin I.V. Existence Theorem For The Effective Gauge Algebra In The Generalized Canonical Formalism With Abelian Conversion Of Second Class Constraints // Int. J. Mod. Phys. A. 1991. - V.6. - P.3255-3282.

80. Lyakhovich S.L., Sharapov A.A. Kahler polarisation and Wick quantisation of Hamiltonian systems subject to second class constraints // Mod. Phys. Lett. A. 2002.- V.17. P.121-129.

81. Vilkovisky G.A. The unique effective action in quantum field theory // Nucl. Phys. B. -1994. V.234. - P.125-137.

82. Barvinsky A.O., Vilkovisky G.A. The generalized Schwinger-DeWitt technique in gauge theories and quantum gravity // Phys. Rept. 1985. - V.119. - P.l-74.

83. Klauder J.R. Quantization is Geometry, After All // Ann. Phys. (N.Y.) 1988. - V.188.- P.120-141.

84. Klauder J.R. Metric Quantization. Proc. of conf. "Quantum Future", Eds. P. Blanchard and A. Jadczyk (Springer-Verlag, Berlin, 1999) P. 129-138.

85. Shabanov S.V., Klauder J.R. Path Integral Quantization and Riemannian-Symplectic Manifolds // Phys. Lett. B. 1998. - V.435. - P.343-349.

86. Watson G., Klauder J. Metric and Curvature in Gravitational Phase Space // Class. Quant. Grav. 2002. - V.19. - P.3617.

87. Gorbunov I.V., Lyakhovich S.L., Sharapov A.A. Wick quantization of cotangent bundles over Riemannian manifolds // J. Geom. and Phys. 2005. - V.53. - P.98-121.

88. Banks Т., Fischler W., Shenker S., Susskind L. M Theory as a Matrix Theory: A Conjecture // Phys. Rev. D. 1997. - V.55. - P.5112-5128.

89. Taylor W. The M(atrix) model of M-theory. Preprint MIT-CTP-2894; hep-th/0002016.

90. Ishibashi N., Kawai H., Kitazawa Y. Tsuchiya A. A Large-N Reduced model as Superstring // Nucl. Phys. B. 1997. - V.498. - P.467-491.

91. Connes A., Douglas M.R., Schwarz A. Noncommutative Geometry and Matrix Theory: Compactification on Tori // JHEP. 1998. - V.9802. - N 003 (38 p.).

92. Gorbunov I.V., Sharapov A.A. String with noncommutative world-sheet and stringy instantons // Phys. Lett. B. 2002. - V.531. - P.255-262.

93. Gorbunov I.V., Sharapov A.A. Bosonic string with noncommutative geometry of worldsheet: deformation quantization approach // Gravity and Cosmology. 2003. - V.9.- N 1,2. P.30-32.

94. Кетов С.В. Введение в квантовую теорию струн и суперструн. = Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1990. 368 с.

95. Pope С. P. Lectures on W-Algebras and W-Gravity. Proc. of 1991 Summer School in High Energy Physics and Cosmology, edited by E. Gava et al., World Scientific, 1992, P.827-867.

96. Bakas I. The Large-N Limit of Extended Conformal Symmetries // Phys. Lett. B. 1989.- V.228. P.57-63.

97. Грин M., Шварц Дж., Виттен Э. Теория струн: В двух томах. -М.: Мир, 1990. -1174с.

98. Морозов А.Ю. Интегрируемость и матричные модели // УФН. 1994. - Т.37. - С.1-55.

99. Gelfand I.M., Dikii L.A. Asymptotic Behaviour of the Resolvent of Sturm-Liouville Equations and the Algebra of the Korteweg-de-Vries Equations // Russ. Math. Surv.- 1975. V.30 - P.77-113.

100. Awata H., Fukuma M., Matsua Y., Odake S., Representation Theory of The Wi+O0 Algebra // Progr. Theor. Phys. Suppl. 1995. - V.118. - P.343-374.

101. Castro С. W-Geometry from Fedosov Deformation Quantization // J. Geom. Phys. -2000. V.33. - P.173-190.

102. Cornalba L., Taylor W. Holomorphic Curves from Matrices // Nucl. Phys. B. 1998. -V.536. - P.513-552.

103. Cornalba L. Matrix Representations of Holomorphic Curves on T4 // JHEP. 2000. -V.0008. - N 047 (30 p.).

104. Cornalba L., Schiappa R. Matrix Theory Star Products from the Born-Infeld Action // Adv. Theor. Math. Phys. 2000. - V.4. - P.249-269.

105. Nekrasov N., Schwarz A.S. Instantons on noncommutative IR4, and (2,0) superconformal six dimensional theory // Commun. Math. Phys. 1998. - V.198. - P.689. - P.689-703.

106. Schwarz A. Noncommutative instantons: new approach // Commun. Math. Phys. 2001. - V.221. - P.433-450.

107. Dolgushev V.A., Isaev A.P., Lyakhovich S.L., Sharapov A.A. On the Fedosov Deformation Quantization Beyond the Regular Poisson Manifolds // Nucl. Phys. В -2002. V.645. - P.457-476.

108. Dolgushev V.A., Isaev A.P., Lyakhovich S.L., Sharapov A.A. Quantization of triangular Lie bialgebras // Chechoslovak Jornal of Physics. 2002. - V.52. - P.1195-1200.

109. Lyakhovich S.L., Sharapov A.A. BRST quantization of quasisymplectic manifolds and beyond // J. Math. Phys. 2006. - V.47. - P.043508 (26 p.).

110. Bel Baraka N., Kontsevich and Takhtajan construction of star product in the Poisson Lie group GL(2). Preprint, math-ph/0111046.

111. Olshanetsky M.A., Perelornov A.M. Classical integrable finite dimensional systems related to Lie algebras // Phys. Rep. 1981. - V.71. - N 5. - P.314-400.

112. Olshanetsky M.A., Perelornov A.M. Quantum integrable systems related to Lie algebras // Phys. Rep. 1983. - V.94. - N 6. - P.313-404.

113. Склянин E.K. О полной интегрируемости уравнений Ландау-Лифшица. Препринт ЛОМИ Е-3-79, Ленинград, 1979.

114. Семенов-Тян-Шанский М.А. Что такое классическая г-матрица? // Функц. анал. и прил. 1983. - Т. 17. - N 4. - С.17-33.

115. Babelon О., Viallet С.М. Hamiltonian Structure and Lax Equation // Phys. Lett. B. -1990. P.411-421.

116. Etingof P., Varchenko A. Solutions of the quantum dynamical Yang-Baxter equation and dynamical quantum groups // Commun. Math. Phys. 1998. - V.196. - P.591-649.

117. Avail .1., Babelon O., Talon M. Construction of the classical R-matrices for the Toda and Calogero models. Preprint hep-th/9306102.

118. Arutyunov G.E., Medvedev P.B. Geometric construction of the classical R-matrices for the elliptic and trigonometric Calogero-Moser systems. Preprint hep-th/9511070.

119. Krichever I.M. Vector Bundles and Lax Equations on Algebraic Curves // Commun. Math. Phys. 2002. - V.229. - N 2. - P.229-269.

120. Enriques В., Rubtsov V. Hitchin systems, higher Gaudin operators and r-matrices // Math. Res. Lett. 1996. - V.3. - N 3. - P.343-357.

121. Braden H.W., Dolgushev V.A., Olshanetsky M.A., Zotov A.V. Classical r-matrices and the Feigin-Odesskii algebra via Hamiltonian and Poisson reductions //J. Phys. A. 2003.- V.36. P.6979-7000.

122. Semenov-Tian-Shansky M.A., Dressing Transformation and Poisson Group Action // RIMS, Kyoto Univ. 1985. - V.21. - P. 1237-1260.

123. Bazhanov V., Lukyanov S., Zamolodchikov A. Integrable Structure of Conformal Field Theory, quantum KdV Theory and Thermodynamic Bethe Ansatz // Commun. Math. Phys. 1996. - V.177. - P.381-398.

124. Cattaneo A.S., Felder G., Tomassini L. From local to global deformation quantization of Poisson manifolds // Duke Math. J. 2002. - V.115. - N 2. - P.329-352.

125. Dolgushev V. Covariant and Equivariant Formality Theorem // Adv. Math. 2005. -V.191. - P. 147-177.

126. Cattaneo A.S., Felder G. A path integral approach to the Kontsevich quantization formula // Commun. Math. Phys. -2000. V.212. - P.591-611.

127. Ikeda N. Two-dimensional gravity and nonlinear gauge theory // Ann. Phys. 1994. -V.235. - P.435-464.

128. Schaller P., Strobl T. Poisson Structure Induced (Topological) Field Theories // Mod. Phys. Lett. A 1994. - V.9. - P.3129-3136.

129. Xu P. Triangular dynamical r-matrix and quantization // Adv. Math. 2002. - V.166.- P.l-49.

130. Шарапов А.А. Лекции по деформационному квантованию // Лекционные заметки по теоретической и математической физике / Под ред. проф. А.В. Аминовой, Т.7, -Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 2006. С. 173-268.

131. Фаддеев Л.Д., Решетихин Н.Ю., Тахтаджян Л.А. Квантование групп Ли и алгебр Ли // Алгебра и анализ. 1989. -Т.1. - N 1. - С.178-206.132| Демидов Е.Е. Квантовые группы. М.: Изд-во "Факториал", 1998. - 128 с.

132. Дринфельд В.Г. О постоянных квази-классических решениях квантового уравнения Янга-Бакстера // ДАН СССР. 1983. - Т.28. - С.531-535.

133. Kulish P.P., Lyakhovsky V.D., Stolin A. Chains of Frobenius subalgebras of so(M) and the corresponding twists // J. Math. Phys. 2001. - Y.42. - N 10. - P.5006-5019.

134. Kulish P.P., Lyakhovsky V.D., del Olmo M.A. Chains of twists for classical Lie algebras // J. Phys. A: Math. Gen. 1999. - V.32. - P.8671-8684.

135. Giaquinto A., Zhang J. Bialgebra action, twists, and universal deformation formulas // J. Pure Appl. Algebra. 1998. - V.128. - N 2. - P.133-151.

136. Vaisman I. Fedosov Quantization on Symplectic Ringed Spaces. Preprint math.SG/0106070.

137. Alekseev A., Kosmann-Schwarzbach Y. Manin pairs and moment maps. Preprint math.DG/9909176.

138. Nest R., Tsygan B. Deformations of symplectic Lie algebroids, deformations of liolomorphic symplectic structures, and index theorems // Asian J. Math. 2001. - V.5.- P.599-635.

139. Rieffel M.A. Deformation Quantization for Action of Rd / Memoirs A.M.S. V.506. -(AMS, Providence, 1993).

140. Cannas da Silva A., Weinstein A. Geometric Models for Noncommutative Algebras / Berkeley Mathematics Lecture Notes. V.10. - (AMS, Providence, RI, 1999).

141. Sussman H. Orbits of families of vector fields and integrability of distributions // Trans. Amer. Math. Soc. V.180. - P.171-188.

142. Вайнтроб А.Ю. Алгеброиды Ли и гомологические векторные поля // УМН. 1997.- Т.52. N 2. - С.161-162.

143. Severa P. Some title containing the words "homotopy" and "symplectic", e.g. this one. Preprint math.SG/0105080.

144. Voronov Th. Th. Graded manifolds and Drinfeld doubles for Lie bialgebroids // Contemp. Math. 2002. - V.315. - P.131-168.

145. Roytenberg D. On the structure of graded symplectic supermanifolds and Courant algebroids // Contemp. Math. 2002. - V.315. - P. 169-185.

146. Mackenzie K.C.H., Xu P. Lie bialgebroids and Poisson groupoids // Duke Math. J. -1994. V.73. - P.415-452.

147. Elashvili A.G. Frobenius Lie algebras // Funct. Anal. Applic. 1982. - V.16. - P.94-95.

148. Courant T. Dirac manifolds // Trans. Amer. Math. Soc. 1990. - V.319. - P.631-661.

149. Березин Ф.А. Введение в алгебру и анализ с антикоммутирующими переменными.- М.: Изд-во МГУ. 1983. - 208 с.

150. Лейтес Д.А. Теория супермногообразий. Петрозаводск: АН СССР, Карельский филиал. - 1983. - 198 с.

151. Лоренц Г.А. Теория электронов и ее применение к явлениям света и теплового излучения. М.: Гостехтеориздат, 1956. 471 с.

152. Dirac P. A.M. Classical theory of radiating electron // Proc. Roy. Soc. London A. 1938.- V.167. P.148-169.

153. DeWitt B.S., Brehme R.W. Radiation damping in a gravitational field // Ann. Phys. -1960. V.9. - P.220-259.

154. Hobbs J.M. A vierbein formalism of radiation damping // Ann. Phys. 1968. - V.47. -P.141-165.

155. Barut A.O., Unal N. Generalization of the Lorentz-Dirac equation to include spin // Phys. Rev. A. 1989. - V. 40. - P.5404-5406.

156. Rowe P.E.G., Rowe G.T. The classical equations of motion for a spinning particle with charge and magnetic moment // Phys. Rep. 1987. - V.149. - P.287-336.

157. Poisson E. The motion of point particles in curved spacetime // Living Rev. Relativity.- 2004. V.7. Preprint gr-qc/0306052.

158. Косяков Б.П. Точные решения в классической электродинамике и теории Янга-Миллса-Вонга в пространстве-времени четного числа измерений // ТМФ. 1999. -Т. 119. - С.119-135.

159. Kazinski P.O., Lyakhovich S.L., Sharapov A.A. Radiation reaction and renormalization in classical electrodynamics of a point particle in any dimension // Phys. Rev. D. 2002.- V.66. P.025017 (9 p.).

160. Kazinski P.O., Sharapov A.A. Radiation reaction for a massless charged particle // Class. Quantum Grav. 2003. - V.20. - P.2715-2725.

161. Rohrlich F. Classical theory of magnetic monopoles // Phys. Rev. 1966. - V.150. -P.1104-1111.

162. Chen P., Hartmann F.V., van Metter J.R., Kerman A.K. Radiative corrections in symmetrized classical electrodynamics // Phys. Rev. E. 2000. - V.62. - P.8640-8654.

163. Ori A., Rosenthal E. Universal self-force from an extended object approach // Phys. Rev. D. 2003. - V.68. - P.041701(4 p.).

164. Ori A., Rosenthal E. Calculation of the self-force using the extended object approach // J. Math. Phys. 2004. - V.45. - P.2347-2364.

165. Hartle A.I. Self-force on extended bodies in electrodynamics // Phys. Rev. D. 2006. -V.73. - P.065006 (24 p.).

166. Sanches J.M., Poisson E. Extended-body approach to the electromagnetic self-force in curved spacetime. Preprint gr-qc/0512111.

167. Казинский П.О. Эффективная динамика сингулярных источников в классической теории поля. Диссертация на соискание уч. степени кандидата физ.-мат. наук. Томск, 2007г.

168. Quashnok J.M., Spergel D.N. Gravitational Selfinteractions Of Cosmic Strings // Phys. Rev. D. 1990. - V.42. - P.2505-2520.

169. Dabholkar A., Quashnock J.M. Pinning Down The Axion // Nucl. Phys. B. 1990. -V.333. - P.815-841.

170. Barut A.O., Pavsic P.A. Dirac's shell model of the electron and the general theory of moving relativistic charged membranes j j Phys. Lett. B. 1994. - V.331. - P.45-49.

171. Barut A.O., Pavsic P.A. Radiation reaction and the electromagnetic energy-momentum of moving relativistic charged membranes // Phys. Lett. B. 1994. - V.331. - P.45-48.

172. Battye R.A., Shellard E.P.S. String radiative back reaction // Phys. Rev. Lett. 1995.- V.75. P.4354-4357

173. Battye R.A., Shellard E.P.S. Radiative back reaction on global strings j j Phys. Rev. D.- 1996. V.53. - P.1811-1826.

174. Buonaimo A., Damour T. Effective action and tension renormalization for cosmic and fundamental strings // Phys. Lett. B. 1998. - V.432. - P.51-57.

175. Carter B. Electromagnetic self-interaction in strings j j Phys. Lett. B. 1997. - V.404. -P.246-252.

176. Carter В., Battye R.A., Uzan. J.-P. Gradient formula for linearly selfinteracting branes // Cominun. Math. Phys. 2003. - V.235. - P.289-311.

177. Battye R.A., Carter В., Mennim A. Linearized self-forces for branes // Phys. Rev. Lett.- 2005. V.71. - P.104026 (5 p.).

178. Battye R.A., Carter В., Mennim A. Regularization of the linearized gravitational self-force for branes // Phys. Rev. Lett. 2004. - V.92. - P. 201305 (4 p.).

179. Казинский П.О., Шарапов А.А. Реакция излучения и перенормировка в теории протяженных релятивистских объектов // Новейшие проблемы теории поля / Под ред. А.В. Аминовой. Казань, 2004. - Т.4. - С. 117-140.

180. Казинский П.О., Шарапов А.А. Реакция излучения и перенормировка в классической теории поля с сингулярными источниками // ТМФ. 2005. - Т.143, N 8. -С.375-400.

181. Казинский П.О. Эффективная динамика электрически заряженной струны с током // ЖЭТФ. 2005. - Т.128. - С.312-321.183. van Holten J.W. Stability and mass of point particles // Nucl. Phys. B. 1998. - V.529.- P.525-546.

182. Kupriyanov V.G., Lyakhovich S.L., Sharapov A.A. Deformation quantization of linear dissipative systems // J. Phys. A: Math. Gen. 2005. - V.38. - P.8039-8051.

183. Gitman D.M., Kupriyanov V.G. Quantization of theories with non-Lagrangian equations of motion // Journal of Mathematical Sciences. 2007. - V. 141. - N 4. - P. 1399-1406.

184. Gitman D.M., Kupriyanov V.G. Canonical quantization of so-called non-Lagrangian theories // Eur. Phys. J. C. 2007. - V.50. - P.691-700.

185. Де Витт B.C. Динамическая теория групп и полей. М.: Наука, 1987. 288 с.

186. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964. 832 с.

187. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматлит, 1962. 1100 с.

188. Frydryszak A. Lagrangian models of particles with spin: the first seventy years. Preprint, hep-th/9601020.

189. Frenkel J.I. Die Electrodynamik des Rotierenden Elektrons// Zs. Phys. 1926. - V.37.- P.243-262.

190. Гинзбург В.Л., Тамм И.Е. К теории спина // ЖЭТФ. 1947. - Т.17. - С.227-239.

191. Duff M.J. Supermembranes. Preprint CTP-TAMU-61/96, hep-th/9611203.

192. Townsend P.K. Four lectures on M-theory. Proc. of the ICTP summer school on Higher Energy Physics and Cosmology, Trieste, Jun 1996. Preprint hep-th/9612121.

193. Papopetru A. Spinning Test Particle in General Relativity // Proc. Roy. Soc. A. 1951.- V.209. P.248-258.

194. Barut A.O. Electrodynamics and Classical Theory of Fields and Particles.- New York: MacMillan, 1964. 308 p.

195. Dixon W.G. On a Classical Theory of Charged Particles with Spin and the Classical Limit of the Dirac Equation // Nuov. Cim. 1965. - V.38, N 4. - P.1616-1632.

196. Kiinzle H.P. Canonical Dynamics of Spinning Particles in Gravitational and Electromagnetic Fields // J. Math. Phys.- 1972. V.13. - P.739-744.

197. Balachendran A.P., Marmo G., Stern A., Skagerstam B.-S. Spinning Particles in General Relativity // Phys. Lett. B. 1980. - V.89. - P.199-207.

198. Balachendran A.P., Marmo G., Stern A., Skagerstam B.-S. Gauge Symmetries and Fiber Bundles: Application to Particle Dynamics // Lecture Notes in Physics. 1983. - V.188.- P.l-140.

199. Cognola G., Soldati R. Vanzo L., Zerini S. On the Lagrangian Formulation of a Charged Spinning Particle in an External Electromagnetic Field // Phys. Lett. B. 1981. - V.104.- P.67-69.

200. Duval С., Horvathy P. Particles with internal structure: the geometry of classical motions and conservation laws// Ann. of Phys. (NY) 1982. - V.142. - P.10-39.

201. Barut A.O., Zangi N. Classical model of the Dirac electron // Phys. Rev. Lett. 1984.- V.52. P.2009-2015.

202. Plyushchay M.S. Relativistic Zitterbewegung: the model of spinning particle without Grassmann variables // Phys. Lett. B. 1990. - V.236. - P.291-297.

203. Plyushchay M.S. Relativistic Massive Particle with Higher Curvatures as a Model for Description of Bosons and Fermions // Phys. Lett. B. 1990. - V.235. - P.47-51.

204. Plyushchay M.S. Massive Particles with Rigidity as a Model for Description of Bosons and Fermions // Phys. Lett. B. 1990. - V.243. - P.383-388.

205. Kuznetsov Yu. A., Plyushchay M.S. The model of the relativistic particle with curvature and torsion // Nucl. Phys. B. 1993. - V.389. - P.181-208.

206. Plyushchay M.S. Relativistic Particle with Arbitrary Spin in Nongrassmannian Approach // Phys. Lett. B. 1990. - V.248. - P.299-304.

207. Ramos E., Roca J. W-symmetry and the rigid particle // Nucl. Phys. B. 1995. - V.436.- P.529-540.

208. Ramos E., Roca J. Extended gauge invariance in geometrical particle models and the geometry of W-symmetry // Nucl. Phys. B. 1995. - V.452. - P.705-806.

209. Ramos E., Roca J. On the W-geometrical origins of massless fields equations and gauge invariance // Nucl. Phys. B. 1996. - Y.447. - P.606-707.

210. Belyea C.,McKellar В., Warner R. A new non-Grassmannian pseudoclassical action for spin-1/2 particle //J. Phys. A: Math. Gen. 1990. - V.23. - P.509-524.

211. Marnelius R., Martenson U. Derivation of manifestly covariant quantum models for spinning relativistic particles // Nucl. Phys. B. 1991. - V.335. - P.395-425.

212. Marnelius R., Martenson U. New maniferstly covariant models for relativistic particles of arbitrary spin // Int. J. Mod. Phys. A. 1991. - V.6. - N 5. - P.807-844.

213. Hasiewicz Z., Siemion P., Defever F. A Bosonic Model for Particles with Arbitrary Spin // Int. J. Mod. Phys. A. 1992. - V.7. - P.3979-3996.

214. Zakrzewski S. Extended phase space for a spinning particle. Preprint hep-th/9412100.

215. Kuzenko S.M., Lyakhovich S.L., Segal A.Yu. Geometric model of the arbitrary spin massive particle // Int. J. Mod. Phys. A. 1995. - V.10. - P.1529-1552.

216. Kuzenko S.M., Lyakhovich S.L., Segal A.Yu. Arbitrary Superspin Massive Superparticle // Phys. Lett. B. 1995. - V.348. - P.421-427.

217. Lyakhovich S.L., Segal A.Yu., Sharapov A.A. A Universal Model of D=4 Spinning Particle // Phys. Rev. D. 1996. - V.54. - P.5223-5250.

218. Kuzenko S.M., Lyakhovich S.L., Segal A.Yu., Sharapov A.A. Massive Spinning Particle on Anti-de Sitter Space // Int. J. Mod. Phys. A. 1996. - V.ll. - P.3307-3329.

219. Segal A. Yu., Sharapov A.A. Coherent (spin-)tensor fields on D=4 anti-de Sitter space // Class. Quantum Grav. 1999. - V.16. - P.l-14.

220. Lyakhovich S.L., Sharapov A.A., Shekhter K.M. D = 6 massive spinning particle // Mod. Phys. Lett. A. 1996. - V.ll. - 3011-3020.

221. Lyakhovich S.L., Sharapov A.A., Shekhter K.M., Spinning Particle in Six Dimensions // J. Math. Phys. 1997. - V.38. - P.4086-4103.

222. Lyakhovich S.L., Sharapov A.A., Shekhter K.M., Massive spinning particle in any dimension. (I) Integer spins // Nucl. Phys. B. 1999. - V.537. - P.640-652.

223. Lyakhovich S.L., Sharapov A.A., Shekhter K.M., A uniform model of the massive spinning particle in any dimension // Int. J. Mod. Phys. A. 2000. - V.15. - P.4287-4299.

224. Шехтер K.M. Модели массивных спиновых частиц в пространстве-времени произвольной размерности. Диссертация на соискание уч. степени кандидата физ.-мат. наук. Томск, 1999 г.

225. Gorbunov I.V., Kuzenko S.M., Lyakhovich S.L. On the Minimal Model of Anyon //Int. J. Mod. Phys. A. 1997. - V.12. - P.4199-4215.

226. Gorbunov I.V., Kuzenko S.M., Lyakhovich S.L. N = 1, D = Z Superanyons, OSP(2|2) and the Deformed Heisenberg Algebra // Phys. Rev. D. 1997. - V.56. - P.3744-3755.

227. Gorbunov I.V., Lyakhovich S.L. Geometric Quantization of N = 2, D = 3 Superanyon // Phys. Lett. B. 1998. - V.423. - P.293-300.

228. Casalbuoni R. On the quantization of systems with anticommuting variables // Nuovo Cim. A. 1976. - V.33. - P.115-131.

229. Barducci A., Casalbuoni R., Lusana L. Supersymmetries and the pseudoclassical relativistic electron j I Nuovo Cim. A. 1976. - V.35. - P.377-404.

230. Brink L., Deser S., Zumino В., Di Vechia P., How P.S. Local supersymmetry for spinning particles // Phys. Lett. B. 1976. - Y.64. - P.432-442.

231. Brink L., Di Vechia P., Howe P.S. A Lagrangian formulation of the classical and quantum dynamics of spinning particles // Nucl. Phys. B. 1977. - V.118. - P.76-110.

232. Berezin F.A., Marinov M.S. Particle spin dynamics as the Grassmann variant of classical mechanics // Ann. Phys. 1977. - V.104. - P.336-387.

233. Gershun V.D., Tkach V.I. Classical and quantum dynamics of particles with arbitrary spin // JETP Lett. 1979. - V.29. - P.288-293.

234. Galvo C.A.P., Teltellboim C. Classical Supersymmetric Particles // J. Math. Phys. -1980. V.21. - P.1863-1935.

235. Barducci A., Giachetti R., Gomis J., Sorace E. Supergauge Invariant Lagrangians from Noether Identities // J. Phys. A. 1984. - V.17. - P.3277-3282.

236. Howe P., Pernati S., Pernici M., Townsend P. Wave equations for arbitrary spin from quantization of the extended supersymmetric spinning particle // Phys. Lett. B. 1988. - V.215. - P.555-562.

237. Howe P., Pernati S., Pernici M., Townsend P. A particle mechanics description of antisymmetric tensor fields // Class. Quant Grav. 1989. - V.6. - P.1125-1148.

238. Gates S.J. Jr., Rana L. A Theory of Spinning Particles for Large N-extended Supersymmetry // Phys. Lett. B. 1995. - V.352. - P.50-58.

239. Gates S.J. Jr., Rana L. A Theory of Spinning Particles for Large N-extended Supersymmetry (II) // Phys. Lett. B. 1996. - V.369. - P.262-268.

240. Casalbuoni R. Relativity and Supersymmetry // Phys. Lett. B. 1976. - V.62. - P.49-54.

241. Frydryszak A. Y-extended Free Superfields from quantization of supersymmetric particle model // Phys. Rev. D. 1984. - V.30. - P.2172-2210.

242. Frydryszak A., Lukierski J. N — 2 Massive Matter Multiplet from Quantization of Extended Classical Mechanics // Phys. Lett. B. 1982. - V.117. - P.51-62.

243. Siegel W. Hidden Local Supersymmetry in the Supersymmetric Particle Action // Phys. Lett. B. 1983. - V.128. - P.397-405.

244. Siegel W. Space-time Supersymmetric Quantum Mechanics // Class. Quant. Grav. -1985. Y.2. - P.L95-L100.

245. Siegel W. The Superparticle Revised // Phys. Lett. B. 1988. - Y.203. - P.79-91.

246. Lusanna L., Milewski B. N = 2 Super Yang-Mills and Supergravity Constraints from Coupling to a Supersymmetric Particle // Nucl. Phys. B. 1984. - V.247. - P.396-430.

247. Sokatchev E. Harmonic Superspace // Class. Quant. Grav. 1987. - V.4. - P.237-246.

248. Barut A.O., Pavsic M. Equivalence of the spinning superparticle description with Grassmann variables or with c-number spinors // Phys. Lett. B. 1989. - V.216. - P.297-312.

249. Sorokin D.P., Tkach V.I., Volkov D.I. Superparticles, Tvvistors and Siegel Symmetry // Mod. Phys. Lett. A. 1989. - V.4. -P.901-908.

250. Sorokin D.P., Tkach V.I., Volkov D.V., Zheltukhin A.A. From the superparticle Siegel Symmetry to the Spinning Particle Proper Time Supersymmetry // Phys. Lett. B. 1989.- V.216. P.302-306.

251. Evans J.M. Massive Superparticles with Siegel Symmetry and Their Covariant Canonical Quantization // Nucl. Phys. B. 1990. - V.331. - P.711-752.

252. Galperin A.S., Howe P.S., Stelle K.S. The Superparticle and the Lorentz Group // Nucl. Phys. B. 1992. - V.368. - P.248-280.

253. Bandos I.A., Nurmagambetov A., Sorokin D.P., Volkov D.V. Twistor-like superparticle revisited // Class. Quantum. Grav. 1995. - V.12. - P.1881-1892.

254. Кириллов А.А. Унитарные представления нильпотентных групп Ли // УМН. 1962.- Т. 17, Т. 4.- С.57-101.

255. Kostant В. Quantization and unitary representations // Lect. Notes in Math. 1970. -V. 170. - P. 1-48.

256. Souriau J.M. Modele de Particule a Spin dans le Champ Electromagneque et Gravitationnel // Ann. Inst. Henri Poincare. 1974. - V. 20, N 4. - P.315-364.

257. Кириллов А.А. Элементы теории представлений. M.: Наука, 1978. - 344 с.

258. Souriau J.M. Structure of Dynamical Systems. Birkhauser Verlag AG, 1991. - 444 p.

259. Гийемин В., Стернберг С. Геометрические асимптотики. М.: Мир, 1981. - 504 с.

260. Batalin I.A., Tyutin I.V. An infinite algebra of quantum Dirac brackets // Nucl. Phys. B. 1992. - V.381. - P.619-640.

261. Batalin I., Marnelius R. Generalized Poisson Sigma Models // Phys. Lett. B. 2001. -. V.512. - P.225-229.

262. Deriglazov A.A., Galajinsky A.V., Lyakhovich S.L. Weak Dirac bracket construction and the superparticle covariant quantization problem // Nucl. Phys. B. 1996. - V.473.- P.245-266.

263. Deriglazov A.A., Galajinsky A.V., Lyakhovich S.L. Consistent Dirac bracket for dynamical systems with infinitely reducible second class constraints // Phys. Lett. B.- 1996.- V.386. -P.141-145.

264. Lyakhovich S.L., Sharapov A.A. BRST theory without Hamiltonian and Lagrangian // JHEP. 2005. - V.03. - N 011 (21 p.).

265. Stasheff J. Homological reduction of constrained Poisson algebras // J. Diff. Geom. -1997. V.45. - P.221-240.

266. Cattaneo A., Felder G. Relative formality theorem and quantization of coisotropic submanifolds // Adv. Math. 2007. - V.208. - P.521-548.

267. Kazinski P.O, Lyakhovich S.L., Sharapov A.A. Lagrange Structure and Quantization // JHEP. 2005. - V. 07. - N.076 (39 p.).

268. Lyakhovich S.L., Sharapov A.A. Schwinger-Dyson equation for non-Lagrangian field theory // JHEP. 2006. - V.02. - N.007 (41 p.).

269. Susskind L. The World as a Hologram // J. Math. Phys. 1995. - V.36. - P.6377-6396.

270. Gubser S.S., Klebanov I.R., Polyakov A.M. Gauge Theory Correlators from Non-Critical String Theory // Phys. Lett. B. 1998. - V.428. - P.105-114.

271. Witten E. Anti De Sitter Space And Holography // Adv. Theor. Math. Phys. = 1998.- V.2. P.253-291.

272. Lyakhovich S.L., Sharapov A.A. Quantizing non-Lagrangian gauge theories: an augmentation method // JHEP. 2007. - V.01. - N.047 (39 p.).

273. Schwinger J. On the Green's functions of quantized fields // Proc. Nat. Acad. Sci. -1951. V.37. - P.452-455.

274. Voronov Th. Higher derived brackets and homotopy algebras //J. Pure and Appl. Alg.- 2005. V.202. - N 1-3. - P.133-153.

275. Koszul J.-L. Crochet de Schouten-Nijenhuis et cohomologie // Aste'risque, hors serie, Soc. Math. France, Paris. 1985. - P.257-271.

276. Akman F. On Some Generalizations Of Batalin-Vilkovisky Algebras //J. Pure Appl. Algebra. 1997. - V.120. - N 2. - P.105-141.

277. Alfaro J., Damgaard P.H. Nonabelian Antibrackets // Phys. Lett. B. 1996. - V.369. -P.289-294.

278. Bering K., Damgaard P.H., Alfaro J. Algebra Of Higher Antibrackets // Nucl. Phys. B.- 1996. V.478. - P.459-503.

279. Batalin I.A., Bering K., Damgaard P.H. Gauge Independence Of The Lagrangian Path Integral In A Higher Order Formalism // Phys. Lett. B. 1996. - V.389. - P.673-676.

280. Batalin I.A., Bering K., Damgaard P.H. Second Class Constraints In A Higher Order Lagrangian Formalism // Phys. Lett. B. 1997. - V.408. - P.235-240.

281. Grigoriev M.A., Damgaard P.H. Superfield BRST charge and the master action // Phys. Lett. B. 2000. - V.474. - P.323-330.

282. Barnich G., Grigoriev M., Semikhatov A., Tipunin I. Parent field theory and unfolding in BRST first-quantized terms // Commun. Math. Phys. 2005. - V.260. - P.147-181.

283. Khudaverdian H.M. Laplacians in odd symplectic geometry // Contemp. Math. 2002.- V.315. P.199-212.

284. Khudaverdian H.M., Voronov Th. Th. On odd Laplace operators // Lett. Math. Phys.- 2002. V.62. - N2. - P. 127-142.

285. Witten E. Five-brane effective action in M-theory // J. Geom. Phys. 1997. - V.22. -P.103-133.

286. Belov D.M., Moore G.W. Holographic Action for the Self-Dual Field. Preprint, hep-th/0605038.

287. Marcus N., Schwarz J.H. Field Theories That Have No Manifestly Lorentz Invariant Formulation // Phys. Lett. B. 1982. - V.115. - P.lll-114.

288. Donaldson S.K. Anti-self-dual Yang-Mills connections over complex algebraic surfaces and stable vector bunldles // Proc. London Math. Soc. 1985. V.50. - P.l-26.

289. Uhlenbeck K.K., Yau S.T. On the existence of hermitian Yang-Mills connections in stable vector bundles // Commun. Pure Appl. Math. 1986. - V.39. - P.257-293.

290. Gozzi E. Hidden BRS invariance in classical mechanics // Phys. Lett. B. 1988. - V.201. - P.525-539; Gozzi E., Reuter M., Thacker W.D. Hidden BRS Invariance in Classical Mechanics. 2 // Phys. Rev. D. - 1989. - V.40. - P.3363-3377.

291. Henneaux M. Elimination Of The Auxiliary Fields In The Antifield Formalism // Phys. Lett. B. 1990. - V.238. - P.299-304.

292. Inami Т., Kanno H., Ueno T. Higher dimensional WZW Model on Kahler Manifold and Toroidal Lie Algebra // Mod. Phys. Lett. A. 1997. - V.12. - P.2757-2764.

293. Gawedzki K., Kupiainen A. G/H conformal field theory from gauged WZW model // Phys. Lett. B. 1988. - V.215. - P.119.

294. Witten E. Non-Abelian Bosonization in Two Dimensions // Commun. Math. Phys. -1984. V.92. - P.455-472.

295. Yang C.N. Condition of Self-Duality for SU(2) Gauge Fields on Euclidean Four-Dimensional Space // Phys. Rev. Lett. 1977. - V.38. - P.1377-1379.

296. Brihaye Y., Fairlie D.B., Nuyts J., Yates R.G. Properties of the sefldual equations for an SU(n) gauge theory // J. Math. Phys. -1978. V.19. - P.2528-2532.

297. Chau L.L., Ge M.L., Wu Y.-S. Kac-Moody algebra in the self-dual Yang-Mills equation // Phys. Rev. D. 1982. - V.25. - P.1086-1094.

298. Lyakhovich S.L., Sharapov A.A. Quantization of Donaldson-Uhlenbeck-Yau Theory // Phys. Lett. B. 2007. - V.656. - P. 265-271.

299. Alexandrov M., Kontsevich M., Schwarz A., Zaboronsky 0. The Geometry of the Master Equation and Topological Quantum Field Theory // Int. J. Mod. Phys. A. 1997. - V.12.- P.1405-1430.

300. Шандер B.H. Векторные поля и дифференциальные уравнения на супермногообразиях. Диссертация на соискание степени кандидата физ.-мат. наук. Воронеж, 1988г.

301. Вайитроб А.Ю., Алгеброиды Ли и гомологические векторные поля // УМН. 1997.- Т.52. N 2. - С.161-163.

302. Lyakhovich S.L., Sharapov A.A. Characteristic classes of gauge systems // Nucl. Phys.

303. B. 2004. - V. 703. - P.419-453.

304. Ляхович С.Л., Мосман Е.А., Шарапов А.А. О характеристических классах Q-многообразий // Функц. анализ и его прил. 2008. - Т.42. - N 1. - С.82-85.

305. Воронов А.А., Манин Ю.И., Пенков И.Б. Элементы супергеометрии / Итоги науки и техн. Соврем, пробл. мат. Фундам. направл. М.: ВИНИТИ, 1988. Т.32. - С.3-25.

306. Фукс Д.Б. Стабильные когомологии алгебры Ли формальных векторных полей с тензорными коэффициентами // Функц. анализ и его прил. 1983. - Т.17. - N 4.1. C.62-69.

307. Fernandes R.L. Lie algebroids, holonomy and characteristic classes // Adv. Math. 2002.- V.170. N 1. - P.119-179.

308. Weinstein A. The modular automorphism group of a Poisson manifold // J. Geom. Phys.- 1997. V.23. - N 3-4. - P.379-394.

309. Evans S., Lu J.-H., Weinstein A. Transverse measure, the modular class and a cohomology pairing for Lie algebroids // Quart. J. Math. Oxford Ser. 2. 1999. - V.200.- P.417-436.

310. Фукс Д.В. Когомологии бесконечномерных алгебр Ли. М.: Наука, 1984. - 272 с.