О геометрии слабо косимплектических структур тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат физико-математических наук Кусова, Елена Валерьевна

• Кусова, Елена Валерьевна
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кусова, Елена Валерьевна

и С Я з

2.4 Дополнительные свойства кривизны слабо косимплсктиче-ского многообразия

2.5 Тензор Риччи и скалярная кривизна

3 Конформно-инвариантные свойства слабо косимплектических многообразий

3.1 Тензор Вейля и конформно-инвариантные классы

3.2 Слабо косимплектические многообразия с Ф-квази-инвариантным тензором Вейля

3.3 Конформно-Ф-параконтактные слабо косимплектические многообразия

3.4 Дополнительный конформный инвариант слабо косимплектических структур

4 Конформно-плоские слабо косимплектические многообразия. Интегрируемость слабо косимплектических структур

4.1 Конформно-Ф-параконтактныс слабо косимплсктическис многообразия

4.2 Интегрируемость слабо косимплектических структур

4.3 Геометрический смысл равенства нулю тензоров А^1),

дг(з) и дг(4)

/

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О геометрии слабо косимплектических структур»

Введение

Актуальность темы.

Данная работа посвящена исследованию почти контактных метрических структур. Это специальные метрические дифференциально-геометрические структуры обобщающие контактные структуры, порождаемые дифференциальными 1-формами максимального ранга.

Изучение контактных структур и их обобщения — почти контактных структур началось в 50-х годах прошлого века. В 1953 году С.Черн [7] показал, что многообразие М2п+1 с фиксированной контактной формой г) ш 1] Л (с1г])п Ф 0 в каждой точке многообразия допускает С-структуру со структурной группой и(п) х {е}.

В 1960 году С.Сасаки в работе [28] показал, что многообразие, допускающее (^-структуру со структурной группой и(п) х {с}, внутренним образом определяет тройку тензоров (Ф,£,т/), названную Дж.Греем [21] почти контактной структурой, тензоры которой обладают свойствами г/(О = 1,Ф(£) = 0, г; о Ф = 0. Ф2 = —к1 + г] <8> Более того, С. Сасаки показал, что на таком многообразии М всегда существует положительно определенная метрика д = (•,•). такая что (ФХ, ФУ) = (X. У) - 7/(Х)7/(У); X, У е Х(М) и г/(Х) = (X, £). дополняющая почти контактную структуру (Ф.£,г/) до метрической почти контактной структуры. Здесь векторное поле £ называется характеристическим вектором, Ф - эндоморфизм модуля Х(М) называемый структурным эндоморфизмом, а 1-форма г] - контактной формой структуры.

Почти контактные и почти контактные метрические многообразия исследовались не только зарубежными авторами, такими как Д.Блэр [2], С.Танно [29], И.Исихара [23]. но и отечественными, например Евтушик [40]. Кириченко[55].

Классификация почти контактных метрических структур была проведена впервые в работах Д.Чинья и Дж.Марреро [9]. Д.Чинья и

С.Гонзалсс [15]. В. Ф.Кириченко [55]. Были определены 2048 различных классов почти контактных метрических структур. На сегодняшний день изучается небольшое число этих классов, вызывающих интерес по тем или иным соображениям.

Почти контактные метрические структуры, кроме того, являются /структурами [55] и тесно связаны с почти эрмитовыми структурами [26]. Важным примером почти контактных метрических структур, в значительной мере определяющим их роль в дифференциальной геометрии, служит структура, индуцируемая на ориентированной гиперповерхности N многообразия М, снабженного почти эрмитовой структурой (,/,#). В частности, такая структура индуцируется на нечетномерной сфере 5"2"-1, рассматриваемой как гиперповерхность в овеществлении пространства С". Это один из самых интересных примеров и. более того, он является исторически важным, так как был первым конкретным примером такой структуры. Другой интересный тип примеров почти контактных (метрических) структур дают главные расслоения со структурной группой Т1 = 50(2, К) (главные Г]-расслоения) с фиксированной линейной связностью над почти комплексным (соответственно, почти эрмитовым) многообразием [55],[64].

В дальнейшем исследования почти контактных метрических многообразий были представлены многочисленными работами разными по методам и подходам. Несмотря на полную классификацию почти контактных метрических многообразий, исследованию подвергались лиить некоторые из них. Так, наиболее интересными для нас являются такие подклассы почти контактных метрических многообразий, как слабо косимплскти-ческис структуры, точнейше косимплектические структуры и другие.

Кроме изучения самих классов почти контактных метрических структур современная геометрия занимается и изучением преобразований этих структур. Так. большой интерес вызывают конформные преобразования почти контактных метрических структур. Исследованием этих преобразований занимались Д. Чиней и Дж. Маррсро [10], [11]. Под конформным преобразованием почти контактной метрической структуры (Ф,£,?7,д) они понимали преобразование вида:

ф = ф; г) = е'аг}\ £ = д = е~2{Гд,

где а - гладкая функция на многообразии.

Таким образом, приведенный обзор исследований показывает насколько эти вопросы интересны для современной геометрии.

Отправной точкой к активному развитию теории контактных структур и их естественного обобщения — почти контактных структур — послужили появившиеся в 50-х годах XX века работы С. Чжсня [8], Дж. Грея [18], [19]. [21] В. Бутби и X. Вана [1]. С тех пор уже практически полвека эта теория является предметом пристального внимания геометров. Наиболее полная картина диапазона исследований контактных и почти контактных многообразий с точки зрения дифференциально-геометрических структур представлена в работах [40]. [55], [72] и [73]. Такая заинтересованность данной темой среди современных исследований в дифференциальной геометрии обусловлена ее богатым внутренним содержанием, а также многочисленными приложениями в современной математической физике, в частности, в классической и квантовой механике. Есть еще одно важное обстоятельство изучения почти контактных метрических структур: они являются нечетномерными аналогами почти эрмитовых структур в эрмитовой геометрии, которая традиционно является предметом интенсивного изучения в дифференциальной геометрии.

Многообразие, наделенное контактной структурой, называется контактным. Изучение почти контактных структур началось в 1953 год}' с работы С. Чженя [7]. Он показал, что дифференцируемое нечетно-мерное многообразие с фиксированной контактной формой допускает в-структуру со структурной группой (9 = Щп) х {1}. Дж. Грей назвал такие многообразия почти контактными.

После того, как в 1980 году выптла работа А. Грея и Л. Хервеллы [20] о классификации почти эрмитовых структур, перед геометрами возникла естественная задача о систематизации классов почти контактных метрических структур. По этой проблеме вышло несколько работ разных авторов, но наиболее интересной оказалась совместная работа Д. Чинеи и X. Маррсро [9]. Для классификации указанных структур они изучили представление группы С = Щп) х {1} на некотором специальном пространстве тензоров с определенными свойствами симметрии. Но геометрами с течением времени выделялись новые классы почти контактных метрических структур, поэтому более прозрачным решением проблемы их систематизации стала вышедшая в 2003 году работа В.Ф. Кириченко [55]. В этой работе автор предложил "контактный"аналог классификации Грея-Хервсллы для почти контактных метрических структур и получил удобный аналитический критерий принадлежности структуры соответствующему классу В.Ф. Кириченко определил число таких классов, которое оказалось практически необозримым (211 = 2048: внутри

классов естественным образом можно определять подклассы).

Слабо косимплектические структуры впервые, по-видимому, были рассмотрены Проппе [27], а затем систематически изучались сначала Блэром [о], а затем Блэром и Шоуерсом [4], которые впервые ввели также понятие точнейше косимплектической структуры. Понятие слабо косим-плектической структуры является одним из наиболее интересных обобщений понятия косимплектической структуры и является контактным аналогом понятия приближенно келеровой структуры в эрмитовой геометрии. Многие современные геометры изучают слабо косимплектические структуры, а именно Банару М.Б. [32]. [33], [34], [35], Эндо X. [12]. [13]. [14] и др.

Объект исследования — слабо косимплектические многообразия.

Выделим цели диссертационного исследования.

1. Получить структурные уравнения спабо косимплектических многообразий, изучить строение спектра тензора Римана — Кристоф-феля в терминах структурных тензоров на пространстве присоединенной С-структуры.

2. Получить тождества в терминах структурных тензоров, которым удовлетворяет тензор Римана — Кристоффеля на их основе выделить и изучить наиболее интересные классы таких многообразий.

3. Изучить основные конформные инварианты слабо косимплектических многообразий.

4. Исследовать вопрос об интегрируемости слабо косимплектических структур.

В соответствии с целью диссертационного исследования поставлены следующие основные задачи:

1. Получить полную группу структурных уравнений слабо косимплектических структур и на их основе изучить строение компонент тензоров Римана — Кристоффеля, Риччи и скалярной кривизны.

2. Получить новые тождества в терминах структурных тензоров, которым удовлетворяет тензор Римана — Кристоффеля. На их основе выделить и изучить наиболее интересные классы слабо косимплектических многообразий

3. Получить и изучить, на основе полученных компонент тензора Ри-мана — Кристофеля, компоненты тензора Вейля. На их основе изучить конформно инвариантные свойства слабо косимплектических многообразий.

4. Получить условия интегрируемости слабо косимплектических структур.

5 Получить основные конформные инварианты слабо косимплектических структур.

Новизна результатов. Основные результаты данной диссертационной работы являются новыми. Эти результаты решают поставленные в исследовании основные задачи, а именно:

1. На пространстве присоединенной в-структуры получена полная группа структурных уравнений слабо косимплектических структур и изучено строение компонент тензоров Римана — Кристоффеля. Риччи и скалярной кривизны.

2. Рассмотрены классы кривизны СИ,ь СДг и СЛ3. Найдены условия, при выполнении коюрых изучаемые структуры будут принадлежать этим классам.

3. Найдены специальные дополнительные свойства симметрии тензора Римана — Кристоффеля

4. На основе специальных допопнительных свойств симметрии тензора Римана — Кристоффеля введены классы слабо косимплектических структур.

5. Изучен геометрический смысл обращения в нуль структурных тензоров слабо косимплектических структур.

6. Найдены необходимые и достаточные условия, при выполнении которых слабо косимплектичсская структура является интегрируемой.

7. Найдены конформно инвариантные свойства слабо косимплектических многообразий.

8 Доказано, что если при конформном преобразовании структуры слабо косимплектическая структура остается слабо косимплекти-чсской, то свойство слабо косимплектического многообразия быть точнейшс косимплектичсским является конформно инвариантным.

Методы исследования.

Результаты диссертационного исследования получены систематическим использованием современной версии метода подвижного репера, а именно метода присоединенных С-структур. Суть метода заключается в изучении дифференциально-геометрических свойств структур на естественным образом присоединенной к многообразию с изучаемой структурой главного расслоения, которое рассматривается как подрасслоение расслоения всех комплексных реперов со структурной группой С над этим многообразием. Это подрасслоение называется С-структурой. В изучении отдельных вопросов использовался метод инвариантного исчисления Кошуля и аппарат классического тензорного анализа.

Теоретическое и прикладное значение работы. Диссертационная работа носит теоретический характер. Все полученные в ней результаты могут быть использованы для дальнейшего изучения слабо косим-плектических структур, в соответствующих разделах дифференциальной геометрии и в направлении се естественных контактов с математической физикой. Так же теоретический материал, который был получен при изучении слабо косимплсктических структур, имеет прикладной характер для решения дифференциальных уравнений Монжа-Ампера [66]. [71]. Кроме того, данная работа может быть использована при чтении спец-курсов по близкой тематике, для написания дипломных и курсовых работ.

Апробация работы. Основные результаты настоящего исследования докладывались и обсуждались'

- научно-исследовательский семинар по дифференциальной геометрии математического факультета МПГУ (руководитель семинара -доктор физико-математических наук, профессор В. Ф. Кириченко):

- VII молодежная школа-конференция "Лобачевские чтения -2008"(г. Казань. 30 ноября - 3 декабря 2008 г),

- VI молодежная школа-конференция "Лобачевские чтения - 2007" (с 16 декабря по 19 декабря 2007 г);

- 40 Всероссийская молодежная школ а-конференция "Проблемы теоретической и прикладной математики"(Екатеринбург. 26 января— 30 января 2009 года);

- международная конференция "Международные Колмогоровские чтения - VII "(г. Ярославль, май 2009 г.);

- международная конференция "Геометрия в Одессе - 2008"(г. Одесса, май 2008 г.);

- конференция "Геометрия в Астрахани - 2008"(август, 2008 г.),

- научный семинар кафедры геометрии под руководством доктора физико-математических наук, профессора В.В. Шурыгина в Казанском государственном университете (Казань, октябрь 2012 г.)

- научно-практическая конференция "Женщины - математики"на математическом факультете МПГУ (Москва, март 2012 г.),

- геометрический семинар кафедры функционального анализа и геометрии Тверского Государственного Университета, руководитель семинара - доктор физико-математических наук, профессор А М. Шелехов (декабрь 2011 г.);

- международная молодежная школа-конференция "Геометрия. Инварианты. Управление "(г. Москва. 17-21 декабря 2012 г.).

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в публикациях [74] - [82].

Структура диссертации. Основное содержание диссертации изложено на 99 страницах. Диссертация состоит из введения, четырех глав, состоящих из 15 параграфов, заключения и списка литературы содержащего 73 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.

Краткое содержание основного текста диссертации

Во Введении обосновывается актуальность темы, представляется исторический обзор по развитию тематики, формулируются основные цели и задачи диссертационного исследования, излагаются основные результаты. полученные в работе Дастся реферативный обзор диссертационной работы.

В главе 1 "Структурные уравнения слабо косимплектических структур "даны предварительные сведения, носящие в основном реферативный характер.

В §1 дается определение почти контактной метрической структуры: задается пара взаимно дополнительных фундаментальных распределений £ и Ш! и пара проекторов на эти распределения, / и т соответственно; описывется построение G—структуры (со структурной группой U(n), состоящая из адаптированных почти эрмитовой структуре реперов. то есть А-реперов). Вычислены компоненты оператора структуры и метрического тензора в А-репере. Дается определение слабо косимплек-тической (nearly cosymplcctic) структуры.

Замечание 1.1.1 Для слабо косимплектической структуры верно равенство Ф\к 1} = Фгку

Выводится первая группа структурных уравнений слабо косимплектических структур.

Теорема 1.1.1 Первая группа структурных уравнений слабо косимплектических структур имесет вид:

dua = А шь + В"Ьгиъ А шс + \саЬшь А ш;

3

(1ша = иьа А шь + B(lbccoh Aw4 ~Cabujh А ш: (Lo = Cbcujb Аи)с + СЬсиь А шс.

Замечание 1.1.2 Эти системы функций определяют тензоры В и С. называемые первым и вторым структурным тензором Кириченко соответственно. Из определения слабо косимплектических структур следует, что {ВаЬс}. {ВаЬс}, {СаЬ}, {Са^} кососимметричны.

В §2 находится вторая группа структурных уравений слабо косимплектических структур и дополнительные тождества. Доказываются соответственные теоремы

Теорема 1.2.1 На пространстве присоединненой G-структуры выполняется соотношение:

Сс [ЬАа)9 = 3CdcCc[bCa\Ч

В этом параграфе дается определение тензора голоморфной секционной кривизны слабо косимплсктического многообразия.

Теорема 1.2.2 На пространстве присоединенной G-структуры слабо косимплсктического многообразия выполняются следующие тождества:

1. BabcdBdjt = 0 - первое фундаментальное тождество;

2. A^dBgh]c = 2BatcBtb[dBgh}c - второе фундаментальное тождество.

Теорема 1.2.3 Структурные уравнения слабо косимплектических структур на пространстве присоединенной G-структурс имеют вид:

duja = А шь + ВаЬси)„ Ашс+ \саЬиь А ш;

3

dcua = -шъа f\bJb + ВаЬсшс А шь + -cabu)b А и;

doj = СЬсшь A ujc + Cbcuh A шс\

dut = A ^ + [2BaUBhbd - AZ + Z-CacCdb]ud A

где {Afc} — система функций на пространстве присоединенной G-структуры, задающая на тензор, называемый структурным, тензором третьего рода или тензором голом,орфной секционной кривизны (короче, Я5-кривизны).

В §3 дается определение первой канонической связности.

Теорема 1.3.1 В первой канонической связности ковариантные производные тензорных полей Ф,Ç,rj,B,C слабо косимплсктической структуры равны нулю.

В главе 2 "Вычисление компонент классичеких тензоров на пространстве присоединенной G—структуры "находятся основные тензоры на слабо косимплектическом многообразии.

В §1 дается определение тензора кривизны римановой связности, а именно тензора Римана — Кристоффеля. На пространстве расслоения реперов найдены компоненты этого тензора. Достаточно вычислить несколько компонент, а именно:

Rabcd = —2 Ваь\Г({\ + Са^Сф + CabCcd\ R&bcd = ^Babg В qcd + CabCC(i\ B-âobi.) = ~2 CacCrb:

Ràbri = BaodBrjbc - Ali + \сАсЛ

Замечание 2.1.1 Остальные компоненты тензора Римана — Кристоффеля получаются с учетом стандартных свойств симметрии и вещественности этого тензора либо равны нулю.

s

В §2 описаны классические свойства симметрии тензора Римана — Кристоффеля, которые были даны А.Грейем для почти эрмитовой структуры. Им введена классификация на основе этих свойств. По аналогии рассмотрены их контактные аналоги для почти контактных метрических многообразий.

В §3 исследована принадлежность слабо косимплектических многообразий тому или иному классу CR\, CR2. CR3:

Теорема 2.3.1 Всякое слабо косимплектическое многообразие является многообразием класса Ci?s

Теорема 2.3.2 S — (77. Ф, д) — слабо косимплектическая структура класса CR2 тогда и только тогда, когда

С„ъ —Сф

ca[d C\d

Даетя определение косимплектической, точнейше косимплсктиче-ской. собственной слабо косимплектической структуры и собственной точнейшей косимплектической структуры.

Теорема 2.3.3 Пусть S = (ц.£.Ф,д) — слабо косимплектическая структура. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) S — структура класса CRi,

2) Многообразие М локально эквивалентно произведению келерова многообразия на вещественную прямую.

3) Многообразие М косимплектическое.

В §4 найдены дополнительные свойства симметрии тензора кривизны слабо косимплектического многообразия, которые назовем первым и вторым специальным свойством кривизны.

Теорема 2.4.2 Тензор Римана — Кристоффеля на слабо косимплек-тичсском многообразии обладает первым специальным свойством симметрии:

г/ о R(Ф2Х, Ф2у)(Ф'2г) = 77 о R(ФХ. ФУ)(Ф2г) -1] о R(Ф2Х. ФУ)(Фг)~ - yoR^X, Ф2У)(Фг):

где X,Y е Х(М).

На основе этих специальных свойств предложена классификация слабо косимплектических многообразий, обладающих тем или иным свойством, а именно У] —У3.

Bab[dc] —

Теорема 2.4.3 Всякая слабо косимплектическая структура является структурой класса У3.

Теорема 2.4.4 5 — слабо косимплектическая структура класса Уг. тогда и только тогда, когда Й — косимплектическая структура.

Теорема 2.4.5 5 — слабо косимплектическая структура класса Уь тогда и только тогда, когда многообразие М локально эквивалентно произведению приближенно келерова многообразия на вещественную прямую.

§5 посвящен нахождению тензора Риччи и скалярной кривизны слабо косимплектического многообразия. На пространстве присоединений С-структуры найдены компоненты этого тензора и вычислена скалярная кривизна.

Лемма 2.5.1 Пусть Б = (??, Ф. д) — слабо косимплектическая структура. Тогда С — СаЬС„ь — неотрицательная константа. При этом С = О тогда, когда 8 — точнейше косимплектическая структура.

Теорема 2.5.1 Если М — слабо косимплектическое многообразие Эй-штейна. то оно является точнейше косимилсктическим многообразием.

Замечание 2.5.1 Заметим, что если многообразие имеет е — 0, то оно будет скалярно-плоским [67], то есть точнейше косимплектическое многообразие Эйнштейна является скалярно-плоским.

Теорема 2.5.3 Собственное полное Эйнштейново слабо косимплектическое многообразие М с положительной космологической константой компактно и имеет конечную фундаментальную группу.

В главе 3 "Конформно-инвариантные свойства слабо косимплектиче-ских многообразий "рассмотрена классификация слабо косимплектиче-ских многообразий, обладающих конформно-инвариаитыми свойствами.

В §1 дается определение тензора Вейля, находятся его компоненты в А-рспере.

Теорема 3.1.1 Всякое слабо косимплектическое многообразие является многообразием класса Сх.

Теорема 3.1.2 Слабо косимплектическое многообразие является многообразием класса С2 тогда и только тогда, когда

ВаЬ\йс\ = у

Саь Сф

Са\(1

Предложение 3.1.1 Слабо косимплектическое многообразие явля-

стся многообразием класса Сз, если

ваЬ9вдЫ = --СаЬСы +

1

В §2 дастся определение Ф-квази-инвариантого тензора Вейля. Теорема 3.2.1 Тензор Вейля на слабо косимплектических многообразиях Ф-квази-инвариантен, то есть удовлетворяет равенству:

В §3 дается определение конформно-Ф-параконтактного слабо косим-плектического многообразия.

В §4 на слабо косимплектических структурах можно определить еще один конформно-инвариантный класс

И тем самым справедлива теорема.

Теорема 3.4.1 Слабо косимплектическое многообразие принадлежит конформно-инвариантному классу Со тогда и только тогда, когда оно точнейпте косимплектическое.

Следствие 3.4.1 Пусть М—многообразие, на котором определена слабо косимплектическая структура 5 = ('//, Ф, д). Тензор Вейля на М обладает свойством IV (X, = 0 тогда и только тогда, когда М точнейше косимплектическое многообразие.

В главе 4 "Интегрируемость слабо косимплектических структур "исследован вопрос интегрируемости.

В §1 доказано

Теорема 4.1.1 Слабо косимплектическое многообразие М класса Сз является римановым многообразием постоянной неотрицательной скалярной кривизны. При этом его скалярная кривизна равна нулю тогда и только тогда, когда М — точнейше косимплектическое многообразие.

В §2 дается определение интегрируемости тензорной структуры, тензора Нейенхейса. Исследуется вопрос разбиения компонент тензора на четыре группы в работе [3]. Вычисляются компоненты тензора на пространстве присоединенной С-структуры.

(И/ (ФХ, ФУ)ФХ, ФУ) - (И''(Ф2Х, Ф2У)Ф2Х, Ф2У) = = (\¥(Ф2Х. ФУ)ФХ2, ФУ) - (ТУ(ФХ, Ф2У)ФХ, Ф2У).

Со УУйоЬо — 0.

Теорема 4.2.1 На слабо косимплектичсском многообразии всегда выполняется соотношение:

лг(4)Р0 = о,

где X е Х(М).

Следствие 4.2.1 На слабо косимплектичсском многообразии верно:

ЪШ = 0.

В §3 исследуется геометрический смысл тензоров А'^1^ = 0, М^ = 0. ДКЗ) = о и М^ = 0.

Теорема 4.3.1 На всяком слабо косимплектичсском многообразии тензор = 0.

Теорема 4.3.2 На слабо косимплектичсском многообразии М тензор дг(з) _ дг(2) _ д ТОГда и только тогда, когда М — точнейше косимплек-тическое многообразие.

Теорема 4.3.3 На слабо косимплектичсском многообразии М тензор = 0 тогда и только тогда, когда М — косимплектическое многообразие.

Теорема 4.3.4 На слабо косимплектическом многообразии М тензор Д^1' ф 0, Аг2 = 0 тогда и только тогда, когда М — собственное точнейше косимплектическое многообразие.

Теорема 4.3.5 На слабо косимплектичсском многообразии эквивалентны следующие утверждения:

1) Слабо косимплектическая структура является собственной слабо косимплектической;

2) Тензор НехЧенхейса обладает свойством:

,/У(Ф2А:, Ф2У, Ф2z) = А(Ф2А:, ФУ, Фг) + Ат(ФХ, ФУ, Ф2г) + А(ФА, Ф2У, Ф2).

Теорема 4.3.6 На слабо косимплектическом многообразии эквивалентны еле,дующие утверждения:

1) Слабо косимплектическая структура является точнейше косимплектической;

2) Тензор Нейенхейса обладает свойством:

Аг(£. Ф2Х Ф2У) = А'"(£, ФХ, ФУ)

Теорема 4.3.7 Если класс точнейше косимплектических структур не является конформно-инвариантным, то и класс слабо косимплсктических структур не является конформно-инвариантным.

Теорема 4.3.8 Слабо косимплектическая структура интегрируема тогда и только тогда, когда она является косимплектической.

Следствие Точнейше косимплектическая структура интегрируема тогда и только тогда, когда она косимплектическая.

Автор выражает глубокую признательность доктору физико-математических наук, профессору Вадиму Федоровичу Кириченко за постановку проблемы, оказанное внимание и помощь в работе над диссертационным исследованием.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кусова, Елена Валерьевна, 2013 год

Литература

Boothby W., Wang H.C. On contact manifolds // Ann. of Math. - 1958. - 2nd Ser. - Vol. 68. - N. 3. - P. 721-734.

Blair. D.E. Two remarks on contact metric structures/ D.E. Blair // Thoku Math. J., 1977. -e 3. -P. 319-324.

Blair D.E.. Contact manifolds in Riemannian geometry, // Lect. Notes Math. 509. 1976. 1-146.

Blair D.E., Showders D.K. Almost contact manifolds with Killing structure tensors, // J.Different Geom. - 1974 - V.9.-P.577-582.

Blair D.E. Almost contact manifolds with Killing structure tensors, Pacific J. Math/ 39, №■ 2 (1971), 285-292.

Blair D.E., Showers D.K. and Yano K. Nearly Sasakian structures // Kodai Math.-Sem. Rep., Vol. 27(1976), p. 175-180.

Chern, S. Pseudo-groups continus infinis S.Cliern //Strasbourg. Colloq. Ihternat. Centre nat. rcch. scient. 52. -1953. -P. 119-136.

Chern S.S. Pseudo-groupes continus infinis [Text] / S.-S. Chern // Colloqc de Geometric Différentielle. - Strasbourg, 1953. - P. 119-136.

Chinea D., Marrero J.C. Classifications of almost contact metric structures // Rev. Roumaine Math. Pures Appl. - 1992. - V. 37. - P. 199-212.

[10] Chinea, D. Conformai changes of almost contact metric structures /D. Chinea, J. C. Morrero // Riv. mat. Univ. Parma. - 1992. -1. - P. 1931.

[11] Chinoa, D. Conformal changes of almost cosymplectic manifolds /D. Chinea. J. C. Morrero // Rend. mat. appl. -1992. -12, -e4, - P. 849867.

[12] Endo H. On the curvature tensor of nearly cosymplectic manifolds of constant CP-section curvature // An. Stin. Univ. "Al. I. Cuza". Iasi. T. LI. 62.2005. P.439-454

[13] Endo H. Remarks on nearly cosymplectic manifolds of constant <B-scction curvature with a submersion of geodesic fibres //Tensor. N.S.V.66.2005. P.26-39

[14] Fueki S., Endo H. On conformally flat nearly cosymplectic manifolds //Tensor. N.S.V.66.2005. P.305-316"

[15] Chinea. D. Classification of almost contact metric structures/D. Chinea. C. Gonzalez // Annali di Matematica pura cd applicata (IV).V. CLVI. -1990. -P. 15-36.

[16] Gray A. Nearly Kaahler manifolds 11 J. Diff. Geom. - 1970. - Vol. 4. -N-. 3. - P. 283-309.

[17] Gray A. Curvatuie identities for Hermitian and almost Hermitian manifolds. // Tohoku Math J.- 1976 - V.28.-P.601-612.

[18] Gray J. W. A theory of pseudo groups with applications to contact structuies [Text]: Thesis. // Stanford Univ. - 1957. Tech. Rep. ONR.

[19] Gray J.W. Contact structures // Abst. short com. Int. Congress Math, in Edinburgh. - Edinburgh: Univ. Edinburgh, 1958. - P. 113.

[20] Gray A., Hervella L.M. The sixteen classes of almost Hermitian manifolds and their linear invariants // Ann. Math. Pure end Appl. -1980. - Vol. 123. - N. 4. - P. 35-58.

[21] Gray J.W. Some global properties of contact structures // Ann. Math. - 1959. - Vol. 69. - N. 2. - P. 421-450.

[22] Goldberg S.,Jano K. Integrability of almost cosypletic structures // Pacif. J. Math. - 1969 - V. 31. - Ar- 2. - P. 375-382.

[23] Ichihara. I. Anti-invariant submanifolds of a Sasaki space form/ I. Ichihara // Kodai Match. J. -1979. -V. 2,- P 171-186.

[24] Kanemaki, Sh. Quasi-Sasakian manifolds/Sh. Kanemaki// Tohoku Math. J.(2). -1977. -V. 298. -P. 227-233.

[25] Kim J.S., Liu X. and Tripathi M.M. On semi-invariant submanifolds of nearly trans-Sasakian manifolds // Int. ,J. Pure and Appl. Math. Sci. Vol. 1(2004), p. 15-34

[26] Ogiue, K. On fibering of almost contact manifolds/ K. Ogiuc // Kodai Math. Semin Repts. 17.- No 1. -1965. -P. 53-62.

[27] Proppe H. Thesis, - Mc Gill University, 1969.

[28] Sasaki, S. On the integrability of almost contact structures / S. Sasaki, G.J. Hsu// Tohoku Math. J.14. -1962. -P. 167-176.

[29] Tanno, S. Quasi-Sasakian structures of rank 2p-fl/ S. Tanno// J.Differential Gcom. -1971. -V. 5. P. 317-324.

[30] Yano K. On a structure defined by a tensor field f of type (1,1) satisfying /з + / = 0, // Tensor N.S. 14 (1963), 99-109

[31] Баклаилева H.C. Некоторые вопросы конформной геометрии квази-сасакисвых многообразий // Москва, Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. 2007.

[32] Banaru М. On nearly-cosymplectic hypersurfaccs in ncarly-Kahlerian manifolds // Studia Univ."Babes-Bolyai". Math. Cluj-Napoca. V.47.e3. 2002.

[33] Банару М.Б. О типовом числе слабо косимплектических гиперповерхностей приближенно келсровых многообразий // Фундаментальная и прикладная математика. Т.8 Вып.2.2002. С.357-364.

[34] Банару М.Б. О геометрии слабо косимплектических гиперповерхностей NK-многообразий // Труды Международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В.Ефимова. Ростов-на-Дону.2002.С.18-19.

)

[•35] Banaru M. On some almost contact metric hypersurfaces of nearly Kaehlerian manifolds // Communications of the 20th Conferens on Applied and Industrial Mathematics Dedicated to Academician Mitrofan M Ciobanu. Chisinau, August 22-25, 2012. P.16-17

[36] Бессе А. Многообразия Эйнштейна. // Москва. Наука. - 1990. - Т. 1.

[37] Бессе А. Многообразия Эйнштейна. // Москва. Наука. - 1990. - Т. 2.

[38] Бишоп Р.,Криттенден Р.Дж. Геометрия многообразий // М.: "Мир 1967. - 335 с.

[39] Грицианс А. С. Дифференциальная геометрия киллинговых f-структур на многообразиях // Москва, Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. 1991.

[40] Евтушик Л.Е.[и др.] Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях /7 Итоги науки и техники. Проблемы гео-метрии. - М.: ВИНИТИ, 1979. - Т. 9. - С. 5-246.

[41] Ефимов Н.В., Розендорн Э.Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия // Москва, Наука. 1970.

[42] Зуланке Р., Вингтен П. Дифференциальная геометрия и расслоения//Мир.- М.1975

[43] Игнаточкина Л.А. Некоторые аспекты геометрии многообразий Всйсмана-Грся // Москва. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. 2001.

[44] Игнаточкина Л.А..Кириченко В.Ф. Конформно-инвариантные свойства приближенно келеровых многообразий // Матем.заметки 66, N-o (1999) - С. 653-663.

[45] Игнаточкина Л.А. Обобщение преобразований, индуцированных на ^-расслоениях конформными преобразованиями их базы // Мат. сб. 200:5, (2011) - С. 45-62.

[46] Картан Э. Риманова геометрия в ортогональном репере // М.: МГУ, 1960. - 94с

[47] Кириченко В. Ф. Аксиома Ф-голоморфных плоскостей в контактной метрической геометрии // Изв. АН СССР. Сер. Мат. - 1984. - Т. 48. -N(1 4. - С. 711-734.

[48] Кириченко В. Ф. Методы обобщенной эрмитовой геометрии в теории почти контактных многообразий // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии. - М.: ВИНИТИ. 1986. - Т. 18. - С. 25-71.

[49] Кириченко В.Ф. Конформно-плоские локально-конформно келеро-вы многообразия // Матем. заметки. - 1992. - Т. 51. - Вып. 5. - С. 57-66

[50] Кириченко В. Ф. Локально конформно-келеровы многообразия постоянной голоморфной секционной кривизны // Матем. сборник. -1991. - Т. 182, - Вып. 3. - С. 354-363.

[51] Кириченко В. Ф.,Ежова H.A. Конформные инварианты многообразий многообразий Грея-Вайсмана // УМН, 51:2(308) (1996), 163Ц164

[52] Кириченко В.Ф.,Рустанов А.Р. Дифференциальная геометрия квази-сасакисвых многообразий // Матем. сборник. - 2002. - Т. 193. -N- 8. - С. 71-100.

[53] Kirichenko V.F. Sur le geometric des variétés approximative^, cosymplectiques, //C.r. Acad. Sei. Paris. - 1982 - 295 -C.673-676.

[54] Кириченко В.Ф..Арсенъева O.E.. Введение в современную геометрию. // Тверь , ТГУ. 1997.

[55] Кириченко В.Ф. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях / В.Ф.Кириченко.// Москва. МПГУ 200-3.

[56] Кириченко В. Ф. Методы обобщенной эрмитовой геометрии в теории почти контактных многообразий // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии. - М.: ВИНИТИ, 1986. - Т. 18. - С. 25-71.

[57] Кириченко В. Ф. Дифференциальная геометрия K-пространств // М.: ВИНИТИ, 1973. - Т. 8. - С. 139-161

[58] Кириченко В. Ф. Топологические основы дифференциальной геометрии // Тверь , ТГУ. 1999.

[59] Кириченко В. Ф. /^-пространства постоянной голоморфной секционной кривизны. // Матем. заметки. - 1976. - Т. 19. - Вып. 5. - С. 805-814.

[60] Кгьриченко В.Ф., Липагина Л. В. Киллинговы /-многообразия постоянного типа // Известия РАН. Сер. матем., 63:5 (1999), 127Ц146

[61] Кириченко В.Ф., Рустанов А.Р. Дифференциальная геометрия квази-сасакиевых многообразий. // Матем. сб., 193:8 (2002), 71Ц100

[62] Кириченко В.Ф., Борисовский И. П. Интегральные многообразия контактных распределений. // Матем. сб., 189:12 (1998), 119-134

[63] Kirichenko V.F. Generalized qiiasi-Kaehlerian manifolds and axioms of CR-submanifolds in generalized Hermitian geometry, II //Geometriae Dedicata, Springer Netherlands, Vol.52 (1994), p.53-85

[64] Кобаяши LU., Номидзу К. Основания дифференциальной геометрии./ Ш.Кобаяши, К.Номидзу.// Москва, Наука. 1981. Т 1.

[65] Кобаяши Ш., Номидзу К. Основания дифференциальной геометрии./ Ш.Кобаяши, К.Номидзу.// Москва, Наука. 1981. Т 2.

[66] Kxishner A. G. Almost product structures and Monge-Ampcre équations //Lobachevskii Journal of Mathematics, Vol. 23 (2006) 151-181

[67] Новиков С.П., Тайманов И.А. Современные геометрический структуры и поля. //Москва, МЦНМО (2005)

[68] Постников М.М. Дифференциальная геометрия. //Москва, Наука (1974)

[69] Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ // Москва, Наука. 1970.

[70] Рустанов А.Р. Геометрия квазисасакисвых многообразий // Успехи мат. наук, 1994, el, 221-222

[71] Чиж О.П. Контактная геометрия гиперболических уравнений Монжа-Ампера. // Весщ Ан. Беларусь Сер.физ-мат. н.- N- 4 (1998), с.52-56

[72] Широков А.П. Структуры на дифференцируемых многообразиях // Итоги науки и техники. Серия Алгебра. Топология. Геометрия. Фундаментальные направления. Т.б. Алгебра. Топология. Геометрия. -М.: ВИНИТИ, 1969. - С. 127-188.

[73] Широков А.П. Структуры на дифференцируемых многообразиях // Итоги науки и техники. Серия Алгебра. Топология. Геометрия. Фундаментальные направления. Т.П. Алгебра. Топология. Геометрия. -М.: ВИНИТИ, 1974. - С. 153-208.

Публикации автора по теме диссертационной работы.

[74] Кусова Е.В. Тензор Вейля на слабо косимплектических структурах. // Труды 40-й Всероссийской молодежной конференции "Проблемы теоретический и прикладной математики". - Екатеринбург. - 2009. -С.- 39-42.

[75] Кусова Е.В. Классы СЯ\. СЯ2 и СЯ% слабо косимплектических многообразий. // Труды математического центра имени Н.И.Лобачевского. Материалы Шестой молодежной научной школы-конференции "Лобачевские чтения — 2007". - Казань: Издательство Казанского математического общества. - 2007. - Т. 36. - С. 1-36.

[76] Кусова Е.В. Дополнительное свойства симметрии тензора кривизны тензора Римана—Кристоффеля для слабо косимплектических структур. // Тезисы докладов международной конференции "Геометрия в 0дессе-2008". - Одесса: БлагодШний фонд наукових досл!ждень "Наука 2008. - С. 93.

[77] Кусова Е.В. Дополнительное свойство тензора Вейля на слабо косимплектическом многообразии. Конформно-инвариантное свойство слабо косимплектического многообразия. /./ "Колмогоровские чтения-2009".-Ярославль:.2009,-

[78] Кусова Е.В. Слабо косимплектические многообразия точечно постоянной голоморфной секционной кривизны // Известия Института инженерной физики. - Межрегиональное общественное учреждение "Институт инженерной физики". - 2011. - Т.1 - С.- 13-16.

[79] Кусова Е.В. Некоторые свойства тензора Нейенхейса на слабо ко-снмплектическом многообразии. // Вестник КузГТУ.- 2012. е 2. С. 88-90

[80] Кусова Е.В. Свойства симметрии тензора Римана—Кристоффеля на слабо косимплектическом многообразии. // Вестник РФФИ: Номер 2, апрель-июнь 2010г.

[81] Kirichenko V.F., Ktisova Е. On geometry of weakly cosvmplectic manifolds. //Journal of Mathematical Sciences (New York), 2011, 668 - 674

[82] Кириченко В. Ф.,Кусова Е.В. О геометрии слабо косимплектических многообразий. //Фундамент, и прикл. матем., 2010, том 16, выпуск 2, страницы 33 — 42