О классах разложимых пространств тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат физико-математических наук Филатова, Мария Александровна

• Филатова, Мария Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Филатова, Мария Александровна

Введение

Краткое содержание работы

Применяемые в работе обозначения б

Основные определения

Глава 1. Корректные пространства

1.1 Свойства корректных пространств

1.2 Наследственно корректные пространства

1.3 Секвенциально непрерывные и fc-секвенциально непрерывные отображения

Глава 2. Разложимость линделефовых пространств

2.1 Разложимость наследственно финально компактного пространства

2.2 О разложимости финально компактного пространства

2.3 О разложимости некоторых обобщений финально компактного пространства

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О классах разложимых пространств»

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Пространство называется разложимым, если оно содержит два дизъюнктных плотных подмножества, и неразложимым в противном случае. Эти и близкие к ним понятия были введены в работах Хъюитта [361 1943 г. и Катетова [12] 1947 г. Свойство разложимости тесно связано с проблемой Катетова: ''Существует ли плотное в себе пространство, на котором всякая вещественнозначная функция является непрерывной в некоторой точке?". Очевидно, что ответ на вопрос Катетова нужно искать в классе /ф неразложимых простраств.

К настоящему времени доказана разложимость многих классов пространств, а также построены примеры неразложимых пространств.

Разложимость метрических и локально компактных хаусдорфовых пространств была доказана Хьюиттом [36] в 1943 г., им же построены примеры плотных в себе неразложимых пространств (в частности, счетных неразложимых). Падмавалли (Padmavally) [38] в 1953 г. построил пример неразложимого связного хаусдорфова пространства. Андерсон Д.Р. [26] в 1965 г. показал, что для всякого бесконечного кардинала к существует пример связного неразложимого хаусдорфова пространства, дисперсионный характер которого равен к. ffti

А.Г. Елькин [7] доказал, что пространство (X. т) неразложимо, если и только если топология т содержит базис какого-нибудь ультрафильтра на множестве X. Это утверждение он обобщил в [9| следующим образом: пространство (X, т) не является (к + 1)-разложимым (где к натуральное число), если и только если топология г содержит базис какого-нибудь фильтра на множестве X, являющегося пересечением не более к ультрафильтров. В классе урысоновских пространств А.Г. Ель-киным для всех натуральных чисел к были построены примеры связиых ^-разложимых пространств, не являющихся (к + 1)-разложимыми, что усилило упомянутые выше результаты Падмавалли и Андерсона. Для построения разного рода разложимых, неразложимых и близких к ним пространств А.Г. Елькиным была развита теория /?-концов максимальных центрированных систем множеств со свойством р. А.Г. Елькин изящным методом доказал в [8] существование в любом TV пространстве без изолированных точек ультрафильтра, имеющего базу из плотных в себе подпространств.

Широкий класс максимально разложимых простраств был выделен А.Г. Елькиным в [5| и назван им 7Г-пространствами (например, такими являются пространства точечно счетного типа). В.И. Малыхиным [14| и А.Г. Елькиным построены примеры, показывающие, что 7г-пространства не исчерпывают класса всех максимально разложимых пространств. Несколько условий для максимальной разложимости пространств дано Пирсоном [40|.

В.И. Малыхиным [15] в 1975 г. была доказана разложимость произведения двух пространств при дополнительных предположениях. Им же [13] в предположении континуум гипотезы доказана максимальная разложимость произведения счетного пространства на пространство мощности не более

Пусть X = YH^al® С Л}, а топология т на произведении задастся идеалом, покрывающим множество А. Если каждое из пространств Хп максимально разложимо, то (X, т) тоже максимально разложимо. Этот результат А.Г. Елькина [6] перекрывает результаты такого сорта, полученные ранее Сидером и Пирсоном [28|, [29[.

Н.В. Величко [4] в 1976 г. доказана разложимость плотных в себе /с-пространств. Вопрос о разложимости таких пространств был сформулирован в [10]. Для доказательства разложимости таких пространств им было введено понятие корректного пространства. Е.Г. Пыткеев [19| в 1983 г. определил понятие 7г*н-пространства и доказал максимальную разложимость тг?н-пространств. В частности, поскольку класс 7г«н-пространств включает к-пространства, им была доказана максимальная разложимость ^-пространств. Позднее P.L Sharma и S.Sharma [411 в 1988 г. доказали а;-разложимость ^-пространств, но они использовали другую идею.

Экертсоном [32] в 1997 г. предложена новая техника, позволяющая получать примеры n-разложимых пространств, не являющихся (n + 1)-разложимыми. Им же [32] построен пример, в предположении существования измеримого кардинала, иьразложимого пространства, не являющегося максимально разложимым.

Интересные примеры неразложимых пространств построены в ]25|.

Примеры n-разложимых пространств произвольно большого дисперсионного характера, не являющихся (п+ 1)-разложимым, построены Ли Фенгом [33].

Другие варианты разложимости: борелевская и бэровская разложимость, а также экстраразложимость (более сильные, чем разложимость в классическом смысле) были предложены В.И. Малыхиным [17]. [34[.

Разложимость ближайших обобщений компактов тихоновских счетно компактных пространств и регулярных сг-компактных пространств несчетного дисперсионного характера доказана относительно недавно в 1996 г. В. Комфортом [31] и в 1998 г. В.И. Малыхиным соответственно. В 2001 г. Е.Г. Пыткеевым доказана со> i - р аз л ож и м ость регулярного счетно компактного пространства, дисперсионный характер которого несчетен.

В.И. Малыхиным [17] [31] была поставлена следующая проблема: "Разложимо ли регулярное финально компактное пространство несчетного дисперсионного характера?"

Поскольку еще Хьюиттом построены примеры совершенно нормальных счетных неразложимых пространств, то требование несчетности дисперсионного характера вполне естественно. В.И. Малыхиным [17| и О. Павловым [39] независимо построены примеры неразложимых хау-сдорфовых финально компактных пространств несчетного дисперсионного характера. В.И. Малыхин построил пример счетной неразложимой булевой группы в системе [ZFC + Р(с)] и доказал разложимость Линделефовой группы несчетного дисперсионного характера [16|.

В.И. Малыхин в [17] доказал разложимость регулярных А-множеств несчетного дисперсионного характера в счетно компактном Ti-npo-странстве. Поскольку Л-множество в компакте является финально компактным пространством, то этот результат дает частичное решение упомянутой выше проблемы.

В.И. Малыхиным [18) доказана максимальная разложимость финально компактной группы несчетного дисперсионного характера.

О. Павловым, при изучении разложимости пространств экстенд которых "мал" по сравнению с дисперсионным характером, в частности, доказана ы-разложимость Линделефова пространства, дисперсионный характер которого не меньше Им же в отрицании континуум гипотезы, доказана оьразложимость (максимальная разложимость) связного (наследственно) Линделефова пространства, а также сформулирована проблема о разложимости наследственно Линделефова пространства.

В 2003 г. [23] была доказана разложимость Е-Линделефовых и к-аналитических пространств несчетного дисперсионного характера.

Во введении даны основные определения, обоснование и описание рассматриваемых вопросов и обзор результатов диссертации.

В первом параграфе первой главы приводятся примеры пространств, не являющихся корректными, а также изучаются основные свойства корректных пространств, например, сохранение корректности подпространствами, поведение корректности при отображениях и произведениях и некоторые другие свойства.

Результаты этого параграфа представлены в таблице 1.

Цель второго параграфа дать описание наследственно корректных пространств. Для описания наследственно корректных пространств вводятся пространства А>Фреше-Урысона и fc-секвенциальные пространства. Эти понятия обобщают понятия секвенциальных пространств и пространств Фреше-Урысона на случай трансфинитных последовательностей. Далее доказывается, что пространства fc-Фреше-Урысона совкорректность инва- открытое подпрос транство + рианты замкнутое подпространство предел обратной последовательности обратного спектра прямая сумма 1 опера- конечное произведение ций плотных в себе пространств + бесконечное произведение всегда инва- уплотнение + рианты факторные отображения совершенные отображения отобра- открытые совершенные отображения жений совершенные в сторону прообраза

Таблица 1. Результаты первого параграфа первой главы. падают с радиальными пространствами, введенными Х.Херрлихом |2| [37], а fc-секвенциальные пространства есть в точности псевдорадиальные пространства, которые также были введены Х.Херрлихом.

Третий параграф посвящен изучению классов ^-секвенциально непрерывных отображений. Приводятся условия, эквивалентные к-секвенциальной непрерывности отображения. Во второй части параграфа рассматриваются псевдорадиальные и радиальные лидеры на топологическом пространстве и доказывается, что классы сходящихся последовательностей в пространстве и его лидере совпадают.

Результаты первой главы частично использовались для доказательства разложимости S-Линделефовых и ^-аналитических пространств.

Вторая глава диссертации посвящена решению проблемы В.И. Малы-хина.

В первом параграфе второй главы доказывается разложимость па-следственно финально компактного пространства. Для этого введено понятие ортогонально т-разбиваемого пространства и доказана следующая теорема

Теорема 2.1.1 Ортогонально т-разбиваемое пространство регулярной мощности т-разложимо.

Основным результатом этого параграфа является Теорема 2.1.2 Наследственно финально компактное пространство несчетного дисперсионного характера ш -разложимо.

О.Павлов замечает, что до сих пор не известна разложимость пространств, у которых hc(X) — и и дисперсионный характер несчетен.

Приведенная ниже теорема дает частичный ответ на этот вопрос для случая регулярных пространств.

Теорема 2.1.3 Регулярное пространство X несчетного дисперсионного характера, такое, что hc(X) = ш, является разложимым.

Во втором параграфе второй главы доказывается следующая теорема: Следствие 2.2.2 Пусть X — Линделефово пространство, всякое открытое подмножество которого не является наследственно Линделе-фовым. Тогда X — разложимо.

Из этой теоремы и теоремы 2.1.2 следует основной результат данной работы:

Теорема 2.2.3 Линделефово пространство несчетного дисперсионного характера разложимо.

В конце параграфа доказывается разложимость Линделефова пространства в точке, в которой дисперсионный характер пространства несчетен.

Наконец в третьем параграфе второй главы вводятся понятия I-пространств и ^с-пространств и доказывается разложимость таких пространств, при условии, что они регулярны и имеют несчетный дисперсионный характер.

ПРИМЕНЯЕМЫЕ В РАБОТЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

Мы будем использовать следующие стандартные обозначения:

X, (X, г) — топологическое пространство; и) — первый счетный ординал; и>1 — первый несчетный ординал; с — мощность континуума; к множество вещественных чисел;

0>+ - множество положительных рациональных чисел;

N — множество натуральных чисел;

А| мощность множества А;

А], замыкание множества А;

A]Y — замыкание множества А в подпространстве Y\

Int(A) — внутренность множества А;

В(х) — база окрестностей в точке х\

Х(х, А) - характер пространства А в точке х;

-ф(х,А) — псевдохарактер пространства А в точке х\

F) — псевдохарактер множества F в пространстве Х\

Д(Х) — дисперсионный характер пространства Х\

А(х, X) дисперсионный характер пространства X в точке х\ а}т упорядоченная последовательность длины т;

X — ф Ха прямая сумма топологических пространств Хп; аеА

X — fj Ха — произведение топологических пространств Хп\ аеА а ' сужение отображения / на подпространство А;

V fs ~~ комбинация семейства отображений {/s}ses; s eS

0N — Стоун-Чеховская компактификация пространства n; hc(X) — с пред пространства X ;

ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Под пространством всюду в этой работе будет пониматься топологическое пространство. Мы не приводим здесь стандартных определений, которые можно найти в книге [11]. Отметим лишь некоторые. Определение 1 Взаимно-однозначное отображение множества всех порядковых чисел, меньших т, в X называется (упорядоченной) последовательностью в X и обозначается {ха}т

Определение 2 Последовательность {?/а}7 является подпоследовательностью последовательности {ха}т, если для каждого ув найдется такое ха: что уо ~ ха, и множество {а : ур = ха для некоторого /3 < конфинально т.

Определение 3 Говорят, что последовательность {х„}т сходится к точке х € X, если для всякой окрестности U точки х найдется такой индекс ао, что для всех а > ао выполняется ха € U.

Определение 4 Пусть существует поледовательность {хп }т, сходящаяся к неизолированной точке х пространства X. Тогда говорят, что в точке х определен характер (порядковой) сходимости. Пусть р(х) = minjr : существует последовательность {хп}т, сходящаяся к точке х}. В изолированной точке пусть р(х) = 1.

Определение 5 (Н.В. Величко) Топологическое пространство X называйся корректным [4], если в каждой точке х € X определено число р{х).

Определение 6 (X. Херлих) Пространство X называется радиальным [37], если из х Е X, А С X и х £ [А] следует, что найдется линейно упорядоченное по отношению включения семейство £ множеств со свойствами:

1) = М;

2) Р П А ф 0, для всех Р € f;

3) для всякой окрестности U точки х в X найдется Р G такое, что хЕ Р CU.

Определение 7 (X. Херлих) Пространство X называется псевдорадиальным [2], если для любого незамкнутого в X множества А найдутся л: € [А] и £ С ЕхрХ такие, как выше.

Определение 8 Число Л(Х) = min{|(/|, где U открытое непустое подмножество X} называют дисперсионным характером пространства Х\ Д(ж, X) = min{|£/|, где U - открытое непустое подмножество X. содержащее точку а;}.

Определение 9 (Е. Хьюитт, М. Катетов) Говорят, что пространство X разложимо (г-разложимо), если X можно представить в виде дизъюнктного объединения двух (г) плотных в X множеств, и неразложимо в противном случае. Пространство X называют максимально разложимым, если оно Д(Х)-разложимо.

Определение 10 (В.И. Малыхин) Множество D С X называется сильно дискретным, если найдется дизъюнктное в X семейство Ы — {U{x) : х £ D}, где U{x) окрестность точки х.

Определение 11 (В.И. Малыхин, П.Л. Шарма, С.Л. Шарма) Точка х называется Isd-точкой, если существует сильно дискретное множество D в пространстве X, такое, что х G [D] \ D.

Определение 2.2.4 (Е.Г. Пыткеев) Пространство X называется разложимым в точке х £ X, если найдутся два дизъюнктных множества А\, А2, не содержащие точку х, для которых х £ [Ai] П [А^.