О наследуемости Холлова свойства Dπ подгруппами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Манзаева, Номина Чингизовна

• Манзаева, Номина Чингизовна
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Манзаева, Номина Чингизовна

Содержание

Введение

Глава 1. Предварительные результаты

§ 1.1. Используемые обозначения и известные леммы

§ 1.2. Известные результаты о холловых свойствах

§ 1.3. Предварительные результаты о классах ¿^тг, Утг и УУтг

Глава 2. Свойства классов ¿4, и У\?ж

§ 2.1. Критерий принадлежности классам И,- и И^

§ 2.2. О включениях Ыж 3 и Уп 2 И^

Глава 3. Знакопеременные и спорадические группы

§ 3.1. Вспомогательные результаты

§ 3.2. Основные результаты главы

Глава 4. Группы лиева типа. Случай р е 7г

§ 4.1. Известные результаты

§ 4.2. Доказательство теоремы 4.2.1

Глава 5. Группы лиева типа. Случай 2 е 7г, р ф -к

§ 5.1. Вспомогательные результаты

§ 5.2. Доказательство теоремы 5.2.1

Глава 6. Группы лиева типа. Случай 2,р $ -к

§ 6.1. Известные результаты

§ 6.2. Доказательство теоремы 6.2.1

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О наследуемости Холлова свойства Dπ подгруппами»

Введение

Общая характеристика работы

Постановка задачи и актуальность темы диссертации.

В 1872 г. норвежским математиком Л. Силовом [40] была доказана следующая теорема.

Теорема (Л. Силов). Пусть порядок конечной группы С равен ра • т, где число р простое, а т не делится на р. Тогда справедливы следующие утверждения.

{8) Группа С содержит по крайней мере одну подгруппу порядкарп (т.н. силовскую р-подгруппу).

(С) Любые две силовские р-подгруппы сопряэ/сены.

{ТУ) Всякая р-подгруппа группы С содержится в некоторой силовской р-подгруппе.

По мнению специалистов теорема Силова является краеугольным камнем теории конечных групп (см., например, [5]). В теории конечных групп получение теорем силовского типа сформировалось в большое самостоятельное направление, берущее свое начало в работах Ф. Холла и С. А. Чунихи-на [10-13,20-22]. В 1928 г. Ф. Холл предложил вместо силовских р-подгрупп рассматривать более общий объект — ^-подгруппы или, как их впоследствии стали называть, 7Г-холловы подгруппы. Напомним определение. Пусть 7г — некоторое множество простых чисел. Через -к' будем обозначать множество всех простых чисел, не лежащих в 7г, через 7г(п) — множество всех простых делителей натурального числа п, а для конечной группы С через 7г(б?) — множество 7г(|Сг|). Натуральное число го, для которого тт{п) тг, называется 7г-числом, а группа С, для которой тг(С) £ 7г, называется 7г-группой.

Подгруппа Н группы С называется тх-холловой подгруппой, если Н является 7г-группой и 7г(|С : Н|) с У. Таким образом, если 7г = {р}, то 7Г-холлова подгруппа — это в точности силовская р-подгруппа. Также Ф. Холл [20] доказал полный аналог теоремы Силова для 7г-подгруип в разрешимых конечных группах.

Теорема (Ф. Холл). Пусть конечная группа С разрешима. Тогда для любого множества к простых чисел справедливы следующие утверждения.

(£) Группа С содержит по крайней мере одну тг-холлову подгруппу.

{С) Любые две и-холловы подгруппы сопряжены.

(Т>) Всякая тт-подгруппа группы С содержится в некоторой ж-холловой подгруппе.

Для неразрешимых групп теорема Холла неверна. Существуют множество 7г простых чисел и конечная группа С, для которых утверждения (£), (С) или (Т>) теоремы Холла неверны. Так, знакопеременная группа А5 не содержит {3, 5}-холловых подгрупп. Полная линейная группа СЬз(2) обладает двумя классами сопряжённых {2, 3}-холловых подгрупп. В группе все {2, 3}-холловы подгруппы сопряжены и изоморфны группе^. При этом группа Л5 содержит подгруппу порядка 6, а в группе А4 нет подгрупп данного порядка.

В соответствии с утверждениями (£), (С) и (Т>) теоремы Силова и теоремы Холла, в 1956 г. Ф. Холл [22] ввел следующие обозначения для конечных групп. Будем говорить, что группа С? обладает свойством £-,г, если в Ст имеется 7г-холлова подгруппа. Если при этом любые две 7г-холловы подгруппы сопряжены, то будем говорить, что группа С обладает свойством Сж. Если, к тому же, любая 7г-подгруппа группы содержится в некоторой 7г-холловой подгруппе, то будем говорить, что группа С обладает свойством Т>ж. Группу со свойством £ж (С,Г, Т>ж) будем называть также £ж- (соответственно, Сж~, Т>ж~) группой. Для данного множества тг обозначим через £ж, Сж и Т>ж классы всех £ж~, Сж и Т)ж-групп соответственно. Таким образом, запись С е Т>ж означает,

что для 7г-подгрупп группы G справедлив полный аналог теоремы Силова. Во введённых обозначениях, мы получаем, что группа Л5 не принадлежит классу £{з;5}, группа СЬз(2) лежит в £{2,з}\С{2,з}, а группа принадлежит C{2,3}VP{2,3}-

В литературе изучался вопрос: всегда ли нормальная подгруппа Т>п-группы обладает свойством Т>ж. Он восходит к проблеме, впервые сформулированной X. Виландом [43] на XIII Международном математическом конгрессе в Эдинбурге в 1958 г.: верно ли, что группа G обладает свойством Т>ж тогда и только тогда, когда этим свойством обладают факторы её некоторого нормального ряда. В частности, верно ли, что свойство наследуется нормальными подгруппами. Этот частный вопрос был также отмечен в работе Ф.Гросса [29] и записан в «Коуровскую тетрадь» [14] В.Д.Мазуровым как проблема 13.33. Положительный ответ на вопрос о наследуемости свойства T>iг нормальными подгруппами был получен Е. П. Вдовиным и Д. О. Ревиным в 2006 г. в работе [38], где была доказана

Теорема (Е.П. Вдовин, Д.О. Ревин). (mod CFSG) [38, теорема 7.7] Пусть G — конечная группа, А ^ G и 7Т — некоторое множество простых чисел. Тогда G е Т>ж если и только если А е и G/A е Т>п.

Данная теорема положительно решает упомянутую выше проблему Ви-ланда и частный случай проблемы Виланда — проблему 13.33 из «Коуровской тетради». Таким образом, свойство Т>п наследуется нормальными подгруппами.

Естественно возникает вопрос, какими ещё подгруппами, кроме нормальных, наследуется свойство Этот вопрос является центральным вопросом диссертации. Для того, чтобы сформулировать результаты диссертации, следуя [2], определим следующие классы конечных групп.

Ыж — класс всех XVrpynn, в которых всякая надгруппа 7г-холловой подгруппы обладает свойством Т>п;

У,г — класс всех Дг-групп, в которых любая ¿^--подгруппа обладает свойством

Ж — класс всех конечных групп, в которых любая подгруппа обладает свойством Т>п.

Данные обозначения появились в работах [2,9] и дают удобную терминологию для изучения наследования теми или иными подгруппами холлова свойства Т>ж. Как объект исследования элементы классов и И^ имеют давнюю историю. Группы из класса УУп были впервые введены в рассмотрение X. Виландом [44]. Он предложил изучать группы, для которых верна сильная 7Г-теорема Силова: для любых двух 7г-подгрупп А и В существует Ь е (А, В) такой, что (А, В*} является 7г-группой. Легко показать (см. лемму 1.1.3), что (9 е \Утг тогда и только тогда, когда для группы (9 верна сильная 7г-теорема Силова. Изучение групп из класса также восходит к Виланду. В частности, его знаменитая теорема 1954 г. [42] утверждает, что для любой группы (2, обладающей нильпотентной 7г-холловой подгруппой, выполнено С б Т>п. Из этой теоремы следует, что для любой такой группы справедливо даже более сильное утверждение, а именно С £

Очевидно, имеет место следующая цепочка включений:

Яз^зКз Ж. (1)

Существуют множества тг простых чисел, для которых все включения в данной цепочке являются равенствами. Например, ввиду теоремы Силова это так, если 7Г = {р}. Наша цель — исследовать вопрос о строгости каждого из включений (1) для произвольного множества тт простых чисел и получить критерии принадлежности произвольной конечной группы каждому из классов 1А1г, У,г и УУБолее точно, мы изучаем следующие вопросы.

1. Пусть е {Ы7г, Кг, "Ж}. Верно ли, что группа С принадлежит классу тогда и только тогда, когда классу ЗС принадлежит каждый композиционный фактор группы С?

2. Верно ли, что для любого множества 7Г простых чисел

(а) = Ж?

(б) ¿4 = К?

(в) Эп = ¿4?

3. Какие конечные простые 1\-группы принадлежат:

(а) классу Ж?

(б) классу К?

(б) классу Ытр.

Некоторые из эти вопросов оказываются переформулировками на языке обозначений и хорошо известных проблем. Так вопрос (в) из пунк-

та 2 сформулирован в [2,4,9,14] в виде:

Проблема 1. ( [14, вопрос 17.44(6)]) Всегда ли в Т>п-группе надгруппа 7т-холловой подгруппы является Т>п-группой?

Отметим, что аналогичная проблема 17.44(а) для С^-групп положительно решена в [3,4]. Вопросы (а), (б) из пункта 3 являются эквивалентными формулировками следующей известной проблемы [2,9,14].

Проблема 2. ( [14, вопрос 17.43]) В каких конечных простыхТ)^-группах является Т>ж-группой:

(а) любая подгруппа?

(б) любая, подгруппа, обладающая тт-холловой подгруппой?

Проблема 2(а) эквивалентна проблеме X. Виланда [44, открытый вопрос 9], поставленной в 1979 г. на знаменитой конференции по конечным группам в г. Санта-Круз: в каких известных простых группах верна сильная тт-теорелш Силова?

Основные результаты диссертации.

1. Доказано (совместно с Е.П. Вдовиным и Д.О. Ревиным), что группа С принадлежит е {Ыж, УУЖ} тогда и только тогда, когда классу принадлежит каждый композиционный фактор группы С.

2. Доказано (совместно с Е.П. Вдовиным и Д.О. Ревиным), что для любого конечного множества 7Г нечётных простых чисел, содержащего не менее двух элементов, включения Ыж ¡2 Уж и Уж 3 У\}ж строгие.

3. Доказано, что в знакопеременных Х^-группах свойством Т>ж обладает любая подгруппа, а в спорадических Х^-группах — любая ¿^--подгруппа. Также получена арифметическая характеризация спорадических групп, в которых любая подгруппа является ^-группой. Тем самым для знакопеременных и спорадических групп решены проблемы 17.43(а) (проблема Виланда) и 17.43(6) из «Коуровской тетради».

4. Доказано (совместно с Е.П. Вдовиным и Д.О. Ревиным), что в ^-группах лиева типа над полем характеристики р, лежащей в тт, свойством Т>ж обладает любая подгруппа, содержащая 7г-холлову подгруппу всей группы. Тем самым для групп лиева типа над полем характеристики р е 7г доказана наследуемость свойства Т>ж надгруппами 7г-холловых подгрупп.

5. Для любого множества простых чисел тг, содержащего 2, доказана наследуемость свойства Т>1г надгруппами 7Г-холловых подгрупп. Более точно, если 2 е 7г, группа обладает свойством Т>ж и Н — 7г-холлова подгруппа группы С, то любая подгруппа М группы С, содержащая Н, является Т>п-группой. Тем самым частично решена проблема 17.44(6) из «Коуровской тетради» и в случае 2 е 7Г доказано равенство Т>ж = Ыж. Поскольку все Т>ж-группы известны [8], для этого случая получено полное арифметическое описание групп из класса 1ЛЖ.

Результаты 1, 2 и 4 получены в неразделимом соавторстве с научными руководителями Е.П. Вдовииым и Д.О. Ревиным. Результаты 3 и 5 получены автором лично.

Отметим также, что в диссертации в качестве дополнения к основным результатам приведено положительное решение проблемы 17.44(6) из «Коуров-ской тетради» в случае, когда 2 ф тт. Т. е. в диссертации доказано, что для любого множества тг простых чисел если G е и Н — 7г-холлова подгруппа группы g, то м е т>ж для любой подгруппы м группы g, содержащей Я. Тем самым проблема 17.44(6) из «Коуровской тетради» полностью решена, и для любого 7г установлено равенство Ыж = Т>п. Данный результат также получен автором лично и опубликован в [56].

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [46-56]. При этом основные результаты диссертации опубликованы в [46-48] в изданиях, входящих в перечень ВАК рецензируемых научных журналов, в которых должны быть опубликованы основные результаты диссертаций на соискание учёных степеней доктора и кандидата наук.

Новизна и научная значимость работы. Все результаты диссертации являются новыми.

Методы исследования. В работе используются теория конечных простых групп, техника линейных алгебраических групп, строение и свойства групп лиева типа, классификация холловых подгрупп в простых группах, классификация простых Х^-групп.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на 50-й и 51-й Международной научной студенческой конференции «Студент и научный прогресс» (Новосибирск 2012, 2013), Международной конференции «Мальцевские чтения» (Новосибирск 2012, 2013), Международной конференции по алгебра и комбинаторике, посвящённой 60-летию A.A. Махнёва (Екатеринбург, 2013), семинарах «Теория групп» и «Алгебра и логика» в Новосибирске.

Структура и объём диссертации. Диссертация изложена на 88 страницах, состоит из введения, б глав и списка литературы. Главы подразделяются на параграфы. В начале некоторых глав приведены вспомогательные результаты, используемые лишь в этих главах. Все утверждения (теоремы, следствия, леммы) имеют тройную нумерацию: номер главы, номер параграфа в главе и номер утверждения в параграфе. Библиография содержит 56 наименования.

Содержание диссертации

Глава 1. В данной главе даны основные необходимые определения и предварительные результаты. Приведен список используемых обозначений. Представлены известные утверждения о холловых свойствах £Ж) Сж и Т>ж. Даны предварительные сведения о классах Ыж, Иг и УУЖ.

Глава 2. Основные результаты этой главы следующие.

Теорема 2.1.1. Пусть 7г — некоторое множество простых чисел, е {¿4-, Ул-, У\?ж}. Пусть <3/ — класс конечных групп, замкнутый относительно нормальных подгрупп и гомоморфных образов. Предположим, что любая простая группа из ^ п Т>ж принадлежит &. Тогда & п Т>ж с ^Г.

Тем самым исследование классов ¿4, Уж и УУЖ полностью сведено к изучению простых Х^-групп. ^ главе 2 доказано также следующее важное утверждение, сводящее вопрос о равенстве классов Т>ж и Ыж к простым группам.

Теорема 2.1.4. Для множества п простых чисел следующие утверждения эквивалентны:

(1) V* = иж;

(2) в любой простой Т>ж-группе все максимальные подгруппы, содержащие 7Т-холлову подгруппу всей группы, обладают свойствомТ>ж.

Во втором параграфе данной главы доказана следующая

Теорема 2.2.2. Пусть 7г - некоторое конечное множество нечётных простых чисел такое, что |7г| ^ 2. Тогда имеют место следующие утверждения.

(1) ДДК Ф 0;

(2) УДУ\/, Ф 0.

С учётом теоремы 6.2.2 (см. ниже) теорема 2.2.2 даёт примеры множеств 7Г простых чисел, для которых включения Ыж 2 Уж и Уж 2 У\?ж являются строгими. Так, для 7г = {3,5} из доказательства теоремы 2.2.2 следует, что Р8Ь3(121) е ЫЖ\УЖ и РЗЬ2(16) е УДУ^.

Результаты главы опубликованы в [46,48].

Оставшиеся главы диссертации посвящены изучению простых Х^-групп и их максимальных подгрупп и имеют общей целью, прежде всего, доказательство равенства 1АЖ = Т>ж с помощью теоремы 2.1.4. Это изучение представляется также важным в свете проблемы 2 (см. выше).

Глава 3. В третьей главе рассматривается случай знакопеременных и спорадических Х^-групп. Основными результатами главы являются следующие утверждения.

Теорема 3.2.1. Знакопеременные Т>ж-группы принадлежат классу У\?ж.

Теорема 3.2.2. Пусть 7г — некоторое множество простых чисел, С — спорадическая Т>ж-группа. Тогда группа С принадлежит классу Уж. При этом группа С принадлежит классу У\?ж если и только если выполнено одно из условий:

(1) |тг о тг(С)| < 1;

(2) тг(С) £ 7г;

(3) пара (С, 7Г п 7Г(С)) представлена в таблице 2.

Таблица 2. Спорадические группы, принадлежащие классу УУ„-

С 7Г П 7г((х) С 7Г П 7г(Сг)

Мп {5,11} 5 • И О'Ы {5,11} 5 • 11

м12 {5,11} 5 • 11 {5,31} 5-31

м22 {5,11} 5 • 11 Яи {7,29} 7-29

М-а {5,11} 5 • 11 Ьу {11,67} 11 ■ 67

{11,23} 11-23 Сох {11,23} 11 • 23

м24 {5,11} 5-11 соч {11,23} 11 • 23

{11,23} 11-23 СоЛ {11,23} 11-23

•л {3,7} 3-7 -£"¿23 {11,23} 11 • 23

{3,19} 3-19 ^24 {11,23} 11 • 23

{5,11} 5 • 11 {11,23} {23,47} 11 • 23 23-47

{5,11} 5 • II3 f1 {23,47} 23-47

{5,31} 5-31 {29,59} 29-59

{7,29} 7-29

{7,43} 7-43

Таким образом, для знакопеременных и спорадических групп получено решение проблемы 17.43 из «Коуровской тетради» (проблемы 2) и проблемы Виланда.

Результаты главы опубликованы в [46,47].

Глава 4. В четвертой главе рассматривается случай Х^-групп лиева типа над полем, характеристика которого принадлежит тт. Основным результатом главы является

Теорема 4.2.1. Пусть С — простая группа лиева типа над полем характеристики р, тт — некоторое множество простых чисел, такое, что р е тт. Предположим, что С е XV Тогда группа С? принадлежит классу Ыж.

Результаты главы опубликованы в [46].

Глава 5. В пятой главе рассматривается случай Х^-групп лиева типа над нолем характеристики р в ситуации, когда 2 е тт и р ф тт. Основным результатом главы является

Теорема 5.2.1. Пусть — простая группа лиева типа над полем характеристики р, тт — некоторое множество простых чисел такое, что 2 е -к, р ф тт. Предполоэюим, что С е Т>ж и Н — тт-холлова подгруппа группы С. Тогда любая максимальная подгруппа М группы С, содержащая Н, обладает свойством Т>ж.

Важным следствием теоремы 5.2.1 является следующее утверждение.

Следствие 5.2.2. Пусть множество -к простых чисел содерэ/сит 2. Тогда Т>ж = Ыж.

Результаты главы опубликованы в [48].

Глава 6. В шестой главе завершается доказательство равенства Т>ж = Ыж. Рассматривается последний оставшийся случай: изучаются Р^-группы лиева типа над полем характеристики р в ситуации, когда 2,р ф тт. Основным результатом главы является следующая

Теорема 6.2.1. Пусть С — простая группа лиева типа над полем характеристики р, тт — некоторое множество простых чисел такое, что 2,р ф тт. Предположим, что С? е Т>ж и Н — тт-холлова подгруппа группы С. Тогда любая максимальная подгруппа М группы С, содерлсащая Н, обладает свойством Т>ж.

В качестве следствия из теоремы 2.1.4 и результатов глав 3-6 получаем следующую теорему.

Теорема 6.2.2. Пусть тт — некоторое множество простых чисел и группа С обладает свойством Т>ж. Предположим, что Н — тт-холлова подгруппа группы, С. Тогда любая подгруппа М группы С, содерэ/сащая Н, является Т>ж-группой. Другими словами Т>ж = Ыж.

Таким образом, полностью решена проблема 17.44(6) из «Коуровской тетради» (проблема 1).

Результаты главы опубликованы в [56].

Автор выражает глубокую признательность своим научным руководителям Евгению Петровичу Вдовину и Даниле Олеговичу Ревину за постановку задачи, за чуткое руководство и неоценимую поддержку в работе над диссертацией.

Глава 1. Предварительные результаты

§ 1.1. Используемые обозначения и известные леммы

Используемые обозначения являются, в основном, стандартными. N — множество всех натуральных чисел; Z — множество всех целых чисел; \М\ — мощность множества М;

7Г — некоторое подмножество множества всех простых чисел; 7Г; — дополнение к 7г в множестве всех простых чисел; p,r,t — по умолчанию, некоторые простые числа; q — некоторая степень простого числа р;

е(к, г) — для нечётного простого числа г, не делящего целое число к, наименьшее натуральное число е такое, что ке = 1 (mod г);

e(q) — число равное +1 такое, что q = e(q) (mod 4);

[ж] — целая часть числа х;

gcd(m, п) — наибольший общий делитель чисел т и п;

lcm(m, п) — наименьшее общее кратное чисел шип;

е, г], £ — числа, по умолчанию равные ±1, а также знаки этих чисел;

7г(п) — множество всех простых делителей целого числа п;

— 7г-часть натурального числа п, т.е. наибольший делитель т числа п такой, что 7г(т) с: 7г;

7г(С) — множество всех простых делителей порядка конечной группы С;

(М) — подгруппа, порождённая множеством М;

Z{G) — центр группы С;

— обобщённая подгруппа Фиттинга группы С; Аи^б?) — группа автоморфизмов группы С;

1пп(С) — группа внутренних автоморфизмов группы С;

Я < (7 — Я — подгруппа группы С;

Я ^ С — Я — нормальная подгруппа группы С;

С?/Я — факторгруппа группы С по нормальной подгруппе Я;

: 771 — индекс подгруппы 77 в группе С;

С х Я — прямое произведение групп С и 77;

С . Я — некоторое расширение группы С с помощью группы Я;

С \Н — некоторое расщепляемое расширение группы О с помощью группы 77;

СН — некоторое нерасщепляемое расширение группы С с помощью группы 77;

О I Н — подстановочное сплетение группы бт и группы подстановок Я; А ^ В — группы А и В изоморфны;

п — натуральное число п или циклическая группа порядка п (если значение символа не будет понятно из контекста, то оно будет оговорено специально);

пт — степень натурального числа п или прямое произведение циклических групп порядка п (если значение символа не будет понятно из контекста, то оно будет оговорено специально);

— некоторая группа порядка щ [п] — некоторая разрешимая группа порядка п;

Зп — симметрическая группа степени п;

Ап — знакопеременная группа степени п;

F(г — конечное поле из д элементов (если не оговорено особо, то предполагается, что характеристика этого поля равнар);

F* — мультипликативная группа поля ¥д] (Мт V — размерность векторного пространства V;

и (&\¥ — прямая сумма подпространств II и \¥ некоторого векторного пространства;

Для обозначений некоторых групп (в частности, спорадических) и некоторых теоретико-групповых конструкций используются (иногда наряду с вышеперечисленными) обозначения, принятые в Атласе конечных групп [17]. Сведения о группах лиева типа можно почерпнуть в [18,26]. Некоторые необходимые обозначения и сведения, связанные с группами лиева типа, вводятся в §§ 4.1, 5.1 и 6.1. В обозначениях групп лиева типа будем следовать [18]. Мы говорим, что группы 2Ап(д), 21)п(д), 2Е^{д) определены над ¥д2, группы определены над ¥дз, а остальные группы определены над Поле

во всех случаях называется базовым полем. Выражение «группа лиева типа над полем будет отличаться по смыслу от выражения «группа лиева типа, определённая над полем и будет означать группу лиева типа с базовым полем ¥д. Группы 2Ап(д), 2В2(22п+1), 2Оп(д), 3Л4(д), 2Я6(д), 2С2(32"+1) и 2Я4(22п+1) являются скрученными, остальные группы называются расщеплёнными группами или группами нормального типа. Группы 2В2(22тг+1) называются группами Судзуки, группы 2.Р4(22п+1) — группами Ри характеристики 2, а 2С?2(32п+1) — группами Ри характеристики 3. Группы Ап(д), Вп(д) и мы будем иногда обозначать через А^(д), D+(q) и Е$(д), а группы

2Ап(д), 2Оп{д) и 2Е6(д) — через и Е<г(д) соответственно.

Обозначения и свойства классических групп согласуются с [32] и приведены в главе 5. Отметим известные изоморфизмы, которыми мы будем в дальнейшем неоднократно пользоваться:

А^д) ^ РБЪЦдУ, Вп{д) ^ РГ*2п+1(л); Сп(д) ^ Р3р2п(д);

Шя)

Пусть к — целое число. Определим к* следующим образом:

к* =

2к, если к = 1 (mod 2), к, если к = 0 (mod 4), к/2, если к = 2 (mod 4).

Лемма 1.1.1. ( [31, леммы 2.4 и 2.5], [41]) Пусть г — нечётное простое число, к — целое число такое, что gcd(A;,r) = 1. Пусть е = е(к,г) и т — положительное целое число. Тогда имеют место равенства

т . (ке — 1 )г(т/е)г, если т делится на е,

(к — 1)г = •{

1 если т не делится на е;

(кгп - (-1)т)

{V* - (—1)е*)г(т/е*)

Г)

если т делится на е*, если т не делится на е*;

г

1

Лемма 1.1.2. [28, лемма 2.1] Пусть А — нормальная подгруппа конечной группы С, подгруппа Н такова, что справедливы включения А ^ Н ^ С и Н/А — п-подгруппа группы С/А. Тогда существует -к-подгруппа Ь группы Н такая, что Н = ЬА.

Лемма 1.1.3. В конечной группе С выполнена сильная п-теорема Силова в том и только в том случае, когда любая подгруппа группы С является Т>ж-группой, т.е. Се Цг7С.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть С — конечная группа, для которой верна сильная 7г-теорема Силова. Следует показать, что любая подгруппа К группы С, в том числе и сама С, обладает свойством Т>ж. Пусть Аи В — две максимальные 7г-подгруппы группы К. Поскольку подгруппы А и В также являются 7г-подгруппами группы С, существует Ь е (А, В) ^ К такой, что (А, В1~) является 7г-подгруппой группы К. Поскольку (А, Вг) содержит максимальные 7г-подгруппы А та В1 группы К, мы имеем В* = А. Таким образом, любые две максимальные 7Т-подгруппы группы К сопряжены и, следовательно К является Х^-группой.

Пусть теперь С — конечная Х^-группа и каждая ее подгруппа является Х)7Г-группой. Пусть А и В — две 7г-подгруппы группы С. Рассмотрим (А, В) < (3. Поскольку (А, В) является Х^-группой, существует такая максимальная 7г-подгруппа Н группы (А, В) и такой элемент х е (А, В), что А ^ Н и Вх ^ Я. Следовательно, для ж е (Л, Б) группа (А, ^ Н является 7г-подгруппой группы С. □

Лемма 1.1.4. [23, теорема 8.27] Любая подгруппа группы ле-

жит в следующем списке:

(1) элементарная абелева р-группа;

(2) циклическая группа порядка z, где z | Ц^гЧ причём k = (pf — 1, 2);

(3) группа диэдра порядка 2z, где z из (2);

(4) А4 (такая подгруппа существует при р > 2 или р = 2 и f = 0 (mod 2) J;

(5) S4 (такая подгруппа существует прир2? — 1 = 0 (mod 16) j;

(6) А5 (такая, подгруппа существует прир — 5 или р2^ — 1 = 0 (mod 5));

(7) полупрямое произведение элементарной абелевой группы порядка рт и циклической группы порядка t, при этом t | рт — 1 и t | р^ — 1;

(8) группа PSL2{рт), если т\ f, и группа PGL(2,рш), если 2га | /.

§ 1.2. Известные результаты о холловых свойствах

Лемма 1.2.1. Пусть G — конечная группа и А — её нормальная подгруппа. Тогда имеют место следующие утверждения.

(1) Если группа G обладает свойством £п и Н — её тт-холлова подгруппа, то Нг)А и НА/А — тт-холловы подгруппы, групп А и G/A соответственно. В частности, нормальная подгруппа и гомоморфный образ 8^-группы обладают свойством (см. [22, лемма 1])

(2) Если группа А обладает свойством Сп и факторгруппа G/A обладает свойством £п, то группа G обладает свойством (см. [13, теорема 9]j

Пусть 7t(G) = {pi,..., рп} для некоторой конечной группы G. Положим

Pi — силовская р-группа для любого i = 1,..., п. Говорят, что группа G

обладает силовской башней типа1 (р\,... ,рп), если С обладает нормальным рядом

С = С0 > Сп > • ■ • > = 1

таким, что ^ -Р} для любого г = 1,... , п.

Лемма 1.2.2. [22, теорема А1] В конечной группе любые две тт-холловы подгруппы, обладающие силовской башней одного гпипа, сопряжены.

Лемма 1.2.3. ( [30, теорема А], [31, теорема 2.3], [2, теорема 5.4]) Если ж — некоторое мноэ/сество простых чисел и 2 ф тг, то 8Ж = Сж. В частности, конечная группа С обладает свойством 8Ж тогда и только тогда, когда каждый композиционный фактор группы С обладает свойством 8Ж.

Лемма 1.2.4. [2, предложение 4.8] Пусть Б — нормальная 8ж-подгруппа конечной группы (7 такая, что О/5 является тт-группой. Предположим, что М — ж-холлова подгруппа группы Б. Тогда эквивалентны следующие утверэ/сдения:

(1) существует и-холлова подгруппа Н группы С, для которой Н п5 = М;

(2) класс М5 является С-инвариантным, т.е. {М9 \ д е С} = {М5 | 5 е Б}.

Лемма 1.2.5. (X. Виланд [42], [2, теорема 6.2]) Пусть 7г — некоторое множество простых чисел и С — конечная группа. Тогда если группа С обладает нильпотентной 7т-холловой подгруппой, то С е Т>ж.

Лемма 1.2.6. (тос1 СГБС) [38, теорема 7.7] Пусть С — конечная группа, А ^ С и 7г — некоторое мноэ/сество простых чисел. Тогда (7 е Т)ж если и только если А е Т>ж и С/А е Т>ж.

Лемма 1.2.7. (тос! СРБО) [38, теорема 7.7] Пусть С — конечная группа

1 Круглые скобки в записи (р1,-..,рп) используются для обозначения упорядоченного набора в отличие от фигурных скобок. Скажем, симметрическая группа 5з обладает силовской башней типа (2,3), в то время как знакопеременная группа А4 — типа (3,2).

и тт — некоторое множество простых чисел. Тогда С е Т>ж если и только если каждый композиционный фактор группы С обладает свойством Т>п.

Лемма 1.2.8. [8, теорема 3] Пусть тт — некоторое множество простых чисел, Б — конечная простая группа. Группа Я обладает свойством Т>п тогда и только тогда, когда пара (5,тг) удовлетворяет одному из условий I-VII

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Манзаева, Номина Чингизовна, 2014 год

Литература

[1] Вдовин, Е.П. Холловы подгруппы нечётного порядка в конечных группах / Е.П. Вдовин, Д.О. Ревин // Алгебра и логика. — 2002. — Т. 41, № 1. - С. 15-56.

[2] Вдовин, Е.П. Теоремы силовского типа / Е.П. Вдовин, Д.О. Ревин // Успехи математических наук. — 2011. — Т. 66, вып. 5. — С. 3-46.

[3] Вдовин, Е.П. Пронормальность холловых подгрупп в конечных простых группах / Е.П. Вдовин, Д.О. Ревин // Сиб. матем. журн. — 2012. — Т. 53, № 3. - С. 527-542.

[4] Вдовин, Е.П. О нронормалыюсти холловых подгрупп / Е.П. Вдовин, Д.О. Ревин // Сиб. матем. журн. - 2013. - Т.54, № 1. - С. 35-43.

[5] Каргаполов, М.И. Основы теории групп: учебное пособие / М.И. Карга-полов, Ю.И. Мерзляков. — 5-е изд., стер. — СПб.: Изд-во «Лань», 2009. — 288 с. — (Учебники для вузов. Специальная литература).

[6] Мазуров, В.Д. О холловом Р^-свойстве для конечных групп / В.Д. Мазуров, Д.О. Ревин // Сиб. матем. журн. - 1997. - Т. 38, № 1. - С. 125-134.

[7] Маслова, Н.В. Классификация максимальных подгрупп нечётного индекса в конечных простых классических группах // Труды ИММ УрО РАН. - 2008. - Т. 14, № 4. - С. 100-118.

[8] Ревин, Д.О. Свойство Т>п в конечных простых группах // Алгебра и логика. - 2008. - Т. 47, № 3. - С. 364-394.

[9] Ревин, Д. О. Вокруг гипотезы Ф.Холла // Сибирские электронные математические известия. — 2009. — Т. 6. — С. 366-380.

[10] Чупихип, С.А. О разрешимых группах // Изв. НИИММ Том. унив. — 1938. - Т. 2. - С. 220-223.

[11] Чунихин, С.А. О силовски-правильных группах // ДАН СССР. —1947. - Т. 60, № 5. - С. 773-774.

[12] Чунихин, С.А. О 7г-свойствах конечных групп // Матем. сб. — 1949. — Т. 25, № 3. - С. 321-346.

[13] Чунихин, С.А. О существовании и сопряженности подгрупп у конечной группы // Матем. сб. - 1953. - Т. 33, № 1. - С. 111-132.

[14] The Kourovka notebook. Unsolved problems in group theory / editors: V.D. Mazurov and E.I. Khukhro. — 17th. ed. — Novosibirsk: Russian Academy of Sciences Siberian Division, Sobolev Institute of Mathematics, 2010.

[15] Aschbacher, M. On finite groups of Lie type and odd characteristic //J. Algebra. - 1980. - V. 66, iss. 2. - P. 400-424.

[16] Aschbacher, M. On the maximal subgroups of the finite classical groups // Invent. Math. - 1984. - V. 76, iss. 3. - P. 469-514.

[17] Conway, J. H. Atlas of Finite Groups / J. H. Conway, R. T. Curtis, S. P. Norton, R. A. Parker and R. A. Wilson. — Oxford, 1985.

[18] Carter, R. W. Simple groups of Lie type. — London: John Wiley and Sons, 1972.

[19] Deriziotis, D.I. Conjugacy classes and centralizers of semisimple elements in finite groups of Lie type // Vorlesungen aus dem Fachbereich Mathematik der Universität Essen, Heft 11, 1984.

[20] Hall, P. A note on soluble groups //J. London Math. Soc. — 1928. — V. sl-3, iss. 2. - P. 98-105.

[21] Hall, P. A characteristic property of soluble groups //J. London Math. Soc. - 1937. - V. 12. - P. 198-200.

[22] Hall, P. Theorems like Sylow's // Proc. London Math. Soc. - 1956. - V. s3-6, iss. 2. - P. 286-304.

[23] Huppert, B. Endliche Gruppen I. — Berlin: Springer, 1967.

[24] Gorenstein, D. The local structure of finite groups of characteristic 2 type / D. Gorenstein, R. Lyons // Memoirs AMS. - 1983. - V. 42, N 276.

[25] Gorenstein, D. The classification of the finite simple groups / D. Gorenstein, R. Lyons, R. Solomon. — Providence, RI: AMS, 1994.

[26] Gorenstein, D. The classification of the finite simple groups, Number 3 / D. Gorenstein, R. Lyons, R. Solomon. — Providence, RI: AMS, 1998.

[27] Gross, F. Odd order Hall subgroups of GL(n, q) and Sp(2n, q) // Math. Z.

- 1984. - V. 187, iss. 2. - P. 185-194.

[28] Gross, F. On a conjecture of Philip Hall // Proc. London Math. Soc. — 1986. - V. s3-52, iss. 3. - P. 464-494.

[29] Gross, F. On the existence of Hall subgroups //J. Algebra. — 1986. — V. 98, iss. 1. - P. 1-13.

[30] Gross, F. Conjugacy of odd order Hall subgroups // Bull. London Math. Soc. - 1987. - V. 19, iss. 4. - P. 311-319.

[31] Gross, F. Odd order Hall subgroups of the classical linear groups // Math. Z.

- 1995. - V. 220, iss. 1. - P. 317-336.

[32] Kleidman, P. The subgroup structure of the finite classical groups / P. Kleidman, M. Liebeck. — Cambridge University Press, 1990.

[33] Liebeck, M. W. The primitive permutation groups of odd degree / M.W. Liebeck, J. Saxl // J. London Math. Soc. - 1985. - V. s2-31, iss. 2.

- P. 250-264.

[34] Liebeck, M. W. On the subgroup structure of exceptional groups of Lie type / M.W. Liebeck, G.M. Seitz // Trans. Amer. Math. Soc. - 1998. — V. 350, N 9. - P. 3409-3482.

[35] Liebeck, M.W. On finite subgroups of exceptional algebraic groups / M.W. Liebeck, G.M. Seitz // J. reine angew. Math. - 1999. - Iss. 515. - P. 25-72.

[36] Liebeck, M. W. A survey of maximal subgroups of exceptional groups of Lie type / M.W. Liebeck, G.M. Seitz; Groups, combinatorics & geometry, Durham, 2001 // River Edge, NJ: World Sci. Publ., 2003. - P. 139-146.

[37] Malle, G. The maximal subgroups of 2F4(q2) // Journal of algebra. — 1991.

- V. 139, iss. 1. - P. 52-69.

[38] Revin, D.O. Hall subgroups of finite groups / D.O. Revin, E.P. Vdovin // Contemporary Mathematics. - 2006. - V. 402. - P. 229-265.

[39] Steinberg, R. Automorphisms of finite linear groups // Canad. J. Math. — 1960. - V. 12. P. 606-615.

[40] Sylow, M.L. Théorèmes sur les groupes de substitutions // Math. Ann. — 1872. - V. 5, iss. 4. - P. 584-594.

[41] Weir, A.J. Sylow p-subgroups of the classical groups over finite fields with characteristic prime to p // Proc. Am. Math. Soc. — 1955. - V. 6, N 4. -P. 529-533.

[42] Wielandt, Н. Zum Satz von Sylow // Math. Z. - 1954. - V. 60, iss. 1. -P. 407-408.

[43] Wielandt, H. Entwicklungslinien in der Strukturtheorie der endlichen Gruppen / Proc. Intern. Congress Math., Edinburg, 1958 // London: Cambridge Univ. Press, 1960. - P. 268-278.

[44] Wielandt, H. Zusammengesetzte Gruppen: Holders Programm heute / The Santa Cruz Conference on Finite Groups, Santa Cruz, 1979 // Proc. Sympos. Pure Math, 1980. - V. 37. - P. 161-173.

[45] Zavarnitsine, A.V. Finite simple groups with narrow prime spectrum // Siberian Electronic Mathematical Reports. — 2009. — V. 6. — P. 1-12.

Публикации автора по теме диссертации2

[46] * Вдовин, Е.П. О наследуемости свойства Т>1г подгруппами / Е.П. Вдо-вин, Н.Ч. Манзаева, Д.О. Ревин // Труды ИММ УрО РАН. - 2011. - Т. 17, № 4. - С. 44-52.

[47] * Манзаева, Н. Ч. Решение проблемы Виланда для спорадических групп // Сибирские электронные математические известия. — 2012. — Т. 9. - С. 294-305.

[48] * Манзаева, Н. Ч. Наследуемость свойства Vn иадгруппами 7г-холловых подгрупп в случае, когда 2 е 7Г // Алгебра и логика. — 2014. — Т. 53, № 1. - С. 26-44.

[49] Манзаева, Н. Ч. Решение проблемы Виланда для спорадических групп // Материалы Юбилейной 50-й Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс»: Математика.

2Символом «*» отмечены публикации в изданиях, входящих в перечень ВАК рецензируемых научных журналов, в которых должны быть опубликованы основные результаты диссертаций на соискание учёных степеней доктора и кандидата наук.

Новосибирск, 13-19 апреля 2012 г. — Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т.,

2012. - С. 15.

[50] Манзаева, Н. Ч. Решение проблемы Виланда для спорадических групп // Теория групп и её приложения: тезисы IX Международной школы-конференции по теории групп, посвящ. 90-летию со дня рождения профессора З.И. Боревича. Владикавказ, 9-15 июля 2012 г.; Сев.-Осет. гос.ун-т им. K.JI. Хетагурова. — Владикавказ: Изд-во СОГУ, 2012. — С. 82.

[51] Манзаева, Н. Ч. Решение проблемы Виланда для спорадических групп // Международная конференция «Мальцевские чтения», тезисы докладов. Новосибирск, 12-16 ноября 2012 г. (электронное издание). — Новосибирск, 2012. — С. 68. — Режим доступа: http://www.math.nsc.ru/ conference / malmeet /12/ malmeet _2012.pdf.

[52] Манзаева, Н. Ч. О наследовании свойства Т>ж надгруппами 7г-холловых подгрупп // Современные проблемы математики: тезисы Международной (44-й Всероссийской) молодежной школы-конференции. Екатеринбург, 27 января-2 февраля 2013 г. — Екатеринбург: ИММ УрО РАН,

2013. - С. 45.

[53] Манзаева, Н. Ч. Наследуемость свойства Т>ж надгруппами 7г-холловых подгрупп в случае 2 е тт // Материалы 51-й Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс»: Математика. Новосибирск, 12-18 апреля 2013 г. — Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т., 2013. — С. 16.

[54] Манзаева, Н. Ч. О наследуемости свойства Т>ж надгруппами 7г-холловых подгрупп чётного порядка // Алгебра и комбинаторика: тезисы Международной конференции по алгебра и комбинаторике, посвящ. 60-летию

A.A. Махнёва. Екатеринбург, 3-7 июня 2013 г. — Екатеринбург: Изд-во «УМЦ-УПИ», 2013. - С. 99.

[55] Манзаева, Н. Ч. Наследуемость свойства Т>п надгруппами 7г-холловых подгрупп чётного порядка // Международная конференция «Мальцев-ские чтения», тезисы докладов. Новосибирск, 11-15 ноября 2013 г. (электронное издание). — Новосибирск, 2013. — С. 95. — Режим доступа: http: / / www.math.nsc.ru/conference / malmeet/13/maltsevl3.pdf.

[56] Манзаева, Н. Ч. Наследуемость свойства Vn надгруппами 7г-холловых подгрупп // Материалы конференции «Алгебра и математическая логика: теория и приложения» (г. Казань, 2-6 июня 2014 г.) и сопутствующей молодежной летней школы «Вычислимость и вычислимые структуры». — Казань: Изд-во Казан, ун-та, 2014. — С. 102.