Операторы композиции и обратные оценки в пространствах Блоха тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Петров, Андрей Николаевич

• Петров, Андрей Николаевич
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Петров, Андрей Николаевич

Содержание

Работы автора по теме диссертации

Введение

0.1. Обратные оценки: постановка задачи

0.2. Операторы композиции

0.3. Организация работы

Глава 1. Обратные оценки в пространствах Блоха

1.1. Предсказание обратных оценок

1.2. Обратные оценки в пространствах ЬаВ{Ш>)

1.3. Обратные оценки в шаре

1.4. Обсуждение точности обратных оценок

1.5. Точность обратных оценок

Глава 2. Непосредственные приложения обратных оценок

2.1. Операторы композиции С^ : ЬаВ{Щ ВМОА(Р)

2.2. Гиперболические градиенты и внутренние отображения

Глава 3. Операторы композиции, заданные на пространстве

Блоха

3.1. Постановка и обсуждение задач

3.2. Предварительные результаты

3.3. Импликации общего характера

3.4. Регулярные операторы со значениями в пространствах

Харди

3.5. Операторы со значениями в пространствах Бергмана

Глава 4. Операторы композиции, заданные на пространствах роста

4.1. Операторы со значениями в пространствах Харди

4.2. Операторы со значениями в пространствах Бергмана

Литература

Работы автора по теме диссертации

• А. Н. Петров, Интегральные обратные оценки для логарифмических пространств Блоха в шаре, Зап. научн. семин. ПОМИ 416 (2013), 124-135.

• А. N. Pctrov, Reverse estimates in logarithmic Block spaces, Arch. Math. (Basel) 100 (2013), no. 6, 551-560.

• E. Doubtsov, A. N. Petrov, Bloch-to-Hardy composition operators, Cent. Eur. J. Math. 11 (2013), no. 6, 985-1003.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Операторы композиции и обратные оценки в пространствах Блоха»

Введение

Пусть Я" (В) обозначает пространство всех голоморфных функций в единичном круге В = {г £ С : \г\ < 1}.

0.1 Обратные оценки: постановка задачи 0.1.1 Пространства роста

Неубывающую непрерывную и неограниченную функцию V : [0,1) —► (0, +оо) будем называть весовой функцией. Задача об обратных оценках естественным образом возникает при изучении пространства роста ^(В), которое состоит из функций / Е Н(Ш), удовлетворяющих условию

для некоторой константы С > 0. Пространство ^(В) является банаховым относительно нормы

При изучении конкретных линейных операторов, заданных на пространстве роста Ди(В), часто оказываются полезными наборы тестовых функций, для которых в определенном смысле выполняется оценка, обратная к неравенству (0.1.1). Принцип максимума накладывает запрет на существование функции / 6 Н{В) и весовой функции г>, для которых верна

(0.1.1)

|/(*)|< СМИ), ^в,

непосредственная обратная оценка \f(z)\ ^ сг>(|;г|) при всех 2 £ В. Тем не менее, задача оказывается разрешимой, если рассмотреть сумму модулей |/i(2)| + |/2(2)|. Для достаточно широкого класса весовых функций г» соответствующие решения получены в работе [6]. А именно, по определению весовая функция v : [0,1) —> (0, +оо) обладает свойством удвоения, если

v(l - s/2) ^ Av(l - s), 0 < s ^ 1, для некоторой константы А > 1.

Теорема 0.1.1 ([6, лемма 1]). Предположим, что весовая функция у : [0,1) —> (0, +оо) обладает свойством удвоения. Тогда существуют функции /ь/2 Е такие что

(0-1.2) + ze В.

Для несколько менее широкого класса весовых функций аналог теоремы 0.1.1 был независимо доказан в статье [24]. Отметим, что первый результат рассматриваемого типа получили У. Рамей и Д. Уллрич [27] для весовой функции v(t) = (1 — t2)"1.

0.1.2 Весовые пространства Блоха

Настоящая работа посвящена обратным оценкам и их приложениям в том случае, когда функция / в неравенстве (0.1.1) заменена на производную /'. Классическим примером пространства, возникающего после такой замены, является класс Блоха £>(Ю>), который состоит из функций / G Н{р), удовлетворяющих условию

\\Л\в{щ = 1/(0)1 + sup 1/(2)1(1 - И2) < 00.

геЮ

Следующая интегральная обратная оценка хорошо известна в явном или неявном виде.

Теорема 0.1.2 (см., например, [22, лемма 2.1]). Пусть 0 < р < оо. Тогда существуют функции Ех Е ¿3(В)7 0 ^ х ^ 1, такие что ^ 1 и

(0.1.3) I J \Fx(z)\*^ гр (loS fZ^) 2 '

для некоторой константы тр > 0.

Известно, что показатель ^ в правой части неравенства (0.1.3) является точным. С другой стороны, если / Е ¿3(B), ||/||в(р) ^ 1, то

(0-1.4) \f(z)\ ^ Clog-—-¡—12? *€В,

1 — \z\z

для некоторой абсолютной константы С > 0. Простые примеры показывают, что оценка (0.1.4) также точна. Таким образом, точные обратные оценки для пространств роста и пространства Блоха имеют разный характер. Действительно, с одной стороны в теореме 0.1.1 для прямой и обратной оценки используется одна и та же функция v. С другой стороны, в оценках (0.1.4) и (0.1.3) присутствуют log и (log l-jz]2) 2 соответственно.

Для произвольной весовой функции w аналог свойства (0.1.1) порождает пространство ¿3W(B), состоящее из функций / Е Н(В), таких что

||/||b-(D) = 1/(0)1+sup Ц|Й|<СХ).

¿ею Щ\2\)

Если w{t) = (1 — i2)-1, то пространства Bw(В) и ¿3(B) совпадают. Таким образом, полагая wa(t) = (l — t2)~a, а > 0, можно рассмотреть пространства ¿3Wa(B) в качестве возможных аналогов пространства Блоха ¿3(B). Однако, при 0 < а < 1 пространство BWa(В) совпадает с голоморфным пространством Липшица А1_а(В) и, следовательно, в этом случае нетривиальных обратных оценок не существует. Если а > 1, то ¿3Wa(B) совпадает с пространством роста Диа(В), va(t) = (1 — i2)1-", следовательно, обратные оценки получаются с помощью теоремы 0.1.1. Таким

образом, чтобы найти аналоги пространства Блоха ¿3(D), следует рассматривать достаточно слабые, например, логарифмические мультипликативные возмущения весовой функции w(t) = (1 — t2)-1.

0.1.3 Логарифмические пространства Блоха в круге

Для а Е R логарифмическое пространство Блоха LaB(D) состоит из функций / Е Н(В), удовлетворяющих условию

II/IU-BCD) = 1/(0)1 + sup 1/(2)1(1 - \z\2) (log—< оо.

геО \ -L — \Z\ J

Отметим, что функция wa(t) = jr^s (log уг^) a возрастает на промежутке [0,1) при а ^ 1. Если а — 0, то ЬаВ(Щ — это пространство Блоха 5(D).

Основная цель главы 1 — предсказать и доказать точные обратные оценки в пространствах LaB(JD) при а ^ Отметим, что при а > ^ пространство LaB(JD>) является весьма малым, поэтому нетривиальные обратные оценки в нём отсутствуют (подробности приведены в главе 1).

0.1.4 Логарифмические пространства Блоха в шаре

Задача об обратных оценках естественным образом распространяется на пространства Блоха в единичном шаре Вт = {z Е Cm : \z\ < 1}, т ^ 1. Отметим, что в зависимости от ситуации в дальнейшем для единичного круга будет использоваться обозначение D или В\.

Пусть Н(Вт) обозначает пространство всех голоморфных функций в шаре Вт. Для а Е К логарифмическое пространство Блоха LaB(Bm) состоит из тех функций / Е Н{Вт), для которых

11/11 ь°в(вт) = 1/(0)1 + sup \nf(z)\(l - И2) Clog—< оо,

zeBm \ 1 - \z\-J

где

обозначает радиальную производную функции /. В главе 1 будет показано, что вид точных обратных оценок в пространствах ЬаВ(Вт) не зависит от размерности га ^ 1.

0.2 Операторы композиции

Пусть п, га ^ 1. Каждое голоморфное отображение (р : Вп —> Вт порождает оператор композиции С^ : Н(Вт) —■> Н{Вп) с помощью следующей формулы:

Ш)(г) = /(ф)), / Е Н(Вт),

Разнообразные свойства операторов С^ представлены в монографиях [12] и [28]. Центральными объектами настоящей работы являются операторы Ср, заданные на пространствах ЬаВ(Вт)1 га ^ 1.

Во-первых, с помощью известных обратных оценок в пространствах роста удаётся описать тс символы </?, для которых оператор С\р действует из ЬаВ(Ш) в классическое пространство Харди Я2 (О). Это описание позволяет предсказать точные обратные оценки в логарифмических пространствах Блоха (см. главу 1).

Во-вторых, обратные оценки в пространствах ЬаВ(©) непосредственно применимы при изучении операторов С^, действующих из ЬаВ(В) в пространство ВМОА(В), состоящее из тех функций / Е Я2(О), граничные значения которых имеют ограниченную среднюю осцилляцию. Ещё одно непосредственное применение полученных обратных оценок — это количественная задача о росте гиперболических градиентов голоморфных отображений (см. главу 2).

В-третьих, обратные оценки в пространстве Блоха В(Вт) оказываются действенным инструментом при решении задачи об описании тех регулярных символов <£>, для которых оператор С^ действует из В(Вт) в пространство Харди Нр(Вп) для заданного показателя р > 0. Данному вопросу посвящена глава 3. Отметим, что при т = 1 соответствующие описания известны и могут быть получены иными методами. Также напомним, что П. Ахерн и У. Рудин сформулировали в работе [8] вопрос об описании операторов композиции действующих из пространства Блоха В{Вт) в пространство ВМОА(Дг). Так как ВМОА(£?п) является Мёбиус-инвариантным аналогом пространства Н2(Вп), то задача Ахер-на-Рудина тесно связана с рассматриваемым вопросом об операторах, действующих из В(Вт) в пространства Харди.

Естественным продолжением главы 3 является заключительная глава 4, в которой рассматривается смежный вопрос об операторах композиции, действующих из пространств роста в пространства Харди или Бергмана.

0.3 Организация работы

Диссертация разделена на четыре главы; результаты первой главы используются в последующих главах. Главы состоят из разделов и подразделов. Для нумерации утверждений и формул используются номера главы и раздела, а также номер по порядку.

Глава 1

Обратные оценки в пространствах Блоха

1.1 Предсказание обратных оценок

Как отмечалось во введении, поиск обратных оценок в пространствах голоморфных функций во многом мотивирован приложениями, связанными с исследованием конкретных линейных операторов на соответствующих пространствах. В случае операторов композиции данный подход был использован, например, в работах [6, 20, 22, 24, 27]. Рассуждения в настоящем разделе будут проведены в противоположном направлении: изучение подходящих операторов композиции позволяет предсказать точный вид обратных оценок в пространствах ЬаВ(Щ, а ^ 1/2. А именно, ниже рассматриваются операторы композиции со значениями в пространстве Харди Н2(Щ.

1.1.1 Пространства Харди и g-функции Литтлвуда-Пэли

Пусть cri обозначает меру Лебега на единичной окружности

Т={СеС: |С| = 1},

нормированную условием (Т) = 1.

При 0 < р < оо пространство Харди ЯР(В) по определению состоит из тех функций / € Я(В), для которых

р

яр (О)

8ПР [ |/К)|Р^1(С) <00.

0<г<1Ц

т

Для функции / £ //(О) д-функция Литтлвуда-Пэли задаётся равенством 1

дШ)= ^/'ЮГа-О^ , сет.

Теорема 1.1.1. Яусгаъ 0 < р < оо, / £ Я (В). Тогда / £ ЯР(В) в том и только в том случае, когда д(/) £ ЬР(Т).

При р > 1 сформулированный результат приведён, например, в теоремах 3.5 и 3.19 главы XIV монографии [3]. Для р > 0 теорема 1.1.1 и её обобщения доказаны в работе [7|.

1.1.2 Ограниченные операторы С^ : ЬаВ(Щ —»• Я2(В) Если / £ ЬаВ(Щ для некоторого а > то

1 -2а

з(ЛК) (ювз^з) < < 00

О

для всех С £ Т. В частности, д(/) £ Ь2(Т), поэтому / £ Я2(В). Иными словами, £а£(В) С Я2(В) при а >

В силу принципа подчинения Литтлвуда оператор С<р ограничен на пространстве Я2(В) для любого символа </? (см. [25] или [28]). Следовательно, при а > 7} оператор С^ : ЬаВ(Щ —> Я2(В) ограничен для всех (р. Поэтому обратимся к случаю а ^

Теорема 1 из работы [20] даёт описание ограниченных операторов Ср : ЬаВ(В) —> Я2 (В) при а = 0. Следующий результат решает рассматриваемую задачу при а <

Предложение 1.1.2. Пусть а < | и отображение </? : В —» В является голоморфным. Тогда следующие свойства равносильны:

ЛСМС) < 11/11|«В(П) / (1(1овгг^)"Л(1-г)<1г.

(1.1.1) оператор С\р действует из ЬаВ(В) в Н2(Щ; (ш) / (1о8 " -> *6

о

(1Л-3) 0^1 / (1ог 1 - июр) 4,1(0 <

т

Доказательство. Предположим, что выполнено условие (1.1.2). Для / Е ЬаВ(В) и С Е Т имеем

1

<Г(ЗД(С) < ||/|||аВД

о

Таким образом, д(С9/) Е Ь2{Т) в силу свойства (1.1.2). Следовательно, С^/ Е #2(В). Итак, (1.1.2) влечёт (1.1.1).

Для доказательства обратной импликации предположим, что имеет место свойство (1.1.1). Применяя теорему 0.1.1, выберем функции /1, /2 е ЬаВ(Щ, такие что

/ \ ~2а \т\2+\т\2>(1-и2г2, zEв.

В силу свойства (1.1.1) имеем Е Н2(Щ, / = 1,2. Поэтому,

ос > МСМ\\щт) + ШСМ\\Ъ(Т)

(1ЛМ<))12 + 1/М<))121) УШ^-^^йа^)

т о

* //гада (1оёт^Г(1'

т о

Таким образом, (1.1.1) влечёт (1.1.2).

Для завершения доказательства отметим, что в теореме З.б из работы [21] показана равносильность свойств (1.1.2) и (1.1.3). □

При а = | имеет место аналогичный результат.

Предложение 1.1.3. Пусть if : Ю) —» В является голоморфным отображением. Тогда следующие свойства равносильны:

(1.1.4) оператор Сv действует из Ь^В{В) в Н2{В); о

(1.1.6) sup / log log--1 дМС) <

T

Доказательство. С одной стороны, для проверки равносильности условий (1.1.4) и (1.1.5) достаточно повторить рассуждение, использованное в доказательстве предложения 1.1.2. С другой стороны, в статье [13] доказано, что свойства (1.1.5) и (1.1.6) равносильны. □

Теперь обратимся к возможным обратным оценкам, на которые указывают предложения 1.1.2 и 1.1.3. Заметим, что для доказательства импликации (1.1.4)=>(1.1.6) можно использовать функции Fx £ В), О ^ х ^ 1, такие что < 1 и

1

(1.1.7) J\Fx(w)\2 dx ^ г log log ^ о

для некоторой константы г > 0. Действительно, если выполнено свойст-

во (1.1.4), то с помощью оценки (1-1.7) получаем

1

о т

1

= 11 |^(гс)|2^садс)

т о

т

для всех г Е [0,1). Следовательно, имеет место свойство (1.1.6).

Для доказательства импликации (1.1.1)=^(1.1.3) можно аналогичным образом использовать функции Ех Е ЬаВ( В), такие

что \ЬаВ(р) ^ 1 и

(1-1.8) I ^ та 1 ) , ш Е В,

о

для некоторой константы та > 0.

Объединяя возможные оценки (1.1.7) и (1.1.8) для а ^ приходим к следующим функциям от переменной £ Е [0,1):

(1.1.9)

1 \

1

Ье log

1 - г

а

1.2 Обратные оценки в пространствах ЬаВ(В)

В данном разделе для пространств ЬаВ(Щ, а ^ 1, будут доказаны интегральные обратные оценки, соответствующие функциям из определения (1.1.9). А именно, имеет место следующая теорема.

Теорема 1.2.1. Пусть 0 < р < оо и а ^ Тогда существуют константа тР;а > 0 и функции Ех Е ЬаВ(О), 0 ^ х ^ 1, такие что \\Рх\\ьав(Щ ^ 1 и

(1-2-1) ^ \Рх(т)\» тр,аФа(|^|2), ■шЕО.

Для доказательства теоремы 1.2.1 нам понадобятся две технические леммы.

Лемма 1.2.2. Пусть ¡3 ^ 07 £ Е [0,1). Тогда существует константа С[з > 0, такая что

00

(1.2.2) У> + I)*"1*2*"1 ^ С^Ь^).

1' 2 к=0

Доказательство. Удобно отдельно рассмотреть случаи (3 > 0 и (3 = 0.

1. Пусть (3 > 0. Если £ Е [0, то имеем

оо

+ 1)/?-1£2'с-1 ^ 1

(1.2.3)

к=О

1 1 ^

^ =(1о§2)-^ 1о§

1 — / 4 ° ' V 1

Теперь предположим, что t Е 1). Выберем число п Е М, такое что 1 — — 2п+1- Тогда имеем

1 л 2к~1

5> + о'-1^-1 > +1)"-1 1

/г=0 к=О ^ '

(\ 2П —1 и

' /с=0

е , к=0

1 п

Положим Бп = - ^^{к + 1)/3_1. Продолжение оценки (1.2.4) зависит от 6 к=о

величины (3 и использует неравенство £ ^ 1 — ^тт, которое эквивалентно оценке

(1.2.5) Лое2 < (П + 1)0.

Если 0 < ¡3 ^ 1, то в силу (1.2.5) получаем

(1„) , М! , I (Юй^)' = 1(1082)""

Если (3 ^ 1, то в силу (1.2.5) имеем

к=О

1 ^(п + 2)"-1

^ 2е ^ 20-1 к=0

(1.2.7) . (п + 1)^

^ е2/з

1/1, 1

^ 7 о §2

е \2

= i(21og2)-^log 1

е ° у

Наконец, оценки (1.2.3), (1.2.6) и (1.2.7) влекут неравенство (1.2.2) с константой Ср = -(2к^2

2. Пусть (3 = 0. Для t Е [0,1] имеем

00 2 1 е

, .. . . 1 -г 1ог2 ° ° 1 -г

к=о ь

Если £ Е 1), то возьмем п Е К, такое что 1 — — ^тг- Тогда

к + 1 ^ к + 1\ 2п ) к=0 к=0 4 7

/ 1 Ч2""1 п

(I-2-9) ^ Е

) ^ к + 1 1 А 1 1, , ^ 1 , , е

> - V —— ^ - log(n + 2) ^ - к^

р < < к Л- Л р р

е к + 1 е е 1 — £

к=О

Таким образом, из (1.2.8) и (1.2.9) получаем оценку (1.2.2) с константой Ср = -. □

е

Следующую лемму можно вывести из результатов работы [26]. Для удобства читателя ниже приведено независимое доказательство.

Лемма 1.2.3. Пусть а Е И. Тогда существует константа Са > 07 такая что

00 9к — 1 / р \~а

к == 1

Доказательство. Положим

а оо ок — I к-1

£2 а€1, £ Е [0,1).

(\ а оо 7 ¿=1

(А; + 1)с

Для пЕМи£Е[1 — трг, 1 — зтгьг] имеем (1.2.11)

оо к=1

п оо / 1 \ —

п\а пк-п , (П\а пк-п ( 1__

2?г+1

/г=1 " /с=п+1

\/г=1 /с=п+1

где q = е « Е (0,1).

Продолжение оценки (1.2.11) зависит от величины а. Если а ^ 0, то ЙГ < < е~а{-к-п\ поэтому

/ тг оо

Ga(t)^ca (¿2*-»+ £ (2е-")*-"/-"

(1.2.12) V=1 fc=n+1 ч

4 7 / оо \

Если а > 0, то

. KJfc^f f^fc^n S=1

оо

(1.2.13)

^ CQ + 2Q+1 + 2V* J = cl

Остаётся отмстить, что неравенство (1.2.10) следует из оценок (1.2.12) и (1.2.13). □

Также напомним классический результат о рядах из функций Раде-махера Rk(x) = sign sin(2fc+17rx), 0 < х < 1, к = 0,1,... .

Теорема 1.2.4 (см. [3, глава V, теорема 8.4]). Пусть р > 07 Е С,

00

\ck\2 < оо. Полоо1сим

к=О

оо

fiX) = CbRk(X)i 0 < X ^ 1. к=О

Тогда

1

1 / 1 \ V / ч i

2//> \ /ОО \ 2

для некоторых констант Ар, Вр > 0.

Теперь всё готово для доказательства обратных оценок в логарифмических пространствах Блоха ЬаВ(Щ, а ^

Доказательство теоремы 1.2.1. Пусть Са > 0 - это константа, существование которой гарантирует лемма 1.2.3. Для х Е [0,1] рассмотрим следующие функции:

1 ^ Як(х) к=0

где Як(х) — это функции Радемахера. Во-первых, имеем Рх Е Н(Щ и

в силу леммы 1.2.3 ct= ¡ги] . Во-вторых,

к=1

— и,,|2

1 |г|;|2(2к-1)\ §

в силу теоремы 1.2.4. Применяя лемму 1.2.2 с ¡3 = 1 — 2а и I = |и>|2, получаем

00 |7,|2(2*-1) к —О

Следовательно,

1

IV ев,

о

что и требовалось доказать. □

1.3 Обратные оценки в шаре

Следующая теорема показывает, что за обратные оценки в шаре Вт, т ^ 2, также отвечают функции Фа. При а = 0 соответствующее наблюдение было сделано в статье [15].

Теорема 1.3.1. Пусть т Е М, 0 < р < ос, а ^ Тогда существуют константа > 0 и функции Ех Е ЬаВ(Вт), 0 ^ х ^ такие что

\\Рх\\ь°в{вт) < 1 и

(1.3.1)

/1 у

\Fx(w)\pdx\ ^ Tm^a(\w\2), weBm. \о /

Основным рабочим инструментом доказательства теоремы 1.3.1 является следующая теорема о полиномах Александрова-Рыля-Войтащика.

Теорема 1.3.2 ([1, теорема 4]). Пусть т Е N. Тогда существуют константы J = J(m) Е N7 S = 5(т) Е (0,1) со следующими свойствами: для каждого d Е N найдутся голоморфные однородные полиномы Wj\d\ степени d, 1 ^ j ^ J, такие что

(1-3-2) l|WiMllL«-(eBm)<l,

(1.3.3) max \Wj[d}^)\ > 6, £ Е дВт.

Доказательство теоремы 1.3.1. Зафиксируем константу 5 Е (0,1) и полиномы Wj[d], 1 ^ j ^ J, d Е N, существование которых гарантировано теоремой 1.3.2. Также положим W}[0] = 1, 1 ^ j ^ J.

Пусть Са — положительная константа из леммы 1.2.3. Для х Е [0,1] рассмотрим функции

1 + fc=0 ^ +

где Як{х) — это функции Радемахера.

Отмстим, что Е Н(Вт). Используя оценки (1.3.2) и (1.2.10), получаем

1 ~ 2Л - 1

к

1 + Са^{к + 1)'

2^" —1

сю

1 2*~1 |2(2*-1-1) < - к!2)-1 (1ок Е Вт.

Таким образом, имеем ^ 1-

Далее, применяя теорему 1.2.4, получаем

Щ[2* - 1](т)\*

[ ¿х >

О \*г=0

Следовательно,

(к + 1)

2а

, е Вт, 1 < 7 < 3.

.7 = 1 п .7 = 1 \к=0

(1.3.4) ' 0 '

(/с + 1)

2а

00 1Т/Г/ ГО к 11^12'

£

\2а

I I}/ I

Кк=О ,?=1

Используя оценку (1.3.3) и лемму 1.2.2 при ¡3 — 1 — 2а и £ = |ги|2,

чл / У^ У^ ~ -Ч

имеем

Поэтому, оценка (1.3.4) продолжается следующим образом

J 1

Ё / > С^ади2), € Вт.

Полученная конечная сумма интегралов по отрезку [0,1] сводится к единственному интегралу по отрезку [0,1] после подобающей замены индексов для функций А именно, полагая

1 ] — 1 у

= 1, —— ^ х ^

имеем

з 1 1

£ / 1^>нг= /

о о

Таким образом, обратная оценка (1.3.1) доказана. □

1.4 Обсуждение точности обратных оценок

Прежде всего отметим, что предложение 1.1.2 указывает на точность теоремы 1.2.1 при а < Для соответствующих пояснений удобно использовать понятие гиперболического класса Харди (см., например, [32]). При 0 < р < оо класс состоит из голоморфных отображений (р : В —» В, удовлетворяющих условию

™P<J 11x71(0 <00'

т

Отмстим, что Щ2(В) д Щ1 (В) для 0 < р1 < р2 < оо.

Итак, предположим, что существуют функции Рх £ ЬаВ{В), О ^ х ^ 1, такие что при р = 2 и а ^ ^ условие (1.2.1) выполнено для

вместо

1 \

1 — |,ш|2у

Рассмотрим произвольное отображение ц) Е Я^~2а(В). В силу предложения 1.1.2 оператор композиции С у : 1/аБ(В) —Я2 (В) ограничен.

Следовательно,

llCJi / / \Fx{<p{rQ\2dai{Qdx

о т

1

= J J iFMrOfdxda.iO

т о

>CfJ (log х _ 1 ) <МО

т

для всех г Е [0,1). Иными словами, получаем </? £ (В). Таким образом, Н1~2а{Щ = Hf(В) и 2/3 = 1 - 2а.

Импликация (1.1.6)=Ф-(1.1.4) из предложения 1.1.3 аналогичным образом указывает на точность оценки (1.2.1) при а = \ и р = 2.

Строгое обоснование точности обратной оценки (1.3.1) при всехр > О дано в следующем подразделе.

1.5 Точность обратных оценок

Для проверки точности обратной оценки (1.3.1) нам потребуется следующая лемма.

Лемма 1.5.1. Пусть 0 < р < оо, а < функция / £ ЬаВ{В), ||/1и«в(о) < 1- Тогда

Н/р11яр(ш>) ^ С(1/(°)Г + 0 < р < 1.

Доказательство. По теореме 1.1.1 имеем (1.5.1)

/ /1 \ § \

11/р11яр(в) ^ с

\т\р + J U\f'(prO\V(l-r)dr\ dal{C) \ т \о ) J

Учитывая, что функция / Е ЬаВ(Ш>), |[/||ь«в(Ш)) ^ оценка (1.5.1) продолжается следующим образом

/ /1 \ § \

II/,

РП#Р(0)

^ с

1/(о)Г +1 /1Л/Ю1У (1 - г)йг «МО

т \0

1

У

1/(0) |р +

р2(1 - о

-2а

1\

(1 — р2г2)2 \ 1 — р2г2

Лг

У

итр+

1 9 \

г 9 / \ —¿а

Г » ^ е ^

1 — рг \ 1 — рг /

с1г

У

Непосредственно вычисляя последний интеграл, заключаем, что

Н/Лпю» < с(\т\р + Ч(Р)) < С(|/(0)Г + Ф>2)).

Таким образом, лемма доказана.

□

В следующем предложении устанавливается точность интегральной обратной оценки (1.3.1).

Предложение 1.5.2. Пусть т Е 0 < р < оо, а ^ Тогда интегральная обратная оценка (1.3.1) точна.

Доказательство. Пусть выполнена оценка (1.3.1) для га = 1, тогда 1

I |^(РСЖ Лх > т?лаФР (Л, сет, о < р < 1.

о

Следовательно, 1

/1 |^(рС)1р<**<МС) ^ г^Ф^р2), о < р < 1.

С другой стороны, в силу теоремы Фубини, определения пространства Харди и леммы 1.5.1, получаем 1 1

то о

Таким образом, оценка (1.3.1) для т = 1 точна.

Наконец, точность оценки (1.3.1) прит > 1 следует из соответствующего утверждения при т = 1. В самом деле, пусть т > 1, а ^ | и оценка вида (1.3.1) выполнена для функций^ Е ЬаВ(Вт). Напомним, что срез-функция (.РаОс, С £ дВт, задается равенством = ^(АС), А Е В.

Отмстим, что ЛГХ(\() = Л(^)^(Л). Таким образом, такая же обратная оценка выполнена для срез-функций (^)с £ ЬаВ{В). □

Итак, интегральная обратная оценка (1.3.1) точна. С другой стороны, если а < 1, / Е ЬаВ(Вт) и ||/||ь«Б(вт) ^ 1, Т0 хорошо известна следующая точная оценка сверху:

(\ 1—а

1оЕ 1 ) , и> Е Вт1

для некоторой константы Са > 0. Таким образом, для пространств ЬаВ(Вт), а ^ имеет место аналог явления, отмеченного во введении для классического пространства Блоха £>(В): нижняя оценка (1.3.1) отличается от верхней оценки (1.5.2), однако обе оценки (1.3.1) и (1.5.2) являются точными.

Глава 2

Непосредственные приложения обратных оценок

2.1 Операторы композиции С^ : ЬаВЩ ВМОА(В)

2.1.1 Основные свойства пространства ВМОА(В) Напомним, что для функции / Е Я2 (В) радиальные пределы

/*(С) = Hm /К)

т—> 1 —

определены для (Ji-почти всех точек £ Е Т.

По определению пространство ВМОА(В) состоит из функций / € Я2(В), удовлетворяющих условию

11/11вмоа(о) = 1/(0)|2 + sup [ |Г(С) - <МС) <

aeD J К — Щ

т

Хорошо известно описание пространства ВМОА(В) в терминах мер Карлесона. Напомним, что положительная борслевская мера /л в круге В называется мерой Карлесона, если существует константа С > О такая, что /j,(Q(I)) ^ Cai(I) для всех дуг I С Т, где

Q(I) = {z Е В : 2/|,z| Е /, N ^ 1 - ai(/)}.

Пусть U2 — двумерная мера Лебега на круге В. Функция / Е Я"(В) принадлежит пространству ВМОА(В) тогда и только тогда, когда мера

|/'(,г)|2(1 — с1р2(2) является мерой Карлссона (см., например, [2], где приведены и другие эквивалентные описания пространстваВМОА(В)).

Также напомним, что в силу теоремы Джона-Ниренберга существуют такие положительные константы А и С, что

(2.1.1) I ехр(|Г(С)|)^1(С)^С,

т

для всех функций / € ВМОА(В), удовлетворяющих условию

||/||вМ0А(0) ^ Л-.

2.1.2 Ограниченные операторы С у : ЬаВ( В) -> ВМОА(В)

Если а > то, как отмечалось ранее, ЬаВ{В) С Н2{В). На самом деле, верно более сильное утверждение: ЬаВ{В) С ВМОА(В) (см., например, [18]). Действительно, если / € ЬаВ(В) при а > то непосредственно из определения ЬаВ(Щ следует, что мера |/'(2;)|2(1 — \г\2) с1ь>2(г) является мерой Карлесона. Известно, что оператор композиции С^ ограничен на пространстве ВМОА(В) для любого символа (р (см. [28]). Таким образом, при а > | оператор композиции С^ действует из ЬаВ(В) в ВМОА(В) для произвольного голоморфного отображения ср : В —> В.

Для а ^ | известно следующее теоретическое описание ограниченных операторов композиции С^ : ЬаВ(Щ ->■ ВМОА(В).

Теорема 2.1.1 ([24, теорема 1.4]). Пусть а ^ | и отображение : В —> В является голоморфным. Тогда следующие свойства равносильны:

(2.1.2) оператор С^ действует из ЬаВ(Щ в ВМОА(В);

(2.1.3) 8пр ( / (Ь*(С)|2) <1^(0 - Ф2 (|^(а)|2) ) < оо, аеО \ У \а — С Г I

где функция Фа задана равенством (1.1.9).

Теорема 1.2.1 позволяет получить явное условие на символу, которое необходимо для ограниченности рассматриваемого оператора композиции Cv : ЬаВ{Щ ВМОА(В),

Предложение 2.1.2 (ср. с предложением 4.1 из [15]). Пусть а ^ \ и отображение ip : В —>• ID является голоморфным. Предположим, что оператор С\р : ЬаВ(В) —> ВМОА(В) ограничен. Тогда существуют константы е = е(а, ||C,<is||Laß(D)^BMOA(D)) > 0 и С > 0, такие что

J ехр

т

где функция задана равенством (1.1.9).

Доказательство. Так как а ^ \ и оператор Сц, : ЬаВ(Щ —> ВМОА(В) ограничен, то |</?*(С)| < 1 Для сп-п.в. точек С £ Т (см. [24, следствие 1.1|). Следовательно, для каждой функции / £ ii(B) имеем

(2.1.4) f(<p*(0) = Hm /МО) = (/ о <¿>40 Для (71-п.в. С € Т.

г—>1—

Пусть Fx £ ЬаВ(Щ, 0 ^ х ^ 1, — это функции, существование которых гарантировано теоремой 1.2.1 ирир = 1. Тогда имеем

Ц-^ж ° V^IIBMOA(D) ^ || Су? || Laß(D)—>BMOA(ID>) •

Положим ö = -^||C<pllZ"#(D)->BMOA(D)' где А — это константа из теоремы Джона-Ниренберга. В силу (2.1.4) и (2.1.1) имеем

Jexp(£|F^*(C))|)cMC) = Jexp(^°V?)*(C)l)^i(C)

т т

SC с, 0 ^ ж < 1.

Наконец, применяя теорему Фубини, неравенство Йенсена и теоре-

му 1.2.1, получаем

С^У у ехр (<51 (0)1) ^ Ал (С)

т о

^ У"ехр Ш 1^(^(0)1^1 ^х(С)

т V о /

^ I ехр (бп^^^О^да^О, т

что и требовалось доказать. □

2.2 Гиперболические градиенты и внутренние отображения

Пусть ап обозначает меру Лебега на единичной сфере дВп, нормированную условием ап(дВп) = 1. Напомним, что для голоморфного отображения (р : Вп —» Вт радиальный предел <р*(С) определён для <тп-почти всех точек ( Е дВп. Если \<р*\ = 1 сгп-п.в., то отображение р называется внутренним. Отношение

п

дгэ

, называется гиперболическим градиентом

где \Чф)\2 = £ ¿=1

отображения (р.

Данный раздел мотивирован следующим эвристическим принципом: если гиперболический градиент отображения (р не растет достаточно быстро, то отображение (р не является внутренним.

Несколько точных реализаций этого принципа сформулированы в статьях [9, 17, 19, 30]. В частности, для п = т = 1 справедлив следующий результат.

Теорема 2.2.1 ([17, следствие 5.2]). Пусть голоморфное отображение : В\ —В\ таково, что

где П, со : (0,1] —> (0, +оо) — ограниченные измеримые функции, удовлетворяющие условиям

(2.2.2) = оо,

(2.2.3) оо.

о

Тогда отображение ср не является внутренним.

Различные количественные уточнения, в том числе и многомерные, теоремы 2.2.1 можно получить рассматривая конкретные функции удовлетворяющие условию (2.2.2). Например, если 0 = 1, функция со не убывает и выполнены условия (2.2.1) и (2.2.3), то |</?*| < 1 с^-п.в. (см. [19, с. 687]); более того, справедлива следующая теорема.

Теорема 2.2.2 ([17, теорема 1.4]). Пусть п, т 6 Н, голоморфное ото-брао/сение ср : Вп Вт таково, что

\4<р{г)\ Щ-Н2)

^ —-2 £ Вп,

1-М*)12 1-й

где ш — неубывающая функция на [0,1], о;(0) = О, J —^ (И < оо.

о

Тогда

/(гчда) ,Ы0<о°

двп

для любого К > 0. В частности, \<р*\ < 1 ап-п.е.

Следующий результат, в духе теоремы 2.2.2, даёт количественное уточнение теоремы 2.2.1 для Qa(t) = (log f)_c\ Oi ^ Отметим, что условие (2.2.2) справедливо для Г2 = i2a тогда и только тогда, когда а ^

Теорема 2.2.3. Пусть п, т, £ N, а ^ голоморфное отображение ip : Вп —> Вт таково, что

/п 9 IVyMI Л в у и(1-\А2)

где функция и; удовлетворяет условиям теоремы 2.2.2. Пусть функция определена формулой (1.1.9). Тогда

(2.2.5) J ехр (ХФ2(|^(С)|2)) dan(Q < оо

двп

для любого К > 0. В частности, |</?*| < 1 ап-п.в.

Отметим, что аналог сформулированной теоремы при т = 1 можно получить с помощью предложения 2.1.2. Однако, предложение 2.1.2 позволяет доказать оценку (2.2.5) с Фа вместо Ф2, т.е. более слабый результат. Для доказательства теоремы 2.2.3 в полном объёме будет использована следующая лемма.

Лемма 2.2.4 ([17, лемма 3.3]). Пусть функция g Е Н{В\) обладает свойством \g'(z)\(l — |^|2) ^ со(1 — \z\2), z G В\, где функция со удовлетворяет условиям теоремы 2.2.2.

Пусть А > 0. Тогда существует постоянная С = C(A,lj, |д(0)|) < оо такая, что

J еМШгО\2) d°i(() < С

дВг

для всех 0 ^ г < 1.

Также нам потребуется следующий технический результат, который является частным случаем теоремы 2.1 из статьи [31].

Теорема 2.2.5. Пусть т Е N и а Е М. Тогда эквивалентной нормой на пространстве ЬаВ{Вт) является величина

/ \ а.

|/(0)|+ 8ИР |У/Н|(1- И2) (10£-

\ 1 — \и)\

где Vf(w) = ..., ¿^-(ги)^ обозначает комплексный градиент

функции /.

Пусть функция / Е Н(Вп). Для каждой точки £ Е дВп рассмотрим срез-функцию Д(А) = /(А£), А Е Ниже используется следующая теорема об интегрировании по срезам.

Теорема 2.2.6 ([4, предложение 1.4.7]). Пусть функция / Е Ь1(дВп). Тогда справедливо тоэюдество:

I /(0<МС) = I <ЫС) I /(£0^1(0-

Доказательство теоремы 2.2.3. Пусть константа г = тт12,а > 0 и функции Гх Е ЬаВ(Вт), 0 ^ х ^ 1, — это константа и функции, существование которых гарантировано теоремой 1.3.1 для р = 2. В силу теоремы 2.2.5 имеем

(2.2.6) |(1 - И2) < С

для и) Е Вт, 0 < ж ^ 1. Зафиксируем точку С Е ¿Шп. Рассмотрим срез-отображение ^(А) = (/?(А£), А Е .Вь Отметим, что

т

(^ О <р{)'(\) = £ • Ы«А), А(^)ил) = (тг^)(АС).

А/—1

Следовательно, используя оценки (2.2.6) и (2.2.4), имеем

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Петров, Андрей Николаевич, 2013 год

Литература

[1] А. Б. Александров, Собственные голоморфные отображения из шара в полидиск, ДАН СССР 286 (1986), № 1, 11-15.

[2] Дж. Гарнетт, Ограниченные аналитические функции, Мир, М., 1984.

[3] А. Зигмунд, Тригонометрические ряды, Т. 1, 2, Мир, М., 1965.

[4] У. Рудин, Теория функций в единичном шаре из С71, Мир, М., 1984.

[5] И. М. Стейн, Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций, Мир, М., 1973.

[6] Е. Abakumov and Е. Doubtsov, Reverse estimates in growth spaces, Math. Z. 271 (2012), no. 1-2, 399-413.

[7] P. Ahern and J. Bruna, Maximal and area integral characterizations of Hardy-Sobolev spaces in the unit ball of Cn, Rev. Mat. Iberoamericana 4 (1988), no. 1, 123-153.

[8] P. Ahern and W. Rudin, Block functions, BMO, and boundary zeros, Indiana Univ. Math. J. 36 (1987), no. 1, 131-148.

[9] A. B. Alcksandrov, J. M. Anderson, and A. Nicolau, Inner functions, Bloch spaces and symmetric measures, Proc. London Math. Soc. (3) 79 (1999), no. 2, 318-352.

[10] F. Beatrous and J. Burbea, Holomorphic Sobolev spaces on the ball, Dissertationes Math. (Rozprawy Mat.) 276 (1989), 60 pp.

[11] O. Blasco, M. Lindstróm, and J. Taskinen, Bloch-to-BMOA compositions in several complex variables, Complex Var. Theory Appl. 50 (2005), no. 14, 1061-1080.

[12] C. C. Cowen and B. D. MacCluer, Composition operators on spaces of analytic functions, Studies in Advanced Mathematics, CRC Press, Boca Raton, FL, 1995.

[13] E. Doubtsov, Characterizations of the hyperbolic Nevanlinna class in the ball, Complex Var. Elliptic Equ. 54 (2009), no. 2, 119-124.

[14] E. Doubtsov, Growth spaces on circular domains: composition operators and Carleson measures, C. R. Math. Acad. Sci. Paris 347 (2009), no. 1112, 609-612.

[15] E. Doubtsov, Bloch-to-BMOA compositions on complex balls, Proc. Amer. Math. Soc. 140 (2012), no. 12, 4217-4225.

[16] E. Doubtsov, Hyperbolic BMOA classes, J. Math. Anal. Appl. 391 (2012), no. 1, 57-66.

[17] E. Doubtsov, Inner mappings, hyperbolic gradients and composition operators, Integral Equations Operator Theory 73 (2012), no. 4, 537-551.

[18] K. M. Dyakonov, Weighted Bloch spaces, Hp, and BMOA, J. London Math. Soc. (2) 65 (2002), no. 2, 411-417.

[19] M. J. González and A. Nicolau, Multiplicative square functions, Rev. Mat. Iberoamericana 20 (2004), no. 3, 673-736.

[20] E. G. Kwon, Composition of Blochs with bounded analytic functions, Proc. Amer. Math. Soc. 124 (1996), no. 5, 1473-1480.

[21] E. G. Kwon, Hyperbolic mean growth of bounded holomorphic functions in the ball, Trans. Amer. Math. Soc. 355 (2003), no. 3, 1269-1294.

[22] E. G. Kwon, Hyperbolic g-function and Block pullback operators, J. Math. Anal. Appl. 309 (2005), no. 2, 626-637.

[23] E. G. Kwon, Bloch-Bergman pullbacks with logarithmic weights, Integral Equations Operator Theory 64 (2009), no. 2, 251-260.

[24] E. G. Kwon and M. Pavlovic, BiBloch mappings and composition operators from Block type spaces to BMOA, J. Math. Anal. Appl. 382 (2011), no. 1, 303-313.

[25] J. E. Littlewood, On inequalities in the theory of functions, Proc. London Math. Soc. (2) 23 (1925), 481-519.

[26] M. Pavlovic, Lacunary series in weighted spaces of analytic functions, Arch. Math. (Basel) 97 (2011), no. 5, 467-473.

[27] W. Ramey and D. Ullrich, Bounded mean oscillation of Block pull-backs, Math. Ann. 291 (1991), no. 4, 591-606.

[28] J. H. Shapiro, Composition operators and classical function theory, Uni-versitext: Tracts in Mathematics, Springer-Verlag, New York, 1993.

[29] J. H. Shi and L. Luo, Composition operators on the Bloch space of several complex variables, Acta Math. Sin. (Engl. Ser.) 16 (2000), no. 1, 85-98.

[30] W. Smith, Inner functions in the hyperbolic little Bloch class, Michigan Math. J. 45 (1998), no. 1, 103-114.

[31] X. Tang, Extended Cesaro operators between Bloch-type spaces in the unit ball of Cn, J. Math. Anal. Appl. 326 (2007), no. 2, 1199-1211.

[32] S. Yamashita, Hyperbolic Hardy class H1, Math. Scand. 45 (1979), no. 2, 261-266.

[33] K. Zhu, Spaces of holomorphic functions in the unit ball, Graduate Texts in Mathematics, vol. 226, Springer-Verlag, New York, 2005.