Оптимизация моделей и алгоритмов цифрового спектрального анализа коротких выборок сигнала тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.12.04, доктор технических наук Кошелев, Виталий Иванович

• Кошелев, Виталий Иванович
• доктор технических наук
• 2002

Оглавление диссертации доктор технических наук Кошелев, Виталий Иванович

1. Введение.

2. Оценка качества моделей спектрально-временных характеристик случайных процессов.

2.1. Анализ критериев качества моделей.

2.2. Построение контрольного спектра (модели).

2.3. Выводы к разделу 2.

3. Структурная оптимизация рабочих моделей.

3.1. Перераспределение порядков АР- и СС-составляющих.

3.2. Перераспределение дисперсий АР- и СС-составляющих.

3.3. Совместная оптимизация порядков и дисперсий АР- и СС-составляющих на примере рабочих моделей радиоотражений.

3.4. Выводы к разделу 3.

4. Параметрическая оптимизация рабочих моделей.

4.1. Стробирование коэффициентов рабочей модели с коррекцией дисперсии возбуждающего шума.

4.2. Стробирование коэффициентов рабочей модели с пересчетом ненулевых коэффициентов.

4.3. Оптимизация авторегрессионных моделей с неравномерной шкалой квантования коэффициентов.

4.4. Оптимизация рабочей модели по критерию взвешенного СКО в спектральной области.

4.5. Выводы к разделу 4.

5. Характеристики фильтров обработки сигналов при конечной выборке.

5.1. Сравнительный анализ методов вычисления динамических частотных характеристик параметрических моделей и фильтров.

5.2. Повышение качества моделирующего фильтра при конечной выборке.

5.3. Построение адаптивного обеляющего фильтра на базе рабочей АР-модели.

5.4. Выводы к разделу 5.

6. Оптимизация обработки сигналов в классе многоканальных цифровых СС-фильтров.

6.1. Обобщенная форма уравнения дальности обнаружения.

6.2. Характеристики и критерии синтеза многоканальных фильтров

6.3. Модификация метода Кейпона для оценки спектрального динамического диапазона.

6.4. Синтез алгоритмов многоканальной фильтрации на базе процессора БПФ.

6.5. Оптимизация числа и расстановки каналов многоканальных фильтров.

6.6. Повышение точности оценки доплеровской фазы сигнала. Интерполяционный алгоритм оценки фазы.

6.7. Выводы к разделу 6.

7. Адаптивные систолические структуры фильтров для подавления помех.

7.1. Синтез и анализ режекторных фильтров параллельной систолической структуры.

7.2. Синтез многоканального фильтра для подавления помех.

7.3. Выводы к разделу 7.

8. Технико-экономические показатели качества систем цифровой обработки сигналов.

8.1. Технико-экономическая оптимизация систем ЦОС.

8.2. Анализ влияния квантовании весовых коэффициентов на эффективность подавления помех в СС-фильтрах.

8.3. Вычислительные алгоритмы анализа эффективности систем ЦОС.

8.4. Повышение точности при вычислении и обработке сигналов методом сортировки мультипликаций.

8.5. Выводы к разделу 8.

9. Практическое применение методов оптимизации моделей и систем обработки сигналов в радиотехнических задачах.

9.1. Разработка моделей многомодовых радиолокационных помех и рабочих алгоритмов первичной обработки эхо-сигналов.

9.2. Оптимизация доплеровского БПФ-процессора при неэквидистантных отсчетах обрабатываемого сигнала.

9.3. Алгоритмы расширения динамического диапазона при спектральном оценивании шумов генераторов.

9.4. Разработка моделей токов замыкания в сетях 6-10 кВ и алгоритма ЦОС прибора селекции однофазных замыканий на землю.

9.5. Разработка моделей кардиоинтервалограмм для программно-аппаратного комплекса функциональной диагностики состояния здоровья

9.6. Применение методов спектрального анализа для оценки динамики нагрузки телекоммуникационных сетей.

9.7. Анализ периода вращения переменных звезд методами параметрического спектрального анализа.

9.8. Разработка программного комплекса «Стрела».

9.9. Выводы к разделу 9.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оптимизация моделей и алгоритмов цифрового спектрального анализа коротких выборок сигнала»

Актуальность темы определяется необходимостью синтеза радиотехнических систем (РТС) и устройств цифровой обработки сигналов в условиях априорной неопределенности статистического описания сигналов и помех, малого интервала наблюдения, недостаточного для получения качественных оценок параметров. Современное решение задачи синтеза РТС, в силу перечисленных причин, должно опираться на принципы системного подхода, статистические методы, использование критериев вида «сложность-эффективность» и должно быть технологичным с вычислительной точки зрения.

Общей характерной особенностью радиотехнических задач в области радиолокации, технической и медицинской диагностики является использование методов узкополосной фильтрации последовательностей ограниченной длины (короткой выборки).

Сам термин «короткая выборка» должен быть определен количественно. В зависимости от постановки задачи в различных источниках ему дается разное определение. В вычислительной математике под ним понимается выборка, для которой корреляционная матрица свободно размещается в ОЗУ с произвольным доступом. В математической статистике короткой считается выборка, длина которой соизмерима с интервалом стационарности процесса и недостаточная для получения статистических оценок параметров. В радиолокации короткой считается выборка, по которой трудно статистическими методами извлечь информацию о параметрах лоцируемых объектов. Последнее определение близко к принятому в цифровом спектральном оценивании, где короткой на основании известной теоремы о выборке принято считать выборку, при анализе которой требуемое спектральное разрешение 8Г имеет тот же порядок, что и величина обратная длине выборки {ММ) [1]- В дальнейшем будем использовать данное понимание термина «короткая выборка».

Известен ряд работ, посвященных проблемам обработки сигналов, связанным с короткой выборкой. Так, в [2] изложен метод восстановления спектра по конечному множеству экспериментальных данных, спектр которых функционально связан с истинным спектром интегральным уравнением Фредгольма 1 рода с сильно осциллирующим ядром. В [3] получены адаптивные алгоритмы распознавания многомерных нормальных измерений при коротких обучающих выборках.

В конкретных прикладных задачах математические и имитационные модели сложно построить непосредственно на основе непредставительных выборочных данных. Поэтому на основе первичной, так называемой фактографической, информации, как правило, производится редукция исходных данных с целью извлечения информативных параметров (Data Mining). Для этого требуется не только развитый математический аппарат, но и глубокое изучение предметной области позволяющее использовать априорные сведения об исследуемом процессе [4, 5]. Речь идет об обработке числовой (не текстовой) информации для выявления наиболее информативных с точки зрения исследователя параметров спектральной плотности мощности (СИМ) процесса. Данное направление имеет большое научно-практическое значение в сфере IT (информационных технологий) и является одним из аспектов актуальной проблемы извлечения информации (Data Mining). Как правило, информацию, имеющуюся в стохастических данных, можно разделить на структурную и случайную (порядок и хаос) [6].

Создание модели, отражающей основные свойства исследуемого процесса является важным этапом разработки РТС, влияющим на ее качественные характеристики. Использование параметрических моделей продуктивно в задачах радиотехники благодаря возможности качественно и количественно описать случайный процесс, представленный выборочными данными. Определяя параметры, можно формировать стохастическую модель порождения наблюдаемых данных. Тем самым параметрические модели позволяют достигать одной из главных целей статистики - представление данных в сжатомвиде. В [7] применяется математическая модель локационных сигналов на базе корреляционной функции, использующая формирующий фильтр. В [8, 9] качестве формирователей сигнала подстилающей поверхности рассматриваются АРСС-фильтры, синтезированные по аналоговому прототипу с дальнейшей минимизацией СКО по отношению к известной СПМ симплекс-методом Нелдера-Мида. Процедура формирования радиолокационного изображения подстилающей поверхности с использованием критерия минимума среднеквадратичной ошибки и с низким влиянием шума рассмотрена в [10]. Автором [11] предложена модификация метода высокого разрешения сигналов на основе метода наименьших квадратов без использования АР-модели. Показано, что метод более устойчив, чем АР-методы при негауссовом шуме и неэквидистантных отсчетах сигнала, но по объему вычисления он в несколько раз уступает им. Для синтеза модели авторегрессии и скользящего среднего по экспериментальным данным в [12] получено выражение финальной апостериорной плотности вероятности оцениваемых параметров случайного процесса. Особенностью применения указанных методов является представление процессов, формирующих скользящее среднее, в виде вектора состояния, описываемого линейным стохастическим разностным уравнением. Условные оценки этого вектора состояния зависят только от наблюдаемого процесса и неизвестных параметров модели. Время-частотное представление медицинских сигналов рассмотрено, например, в [13].

В рассматриваемом круге задач синтеза и анализа радиотехнических систем типичны процессы с многомодовыми спектрами [14, 15, 16, 17]. В ряде научно-исследовательских и опытно-конструкторских работ автором исследованы энергетические спектры Р(/Т) эхо-сигналов в радио (рис. 1.1) и оптическом (рис. 1.2) диапазонах, а также диагностических сигналов в системах релейной защиты электрических подстанций (рис. 1.3) и кардиоинтерва-лометрии, представленные на рис. 1.4 как функции относительных частот /Т. Сплошными линиями показаны мгновенные спектры, пунктиром - СПМ.

СПМ мешающих отражений от подстилающей поверхности и полезных сигналов в Х-диапазонеPif) 0,750,50,25-0,5 -0,25 F,T F2T FsT JTРис. 1.1СПМ ТНП при однофазном замыканииСПМ отражений от рассеивающей неоднороднойPif) 0,750,50,250СПМ кардиоинтервалограммы человекаPif) 0,750,50,250среды в оптическом диапазоне ^НЩ/^ф/ F,T F2T F3T F<T 0,5 Рис. 1.20,75JTНесмотря на внешние различия представленных сигналов, для описания их СПМ в некоторых случаях можно использовать аддитивную функцию с компонентами в виде процессов с одномодовыми спектрами. Каждая из мод описывается положением /^Т, шириной Кроме того, как будет показано в дальнейшем, важными являются спектральный динамический диапазон X и параметры формы отдельных мод.

Одной из наиболее простых и очевидных моделей дискретных радиосигналов х(/'), широко применявшихся в практических задачах, видимо, можно считать комбинацию действительных гармонических компонент:м7 = 1где к; - весовой коэффициент, определяющий долю у'-ой компоненты; ^ -центральная частота у'-ой спектральной компоненты (моды); - начальная фазау'-ой гармонической компоненты. Поскольку реально наблюдаемые выборочные данные носят стохастический характер и при их анализе необходимо применение статистических методов, детерминизм гармонической модели частично устранялся введением случайной начальной фазы компонент и добавлением шумовой компоненты. Процесс с равномерно распределенной на периоде фазой имеет нулевое математическое ожидание и коэффициенты корреляции:] мп соз(2л//т)I 7 = 1В более общем случае процесс, представленный суммой М комплексных экспонент вида:м7 = 1Мхарактеризуется коэффициентами корреляции г1 = ехр(\2к/ /Т).

7 = 1 *Начиная с 50-60-х годов и по настоящее время в теории обработки сигналов и, в частности, в радиолокации для моделирования радиоотраженийшироко использовались модели многомерных случайных нормальных процессов [18, 19, 20], плотность вероятностей которыхЖ(х) = (4тг)д' с!еГ1 Кехр{-х"к|х/2}, где х - выборочный п-мерный вектор процесса, И и Я"1 - прямая и обратная корреляционные матрицы обрабатываемого процесса, а символ н обозначает транспонирование и комплексное сопряжение. Причем для модели белого гауссовского шума (БГШ) - единичная матрица. Вторые моментыраспределения (корреляционные моменты) полностью характеризуют статистические параметры исследуемого процесса. Методы спектрального анализа оперируют со СПМ, однозначно связанной со вторыми моментами распределения вероятностей, и потому также содержат исчерпывающую информацию о статистике процесса с нормальным распределением. Таким образом, математическая модель гауссовского случайного процесса требует описания либо корреляционных моментов, либо СПМ. Данное исследование направлено на развитие спектрального анализа как метода математического и имитационного моделирования СПМ в условиях неполной информации [21].

Принципиальным недостатком такой модели сигнала является одномо-довый характер формы СПМ и непригодность ее для описания многомодо-вых (в спектральной области) процессов с «негладким» спектром. Для такой модели спектральными параметрами сигнала должны быть положение, форма и ширина нескольких максимумов, а также соотношение мощностей всех компонент, включая шумовую компоненту.

Модель многомодового процесса можно представить в виде аддитивного Уг-компонентного процесса, СПМ которогоР(Л =1^/(1 +[(/-/;)/Д/ЛУ',7 = 1где - соответственно ширина спектра флуктуаций и степень связности]-ой компоненты аппроксимирующего марковского процесса. Упрощенным аналогом данной модели во временной области является модель, включающая весовую сумму некоторого числа Jc марковских компонент:/>(/)= и г, + (1 - а,) И р, ] + ЯЕ /(1 + Я),/где Ир,, Иру - соответственно матрицы корреляцийу'-ой компоненты при (3—>со и Р=\. Однако при большом числе мод наряду с трудоемкостью такой модели оказывается трудно учесть взаимовлияние компонент.

Ограниченность подобного описания имитационных моделей процессов состоит таже в том, что оно приводит к фильтрам скользящего среднего (СС) [24]. Порядок д СС-фильтров для узкополосных многомодовых процессов оказывается при этом завышенным (д>100), что входит в противоречие с практически имеющейся короткой выборкой. Так, для имитации процессов с корреляционной матрицей порядок моделирующего СС-фильтра сложным образом зависит от ширины моды. Проведенный анализ показывает, что эта зависимость достаточно точно аппроксимируется эмпирической формулой:где ¡п^*] - целая часть числа. Данное выражение отражает резкое возрастание порядка СС-фильтра при уменьшении ширины спектра флуктуаций формируемого процесса. Противоположный характер имеет зависимость порядков авторегрессионых (АР) фильтров от ширины спектра флуктуаций г/ГГ, что позволяет с их помощью хорошо описывать узкополосные процессы при короткой выборке. Такие зависимости для одномодовой СПМ при а-1 и в диапазоне изменения ширины моды СПМ с1РТ=0,03.0,3 приведены на рис. 1.5. Из данного рисунка видно, что порядок АР-фильтра, необходимый для формирования узкополосного процесса (й'/гГ<0,1) многократно снижается по сравнению с требуемым порядком СС-фильтра. В тоже время форма СПМ за пределами моды узкополосного процесса сравниваемых фильтров сущестенно различается. В частности, в [25] приводятся данные о высоком качестве аппроксимации одномодовой СПМ АР-фильтром третьего порядка.Зависимости порядков моделирующих АР- и СС-фильтров от ширины моды СПМРис 1.5Однако методика определения связности /? цепи Маркова [20], основанная на вычислении переходных вероятностей цепи, требует большого числа выборочных данных и не применима при короткой выборке. Исследователю необходимо разрешать противоречие между адекватностью модели реальному процессу и ее аналитической и вычислительной сложностью. Широкие возможности с точки зрения описания многомодовых процессов в различных приложениях открывает использование комбинации АР- и СС-фильтров (АРСС-фильтров) [26, 27, 28, 29, 30, 3 1, 32, 33, 34]. В [35] предложена методика синтеза алгоритма пространственно-временной селекции отраженных на фоне отражений от подстилающей поверхности сигналов с использованием авторегрессионной модели. Алгоритмы ЦОС могут основываться на двух вариантах метода наименьших квадратов - обычном и блоковом. В [36] показано, что блоковая процедура требует значительно меньшего объема памяти. Таким образом, задачи выбора критерия синтеза и определения порядковр, д АР- и СС-составляющих остаются нерешенными.

Известны также эффективные методы спектрального анализа сигналов: максимума энтропии (ММЭ) Берга [37], максимального правдоподобия (МП) Кейпона [38], Прони [39], а также группа методов, основанных на анализе собственных значений [40, 41], таких, в частности, как метод гармонического разложения Писаренко. Данные методы взаимосвязаны, и каждый из них имеет свою область применения. Метод Берга рассматривается в качестве одного из способов вычисления коэффициентов АР-модели при гауссовском законе распределения, метод Кейпона удобен для получения спектральной оценки на отдельной частоте (опорном направлении). Метод Прони хорошо описывает данные представляемые в виде суммы экспоненциальных компонент, но его точность критична к уровню белого шума, кроме того он не позволяет учесть коррелированные помехи. Известны попытки объединить преимущества непараметрических и параметрических методов. Один из методов повышения разрешающей способности по частоте при обработке короткой выборки описан в [42]. Он использует процедуру линейного предсказания, «удлиняющую» сигнал для последующего БПФ.

При короткой выборке наиболее перспективными представляются параметрические методы АРСС и методы, основанные на анализе собственных значений корреляционной матрицы процесса. В связи с этим им уделено наибольшее внимание в данном исследовании. Основные результаты получены на основе оптимизации АРСС-алгоритмов и при использовании метода опорных направлений (Кейпона), а также при использовании непараметрических СС-алгоритмов, реализуемых многоканальными структурами. Перспективно применение АРИСС-алгоритма, включающего дополнительную операцию интегрирования среднего и применяемого для нестационарных рядов данных. Однако он требует большого объема данных, что входит в противоречие со спецификой диссертации - короткой выборкой сигнала.

Обнаружение сигналов и оценка его параметров, как правило, производятся в условиях априорной неопределенности. Особенно остро такая проблема стоит при освоении нетрадиционного диапазона частот, исследовании малоизученных объектов, использовании сложных видов модуляции, при анализе телеметрической информации в задачах технической и медицинской диагностики. Проблема дополнительно усложняется тем, что статистические выводы приходится делать на основании анализа выборочных данных недостаточной длины.

Для выделения информационных параметров случайных процессов используются оценки максимального правдоподобия и методы сведения сложной гипотезы к простой [43], 44]. Такой подход соответствует классическим методам статистического приема и обработки сигналов [45, 46], получившим широкое развитие в теории локации [18, 47, 19, 48] и других радиотехнических приложениях. Преодоление априорной неопределенности возможно как в рамках метода, получившего название «адаптивного байесовского подхода» [49], так и методами усреднения целевых функций по вероятностной мере, связанной с неизвестными параметрами процессов [18, 19, 23, 44].

В семидесятых годах сформировалась теория статистической обработки адаптивной сигналов. Фундаментальные отечественные [49, 50, 51] и зарубежные [52, 53] работы по этой тематике показали, что введение адаптации существенно расширяет диапазон изменения параметров входных процессов, при котором обеспечивается высокая эффективность функционирования систем приема и обработки сигналов. Вместе с тем, адаптация, предполагая оперативную оценку параметров процесса, приводит к существенному усложнению радиосистем и вносит дополнительные ошибки при обработке. Создание практических высокоэффективных устройств адаптивной обработки на базе аналоговой техники проблематично. Цифровая реализация алгоритмов обработки и оценивания сигналов открыла новые возможности в этом направлении. Наибольшее распространение получили методы линейной цифровой фильтрации, которые реализуют векторные и матричные операции [54, 55]. Ряд практических приложений, связанных с обработкой локационных сигналов, характеризуется плохой обусловленностью корреляционных матриц процессов, жесткими ограничениями на разрядность и быстродействие цифровых устройств [56, 57]. При этом реализуются специфические алгоритмы псевдообращения [58] и решается проблема поиска собственных чисел, которой посвящены отдельные монографии, например [59].

Значительный вклад в разработку классических методов спектрального анализа внесли Блэкман, Тьюки, Дженкинс, Ватте, Томсон. Шустером предложен широко известный метод периодограмм. Слуцкий и Даньелл установили, что флуктуации периодограммы соответствуют ее среднему значению, и выдвинули идею ее сглаживания. Барлеттом предложен метод усреднения по множеству периодограмм. В методе Уэлча данный подход применялся к перекрывающимся сегментам данных и использовано их взвешивание. Значительный шаг вперед сделан Юлом, предложившим использовать линейный регрессионный анализ данных и Уолкером, исследовавшим этим методом затухающие синусоидальные временные ряды. Существенный вклад внесли в развитие прикладных методов спектрального анализа и теорию ЦОС отечественные ученые Гольденберг, Ланнэ, Кравченко, Коршунов, Лихарев, Свердлик. Развитые в ряде работ алгоритмы, в том числе алгоритмы коррело-граммного и периодограммного спектрального анализа, определяемые в [ 1, 4] как классические, основаны на дискретном преобразовании Фурье (ДПФ) эмпирической корреляционной матрицы или самих данных. Потенциально эффективные при неограниченной длине выборки, они оказываются малоэффективными при ее ограничении. Поэтому, несмотря на высокую вычислительную эффективность использования алгоритма быстрого преобразования Фурье (БПФ) (без взвешивания или со взвешиванием) [60], данные методы имеют ограниченное применение в задачах анализа СПМ сигналов, представленных малым количеством отсчетов.

Два основных вида оценки СПМ P(f) определяются выражениями [1]:P(f)=ï гуехрН2лг/},J=оP(f)= lim MN/V -1Х>0')ехр{-/2лJf}Л'^со ,у у = 0где /у - коэффициенты автокорреляционной последовательности (АКП), х(/) -временные отсчеты процесса.

Данные выражения приводят к эквивалентному результату при условии неограниченного увеличения объема выборки. В то же время математические и имитационные модели данных при коротких выборках не обладают достаточной адекватностью наблюдаемому процессу и имеют низкую вычислительную эффективность.

Научно-технический прогресс в области радиолокации [61], технической и медицинской диагностики, связи, астрономии закономерно связывают с внедрением алгоритмов, устройств и систем цифровой обработки сигналов. Преимущества цифровых методов перед аналоговыми реализуются в рамкахтеории цифровой обработки сигналов, представленной, например, в работах [62, 63]. Еще в [64] отмечалось, что повышение точности выполнения операций в цифровых устройствах является задачей организации алгоритмов вычислений, которая ждет теоретических и прикладных решений. С тех пор в решении данной проблемы наметился ряд новых направлений. Одним из перспективных направлений стало использование операндов переменной длины в рамках нейросетевых структур спецпроцессоров сигналов [65, 66].

Анализ рынка электронных компонентов показывает постоянный рост спроса на цифровые процессоры сигналов со специализированной структурой, основанной на систолических и волновых матрицах [57]. Производители чипов как разработчики аппаратуры ЦОС стоят перед выбором: повышать быстродействие и точность (число разрядов) цифровых процессоров обработки сигналов (ЦПОС) универсальной структуры или совершенствовать организацию вычислений, т.е. алгоритмы обработки сигналов в больших интегральных схемах (БИС) специализированной систолической структуры [57, 67]. Ряд результатов настоящего исследования направлен в более перспективном, на наш взгляд, втором направлении, позволяющем достичь эквивалентного вычислительного эффекта при значительно меньших затратах. Одной из проблем, требующей решения на настоящем этапе развития теории и техники цифровой обработки радиотехнической информации, является создание в условиях противоречивых требований таких алгоритмов, которые позволяют:• получать качественные оценки СПМ по коротким выборочным данным случайного процесса;• создавать имитационные модели процессов со спектральными характеристиками, соответствующими процессу-оригиналу;• строить на основе моделей одноканальные и многоканальные устройства цифрового спектрального анализа сигналов, отличающиеся высокой вычислительной эффективностью в прикладных радиотехнических задачах.

Решение этих научно-технических проблем сдерживается следующими факторами:• недостаточным теоретическим обоснованием структуры и параметров рабочих моделей стохастических процессов при коротких выборках;• отсутствием формализованных и практически реализуемых процедур оптимизации структуры и порядка моделей;• недостаточным исследованием вопросов выбора структуры и параметров моделей в прикладных радиотехнических задачах, таких как локация объектов, техническая и медицинская диагностика, связь и других;• отсутствием систематических результатов по применению быстрых (в том числе параллельных) алгоритмов обработки, базирующихся на корректно заданных моделях входного сигнала.

Данные недостатки не позволили до сих пор разработать методологию создания новых программно-аппаратных средств решения прикладных задач, которая приводила бы к следующей логической схеме проектирования: «цели и критерии - эксперимент - выборка - модель - алгоритм обработки - систолическая структура процессора обработки сигналов».

Перечисленные обстоятельства определяют необходимость комплексных теоретических и экспериментальных исследований в области цифрового спектрального анализа, обработки сигналов, разработки аналитических математических и имитационных (программных) моделей стохастических сигналов, методов оптимизации, синтеза и анализа систем обработки. Их результатом должно стать решение актуальной научно-технической проблемы проектирования современных высокоточных и высокоскоростных систем и устройств ЦОС, обеспечивающих адаптацию по структуре и параметрам к свойствам обрабатываемых выборок, высокую скорость, точность и динамический диапазон обработки данных, возможность проведения машинных экспериментов и агрегатного накопления полезной информации.

Диссертационное исследование соответствует приоритетным направлениям фундаментальных научных работ, утвержденных Президиумом Российской Академии наук по разделам: "Радиофизика, электроника, акустика", "Информатика", подразделам: "Математическое моделирование, методы вычислительной и прикладной математики и их применение к фундаментальным исследованиям в различных областях знаний", "Теория информации и управления, информационные процессы в системах и сетях, биоинформатика", "Интегрированные информационно-телекоммуникационные сети и системы". Данная работа развивает критические технологии федерального уровня, утвержденные Правительственной комиссией по научно-технической политике 21.07.96 (№ 2727п-П8 и №2728п-П8), по разделам: "Информационно-телекоммуникационные системы", "Системы математического моделирования", "Опто- и акустоэлектроника", "Навигационные системы", "Технологии мониторинга природно-техногенной сферы", "Системы искусственного интеллекта и виртуальной реальности". Прикладные разработки в области энергетики соответствуют международной энергетической программе СИГРЭ.

Исследования проводились в приоритетных направлениях развития науки и техники, соответствующих следующим кодам ГРНТИ: 29.35.17 -«Статистическая радиофизика», 28.17.23 - «Моделирование физических процессов», 29.03.77 - «Моделирование физических явлений и методы решения физических задач с применением ЭВМ», 76.35.29 - «Авиационная и космическая медицина», 55.49.51 - «Бортовые системы и оборудование космических аппаратов и ракет», 47.49 - «Радиотехнические системы зондирования, локации и навигации», 49.27.31 - «Системы и аппаратура цифровой передачи».

Диссертационная работа выполнялась в рамках программ:• «Конверсия и высокие технологии»;• «Создание системы открытого образования»;• «Научное, научно-методическое, материально-техническое и информационное обеспечение системы образования»;• «Научные исследования высшей школы по приоритетным направлениям науки и техники».

Работа поддержана тремя грантами Министерства образования в 1995, 1997-1998, 1999-2000 г.г. В рамках прикладных исследований реализован ряд проектов, финансировавшихся промышленными предприятиями, НИИ и Министерством образования РФ. Методы параметрического цифрового спектрального анализа внедрены в экспериментальную локационную аппаратуру и аппаратуру цифровой многоканальной фильтрации доплеровских сигналов, в диагностический программно-аппаратный комплекс анализа адаптационных возможностей человеческого организма, а также в учебный процесс Рязанской государственной радиотехнической академии. По результатам теоретических исследований запатентован и создан ряд диагностических приборов для систем релейной защиты в электроэнергетике. Один из них отмечен дипломом межрегиональной промышленной выставки в 1999 г. и экспонировался на выставке «Энергосбережение в регионах России» в 1999 г. во ВВЦ в павильоне «Электрификация». Результаты работы использованы при анализе трафика телефонных станций и при анализе периодичности изменения яркости астрономических объектов.

Цель и задачи работы. Основной целью работы является разработка новых и обобщение известных методов проектирования радиотехнических систем обработки случайных сигналов на фоне помех в условиях параметрической априорной неопределенности при недостаточном объеме данных. Они включают в себя этап создания экспресс-моделей коротких выборок сигналов и завершаются алгоритмами и устройствами ЦОС, позволяющими повысить качественные и экономические показатели РТС.

Поставленная цель достигается решением следующих задач:• создания методов и вычислительных процедур модельного описания стохастических сигналов по коротким экспериментальным выборкам;• разработки критериев синтеза моделей на основе понятия «контрольный спектр» в условиях полной или частичной параметрической априорной неопределенности сигнала и помех;• обоснования критерия системного синтеза сложных радиотехнических систем обработки сигналов;• введения критериев и методов синтеза, многоканальных фильтров обработки сигналов;• анализа возникающих при реализации погрешностей квантования операндов и результатов операций;• разработки вычислительно эффективных алгоритмов малочувствительных к шумам вычислений;• уменьшения влияния погрешностей квантования коэффициентов и входной выборки;• разработки специализированных алгоритмов, выявленные структурные свойства которых позволяют использовать систолическую организацию структуры вычислений, в том числе на базе быстрых преобразований.

Комплексное решение перечисленных актуальных задач с единых методологических позиций, позволяющее сделать теоретические обобщения, представляется как решение важной научно-технической проблемы, направленной на улучшение основных качественных характеристик РТС и входящих в их состав устройств ЦОС, определяющих помехоустойчивость, помехозащищенность, адаптивность, робастность системы в целом.

Методы исследований, использованные в работе, базируются на статистической теории радиотехнических систем, системном анализе, математическом моделировании, операционном исчислении, вычислительной математике, линейной алгебре, цифровом спектральном анализе. Теоретические исследования использовались автором как база для решения экспериментальных и прикладных задач в области конкретных разработок устройств и подсистем ЦОС современных РТС.

На защиту выносятся следующие основные положения диссертации.

В диссертационной работе сформулированы и обоснованы следующие научные положения:1. Разработанные методы и процедуры оптимизации имитационных моделей сигналов, представленных короткой выборкой, позволяют в 1,5.2 раза повысить точность аппроксимации их СПМ (по критериям СКО и ММО), на (20.50)% сократить объем информационного массива и на (20.30)% уменьшить количество вычислительных операций при генерации модели и АР-фильтрации сигналов.

2. Полученные на основе обобщенного уравнения дальности обнаружения алгоритмы многоканальной СС-фильтрации позволяют увеличить среднюю вероятность обнаружения сигнала на (2. 15)%, на порядок уточнить оценку доплеровской частоты сигнала, сократить число частотных каналов на (5.8)%.

3. Синтезированные систолические структуры алгоритма параллельной адаптивной СС-фильтрации сигналов на фоне помех позволяют реализовать эффективность близкую к эффективности систем оптимальной фильтрации при вдвое меньшем объеме обучающей выборки.

4. Созданные вычислительные алгоритмы, основанные на использовании полной и частичной условной сортировки мультипликаций, обеспечивают повышение точности вычислений квадратичной формы до величин порядка 10"16 при решении задач синтеза, анализа и обработки узкополосных процессов.

Реализация перечисленных теоретических положений в решение задач ЦСА в области радиолокации, энергетики, медицины, связи, астрономии позволяет существенно улучшить их основные качественные и количественные показатели.

В целом в диссертации изложены научно обоснованные технические решения, внедрение которых вносит значительный вклад в развитие экономики страны и повышение ее обороноспособности, в ускорение научно-технического прогресса в области обработки сигналов в системах радиолокации, технической и медицинской диагностики.

На рис. 1.6, 1.7 представлены характеристики диссертационной работы, отражающие взаимосвязь ее теоретических и практических разделов.

В диссертации в соответствии с поставленными целями определены критерии синтеза моделей случайных сигналов, произведен учет ограничений аппаратурного характера, в том числе диктуемых требованиями к вычислительной эффективности, быстродействию, возможности реализации на базе систолических структур. Приведены результаты решения прикладных научно-технических задач. Диссертация состоит из 9 разделов, списка условных обозначений, списка литературы и приложений. Укрупненно тема исследования раскрывается в соответствии со схемой, приведенной на рис. 1.7.

В первом разделе приведен обзор информационных источников по теме исследования, основанный на фундаментальных работах, положенных в основу диссертации. Приведены основные характеристики работы, ее цели, методы решения и структура, основные детерминированные и стохастические модели выборочных данных.

Во втором разделе вводятся оценки качества моделей случайных процессов, целевые функции задачи синтеза моделей. Показано, что известные методики синтеза моделей не в полной мере отвечают практическим задачам цифрового спектрального анализа. Введено понятие «Контрольный спектр» и методика его использования при синтезе. Проведена оценка качества моделей по известным и введенным новым критериям.

В третьем разделе проводится оптимизация структуры рабочих параметрических моделей многокомпонентных, многомодовых процессов. Приводится методика оптимизации порядков АР- и СС-составляющих моделей, аСтруктура исследованияШАктуальность проблемыСостоит в необходимости разработки методов синтеза и анализа систем цифровой обработки сигна лов в области радиолокации, связи, технической и медицинской диагностики в условиях малого ин тервала наблюдения, что не позволяет получать технологичные с вычислительной точки зрения удовлетворяющие критерию «сложность-эффективность» решения.

Цель работы: разработка методов цифровой обработки случайных сигналов при неполной априорной информации на основе коротких экспериментальных выборок и, включающих в себя создание экспресс-моделей сигналов, а также алгоритмов и устройств ЦОС, позволяющих повысить качественные и экономические показатели РТС различного назначенияЗадачи исследования: методы и критерии синтеза моделей стохастических сигналов но коротким выборкам, определение понятия «контрольный спектр», методы синтеза многоканальных фильтров, вычислительно эффективные алгоритмы малочувствительные к шумам вычислений, алгоритмы с систолической организацией структуры вычислений.

Докторская диссертация:«Оптимизация моделей и алгоритмов цифрового спектрального анализа коротких выборок сигнала»Научная новизнаДля синтеза модели оп ределено понятие «кон трольный спектр»;Разработан метод оп тимизаиии общего поряд ка модели АРСС и его со ставных частей;Разработаны метод оптимизации многоканаль ных структур с обшей раздельной весовой обра боткой в каналах;Введены критерии решена задача повышени точности и минимизаии вычислительной сложно сти алгоритмов цифровог спектрального анализа;Разработаны систоли ческие структуры адаптив ной цифровой режекци помех.ИОсновные положения, выносимые на эашитуРазработанные методы и процедуры оптимизации имита ционных моделей сигналов, представленных короткой вы боркой, позволяют в 1,5.2 раза повысить точность апмрок симации их СГ1М (по критериям СКО и ММО). и (20. 50)% сократить объем информационного массива и к (20 30)% уменьшить количество вычислительных опера ций при генерации модели и AP-фильтрации сигналовПолученные на основе обобщенного уравнения дальност обнаружения алгоритмы многоканальной СС-фильтраци позволяют увеличить среднюю вероятность обнаружен» сигнала на (2. 15)%, на порядок уточнить оценку доплеров ской частоты сигнала, сократить число частотных канало на (5. 8)%.

Синтезированные систолические структуры алгоритм параллельной адаптивной СС-фильтрации сигналов на фон помех позволяют реализовать эффективность близкую эффективности систем оптимальной фильтрации мри влво меньшем объеме обучающей выборкиСозданные вычислительные алгоритмы, основанные и использовании полной и частичной условной сортировк мультипликаций, обеспечивают повышение точности вы числений квадратичной формы до величин порядка 10'"' пр решении задач синтеза, анализа и обработки узкополосны процессов.

Практическая ценностьВыполнен ряд ОКР, в результате которых показана целесообразность использования методов оптимизации алгоритмов и устройств цифрового спектрального анализа в задачах синтеза моделей коротких экспериментальных последовательностей сигналов в таких областях радиотехники, как радиолокация, связь, техническая и медицинская диагностика.

Внедрение результатов: Запатентованы и разработаны для опытной эксплуатации диагностические приборы систем релейной зашиты в электроэнергетике (приборы экспонировались на выставках, в т.ч. ВВЦ и отмеченные дипломом); внедрена в разработку НИИР - Фазотрон структура ЦОС и рабочие алгоритмы доплеровской фильтрации сигналов БРЛС; алгоритмы и рабочие программы для кардио-интервалометрии внедрены в программно-диагностический комплекс МЬос)у; внедрены в НИИ «Стрела» методы системного синтеза РЛС; методологические вопросы ЦОС внедрены в учебный процесс.

Апробация материалов диссертациипроизведена на 26 НТК НТК, симпозиумах и семинарах, в.т.ч. 14 международного, 9 всероссийского и 3 регионального уровня.

Публикация результатов диссертации:По теме диссертации опубликовано 156 работ, в том числе I монография, изданная в издательстве «Радио и связь», 1 7 статей в рекомендуемых ВАК изданиях, 23 изобретения и I учебное пособие.

Содержание исследованияРис. 1.7Круг рассматриваемых в диссертации методовцифрового спектрального анализа и обработки сигналовтакже весовых коэффициентов, определяющих вклад каждой из составляющих. Вводится критерий вычислительной сложности имитационной модели и алгоритмов обработки экспериментальных последовательностей. На конкретных примерах показано использование априорной информации о процессе для структурной оптимизации алгоритмов моделирования и обработки коротких выборок сигнала.

В четвертом разделе исследованы модифицированные алгоритмы параметрического авторегрессионного моделирования коротких экспериментальных последовательностей. Предложены модификации алгоритмов авторегрессионного моделирования коротких выборок:• методы стробирования коэффициентов рабочей модели с коррекцией ошибок;• метод неравномерной шкалы квантования коэффициентов рабочей модели, обеспечивающий минимизацию вычислительных операций и объема памяти, необходимой для имитационной модели;• метод оптимизации рабочей модели по критерию взвешенной СКО в спектральной области.

В пятом разделе рассмотрены эффекты, связанные с ограничением числа отсчетов сигнала при использовании АР-фильтров в качестве фильтров обработки. Рассматривается два подхода к расчету динамических частотных характеристик фильтров: метод Флетчера и метод ограничения импульсной характеристики. Применен аппарат пространства состояний для исследования возможностей ускорения переходного процесса АР-фильтра предварительной инициализации памяти. Предложен и проанализирован алгоритм обеления помехи, реализуемый при переходе от АР-фильтра к СС-фильтру.

Шестой раздел посвящен оптимизации обработки сигналов в классе многоканальных цифровых СС-фильтров. Исследованы вопросы структурно-параметрической оптимизации РЛС на основе анализа обобщенного уравнения радиолокации (уравнения дальности обнаружения), рассматриваемогокак общесистемный функционал. Предложенная модификация заключается во включении в уравнение дальности обнаружения модельного описания обрабатываемых процессов. Рассмотрены критерии синтеза и структурные особенности многоканальных фильтров (МФ), решающие задачу первичной обработки локационных сигналов в классе непараметрических методов спектрального анализа. Проведен анализ энергетических характеристик МФ и влияния на них параметров обрабатываемых сигналов. При заданных ограничениях по вероятностному критерию синтезированы алгоритмы на базе процессора БПФ. Разработан алгоритм оптимизации числа и расстановки до-плеровских каналов многоканального фильтра. Показано, что снижение точности оценки частоты сигнала при сокращении числа частотных каналов МФ может быть скомпенсировано применением интерполяционных алгоритмов оценки частоты.

Седьмой раздел содержит результаты синтеза и анализа адаптивных режекторных фильтров параллельной систолической и многоканальной структуры. Предложены алгоритмы фильтрации, ориентированные на использование спецпроцессоров сигналов и программируемых логических интегральных схем (ПЛИС).

В восьмом разделе рассмотрены технико-экономические показатели качества систем цифровой обработки сигналов и методы их оптимизации. Проанализирована эффективность режекторных фильтров при квантовании весовых коэффициентов и показано, что платой за повышение эффективности является рост разрядности представления коэффициентов фильтра. Рассмотрены вычислительные особенности алгоритмов анализа эффективности систем ЦОС. Разработана процедура частичной сортировки мультипликаций при выполнении стандартной операции суммирования с накоплением MAC.

Девятый раздел содержит решение конкретных прикладных задач синтеза моделей и алгоритмов обработки сигналов, основанных на результатах настоящего исследования. В данном разделе рассмотрены вопросы разработки моделей многомодовых радиолокационных помех, рабочих алгоритмов первичной обработки сигналов в локаторе. Полученные теоретические результаты приложены к исследованию спектральных характеристик шумов генераторов сигналов. Представлены, разработанные модели токов замыкания в сетях 6-10 кВ и алгоритм обработки сигнала для прибора селекции однофазных замыканий на землю, модели кардиоинтервалограмм для функциональной диагностики состояния здоровья человека. Приведены результаты исследования трафика в телекоммуникационных сетях методами цифрового спектрального анализа и анализа периода вращения переменных звезд в астрономии. Рассмотрены характеристики и возможности, разработанного в рамках министерских программ информатизации образования программного комплекса «Стрела», используемого в учебном процессе и экспонировавшегося на ВВЦ в 2001 г.

В заключении подводятся итоги исследований по модельному описанию экспериментальных данных, представленных короткой выборкой, и синтезу алгоритмов фильтрации на базе АР- и СС-фильтров. Намечены пути и перспективы исследований в данном научном направлении. В приложениях представлены список условных обозначений и аббревиатур, перечень патентов и авторских свидетельств по теме диссертации, а также копии актов внедрения результатов диссертационной работы в практические разработки ряда организаций и в учебный процесс.

По теме диссертации опубликовано 156 работ, в том числе 1 монография, изданная в издательстве «Радио и связь», 17 статей в рекомендуемых ВАК изданиях, 23 изобретения и 1 учебное пособие.

2. Оценка качества моделей спектрально-временных характеристик случайных процессов1. Во втором разделе дается модельное описание спектрально-временных характеристик случайных процессов, рассматриваются задачи синтеза моделей и используемые целевые функции. Показано, что ни одна из известных методик не отвечает в полной мере практическим задачам, решаемым в данном исследовании. Введено понятие «контрольный спектр», разработана методика его использования при синтезе. Создана двухэтапная процедура, основанная на сравнительном анализе контрольного спектра и спектра синтезируемой модели. Проведена оценка качества моделей по известным и введенным новым критериям.

Различные аспекты выбора критериев качества моделей получили освещение в работах [1, 4, 5, 38, 41, 68, 69, 70], а также работах многих других авторов. Общий вывод, следующий из анализа известных работ, состоит во взаимосвязи применяемого критерия качества модели и получаемых решений (порядка модели и ее параметров). Поэтому вначале целесообразно провести качественный анализ существующих критериев качества моделей, а затем обосновав выбранный критерий выполнить структурную и параметрическую оптимизацию модели.

2.1. Анализ критериев качества моделейВ процессе научных исследований выработаны основные требования, которым должны удовлетворять модели случайных процессов. Основным из них является требование адекватности модели процессу-оригиналу. Требование адекватности весьма непросто как в методологическом, так и в математическом смысле и должно формулироваться только совместно с целью моделирования. Вначале разграничим понятия адекватности и эквивалентности случайных процессов. Определение эквивалентности случайных процессов Л'|(/) и х2{() (взаимной абсолютной непрерывности их распределений вероятностей и в некотором функциональном пространстве) на интервале /0<кгЛ; введено Фельдманом [71]. Важным является то обстоятельство, что спектральные плотности эквивалентных случайных процессов также эквивалентны, однако обратное утверждение неверно. Условием эквивалентности непрерывных случайных процессов является существование производных высших порядков для разности корреляционных функций вида: 0 - -0 = 1 ехр{^ - 0} (фI - Фт) ¿д на квадрате где Яг - корреляционные функции процессов.Х|(/) и хг(/); Ф\, Фг - произвольные финитные функции [72].

Разность Ф|-Ф2 является произвольной финитной функцией, равной нулю на интервале -до<д<до при| {Ф\-Ф2)2с1д<оо.

Однако для замещения случайного процесса-оригинала имитационной моделью требование эквивалентности в данном статистическом смысле непродуктивно, т.к. не ведет к получению компактного воспроизводимого алгоритма генерации модели. Исследователю требуется такая степень адекватности модели оригиналу, которая сообразна поставленной им цели моделирования. Степень адекватности модели должна оцениваться некоторой количественной мерой, которая позволяет сравнивать различные модели и анализировать их параметры [73]. Фундаментальная роль в синтезе модели отводится эксперименту, который планируется исходя из представлений (парадигмы) об априорной модели, а по завершении эксперимента позволяет перейти к уточненной апостериорной модели. Априорная информация позволяет исследователю провести предварительную идентификацию модели среди некоторого множества моделей, грубо задав ее вид и, если возможно, часть параметров. В результате получается некоторая априорная модель, базирующаяся на гипотезах и предположениях и требующая дальнейшего уточнения по мере накопления экспериментальных данных.

Ограничим рассмотрение классом регулярных каузальных стационарных в широком смысле гауссовских случайных процессов с дискретным временем, заданных в виде комплексных временных последовательностей х= {*(/')}• Основной статистической характеристикой этих данных является автокорреляционная матрица I*. Ее левый вектор-столбец г часто называют автокорреляционной последовательностью, подчеркивая тот факт, что он порождается последовательностью выборочных данных х [1].

Для количественного сравнения моделей необходимо ввести конечное множество существенных признаков (параметров) 3 модели, без которого вопрос об адекватности не имеет формального смысла [74].Наиболее полное описание случайного процесса содержится в его функции плотности распределения вероятности (ФПРВ), полученной в ходе эксперимента \¥(х/3). В [75] предлагается оценивать качество модели в виде функции 0<Ф(3)<1 близости распределения имитируемых с ее помощью данных к распределению XV х процесса-оригинала. В работе [76] данный подход предложен автором для моделирования дискретного распределения Пуассона и отрицательного биномиального распределений. Для гауссовской модели этот показатель трансформируется к виду:СО 00 соФ(3)= } Ц/х(хП) \¥м(х/ЗУх / [ } \у2х(х/3)б/х | \¥2м(х/ЗУх]1/2— со —со —сои определяет схожесть их корреляционных функций. В практических задачах моделирования и цифрового спектрального анализа значительно больший интерес представляет обеспечение адекватности СПМ. Поэтому целесообразно перейти к преобразованию в спектральную область. Однако и данный подход наряду с трудоемкостью еще не обеспечивает редукцию данных в имитационную модель.

Если априорная модель известна, задана или выбрана, то следующей по важности задачей является рациональный выбор порядка модели, влияющий на степень ее адекватности оригиналу и качество получаемых оценок СПМ, атакже на вычислительную сложность [1]. Оптимизация модели принципиально ведет к дальнейшей редукции экспериментальных данных, т.е. к уменьшению размерности и избыточности, связанных с наличием дублирующих и "шумящих" признаков. Необходимость такой оптимизации определяется также тем, что эффективность алгоритмов обработки сигналов в условиях воздействия коррелированных помех в значительной степени зависят от выбора порядка используемой модели. Для упрощенных квазидетермини-рованных моделей, представляющих смесь некоторого заранее неизвестного количества комплексных синусоид в белом гауссовском шуме, выбор порядка модели сводится к оценке размерности пространства сигнала и размерности пространства шума с целью их эффективного разделения и повышения отношения сигнал-шум. В этом случае определение размерности сводится к проверке наличия кратных собственных значений автокорреляционной матрицы процесса.

К сожалению, строгое универсальное математическое определение показателя качества модели не может быть формализовано. Одним из принятых для классических методов анализа показателей является статистическая устойчивость спектральной оценки, выражаемая отношением дисперсии оценки СПМ P[f) к квадрату математического ожидания этой оценки М{ЛУ)}2 / [М{Р(/)}]2. При априорно неопределенных данных аналитическое определение этого показателя в классе параметрических методов спектрального анализа не может быть использовано, поэтому применяются рассмотренные в [1] процедуры, основанные на вычислении ошибки предсказания и анализе ее статистических свойств. Для параметрических АР-моделей используется первый критерий Акаике, в котором для N значений выборочных данных параметр р, определяющий порядок АР-модели, учитывается в окончательной ошибке предсказания:ООП(р) = crp [N+(p+1 )] [N-(p+1 )]-', где cfp - дисперсия белого шума АР-модели р-го порядка.

Объединяет оценку ООП и параметр N второй информационный критерий Акаике, представляемый в одной из двух форм:ИКА(/?)=УУ \п(о?р)+2р, ИКА (р)=Ы 1п( с?р)+р 1п(Л0-Они представляют собой эвристические теоретико-игровые функции, сформированные из дисперсии ошибки с?р и некоторой штрафной функции, равной 2р или [р 1п(Л0], которые учитывают плату за увеличение порядка модели. Эти критерии, а также ряд их модификаций, как показано в [77], приводят при коротких выборках к заниженному порядку модели. Отмечено, что при увеличении N порядок модели, напротив, завышается.

Известна также оценка порядка АР-модели по вычисленной частной автокорреляционной функции, которая представляет собой массив последних коэффициентов в АР-моделях 1, 2 и более высоких порядков [1].

Для реальных сигналов выбор порядка модели носит субъективный, эмпирический характер и дает лишь начальное приближение. Особенно сложным является выбор порядка комбинированных моделей АРСС-моделей (авторегрессии - скользящего среднего), ввиду необходимости задания как общего порядка модели, так и перераспределения его между АР- и СС-составляющими модели.

В качестве тестовой, эталонной модели в [1] рекомендуется использовать временную последовательность с аналитически рассчитываемым спектром, проводя с ее помощью сравнительный анализ различных методов спектрального оценивания. Однако при всей полезности данного подхода он позволяет произвести лишь качественную оценку различных методов в среднем без учета конкретных особенностей реального сигнала, а также априорной и апостериорной информации о нем. Ввиду отсутствия удовлетворительного критерия в перечисленных выше работах дается общая, не зависящая от свойств конкретного сигнала рекомендация выбора порядка модели на интервале значений от /V/3 до N12.

Таким образом, можно констатировать, что известные методы носят субъективный характер и не гарантируют адекватной трансформации свойств сигнала в параметры модели.

2.2. Построение контрольного спектра (модели)В работе- предлагается более продуктивный, на наш взгляд, подход, связанный с понятием "контрольный спектр" (КС), при котором процессы генерации рабочей модели и сравнения ее с контрольной моделью (контрольным спектром) могут быть объединены двухэтапной процедурой [78, 79, 80].

Особенность предлагаемой процедуры состоит в том, что контрольная модель формируется из самой обрабатываемой последовательности. В этом случае параметрическая модель, порядок которой равен длине автокорреляционной последовательности, выступает в качестве "парадигмы" исследуемого процесса, контрольный спектр содержит всю информацию о выборке в виде адаптированном как к реальному сигналу, так и к параметрической авторегрессионной модели. Выбор порядка и параметров рабочей модели также оказываются адаптированными к реальному сигналу [81, 82]. Важным является и то, что оценка погрешности при подгонке рабочей модели проводится в частотной области, что гарантирует "подобность" спектров сравниваемых процессов и более полно соответствует идее спектрального оценивания. "Платой" за положительные качества процедуры синтеза является повышение вычислительной сложности и опасность появления ложных спектральных составляющих вследствие "переопределенности" модели.

Исследуем класс задач при использовании параметрических моделей авторегрессии и скользящего среднего. Математической основой параметрических АР- и АРСС-моделей и основанных на них методов обработки является аппарат стохастических дифференциальных уравнений, близкий к методам динамической обработки сигналов в пространстве состояний. Динамические модели позволяют синтезировать оптимальные линейные и нелинейные фильтры, в том числе адаптивные, для обработки стационарных и нестационарных сигналов, которые также весьма критичны как к выбору общего порядка, так и порядка каждой из составляющих (АР и СС). Завышение порядка приводит к "переопределенной" АР-модели и возрастанию ошибок моделирования [83], а занижение - к чрезмерно сглаженным спектрам и потере разрешения спектральных линий.

Процедуру оптимизации модели можно разбить на два этапа: 1) построение контрольного спектра; 2) сравнительный количественный анализ контрольного спектра и спектральных характеристик синтезируемой АРСС-модели [4].

Введение процедуры оптимизации и требования к адекватности модели сопряжены с задачей построения контрольного спектра, который может быть получен на основе аналитического расчета истинного спектра [1], либо синтезирован из экспериментальных данных [81].

Как уже отмечалось, спектральное оценивание на основе выборочных данных при ограниченной статистике затруднено. В практических задачах имеется лишь набор коротких реализаций, по которым нельзя получить исчерпывающее статистическое описание процесса. Эта информация обычнотимеет общий неформализованный характер. В этом случае предлагается определять контрольный спектр как АРСС-модель большого (предельно возможного, ограниченного лишь выборкой процесса) порядка п^р+д без учета ограничений вычислительного характера [84, 85]. При наличии априорной информации о физических свойствах источников исследуемых сигналов контрольный спектр может быть задан априорно.

Коэффициенты полинома A(z), представляющие собой АР-параметрыАРСС-модели, можно найти, решая нормальное уравнение Юла-Уолкера дляАРСС-процесса:(2.2)где г(у) - коэффициенты автокорреляционной последовательности исследуемого процесса.

Таким образом, определение параметров АРСС-модели сводится к следующим этапам:1) сбор данных и синтез исходной временной последовательности x(J);2) формирование автокорреляционной последовательности (АКП) ис-^ ходного процесса;3) нахождение АР-параметров модели;4) фильтрация последовательности x(J) фильтром на основе найденных АР-параметров и выделение остаточных ошибок фильтрации полинома B{z)\5) аппроксимация АР-моделью остаточных ошибок фильтрации;6) оценивание через обратное z-преобразование СС-параметров.

В случае СС-модели {р-0) коэффициенты аппроксимирующего полинома Am(z) сводятся к решению нормального уравнения Юла-Уолкера, а параметры СС-модели находятся через обратное z-преобразование. При q-0 (АР-модель) коэффициенты полинома A(z) представляют собой корни нормального уравнения Юла-Уолкера для АР-процесса.

Предлагается строить контрольный спектр на основе АРСС-модели непосредственно из реализаций исследуемого процесса, учитывая априорную информацию о количестве и форме его спектральных мод [85]. Например, для процессов, связанных с рядом практических задач (см. рис. 1.3, 1.4), характерны полимодальные спектры, содержащие узкополосные компоненты. В этом случае в качестве контрольного спектра целесообразно использовать СПМ АР-модели, полученной при помощи расчетных или оценочных коэффициентов корреляции моделируемой последовательности. Достаточность порядка контрольной модели в этом случае выражается в асимптотическом стремлении СКО контрольных спектров соседних порядков к величинам, не превышающим суммарного уровня флюктуаций исследуемых СПМ и шумов вычислений. Для формализации критерия строится последовательностьу-ых спектральных оценок P}{IITL), полученных L-точечной частотной дискретизацией СПМ P{f) АР-моделей растущих порядков. Критерием выбора размерности контрольной модели служит средний квадрат ошибки €j попарныхсравнений моделейу-го и (/— 1 )-го порядков, выражаемый формулой:= Ц^ищ-р^/щ] \ прИу=2,., п.

1 = 0(2.7)При выполнении условия ¿¡<£яоп следует задавать порядок контрольной модели, равный у.

Известно аналитическое выражение для СПМ АР-процессау-го порядка:Т-8,А(//7Х) =(1 + «уг02'где gj - дисперсия возбуждающего шума, а, =[Д|, а2,., ц, 0,., 0] - дополненный (¿-у) нулями вектор коэффициентов авторегрессии АР-модели у-го порядка; ^ =[ехр{—¡2п1/Ц, ехр{-14л//£},., ехр {-¡271(1-1)///,}] - вектор комплексных экспонент дискретного ¿-точечного преобразования Фурье.

Из последней формулы видно, что процессу образования спектральной средне квадратической ошибке можно поставить в соответствие определенную структуру вычисления СКО. Она представляет собой комбинацию взвешенных АР-коэффициентами приращений дисперсии ошибки предсказания. Данный критерий связан с рассмотренными ранее частными критериями. Его численное значение зависит от разности между уменьшением спектральной дисперсии ошибки предсказания вперед и изменением АР-коэффициентов с ростом порядка модели.Дополнительное преимущество введенного критерия состоит в использовании стандартных алгоритмов решения нормальных уравнений Юла-Уолкера, поэтому отпадает необходимость создания специальной процедуры расчета. Недостатком, как в большинстве случаев использования критерия СКО,- является неконтролируемость возможных узкополосных спектральных выбросов в рассматриваемом спектральном диапазоне.

Свободен от этого недостатка критерий ограничения до заданной величины 77дОП модуля максимального отклонения (ММО) ^ попарных сравнений моделейу'-го и (/'-1)-го порядков:г\}• =тттах|/>///Щ-/>,,(//7£)|, при /=0,., 1-\. (2.8)При выполнении условия ^ < следует задавать порядок контрольной модели, равный у. Данный критерий позволяет исключить узкополосные спектральные выбросы и служит хорошим индикатором переопределенности модели [82].

Сочетая критерии СКО и ММО удается одновременно обеспечить приемлемую величину ошибки как в среднем по рассматриваемому диапазону частот, так и на локальных спектральных участках, что удовлетворяет цели построения качественной модели данных. Эти критерии дают возможность получать количественную оценку адекватности модели.

Объединение критериев возможно с помощью следующего логического правила:[£• < «е-доп] г\ [ц ^ ?7доп], (2.9)где г\ - знак объединения по схеме логического «И».

Возможно применение весовой суммы критериев вида:а £} + (\-а) 77У < а £-доп + (1 -а) (2.10)''где ае[0; 1] - доля составляющей в весовой сумме двух критериев. Ввиду трудности определения числового значения а в дальнейшем будем пользоваться логическим правилом объединения критериев.

Рассмотрим процедуру построения контрольных АР- и СС-моделейвыборочных данных на примере одномодовых эхо-сигналов с гауссовой огибающей энергетического спектра моды, длинной реализации /У=64, эффективной шириной спектра с1ГТ= 0,1 и шумовой компонентой Я= 10"6. В таблице 2.1 представлены статистически усредненные отклонения СПМ моделей соседних порядков.

Таблица 2.1^^СЦэрядки 1,2 2,3 3,4 4,5 5,6 6,7 7,8 8,9 9,10АР-модель ММО 0,837 0,266 0,341 0,303 0,208 0,128 0,151 0,134 0,161СКО 0,029 0,00253 0,00584 0,00529 0,00383 0,001 14 0,0012 0,001 1 0,0031СС-модель ММО 0,362 0,236 0,171 0,134 0,107 0,085 0,071 0,067 0,084СКО 0,0431 0,0132 0,0058 0,0029 0,0016 0,00089 0,00052 0,0004 0,0008СКО и ММО АР- и СС-моделей соседних порядков асимптотически убывают. СС-модель обладает меньшей чувствительностью к неточностям оценки АКП, что объясняется ее низкой разрешающей способностью. Ошибки в определении параметров СС-модели не приводят к появлению больших спектральных выбросов, а СПМ АР-модели реагирует на неточности в АКП появлением ложных пиков, что увеличивает СКО и ММО АР-моделей соседних порядков при недостаточной статистике. Большей гибкостью обладают, как известно, комбинированные модели на основе АРСС, которые в дальнейшем будем использовать в качестве контрольных наряду с АР-моделями.

Таким образом, переход от аналитической модели [ 1, 4] к предлагаемой процедуре построения контрольной модели позволяет учесть неформализованную информацию заключенную в выборочных данных.

Однако попытка наиболее полного учета априорной информации приводит к контрольным моделям относительно высокого порядка, соизмеримого с длиной исходной выборки. Применение в качестве рабочей модели конРОССИЙСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ БИБЛИОТЕКАтрольного спектра затруднено, особенно в on-line экспериментах, т.к. требует больших вычислительных и аппаратурных затрат при практическом использовании моделей. В связи с этим предлагается сократить имеющую место в контрольных моделях избыточность путем синтеза рабочих моделей значительно меньшего порядка, имеющих более простую реализацию.

2.3. Выводы к разделу 2Выбор критериев оценки адекватности модели процессу-оригиналу имеет основополагающий характер в задаче моделирования. Выбраны критерии модельного описания выборочных значений процесса. Сформулированы количественные критерии оценки адекватности, определяемые целью моделирования и основанные на критерии СКО и ММО в спектральной области. Предложены решения задачи синтеза модели, учитывающие ограничение размерности сигнальной выборки и оптимизирующие вычислительные затраты для вычисления параметров модели. Сформулированы задачи рационального выбора порядка модели, влияющего на степень ее адекватности оригиналу, качество получаемых оценок СПМ, на вычислительную сложность при генерации модели и объем ее информационного описания. Основные результаты, полученные в разделе 2, сводятся к следующему:1. Проанализированы и разграничены понятия адекватности и эквивалентности случайных процессов, послужившие методологической основой для введения критерия синтеза модели.

2. Введено понятие «Контрольный спектр», позволяющее формализовать процедуру выбора порядка модели с точки зрения близости ее СПМ к СПМ АР-модели максимального порядка при отсутствии априорной информации, АРСС-модели при наличии априорной информации или истинного аналитического спектра.

3. Разработана двухэтапная процедура, основанная на сравнительном анализе контрольного спектра и спектра синтезируемой модели.

4. Проанализирована структура результирующей СКО между кон-^ трольной и рабочей моделями в спектральной области.3. Структурная оптимизация рабочих моделейВ данном разделе на основе введенных критериев качества осуществляется переход от контрольного спектра к рабочим параметрическим моделям и проводится оптимизация их структуры. Разработана методика оптимизации порядков АР- и СС-составляющих моделей, а также весовых коэффициентов каждой из составляющих. Рассматриваются вопросы вычислительной сложности имитационной модели и алгоритмов обработки экспериментальных последовательностей. Приводится методика использования априорной информации о процессе для структурной оптимизации алгоритмов моделирования и обработки коротких выборок, основанная на результатах [86].

3.1. Перераспределение порядков АР- и СС-составляющихРассмотрим вариант АРСС-оценивания СПМ временного ряда х(/), который аппроксимирует исходный стохастический процесс и может быть представлен выходным сигналом фильтра, выражаемым линейно-разностным уравнением (2.1). Если нахождение АР-параметров по (2.2) или (2.-3) непосредственно сводится к решению систем линейных уравнений, то определение коэффициентов полинома В{г) требует аппроксимационного решения по (2.4, 2.5), для которого необходимо выбрать параметр т вспомогательного полинома Ат{г). Выбор может быть основан на известной [1] рекомендации: т>2щ. Однако, как показали эксперименты, это условие не гарантирует допустимой погрешности определения СС-параметров, обусловленной усечен-ностью порядка т аппроксимирующей АР-модели. Поэтому данная рекомендация может быть скорректирована [85]. Это показано на примере СС-моделирования реализации (УУ= 64) стохастического процесса, представляющего собой аддитивную смесь белого шума и одномодовой помехи с гауссовой огибающей энергетического спектра при отношении шум-помеха А=106. Сопоставляемые модели имеют равный порядок д=5, значение т одной из них постоянно и равно 20, а другой варьируется.

Более важен, с точки зрения минимизации аппаратурных и вычислительных затрат на моделирование, вопрос перераспределения ограниченного суммарного порядка моделирующего фильтра п=р+ц между АР- и СС-составляющими. Как уже отмечалось, большие значения порядка АР-составляющей р целесообразны, когда АРСС-спектр содержит острые моды, а увеличение порядка СС-составляющей фильтра дает лучшие результаты при моделировании процессов, спектры которых имеют широкие моды или острые минимумы. Проиллюстрируем эти выводы АРСС-оценкой реализации описанного выше стохастического процесса. В таблице 3.1 представлена зависимость СКО СПМ АРСС-модели от контрольного спектра, в качестве которого принята СПМ АР-модели двадцатого порядка, полученная при помощи расчетной АКП. Длина исходной последовательности составляла N=64, отношение шум-помеха было принято равным А=10"6, а относительная ширина моды с1РТ варьировалась. СКО имеет минимум, который смещается с расширением моды в сторону увеличения порядка при фиксированном параметре /7=4 аппроксимирующего АРСС-процесса.

Обычно известна длина реализации /V, что позволяет установить зависимость между N и порядком фильтра п, при котором СКО СПМ от контрольного спектра будет минимальным. В таблице 3.2 приведены такие значения п для АР-модели при различных уровнях шума исходного процесса, сформированного при а= \, с1РТ=0,\.

Таблица 3.3а арт 0,05 0,1 0,151 р 7 4 2я 1 4 60 р 5 2 1ч 3 6 7Следует заметить, что при Л=0; а=О независимо от параметра с!ГТ оптимальное соотношение порядков модели соответствует р-1, д-0. Т.е. в данном частном случае сводятся к известному результату точного описания од-носвязного марковского процесса АР-фильтром первого порядка [18, 19].

Выбор порядка компонент оказывает влияние также на вычислительные затраты при расчете коэффициентов АРСС-фильтра. Оценим эти затраты, для чего введем следующие обозначения: количество делений - умножений - Мц, сложений - Ац и вычитаний - 8С/. При использовании метода исключения Гаусса их можно приблизительно оценить по следующим формулам:Ой=(р2+д2+т2)/2] уЦ =(р3+?3+т3)/3; Ад=Щп+р+т)\ Б^+д^+п?)!3, а в случае применения быстрых рекуррентных процедур Левинсона:0С1=(р1+Зр)/2+Зд+2т\ МС1=(р3+р2)/3+д2+т\ АС1=М(п+р+т)+т2+д2-, 59=/73/3.

Таким образом, моделирование стохастических процессов при частично известных априорных данных позволяет использовать алгоритм оценки параметровр и д, состоящий из двух этапов:• по одному из известных методов определяется обусловленность корреляционной матрицы исследуемого процесса И и, исходя из длины реализации /V, - общий порядок АРСС-модели п\• исходя из эффективной ширины моды исходного процесса с1ГТ и формы ее огибающей, осуществляется выбор параметров модели.

Данный подход дает возможность существенно улучшить качество рабочей АРСС-модели, оптимизируя ее структуру.

3.2. Перераспределение дисперсий АР- и СС-составляющихВ условиях короткой выборки нет возможности реализовать требования т»д, что приводит к дополнительным ошибкам при нахождении коэффициентов полинома В{г) по формуле (2.4). Кроме того, усиливается эффект дискретности при перераспределении порядков, рассмотренном в предыдущем разделе методом. Это хорошо видно из таблицы 3.1, где перераспределение порядков на единицу приводит в ряде случаев к изменению ошибки с в 10 и более раз.

Для сглаживания эффекта дискретности порядков при короткой выборке и улучшения качества модели введем в (2.1) оптимизируемые весовые коэффициенты х, у СС- и АР-составляющих моделирующего фильтра, которым соответствуют структурные схемы фильтров рис. 3.3 и рис. 3.4. Тогда линейно-разностное уравнение, описывающее исходный временной рядх(/), модифицируется:х(0 = и(0) -у^а{])х{1 - у) + х£ 6(*)м(/ -]). (3.1)I J=IЕму соответствует структурная схема рис. 3.5.

Традиционные подходы к оптимизации АРСС-моделирования основываются на выборе параметров д и р в предположении х=у=\. Оптимизация весовых коэффициентов х и у в (3.1) позволяет повысить эффективность применения АРСС-моделей для математического описания экспериментальных последовательностей, сохраняя возможность нахождения а (к), Ь(к) путем решения нормальных уравнений Юла-Уолкера. Задачу многомерной оптимизации структуры и параметров моделирующего АРСС-фильтра удается свести к последовательности одномерных задач, используя критерий минимума среднеквадратического отклонения амплитудно-частотной характеристики моделирующего фильтра от амплитудного спектра моделируемого процесса:1[^(/)/Ж/)-™(/)/С(Л]2 ^ тш, (3.2)1 = 0где g - дисперсия возбуждающего шума рабочей модели; И - дисперсия возбуждающего шума контрольной модели;/=//7Х - дискретные значения текущей частоты; А(/), С(/) - полиномы, характеризующие АР-составляющие рабочей и контрольной моделей; В{/), 0{/) - полиномы, характеризующие СС-составляющие рабочей и контрольной моделей (соответственно).

Структурная схема СС-фильтра"О")ът.(X) . ЬМ(х)уЦ) —►Рис. 3.3Структурная схема АР-фильтрау(Пг гРис. 3.4'Ы.

Аналогично все полиномы, входящие в передаточные функции моделирующего фильтра и контрольной модели, можно свести к виду: £(/)=1+-*ЬтГ, где Ьт=[6|, Ья, 0,., 0] - дополненный (/,-<?) нулями векторСС-коэффициентов передаточной функции моделирующего фильтра; С(/)=1+сХ где с1=[с|, сг, 0,., 0] - дополненный (¿-г) нулями векторАР-коэффициентов передаточной функции контрольной модели, г - порядок АР-составляющей контрольной модели; 0(/)=1+с1Хгде сГ=[с/|, с12,., 0,., 0] - дополненный (¿-5) нулями векторСС-коэффициентов передаточной функции контрольной модели, 5 - порядок СС-составляющей контрольной модели.

Поэтому предлагается провести декомпозицию решения. На первом этапе оценить порядки р и ц по предложенной в разделе 3.1 методике, а коэффициенты векторов а, Ь и величину ё найти, решая модифицированныеуравнения Юла-Уолкера и аппроксимируя СС-составляющую передаточной функции линейными методами. На втором этапе - минимизировать целевую функцию (3.3) двух переменных х, у [88]. Это позволяет свести задачу многомерной нелинейной оптимизации с рядом целочисленных переменных к задаче поиска экстремума двумерной целевой функции. Простейшим вариантом ее аппроксимирующего решения является раздельная итерационная оптимизация по переменным х, у. Вычислительные эксперименты показали, что решение достигается за одну итерацию. Т.е. двумерная задача решается, как две независимые одномерные задачи.

Тогда, по выражению (3.5), можно произвести оптимизацию веса СС-составляющей моделирующего фильтра, которая минимизирует СКО спектров контрольной и рабочей моделей.

Тогда необходимое условие существования экстремума noy:.Тг\/1 jTr\„Tf /i. LTr\2I.Z/ = |(1 +xb'f)(l + d'f)a'f (1 + xb f) a fT «• W. Т/.Ч &= 0.(1 +уатГ)(1 + стО (1+уатГ)3Ввиду кубичной зависимости соответствующей производной целевой функции от искомой переменной целесообразно находить минимум по величине у при помощи численных методов поиска экстремума [89].

Проанализируем нормированные спектры одномодального эхо-сигнала с гауссовской огибающей энергетического спектра, эффективной шириной с/ГТ=0,\ и Я= 10"3. Параметры контрольной модели г=15, 5=0. Порядки АР- и СС-составляющих неоптимизированной рабочей модели (х=1, у=1) - р= 1, ¿7=2. Пересчет СС-параметров рабочих моделей проведен через аппроксимирующую АР-модель второго порядка (/77=2). Оптимизированная модель (х=2,7; у=0,9) построена на базе АРСС с теми же параметрами р, ц, т, что и неоптимизированная. Анализ показывает, что нормированное СКО спектров рабочей и контрольной моделей составляет величину 1,47 10"2, а оптимизированная рабочая модель уменьшает ошибку по критерию (3.2) в 3,3 раза до 4,41 10'3.

В случае двухмодовой радиолокационной помехи за счет воздействия стационарного (подстилающая поверхность) и подвижного (гидрометеор) протяженных мешающих объектов, удается получить выигрыш в 1,5.2 раза в СКО по сравнению с аналогичной неоптимизированной рабочей моделью. В таблице 3.4 приведены результаты АРСС-моделирования с параметрами р=2, д=2, /77=2 двухмодовой помехи. При этом первая узкополосная мода с относительной шириной ¿//7|7Ъ;0,05 и относительной скоростью /Г|Г= 0 имитирует радиоотражения от статических мешающих объектов, вторая, более широкополосная 0,1) спектральная мода отображает неоднородныеотражения от подвижных мешающих объектов со средней относительнойскоростью Г2Т-0,25. Относительные мощности мод приняты равными, огибающие спектров мод гауссовскими, Л=10"3.

Таблица 3.4Вид оптимизации X У СКОх 10"2 ВыигрышПо параметру х 0,140 1 1,42 1,56По параметрам х, у 0,617 0,92 1,17 1,89Небольшие различия оптимальной величины у при одномерной (у) и двумерной (х, у) оптимизации характерны, как показали статистические эксперименты, для моделирования типичных радиоотражений (см. таблицу 3.4). Это подтверждает возможность сведения двумерной оптимизации к двум одномерным задачам.

Таким образом, предложенный подход к оптимизации АРСС-моделей дает возможность улучшить адекватность математического описания стохастических сигналов. Так, при моделировании эхо-сигналов удается улучшить качество моделирования в 1,5.3 раза по критерию (3.2) за счет оптимального перераспределения дисперсий АР- и СС-составляющих рабочей модели.

3.3. Совместная оптимизация порядков и дисперсий АР- и СС-составляющих на примере рабочих моделей радиоотраженийВ данном разделе рассматриваются примеры оптимизации моделей авторегрессии-скользящего среднего многокомпонентных радиоотражений. Проведена опитмизация порядков с одновременным перераспределением дисперсии авторегрессионной и скользящего среднего составляющих рабочей модели. Проводится анализ эффективности предлагаемого метода оптимизации и оценка достигаемых выигрышей в вычислительных затратах.

Как отмечалось в разделе 1, наиболее широко используемые при синтезе и анализе систем цифровой обработки сигналов имитационные модели локационных сигналов основаны на алгоритме скользящего среднего, что приводит к завышенному порядку моделирующего фильтра и малоэффективному описанию радиоотражений с полимодальным спектром. Избежать избыточных вычислительных затрат позволяет применение АРСС-моделей, которые открывают широкие возможности минимизации вычислительной сложности алгоритмов моделирования реальных сигналов, имеющих сложный спектр [90].

Полимодальные отражения характерны для бортовых и для некоторых типов наземных РЛС, т.к. на входе приемного устройства одновременно могут присутствовать в одном пространственном элементе разрешения отражения от нескольких мешающих и лоцируемых объектов [47]. При этом входной сигнал устройства межпериодной обработки радиолокационной системы (РЛС) удобно представить в виде УУ-мерного вектора комплексных отсчетов х={х(/)}, при /=0, 1,., Дф8].

Рассмотрим два характерных примера построения рабочих АРСС-моделей радиоотражений.

Пример 1. В рассматриваемом объеме пространства наблюдаются два мешающих объекта: 1) подстилающая поверхность; 2) гидрометеоры с низкой турбулентностью. Ввиду однородности внутренней структуры мешающих объектов, суммарный спектр содержит две составляющие, соотношение мощностей которых равно 0,5, а параметры мод: Р\Т= 0; Р2Т= 0,15; с1Р\ 7^=0,03; с1Р2Т= 0,05; для первой моды а=0,95, а для второй - 0,9. В отсутствие специально организованной шумовой активной помехи отношение мощностей коррелированной и некоррелированной составляющих мешающего процесса принято Д=10"6.

Ввиду наличия узкополосных компонент спектра, целесообразно применение авторегрессионной контрольной модели [91, 84]. Достаточность порядка (г=40) контрольной модели характеризуется малым среднеквадратиче-ским отклонением спектральной плотности мощности контрольной модели от СПМ модели соседнего (г=39) порядка по сравнению со среднеквадратическим отклонением спектральных характеристик рабочей модели от СПМ контрольной модели [82]. Так, нормированное СКО контрольных моделей соседних порядков составляет величину 4=0,13510"6, а в рамках оптимизации рабочей модели суммарного порядка (/7=10) отклонения ее спектральных характеристик от СПМ контрольной модели изменяются в пределах от ij=0,46 10"' (неоптимизированная СС-модель) до ^>ор,=0,469 10"3 (оптимизированная по порядкам р, q и весам х, у АР- и СС-составляющих рабочая модель). Экспериментально установлено [82], что для удовлетворительного качества оптимизации рабочей модели должно выполняться неравенство ¿/иор,<0,1. При этом обеспечивается компромисс между адекватностью рабочей модели исходным данным и вычислительным затратам на ее реализацию.

Отметим, что следование известным [1] рекомендациям о равенстве порядков АР- и СС-составляющих рабочей модели приводит в данном случае к ухудшению описания экспериментального временного ряда. В рассмотренном примере при p=q=5 величина СКО от контрольного спектра составляет ь>=0,82 10"', что в 175 раз хуже, чем у оптимизированного по порядкам (р=2, q=8) и весам (у=0,99; х=0,78) АР- и СС-составляющих рабочей модели [92].

На рис. 3.6 приведены нормированные спектральные характеристики моделей двумодальных отражений. Сплошной тонкой линией показана СПМ оптимизированной по весам и порядкам рабочей модели, прерывистыми линиями показаны характеристики неоптимизированных рабочих моделей (пунктирной - р-0, q= 10; штрих-пунктирной - р-10, q=0; штрих-двухпунктирной - p=q=5), а сплошной жирной линией - СПМ контрольной модели. Рис. 3.6 наглядно показывает увеличение эффективности при комбинированной оптимизации структуры рабочей модели. Так, СС-модель десятого порядка в принципе не позволяет отобразить заданную СПМ, применение АР-модели приводит к ложным модам, а следование известной рекомендации p-q хотя и приводит к рабочей модели с меньшими, чем у АР- и СС-моделей, ошибками, но не является оптимальным. В результате предлагаемой комбинированной оптимизации порядки АР- и СС-составляющих корректируются и СКО относительно контрольной модели значительно уменьшается.

Пример 2. Рассмотрим более сложную помеховую ситуацию. Пусть на вход приемного тракта РЛС одновременно поступают коррелированные мешающие радиоотражения от четырех объектов: 1) подстилающей поверхности; 2) верхней кромки облака гидрометеора; 3) нижней кромки облака гидрометеора (предполагается, что верхняя и нижняя кромки облака имеют различные скорости движения); 4) специально организованной пассивной помехи. Отношение мощностей коррелированной и некоррелированной составляющих мешающего процесса принято Л-10'4, а другие параметры приведены в таблице 3.5.

Выполнение неравенства показывает, что рабочая модель, созданная на основе контрольного спектра, удовлетворяет условию синтеза как по величине СКО, так и по вычислительным затратам, пропорциональным суммарному порядку, который в четыре раза меньше, чем у контрольной модели. Приняв эффективность оптимального выбора структуры рабочей модели (р, q,x,y) за 100%, оценим величину 100-иор,/if/o для различных вариантов перераспределения суммарного порядка /7=10 с оптимизацией по весам составляющих. Полученные результаты сведены в таблицу 3.6.

Таким образом, разработана процедура выбора порядков АР- и СС-составляющих рабочих моделей для конкретных приложений. Она позволяет количественно оценить эффективность оптимизации перераспределения порядков и "весов" АР- и СС- составляющих по введенным дополнительным степеням свободы.х.

СПМ полимодальных радиоотраженийРис. 3.73.4. Выводы к разделу 3Критически оцениваются известные рекомендации выбора структуры рабочих параметрических АР- и СС-моделей. С использованием критерия близости к контрольному спектру определена структурная оптимизация параметрической АРСС-модели как оптимизация порядков АР- и СС-составляющих при ограниченном суммарном порядке, а также как оптимизация относительной мощности ее АР- и СС-составляющих по критериям СКО и ММО относительно контрольного спектра. При этом оптимизация порядков АР- и СС-составляющих обеспечивает наилучшее описание максимумов и минимумов в спектре процесса, а варьирование мощностью составляющих - сглаживание эффекта дискретности порядков фильтров.

При частично известных априорных данных решена задача оптимального перераспределения порядков АР- и СС-фильтров, которая сводится к двухэтапной процедуре, на первом шаге которой определяется число обусловленности /У-мерной корреляционной матрицы исходного процесса и суммарный порядок АРСС-модели п. На втором шаге конкретизируются параметры модели, исходя из априорной информации об эффективной ширине спектральных мод исходного процесса с1ГТи формы их огибающих.

При короткой выборке процесса на качество модели, полученной в результате оптимизации, влияет эффект дискретности порядков, и для его сглаживания разработана процедура оптимального перераспределения мощности СС- и АР-составляющих формирующего фильтра. На конкретных практических примерах рабочих моделей синтезированы АРСС-модели с оптимизированными порядками и дисперсиями АР- и СС-составляющих. Оценены вычислительные затраты, определяющие сложность имитационной модели и алгоритмов обработки экспериментальных последовательностей. Разработана методика использования априорной информации о процессе для структурной оптимизации алгоритмов моделирования при обработке коротких выборок.

4. Параметрическая оптимизация рабочих моделейВ данном разделе на основе выбранной структуры рабочей модели оптимизируются ее параметры: дисперсия возбуждающего шума, число разрядов квантования коэффициентов рабочей модели процессов с полимодальным спектром. Модифицированы критерии качества рабочих моделей и предложены алгоритмы анализа эффектов квантования на качественные характеристики моделей. Приведены примеры использования предложенных алгоритмов в различных практических приложениях.

Вычислительная сложность алгоритмов моделирования определяется как числом математических операций, необходимых для определения параметров модели и имитации, так и объемом памяти для хранения и передачи этих параметров. Количество вычислительных операций необходимо минимизировать при генерации модели в реальном масштабе времени, а объем памяти данных - при передаче их по каналам связи и хранении. Остановимся подробнее на решении данных задач.

Параметрическая оптимизация рабочих моделей возможна при наличии информационной избыточности сигнала или его неоптимизированной модели [93, 94]. Так, в [95] она использована для снижения вычислительных затрат на обработку сигналов; приведены два конкретных алгоритма, использующие избыточность сигналов для снижения вычислительной сложности спектральной обработки изображений и вычисления локальных гистограмм.

4.1. Стробирование коэффициентов рабочей модели с коррекцией дисперсии возбуждающего шумаКак подчеркивалось выше, для математического описания экспериментальных процессов с узкополосными спектральными компонентами эффективно применение параметрических моделей авторегрессии. При этом исходный комплексный временной ряд х(/) представляется в виде процесса на выходе моделирующего АР-фильтра [1]:р*(/) = и(0 - Х<Яисх ОХ' - Л >(4.1)где <яИсх(/) - коэффициенты авторегрессии исходной АР-модели; и(1) - возбуждающая последовательность (БГШ) с нулевым средним и дисперсией £М(;х.

Для задач практической реализации цифровых фильтров моделирования и обработки на базе сигнальных процессоров важен вопрос оптимизации числа разрядов квантования весовых коэффициентов. Поэтому в разделе 4 предлагается методика такой оптимизации, позволяющая практически сократить вычислительные и аппаратурные затраты.

Для полимодальных процессов характерно, что АР-коэффициенты ймс.ч(/) ограничены связанным с числом обусловленности корреляционной матрицы исходного процесса динамическим диапазоном. При цифровой реализации часть коэффициентов принимает значение на уровне единиц младшего разряда квантования и не вносит существенного вклада в рабочую модель. Стробирование таких коэффициентов без коррекции порядка модели позволяет дополнительно снизить вычислительные затраты уменьшением числа ненулевых АР-коэффициентов [96].

Учитывая, что относительные изменения, вносимые квантованием в | <3цс\(/) | »0 незначительны, при анализе можно формировать коэффициенты а(/') модифицированной АР-модели из коэффициентов яисх(/') исходной модели по следующему нелинейному алгоритму:где 3- некоторая пороговая величина модуля АР-коэффициентов.

Фактически по правилу (4.2) осуществляется взвешивание коэффициентов исходной модели бинарной весовой функцией, определяемой р-мерным вектором {аисх(/')} АР-коэффициентов.

Вычислительные эксперименты [93] свидетельствуют, что исключение малых по модулю коэффициентов авторегрессии незначительно влияет на(4.2)форму спектральных мод моделируемого процесса. При этом их положение практически не изменяется, что не нарушает общего характера СПМ.

Проиллюстрируем возможности предлагаемого подхода на примере 1 из раздела 3.3, характеризуемом параметрами, сведенными в таблицу 4.1.

Таблица 4.1Но- Относитель- Относитель- Относительная ши- Параметрмер ная мощность ная скорость формы мод рина спектра мод моды мод мод 1 1 0 0,03 0,952 0,5 0,15 0,05 0,9Отношение мощностей коррелированной и некоррелированной составляющих мешающего процесса примем Л=10"6. В таблице 4.2 приведены коэффициенты авторегрессии исходной АР-модели десятого порядка (р=10), описывающей данный процесс.

Таблица 4.2АР-коэффициенты дисх(/) АР-коэффициенты <зИс\(/) J действительная часть мнимая часть У действительная часть мнимая часть1 -1,2530340 0,7167673 6 0,0378615 -0,01528682 0,2029072 -0,4105513 7 0,0267680 -0,02128973 0,0180778 -0,2520530 8 0,0118800 0,00294654 -0,0271503 -0,1001499 9 0,0390453 0,032671 15 0,0081128 -0,0212652 10 -0,0397295 0,1006860При удалении ряда близких к нулю коэффициентов выходная мощность моделируемого процесса снижается, т.к. при замене части коэффициентов нулями разрываются соответствующие связи в структуре моделирующего фильтра. Скомпенсировать эффект нарушения нормировки можно соИответствующим пересчетом мощности £ возбуждающего шума модифицированной модели.

Для оценки адекватности моделирования процессов при помощи модифицированной модели используем аналог критерия (2.7):Т Т/=1¿>ис.\ Т х»\ & /, Тг\(1 + аис/) (1 + а Г)1Т11Пв(4.3)где аисх=[аисх(1), аисх(2),., аисх(р), 0,., 0] -дополненный (¿-р) нулями вектор коэффициентов авторегрессии исходной модели.

Найдем глобальный минимум функции (4.3). Возьмем первую производную функции £•(£):Т Тдедё1 I Я/=1 д£ —д8 —(1+аигсх02 ^(1 + а:схГ)(1+атОшума модифицированной модели £ор1:18ор! 8исххДО + а^ПО + а^)/ ы(1 + ат02Найденный экстремум является глобальным минимумом целевой функции (4.3), ввиду того, что ее вторая производная положительна, т.к. представляет собой сумму ряда квадратичных величин:д2е= Х(1 + атГГ2>0.дш' /=|Структурная схема алгоритма оптимизации модели, обеспечивающая заданную погрешность £ аппроксимации, представлена на рис. 4.1.

Проиллюстрируем эффективность методики оптимизации на рассмотренном выше примере эхо-сигналов, имеющих полимодальный спектр. В таблице 4.3 приведена зависимость величины нормированного СКО СПМ оптимизируемой модели от исходной модели при различной величине пороговой величины модуля 8.

Процедура оптимизации модифицированной рабочей модели( Начало3Расчет СПМ исходной модели, расчет величины gВыделение ненулевого наименьшего по модулю элемента с(1)=а.

Формирование вектора аа.= О(ТИПОптимизация величины ИСравнение СПМ моделей, расчет ошибки £Восстановление оптимизируемой модели а. =с(/')т I п х '-»С Останов ) Рис. 4.1Таблица 4.38 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06е!1 0 0,001 0,003 0,009 0,020 0,025 0,026Данные результаты позволяют выбрать необходимую величину порога <5стробирования при допустимой погрешности е.

Таким образом, предложенная процедура стробирования коэффициентов рабочей модели с коррекцией дисперсии возбуждающего шума, основанная на уменьшении числа ненулевых комплексных коэффициентов исходной АР-модели, позволяет, в ряде практических приложений, сократить вычислительные и аппаратурные затраты на моделирование полимодальных процессов на 10.40 % при незначительных потерях качества модели. Кроме рассмотренного варианта стробирования с коррекцией дисперсии возбуждающего шума имеется возможность с той же целью применить пересчет ненулевых коэффициентов модифицированной модели. Данный вопрос рассматривается в следующем разделе.

4.2. Стробирование коэффициентов рабочей модели с пересчетом ненулевых коэффициентовВ АР-модели в качестве коэффициентов регрессии используется нормированный к своему верхнему элементу левый вектор-столбец матрицы И"', обратной к корреляционной матрице I*. Элементами последней являются аналитические или оценочные коэффициенты автокорреляции анализируемого процесса. Формально для построения АР-модели р-го порядка необходимо знать (р+1 )-мерный левый вектор-столбец гобр-{/у} квадратной матрицы И"1:^«'■е, (4.4)где е'=[1; 0,., 0] - «маскирующий» левый вектор-столбец единичной матрицы.

Исходный объем данных о модели порядка р и разрядностью представления АР-коэффициентов % равен (р+\)%. Как уже упоминалось выше, для реальных процессов модули некоторой части из в коэффициентов авторегрессии, полученных при синтезе известными методиками, близки к нулю. Поэтому справедлива рабочая гипотеза о их малом вкладе в оценку СПМ. На первом шаге решения задачи сокращения объема вычислительных операций и цифровой информации о модели была выполнена нелинейная операция обнуления этой части 9 АР-коэффициентов. При этом порядок модели не изменяется, т.к. позиции нулей в векторе авторегрессии сохранены. Подобная замена позволяет сократить объем передаваемой или хранимой информации, необходимой для математического описания процесса, в большинстве практических случаев, т.к. разрядность представления позиций нулей ¿=\о£2{р+1) обычно ниже, чем разрядность представления % АР-коэффициентов. Введем коэффициент //„ определяющий выигрыш в объеме передаваемой информации:Тогда условием для получения выигрыша от проведения подобной операции будет выполнение следующего неравенства [97, 98]:Модифицируем (р+\)-мерный вектор-столбец гобр= {го6р(/')} к (р+1 )-мерному вектору V с компонентами {у(/)}, формирование которых производится по правилу:которое является аналогом выражения (4.2). Учитывая дискретный характер обнуления АР-коэффициентов, выбор порога ¿»можно производить по правиА =(Р+1 )х 1[{р-9+1 )Х+ & Я=(Р+1 )Х 1 )Х+ О "оё2(р+1 )]•(4.5)гобР0'),при го6р(у)>£О, при гобр(у) <5*(4.6)лу:>тт{гобр(/)},у-1.(/?+1).

Очевидно, что с увеличением порогового значения 8 при выполнении неравенства (4.5) возрастает параметр //, за счет перераспределения информационных ресурсов модели. Естественно, что подобная модификация параметров рабочей модели приводит к дополнительным ошибкам представления моделируемого процесса, и практические расчеты доказывают это [99]. Для контроля потери качества моделирования введем (р+1 )-мерный вектор-столбец е невязок, характеризующий ошибки обращения матрицы И:е=1*Гобр-1*У.

С учетом (4.4) данное выражение сводится к виду:е=е-1*у. (4.7)При обнулении части коэффициентов норма вектора невязок е без процедуры коррекции возрастает. Для минимизации возникающей погрешности модельного описания в качестве второго шага процедуры проведем, в отличие от раздела 4.1, коррекцию оставшихся ненулевых АР-коэффициентов вектора V, что уменьшит норму вектора невязок е без увеличения объема хранимой информации о рабочей модели. За критерий качества примем минимум суммы квадратов невязок обращения:енс—» ггпп, (4.8)Vпри зафиксированных нулевых компонентах вектора V.

Выбор подобного критерия позволяет интегрально влиять на качество моделирования как во временной, так и в спектральной областях [99].

Поскольку критерий качества (4.8) представляет из себя сумму квадратов невязок, то сокращение мерности в (4.10) за счет удаления нулевых элементов не приведет к численному изменению суммы. Поэтому критерий (4.8) можно переписать в виде:ене—» гшп, (4.12)где vV. v.Ll. v;, v.^,. v^J1.'i +1 ••• y-l У+1 ••• vp<Введем упрощенную запись выражения (4.11):e=e-Pv'. (4.13)Найдем безусловный минимум целевой функции (4.12), которая с учетом (4.13) может быть представлена в виде:(e-Pv')H(e-Pv')—» min. (4.14)v'Безусловный экстремум (4.14) определяется решением нормальных уравнений:v'=(PHP)1Pe. (4.15)Определим вторую производную целевой функции (4.14) по v':ö2(8ll8)/öv'2=ö2[(e-Pv')ll(e-Pv')]/öv'2=2-ö(P Hv'P-eP)/^v'=2Pl,P. Экстремум, соответствующий (4.15), является глобальным минимумом целевой функции (4.12), если РНР положительно определенная квадратная матрица. Если не применяется процедура вычеркивания столбцов из матрицы R (при формировании Р) и выполняется равенство P=R, то существует строгоедоказательство существования глобального минимума в направлении у'. Оно следует из того, что при умножении матриц перемножаются и их собственные числа, а множителями являются корреляционные матрицы К с положительными квадратичными формами и, следовательно, их произведение естьнтакже положительно определенная квадратная матрица И И. В рассматриваемом общем случае сомножители Р являются прямоугольными матрицами, полученными исключением части столбцов положительно определенной корреляционной матрицы, что и отражается на характере экстремума.

Таким образом, процедура сокращения массива необходимой для моделирования информации сводится к следующим этапам:1) нахождение левого вектора обратной матрицы гобр;2) определение /-ой,у'-ой и т.д. позиций вектора гобр, на которых производится обнуление его коэффициентов по одному из правил, например по правилу (4.8);3)формирование матрицы Р вычеркиванием /-го,у-го и т.д. столбцов из корреляционной матрицы И;4) решение уравнения (4.15) и нахождение вектора у';5) восстановление искомого модифицированного вектора V авторегрессии подстановкой нулей на соответствующие (/,/ и т.д.) позиции (4.9).

6) проверка качества (адекватности) модели.

При небольших порядках р АР-модели следует последовательно исключать небольшие по модулю коэффициенты обратной матрицы, начиная с одного минимального. Это позволяет избежать подбора значений 5 и учитывать дискретный характер влияния этого параметра. При обнулении очередного коэффициента в векторе V проверяется адекватность модели по критерию (4.8). Если значение критерия (4.8) вышло за заданные границы, то необходимо вернуться к предыдущему шагу процедуры и на нем завершить оптимизацию, если же модель удовлетворяет требованиям по точности описания моделируемого процесса, то необходимо исключить очередной коэффициент и продолжить процедуру.

Результаты анализа эффективности предложенной методики приведены на рис. 4.2, 4.3.

На рисунках показаны зависимости среднего квадрата отклонений (СКО) нормированного контрольного спектра, представляющего собой квадрат амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) моделирующего АР-фильтра двадцатого порядка, от квадрата АЧХ исследуемых АР-фильтров. Сплошной линией показаны характеристики оптимизируемого фильтра с тем же порядком р=20 с модифицированными весовыми коэффициентами. Пунктирной линией изображены характеристики фильтра с вектором коэффициентов V, сформированным по правилу (4.6). Эта модель получена обнулением только малых по модулю АР-коэффициентов без последующей оптимизации (4.15) ненулевых параметров. Штриховой линией изображены характеристики обычного моделирующего АР-фильтра с порядком:т0=(р-&)<р,совпадающим с количеством его ненулевых коэффициентов, т.е. при построении фильтра процедура (4.6) не применялась. По горизонтальным осям рисунков отложено количество ненулевых АР-коэффициентов т0. Первый АР-коэффициент всех анализируемых фильтров, как обычно, полагался единичным и не учитывался в числе ненулевых коэффициентов т0, отметки гистограмм для модифицированных по предложенным процедурам АР-фильтров обозначены кружками, а для немодифицированных - ромбами.

На иллюстрациях приведены примеры моделей, построенных на реальных данных задач технической диагностики (релейная защита в энергетике) и медицинской (кардиоинтервалометрия), где общим является наличие в СПМ экспериментальных процессов узкополосных компонент, что характерно также и для локационных отражений. Так, на рис. 4.2 иллюстрируется качество АР-моделей для токов нулевой последовательности в высоковольтных кабельных сетях 6. 10 кВ при однофазном замыкании на землю, аКачество АР-моделей токов нулевой последовательностиКачество АР-моделей кардиоинтерваловЗависимость нормированного СКО от числа разрядов исходной и рабочей модели с округленными коэффициентамиУ' 0,00,00,00,0о1 8на рис. 4.3 - качество АР-моделей для последовательности межударных интервалов сердца человека.

Приведенные результаты показывают, что при моделировании экспериментальных процессов различной физической природы можно существенно уменьшить объем хранимой информации, сократив количество ненулевых коэффициентов рабочей модели. Важно, что попытка простого обнуления близких к нулю параметров без последующей коррекции оставшихся т0 коэффициентов (пунктирная кривая), приводит, в полном соответствии с результатами раздела 4.1, при Э>р!2 к ухудшению адекватности моделирования в 10.1000 раз по критерию (2.7). Попытка использования обычной АР-модели меньшего порядка т0<р также ведет к снижению качества модели в 2. 100 раз, без какого-либо снижения объема требуемой для математического описания информации [99].

Таким образом, при АР-моделировании экспериментальных процессов с узкополосными спектральными компонентами возможно сокращение объема массива, необходимого для математического описания данных путем замены наименьших по модулю АР-коэффициентов на нули (правило 4.6). При этом предлагается уменьшить возникающие при подобной замене ошибки оптимизацией вектора ненулевых АР-коэффициентов и (4.15). Например, для порядка р=30 и разрядности представления значащих коэффициентов /=32, сокращение фактического порядка на треть т^=20 за счет обнуления 0=10 коэффициентов с малыми модулями, объем необходимой для моделирования информации снижается с 992 до 740 бит, т.е. выигрыш в информационном объеме составляет //«1,32. Попутно исключены #=10 «пустых» операций умножения на нули и суммирования заведомо нулевых результатов, что экономит вычислительные ресурсы в процессе моделирования на 35%. В общем случае предлагаемый модифицированный алгоритм при порядках модели р>1 позволяете 1,2. 1,7 раза сократить объем необходимой информации и в 1,3. 1,8 раза уменьшить вычислительные затраты на моделирование припрактическом сохранении качества математического описания экспериментальных процессов с узкополосными спектральными компонентами.

4.3. Оптимизация авторегрессионных моделей с неравномерной шкалой квантования коэффициентовРассмотренные в предыдущих разделах варианты обнуления малых по модулю коэффициентов АР не исчерпывают возможностей экономии вычислительных ресурсов для хранения (передачи) параметров рабочей модели. Ниже предлагается использование неравномерной шкалы квантования коэффициентов, что в итоге обеспечивает более точное представление ¡Р) АР-коэффициентов, имеющих больший коэффициент влияния на СПМ и ихменее точное представление при меньшем коэффициенте влияния. Предлагается методика компенсации ошибки, вызываемой округлением части коэффициентов рабочей модели, позволяющая сохранить ее качество при существенном снижении вычислительных затрат на моделирование. В традиционной структуре построения процессора сигналов использование неравномерной шкалы квантования не дает преимуществ в скорости выполнения операций. Однако, использование процессоров с нейросетевой структурой (например N146403 разработки НТЦ «Модуль») позволяет при неравномерной шкале квантования повысить быстродействие выполнения операций фильтрации [66, 100].

Линейные АРСС-модели могут быть непосредственно применены в различных системах передачи информации либо в системах, связанных с построением сверхразрешающих спектральных оценок, благодаря высокому качеству, обеспечиваемому при многоразрядном представлении коэффициентов модели. Однако, как уже отмечалось, это требует значительных аппаратурных и вычислительных затрат. Для их сокращения в разделах 4.1, 4.2 предлагалось обнуление части наименьших по модулю коэффициентов моде-^ лирующего фильтра и последующий пересчет возникающих ошибок в оставшиеся ненулевые коэффициенты. В развитие данного подхода используем неравномерную шкалу квантования коэффициентов рабочей модели. Наиболее просто ввести две шкалы квантования значений модуля коэффициентов, представленные % и к«% разрядами: точную - для критичной к качеству модели части коэффициентов и грубую - для остальных коэффициентов моделирующего фильтра. Последовательность решения задачи следующая: разделение коэффициентов модели на две группы, выбор параметров квантования, компенсация ошибок грубого квантования методом коррекции коэффициентов более точного квантования.

Наиболее эффективно определять подлежащие грубому квантованию коэффициенты, предварительно минимизируя абсолютную погрешность квантования е. Последняя при использовании арифметики с округлением результата удовлетворяет условию: ет^=А 2(а /), где А - шаг квантования, к -число разрядов при грубом квантовании коэффициентов. Предварительная минимизация погрешности обеспечивается тем, что грубо квантуются только те коэффициенты «(/'), Ь{/), для которых ошибка округления ек не превышает пороговой величины 0А2К<етах, где (9=0.0,5 - вспомогательный параметр квантования, определяющий максимально допустимую ошибку округления.

Рассмотрим метод компенсации ошибки округления на примере модели скользящего среднего (СС). Операция округления сводится к тому, что исходный вектор СС-параметров Ь представляется как сумма вектора Ь0, часть компонент которого округленная, и вектора погрешности еп:Ь = Ь0+Еп,где элементы вектора еп являются ошибками округления коэффициентов исходного вектора Ь.

Вектор еп определяет погрешность в оценке комплексного спектра модели 8с=Реп, где Р- матрица преобразования Фурье с элементами:ГЦ, 1)=ехр {-\2ту 1/Ц, 1=0.Ь-\,у=0.д, Ь - число вычисляемых отсчетов спектра, д - размерностьоптимизируемого вектора коэффициентов.

Пересчет ошибки заключается в отыскании компенсирующего вектора б', дающего оценку спектра бД близкую к Вектор б' формируется с учетом того, что его элементы с номерами, соответствующими округленным коэффициентам, равны нулю.

Введем ¿-мерный вектор-столбец невязок, характеризующий неточность компенсации ошибки округления, проявляющейся в искажении спектра модели:8=Рбп-ГБ', что формально можно записать как:6=5^6'. (4.16)Критерий качества на основе (4.16) сводится к уменьшению квадрата нормы вектора невязок:БН£->ГГПП, (4.17)е'Экстремум целевой функции (4.17) с учетом (4.16) является решением системы нормальных уравнений [56]:е'оР,=(рНрУ1рН^или, с учетом ортогональности векторов, составляющих матрицу преобразования Фурье:(4.18)где к - нормирующий множитель, равный 1/1.

Решение (4.18) должно быть получено при условии сохранения нулевых элементов вектора б1, соответствующих округленным коэффициентам вектора Ь. Выполнить это условие можно используя стробирующее свойство нулей, заключающееся в том, что нулевые элементы вектора б' не вносят вклада в результирующий комплексный спектр б^-Гб'. Поэтому в матрице преобразования Фурье Р можно вычеркнуть столбцы, соответствующие нулевым элементам б', сформировав таким образом модифицированную матрицу Рм [99].

Тогда уравнение (4.16) принимает вид:(4-19)где е'ч1 - модифицированный вектор коррекции, представляющий собой только ненулевые элементы, соответствующие неокругленным параметрам.

Нахождение наилучшего по критерию (4.17) модифицированного вектора коррекции е'м с учетом (4.19) сводится к решению системы нормальных уравнений:Формирование вектора е' коррекции завершается дополнением е'м„/л нулями на вычеркнутых ранее позициях.

Учитывая фактическое отсутствие операции обращения, алгоритмически эквивалентно использовать обнуление столбцов матрицы Р, соответствующих округленным коэффициентам. При такой модифицированной матрице Р'м решение относительно неизвестного вектора коррекции даст в результате не модифицированный вектор, а полный, т.е. с нулевыми элементами на заданных позициях:Общая погрешность вносимая в параметры модели с учетом (4.20), составит 8£=£п-£'. Тогда Ь0-Ь-£т;, где Ь0' - вектор параметров оптимизированной модели, включающий в себя округленные коэффициенты и коэффициенты, в которые пересчитана ошибка округления.

Спектр оптимизированной модели в-ПЭо' примет вид:В (4.21), пересчетом неокругленных параметров, в спектр рабочей модели вводится коррекция Ре1, которая компенсирует ошибку Ре,,.

Исследование рассмотренной методики производилось для процессов в виде суммы синусоидальных компонент в шуме. Такая модель может использоваться, например, в задаче описания тока нулевой последовательностив'=А:(Р'м)Ч.(4.20)8'=РЬ-РЕП+Р£'.(4.21)(ТНП) при однофазном замыкании на землю в разветвленной кабельной сети 6. 10 кВ [101]. Адекватность оптимизированной модели определяется по среднеквадратическому отклонению ее комплексного спектра от спектра исходной модели, что может быть вычислено как квадрат нормы вектора невязок в—П)—РЬСр, где Ьср - вектор параметров модели, сравниваемой с исходной:£=гЧе"е),/2. (4.22)На рис.4.5 приведена гистограмма, отображающая зависимость нормированного СКО исходной модели порядка <7=20 от модели с округленными параметрами как функции числа разрядов к при параметре квантования (9=0,5, который приводит к округлению всех коэффициентов. Поскольку наибольший выигрыш как в аппаратурных, так и в вычислительных затратах обеспечивается при к= 1, то методика компенсации ошибки будет рассмотрена для двухуровневого квантования модуля параметров. На рис.4.6 в виде гистограммы изображена зависимость СКО исходной модели от модели с частью округленных коэффициентов как функция параметра квантования (9.

На основе результатов, отображенных на рис. 4.4 и 4.5, в качестве оптимизируемой модели выбрана модель с округленными коэффициентами при к= 1 и 6>=0,4. Параметр (9, фактически являющийся максимальной ошибкой округления, косвенным образом определяет число округленных параметров, поэтому он опытным путем выбирался из условия округления 80.90% коэффициентов.

На рис. 4.6 изображены нормированные амплитудные спектры СС-моделей ТНП: пунктирной линией показан спектр исходной модели, тонкой сплошной линией - спектр модели с частью округленных коэффициентов, а жирной сплошной линией - спектр оптимизированной модели с пересчитанной ошибкой округления.

Экспериментальное исследование методики синтеза рабочей модели (моделирующего фильтра) с частью целочисленных коэффициентов показыЗависимость нормированного СКО от порога квантования исходной и рабочей модели с округленными коэффициентами У(<90,0 0,0 0,0 0,0ол0,25 Рис. 4.50Нормированные амплитудные спектры СС-моделей ТНПРис. 4.6Спектральная плотность мощности эхо-сигналовО128256 Рис. 4.7384вает, что оптимизированная модель адекватна модели исходной в тем большей степени, чем в большее количество параметров пересчитывается ошибка округления. Однако для ряда моделей низкого порядка может оказаться достаточным пересчитать ошибку только в один коэффициент. Для рассмотренного примера ¿7=20, к=\ и 6*=0,4 отклонение амплитудного спектра оптимизированной модели от амплитудного спектра исходной модели на 20% меньше по сравнению с отклонением спектра модели без компенсации ошибки округления.

Принципиальной особенностью разработанной методики является то, что компенсирующий вектор е' в отличие от исходного является комплексным. Поэтому пересчет ошибки рекомендуется применять при достаточно большом 0либо когда исходные параметры Ь комплексные.

Однако при небольшой разрядности к округленных коэффициентов можно получить вычислительный выигрыш за счет замены операции умножения соответствующим числом суммирований. Высокая эффективность пересчета ошибки позволяет применять более простые алгоритмы округления либо приводить коэффициенты к ближайшим величинам, равным степени 2х, что дает дополнительное сокращение вычислительных затрат заменой приблизительно 2х операций суммирования при умножении % операциями циклического сдвига влево.

Поскольку при пересчете ошибок не накладывались ограничения на вид модели, то приведенная методика может быть использована для авторегрессионных (АР) и АРСС-моделей. В этих случаях пересчет ошибки округления ведется отдельно для векторов АР- и СС-параметров.

Таким образом, при моделировании процессов возможно сокращение аппаратурных затрат путем малоразрядного квантования части коэффициентов моделирующего фильтра: в рассмотренном примере объем информации, подлежащей передаче (хранению), снижается с 168 до 98 бит при представлении исходных параметров /=8 битами. В общем случае при к=\ дополнительно сокращается объем информации при обнулении либо бинарном квантовании коэффициентов. При этом хранению (передаче) подлежат только номера позиций нулевых коэффициентов (этот выигрыш будет иметь место при условии д<2х—\ [99]) и знаки целых коэффициентов, отличных от нуля.

Вычислительный выигрыш для примера оптимизации модели ТИП порядка <7=20 при к=\ и 0=0,4 (17 округленных параметров) определяется тем, что обнуляются 6 коэффициентов и 11 коэффициентов, отличных от нуля, подвергаются бинарному квантованию. Исключение 6 операций умножения на ноль и операций суммирования заведомо нулевых результатов сокращает вычислительные затраты на 30%. Кроме того, исключаются 1 1 операций умножения на бинарно-квантованные коэффициенты (общее количество арифметических операций приведено в таблице 4.4).

Таблица 4.4^\[£оличество операций Вектор коэффициентов Операции Умножение Сложение, вычитание, сдвигИсходный 21 20Оптимизированный 8 17Для конкретизации снижения вычислительных затрат определим соотношение длительностей операций умножения и суммирования как 10:1. Тогда при использовании вышеизложенной методики определения параметров рабочей модели общее время, затрачиваемое на имитационное моделирование случайного процесса, уменьшается в 2,4 раза.

4.4. Оптимизация рабочей модели по критерию взвешенного СКО в спектральной областиРассмотренные выше методы оптимизации рабочей модели согласно критерию (3.2) предполагают равный вклад всех составляющих СПМ в оценку качества модели. На практике часто существует априорная информация означимости тех или иных частотных диапазонов, в которых его СПМ необходимо представить в сжатом виде с предельно возможной точностью. В то же время в других диапазонах частот СПМ не представляет интереса или является достаточным ее общее описание. Тогда можно модифицировать введенный ранее критерий качества рабочей модели:/=огде - спектральная весовая функция.

Приведем несколько практических примеров использования данного критерия.

В задаче медицинской диагностики человека по пульсограммам [102] известно, что наиболее значимая информация находится в низкочастотной области спектра, но полностью пренебречь высокочастотными компонентами спектральной плотности мощности нельзя.

При описании неоднородных мешающих радиоотражений в картографировании локационных помех можно учесть, что эхо-сигналы от малоподвижных протяженных объектов имеют значительную мощность и являются более важными чем более мелкие детали.

В задачах технической диагностики [102] важная информация часто сосредоточена в априорно известных локальных областях спектра, однако полное исключение оставшихся спектральных составляющих нецелесообразно.

Ставится задача синтеза алгоритма, аппроксимирующего процесс по частотно-весовому критерию, учитывающему заданную априорную информацию о значимости спектральных отсчетов представляемого процесса (оригинала). Согласно критерию минимума взвешенного среднеквадратического отклонения спектров синтезируется АКП аппроксимирующего процесса. Практическим результатом такой методики может быть сокращение массива информации, необходимого для описания экспериментальных данных с существенно неравнозначной ценой спектральных отсчетов.

Сформулируем данную задачу как задачу синтеза аппроксимирующей автокорреляционной последовательности процесса, статистику которого можно представить в более компактном виде, чем АКП исходных данных, учитывая заданные представления о спектре оригинала [103].

Информация о значимости спектральных отсчетов процесса формально может быть задана в виде действительного весового ¿-мерного вектора-столбца \у={и'|.н'/,}. Дискретный спектр процесса также представим ¿-мерным вектором-столбцом р, связанным с п-мерным вектором-столбцом АКП.£„} ортогональным преобразованием:где Г-прямоугольная (¿хя) матрица дискретного преобразования Фурье с компонентами /^—ехр{-12щ1/1\ | /=о.(/.-п,у=1.пС целью сокращения избыточности модифицируем АКП сведя ее к аппроксимирующему вектору И меньшей мерности т<п, учитывающему априорную информацию о значимости (важности) спектральных отсчетов.

Представим ¿-мерный вектор 8 отсчетов дискретного спектра рабочей модели в виде:8=СЬ,где в - (¿хт) подматрица матрицы Р дискретного преобразования Фурье для рабочей модели с сокращенным до т числом столбцов (/=1.т).

Метод нахождения вектора Ь основан на минимизации длины взвешенного дискретной функцией значимости лу комплексного ¿-мерного вектора невязок б между сравниваемыми спектрами:е^(р-СЬ),где W=diag(w).

Тогда критерий минимизации квадрата длины вектора невязок ене сводится к следующему выражению:(\Ур-\¥СИ)н(\¥р-\УСН)->гтпп.

Задача сводится к решению системы нормальных уравнений с матрицей преобразований WG и вектором желаемых решений Wc. Искомый оптимальный вектор hop, АКП сокращенной мерности, с учетом действительности и диагональности матрицы W, принимает вид:hopl=(GHWWG)"lGHWWp. (4.23)Входящая в выражение (4.23) обратная матрица (G'^WNVG)"1 в практических алгоритмах может оказаться вырожденной. В этом случае следует применить сингулярное разложение видаV(G WWG)Yи преобразование кобобщенной обратной матрице Мура-Пенроуза V(GHWWG)Y (псевдообратной к исходной матрице), которую следует использовать в дальнейшем в ал-• горитме наименьших квадратов для получения псевдорешения системы нормальных уравнений [58]. В частном случае псевдообращение невырожденной матрицы приводит к обычному обращению матрицы (GHWWG).

Отметим, что при равной значимости всех спектральных отсчетов wj= 1 | v/=i./. и совпадении порядков т=п выражение (4.23) сводится к очевидному результату:hopt=(GHG)-'GHFg,ввиду вырождения диагональной матрицы W весовой обработки в единичную матрицу Е.^ Учтем равенство матрицы и подматрицы дискретных преобразованийФурье F=G | п=„, и взаимную ортогональность входящих в каждую из них векторов-строк:GHF=L-E.

Тогда hopl=g, т.к. (GHG)"'=(1/L)E.

Важной задачей при синтезе аппроксимирующего процесса является выбор весовых функций, т.е. компонент w, вектора w. Очевидно, что выигрыши в сокращении информационной емкости описания процесса будут нарастать с уменьшением количества спектральных отсчетов, на которых необходимо обеспечить высокую точность аппроксимации. Вместе с тем, малыйуровень весов уу/ может привести к значительным ошибкам аппроксимации в частично контролируемых областях спектра. Данный факт соответствует теореме об аппроксимации характеристик цифровых фильтров [104].

Можно предложить различные варианты формирования вектора \у, например, следующие:1) весовая функция априорно неизвестна и зависит от формы спектра аппроксимируемого процесса;2) весовая функция не зависит от формы спектра аппроксимируемого процесса, т.е. может быть задана априорно.

Ниже приведены частные примеры реализации двух вариантов задания ы/ и оценка эффективности предлагаемой методики.

При картографировании радиолокационных помех приоритетно отображение протяженных малоподвижных мешающих объектов, отражения от которых обычно обладают высокой мощностью. Считая, что значимость спектральных составляющих подлежащего запоминанию процесса не одинакова и убывает с уменьшением мощности отражений, целесообразно связать вес представляемого участка спектра с уровнем зафиксированной на этом участке мощности. Как показали эксперименты, проведенные на дискретных комплексных реализациях, весовая функция частотных компонент может быть сформирована по следующему правилу:™г\р>\2, (4.24)гдер/- компоненты вектора р спектральных отсчетов исходного процесса.

На рис. 4.7 спектральная плотность мощности, соответствующая АКП из /7=20 отсчетов, показана тонкой сплошной линией. Жирной чертой отображена спектральная характеристика при числе коэффициентов т=10, полученная при помощи предлагаемой методики с вектором сформированному по правилу (4.24). Усеченная АКП аналогичной размерности т имеет энергетический спектр, изображенный пунктиром. Количество используемых спектральных отсчетов ¿=512.

Численный анализ эффективности показывает, что нормированная длина вектора невязок £=|в|Я, принимает для предлагаемого алгоритма (4.23) значение ¿•о=0,104, а при использовании простой процедуры усечения размерности АКП нормированная длина в оказывается вдвое большей (£¿,=0,208).

Второй пример основан на. использовании в качестве процесса-оригинала отсчетов пульсограммы человека, полученной при помощи кардиографа (плетизмографа) [102]. При этом учитывалось [105], что наиболее важная информация о запасе адаптационных возможностей человеческого организма содержится в низкочастотной области спектра пульсограммы.

Отметим, что исходный временной ряд, как и коэффициенты АКП g, действительны, а вектор решения Ьор, (4.23) является комплексным. Поэтому корректное сравнение результатов должно проводиться с усеченной АКП вдвое большей размерности. Такой подход позволяет поставить сравниваемые алгоритмы в равные условия по фактическому количеству коэффициентов (объему необходимой статистической информации).

На рис. 4.8, 4.9 спектральная плотность мощности оригинала, соответствующая АКП из 20 отсчетов (/7=20), показана тонкой сплошной линей. Жирной чертой изображена спектральная характеристика при числе коэффициентов а?7=6, полученная при помощи предлагаемой методики. Усеченная АКП из 2т отсчетов дает энергетический спектр, изображенный пунктиром. Весовые коэффициенты значимости ¿=256 спектральных отсчетов формировались по следующему правилу:1, при / е[1;40]; 0,15, при / е]40;64]; 0, при / е]64;256].

На рис. 4.8 в логарифмическом масштабе представлен весь спектр относительных частот. Значительный подъем спектральной плотности мощности в диапазоне отсчетов /е]64;256] не сказывается на критерии качествам, = <,Спектральная плотность мощности кардиоинтерваллограммыФрагмент спектральной плотности мощности кардиинтерваллограммы16 32описания процесса ввиду нулевых весов значимости высокочастотной части спектра.

На рис. 4.9 выделен важный участок спектральных характеристик, лежащий в низкочастотной области. Рисунок иллюстрирует возможность, которую дает применение предлагаемой методики различения двух необходимых для диагностики заболеваний низкочастотных компонент спектра [105]. Отметим, что усеченная модель той же информационной емкости, показанная пунктиром, не обладает достаточной информативностью.

Для данного примера сопоставление нормированных длин векторов невязок показывает, что применение алгоритма (4.23) уменьшает значение £ на 30% по сравнению с процедурой усечения размерности АКП (¿га=2,28, £ь=3,26).

Таким образом, использование предлагаемой методики пересчета АКП исходного процесса как для действительных, так и для комплексных экспериментальных последовательностей приводит к существенному (от 20% до 50%) сжатию информации, необходимой для описания стохастических процессов с заданными функциями значимости спектральных компонент.

Следует заметить, что данная методика сокращения избыточности применима не только для преобразования Фурье, но и для любых других ортогональных преобразований.

4.5. Выводы к разделу 4Для выбранной структуры рабочей модели процессов с полимодальным спектром на основе разработанных в разделе 3 методов оптимизированы такие параметры модели, как дисперсия возбуждающего шума и число разрядов квантования коэффициентов рабочей модели. Кроме того, критерии качества рабочих моделей модифицированы с учетом ограничения на число разрядов представления коэффициентов рабочей модели.

Показано, что параметрическая оптимизация рабочих моделей возможна при наличии информационной избыточности сигнала или его неоптими-зированной модели.

Для задач практической реализации цифровых фильтров моделирования и обработки на базе сигнальных процессоров разработана методика оптимизации числа разрядов квантования весовых коэффициентов, позволяющая сократить вычислительные и аппаратурные затраты при решении прикладных радиотехнических задач.

Предложен и подтвержден вычислительными экспериментами метод стробирования части коэффициентов модели с сохранением порядка модели и с учетом коррекции дисперсии возбуждающего шума, позволяющий снизить вычислительные и аппаратурные затраты на моделирование на 10.40 % при незначительном искажении формы спектральных мод моделируемого процесса. Разработана структурная схема алгоритма оптимизации модели, обеспечивающая заданную погрешность аппроксимации.

Приведены примеры использования предложенных алгоритмов в различных практических приложениях.

Предложена процедура сокращения массива необходимой для моделирования информации, частью которой является последовательное исключение из алгоритма расчета коэффициентов модели наименьших по модулю элементов обратной корреляционной матрицы. Приведены примеры генерации экономичных моделей, построенных на реальных данных для задач технической и медицинской диагностики, общим свойством СПМ которых является наличие узкополосных компонент. Достигнуто уменьшение объема информационного массива в 1,32 раза путем сокращения количества ненулевых коэффициентов рабочей модели.

Предложено использование неравномерной шкалы квантования коэффициентов, основанное на более точном представлении параметров модели, имеющих больший коэффициент влияния на СПМ и менее точное представление параметров при меньшем коэффициенте влияния. Введена методикакомпенсации ошибки, вызываемой округлением коэффициентов модели. Отмечено, что полученный при неравномерной шкале квантования выигрыш практически реализуется при использовании процессоров с нейросетевой структурой.

Проведена проверка эффективности разработанной методики для процессов в виде суммы синусоидальных компонент в шуме. Показано, что степень адекватности оптимизированной модели по отношению к исходной увеличивается с увеличением количества коэффициентов, в которые пересчиты-вается ошибка округления. Применение полученной методики позволяет снизить объем информации, подлежащей передаче (хранению), а время, затрачиваемое на имитационное моделирование случайного процесса, уменьшается в 2,4 раза.

Предложена процедура оптимизации рабочей модели по критерию взвешенного в спектральной области СКО. Областью ее приложения являются практические радиотехнические задачи при наличии априорной информации об уровне значимости спектральных компонент. Предложено использовать имеющуюся информацию для непропорционального сжатия информации о модели, что позволяет наиболее «важные» участки СПМ представить с относительно большей точностью, чем менее «важные».

Показано, что выигрыш в сокращении информационной емкости модельного описания процесса возрастает с уменьшением количества спектральных отсчетов, на которых необходимо обеспечить высокую точность аппроксимации, и в среднем составляет от 20% до 50%. Существенно, что методика сокращения избыточности применима не только для преобразования Фурье, но и для любых других ортогональных преобразований.

5. Характеристики фильтров обработки сигналов при конечной выборкеЭффекты, связанные с конечным объемом выборки, не ограничиваются исследованными выше вопросами создания рабочей модели наблюдаемых данных. При использовании параметрических методов АРСС для синтеза фильтров обработки коротких последовательностей данных проявляются дополнительные эффекты, связанные с незавершенностью переходных процессов в фильтрах. Как известно, переходные процессы в фильтре, имеющем лишь СС-составляющую, завершаются к отсчету с номером q+1. Для АР-составляющей, реализуемой с помощью рекурсивных связей, длительность переходных процессов определяется многими факторами и требует отдельного анализа. Синтез и анализ рекурсивных фильтров для различных радиотехнических приложений имеет предысторию и рассматривался в работах как более раннего периода, так и в последние годы, в том числе и в работах автора. Так, в [106, 107, 108, 109] и в работах автора [110, 111, 112] совместно с Гуськовым C.B. и Поповым Д.И. разработаны методы синтеза и анализа радиолокационных фильтров селекции движущихся целей (СДЦ) по критериям обнаружения, процедуры инициализации и структуры фильтров в переходном режиме. В [113] предлагается вариант ограничения импульсной характеристики рекурсивного фильтра введением дополнительных компенсирующих связей, что приводит при определенных условиях к сокращению длительности переходных процессов. В [1 14] используется критерий минимума СКО (в частотной области) для синтеза БИХ-фильтра, выделяющего сигнал из смеси с широкополосным шумом. Анализируются характеристики адаптивного фильтра. В [115] также использован анализ с помощью динамических АЧХ [106, 107] и коммутации цепей обратной связи. Предлагаемый [116] метод уменьшает искажение частотных характеристик перестраиваемых нерекурсивных фильтров, обусловленное коммутацией весовых коэффициентов. Авторы [117] приводят алгоритм расчета оригиналов импульснойи переходной характеристик фильтров с кратными комплексными полюсами. Анализ эффективности неадаптивных и адаптивных систем СДЦ рассматривался в работах [118, 119, 120].

В то же время в известных работах до сих пор не нашли отражения вопросы методики расчета динамических частотных характеристик и использование аппарата пространства состояний для синтеза и анализа моделей АР и АРСС, построенных по коротким выборочным данным.

5.1. Сравнительный анализ методов вычисления динамических частотных характеристик параметрических моделей и фильтровПроведем анализ частотных характеристик на примере авторегрессионных фильтров при ограниченной выборке входного сигнала. Рассмотрим вопросы выбора порядка фильтра с учетом длительности переходных процессов.

Будем считать статической частотную характеристику АРСС-фильтра, полученную аналитически (2.6) и зависящую от параметров модели как:1 + ЕЬ(7)ехр{-12л#Г} P{f) = Tg—jf-• (5.1)У = "Необходимо отметить, что СПМ процесса на выходе фильтра достигается асимптотически при стремлении к бесконечности числа элементов входной последовательности белого гауссовского шума. При ограниченной выборке качество фильтрации снижается. Удобным инструментом для анализа и контроля качества модели при ограниченной выборке является аппарат динамических частотных характеристик (ДЧХ) [106]. ДЧХ характерного вида представлены на рис. 5.1.

Экспериментально подтверждается, что при возрастании объема выборки характеристики, полученные вторым и третьим методами, стремятся к статической характеристике (5.1). В то же время при небольшом, относительно длительности переходного процесса, объеме выборки эти методы приводят к существенно различным результатам. Это является следствием различий в методиках вычисления ДЧХ по методу Флетчера и методу ограничения бесконечной импульсной характеристики, который в дальнейшем будем называть методом ОБИХ.

По методу Флетчера на вход анализируемого фильтра подается N отсчетов гармонического сигнала х(/) различной частоты. Сигнал на выходе после усреднения соответствует коэффициенту передачи фильтра на данной частоте. Для другой длительности тестового сигнала эксперимент повторяется. Вычисление отсчетов ДЧХ рн(1) производится следующим образом:Ры(П= 1х(у)ехр02я///л0= Xу=о у=о<=1 /=оехр(\2тд'1 / N).

В методе ОБИХ отсчеты ДЧХ р,\(1) находятся путем дискретного преобразования Фурье от усеченной импульсной характеристики (ИХ) фильтра. Степень приближения ДЧХ к статической частотной характеристике зависит от числа N<1^ отсчетов ИХ:А0')ехрН2я/"//£),>о •где /?(/')=приу = 0р1 + £а(/)/7 (у-/), при у < N. 0 при N < у < ЬНиже проводится сравнительный анализ двух способов получения ДЧХ: методом, предложенным Флетчером, и методом ОБИХ. В качестве примера в машинных экспериментах использовалась последовательностьдлительностью 100 отсчетов, полученная аддитивным сложением трех комплексных экспонент.

Критерием близости статической и динамических характеристик является среднеквадратическое отклонение е и модуль максимального отклонения /7 [34]. Для АР-фильтра критерии принимают следующий вид:11 = 0----ХМУ)ехр(-12л/7/1)1 + £>(/)ехр(-12тг////,) 7=0-> ГП1П т]= тах,--Хф]ехр(-12л77/1)1 + ^й[/]ехр(- ¡2тг/// ¿) 7=0/=|—> тт.

Итак, анализ характеристик авторегрессионных фильтров в условиях ограниченной выборки входного сигнала показал, что возможно применение двух методик построения ДЧХ: метода Флетчера и метода ОБИХ. Построены количественные оценки по критериям среднеквадратического и максимального отклонения ДЧХ от статической СПМ. Рекомендуется применение метода ОБИХ при условии ограниченности длины ИХ, а также для предварительной, оперативной оценки характеристик фильтра в случае работы с короткими выборками. Для точного определения параметров фильтра в режиме обработки коротких последовательностей следует использовать методику Флетчера.

5.2. Повышение качества моделирующего фильтра при конечной выборкеПри коротких последовательностях входных данных переходные процессы в АР-фильтрах высокого порядка приводят к большим отклонениям ДЧХ от статической АЧХ, чем в фильтрах меньшего порядка. Расчет ДЧХ для набора реальных фильтров подтверждает такое предположение. Использование аппарата ДЧХ позволяет выбрать оптимальный порядок фильтра для обработки сигнала конечной длины. Таким образом, удается частично скомпенсировать ограниченность длины обрабатываемой последовательности ее учетом при оптимизации порядка АР-фильтра.

Кроме рассмотренного пассивного метода оптимизации для повышения эффективности фильтра можно использовать активный метод инициализации, предложенный в [106] и рассмотренный также в [107]. Он заключается в предварительной записи в элементы памяти фильтра определенных числовых значений. Для анализа работы фильтра в таком режиме применим математический аппарат анализа динамических систем в пространстве состояний [74, 121].

Алгоритм АРСС-фильтрации может быть описан разностным уравнением р-го порядка или системой р уравнений состояния первого порядка:10-+1)=А(/М)+В(/)х(/),У0')=С0>0>В(/)Х(Д (5.2)где {(]) - вектор переменных состояния, х(/) - вектор возбуждающего воздействия, у(/) - вектор выходных значений. Матрицы А, В, С, Э учитывают структуру фильтра и зависят от у для нестационарных систем.

Для АРСС фильтра постоянной структуры уравнения (5.2) принимаютвид:ф+1]=Аф]+Вх[/-], У[/Н[Л,где матрица А выражается через АР-коэффициенты, В - через СС-коэффициенты:А=1 0о о о ооо• оо60о оо о о оV. ъщо оо о о оС=[1; 0;.0; 0], Э=0.

Таким образом, задав вектор состояния X, который формируется в установившемся режиме, можно сократить длительности переходного процесса и улучшить качество обработки сигналов малой длительности. В машинных экспериментах вектор состояния запоминался после прохождения 100 отсчетов последовательности, соответствующей контрольной СПМ, и в следующем опыте инициализировал фильтр. Зависимость эффективности инициализации от длины входной последовательности для сигнала с нулевым средним ^ при условии синхронизации иллюстрирует рис. 5.4.

Необходимо отметить сравнительно невысокую эффективность методики инициализации для сигнала с нулевым средним. Достигаемый по критерию СКО выигрыш составляет около 10-20 %, и имеет место существенная зависимость положительного эффекта от синхронизации инициализирующего и входного сигналов. Такую синхронизацию сложно обеспечить для ква-зидетерминированного сигнала и невозможно для случайного сигнала. Для сигнала с ненулевым средним инициализация весьма эффективна.

Таким образом, проанализировано применение оптимизации порядка фильтра и инициализация его памяти в целях повышения эффективности рекурсивных фильтров. Инициализация эффективна при ненулевом среднем входного сигала или при возможности синхронизации инициализирующего и входного сигналов. Используя приведенные результаты анализа, удается точнее оценивать характеристики АР-фильтра при ограниченной выборке данных, сократить переходный процесс и в итоге улучшить качество обработки сигналов.

Полученные результаты успешно использованы в задачах технической и медицинской диагностики, обработки локационной информации и других приложениях, связанных с использованием коротких последовательностей обрабатываемых данных.

5.3. Построение адаптивного обеляющего фильтра на базе рабочей АР-моделиАдаптивный алгоритм обеления коррелированных помех (в том числе многомодовых) АР-фильтром И\у=е предполагает оценку [122, 123, 124, 125] прямой или обратной корреляционной матрицы помех И-1 и определяет решение как Для одномодовых процессов известны различные алго-# ритмы, позволяющие обойти трудности процедуры обращения матрицы[126]. Ниже предлагается алгоритм обеления помех, основанный на аппроксимации АР-фильтра СС-фильтром. Для этого в качестве вектора обработки обеляющего фильтра используется первый вектор-столбец корреляционной матрицы И или в используемом нами определении АКП обрабатываемого процесса. Однако зоны непрозрачности обеляющего АР-фильтра невысокого (р<5) порядка слишком широки при узкой полосе пропускания. Для обеления узкополосных процессов необходимо, напротив, иметь широкую полосу пропускания при узкой полосе непрозрачности, что характерно для СС-фильтров.

Приведенные на рис. 5.5 нормированные АЧХ иллюстрируют соотношение полос пропускания и непрозрачности обеляющих АР- и СС-фильтров третьего порядка. АКП формировалась для трехкомпонентной помехи (две узкополосные составляющие с относительным фазовым сдвигом за период дискретизации ^|7=0 и 7=0,25 и широкополосная составляющая). Соотношение мощностей каждой из узкополосных компонент по отношению к широкополосной принято равным 10 дБ, а форма спектра флуктуаций - гауссов-кая, ширина спектра флуктуаций с1Г\Т=0,\ и с1Г2Т=0,\ (соответственно).

Из расчетов следует, что для подавления многокомпонентных коррелированных помех от статических (земная поверхность) и подвижных объектов (стаи птиц, гидрометеоры) можно рекомендовать порядок СС-фильтра т=р+\.

Вычислительный алгоритм формирования весового вектора b адаптивного обеляющего СС-фильтра можно существенно упростить по сравнению с (5.2), используя последовательность операций, разработанную и примененную в [127, 128, 129, 130, 131, 132, 133]:1) по оценке р коэффициентов нормированной АКП входного процесса,bHRbк-с иг0ЬнЪ, где Ь=формируется весовой вектор V обеляющего БИХ-фильтра р-го порядка;2) формируется "звон" БИХ-фильтра при поступлении на его вход единичного отсчета с устройства управления;3) в регистровом оперативном запоминающем устройстве (ОЗУ) запоминаются первые т откликов "звона" обеляющего БИХ-фильтра, являющиеся элементами вектора Ь весовых коэффициентов КИХ-фильтра;4) коэффициенты вектора. Ь с выходов регистрового ОЗУ одновременно подаются на т весовых входов КИХ-фильтра, обрабатывающего входную последовательность. Обеляющий КИХ-фильтр, реализующий данный метод, приведен на рис. 5.6 [131, 134].

Обновление вектора обработки происходит периодически или по результатам анализа обрабатываемой последовательности, когда требуется произвести коррекцию вектора обработки. Коррекция производится по результатам проверки однородности гауссовых распределений по конечным выборкам наблюдений. Так, в [135] исследованы характеристики синтезированного алгоритма, введен критерий равенства или неравенства матриц кова-риации для различных выборок. Естественно необходимым условием совместной обработки является когерентность сигналов. Так, в [136] получены численные значения интервала когерентности для различных типов эхо-сигналов, составляющие 300.400 мс при интервале корреляции 450.600 мс.

Коэффициент прохождения помехи для оптимального обеляющего фильтра, выраженный через отношение Рэлея [137] с учетом формулы Гобр-К 'е, имеет вид:у (И"'е)/У1Ш"'е 2/У (1Г'е)"Ее ет(1Г')/уе ' 2(1Г,е)"1Г|е £/0>(у) 'о^'е)" К"'е ' г0е'Г(Н"')"7=0или сокращеннокс=Н0/(г0 Д ), (5.4)где И0 - нулевой коэффициент первого столбца обратной матрицы О0 нулевой коэффициент первого столбца произведения матриц Приу-0;.; (ЛМ) нормированная мощность входного процесса х{/') сводится к половине нулевого коэффициента г0 АКП:т^гт (7)х(7) = ^ м{ | XV) 12} =го/2.¿м 7=0 2Выражение (5.4) определяет значение кс для оптимального обеляющего фильтра без использования комплексных матриц и векторов, сведя задачу к нахождению первого вектора-столбца матрицы I*.

Эффективность обработки сигнала рассматриваемым методом, использующим "звон" БИХ-обелителя, при различных порядках р и оптимальным обеляющим КИХ-фильтром четвертого порядка иллюстрируется зависимостями коэффициента прохождениячетырехкомпонентной помехи от относительных мощностей (рис. 5.7) и относительных скоростей (рис. 5.8) второй и третьей компонент коррелированного мешающего процесса. При этом первая узкополосная компонента с параметрами Л=1; с!Р\Т=0,05; Т=0 имитирует радиоотражения от статических мешающих объектов. Вторая и третья более широкополосные (с1Г2Т=с1Р]Т= 0,1) компоненты, разность относительных скоростей которых постоянна (РТ2-РТ3=0,1), отображают неоднородные отражения от подвижных мешающих объектов со средней относительной скоростью /гг7'=(/:У?-0.05)=(/г7^+0,05) и относительной мощностью Рг=Р2=Рз- Огибающие энергетических спектров всех коррелированных компонент приняты гауссовскими (<2=1), Я=10-1. Порядок аппроксимирующего КИХ-фильтра выбран согласно сформированной рекомендации: т=р+1. Эффективность рассматриваемого метода иллюстрируется сплошными линиями, оптимального обелителя - пунктиром (см. рис. 5.7, 5.8).

Оценим вычислительные затраты и требуемый объем памяти для формирования весовых коэффициентов обеляющего КИХ-фильтра. Эти затратыЗависимость коэффициента прохождения помехи от средней относительной скорости мод, при 0,5Рис. 5.7Зависимость коэффициента прохождения помехи от средней относительной мощности мод, при РгТ= 0,5для различных методов формирования коэффициентов сведены в таблицу 5.1.

Таблица 5.1\Метод Операции "Звон" БИХ-обелителя Алгоритм Левинсона Метод исключения ГауссаДелений - т т2+т/2Умножений (т'-т)11 т2+2т (2т}+2т2-5т)/6Вычитаний т - (2т1+2тг-5т)16Сложений (т2-т)/2 т2+т Объем памяти 2 т 2т т2+тСравнительный анализ вычислительной эффективности обработки показывает, что предложенный алгоритм вычисления вектора Ь генерацией "звона" БИХ-обелителя сокращает количество умножений и сложений более чем в два раза по сравнению с алгоритмом Левинсона и полностью исключает операцию деления при сохранении прежнего объема необходимой памяти. Выигрыш в вычислительной эффективности в сравнении с методом исключения Гаусса достигает т раз.

Таким образом, рассмотренный алгоритм адаптивного обеления многокомпонентных коррелированных помех обеспечивает высокое качество обеления, приближающееся к качеству оптимального обелителя (разница в коэффициенте прохождения помехи составляет менее 3 дБ при условиях, оговоренных выше), и вдвое сокращает вычислительные затраты на формирование весовых коэффициентов обеляющего фильтра по сравнению с быстрым алгоритмом Левинсона.

5.4. Выводы к разделу 5Проведен анализ частотных характеристик и выбор порядкаАР-фильтра при ограниченном числе отсчетов входного сигнала. Проведена коррекция параметров АР-фильтра, частично компенсирующая влияние переходного процесса.

Проанализированы различные методики построения ДЧХ: метод Флет-чера и метод ОБИХ. Рекомендовано применение метода ОБИХ при условии реального ограничения длины ИХ, а также для предварительной, оперативной оценки характеристик фильтра в случае короткой выборки. Для точного определения параметров фильтра в режиме обработки коротких последовательностей следует использовать методику Флетчера.

Разработан алгоритм вычисления вектора коэффициентов обеляющего фильтра генерацией "звона" АР-обелителя, что позволило сократить число операций умножений и сложений более чем в два раза по сравнению с алгоритмом Левинсона и полностью исключить операцию деления без увеличения объема необходимой памяти.

Полученный алгоритм адаптивной обработки многокомпонентных коррелированных помех обеспечивает выигрыш в вычислительной эффективности в сравнении с методом исключения Гаусса при высоком качестве обеления помех, приближающемся к качеству оптимального обелителя (разница в коэффициенте прохождения помехи составляет менее 3 дБ).

6. Оптимизация обработки сигналов в классе многоканальных цифровых СС-фильтровРазработанные в предыдущих разделах методы модельного описания многомодовых процессов позволяют повысить эффективность решения задач структурного и параметрического синтеза многоканальных (спектральных) алгоритмов и устройств обработки сигналов, обеспечивая редукцию поступающих данных в параметры системы обработки. В работе [25] описаны алгоритмы оптимальной обработки сигналов и применение методов АР-моделирования, статистики Кейпона и алгоритма Хаккета. Задача оптимизации объема выборки при оценке корреляционных матриц, используемых для расчета весовых коэффициентов системы обработки сигналов, рассматривалась в [138]. Она возникает, например, при ограниченном времени обработки. Используются максимально правдоподобные оценки корреляционных матриц и оптимизируется число элементов усреднения. В [139] синтезирован алгоритм многоканальной по скорости обработки, использующей информацию о межпериодной корреляционной матрице помех на выходе детектора. В [140] Я.Д. Ширманом проведен сравнительный анализ эффективности различных методов обработки. Описывается история развития статистической теории разрешения, техники сжатия радиоимпульсов, корреляционной автокомпенсации помех, сверхширокополосной радиолокации и быстрого спектрального анализа. Отмечена неадекватность априорных предположений, используемых в цифровом спектральном анализе (ЦСА), указывается, что отрыв от локационных критериев оптимизации и оценок потенциальных возможностей приводит к ложным спектральным выбросам. Чрезмерная ортого-нализация обработки, в частности алгоритма MUSIC, справедлива только при больших отношениях сигнал-шум. Ставится задача адаптировать методы ЦСА к задачам радиолокации [141]. Материал данного раздела также отражает исследования в этом направлении.

Использование локационных критериев при постановке задачи обнаружения сигнала целесообразно начинать на этапе обобщения уравнения дальности обнаружения. Для этого ниже сформулированы критерии синтеза и определены структурные особенности многоканальных фильтров, решающих задачу первичной обработки локационных сигналов. Проведен анализ характеристик МФ и влияние на них параметров обрабатываемых сигналов. Проведена оптимизация числа и расстановки каналов МФ БПФ и многоканальных режекторных фильтров по энергетическому критерию. Показано, что снижение точности оценки частоты сигнала в МФ может быть скомпенсировано применением интерполяционных алгоритмов оценки частоты. Синтезированы и проанализированы СС-фильтры параллельной систолической структуры. При заданных ограничениях синтезированы квазиоптимальные алгоритмы и упрощенные алгоритмы, базирующиеся на БПФ с предварительным взвешиванием входной выборки. Развиты методы синтеза МФ. Предложена модификация метода Кейпона, решающая задачу оценки спектрального динамического диапазона обрабатываемого сигнала. Синтезированы и проанализированы режекторные фильтры многоканальной, параллельной и систолической структуры.

6.1. Обобщенная форма уравнения дальности обнаруженияКонечной целью доплеровской фильтрации сигналов является обеспечение заданных характеристик обнаружения конечной выборки сигнала. Методика выбора технических характеристик РЛС является одним из средств оптимизации ее параметров [47, 142]. В то же время известные формы уравнения дальности обнаружения не полностью учитывают статистических параметров сигналов и помех или их моделей. Обеспечение необходимой дальности действия РЛС может быть достигнуто различными способами [143], в зависимости от выбора варьируемых параметров, входящих в основное уравнение радиолокации (уравнения дальности обнаружения). Основные системные параметры комплекса радиозондирования взаимосвязаны. Использование известных методик для достижения приемлемых характеристик вынуждает производить многократный пересчет уравнения дальности обнаружения при различных исходных данных [144, 145, 146]. Тем самым разработчик в неформализованном виде пытается провести сравнительный анализ различных вариантов решения. Кроме того, уравнение дальности обнаружения ориентировано на предельный энергетический баланс параметров передающей и приемной систем и не учитывает влияния помех, реально ограничивающих дальность действия РЛС [147, 148, 149]. Влияние мешающих отражений переносится на последующие этапы расчета (синтез системы обработки), что противоречит принципам системного подхода к проектированию [150].

Введем дополнительные параметры в расчетные соотношения [47] и получим обобщенные выражения уравнения дальности обнаружения, учитывающие в модельном виде свойства коррелированных (пассивных) и некоррелированных помех.

Известно соотношение для расчета отраженной мощности Р на входе приемника РЛС [47]:Р= "Г' \ -- (6.1)(4тг) /?где Рр - мощность передатчика РЛС в кВт; (7 - коэффициент направленного действия антенны (предполагается наличие одной антенны для приема и передачи); /,„ - длина волны в см; 5 - эффективная площадь рассеяния в м2; Я -дальность до рассеивающего объекта в км.

Выражение (6.1) приведем к виду:Ра212\Ъ'п(62)Используя обозначение (6.2), компактно запишем выражения, характеризующие мощности Р, сигнала и Рс помехи на входе приемника РЛС через оператор Р.

Р/—Р8,, РС—Р8С,где 5с - эффективные площади рассеяния цели и помехи (соответственно)в м2.

Для обнаружения сигнала необходимо выполнение неравенства:Р.>Я!кО>(6.3)( Рс+Рп)Кгде Рп - мощность некоррелированного шума на входе приемника; кг - коэффициент потерь приема; кр - коэффициент потерь обработки; ц^ - пороговое отношение сигнал-(помеха+шум).

В предположении линейного характера обработки сигнала параметрЧ* =1пО-1/И,где Т7 - вероятность ложной тревоги; О - вероятность правильного обнаружения; ¡л - коэффициент улучшения сигнал-(помеха+шум). Тогда выражение (6.3) сводится к следующему неравенству:Р.>\nF 1пО-1кгкр/^.(6.4)Обозначим пороговое отношение с учетом потерь через ():в =1пР • 1пОМ,и преобразуем неравенство (6.4) к виду:(6.5)(рс + Рп)Обозначим через к, и кс коэффициенты передачи сигнала и помехи (соответственно) по мощности. Тогда отношение Р0 сигнал-(помеха+шум) по мощности на выходе можно представить в виде:к. Р/ Р.

Пороговое отношение определяющее качество обработки сигналов (при линейном ее характере), связано с вероятностными характеристиками обнаружения соотношением:где О - вероятность правильного обнаружения, Т7- вероятность ложной тревоги.

Иллюстрации зависимости {9(Д /л) приведены на рисунке 6.2. Величина вероятности ложной тревоги принята фиксированнойчто соответствует критерию Неймана-Пирсона.

Определим среднюю дальность действия РЛС. Для этого перепишем выражение для дальности действия РЛС в виде:Я =4(4 7г)ъРпчнучДанное выражение в отличие от известного из [47] определяет среднюю дальность с учетом параметров системы обработки (вектора весовых коэффициентов >у) и корреляционных свойств сигналов и помех. Это позволяет непосредственно связать дальность обнаружения или вероятностные характеристики с выборочными данными или их моделями.

Полученные выражения позволяют вводить также в явном виде такиеЗависимости изменения дальности обнаружения объекта от параметров помехи*Я, км8555 N=6А \ 4 О 500 м2Рис. 6.1Зависимости порогового сигнала от коэффициента улучшения0 ДБ-3040 60 /л, дБнеобходимые для разработки PJ1C параметры, как геометрия области обзора пространства, разрешающая способность по угловым координатам, время обзора и т.п. Это ставит задачу разработки методов автоматизированного проектирования РЛС, включающих оптимизацию, расчет, анализ ключевых параметров радиосистемы в интерактивном режиме, а также моделирование подсистем и РЛС в целом.

Существенный вклад в обеспечение тактико-технических характеристик РЛС вносит система первичной обработки, осуществляемой над сигналами, полученными за один цикл работы РЛС и характеризуемой вероятностями ложной тревоги, правильного обнаружения и СКО оценок параметров [153, 154]. Современные РЛС, как правило, используют принципы когерентной обработки сигналов. В бортовых импульсно-доплеровских РЛС с ЦОС когерентная обработка производится в многоканальном доплеровском фильтре (ДФ). В когерентно-импульсных РЛС ему иногда предшествует когерентное подавление помех в режекторном фильтре. В ряде работ [155] используется авторегрессионное представление помех для их дальнейшей компенсации.

6.2. Характеристики и критерии синтеза многоканальных фильтровРадиолокационные средства обнаружения и обработки сигналов в ближайшем будущем останутся основным универсальным всепогодным источником информации об окружающей обстановке для различных систем гражданского и военного применения [156]. Задачи, решаемые современными радиолокационными станциями (РЛС), системами и комплексами, определяются их назначением и исключительно многообразны [153].

Достижения теории в области пространственно-временной обработки сигналов по критериям СКО фильтрации, максимума энтропии (МЭ), минимума дисперсии (МД), максимума вероятности правильного обнаружения идругим позволяют оптимизировать алгоритмы первичной обработки радиолокационных в динамично изменяющейся помеховой обстановке.

Целевые функции задач синтеза устройств ЦОС и соответствующие им критерии синтеза можно разделить на следующие группы: частотные, энергетические, вероятностные и комбинированные технико-экономические. Между ними существует глубокая и не всегда очевидная взаимосвязь. Применение того или иного критерия определяется многими факторами: характером задачи, степенью априорной неопределенности параметров, ресурсами, глубиной разработки соответствующего программного и аппаратного обеспечения вычислений, опытом и интуицией проектировщика. Применению данных критериев посвящено большое количество работ. Не претендуя на полноту списка таких работ, назовем работы [52, 53, 57, 60, 61, 62, 63, 120,], а также работы автора [110, 133, 134, 157, 158, 159, 160]. Охарактеризуем кратко данные критерии.

1. Частотный критерий используется в задачах синтеза цифровых фильтров при предъявлении требований к параметрам АЧХ и ФЧХ фильтров.

2. Энергетический связан с максимизацией выигрыша в отношении сигнал-шум, шум-помеха, сигнал-помеха или сигнал-(помеха+шум).

3. Модифицированный энергетический кроме того использует дополнительные ограничения, например, критерий максимума выигрыша в отношении сигнал-помеха при заданном отношении сигнал-шум или минимума дисперсии шума (метод МД).

4. Критерий максимума отношения правдоподобия (МП) строится на основе критериев обнаружения й в частных случаях может сводиться к энергетическому критерию.

5. Вероятностный критерий является в определенном смысле альтернативным по отношению к энергетическому. Как МП-критерий он оперирует вероятностными характеристиками и их функциональными преобразованиями. Поэтому его целесообразно использовать в задачах синтеза цифровыхобнаружителей радиолокационных сигналов.

6. Критерий минимума среднеквадратической ошибки фильтрации (СКО), оперирующий с мощностью разностного сигнала между результатом фильтрации обрабатываемого процесса и ожидаемым сигналом. Данный критерий удобен при синтезе имитационных моделей радиолокационной обстановки и использовался в предыдущих разделах диссертации.

7. Критерий минимакса, применяемый к одному из перечисленных критериев, удобен при синтезе неадаптивных систем и систем с частичной адаптацией.

8. Комбинированный технико-экономический критерий объединяет один из критериев 1-6 при некоторых стоимостных ограничениях. Характер ограничений связан с необходимыми вычислительными затратами при требуемом быстродействии и зависит от размерности матрицы (вектора) обработки и сложности алгоритмов обработки и адаптации.

Для параметрического синтеза доплеровских фильтров необходимо учитывать реальное значение порогового сигнала на входе, т.к. оно во многом определяет основные расчетные соотношения, характеризующие многоканальные ДФ. Задача определения пороговой чувствительности применительно к синтезу панорамных приемных устройств на основе Фурье-процессоров (в условиях априорной неопределенности относительно спектрально-временной структуры обрабатываемых сигналов) решалась, например, в [161].

Это выражение определяет входное и выходное отношение сигнал-(помеха+шум). Как правило, мощность передатчика и чувствительность приемника известны и не меняются в процессе обзора пространства. Параметр q\ является функцией дальности (номера канала по дальности) и углового положения антенны и не зависит от доплеровской скорости цели. ЭПР помехи в различных каналах можно задавать из реалистических модельных предположений априорно или используя для этого карту помех.

На рисунке 6.3 для некоторых типичных характеристик РЛС показаны зависимости порогового отношения сигнал-(помеха+шум) на входе от номера канала обнаружения по дальности при размере одного канала дальности, соответствующего 150 м. Соотношение мощности передатчика и чувствительности приемника, при которой получена штрих-пунктирная кривая, отличаются от параметров сплошной кривой в 10 раз, а для пунктирной кривой в 1000 раз.

На рисунке 6.5 в логарифмическом масштабе приведены типичные зависимости приращения порогового сигнала Ац от числа дополнительных каналов обнаружения. Причем приращение Ац безотносительно по отношению к назначению канала. Результаты соответствуют 0=0,8 и /^Ю-6 - сплошная линия, /«МО-4 - пунктирная линия, Р=103 - точечная линия.

Данные зависимости позволяют количественно оценить повышение требований к энергетическим показателям на выходе ДФ, которые составляют величину 1,8.3,5 дБ при увеличении числа каналов обнаружения на декаду. Требования естественно.возрастают при снижении вероятности ложной тревоги Г.

6.3. Модификация метода Кейпона для оценки спектрального динамического диапазонаИзвестную трудность при обработке сигналов представляет априорная неопределенность отношения мощности шума к мощности помехи Я. Этот параметр в спектральной области определяет спектральный динамический диапазон обрабатываемого процесса и связан с понятием его истинной размерности. Ввиду трудности оценки параметра Я во временной области из-за неразделимости корреляционных связей аддитивной смеси помехи и шума произведем его оценку в спектральной области. Решение данной задачи возможно как прямыми методами многоканальной по частоте фильтрации так и косвенными методами с использованием анализа собственных значений корреляционной матрицы мешающих сигналов. Последний метод и ряд устройств для его реализации предложены автором совместно с П.А. Бакулевым и Д.И. Поповым и подробно рассмотрены в ряде работ, например в [168]. При этом используется следствие из теоремы (см. раздел 6.3) и отношение шум-помеха определяется по уменьшению крутизны зависимости коэффициента подавления помехи ниже некоторого порогового уровня с ростом размерности вектора обработки (собственного вектора).

Как известно [169], собственные векторы корреляционной матрицы процесса с шумом и без шума одинаковы, а собственные значения различны и отличаются на величину относительной мощности шума (спектрального динамического диапазона мешающего процесса). Разность минимальных собственных значений корреляционной матрицы с шумом растущего порядка стремится к нулю, а предельное минимальное собственное значение может быть принято в качестве оценки мощности шума. Порядок корреляционной матрицы, минимальное собственное значение которой перестает изменяться, можно принять в качестве истинной размерности модели порождающего процесса.

В [170, 171] за счет использования свойств периодичности обеспечивается снижение ранга корреляционной матрицы и как следствие вычислительных затрат.

Более перспективным методом оценивания параметра Я является метод максимального правдоподобия, предложенный Кейпоном и примененный для решения данной задачи автором. (Терминологическое определение данного метода как метода максимального правдоподобия является неточным и является данью традиции [1]). Оценка X находится в направлении опорных частот, на которых результирующий сигнал имеет максимальную мощность.

В работе [172] предложен метод оценивания со сверхразрешением частот для гармонических сигналов по критерию наименьших квадратов, основанный на разложении по собственным значениям матрицы данных. Приведены результаты сравнения нескольких методов оценивания параметровсуммы гармонических сигналов.

Параметрический метод спектрального оценивания с аппроксимацией случайных процессов рекуррентными т-моделями проанализирован в [173]. Там же приведена сглаженная оптимальная параметрическая оценка СПМ на конечном временном интервале, оценены частоты, соответствующие «пикам СПМ», вычислены точности оценок. Оценка ширины спектра огибающей сигнала с неизвестным законом модуляции при квазиоптимальном приеме на фоне белого шума рассмотрена в [ 1 74].

Для задачи оптимизации систем передачи информации методом максимизации функционала правдоподобия в [175] синтезирован оптимальный алгоритм оценки отношения сигнал/шум, найдены точностные характеристики, позволяющие выбрать время анализа и параметры шумового окна, оценено влияние нестабильности измерительного сигнала на точность оценки.

Адаптивные алгоритмы многомерной фильтрации сигналов, позволяющие формировать некоррелированные выходные напряжения, дисперсии которых являются оценками собственных чисел входной ковариационной матрицы сигналов и шумов, приведены в [176]. Там же приведены процедуры стохастической аппроксимации для определения собственных векторов ковариационной матрицы вх.одных сигналов, определены законы распределения выборочных оценок весовых коэффициентов фильтра и обсуждены вопросы сходимости и точности вычислений.

Применение спектральной теории матриц позволяет определить искомый параметр X. Из спектральных чисел корреляционной матрицы наиболее информативны крайние - минимальное и максимальное числа. Они определяют соответствующие собственные вектора оптимальных фильтров режек-ции и накопления [177].

Оценку спектрального динамического диапазона можно получить в виде:: Я - енНспе/енК]пе,где е={ехр(у2л"/Л0} опорное направление, соответствующее минимуму дисперсии выборочной матрицы определяемое в диапазонеу'=0.ЛМ. При использовании процессора БПФ можно получить приближенное значение оценки спектрального динамического диапазона Л = 5ут,п /5утах, где5утт,5'утах- усредненные по элементам дальности минимальное и максимальное значения квадратов амплитуд в частотных каналах БПФ. Замена истинного значения X приближенным исключает процедуру обращения выборочной матрицыКс,(. Зависимости, связывающие оценки Я и его истинныезначения X при одномодовом характере СПМ и различной ширине моды приведены на рисунке 6.7 (А^=8) и рисунке 6.8 (N=16). Полученные зависимостипоказывают, что если при узкополосном процессе оценка Я имеет приемлемую точность вплоть до значений Л<-90.-100 дБ, то при широкополосной моде диапазон оценки сужается до Л<-40.-60 дБ.

Свяжем точность оценки Я, /-го собственного значения с размерностью выборки, по которой она получена. Обозначим ЛА, точность оценки /-го собственного значения Л„ тогда согласно [169] необходимая длина выборки Мвыбирается из условия М < 2Яу (я, - Я,.

Определив дисперсию оценки относительно истинного значения через 5 и заменив максимальное собственное значение ее верхней гранью N получим, что М< 2УУ/ д. Например, при размерности матрицы N=10 и точности оценки ¿=10% верхняя граница необходимой длины выборки не превышает 200, при (5=100% (что часто приемлемо для практических условий, т.к. соответствует ошибке оценки мощности 3 дБ) необходима выборка длиной 20 отсчетов. Аналогично как определяется длительность выборки для оценки собственных векторов XV,•. Ее значение должно удовлетворять условию-2 /V /--\2М<XV, - \У,'V (-I ЛЛ-Ц.-Ч.

Зависимости оценки отношения шум-помеха от его истинного значения при N=8К дБ -40-80 -1200 -40 -80 дБРис. 6.7Зависимости оценки отношения шум-помеха от его истинного значения при N=16К дБ -40-80 -1200 -40 -80 ДБРис. 6.8 ¿/№0,2 \ 0,15^ N=8 \о/ 0,05^4. ыгг= 0,2/N=16 \0,15 0,16.4. Синтез алгоритмов многоканальной фильтрации на базе процессора БПФВначале рассмотрим синтез адаптивного устройства цифровой обработки радиолокационного сигнала многоканальной структуры по энергетическому критерию. При гауссовской статистике аддитивной смеси сигнала, помехи и шума, плотность вероятности:\М(х)=(4л-)Л'с1еГ'I* ехр{-хя^'х/2}, где х - выборочный /У-мерный вектор процесса, И и И-1 - прямая и обратная матрицы обрабатываемого процесса.

По аналогии с обеляющим фильтром, матрица обработки производит декоррелирующее преобразование входного вектора. Последующая обработка производится над декоррелированными остатками в многоканальном процессоре обработки сигналов, например, с помощью БПФ. Операция обращения корреляционной матрицы при некоторых условиях может быть сведена к преобразованию Фурье от обратного спектра мощности [178].

Сохранить устойчивость данного алгоритма к изменяющимся параметрам помех при существенном упрощении вычислительных операций позволяет метод, использующий обратную форму выражения (6.1 1). Это приводит к замене критерия максимума^ эквивалентным ему критерием минимума коэффициента трансформации отношения (помеха+шум)-сигнал видауу) =--1-->ГП1П. (6.12)Я дуНетрудно доказать эквивалентность критериев (6.1 1) максимума /¿(уу) и (6.12) минимума ¿Г'(\у) как по получаемому оптимальному вектору так и по эффекту улучшения отношения сигнал-(помеха+шум). Для минимизации необходимо решение характеристического уравненияс!е1{(Кг+АЕ)-/ЖЛ=0 (6.13)и системы линейных уравнений для минимального собственного значенияПри дружных флуктуациях сигнала, даже с учетом уменьшающего степень корреляции-усреднения по параметру ср, матрица ^ является сингулярной. Однако ввиду слабой зависимости эффективности фильтра от ширины спектра флюктуаций сигнала (в реальном диапазоне его изменений) нетрудно подобрать некоторую эталонную положительно определенную матрицу и предварительно выполнить ее однократное обращение. Такой матрицей может служить корреляционная матрица сигнала с шириной спектра флуктуаций, обеспечивающей ее численное обращение. Другим вариантом является задание сингулярной матрицы соответствующей дружным флуктуациям сигнала с последующей регуляризацией ее белым шумом. Уровень шума выбирается равным величине, обратной числу обусловленности матрицы. Это гарантирует обращение матрицы с требуемой точностью (для практических целей достаточным можно считать число обусловленности, не превышающее Ю10). Дальнейшие операции заключаются в оценке выборочной корреляционной матрицы помех решении системы линейных уравнений относительно минимального собственного значенияматрицы R5 l(R(+AE). После исключения операции обращения выборочной матрицы Rf остается трудоемкой операция вычисления корней характеристического уравнения (6.13). Однако и ее возможно исключить из процедуры решения, если учесть, что искомое значение ^тт=ат{пут\п, где amin и ymi„ - соответственно минимальные собственные значения матриц R/1 и Rt., образующих произведение. Без ущерба для точности определения оптимального вектора w параметр ¡лтт можно заменить его нижней гранью области локализации собственных значений. Для ее определения воспользуемся следующей теоремой.

Теорема.

Пусть ß\>ß2>.>ßh!- упорядоченная последовательность сингулярных чисел положительно определенной матрицы В и а\>а2>. >а,у - упорядоченная последовательность сингулярных чисел матрицы А, тогда для любого вектора xeC2n обобщенное отношение Рэлея а„/ß^ < х" Ах/х"Вх <ajß:V т.е. локализовано на интервале aN /ßx.aJßN.

Доказательство.

Представим Y в виде:Y = xH Ax/x"Bx=(xwAx/x"x)-(x"x/x"Bx),тогдаSup(Y) < Sup(xH Ах/хнx)-Sup(xHx/xHВх) = Sup(xH Ax/x"x)-Inf(xHBx/xHx).

Поскольку сомножители в этом выражении являются соответственно максимальным и минимальным сингулярными числами матриц А и В, то и х"Ах/хнВх <aJßN. Аналогично доказывается утверждение относительно нижней грани локализации сингулярных чисел отношения Рэлея.

Следствие.

Пусть матрица В представима в виде В=Р+ЯЕ, где Р -положительно определенная матрица с минимальным сингулярным значением а и А - матрица с максимальным сингулярным значением ß. Тогда верхняя грань обобщенного отношения Рэлея равна /?/(а+Д).

Доказательство строится на факте:Inf[xH (Р + ЯЕ)х/х"х] = 7«/(х"'Рх/ хн х + ЯЕ) =а + Л.

На основании доказанной теоремы и используя условие при| * решении системы линейных уравнений {R/ R( }>у=ЯЛг w, получим приближенное решение для оптимального вектора обработки wonr В результате перечисленных операций из вычислительной процедуры исключается ряд трудоемких операций в том числе этап решения характеристического уравнения.

Отметим, что из-за неразделимости корреляционных связей в аддитивной смеси мешающих отражений параметр Я должен быть известен или задан априорно. При априорной неопределенности параметра Я вносится дополнительная неопределенность в решение задачи адаптации. Для оценки Я можно использовать метод модифицированных периодограмм или предложенный Кейпоном [38] и примененный автором для решения данной задачи методминимума дисперсии.

Рассмотрим метод модифицированных периодограмм. Дисперсия процесса на выходе у-го канала многоканального фильтра может быть определена как мощность входного спектра при относительной фазовой настройке канала, равной 2к///V. Оценка спектрального динамического диапазона согласнорезультатам раздела 6.3 имеет вид Я = е к(пе/е"К,|е, тогда приближенное значение Я = б1™" /5'утах, где 5'7т,п,5,утах — усредненные по элементам дальности минимальное и максимальное значения квадратов амплитуд в частотных каналах процессора БПФ. Такое приближение исключает процедуру обращения выборочной матрицыДополнительное упрощение настройки оптимального вектора \уопт, соответствующего Д/Л^-приближению к минимальному собственному значениюпроизведения И/1 А возможно при применении адаптивного рекурсивного алгоритма [181], уточняющего \уопт по мере накопления статистики при оценке корреляционной матрицы помехи последовательными итерациями видачу^М!*/1 1) или (И/1 )у/(к)=у/(к-1).

Исследование влияния выбора начального значения вектора весовых коэффициентов на характеристики адаптивных рекуррентных алгоритмов, синтезированных по критерию минимума мощности выходного сигнала показало, что от начальных условий зависит не только скорость сходимости процесса адаптации, но и выходное отношение сигнал-(помеха+шум) [182]. Условием сходимости итерационной процедуры является выбор начального приближения \у(0) не ортогонального искомому вектору. Такому условию удовлетворяет, например, единичный вектор лут(0)=[1; 1;.; 1] [1]. Известно также [58], что скорость сходимости итерационной процедуры существенноI лзависит от числа обусловленности матрицы И/. Однако вычислительные эксперименты показали, что при рассмотренных условиях искомый результат достигается уже при одной итерации. Разработанный автором алгоритм назовем методом обратного решения, который сводится к операциям оценки матрицы с образованием матрицы произведения К/1 Йг и суммирования ее строчных элементов (при выборе начального приближения >у(0) в виде единичного вектора). Данный вариант реализуется в структурной схеме алгоритма на рис. 6.11.

Полученное решение определяет два класса многоканальных фильтров (МФ), отличающихся параметром фазовой настройки фильтра у/. Если при ц/=(р% МФ реализуется в виде процессора дискретного или быстрого преобразования Фурье [51, 183], то при ц/=г1 МФ представляет собой многоканальный режекторный фильтр [179], подробно рассмотренный в работе [184] и представленный в разделе 7.3 диссертации.

Перейдем теперь к синтезу многоканального обнаружителя по критерию максимума усредненной по доплеровским каналам вероятности правильного обнаружения сигнала. Этот критерий, предложенный еще в [18, 19] позволяет обеспечить наилучшие характеристики обнаружения сигнала на фоне помех при учете параметров последних в среднем по всем частотным каналам обнаружения и допускает использование различных весовых окон в каналах дальности. Усреднение в каналах скорости приводит к существенному изменению вида модуля вектора обработки, приближая его к известным весовым функциям. Особенно это касается параметрических весовых функций, частотные свойства которых зависят.от некоторого параметра. Варьируя этот параметр также можно обеспечивать оптимизацию обработки сигнала на фоне помех, связывая его значение с формой спектра помехи и что особенно важно со спектральным динамическим диапазоном (параметром Я). Примеры такой оптимизации в классе весовых функций Кайзера и Дольф-Чебышева изложены в соавторстве с Д.И. Поповым в работе [165]. В тоже время целесообразность применения оригинальных весовых окон, отличающихся от известных (классических) подтверждается ниже сравнительным анализом эффективности обработки сигналов по критерию максимумаСтруктурная схёма: алгоритма обработки без операции обращения матицы помехвероятности правильного обнаружения (выигрыш составляет до 15%), а также качественным исследованием частотных свойств синтезированных и классических весовых окон.

Фильтрации радиолокационных сигналов, как правило, предшествует взвешивание временных выборок, обеспечивающее снижение уровня боковых лепестков амплитудно-частотных характеристик каналов. Оптимизация окон отдельно в каждом частотном канале в соответствие с полученными выше матричными алгоритмами делает невозможным применение алгоритма быстрого преобразования Фурье (БПФ). Известные окна [60] синтезированы по частотному критерию, связанному с перераспределением энергии между главным лепестком и боковыми лепестками амплитудно-частотной характеристики (АЧХ). Поэтому их использование в доплеровском фильтре не гарантирует оптимальности и высоких качественных показателей многоканального обнаружителя радиолокационного сигнала на фоне помех. В работах автора [137, 185], а также совместно с Бакулевым П.А. и Поповым Д.И. по усредненному в каналах энергетическому критерию оптимизированы параметры фильтра [186, 168, 187, 188, 189]. Однако характеристики данных фильтров тяготеют к оптимальным для доплеровской фазы, равной /г. Это обстоятельство связано с существенной неравномерностью зависимости энергетического критерия от доплеровской фазы сигнала [162].

Известны и другие критерии синтеза временного или связанного с ним спектрального окна. При построении непараметрической оценки спектральной плотности стационарного случайного процесса в [190] формулируются рекомендации, касающиеся выбора параметров спектрального окна в зависимости от объема выборки и предполагаемой степени гладкости оцениваемой спектральной плотности. Автором [191] разработаны корреляционные окна, выполнено сравнение метода с другими методами. Применение эффективно при анализе процессов ограниченной длительности, когда априорная информация отсутствует. Оптимальная по критерию минимума среднеквадратической ошибки отклонения передаточной функции синтезированного КИХ-фильтра от заданной весовой функции синтезирована в [192]. Оригинальные временные окна, минимизирующие мощность спектральных компонент вне пределов заданного интервала частот, получены в [193], а в [194] синтезированы и проанализированы ограниченные на заданном интервале весовые окна, совпадающие с заданной точностью с формой их спектра. Особенности реализации алгоритмов БПФ и его матричное представление, справедливое для произвольного разложения на сомножители и обобщенной системы нумерации входов (выходов) операндов описаны в [195]. Анализ характеристик цифрового КИХ-фильтра на основе весового комбинирования выполнен в [196, 197]. Там же рассмотрено влияние вида и протяженности «окна», ограничивающего ИХ фильтра, на форму его частотной характеристики. На основе ступенчатой аппроксимации формы окна разработан алгоритм анализа основных характеристик и параметров цифрового фильтра, проводится сравнение различных вариантов реализации алгоритма анализа.

С использованием пространства состояний в [198] синтезирован алгоритм оптимальной фильтрации при наличии вспомогательного канала измерения помехи, учитывающий априорную информацию о сигнале и структуре функциональной связи между мешающим и вспомогательным помеховым сигналом. Оптимизируем весовую обработку для обеспечения наилучших характеристик обнаружения сигнала на фоне аддитивной смеси шумов и помех по основному радиолокационному критерию максимума вероятности правильного обнаружения. При этом необходим переход к многоканальному построению фильтра обработки сигналов.

Алгоритм многоканальной фильтрации вытекает из оптимального алгоритма обработки, определяемого выражением для достаточной статистики:¿:=1пД(х) = и"С>11, (6.14)где (} = - - матрица обработки; и - входная последовательность. - корреляционная матрица смеси сигнала, помехи и шума; Кс„ - корреляционная матрица смеси помехи и шума.

Обработка существенно упрощается, если ввести ограничение на вид матрицы () в (6.14), представив ее в виде векторного произведенияО^уууу", (6.15)где >у={|\\'7| ехр(-1^)} - комплексный вектор-столбец обработки линейного цифрового фильтра, - абсолютное значениеу'-ой компоненты вектора обработки, щ - угол поворота вектора для у'-го элемента. В этом случае минимально достаточная статистика (правило решения) принимает вид:£ = и"Ои = =|и^|2 (6.16)и включает вычисление свертки последовательности и с вектором обработки \у:= (6-17)Общепринятой является реализация многоканального фильтра по схеме, изображенной на рисунке 6.12, на основе алгоритма быстрого преобразования Фурье (БПФ), обладающего высокой вычислительной эффективностью.

При числе временных выборок, равном /V, данный фильтр эквивалентен гребенке из N доплеровских фильтров, частотная расстройка между которыми составляет =1 /ЛТ, где Г- период повторения импульсов. Структура многоканального фильтра включает блок памяти для хранения выборок входного сигнала (СОЗУ), набор умножителей, реализующих для каждого частотного канала алгоритм взвешивания во временной области, процессорБПФ. Амплитуды спектральных отсчетов, передаваемых в обнаружитель, 2вычисляются по алгоритму £ (6.16,6.17).

Решение задачи оптимизации крайне затруднительно ввиду ее нелинейного характера. Для коротких пачек импульсов оптимальные окна сравнительно просто находятся методами перебора локальных экстремумов.

При числовых расчетах использовались соответственно резонансная и гауссова аппроксимации энергетического спектра сигнала и помехи, характеризуемые нормированной шириной спектра флюктуаций на уровне 0,5 от максимума (для сигнала эта величина принята равной с1Р5Т=0,01, для помехи С1РСТ= 0,1). Для других параметров, входящих в выражение (6.22), принима8 3 5лись следующие значения: УУ=8; 16, /г= 10" 0= 10" Я=10".

Результаты сравнительного анализа классических и синтезированных по критерию (6.22) окон для различного числа каналов приведены в таблице, в которой указаны значения средней вероятности правильного обнаружения для различных типов окон. Лучшими из них, согласно заданному критерию, являются окна Кайзера и Дольфа-Чебышева, выражение для последнего во временной области при четных N имеет вид:1.1 2где а - параметр, определяющий ширину главного лепестка и его амплитуду по отношению к уровню боковых лепестков; - полином Чебышева (см. таблицу 6.1).

Таблица 6.1Окно УУ=8 N=16Прямоугольное 0 0Треугольное 0,0002 0,0355Хэмминга 0,0196 0,1880Гаусса 0,0658 0,3751Блэкмана-Хэрриса 0,1452 0,4538Блэкмана 0,1477 0,4539соз(х)а, ос= 2,02 •. 0,1402 0,4589Кайзера-Бесселя, <2=2,21 0,2693 0,4830Дольфа-Чебышева, «=2,79 0,3339 0,4940Оптимальное 0,3354 0,5024210е+ 2 XсЬN-1агсь(ю?)лСОБШ.NСОБ2л/N( /V + 1лI-I 2 у, (6.23)Несмотря на то, что зависимость /л{(рс) имеет N стационарных точек экстремумов [202], функция является унимодальной, что дает возможность применения методов поиска локальных экстремумов. На рис. 6.13 для наглядности приведено сечение функции О (\у) при УУ=8 как зависимость от двух весовых коэффициентов н>2, при условии нормировки: н>4=м/5=1 и *'1='и>8=соп51='и/1тах. При этих параметрах функция Дольфа-Чебышева приближается по эффективности к оптимальной весовой функции.

На рис. 6.14 приведены огибающие АЧХ окна Кайзера-Бесселя (кривая 1), окна Дольфа-Чебышева (кривая 2) и оптимального окна (кривая 3) [203]. Как известно [60], оптимальность функции Дольфа-Чебышева состоит в том, что при заданной ширине главного лепестка АЧХ она имеет наиболее низкий уровень боковых лепестков среди всех весовых функций, а оптимальность функции Кайзера-Бесселя - в том, что при заданной ширине главного лепестка ее боковые лепестки убывают наиболее быстро. Из рисунка 6.14 видно, что при оптимальном значении параметров, определяющих частотные свойства указанных функций, оптимальная весовая функция по частотным свойствам занимает промежуточное положение между функциями Кайзера-Бесселя и Дольфа-Чебышева.

При малом числе каналов ширина главного лепестка АЧХ оптимального окна и окна Дольфа-Чебышева практически одинакова. С возрастанием числа каналов заметна тенденция расширения главного лепестка АЧХ оптимального окна по сравнению с АЧХ окна Дольфа-Чебышева. Оптимальное значение параметра окна Дольфа-Чебышева имеет пропорциональную зависимость от отношения шум/помеха Я, которую можно аппроксимировать следующим выражением:а(Л)= 1,223+0,2039-Я[дБ].

Таким образом, сформулирован критерий (6.22) и получены результаты оптимизации весовой функции доплеровского фильтра БПФ. Показано, что наиболее эффективной среди классических функций (см. таблице 6.1), приближающейся к оптимальной, является весовая функция Дольфа-Чебышева. Выигрыш в усредненной по доплеровской фазе вероятности правильного обнаружения при оптимизации весового окна составляет 2. 15%.

6.5. Оптимизация числа и расстановки каналов многоканальных фильтровРассмотрим методику определения зависимости качества обнаружения сигнала на фоне коррелированных помех от способа расстановки и количества частотных каналов и процедуру оптимизации расстановки каналов и весовых коэффициентов фильтра. Адаптивное обнаружение радиолокационных целей с неизвестным доплеровским сдвигом на фоне авторегрессионной помехи рассматривалось в технической литературе, например, в [204].

Оптимальным алгоритмом обнаружения флюктуирующего УУ-импульсного сигнала б = |е!т} с межпериодным сдвигом фазы (р3 на фоне коррелированной помехи, характеризуемой корреляционной матрицей является алгоритм, определяемый вектором обработки \у=Яс"18.

Полагая, что - случайная величина, не флюктуирующая за время обработки, при практической реализации традиционно переходят к М-канальной по (р5 фильтрации с вектором обработки в /-ом канале:(6-24)где - {е^'}, ц/, =-л+ 2л 11Ь. Характеристики эффективности обнаружения, определяемые (6.24), тем: ближе к характеристикам оптимального фильтра, чем меньше величина ошибки в настройке канала на фазу <р5. Требуемая точность настройки, как и необходимое число каналов, определяется из зависимости, устанавливающей связь качества обнаружения с числом, параметрами и расстановкой каналов. Такая зависимость известна лишь для тривиального случая А^-канального обнаружения сигнала на фоне некоррелированного шума [18, 19, 51]. При этом оптимальной является равномерная во всем ожидаемом диапазоне изменения (р5 расстановка каналов, каждый из которых представляет собой коррелятор или согласованный фильтр.

В то же время данная задача в известной технической литературе не решена в более общем виде произвольного числа каналов обработки сигнала на фоне коррелированной помехи. Постановка такой задачи вытекает из практических требований в радиолокации и связи. Ниже приводится вывод обобщенного алгоритма выбора числа каналов Ь, их настройки щ (однозначно связанной с шириной полосы пропускания каждого из каналов = + Л^/-1 /2 + Д (/// /2 ) в зависимости от величины суммарных потерь эффективности обнаружения многоканальной системы. Данный алгоритм может быть получен в виде, удобном для машинной оптимизации [205].

Выбор критерия, определяющего число каналов обработки, следует производить между энергетическим и вероятностным (характеристики обнаружения). Воспользуемся критерием Неймана-Пирсона, выразив пороговое отношение (ПО) сигнал-помеха через фиксированные вероятности правильного О и ложного £ обнаружения и коэффициент [л улучшения отношения сигнал-помеха. Если межпериодный сдвиг фазы сигнала <р5 точно совпадает с параметром настройки у//, то(), =с11 /4., где с1 = \nFf\nD-\И, =82 н(6.25)Элементы вектора \У/ определяются в соответствии с [18] какк=I.

Формальная постановка такой задачи имеет следующий вид. Найти значения </// и векторы весовых коэффициентов фильтра в каждом канале, при которых общие потери в величине ПО сигнал/помеха /}(?</1()лоп при минимальном числе каналов:¡пГ I при '¿¡О^бйоп- (6.28)г/М.

Минимизация £ проводится для исключения вырожденного случая ¿—>оо. Для построения алгоритма введем также естественное допущение, состоящее в том, что средние потери в пределах каждого канала обратно пропорциональны априорной вероятности появления сигнала, т. е.+ Д((/, / 2= /2тг \Р{(р^(р,. (6.29)Целесообразность такого способа задания потерь состоит в их уменьшении на участках более вероятных значений неизвестного параметра (рв и увеличении там плотности расстановки каналов в точном соответствии с априорными сведениями. В частном случае при равновероятном распределении параметра (р5 потери во всех каналах пропорциональны диапазону Ац//.

В соответствии с задачей синтеза при использовании соотношений (6.25-6.29) на основе метода одномерного поиска [89] построен итерационный алгоритм (см. рис. 6.15).

Исходными параметрами при синтезе являются: число обрабатываемых импульсов /V, максимально допустимые потери А@Я0П и вспомогательные величины 5, е, определяющие шаг изменения и точность определения величины </// в процессе вычислений. Удобным для решения задачи является дихотомический метод одномерного поиска по параметру у//, обеспечивающий быструю сходимость алгоритма и не требующий задания числа шагов процедуры [89]. Выходными параметрами являются: число каналов настройка кана-.

На основе разработанного в соответствии с формулами (6.25-6.29) алгоритма проведены расчеты с помощью ЭВМ для случая равновероятногораспределения N=8, р]к = ехр{- к2[с1ЕсТ(] - к)]2/2,8 где ¿/^.Г- нормированная к периоду повторения импульсов ширина спектра флюктуаций помехи по уровню 3 дБ. На рис. 6.16 приведены зависимости потерь А() от числа каналов £ при равномерной (пунктирные кривые) и оптимальной (сплошные кривые) расстановке каналов для аГсТ-0,1; 0,3 и —> оо, что соответствует некоррелированному шуму.

Приведенные результаты показывают, что при &(рп —>оо, как и следовало ожидать, оптимальной является равномерная расстановка каналов, а потери велики и изменяются от 17-дБ при одноканальной системе (только ре-жекция помехи) до 1,2 дБ при ¿=8. Сужение спектра флюктуаций помехи доdFcT-0,3 при равномерной расстановке каналов приводит при ¿<3 к уменьшению потерь. При L=5 потери увеличиваются до 2,5 дБ по сравнению со случаем dFcT—>со. При этом оптимальной является неравномерная расстановка каналов, позволяющая уменьшить потери при ¿=const или сократить необходимое число каналов при AQ- const. Так, при Д£? = 2дБ возможно уменьшение числа каналов на один, а при 4 д.Б<А()<% дБ на два канала. Характерно снижение потерь при уменьшении ширины спектра флюктуаций до 0,1, что объясняется меньшим влиянием точности частотной настройки фильтра на величину ПО Q, которое в данном случае в большей степени зависит от эффективности подавления узкополосной помехи. Это, в свою очередь, приводит к меньшей критичности эффективности фильтра к расстановке каналов.

В таблице 6.2 приведены параметры ¡и А у/,, определяющие расстановку каналов при Д^//=0,3; N-8 и L=5; 6. Как следует из приведенных данных, ширина каналов оказывается минимальной в области перекрытия спектров сигнала и помехи / = 0 и увеличивается в 1,5.2 раза при приближении фазы сигнала к оптимальной скорости, т. е. к области, максимально удаленной от помехи. Можно сделать неочевидный, на первый взгляд, вывод о том, что при ограниченном числе каналов для сокращения общих потерь в ПО сигнал-помеха при многоканальном обнаружении узкополосного сигнала необходимо увеличивать плотность расстановки каналов в области перекрытия спектра сигнала со спектром помехи. При этом уменьшается плотность расстановки каналов на периферии спектра помехи (при равновероятном появлении сигнала в рассматриваемом диапазоне доплеровских фаз).

Таблица 6.2L=5 щ/п 0 ±0,34 ±0,76 —АщЫ 0,33 0,36 0,48 —¿=6 щ/к 0 ±0,27 ±0,56 ±1,0Ащ/к 0,26 0,27 0,31 0,58Отметим также, что согласно формуле (6.24) оптимизация величин у// приводит также к оптимизации векторов весовых коэффициентов многоканального фильтра.

Таким образом, получены выражения, определяющие связь параметров многоканального фильтра с потерями в ПО сигнал-помеха. На основе этих выражений построен итерационный алгоритм вычисления комплексных векторов весовой обработки, приводящий к уменьшению общего числа каналов многоканального фильтра при фиксированных потерях в ПО сигнал-помеха, что достигается их неравномерной расстановкой.

6.6. Повышение точности оценки доплеровской фазы сигнала. Интерполяционный алгоритм оценки фазыВ [206] рассмотрен метод разрешения сигналов, в основе которого лежит пороговая процедура принятия решений по величинам отношений правдоподобий гипотез о наличии проверяемого количества сигналов и априорно максимально возможного количества, исследованы законы распределения отношений правдоподобия. Соотношения для предельной точности СКО оценки частоты в зависимости от отношения сигнал-шум, коэффициента корреляции сигнала и длительности пачки проведено в [207]. При этом используется многоканальный доплеровский фильтр (МДФ), а анализируемый метеосигнал моделируется простым марковским процессом. Расчет дисперсии оценки регулярного доплеровского смещения частоты отраженных сигналов метеорологических радиолокаторов выполнен в [208]. Метод интерполяции применялся для оценки и компенсации вычитанием мощной помехи в каналах процессора БПФ [209, 210].

Ниже предложены алгоритмы уточнения оценки центральной частоты узкополосного процесса, которые могут использоваться совместно с обнаружением сигнала в процессоре быстрого преобразования Фурье (БПФ). Получены аналитические поправки к оценке для некоторых весовых функций (окон). Разработан интерполяционный алгоритм уточнения этой оценки для произвольных окон. Определены выигрыши в точности измерения центральной частоты для различных методов и применяемых весовых функций. Вопросам синтеза алгоритмов обнаружителей-измерителей последовательностей когерентно-импульсных сигналов, осуществляющих одноканальную когерентную обработку, при неэквидистантных последовательностях посвящена работа [211].

Одним из методов обнаружения доплеровских сигналов является обработка принимаемой выборки в многоканальном фильтре, перекрывающем заданный диапазон изменения частоты анализируемого сигнала [212]. При использовании предварительной весовой обработки и статистического усреднения данный метод эквивалентен методу модифицированных периодограмм и реализуется на базе процессора (БПФ). При этом наряду с основной задачей обнаружения цели МФ' решает задачу измерения ее доплеровской скорости по положению центральной частоты настройки доплеровского фильтра, на выходе которого амплитуда сигнала достигает наибольшего значения. Спектральная оценка такого типа является смещенной, а ее дисперсия зависит от полосы пропускания канала [213]. Точность измерения скорости зависит от числа каналов МФ. Традиционно выбирается число каналов, совпадающее с числом импульсов N в когерентной пачке зондирующего сигнала. Число импульсов N определяется общесистемными параметрами, в том числе требованиями к характеристикам обнаружения. В результате точность измерения скорости, рассчитываемая как зависимый параметр, может оказаться недостаточной. Для некоторых простейших типов применяемых окон [60] получены различные алгоритмы для уточнения оценки доплеровской частоты узкополосного процесса, однако их применение в одних случаях не дает требуемой точности, т.к. оценивание производится только по двум отсчетам [214], в других уточнение возможно только при применении прямоугольного окна [215].

Поэтому актуальна разработка алгоритмов расчета поправок к оценке частоты для общего случая без наложения ограничений на форму весовых окон и число используемых спектральных отсчетов.

От доплеровского смещения частоты Уд перейдем к однозначно связанному с ней относительному параметру - изменению доплеровской фазы за период Г повторения импульсов Считая доплеровскую фазу радиолокационного сигнала распределенной равновероятно в некотором диапазоне Ац, дисперсию оценки фазы определим в соответствии с известной из математической статистики поправкой Шеппарда, равной А\р /12, где Ацг=2кШ -интервал спектрального разрешения БПФ (фазовая расстройка соседних каналов БПФ).

Предварительное взвешивание отсчетов входного процесса позволяет существенно уменьшить боковые лепестки амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) доплеровского фильтра и тем самым влияние пассивных помех на характеристики обнаружения. Однако применение весовых функций приводит к расширению основного лепестка АЧХ доплеровского фильтра, при этом часть энергии сигнала «перетекает» из канала, имеющего максимальную амплитуду, в соседние каналы процессора БПФ. В результате точность измерения скорости дополнительно снижается. Величина ошибки измерения скорости возрастает при относительно малых значениях N и использовании весовой функции с малым (менее -80 дБ) уровнем боковых лепестков. Будем полагать в дальнейшем, что на вход обнаружителя поступает лишь один полезный сигнал.

Итоговое значение поправки к доплеровской фазе находится как 5 = Д/СДу, а уточненное значение оценки доплеровской фазы ф=ц/к + 5. На рис. 6.17 приведены результаты моделирования, определяющие относительный СКО оценки фазы сигнала от истинного значения при усреднении значения фазы по диапазону (ре[\|/л-, У/кЩ и N=512 в зависимости от отношения сигнал-шум <7 на выходе процессора БПФ. Сплошной линией показана зависимость для аппроксимации оценки максимального правдоподобия, пунктирной линией дисперсия измерения фазы сигнала, определяемая неравенством Рао-Крамера2 1пУ>(х,у/$,,$",л)Т1СКО оценки фазы сигналаРис. 6.17Таким образом, исследование показало целесообразность использования предложенной аппроксимации оценки максимального правдоподобия при применении прямоугольного окна.

Аналогичным образом вычисляются поправки и для других окон, спектральное преобразование которых представляет собой комбинацию ядер Дирихле вида (6.31). Выражения для прямоугольного, треугольного окна, окна соб2(х), окна Хэмминга во временной и частотной области и формулы для расчета поправки 8 приведены в таблицах 6.3, 6.4.

На рис. 6.18-6.20 приведены зависимости нормированного значения среднеквадратического отклонения оценки (СКО) фазы узкополосного сигнала от отношения сигнал-(помеха+шум) после выполнения БПФ (3 для различных классических окон при усреднении значения фазы по диапазону измеряемых значений (ре [^¡/J, \jjjl2] и N=512. Пунктирной линией на всех рисунЗависимости нормированного значения СКО фазы сигнала от отношения сигнал-(помеха+шум) при использованием расчетныхсоотношений30 40 £?, ДБРис. 6.18Зависимости нормированного значения СКО фазы сигнала от отношения сигнал-(помеха+шум) при использовании интерполяционного метода потремспектральным отсчетамоАу0"о-2 л 20а дБЗависимости нормированного значения СКО фазы сигнала от отношения сигнал-(помеха+шум) при использовании интерполяционного метода по пяти спектральным отсчетам о30 40Рис. 6.20Зависимость параметра вот с1РсТ при различных Nв 1,81,6 1,4 1,2 1,0 0,8 0,6—- 3 \ \5 7 \6 ^ 0,05 0, 0,15 ¿РСТРис. 7.1ках показано значение СКО оценки фазы узкополосного сигнала без учета поправки. Зависимости (рис.1) соответствуют алгоритму определения допле-ровской фазы с учетом поправки, рассчитываемой по формулам, приведенным в таблице 6.5. На рис. 6.19 и 6.20 показаны зависимости, соответствующие интерполяционному алгоритму оценивания доплеровской фазы при использовании соответственно трех и пяти спектральных отсчетов для окон, обозначенных цифрами 1.9 в соответствии с приведенной ниже таблицей 6.6.

Из сравнения кривых следует, что для окон 1.4 целесообразнее рассчитывать поправку по формулам. таблицы 6.5, т. к. интерполяционный метод, не учитывающий формы окна, проигрывает им в точности оценки. Относительная точность оценки в приведенном диапазоне изменения составляет 10'2.10"3. Для произвольных окон введение поправки, рассчитываемой по приближенному интерполяционному методу, позволяет примерно на порядок повысить точность оценки.

Параметр связан с отношением сигнал-(помеха+шум) на входе доп-леровского фильтра БПФ £>вх следующим соотношением:<2= 2вы* = (6.40)где параметр ¡л при равновероятном Pj распределении доплеровской фазы отраженного сигнала в пределах одного канала и при усреднении параметра /и по всем каналам определяется как [166, 166]• Ди// ^'+ — НА^ ;=i ьу wM(Rc +¿E)w t</' • ■>где vv -i ч>.Wj -е- вектор-столбец весовых коэффициентов, - соответственно корреляционные матрицы сигнала и помехи, Я - отношение шум-помеха по мощности, Е - единичная матрица.

В таблице 6.5 приведены значения параметра ¡л в дБ для различныхокон. При расчете использовались соответственно резонансная и гауссовская аппроксимации энергетического спектра сигнала и помехи, характеризуемые нормированной шириной спектра флюктуаций с1Р3Т-0,01, с1РсТ= 0,1. Для других параметров принимались следующие значения: /У=16; 32, /^Ю" <2=10"3, А=Ю"5.

Таблица 6.5Окно N=16 N=321 Прямоугольное 20,05 25,812 Треугольное 33,83 44,903 Хэмминга 37,93 42,984 Гаусса 53,10 57,215 Блэкмана-Хэрриса 53,52 58,016 Блэкмана 52,23 57,057 соз(х)а, а= 2 52,93 57,498 Кайзера - Бесселя,.о=2,2 53,71 57,879 Дольфа - Чебышева, а=2,8 53,85 57,86Предложенные методы введения поправки в соответствии с результатами, приведенными на рис. 6.18-6.20, эффективны при значениях £?вх>-|Лдь+(15.20)] дБ. В противном случае введение поправки резко увеличивает дисперсию ошибки оценки.

Таким образом, предложены методы уточнения доплеровской фазы узкополосного процесса для различных видов весовых окон. Полученные алгоритмы сравнительно просто реализуются в сигнальном процессоре как операции, дополняющие БПФ. Точность скорректированных оценок выгодно отличается от традиционного метода оценки по положению сигнала с максимальной амплитудой на выходе процессора БПФ.

6.7. Выводы к разделу 6Получена обобщенная форма уравнения дальности радиолокационногообнаружения, включающая в явном виде такие параметры РЛС, как геометрия области обзора пространства, разрешающая способность по угловым координатам, время обзора и т.п. Это позволяет учитывать статистические параметры сигналов и помех или их моделей непосредственно на этапе постановки радиолокационной задачи и развивает методологию методов автоматизированного проектирования РЛС.

Проведен обзор целевых функций задач синтеза непараметрических алгоритмов и устройств ЦОС и проанализированы энергетические соотношения, связывающие параметры цели и мешающих отражений с характеристиками многоканальных РЛС. Формализован вероятностный критерий синтеза многоканальных фильтров БПФ,-позволяющий при усреднении по частоте задавать сечения д^=сопз1 в семействе характеристик обнаружения для различных каналов дальности.

Разрешена неопределенность полученных решений синтеза устройств ЦОС при априорной неопределенности спектрального динамического диапазона, который предложено оценивать методом минимума дисперсии. Сформулирован критерий и получены результаты оптимизации весовой функции доплеровского фильтра БПФ. Выигрыш в усредненной по доплеровской фазе вероятности правильного обнаружения при оптимизации весового окна составляет 2. 15%.

Формализован обобщенный алгоритм выбора числа каналов, их настройки в зависимости от величины суммарных потерь эффективности обнаружения многоканальной системы. Данный алгоритм получен в виде, удобном для машинной оптимизации.

Получены выражения, определяющие связь параметров многоканального фильтра с потерями в пороговом отношении сигнал-помеха. На основе этих выражений построен итерационный алгоритм вычисления комплексных векторов весовой обработки, приводящий к уменьшению общего числа каналов многоканального фильтра при фиксированных потерях в пороговом отношении сигнал-помеха, что достигается их неравномерной расстановкой.

Предложены интерполяционные алгоритмы уточнения оценки центральной частоты узкополосного процесса, которые рекомендовано использовать совместно с обнаружением сигнала в процессоре быстрого преобразования Фурье (БПФ). Получены аналитические поправки к оценке частоты при применении весовой обработки с помощью ряда весовых функций.

Показано, что полученные алгоритмы сравнительно просто реализуются в сигнальном процессоре как операции, дополняющие алгоритм БПФ. Точность скорректированных оценок выгодно отличается от традиционного метода оценки по положению сигнала с максимальной амплитудой на выходе процессора БПФ.

Разработан метод обратного решения, на основе которого синтезирован адаптивный многоканальный фильтр, не требующий операции обращения корреляционной матрицы помех и сходящийся к оптимальному решению за одну итерацию.

7. Адаптивные систолические структуры фильтров для подавления помехСовременные задачи цифровой обработки сигналов реального времени требуют создания высокопроизводительных аппаратных средств, максимально учитывающих тенденции развития технологии СБИС. Одной из наиболее перспективных является технология построения процессоров сигналов однородной и регулярной структуры, позволяющей эффективно использовать площадь кристалла СБИС, уменьшать время и энергию переключения. Такие структуры получили название систолических процессоров (СП). СП, построенные на основе прямых алгоритмов вычисления ДПФ, обеспечивают наиболее простую структурную организацию высокопроизводительных устройств ЦОС [216].

Заключение диссертации по теме «Радиотехника, в том числе системы и устройства телевидения», Кошелев, Виталий Иванович

9.9. Выводы к разделу 9

В этом разделе приведены примеры решения практических задач, послуживших основой внедрения результатов диссертационного исследования.

Разработан алгоритм и процедура «Clutter» синтеза имитационнй АР-модели, хорошо описывающей характерные для мешающих локационных отражений узкополосные спектральные составляющие полимодальной помехи. Создана формальная блок-схема алгоритма формирования вектора коэффициентов АР-модели от подстилающей поверхности, при формировании которой учитывается переходной процесс в формирующем фильтре. Применение разработанной процедуры производило оптимизировать основные тактико-технические характеристики PJ1C, сформулировать требования к антенной системе и системе первичной обработки сигналов.

Проанализированы потери, возникающие при обработке в классе алгоритмов БПФ неэквидистантных отсчетов из-за рассогласования спектров обрабатываемого сигнала и частотных характеристик гребенки доплеровского фильтра, и разработан модифицированный алгоритм БПФ, исключающий эти потери. Оценен энергетический выигрыш, достигаемый при модификации алгоритма БПФ для обработки неэквидистантной пачки импульсов по сравнению с классическим алгоритмом, который при двух периодах повторения и глубине модуляции до у=(2,5.3) имеет недопустимые на практике потери величиной 4.6 дБ. С увеличением числа различных периодов повторения необходимость учета изменения спектра сигнала в алгоритме доплеровской фильтрации еще более возрастает.

Решена практически важная задача анализа шумов аналоговых генераторов сигналов. Т.к. аналоговые методы фильтрации применимы для анализа сигналов со спектральным динамическим диапазоном до 60 дБ (что при цифровых методах соответствует разрядности АЦП т=\0. 12), то для его расширения применен параметрический метод АРСС, использующий дополнительную информацию о сигнале. Достигнуто расширение диапазона измерения при компьютерной обработке оцифрованных данных. Рассмотрен анализ детерминированного периодического сигнала с дискретными выборками с алгоритмически дополненными по разработанной схеме заранее рассчитанными шумами квантования, и предложен алгоритм обработки с промежуточным цифро-аналоговым преобразованием, позволяющим получить оценку СПМ сопутствующего шума.

Для практической задачи предварительной оценки СПМ сигнала в виде пачки из двух прямоугольных видеоимпульсов предложена модель на основе АРСС-модели вторых порядков (р=<у=2), а для детального анализа -модель порядка р>40, ц>20. При этом величины СКО и ММО АРСС-моделей составляют приемлемую величину, что решает поставленную задачу. Применение модельного подхода и использование дополнительной априорной информации о сигнале позволяет при 12-ти разрядном АЦП и применении дополнительной спектрально-временной обработки достичь диапазона измерений не хуже 90 дБ, в то время как классические методы цифровой фильтрации имеют эквивалентный аналоговым методам результат.

Представлено решение проблемы селективного обнаружения кабелей с однофазным замыканием на землю в разветвленных сетях 6-10 кВ, являющейся одной из задач релейной защиты электрических подстанций. Проанализированы временные и спектральные характеристики токов нулевой последовательности в режиме однофазного замыкания на землю в распределительных энергосетях. На основе экспериментальных и априорных данных разработана математическая АР-модель этих токов при различных параметрах дуги. Вычислены оптимальные коэффициенты для весовой обработки гармоник, приведена структура и характеристики устройства оптимальной фильтрации ТНП. Разработано и изготовлено несколько модификаций прибора селекции, отличающихся повышенной достоверностью обнаружения замыканий по сравнению с аналогами. Приборы прошли опытную эксплуатацию на подстанциях АО "Рязаньэнерго" и ряде энергетических предприятий г. Рязани и области, демонстрировались на городских, областных, межрегиональных выставках и всероссийском выставочном центре в г. Москве.

В классе параметрических методов решена задача экспресс-оценки адаптационных возможностей человеческого организма неинвазивными способами по коротким (до 200 отсчетов) кардиоинтервалограммам. Исходными данными для оценивания здоровья служат динамические ряды значений кар-диоинтервалов (Я-Я ритмов). Применены спектральные оценки на основе алгоритмов АРСС, служащие базой для синтеза моделей с высокой разрешающей способностью. Разработаны алгоритмы спектрального анализа, реализованные в виде программных продуктов для 1ВМ-совместимых ЭВМ. Проведена апробация синтезированных пакетов прикладных программ в медицинских учреждениях. Результаты обследования людей с различными состояниями здоровья показали высокую эффективность предлагаемой методики. На основе проведенных исследований создан программный блок для программно-аппаратного комплекса «Ритм» кардиологической диагностики состояния здоровья человека.

Получены качественные и количественные спектральные оценки изменения суточной и недельной нагрузки телефонной станции, которые могут использоваться в расчетах необходимой пропускной способности каналов связи и для моделирования процессов нагрузки каналов. При этом сокращен объем хранимых выборок экспериментальных данных.

Предложено использование метода спектрального детектирования несанкционированного воздействия как более эффективного для оперативного выявления лавинообразного роста запросов при Оо5-атаках на Интернет-сервер и обеспечивающего их более раннее обнаружение, чем известный метод временного детектирования.

Использованы методы цифрового спектрального анализа для выявления скрытых периодических составляющих в зашумленных сигналах наблюдаемых небесных объектов. Классические и авторегрессионные методы были применены к анализу сигналов двух переменных звезд: (3 Персея и ЭР Лебедя. Лучшее спектральное разрешение позволило более точно определить частоту генерального максимума СПМ и выделить замаскированную шумом слабую периодичность в сигнале ОР Лебедя. Эксперименты показали, что для спектрального оценивания сигналов данного класса преимущества имеют АР-модели с порядком от 10 до 20.

В рамках министерских программ информатизации образования и открытого образования и в результате научных исследований разработан программный комплекс «Стрела», предназначенный для проведения лабораторных и курсовых работ, а также дипломного проектирования студентами радиотехнических специальностей. Он позволяет производить сквозной расчет и моделирование функционирования радиолокационного комплекса, оптимизировать его основные тактико-технические параметры и синтезировать системы первичной обработки РЛС и используется также специалистами в области проектирования радиолокационных систем.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе сформулированы и обоснованы следующие научные положения:

1. Разработанные методы и процедуры оптимизации имитационных моделей сигналов, представленных короткой выборкой, позволяют в 1,5.2 раза повысить точность аппроксимации их СПМ (по критериям СКО и ММО), на (20.50)% сократить объем информационного массива и на (20.30)% уменьшить количество вычислительных операций при генерации модели и АР-фильтрации сигналов.

2. Полученные на основе обобщенного уравнения дальности обнаружения алгоритмы многоканальной СС-фильтрации позволяют увеличить среднюю вероятность обнаружения сигнала на (2. 15)%, на порядок уточнить оценку доплеровской частоты сигнала, сократить число частотных каналов на (5.8)%.

3. Синтезированные систолические структуры алгоритма параллельной адаптивной СС-фильтрации сигналов на фоне помех позволяют реализовать эффективность близкую к эффективности систем оптимальной фильтрации при вдвое меньшем объеме обучающей выборки.

4. Созданные вычислительные алгоритмы, основанные на использовании полной и частичной условной сортировки мультипликаций, обеспечивают повышение точности вычислений квадратичной формы до величин порядка 10~16 при решении задач синтеза, анализа и обработки узкополосных процессов.

Полученные научно обоснованные теоретические результаты и технические решения внедрены в практические задачи и направлены на ускорение научно-технического прогресса в области обработки сигналов в системах радиолокации, технической и медицинской диагностики.

Реализация результатов научных исследований позволила: а) повысить эффективность выделения информативных признаков широкого класса обрабатываемых сигналов, искаженных помехами и шумами в условиях априорной параметрической неопределенности; б) сократить вычислительные затраты при синтезе математических и имитационных моделей стохастических временных рядов и устройствах для их обработки в ряде практических приложений (см. Приложение 2); в) приблизиться к потенциальной эффективности при обработке быс-тропротекающих процессов в реальном масштабе времени при ограничениях на аппаратурные, массогабаритные и стоимостные затраты; г) существенно расширить диапазон применения существующих методов обработки, математического описания и моделирования информационных сигналов; д) оптимизировать затраты на реализацию предложенных математических методов и осуществить анализ эффективности их функционирования в конкретных приложениях; е) создать методологическую базу для оптимизации структуры построения локационных систем на основе компьютерных интеллектуальных технологий.

Положительный эффект от применения результатов диссертационных исследований состоит в расширении базы для применения современной технологии проектирования сложных технических систем.

На основе данных исследований представляется возможным создание новых алгоритмов оценивания параметров входной последовательности, которые обладают большей вычислительной эффективностью по сравнению с известными методами. Это значительно расширяет диапазон изменения параметров входных сигналов, при котором обеспечивается эффективная обработка информационных последовательностей в различных прикладных задачах синтеза и анализа радиотехнических систем, например, при обработке сигналов в системах:

• радио и оптической локации;

• цифровой связи;

• обработки медико-биологической информации;

• мониторинга окружающей среды (наблюдение за естественными и искусственными объектами);

• диагностики и раннего предупреждения о повреждениях в протяженных коммуникационных магистралях;

• радиоастрономии;

Кроме того достигнутые результаты открывают перспективные пути дальнейших исследований, в частности, по разработке параметрических моделей неэквидистантных временных последовательностей, а также по синтезу, анализу и моделированию сигналов, отличающихся свойствами самоподобия.

Список литературы диссертационного исследования доктор технических наук Кошелев, Виталий Иванович, 2002 год

1. Марпл-мл. С.Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения: Пер. с англ.- М.: Мир, 1990,- 584 с.

2. Виленчик Л.С., Малевинский М.Ф., Катулев А.Н. Метод восстановления спектра функции по конечной выборке // Автоматика и телемеханика.-1997,- №6.- С.42-49.

3. Бондаренко А.Л., Мехов П.В. Адаптивные алгоритмы распознавания многомерных нормальных измерений при коротких обучающих выборках // Изв. вузов. Радиоэлектроника,- 1997-Т. 40,-№7-С. 25-30.

4. Дженкинс Г., Ватте Д. Спектральный анализ и его приложения.-Сан-Франциско, Лондон, Амстердам, 1969: Пер. с англ. (В двух томах).- М.: Мир, 1971.

5. Билинджер Д. Временные ряды. Обработка данных и теория М.: Мир, 1980.-369 с.

6. Робастность в статистике. Подход на основе функций влияния: Пер. с англ. / Ф. Хампель, Э. Рончетти, П. Рауссеу, В. Штаэль М.: Мир, 1989.512 с.

7. Мичурин C.B., Фукс М.М., Шепета А.П. Синтез формирующего фильтра для моделирования сигналов, отраженных от крупных надводных объектов // Пространственно-временная обработка радиолокационных сигналов: Сб. научных трудов ЛИАП,-Л., 1990.-С. 132-137.

8. Silva, Dennis M., Abdou, Ikram E, Warren, Rüssel E. Optimum detection of small targets in a cluttered background // Opt. Eng.- 1998,- V. 37,- №1,-P. 83-92.

9. Киселев A.B. Фильтры формирователи доплеровских флуктуаций эхо-сигналов от подстилающей поверхности // Известия вузов. Радиоэлектроника,- 2001,- Т. 44,-№1,-С. 32-37.

10. Миронов М.А. Оценка параметров модели авторегрессии и скользящего среднего по экспериментальным данным // Радиотехника.- 2001.-№10,-С. 37-39.

11. Сватош Й. Анализ биологических сигналов в спектральной области // Изв. вузов. Радиоэлектроника 1996 - Т. 39.- № 12,- С. 48-56.

12. Горлов М., Строгонов А. Геронтология кремниевых интегральных схем. Часть 2 // Chip News. Новости о микросхемах,- 2000 №4,- С. 57-59.

13. Буркатовская Ю.Б., Воробейчиков С.Э. Обнаружение разладки процесса авторегрессии, наблюдаемого с помехами // Автоматика и телемеханика,- 2000,- №3,- С. 76-89.

14. Вопросы статистической теории радиолокации: В 2-х томах / П.А. Бакут, И.А. Большаков, Б.М. Герасимов и др.; Под ред. Г.П. Тартаковского.- М.: Советское Радио, 1963, 1964.

15. Вайнштейн JI.A., Зубаков В.Д. Выделение сигналов на фоне случайных помех М.: Сов. Радио, 1960 - 448 с.

16. Лихарев В.А. Цифровые методы и устройства в радиолокации М.:

17. Советское радио, 1973.-456 с.

18. Умнов А.Е. Проблемы математического моделирования в условиях неполной информации //Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники 1997-№9-С. 39-47.

19. Исследование эффективности системы когерентно-весовой обработки / A.A. Бабанов, П.Е. Баранов, A.B. Галюс, В.И. Худин. // Известия вузов. Радиоэлектроника 1976.-Т. 19,-№4-С. 33-37.

20. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники: В 3 томах М.: Советское радио, 1966-1978.

21. Быков В.В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике- М.: Советское радио, 1971.- 326 с.

22. Спектральный анализ: Тематический выпуск ТИИЭР- 1982.Т. 70.-№9.

23. Абраменков В.В., Быстрое A.B., Савинов Ю.И. Использование метода наименьших квадратов в задаче цифрового спектрального анализа коротких последовательностей // Радиотехника.- 1999,- №2,- С. 16-1 8.

24. Способы и алгоритмы помехозащиты бортовых радиолокационных систем от многоточечных нестационарных помех / В.В. Дрогалин,

25. B.Д. Казаков, А.И. Канащенков, В.И. Меркулов, О.В. Самарин, М.В. Чернов // Зарубежная радиоэлектроника 2001.- №2.- С. 3-52.

26. Буняк Ю.А. Операторная модель авторегрессии и скользящего среднего//Известия вузов. Радиоэлектроника 1998.-Т. 41,-№9,-С. 53-60.

27. Friedlander В., Porat В. VSAR A High Resolution Radar System for Detection of Moving Targets //IEE Proc. Radar, Sonar, Navigation.- 1997,-vol. 144,-№4,-pp. 205-218.

28. Miyanfgf Yoshikaru. АРСС цифровой решетчатый фильтр, основанный на новом критерии: Пер. с англ. // IEEE Trans. Circuite and Syst.- 1987 -V. 34,-№6,- P. 617-628.

29. Кошелев В.И., Андреев В.Г. АРСС-моделирование эхо-сигналов // Статистический синтез и анализ информационных систем: Доклады XII научи.-техн. семинара, г.Черкассы, 23-25 июня 1992 г.- М./Черкассы, 1992 -С. 59-60.

30. Алгоритмы селекции сигналов движущихся объектов в когерентно-импульсных РЛС / В.Н. Антипов, А.Р. Ильчук, Е.Е. Колтышев, В.Т. Янковский // Радиотехника (Москва).- 1998 № 4 - С. 69-78.

31. Bershad Neil J. Сравнение эффективности нелинейного квантования при использовании в адаптивных алгоритмах простой и блоковой процедур// IEEE Tras. Acoust Speech and Signal Process- 1989.- V. 37- №10-P. 1504-1512.

32. Burg J.P. Maximum Entropy Spectral Analysis // Proceedings of the 37th Meeting of the Society of Exploration Geophysicists, 1967,- P. 136-142.

33. Кейпон Дж. Пространственно-временной спектральный анализ с высоким разрешением // ТИИЭР.- 1969,- Т. 57,- №8,- С. 69-79.

34. Householder A.S. On Prony's Method of Fitting Exponential Decay Curves and Multiple-Hit Survival Curves // Oak Ridge National Laboratory Report ORNL-455, Oak Ridle, Ttenn., February, 1950.

35. Pisarenko V.F. The Retrieval of Harmonic from a Covariance Function // Geophys. J. R. Astron. Soc 1973,- V. 33,- P. 347-366.

36. Тафте Д.У., Кумаресан P. Оценивание частот суммы нескольких синусоид: Модификация метода линейного предсказания, сравнимая по эффективности с методом максимального правдоподобия // ТИИЭР.- 1982, Т. 70,-№9,-С. 77-94.

37. Новый спектральный оцениватель с высоким разрешением для обнаружения целей / Kumar Ratnam V. Raja и др.: Пер. с англ. // J. Inst. Electron and Telecommun. Eng.- 1989,- V. 35,- №2,- С. 92-97.

38. Крамер Г. Математические методы статистики: Пер. с англ. / Под ред. А.Н. Колмогорова М.: Мир, 1975 - 648 с.

39. Миддлтон Д. Введение в статистическую теорию связи: Пер. с англ. в 2-х т. / Под ред. Б.Р. Левина,- М.: Советское Радио, 1961, 1963.

40. Ван Трис Г. Теория обнаружения, оценок и модуляции. Обработка сигналов в радио- и гидролокации и прием случайных гауссовых сигналов на фоне помех.- Т.З: Пер. с англ. Под ред. В.Т. Горяинова.- М.: Советское Радио, 1977.-664 с.

41. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника.- М.: Советское радио, 1966.-680 с.

42. Справочник по радиолокации / Под ред. М. Сколника.- Нью-Йорк, 1970: Пер. с англ. (в четырех томах); Под общей ред. К.Н. Трофимова,- М.: Советское радио, 1978.

43. Сосулин Ю.Г. Теория обнаружения и оценивания стохастических сигналов М.: Советское радио, 1978 - 320 с.

44. Репин В.Г., Тартаковский Г.П. Статистический синтез при априорнонеопределенности и адаптация информационных систем.- М.: Советское радио, 1977.-432 с.

45. Цыпкин ЯЗ. Адаптация и обучение в автоматических системах.-М.: Наука, 1968.-368 с.

46. Ширман Я.Д., Манжос В.Н. Теория и техника обработки радиолокационной информации на фоне помех,- М.: Радио и связь, 1981.- 416 с.

47. Монзинго P.A., Миллер Т.У. Адаптивные антенные решетки. Введение в теорию: Пер с англ.- М.: Радио и связь, 1986.- 448 с.

48. Уидроу Б., Стирнз С.С. Адаптивная обработка сигналов: Пер. с англ.- М.: Радио и связь, 1989. 440 с.

49. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц- М.: Главная редакция Физико-математической литературы, 1967 576 с.

50. Беллман Р. Введение в теорию матриц М.: Наука, 1976 - 352 с.

51. Райе Дж. Матричные вычисления и математическое обеспечение: Пер. с англ.- М.: Мир, 1984 264 с.

52. Систолические структуры / Под. ред. У. Мура, Э. Маккейба, Р. Уркхарта: Пер. с англ.- М.: Радио и связь, 1993.- 416 с.

53. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ: Пер. с англ. / Под ред. Х.Д. Икрамова,- М.: Мир, 1989,- 655 с.

54. Парлетт Б. Симметрическая проблема собственных значений. Численные методы: Пер. с англ. / Под ред. Х.Д. Икрамова, Ю.А. Кузнецова М.: Мир, 1983.-384 с.

55. Хэррис Ф. Дж. Использование окон при гармоническом анализе методом дискретного преобразования Фурье // ТИИЭР- 1978,- Т. 66 №1,-С. 60-96.

56. Бакулев П.А., Степин В.М. Методы и устройства селекции движущихся целей,- М.: Радио и связь, 1986,- 288 с.

57. Оппенгейм A.B., Шафер Р.В. Цифровая обработка сигналов,- М.:1. Мир, 1979.-416 с.

58. Гольденберг JI.M., Матюшкин Б.Д., Поляк М.Н. Цифровая обработка сигналов: Справочник М.: Радио и связь, 1985.-3 12 с.

59. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры.- М.: Наука, 1977,-304 с.

60. Кашкаров В.А., Мушкаев С.В. Организация параллельных вычислений в алгоритмах БПФ на процессоре NM6403 // Цифровая обработка сигналов.- 2001.-№1.-С. 53-58.

61. Борзенко А. Технология NeuroMatrix // PC WEEK/RE 2001- №6-С. 14-15.

62. Сверхбольшие интегральные схемы и современная обработка сигналов / Под ред. С. Гуна, X. Уайтхауса, Т. Кайлата; Пер. с англ. под ред. В.А. Лексаченко- М.: Радио и связь, 1989.- 472 с.

63. Кириллов С.Н., Степанов М.В. Оптимизация устройств цифровой обработки сигналов по комбинированному критерию среднего квадрата ошибки // Цифровая обработка сигналов.- 2000 № 1.- С. 27-32.

64. Захаров В.В., Полянская Е.В. Спектральное оценивание временных рядов с использованием авторегрессионной модели // Известия вузов-2001.-Т. 44.-№3,-С. 75-80.

65. Таранцев А.А. Принципы построения регрессионных моделей при исходных данных с нечетким описанием // Автоматика и телемеханика.-1997,-№ 11,-С. 215-219.

66. Feldman J. Equivalence and perpendicularity of Gaussian processes // Parif. J. Math.- 1958,- V. 8,- P. 699-708.

67. Розанов Ю.А. Теория обновляющих процессов,- М.: Наука, 1974.128 с.

68. Перегудов Ф.Ф., Тарасенко Ф.П. Введение в системный анализ-М.: Высшая школа, 1989,- 367 с.

69. Левин Б.Р., Шварц В. Вероятностные модели и методы в системах связи и управления М.: Радио и связь, 1985,- 312 с.

70. Вишняков В.А. Адекватность моделей радиосигналов // Изв. вузов. Радиоэлектроника 1994-Т. 37-№4-С. 76-79.

71. Духанин Н.Г., Кошелев В.И., Садофьев В.И. Генерация дискретных числовых последовательностей с максимизацией уровня значимости по критерию хи-квадрат //Сб. рефератов НИИЭИР- 1986- Сер. РТ,- №45.-ВИМИ.

72. Ulrich T.J., Clayton R.W. Time Series Modeling and Maximum Entropy // Phys. Earth Planet Inter.- 1976,- V. 12,- P. 188-200.

73. Кошелев В.И. Оценка качества моделей случайных процессов при короткой выборке // Вестник РГРТА,- Рязань, 2001.- Вып. 8,- С. 31-35.

74. Кошелев В.И., Андреев В.Г. Построение контрольного спектра при моделировании радиоотражений // Методы и средства радиоимпульсного зондирования среды: Труды межрегионального семинара, г. Рига, 13-15 октября 1992 г.- Рига: EDI RIN, 1992,- С. 32-34.

75. Кошелев В.И., Андреев В.Г. Модифицированный алгоритм АР-моделирования узкополосных процессов // Цифровая обработка сигналов и ее применения: Материалы докладов 2 Международной конференции-Москва, 1999,-Т. III.-С. 703-705.

76. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование: Пер. с англ. / Под ред. А.А. Фельдбаума- М.: Мир, 1975 536 с.

77. Бакулев П.А., Кошелев В.И., Андреев В.Г. Оптимизация АРСС-моделирования эхо-сигналов // Изв. вузов. Радиоэлектроника.- 1994Т. 37,-№9,-С. 3-8.

78. Уальд Д. Дж. Методы поиска экстремума: Пер. с англ.- М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1967.-268 с.

79. Кошелев В.И., Андреев В.Г. Оптимизация АРСС-моделей многокомпонентных радиоотражений // Вестник Рязанской государственной радиотехнической академии. Выпуск 2 Рязань, 1997,- С. 38-41.

80. Кобер В.И., Овсеевич И.А Использование информационной избыточности сигналов для снижения вычислительных затрат на их обработку // Радиотехника 1999,-№5,-С. 13-16.

81. Кошелев В.И., Андреев В.Г. Оптимизация AP-моделей процессов с полимодальным спектром // Изв. вузов. Радиоэлектроника,- 1996,- Т. 39-№5,-С. 43-48.

82. Кошелев В.И., Андреев В.Г., Пальчик О.В. Оптимизация авторегрессионных моделей с квантованными коэффициентами // Цифровая обработка сигналов и ее применения: Материалы докладов 2 Международной конференции,- Москва, 2000,-Т. III, С. 217-218.

83. Кошелев В.И., Андреев В.Г., Пальчик О.В. Компенсация ошибок определения коэффициентов моделирующих АРСС-фильтров // Известия вузов. Радиоэлектроника 2001.- Т. 44,- №7 - С. 51-55.

84. Кошелев В.И., Андреев В.Г. Модифицированный алгоритм AP-моделирования узкополосных процессов // Цифровая обработка сигналов и ее применения: Материалы докладов 2 Международной конференции.-Москва, 1999,- Т. III.- С. 703-705.

85. Кашкаров В.А., Мушкаев C.B. Организация параллельных вычислений в алгоритмах БПФ на процессоре NM6403 // Цифровая обработка сигналов.- 2001,-№1,-С. 53-58.

86. Кошелев В.И., Андреев В.Г. Спектральный анализ коротких последовательностей кардиоинтервалов // Цифровая обработка сигналов и ее применения: Материалы докладов 1 Международной конференции-Москва, 1998.-Т. VI,-С. 256-259.

87. Кошелев В.И., Андреев В.Г. Цифровые спектральный анализ радиолокационных сигналов // Цифровая обработка сигналов и ее применения: Материалы докладов 1 Международной конференции,- Москва, 1998 -Т. III.-C. 9-12.

88. Ланнэ A.A. Нелинейные полиномиальные цифровые фильтры // Цифровая обработка сигналов,- 1999,- № 1.- С. 18-26.

89. Баевский P.M., Кириллов О.И., Клецкин С.М. Математический анализ измерений сердечного ритма при стрессе.- М.: Наука, 1984,- 221 с.

90. Флетчер-мл. Р., Барлейдж Д. Метод предварительной обработки сигналов для улучшения работы устройства селекции движущихся целей в радиолокаторах с ФАР // ТИИЭР,- 1972,-№12,-С. 137-138.

91. Эффективность рекурсивных цифровых фильтров при малом объеме выборки / А.К. Горшков, В.А. Лесников, Е.П. Петров, A.B. Частиков // Известия вузов. Радиоэлектроника.- 1978- №5,- С. 122-125.

92. Цифровой фильтр селекции движущихся целей: A.c. 1592819 СССР, МКИ3 G01S 13/52 / Кировский политехнический ин-т; авт.: Лесников В.А., Наумович Т.В. и др., №391633/24-63; Заявл. 22.10.85 // Опубл. БИ, №34.

93. Бакулев П.А., Горкин В.Б. Анализ эффективности адаптивных систем селекции движущихся целей // Известия вузов. Радиоэлектроника-1987.-Т. 30.-№7,-С. 50-52.

94. Бакулев П.А., Кован С.Е. Алгоритм обнаружения сигналов на фоне многомодовых коррелированных помех // Радиотехника.- 1981.- Т. 36-№8,-С. 69-72.

95. Директор С., Рорер Р. Введение в теорию систем: Пер. с англ.- М.: Мир, 1974.-464 с.

96. Кошелев В.И., Андреев В.Г. Оценка параметров помехи в задаче адаптивной обработки сигналов // Методы и устройства обработки сигналов в радиотехнический системах: Межвузовский сб. научн. тр.- Рязань: Изд-во1. РРТИ, 1990,-С. 91-94.

97. Кошелев В.И., Андреев В.Г. Оценка помеховой обстановки в задаче адаптивной обработки сигналов // Статистический синтез и анализ информационных систем: Тез. докл., г.Севастополь, 16-18 мая 1991 г.- Севастополь, 1991.-С. 21.

98. Кошелев В.И., Андреев В.Г. Построение анализатора помех для адаптивных систем цифровой обработки сигналов // Ряз. радиотехнический ин-т Рязань, 1993 - 14 е.: ил.- Библиогр.: 5 назв.- Рус.- Деп. в ИНФОРМ-ПРИБОРе, 10.12.93, №5148-Б-пр 93.

99. Ketchum John W. Обнаружение сигнала с использованием авторе-гессионных параметров / ICASSP 85, Proc. IEEE Int. Conf. Acoust. Speech, and Signal Process, Tampa, Ela, March, 1985.- Vol. 1, P. 331 -334.

100. Кошелев В.И., Андреев В.Г. Синтез АРСС-моделей эхо-сигналов // Изв. вузов. Радиоэлектроника 1993.-Т. 36-№7,-С. 8-13.

101. Кошелев В.И., Андреев В.Г. Адаптивное подавление многокомпонентных помех // Изв. вузов. Радиоэлектроника,- 1994- Т. 37,- №4,-С. 14-19.

102. Кошелев В.И., Андреев В.Г. Рекуррентный алгоритм обеления помех для спецпроцессора // Однородные вычислительные системы, структуры и среды: Тез. докл. VI Всероссийской научн.-техн. конференции, г. Москва, 1993 г.- М., 1993 -С. 13.

103. Савченко В.В. Проверка однородности выборочных данных в задачах спектрального оценивания // Радиотехника и электроника.- 1999.— №1.- С. 65-69.

104. Черных М.М., Васильев О.В. Экспериментальная оценка когерентности отраженного от воздушной цели радиолокационного сигнала // Радиотехника,- 1999,-№2,-С. 75-78.

105. Кошелев В.И. Синтез систем когерентно-весовой обработки при априорной неопределенности // Межвузовский сб. Научных трудов "Приборы и устройства электронных систем управления". Л., вып.143, 1980.-С. 95 - 99.

106. Григорьев В.А. Оптимизация объема выборки при адаптации комбинированных систем обработки сигналов // Радиотехника,- 1999,- №1.-С. 56-59.

107. Радионов В.В. Повышение эффективности междупериодной обработки сигналов в некогерентной РЛС // Изв. вузов. Радиоэлектроника.1996.-Т. 39.- №11- С. 17-23.

108. Ширман Я.Д. К сорокалетию харьковских работ по теории и технике разрешения и сверхразрешения // Всеукраинский межведомственный научно-технический сборник,-Харьков, 1996-Вып. 100.-С. 124-139.

109. Леховицкий Д.И., Флексер П.М. Статистический анализ разрешающей способности квазигармонического спектрального оценивания методом Кейпона // Современная радиолокация: Труды международной конф,-Киев, 1994,-Вып. 1.-С. 121-122.

110. Перевезенцев Л.Т. Методика выбора параметров РЛС, влияющих на качество работы систем селекции движущихся целей // Теория и техника радиолокации, радионавигации и радиосвязи в гражданской авиации,- Рига, 1983.-С. 47-50.

111. Кошелев В.И., Андреев В.Г. Программно-аппаратные средства комплекса обработки эхо-сигналов // СВЧ-техника и спутниковый прием: Материалы 2-ой Крымской конференции, г.Севастополь, 8-10 октября 1992 г.- Севастополь: Таврида, 1992,- С. 423-428.

112. Кошелев В.И., Федоров В.А., Шестаков Н.Д. Основы системного проектирования радиолокационных систем и устройств: Методические указания по курсовому проектированию Рязань: РГРТА, 1996,- 60 с.

113. Кошелев В.И., Андреев В.Г. Интеллектуализация проектирования систем радиозондирования // Цифровые радиоэлектронные системы (эл. журнал), 1999,- Вып. 2.

114. Легкая бортовая РЛС со средней частотой повторения импульсов-системный подход: Пер. с англ. Пер. N П87954 31с./ Fedele G. A light weight MPRF airborne radar - a system point of view // Alta Frequenza.- 1989.-V. 58,-№2,- P. 87-96.

115. Кошелев В.И. Вычислительный аспект анализа эффективности систем межпериодной обработки сигналов / Информационное и программное обеспечение автоматизированных систем: Межвузовский сборник научн. трудов,-Рязань: РРТИ, 1990.-С. 58-61.

116. Кошелев В.И., Андреев В.Г. Интеллектуализация проектирования систем радиозондирования природных сред / Ряз. радиотехнический ин-т-Рязань, 1993,- 11 е.: ил,- Библиогр.: 10 назв.- Рус. Деп. в ИНФОРМПРИБО-Ре, 10.12.93, №5 149-Б-пр93.

117. Радиолокационные системы: научно-технические достижения и проблемы развития техники миллиметрового диапазона радиоволн / А.Б. Борзов, Р.П. Быстрое, В.Г. Дмитриев, Э.А. Засовин, A.A. Потапов,

118. А.В.Соколов, И.В. Чусов // Зарубежная радиоэлектроника,- 2001,- Ч. 1-3.-№4,-С. 18-80.

119. Характеристики обнаружения адаптивного селектора движущихся целей, основанного на нестационарном авторегрессивном анализе / Мао Yu-hai и др. Пер. с англ. Radar 87 // Int. Conf. London, 19-21 Oct. 1987 -C. 438-442.

120. Радиотехнические средства ПВО//Военный парад 1999-№34,-С. 3-18.

121. Кошелев В.И., Федоров В.А. Многоканальный адаптивный прием сигналов при узкополосных помехах на основе алгоритма БПФ с частотным взвешиванием // Микропроцессоры в системах связи и управления: Тез. докл. Всесоюзн. школы-семинара.-Харьков, 1986.-С. 24.

122. Кошелев В.И. Синтез систем цифровой фильтрации по принципу минимакса // Эффективность применения цифровых устройств в радиолокации: Межвузовский сб. научн. тр.- М.: МАИ, 1982 С. 17-22.

123. Певцов Г.В., Шолохов С.Н., Поточняк А.З. Обоснование величины пороговой чувствительности при оптимизации панорамных приемных устройств на основе Фурье-процессоров // Известия высших учебных заведений. Радиоэлектроника,- 1999.- Т. 42,- №3 С. 62-67.

124. Попов Д.И., Кошелев В.И., Гуськов C.B. Синтез цифровых режек-торных фильтров при ограничениях в частотной области // Известия вузов. Радиоэлектроника,- 1982,- Т. 25,-№5,-С. 42-47.

125. Шлома A.M. Обнаружение импульсных сигналов на фоне нормальных помех с неизвестными корреляционными свойствами //Радиотехника,- 1977,-T. 32.-C.3-9.

126. Попов Д.И., Кошелев В.И. Оптимизация цифровой когерентно-весовой обработки радиолокационных сигналов // Известия вузов. Радиоэлектроника,- 1979,-Т. 22,-№8,-С. 90-93.

127. Попов Д.И., Гуськов C.B., Кошелев В.И. Синтез систем адаптивной обработки по вероятностным критериям // Радиотехника,- 1985 № 6.-С. 9-12.

128. Кошелев В.И. Параметры многоканального обнаружителя допле-ровских сигналов Вестник Рязанской государственной радиотехнической академии. Выпуск 8.- Рязань, 2001.- С. 18-20.

129. Бакулев П.А., Попов Д.И., Кошелев В.И. Адаптивная обработка сигналов на фоне коррелированных помех // Межвузовский сб. научн. тр,-Адаптивные устройства обработки информации в радиолокационных и радионавигационных устройствах:-М.: МАИ, 1984-С.19-23.

130. Фукунага К. Введение в статистическую теорию распознаванияобразов: Пер. с англ. / Под ред. A.A. Дорофеюка- М.: Главная редакция Физико-математической литературы, 1979.- 368 с.

131. Friedlander В., Porat В. The Modified Yule-Walker Method of ARMA Spectral Estimation // IEEE Transactions on Aerospace Electronic Systems. AES-20 1984,-№2,-PP. 158-173.

132. Friedlander В., Porat В. VSAR A High Resolution Radar System for Detection of Moving Targets //IEE Proc. Radar, Sonar, Navigation,- 1997-vol. 144,-№4,-PP. 205-218.

133. ВолочковЕ.В. Метод гармонического анализа на основе критерия наименьших квадратов и сингулярного разложения матрицы данных // Радиотехника и электроника 1999- №1,- С. 88-93.

134. Волчков В.П. Параметрическое спектральное оценивание случайных сигналов с использованием рекуррентных m-моделей // Радиотехника и электроника,- 1998,- №4.- С. 421 -437.

135. Шаталов A.A. Многомерные адаптивные предпроцессоры для обработки сигналов по методу главных компонент // Радиотехника- 2000-№5,-С. 44-49.

136. Булычев Ю.Г. и др. Оптимальная пространственно-временная обработка сигналов с использованием алгоритмов быстрого преобразования Фурье. Радиотехника и электроника.- 1989-Т. 34,-№9.-С. 1994-1997.

137. Попов Д.И., Кошелев В.И. Синтез систем когерентно-весовой обработки сигналов на фоне коррелированных помех. Радиотехника и электроника,- 1984 Т.24,- №4,- С. 789-792.

138. Саати Т. Принятие решений. Метод анализа иерархий. //Пер с англ. М.: Радио и связь, 1993.- 320 с.

139. Karhunen Juha Рекурсивное оценивание собственных векторов матриц корреляционного типа в задачах обработки сигналов: Пер с англ. // Tesis doct. Technol. Helsinki Umu technol. Sept. 1984 Espoo, 57 p.

140. Марчук Jl.А., Гиниятуллин Н.Ф., Кондратьева Н.Л. Влияние выбора начальных значений коэффициентов на характеристики адаптивных антенных решеток// Радиотехника 1999.-№ 1.-С. 64-67.

141. Кошелев В.И. Синтез многоканального фильтра обработки сигналов с априорно неизвестной частотой // Радиоэлектронные устройства: Межвузовский сб. научн. тр.-Рязань: РРТИ, 1980-С. 132-137.

142. Попов Д.И., Кошелев В.И. Оптимизация цифровых систем между-периодной обработки сигналов на фоне помех // Радиотехника,- 1980.— Т.35.-№5 С. 67-68.

143. Попов Д.И., Кошелев В.И. Устройство для адаптивной обработки сигналов,- А.с. 1014127 (СССР), МКИ5 G01S 7/36 / Рязанский радиотехнический институт,- Опубл. в Б.И. № 15, 1983.

144. Gafvels L. Adaptive Doppler filtering and clutter cancellation //Int. Conf. On Radar, Paris, Apr. 24 -28, 1989,- P. 149-154.

145. Бабанов A.A., Еженков A.H., Жолобов Jl.И., Кошелев В.И., Попов Д.И. Устройство обработки сигналов- A.c. 915032,- Зарегистрир. 23.1 1.1981. / Рязанский радиотехнический институт,- Опубл. в Б.И. № 11, 1982.

146. Алексеев В.Г. Выбор спектрального окна при построении оценки спектральной плотности случайного процесса // Радиотехника,- 1999 №9,-С. 38-40.

147. Гладков А.И. Эффективные методы непараметрического спектрального анализа сигналов // Радиотехника и электроника,- 1996 №1-С. 72-84.

148. Кириллов С.Н., Соколов М.Ю. Оптимальные весовые функции при синтезе цифровых фильтров с конечной импульсной характеристикой // Радиотехника,- 1999,- № 1.- С. 80-81.

149. Дворкович A.B. Новый метод расчета эффективных оконных функций, используемых при гармоническом анализе с помощью БПФ // Цифровая обработка сигналов.- 2001.- №2,- С. 49-54.

150. Дворкович A.B. Еще об одном методе расчета эффективных оконных функций, используемых при гармоническом анализе с помощью БПФ И Цифровая обработка сигналов,- 2001.- №3, С. 13-18.

151. Свердлик М.Б., Троянский A.B. Обобщенное матричное описание алгоритма БПФ // Изв. вузов. Радиоэлектроника- 1995,- Т. 38.- №7-С. 27-34.

152. Безруков A.B. Нерекурсивные фильтры с ограниченной протяженностью // Радиосистемы.- 2000.- №10.- С. 35-41.

153. Безруков A.B. Анализ и выбор параметров одномерных цифровыхнерекурсивных фильтров с характеристиками ограниченной протяженности. // Радиотехника,- 2000,-№10,-С. 35-41.

154. Ковалев В.И., Жук С.Я. Оптимальная фильтрация сигнала при наличии вспомогательного канала измерения помехи // Изв. вузов. Радиоэлектроника.- 2000,- Т. 43,- №4,- С. 25-30.

155. Кошевой В.М. Рекуррентные алгоритмы обработки случайных сигналов при заданной структуре корреляционных матриц помехи // Радиотехника и электроника,- 1990,- Т. 35, №11.- С.2312-231 7.

156. A.c. 1042163 (СССР) Адаптивный фильтр, МКИ5 G01S 7/36 / Рязанский радиотехнический институт; авторы: Попов Д.И., Кошелев В.И.-Опубл. в Б.И. № 14, 1983.

157. A.c. 628449 (СССР) Устройство для измерения модуля междупе-риодного коэффициента корреляции пассивных помех, МКИ2 GO 1S 7/30, G06 G7/52 / Одесский политехнический институт; авторы: В.М. Кошевой, А.Д. Медведик,- Опубл. в Б.И. №38, 1978.

158. Беллман Р. Введение в теорию матриц,- М.: Наука, 1976,- 352 с.

159. Кошелев В.И., Горкин В.Н. Сравнительный анализ АЧХ доплеров-ских фильтров // Проблемы передачи и обработки информации в сетях и системах телекоммуникаций: Материалы международной научно-технической конференции.- Рязань, 2000 С. 50-51.

160. Бакулев П.А., Кошелев В.И., Гладких В.В. Оптимальное многоканальное обнаружение сигналов на фоне коррелированных помех // Изв. вузов. Радиоэлектроника.- 1987,- Т. 30 №4,- С. 4-7.

161. Аганин А.Г. Метод разрешения сигналов по доплеровской частотена основе проверки статистических гипотез,- Радиотехника,- 2000,- №5,-С. 22-26.

162. Кравченко Н.И., Ленчук Д.В. Предельная точность измерения доп-леровского смещения частоты метеосигнала при использовании пачки когерентных сигналов // Известия высших учебных заведений. Радиоэлектроника,- 2001Т. 44,- №7,- С. 68-80.

163. Кравченко Н.И., Бакумов В.Н. Предельная погрешность измерения регулярного доплеровского смещения частоты метеосигналов // Известия высших учебных заведений. Радиоэлектроника,- 1999 Т. 42 - №4,- С. 3-10.

164. Компенсатор помех, использующий БПФ с интерполяцией / Hi-kawa Hiroomi и др. Пер. с англ. // IEEE Int. Conf. Commun. Incl. Supercomm: Supercomm / CC 90,- V. 4. New York (N.Y.), 1990,- C. 1275-1279.

165. Попов Д.И. Синтез обнаружителей-измерителей доплеровских сигналов// Известия высших учебных заведений. Радиоэлектроника 1999.Т. 42,-№2,-С. 11-17.

166. Рабинер Б., Гоулд Л. Теория и применение цифровой обработки сигналов: Пер. с англ.- М.: Мир, 1975 848 с.

167. Куликов Е.И. Методы измерения случайных процессов,- М.: Радио и связь, 1986.- 272 с.

168. ЯрхоТ.А. Определение положения пика спектральной компоненты при быстром преобразовании Фурье // Радиотехника (Харьков).- 1989,-Вып 90,-С. 6-11.

169. Моржаков A.A. Оценка частоты узкополосного процесса // Радиотехника,- 1988.-№10,-С. 41-43.

170. Сверхбольшие интегральные схемы и современная обработка сигналов / Под ред. С. Гуна, X. Уайтхауса, Т. Калайта; Пер. с англ. под ред.

171. B. А. Лексаченко М.: Радио и связь, 1989.- 472 с.

172. Каневский Ю.С. Синтез систолических процессоров для вычисления дискретного преобразования Фурье // УСиМ 1989.- № 1.- С. 3-7.

173. Мингазин А.Т. Синтез цифрового фильтра с малоразрядными коэффициентами при дополнительных требованиях к виду передаточной функции. // Изв. вузов. Радиоэлектроника 1998.- Т. 41.- №2,- С. 48-53.

174. Дегтярев А.Н. Метод быстрой свертки, основанный на представлении сигналов в виде рядов несинусоидальных ортогональных функций // Изв. вузов. Радиоэлектроника Т. 44 - № 1.- 2001.- С. 37-41.

175. Бакулев П.А., Кошелев В.И., Федоров В.А., Шестаков Н.Д. Синтез адаптивного алгоритма двухканального устройства, минимизирующего отношение помеха-шум // Изв. вузов. Радиоэлектроника.- 1990.- Т.33.- №11.1. C. 62-64.

176. Оптимизация двухканальных режекторных фильтров с целочисленными коэффициентами в условиях априорной неопределенности / Бакулев П.А., Долгишев С.А., Кошелев В.И. и др. // Изв. вузов. Радиоэлектроника,- 1994,- Т. 37,- №4,- С. 3-9.

177. Андерсон Т. Введение в многомерный статистический анализ.-М.: Физматгиз, 1963.-425 с.

178. Синтез систолической структуры параллельного алгоритма режек-ции помех / Бакулев П.А., Долгишев С.А., Кошелев В.И. и др. // Радиотехника,- 1996,-№1 1,-С. 50-52.

179. Бобровский С. Опыт создания бортового ПО для истребителя F-22 // PC WEEK/RE 2000.- №35,- С. 11-12.

180. Борзенко А. Процессоры цифровой обработки сигналов // PC WEEK/RE.- 2000,- №25,- С. 1 1 -12.

181. Стручев В, Левшин В. Цифровая обработка РЛ сигналов. Высокоэффективные процессоры на основе поразрядно-логических методов свертки // Электроника: Наука, Технология, Бизнес.- 1996 №4,- С. 7-13.

182. Мелешкевич А.Н., Михайлюков В.Н. Анализ влияния конечной разрядности на эффективность цифровых фильтров выделения сигналов на фоне помех. // Радиотехника и электроника. 1983 - № 1С.86-90.

183. Красюк В.Н., Шаталов А.А, Ястребков А.Б. Влияние эффекта конечной разрядности чисел на алгоритмы пространственно-временной согласованной фильтрации. // Радиотехника. 1998.-№3.-С. 19-24.

184. Скачков В.В. Влияние случайных ошибок процессора управления на эффективность компенсатора шумовых помех // Радиотехника.- 1999.— №9,-С. 45-48.

185. Елисеев С.Н. Свойства симметрии передаточной функции и вычислительная сложность алгоритма цифровой фильтрации // Радиосистемы. Электродинамика и техника телекоммуникационных систем,- 2001,- Выпуск 56 № 1.

186. Елисеев С.Н. Использование декомпозиции передаточной функции для уменьшения вычислительной сложности алгоритмов цифровой фильтрации // Радиосистемы. Электродинамика и техника телекоммуникационных систем,- 2001.- Выпуск 56 №1.

187. Capon J. Optimum weighting functions for the detection of samled signals in noise // IEEE Trans.- 1964,- V. IT-10,- №2.

188. Stoner D.C. Adaptive MTI and Signal Processing Technigues for Long range Chaff and Weather//Int. Conf. Radar-77.- P. 199-198.

189. Arora K., Prasad M., Indiresan P.V. Class of Optimum MTI filtere for Clutter Rejection //Proc IEE, 1979,-v. 126, № 12,-P. 1233-1236.

190. Кошелев В.И. Эффективность оптимальных режекторных фильтров с квантованными коэффициентами // Обработка информации в автоматических системах: Межвузовский сб. научн. тр.- Рязань: Изд-во РРТИ, 1980.-С. 132-137.

191. Бакулев П.А., Попов Д.И., Кошелев В.И. Технико-экономическая оптимизация цифровых систем обработки сигналов // Радиотехника.- 1984.— Т. 40.-№3,-С. 25-27.

192. Бакулев П.А., Попов Д.И., Кошелев В.И. Оптимизация цифровых систем обработки сигналов по технико-экономическим показателям // Развитие и внедрение новой техники радиоприемных устройств: Тез. докл. Всесо-юзн. научно-техн. конф М., 1981.- С. 69-70.

193. Попов Д.И., Кошелев В.И. Оптимальный выбор разрядной сетки цифровых систем когерентно-весовой обработки сигналов // Изв. вузов. Радиоэлектроника,- 1980,-Т. 23.- №8,- С. 86-89.

194. Раммлер Д. Подавление мешающих отражений при помощи комплексной весовой обработки последовательности когерентных импульсов // Зарубежная радиоэлектроника.- 1967.-№1 1-С.74-94.

195. Блейхут Р. Быстрые алгоритмы цифровой обработки сигналов-М.: Мир, 1989.-448 с.

196. Сверхбольшие интегральные схемы и современная обработка сигналов: Пер. с англ. / Под ред. С. Гуна, X. Уайтхауса, Т. Кайлата- М.: Радио и связь, 1989.-472 с.

197. Новосельцев Л.Я., Флягин А.Е. Обработка сигналов РЛС при во-буляции частоты повторения зондирующих импульсов // Известия высших учебных заведений. Радиоэлектроника 1975.- Т. 20 - №3 - С. 40-45.

198. Murakami Т., Jonson R.S. Clutter suppression by use of weighted pulse trains//RCA Review.- 1971,-V. 32,-№3,-p. 402-428.

199. Д.И.Попов Синтез обнаружителей-измерителей доплеровских сигналов- Известия высших учебных заведений. Радиоэлектроника.-т.42-№2, 1999.-С.11-17.

200. Sidman S., Harris S. Harware methods improve 1-chip A/D converters

201. EDN.- 1987,-V. 32,- №3,- P. 139-156.

202. Андреев В.Г., Кошелев В.И., Логинов С.Н. Алгоритмы и средства спектрального анализа сигналов с большим динамическим диапазоном.- Вопросы радиоэлектроники. Радиолокационная техника (РЛТ).- вып. 1-2, 2002,-с.77-89.

203. Андреев В.Г., Кошелев В.И., Логинов С.Н. Спектральное оценивание уровня шумов генераторов // В XXI век с новыми принципами построения аппаратуры: Тезисы докладов НТК.- Нижний Новгород: НИПИ «Кварц», 1999 С. 51-52.

204. Andrejev V.G., Koshelev V.l. Building of the Control ARMA-spectrum for a Modeling of Echo-signals // 5-th International Symposium on Recent Advances in Microwave Technology Digest Kiev, 11-16 September 1995,-Kiev, Ukraine, 1995,-P. 613-617.

205. Андреев В.А. Релейная защита и автоматика систем электроснабжения- М.: Высшая школа, 1991.- 496 с.

206. Богдан A.B., Калмыков В.В., Сафарбаков A.A. Переходные процессы в электрической сети 10 кВ с трансформаторами напряжения НАМИ-10 Электрические станции - 1993 - № 10 - С. 46-49.

207. Johnson S.J., Anderson N. On Power Estimation in Maximum Entropy Spertral Analysis- Geophiysics 1987 - vol.43.-№6.- pp. 681-690.

208. Кошелев В.И., Андреев В.Г., Первенцев М.А. АР-моделирование процессов с полимодальным спектром // Технологии и системы сбора, обработки и представления информации: Международная конференция Тезисы докладов,- М.: НИЦПрИС, 1995,-С. 18.

209. Корнышев Ю.Н., Пшеничников А.П., Харкевич А.Д. Теория телетрафика: Учебник для вузов.- М.: Радио и Связь, 1996 272 с.

210. Кошелев В.И., Михайлов Г.В. Оценка динамики нагрузки телефонных сетей методами спектрального анализа // Радиоэлектронные системы и устройства: Межвузовский сборник научных трудов.- Рязань, 1999.-С. 44-47.

211. ФокинА. DoS-атаки: методика воздействия и способы защиты // PC Week/Re.-№33,- 2001,-С. 20-21.

212. Кошелев В.И., Воскресенский A.B. Применение AP-моделей для анализа сигналов переменных звезд // Математическое и программное обеспечение вычислительных систем: Межвузовский сб. научн. тр.- Рязань: Изд-во РГРТА, 1999,- С. 90-93.

213. Цесевич В.П. Переменные звезды и их наблюдение М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1980 - 176 с.

214. Мартынов Д.Я. Курс практической астрофизики. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1977,— 544 с.

215. Андреев В.Г., Воскресенский A.B. Обработка сигналов звездного электрофотометра // Всероссийская научно-техническая конференция студентов, молодых ученых и специалистов: Тезисы докладов,- Рязань, 1998.-С. 29-30.

216. Уолкер Г. Астрономические наблюдения М.: Мир, 1990.- 352 с.

217. Кошелев В.И., Андреев В.Г. Оптимизация AP-моделей процессов с полимодальным спектром // Изв. вузов. Радиоэлектроника,- 1996 Т. 39.-N 5,-С. 43-48.

218. Кошелев В.И., Горкин В.Н. Методы спектрального анализа в технике цифровой обработки сигналов. Учебное пособие.- Рязань: РГРТА, 2002,- 96 с.