Параллельные вычисления в задачах динамики моментного континуума Коссера тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Варыгина, Мария Петровна

• Варыгина, Мария Петровна
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Варыгина, Мария Петровна

Введение

1 Математическое моделирование динамических процессов в средах с микроструктурой на многопроцессорных вычислительных системах

1.1 Обзор исследований по моделированию сред с микроструктурой.

1.2 Обзор методов численного решения динамических задач

1.3 Обзор параллельных вычислительных технологий.

2 Модель Коссера

2.1 Уравнения моментной теории упругости.

2.2 Корректность задачи.

2.3 Одномерные движения.

2.3.1 Плоские продольные волны.

2.3.2 Поперечные волны с вращением частиц.

2.3.3 Волны кручения.

2.3.4 Задача о простом сдвиге.

2.4 Резонансные спектры поперечных возмущений.

2.5 Плоское деформированное состояние.

2.6 Редуцированная среда Коссера.

3 Численное моделирование

3.1 Вычислительный алгоритм.

3.1.1 Метод расщепления.

3.1.2 Одномерная ENO-схема.

3.1.3 Предельная реконструкция.

3.1.4 Алгоритм реализации граничных условий.

3.2 Программный комплекс.

3.3 Алгоритм сжатия файлов.

4 Результаты численных расчетов

4.1 Плоские задачи.

4.2 Поверхностные волны Рэлея

4.3 Резонансные воздействия.

4.4 Пространственные задачи Лэмба.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Параллельные вычисления в задачах динамики моментного континуума Коссера»

Применение высокопроизводительных распределенных вычислений открывает широкие возможности математического моделирования в задачах механики сплошных сред. Точность получаемого численного решения на персональном компьютере и время расчета задачи не всегда оказываются удовлетворительными, особенно если расчетная область имеет сложную структуру - содержит большое количество поверхностей раздела материалов с существенно различающимися механическими свойствами, жесткие включения небольшого размера и т.п.

Внедрение математических технологий, связанных с моделью Коссе-ра, в геофизику при интерпретации сейсмических полей позволило бы перейти в этой области на качественно новый, более высокий уровень. Такой переход можно сравнить с переходом от модели акустики, в которой по существу имеется только один тип волн, к теории упругости с двумя (продольными и поперечными) волнами. В случае моментного континуума появляется еще два типа - волны вращательного движения частиц и волны кручения, скорости которых вычисляются через феноменологические параметры материалов. О существовании этих воли известно с середины прошлого века. Первая попытка построения несимметричной или моментной теории упругости принадлежит братьям Коссера [1].

Математическая модель моментного континуума Коссера учитывает микроструктуру материала. Она предназначена для описания напряженно-деформированного состояния композитов, гранулированных, порошкообразных, сыпучих, микроразрушенных и микрополярных сред. Принципиальное отличие этой модели от классической теории упругости состоит в том, что в ней неявно присутствует малый линейный параметр - размер частиц микроструктуры материала. Как следствие, для получения корректных численных решений, расчеты необходимо выполнять на сетках, размер ячеек которых согласован с этим параметром. При решении динамических задач в пространственной постановке оказываются эффективными параллельные алгоритмы, позволяющие распределять вычислительную нагрузку между большим числом узлов кластера и дающие возможность существенно измельчать расчетные сетки, повышая тем самым точность численного решения.

Актуальность работы. В 2009 году исполнилось 100 лет со дня опубликования работы братьев Коссера, в которой была предложена новая математическая модель сплошной среды. В отличие от классической теории упругости, в этой модели каждая материальная точка наделяется свойствами твердого тела - для нее учитываются вращательные степени свободы. Математическая модель Коссера служит для описания напряженно-деформированного состояния структурно неоднородных материалов. Структура - один из важнейших показателей качества материалов, непосредственно влияющий на их прочностные характеристики. В зависимости от типа материала и масштаба исследований в практических задачах требуется учитывать структуру нано-, микро- или ме-зоуровня. Особую актуальность математические модели материалов со структурой получили в последнее время в связи с развитием нанотехно-логий.

При численном решении задач деформирования в рамках теории Коссера необходимо согласовывать размер ячеек используемых сеток с характерным размером неоднородности, представляющим собой малую величину. В результате дискретизации получаются задачи большой размерности, для реализации которых недостаточно вычислительных ресурсов персонального компьютера или рабочей станции с последовательной архитектурой. Методы моделирования с использованием высокопроизводительных распределенных вычислений оказываются едва ли не единственным способом получения информации об исследуемых процессах.

Целью исследования является разработка и реализация вычислительного алгоритма для решения динамических задач моментной теории упругости, описывающей процессы распространения волн напряжений и деформаций в средах с микроструктурой, на многопроцессорных вычислительных системах.

Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи:

1. Приведение полной системы уравнений моментной теории упругости к симметрической t - гиперболической форме, позволяющей применить к решению задач эффективные вычислительные алгоритмы.

2. Разработка параллельной версии алгоритмов, ориентированных на использование многопроцессорных вычислительных систем.

3. Создание комплекса прикладных программ для исследования процессов распространения упругих волн в средах с микроструктурой на кластерных системах с распределенной памятью.

В качестве метода исследования используется вычислительный эксперимент, включающий в себя следующие этапы: математическая формулировка задачи, построение численного алгоритма решения, программная реализация алгоритма, проведение расчетов, анализ полученных результатов.

Новые научные результаты, выносимые на защиту:

1. Разработан параллельный вычислительный алгоритм для решения динамических задач моментной теории упругости, основанный на расщеплении пространственной задачи на серию одномерных задач.

2. Алгоритм реализован на языке программирования Fortran-90 с использованием библиотеки передачи сообщений MPI в виде комплекса программ для многопроцесорных вычислительных систем.

3. На основании серии расчетов показано, что в моментной упругой среде существует собственная резонансная частота, зависящая только от инерционных свойств частиц микроструктуры и от параметров упругости материала.

Личный вклад. Результаты, составляющие основное содержание диссертации, получены автором самостоятельно. В совместных работах соавторам принадлежит постановка задачи, автором диссертации проведены необходимые численные расчеты и обработка полученных результатов.

Достоверность и обоснованность результатов обеспечивается применением строгих математических методов исследования; использованием при компьютерном моделировании тестовых задач, допускающих точное аналитическое решение.

Научная новизна работы заключается в том, что в ней впервые выполнена численная реализация модели моментной среды Коссера на многопроцессорных вычислительных системах в пространственной постановке и показано, что в такой среде существует собственная резонансная частота.

Практическая ценность работы состоит в создании комплекса прикладных программ, который может быть использован для численного исследования волновых процессов в средах с микроструктурой в задачах сейсмики и акустики, а также в учебном процессе при подготовке специалистов по математической обработке геофизической информации.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложений. Общий объем диссертации составляет 105 страниц, включая 42 рисунка, 3 таблицы. Список используемой литературы содержит 96 наименований.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Варыгина, Мария Петровна

Заключение

1. Система уравнений моментной теории упругости Коссера, учитывающая вращательные степени свободы частиц материала с микроструктурой, приведена к симметричной гиперболической по Фри-дрихсу форме. На этой основе разработан параллельный вычислительный алгоритм для решения динамических задач, в котором распараллеливание вычислений осуществляется на этапе расщепления задачи по пространственным переменным, а одномерные системы решаются с помощью явной монотонной разностной схемы, адаптированной к расчету разрывных решений.

2. Выполнена программная реализация вычислительного алгоритма на языке программирования Fortran-90 с использованием библиотеки передачи сообщений MPI в виде комплекса программ для много-процесорных вычислительных систем. Комплекс предназначен для численного решения задач о распространении упругих волн в блочных массивах с криволинейными границами раздела в плоской и пространственной постановках.

3. Выполнены расчеты полей напряжений и деформаций в моментной среде, вызванных действием импульсных и периодических сосредоточенных нагрузок, в которых обнаружены осцилляции вращательного движения частиц. На основании серии расчетов показано, что в отличие от классической теории упругости в моментной теории Коссера существует собственная резонансная частота, зависящая только от инерционных свойств частиц микроструктуры и от параметров упругости материала.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Варыгина, Мария Петровна, 2010 год

1. Cosserat, Е. Theorie de Corps Deformables /Е. Cosserat, F. Cosserat // Chwolson's Traite Physique. - 2nd ed. - Paris, 1909. - P. 953-1173.

2. Аэро, Э. JI. Основные уравнения теории упругости сред с вращательным взаимодействием частиц / Э. Л. Аэро, Е. В. Кувшин-ский // Физика твердого тела. 1960. - Т. 11, № 7. - С. 1399-1409.

3. Mindlin, R. D. Effect of coupled-stresses in linear elasticity / R. D. Mindlin, H. F. Tiersten //Arch. rat. mech. anal. 1962. - № 11.

4. Аэро, Э. Л. Континуальная теория асимметрической упругости. Учет внутреннего вращения / Э. Л. Аэро, Е. В. Кувшинский // Физика твердого тела. 1963. - Т. 5, № 9. - С. 2591-2598.

5. Пальмов, В. А. Основные уравнения теории несимметричной упругости / В. А. Пальмов // Прикл. матем. и мех. 1964. - Т. 28. -Вып. 3. - С. 401-408.

6. Койтер, В. Т. Моментные напряжения в теории упругости / В. Т. Койтер // Механика: Сб. переводов. 1965. - № 3. - С. 89-112.

7. Новацкий, В. Теория упругости / В. Новацкий. М.: Мир, 1975. -872 с.

8. Schwartz, L. М. Vibrational modes in granular materials / L. M. Schwartz, D. L. Johnson, S. Feng // Physical Review Letters. -1984. Vol. 52, № 10. - P. 831-834.

9. Ерофеев, В. И. Волновые процессы в твердых телах с микроструктурой / В. И. Ерофеев. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1999. - 328 с.

10. Кулеш, М. А. Построение и анализ точного аналитического решения задачи Кирша в рамках континуума и псевдоконтинуума Коссера / М. А. Кулеш, В. П. Матвеенко, И. Н. Шардаков // Прикл. мех. и техн. физ. 2001. - Т. 42, № 4. - С. 145-154.

11. Кулеш, М. А. Построение аналитических решений некоторых двумерных задач моментной теории упругости / М. А. Кулеш, В. П. Матвеенко, И. Н. Шардаков // Изв. РАН. МТТ. 2002. -№ 5. - С. 69-82.

12. Корепанов, В. В. Аналитические и численные решения статических и динамических задач несимметричной теории упругости / В. В. Корепанов, М. А. Кулеш, В. П. Матвеенко, И. Н. Шардаков // Физическая мезомеханика. 2007. - Т. 10, № 5. - С. 77-90.

13. Лисина, С. А. Континуальные и структурно-феноменологические модели в механике сред с микроструктурой: Автореф. дисс. канд. физ.-мат. наук: 01.02.04. / С. А. Лисина. Нижний Новгород, 2009.

14. Лисина, С. А. Обобщенные модели сплошной среды в наномехани-ке / С. А. Лисина, А. И. Потапов // Доклады РАН. 2008. - Т. 420, № 3. - С. 328-330.

15. Смолин, И. Ю. Использование микрополярных моделей для описания пластического деформирования на мезоуровне / И. Ю. Смолин // Математическое моделирование систем и процессов. 2006. -№ 14. - С. 189-205.

16. Шкутин, Л. И. Механика деформаций гибких тел / Л. И. Шкутин. -Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1988. 127 с.

17. Шкутин, Л. И. Обобщенные модели типа Коссера для анализа конечных деформаций тонких тел / Л. И. Шкутин // Прикл. мех. и техн. физ. 1996. - Т. 37, № 3. - С. 120-132.

18. Кириллов, Ю. В. Исследования по теории пластин и оболочек моментной теории упругости (обзор) / Ю. В. Кириллов, А. А. Постников, А. И. Тюленев // Исслед. по теор. пластин и оболочек: Изд-во Казанского ун-та, Казань, 1990. Вып. 20. - С. 18-43.

19. Lakes, R. Experimental methods for study of Cosserat elastic solids and other generalized elastic continua / R. Lakes // Continuum Models for Materials with Micro-Structure / Ed. by H. Muhlhaus, J. Wiley. New York, 1995. - R 1-22.

20. Lakes, R. Experimental micro mechanics methods for conventional and negative Poisson's ratio cellular solids as Cosserat Continua / R. Lakes // Journ. Engineering Materials and Techonology. 1991. -№ 113. - P. 148-155.

21. Gauthier, R. D. A quest for micropolar elastic constants / R. D. Gau-thier, W. E. Jahsman // Trans. ASME. Ser. E. J. Appl. Mech. 1975. - Vol. 42, № 2. - P. 369-374.

22. Gauthier, R. D. A quest for micropolar elastic constants. Pt. 2 / R. D. Gauthier, W. E. Jahsman // Arch. Mech. 1981. - Vol. 33, № 5. - P. 717-737.

23. Ebinger, Т. Modeling macroscopic extended continua with the aid of numerical homogenization schemes / T. Ebinger, H. Steeb, S. Diebles // Comput. Mater. Sci. 2005. - Vol. 32. - P. 337-347.

24. Марчук, Г. И. Методы расщепления / Г. И. Марчук. М.: Наука, 1988. - 263 с.

25. Яненко, Н. Н. Метод дробных шагов решения задач математической физики / Н. Н. Яненко. Новосибирск: Наука, сиб. отд-ние, 1967. - 197 с.

26. Годунов, С. К. Численное решение многомерных задач газовой динамики / С. К. Годунов, А. В. Забродин, М. Я. Иванов, А. Н. Край-ко, Г. П. Прокопов. М.: Наука, 1976. - 400 с.

27. Моисеев, Н. Я. Разностные схемы повышенной точности для решения одномерных задач газовой динамики методом Годунова с антидиффузией / Н. Я. Моисеев, И. Ю. Силантьева // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 2009. - Т. 48, № 5. - С. 1-23.

28. Федоренко, Р. П. Применение разностных схем высокой точности для численного решения гиперболических уравнений / Р. П. Федоренко // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1962. - Т. 2, № 6. - С. 1122-1128.

29. Boris, J. P. Flux-corrected transport: Generalization of the method / J. P. Boris, D. L. Book, K. Hain // Journ. Comput. Phys. 1975. -Vol. 18. - P. 248-283.

30. Zalesak, S. T. Fully multidimensional flux-corrected transport algorithm for fluids / S. T. Zalesak // Journ. Comput. Phys. 1979. -Vol. 31. - P. 335-345.

31. Harten, A. High resolutions schemes for hyperbolic conservation laws / A. Harten // Journ. Comput. Phys. 1983. - Vol. 49. - P. 357-393.

32. Lax, P. D. Systems of conservation laws / P. D. Lax, B. Wendroff // Comm. Pure Appl. Math. 1960. - Vol. 13, № 2. - P. 217-237.

33. Русанов, В. В. Разностные схемы третьего порядка точности для сквозного счета разрывных решений / В. В. Русанов // Доклады АН СССР. 1968. - Т. 180, № 6. - С. 1303-1305.

34. Courant, R. On the solution of nonlinear hyperbolic differential equations by finite differences / R. Courant, E. Isaacson, M. Rees // Comm. Pure Appl. Math. 1952. - Vol. 5, № 3. - P. 243-255.

35. Roe, P. L. Approximate Riemann problem solvers, parameter vectors, and difference schemes / P. L. Roe // Journ. Comput. Phys. 1981. -Vol. 43, № 2. - P. 357-372.

36. Osher, S. Numerical solution of singular perturbation problems and hyperbolic systems of conservation laws / S. Osher // North Holland Math. Studies. 1981. - Vol. 47. - P. 179-205.

37. Куликовский, А. Г. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений / А. Г. Куликовский, Н. В. По-горелов, А. Ю. Семенов. М.: Физматлит, 2001. - 608 с.

38. Van Leer, В. J. Towards the ultimate conservative difference schemes. Second-order sequel to Godunov's Method / B. J. Van Leer // Journ. of Comput. Phys. 1979. - Vol. 54, № 1. - P. 101-136.

39. Иванов, Г. В. Численное решение динамических задач упру-гопластического деформирования твердых тел / Г. В. Иванов, Ю. М. Волчков, И. О. Вогульский, С. А. Анисимов, В. Д. Кур-гузов. — Новосибирск: Сиб. унив. изд-во, 2002. — 352 с.

40. Куропатенко, В. Ф. Метод построения разностных схем для численного интегрирования уравнений газодинамики / В. Ф. Куропатенко // Изв. вузов. Матем. 1962. - № 3. - С. 75-83.

41. Von Neumann, J. A method for the numerical calculations of hydro-dynamical shocks / J. Von Neumann, R. Richtmayer // Journ. Appl. Phys. 1950. - Vol. 21. - P. 232.

42. Lax, P. D. Weak solutions of nonlinear hyperbolic equations and their numerical computations / P. D. Lax // Comm. Pure Appl. Math. -1954. Vol. 7, № 1. - P. 159-193.

43. Коновалов, A. H. Численные методы в динамических задачах теории упругости / А. Н. Коновалов // Сиб. матем. журн. 1997. -Т. 38, №3.-С. 551-568.

44. Зенкевич, О. Метод конечных элементов в технике / О. Зенкевич. -М.: Мир, 1975. 542 с.

45. Кошур, В. Д. Континуальные и дискретные модели динамического деформирования элементов конструкций / В. Д. Кошур, Ю. В. Немировский. Новосибирск: Наука, сиб. отд-ние, 1990. -198 с.

46. Oden, J. Т. A general theory of finite elements. I: Topological considerations / J. T. Oden // Int. Journ. Num. Meth. in Eng. 1969.2. P. 205-221.

47. Oden, J. T. A general theory of finite elements. II: Applications / J. T. Oden // Int. Journ. Num. Meth. in Eng. 1969. - № 3. - P. 247260.

48. Кандидов, В. П. Метод конечых элементов в задачах динамики / В. П. Кандидов, С. С. Чесноков, В. А. Выслоух. М.: Из-во Моск. ун-та, 1980. - 166 с.

49. Allen, М. P. Computer Simulation of Liquids / M. P. Allen, A. K. Tildesley. Oxford: Clarendon press, 1987.

50. Харлоу, Ф. X. Численный метод частиц в ячейках для задач гидродинамики / Ф. X. Харлоу // Вычислительные методы в гидродинамике. М.: Мир, 1967. - С. 316-342.

51. Hockney, R. W. Computer simulation using particles / R. W. Hockney, J. W. Eastwood. IOP Publishing. - 1988.

52. Кривцов, A. M. Метод частиц и его использование в механике деформируемого твердого тела / А. М. Кривцов, Н. В. Кривцова // Дальневосточный математический журнал ДВО РАН. 2002. -Т. 3, № 2. - С. 254-276.

53. Киселев, С. П. Исследование процесса компактирования медного нанопорошка / С. П. Киселев // Прикл. мех. и техн. физ. 2007. -Т. 48, №3. - С. 133-141.

54. Киселев, С. П. Моделирование компактирования смеси нанопорош-ков медь-молибден методом молекулярной динамики / С. П. Киселев // Прикл. мех. и техн. физ. 2008. - Т. 49, №5. - С. 11-23.

55. Ильгамов, М. А. Неотражающие условия на границах расчетной области / М. А. Ильгамов, А. Н. Гильманов. М.: Физматлит, 2003. -240 с.

56. Engquist, В. Absorbing boundary conditions for the numerical singulation of waves / B. Engquist, A. Majda // Math. Comput. 1977. -Vol. 31, № 139. - P. 629-651.

57. Berenger, J. P. A perfectly matched layer for the absorption of electromagnetic waves / J. P. Berenger // Journ. of Сотр. Phys. 1994. -Vol. 114. - P. 185-200.

58. Collino, F. Application of PML absorbing layer model to the linear elastodynamic problem in anisotropic heterogeneous media / F. Collino, C. Tsogka // Geophysics. 2001. - Vol. 66. - P. 294-307.

59. Антонов, А. С. Введение в параллельные вычисления: Методическое пособие / А. С. Антонов. М.: Изд-во Физфака МГУ, 2002. -70 с.

60. Коновалов, Н. A. Fortran-DVM язык разработки мобильных параллельных программ / Н. А. Коновалов, В. А. Крюков, С. Н. Михайлов, А. А. Погребцов // Программирование. - 1995. -№1.

61. Коновалов, Н. А. Параллельные программы для вычислительных кластеров и сетей / Н. А. Коновалов, В. А. Крюков // Журн. открытые системы. 2002. - № 3.

62. Крюков, В. А. Разработка параллельных программ для вычислительных кластеров и сетей / В. А. Крюков // Информационные технологии и вычислительные системы. 2003. - № 12.

63. Годунов, С. К. Уравнения математической физики / С. К. Годунов. М.: Наука, 1979. - 391 с.

64. Годунов, С. К. Элементы механики сплошных сред и законы сохранения / С. К. Годунов, Е. И. Роменский. Новосибирск: Научная книга, 1998. - 280 с.

65. Рихтмайер, Р. Принципы современной математической физики / Р. Рихтмайер. М.: Мир, 1982. - 488 с.

66. Полянин, А. Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики / А. Д. Полянин. М.: Физматлит, 2001. - 576 с.

67. Садовский, В. М. Численное моделирование пространственных волновых движений в моментных средах / В. М. Садовский, О. В. Садовская, М. П. Варыгина // Вычисл. мех. сплош. сред. 2009. -Т. 2, № 4. - С. 111-121.

68. Behura, J. Heavy Oils: Their Shear Story / J. Behura, M. Batzle, R. Hofmann, J. Dorgan // Geophysics. 2007. - Vol. 72, № 5. - P. 175183.

69. Варыгина, M. П. Параллельный вычислительный алгоритм для решения динамических задач моментной теории упругости / М. П. Варыгина, О. В. Садовская // Вестн. Красноярск, гос. ун-та: Физ.-мат. науки. 2005. - № 4. - С. 211-215.

70. Самарский, А. А. Теория разностных схем / А. А. Самарский. М.: Наука, 1977. - 656 с.

71. Марчук, Г. И. Методы вычислительной математики / Г. И. Мар-чук. М.: Наука, 1989. - 608 с.

72. Садовская, О. В. Метод сквозного счета для исследования упруго-пластических волн в сыпучей среде / О. В. Садовская // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 2004. - Т. 44, № 10. - С. 1909-1920.

73. Садовская, О. В. Математическое моделирование в задачах механики сыпучих сред / О. В. Садовская, В. М. Садовский. М.: Физ-матлит, 2008. - 368 с.

74. Корнеев, В. Д. Параллельное программирование в MPI / В. Д. Кор-неев. Новосибирск: Изд-во ИВМиМГ СО РАН, 2002. - 215 с.

75. Воеводин, В. В. Математические модели и методы в параллельных процессах / В. В. Воеводин. М.: Наука, 1986. - 296 с.

76. Кучунова, Е. В. Численное решение пространственной динамической задачи теории упругости на многопроцессорных вычислительных системах: Дисс. канд. физ.-мат. наук: 05.13.18. / Е. В. Кучунова Красноярск, 2008.

77. Соколов, Н. П. Пространственные матрицы и их приложения / Н. П. Соколов. М.: Физматлит, 1960. - 300 с.

78. Аграновский, М. JI. Об одном разложении в гильбертовом пространстве / М. Л. Аграновский, Р. Д. Баглай // Журнал вычисл. матем. и матем. физ. 1977. - Т. 17, №4. - С. 871-878.

79. Поспелов, В. В. О приближении функций нескольких переменных произведениями функций одного переменного / В. В. Поспелов // ИПМ АН СССР. Препринт № 32. М., 1978.

80. Поспелов, В. В. О погрешности приближения функции двух переменных суммами произведений функций одного переменного /

81. В. В. Поспелов // Журнал вычисл. матем. и матем. физ. 1978. -Т. 18, № 5. - С. 1307-1308.

82. Тыртышников, Е. Е. Тензорные аппроксимации матриц, порожденных асимптотически гладкими функциями / Е. Е. Тыртышников // Матем. сб. Изд-во Наука, 2003. Т. 194, № 6. - С. 147-160.

83. Варыгина, М. П. Вычислительный алгоритм для решения задач динамики моментной среды Коссера / М. П. Варыгина // Зимняя школа по механике сплошных сред (пятнадцатая). Сборник статей в 3-х частях. Часть 1. Екатеринбург: УрО РАН, 2007. - С. 170-173.

84. Варыгина, М. П. Применение параллельного алгоритма для решения динамических задач моментной теории упругости / М. П. Варыгина // Распределенные и кластерные вычисления: Избранные материалы шестой школы-семинара. Красноярск, 2006. С. 5-14.

85. Шемякин, Е. И. Динамические задачи теории упругости и пластичности / Е. И. Шемякин. М: ННЦ ГП - ИГД им. А. А. Скочинско-го, 2007. - 207 с.

86. Партон, В. 3. Методы математической теории упругости: Учебное пособие / В. 3. Партон, П. И. Перлин. М: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981. - 688 с.

87. Седов, J1. И. Механика сплошной среды / Л. И. Седов. М.: Наука, 1994. - Т. 2. - 560 с.

88. Викторов, И. А. Звуковые поверхностные волны в твердых телах / И. А. Викторов. М.: Наука, 1981. - 288 с.

89. Кулеш, М. А. Построение и анализ аналитического решения для поверхностной волны Рэлея в рамках континуума Коссера / М. А. Кулеш, В. П. Матвеенко, И. Н. Шардаков // Прикл. матем. и техн. физ. 2005. - Т. 46, Ж 4. - С. 116-124.

90. Кулеш, М. А. О распространении упругих поверхностных волн в среде Коссера / М. А. Кулеш, В. П. Матвеенко, И. Н. Шардаков // Докл. РАН. 2006. - Т. 405, № 2. - С. 196-198.

91. Воеводин, В. В. Параллельные вычисления / В. В. Воеводин, Вл. В. Воеводин. СПб: БХВ - Петербург, 2002. - 608 с.