Подгруппы гиперболических унитарных групп тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, доктор физико-математических наук Дыбкова, Елизавета Владимировна

• Дыбкова, Елизавета Владимировна
• доктор физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Дыбкова, Елизавета Владимировна

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. Форменные кольца и гиперболические унитарные группы.

§ 1. Форменные кольца и тела с инволюцией.

§ 2. Гиперболические унитарные группы.

§ 3. Простейшие унитарные матрицы.

ГЛАВА И. Сети, форменные сети и соответствующие им подгруппы.

§ 1. Сети и теорема Боревича для полной линейной группы.

§ 2. Сетевые подгруппы гиперболической унитарной группы.

§ 3. Форменные сети и форменные сетевые подгруппы.

§ 4. Подобие форменных сетей.

§ 5. Образующие форменной сетевой подгруппы над телом.

§ 6. Сопряженные форменные сетевые подгруппы.

§ 7. Решетка Lat (Uo(cr, Г), Nu(cr, Г)).

ГЛАВА III. Решетка наддиагональных подгрупп гиперболической унитарной группы над телом.

§ 1. Доказательство единственности.

§ 2. Форменная сеть, ассоциированная с наддиагональной подгруппой.

§ 3. Наддиагональные подгруппы U(2, R,A).

§ 4. Матрица с почти нулевой строкой.

§ 5. Матрица с нулевым элементом. Извлечение нескольких трансвекций.

§ 6. Основная лемма для матрицы с нулевым элементом.

§ 7. Матрица с нулевым элементом. Включение в нормализатор

§ 8. Матрица с нулевой характеристической суммой.

§ 9. Нулевой элемент появляется при сопряжении элементарной диагональной матрицы.

§ 10. Коммутативный случай.

§ 11. Матрица с нулевым присоединенным вектором.

§ 12. Матрица с нулевым минором.

§ 13. Матрица с нулевым псевдоминором.

§ 14. Окончание доказательства теоремы.

§ 15. Исключения.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Подгруппы гиперболических унитарных групп»

Представляемая диссертация посвящена изучению подгрупп линейных групп, объединяемых понятием гиперболической унитарной группы. Этот класс групп включает в себя в качестве частных случаев симплектические и расщепимые ортогональные и классические унитарные группы, а специфика определения рассматриваемых групп позволяет исследовать упомянутые линейные группы одновременно и вне зависимости от обратимости 2 в соответствующем кольце. Вводную часть предлагаемой работы мы начнем с описания нескольких важных направлений в изучении линейных групп, выделяя только небольшую часть из огромного потока работ по исследуемой тематике, а затем вкратце напомним историю возникновения рассматриваемых нами групп.

Различные вопросы, связанные со структурой классических групп, изучались во многих сотнях работ. Особый интерес вызывали и продолжают вызывать такие вопросы, как

• описание нормального строения,

• описание изоморфизмов и автоморфизмов,

• образующие и соотношения,

• описание различных классов подгрупп.

Значительное число работ посвящено рассмотрению различных арифметических вопросов, вычислению когомологий, геометрическим приложениям и т.д. Не пытаясь, разумеется, охватить все аспекты исследования линейных групп, остановимся на четырех перечисленных выше проблемах.

Нормальное строение. Описание нормальных делителей, начатое для линейных групп над полями в классических работах К. Жордана, JI. Диксона, Ж. Дье-донне, обобщалось в дальнейшем на разные классы колец, в первую очередь — на локальные и арифметические. Центральный результат по описанию нормальных подгрупп полной линейной группы принадлежит X. Бассу: если число « больше 2 и стабильного ранга кольца R, то для любой подгруппы Я группы GL(n, R), нормализуемой элементарной группой Е{n,R), существует такой единственный идеал а кольца R, что подгруппа Я заключена между элементарной подгруппой Е(n,R,a), определяемой этим идеалом, и подгруппой матриц, образы которых при редукции по модулю а содержатся в центре группы GL(n, R/a). Отметим, что описания подобного рода для различных классов подгрупп линейных групп возникают довольно часто — некоторые авторы в этой ситуации говорят о сэндвич-классификации. Для коммутативного R при п > 3 Дж. Уилсон и И. 3. Голубчик доказали, что стандартное описание нормальных подгрупп, даваемое теоремой Басса, справедливо вне зависимости от стабильного ранга кольца, а А. А. Суслин установил нормальность элементарной группы в GL(n, R). Для некоммутативной ситуации, как показал В. Н. Герасимов, подгруппа E(n, R) может не быть нормальной даже при п > 2, а случай п = 2 вообще принципиально отличается от п > 3.

Различные вопросы, связанные с нормальным строением классических групп над кольцами и нормальностью элементарной подгруппы, рассматривались JI. Н. Васер-штейном, А. В. Михалевым, И. 3. Голубчиком, А. А. Суслиным, 3. И. Боревичем, Н. А. Вавиловым, Ли Фуанем и многими другими авторами. При этом обнаружилось, в частности, что для коммутативного кольца с необратимой 2 ситуация в симплек-тической группе существенно отличается об других случаев, в связи с чем в работах Э. Абе, JI. Н. Васерштейна, Д. Косты и Г. Келлера были предложены различные конструкции и введена специальная терминология для описания нормальных подгрупп. Рассматриваемые в этих работах понятия (допустимые пары, квазиидеалы, радиксы) для ранга > 3 оказываются эквивалентными понятию форменного идеала кольца, введенного Э. Баком и использованного им вместе с Н. А. Вавиловым при доказательстве нормальности элементарной подгруппы в гиперболической унитарной группе над кольцом, конечно порожденным как модуль над своим центром.

Изоморфизмы и автоморфизмы. Описание изоморфизмов линейных групп было начато в классических трудах К. Жордана, JI. Диксона, О. Шрайера, Б. ван дер Вардена, Хуа Локена, И. Райнера, Ж. Дьедонне. В последние десятилетия важнейшие результаты в этом направлении были получены в работах Р. Стейнберга, О. Т. О'Миры, Р. Солацци, А. Хана и длинного ряда других авторов. Приведем некоторые результаты по изучению группы автоморфизмов, ссылаясь относительно более подробной информации на монографию А. Хана и О. Т. О'Миры [141]).

Основной вопрос, исследуемый в большинстве работ по автоморфизмам линейных групп, — это возможность описания произвольного автоморфизма как композиции стандартных, то есть индуцированных автоморфизмами кольца, над которым построена группа, контрагредиентными преобразованиями, соответствующими инволюциям основного кольца, умножений на обратимые центральные элементы и внутренних автоморфизмов. Для коммутативного кольца R при п > ЗУ. Уотер-хауз показал, что все автоморфизмы группы GL(n, R) сводятся к стандартным, а В. М. Петечук установил стандартность описания всех автоморфизмов GL(3, R), если 2 обратима в R (для коммутативного кольца с необратимой 2 имеются примеры нестандартных автоморфизмов, а в случае п = 2 дело вообще обстоит существенно сложнее). В некоммутативном R с обратимой 2 даже при п > 2 могут существовать не сводящиеся к стандартным автоморфизмы полной линейной группы, но все автоморфизмы группы Е (п, R) допускают стандартное описание, как установлено в работах А. В. Михалева, И. 3. Голубчика и Е. И. Зельманова.

Образующие и соотношения. Для полей Ж. Дьедонне и Хуа Локен описали образующие всех классических групп в конце 40-х годов прошлого века. Для других колец нахождение системы образующих соответствующей линейной группы существенно зависит от типа рассматриваемого кольца — не приводя конкретных результатов, сошлемся на обзор [92] Ю. И. Мерзлякова, где этот вопрос подробно обсуждается и указана также подробная библиография по минимализации системы образующих и нахождению определяющих соотношений. Особый интерес к вопросу об определяющих соотношениях был стимулирован публикацией в 60-ых годах работ Р. Стейнберга и Дж. Милнора. После введения в рассмотрение абстрактных групп с образующими,соответствующими обычным трансвекциям, и определяющими соотношениями, соответствующими стандартным коммутационным соотношениям между трансвекциями при п > 3 (групп Стейнберга), и определения функтора К2 появились сотни работ с разнообразными результатами, полученными в технике K-теории (по поводу конкретики вновь сошлемся на монографию [141] А. Хана и О. Т. О'Миры). Кроме этого, громадное количество работ посвящено заданию конечных и арифметических классических групп и асимптотическим вопросам.

Подгруппы, определяемые в теоретико-групповых терминах. Не обсуждая здесь подробно вопросы, связанные с описанием таких классов подгрупп линейных групп, как абелевы, разрешимые, нильпотентные, силовские, холловские и т.д., отметим, что в этой области основные достижения принадлежат Дж. Диксону, Б. Верфрицу, Д. А. Супруненко, В. П. Платонову, А. Е. Залесскому, другим алгебраистам минской школы; общая проблематика этого направления исследования детально освещена в обзорах А. Е. Залесского. В последние годы выдающиеся результаты по классификации конечных линейных групп, выделяемых указанного рода теоретико-групповыми условиями, были получены в новосибирской алгебраической школе учениками В. Д. Мазурова Е. П. Вдовиным и Д. О. Ревиным.

Подгруппы, порожденные элементами определенного типа, и их инварианты. Современный этап изучения групп, порожденных отражениями (и псевдоотражениями), ведет начало от работ Г. Кокстера, Г. Шепарда, Дж. Тодца, Г. Вей-ля, К. Шевалле. Рассматривая группы Шепарда-Тодца, порожденные полупростыми псевдоотражениями, имеющими единственное комплексное собственное значение конечного порядка, А. Коэн построил описание этих групп в терминах образующих и определяющих соотношений. Группы, порожденные трансвекциями (унипотент-ными псевдоотражениями), описаны Дж. Маклафлином. Классификация конечных неприводимых групп, порожденных псевдоотражениями, для полей произвольной характеристики была построена в работах А. Вагнера, А. Е. Залесского и В. Н. Се-режкина.

В нескольких работах У. Хаффмана и Д. Уэйлза описаны неприводимые примитивные конечные подгруппы над полем комплексных чисел, порожденные полупростыми элементами с двумя неединичными собственными значениями (двумерными полупростыми псевдоотражениями); аналогичная задача для полей положительной характеристики была рассмотрена А. В. Корлюковым. В работах К. Ватанабе и Н. JI. Гордеева было обнаружено, что алгебры инвариантов этих групп являются полными пересечениями. Классификация неприводимых подгрупп, порожденных квадратичными унипотентными элементами, была получена в работах Дж. Томпсона и Ф. Тиммесфельда. Неприводимые подгруппы, порожденные однопараметрически-ми подгруппами псевдоотражений, описаны Н. А. Вавиловым, А. Коэном, X. Кюй-персом и X. Стерком. Относительно более подробной информации, касающейся этой проблематики, сошлемся на У. Кантора и Ф. Тиммесфельда [147, 189].

Еще один аспект в исследовании линейных групп связан с изучением решетки Lat((?o, G) подгрупп группы G, содержащих некоторую выделенную подгруппу (?о, — такую задачу обычно называют описанием промежуточных подгрупп. Поскольку основной результат представляемой работы относится именно к этому направлению изучения линейных групп, остановимся на нем подробнее, оговорившись, что при обращении к группам Шевалле нас главным образом будут интересовать четыре серии расщепимых классических групп.

Задача об описании промежуточных подгрупп тесно соприкасается с проектом классификации максимальных подгрупп конечных простых групп, в течение последних десятилетий находящемся в центре внимания ведущих специалистов — Г. Зейца, М. Либека, Я. Саксла, А. Коэна, Д. Тестерман и очень многих других. Особенно бурно этот раздел теории конечных групп развивается после появления работы [115] М. Ашбахера, где было доказано, что каждая максимальная подгруппа конечной классической группы либо принадлежит одному из описанных в работе Ашбахера классов Ci—Cg, либо является почти простой группой в некотором абсолютно неприводимом представлении. Для линейных групп над конечным полем вопросу о том, какие именно подгруппы из классов Ашбахера являются максимальными, были посвящены десятки работ, опирающиеся на классификационные теоремы для конечных простых групп; полностью эта проблема была решена П. Клейдманом и М. Либеком — сошлемся на монографию [153], где помимо результатов, полученных самими авторами, изложена история проблемы и приведена подробная библиография. Для бесконечных полей, а также для разных типов колец группы из классов Ci—С8 достаточно велики, хотя совершенно не обязательно максимальны, и проблема описания решетки промежуточных подгрупп, когда в качестве Gq берется либо группа из самого класса Ашбахера, либо группа, описываемая какой-то комбинацией этих классов, представляется весьма актуальной. Приведем некоторые результаты, связанные с этим подходом.

Вариацией на тему класса Ci -f Сг можно считать задачу об описании параболических подгрупп групп Шевалле. Классическая теорема Титса (см. [24,191]) утверждает, что для произвольного поля К решетка надгрупп стандартной борелев-ской подгруппы в группе Шевалле G{$,K) изоморфна решетке замкнутых подмножеств корней, содержащих множество Ф+ всех положительных корней. При обобщении теоремы Титса на кольца в работах разных авторов возник и далее стал общеупотребительным подход, связанный с рассмотрением особых матриц из идеалов и соответствующих им подгрупп. В [97] Н. С. Романовский (не вводя при этом специальной терминологии) доказал, что описание Титса имеет место также для параболических подгрупп полной и специальной линейных групп над коммутативным локальным кольцом с обратимой 2. Затем 3. И. Боревич, предложивший использовать термины сеть и сетевая подгруппа, в [13, 14] перенес результаты Романовского на полулокальные кольца (в случае полной линейной группы — не обязательно коммутативные). Чуть позднее мною в [48] был установлен симплектический аналог результата Боревича. Вопросы, связанные с описанием параболических подгрупп в группах Шевалле разных типов, рассматривались в работах К. Судзуки, Н. А. Вавилова, Е. Б. Плоткина.

Наиболее важной для нас в контексте представляемой работы является задача об описании надгрупп расщепимого максимального тора (подгрупп линейной группы, содержащих все диагональные матрицы, если речь идет о матричных группах), которую также можно связывать с классом Ci + Сг. Для групп Шевалле справедлив хорошо известный результат А. Бореля и Ж. Титса из [24]: если К — алгебраически замкнутое поле, G = G($,K) — группа Шевалле типа Ф над К, a. Go— ее расщепимый максимальный тор, то для каждой подгруппы H решетки Lat(G,Go) существует такое единственное замкнутое подмножество S Ç Ф, что выполняются включения

G(S) <Н< N (S), где под G{S) понимается подгруппа, порожденная тором Go и всеми корневыми элементами xa(Ç) при a € S и Ç € К, а под N(5) — нормализатор G(5) в группе G (отметим, что такого рода специфическая сэндвич-классификация весьма часто фигурирует при описании промежуточных подгрупп, — условимся называть ее стандартной, говоря при этом, что подгруппы G(S) служат базисом стандартного описания). Позднее Г. Зейц в [176,177,178] доказал, что описание Бореля-Титса решетки надгрупп максимального (и не обязательно расщепимого) тора справедливо также в том случае, когда К — конечное поле, содержащее не менее 13 элементов, а характеристика этого поля отлична от 2. Следует сказать, что доказательство Зейца существенно использует и конечность поля, и нечетность характеристики.

Укажем теперь работы, в которых теорема Бореля-Титса переносится на классические матричные группы над разными кольцами. Как частные случаи эти работы включают в себя и конечные поля, но техника доказательства в них совершенно отлична, конечно, от той, которая применялась в упомянутых выше работах по конечным группам.

В [15] 3. И. Боревич доказал, что если К — произвольное поле, содержащее не менее 7 элементов, то решетка надгрупп диагональной группы D(n, К) в GL(n, К) допускает стандартное описание, базисом которого служат D-сетевые подгруппы G (с)-Для маленьких полей это не так, однако, как показали 3. И. Боревич и В. А. Кой-баев в [20, 70], для полей, состоящих из 4 или 5 элементов, имеет место аналог стандартного описания решетки Lat(D(n, К), GL(n, К)), если D-сети снабдить некоторым уточняющим параметром. В работах [16, 26] 3. И. Боревич и Н. А. Вавилов доказали, что решетка Lat(D(n,i?),GL(n, i?)) описывается стандартно и для большинства полулокальных колец R (не обязательно коммутативных).

В серии работ [29, 201] Н. А. Вавилов для коммутативного кольца R и п > 3 рассматривал решетку подгрупп специальной линейной группы SL(n, R), содержащих SD(n,R) = D(h, R) П SL(n, R) (группу второй степени целесообразнее рассматривать как симплектическую). Для всех полей К, содержащих не менее 7 элементов, и произвольного п Вавиловым было установлено, что решетка Lat(SD(n, К), SL(п, К)) допускает стандартное описание с базисными подгруппами S(c) = G(c) П SL(n, К); для полей из 4 или 5 элементов и достаточно больших п, как показал В. А. Койбаев в [76, 75], также можно говорить о стандартном строении рассматриваемой решетки, если использовать модифицированные сети. В [29, 201] Н. А. Вавилов доказал также, что для коммутативного полулокального кольца R при п > 3 надгруппы SD(n, R) в SL(n, R) описываются стандартно, если каждое поле вычетов кольца R содержит не менее Зп + 2 элементов. Б. С. Хай в [106, 107] установил, что при п > 3 решетка Lat(SD(n, R),SL(n,R)) допускает стандартное описание, если R — некоммутативное тело, центр которого содержит не менее 7 элементов; в настоящее время О. Кингом подготовлена к печати работа, в которой ограничение на размер центра некоммутативного тела вообще снимается.

В [197, 30] Н. А. Вавилов рассматривал ортогональную группу, соответствующую (в зависимости от четности числа п) квадратичной форме xix-i + . + x¡x-¡ или xl + x\x-i +. + x¡x-i при l = [|]. В этих работах была установлена стандартность строения решетки подгрупп группы SO (n,R), содержащих все диагональные матрицы, для случая, когда R — коммутативное полулокальное кольцо с обратимой 2 и каждое поле вычетов содержит не менее 7 элементов; при этом в качестве базисных подгрупп надо брать не все D-сетевые, а только те, которые соответствуют сетям с определенным дополнительным условием, специфичным для ортогональной группы. Упомянем здесь же работы [34, 105] Н. А. Вавилова и Е. А. Филипповой, в которых устанавливается стандартность описания подгрупп, содержащих расщепимый максимальный тор, в спинорной группе над полем, содержащим не менее 9 элементов и имеющим характеристику ф 2.

В наших с Н. А. Вавиловым работах [35] рассматривалась задача об описании надгрупп диагональной подгруппы в обычной и полной симплектической группах. Для группы GSp(2n, R) описание стандартно, если R — коммутативное полулокальное кольцо с обратимой 2 и в каждом поле вычетов содержится не меньше 7 элементов. Что же касается обычной симплектической группы, которая в указанных работах рассматривалась только для поля, то стандартность описания решетки надгрупп диагональной группы в Sp(2n, К) тогда нам удалось доказать лишь при весьма сильном условии: для бесконечного поля К характеристики ф 2 (напомним, что для конечных полей нечетной характеристики проблема была решена Г. Зейцем) мы требовали, чтобы \К*\ > \К*/К*2\ или -1 е К*2. При этих же ограничениях, но более слабый результат был получен в более поздней работе Ли Шанчжи [161]. Чрезвычайно жесткое ограничение на рассматриваемое поле было вызвано тем, что ко времени появления упомянутых работ для других случаев не была доказана стандартность строения решетки Lat(SD(2,iir),SL(2,K)).

Решетку Lat(SD(2, AT),SL(2, К)) для произвольного поля К, содержащего не менее 8 элементов и отличного от конечных полей Fg и Fn, описал О. Кинг в [150]: при char .К" ф 2 эта решетка устроена стандартно, а при необратимой 2 описание выглядит существенно сложнее для несовершенного поля.

Помимо перечисленных многими авторами рассматривались также различные вариации на тему приведенных выше результатов. В частности, В. А. Койбаев, Н. А. Вавилов, С. JI. Крупецкий, Е. Б. Плоткин, В. Голубовский изучали аналогичные вопросы для скрученных групп Шевалле, изотропных унитарных групп над полями и телами, причем расщепимый максимальный тор иногда заменялся на его централизатор или даже на некоторые анизотропные формы (впрочем, вопросы классификации для анизотропных торов было бы естественно обсуждать в контексте рассмотрения надгрупп нерасщепимых торов) — относительно подробностей и соответствующей библиографии сошлемся на работы [33, 199] Н. А. Вавилова. В представляемой работе мы обобщаем сразу несколько из упомянутых здесь результатов.

С классом Ашбахера Сз связана задача об описании надгрупп нерасщепимо-го максимального тора. Для конечных полей до работ Г. Зейца, о которых мы уже говорили, такая задача в частном случае рассматривалась У. Кантором: он описал подгруппы полной линейной группы, содержащие цикл Зингера (минизотропный максимальный тор). С использованием совершенно другой (геометрической) техники надгруппы минизотропного максимального тора в конечных линейных группах рассматривал Р. Дай.

Для поля вещественных чисел надгруппы нерасщепимого максимального тора исследовались Д. Дьоковичем и В. П. Платоновым с применением аппарата групп Ли; в некоторых частных случаях ранее аналогичные результаты были получены С. Л. Крупецким, использовавшим только технику линейной алгебры. Для локальных полей проблема рассматривалась С. Л. Крупецким, В. П. Платоновым, А. А. Бон-даренко, а для глобальных полей — в работах В. А. Койбаева (циклический тор) и В. П. Платонова (тор, соответствующий расширению с симметрической группой Галуа). В работах В. А. Койбаева для поля к характеристики ^ 2 описывались подгруппы GL(2, к), содержащие мультипликативную группу квадратичного расширения при его регулярном вложении в кольцо матриц второго порядка над к : эта решетка, как показано Койбаевым, устроена значительно сложнее, чем решетка надгрупп расщепимого тора; в частности, для к = Q такая решетка содержит континуум промежуточных подгрупп. В общем случае ситуация с описанием надгрупп нерасщепимого максимального тора пока не поддается аналогичному описанию даже для поля.

В ряде работ рассматривалась проблема описания надгрупп группы клеточ-но-диагональных матриц (с двумя и более клетками фиксированной конфигурации) в полной линейной группе и ее обобщение на другие классические группы — эту задачу о классификации надгрупп регулярно вложенных полупростых групп также можно ассоциировать с классом Ci + Сг- Для произвольного коммутативного кольца 3. И. Боревичем и Н. А. Вавиловым было установлено, что решетка промежуточных подгрупп допускает стандартное описание, если порядки всех диагональных клеток > 3. Аналогичные результаты для некоммутативных колец были получены И. 3. Голубчиком и А. В. Степановым — в их работах условия на порядки диагональных клетов сформулированы в терминах локализационной размерности и идеального стабильного ранга. Для случая произвольного поля В. А. Койбаев описал надгруппы группы элементарных клеточно-диагональных матриц, содержащих и блоки второго порядка. По поводу переноса этих результатов на другие классические группы сошлемся на обзор Н. А. Вавилова [32].

Упомянем теперь другие результаты об описании промежуточных подгрупп в контексте классов Ашбахера.

Если К — расширение поля к степени г, то для произвольного п можно говорить о группе GL(n, К) как о подгруппе группы GL(пг, к) (любое К-пространство V размерности п является ¿-пространством размерности пг, а преобразования из группы GL/c(y) являются автоморфизмами V как ¿-пространства). Таким образом, классу Сз, тесно связанному с расширениями, естественным образом соответствует задача об описании решетки Lat(GL(n, К), GL (пг, к)), частным случаем которой при п = 1 является проблема описания надгрупп максимальных минизотропных торов. Ли Шанчжи установил для тела К, что при п > 3 решетка Lat(SL(n, К), GL(nr, к)) допускает стандартное описание, базисом которого служат подгруппы SL (nd, L), где L — промежуточное расширение и d = (К : L). Аналогичным образом для данного конечного расширения можно строить вложения и некоторых других классических групп (М. Ашбахер, П. Клейдман и М. Либек приводят в [115, 153] списки такого рода вложений для расширений простой степени конечного поля), а затем рассматривать задачу описания промежуточных подгрупп. Относительно полученных в этом направлении результатов для произвольных полей вновь сошлемся на работы Ли Шанчжи, а для расширений простой степени конечных полей — на работы Р. Дая, где применялись геометрические методы.

С классом С8 связана проблема описания надгрупп одной классической группы в другой над тем же самым кольцом. Для полей эта задача была полностью решена в работах Р. Дая, О. Кинга, Ли Шанчжи и Е. Л. Башкирова (некоторые результаты Вашкирова связаны с суммой классов С5 + Се). Отметим обнаруженную Даем специфику строения решетки Lat(0(2n, К), Sp(2n, К)) для поля К характеристики 2 и ортогональной группы, соответствующей квадратичной форме положительного индекса Витта: максимальность 0(2п, К) в группе Sp(2n, К) эквивалентна совершенности поля К, а для несовершенного поля цепочке возрастающих .^-подпространств К соответствует цепочка возрастающих подгрупп рассматриваемой решетки. Этот последний результат Дая был усилен О. Кингом, установившим, что описанное множество подпространств находится во взаимно однозначном соответствии с множеством промежуточных подгрупп.

Многие из перечисленных выше результатов существенно усилены в недавних работах Н. А. Вавилова и В. А. Петрова, где была доказана стандартность описания надгрупп элементарных групп ЕО(2п,Я), Ер(2п,К) и ЕИ(2п,Я) для коммутативного кольца с обратимой 2 при п > 3. Надгруппы классических групп над локальными и евклидовыми кольцами изучались также в работах Ли Шанчжи и других китайских алгебраистов; в частности, Ю Хонг дал полное описание решетки Ьа1(8р(2п,7?),ОЬ(2п, Я)) для произвольного коммутативного кольца при п > 3.

Класс Ашбахера С5 связан с описанием надгрупп классической группы, определенной над некоторым подкольцом основного кольца. Для алгебраических расширений полей проблема исследовалась в рамках проекта классификации максимальных подгрупп конечных линейных групп, а также в работах Я. Н. Нужина и китайских математиков школы Ли Шанчжи. В работах Н. С. Романовского, Р. А. Шмидта и некоторых других авторов задача рассматривалась для определенного типа областей целостности (кольцо главных идеалов, евклидово, дедекиндово или кольцо Безу) и их полей частных, а под стандартностью описания соответствующей решетки понималась ситуация, когда базисные подгруппы однозначно определяются промежуточными кольцами. А. В. Степанов в [100] обобщил эти результаты, используя понятие идеального стабильного ранга кольца, а в [183] сформулировал необходимые теоретико-кольцевые условия для стандартности описания решетки промежуточных подгрупп.

Что касается проблемы описания решетки промежуточных подгрупп при рассмотрении тензорных произведений линейных групп меньших степеней (соответствующие задачи связаны с классами Ашбахера С4 и С7), то этот вопрос, рассматривавшийся в не упомянутых до сих пор работах Ли Шанчжи, мы обсуждать здесь не будем.

В заключение обзора добавим к сказанному выше, что имеется ряд работ (Б. Ку-перстейна, Г. Зейца, Д. Тестерман, И. Д. Супруненко и других авторов), посвященных надгруппам простых групп в неприводимых представлениях; большинство таких работ относится к случаям специальных полей — например, конечных. Связанные с этим подробности мы опускаем.

В представляемой диссертации рассматривается задача о единообразном описании надгрупп диагональной подгруппы в симплектической группе, а также в четно-мерных расщепимой ортогональной и унитарной группах над телом произвольной характеристики. В контексте этой задачи техника, развитая для групп Шевалле и использованная в ряде упомянутых выше работ, связана с двумя весьма неприятными обстоятельствами. Во-первых, довольно часто описание решетки промежуточных подгрупп над коммутативными кольцами и даже полями с необратимой 2 вызывает большие технические трудности, которые в некоторых ситуациях вообще не могут быть преодолены. Вторая неприятность — неприменимость аппарата линейных алгебраических групп к группам над некоммутативными кольцами. Таким образом, если возникает желание одновременно исследовать ортогональные, симплектические и унитарные группы вне зависимости от коммутативности кольца и обратимости 2, следует прежде всего дать их общее определение. В качестве такого общего определения удобно использовать определение унитарной группы как группы изометрий квадратичного модуля, основанное на понятиях форменного параметра, форменного кольца и квадратичного модуля над форменным кольцом. Назовем некоторые работы, связанные с появлением этих понятий.

Унитарные группы как класс, включающий в себя группы изометрий модулей с симметрическими и знакопеременными формами, рассматривалась давно и многими авторами — достаточно упомянуть работы JI. Диксона, Ж. Дьедонне, Э. Витта и А. Вейля. В связи с особенностями определения квадратичных форм над полями характеристики 2 (см. [59]) в работах В. Клингенберга, Э. Витта и Т. Спрингера [155, 180] высказывалась мысть о том, что квадратичную форму нужно как-то связывать не с билинейной формой, а с ее классом по модулю знакопеременных форм. Реализуя эту идею, Ж. Тите в [192] дал формальное определение квадратичной формы над полем произвольной характеристики и, ссылаясь на результаты А. Вейля из [40], отметил, что новое определение почти автоматически может быть обобщено на формы, соответствующие классическим группам алгебр с инволюцией. Определение форменного параметра для кольца с инволюцией в используемом теперь виде было дано Э. Баком, когда он занимался классификацией нормальных подгрупп унитарных групп, соответствующих следовым эрмитовым формам (Т-формам в терминологии Дьедонне из [59]), и опубликовано в [116]. Более ранняя версия понятия форменного параметра была предложена К. Маккриммоном в [168] в связи с классификацией йордановых алгебр: этот вариант рассматривался для альтернативных колец, но в ассоциативном случае определение Маккриммона является частным случаем определения Бака. Сами термины форменный параметр и форменное кольцо появились в более поздней работе Э. Бака [117], но уже в [116] были введены понятия квадратичного модуля как структуры, описываемой квадратичной формой с двумя компонентами, и унитарной группы этого модуля; новое определение квадратичной формы включило в себя титсовское как частный случай для минимального форменного параметра. Одновременно с Э. Баком и независимо от него определения квадратичного модуля для минимального форменного параметра и соответствующей унитарной группы сформулировал в [203] С. Т. С. Уолл, понимая при этом под инволюцией антиавтоморфизм, квадрат которого является внутренним автоморфизмом кольца. Как отмечает Э. Бак в своем предисловии к монографии [117], универсальная роль форменного параметра стала для него очевидной лишь после того, как С. Т. С. Уолл предложил ему попытаться доказать стабилизационные теоремы для квадратичных форм, аналогичные тем, которые ранее были доказаны Баком для следовых антиэрмитовых форм. В то же самое время, ссылаясь на статью Титса, московские математики Jl. Н. Васерштейн, А. В. Михалев и И. С. Клейн опубликовали несколько работ об ортогональной и унитарной группе, в которых группы рассматривались над форменными кольцами с минимальным или максимальным форменным параметром. Значительно позже Ли Шанчжи, не знакомый, по-видимому, с работами конца 60-х годов, определил в [163] аналог унитарной группы квадратичного модуля над телом характеристики 2, называя полученную группу уни-ортогоналъной.

Чрезвычайно подробно различные свойства унитарных групп Бака-Уолла описаны в монографии А. Хана и О. Т. О'Миры [141]. Для конечномерных векторных пространств над телами (и даже для проективных модулей над кольцами) унитарные группы, связанные с форменным кольцом, включают в себя все традиционные классические группы, причем выделение традиционных групп среди прочих просто описывается форменным параметром: он максимален для традиционных унитарных и симплектических групп и нулевой — для традиционных ортогональных. Хорошо известно (см., напр., [59, § 16 главы I]), что над полями характеристики 2 обычные ортогональные группы делятся на два больших класса в зависимости от дефекта, причем для дефектной формы рассмотрение ортогональной группы требует особого подхода — сошлемся здесь на [59, § 11 главы И]. Ортогональные группы для невырожденных в смысле Дьедонне дефектных форм также можно считать частным случаем новых унитарных групп: такая группа канонически изоморфна унитарной группе невырожденного квадратичного модуля над форменным кольцом с ненулевым форменным параметром. В рамки того же общего описания укладываются специфические группы над некоммутативными телами характеристики 2 рассмотренные в работах Э. Сейп-Хорникс [175] (ее группы в обобщенной форме фигурировали в работах [190,122] Ж. Титса и Ф. Брюа) и У. Пендера [171]: такие группы соответствуют немаксимальному форменному параметру. Более того, даже полную линейную группу над произвольным кольцом R можно отнести к рассматриваемому классу: она изоморфна унитарной группе естественно описываемого квадратичного модуля для однозначно определяемого форменного параметра прямого произведения кольца R и противоположного ему кольца Rop.

В представляемой работе унитарная группа квадратичного модуля рассматривается в ситуации, когда речь идет о свободном гиперболическом модуле; таким образом, модуль у нас везде имеет четный ранг, а индекс Витта первой компоненты квадратичной формы максимален. Соответствующие унитарные группы принято называть гиперболическими, а поскольку именно такие группы и рассматривал Э. Бак при определении форменного параметра, эти группы часто называют ваковскими унитарными (значительная часть монографии [141] посвящена рассмотрению именно таких групп). Совсем недавно появилась очень интересная статья В. А. Петрова [95] с определением обобщения баковских групп. Предложенная В. А. Петровым концепция позволяет использовать развитую для баковских групп технику в применении к группам изометрий модулей произвольного (а не только четного) ранга с формами любого положительного (а не только максимального) индекса Витта.

Основные результаты, полученные в диссертации, можно сформулировать следующим образом:

• развита техника работы с гиперболическими унитарными группами, связанная с их нечетномерным представлением;

• для произвольного кольца естественным образом определен аналог сети идеалов и форменного идеала (форменная сеть), описаны соответствующие этому аналогу подгруппы гиперболических унитарных групп и установлены основные свойства таких подгрупп;

• доказано, что для достаточно большого тела с инволюцией каждая надгруппа диагональной группы заключена между надэлементарной подгруппой, соответствующей однозначно определенной точной форменной сети, и ее нормализатором в гиперболической унитарной группе;

• для точной форменной сети (сг, Г) вычислена факторгруппа Ми(с, Г)/ио(С)Г);

• в совокупности полученные результаты полностью описывают надгруппы диагональной группы в гиперболической унитарной группе над телом.

Диссертация состоит из трех глав. Приведем основные определения и полученные результаты в том порядке, в каком они расположены в представляемой работе.

В первой главе мы подробно описываем основные объекты исследования — форменные параметры, форменные кольца и гиперболические унитарные группы. Начинаем мы, естественно, с определения форменного параметра — понятия, которое в используемом здесь виде впервые появилось в работе Э. Бака [116]. Отметим, что первоначально (см. [116, 117]) Э. Баком при определении форменного параметра рассматривалась ситуация, когда на основном кольце Я (это кольцо везде далее считается ассоциативным и содержащим 1) действует инволюция, то есть антиавтоморфизм, квадрат которого тождественен. В начале § 1 мы рассматриваем обобщенную инволюцию: мы считаем, что на Я действует такой антиавтоморфизм что для некоторого обратимого Л из Я, удовлетворяющего равенству Л А = 1, выполняется условие 1 а = АаА при всех а € Я; таким образом, определяющий скаляр А, связанный с антиавтоморфизмом не предполагается центральным, а то, что мы называем обобщенной инволюцией — это инволюция в смысле Уолла (см. [203]). В описанной ситуации форменный параметр и форменное кольцо определяются по Баку: в кольце выделяются вложенные первая во вторую аддитивные группы

Ат = {а-а\\ае Я} и Ам = {а е Я | а = -аА}, форменным параметром называется промежуточная подгруппа А (Ат < А < Ам), для которой аЛа < Л при всех а € Я, а форменным кольцом над Я — пара (Я, А).

Далее в § 1 мы описываем процедуру скэйлинга, играющую важную роль в последующих разделах работы. Изменяя определенным образом действующую на кольце обобщенную инволюцию, скэйлинг преобразует форменный параметр, а это в случае тела позволяет превратить форменное кольцо (Я, А) в нормализованное, то есть считать форменный параметр нулевым или содержащим 1, определяющий скаляр

А — равным ±1, а обобщенную инволюцию — обычной инволюцией. Затем мы перечисляем все нормализованные форменные кольца над телами, отмечая, что при фиксированной инволюции форменный параметр Л может быть определен неоднозначно только в том случае, когда тело имеет характеристику 2, а на центре этого тела инволюция действует тривиально (другими словами, если рассматривается тело характеристики 2 с инволюцией первого рода; в частности, R может быть полем характеристики 2 с тождественной инволюцией). В такой ситуации минимальным форменным параметром Лт является аддитивная группа Тг R следов, а максимальным форменным параметром Лм — аддитивная группа R° элементов, неподвижных при действии инволюции. В связи с тем, что эти две группы чрезвычайно важны при рассмотрении форменных колец над телами, мы здесь же приводим несколько их важных свойств (предложения 1.1 - 1.5), ссылаясь на соответствующие результаты Ж. Дьедонне, Ли Шанчжи и У. Пендера. Весьма существенную роль в наших дальнейших рассуждениях играет также аддитивная группа

R~ = {a G R | а = -а}, которую можно трактовать как максимальный форменный параметр кольца R для инволюции — с определяющим скаляром А = 1 (отметим, что при char R = 2 группа R~ совпадает с R0, а при char Л ф 2 форменное кольцо (R,R~) не является нормализованным). С группой R~ тесно связана мультипликативная группа

U{R) = {9eR \вв = \) унитарных элементов тела: неединичные элементы группы U{R) представимы в виде г в = 1-х-1 при Х + X = 1, а порядок U{R) определяется тем, является ли 1 следом, и порядком группы R~. В связи с группой U{R), используя терминологию монографии [156], для инволюции первого рода на теле характеристики 2 мы говорим о ее типе: инволюция имеет симплектический тип, если 1 является следом, или ортогональный тип — в противном случае. Мы отмечаем (предложение 1.6), что для произвольного тела характеристики 2 тип инволюции, возникающей после скэйлинга, определяется принадлежностью скэйлингующего элемента группе следов (для случая тела, конечно порожденного как пространство над свом центром, этот критерий содержится в [156]).

Заключительная часть § 1 первой главы посвящена арифметике некоммутативного тела с инволюцией, используемой в дальнейшем. В частности, чрезвычайно важную роль в рассуждениях третьей главы играют уравнения вида а{0-1)Р + 6-1-1 = О, (0.1) где о; и /7 — некоторые ненулевые элементы тела R. Следует сказать, что вообще решение уравнений в некоммутативном теле — вопрос чрезвычайно сложный даже в том случае, когда речь идет о корнях многочлена с коэффициентами из тела. Более того, обсуждение вопроса о существовании в теле решений простейшего уравнения вида ах - хЬ = с (0.2) такого рода уравнение в качестве вспомогательного возникает при рассмотрении нашего уравнения (0.1)) имеет многолетнюю историю, но в общем случае необходимые и достаточные условия разрешимости (0.2) до сих пор неизвестны — подробности обсуждения этого вопроса можно найти в обзоре [157] и монографии [129]. Таким образом, для произвольного тела мы не знаем необходимых и достаточных условий, при которых уравнение (0.1) имеет хотя бы одно обратимое решение в ф 1 (нетривиальное решение). Поэтому в отдельное утверждение мы выделяем известную нам информацию по этому поводу:

Предложение 1.9. 1) Если Я — поле, то a) при а/3 + 1 = 0 все элементы группы Ы{Я) и только они служат решениями уравнения (0.1); b) при а[3 + 1 ф 0 нетривиальное решение уравнения (0.1) существует тогда и только тогда, когда арар ф 1, и в этом случае

0=1 + ИГ1

1 + а/З единственное нетривиальное решение рассматриваемого уравнения.

2) Если Я — некоммутативное тело, то a) при а/3 +1 = 0 уравнение (0.1) имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда а в Тг Я или а фа, причем в случае выполнения любого из этих условий указанное уравнение имеет бесконечно много решений; b) при а/3+1 = 0иафа. нетривиальных решений уравнение (0.1) не имеет.

Еще несколько утверждений, имеющих отношение к арифметике некоммутативного тела с инволюцией, содержатся в тексте третьей главы; их формулировки весьма специфичны и используются только в доказательствах следующих за ними свойств подгрупп гиперболической унитарной группы.

Определение гиперболической унитарной группы (как и форменное кольцо, это понятие в ныне используемом виде впервые появилось в работах Э. Бака) обсуждается в § 2 первой главы. Опираясь на работы [141, 120], в начале параграфа мы описываем эту группу как группу изометрий свободного гиперболического квадратичного модуля над заданным форменным кольцом, а затем переходим на матричный язык. В связи с этим вторым определением (именно оно нас интересует в представляемой работе) отметим два обстоятельства. Во-первых, для индексации строк и столбцов рассматриваемых матриц четного порядка 2п мы используем множество ü = {1,2,., п, —п,—2, —1}; такой способ индексации в применении к матрицам четного порядка, предложенный в свое время Р. Картером, оказывается значительно более удобным, чем обычная натуральная индексация, и в работах по гиперболическим унитарным группам используется довольно часто — для примера сошлемся на статью [120]. Вторая особенность приводимого здесь определения состоит в том, что мы отказываемся от традиционного рассмотрения блочной записи обратимой матрицы четного порядка и аддитивной группы Л-антиэрмитовых матриц, а связываем с матрицей столбец высоты 2п, компоненты которого являются просто вычисляемыми функциями элементов данной матрицы: если для обратимой матрицы а = (<%•) порядка 2п элементы обратной матрицы обозначить йу, то г-ая компонента столбца, связываемого с матрицей а, — это сумма

Si,-i(a) = ^aua'i.i, i> о которую мы называем г-ой характеристической суммой матрицы а. Сформулируем получающееся за счет этого новшества более простое определение матричной гиперболической унитарной группы с использованием следующих обозначений: для произвольного индекса i из Í) через е(г) мы обозначаем знак этого индекса

1 при i > 0, —1 при i < 0, а под Ai понимаем аддитивную группу eco+i, Г Л при i < 0 и Л,= А- 2 Л = <

Л1Л при i > 0.

Определение. Пусть (R, Л) — форменное кольцо над кольцом R. Гиперболическая унитарная группа U(2n, R, Л) степени 2п над этим форменным кольцом — это группа всех таких обратимых матриц а порядка 2п с элементами из R, для которых при всех индексах из ÍÍ выполняются условия

I X£ÍÍ2±L-, л£Ш+1 а /■ \ . ai;j = Л 2 aj-¿A 2 и S¿¿(a) £ A¿.

Эквивалентность приведенного здесь определения баковскому установлена в предложении 1.10.

Как и в предыдущем параграфе, особое внимание мы уделяем гиперболическим унитарным группам для нормализованных форменных колец над телами. В частности, цитируя фрагмент монографии [141], мы приводим перечень этих групп с указанием названия классической группы, совпадающей с U(2n,R,A) для соответствующего форменного кольца (эти названия далее используются для более короткого ег описания частных случаев). Дальнейшее развитие для тел получает и идея сопоставления унитарной матрице ее характеристических сумм. Мы рассматриваем факторгруппу V = Я0/ ТгЯ как левое векторное пространство над телом Я относительно умножения идея использования такого пространства в связи с исследованием линейных групп над телами характеристики 2 с инволюцией первого рода встречается в работе У. Пен-дера [171]), для матрицы а из группы \]{2п,Я, Л) и каждом индексе г берем вектор у,(а) = £{-((а) + ТгЛ в пространстве V, называя его г-ым присоединенным вектором данной матрицы, и составляем столбец присоединенный столбец матрицы а. Важное свойство присоединеннымх столбцов, связанное с мультипликативной структурой и(2п, Я, Л), устанавливается следующим утверждением:

Предложение 1.13. Если (Я, Л) — нормализованное форменное кольцо над телом с инволюцией Я, а а иЬ — две матрицы из группы и(2п, Я, Л), то

Это предложение позволяет представлять себе элементы группы и(2п, Я, А) в виде матриц порядка 2п + 1, записанных в форме и умножаемых по обычному матричному правилу.

Заканчивает первую главу коротенький § 3, где описываются простейшие матрицы из группы и (2п, Я, Л) — элементарные диагональные унитарные матрицы Д($) и унитарные трансвекции Тц(а)\ здесь же для удобства дальнейших ссылок приведены соотношения между такими матрицами.

Во второй главе диссертации рассматривается и модифицируется идея описания подгрупп линейной группы с помощью специальных матриц из идеалов соответствующего кольца. Такой подход к изучению решетки подгрупп в разные времена фигурировал в работах многих авторов; в предлагаемом здесь тексте мы берем за основу терминологию и соответствующие результаты 3. И. Боревича из его статей [13, 14, 15]. В § 1 мы напоминаем ключевые определения сети идеалов и сетевой подгруппы полной линейной группы, а затем формулируем в этих терминах основные результаты 3. И. Боревича и Н. А. Вавилова по описанию решетки подгрупп, содержащих все диагональные обратимые матрицы, для поля и для полулокального кольца. Следует сказать, что в § 1 цитируется также довольно много других фактов, а(р + ЪЯ) = а/За + ЪЯ при а е Я и 0 € Я[ у(аЬ) = и(а) + аь(Ь) и ь(а) = аь (а .

0.3) связанных с полной линейной группой, поскольку далее в представляемой диссертации нам приходится иметь дело с аналогичными вещами в контексте рассмотрения гиперболической унитарной группы. В конце § 1 мы делаем важное замечание о ситуации, когда даже для случая полной линейной группы (над маленьким полем) сети идеалов не описывают всю решетку наддиагональных подгрупп: 3. И. Боревич и В. А. Койбаев в [20, 70] показали, что за основу описания решетки наддиагональных подгрупп полной линейной группы над полем, состоящим из 4 или 5 элементов, можно брать сети идеалов с некоторым дополнительным параметром. Эту идею мы в дальнейшем используем при исследовании решетки наддиагональных подгрупп гиперболической унитарной группы.

В следующем § 2 второй главы мы рассматриваем сетевые подгруппы гиперболической унитарной группы: для сети о = (а^) идеалов кольца К порядка 2п сетевая подгруппа и {о) группы и(2п, Я, А) определяется как пересечение иИ = С(а)пи(2п,Д,Л), где в (с) — обычная сетевая подгруппа в СЬ(2п, К). С каждой £>-сетью порядка 2п мы связываем также элементарную сетевую подгруппу Е11(сг), определяя ее как подгруппу, порожденную всеми содержащимися в и (с) унитарными трансвекциями, и надэлементарную сетевую подгруппу ИоМ, получающуюся добавлением к Еи(ст) всех диагональных унитарных матриц.

С целью исключения заведомой неинъективности отображения а н> и (с) мы сразу сужаем класс рассматриваемых сетей, ограничиваясь только унитарными сетями, то есть сетями с дополнительным ограничением

Ту- = при всех индексах аналогичное ограничение фигурировало ранее в работах [48, 49, 35, 30] по симплек-тическим и гиперболическим ортогональным группам). К сожалению, и это ограничение не делает отображение а и- и (с) инъективным даже для случая, когда Л — поле: мы приводим пример с тремя различными унитарными .О-сетями второго порядка, описывающими одну и ту же сетевую подгруппу. По этой причине класс рассматриваемых £)-сетей мы ограничиваем еще одним условием

71,-1 = &Ис<7к,-1 + П А;) при всех индексах г, кф±1 называя унитарные И-сети, обладающие таким свойством, точными (этого же рода ограничение вводил и Н. А. Вавилов в [30] при изучении гиперболической ортогональной группы). Следует оговориться, что точные сети описывают не все £>-сетевые подгруппы гиперболической унитарной группы (мы приводим в § 2 соответствующий пример); однако, каждая элементарная или надэлементарная И-сетевая подгруппа гиперболической унитарной группы соответствует однозначно определенной точной сети.

Далее в § 2 мы рассматриваем подгруппу симметрической группы Б2п> элементы которой при естественном действии на множестве сетей порядка 2п переводят каждую унитарную сеть снова в унитарную, что означает для подстановок из этой подгруппы выполнение условия

7г(-г) = —7г(г) при всех индексах. Заимствуя терминологию, употребляемую в связи с системами корней, мы называем описанную группу подстановок группой Вейля, обозначая ее В предыдущем параграфе мы говорили, что если 7г — произвольный элемент симметрической группы, а а — любая сеть соответствующего порядка, то сетевые подгруппы в И и С (с*) сопряжены в полной линейной группе с помощью моно-миальной матрицы и указывали явный вид такой матрицы. В § 2 мы отмечаем, что даже если 7г принадлежит группе Вейля, описанная в § 1 матрица р„ может и не входить в группу \](2тг, Я, А). В предложении 2.9 мы показываем, что тем не менее аналог соответствующего утверждения из предыдущего параграфа справедлив и для гиперболической унитарной группы: если о — произвольная унитарная Б-сеть порядка 2п, а 7г — любая подстановка из группы Вейля, то выполняется равенство и(а'г)=Р"1и(а)Р, для некоторой мономиальной матрицы из \](2п,Я, А); такую матрицу Рп мы выписываем в явной форме и отмечаем, что аналогичные равенства справедливы также для элементарных и надэлементарных сетевых подгрупп. Далее мы приводим описание наиболее просто устроенных (канонических) унитарных £)-сетей над простым кольцом, содержащихся в каждой орбите относительно действия группы Вейля; доказательство того, что любая орбита содержит некоторую каноническую сеть (предложение 2.10), мы опустили, поскольку оно весьма объемно и идейно практически ничем не отличается от доказательства теоремы 3 из нашей работы [49] о симплек-тической группе. Завершает § 2 небольшое, но важное для дальнейшего замечание о поведении сетевых подгрупп гиперболической унитарной группы при скэйлинге форменного кольца (предложение 2.11).

Идеологически следующий § 3 занимает центральное место во второй главе: в нем точные сети дополняются параметром, позволяющим описывать все наддиаго-нальные подгруппы гиперболической унитарной группы над телом; отметим (хотя этот вопрос в диссертации не рассматривается), что весьма правдоподобной кажется и возможность описания с помощью таких расширенных сетей решетки надциаго-нальных подгрупп группы \](2п, Я, А) для более сложно устроенных колец Я.

Если в свое время главная конгруэнцподгруппа полной линейной группы, соответствующая одному идеалу кольца, послужила для 3. И. Боревича отправной точкой при определении сети и сетевой подгруппы, то в нашей ситуации с гиперболической унитарной группой эту роль исполнило понятие форменного идеала форменного кольца, введенное Э. Баком в [117]. Напомним, что форменным идеалом форменного кольца (Я, А) называется пара (а, Г), состоящая из идеала а кольца Я, инвариантного относительно антиавтоморфизма и аддитивной подгруппы Г кольца Я, содержащейся в пересечении а П Л и содержащей все разности а — SA для аба, а также все произведения а/За при а € а и ¡3 £ Л. Не вдаваясь в подробности и ссылаясь на § 5.2D монографии [141], отметим, что каждому форменному идеалу соответствует нормальная подгруппа гиперболической унитарной группы, а это позволяет назвать форменный идеал точным аналогом обычного идеала по отношению к группе U(2п, R, Л). Сетевой аналог форменного идеала мы определяем следующим образом.

Определение. Пусть (R,Л) — форменное кольцо надRuo = (<Ту) — унитарная сеть порядка 2п. Для каждого индекса г выделим две аддитивные группы

I71 = {а - Х-^аХ1^1 | а € и rf = aiH П Л* первая из них содержится во второй), возьмем промежуточную подгруппу Г* (П71 < Tj < If) и составим из этих подгрупп столбец гЛ г= г>

VW высоты 2п. Такой столбец мы называем набором форменных сетевых параметров сети а, если для произвольных индексов i и j выполняются включения аГуЛ 2 а\ 2 < Г( при всех а 6 dy + Oij как обычно, под Sij понимается символ Кронекера). Пару (а, Г) из унитарной сети и какого-либо набора ее форменных сетевых параметров мы называем форменной сетью над форменным кольцом (R,Л).

Приводя, разумеется, несколько примеров форменных сетей (в частности, показывая, что форменный идеал в определенном смысле можно считать специальным случаем форменной сети), далее мы описываем подгруппу группы U(2n,i?,A), определяемую форменной сетью, причем используем для этого понятие характеристической суммы унитарной матрицы, введенное в первой главе: подгруппу

U(f, Г) = {а Е и(сг) | Sit-i(a) в Г» при каждом индексе г} мы называем форменной сетевой подгруппой для форменной сети (а, Г) (то, что описанное множество U (с, Г) действительно является подгруппой, мы доказываем в предложении 2.12 с использованием установленных в первой главе свойств характеристических сумм). В частном случае, когда форменная сеть соответствует форменному идеалу, ее форменная сетевая подгруппа совпадает с описываемой этим форменным идеалом нормальной подгруппой группы U(2n,R,A). Еще одним подтверждением полезности введенных понятий служит пример, приведенный в конце первой части нашей с Н. А. Вавиловым работы [35]. Говоря там о необходимости введения ограничения char R ф 2 для того, чтобы решетку надциагональных подгрупп симплектической группы над полем Я можно было описать теоремой Боревича, мы указали конкретную надциагональную подгруппу для поля характеристики 2, не укладывающуюся в рамки такого описания. Здесь мы показываем, что эта подгруппа является форменной сетевой.

Обсуждаются в § 3 и аналоги других понятий, о которых шла речь в предыдущих параграфах этой главы: поведение форменной сетевой подгруппы при скэйлинге форменного кольца, элементарная Е11(сг,Г) и надэлементарная ио(о", Г) подгруппы, соответствующие форменной £>-сети, точность форменной сети. Как и в предыдущих разделах, особое внимание мы уделяем нормализованным форменным кольцам над телами. Если для такого форменного кольца (Я, А) форменный параметр А отличен от 0, а — унитарная £>-сеть, а г — один из индексов, то форменный сетевой параметр Г,- может быть ненулевым только при а^ — Я. В этом случае Г* содержит IV Л = Г?1, а факторгруппа Ц = Г,/Тг Я может рассматриваться как подпространство пространства V — Я0/ТтЯ, о котором мы говорили в § 1 первой главы. Это значит, что задание набора форменных сетевых параметров в указанной ситуации эквивалентно заданию серии подпространств пространства V, соответствующих единичным идеалам сети, стоящим на ее побочной диагонали. В таком контексте сформулированное в определении набора форменных сетевых параметров условие имеет следующий смысл: если идеал а^ — единичный, то подпространство V; содержится в подпространстве V*. Несколько иначе можно описать также матрицы а из и(сг), входящие в форменную ^-сетевую подгруппу и (с, Г) : для них должны выполняться условия

5,--¿(а) = 0 при <71 = 0 и ^(о) е Ц при о* = Я, где под У{(а) понимается г-ый присоединенный вектор матрицы а.

В заключение § 3 мы формулируем центральную теорему работы; под Ыи(сг, Г) понимается нормализатор форменной сетевой подгруппы и (с, Г) в группе и(2п, Я, А).

Основная теорема. Пусть (Я, Л) форменное кольцо над телом Я, удовлетворяющее следующим ограничениям:

1) Я отлично от полей и Жб при Л = 0,

2) Яф¥2,¥3,¥А,¥ь,¥1,¥9,¥п при Л = Я,

3) Я ф ]Р4,19,¥25 при 0 $ Л $ Я.

Тогда для произвольного натурального числа п и для любой наддиагональной подгруппы Н группы и(2п, Я, А.) существует единственная точная форменная сеть (а, Г) порядка 2п над форменным кольцом (Я, А), удовлетворяющая включениям ио(<7,Г)<Я<Г*и(<7,Г).

Эта теорема, утверждение которой не зависит от характеристики тела, переносит, в частности, на случай полей характеристики 2 теорему 5 из нашей с Н. А. Вавиловым работы [35] о симплектической группе и теорему 2 работы [30] Н. А. Вавилова о гиперболической ортогональной группе.

В следующем § 4 мы определяем действие группы Вейля на множестве форменных сетей и проверяем (предложение 2.15), что для форменных D-сетей, принадлежащих одной орбите, соответствующие им форменные сетевые подгруппы сопряжены с помощью мономиальной унитарной матрицы, которую мы описали в § 2. Кроме того, в предложении 2.16 мы показываем, что если (с, Г) — точная форменная сеть, а матрица Рж подстановки 7Г из группы Вейля нормализует группу \](а, Г), то 7г не меняет данную форменную сеть.

Начиная с § 5 второй главы и имея в виду доказательство основной теоремы, мы ограничиваемся рассмотрением точных форменных сетей над телами и соответствующих им сетевых подгрупп. Прежде всего мы описываем систему образующих этой подгруппы.

Предложение 2.18. Для произвольной точной форменной сети (а, Г) над (R, А) группа U (с, Г) порождается следующими матрицами:

1) элементарными диагональными унитарными матрицами Di(6) при обратимых в из R-,

2) унитарными трансвекциями короткого типа Ту (а) при a G 0у для г ф ±j;

3) унитарными трансвекциями длинного типа Ti-i(^) при ¡3 G Г*;

4) элементарными симметриями Т{ при Г* = 0, если сг^ = о-ц = R.

Под элементарной симметрией Tit о которой говорится в последнем пункте сформулированного предложения, мы понимаем матрицу рж транспозиции 7Г = (г,—г), принадлежащую группе U(2n, R, А) в ситуации, когда R — поле, л — его тождественный автоморфизм и А = 1. Иными словами, образующие четвертого типа, которые заменяют отсутствующие в группе U(c, Г) нетривиальные унитарные трансвекции длинного типа и могут фигурировать в описанной системе порождающих только в тех случаях, когда \j(a, Г) содержится либо в гиперболической ортогональной группе над полем произвольной характеристики, либо в симплекти-ческой группе над полем характеристики 2. Продолжая приведенный в § 3 первой главы список соотношений между простейшими унитарными матрицами, мы указываем здесь же соотношения, связывающие элементарные диагональные матрицы и унитарные трансвекции с элементарными симметриями.

Доказательству предложения 2.18 предшествуют три вспомогательных утверждения. Первое из них (предложение 2.17) констатирует важное свойство точных форменных сетей: если для некоторого индекса i оба идеала и а^ц — единичные, а форменные сетевые параметры Г* = — нулевые, то cry = Oji = R для некоторого индекса j ф ±i. Два других утверждения (леммы 2.19 и 2.20) связаны с разложением группы и(с,Г) на двойные смежные классы по подгруппе UoO7! Г).

Для большинства точных форменных сетей подгруппа Uo(c, Г) совпадает с U(c, Г) (следствие 2.21). Если же это не так, то, как мы показываем в предложении 2.22, группа U(<7, Г) раскладывается в полупрямое произведение своей нормальной подгруппы Uoi^r) и элементарной абелевой группы мономиальных матриц Т(а, Г), порядок которой мы описываем в терминах эквивалентности, задаваемой сетью а на множестве О, (отметим, что при char R = 2 в доказательстве предложения 2.22 мы используем инвариант Диксона).

В § 6 второй главы мы рассматриваем сопряжение форменной сетевой подгруппы унитарной матрицей и при этом у нас возникает первое ограничение на размер тела R. В предложении 2.23 устанавливаются необходимые и достаточные условия, при которых подгруппа, сопряженная с форменной сетевой, содержится в другой форменной сетевой подгруппе. Как следствие этого утверждения мы получаем важный для доказательства основной теоремы критерий принадлежности унитарной матрицы нормализатору форменной сетевой подгруппы:

Предложение 2.24. Пусть (R, А) — форменное кольцо над телом R, содержащим не менее 5 элементов, (а, Г) — точная форменная сеть порядка 2п над (R, А) и а — некоторая матрица из U(2n, R, А). Для того, чтобы а принадлежала группе Nu(c,r), необходимо и достаточно выполнения при всех индексах следующих трех условий:

1) a,ik<7kia'ij < (Jif,

2) агкГка\1 < Г,;

3) <kkSk,-k(a~l)a'-k,-i 6 г,

В конце § б (предложение 2.26) мы уточняем вид матрицы, сопряжение которой переводит одну форменную сетевую подгруппу в другую, а в заключительном § 7 второй главы мы показываем (предложение 2.27), что для точной форменной сети группа Nu(cr,r) совпадает с нормализатором надэлементарной форменной сетевой подгруппы, и описываем (предложение 2.28) факторгруппу Nu(a, Г)/ио(^>Г) в терминах подстановок из группы Вейля.

Вся третья глава диссертации посвящена доказательству основной теоремы (по этой причине большинство утверждений этой главы названы леммами) и снабжена весьма длинными вычислениями. Перечислим основные этапы доказательства.

Мы начинаем с замечания, что теорему достаточно доказать только для нормализованных форменных колец над телами (соответствующая формулировка названа в тексте теоремой 3.1). В § 1 мы показываем (предложение 3.3), что для каждой надциагоналыюй подгруппы Я точная форменная сеть, удовлетворяющая заключению теоремы, может существовать только одна; доказательство основано на том, что нормализатор форменной сетевой подгруппы не может содержать больше унитарных трансвекций, чем U(f, Г) (предложение 3.2). В следующем § 2 мы строим наибольшую точную форменную сеть (с, Г), для которой Uo(c, Г) < Я, называя такую форменную сеть ассоциированной с надциагональной подгруппой Я. Собственно описание идеалов и форменных сетевых параметров просто и естественно, несколько сложнее доказать, что сконструированные объекты составляют форменную сеть.

Основная трудность состоит в доказательстве включений а/За € Г* при а € Г* и /? € Г{ — здесь мы сначала показываем, что достаточно рассматривать матрицы второго порядка над телом характеристики 2, а затем используем идею О. Кинга из второй части его замечательной работы [150].

Все последующие параграфы третьей главы — доказательство того, что для ассоциированной форменной сети справедливо включение Н < Nu(c, Г). Мы применяем индукцию по степени рассматриваемой группы, для чего, разумеется, следует прежде всего разобраться с матрицами второго порядка. Этому посвящен § 3, где в случае тривиальной инволюции на поле мы вновь используем результаты О. Кинга из его работы [150].

При доказательстве включения Я < Nu(c, Г) для групп степени > 4 мы намереваемся использовать уже цитированное во введении предложение 2.24 (критерий включения унитарной матрицы в нормализатор форменной сетевой подгруппы), показывая, что если надциагональная подгруппа содержит немономиальную матрицу, то она содержит соответствующие ей нетривиальные унитарные трансвекции. Доказательство таких включений мы начинаем с рассмотрения в § 4 матриц, у которых в некоторой строке только один (диагональный) элемент является обратимым.

Лемма 3.8. Предположим, что тело R содержит не менее четырех элементов, из которых не менее трех инвариантны относительно инволюции. Если для принадлежащей группе Н матрицы а выполняется условие arj = 0 при некотором фиксированном индексе г и любых j ф г, то й{Г £ для каждого гф±г и 5г>г(а-1) £ Гг.

Следует заметить, что рассмотрение матриц, удовлетворяющих описанному условию (матриц с почти нулевой строкой, как мы называем их в тексте диссертации), — совершенно традиционное начало работы по извлечению трансвекций в наддиаго-нальной подгруппе (сошлемся для примера на лемму 2 из [15], посвященную матрицам с почти нулевой строкой в полной линейной группе над полем). С другой стороны, в симплектической группе при рассмотрении матрицы с почти нулевой строкой ранее в работе [35] мы говорили об извлечении трансвекций только короткого типа. В известном смысле именно на утверждении леммы 3.8 об унитарных трансвекциях длинного типа базируется доказательство основной теоремы в случаях, когда форменный параметр тела не определяется обобщенной инволюцией однозначно.

В следующих двух параграфах третьей главы (эти разделы работы связаны с весьма объемными вычислениями) лемма 3.8 существенно усиливается: мы показываем, что надциагональная подгруппа содержит большое количество нетривиальных унитарных трансвекций обоих типов, если в этой подгруппе найдется такая матрица, что хотя бы один ее элемент равен нулю, а среди остальных элементов довольно много обратимых. Итогом продолжительных рассуждений § 5 и § 6 является утверждение, названное в работе основной леммой для матрицы с нулевым элементом (отметим, что для ее доказательства в § 6 существенно используется индукционное предположение о справедливости основной теоремы для групп меньшей степени):

Лемма 3.12. Если матрица а из подгруппы Я имеет хотя бы один нулевой элемент, то для произвольного индекса I справедливы включения

1) а-ца'ц € при всех г и

2) агг5/)/(а"1)а'г 4 € Г» при всех г.

В § 7, опираясь на основную лемму для матрицы с нулевым элементом, мы доказываем включение Я < N0(0", Г) для некоторых наддиагональных подгрупп, а для оставшихся сводим доказательство к поиску в Я какой-нибудь нетривиальной унитарной трансвекции короткого типа:

Предложение 3.14. Если подгруппа Я удовлетворяет хотя бы одному из следующих двух условий

1) каждая матрица из Я содержит нулевой элемент или

2) Я содержит какую-то нетривиальную унитарную трансвекцию короткого типа, то Н < N0(0-, Г).

Таким образом, далее нам предстоит доказать, что если в надциагональной подгруппе Я содержится некоторая матрица, не имеющая нулевых элементов, то в теле Я существует такой единственный форменный параметр А', что Я либо совпадает с гиперболической унитарной группой и(2п,#,А'), либо имеет в этой группе индекс 2 (последняя ситуация может реализоваться только в том случае, когда Я — подгруппа гиперболической унитарной группы над полем произвольной характеристики или подгруппа симплектической группы над полем характеристики 2).

Идею леммы 3.12 мы фактически продолжаем развивать в § 8: каждую характеристическую сумму унитарной матрицы можно считать ее обобщенным элементом, и в § 8 мы рассматриваем ситуацию, когда одна из таких сумм для не содержащей нулевых элементов матрицы равна нулю. В лемме 3.15 мы доказываем, что описанное условие на входящую в наддиагональную подгруппу Я матрицу является достаточным для включения Я < N0(0, Г) (далее подгруппы, удовлетворяющие такому включению, мы называем стандартными). Непосредственным следствием леммы 3.15 является справедливость основной теоремы для форменных колец с нулевым форменным параметром:

Предложение 3.16. Все наддиагоналъные подгруппы гиперболической ортогональной группы стандартны, если Я — поле, содержащее не менее 7 элементов.

Техника доказательства в предыдущих параграфах этой главы в большинстве случаев опирается на сопряжение некоторой элементарной диагональной унитарной матрицы при помощи матрицы, принадлежащей взятой надциагональной подгруппе, и нахождение такого обратимого параметра, от которого зависит диагональная матрица, что получающийся результат содержит нулевые элементы. Эту идею мы делаем более отчетливой в § 9, где доказываем следующее утверждение:

Лемма 3.21. Пусть а — не содержащая нулей матрица из наддиагональной подгруппы Н. Если для некоторого обратимого 9 ф 1 и некоторого индекса I матрица Ь(в) = оД(0)а-1 содержит нулевой элемент, то Н — стандартная подгруппа.

Кроме этого результата, позволяющего, в частности, не рассматривать далее над-диагональные подгруппы симплектической группы над полем характеристики ф 2 (в этой группе условие леммы 3.21 выполняется для любой матрицы а при в = — 1), § 9 содержит утверждение (предложение 3.20), означающее, что контрпример к основной теореме (если он существует) был бы весьма специфичным: такая подгруппа должна содержать матрицы только двух сортов — мономиальные и не содержащие нулевых элементов. Отметим также еще один доказанный в § 9 факт, благодаря которому действующую на теле инволюцию далее можно считать нетождественной:

Предложение 3.22. Пусть а — не содержащая нулей матрица из наддиагональной подгруппы Н. Если для фиксированного индекса I все произведения

Vi = ai,ilail принадлежат группе R0 при любых i, то подгруппа Н стандартна. В частности, если R — поле с тривиальной инволюцией, то все наддиагональные подгруппы группы U(2n, R, А) стандартны.

Используя результаты § 9, в следующем десятом параграфе мы завершаем доказательство основной теоремы в случае, когда R — поле: здесь мы опираемся на предложение 1.9, где для коммутативного случая были установлены необходимые и достаточные условия разрешимости уравнения (0.1), а также описаны сами решения такого уравнения. Если бы нам были известны аналогичные факты, касающиеся некоммутативного тела, то этим девятым параграфом мы могли бы завершить и всю работу.

Считая далее тело R некоммутативным, в § 11 мы вновь рассматриваем матрицу с нулевым обобщенным элементом, обращаясь на этот раз к представлению (0.3). Здесь мы получаем еще один признак стандартности наддиагональной подгруппы, позволяющий в дальнейшем считать, что R — некоммутативное тело характеристики 2 с инволюцией первого рода:

Лемма 3.27. Если не содержащая нулевых элементов матрица а принадлежит подгруппе Н, причем для некоторого индекса г присоединенный вектор vr(a) равен нулю, то подгруппа Н стандартна.

В следующем § 12 мы рассматриваем новую возможную особенность унитарной матрицы, связанную с ее подматрицами второго порядка. Понимая определитель матрицы с элементами из некоммутативного тела в смысле Дьедонне, мы говорим о нулевых или ненулевых минорах второго порядка аш = üik аа jk ají для произвольной четверки индексов i,j,k,l и устанавливаем новый критерий стандартности наддиагональной подгруппы:

Лемма 3.32. Если наддиагоналъная подгруппа Н содержит матрицу а, все элементы которой обратимы, причем для некоторой четверки индексов гф±] икф1 минор А^-(о) равен нулю, то Н — стандартная подгруппа.

Далее в § 13 мы устанавливаем аналог леммы 3.32 в связи с представлением (0.3) унитарной матрицы. При этом для матрицы а, не содержащей нулевых элементов, мы вводим понятие ее псевдоминора, понимая под ним вектор

А?» = %Ч(а) - а^(а).

С использованием этого нового понятия мы формулируем и доказываем последнюю лемму третьей главы:

Лемма 3.34. Подгруппа Н стандартна, если ей принадлежит такая не содержащая нулевых элементов матрица а, что для некоторых индексов г ф ±] псевдоминор А"-1 (а) равен нулю.

Доказательство основной теоремы завершается в § 14, где используются и лемма 3.34, и ранее установленные признаки стандартности надциагональной подгруппы. Довольно длинные вычисления, используемые в § 14, несколько облегчены тем, что характеристика рассматриваемого тела предполагается равной 2. В последнем § 15 третьей главы мы объясняем, почему ограничения на форменные кольца в формулировке теоремы не могут быть ослаблены, и приводим соответствующие контрпримеры.

Все полученные в диссертации результаты опубликованы. Содержательная часть первой главы представлена в публикациях [50, 52, 55, 56, 58]. Результаты второй главы отражены в работах [49, 51, 53, 52, 55, 58]. Доказательство основной теоремы, составляющее третью главу, изложено в [54, 55] для коммутативного случая, а в [56, 57, 58] — для произвольного некоммутативного тела.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Дыбкова, Елизавета Владимировна, 2006 год

1. Э. Артин, Геометрическая алгебра. — М., Наука, 1969.

2. М. С. Ба, 3. И. Боревич, О расположении промежуточных подгрупп. — Кольца и линейные группы, Краснодар, Кубанский гос. ун-т, 1988,14-41.

3. X. Басс, Алгебраическая K-теория. — М., Мир, 1973.

4. Е. Л. Башкиров, Линейные группы, содержащие специальную унитарную группу ненулевого индекса. — Вести Акад. Наук БССР, Сер. Физ.-мат. наук, 1985, № 5, 122-123.

5. Е. Л. Башкиров, Линейные группы, содержащие симплектическую группу. — Вести Акад. Наук БССР, Сер. Физ.-мат. наук, 1987, № 3, 116-117.

6. Е. Л. Башкиров, Линейные группы, содержащие группу Spп(к) над полем характеристики 2. — Вести Акад. Наук БССР, Сер. Физ.-мат. наук, 1991, JV® 4, 21-26.

7. Е. Л. Башкиров, Линейные группы, содержащие коммутант ортогональной группы индекса большего 1. — Сиб. мат. журн., 33:5 (1992), 754-759.

8. Е. Л. Башкиров, О подгруппах полной линейной группы над телом кватернионов, содержащих специальную унитарную группу. — Сиб. мат. журн., 39:6 (1998), 1251-1266.

9. Е. Л. Башкиров, Подгруппы полной линейной группы степени 4 над телом кватернионов, содержащие унитарную группу индекса 1. — Алгебра и анализ, 13:3 (2001), 18-42.

10. Е. Л. Башкиров, Группа Spin8 и некоторые подгруппы унитарной группы степени 4 над телом кватернионов. — Алгебра и анализ, 13:3 (2001), 43-64.

11. А. А. Бондаренко, Расположение подгрупп, содержащих неразветвленный квадратичный тор, в полной линейной группе степени 2 над локальным числовым полем. Зап. научн.семин. ПОМИ, 211 (1994), 67-79; 80-90.

12. А. Борель, Линейные алгебраические группы. — М., Мир, 1972.

13. А. Борель, Ж. Тите, Редуктивные группы. — Математика. Периодич. сб. перев. иностр. статей, 11:1 (1967), 43-111; 11:2, 3-31.

14. Н. Бурбаки, Группы и алгебры Ли. Гл. 4-6. — М., Мир, 1972.

15. Н. А. Вавилов, О подгруппах полной линейной группы над полулокальным кольцом, содержащих группу диагональных матриц. — Вестник Ленингр. унта, 1981,№ 1, 10-15.

16. Н. А. Вавилов, О подгруппах унитарной группы над полулокальным кольцом. Успехи мат. наук, 37:4 (1982), 147-148.

17. Н. А. Вавилов, Параболические подгруппы групп Шевалле над коммутативным кольцом. Зап. научн.семин. ЛОМИ, 116 (1982), 20-43.

18. Н. А. Вавилов, О подгруппах специальной линейной группы, содержащих группу диагональных матриц. 1-У. — Вестник Ленингр. ун-та, Сер. 1,1985, № 4,3-7; 1986, № 2, 10-15; 1987, № 2, 3-8; 1988, № 3, 10-15; 1993, № 2,10-15.

19. Н. А. Вавилов, О подгруппах расщепимых ортогональных групп. I, II — Сиб. мат. журн. 29:3 (1988), 12-25; Зап. научн. семин. ПОМИ, 265 (1999), 42-63.

20. Н. А. Вавилов, Линейные группы, порожденные однопараметрическими группами одномерных преобразований. — Успехи мат. наук, 34:1 (1989), 189-190.

21. Н. А. Вавилов, О подгруппах расщепимых классических групп. — Тр. МИАН СССР, 183 (1990), 29-41.

22. Н. А. Вавилов, Подгруппы групп Шевалле, содержащие максимальный тор. — Тр. Ленингр. Мат. Об-ва, 1 (1990), 64-109.

23. Н. А. Вавилов, О подгруппах спинорной группы, содержащих расщепимый максимальный тор. I, II. Зап. научн.семин. ПОМИ, 191 (1991), 49-75; 289 (2002), 37-56.

24. Н. А. Вавилов, Е. В. Дыбкова, Подгруппы полной симплектической группы, содержащие группу диагональных матриц. I, II — Зап. научн.семин. ЛОМИ, 103 (1980), 31-47; 132 (1983), 44-56.

25. Н. А. Вавилов, В. А. Петров, О надгруппах ЕО(21,Я). — Зап. научн.семин. ПОМИ, 272 (2000), 68-85.

26. Н. А. Вавилов, В. А. Петров, О надгруппах Ер(2/, К). — Алгебра и анализ, 15:4 (2003), 72-114.

27. Л. Н. Васерштейн, Стабилизация для классических групп над кольцом. — Ма-тем. сб., 93:2 (1974), 268-295.

28. Л. Н. Васерштейн, А. В. Михалев, О нормальных подгруппах ортогональной группы над кольцом с инволюцией. — Алгебра и логика (Новосибирск), 9:6 (1970), 629-632.

29. А. Вейль, Алгебры с инволюцией и классические группы. — Математика. Пе-риодич. сб. перев. иностр. статей, 7:4 (1963), 31-56.

30. И. 3. Голубчик, О полной линейной группе над ассоциативным кольцом. — Успехи мат. наук, 28:3 (1973), 179-180.

31. И. 3. Голубчик, О нормальных делителях ортогональной группы над ассоциативным кольцом с инволюцией. — Успехи мат. наук, 30:6 (1975), 165.

32. И. 3. Голубчик, О подгруппах полной линейной группы СЬ„(Л) над ассоциативным кольцом К — Успехи мат. наук, 39:1 (1984), 125-126.

33. И. 3. Голубчик, О нормальных делителях линейной и унитарной групп над ассоциативным кольцом. — Пространства над алгебрами и некот. вопросы теории сетей. Уфа, 1985, 122-142.

34. И. 3. Голубчик, А. В. Михалев, Изоморфизмы полной линейной группы над ассоциативным кольцом. — Вестник МГУ, Мат., мех., 1983, № 3, 61-72.

35. И. 3. Голубчик, А. В. Михалев, Изоморфизмы унитарных групп над ассоциативным кольцом. — Зап. научн.семин. ЛОМИ, 132 (1983), 97-109.

36. Н. Л. Гордеев, Конечные линейные группы, алгебра инвариантов которых — полное пересечение. — Изв. АН СССР, Сер. Матем., 50:2 (1986), 343-392.

37. Е. В. Дыбкова, О некоторых конгруэнцподгруппах симплектической группы. Зап. научн.семин. ЛОМИ, 64 (1976), 80-91.

38. Е. В. Дыбкова, Индекс сетевой подгруппы в симплектической группе над де-декиндовым кольцом. — Зап. научн.семин. ЛОМИ, 75 (1978), 74-86.

39. Е. В. Дыбкова, О подгруппах унитарной гиперболической группы над полем характеристики ф 2. — Междунар. конф. памяти Д.К.Фаддеева. СПб, 1997. Тез. докл., 193-194.

40. Е. В. Дыбкова, Определение форменной сетевой подгруппы в унитарной гиперболической группе. — Междунар. конф. памяти Д.К.Фаддеева. СПб, 1997. Тез. докл., 195-196.

41. Е. В. Дыбкова, О сетевых подгруппах в гиперболической унитарной группе. — Алгебра и анализ, 9:4 (1997), 79-86.

42. Е. В. Дыбкова, О сопряженности сетевых подгрупп в гиперболической унитарной группе над полем. — Вестник С.-Петербург, ун-та, Сер.1,1997, № 22,10-12.

43. Е. В. Дыбкова, Наддиагональные подгруппы гиперболической унитарной группы для хорошего форменного кольца над полем. — Зап. научн.семин. ПОМИ, 236 (1997), 87-96.

44. Е. В. Дыбкова, Форменные сети и решетка наддиагональных подгрупп симплектической группы над полем характеристики 2. — Алгебра и анализ, 10:4 (1998), 113-129.

45. Е. В. Дыбкова, О наддиагональных подгруппах гиперболической унитарной группы над некоммутативным телом. — Зап. научн.семин. ПОМИ, 289 (2002), 154-206.

46. Е. В. Дыбкова, Наддиагональные подгруппы гиперболической унитарной группы для хорошего форменного кольца над некоммутативным телом. — Зап. научн.семин. ПОМИ, 305 (2003), 121-135.

47. Е. В. Дыбкова, Теорема Боревича для гиперболической унитарной группы над некоммутативным телом. — Зап. научн.семин. ПОМИ, 321 (2005), 136-167.

48. Ж. Дьедонне, Геометрия классических групп. — М., Мир, 1974.

49. А. Е. Залесский, Линейные группы. — Успехи мат. наук, 36:5 (1981), 57-107.

50. А. Е. Залесский, Линейные группы. — Итоги науки. Алгебра, геометрия, топология, 21 (1983), 135-182.

51. А. Е. Залесский, Линейные группы. — Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления, 37 (1989), 114-228.

52. А. Е. Залесский, В. Н. Сережкин, Линейные группы, порожденные трансвек-циями. Изв. АН СССР, Сер. Матем., 40:1 (1976), 26-49.

53. А. Е. Залесский, В. Н. Сережкин, Линейные группы, порожденные псевдоотражениями; — Изв. АН БССР, Сер. физ.-мат.н., 5 (1977), 9-16.

54. А. Е. Залесский, В. Н. Сережкин, Конечные линейные группы, порожденные отражениями. Изв. АН СССР, Сер. Матем., 44:6 (1980), 1279-1307.

55. Е. И. Зельманов, Изоморфизмы линейных групп над ассоциативным кольцом. Сиб. мат. журн., 26:4 (1985), 49-67.

56. И. С. Клейн, А. В. Михалев, Ортогональная группа Стейнберга над кольцом с инволюцией. — Алгебра и логика (Новосибирск), 9:2 (1970), 145-166.

57. И. С. Клейн, А. В. Михалев, Унитарная группа Стейнберга над кольцом с инволюцией. — Алгебра и логика (Новосибирск), 9:5 (1970), 510-519.

58. В. А. Койбаев, Примеры немономиальных линейных групп без трансвекций. — Зап. научн.семин. ЛОМИ, 71 (1977), 153-154.

59. В. А. Койбаев, Подгруппы полной линейной группы над полем из четырех элементов. — Алгебра и теория чисел, Нальчик, 1979, вып. 4, 21-31.

60. В. А. Койбаев, Описание .О-полных подгрупп в полной линейной группе над полем из трех элементов. — Зап. научн.семин. ЛОМИ, 103 (1980), 76-78.

61. В. А. Койбаев, Подгруппы полной линейной группы над полем из трех элементов. — Структурные свойства алгебраических систем, Нальчик, Кабардино-Балкарский ун-т, 1981, 56-68.

62. В. А. Койбаев, О подгруппах полной линейной группы, содержащих группу элементарных клеточно-диагональных матриц. — Вестник Ленингр. ун-та, 1982, № 13, 33-40.

63. В. А. Койбаев, Подгруппы ортогональной группы над конечным полем, содержащие группу диагональных матриц. — Кольца и матричные группы, Орджоникидзе, Северо-Осетинский ун-т, 1984, 57-76.

64. В. А. Койбаев, Подгруппы специальной линейной группы над полем из пяти элементов, содержащие группу диагональных матриц. — IX Всесоюзн. симпозиум по теории групп. Тезисы докл. М., 1984, 210-211.

65. В. А. Койбаев, Подгруппы специальной линейной группы над полем из четырех элементов, содержащие группу диагональных матриц. — XVIII Всесоюзн. алгебр, конф. Тезисы докл. Кишинев, 1985, 264.

66. В. А. Койбаев, Подгруппы группы СЬ(2,<0>), содержащие нерасщепимый максимальный тор. Докл. АН СССР, 312:1 (1990), 36-38.

67. В. А. Койбаев, Подгруппы группы СЬ(2, к), содержащие нерасщепимый максимальный тор. — Зап. научн.семин. ПОМИ, 211 (1994), 136-145.

68. П. Кон, Свободные кольца и их связи. — М., Мир, 1975.

69. А. С. Кондратьев, Подгруппы конечных групп Шевалле. — Успехи мат. наук, 41:1 (1986), 57-96.

70. А. В. Корлюков, Линейные группы, порожденные двумерными элементами порядка г > 5. — Вестник МГУ, Сер. Мат., мех., 1983, № 5, 19-32.

71. С. Л. Крупецкий, Подгруппы ортогональной группы, содержащие группу клеточно-диагональных матриц. — Зап. научн.семин. ЛОМИ, 94 (1979), 73-80.

72. С. Л. Крупецкий, О подгруппах унитарной группы над локальным полем. — Зап. научн.семин. ЛОМИ, 94 (1979), 81-103.

73. С. Л. Крупецкий, О некоторых подгруппах унитарной группы над квадратичным расширением упорядоченного евклидова поля. — Алгебра и теория чисел, Нальчик, 1979, вып.4, 39-48.

74. С. Л. Крупецкий, О подгруппах унитарной группы над диадическим локальным полем. — Зап. научн.семин. ЛОМИ, 103 (1980), 79-89.

75. С. Л. Крупецкий, Промежуточные подгруппы в унитарной группе над телом кватернионов. — Зап. научн.семин. ЛОМИ, 116 (1982), 96-101.

76. С. Л. Крупецкий, Промежуточные подгруппы унитарной группы над р-адическим телом кватернионов. — Кольца и матричные группы, Орджоникидзе, Северо-Осетинский ун-т, 1984, 77-83.

77. С. Л. Крупецкий, О подгруппах унитарной группы над телом кватернионов, содержащих максимальный тор. — Кольца и модули. Предельные теоремы теории вероятностей. Вып.1. Л., 1986, 103-115.

78. С. Л. Крупецкий, Промежуточные подгруппы вещественной изотропной ортогональной группы. — Кольца и линейные группы, Краснодар, Кубанский гос. ун-т, 1988, 54-59.

79. С. Л. Крупецкий, В. Н. Шокуев, Подгруппы конечной унитарной группы, содержащие диагональ — Структурные свойства алгебраических систем, Нальчик, Кабардино-Балкарский ун-т, 1981, 69-79.

80. М. Маркус, X. Минк, Обзор по теории матриц и матричных неравенств. — М., Наука, 1972.

81. Ю. И. Мерзляков, Линейные группы. — В сб. Итоги науки. ВИНИТИ. Алгебра. Топология. Геометрия. 16 (1978), 35-89.

82. Дж. Милнор, Введение в алгебраическую К-теорию. — М., Мир, 1974.

83. Я. Н. Нужин, О подгруппах, лежащих между группами Шевалле над различными кольцами. — Краснояр. политехи, ин-т. Красноярск, 1984. 6 с. (Рукопись деп. в ВИНИТИ 5 дек. 1984 г., № 7764-84Деп)

84. В. А. Петров, Нечетные унитарные группы. — Зап. научн.семин. ПОМИ, 305 (2003), 195-225.

85. Н. С. Романовский, Подгруппы, лежащие между специальными линейными группами над кольцом и его подкольцом. — Мат. заметки, 6:3 (1969), 335-345.

86. Н. С. Романовский, О подгруппах общей и специальной линейных групп над кольцом. — Мат. заметки, 9:6 (1971), 699-708.

87. В. Н. Сережкин, Группы отражений над конечным полем характеристики р > 5. Докл. АН СССР, 227:3 (1976), 574-575.

88. Р. Стейнберг, Лекции о группах Шевалле. — М., Мир, 1975.

89. А. В. Степанов, Описание подгрупп полной линейной группы над кольцом при помощи условий стабильности. — Кольца и линейные группы, Краснодар, Кубанский гос. ун-т, 1988, 82-91.

90. А. В. Степанов, О расположении подгрупп, нормализуемых фиксированной. — Зап. научн. семин. ПОМИ, 198 (1991), 92-102.

91. А. В. Степанов, О нормальном строении полной линейной группы над кольцом. Зап. научн. семин. ПОМИ, 236 (1997), 166-182.

92. Д. А. Супруненко, Группы матриц. — М., Наука, 1972.

93. А. А. Суслин, О структуре специальной линейной группы над кольцами многочленов. Изв. АН СССР, Сер. Матем., 41:2 (1977), 235-252.

94. Е. А. Филиппова, О подгруппах спинорной группы, содержащих расщепимый максимальный тор. III. — Зап. научн.семин. ПОМИ, 289 (2002), 287-299.

95. Б. С. Хай, О расположении подгрупп в специальной линейной группе над телом с бесконечным центром. — Зап. научн. семин. ЛОМИ, 175 (1989), 5-11.

96. Б. С. Хай, Подгруппы специальной линейной группы над телом, содержащие группу диагональных матриц. — Зап. научн. семин. ПОМИ, 211 (1994), 91-103.

97. И. Хамдан, О подгруппах специальной линейной группы над локальным кольцом главных идеалов. — Кольца и линейные группы, Краснодар, Кубанский гос. ун-т, 1988,119-126.

98. Дж. Хамфри, Линейные алгебраические группы. — М. Наука, 1980.

99. А. И. Шкуратский, О подгруппах симплектической группы над полем частных евклидова кольца. — Алгебра и логика (Новосибирск), 23:5 (1984), 578-596.

100. Р. А. Шмидт, О подгруппах полной линейной группы над полем частных кольца главных идеалов. — Зап. научн. семин. ЛОМИ, 86 (1979), 185-187.

101. Р. А. Шмидт, О подгруппах полной линейной группы над полем частных деде-киндова кольца. — Зап. научн. семин. ЛОМИ, 94 (1979), 119-130.

102. Р. А. Шмидт, О подгруппах полной линейной группы над полем частных кольца Безу. — Структурные свойства алгебраических систем, Нальчик, Кабардино-Балкарский ун-т, 1981, 133-135.

103. Е. Abe, Normal subgroups of Chevalley groups over commutative rings. — Contemp. Math., 83 (1989),1-17.

104. M. Aschbacher, On the maximal subgroups of the finite classical groups. — Invent. Math., 76:3 (1984), 469-514.

105. A. Bak, On modules with quadratic forms. — Lecture Notes Math., 108 (1969), Springer, Berlin et al., 55-66.

106. A. Bak, K-theory of forms. — Ann. Math. Stud., 98 (1981), Princeton Univ. Press, Princeton, N.Y.

107. A. Bak, V. Petrov, G. Tang, Stability for quadratic Къ K-Theory, 28:1 (2003), 1-11.

108. A. Bak, G. Tang, Stability for Hermitian Kx. J. Pure Appl. Algebra, 150 (2000), 107-121.

109. A. Bak, N. Vavilov, Structure of hyperbolic unitary groups I. Elementary subgroups. Algebra Colloq. 7:2 (2000), 159-196.

110. H. Bass, Unitary algebraic K-theory. Lecture Notes Math., 343 (1973), 57-265.

111. F. Bruhat, J. Tits, Groupes réductifs sur un corps local. I. — Publ. Math. I.H.E.S., 41 (1972), 5-251.

112. R. Carter, Simple groups of Lie type. — Wiley, London et al., 1972.

113. C. Chevalley, Invariants of finite groups generated by reflections, — Amer. J. Math., 77 (1955), 778-782.

114. A. M. Cohen, Finite complex reflection groups. — Ann. sci. Ec. Norm. Sup., 4 serie, 9 (1976), 379-436.

115. A. M. Cohen, H. Cuypers, H. Sterk, Linear groups generated by reflection tori. — Canad. J. Math., 51:6 (1999), 1149-1174.

116. P. M. Cohn, The range of derivations on a skew field and the equation ax~xb = c. J. Indian Math. Soc., 37 (1973), 61-69.

117. P. M. Cohn, Skew fields with involution having only one unitary element. — Result, d. Math., 2 (1979), 119-123.

118. P. M. Cohn, Skew fields. Theory of general division rings. — Encyclopedia of Mathematics and its Applications. 57. Cambridge University Press, Cambridge, 1995.

119. B. N. Cooperstein, Subgroups of exeptional groups of Lie type generated by long root elements. J. Algebra, 70:1 (1981), 270-298.

120. D. Costa, D. Keller, Radix redux: normal subgroups of symplectic groups. — J. reine angew. Math., 427 (1992), 51-105.

121. H. S. M. Coxeter, Discrete groups generated by reflections. — Ann. Math., 35 (1934), 588-621.

122. L. E. Dickson, Linear groups with an exposition of the Galois field theory. — Teub-ner, Leipzig, 1901.

123. J. Dieudonné, Sur les groupes classiques. — Actualités Scientifiques et Industrielles, 1040, Paris, Hermann, 1948.

124. J. Dieudonné, On the structure of unitary groups. — Trans. Amer. Math. Soc. 72 (1952), 367-385.

125. J. D. Dixon, The structure of linear groups. — London, Van Nostrand, 1971.

126. D. Z. Djokovic, Subgroups of compact Lie groups containing a maximal torus are closed. Proc. Amer. Math. Soc., 83:2 (1981), 431-432.

127. R. H. Dye, Interrelations of symplectic and orthogonal groups in characteristic two.- J. Algebra, 59:1 (1979), 202-221.

128. R. H. Dye, On the maximality of the orthogonal groups in the symplectic groups in characteristic two. — Math. Z., 172:3 (1980), 203-212.

129. R. H. Dye, Spreads and classes of maximal subgroups of GLn(q), SLn(q), PGLn(g) and PSLn(q). — Preprint Univ. Newcastle-upon-Tyne, 1987.

130. A. J. Hahn, 0. T. O'Meara, The classical groups and K-theory. — Springer, Berlin et al., 1989.

131. I. N. Herstein, Rings with involution. — The University of Chicago Press, Chicago, Ill.-London, 1976, Chicago Lectures in Mathematics.

132. W. C. Huffman D. B. Wales, Linear groups containing an involution with two eigenvalues. I. J. Algebra, 45 (1977), 465-515.

133. R. E. Johnson, The equation x« = 7X + P over an algebraic division ring. — Bull. Amer. Math. Soc., 50 (1944), 202-207.

134. W. M. Kantor, Subgroups of classical groups generated by long root elements. — Trans. Amer. Math. Soc., 248:2 (1979), 347-379.

135. W. M. Kantor, Linear groups containing a Singer cycle. — J. Algebra, 62:1 (1980), 232-234.

136. W. M. Kantor, Generation of linear groups. — The geometric Vein: Coxeter Festschrift, Springer, Berlin et al., 1981, 497-509.

137. O. King, On subgroups of the special linear group containing the special orthogonal group. J. Algebra, 96:1 (1985), 178-193.

138. O. King, On subgroups of the special linear group containing the special unitary group. Geom. Dedic., 19:3 (1985), 297-310.

139. O. King, Subgroups of the special linear group containing the diagonal subgroup.- J. Algebra, 132 (1990), 198-204.

140. O. King, On the subgroup structure of the symplectic group in characteristic two.- J. London Math.Soc., 43:2 (1991), 91-95.

141. O. King, The subgroup structure of classical groups. — Contemp. Math., 131:1 (1992), 209-215.

142. P. Kleidman, M. W. Liebeck, The subgroup structure of the finite classical groups.- Cambridge Univ. Press, 1990.

143. W. Klingenberg, Lineare Gruppen uber lokalen Ringen. — Amer. J. Math., 83:1 (1961), 137-153.

144. W. Klingenberg, E. Witt, Uber die Arfsche Invariante quadratischer Formen mod 2. J. reine angew. Math., 193 (1954), 121-122.

145. M. A. Knus, A. Merkurjev, M. Rost, J. R Tignol, The book of involutions. — Coll. Publ. Amer. Math. Soc. 44,1998.

146. L. Lawrence, G. E. Simons, Equations in division rings — a survey. — Amer. Math. Monthly 96 (1989), 220-232.

147. F. Li, The structure of symplectic groups over arbitrary commutative rings. — Acta Math. Sinica (New Ser.), 3:3 (1987), 247-255.

148. F. Li, The structure of orthogonal groups over arbitrary commutative rings. — Chin. Ann. Math., 10B:3 (1989), 341-350.

149. Sh. Li, Overgroups in GL(nr, F) of certain subgroups of SL(n, K). I. — J. Algebra, 125:1 (1989), 215-235.

150. Sh. Li, The maximality of monomial subgroups of linear groups over division rings. J. Algebra, 127:1 (1989), 22-39.

151. Sh. Li, Overgroups of SU(n, K, f) or K, f) in GL(n, K). Geom. Dedic., 33:3 (1990), 241-250.

152. Sh. Li, A new type of classical groups over skew-fields of characteristic 2. — J. Algebra, 138 (1991), 399-419.

153. Sh. Li, Overgroups in GL(n, F) of a classical group over a subfield of F. — J. Algebra, 149:2 (1992), 275-286.

154. Sh. Li, Overgroups of a unitary group in GL(2,K). — Algebra Colloq., 1:4 (1994), 335-346.

155. Sh. Li, Z. Wei, Overgroups of a symplectic group in a linear group over a Euclidean ring. J. Univ. Science and Technology of China, 32 (2002), № 2 (130), 127-134.

156. M. W. Liebeck, G. M. Seitz, Subgroups generated by root elements in groups of Lie type. Ann. Math., 139:2 (1994), 293-361.

157. K. McCrimmon, A general theory of Jordan rings. — Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 56 (1966), 1072-1079.

158. J. McLaughlin, Some groups generated by transvections. — Arch. Math., 18:4 (1967), 364-368.

159. M. Newman, Integral matrices. — New York and London, 1972.

160. W. M. Pender, Classical groups over division rings of characteristic two. — Bull. Austral. Math. Soc. 7 (1972), 191-226.

161. V. Petrov, Overgroups of unitary groups. — K-Theory, 29 (2003), 147-174.

162. V. P. Platonov, Subgroups of algebraic groups over local or global fields containing a maximal torus. C. R. Acad. Sci. Paris, 318:10 (1994), 899-903.

163. H. Pollatsek, Irreducible groups generated by transvections over finite fields of characteristic two. J. Algebra, 39:1 (1976), 328-333.

164. E. A. M. Seip-Hornix, Clifford algebras of quaternion forms. I, II. K. Nederl. Akad. Wetensch. Proc., Ser. A 68 (1965), 326-344; 345-363.

165. G. M. Seitz, Subgroups of finite groups of Lie type. J. Algebra, 61:1 (1979), 16-27.

166. G. M. Seitz, On the subgroup structure of classical groups. — Comm. Algebra, 10:8 (1982), 875-885.

167. G. M. Seitz, The root subgroups for maximal tori in finite groups of Lie type. — Pacific J. Math., 106:1 (1983), 153-244.

168. G. C. Shephard, J. A. Todd, Finite unitary reflection groups. — Canad. J. Math., 6 (1954), 274-304.

169. T. A. Springer, Note on quadratic forms in characteristic 2. — Nieuw Archief voor Wiskunde (3), 10 (1962), 1-10.

170. A. I. Steinbach, Subgroups of classical groups generated by transvections or Siegel transvections. Geom. Dedic., 68:3 (1997), 281-322; 323-357.

171. R. Steinberg, Générateurs, relations et revêtements des groupes algébriques. Col-loq. sur la théorie des groupes algébriques. Bruxelles. 1962, 113-127.

172. A. Stepanov, Non-standard subgroups between En(-<4) and GLn(A). — Algebra Col-loq., 11:3 (2004), 321-334.

173. A. V. Stepanov, N. A. Vavilov, Decomposition of transvections: a theme with variations. K-Theory, 19:2 (2000), 109-153.

174. K. Suzuki, On parabolic subgroups of Chevalley groups over commutative rings. — Sci. Repts Tokyo Kyoiku Daigaku, A13, № 366-382 (1977), 225-232.

175. J. G. Thompson, Quadratic pairs. — Proc. Intern. Congr. Mat. (Nice, 1970) Gantier-Villards. Paris. 1 (1971), 375-376.

176. F. G. Timmesfeld, Groups generated by /c-transvections. — Invent. Math., 100 (1990), 167-206.

177. F. G. Timmesfeld, Groups generated by fc-root subgroups: a survey. — Proc. Conf. Groups, combinatorics and geometry (Durham-1990), Cambridge Univ. Press, 1992, 183-204.

178. F. G. Timmesfeld, Abstact root subgroups and quadratic action. With an appendix by A. E. Zalesskii. Adv. Math., 142:1 (1999), 1-150.

179. J. Tits, Sur certaines classes d'espaces homogènes de groupes de Lie. — Mem. Acad. Roy. Belg., 29 (3) (1955).

180. J. Tits, Théorème de Bruhat et sous-groupes paraboliques. — C. R. Acad. Sci. Paris, 254:16 (1962), 2910-2912.

181. J. Tits, Formes quadratiques, groupes ortogonaux et algèbres de Clifford. — Invent. Math., 5 (1968), 19-41.

182. L. N. Vaserstein, On normal subgroups of GLn over a ring. — Lecture Notes Math., 854 (1981), 456-465.

183. L. N. Vaserstein, Normal subgroups of orthogonal groups over commutative rings.- Amer. J. Math., 110:5 (1988), 955-973.

184. L. N. Vaserstein, Normal subgroups of symplectic groups over rings. — K-Theory, 2:5 (1989), 647-673.

185. L. N. Vaserstein, Normal subgroups of classical groups over rings and gauge groups.- Contemp. Math., 83 (1989), 451-459.

186. N. A. Vavilov, On subgroups of split orthogonal groups in even dimensions. — Bull. Acad. pol. sci., Sér. sci. math., 29:9-10 (1981), 425-429.

187. N. A. Vavilov, Structure of Chevalley groups over commutative rings. — Proc. Conf. Non-associative algebras and related topics (Hirosima-1990), World Sci. Publ., Singapore et al., 1991, 219-335.

188. N. A. Vavilov, Intermediate subgroups in Chevalley groups. — Proc. Conf. Groups of Lie type and their geometries (Como-1993), Cambridge Univ. Press, 1995, 233-280.

189. N. A. Vavilov, Geometry of 1-tori in GL„. Preprint Univ. Bielefeld, 8 (1995), 1-21.

190. N. A. Vavilov, Subgroups of SL„ over a semilocal ring. — Preprint Univ. Bielefeld, 11 (1998), 1-13.

191. A. Wagner, Groups generated by elations. — Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 41 (1974), 190-205.

192. C. T. C. Wall, On the axiomatic foundations of the theory of Hermitian formes. — Proc. Cambr. Phil. Soc., 67 (1970), 243-250.

193. B. A. F. Wehrfritz, Infinite linear groups. An account of the group-theoretic properties of infinite groups of matrices. — Berlin et al., Springer,XIV (1973).

194. J. S. Wilson, The normal and subnormal structure of general linear groups. — Proc. Cambr. Phil. Soc., 71:2 (1972), 163-177.

195. H. You, Overgroups of symplectic group in linear group over commutative rings. — J. Algebra, 282:1 (2004), 23-32.