Полиномиальные и рациональные аппроксимации относительно знакочувствительных весов и Ф-метрик Орлича тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, доктор физико-математических наук Рамазанов, Абдул-Рашид Кехриманович

• Рамазанов, Абдул-Рашид Кехриманович
• доктор физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Рамазанов, Абдул-Рашид Кехриманович

Содержание

ВВЕДЕНИЕ

1 ЗНАКОЧУВСТВИТЕЛЬНЫЕ АППРОКСИМАЦИИ С

НЕПРЕРЫВНЫМ ВЕСОМ

1.1 Модуль непрерывности относительно р-нормы

1.2 Первая обобщенная теорема Джексона об аппроксимациях со знакочувствительным весом и ее неулучшаемость

1.3 Неравенство типа С.Н.Бернштейна для производных полиномов

1.4 Обратная теорема для полиномиальных приближений

1.5 Рациональная аппроксимация функции sign® со знакочувствительным весом

1.6 Рациональные знакочувствительные аппроксимации и глобальные свойства функций. Обобщения неравенства

Е.П.Долженко об оценке вариации рациональной функции 60 2 ЗНАКОЧУВСТВИТЕЛЬНЫЕ АППРОКСИМАЦИИ С

ОГРАНИЧЕННЫМ ВЕСОМ

2.1 К теореме о разделении полунепрерывных функций непрерывными. Оценка модуля непрерывности разделяющей функции

2.2 О полиномиальной аппроксимируемости ограниченных функций со знакочувствительным весом

2.3 Еще одно определение модуля непрерывности относительно знакочувствительного веса

2.4 Операторы сглаживания ограниченных функций в р-норме. Вторая обобщенная теорема Джексона о знако-чувствительных аппроксимациях

2.5 Оценка свободы системы "Ограниченный знакочувст-вительный вес — Тригонометрические полиномы порядка не выше п"

2.6 Неравенства С.Б.Стечкина - П.Л.Ульянова для норм алгебраических и тригонометрических полиномов

2.7 Обратная теорема типа С.Б.Стечкина для полиномиальных приближений со знакочувствительным весом

3 ПОЛИНОМЫ, ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СО ЗНАКОЧУВСТВИТЕЛЬНЫМ ВЕСОМ

3.1 Несимметричное скалярное произведение

3.2 Существование систем ортогональных справа и ортогональных слева полиномов

3.3 Коэффициенты Фурье, их свойства. Обобщенная теорема Ф.Рисса - Э.Фишера

3.4 О полноте и замкнутости несимметрично ортогональной системы. Скорость сходимости частных сумм Фурье

3.5 Нули несимметрично ортогональных полиномов. Квадратурные формулы типа Гаусса

4 АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ ОТНОСИТЕЛЬНО Ф-ВАРИАЦИЙ

4.1 Метрика Ф-вариаций и модуль Ф-абсолютной непрерывности

4.2 Приближение кусочно монотонными функциями. Основные леммы

4.3 Приближение полиномами. Аналог теоремы Джексона

4.4 Р ациональные аппроксимации выпуклых функций и функций с конечной жордановой вариацией

4.5 Рациональные аппроксимации классов функций

4.6 О минимальных условиях на наименьшие рациональные уклонения для Ф-абсолютной непрерывности приближаемой функции

4.7 Оценки ег-энтропии двух классов Ф-абсолютно непрерывных функций

5 АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ В ИНТЕГРАЛЬНЫХ МЕТРИКАХ ОРЛИЧА

5.1 Слабая асимптотика для наименьших рациональных уклонений функции sign х в метриках Орлича

5.2 Рациональная аппроксимация функций конечной жор-дановой вариации в метриках Орлича

5.3 Рациональные аппроксимации ограниченных функций 193 ЛИТЕРАТУРА

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Полиномиальные и рациональные аппроксимации относительно знакочувствительных весов и Ф-метрик Орлича»

ВВЕДЕНИЕ

Работа посвящена развитию нового направления теории приближения — аппроксимациям со знакочувствительным весом (когда учитывается не только модуль ошибки приближения, но и ее знак):

- получены необходимые и достаточные условия полиномиальной аппроксимируемости функции;

- найдены аналоги важнейших прямых и обратных теорем теории приближения функций полиномами и рациональными дробями;

- построены системы полиномов, ортогональных со знакочувствительным весом, и изучены их общие свойства (ряды Фурье, квадратурные формулы и др.).

В работе получены также прямые теоремы теории приближения функций действительного переменного посредством полиномов и рациональных дробей в метриках Орлича (в метрике Ф-вариаций и в интегральной Ьф-метрике) - в обоих случаях относительно произвольной непрерывной, возрастающей и выпуклой вниз на [0, оо) функции Ф(и) с Ф(0) - 0.

Аппроксимации со знакочувствительным весом, вообще говоря, разрывным и вырождающимся, рассмотрены в работах Е.П.Долженко и Е.А.Севастьянова 90-х годов. В частности, в работах [1] - [4] для этих аппроксимаций ими изучены вопросы существования, единственности и устойчивости элемента наилучшего приближения.

Знакочувствительным весом на отрезке А = [а,Ь] С (—оо,оо) называется упорядоченная пара р{х) = (£>_(ж),£>+(ж)) однозначных неотрицательных функций р~(х) и р+(х), определенных на отрезке А.

Вес р{х) — (р-(х),р+(х)) называется 27г-периодическим, непрерывным, полунепрерывным, ограниченным или невырожденным (т.е. строго положительным), если таковыми являются обе его компоненты р_(х) и р+(х).

Для заданных на А функции /(ж) и веса р{х) = (р_(ж),р+(ж)) положим

(/>р)м = 1+(х)р+(х) ~ г(х)р-(х),

где, как обычно, /+(ж) = тах{/(ж), 0}, = (—/(ж))+.

Величину

|/1р = \/\РА = Н(/,Р)11д = вир{|(/,й(ж)| : ж е А}

назовем р-нормой функции /(ж) по отрезку А (для 27Г-периодических функций /(ж), р~(х) и р+(х) супремум можно брать по любому отрезку длины периода 2ж).

Вообще говоря, | — /|Р)д ф |/|р,д, но р-норма |/|р,д является сублинейным (неотрицательным, выпуклым и положительно однородным) функционалом на множестве всех ограниченных на А функций /(ж); в частности, при р~(х) = р+{х) = 1 (ж Е А) р-норма |/|Р)д совпадает с обычной супремум-нормой

||/|Ы1/11л = вир{|/(ж)|:жеА}.

Сублинейные функционалы •£>(/), для которых £>(/) = 0 лишь при / = 0, в качестве масштабных функций выпуклых тел конечномерного пространства ввел Г.Минковский ([5]) и называются функционалами Минковского.

Функционалы Минковского в качестве несимметричных (<£>+, <£>_)-норм рассматривали М.Г.Крейн и А.А.Нудельман ([6]). Эти нормы соответствуют случаю р-нормы относительно знакочувстви-тельного веса р{х) = (_р_(ж),р+(ж)) с непрерывными и строго положительными на А функциями р~(х) и р+(х).

Отметим также работы В.Ф.Бабенко [7] и И.Э.Симоновой, Б.В.Симонова [8], в которых изучен вопрос существования полинома наилучшего приближения для пространств суммируемых функций с несимметричной нормой относительно знакочувствительного веса со строго положительными компонентами.

Аппроксимации с непрерывным невырожденным знакочувствитель-ным весом принципиально мало чем отличаются от обычных равномерных аппроксимаций с положительным непрерывным весом, тогда как в случае разрывных знакочувствительных весов или в случае, когда допускается обращение в нуль их компонент (т.е. вес вырождается) на подмножествах рассматриваемого отрезка А, многие вопросы теории приближения являются более трудными, чем в классическом случае непрерывных положительных весов, и имеют уже нестандартные ответы.

В главе 1 получены прямые и обратные теоремы теории приближения полиномами в р-норме относительно непрерывного знакочувствительного весар(х) = (р_(ж),р+(ж)), причем модуль непрерывнос-

ти приближаемой функции в них определяется как обычно - именно относительно той нормы приращения этой функции, в которой рассматривается приближение, т.е. относительно р-нормы, а в обратных теоремах применяется обобщение на р-нормы неравенства С.Н.Бернштейна об оценке нормы производной полинома.

Нестандартная форма этих теорем связана с возможностью обращения в нуль весовых функций р~(х) и р+(х) на подмножествах отрезка, по которому определяется р-норма.

В этой главе для рациональных приближений получено прямое обобщение обратной теоремы об оценке вариации функции через ее наименьшие рациональные уклонения; доказательство этой теоремы основано на обобщении неравенства Е.П.Долженко о вариации рациональной функции на знакочувствительные веса.

В случае ограниченного (разрывного) весар(х) = (р_(х),р+(х)) вопрос о принципиальной возможности сколь угодно точного приближения ограниченных функций полиномами в р-норме становится очень сложным. С использованием теоремы о разделении полунепрерывных функций с помощью непрерывных, доказанной в §1 гл. 2, в главе 2 получены необходимые и достаточные условия полиномиальной аппроксимируемости ограниченных функций в р-норме.

Для оценки наименьших полиномиальных уклонений в этом случае вводится новое обобщение модуля непрерывности, в терминах которого и формулируются прямые и обратные теоремы теории приближения в р-норме относительно ограниченного знакочувствитель-ного веса. Для доказательства прямых теорем построены операторы сглаживания ограниченных функций в р-норме, а обратные теоремы получены через введенную Е.П.Долженко и Е.А.Севастьяновым характеристику системы "Ограниченный знакочувствительный вес — Семейство тригонометрических полиномов порядка не выше п" — свободу г) этой системы. Для оценки свободы системы т) получены неравенства типа С.Б.Стечкина и П.Л.Ульянова об оценке нормы полинома на отрезке через его норму на подмножествах этого отрезка.

В главе 3 введено понятие скалярного произведения со знакочув-ствительным весом (которое оказывается, вообще говоря, несимметричным) и построены ортогональные справа и ортогональные сле-

ва системы полиномов. Здесь же изучены некоторые общие свойства рядов Фурье по таким системам, рассмотрены свойства нулей несимметрично ортогональных полиномов и построены квадратурные формулы типа Гаусса.

В главе 4 выделены классы непрерывных на отрезке действительных функций, для которых имеет место простое по форме соотношение типа слабой эквивалентности между наилучшими рациональными приближениями в равномерной метрике и в более "жесткой" метрике, порожденной Ф-вариациями. Для полиномиальных приближений аналогичная связь установлена через прямой аналог теоремы Джексона в метрике Ф-вариаций. В этой метрике даны двусторонние оценки ^-энтропии двух компактных классов Ф-абсолютно непрерывных функций.

В главе 5 получены точные по порядку оценки наилучших рациональных приближений в интегральных ¿^-метриках Орлича для класса функций конечной жордановой вариации; эти оценки основаны на соотношении типа слабой эквивалентности, установленном для наименьших рациональных уклонений функции sign ж в 1/ф-метриках. Полученные оценки стандартными методами распространяются на ограниченные измеримые функции. Они дают непрерывную шкалу скоростей, соединяющую интегральные метрики с равномерной.

Перейдем к более подробному изложению результатов диссертации по главам.

Для непрерывных на отрезке А = [а, ъ] функции /(ж) и веса р(ж) = (р_(ж),р+(ж)) при Д(ж) = /(ж + К) и 8 > 0 модуль непрерывности в р-норме определим равенством

ш(8, /,р) = вир{|(Д - /,р)(ж)| : ж, ж + h е A,\h\ <

В случае 27г-периодическихфункции/(ж) ивесар(ж) = (р_(ж),р+(ж)) в определении /,р) будем считать ж, ж + h Е (—сю, оо).

Ясно, что при р-(х) = р+(х) = 1 (ж G А) определение модуля непрерывности в р-норме си(8, f,p) совпадает с обычным определением модуля непрерывности в равномерной метрике

Ц/,5) = sup{|(A - /)(ж)| : ж, ж + h G A, \h\ < 8},

но в отличие от cu(f, 5) модуль непрерывности в р-норме ш(8, /,р), вообще говоря, не обладает свойством полуаддитивности относительно

8, хотя в случае непрерывных функции /(ж) и весар(х) — (р_(х),р+(х)) модуль непрерывности /,р) является непрерывной и неубывающей при 8 > 0 функцией с о;(0, /,р) = 0.

Определим модуль непрерывности веса р(х) — (р_(ж),р+(ж)) (ж Е А) при 8 > 0 равенством

Как показано в работе, эти модули непрерывности связаны соотношением

ш(28, f,P) < 2ш(8, f,p) + Ц/, 5)ш(р, 8), S > 0.

Для ограниченных на отрезке А = [а, Ъ] функции /(ж) и весар(ж) = (р_(х),р+(х)) пусть

- наименьшее уклонение в р-норме функции /(ж) от алгебраических полиномов Q(x) степени не выше п(п — 0,1,...); наименьшее уклонение 27г-периодической функции /(ж) от тригонометрических полиномов порядка не выше п (п = 0,1,...) обозначим символом En(f,p).

Очевидно, если р_(ж) = р+{х) = 1, то En(f,p, А) и En(f,p) совпадают с соответствующими наименьшими уклонениями En(f, А) и En(f) в равномерной метрике.

Веср(ж) = (р_(ж),р+(ж)) назовем монотонным на отрезке А = [а, 6], если обе функции р~(х) и р+(ж) неубывающие на А или обе они не-возрастающие на А.

В главе 1 доказывается

Теорема 1.2,Для любых непрерывных на отрезке А = [а, Ь] функции /(ж) и веса р{х) — (р_(ж),р+(ж)) при п = 1,2,... имеет место неравенство

En(f,p, Д) < (^А /,р) + (/, и (р, . (0.1)

ш(р,8) = max{o;(p_, 8), и;(р+, £)}.

En(f,p, A) = infjQ - fjpA

Q

При этом, если вес р(ж) монотонен, то

(0.2)

если же вес р{х) не монотонен, то, вообще говоря, для любых положительных С\ и С найдется непрерывная на А функция /(х), для которой

при всех достаточно больших п.

Неравенство вида (0.1) справедливо и в периодическом случае.

Отметим, что из неравенства (0.1) непосредственно получается оценка сверху для наименьших уклонений

= Яп(/,р, А) = Ы \г - /|р,д

непрерывной на А функции /(ж) от рациональных функций г(х) степени не выше п в р-норме относительно непрерывного на А веса р(х) = (р_(ж),р+(ж)) (ввиду очевидного неравенства

<яп(/,Р,д) (п = о, 1,...)).

При этом оценки вида (0.1) являются неулучшаемыми даже для наименьших рациональных уклонений Лп(/,р, А).

Именно, пусть функция (<5) непрерывная и неубывающая при 8 > 0 с 0*1(0) = 0, а функции 102(8) и ш%(8) - модули непрерывности (т.е. непрерывные, неубывающие и полуаддитивные при 8 > 0 и равные нулю при (5 = 0).

Тройку таких функций (01,02,03) назовем согласованной, если существуют такие положительные константы С\ и С2, что

о*1(25) < 6*1(01(5) + 02(5)03(5)), 01(5) < с2о2(5)

при всех 5 > О (С\ и С2 при этом называются согласующими константами) .

Заметим, что для любых непрерывных на отрезке А функции /(ж) и веса р(х) = (р_(ж),р+(ж)) модули непрерывности си(8, /,р),о;(/, 5) и о(р,5), как следует из их свойств, всегда образуют согласованную тройку, например, с константами С\ = 2 и С2 = 1 + ||р||д, где ||р||д = тах{||р_||д,||р+||д}.

Легко показать, что для любой согласованной тройки (о>1, о>2, о>з) функция

^(5) = 0!(5)+а;2(5)0з(5) (8 > 0)

является функцией типа модуля непрерывности, в частности, для некоторой константы С > 0 выполняется неравенство

<¿>(25) < С<р(5) (8 > 0).

Имеет место

Теорема 1.3.Пусть (0*1,0^2, ~ согласованная тройка функций, и(р(26) <Сср{8) (§> 0).

Тогда при каждом п — 1,2,... существуют непрерывные на отрезке А = [0,1] функция /(ж) и вес р(х) — (р_(ж),р+(ж)) такие, что

5) х и3{8) (8-+0),

причем

Еп(/,р, А) > Лга(/,р, А) > (1) .

Для получения обратных теорем в случае непрерывного знакочув-ствительного весар(ж) = (р_(х),р+(х)) применяется следующее неравенство типа С.П.Бернштейна для производных полиномов в р-норме.

Пусть р(х) — (р_(ж),р+(ж)) - непрерывный 27г-периодический вес, и для данного натурального п положим

Д m . 9 (2т — 1 \

А = Е ;г- sm —:-,

tn=i 2п V 4п ) В = min |по;(р, 27т), Аш |р, —J |.

Тогда, как показано в работе,

А — 2п(7г-21пп + в), 0 < в < 1.

В этих обозначениях справедлива

Теорема 1.4.Для любого тригонометрического полинома Т{х) любого порядка п > 1 выполняется неравенство

\Т'\Р < птах{|Г|Р, | - Т\р} + В\\Т\\. (0.3)

Неравенство (0.3) является точным для класса 27г-периодических непрерывных весов р(х) — (р-{х),р+(х)) с наперед заданным колебанием и(р, 2тс) = Q и при п —У оо точным по порядку на классе всех весов р(х), для которых си(р, 8) < где ш(8) - произвольный

заданный модуль непрерывности.

Можно показать, что модуль непрерывности u(5,f,p) непрерывной 2-7г-периодической функции /(ж) относительно непрерывного веса р(х) = (р_(ж),_р+(ж)), вообще говоря, нельзя оценить сверху через сумму наименьших полиномиальных уклонений £Ц±/,р) (по аналогии с теоремой Р.Салема - С.Б.Стечкина для равномерной метрики). Однако, используя неравенство (0.3), можно получить следующий аналог теоремы С.Б.Стечкина в метрике знакочувствительного веса.

Пусть (wi, 03) - согласованная тройка функций, и (р(8) = oi(5) + ^2(8)^3(8). Тогда для любого непрерывного 27г-периодического веса р(х) = (р-(х),р+(х)) с ш(р,8) < и$(8) (8 > 0) справедлива

Теорема 1,5,Вели для 2тг-периодической функции /(ж) существует такая последовательность тригонометрических полиномов tn(ж) порядков не вышеп соответственно, что при некотором М = const >0 и п — 1,2,... справедливы неравенства

I ± (i„ - /)|р < Afy>

\\tn-f\\<Mu2 (£),

то при 8 —> 0 имеем

uj(8JyP) = а($ Jgt'2 Mi) + о;2(i)ii3W) dtj ,

где ft3(i) = тт{о;з(7г),а;з(£) In (|)}.

Условия теоремы 1.5 выполняются всегда, когда в согласованной тройке (u;i,U2, ш3) все три функции являются функциями типа модуля непрерывности; существуют также согласованные тройки (ш 1,02, о>з), для которых uji(8) не является полуаддитивной, но условия теоремы 1.5 выполняются.

Переходим к обратным теоремам теории рациональных аппроксимаций применительно к нашему случаю знакочувствительных аппроксимаций. Е.П.Долженко получил оценку вариации непрерывной функции /(ж) (х £ А) через ее наименьшие равномерные уклонения Лп(/, А) от рациональных функций степени не выше п. Эта оценка получается из другого неравенства Е.П.Долженко ([9]):

v(r,A) < 2(degr)||r|U,

где г(х) - произвольная рациональная функция. Заметим, что существуют непрерывные на данном отрезке А функция /(ж) и вес р(х) — (Р-(х)>Р+(х))-> Для которых жорданова вариация г>(/, А) > О, но Дп(±/,р, А) = 0 при всех п — 0,1, —

Следовательно, вариацию функции г>(/, А) нельзя оценить, как в теореме Е.П.Долженко для равномерной метрики, через сумму ряда с членами А). Однако, для достаточно широкого класса весов

с помощью такого ряда можно оценить вариацию г>(/р_р+, А) произведения любой непрерывной на А функции /(ж) и весовых функций Р-(х) и р+(ж), определяющих данный вес р(ж).

Будем говорить, что вес р{х) = (р_(ж),р+(ж)) при ж £ А на некотором множестве рациональных функций удовлетворяет D-условию, если существует такое С = С(р) > 0, что для любой рациональной функции г (ж) из этого множества выполняется неравенство

v(rp_p+, А) < C(deg г + 1) (|г|р,д + I - г|р,д) < оо.

В случае р_(ж) = р+(ж) = 1 и непрерывных на А рациональных функций г (ж) D-условие лишь постоянным множителем отличается от неравенства Е.П.Долженко.

Обобщением этого неравенства на р-нормы служит следующая

Теорема 1.8.Пусть р(ж) = (р_(ж),р+(ж)) - непрерывный на отрезке А = [а, Ь] вес, v = f(p_, А) + v(p+, А) < оо; г( ж) - рациональная функция степени п, к = к(г, А) - число интервалов знакопостоян-ства г(ж) на А.

Тогда выполняется неравенство

v(rp_p+, А) < 4fmax{|r|p, | - r\p} -f- N\\р\\Аmm{|r|p, | - г|р},

где N — О при п = 0, а при п > 1 имеем:

N = 2п к — 2 < Зп — 1 для г(х), непрерывной на А,

N = Znк — 2 <Ъп — 1 для любой г (ж) с \r\p + | — г\р < оо.

Следовательно, если каждая из компонент р~{х) и р+(х) непрерывного на отрезке А весар(х) имеет конечную жорданову вариацию на А, то он удовлетворяет D-условию на множестве всех рациональных функций г(х) с |г|р)д + I - г|Р)Д < оо.

Вес р(х) — (р_(ж),р+(ж)) назовем псевдосимметричным на отрезке А, если существуют такие ограниченные функции <р+(х) и <£>_(ж), что при х G А имеем

р_(ж) < <^+(ж)р+(ж) и р+(ж) < <^_(ж)р_(ж).

Следующее утверждение служит обобщением на рациональные приближения в р-норме теоремы Е.П.Долженко ([9]) об оценке вариации непрерывной функции.

Теорема 1.9.Пусть р(х) = (р_(ж),р+(х)) - непрерывный на отрезке А вес. Чтобы для некоторого С = С(р) > 0 и любой непрерывной на А функции /(ж) при

00

= £ Rn(f,p) + Rn(-f,p) < оо

п=О

выполнялось неравенство

v(fP-P+> А)<С (|/|р + | - /|Р + $(/,!>)),

необходимо, а в случае псевдосимметричного на А веса р{х) и достаточно, чтобы вес при х Е А удовлетворял D-условию на множестве всех рациональных функций г(х) с \r\p + | — г\р < оо.

В главе 1 даны также двусторонние оценки jRn(sign ж,р, [—1,1]) с целью выяснения количественно влияния знакочувствительного веса в точках разрыва данной функции на скорость ее приближения рациональными функциями в р-норме. Оценки показывают, что эта скорость зависит не только от того, обращаются или нет в нуль компоненты р-(ж) и р+(х) веса р(ж) в некоторых точках х Е [—1,1], но и от степени их роста вблизи этих точек; из этих оценок можно получить шкалу скоростей убывания iiw(sign ж,[—1,1]), связанную с

поведением веса р{х) в окрестности нуля - она аналогична шкале, построенной А.А.Гончаром ([10]) для наименьших равномерных рациональных уклонений функций, имеющих "излом" графика в одной точке.

В главе 2 изучаются полиномиальные аппроксимации с ограниченным на отрезке А = [а, Ь] знакочувствительным весом р(х) =

{?-{%), Р+(х))-

При £ > 0 рассмотрим множества

А_ = А(р_ > е), А+ = А{р+ > е

и их замыкания Д_, А+ (здесь, как обычно, для данной функции д(ж), ж £ А, запись А(д > е) означает множество всех точек ж отрезка А с д(ж) > е). Положим

= А_ П А+, Д£ = Д_ П А+

и для ограниченной на отрезке А функции /(ж) при ж £ Д_ определим функцию

М_(ж) = М_(ж, г) = Дт зир{/(£) : £ £ [ж - ж + П А-},

а при х £ Д+ - функцию

т+(ж) = т+(ж, е) = ДтЛп£{/(£) : £ £ [ж — ж + 5] П А+}.

Легко увидеть, что функция М_(ж,е) полунепрерывна сверху на множестве Д_ и функция т+(х,е) полунепрерывна снизу на Д+.

Вопрос полиномиальной аппроксимируемости ограниченной на отрезке функции в метрике ограниченного знакочувствительного веса решает следующая

Теорема 2.2.Пусть функция /(ж) и веср(х) = (_р_(ж),р+(ж)) ограничены на отрезке Д = [а, 6]. Для существования таких алгебраических полиномов что —/|р,д 0 при п —> оо, необходимо и достаточно выполнение при всех достаточно малых е > 0 неравенства

М_(ж,е) < т+(ж, е), ж £ Д£. (0.4)

Чтобы рассмотреть предельный случай е = О, для ж Е П(р) = зирр(р_) П зирр(р+) определим функции М_(ж, 0) и т+(ж, 0), заменив в определениях М_(ж, г) и га+(ж,£) множества А_ и А+ соответственно на А(р- > 0) и А(р+ > 0). Так как М_(ж,е) < М_(ж,0) и ш+(ж,0) < т+(ж,г) при каждом е > о и ж 6 А£ С П(р), то условие М_(ж,0) < га+(ж,0) (ж Е П(р)) является достаточным для существования полиномов ж) с |<5П — /|Р)д —У 0 (п —У сю), однако, как показывают соответствующие примеры, не является необходимым для этого. Следовательно, участие чисел е > 0 в условиях теоремы 2.2 существенно для ее справедливости. Это верно и для приводимых ниже утверждений.

Существуют ограниченные на А функции /(ж) и веса р(х) = (р_(ж),р+(ж)), для которых условие (0.4) выполняется в виде строгого неравенства во всех точках множества Ае при всех достаточно малых е > 0.

Если компоненты р~(х) и р+(х) весар(ж) конечны и полунепрерывны сверху (в частности, непрерывны) на отрезке А, а функция /(ж) ограничена на А, то для существования алгебраических полиномов дп(х) с |— /|р,д —У 0 (п -» оо) необходима и достаточна непрерывность функции /(ж) на множестве Р£ при всех достаточно малых г > 0.

Если вес р(х) = (р_(ж),р+(ж)) непрерывен на отрезке А, а функция /(ж) ограничена на А, то, используя свойства модуля непрерывности и(5,/,р) функции /(ж) в р-норме, можно доказать, что равенство Р-(х) = р+(х) = 0 в каждой точке ж Е А разрыва функции /(ж) достаточно для существования полиномов С}п(х) с \£)п — /|р,д —> 0 (п —у оо), но не является необходимым условием для этого.

С другой стороны, в случае непрерывного на А веса р(ж) — (_р_(ж),р+(ж)) равенство р-(х) = р+(ж) = 0 в каждой точке ж Е А разрыва ограниченной на А функции /(ж) необходимо и достаточно для одновременной аппроксимируемости /(ж) и —/(ж) полиномами, т.е. для существования последовательности полиномов ж) с

\Яп ~ /\р,А + I/ - Яп\р,А 0 (п оо).

Для ограниченных на отрезке А функции /(ж) и веса р{х) = (р_(ж),р+(ж)) определим относительно чисел в > 0 семейст-

во модулей непрерывности, полагая

ue(f,P,S) = sup [М_(ж,в) - т+(у,е)]+ , где супремум берется при \х — у\ < 8 (5 > 0) по всем ж £ Д_ и

у £ Д^-

Считаем эту величину доопределенной нулем на [0,cf), если dist(A-, А+) = d > 0, причем равной тождественно нулю, если хотя бы одно из множеств Д_ и Д+ пусто.

Очевидно, при р~(х) = р+(х) = 1 (ж £ Д) величина а;е(/,р, 5) совпадает с обычным равномерным модулем непрерывности to(f,8) функции /(ж) на отрезке Д.

Условие полиномиальной аппроксимируемости (0.4) эквивалентно выполнению равенства u£(f}p, 0) = 0 при всех достаточно малых г > 0, причем а;е(/,р, 8) при каждом е > о как функция от 8 > 0 является неотрицательной, неубывающей на [0, оо) и непрерывной в точке 5 = 0; при каждом 8 > 0 как функция от е > 0 она является невозрастающей. Тогда для cu£(f,p, 8) при каждом достаточно малом е> 0 существует мажоранта сое(8), которая является модулем непрерывности.

Пусть Q — {о;е(5)} - семейство таких функций, что при каждом е > 0 функция сие(8) является модулем непрерывности, а при каждом 8 > 0 она не возрастает по е > о.

Для ограниченных на Д функции /(ж) и весар(ж) = (р_(ж),р+(ж)) при е > 0 рассмотрим две функции

<p-(xj) = sup{м_(у,£) - ш£(\х -у\) :у £ ДГ}, ^+0, /) = inf{m+(y, £) + ш£(\х -у\) :у £ Д+},

определенных на всем отрезке Д.

Они служат операторами сглаживания ограниченных на Д функций /(ж) в _р-норме относительно ограниченного знакочувствительно-го весар(ж) = (_р_(ж),р+(ж)). Это видно из приводимой далее теоремы 2.5 (для доказательства достаточности ее условий в качестве искомой функции (р(ж) можно взять <^_(ж,/)). Заметим, что некоторое аналогичное ей утверждение имеет место для ip(x) = <£>+(ж, /).

Ниже, как обычно, НШ(А) означает класс непрерывных на Д функций с равномерным модулем непрерывности < и(8) (5 > 0); для двух

данных множеств Е и Е числовой оси

1г(Е,Е) = зир{\х -у\:хеЕ,уе

Теорема 2.5. Пусть функция /(ж) гг вес р(ж) = (р_(ж),р+(ж)) ограничены на отрезке А, е > 0 - достаточно малое число, со(5) = ше(5) - заданный модуль непрерывности.

Тогда условие

соеа,р,5)<и{5) (5> 0)

необходимо и достаточно для существования функции ср Е Нш(А) со свойствами:

(р(х) > М_(х,е) при х Е А_; <р(х) < т+^х^б) при х Е А+; \<Р ~ 1\р,а < М/, К) + ш(Ь))е, к = А(Д, ДГ).

Используя теорему 2.5, легко получить следующее обобщение теоремы Джексона о полиномиальных приближениях на р-нор мы для ограниченных весов и ограниченных приближаемых функций.

Теорема 2.6. Если функция /(ж) и вес р(х) = (р_(ж),р+(ж)) ограничены на отрезке А, о£(/,р, 5) < ше(5) (5 > 0, е > 0), то для каждого п = 1,2,... существуют полином Цп(х) степени не выше п и число £п > 0 такие, что при всех е Е (0,еп) и к — /г(А,А_) выполняется неравенство

\Яп - /и < М/,/г) +и,е(/г) + 5|И|дК .

Вполне аналогичные утверждения имеют место и в периодическом случае.

Обратные теоремы в случае ограниченного 27г-периодического веса р(ж) = (р_(ж),р+(ж)) получены через свободу 1¥(р, тп) системы

"Ограниченный знакочувствительный вес р{х) - Множество тп тригонометрических полиномов порядка < п", введенную Е.П.Долженко и Е.А.Севастьяновым [1] и определяемую равенством

где Д = [О, 27г] и супремум берется по всем тригонометрическим полиномам Т(х) £ тп,Т(х) ф 0.

Заметим, что существуют 27г-периодические ограниченные веса р( х) = (р_(х),р+(х)) с Д£ = ДГ П Д^Г = 0 при Д = [0,2тг] иОО, для которых свобода системы тп) = оо при любом п = 1,2,....

Пусть Д£ ф 0 при всех достаточно малых е > 0 и пусть

Поэтому для оценки свободы системы IV(р, тп) нужны неравенства типа С.Б.Стечкина и П.Л.Ульянова ([11])

справедливые для любого полинома Т(х) Е тп,замкнутых подмножеств Е = Д£ отрезка Д = [0,27т] и константы С = С(£,п), не зависящей от Т(х). Тогда, очевидно,

В главе 2 для тригонометрических и алгебраических полиномов получены точные неравенства типа С.Б.Стечкина - П.Л.Ульянова (в них

Ф = УГ(р,тп) = 8щ>{\\Т\\ь/\Т\рА},

\\Т\\* < С\\Т\\Е,

полином Чебышева степени п (|ж| > 1)):

Теорема 2.7.Если измеримое по Лебегу множество Е С А = [—1,1] имеет меру \Е\ = fi > 0,infi? = a,supE = /3,А = тах{1 — a, 1 + ¡3], то

для любого алгебраического полинома Р(х) степени п = 0,1,....

Теорема 2.8. Если измеримое по Лебегу множество Е С А = [—7г,7г] имеет меру \Е\ — ¡л > 0, то

для любого тригонометрического полиномаТ{х) порядка п = 0,1,....

Аналогичные оценки имеют место и для некоторых множеств Е с нулевой мерой, но приходится при этом учесть структуру множества Е. Например, как показано в работе, если точки = ктт/2п (к = 0,1,..., 4п — 1) принадлежат /г-окрестности замкнутого множества ^ С А = [0, 27г], Н < 7г/4п, то

для любого тригонометрического полинома Т{х) порядка п = 1,2,____

Пусть, как и выше, Г2 = (о;£(5)} - семейство заданных модулей непрерывности. Тогда для ограниченных 27Г-периодических функции /(ж) и веса р{х) = (р_(х),р+(х)) имеет место следующий аналог обратной теоремы С.Б.Стечкина ([12]).

Теорема 2.9. Пусть для каждого п = 0,1,... найдется такое е(п) > 0, что каково бы ни было е £ (0,е(п)) существует тригонометрический полином Ьп(х) порядка не выше п с

Тогда для каждого 8 £ (0,1) найдется такое е$ > 0, что при £ £ (0,6^) выполняется неравенство

где С = 64тах{1,\\р\\А\¥(р,т)},

причем свобода системы Иг(р,т) берется для множества т всех тригонометрических полиномов порядка не выше 1/8.

В главе 3 вводится несимметричное скалярное произведение относительно веса р(х) ~ (р_(ж),р+(ж)) с неотрицательными на конечном или бесконечном интервале (а, 6) весовыми функциями Р-(х) и р+(х), для которых существуют конечные интегралы от хпр±(х)

(п = 0,1,.. •; п = 0 в случае конечного интервала), причем

[ь

/ гшп{р_(ж),р+(ж)} <1х > О

ниже будем считать эти условия выполненными).

Класс всех измеримых по Лебегу на интервале (а, Ь) действительных функций /(ж), для которых величина

/ ,6 \ !/2 1/12*= Ц /(Х)(/1Р)(Х)(1Х)

конечна, обозначим через Ь2)Р(а,6).

При р-(х) ~ р+(ж) (ж Е (а, Ь)) получим класс интегрируемых с квадратом функций (с весом (ж)). Отметим также, что

|/ + 0кр< \1кр+ \д\2,р

для Е Ь2,р{а,Ь), но, вообще говоря, | - /|2(Р ф |/|2)Р.

Если функции /, — /,д Е 1/2)Р(а,Ь), то скалярным произведением /(ж) нар(ж) относительно весар(ж) = (р_(ж),р+(ж)) назовем величину

пЬ

(¡,д)р = / Дя)(£,;р)(ж)бЬ.

V сь

Заметим, что из /, д Е Ь2)Р(а, Ь), вообще говоря, не вытекает конечность последнего интеграла. Но этот интеграл существует и конечен всегда, когда /,—/,<? Е 1/2,р(а,Ь), так как в этом случае имеет место следующий аналог неравенства Коши - Буняковского в Ь2]Р(а, 6):

1(/>0)р1 < тах{|/|2,р, | - /|2,р} |р|2,р.

Систему функций - • • из -^2,р(а>Ь) назовем ортонорми-

рованной справа с весом р(х) — (р_(ж),р+(ж)) на интервале (а, 6),если

= |

0 при т > п,

1 при га = п,

и ортонормированнои слева, если

, . Г 0 при т < п,

(У>т, ЫР = | г ярит = п

(m, п = 0,1,...).

Теорема $ Л. Существуют только две последовательности алгебраических полиномов {Р„(ж)}~0 и {Q„(®)}~0, е которых каждый из полиномов Рп{х) и Qn(x) имеет точно степень п и положительный старший коэффициент, причем система {Рп(ж)}^_0 является ортонор мир о ванной справа, а другая {<5п(ж)}^=0 _ ортонор мир о ванной слева с весом р(х) = (р_(ж),р+(ж)) на интервале (а,Ь).

Пусть /, — / G По ортонормированной справа системе

{Рп(х)}™=() определим рад Фурье

оо

f(x) ~ £ апРп{х), (0.5)

п=0

полагая

«о = а0(/) = (f1Po)Pi

п-1

ап = а„(/) = (/, Рп)р - J2 ак (Рк,Рп)р,

А=0

та = 1,2,....

Очевидно, при п = 1,2,...

an(f) = (f ~ 5п-Ъ Рп)рч

если 5n_i(ic) = 5n_i(ic, /) - частичная сумма ряда (0.5) порядка п — 1. Отметим также, что если для частичных сумм Rn(x) ряда вида

оо

СкРк(х)

к—О

и некоторой функции / Е 1/2)Р(о, Ь) имеем |±(ЛП — /)|2,р —> 0 (п —> оо), то необходимо с^ = а^(/) для каждого к = 0,1, — При п = 0,1,... и / £ 1-2,р(а, Ь) положим также

Ьп = bn(f) = (PnJ)p.

Тогда для любых /, — /, д Е Ь2)Р(а,Ь) и п = 0,1,... выполняется следующий аналог тождества Бесселя

п

(/ - £»(-,/), = (ЛбОр - £ ак(/)Ък(д).

п=О

Следовательно, условие Гь

/)] (д,р)(х)с1х 0 (п оо)

«/ (2

необходимо и достаточно для выполнения аналога равенства Парсе-валя

со

и,9)Р=Еак(/Ыд). (0.6)

Желая получить обобщение теоремы Ф.Рисса - Э.Фишера, рассмотрим линейное пространство Ь*2р(а, Ь) всех измеримых по Лебегу функций /(ж), х Е (а,Ь), для которых при д Е Ь2,р(а,Ь) существует конечный интеграл

¡■ь

/ 1{х)(д,р)(х)йх.

«/ о

При этом функции /(ж), для которых указанный интеграл равен нулю при всех у Е ь2,р(а, 6), считаем нулевым элементом ъ).

Для / Е £2,р(а? введем норму

= sup

"6

, f(x)(g,p)(x)dx

где супремум берется по всем д Е Ь2^р(а, Ъ) с |g|2,p < 1-Если /, -/ Е Ь2,р(а,Ь),то / Е Цр(а,Ь) и

||/||p = max{|/|2,p,|-/|2,p}.

Заметим также, что в случае обычных рядов Фурье необходимое условие

оо

£ al(f) < оо

к=О

для коэффициентов Фурье функции / Е L2p(a, 6) (т.е. в случае р_(ж) =_р+(ж)) можно записать в следующей эквивалентной форме:

lim sup

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Рамазанов, Абдул-Рашид Кехриманович, 1998 год

ЛИТЕРАТУРА

[1] Долженко Е.П., Севастьянов Е.А. Знакочувствительные аппроксимации. Пространство знакочувствительных весов. Жесткость и свобода системы// Докл.АН. - 1993.- Т.332.- N 6.- С.686 - 689.

[2] Долженко Е.П., Севастьянов Е.А. Знакочувствительные аппроксимации. Вопросы единственности и устойчивости// Докл.АН. -1993.- Т.ЗЗЗ- N 1.-С.5-7.

[3] Долженко Е.П. Знакочувствительные аппроксимации // Меж-дунар. конф. "Функц. пространства, теория приближений, нелинейный анализ", посвящ. 90-летию акад. С.М.Никольского -Тезисы докл.-Москва. 1995. - С. 114 - 116.

[4] Севастьянов Е.А. О проблеме Хаара для знакочувствительных аппроксимаций// Мат.сб.- 1997.- Т.188 - N 2.-С.95 - 128.

[5] Minkowsky Н. Theorie der konvexen Korper, insbesondere Begrundung ihres Oberflachenbegriffs // Ges. Abh. - 1911.- V.2.-P.131 - 229.

[6] Крейн М.Г., Нудельман А.А. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи.- М.: Наука, 1973. - 552 с.

[7] Бабенко В.Ф. Несимметричные приближения в пространстве суммируемых функций// Укр. МЖ.-1982 - Т.34.- N 4.- С. 409 - 419.

[8] Симонова И.Э., Симонов Б.В. О полиноме наилучшего несимметричного приближения в пространстве Орлича// Изв. вузов. Математика.- 1993.- N 11. - С. 50 - 56.

[9] Долженко Е.П. Скорость приближения рациональными дробями и свойства функций// Мат. сб.- 1962.- Т.56 - N 4.- С. 403 - 432.

11

12

13

14

15

16

IT

18 19

20

Гончар A.A. Оценка роста рациональных функций и некоторые их приложения// Мат. сб.- 1967.- Т.72 - N 3.- С.489 - 503.

Стечкин С.Б., Ульянов П.Л. Подпоследовательности сходимости рядов// Тр. МИАН.- 1965.- Т.86.

Стечкин С.Б. О порядке наилучших приближений непрерывных функций// Изв.АН СССР. Серия матем.-1951.- Т.15.- N 3-С.219 - 242.

Muzielak J. and Orlitz W. On generalized variations.I// Studia Math.- 1959.- V.18.- P.ll - 41.

Голубов Б.И. Критерии компактности множеств в пространствах функций ограниченной обобщенной вариации// Изв. АН Арм. ССР.- 1968.- N 3. - С. 409 - 416.

Терехин А.П. Приближение функций ограниченной р-вариации // Изв. вузов. Математика.- 1965 - N 2.-С. 171 - 187.

Терехин А.П. Функции ограниченной р-вариации с данным порядком модуля ^-непрерывности // Мат.заметки.- 1972.- Т.12.-N 5.-С. 523 - 530.

Волосивец С.С. Об е-энтропии некоторых множеств функций ограниченной р-вариации// Изв. вузов.Математика.- 1992.-N 2.- С. 83 - 85.

Севастьянов Е.А. Кусочно монотонная аппроксимация и Ф-ва-риации// Analysis Math.-1975.- N 1.- С. 141 - 164.

Буланов А.П. О порядке приближения выпуклых функций рациональными функциями// Изв. АН СССР. Серия матем.-1969.- Т.ЗЗ.- N 5.-С. 285 - 291.

Попов В.А., Петрушев П.П. Точный порядок наилучшего равномерного приближения выпуклых функций рациональными функциями// Мат. сб.- 1977.- Т.103. - N 2.- С. 285 - 291.

Колмогоров А.Н., Тихомиров В.М. е-энтропия и е-емкость множеств в функциональных пространствах// УМН.- 1959.- Т. 14.-N 2.- С. 3 - 86.

[22] Витушкин А.Г. Оценка сложности задачи табулирования - М.: Физматгиз, 1959 - 228 с.

[23] Lorentz G.G. Approximation of function, 1966.-New York: Academic Press.

[24] Красносельский М.А.,Рутицкий Я.Б. Выпуклые функции и пространства Орлича.-М.:Физматгиз, 1958.- 272 с.

[25] Золотарев Е.И. Приложения эллиптических функций к вопросам о функциях, наименее и наиболее уклоняющихся от нуля.-Собр.соч.- Т.2.- М.:Изд-во АН СССР, 1932.

[26] Ахиезер Н.И. Об одной задаче Е.И.Золотарева //Изв. АН СССР. Серия матем.- 1929.- С.919-931.

[27] Newman D.I. Rational approximation to ^//Michigan Math.il.-1964.- V.U.- N 1 - P. 11 - 14.

[28] Буланов А.П.Асимптотика для наименьших уклонений функций sign® от рациональных функций // Мат.сб.- 1957.- Т.96.-С.171-188.

[29] Вячеславов Н.С. О наименьших уклонениях функции signx и ее первообразных от рациональных функций в метриках Lp,

О < р < оо//Мат.сб.- 1977.- Т.103.- N 1- С.24-36.

[30] Агаханов С.А., Загиров Н.Ш. Приближение функции sign ж в равномерной и интегральной метриках рациональными дробями// Мат. заметки.-1978. - Т.103.- N 6 - С.825-838.

[31] Пекарский A.A. Рациональная аппроксимация периодических функций в LVH Деп. ВИНИТИ АН СССР.- N 1209 - 77Деп.

[32] Рамазанов А.К. О рациональных приближениях ограниченных функций в пространствах Орлича// Сб."Функциональный анализ, теория функций и их приложения".- Махачкала, 1982.- С. 102 - 109.

[33] Пекарский A.A. Рациональная аппроксимация индивидуальных функций// Изв. АН БССР. Серия физ.-мат. наук - 1980 - N 3-С. 32 - 40.

[34] Попов В.A. On the connection between rational and spline approximation// C.R.Acad, bulg. Sci.-1974.- V.27.- N 5.- P. 623 - 626.

[35] Петрушев П.П О рациональной аппроксимации функций// Докл. Болг. АН.- 1976.- Т.29 - N 10.- С. 1405 - 1408.

[36] Загиров Н.Ш. О приближении функций обобщенной конечной вариации посредством рациональных функций// Мат. заметки,- 1982.- Т.32.- N 5. - С. 657 - 668.

[37] Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации.- М. :Нау-каД965. - 407с.

[38] Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами.- М.: Наука, 1977.- 512с.

[39] Тиман А.Ф. Теория приближения функций действительного переменного. - М.: Физматгиз, I960.- 624с.

[40] Гончар A.A. О скорости рациональной аппроксимации непрерывных функций с характерными особенностями// Мат. сб-1967.- Т.73.- N 4.- С. 630 - 638.

[41] Бэр Р. Теория разрывных функций.- М.-Л.: Гостехиздат, 1932.

[42] Натансон И.П. Теория функций действительной переменной.-М.: Наука, 1974.- 480 с.

[43] Шевчук И.А. Приближение многочленами и следы непрерывных на отрезке функций.-Киев : Наукова думка, 1992.- 225 с.

[44] Мильман В.А. Продолжение функций, сохраняющее модуль непрерывности // Мат. заметки.- 1997.- Т.61 - N 2.- С. 236 - 245.

[45] Ремез Е.Я. Основы численных методов чебышевского приближения. -Киев : Наукова думка, 1969.- 624 с.

[46] Гончаров В.Л. Теория интерполирования и приближения функций. - М.: ГТТЛ, 1954.- 328 с.

[47] Пашковский С. Вычислительные применения многочленов и рядов Чебышева.-М.: Наука, 1983.- 384 с.

[48 [49

[50

[51 [52 [53 [54 [55 [56

[57 [58 [59 [60

Турецкий А.Х. Теория интерполирования в задачах.- Минск: Вышейшая школа, 1997.- 256 с.

Шарапудинов И.И. Об ограниченности в С[—1,1] средних Валле-Пуссена для дискретных сумм Фурье-Чебышева // Мат. сб.- 1996.-Т.187. - N 1.- С. 143 - 160.

Бернштейн С.Н. Экстремальные свойства полиномов и наилучшее приближение непрерывных функций одной вещественной переменной.- М.-Л.: ОНТИ, 1937.- 203 с.

Бари Н.К. Тригонометрические ряды. - М.: Физматгиз, 1961.935 с.

Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены.- М.: Паука, 1976.- 328 с.

Сеге Г. Ортогональные многочлены.- М.: Физматгиз, 1962.500 с.

Качмаж С., Штейнгауз Г. Теория ортогональных рядов.- М.: Физматгиз, 1958.- 508 с.

Кашин С.Б., Саакян А.А. Ортогональные ряды.- М.: Наука, 1984.- 496 с.

Young L.C. General inequalities for Stieltjes integrals and the convergence of Fourier series // Mathem. Ann.-1938.- V.115.- P. 581 - 612.

Wiener N. The quadratic variation of a function and its Fourier coefficients //Massachusets J. Math - 1924.- V.3.- P. 72 - 94.

Голубов Б.И. О функциях ограниченной р-вариации // Изв. АН СССР. Серия матем.- 1968.- Т.32 - N 4.- С. 837 - 858.

Love E.R., Young L.C. Sur une classe de foctionnelles lineaires // Fund. Math.- 1937.- V.28 - P. 243 - 257.

Love E.R. A generalization of absolute continuity //J. Lond. Math. Soc - 1951.- V.26.- P. 1 - 13.

[61] Lagrange R. Sur oscillations d'order superior d'une functions numerique // Ann. sci. Escole norm, super.- 1965.- V.82.- N 2.-P. 101 - 130.

[62 [63

[64

[65 [66

[67

[68 [69 [70 [71 [72

Чантурия 3.A. О равномерной сходимости рядов Фурье // Мат. сб. - 1976.- Т.100 - N 4.- С. 534 - 554.

Долженко Е.П. Равномерные аппроксимации рациональными функциями (алгебраическими и тригонометрическими) и глобальные функциональные свойства // Докл. АН СССР.- 1966.— Т. 166.- N 3.- С.526- 529.

Долженко Е.П. Сравнение скоростей рациональной и полиномиальной аппроксимаций // Мат. заметки.- 1967.- Т.1.- N 3.-С.313- 320.

Szabados J. Negative results in the theory of rational approximation // Studia Sei. Math. Hungar.- 1967.- N 2.- P. 385 - 390.

Пекарский A.A. Рациональная аппроксимация непрерывных функций с заданным модулем непрерывности и модулем изменения // Изв. АН БССР. Серия физ.-мат. наук - 1978.-N 5 - С. 34 - 39.

Буланов А.П. Рациональные приближения непрерывных функций с конечным изменением // Изв. АН СССР. Серия матем.-1975.- Т.39.- С.1142 - 1181.

Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений.- М.: Изд-во МГУ, 1976.- 304 с.

Lorentz G.G. Metric entropy and approximation // Bull. Amer. Math. Soc - 1966.- V.72.- N6.- P.903 - 927.

Потапов M.K. О теоремах типа Джексона в метрике Lp // Докл. АН СССР.- 1956.- Т.111.- N 6.- С. 1185 - 1188.

Цыганок И.И. Обобщение теоремы Джексона // Мат. сб.- 1966.-T.71.-N2.- С. 257 - 260.

Devore R.A. Degree of approximation // Approximation theory. N.-Y.: Acad. Press, 1976.- P. 117 - 162.

[73] Oswald P. Ungleichungen von Jackon-Typ f'ur die algebraische beste Approximation in Lp // J. Appr. Theory.-1978.- V.23. - N 2.

- P. 113 - 136.

Стороженко Э.А. Приближения алгебраическими многочленами в Lp, 0 < р < 1 //Вестник МГУ. Серия матем.- 1978.- N 4.- С.87

- 92.

Никольский С.М. Квадратурные формулы.- М.: Наука, 1976.224 с.

Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов. - М.: Наука, 1967.

Корнейчук Н.П. Экстремальные задачи теории приближения. -М.: Наука, 1976.- 320 с.

Kokilashvili V. On approximations of periodic function in Orlicz spaces // Bull. Acad, pol on. sei. Ser. sei/ math, astron et phys.-1966.- V.14.- N 2.- P. 77 - 80.

Пономаренко В.Г. Приближение периодических функций в пространствах Орлича // СМЖ - 1966.- Т.7.- N 6.- С. 1337 - 1346.

Рамазанов А.-Р.К. Равномерные рациональные приближения функций с производными конечной Ф-вариации//Вестник МГУ. Серия матем.- 1981.- N 5. - С. 15 - 19.

Рамазанов А.-Р.К. О некоторых оценках модуля Ф-абсолютной непрерывности//Функц. анализ, теория функций и их приложения (Сборн.науч.тр.).- Махачкала, 1982.- С. 110 - 116.

Рамазанов А.-Р.К. On approximation by polinomials and rational functions in Orlich's space's//Analysis Mathimatica.-1984.- Т.Ю.-N2.-C. 117 - 132.

Рамазанов А.-Р.К. Модуль изменения функций многих переменных и приближение кусочно постоянными функциями//Функц. анализ, теория функций и их приложения (Сборн.науч.тр.).-Махачкала, 1986.- С.132 - 135.

[84] Рамазанов А.-Р.К. Рациональная аппроксимация функций в метрике Орлича//Теория дробно-рациональных приближений (Матер.Всеросс.науч.конф.).- Махачкала, 1991.- С.23.

[85] Рамазанов А.-Р.К. Об одной оценке приближения функций двух переменных рациональными функциями//Функц.анализ, теория функций и их приложения (Сборн.науч.тр.).- Махачкала, 1992.-С.122 - 125.

[86] Рамазанов А.-Р.К. О приближениях по Ф-вариации//Теория функций. Диф.ур-я в мат. мод. (Матер, воронежской зим. шк.).-Воронеж, 1993.- С. 110.

[87] Рамазанов А.-Р.К. Рациональная аппроксимация функций конечной вариации в метрике Орлича//Мат.заметки.-1993.-T.54.-N 2.- С.63 - 78.

[88] Рамазанов А.-Р.К. Оценки метрической энтропии классов Ф-абсолютно непрерывных функций//Всероссийская конференция по нелинейному анализу (Матер, конф.).- Махачкала, 1993.- С. 23.

[89] Рамазанов А.-Р.К. Несимметрично ортогональные полиномы// Конструктивная теория функций и ее приложения (Тр. науч. конф.).- Махачкала, 1994.- С.90 - 92.

[90] Рамазанов А.-Р.К.On approximation of functions in terms of Ф-variation//Analysis Mathematica.- 1994-N.20 - N 2.- C.263 -281.

[91] Рамазанов А.-Р.К. Рациональная аппроксимация со знакочув-ствительным весом // Алгебра и анализ (Матер, науч. конф.).-Казань, 1994.- С. 103 - 104.

[92] Рамазанов А.-Р.К. Аппроксимации функций по вариации и со знакочувствительным весом // Функц. - диф. уравнения (Сбор, науч. тр.).- Махачкала, 1994.- С. 96 - 103.

[93] Рамазанов А.-Р.К. О полиномиальных и рациональных аппроксимациях в метрике знакочувствительного веса // Теория функций и приближений (Тр. 7-ой Саратовской зим. шк.).- Ч.З.Саратов, 199 5.- С. 80 - 84.

[94] Рамазанов А.-Р.К. О рядах Фурье по несимметрично ортонор-мированной системе полиномов // Современные методы теории функций (Матер. Воронежской зим. шк.).- Воронеж, 1995.- С. 197.

[95] Рамазанов А.-Р.К. Несимметрично ортогональные полиномы и квадратурные формулы // Функц. пространства, теория приближений, нелинейный анализ (Тезисы докл. Междунар. конф., посвящ. 90-летию акад. С.М.Никольского).- Москва, 1995.- С. 223 - 225.

[96] Рамазанов А.-Р.К. О прямых и обратных теоремах теории аппроксимации в метрике знакочувствительного веса // Analysis Mathematical 1995.- Т.21.- N 4.- С. 191 - 212.

[97] Рамазанов А.-Р.К. Полиномы, ортогональные со знакочувстви-тельным весом // Мат. заметки.-1996.- T.59.-N 5.- С.737 - 752.

[98] Рамазанов А.-Р.К. Оценки несимметричной нормы производных полиномов // Междунар. конф. по теории приближения функций (Тезисы докл.).- Т.2.- Калуга, 1996.- С. 179 - 180.

[99] Рамазанов А.-Р.К. Рациональная аппроксимация со знакочувст-вительным весом // Мат. заметки.- 1996.- Т.60.- N 5.- С. 715 -725.

[100] Рамазанов А.-Р.К. Полиномиальные знакочувствительные аппроксимации ограниченных функций // Деп. в ВИНИТИ, N 3367 - В 96, 15 с.

[101] Рамазанов А.-Р.К. К вопросу об отделении полунепрерывных функций непрерывными // Современные методы теории функций (Матер. Воронежской зим.шк.). - Воронеж, 1997.- С. 137.

[102] Рамазанов А.-Р.К. Точные неравенства типа неравенства Стеч-кина - Ульянова для полиномов // Деп. в ВИНИТИ, N 1622 -В97, 6 с.

[103] Рамазанов А.-Р.К. Об аналогах неравенства Стечкина - Ульянова для полиномов // Алгебра и анализ (Матер, науч. конф.).-Казань, 1997.- С. 177 - 178.

[104] Рамазанов А.-Р.К. О критериях полиномиальной аппроксимируемости со знакочувствительным весом // Функц.- диф. уравнения (Сборн. науч. тр.).- Махачкала, 1997.- С. 189 - 192.

[105] Рамазанов А.-Р.К. О неравенствах типа Стечкина - Ульянова для полиномов // Функц.- диф. уравнения (Сборн. науч. тр.).-Махачкала, 1997.- С. 192 - 196.

[106] Рамазанов А.-Р.К. О прямых и обратных теоремах для знако-чувствительных аппроксимаций полиномами // Современнные проблемы теории функций и их приложения (Тезисы докл. 9-ой Саратовской зим. шк.).- Саратов, 1998.- С. 135.

[107] Рамазанов А.-Р.К. Знакочувствительные аппроксимации ограниченных функций полиномами // Изв. вузов. Математика.-1998.- N 5.- С. 53 - 58.