Предельные теоремы для нелинейных преобразований скользящих средних тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.05, кандидат физико-математических наук Сидоров, Дмитрий Иванович

• Сидоров, Дмитрий Иванович
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Сидоров, Дмитрий Иванович

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Условия перемешивания последовательностей скользящих средних

§ 1. Введение и формулировка основных результатов.

1.1. Скользящие средние, не удовлетворяющие условиям перемешивания

1.2. Скользящие средние с ^-перемешиванием

§ 2. Доказательство основных результатов.

2.1. Доказательство теоремы

2.2. Доказательство теоремы

2.3. Доказательство теоремы

2.4. Доказательство теоремы

ГЛАВА 2. Предельные теоремы для нелинейных преобразований скользящих средних

§ 1. Центральная предельная теорема для нелинейных преобразований скользящих средних.

§ 2. Аппроксимация распределений канонических U- и V-статистик.

§ 3. Доказательство основных результатов.

3.1. Моментное неравенство.

3.2. Доказательство теоремы

3.3. Доказательство теоремы

3.4. Доказательство теоремы

3.5. Доказательство теоремы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Предельные теоремы для нелинейных преобразований скользящих средних»

Диссертация посвящена исследованию предельных распределений аддитивных статистик, построенных по наблюдениям, имеющим структуру скользящих средних. В первой части диссертации изучаются формы зависимости таких наблюдений. Во второй части доказана центральная предельная теорема для нелинейных преобразований скользящих средних и исследуются предельные распределения U- и F-статистик.

Пусть j Е Z} - последовательность случайных величин, заданных на одном вероятностном пространстве, {ay, j G Z} - некоторые вещественные числа, где Z -множество всех целых чисел.

Определение 1. Скользящие средние {Xk е Z}, порождённые последовательностью {£,•}, определяются равенством jei

Предполагается, что ряд в (1) сходится с вероятностью 1. В частности, это будет выполнено, если j

Если же случайные величины j е Z} независимы, имеют конечный второй момент и центрированы, то для сходимости ряда в (1) достаточно потребовать более слабое условие

Отметим, что если порождающие случайные величины {£.,•} образуют стационарную последовательность, в частности, если они независимы и одинаково распределены, то скользящие средние в (1) также представляют собой последовательность стационарно связанных случайных величин. Отметим также, что любая стационарная гауссовская последовательность {Xс абсолютно непрерывной спектральной

1)

2)

3) функцией может быть представлена в виде (1), где {£,,•} - независимые одинаково распределенные гауссовские случайные величины.

Если множество отличных от нуля коэффициентов aj в (1) конечно, то при условии независимости порождающих случайных величин последовательность {Х^} представляет собой совокупность m-зависимых случайных величин. Если множество А0 :— {j е Z : aj ф 0} бесконечно, то зависимость между частями последовательности {Xfc} может быть достаточно сильной, и, в частности, классические условия перемешивания Розенблатта и Ибрагимова для нее могут не выполняться [5,6,8,13].

Пусть Atco = cr{Xj:j < /с} и — a{Xj,j > k + m} - ст-алгебры, порождённые соответствующими наборами случайных величин.

Определение 2. Последовательность {Xудовлетворяет условию перемешивания Розенблатта (сильное или а-перемешивание), если при т —» оо а(т) sup |Р(Я П А) - Р(£)Р(А) | -> 0. кег,АеА1„,веА?+т

Определение 3. Последовательность {Xк} удовлетворяет условию перемешивания Ибрагимова (так называемое равномерно сильное или ip-перемешивание), если при т —> со

V{m) := sup -; V ; ^ Л - 0. kez,AeAiootBeA?+m,P(A)#i

Условие «-перемешивания было предложено М. А. Розенблаттом в 1956 году [22]. Применимость этого условия к последовательностям скользящих средних исследовалась в работах [5,14,16]. Результат в наиболее общей форме был получен в [16], где описан подкласс скользящих средних со свойством «-перемешивания. Основным условием в [16] на распределение случайных величин ^ при этом является наличие плотности pit), удовлетворяющей условию Липшица в среднем: J \p(t + x) —p(t)\dt < С\х\. Кроме этого, коэффициенты aj должны удовлетворять определённым условиям, в частности, требуется сходимость ряда:

1/2 к> 0 |j|>fc |j|>fc 4

С другой стороны, в [13] было доказано, что для последовательности оо

Xk = з=О где - независимые бернуллиевские случайные величины, \р\ < 1, условие сильного перемешивания не выполняется. Основываясь на тех же рассуждениях, что и в [13], данный результат распространён на более общий класс скользящих средних, построенных по дискретным величинам с конечным множеством значений (теорема 1).

Отдельно можно выделить класс последовательностей, построенных по независимым гауссовским случайным величинам В этом случае {Xfc} является стационарной гауссовской последовательностью, а о-перемешивание эквивалентно полной регулярности ([7]). Известны необходимые и достаточные условия в терминах спектральной плотности, при которых стационарная последовательность является вполне регулярной: это так называемая теорема Хелсона - Сарасана (см. [7]). Однако непосредственная проверка этих условий является непростой задачей. С помощью этой теоремы в [5] было доказано отсутствие перемешивания для некоторой последовательности {Xfc}, построенной по недискретным случайным величинам (см. в [5] пример И. А. Ибрагимова). Более простые (достаточные) условия получены в [6] и [8]. Они сводятся к проверке положительности и непрерывности спектральной плотности стационарной гауссовской последовательности. В случае скользящих средних, построенных по независимьш одинаково распределённым случайным величинам спектральная плотность /(А) последовательности {Х^} имеет вид ке z при этом данная функция является непрерывной и положительной, если, например, Efc^feo \ак\ < KI для некоторого ко.

Условие !/>перемешивани Ибрагимова является более ограничительным, и, например, в случае независимых (или стационарно связанных) гауссовских величин оно выполняется только для последовательностей {Х^} с условием т-зависимости [6], т. е. только если множество А0 конечно. Тем не менее, для ограниченных порождающих величин {£,} в настоящей работе получены условия, при которых условие Ибрагимова выполнено и для бесконечного множества А0. Другие результаты первой главы посвящены доказательству отсутствия перемешивания для некоторых классов скользящих средних.

Во второй главе исследуются предельные распределения аддитивных статистик, построенных по наблюдениям, имеющим структуру скользящих средних, порождённых стационарной (в узком смысле) последовательностью {£,j}jzz- Примерами таких статистик являются центрированные нормированные суммы вида где g(t) - нелинейная функция. Хорошо известно, что в случае слабо зависимых наблюдений при достаточной скорости убывания коэффициента перемешивания выполнена центральная предельная теорема (ЦПТ), то есть имеет место сходимость к нормальному закону [1,6]. При определённых условиях ЦПТ может выполняться и для преобразований скользящих средних.

Как было указано, некоторые классы скользящих средних удовлетворяют условиям а- или ^-перемешивания. Стало быть, и любые измеримые преобразования таких скользящих средних также удовлетворяют указанным типам перемешивания. Поэтому ЦПТ для таких наблюдений можно получить с помощью классических результатов для последовательностей слабо зависимых величин [1,6]. Однако, в ряде других случаев условия перемешивания для исходных скользящих средних не выполнены. Например, для независимых гауссовских случайных величин {&}, как уже было отмечено, условие ^-перемешивания для последовательности {Х^} эквивалентно конечности множества ненулевых коэффициентов в последовательности {а3}. Если порождающие случайные величины ограничены, Y2jez\aj\ < оо и множество ненулевых коэффициентов с отрицательными индексами бесконечно, то условие (^-перемешивания также не выполнено (теорема 3). Кроме того, уже упоминались примеры скользящих средних без условия а-перемешивания.

Другой метод доказательства ЦПТ связан с исследованием последовательностей вида h(. ■ ■ •) - функций от сдвигов порождающей последовательности {£j}jez [1>6]. Ясно, что схема скользящих средних представляет собой частный случай приведённой модели. При этом случайные величины h(. • • •) приближаются функциями вида • • • зависящими лишь от конечного набора порождающих величин. Для простоты рассмотрим случай независимых одинаково распределённых величин и липшицевой функции д(х). Тогда возникающие в [1,6] условия для применимости ЦПТ для рассматриваемой последовательности {д(Хк),к > 1} при условии Е£д < оо выражаются в терминах коэффициентов {а.,} следующим образом: оо

Е(£ п\ V2

А) < оо. (4) п—\ |fc|>n

Если же существует момент Е|д(Х1)|2+<5, где 6 > 0, эти условия могут быть ослаблены [6]:

Y, Е| Еакt-*1+6 < (5)

П=1 \ |fc|>n / а если д{Х{) - ограниченная величина, то условие имеет вид: оо е| afce-fc| < ОО. (6) п=1 \к\>п

Условия (5) и (6) всегда влекут сходимость ряда Y2k lafel- Условие (6) является наиболее слабым из (4) — (6), но, например, в случае гауссовских величин условие (6) переходит в (4) и становится более ограничительным, чем сходимость ряда ]T)fc |a&|.

В случае липшицевой функции д{х) можно также воспользоваться результатами теоремы 5.5 в [18]. При этом возникает следующее условие на коэффициенты {aj}: оо оо 2 kl) <оо, (7) n=l |fc|>n которое является более жёстким, чем сходимость ряда Ylk lafc|

В более поздних работах [15,19,21,24] эти условия удалось ослабить - для выполнения ЦПТ в них требуется только сходимость Ylk 1а*=1' или Даже ЦПТ может быть получена без этого условия [15,24]. При этом работы [19,21, 24] посвящены исследованию лишь односторонних скользящих средних, то есть случаю, когда а3 = О при j < 0. В работе [15] ЦПТ получена для двусторонних скользящих средних с абсолютно суммируемыми коэффициентами {aj}jEz, и для односторонних - когда {(ij}jez не являются суммируемыми; при этом в обоих случаях предполагается, что порождающие величины являются независимыми.

В данной работе доказана ЦПТ для двусторонних скользящих средних, построенных по последовательности зависимых случайных величин с сьперемеши-ванием и при условии абсолютной суммируемости коэффициентов ak. В теореме 6 рассмотрены также двусторонние скользящие средние, причём один из рядов о или йк может расходиться, но при этом предполагается, что величины являются независимыми с симметричным распределением и функция д(х) является чётной. Следует, однако, отметить, что, например, в отличие от [15], результаты получены лишь для класса аналитических (целых) функций д(х) и при дополнительных ограничениях на распределение величин что является известной платой за отказ от независимости порождающих {£г}.

Как и в работах [1,6], в данной работе при доказательстве ЦПТ используется приближение последовательности д{Хк) функциями, зависящими от конечного набора порождающих величин fj. Если рассматривается целая функция g(t) = то в представлении для скользящих средних каждое слагаемое также зависит лишь от конечного набора величин Это позволяет получить необходимые оценки иначе, чем в [1,6], и ослабить требования на коэффициенты aj, но при этом как и в [6] можно рассматриваить порождающие величины {£j}jez с условием а-перемешивания.

Во втором параграфе исследуется предельное поведение ещё одного типа статиl> 1 г\,.,ц стик - канонических U- и V-статистик произвольного порядка, также построенных по наблюдениям

Определение 4. V-статистики (или статистики Мизеса) размерности d > 2 с ядром f{ti,. ,td) : —> К определяются равенством

V« = ^T2 £ f(Xkl,.,Xkd\ п = 1,2,. (8) l<fcl ,.,fcd<n fZ-статистики являются близкими к (8) функционалами и отличаются от них тем, что в области суммирования соответствующих кратных сумм в (8) исключаются так называемые диагональные подпространства, то есть суммирование ведётся только по наборам различных индексов.

Определение 5. U-статистики размерности d > 2 с ядром f(t\,., td) : Ed —» Ш определяются равенством п = 1,2,. (9) l<fcj.fcj<Tl

Определение 6. Статистика и её ядро f{ti,. ,td) называются каноническими (или вырожденными), если

Еf(ti,., tj-1, Xj, tj+x,., td) = 0 для любых j — 1,., d и tjiy. ,tjd e M.

Впервые асимптотическое поведение U- и V-статистик исследовалось в работах Р. Мизеса [25] и В. Хёфдинга [20]. Интерес к [/-статистикам обусловлен их универсальностью - обобщая суммы независимых случайных величин, они представляют собой многие вероятностные объекты математической статистики (подробнее см. в [Ю]).

В силу разложения Хёфдинга любую (/-статистику, не являющуюся вырожденной, можно представить в виде суммы главной части, и следующих по порядку членов - уже канонических статистик. При этом главная часть может быть исследована в рамках классической теории суммирования случайных величин, а распределения следующих членов могут представлять собой функционалы от конечно- и бесконечномерных гауссовских векторов, распределения многократных стохастических интегралов и др.

Если распределение Х\ не имеет атомов, то, доопределив ядро нулём на всех диагональных подпространствах, можно свести [/-статистику к статистике Мизеса. Кроме этого, [/-статистику размерности d всегда можно представить в виде некоторого полинома от У-статистик размерности не выше d. Это представление является ключевым при исследовании предельных распределений [/-статистик.

С помощью разложения ядра статистики по базисным функциям в ряд вида td)= J2 fh.^eM.-.e^ta) (10) исследование предельного распределения канонической U-статистики второго порядка можно свести к многомерной ЦПТ. Этот метод использовался, в частности, в работах [3, 23]. При d = 2 в ряде работ также использовалось представление г где Aj - собственные числа интегрального оператора с симметричным ядром /. Ещё в классической работе Р. Мизеса [25] таким образом было доказано, что предельное распределение [/-статистик, построенных по независимым наблюдениям, имеет вид оо к=1 где {т^} - гауссовская последовательность случайных величин. Для статистик произвольной размерности результат был получен в [23], в работе [3] рассматривались слабо зависимые наблюдения с условиями перемешивания.

В ряде работ использовался и другой подход к исследованию У-статистик - через их интегральное представление (см. [2,10,12,17]). В частности, в [2] получено представление предельного распределения канонических статистик Мизеса при минимальных требованиях на ядро / для наблюдений с -^-перемешиванием.

В настоящей работе исследуются статистики произвольной размерности, построенные по скользящим средним, порождённым последовательностью с условием а-перемешивания. Кроме этого, в случае независимых порождающих величин {£.,-} для статистик размерности два применены недавние результаты из работы [15] и существенно ослаблены требования на ядро /(£ь£г) и распределение £о.

Как и в работах [3,23] при исследовании статистик используется сведение к многомерной ЦПТ с помощью разложения вида (10). Как было отмечено, даже в случае независимых порождающих, скользящие средние могут представлять собой сильно зависимые величины для которых, в частности, не выполняются условия перемешивания, рассматриваемые в [3]. В связи с этим, ряд необходимых утверждений был перенесён на скользящие средние - это конечномерная ЦПТ, закон больших чисел и неравенства для моментов сумм.

Структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав и списка литературы. Нумерация теорем, лемм, предложений, замечаний и формул сквозная. Список литературы составлен последовательно по двум алфавитам - русскому и латинскому. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [4], [11]. Они докладывались на объединенном семинаре кафедры теории вероятностей и математической статистики НГУ и лаборатории теории вероятностей и математической статистики Института математики СО РАН под руководством академика А. А. Боровкова, а также на нескольких международных конференциях.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Сидоров, Дмитрий Иванович, 2010 год

1. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. — М.: Наука, 1977.

2. Борисов И. С., Быстрое А. А. Предельные теоремы для канонических статистик Мизеса, построенных по зависимым наблюдениям. — Сиб. матем. жур., 2006, т. 47, № 6, с. 1205-1217.

3. Борисов И. С., Володъко Н. В. Ортогональные ряды и предельные теоремы для канонических U- и V^-статистик от стационарно связанных наблюдений. — Матем. Труды, 2008, т. 11, № 1, с. 25-48.

4. Борисов И. С., Сидоров Д. И. Предельные теоремы для аддитивных статистик, построенных по выборкам скользящих средних. — Матем. Труды, 2010, т. 13, № 2, с. 3-24.

5. Городецкий В. В. О свойстве сильного перемешивания для линейно порождённых последовательностей. — Теор. вер. и её примен., 1977, т. 22, № 2, с. 421-423.

6. Ибрагимов И. А., Линник Ю. В. Независимые и стационарно связанные случайные величины. М., 1965.

7. Ибрагимов И. А., Розанов Ю. А. Гауссовские случайные процессы. М., Наука, 1970.

8. Колмогоров А. Н., Розанов Ю. А. Об условиях сильного перемешивания гаус-совского стационарного процесса. — Теор. вер. и её примен., 1960, т. 5, № 2, с. 222-227.

9. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1968.

10. Королюк В. С., Боровских Ю. В. Теория {/-статистик. Киев: Наукова Думка, 1989.

11. Сидоров Д. И. Об условиях перемешивания последовательностей скользящих средних. — Теор. вер. и её примен., 2009, т. 54, № 2, с. 374-382.

12. Филиппова А. А. Теорема Мизеса о предельном поведении функционалов от эмпирических функций распределения и её статистические применения — Теор. вер. и её примен., 1962, т. 7, № 1, с. 26-60.

13. Andrews D. W. К. Non-strong mixing autoregressive processes. — J. Appl. Prob., 1984, v. 21, N 4, p. 930-934.

14. Chanda К. C. Strong mixing properties of linear stochastic processes. — J. Appl. Prob., 1974, v. 11, N 2, p. 401-408.

15. Dedecker, J.; Merlevede, F.; Volny, D. On the Weak Invariance Principle for Non-Adapted Sequences under Projective Criteria — J. Theor. Probab., 2007, v. 20, p. 971-1004.

16. Doukhan, P. Mixing: Properties and Examples. Lecture Notes in Statistics, Springer, Berlin, 1994, v. 85.

17. Dynkin E. В., Mandelbaum A. Symmetric statistics, Poisson point processes and multiple Wiener integrals — Ann. Statist., 1983, v. 11, N 3, p. 739-745.

18. Hall P., Heyde С. C. Martingale Limit Theory and Its Application. New York: Academic Press, 1980.

19. Ho, H. C., Hsing, T. Limit theorems for functionals of moving averages. — Ann. Probab., 1997. v. 25. N 4, p. 1636-1669

20. Hoeffding W. A class of statistics with asymptotically normal distribution — Ann. Math. Statist. 1948, v. 19, p. 293-325.

21. Merlevede F., Peligrad, M., Utev S. Recent advances in invariance principles for stationary sequences. — Probability Surveys, 2006, v. 3, p. 1-36.

22. Rosenblatt, M. A central limit theorem and a strong mixing condition. Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1956, v. 42, p. 43-47.

23. Rubin, H.; Vitale, R. Asymptotic distribution of symmetric statistics. Ann. Statist., 1980, v. 8, N 1, p. 165-170.

24. Wu, W. B. Central limit theorems for functionals of linear processes and their applications. — Statist. Sinica, 2002, v. 12, p. 635-649.

25. Von Mises R. On the asymptotic distribution of differentiable statistical functions — Ann. Math. Statist. 1947, v. 18, p. 309-348.