Применение группового анализа дифференциальных уравнений к моделям гидродинамики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор физико-математических наук Родионов, Александр Алексеевич

• Родионов, Александр Алексеевич
• доктор физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Родионов, Александр Алексеевич

Введение.

Раздел 1. Групповой анализ уравнений двумерных движений идеальной жидкости

1.1. Основная группа в эйлеровых координатах

1.2. Группа Ли для уравнений в лагранжевых координатах.

1.3. Система уравнений при нулевой завихренности

1.4. Инвариантность начальных условий. Групповая классификация

1.5. Система уравнений 3-го порядка. Произвольные лагранжевы координаты

1.6. Примеры нестационарных точных решений

1.6.1. Вихревые движения плоского слоя

1.6.2. Птоломеевские течения

Раздел 2. Уравнения плоских движений неоднородной несжимаемой жидкости.

2.1. Уравнения движения и основная алгебра Ли

2.2. Оптимальная система подалгебр первого порядка

2.3. Фактор-системы

2.4. Групповая классификация уравнений в лагранжевых координатах

2.5. Точные решения уравнений в эйлеровых координатах

2.6. Точные решения уравнений в лагранжевых координатах . 100 Раздел 3. Плоские движения вязкой несжимаемой жидкости в переменных скорость-завихренность

3.1. Групповые свойства уравнений в случае постоянной вязкости.

3.2. Оптимальная система подалгебр первого порядка

3.3. Построение фактор-систем (z/ == const).

3.4. Групповая классификация уравнений по функции вязкости, зависящей от времени.

3.5. Некоторые точные решения .:.

Раздел 4. Групповой анализ уравнений вращательно-симметричного движения идеальной несжимаемой жидкости

4.1. Уравнения движения и основная алгебра Ли операторов в эйлеровых координатах

4.2. Групповая классификация уравнений в лагранжевых координатах по функции начального распределения момента импульса

4.2.1. Групповая классификация в общем случае.

4.2.2. Инвариантность начальных условий

4.3. Групповые свойства осесимметричных движений идеальной жидкости

4.3.1. Уравнения в эйлеровых и лагранжевых координатах

4.3.2. Групповая классификация уравнений в лагранжевых координатах по функции завихренности с учетом начальных условий.

4.4. Некоторые точные решения

4.4.1. Инвариантные решения в эйлеровых координатах

4.4.2. Решения в лагранжевых координатах , описывающие движение со свободной границей

Раздел 5. Уравнения вращательно-симметричного движения неоднородной жидкости.\.

5.1. Алгебра Ли операторов уравнений в эйлеровых координатах

5.2. Оптимальные системы подалгебр

5.2.1. Система первого порядка в\

5.2.2. Система второго порядка #

5.3. Групповая классификация уравнений в лагранжевых координатах по функциям начального распределения плотности и момента импульса.

5.3.1. Групповая классификация в общем случае.

5.3.2. Инвариантность начальных условий

5.4. Примеры точных инвариантных решений.

5.5. Групповой анализ одного неклассического уравнения.

Раздел 6. Групповой анализ уравнений конвективного движения жидкости при пониженной гравитации

6.1. Построение основной алгебры операторов.

6.2. Оптимальная система подалгебр первого порядка

6.3. Оптимальные системы подалгебр второго порядка

6.4. Построение фактор-систем и решений

Раздел Т. Интегрирование уравнений гидродинамической модели глаза тайфуна

7.1. Уравнения вращательно-симметрической модели и их групповой анализ

7.2. Точные решения вращательно-симметрической модели

7.3. Лагранжевы координаты

7.4. Уравнения общей модели и основная алгебра операторов

7.5. Некоторые точные решения

7.6. Уравнения общей модели в координатах Лагранжа.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Применение группового анализа дифференциальных уравнений к моделям гидродинамики»

Актуальность темы

Групповой анализ дифференциальных уравнений давно стал мощным инструментом исследования нелинейных уравнений и краевых задач. Особенно плодотворно его применение к фундаментальным уравнениям механики и физики, поскольку принципы инвариантности закладываются уже при выводе этих уравнений. Как заметил ещё Софус Ли, знание группы преобразований, относительно которых инвариантна система уравнений, помогает в определенных случаях находить некоторые (инвариантные) решения этой системы в явном виде. Ли указал способ вычисления для заданных систем дифференциальных уравнений групп преобразований и привел примеры построения инвариантных решений. Этот метод является одним из очень немногих методов построения точных решений нелинейных уравнений в частных производных безотносительно к их типу и происхождению.

Существенное развитие теория Ли групповых свойств дифференциальных уравнений получила в работах Л.В. Овсянникова, Н.Х. Ибрагимова, их учеников и последователей /54-57, 44/. Были изучены групповые свойства ряда уравнений механики и физики. Систематические исследования по применению методов группового анализа к моделям механики сплошной среды были начаты Л.В. Овсянниковым и его школой в конце 50-х годов прошлого столетия В работах Л.В. Овсянникова, Н.Х. Ибрагимова,

B.В. Пухначева, С.В. Хабирова, Ю.Н. Павловского, А.А. Бучнева, В.О. Бы-тева и других авторов впервые были изучены групповые свойства дифференциальных уравнений механики жидкости и газа, а также показано, каким образом эти свойства можно использовать для решения физически важных задач В настоящее время наряду с указанными авторами исследование уравнений механики сплошной среды продолжается В.К. Андреевым, О.В. Капцовым, С.В. Мелешко, С.И. Сенашовым, А.П. Чупахиным,

C.В. Головиным и др.

Современное развитие получила концепция программы ПОДМОДЕЛИ, которая была предложена Л.В. Овсянниковым в 1991 г. на Седьмом Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике. Концепция направлена на полное и систематическое изучение групповых свойств различных моделей механики сплошной среды. Под руководством J1.B. Овсянникова группой исследователей ведется активная работа по реализации этой программы для уравнений газовой динамики. Работа над данным проектом привела к оформлению более четких алгоритмов, используемых в групповом анализе, а также к расширению его теоретической базы. В частности, были обобщены результаты по построению нормализованных оптимальных систем подалгебр.

Уравнения гидродинамики и газовой динамики были первым объектом приложения новых идей и методов группового анализа, развиваемых Л. В. Овсянниковым. Так основная алгебра Ли нестационарной системы уравнений Эйлера в R3 была вычислена

A.А. Бучневым /34/. Структура этой алгебры изучалась в работе С.В. Хабирова /84/. Используя свойства инвариантности уравнений Эйлера, Н.Х. Ибрагимов нашел новые законы сохранения /43/. Некоторые инвариантные решения уравнений Эйлера рассматривались в работах Л.В. Овсянникова /55/, В.И. Налимова, В.В. Пухначева /53/. Групповые свойства и решения уравнения Навье-Стокса исследовались В.О. Бытевым /35/, Л.В. Капитанским /46/, В.В. Пухначевым /60/.

Известно со времен Коши, что некоторые уравнения гидродинамики интегрируются в лагранжевой системе координат. Новая система состоит из меньшего числа уравнений, содержит произвольные функции — начальные данные исходной системы — и может обладать более широкой группой преобразований в смысле Ли. Впервые группа Ли точечных преобразований в лагранжевых координатах была вычислена для уравнений газовой динамики с плоскими, цилиндрическими и сферическими волнами в работе

B.К. Андреева /5/. Уравнение состояния было взято политропным. Задача о движении идеальной жидкости при наличии вращательной симметрии была рассмотрена в /63, 64/. А в /65/ аналогичная задача была решена для неоднородной жидкости. Более полная групповая классификация уравнений Эйлера вращающейся жидкости в лагранжевых координатах получена в работах /12, 13, 15/. Для уравнений плоских течений однородной и неоднородной жидкости в лагранжевых координатах группа Ли вычислена в /14, 15, 16/. Там же построены точные решения, описывающие движения со свободными границами. В указанных работах лагранжевы координаты определялись как декартовы координаты жидкой частицы в начальный момент времени.

Для одномерных движений газа часто используются массовые лагран-жевы координаты. При этом новая система состоит из такого же числа уравнений, что и исходная система. В работе /41/ найдена группа для уравнений одномерной магнитной гидродинамики в массовых лагранжевых координатах и построены примеры точных решений. Для системы уравнений газовой динамики с плоскими волнами с учетом теплопроводности и источника (стока) аналогичная задача решена в /36/. Решению задачи групповой классификации для обычных уравнений одномерной газовой динамики, записанной в произвольной системе координат, посвящена работа /38/.

В большой и содержательной работе /29/ развит конструктивный метод построения квазилокальных симметрий, основанный на теории групп Ли-Беклунда. Этот метод, в частности, позволил найти квазилокальные симметрии плоских одномерных движений газа и выявить скрытную симметрию газа Чаплыгина /29, 30, 31/.

Следует также отметить интересную работу /61/, где переход к лагран-жевым массовым координатам применялся для нелинейного уравнения теплопроводности и эволюционных уравнений высших порядков.

Задача о движении идеальной несжимаемой жидкости сводится к отысканию решения уравнений Эйлера где вектор скорости й = (ui, щ, щ), давление р и плотность р суть искомые функции точки пространства х — (x,y,z) и времени t. В уравнении (0.1) d/dt = d/dt + uSJx — оператор полной производной, вектор массовых сил д считается известной функцией от х, t. Индекс "ж" при дифференциальных операторах div и V указывает на то, что операции выполняются по переменным х, у, г.

Уравнения Эйлера (0.1), (0.2) должны удовлетворяться в некоторой области на границе Г которой задаются те или иные граничные условия. Важным в теоретическом и практическом отношении являются задачи, в которых область заранее не фиксирована, но известно, что ее граница Г является свободной. Это означает, во-первых, что нормальная составляющая скорости жидкости в точках границы совпадает со скоростью перемещения самой границы в направлении нормали (кинематическое

0.1) + р divzW = 0,

0.2) условие). Во-вторых, давление на свободной границе пропорционально ее средней кривизне (динамическое условие).

Если искать уравнение свободной границы в виде Tt : f(x,t) = 0, то кинематическое и динамическое условия равносильны уравнениям при / = 0; (0.3) р-ро = 2аК при / = 0. (0.4)

Здесь а > 0 — коэффициент поверхностного натяжения; К — средняя кривизна свободной границы {К > 0, если Г выпукла наружу жидкости). Величина 2аК в соответствии с формулой Лапласа есть капиллярное давление. Функция po(x,t) является заданной и представляет собой внешнее давление. В ряде задач свободная граница составляет часть всей границы области О. При этом на оставшейся части границы Е выполняется условие непротекания u-v) -пЕ = 0, (0.5) где v — скорость Е, а П£ — ее внешняя нормаль.

Кроме граничных условий к уравнениям (0.1), (0.2) следует присоединить начальные условия, которые состоят в задании области Qq с границей Го, вектора скорости щ и плотности ро при t = 0, причем div щ = 0. Таким образом, u\t=0 = щ{х), p\t=о = А)(®)> dhvu0 = 0, х в Qq. (0.6)

Задача со свободной границей состоит в определении при t > 0 области Qt с границей Г( решения u(x,t), p(x,t), p(x,t) системы (0.1), (0.2) в этой области, так чтобы удовлетворялись условия (О.З)-(О.б).

Необходимость поиска области Qt усугубляет трудности, и без того присущие задаче интегрирования уравнений Эйлера. Специфика кинематического условия (0.3) позволяет преобразовать эту задачу к другой, в которой область определения решения фиксирована заранее. Последнее достигается переходом к лагранжевым координатам. В случае плоской и вращательной симметрии уравнения движения в переменных Лагранжа имеют вид (1.2.3), (4.2.4) для однородной жидкости и (2.4.3), (5.3.3) для стратифицированной жидкости.

Поскольку для любой гладкой функции = f(x(£,t):t), где £ Е

Qo лагранжевы координаты, имеем dh/dt = df/dt, то уравнение свободной границы Tt в лагранжевых координатах есть просто h(£) = /о(0 = 0 о(0 = 0 — уравнение начальной границы Г). Значит, кинематическое условие (0.3) равносильно тому, что точки являются образом точки Г при отображении £ —> £ £ Г. Тогда, если Tt построить как образ

Г при этом отображении, кинематическое условие (0.3) будет выполнено автоматически. Тем самым задача со свободной границей может рассматриваться как задача отыскания отображения t) уже в фиксированной области Соответствующие системы уравнений для трехмерных движений выведены в работах /49, 51/.

Динамическое условие (0.4) также переписывается в переменных Лагранжа (подробности, см. в /6/): где К — средняя кривизна свободной границы в лагранжевых координатах.

Замечание 0.1. Если в граничном условии (0.4) ро = po(t), то преобразование эквивалентности р' = p + po(t) позволяет считать ро = 0.

Замечание 0.2. Для потенциальных внешних массовых сил д = Vxh замена р — р + h приводит к уравнениям Эйлера однородной жидкости (р = const) для функций и, р с д = 0. В этом смысле групповые свойства систем (0.1), (0.2) с д = Vxh и д = 0 одинаковы для однородных жидкостей. Однако указанная замена ие сохраняет динамическое условие (0.4) на свободной границе.

Замечание 0.3. Пусть в (0.1) g = g(t), тогда преобразования являются преобразованиями эквивалентности для (0.1) и в уравнениях можно считать g = 0. Условия на свободной поверхности инвариантны относительно преобразования (0.8). Более того, преобразования (0.8) справедливы для уравнений движения вязких теплопроводных жидкостей при наличии поверхности раздела /25/.

В эйлеровых координатах инвариантные решения для уравнений гидродинамики со свободной границей изучались в работах Л.В. Овсянникова, В.В. Пухначева, В.О. Бытева, С.В. Хабирова, В.М. Меныцикова и других.

Следует отметить, что переход от эйлеровых к лагранжевым координатам — нелокальное преобразование и между группами Ли изучаемых р~р0 = 2аК1 £ £ Г,

0.7) t Т

0 0 о уравнений, вообще говоря, не должно быть изоморфизма. Поэтому группу Ли уравнений Эйлера в лагранжевых координатах необходимо вычислять независимо. Кроме того, в случае плоского и вращательно-симметричного движения уравнения Эйлера частично интегрируются. Новые системы состоят из меньшего числа уравнений, содержат произвольные функции, что делает актуальной задачу групповой классификации.

Задача классификации всего класса инвариантных и частично инвариантных решений уравнений гидродинамики ещё не решена. Она является комплексной и включает алгебраические и теоретико-групповые аспекты (построения, с точностью до подобия, всех подгрупп групп симметрий моделей и подмоделей), задачу групповой классификации и исследование фактор-систем. Для изучаемых здесь систем уравнений типична бесконечномерность допускаемых алгебр Ли, что сильно затрудняет изучение их структурных свойств.

Диссертация посвящена исследованию качественных свойств некоторых моделей гидродинамики на основе методов группового анализа дифференциальных уравнений.

Метод группового анализа

Дадим краткое описание классических фактов теории группового анализа дифференциальных уравнений, получивших систематическое изложение в работах Л.В. Овсянникова /56/ и Н.Х. Ибрагимова /44/. Представление основных моментов теории приведено для конечномерных пространств.

Локальные группы преобразований. Пусть V — некоторое открытое множество в евклидовом пространстве RN точек ж = (ж1,. ,xN), а Д — открытый шар в r-мерном евклидовом пространстве Rr с центром в точке 0. Рассматриваются гладкие отображения

F : VxA-+Rn,

0.9) которые обладают следующими свойствами:

1) /(ж, 0) = х для любого х Е RN;

2) /(/(ж, а), Ь) = /(ж, </?(а, Ъ)) для любых а, b из некоторого открытого шара А' С А, ж £ У, Отображение ср : А' х А' —Д определяет закон умножения преобразований (0.9);

3) если а Е Д и /(ж, а) = х для всех ж G V, то а = 0;

4) / G C°°(V х Д).

0.10)

Координаты точки а = (а1,. ,а') из А играют роль параметров преобразований ((0.9). Для отображения ip выполняются аксиомы:

1) (р(а, 0) = <р(0, а) = а для любого a Е А';

2) ip(ip(а, 6), с) = <р(а,<р(Ь,с) для любых а, Ь, с Е А', для которых ip(a, Ъ) Е А' и ip(b, с) Е А';

3) (ре С°°(А' х А').

Множество (2, всех преобразований (0.9), удовлетворяющих свойствам(0.2), называется локальной г-параметрической группой Ли локальных преобразовании пространства или просто группой Gr. Каждое преобразование /о € Gr, а Е А, в координатной записи имеет вид ^ = /'(*, a), i=l1.,N. (0.11)

При г = 1 локальная группа Ли называется однопараметрической группой преобразований и обозначается через G\. В дальнейшем это обозначение будет часто использоваться.

Касательное векторное поле. Для отображения / из группы G\ фиксируем точку х Е V. Тогда отображение fx : А —> RN определяет некоторую кривую fx(А) в RN, заданную параметрическим уравнением = /ж(о) = f(x,a), а Е А, и проходящую через точку х. Кривая fx(А) называется орбитой точки х, или Gi-орбитой. Вектор построенный по формуле df(x,a) да daf(x,0), (0.12) а=0 является касательным вектором к орбите fx(А) в точке х. Формула (0.12) определяет касательное векторное поле £ : V —у RN группы G\.

Тесная связь между группой G\ и ее касательным полем устанавливает Теорема Ли. Пусть дано гладкое векторное поле £ : V —> RN. Тогда отображение f, построенное как решение задачи Коши = ?(/). /|„=о =х' (°-13) порождает локальную однопараметрическую группу JIu G\. Обратно, если для группы G\ орбита точки х является интегральной кривой уравнения Ли (0.13), то векторное поле £ является касательным векторным полем группы G\.

Уравнение Ли — основное в групповом анализе и устанавливает взаимно однозначное соответствие с точностью до произвольного ненулевого числового множителя между группой G\ и ее касательным векторным полем.

В координатной записи уравнение (0.13) принимает вид системы обыкновенных дифференциальных уравнений = C(f\.--JN), Г(х,0) = х\ i = l,.,N, где ^(ж1,., xN) — координаты векторного поля £ = ., £N) в точке х.

Если для каждой однопараметрической подгруппы группы Gr построить соответствующее касательное векторное поле, то эти поля образуют r-мерное векторное пространстве Lr.

Инфинитезималъный оператор. Пусть / : V х Д —> RN есть отображение, порождающее группу Gr. Рассмотрим дифференцируемое отображение F : RN —RM на Gi-орбите точки х 6 V С RN. Изменение значений F в точке а = 0 дается формулой dF(f(x,a))\a=0 = daf(x,0)dF=(t-d)F(x) (0.14) и называется производной Ли отображения F относительно группы G\.

Линейный дифференциальный оператор £ • д, действующий на отображение F по формуле (0.14), обозначается символом X и в координатной записи имеет вид = ^ s ^ •

Оператор X называется инфинитезималъным оператором группы G\. Координаты £г касательного векторного поля £ = • • •, называются также координатами инфинитезималыюго оператора £ • д.

Взаимно однозначное соответствие между группой G\ и касательным векторным полем между касательным полем £ и оператором X приводит к взаимно однозначному соответствию между группой G\ и оператором X (G\ -f* X). Инфинитезимальный оператор считается определенным с точностью до произвольного ненулевого числового множителя.

Алгебра Ли операторов. Векторное пространство L, в котором задан билинейный закон умножения [а, 6], называемый коммутатором элементов a, b 6Е удовлетворяющий свойству антисимметричности [а, 6] = —[6, а] и тождеству Якоби [[а, Ь], с] + [[&, с], а] + [[с, а], Ь] — 0, называется алгеброй Ли.

Рассмотрим r-параметрическую группу Gr преобразований (0.9) и соответствующее ей r-мерное векторное пространство Ьг касательных векторов. Коммутатором векторных полей £i, £2 £ Lr называется векторное поле, обозначаемое символом [£i, £2] и определяемое формулой

Кь 6] - (£1 • д)Ь - (£2 . д)Ь = - (0-15) где £1, £2 — производные отображений £1, £2 : RN —> RN • Векторное пространство Lr является алгеброй Ли относительно умножения (0.15).

Для соответствующих инфинитезимальных операторов = £1 • д = = ■ di, Х2 = £2 • д = £2 " задается оператор [Xi, Х2], называемый коммутатором операторов Xi, Х2, и выражается формулой

ХЪХ2] = Х,Х2 - = Кь 6] ■ д = (Хх(Й) - (0.16)

Итак, закон умножения (0.16) определяет понятие алгебры Ли ЬГ инфинитезимальных операторов. Каждой группе Gr устанавливается взаимно однозначно алгебра векторных полей £ и операторов X (Gr -Н- Lr). В качестве базиса алгебры Lr операторов можно взять операторы

Xa = €a{x)di, а = 1 которые образуют замкнутую систему относительно операции коммутации.

Размерностью алгебры Ли операторов L называется размерность L как векторного пространства.

Алгебра Ли L называется коммутативной, если [£1,^2] = 0 для любых £2 е L.

Подпространство V С L называется подалгеброй в Ь, если [£i,£2] £ L' для любых £1, £2 £ L'.

Подалгебра Ли L' С L называется идеалом, если для любых £' Е L' и £ £ L коммутатор [£',£] £ L'.

Вещественные постоянные С^, определяемые выражением

Xi, Хт] = CfmXk, Xi, Хт: Xk Е L, называются структурными константами алгебры операторов L.

Инвариантные многообразия. Переход от группы Gr к соответствующей алгебре Ли L связан с изучением инвариантности свойств различных объектов. Отображение F : RN —> RM свойств называется инвариантом группы Gr преобразований (0.9) в RN, если F(x) является неподвижным элементом на GV-орбите каждой точки х € RN, т. е. F(f(x, а)) = F(x).

Имеет место критерий инвариантов. Отображение F : RN —> RM, F ^ const, класса C1(RN) является инвариантом группы Gr, если и только если для любого х G RN выполнена система дифференциальных уравнений

XaF{x) = (& ■ di)F(x) = 0, а = 1,., г, (0.17) где £га, i = I,., N, — координаты базисных векторных полей алгебры Ли группы Gr.

Число решений уравнения (0.17) определяется величиной r*(£) = rank = rank

Й ■ fr1 •

0.18)

Если г* < N, то система (0.17) имеет (N — г*) функционально независимых решений, которые образуют базис инвариантов группы Gr. При г* = N группа Gr не имеет инвариантов и называется транзитивной. Многообразие Ф С RN, заданное уравнениями ф{х) = 0, ф = (0.19) называется инвариантным многообразием группы Gr, если для любого жбФи для любого преобразования fa G Gr следует, что fa(x) = f(x, a) G Ф, другими словами, орбита любой точки х G Ф содержится в Ф.

Многообразие Ф, регулярно заданное уравнениями (0.19) (т. е. rank Ф = — N — s), инвариантно относительно группы Gr, если и только если

Хафа(х) = ■ д)фа(х) = 0, а = 1 (7 = 1,., 5, (0.20) для всех точек этого многообразия.

Многообразие Ф С RN называется неособым многообразием (относительно группы G>), если г*(£|ф) = г*(£). Если г*(£|ф) < г*(£), то многообразие Ф называется особым.

Пусть г*(£) постоянен в некоторой окрестности неособого многообразия Ф и меньше N. Пусть Ji(x),., Jw-r(x) — базис инвариантов группы Gr. Тогда задание инвариантного многообразия Ф группы Gr уравнением (0.19) может быть реализовано в виде = (0.21) 14

Так как С?г-орбита содержится в Ф для любой точки ж 6 Ф, то г* ^ iV — s. Рангом многообразия Ф С RN относительно группы Gr называется ранг его орбиты /(Ф,Д) и обозначается символом /?(Ф, Gr). Уравнение (0.21) представляет (N — б)-мерное многообразие Ф С RN как многообразие размерности р = N — s — г* в пространстве инвариантов Ji,., «/дт-г,

Для многообразия Ф С RN Gr-орбита является минимальным инвариантным относительно Gr многообразием, содержащим Ф как подмногообразие. Дефектом многообразия Ф С RN относительно группы Gr называется число

S(Ф, Gr) = dim /(Ф, Д) - dim Ф. (0.22)

Число S дает количественную характеристику того, насколько не инвариантным является Ф относительно группы Gr. Инвариантные многообразия характеризуются условием (5 = 0. Дефект многообразия, заданного уравнением (0.19), равен

5 = rank дфк(х) к — 1,., 5, ф дх1 где {£а} — базис векторных полей операторов группы Gr.

Ранг (N — s)-MepHoro многообразия, имеющего дефект равен p = N-s-r* + 6, (0.23) причем 5 может принимать любые целые значения, удовлетворяющие условиям max{r* -7V + s,0} < S ^ min{r*,s- 1}. (0.24)

Продолжение группы и оператора. Одним из наиболее существенных приложений теории групп Ли является их использование в общей теории дифференциальных уравнений.

Пусть участвующие в рассмотрении, переменные подразделяются на независимые х = (ж1,., хп) Е Rn и зависимые и = (гг1,., ит) Е Rm переменные. Рассмотрим однопараметрическую группу G\ преобразований

X11 = fl(x,U, a), fl\ п = Х1, г = 1, . 77-,

J К ' ; J |а=0 (0.25) и'а = да(х,и,а): 9а\а=0 = иаос = 1,., т, в пространстве Rn+m переменных х, /, да Е C°°(Rn+m X Д). Оператор группы G\ в этом случае имеет вид

Г\ Г\

Х = £Эх + иди = ё(х, Г)а(х, и)— , (0.26) где е = daf{x, и, 0), 77" = дада(х, и, 0).

Оператором полного дифференцирования по переменной хг называется дифференциальный оператор вида + + - + (а27)

Каждое отображение и : Rn —Rm класса C°°(i?n) продолжается до к отображений и : Rn —>> Rnm,.:u : Rn —>• Rnm. Это отображение осу-1 к ществляется с помощью операторов дифференцирования действующих по формуле

Г дк(иа) 1 и = {дкхи} = ^ дхк dxik о; = 1,., m; iu ., ik = 1,., nj, k = 1,2,.

Для образований (0.25) определяется fc-e продолжение преобразований

1 к 1 к где отображения v = v[x, и,и}. ,u),l — 1,., fc, в более подробной записи имеют вид

U = у (з.«> Y' • • •' Y» а)' У fi.i,|a=0 = uS.ii> * = (0-28)

Отображения у находятся из рекуррентных формул v-Df = Dg, v • D f — D v , 1 = 2,.,к, i i i i i i i-i где = + = — усеченные операторы полного дифi i i i-i i i ференцирования (0.45), оператор дифференцирования д следует понимать как вектор с координатами ди? .= 9 г1"Л1 dulA[

В результате получается однопараметрическая группа G i преобразований к

0.25)), (0.46), которая называется к-м продолжением группы G\. Касательный вектор продолженной группы G\ записывается так: к к 1 к 16

Все компоненты "Л (I = 1,., к) выражаются через 77 с помощью формул продолжения векторного поля £ = rj = D v -U-DZ, 1 = 1,.т? = 77. (0.29) i i i~i i i о

В частности, Vf — D i{r)a) - uj Di(t;j), здесь ъ д , P д ■ 1 1

Продолженным оператором, или к-м продолжением оператора (0.44), называется оператор

Х = £-д = £-дх + т1-ди + г1.д+. + ,П-д. (0.30) к к 11 к к

Дифференциальным инвариантом порядка к группы G\ называется инвариант группы G1, зависящий от вектора и. В силу критерия (0.17) все к дифференциальные инварианты F группы G\ порядка не выше чем к являются решением дифференциального уравнения

XF = ((-d)F(x,u,u,.,u) = 0, к к 1 к в котором X — продолженный оператор (0.48). к

Определяющие уравнения. Пусть в пространстве переменных (ж, и1 и1., и), где х £ Rn, и £ Rm, и,1 — 1,.,к, — продолженные отобра

1 к I жения, рассматривается многообразие Е, заданное уравнениями в частных производных ф, и, и,., и) = 0, е = (г1,., es) в Rs. (0.31)

1 /с

Многообразие Е называется дифференциальным инвариантным многообразием группы Gi, определяемой преобразованиями (0.25), если оно является инвариантным многообразием группы Gilt

Задача об отыскании всех групп G\, допускаемых системой Е, рассматривается в предположении, что отображение е принадлежит классу С°° своих аргументов, а многообразие Е задано уравнением (0.49) регулярно. В этом случае может быть применен критерий инвариантности (0.20) многообразия Е относительно преобразования группы G\. Он дает необходимые и достаточные условия инвариантности Е относительно G\

Условие (0.32) рассматривается как уравнение относительно неизвестного векторного поля £ = (С)7?)- Из формул (0.47), (0.48) следует, что (0.32) есть система линейных однородных дифференциальных уравнений относительно координат £(х,и), г)(х,и) оператора X (0.44). Величины х,и,и,. ,и в (0.32) играют роль независимых переменных, связан-1 к ных только соотношениями (0.49). Переход на многообразие Е в (0.32) связан с тем, что в (0.49) выбирается s различных координат вектора и,., и), относительно которых уравнения могут быть "алгебраически" 1 к решены, с дальнейшей подстановкой в (0.32). Условие (0.32) должно выполняться по всем "свободным" переменным. Это приводит к тому, что уравнения (0.32) реализуются как переопределенная система дифференциальных уравнений относительно г).

Уравнения (0.32) называются определяющими и обозначаются символом DE. Множество всех решений £ — уравнений (0.32) образует алгебру Ли, а соответствующая этой алгебре локальная группа Ли представляет наиболее широкую группу преобразований пространства Rn+m, допускаемую системой (0.49).

Инвариантные и частично инвариантные решения. Пусть Gr — максимальная группа, допускаемая уравнениями Е из (0.49). Каждое решение уравнения Е есть отображение Rn —У Rm. Множество всех решений класса C°°(V) на открытом множестве V С R71 обозначим символом SE. Фундаментальное свойство уравнения Е состоит в том, что под действием любого преобразования из Gr каждое решение и 6 SE преобразуется в решение того же уравнения Е.

Всякое решение и — и(х) можно трактовать как n-мерное многообразие U в (п + ш)-мерном пространстве переменных (х, и), заданное уравнением

Если уравнение Е допускает группу G>, то оно допускает и любую подгруппу Н С Gr. Решение и G SE называется инвариантным Н-решением уравнения Е, если соответствующее ему многообразие U С Rn+m является инвариантным многообразием группы Н.

0.32)

U : и — и{х) = 0.

0.33)

Пусть 7% = г* (С) — общий ранг касательного отображения £ группы Н. Решение и уравнения Е будет неособым по отношению к группе Н, если ранг г* сохраняется на многообразии U, т. е. г* = (С\и) — г*- Предполагаем, что U — неособое многообразие относительно Н.

Алгоритм построения инвариантных решений уравнения Е включает в себя несколько этапов: а) пусть Н — r-параметрическая группа, {(£а, r)a), а = 1,., г} — базис алгебры Ли этой группы. Предположим, что г* = (£а>?7а) < п (0.18). Выбираем базис инвариантов группы Н

Ji(x,u),., Jn+mr.(a;,u); (0.34) б) проверяется необходимое условие существования неособых инвариантных //"-решений уравнения Е, а именно: г* ^ п, г* = (С) = г*; (0.35) в) согласно (0.21) неособые инвариантные решения (0.33) ищутся в виде

Фа( Jh ., Jn+mrJ = 0, а = 1,., т. (0.36)

Для того чтобы многообразие (0.36) можно было записать в разрешенном виде (0.33), инварианты (0.34) должны быть независимы по отношению к переменным и, т. е. dJi rank —j- = га, (0.37) что является следствием (0.35). За новые "искомые функции" принимаются т инвариантов, удовлетворяющих (0.37), а оставшиеся (п—г*) инвариантов принимаются за "независимые переменные"; г) для любой группы Н, допускаемой системой Е и удовлетворяющей условиям (0.35), определяется преобразование системы Е в фактор-систему Е/Н. Фактор-система Е/Н обладает важным свойством: ее "искомые функции" зависят от меньшего, чем в исходной системе, числа "независимых переменных".

Число р = п—г* называется рангом инвариантных решений. Если р = 0, то фактор-система Е/Н является системой конечных (не дифференциальных) уравнений, если р — 1, то системой обыкновенных дифференциальных уравнений.

Отметим, что существование инвариантных Я^-решений не гарантируется фактор-системой Е/Н.

Построение частично инвариантных решений расширяет возможности дальнейшего поиска частных решений дифференциальных уравнений.

Решение и 6 SE называется частично инвариантным Н-решением уравнения заданного (0.49), если многообразие-решение U является частично инвариантным многообразием группы Н, допускаемой уравнением Е.

Согласно (0.22), (0.23) многообразие U характеризуется двумя целочисленными величинами, а именно рангом р = p(U, Н) и дефектом 6 = S(U, Н) соответствующего частично инвариантного решения.

Необходимым условием существования , частично инвариантных iJ-решений ранга р ^ п — 1 являются неравенства на дефект <5 max{r* — п, 0} ^ 5 ^ mm{r* — 1, т — 1}, причем т — 5 ^ rank\\dJi/duk\\, где {Ji} ~ базис инвариантов группы Н.

Алгоритм построения частично инвариантных решений аналогичен алгоритму построения инвариантных решений.

Групповая классификация. Большую роль в прикладных вопросах играет задача групповой классификации дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения часто содержат некоторый произвол, выражающийся в зависимости уравнений от параметров или функций (от произвольного элемента). Групповой подход позволяет принять требование на выбор произвольного элемента, чтобы при соответствующем выборе этого элемента моделирующее дифференциальное уравнение допускало группу с определенными свойствами или наиболее широкую группу преобразований.

Пусть определено отображение в : Rn х Rm —У R\ действующее по формуле t = 9(х,и). Уравнение вида е(9,г) = е(е(х,и),х,и,и,.,и) = 0, z = (x,u,u,.1u), (0.38)

К х rZ tZ л. К где е = (е1,. ,es) Е Rs, называется уравнением с произвольным элементом в и обозначается символом Е(9).

При исследовании (0.38), во-первых, надо привести уравнение к возможно более простому виду, т. е. за счет преобразования подобия (см. /56, с. 76/) уменьшить произвол, содержащийся в системе Е{9). На практике предварительное упрощение уравнения за счет подходящего преобразования подобия есть не что иное, как классическая "замена переменных", которая не влияет на групповые свойства дифференциальных уравнений.

Во-вторых, для задачи групповой классификации существенно определение таких преобразований, которые действуют только на произвольный элемент 9, сохраняя структуру дифференциальной системы Е(в). Такие преобразования называются преобразованиями эквивалентности. Они образуют группу G(t).

Отыскание преобразований эквивалентности для уравнения E(t): e(t, z) — 0 осуществляется из условия инвариантности (0.32) многообразия E(t), считая t независимым элементом: т. ft)e (*,*) +(c-a)e(t,f) 0. (0.39) т

Здесь

T-dt + (-d = T-dt + £-dx + r)'du + V-d + . + 'n-d к 11 к к есть оператор какой-либо группы из G(t).

Пусть G(9) — основная группа уравнения Е(9), заданного равенством (0.38). Группа G0, равная пересечению всех групп G(9), когда в пробегает множество всех отображений Rn х Rm —у R\ называется ядром основной группы. Группа G0 допускается уравнением Е{9) с любым произвольным элементом в. Каждая группа G{9) является расширением группы G° С G{9). Ядро основной группы G0 содержится в группе эквивалентности G(t).

Каждое конкретное отображение 9 : Rn х Rm Rl называется специализацией произвольного элемента.

Задача групповой классификации состоит в следующем: для класса дифференциальных уравнений Е{9) найти ядро основной группы

G0 и все специализации произвольного элемента 9, дающие расширение группы G0.

Описание процесса решения задачи классификации.

1. Строится условие инвариантности уравнения Е(9) относительно группы G\ с касательным вектором £ =

С . д)9(х, u))dte (в(х, м), г) + (С ■ д)е (в(х, и), С 0, (0.40) т которое расщепляется относительно "свободных" координат векторов приводит к определяющим уравнениям DE{9).

1 к

2. Предположение о произвольности в (и производных 89) в определяющих уравнениях DE{9) дает дальнейшее расщепление уравнений. Множество решений 9 образует пространство векторных полей L0, которое соответствует ядру основной группы G0. Пространство L0 задается указанием его базиса.

3. Далее решается система определяющих уравнений DE(9), которая является переопределенной. При разрешении условий совместности системы DE{9) возникают уравнения, содержащие только произвольный элемент в. Эти уравнения называются классифицирующими. Для каждого 9, удовлетворяющего классифицирующим уравнениям, получается некоторое пространство L{9) векторных полей, касательных к группам Gi, которые допускают уравнения Е(9). Каждое пространство L(9) содержит L0 и задается базисными векторами, дополняющими L0.

4. Классификация получаемых решений уравнений DE{9) выполняется по признаку эквивалентности относительно действия группы G(t), которая строится предварительно. Из каждого класса эквивалентных решений отбирается их типичный представитель, имеющий наиболее простой аналитический вид.

5. Итогом решения задачи групповой классификации уравнении Е{9) является таблица выбранных представителей элемента в(х,и) и соответствующих пространств векторных полей L{9), представленных в виде базисных операторов.

Оптимальные системы подалгебр. Пусть L — конечномерная алгебра Ли. Каждому элементу г) 6 L соответствует линейное отображение ad(r]) : L —У L, действующее по формуле еч(0 = аад(е> = К> V] (0.41) для любого £ е L.

Отображение ad(rj) задает семейство S векторных полей и называется присоединенным к 77 отображением, или внутренним дифференцированием алгебры Ли L.

Совокупность £ всех внутренних дифференцирований является алгеброй Ли с коммутатором [ad((), ad(r])] = ad([C,rj\) и называется присоединенной алгеброй алгебры Ли L. Присоединенная алгебра Е изоморфна алгебре Ли L.

Алгебру Ли £ можно рассматривать как алгебру Ли операторов, вводя вместо векторных полей ad{rj) операторы вида eT1(0-d = ad(r]m-d = l^rI}-d. (0.42)

По теореме Ли каждому векторному полю ец Е £ соответствует однопара-метрическая группа G\{en) преобразований пространства L. Производящее отображение этой группы определяется задачей dt£' = [£', 77], обозначается символом Av(t) и действует по формуле i=0

Оно e = AT1(t)(0 = exp(tad(r])){0. (0.43)

Преобразования (0.43) пространства L удовлетворяют равенствам и называются внутренними автоморфизмами алгебры Ли L.

Внутренним автоморфизмом группы G называется преобразование, определяемое формулой д' — hagh~l, ha Е G.

Группа преобразований пространства L, порожденная преобразованиями A^t), принадлежащими всевозможным группам Gi(e^), является группой внутренних автоморфизмов алгебры Ли L и обозначается IntL.

Пусть {Xi,., Хг} — базис операторов в Lr со структурными константами Ск. Если в этом базисе положить X = x^Xj, где х = (ж1,., хт) — вектор координат элемента X, то согласно (0.41) внутреннее дифференцирование в Lt запишется через структурные константы: е{(Х) = [X, Х{] = С^Хк, i = 1,., г.

Соотношение коммутации для векторных полей е^ определяется теми же структурными константами Cfj. Следовательно, векторное пространство 8 элементов ег- наделяется структурой алгебры Ли, изоморфной Ьг. Инфи-нитезимальные операторы (0.42) в этом случае строятся по правилу

А{ = C^xWxk, i = 1,., г, и задают базис операторов Ли группы внутренних автоморфизмов IntLr.

Операторы Ai определяют группу линейных преобразований, действующих в пространстве векторов х = (ж1,., хг), координат операторов X и сохраняющих структуру алгебры Ли Lr.

Пусть Gi(ei) — однопараметрическая группа, порожденная оператором А{. Автоморфизмы Ai(t) 6Е Gi(el) представляются матрицей Ai(t) и действуют по формуле, равносильной (0.43), xli = A\{t)xl, г = 1,., г.

Две подалгебры N и алгебры Ли Lr называются подобными, если существует внутренний автоморфизм А 6 IntLr такой, что A(N) = М. Тем самым все подалгебры данной алгебры Ли разбиваются на классы неподобных подалгебр. Для группового анализа дифференциальных уравнений существенна задача о перечислении всех подалгебр данной алгебры Lr.

Совокупность представителей классов подобных подалгебр данной размерности s называется оптимальной системой (порядка s) и обозначается символом 6S.

Итогом решения задачи перечисления всех неподобных подалгебр алгебры Lr должна быть таблица оптимальных систем 0S (s = 1,., г — 1).

При решении поставленной задачи можно считать известной группу IntLr, которая строится предварительно.

Две подгруппы Н и Н' группы Gr подобны, если существует такой внутренний автоморфизм группы Gr, который переводит Н в Н'. Учитывая соответствие между подгруппами группы Ли и подалгебрами ее алгебры Ли, можно считать задачу построения оптимальной системы подгрупп группы Gr решенной, если решена задача построения оптимальной системы подалгебр алгебры Ли.

Построение оптимальной системы в\, как правило, осуществляется простым подбором подходящих преобразований из Intl/r с целью добиться максимально возможного упрощения набора (ж'1,., ж/г) координат вектора ж'.

При построении оптимальной системы в& (к > 1) более высокого порядка можно предполагать, что оптимальная система вk получается путем расширения элементов из в к-1 до ^-мерной подалгебры (с последующим исключением подобных подалгебр).

К вопросу построения оптимальных систем в8 непосредственно примыкает задача построения существенно различных инвариантных решений для системы уравнений.

Решения щ, u<i 6 SE называются существенно различными (относительно группы G), если в G нет преобразования, которое переводит одно решение в другое.

Известно, что каждое инвариантное Н-решение под действием любого преобразования из G переходит в инвариантное решение подобной подгруппы с сохранением ранга решения. Поэтому существенно различные инвариантные решения получаются относительно неподобных подгрупп.

Имеет место следующая схема построения оптимальной системы инвариантных Д-решений уравнения Е: а) требуется найти все оптимальные системы 9S (s = 1,., г — 1); б) из всех подгрупп (подалгебр) надо отобрать те подгруппы Я, для которых выполнены необходимые условия существования инвариантных Д-решений; в) для каждой из выбранных подгрупп определить вид инвариантного Я-решения и построить фактор-систему Е/Н.

Цель работы

Групповой анализ и групповая классификация. уравнений однородной и неоднородной идеальной жидкости в лагранжевых координатах при наличии плоской и вращательной симметрии, уравнений вязкой жидкости в терминах скорость - завихренность, когда вязкость есть функция времени, уравнений микроконвекции и уравнений гидродинамической модели глаза тайфуна, построение оптимальных систем подалгебр, а также нахождение новых точных решений и их физическая интерпретации.

Научная новизна

Основные результаты диссертации являются оригинальными как в теоретическом, так и в практическом аспектах. Найдено преобразование эквивалентности, которое исключает из рассмотрения в уравнениях движения зависящие от времени внешние силы, однако оставляющее инвариантными* условия на свободной границе. Впервые предпринято системное изучение групповых свойств уравнений идеальной однородной и неоднородной жидкости при наличии плоской и вращательной симметрии в лагранжевых координатах. Проведен групповой анализ уравнений новой модели конвекции и гидродинамической модели глаза тайфуна. Найдены классы новых точных решений указанных моделей гидродинамики.

Теоретическая и практическая значимость результатов

Теоретическая и практическая ценность работы заключается в том, что: проведен групповой анализ уравнений гидродинамики в координатах Эйлера при наличии плоской и вращательной симметрии для однородной и неоднородной жидкости, уравнений новой модели микроконвекции и уравнений гидродинамической модели глаза тайфуна; построены оптимальные системы подалгебр первого и второго порядков; решена задача групповой классификации уравнений плоских движений вязкой несжимаемой жидкости в переменных скорость-завихренность, когда коэффициент вязкости зависит от времени. Для каждого случая специализации вязкости найдена основная алгебра Ли базисных операторов и построены оптимальные системы подалгебр первого порядка; решена задача групповой классификации уравнений в лагранжевых координатах при наличии плоской и вращательной симметрии для однородной и неоднородной жидкости, а также для уравнений с осевой симметрией. Установлено, что уравнения в лагранжевых координатах обладают более широкой группой преобразований, чем уравнения в координатах Эйлера; доказано, что в лагранжевых координатах система уравнений модели глаза тайфуна интегрируется полностью (при вращательной симметрии) и частично (для общей модели); для всех рассматриваемых систем уравнений построен ряд новых (или обобщающих известные) точных решений, имеющих физическую* интерпретацию, описывающих нестационарные вихревые движения жидкости со свободными или твердыми границами; найденные новые симметрии существенно расширяют знания о качественных свойствах уравнений гидродинамики, а построенные точные решения могут быть использованы как модельные, например - при сравнительном анализе численных методов.

Апробация работы

Результаты по теме диссертации были доложены на:

- VI Всесоюзной конференции "Качественная теория дифференциальных уравнений" (Иркутск, 1986);

- Всесоюзной конференции "Герценовские чтения" (Ленинград, 1987);

- международной конференции "Лаврентьевские чтения" (Новосибирск, 1990);

- международной конференции "Современный групповой анализ" (Баку, 1988; Уфа, 1991; Нижний Новгород, 1992);

- III Международной конференции по алгебре (Красноярск, 1993);

- Всесоюзной конференции "Современный групповой анализ и задачи математического моделирования" (Саратов, 1993);

- международной конференции "Classical and Quantum Geometry of Homogeneous Spaces" (Москва, 1994);

- международной конференции "2nd European Fluid Mechanics Conference" (Варшава, 1994);

- международной конференции "Математические модели и численные методы МСС" (Новосибирск, 1996);

- Сибирском конгрессе "ИНПРИМ-96", "ИНПРИМ-2000" (Новосибирск, 1996, 2000);

- международной конференции "Математические модели и методы их исследования" (Красноярск, 1997, 2001);

- международной конференции "Симметрия в естествознании" (Красноярск, 1998);

- международной конференции "Симметрия и дифференциальные уравнения" (Красноярск, 2000, 2002);

- международной конференции "RDAMM-2001" (Новосибирск, 2001);

- Всероссийской конференции "Новые математические модели в, механике сплошных сред: построение и изучение" (Новосибирск, 2004);

- международной конференции "Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике" (Новосибирск, 2005);

- IV Всесибирском конгрессе женщин-математиков (Красноярск, 2006);

- международной конференции "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения", посвященная 100-летию со дня рождения академика И.Н.Векуа (Новосибирск, 2007);

- Всероссийская конференции "Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение", приуроченная к 90-летию академика Л.В.Овсянникова (Новосибирск, 2009);

- семинарах ИВМ СО РАН (Красноярск) под руководством профессора В.К.Андреева.

Публикации

Основные результаты опубликованы в работах /12-27, 63-81, 87-90/ и в двух монографиях в соавторстве с В.К. Андреевым, О.В. Капцовым, В.В. Пухначевым /11, 86/.

Структура и объём работы

Диссертация состоит из введения, семи разделов, заключения и двух приложений. Текст изложен на 290 страницах, включая таблицы и рисунки. В списке литературы содержится 96 наименования. В тексте введена единая нумерация формул, например: при ссылке на (2.1.5) первая цифра означает номер раздела, вторая — номер параграфа, а третья — номер формулы или уравнения. Так как введение не имеет параграфов, то в нём используется двойная нумерация, например: в ссылке (0.5) ноль означает введение, вторая цифра — номер формулы. Нумерация теорем, лемм, примеров ведется по разделам, например: Теорема 4.5, первая цифра означает номер раздела, вторая — номер теоремы в разделе.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Родионов, Александр Алексеевич

Основные результаты, полученные в настоящей работе, можно сформулировать следующим образом:

1. Для уравнений различных моделей гидродинамики найдено преобразование эквивалентности, которое позволяет исключить внешние массовые силы, зависящие от времени. Более того, относительно этого преобразования остаются инвариантными условия на свободной границе и па поверхности раздела для уравнений движения вязких теплопроводных жидкостей.

2. Впервые проведено систематическое исследование групповых свойств уравнений однородной и неоднородной жидкости для плоских и вращательно-симметричных движений в переменных Лагранжа. Установлено, что основная группа является бесконечномерной и по пространственным координатам. Решена задача групповой классификации и получены исключительные значения произвольных функций в лагранжевых координатах (завихренности, момента импульса и плотности), при которых происходит дальнейшее расширение группы.

3. Для уравнений в лагранжевых координатах найдены новые точные решения. В представления для решений входят произвольные функции времени и пространственных координат. Это позволяет рассматривать различные начально-краевые задачи: со свободной границей, твердыми стенками. Большинство полученных решений в лагранжевых координатах вряд бы удалось найти, рассматривая уравнения гидродинамики в переменных Эйлера. Доказано, что знаменитые трохоидальные волны Ф. Гёрстнера на поверхности бесконечно глубокой жидкости являются инвариантным решением.

4. Найдены новые симметрии в эйлеровых координатах (для плоского движения в терминах скорость-завихренность и для вращательно - симметричного движения жидкости), им дана физическая интерпретация. Дано групповое обоснование известных экспериментов Дж. И. Тейлора по влиянию сил Кориолиса на движение твердых тел и вихревых колец при двумерных и трехмерных движениях. Для неоднородной жидкости выяснено групповое происхождение преобразования И Цзя-шуня, применяемого для описания стационарных движений стратифицированной жидкости. Построены новые точные решения, имеющие физическую интерпретацию.

5. Показано, что анализ некоторых моделей неоднородной жидкости приводит к исследованию нелинейного неклассического уравнения математической физики третьего порядка. Проведена его групповая классификация по произвольной функции правой части. Получены некоторые точные решения уравнения, в определенной ситуации уравнение линеаризуется.

6. Для уравнений новой модели тепловой коивекции при пониженной гравитации, получен базис бесконечномерной алгебры Ли операторов и построены оптимальные системы подалгебр первого и второго порядков. Найден ряд точных решений уравнений, иллюстрирующих новые качественные свойства, отличные от свойств классических решений уравнений Обербека-Буссинеска.

7. Проведен групповой анализ уравнений вращательно-симметрической и общей гидродинамической моделей глаза тайфуна в цилиндрических координатах. Вычислены базисы основной алгебры Ли операторов, бесконечномерные и по пространственным переменным. Построены новые (или обобщающие известные) точные решения, описывающие вихревые движения и имеющие физическую интерпретацию. Показано, что в лагранжевых координатах исходные уравнения полностью интегрируются в квадратурах для вращательно-симметрического движения и сводятся к одному линейному уравнению первого порядка от трех переменных в общем случае.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Родионов, Александр Алексеевич, 2009 год

1. Абрашкин А.А., Якубович Е.И. О нестационарных вихревых течениях идеальной несжимаемой жидкости // ПМТФ. - 1985. - № 2. - С. 57-64.

2. Абрашкин А.А., Якубович Е.И. О плоских вихревых течениях идеальной жидкости // Докл. АН СССР. 1984. - Т. 276, № 5. - С. 76-78.

3. Абрашкин А.А., Якубович Е.И. Двумерные вихри в идеальной жидкости // Нелинейные волны. Структуры и бифуркации. М.: Наука, 1987. - С. 147-159.

4. Абрашкин А.А. К теории взаимодействия двух плоских вихрей в идеальной жидкости // Изв. АН СССР. МЖГ. 1987. - № 1. - С. 62-68.

5. Андреев В.К. К задаче о неустановившемся движении сжимаемой жидкости со свободной границей // Докл. АН СССР. 1979. - Т. 244, № 5. - С. 1007-1110.

6. Андреев В.К. Устойчивость вихревого неустановившегося движения плоского слоя идеальной жидкости со свободными границами // МЖГ. 1982. - № 2. - С. 15-21.

7. Андреев В.К. Нестационарное потенциальное течение полого цилиндра // В сб.: Математические модели и методы решения задач механики сплошной среды. Красноярск: ВЦ СО АН СССР, 1986. -С. 74-79

8. Андреев В.К. Малые потенциальные возмущения неустановившегося движения жидкости со свободной конической и цилиндрической границей // В сб.: Краевые задачи уравнений математической физики -Красноярск: КГУ, 1987. С. 3-26.

9. Андреев В.К. Групповая классификация уравнений одномерных движений газа в лагранжевых координатах // Динамика сплошной среды. Новосибирск: ИГ СОАН СССР, 1989. - Вып. 89. - С. 3-16.

10. Андреев В.К., Бублик В.В., Бьггев В.О. Симметрии неклассических моделей гидродинамики. Новосибирск: ВО "Наука". Сиб. изд. фирма, 2003. - 350 с.

11. Андреев В.К., Капцов О.В., Пухначев В.В., Родионов А.А. Применение теоретико-групповых методов в гидродинамике. Новосибирск: ВО "Наука", 1994. - 320 с.

12. Андреев В.К., Родионов А.А. Групповой анализ и точные решения уравнений Эйлера в лагранжевых координатах при наличии вращательное симметрии. Красноярск, 1986. - 24 с. - Деп. ВИНИТИ, № 3686-В86.

13. Андреев В.К., Родионов А.А. Групповые свойства уравнений враща-тельно-симметричного течения неоднородной жидкости в лагранжевых координатах // В сб.: Краевые задачи уравнений математической физики. Красноярск: ВЦ СО АН СССР, 1987. - С. 27-37.

14. Андреев В.К., Родионов А.А. Групповая классификация уравнений Эйлера плоских течений жидкости в лагранжевых координатах. -Красноярск, 1987. 22 с. - Деп. ВИНИТИ, № 6605-В87.

15. Андреев В.К., Родионов А.А. Групповая классификация и точные решения уравнений плоского и вращательно-симметричного течения идеальной жидкости в лагранжевых координатах // Дифф. уравнения. 1988. - Т. 24, № 9. - С. 1577-1586.

16. Андреев В.К., Родионов А.А. Групповой анализ уравнений плоских течений идеальной жидкости в лагранжевых координатах // Докл. АН СССР. 1988. - Т. 298, № 6. - С. 1358-1361.

17. Андреев В.К., Родионов А.А. Неустойчивость при растяжении цилиндрического слоя жидкости // ПМТФ. 1992. - № 4. - С. 100-107.

18. Андреев В.К., Родионов А.А. Группы Ли и точные решения нестационарных уравнений Эйлера неоднородной жидкости в лагранжевых координатах // Современный групповой анализ и задачи математ. моделирования. Саратов: СГУ, 1993. - С. 11-16.

19. Андреев В.К., Родионов А.А. Групповая классификация вращательно-симметричных движений неоднородной жидкости // Вычислительные технологии. 1993. - Т. 2, № 7. - С. 5-16.

20. Андреев В.К., Родионов А.А. Группы Ли и точные решения уравнений плоских течений неоднородной жидкости в лагранжевых координатах // Вычислительные технологии. 1995. - Т. 4, № 6. - С. 11-18.

21. Андреев В.К., Родионов А.А. О некоторых нелинейных волнах в неоднородной жидкости // Вычислительные технологии. 1997. - Т. 2, № 6. - С. 3-11.

22. Андреев В.К., Родионов А.А. Некоторые решения уравнений враща-тельно-симметричных течений неоднородной жидкости // В сб.: Труды сем. "Матем. модел. в механике". Красноярск: ВЦК СО РАН, 1997. - С. 39-51. - Деп. ВИНИТИ 17.11.97, № 3357-В97.

23. Андреев В.К., Родионов А.А. Инвариантные подмодели ранга два для уравнений неоднородной тяжелой жидкости // Диф. уравнения. 1998. - Т. 34, т. - С. 1082-1091.

24. Андреев В.К., Родионов А.А. Инвариантные решения ранга два для уравнений вращательно-симметричпых движений неоднородной жидкости // ПММ. 1999. - Т. 63. - Вып. 3. - С. 1082-1092.

25. Андреев В.К., Родионов А.А. Инвариантные решения уравнений микроконвекции, описывающие движения с поверхностью раздела // Труды междунар. конф. RDAMM-2001. Новосибирск. - 2001. - Т. 6. -Ч. 2. - Спец. выпуск. - С. 54-58.

26. Андреев В.К., Родионов О точных решениях уравнений гидродинамической модели "глаза" тайфуна // Вычислительные технологии. -2005. Т. 10, - № 5. - С. 3-11.

27. Андреев В.К., Родионов А.А., Шанько Ю.В. Об интегрированиии уравнений осесимметрической модели "глаза" тайфуна // Диф. уравнения. 2005. - № 5. - С.1-4 .

28. Антонцев С.Н., Кажихов А.В., Монахов В.Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. Новосибирск: Наука. Сиб. отделение, 1983. - 319 с.

29. Ахатов И.Ш., Газизов Р.К., Ибрагимов Н.Х. Квазилокальные симметрии уравнений математической физики //В сб.: Математическое моделирование. Нелинейные дифференциальные уравнения математической физики. М.: Наука, 1987. - С. 22-56.

30. Ахатов И.Ш., Газизов Р.К., Ибрагимов Н.Х. Основные типы инвариантных уравнений одномерной газовой динамики: Препринт № 49. -М.: ИПМ АН СССР, 1988. 26 с.

31. Ахатов И.Ш., Газизов Р.К., Ибрагимов Н.Х. Тринадцать основных типов инвариантных уравнений газовой динамики //В сб.: Математическое моделирование. Современные проблемы математической физики. М.: Наука, 1989. - С. 37-56.

32. Бетчелор Д.К. Введение в динамику жидкости. М.: Мир, 1973. -758 с.

33. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. -М.: Наука, 1981. 448 с.

34. Бучнев А.А. Группа Ли, допускаемая уравнениями движения идеальной несжимаемой жидкости // Динамика сплошной среды. Новосибирск: ИГ СОАН СССР, 1971. - Вып. 7. - С. 212-214.

35. Бытев В.О. Групповые свойства уравнений Навье-Стокса // Числ. методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1972. - Вып. 7. -С. 212-214.

36. Волосевич П.П., Дарьин Н.А., Ермолин Б.В., Леванов Е.И., Мухам-бетжанов С.Г. Инвариантные решения уравнений газовой динамики с учетом теплопроводности и источника (в лагранжевых координатах). Препринт №- 29. М.: ИПМ АН СССР, 1984. - 29 с.

37. Габов С.А. Об одном виде нелинейных волн, описываемых уравнением Дюбрей Жакотен // Докл. АН СССР. - 1988. - Т. 302, №5. -С. 1036-1039.

38. Дарьин Н.А. Групповая классификация уравнений одномерной газовой динамики в произвольной системе координат. Препринт № 128. -М.: ИПМ АН СССР, 1987. 9 с.

39. Добрышман Е.М. О нестационарной модели глаза тайфуна// Метеорология и гидрология. 1995. - № 12. - С. 5-19.

40. Добрышман Е.М. Гидродинамическая модель нестационарных процессов в глазе тайфуна // Метеорология и гидрология. 1996. - № 12. -С. 5-18.

41. Дородницын В.А. Об инвариантных решениях одномерной нестационарной магнитной гидродинамики с конечной проводимостью. Препринт № 143. М.: ИПМ АН СССР, 1976.

42. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по нелинейным дифференциальным уравнениям. М.: Физматлит, 1993. - 464 с.

43. Ибрагимов Н.Х. Законы сохранения в гидродинамике // ДАН СССР. -1973. Т. 210, К0- 6. - С. 1307-1309.

44. Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике. -М.: Наука, 1983. 280 с.

45. И Цзя-шунь. Устойчивость течения жидкости, стекающей по наклонной плоскости // Сб. переводов "Механика", 1963, 5, 81.

46. Капитанский JI.B. Групповой анализ уравнений Навье-Стокса и Эйлера при наличии вращательной симметрии и новые точные решения этих уравнений // Докл. АН СССР. 1978. - Т. 243, № 4. - С. 901-904.

47. Капитанский JI.B. Групповой анализ уравнений Навье-Стокса при наличии вращательной симметрии и некоторые новые точные решения этих уравнений // Зап. науч. сем. ЛОМИ. 1979. - Т. 84. - С. 89-107.

48. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. -М.: Физматгиз, 1963. Т. 1. - 584 с.

49. Лаврентьева О.М. Неустановившееся движение вращающегося кольца вязкой капиллярной жидкости // Динамика сплошной среды. Новосибирск: ИГ СОАН СССР, 1977. - Вып. 31. - С. 52-65.

50. Меныциков В.М. О продолжении инвариантных решений уравнений газовой динамики через ударную волну // Динамика сплошной среды. Новосибирск: ИГ СОАН СССР, 1969. - Вып. 4. - С. 163-169.

51. Меныциков В.М. О малых возмущениях неустановившихся одномерных движений идеальной несжимаемой жидкости с осевой симметрией // ПМТФ. 1979. - № 2. - С. 14-20.

52. Метеорология или учение о погоде / Пер. изд-ва "Общественная польза". СПб, 1876. - 283 с.

53. Налимов В.И., Пухначев В.В. Неустановившиеся движения идеальной жидкости со свободной границей. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1975. -172 с.

54. Овсянников JI.B., Ибрагимов Н.Х. Групповой анализ дифференциальных уравнений в механике. "Итоги науки и техники. Общая механика", М., 1975, Т.2, с.5-52.

55. Овсянников JI.B. Общие уравнения и примеры // Задача о неустановившемся движении жидкости со свободной границей. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-е, 1967. - С. 5-75.

56. Овсянников J1.B. Групповой анализ дифференциальных уравнений. -М.: Наука, 1978. 400 с.

57. Овсянников JI.B. Некоторые задачи, возникающие в групповом анализе дифференциальных уравнений // Динамика сплошной среды. -Новосибирск: ИГ СОАН СССР, 1974. Вып. 18. - С. 211-239.

58. Овсянников JI.B. Лагранжевы приближения в теории волн // Нелинейные проблемы поверхностных и внутренних волн. Новосибирск: Наука. Сиб. отделение, 1985. - С. 10-77.

59. Овсянников Л.В., Макаренко Н.И., Налимов В.И. и др. Нелинейные проблемы теории поверхностных и внутренних волн. Новосибирск: Наука, 1985. - 318 с.

60. Пухначев В.В. Инвариантные решения уравнений Навье Стокса, описывающие движения со свободными границами // ДАН СССР. -1972. - Т. 202, № 2. - С. 302-305.

61. Пухначев В.В. Преобразования эквивалентности и скрытая симметрия эволюционных уравнений // Докл. АН СССР. 1987. - Т. 294, № 3. -С. 535-538.

62. Пухначев В.В. Модель конвективного течения при пониженной гравитации // Моделирование в механике. 1992. - Т. 6(23), N5 4. -С. 47-56.

63. Родионов А.А. Групповая классификация вращательно-симмет-ричного движения жидкости // Труды I школы-семинара. Красноярск: ВЦ СО АН СССР, 1983. - С. 189-196. - Деп. ВИНИТИ, № 4623-83.

64. Родионов А.А. Вращательно-симметричное движение жидкости. Препринт № 1. Красноярск: ВЦ СО АН СССР, 1985. - С. 5-6.

65. Родионов А.А. Групповой анализ уравнений неоднородной жидкости при вращательное симметрии. Препринт № 1. Красноярск: ВЦ СО АН СССР, 1986. - С. 37-39.

66. Родионов А.А. Течение жидкости во вращающейся цилиндрической области // Вычислительные проблемы механики. Красноярск: КГУ, 1989. - С. 60-67.

67. Родионов А.А. Моделирование плоских течений неоднородной жидкости // Междунар. конф. "Математические модели и численные методы МСС". Новосибирск: ИВТ СО РАН, 1996. - С. 447-448.

68. Родионов А.А. О решениях уравнений неоднородной жидкости при вращательное симметрии //II Сибир. конгресс по прикл. и индустр. матем. (ИНПРИМ-96). Новосибирск: ИМ СО РАН, 1996. - С. 261.

69. Родионов А.А. Оптимальная система подалгебр первого порядка для уравнений плоского движения неоднородной жидкости // В сб.: Труды сем. "Матем. модел. в механике". Красноярск: ВЦК СО РАН, 1997. -С. 139-149. - Деп. ВИНИТИ 12.02.97, № 446-В97.

70. Родионов А.А. Уравнения вращательно-симметричного движения жидкости, оптимальная система подалгебр 9\ и 62. // Межд. конф. "Математические модели и методы их исследования". Красноярск: КГУ, ВЦК СО РАН, 1997. - С. 158.

71. Родионов А.А. Оптимальная система в\ уравнений микроконвекции // Тезисы доклада международной конференции "Симметрия в естествознании". Красноярск, ИВМ СО РАН, 1998. - С. 108.

72. Родионов А.А. Групповой анализ уравнений микроконвекции и одного неклассического уравнения // В сб.: Труды семинара "Математическое моделирование в механике" ИВМ СО РАН. Красноярск, 1999. -С. 169-180. - Деп. ВИНИТИ 05.07.1999, № 1999-В99.

73. Родионов А.А. Некоторые точные решения уравнений микроконвекции // Труды II Международ, конф. "Симметрия и дифференциальные уравнения". Красноярск: ИВМ СО РАН, 2000. - С. 186-189.

74. Родионов А.А. Оптимальная система подалгебр второго порядка уравнений микроконвекции // В сб.: Труды семинара "Математическое моделирование в механике". Красноярск: ИВМ СО РАН, 2000. -С. 120-130. - Деп. ВИНИТИ 06.06.00, №1625-1300.

75. Родионов А.А. Групповой анализ одного неклассического уравнения // ИНПРИМ 2000. Тезисы докладов. Ч. I. - Новосибирск. - 2000. -С. 17-18.

76. Родионов А.А. Групповой анализ и точные решения уравнений микроконвекции // Вычислительные технологии. 2001. - Т. 6, № 3. -С. 51-63.

77. Родионов А.А. Групповой анализ плоского движения вязкой несжимаемой жидкости в терминах скорость-завихренность // Труды между-нар. конф. "Современные проблемы прикладной матем. и механики". -2001. Т. 6. - Ч. 2. - Спец. выпуск. - С. 519-523.

78. Родионов А.А., Гринькив Е.М. Групповой анализ одной гидродинамической модели движения воздуха в глазе тайфуна // В сб.: Труды меж-дунар. конф. "Математические модели и методы их исследования". -Красноярск. 2001. - Т. 1. - С. 202-207.

79. Родионов А.А. Групповая классификация уравнений плоского движения жидкости по функции вязкости // Труды международ, конф. "Симметрия и дифференциальные уравнения". Красноярск: ИВМ СО РАН, 2002. - С. 193-198.

80. Родионов А.А. Групповой анализ и точные решения уравнений плоского движения вязкой жидкости в терминах скорость-завихренность // Вычислительные технологии. 2003. - Т. 8, № 3. - С. 107-118.

81. Родионов А.А. Применение метода группового анализа к уравнениям гидродинамики // Вестник Красноярского гос. университета. Физ.-мат.науки. 2006. - № 4. - С. 142-146.

82. Серрин Дж. Математические основы классической механики жидкости. М.: Изд-во иностр. лит., 1963. - 256 с.

83. Хабиров С.В. О структуре псевдогруппы, допускаемой уравнениями идеальной несжимаемой жидкости // Динамика сплошной среды. -Новосибирск: ИГ СОАН СССР, 1976. Вып. 24. - С. 105-114.

84. Шанько Ю.В., Капцов О.В. Оптимальные системы подалгебр и инвариантные решения ранга два для трехмерных уравнений Эйлера // Дифф. уравнения. Т. 30, №10. - 1994. - С. 1814-1819.

85. Andreev V.K., Kaptsov O.V., Puckhnachov V.V., Rodionov А.А. Applications of Group-Theoretical Methods in Hydrodynamics. -Netherlads. Kluver Academic Publishers. 1998. - 408 p.

86. Andreev V.K., Rodionov A.A. Instability in the Tension of a Cylindrical Layer of Fluid // Plenum Publisihing Corporation, 1992.

87. Andreev V.K., Rodionov A.A. On the axisymmetric motion of nonhomogeneous fluid // 1'Modelling, Measurement and Control, B, AMSE Press, v. 55, № 4, 1994.

88. Andreev V.K., Rodionov A.A. New symmetries and exact solutions of Euler equations in Lagrangian coordinates // 2-nd European Fluid Mechanics Conference, September 20-26, Warsaw, 1994.

89. Andreev V.K., Rodionov A.A. Invariant Solutions of Rank Two of the Equations of the Rotationally-symmetric Motions of an Inhomogeneous Liquid // Pergamon. Elsevier Science Ltd. Great Britain. 0021-898/99. -1999. P. 359-368.

90. Berker R. Integration des equations du mouvement d'un fluide visqueux incompresible. В кн.: Handbuch der Physik, 1983. - Bd. 8. - Hf. 2. -P. 1-384.

91. Benjamin Т.В., Olver P.J. Harniltonian structure, symmetric and conservation laws for water waves // J. Fluid Mech. 1982. V. 125. -P. 137-185.

92. Durbreil-Jacotin M.L. Complement a une note anterieure sur les ondes de type permanent dans les liqudes heterogenes // Atti Accod. Lincei Rend. CI. Sci. Fis. Math. Nat. (6). 1935. - №21. - P. 344-346.

93. Ovsiannikov L.V. On the optimal systems of subalgebras // J. Lie Groups and Their Applications. V. 1, № 2. - 1994. - P. 18-26.

94. Taylor G.I. Proc. Roy. Soc., A100(1921), 114. (Scientific Papers,4.)

95. Yin C.-S. Stratified Flows // Acad. Press, 1980. 417 p.