Проблемы теории чисел, связанные с цепными дробями или с континуантами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, доктор наук Кан Игорь Давидович

• Кан Игорь Давидович
• доктор наук
• 2023

Оглавление диссертации доктор наук Кан Игорь Давидович

Содержание

Содержание

1. Введение

1.1. Предисловие. Список работ автора по теме диссертации

1.2. Общие сведения о диссертационной работе

1.2.1. Структура и объем диссертации

1.2.2. Актуальность рассматриваемой темы

1.2.3. Научная новизна полученных результатов

1.2.4. Цели диссертационной работы

1.2.5. Теоретическая и (или) практическая ценность диссертации

1.2.6. Личный вклад автора диссертации в написание совместных

работ

1.2.7. Апробация основных результатов диссертации

1.2.8. Методы исследования

1.3. Основные определения и обозначения

1.4. Основные результаты главы

1.4.1. Основной результат §3

1.4.2. Основные результаты §4

1.4.3. Основной результат §5

1.5. Основное содержание и методы доказательства результатов гла-

вы

1.6. Основные результаты главы II

1.7. Основное содержание и методы доказательства результатов гла-

вы II

1.8. Основные результаты главы III

1.9. Основное содержание и методы доказательства результатов гла-

вы III

1.10. Основные переменные и множества, участвующие в доказательстве результатов главы III

1.11. Основное содержание и методы доказательства результатов из "Добавления"

I Вспомогательные и попутные результаты

2. Свойства континуантов и цепных дробей

2.1. Разность двух конечных цепных дробей с общим началом

2.2. Уточнение правила сравнения континуантов [31]

3. Линейные сравнения в цепных дробях из конечных алфавитов [47]

3.1. История вопроса

3.2. Основной результат настоящего параграфа

3.3. Цепные дроби и матрицы

3.4. Важные простые формулы

3.5. Сведение задачи к цепным дробям четной длины

3.6. Включение матричных множеств

3.7. Суммы ó

3.8. Доказательство теоремы 3.1 из пункта

4. Методы получения оценок континуантов [32. 33]

4.1. Обозначения и параметры

4.2. Существующие результаты по тематике

4.3. Основные результаты настоящего параграфа

4.4. Доказательство теоремы 4.1 из пункта 4.2 и теорем 4.3. 4.4 из пункта 4.3. Транзитивные алгоритмы

4.4.1. Доказательство теоремы

4.4.2. Доказательство теоремы

4.4.3. Доказательство теоремы

4.4.4. Следствие из доказательства теоремы

4.5. Методы доказательства оставшихся теорем из §4

4.5.1. Метод квадратичных иррациональностей

4.5.2. Метод мажорирующих неравенств. Отщепление единицы

4.5.3. Метод единичных вариаций (кратко)

4.5.4. Леммы о системах равенств и неравенств

4.6. Доказательство теоремы 4.2 из пункта 4.2 и теорем 4.5 4.7 из пункта

4.6.1. Доказательство теоремы

4.6.2. Доказательство теоремы

4.6.3. Доказательство теоремы

4.6.4. Доказательство теоремы

5. Обращение неравенства Коши Буняковского Шварца [49]

5.1. История вопроса

5.2. Определение обобщенного параллелепипеда

5.3. Основной результат настоящего параграфа

5.4. Доказательство теоремы 5.1 из пункта

II Производная функции Минковского (|26| — |30|)

6. Функция Минковского: определения и теоремы

6.1. Равносильные определения функции Минковского

6.2. История вопроса

6.3. Основные результаты настоящей главы

7. К началу доказательства теорем

7.1. Основные обозначения главы

7.2. Стартовые вспомогательные утверждения

8. Единичная вариация (подробно)

8.1. Единичная вариация, общая лемма

8.2. Увеличивающая единичная вариация, к теореме

8.3. Уменьшающая единичная вариация, к теореме

8.4. Увеличивающая единичная вариация, к теореме

9. Предварительная нижняя оценка для к теореме

10. Распыление. Уменьшение континуантов. к теореме

11. Отраженно

11.1. Увеличивающие отражения, к теореме

11.2. Уменьшающие отражения, к теореме

11.3. Увеличивающие отражения, к теореме

11.4. Уменьшающие отражения, к теореме

12. Асимптотика роста

12

13. Предварительные оценки для величины к теореме

14. Верхние оценки величины <га,2(^), к теореме

15. Оценки величины у>х(^)

16. Две оценки величины М

17. Доказательство первых частей теорем 6.9 6.14 из пункта

17.1. Доказательство первой части теоремы

17.2. Доказательство первой части теоремы

17.3. Доказательство первой части теоремы

17.4. Доказательство первой части теоремы

17.5. Доказательство первой части теоремы

17.6. Доказательство первой части теоремы

18. Леммы о конструкции числа х

19. Доказательство вторых частей теорем 6.9 6.14 из пункта

19.1. Доказательство второй части теоремы

19.2. Доказательство второй части теоремы

19.3. Доказательство второй части теоремы

19.4. Доказательство второй части теоремы

19.5. Доказательство второй части теоремы

19.6. Доказательство второй части теоремы

III Усиление метода Бургейна — Конторовича (|35

20. Введение к третьей главе диссертации

20.1. История вопроса

20.2. Основные результаты настоящей главы

21. Сведение доказательства теорем к вычислениям

21.1. Метод Хонсли (кратко)

21.2. Стартовые приемы метода Бургейна Конторовича

21.3. Основа вывода формул (20.6) (20.9) и (20.15). Применение обобщенного кругового метода

22. Применение обобщенных вариантов леммы Конягина

22.1. Обобщенная лемма Конягина в одномерном случае

22.2. Двумерное обобщение леммы Конягина

22.3. Трехмерное обобщение леммы Конягина

23. Свойства ансамбля матриц

23.1. Основные свойства ансамбля

23.2. Разложение ансамбля на независимые множители

23.3. Включение множеств. Кратность включения

24. Свойства линейных сравнений

24.1. Достаточные условия однородности сравнений

24.2. Разбиения и расстояния

24.3. Свойства решений системы сравнений и неравенств

25. Тригонометрическая сумма по ансамблю

25.1. Предварительная оценка тригонометрической суммы

25.2. Общие следствия из теорем 22.2 и 25.1 из пунктов 22.2 и

25.3. Выделение суммы по матрицам дз

26. Использование кратных сумм и их оценки

26.1. Система линейных сравнений

26.2. Свойства кратной суммы в (26.23) из пункта

26.3. Свойства кратных сумм в (26.22) и (26.24) из пункта

27. Мощности ключевых множеств

27.1. Максимумы мощностей множеств X и Y

27.2. Делители 2 х

27.3. Суммы мощностей множеств Np,t,T или N^fT из пунктов

и

28. Случай "больших" айв

28.1. Нижняя оценка величины N

28.2. Первая основная лемма

28.3. Выводы из первой основной леммы

28.4. Расшифровка наборов неравенств из формулировки теоремы 28.1. находящейся в пункте

29. Случай "малых" аи в

29.1. Вторая основная лемма

29.2. Выводы из второй основной леммы

30. Доказательство теорем 20.5 20.7 из пункта

30.1. Доказательство теоремы

30.2. Доказательство теорем 20.5 и

IV Добавление: построение и свойства ансамбля. |35|— |38|

31. Функция Гуда и теорема Кусика

32. Метод Хенсли (подробно)

33. Предансамбль

34. Параметры и их свойства

35. Построение множества QN)

36. O\

37. Свойства множества ): действительно, ансабль!

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Проблемы теории чисел, связанные с цепными дробями или с континуантами»

§ 1. Введение.

1.1. Предисловие. Список работ автора по теме диссертации.

Для одного или нескольких натуральных чисел ¿1, ¿2,..., ¿к через [¿1, ¿2, ,..., ¿к] и [¿1; ¿2, ¿3,..., ¿к] обозначаются, соответственно, следующие конечные цепные (или непрерывные) дроби, часто называемые обыкновенными:

1 1

[¿1,в,2,... ,(1к ] =---, [¿1; ¿2,...,<4]= ¿1 + -- (1-1)

, 1 ¿2 + . 1

¿1 +----•• +--

¿2 + . _ 1 ¿к

¿к

¿1 , ¿2 , . . . , ¿к

цепных дробей (здесь и всюду далее во всех формулах, подобных первому из двух равенств в (1.1), будет пропущено для краткости нулевое неполное частное цепной дроби, если оно равно нулю). Числа

(0) = 1, (¿1) = ¿1, {^,¿-2) = ¿^ + 1, ...,

(¿1, ¿2, . . . , ¿к) = ¿к (¿1, ¿2, . . . , ¿к-1) + (¿1, ¿2, . . . , ¿к-2) ,

определяемые индуктивно по натуральному параметру к, называются конти-нуантами конечных последовательностей 0, {¿1}, {¿1, ¿2}, ..., {¿1, ¿2,..., ¿к}, см. [18] (или знаменателями подходящих дробей для рационального числа, равного первой из двух цепных дробей в (1.1), см. [83]). В том числе, для

0 (0) 1

[0]

Настоящая диссертационная работа посвящена изучению ряда проблем теории чисел, которые имеют отношение к конечным цепным дробям или к конти-нуантам (их знаменателям). В некоторых из этих проблем континуанты или конечные цепиые дроби возникают как метод решения поставленной задачи скажем, что это проблемы первого типа: в других из них те же объекты появляются как предметы исследования назовем их проблемами второго типа.

К проблемам первого типа относятся, например, вопросы о том, существует ли и чему равна, нулю или бесконечности, производная функции Минковского ?(х) (вопросительный знак "?" — это оригинальное обозначение Г. Минковского) в тех иррациональных точках х € (0,1), для которых известны соответствующие разложения в бесконечные цепные дроби х = [0; Х1, Х2,..., .. .].1

11. Kan I. D., Dushistova A. A., Moshchevitin N. G. Differentiability of the Minkowski question mark function. // .1. Math. Anal. Appl. 401, no. 2, pp. 774 794. 2013. [25].

2. Kan 1. D., Dushistova A. A., Moshchevitin N. G. Differentiability of the Minkowski question mark function. / arXiv: 0903.5537vl [math.NT], [26].

3. Кан И. Д. Дифференцируемость ?(ж)-функции Минковского. II. // Известия РАН. Серия математическая. Том 83, выпуск 5. С. 53 87. 2019. [27].

4. Каи И. Д. Дифференцируемость ?(ж)-функции Минковского. Ш. // Математический сборник. Том 210, номер 8. С. 87 119. 2019. [28].

5. Каи 11. Д., Гайфулии Д. Р. Производная функции Минковского. // Известия РАН. Серия математическая. Том 85, выпуск 4. С. 5 52. 2021. [29].

6. Кап И. Д., Гайфулии Д. Р. Стационарные точки функции Минковского. // Математический сборник. Том 212, № 10. 2021. [30].

Ответы па эти вопросы даются при выполнении некоторых условий, которые формулируются в терминах предельного поведения частичных сумм ряда, составленного из неполных частных числа х (обобщение результатов Ж. Парадиза. П. Виадера и Л. Бибилони [75]. а также А. А. Душистовой и Н. Г. Могцеви-тина [15. 16]). Эти вопросы исследуются во второй главе диссертации, однако доказательство данных результатов требует построения теории о вычислении минимумов и максимумов континуантов по специальным множествам (это уже проблемы второго типа). Такая теория строится в первой главе (точнее, в §4). результаты из которой или методы их доказательства, как правило, применяются в последующих главах.2 Другим результатом первой главы является получение близкой к неулучшаемой (по порядку величины) верхней оценки ш-го момента (ш > 1) модуля произвольной функции одного ил и нескольких (п) аргументов через первый момент этого модуля (п-мерное обобщение леммы С. В. Конягина [59]).3 Вопрос о величине плотности в натуральном ряду множества континуантов (знаменателей конечных цепных дробей) с ограниченными сверху элементами. неполными частными. также относится к проблемам второго типа.4 Если эти элементы нестрого ограничены сверху константой 4, то. как доказано в третьей главе диссертации, такие континуанты имеют в на-

1

Конторовича [6]).

2 7. Кап. И. Д. Уточнение правила сравнения континуантов. // Дискретная математика, т. 12, выпуск 3. Москва. С. 70 71. 2000. [31].

8. Каи. 11. Д. Методы получения оценок континуантов. // Фундаментальная и прикладная математика. Том 16. № 6. С. 95 108. 2010. [32].

9. Исправленный вариант предыдущей статьи: 1. D. Kan. Methods for estimating of continuants, corrected version. / arXiv: 2106.03789vl [math.NT]. 2021. [33].

3 10. Кан. И. Д. Обращение неравенства Коши — Буняковского — Шварца. // Математические заметки. Том 99. выпуск 3. С. 350 354. 2016. [34].

4 11. Кап I. D., Frolenkov D. A. A reinforcement of the Bourgain — Kontorovich's theorem. / arXiv:1207.5168 [math.NT], 2012. [35]

12. Kan 1. D.. Frolenkov D. A. A reinforcement of the Bourgain Kontorovich's theorem by elementary methods. / arXiv:1207.4546 [math.NT], 2012. [36].

13. Kan 1. D.. Frolenkov D. A. A note on the reinforcement of the Bourgain Kontorovich's theorem. / arXiv:1210.4204 [math.NT], 2012. [37].

14. Kail 11. Д.. Фролеиков Д. А. Усиление теоремы Вургейиа Коиторовича. // Известия РАН серия математическая, том 78. № 2. С. 87 144. 2014. [38]

15. Кап 1. D.. Frolenkov D. A. A strengthening of a theorem of Bourgain Kontorovich 11. // Moskow Journal of Combinatorics and Number Theory. Vol. 4. iss. 1. pp. 78-117. 2014. [39].

16. Kail И. Д. Усиление теоремы Вургейиа Коиторовича-111. // Известия РАН. Серия математическая. Том 79. № 2. С. 77 100. 2015. [40].

17. Кап И. Д. Усиление теоремы Вургейиа Коиторовича-lV. // Известия РАИ. Серия математическая. Том 80. № 6. С. 103* 126. 2016. [41].

18. Каи И. Д. Усиление теоремы Вургейиа Коиторовича-V. // Сборник трудов МИЛИ им. В. Л. Стеклова. том 296. С. 1 - 7. 2017. [42].

19. Каи И. Д. Верна ли гипотеза Зарембы? // Математический сборник. Том 210. № 3. С. 75 130. 2019. [43].

20. Каи И. Д. Усиление одной теоремы Вургейиа Коиторовича. // Дальневосточный математический журнал. Т. 20. № 2. С. 164 190. 2020. [44].

21. Каи И. Д. Усиление метода Вургейиа Коиторовича: 3 новых теоремы. // Математический сборник, том 212. № 7. С. 39 83. 2021. [45].

22. Каи И. Д. Усиление теоремы Вургейиа - Коиторовича о малых значениях хаусдорфовой размерности. // Функциональный анализ и ого приложения, том 56. выпуск 1. С. 66-80. 2022. [46].

Некоторые; из основных результатов диссертации являются попутными возникшими при доказательстве других из них. Так. в первую главу вошло решение вопроса (также представляющего собой проблему второго типа) о получении верхней оценки, близкой по порядку величины к неулучшаемой. для числа выполнений сравнения ax = by (mod q) с заданными взаимно простыми в совокупности целыми параметрами a, b и q при условии, что натуральные xy

отрезкам и дробь x/y при ее разложении в конечную цепную имеет ограниченные сверху неполные частные (обобщение результата Н. М. Коробова [60]).5

Часть статей соискателя по теме диссертационной работы не вошла в эту диссертацию.6 В частности, не вошли в настоящую диссертацию две работы автора, относящиеся к теме предыдущей (кандидатской) диссертации, но вышедшие спустя два и более лет после ее защиты (т. е., после марта 1998 года).' Эти две работы имеют некоторое отношение и к теме настоящей диссертации тоже, поскольку в них также используются континуанты, хотя и не для обыкновенных конечных цепных дробей, а для приведенных регулярных (т. е., тех цепных дробей, в которых все "плюсы" в (1.1) заменены на "минусы") [76].

Наконец, некоторые из публикаций автора представляют собой тезисы выступлений на математических конференциях.8

1.2. Общие сведения о диссертационной работе.

1.2.1. Структура п объем диссертации.

Диссертация состоит из "Введения", трех глав и "Добавления". Объем диссертации 254 печатных страницы, в том числе список цитированных работ, состоящий из 86 наименований. На тему диссертационной работы ее автор опубликовал 31 научную статью, которые перечислены в "Предисловии" к настоящей диссертации: это работы [25] [55] из списка литературных ссылок: 20 из них напечатаны в изданиях, индексируемых в "Web of science" или в "Scopus".

5 23. Кан И. Д. Линейные сравнения в цепных дробях из конечных алфавитов. // Математические заметки. Том 103, выпуск 6. С. 853 862. 2018. [47].

6 24. Кан И. Д., Кроткова Н. А. Количественные обобщения результатов Нидеррейтора о ценных дробях. // Чебышевский сборник, т. 12, вын. 1(37), Тула. С. 105 124. 2011. [48].

25. Кан 11. Д., Однороб В. А. Обращения неравенства Гельдера. // Математические заметки. Том 110 выпуск 5, ноябрь 2021. [49].

26. Кап 11. Д., Однороб В. А. Линейные неоднородные сравнения в ценных дробях из конечных алфавитов. Математические заметки. Том 112, выпуск 3. С. 407-420. 2022.[50].

27. Кап 11. Д., Соловьев Г. X. Система неравенств в ценных дробях из конечных алфавитов. Математические заметки. Том 113, выпуск 2. С. 197 206. 2023. [53]

7 28. Кан И. Д. Представление чисел линейными формами. // Математические заметки, т. 68, вып. 2, Москва. С. 210 216. 2000. [51].

29. Кап И. Д. Проблема Фробепиуса для классов полиномиальной разрешимости. // Математические заметки, т. 70, выпуск 6, Москва. С. 845 853. 2001. [52].

830. Кап И. Д. Некоторый прогресс в проблеме гипотезы Зарембы. / Материалы XXI Международной конференции, посвященной 85-летию со дня рождения А. А Карацубы. Стр. 230-232. Тула, 2022. [54]

31. Кап И. Д. Гипотеза Зарембы и круговой метод / Вторая конференция математических центров России. С. 104-106. Москва. 2022. [55]

1.2.2. Актуальность рассматриваемой темы.

Предметом (а часто, наоборот, основой метода исследования) диссертации являются конечные цепные дроби и. в особенности, их знаменатели (конпшну-инты). Относительно современное (середина XX века) систематическое изложение теории цепных дробей можно найти, например, в книгах О. Перрона [76]. А. Я. Хинчина [83] или Г. Волла [85]. Однако эта тема является не новой, а. наоборот. классической: интерес к ней и до XX века проявляли такие известные математики как К. Ф. Гаусс (здесь можно вспомнить, например, проблему Гаусса о цепных дробях, решенную Р. О. Кузьминым [1]). Л. Эйлер. Ж. Л. Лагранж (например, теорема Эйлера Лагранжа о связи квадратичных иррациональ-ностей с периодическими бесконечными цепными дробями. [73: теорема 8.9]). К. Г. Я. Якоби (например, алгоритм, Якоби-Перрона, [3]). Д. Пелль. П. Ферма (решение уравнения Пелля с помощью циклического метода, основу которого составляют континуанты) и многие другие. Даже в доисторические времена в древней Индии с помощью континуантов было решено некоторое диофанто-во уравнение второй степени (впоследствии названное уравнением, Пелля или Пелля Ферма) [4]. В последние десятилетня некоторое усиление популярности темы континуантов среди математиков вызвано, в частности, интересом к проблеме так называемой гипотезы, Зарембы, [86]. в которой предполагается.

для всякого натурального числа, рассматриваемого как знаменатель дроби, существует взаимно простой с ним, натуральный числитель, такой что составленное из них рациональное число при разложении в обыкновенную конечную цепную дробь содержит, лишь элементы, не превосходящие числа 5;

другими словами, через понятие континуанта более кратко: каждое натуральное число представили) в виде континуанта от элементов,

5

Гипотеза Зарембы интересна, как минимум, с двух точек зрения. Во-первых, при внимательном изучении результатов и методов работ Н. М. Коробова [61, 62] (или Зарембы [86], где это предположение впервые было сформулировано), относящихся к приближенному вычислению кратных интегралов с помощью оптилшльных коэффициентов (термин Н. М. Коробова), эта гипотеза возникает совершенно естественно. Во-вторых, гипотезу Зарембы не могут опровергнуть даже современные суперкомпьютеры: в пределах их многомиллионного счета эта гипотеза получает свое частичное подтверждение для гигантского начального участка натурального ряда чисел ([24: введение, стр. 1], [58: §2]). И, тем не менее, остается недоказанной!

1.2.3. Научная новизна полученных результатов.

Все основные результаты диссертации являются новыми. Все они опубликованы в периодических математических изданиях, таких как

- "Journal of Mathematical Analysis and Applications",

- "Moskow Journal of Combinatorics and Number Theory",

- "Дальневосточный математический журнал",

- "Дискретная математика",

- "Известия РАН. Серия математическая",

- "Математические заметки",

- "Математический сборник".

- "Сборник трудов МИАН им. В. А. Стеклова",

- "Фундаментальная и прикладная математика".

- "Функциональный анализ и его приложения".

1.2.4. Цели диссертационной работы.

Основными целями настоящей диссертации является решение следующих проблем:

- получение верхней оценки (близкой к неулучитаемой) для числа решений линейного сравнения, заданного относительно числителей и знаменателей цепных дробей, элементы которых принадлежат данному конечному алфавиту (множеству) неполных частных (одна новая теорема: §3. глава I):

- нахождение максимумов и (или) минимумов континуантов при ограничениях на количество, сумму или (и) множество значений их элементов (5 новых теорем: §4. глава I):

- получение неравенств, близких к обратным по отношению к неравенствам Коши Буняковского Шварца и Гельдера в общей ситуации для случая, когда не известны оценки минимума или максимума от модуля исследуемой функции (одна новая теорема: §5. глава I):

- уточнение связей между значениями производной функции Минковского и предельным поведением частичных сумм (деленных на количество слагаемых) ряда, составленного из неполных частных, взятых из разложения в бесконечные цепные дроби ее аргументов (6 новых теорем: вся глава II):

- доказательство того факта, что множество натуральных чисел, иредстави-мых в виде знаменателей конечных цепных дробей ( континуантов) с неполными частными, не превосходящими числа 4, имеет в натуральном ряду плотность, равную 1, а также оценки аналогичных плотностей в более общих ситуациях (3 новых теоремы: вся глава III):

- построение ансамбля (некототого множества матриц, обобщающего оригинальное понятие ансамбля из [5, 6]) специального множества, служащего для доказательства результатов главы III ("Добавление").

1.2.5. Теоретическая и (или) практическая ценность диссертации.

Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы специалистами по теории чисел при исследовании свойств цепных дробей, континуантов, диофантовых приближений, а также при работе с круговым методом.

1.2.6. Личный вклад автора диссертации в написание совместных работ.

Для каждой из цитированных в диссертации совместных работ соискателя

с соавторами его личный вклад составляет не менее 50%. Количество индивидуальных (несовместных) статей соискателя составляет также не менее 50% (примерно 54%) от общего количества публикаций автора, на которые имеются ссылки в настоящей диссертационной работе.

1.2.7. Апробация основных результатов дпссертанпп.

Результаты, полученные в диссертационной работе, докладывались на следующих математических собраниях.

- Конференция "Дни арифметики" (Франция, 2009):

- семинар кафедры "Теория чисел" на Механико-математическом факультете МГУ имени М. В. Ломоносова под руководством Ю. В. Нестеренко (Москва. 2009 2020. многократно):

- семинар кафедры "Теория чисел" на Мсханико-матсматичсском факультете МГУ имени М. В. Ломоносова под руководством Н. Г. Мощевитина (Москва. 2009 2020. многократно):

- семинар "Современные проблемы теории чисел" в МИАН имени В. А. Стек-лова под руководством С. В. Конягина и И. Д. Шкредова (Москва. 2016 2017. многократно):

- семинар "Геометрия чисел" на Мсханико-матсматичсском факультете МГУ имени М. В. Ломоносова под руководством Н. П. Долбилина (Москва. 2017):

- конференция "Ломоносовские чтения" на Мсханико-матсматичсском факультете МГУ имени М. В. Ломоносова (Москва. 2022):

-XXI Международная конференция по алгебре и теории чисел (Тула. 2022).

-Вторая конференция математических центров России (Москва. 2022).

1.2.8. Методы исследования.

Для доказательства основных результатов в диссертационной работе применяются как комбинаторные, так и аналитические методы теории чисел. Используются также объекты из линейной алгебры двумерные векторы и квадратные матрицы второго порядка. В первых двух главах диссертации часто встречаются метод алгоритмического доказательства неравенств с помощью действий над контннуантамн (пошаговой замены одних континуантов другими) и метод применения периодических континуантов, приводящий к квадратичным иррационалыгостям. Встречается и метод оценки континуантов с помощью мажорирующих неравенств, предложенный автором (пункт 4.5.2). Регулярно используется неравенство Коши Буняковского Шварца. Обратное к нему,

- "Обращение неравенства Коши Буняковского Шварца", рассмотренное в 5-м параграфе первой главы, является одним из существенных методов для третьей главы диссертации. Другими разработанными автором методами из первой главы диссертационной работы, получившими свое приложение в третьей главе, являются

- "включение матричных множеств", рассмотренное в пункте 3.6, и

- оценка "суммы ¿-символов Коробова" из пункта

В третьей главе применяются также ряды Фурье, тригонометрические суммы, круговой метод Харди Литтлвуда, метод Виноградова и объединяющий их метод Бургсйна Коиторовича. Метод Хснсли (рассмотренный подробно и уточненный) является существенным в "Добавлении" к диссертации: краткий вариант этого метода излагается также и раньше, в §21 из третьей главы.

Вместе с тем, в настоящей диссертации предпринята попытка частичной элементаризации применяемых методов. Так, упомянутые "суммы ¿-символов Коробова" совсем не содержат тригонометрических сумм (а также каких-либо мнимых чисел). Минимизировано и число ссылок на спектральную теорию матриц при модернизации метода Ж. Бургсйна и А. Коиторовича.

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Кан Игорь Давидович, 2023 год

Список литературы

[1] Авдеева М. О., Быковский В. А. Решение задачи Арнольда о статистиках Гаусса — Кузьмина. / Препринт. Владивосток, Дальнаука. 2002.

[2] Алфутова Н. В., Устинов А. В. Алгебра и теория чисел. Москва, издательство МЦНМО. 2005.

[3] Аванесов Э. Т. О развитии алгоритма Якоби — Перрона. // Вестник Ивановского государственного энергетического университета. Выпуск 4. С. 99-100. 2010.

[4] Вугаенко В. О. Уравнения Пелля. Москва, издательство МЦНМО. 2001.

[5] Bourgain J., Kontorovich A. On Zaremba's conjecture. / Preprint available at arXiv: :1107.3776vl [math.NT] 19 Jul. 2011.

[6] Bourgain J., Kontorovich A. On Zaremba's conjecture. // Annals of Math., 180: pp. 137 - 196. 2014.

[7] Bullen P. S. Handbook of means and their inequalities. Kluwer, 537 pp. 1988.

[8] Cusik T. W. Continuants with bounded digits. // Mathematika, 24(2), pp. 166 — 172. 1977.

[9] Cusik T. W. Continuants with bounded digits II. // Mathematika, 25, pp. 107 — 109. 1978.

[10] Cusik T. W. Continuants with bounded digits III. // Mathematika, 99, pp. 105 — 109, 1985.

[11] Виноградов И. M. Оценка одной суммы, распространенной на простые числа арифметической прогрессии. // Изв. АН СССР. Сер. матем. Том 30, выпуск 3. С. 481 - 496. 1966.

[12] Вон Р. Метод Харди — Литтлвуда. Москва, Мир. 184 с. 1985.

[13] Гайфулин Д. Р. Производные двух функций семейства Денжуа — Тихого — Уитца. // Алгебра и анализ. Том 27, выпуск 1. С. 74 — 124. 2015.

[14] Denjoy A. Sur une fonction reele de Minkowski. // J. Math. Pures Appl. 17, pp. 105-151. 1938

[15] Dushistova A. A., Moshchevitin N. G. On the derivative of the Minkowski question mark function ?(x). // Preprint available at arXiv: 0706.2219v2 [math.NT]. 2007.

[16] Dushistova A. A., Moshchevitin N. G. On the derivative of the Minkowski question mark function ?(x). // J. Math. Sci. (N.-Y.), vol. 182, issue 4, pp. 463 — 471. 2012.

[17] Good I.J. The fractional dimension theory of continued fractions. // Proc. Cambridge Philos. Soc., 37: pp. 199 — 228. 1941.

[18] Graham R., Knuth D., Patashnik O. Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science, Addison-Wesley, Reading, MA. 1994.

[19] Hensley. D. The Hausdorff dimensions of some continued fraction cantor sets. // J. Number Theory vol. 33, issue 2, pp. 182 — 198. 1989.

[20] Hensley. D. The distribution of badly approximable numbers and continuants with bounded digits. // Theorie des nombres (Quebec, PQ, 1987), pp. 371 — 385, de Gruyter, Berlin. 1989.

[21] Hensley. D. A polynomial time algorithm for the Hausdorff dimension of continued fraction Cantor sets. // J. Number Theory, 58(1), pp. 9 — 45. 1996.

[22] Huang S. An improvment on Zaremba's conjecture. // Geometric and Functional Analysis, vol. 25, issue 3, pp. 860 — 914. 2015.

[23] Jenkinson O. On the density of Hausdorff dimensions of bounded type continued fraction sets: the Texan conjecture. // Stochastics and Dynamics, 4, pp. 63 — 76. 2004.

[24] Jenkinson O., Pollicott M. Rigorous dimension estimates for Cantor sets arising in Zaremba theory. // Contemporary Mathematics, 744, pp. 83 — 107. 2020.

[25] Kan I. D., Dushistova A. A., Moshchevitin N. G. Differentiability of the Minkowski question mark function. //J. Math. Anal. Appl. 401, No. 2, pp. 774 — 794. 2013.

[26] Kan I. D., Dushistova A. A., Moshchevitin N. G. On the derivative of the Minkowski question mark function ?(x). / Preprint available at arXiv: abs/0903.5537 [math. NT] vl, 31 Mar. 2009.

[27] Kah И. Д. Дифференцируемость ?Д)-функцип Минковского. II. // Известия РАН. Серия математическая. Том 83, выпуск 5. С. 53 — 87. 2019.

[28] Кан И. Д. Дифференцируемость ?(ж)-функции Минковского. III. // Математический сборник. Том 210, выпуск 8. С. 87 — 119. 2019.

[29] Кан И. Д., Гайфулин Д. Р. Производная функции Минковского. // Известия РАН. Серия математическая. Том 85, выпуск 4. С. 5 — 52. 2021.

[30] Кан И. Д., Гайфулин Д. Р. Стационарные точки функции Минковского. // Математический сборник. Том 212, № 10. 2021.

[31] Кан И. Д. Уточнение правила сравнения континуантов. // Дискретная математика. Том 12, выпуск 3. Москва. С. 70 — 71. 2000.

[32] Кан И. Д. Методы получения оценок континуантов. // Фундаментальная и прикладная математика. Том 16, выпуск 6. С. 95 — 108. 2010.

[33] Kan I. D. Methods for estimating of continuants, corrected version. / Preprint available at arXiv: : 2106.03789vl [math. NT], 2021.

[34] Кан И. Д. Обращение неравенства Коши — Вуняковского — Шварца. // Математические заметки. Том 99, выпуск 3. С. 350 — 354. 2016.

[35] Kan I. D., Frolenkov D. A. A reinforsment of the Bourgain — Kontorovich's theorem by elementary methods. / Preprint available at arXiv: abs/1207.4546 [math. NT], 2012.

[36] Kan I. D., Frolenkov D. A. A reinforsment of the Bourgain — Kontorovich's theorem. / Preprint available at arXiv: abs/1207.5168 [math. NT]. 2012.

[37] Kan I. D., Frolenkov D. A. A note on the reinforcement of the Bourgain — Kontorovich's theorem. / Preprint available at arXiv:1210.4204. 2012.

[38] Кан И. Д., Фроленков Д. А. Усиление теоремы Вургейна — Конторовича. // Известия РАН. Серия математическая. Том 78, № 2. Стр. 87 — 144. 2014.

[39] Kan I. D., Frolenkov D. A. A strengthening of a theorem of Bourgain — Kontorovich-II. // Moskow Journal of Combinatorics and Number Theory, vol. 4, issue 1, pp. 78 — 117. 2014.

[40] Кан И. Д. Усиление теоремы Вургейна — Конторовича-III. // Известия РАН. Серия математическая. Том 79, № 2. Стр. 77 — 100. 2015.

[41] Кан И. Д. Усиление теоремы Вургейна — Конторовича-IV. // Известия РАН. Серия математическая. Том 80, № 6. С. 103 — 126. 2016.

[42] Кан И. Д. Усиление теоремы Вургейна — Конторовича-V. // Сборник трудов МИАН им. В. А. Стеклова. Том 296. С. 133 - 139. 2017.

[43] Кан И. Д. Верна ли гипотеза Зарембы? // Математический сборник. Том 210, № 3. 2019.

[44] Кан И. Д. Усиление одной теоремы Вургейна — Конторовича. // Дальневосточный математический журнал. Том 20, № 2. С. 164 — 190. 2020.

[45] Кан И. Д. Усиление метода Вургейна — Конторовича: три новых теоремы. // Математический сборник. Том 212, № 7. С. 39 — 83. 2021.

[46] Кан И. Д. Усиление теоремы Вургейна — Конторовича о малых значениях хаусдорфовой размерности. // Функциональный анализ и его приложения, том 56, выпуск 1. С. 66-80. 2022.

[47] Кан И. Д. Линейные сравнения в цепных дробях из конечных алфавитов. // Математические заметки. Том 103, выпуск 6. С. 853 — 862. 2018.

[48] Кан И. Д., Кроткова Н. А. Количественные обобщения результатов Нидер-рейтора о цепных дробях. // Чебышевский сборник. Том 12, вып. 1(37). С. 105 - 124, Тула. 2011.

[49] Кан И. Д., Однороб В. А. Обращения неравенства Гельдера. // Математические заметки. Том 110, выпуск 5, ноябрь 2021.

[50] Кан И. Д., Однороб В. А. Линейные неоднородные сравнения в цепных дробях из конечных алфавитов. Математические заметки. Том 112, выпуск 3. С. 407-420. 2022.

[51] Кан И. Д. Представление чисел линейными формами. // Математические заметки. Том 68, выпуск 2. Москва. С. 210 — 216. 2000.

[52] Кан И. Д. Проблема Фробениуса для классов полиномиальной разрешимости. // Математические заметки. Том 70, выпуск 6. Москва. С. 845 — 853. 2001.

[53] Кан И. Д., Соловьев Г. X. Система неравенств в цепных дробях из конечных алфавитов. Математические заметки. Том 113, выпуск 2. С. 197 — 206. 2023.

[54] Кан И. Д. Некоторый прогресс в проблеме гипотезы Зарембы. / Материалы XXI Международной конференции, посвященной 85-летию со дня рождения А. А Карацубы. Стр. 230-232. Тула, 2022.

[55] Кан И. Д. Гипотеза Зарембы и круговой метод / Вторая конференция математических центров России. С. 104-106. Москва. 2022.

[56] Kinney J. R. Note on a singular function of Minkowski. // Proc. Amer. Math. Soc. 11, pp. 788 - 789. 1960.

[57] Km ni D. E. Art of Computer Programming V. 2., Third edition. Addison-Wesley. 1997.

[58] Kontorovich A. Prom Apollonius to Zaremba: local-global phenomena in thin orbits. // Bull. Amer. Math. Soc., 50, pp. 187-228. 2013.

[59] Конягин С. В. Оценки тригонометрических сумм по подгруппам и сумм Гаусса. IV / Международная конференция "Современные проблемы теории чисел и ее приложения", посвященная 180-летию П. Л. Чебышева и 110-летию И. М. Виноградова: Актуальные проблемы (Тула, 2001 г.), ч. III, МГУ, мехмат, Москва. С. 86 - 114. 2002.

[60] Коробов II. \1. Тригонометрические суммы и их приложения. Москва. Гл. ред. физ.-мат. лит. 240 с. 1989.

[61] Коробов Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. Москва, Физматгиз. 1963.

[62] Коробов II. \ I. Вычисление кратных интегралов методом оптимальных коэффициентов. // Вестник Московского университета, № 4. С. 19 — 25. 1959.

[63] Коробов Н. М. О конечных цепных дробях. // УМН. Том 52, выпуск 6 (318). С. 167-168. 1997.

[64] Magee М., Он Н., Winter D. Expanding maps and continued fractions. / Preprint available at arXiv: abs/1412.4284 vol. 1 [math. NT], 2014.

[65] Magee M., Oh H., Winter D. Uniform congruence counting for schottky semigroups in SL2(Z). / Preprint available at arXiv: abs/1601.03705 vol 2 [math. NT], 2016.

[66] Minkowski H. Zur Geometrie der Zahlen. Verhandlungen, dez 3 Int. mat. kongress in Heidelberg, vom 8, dis 13. 1904. Leipzig, Druck und Verlag von B. G. Teubner. 1905.

[67] Minkowski H. Gesammelte Abhandlungen vol. 2. 1911.

[68] Moshchevitin N. G. On some open problems in diophantine approximation. / Preprint available at arXiv: abs/1202.4539, vol. 4 [math. NT], 2012.

[69] Moshchevitin N. G., Murphy В., Ilya Shkredov. Popular products and continued fractions. // Israel J. Math., 1-29. 2020.

[70] Moshchevitin N. G., Shkredov I. D. On a modular form of Zaremba's conjecture. / Preprint available at arXiv: 1911.07487 [math.NT] .

[71] Motzkin T. S., Straus E. G. Some combinatorial extremum problems. // Proc. Amer. Math. Soc. № 7, pp. 1014 - 1021. 1956.

[72] Niederreiter H. Dyadic fractions with small partial quotients. // Monatsh. Math., 101(4), pp. 309-315. 1986.

[73] Hectepehko Ю. В. Теория чисел. Академия. 2008.

[74] Paradis J., Viader P., Bibiloni L. A new light on Minkowski's ?(x) function. // J. Number Theory., 73, pp. 212 -227. 1998.

[75] Paradis J., Viader P., Bibiloni L. The derivative of Minkowski's ?(x) function. // J. Math. Anal, and Appl. № 253, pp. 107 - 125. 2001.

[76] Perron O. Die Lehre von den Kettenbruchen. Bd. I.Teuber. 1954.

[77] Pollicott M., Vytnova P. Hausdorff dimension estimates applied to Lagrange and Markov spectra, Zaremba theory, and limit sets of Fuchsian group. / Preprint available at arXiv:2012.07083 [math.NT],

[78] Прахар К. Распределение простых чисел, Мир, Москва, 1967; пер. с нем.: К. Prachar, Primzahlverteilung, Springer-Verlag, Berlin-Gottïngen-Heïdelberg. 1957.

[79] Рудин У. Основы математического анализа. Москва, Мир. 1976.

[80] Salem R. On some singular monotone functions which are strictly increasing. // Trans. Amer. Math. Soc., № 53, pp. 427 - 439. 1943.

[81] Shkredov I. D. Growth in Chevalley groups relatively to parabolic subgroups and some applications. / Revista Matematica Iberoamericana, 2022, том 38, выпуск 6, страницы 1945-1973.

[82] Sylvester J.J. Mathematical questions with their solutions. // Educational times. № 41, pp. 21. 1884.

[83] Хинчин А. Я. Цепные дроби. Москва, Физматгиз. 1961.

[84] Шмидт В.M. Диофантовы приближения. Пер. с англ. В. Г. Чирского. Москва, Мир. 1983.

[85] Wall H. S. Analytic theory of continued fractions. New York. Van Nostrand. 1948.

[86] Zaremba S. K. La méthode des "bons treillis"pour le calcul des intégerales multiples. // Applications of number theory to numerical analysis (Montreal, Canada, 1971), pp. 39 — 119, Academic Press, New York. 1972.