Проявление наследственных свойств материала в динамических задачах линейной вязкоупругости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Старовская, Мария Юрьевна

• Старовская, Мария Юрьевна
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Старовская, Мария Юрьевна

Введение.

1. О соответствии между ядрами релаксации разных типов в динамических задачах линейной вязкоупругости.

1.1. Постановка динамической задачи для линейно-вязкоупругого тела и форма представления ее решения.

1.2. Соотношения, выражающие соответствие между ядрами релаксации разных типов.

1.3. Построение простейшего экспоненциального ядра по заданному ядру произвольного вида.

Основные результаты.

2. Проявление наследственных свойств материала в одномерных переходных процессах.

2.1. Задача о распространении волны сдвига в поперечном сечении бесконечного цилиндра.

2.2. Задача о распространении продольной волны в поперечном сечении бесконечного цилиндра.

Основные результаты.

3. Проявление наследственных свойств материала в неодномерной динамической задаче для цилиндра конечной длины.

3.1. Постановка задачи.

3.2. Построение решения в пространстве изображений Лапласа.

3.3. Построение решения в оригиналах.

3.4. Результаты расчетов.

Основные результаты.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Проявление наследственных свойств материала в динамических задачах линейной вязкоупругости»

АКТУАЛЬНОСТЬ ПРОБЛЕМЫ. Во многих отраслях современного производства широко используются конструкции, элементы которых выполнены из материалов, проявляющих ярко выраженные наследственные свойства, в том числе, линейно-вязкоупругих материалов. В процессе эксплуатации, а также в аварийных ситуациях такие элементы могут подвергаться разного рода динамическим воздействиям, поэтому исследования переходных волновых процессов в вязкоупругих телах приобретают все большую актуальность. Результаты подобных исследований играют важную роль при оценке прочности и надежности различных технических сооружений. Они находят широкое применение в машиностроении, авиационной промышленности, строительстве, а также в геофизике и сейсмологии.

Необходимость изучения как динамических, так и квазистатических процессов деформирования вязкоупругих твердых тел вызвала появление в прошедшем столетии и в последние годы множества публикаций на эту тему. Фундаментальный вклад в решение проблем, касающихся построения математических моделей и разработки методов исследования напряженно-деформированного состояния вязкоупругих тел был внесен работами Вольтерра [102], Ю.Н. Работнова [58-60], А.А. Ильюшина, Б.Е. Победри [22], М.А. Колтунова [27], П.М. Огибалова [21], В.В. Москвитина [37], Н.Х. Арутюняна [4,5], Д. Бленда [9], Р. Кристенсена [29], А.Р. Ржаницына [62], В.П. Майбороды, В.Г. Зубчанинова [28], и других авторов.

Исследованиям волновых процессов в вязкоупругих телах посвящены работы В.Г. Гоголадзе [13, 14], Е.И. Шемякина [81, 82], М.И. Розовского [63-65], У.К. Нигула [39],И.Г. Филиппова, О.А. Егорычева[75], И.А. Кийко [25], Ф.Г. Максудова[34], М.Х. Ильясова [23,24], А.А.

Локшина, Ю.В. Суворовой [31],Ф.Б. Бадалова [6], В.И. Желткова [18, 19], И.М. Хайковича [80], С.И. Мешкова, В.Г. Чебана, А.В. Чигарева[10], П.Ф. Сабодаша [67], Б.Р. Нуриева [40], С.Г. Пшеничнова [44 ], Е. Мамедгасанова [24], М.Б. Расулова [61], В.И.Козлова, Н.К. Кучера [26], I. Abubakar [84], J.D. Achenbach [85], R. Arenz [86], D.S.Berry, S.C. Hunter [88], B.D. Coleman, M.E. Curtin [89,90], O.W. Dillon [91], H. Kolsky [94,95], L. Songnan, G. Ping [101] и других ученых.

Помимо разработки новых моделей, постановки экспериментов и развития численных методов, одним из важных направлений в изучении нестационарных процессов в вязкоупругих телах являются аналитические исследования, основанные на различных способах построения решений начально-краевых задач линейной вязкоупругости. Кроме самостоятельной ценности подобного рода исследований, последние могут служить основой эффективных вычислительных методик. Так, в работе [81] был предложен способ построения решения нестационарной задачи для вязкоупругого тела с одним наследственным ядром с помощью решения соответствующей нестационарной упругой задачи и решения некоторой одномерной вспомогательной задачи с таким же ядром. Этот метод был в дальнейшем развит в трудах [23, 25, 34] для неоднородных тел, наследственные свойства которых определяются двумя различными функциями времени.

Работы [63-65] посвящены распространению принципа Вольтерра на динамические линейно-вязкоупругие задачи.

В монографии [31] исследуются общие свойства интегро-дифференциальных уравнений наследственной теории упругости и асимптотическое поведение их решений с применением теории обобщенных функций и преобразования Фурье-Лапласа.

Одной из наиболее распространенных процедур при построении решений нестационарных вязкоупругих задач является применение к исходной системе уравнений и граничным условиям интегрального преобразования Лапласа по времени с последующим обращением изображений в пространство оригиналов. На сегодня известно множество работ, в которых обращение решения нестационарной задачи линейной вязкоупругости в изображениях проводится различными способами. Иногда возможно непосредственное табличное обращение после предварительного разложения изображений в ряды [25]. Во многих случаях оригиналы строятся приближенно с помощью асимптотического обращения либо при малой вязкости, либо в ограниченном диапазоне изменения времени [26,42,61,67,75,95]; используются также приемы численного обращения [6, 43]. В работах [44-48] на основе исследования свойств решений нестационарных задач линейной вязкоупругости в изображениях разработана методика построения их оригиналов с использованием приемов контурного интегрирования и теории вычетов, приводящая в случае регулярных экспоненциальных ядер к разложению нестационарного решения в ряд по собственным формам свободных колебаний рассматриваемого вязкоупругого тела.

Для исследования динамических задач линейной вязкоупругости весьма эффективен метод модального разложения, разработанный в трудах [18,19]. Его сущность заключается в разложении решения нестационарной задачи для вязкоупругого тела в ряд по собственным формам свободных колебаний соответствующего упругого тела. При этом отыскание зависящих от времени неизвестных модальных коэффициентов проводится с применением преобразования Фурье по времени и последующим обращением.

В рамках рассматриваемой проблемы изучения волновых процессов в линейно-вязкоупругих телах естественно возникает следующий вопрос: возможно ли в конкретной нестационарной задаче так заменить изначально заданные ядра объемной или сдвиговой релаксации одного типа на соответствующие ядра некоторого другого (выбранного) типа при сохранении всех прочих условий (формы тела, мгновенных модулей, граничных и начальных условий и т.д.), чтобы это не оказало существенного влияния на нестационарный процесс? И, если да, то как это сделать? В числе прочего, указанная замена ядер могла бы быть проведена, например, в целях упрощения предварительных динамических расчетов элементов конструкций с использованием наследственных ядер, наиболее удобных в вычислительном плане. В свете обсуждаемого вопроса в работах [49,50] были предложены в качестве гипотезы некоторые общие соотношения, устанавливающие соответствие между ядрами релаксации, принадлежащими разным классам функций. При этом предполагалось, что такие ядра при прочих равных условиях проявляют себя в нестационарных процессах схожим образом, что и подтвердилось в некоторых простейших задачах. Однако, предложенные соотношения требуют дальнейшей проверки и установления пределов их применимости как в одномерных задачах о распространении волн разных типов, так и в задачах неодномерных. Следует отметить, что вопрос о замене в нестационарных задачах одних ядер на другие, более удобные, поднимался также в работах [18, 51]. Там предлагалось заменить исходный материал с переменным коэффициентом Пуассона на материал, у которого он постоянен, а параметры нового ядра вычислять определенным образом через параметры исходных ядер объемной и сдвиговой релаксации. Кроме того, в работе [72] исследована задача о приближении слабосингулярного ядра конечной суммой функций типа Миттаг-Леффлера на конечном отрезке, левая граница которого находится как угодно близко к нулю.

Подводя итог краткому обзору известных работ, заметим, что, несмотря на достигнутые успехи в области исследования динамики вязкоупругих тел, многие задачи ввиду их математической сложности даже в рамках малых деформаций до сих пор остаются не решенными или решенными не полностью. К ним относятся, прежде всего, неодномерные начально-краевые задачи для линейно-вязкоупругих тел с переменным во времени коэффициентом Пуассона при ядрах разных типов в широком диапазоне изменения времени. Кроме того, даже для одномерных задач влияние ядер разных классов (как регулярных, так и сингулярных) на переходные процессы во всем диапазоне изменения времени от начального момента до полного затухания возмущений исследовано не достаточно. Так, например, по-прежнему вызывает интерес вопрос о том, в какой мере влияет на характер нестационарного процесса во всем его временном диапазоне принадлежность наследственных ядер тому или иному классу функций, а также о том, какие именно параметры наследственных ядер при этом наиболее существенно проявляются.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Основной целью предлагаемой работы является исследование влияния ядер релаксации разных типов (как регулярных, так и сингулярных) на переходные волновые процессы в линейно-вязкоупругих телах.

С помощью определенных соотношений предполагается установить соответствие между ядрами, принадлежащими разным классам функций, но при этом проявляющими себя в нестационарных вязкоупругих задачах схожим образом.

Указанное соответствие в определенных границах изменения физических и геометрических параметров предполагается продемонстрировать как на одномерных задачах с участием только поперечных или только продольных волн, так и на неодномерной начально-краевой задаче для тел цилиндрической формы.

Одновременно с этим ставится цель построить решение неодномерной осесимметричной нестационарной задачи для линейновязкоупругого цилиндра конечной длины и исследовать особенности переходных процессов в его характерных областях. НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Доказано существование и единственность ядра из класса двухпараметрических экспоненциальных ядер, которое является достаточно близким к изначально заданному ядру общего вида согласно предложенным условиям этой близости - соотношениям соответствия. Получено алгебраическое уравнение с одним неизвестным, решение которого определяет параметры указанного двухпараметрического экспоненциального ядра.

Путем исследования конкретных одномерных и неодномерных волновых вязкоупругих задач установлено, что в определенных границах изменения физических и геометрических параметров более сложные ядра можно заменить с помощью соотношений соответствия более простыми (в частности, двухпараметрическими экспоненциальными ядрами) при сохранении всех прочих условий задачи без существенных изменений в ее решении.

Проведено построение решения осесимметричной нестационарной вязкоупругой задачи для цилиндра конечной длины, находящегося под действием неравномерно распределенного вдоль образующей внутреннего давления. Решение не предъявляет специальных требований к виду наследственных ядер, кроме общепринятых и условия ограниченной ползучести. На основе этого решения подробно исследованы волновые процессы в различных областях цилиндра, начиная от начального момента до практически полного затухания возмущений. При этом варьировались геометрические и физические параметры, а также характер нагрузки. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ РАБОТЫ. Проведенные теоретические исследования во многих случаях дают возможность упрощения динамических расчетов элементов конструкций из вязкоупругого материала путем замены соответствующих этому материалу ядер релаксации, найденных экспериментально, на более удобные для вычислений.

Кроме того, построенное решение неодномерной динамической задачи для цилиндра конечной длины и проведенные с его помощью исследования волновых процессов могут быть использованы при расчетах трубопроводов, орудийных стволов, шахт, а также разнообразных элементов конструкций цилиндрической формы, работающих в нестационарных режимах или при аварийных ситуациях.

Построенные в данной работе решения можно использовать для тестирования алгоритмов каких-либо численных методов или в качестве составной части сложных вычислительных процедур, предназначенных для динамических расчетов разного рода технических объектов. ОБОСНОВАННОСТЬ И ДОСТОВЕРНОСТЬ полученных результатов обеспечивается выбором известной математической модели, адекватно отражающей переходные процессы в линейно-вязкоупругих телах при малых деформациях, использованием строгого математического аппарата на всех этапах исследования и сравнением отдельных полученных результатов с уже известными результатами других авторов. КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ. Работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Старовская, Мария Юрьевна

Основные результаты

1) Построено решение неодномерной осесимметричной нестационарной вязкоупругой задачи для цилиндра конечной длины при ядрах релаксации общего вида в рамках ограниченной ползучести материала во всем диапазоне изменения времени.

2) На основе построенного решения путем конкретных расчетов проведено исследование волновых процессов в различных точках конечного цилиндра в широком диапазоне изменения времени при различных вариантах исходных данных: менялся характер нагрузки, варьировались геометрические и физико-механические параметры, в том числе параметры наследственных ядер.

3) Проведенные исследования подтвердили правомерность выбора соотношений (1.2.1), (1.2.2) в качестве условий близости (соответствия) между ядрами разных типов по отношению к их влиянию на неодномерные нестационарные процессы. Установлено, что в рассмотренной двумерной динамической задаче для заданного ядра в виде суммы нескольких экспонент или сингулярного ядра Колтунова-Ржаницына можно с помощью указанных условий соответствия подобрать простейшее ядро всего из одной экспоненты, которое будет оказывать на волновой процесс почти такое же влияние, что и исходное ядро

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Выполненная работа была проведена с общей целью изучения влияния наследственных свойств материала на переходные волновые процессы в линейно-вязкоупругих телах, в том числе, получения более полного представления о том значении, которое имеет принадлежность ядер релаксации тому или иному классу. В этой связи с помощью определенных соотношений предполагалось установить соответствие между ядрами, принадлежащими разным классам функций, но при этом проявляющими себя в нестационарных вязкоупругих задачах схожим образом.

В рамках выбранной цели в настоящей работе получены следующие основные результаты, имеющие как научную, так и практическую ценность.

1) Сформулировано и доказано утверждение о существовании и единственности ядра из класса простейших двухпараметрических экспоненциальных ядер, которое удовлетворяет двум условиям соответствия (близости) заданному ядру общего вида. Дан алгоритм построения указанного простейшего ядра с помощью решения нелинейного алгебраического уравнения с одним неизвестным.

2) С использованием предложенного общего алгоритма в частных случаях проведено построение двухпараметрического ядра, состоящего из одной экспоненты, которое соответствует заданному исходному ядру в форме Колтунова-Ржаницына. Проведено аналогичное построение в случае задания исходного ядра в виде суммы конечного числа экспонент.

3) Правомерность условий соответствия между ядрами релаксации разных типов по отношению к их влиянию на одномерные переходные волновые процессы подтвердили исследования одномерных тестовых задач с участием только поперечных или только продольных волн.

Установлено, что для заданного ядра в виде суммы нескольких экспонент или сингулярного ядра Колтунова-Ржаницына можно с помощью указанных условий соответствия подобрать простейшее ядро всего из одной экспоненты, которое будет оказывать на волновой процесс почти такое же влияние, что и исходное ядро. Для заданного ядра в виде суммы экспонент с разбросом времен релаксации в несколько порядков сказанное касается, главным образом, влияния на процесс изменения во времени напряжений. Получены простые соотношения, связывающие коэффициенты двух различных ядер Колтунова-Ржаницына при условии, что каждому из этих ядер соответствует одно и то же простейшее экспоненциальное ядро.

4) Построено решение неодномерной осесимметричной динамической вязкоупругой задачи для цилиндра конечной длины при ядрах релаксации общего вида в рамках ограниченной ползучести материала. На основе этого решения проведены исследования переходных волновых процессов в различных точках конечного цилиндра в широком диапазоне изменения времени при различных вариантах исходных данных. Исследования подтвердили правомерность условий соответствия между ядрами разных типов по отношению к их влиянию на неодномерные переходные процессы. Как и в одномерном случае, здесь установлено, что для заданного ядра в виде суммы экспонент или ядра Колтунова-Ржаницына можно подобрать простейшее ядро всего из одной экспоненты, которое будет оказывать на неодномерный волновой процесс практически такое же влияние, что и исходное ядро.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Старовская, Мария Юрьевна, 2007 год

1. Азеев К.В. Динамическая устойчивость пологах оболочек из вязкоупругих материалов.- Дисс. на соиск. уч. степ. канд. физ.-мат. наук,- Тула: Тульский гос. ун-т. 2005. 121 с.

2. Амиркулова Ф.А., Худойназаров Х.Х. Продольно-радиальные колебания цилиндрической термовязкоупругой оболочки // Вестн. Рос. Университета дружбы народов. Сер. Инж. исслед. 2002. № 1. -С. 66-70.

3. Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные функции. М.: Наука. 1984.-383 с.

4. Арутюнян Н.Х. Некоторые вопросы теории ползучести. М.-Л.:Гостехиздат. 1952. - 186 с.

5. Арутюнян Н.Х., Колмановский В.Б. Теория ползучести неоднородных тел. М.: Наука. 1983. - 336 с.

6. Бадалов Ф.Б. Методы решения интегральных и интегро-дифференциальных уравнений наследственной теории вязкоупругости. Ташкент: Мехмат. 1987. - 270 с.

7. Бажанова Н.С., Коссович Л.Ю. Погранслой в окрестности фронта волны расширения в вязкоупругих оболочках вращения // Прикл. пробл. прочн. и пласт. 2000. № 61. С. 22 - 26, 230,237.

8. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Т. 1. -М.: Наука. 1969.-343 с.

9. Бленд Д. Теория линейной вязко-упругости.- М.: Мир. 1965. 199 с. Ю.Блитштейн Ю.М., Мешков С.И., Чебан В.Г., Чигарев А.В.

10. Распространение волн в вязкоупругих средах. Кишинев: Штиинца. 1977.-205 с.

11. П.Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. 4.1. М.: Изд-во иностр. лит. 1949. - 799 с.

12. Володина Л.В., Зотов Е.В., Красовский Г.Б., Новиков С.А., Синицын В.А., Чеверикин A.M., Якупов М.М. Динамика вязкоупругих сферических оболочек при внутреннем взрывном нагружении. -Саров: Изд-во РФЯЦ-ВНИИЭФ. 2003. С. 208 215.

13. Гоголадзе В.Г. Некоторые задачи наследственной упругости. Поверхностные волны в среде с наследственной упругостью // Тр. Сейсмологического ин-та АН СССР. 1938. № 87. С. 1-39.

14. Гоголадзе В.Г. Упругие колебания в среде с упругим последействием (с наследственностью). Тр. Сейсмологического ин-та АН СССР. 1941. №109.- С. 1-23.

15. Деч Г. Руководство по практическому применению преобразования Лапласа и Z-преобразования: Пер. с нем.-М.: Наука. 1971.- 288 с.

16. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление.-М.: Наука. 1974.- 542 с.

17. Егорычев О.О. Воздействие подвижной нагрузки на многослойную вязкоупругую пластину, лежащую на вязкоупругом основании // Сейсмостойк. стр-во. Безопасн. сооруж. 2002. № 4.- С. 24-27,65.

18. Желтков В.И. Экспериментально-теоретическое обеспечение динамических задач линейной вязкоупругости.-Дисс. на соискание уч. степени доктора физ.-мат. наук,- Тула: Тульский гос. ун-т. 2000.-262с.

19. Желтков В.И., Толоконников Л.А., Хромова Н.Г. Переходные функции в динамике вязкоупругих тел // Докл. РАН. 1993. Т. 329. № 6. С. 718-719.

20. Ильюшин А.А. Метод аппроксимации для расчета конструкций по линейной теории термовязкоупругости // Механика полимеров. 1968. №3.-С. 210-221.

21. Ильюшин А. А., Огибалов П.М. Квазилинейная теория вязкоупругости и метод малого параметра // Механика полимеров. 1962. № 2.-С. 170-189.

22. Ильюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязкоупругости.-М.: Наука. 1970.-280 с.

23. Ильясов М.Х. О решениях неоднородных волновых уравнений линейной вязкоупругости // Докл. АН АзССР. 1980. № 12.-С. 13-17.

24. Ильясов М.Х., Мамедгасанов Е. Волны напряжений в составном полубесконечном наследственно-упругом стержне // В сб. докл. Междунар. науч.-тех. конф.: Актуальные проблемы фундаментальных наук. Т.8.- М.: Изд. МГТУ. 1991.- С. 82-85.

25. Кийко И.А., Ильясов М.Х. Динамическое кручение вязкоупругих цилиндрических стержней // Механика полимеров. 1975. № 3.- С. 482-492.

26. Козлов В.И., Кучер Н.К. Динамическое поведение многослойных цилиндрических конструкций при нестационарных нагрузках // Проблемы прочности. 1980. № 5.- С. 97-103.

27. Колтунов М.А. Ползучесть и релаксация.- М.: Высш. школа. 1976.277 с.

28. Колтунов М.А., Майборода В.П., Зубчанинов В.Г. Прочностные расчеты изделий из полимерных материалов. М.: Машиностроение. 1983.-336 с.

29. Кристенсен Р. Введение в теорию вязкоупругости.- М.: Мир. 1974.338 с.

30. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного.- М.: Наука. 1987.- 688 с.

31. Локшин А. А., Суворова Ю.В. Математическая теория распространения волн в средах с памятью.- М.: Изд-во МГУ. 1982.151 с.

32. Лурье А.И. Операционное исчисление и его приложения к задачам механики.- M.-JL: Госиздат, техн.-теор. лит. 1950.- 432 с.

33. Лычев С.А., Сидоров Ю.В. Формализация процедуры построения математических моделей вязкоупругих оболочек: тез // Обозрение прикл. и пром. мат. 2001. № 1,- С. 261-262.

34. Максудов Ф.Г., Ильясов М.Х. Об одном методе решения динамических задач линейной вязкоупругости с регулярными наследственными ядрами // Докл. АН СССР. 1981. Т. 260. № 6.- С. 1332-1335.

35. Мальцев JI.E. Приближенное решение некоторых динамических задач вязкоупругости // Механика полимеров. 1978. № 2.- С. 210-218.

36. Молодцов И.Н. Об исследовании динамики многослойного неоднородного полого шара // Вестник Моск. ун-та. Сер. 1.Математика, механика. 1981. № 1.- С. 82-86.

37. Москвитин В.В. Сопротивление вязкоупругих материалов.- М.: Наука. 1972.-328 с.

38. Недорезов П.Ф. Вибрационный изгиб вязкоупругих пластин и оболочек в рамках модели Кирхгофа-Лява.- Саратов: Саратов, гос. техн. ун-т. 2000.-35 с.

39. Нигул У.К. Правильное применение метода деформирования контура интегрирования при обращении преобразования Лапласа в задачах распространения вязкоупругих волн // Докл. АН СССР. 1979. Т. 248. №1.-С. 56-59.

40. Нуриев Б.Р. Удар по вязкоупругому слоистому композиту // Изв. АН АзССР. Сер. физ.-техн. и мат. наук. 1985. № 4.- С. 35-41.

41. Овсянникова Е.И. Анализ затухающих колебаний линейных и нелинейных вязкоупругих пластин, свойства которых определяются дробными производными.- Автореф. дис. на соиск. уч. степ. канд. физ.-мат. наук.- Воронеж: Воронеж, гос. ун-т. 2002.16 с.

42. Перов М.А. Решение одномерных нестационарных задач динамики кусочно-однородных тел.- Дисс. на соиск. уч. степ. канд. физ.-мат. наук.- М.: МГУ. 2003.102 с.

43. Пряхина О.Д. Нестационарные колебания упругой балки на вязкоупругом основании //Изв. РАН. МТТ. 1992. № 1.- С. 164-169.

44. Пшеничнов С.Г. Распространение одномерных волн в кусочно-однородных вязкоупругих телах // Докл. АН СССР. 1990. Т. 315. № 3.- С. 566-570.

45. Пшеничнов С.Г. Особенности использования преобразования Лапласа при решении линейных начально-краевых задач механики деформируемого твердого тела // Сб. науч. тр. Исследование процессов в распределенных системах и средах.- М.: ИФТП. 1991.-С. 35-39.

46. Пшеничнов С.Г. Некоторые особенности использования преобразования Лапласа при решении линейных задач нестационарной динамики деформируемых твердых тел // Докл. РАН 1994. Т.339. N 1. С 48-51.

47. Пшеничнов С.Г. Построение оригинала для трансформанты Лапласа с помощью теории вычетов в задачах динамики линейно-вязкоупругих тел // Нелинейные явления в открытых системах: Сб. науч. тр. Вып.8. М.: Гос.ИФТП. 1997. С. 79 87.

48. Пшеничнов С.Г. Об одном свойстве решений нестационарных задач для линейно-вязкоупругих тел в пространстве изображений Лапласа // Искусственный интеллект в технических системах: Сб. науч. тр. М.: Гос.ИФТП, 1997. С. 132 142.

49. Пшеничнов С.Г. О влиянии параметров ядер релаксации на волновые процессы в линейно-вязкоупругих телах // Искусственный интеллект в технических системах: Сб. науч. тр. Вып. 23. М.: Гос.ИФТП, 2002. С. 60-73.

50. Пшеничнов С.Г. О некоторых соотношениях эквивалентности для вязкоупругих ядер // Тр. Междунар. научно-техн. конференции «Прогрессивные технологии и оборудование кузнечно-штамповочного производства». М.: МГТУ «МАМИ», 2003. С. 263 -268.

51. Пшеничное С.Г. К вопросу об исследовании нестационарных процессов в линейно-вязкоупругих телах при переменном коэффициенте Пуассона // Изв. Тульского гос. ун-та. Серия Математика. Механика. Информатика, 2005. Т.П. Вып.2. С. 116 126.

52. Пшеничнов С.Г., Старовская М.Ю. Решение задачи о неосесимметричном нестационарном нагружении линейно-вязкоупругого цилиндра // Тр. Междунар. науч. симпозиума, посвященного 140-летию МГТУ «МАМИ». М.: МГТУ «МАМИ», 2005. С. 62-63.

53. Пшеничнов С.Г., Старовская М.Ю. Об условиях эквивалентности для наследственных ядер в нестационарных задачах линейнойвязкоупругости // Изв. Тульского гос. ун-та. Серия Математика. Механика. Информатика. 2006. Т. 12, вып.2. С. 177 189.

54. Пшеничнов С.Г., Старовская М.Ю. Осесимметричная задача динамики для линейно-вязкоупругого полого цилиндра конечной длины // Изв. Тульского гос. ун-та. Серия Математика. Механика. Информатика. 2006. Т. 12, вып.2. С. 165 176.

55. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций.- М.: Наука. 1966.- 752 с.

56. Работнов Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел.-М.: Наука. 1977.-384 с.

57. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела.- М.: Наука. 1988.- 712 с.

58. Расулов М.Б. Распространение продольных вязкоупругих волн в трехслойном полупространстве // Материалы 4-й Респ. конф. молодых ученых по математике и механике. Механика. Баку: Элм. 1983.- С. 239-243.

59. Ржаницын А.Р. Теория ползучести. М.: Госстройиздат. 1968. -186 с.

60. Розовский М.И. Об одном свойстве степени специального оператора и его приложения к решению упруго-наследственных динамических задач // В сб.: Ползучесть и длительная прочность.- Новосибирск: СО АН СССР. 1963.- С. 128-133.

61. Розовский М.И. Интегрально-операторный метод в наследственной теории ползучести // Докл. АН СССР. 1965. Т. 160. № 4.- С. 792-795.

62. Розовский М.И. Механика упруго-наследственных сред // В кн.: Итоги науки. Упругость и пластичность. 1965.- М.: ВИНИТИ. 1967.-С. 167-250.

63. Сабодаш П.Ф. Распространение продольных вязко-упругих волн в трехслойной среде // Механика полимеров. 1971. № 1.- С. 151-156.

64. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной.- М.: Наука. 1970.-304 с.

65. Сеймов В.М., Трофимчук А.Н., Савицкий О.А. Колебания и волны в слоистых средах.- Киев: Наук, думка. 1990.- 221 с.

66. Старовская М.Ю. Нестационарная задача о действии внутреннего давления на вязкоупругий цилиндр конечной длины // Рук. деп. в ВИНИТИ.- М.: ВИНИТИ. № 670-В 2006.- 16 с.

67. Суворова Ю.В. О применении интегральных преобразований в одномерных волновых задачах наследственной вязкоупругости // В сб.: Механика деформируемых тел и конструкций.- М.: Машиностроение. 1975.- С. 464-471.

68. Сургуладзе Т.А. Об одном применении дробной функции Грина // Изв. РАН (МП). №1.2001.- С. 53-60.

69. Сургуладзе Т.А. Об определяющих соотношениях вязкоупругости, содержащих дробные производные // Вестн. МГУ. Сер. 1. 2002. № 4.-С. 65-68.

70. Сургуладзе Т.А. О гиперболичности некоторых трехмерных уравнений движения вязкоупругости // Вестн. МГУ. Сер. 1. 2002. № 5.- С. 61-64.

71. Филиппов И.Г., Егорычев О.А. Волновые процессы в линейных вязкоупругих средах. М.: Машиностроение. 1983.- 269 с.

72. Филиппов И.Г., Кудайназаров К. Общие уравнения поперечных колебаний круговой цилиндрической вязкоупругой оболочки // Прикл. механика. 1990. Т. 26. № 4.- С. 41-49.

73. Филиппов И.Г., Скропкин С.А, Дмоховский А.В. Теоретико-экспериментальное исследование волн напряжений в вязкоупругих стержнях переменного сечения // Тр. МИСИ. 1977. Т. 138.- С. 116121.

74. Филиппов И.Г., Чебан В.Г. Математическая теория колебаний упругих и вязкоупругих пластин и стержней.- Кишинев: Штиинца.1988.- 190 с.

75. Филиппов И.Г., Ширинкулов Т.Ш., Мирзакабилов С.М. Нестационарные колебания линейных упругих и вязкоупругих сред.-Ташкент: Фан. 1979.-236 с.

76. Хайкович И.М. Некоторые вопросы распространения волн в среде с релаксацией напряжения // В сб.: Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн.- Л.: Изд-во Ленингр. гос. ун-та. 1959. Вып. 3.- С. 320-327.

77. Шемякин Е.И. Распространение нестационарных возмущений в вязкоупругой среде // Докл. АН СССР. 1955. Т. 104. № 1,- С. 34-37.

78. Шемякин Е.И. Динамические задачи теории упругости и пластичности.- Новосибирск: Изд-во Новосиб. ун-та. 1968.- 337 с.

79. Яковлев Ю.С. Об обращении сложных трансформант-изображений по Ханкелю и Лапласу // В кн.: Прикладные проблемы прочности и пластичности.- Горький. 1976. Вып. 3.- С. 3-10.

80. Abubakar I. On the buried sourse in a viscoelastic halfspace // Pure and Appl. Geoph. 1969. V. 72. № l.- p. 51-54.

81. Achenbach J.D. Vibrations of a viscoelastic body // AIAA. 1967. V. 5.- P. 1213.

82. Arenz R.T. Two-dimensional wave propagation in realistic viscoelastic material//J. Appl. Mech. ASME. E. 1965. V. 32.№2.-P. 1311.

83. Barret K.E., Gotts A.C. Finite element analysis of a compressible dynamic viscoelastic sphere using FFT // Comput. and Struct. 2002. V. 80. №20-21.- P. 1615-1625.

84. Berry D.S., Hunter S.C. The propagation of dynamic stresses in viscoelastic rods // J. Mech. and Phys. Solids. 1956. V. 4. № 2.- P. 72-95.

85. Coleman B.D., Curtin M.E. Waves in materials with memory. 1 // Arch. Ration. Mech.Anal. 1965. V. 19. № 1.- P. 1-19.

86. Coleman B.D. , Curtin M.E. Waves in materials with memory. 2,3 // Arch. Ration. Mech.Anal. 1965. V. 19. № 4.- P. 17-298.

87. Dillon O.W. Transient stresses in non-gomogeneous viscoelastic (Maxwell) materials // J. Aerospace Sci. 1962. V. 29. № 3.- P. 284-288.

88. He Shi-ping, Tang Wei-lin, Fan Jun. Wave propagation and attenuation in a viscoelastic cylindrical tube with specific boundary // Chuanbo lixue = J. Ship. Mech. 2005. V. 9. № 3.- P. 126-136.

89. Kiyoshi I., Shotaro N. Transient stress waves in an axisymmetricaly Void-viscoelastic layered space subjected to concentrated normal loads // Добоку гаккай ромбунсю.= Proc. JSCE. 1990. № 422.- P. 275-284.

90. Kolsky H. Sress waves in solids/- Oxford. 1953.- 211 p. ( Рус. пер.: Кольский Г. Волны напряжений в твердых телах.- М.: ИЛ. 1953,192 с.)

91. Kolsky Н. Stress waves in anelastic solids // J. Geophys. Res. 1963. V. 68. №4.-P. 1193-1194.

92. Maue A.W. Die Beugung elastischer Wellen an der Halbebene // Z. Angew. Math. Und Mech. 1953. Bd. 33. H. 1/2.- S. 1-10.

93. Motomancea A., Bugaru M. Nonlinear response of double-wall cylindrical shell vibrations // Rev. roum. sci. techn. Ser. Mec. appl. 1999. V. 44. №5.-P. 575-589.

94. Papargyri-Beskou S., Beskos D.E. Response of gradient-viscoelastic bar to static and dynamic axial load // Acta mech. 2004. V. 170. № 3-4.- P. 199-212.

95. Romeo M. Interfacial viscoelastic SH waves // Int. J. Solids and Struct. 2003. V. 40. № 9.- P. 2057-2068.

96. Songnan L., Ping G. Dynamic response of layered viscoelastic half-space and its application to dynamic foundation problems // Hunan daxue xuebao. J. Hunan Univ. 1993. V. 20. № 1.- P. 57-64.

97. Volterra V. Sulle equasio dells electrodinamicca // Rend. Acc. Lincei. Ser. 5a. 1909. V. 28.- P. 203-211.

98. Yusifov Mekhrali O. The transverse vibration of a pile an viscoelastic medium // Trans. Nat. Acad. Sci. Azerb. Ser. Phys.-Techn. and Math. Sci. 2002. V. 22.№ 4.- P. 253-256.