Расположение подгрупп полной линейной группы степени два над полем рациональных функций, содержащих квадратичный тор тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Дзигоева, Валентина Созрыкоевна

• Дзигоева, Валентина Созрыкоевна
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Дзигоева, Валентина Созрыкоевна

Введение.

Глава I. Общие вопросы расположения подгрупп

§1. Общая постановка задачи.

§2. Сети^ Сетевые группы.

§3. Гирлянды.

§4. Факторизация.

Глава II. Промежуточные подгруппы, связанные с квадратичным расширением основного поля нечетной характеристики

§1. Кольца множителей.

§2. Кольца и модули, связаннные с промежуточной подгруппой

§3. Включение в нормализатор.

§4. Правило перемещения.

§5. Подгруппы, связанные с допустимой парой.

§6. Наибольшая и наименьшая подгруппа подрешетки.

§7. Описание подгрупп из подрешетки, связанной с допустимой парой.

§8. Операция спуска.

§9. Операция подъема.

Глава III. Строение решетки промежуточных подгрупп, содержащих квадратичный тор, для поля рациональных функций

§1. Представление неприводимых многочленов четной степени

§2. Описание кольца Rq.

§3. Допустимые кольца.

§4. Идеалы допустимых колец.

§5. Строение решетки Lat(R,A).

§6. Стабильный ранг колец, связанных с промежуточными подгруппами.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Расположение подгрупп полной линейной группы степени два над полем рациональных функций, содержащих квадратичный тор»

Теория линейных групп является наиболее важным, перспективным и интенсивно развивающимся направлением в современной алгебре. Находясь на стыке многих направлений (общая теория групп, теория колец, теория чисел, группы Шевалле и др.), теория линейных групп представляет собой обширную область приложений в различных разделах современного естествознания.

На протяжении многих лет изучаются различные вопросы, связанные со структурой классических групп. Особый интерес вызывают такие вопросы, как описание нормального строения, описание изоморфизмов, образующие и соотношения, описание различных классов подгрупп. Остановимся на обозначенных направлениях подробнее.

Описание нормальных делителей для линейных групп над полями, начатое в классических работах К.Жордана, Л.Диксона, Ж.Дьедонне, обобщалось в дальнейшем на разные классы колец. Центральный результат в этом направлении принадлежит Х.Бассу, который показал, что для любой подгруппы Н группы GL(n,R), нормализуемой элементарной группой E(n,R), существует единственный идеал А, что подгруппа Н заключена между элементарной подгруппой E(n, R, А), определяемой этим идеалом, и подгруппой матриц, образы которых (при редукции по модулю А) содержатся в центре группы GL(n, R/A). При этом предполагалось, что п > 2 и п больше стабильного ранга кольца R. Для коммутативного кольца R при п > 2 Дж.Уильсон и И.3.Голубчик доказали, что стандартное описание нормальных подгрупп, даваемое теоремой Басса, справедливо вне зависимости от стабильного ранга кольца, а А.А.Суслин установил нормальность элементарной группы в GL(n,R). Различные вопросы, связанные с нормальным строением классических групп над кольцами и нормальностью элементарной подгруппы, рассматривались

Л.Н.Васерштейном, А.В.Михалевым, И.З.Голубчиком, А.А.Суслиным, З.И.Боревичем, Н.А.Вавиловым и многими другими.

В классических трудах К.Жордана, Л.Диксона, О.Шрайера, Б.ван дер Вардена, Ж.Дьедонне были заложены основы описания изоморфизмов линейных групп. В последние десятилетия важнейшие результаты в этом направлении были получены в работах Р.Стейнберга, О.Т. О'Миры, Р.Соллаци и других авторов (см.[110, 125]). Основной вопрос, рассматриваемый в большинстве работ по автоморфизмам линейных групп -это возможность описания произвольного автоморфизма как композиции стандартных (индуцированных автоморфизмами кольца, контрагре-диентными преобразованиями, инволюциями основного кольца, умножений на обратимые центральные элементы, внутренних автоморфизмов). Стандартность описания автоморфизмов групп GL(n, R) и Е{п, R) рассматривались в работах У.Уотерхауза, В.М.Петечука, А.В.Михалева, И.3.Голубчика и Е.И.Зельманова.

Ж.Дьедонне и Хуа Локен описали образующие всех классических групп в конце 40-х годов прошлого века. После введения в рассмотрение абстрактных групп с образующими, соответствующими обычным транс-векциям, и определяющим соотношениям, соответствующим стандартным коммутационным соотношениям между трансвекциями при п > 2 (групп Стейнберга), и определения функтора К2 появилось большое количество работ с разнообразными результатами, полученными в технике К-теории (см.[125]).

Отметим также направление, связанное с подгруппами, определяемыми в теоретико-групповых терминах (см.обзоры А.Е.Залесского [75]-[77]). Основные результаты здесь принадлежат Дж.Диксону, Б.Верфрицу, Д.А.Супруненко, В.П.Платонову, А.Е.Залесскому. В последние годы значительные результаты в этом направлении были получены в новосибирской алгебраической школе учениками В.Д.Мазурова Е.П.Вдовиным и Д.О.Ревиным.

Отметим направление, связанное с описанием подгрупп, порожденных элементами определенного вида (трансвекции, отражения, длинные корневые элементы и т.д.). Исследованию класса указанных подгрупп, а также изучению групп Шевалле, порожденных содержащимися в них подгруппами унипотентных элементов, были посвящены работы Н.А.Вавилова, А.Е.Залесского, В.Н.Сережкина, Д.А.Супруненко, Е.Л.Башкирова, Л.А.Мартыновой., В.А.Петрова, О.Кинга, Ли Шанчжы, У.Кантора, Маклафлина, Ф.Тимесфельда, Дж.Томпсона и др. Для линейных групп над конечными полями проблема исследования подгрупп, содержащих квадратичные унипотентные элементы была решена в известной работе Дж. Томпсона (см. [145]).Отметим исследование Е.Л.Башкирова [4], которое посвящено изучению линейных групп, содержащих квадратичные унипотентные элементы над произвольным телом.

Наша работа связана с изучением решетки подгрупп линейной группы, содержащих фиксированную подгруппу, поэтому мы несколько подробнее остановимся на обзоре результатов этого направления.

Различные вопросы, связанные с описанием промежуточных подгрупп в линейных группах, рассматривались в работах многих авторов. Основополагающими исследованиями явились работы А.Бореля, Ж.Титса, Г.Зейтца, У.Кантора, О.Кинга, Р.Дая, Д.Дьековича, Ли Шанчжы, Н.С.Романовского и др. Следует отметить значительный вклад в развитие теории расположения подгрупп ленинградской-петербургской алгебраической школы (З.И.Боревич, Н.А.Вавилов и их ученики). На протяжении многих лет усилиями этой алгебраической школы была развита техника и методика исследований подгрупп линейных групп, содержащих фиксированную подгруппу. Именно с этими исследованиями и методиками тесно связаны результаты нашей работы. Поэтому мы подробнее остановимся на обзоре указанных и связанных с ними исследований.

Основой исследований подгрупп линейных групп, содержащих диагональную подгруппу, явилась известная работа З.И.Боревича [14], в которой было дано описание подгрупп полной линейной группы над полем, содержащих группу диагональных матриц. Оказалось, что для любого поля к все промежуточные подгруппы Н, D = D(n, к) ^ Н ^ GL(n, к) = G, являются алгебраическими, решетка Lat(£>, G) всех промежуточных подгрупп конечна и эта решетка не зависит от поля к, если только число элементов в & не менее семи (случаи полей из 3,4 и 5 элементов были рассмотрены В.А.Койбаевым [80]-[85]). В дальнейшем, в работах З.И.Боревича и Н.А.Вавилова этот результат был перенесен на полулокальные кольца. Основным результатом этих исследований явилось стандартное описание промежуточных подгрупп. А именно, всякой подгруппе полной линейной группы G = GL(n,R), содержащей группу диагональных матриц, однозначно соответствует сеть идеалов о = (сг^-) над кольцом R такая, что G(cr) ^ Н ^ iV(cr), где N(a) - нормализатор сетевой группы G{cr) в полной линейной группе G.

Говоря о задаче описания надгрупп расщепимого максимального тора (которую можно связывать в контексте классов Ашбахера с классом С1 + С2), необходимо напомнить хорошо известный результат А.Бореля и Ж.Титса [32], в котором для алгебраически замкнутого поля было получено описание подгрупп групп Шевалле, содержащих расщепимый максимальный тор. В дальнейшем Г.Зейтц [140]-[142] перенес эти результаты на случай конечного поля (с числом элементов не менее 13) для надгрупп (не обязательно расщепимого) максимального тора.

Подгруппы специальной линейной группы SL(n, R) над коммутативным кольцом R, содержащие группу диагональных матриц SD(n,R) были описаны при и ) 3 в серии работ Н.А.Вавилова [39, 151]. Было установлено стандартное описание для случаев, когда R — К - поле, содержащее не менее семи элементов, а также когда R - коммутативное полулокальное кольцо и каждое его поле вычетов содержит не менее Зп + 2 элементов. Базисными подгруппами стандартного описания в этом случае служат группы G(cr) П SL(n, R). Как показано в работах В.А.Койбаева [88, 89] в случае полей из четырех и пяти элементов можно также говорить о стандартном описании решетки промежуточных подгрупп.

Отметим отдельно, что достаточно сложный случай решетки подгрупп специальной линейной группы второго порядка над полем (нечетной характеристики и содержащим не менее 13 элементов), содержащих группу диагональных матриц был рассмотрен О.Кингом [132], который доказал стандартность указанной решетки.

В работах Н.А.Вавилова и Е.В.Дыбковой [43, 47, 51, 147] были рассмотрены ортогональный и симплектический случаи над коммутативным полулокальным кольцом. В работах Е.В.Дыбковой [71]-[73] получено полное описание подгрупп гиперболической унитарной группы над произвольным телом (вне зависимости от коммутативности и характеристики), содержащих диагональную подгруппу. Тем самым дается обобщение нескольких известных результатов для четномерных расщепимых классических линейных групп.

Большой цикл работ был посвящен задаче, которая для полной линейной группы над коммутативным кольцом Л звучит как описание в ней подгрупп, содержащих группу клеточно-диагональных матриц над R (размеры клеток не менее 2). Сформулируем результат для произвольной группы Шевалле. Пусть А - подсистема системы корней Ф (причем ранги ее неприводимых слагаемых не меньше 2), 2 обратимо в R. Пусть, далее,

Ф = Ai,Bi,Ci,Di. Тогда подгруппа Н группы Шевалле £(Ф, R), содержащая Е(А, R), нормализует подгруппу всеми элементарными корневыми унипотентами из Н. Пользуясь введенным З.И.Боревичем языком сетевых подгрупп, этот результат означает, что существует единственная -D-сеть идеалов а кольца R соответствующего типа (симплектическая или ортогональная соответственно) такая, что Е{<т) ^ Н ^ N{cr). Основной вклад в решении этой задачи внесли З.И.Боревич, Н.А.Вавилов, Н.С.Романовский, В.А.Койбаев, И.3.Голубчик, В.Наркевич (см.[14] - [22], [56],[60], [84],[86],[111],[112]). Для остальных классических серий эта задача была решена Н.А.Вавиловым [44],[48] - [50].

Вопросам описания подгрупп исключительных групп Шевалле, содержащих регулярно вложенную элементарную подгруппу, посвящены работы Н.А.Вавилова и Е.Б.Плоткина [55].

С классом связана задача описания промежуточных подгрупп, содержащихся между классической группой, заданной над кольцом и его подкольцом. Отметим результаты в этом направлении, полученные Я.Н.Нужиным, Н.С.Романовским, Р.А.Шмидтом ([104],[107],[115],[116]). Под стандартностью описания соответствующей решетки понимается то, что базисные подгруппы однозначно определяются промежуточными кольцами. Обобщению этих результатов посвящены работы А.В.Степанова [112, 143], который использовал понятие идеального стабильного ранга кольца. В работе А.В.Степанова [144] формулируются условия на пару Ri С R, при котором описание подгрупп, лежащих между Е{Ф, R\) и С(Ф, R) является стандартным.

Рассмотрим теперь результаты, которые непосредственно касаются нашей диссертации. С классом Ашбахера С3 связана задача описания надгрупп нерасщепимого максимального тора. Сформулируем известный результат Ли Шанчжы [134],[137], сводящий решение задачи к нерасщепимому максимальному тору. Пусть L/K - расширение степени т и n ^ 3. Тогда для любой подгруппы SL(n, L) ^ Н < G = GL(mn, К) существует единственное промежуточное подполе К ^ Е ^ L, [L : Е] = d такое, что подгруппа Н содержится между подгруппой SL(dn, Е) и ее нормализатором в группе G. Заметим, что в случае п — 2 описание аналогично, но при этом возникает еще одна серия - группы Sp(2d,E). Таким образом, остается не рассмотренным случай п = 1, при этом группа G — GL(1,L) = L* является максимальным тором. Перейдем теперь к обзору исследований, которые связаны именно с этим последним случаем. В работе У.Кантора [128] получено описание подгрупп полной линейной группы над конечным полем, содержащих нерасщепимый максимальный тор (Цикл Зингера). Г.Зейтц [140]-[142] перенес этот результат на конечные группы Шевалле. Случай поля вещественных чисел рассмотрен в работе Дьековича [123]. Во всех этих случаях ответ носил геометрический характер. А именно, всякая промежуточная подгруппа была связана с промежуточным подполем. В работе [91] В.А.Койбаев показал, что для произвольных полей ответ выглядит значительно сложнее, точнее, он зависит от арифметики основного поля. В работе [90] были изучены подгруппы полной линейной группы GL(2, Q) над полем рациональных чисел, содержащих мультипликативную группу квадратичного расширения основного поля Q (нерасщепимый максимальный тор - квадратичный тор). В частности, показано, что в рассмотренном случае существует континуум промежуточных подгрупп. В работах А.А.Бондаренко [8]-[11] дано описание подгрупп полной линейной группы второго порядка GL{2, к) над локальным числовым полем к, содержащих квадратичный тор. В работах З.И.Боревича, В.А.Койбаева и Чан Нгок Хоя [25], [90], [114] было получено полное описание подгрупп группы GL{2, Q) над полем рациональных чисел, содержащих квадратичный тор. Отметим также, что для локальных полей проблема рассматривалась в работах С.Л.Крупецкого и В.П. Платонова [96],[97],[139]. В общем случае проблема описания надгрупп нерасщепимого максимального тора для произвольного поля пока не решена.

В заключение отметим, что для более подробного ознакомления с указанными направлениями и актуальными проблемами (открытыми на данный момент), мы рекомендуем работы Н.А.Вавилова, А.Е.Залесского, А.С.Кондратьева, В.В.Нестерова и А.В.Степанова [45],[46],[57],[58],[75]-[77],[93].

В настоящей работе рассматривается указанная задача для функционального случая. А именно, дается описание решетки промежуточных подгрупп полной линейной группы, содержащих максимальный нерасще-пимый тор (квадратичный тор), соответствующий квадратичному расширению поля рациональных функций конечного поля констант нечетной характеристики.

Основные результаты диссертации можно сформулировать следующим образом:

- получено представление произвольного неприводимого многочлена четной степени над полем нечетной характеристики;

- дано явное описание наименьшего кольца, определяющего расположение промежуточных подгрупп, содержащих квадратичный тор;

- дано описание допустимых колец и допустимых пар, позволяющих сводить исследование решетки всех промежуточных подгрупп к исследованию подрешеток, связанных с допустимыми парами;

- дано описание подрешеток, связанных с допустимыми парами, в частности, доказано, что для каждой промежуточной подгруппы второй нормализатор и второе нормальное замыкание являются самонормализуемой и полной промежуточной подгруппами соответственно.

Содержание диссертации распределено по трем главам.

Первая глава носит предварительный характер и посвящена общим вопросам расположения промежуточных подгрупп. В этой главе (в хронологическом порядке) излагаются понятия и методы, необходимые нам для изложения результатов диссертации. В §1 напоминаются определения сети и сетевой группы. В §2 даются определения веерной подгруппы и полинормальной подгруппы. В §3 излагается общий подход, предложенный З.И.Боревичем, к исследованию решетки

Lat(T, G) = {Я ■ Т^Н ^G] промежуточных подгрупп произвольной группы G, содержащих фиксированную подгруппу Т. А именно, на решетке Lat(Т, G) вводится структура графа (граф нормальности). В качестве вершин графа принимаются все промежуточные подгруппы. Вершина Н\ соединяется направленным ребром с вершиной Я2, если Н\ < Яг. Связные компоненты графа нормальности называются гирляндами решетки Lat(T, G). Таким образом, решетка Lat (Г, G) представляется в виде дизъюнктного объединения своих гирлянд. Следовательно, изучение решетки Lat(Т, G) сводится к описанию множества всех гирлянд, а затем к описанию строения каждой гирлянды в отдельности. Среди множества всех гирлянд выделяются две: гирлянда Г*, содержащая подгруппу Т и гирлянда Г*, содержащая группу G. Они называются соответственно нижней и верхней гирляндами решетки Lat(T, G). На решетке Lat (Г, G) вводятся операции подъема Я = Ng(H) и спуска Я Я(1) = Тн = (h'1 Th : heH). Очевидно, что каждая гирлянда Г решетки Lat(T, G) инвариантна относительно этих операций. Операции подъема и спуска допускают итерирование: Я(п) = (Я(п-1))(1), Щп) — (#(„!))(!). Таким образом, всякая промежуточная подгруппа Я определяет две последовательности (два субнормальных ряда): возрастающую последовательность подъемов и убывающую последовательность спусков подгруппы Н. Гирлянда Г решетки Lat(T, G) называется ограниченной сверху (соответственно снизу), если для любой подгруппы Н е Г последовательность подъемов (спусков) стабилизируется на конечном шаге. Гирлянда имеет конечный тип, если она ограничена сверху и снизу. В §3 формулируются утверждения об ограниченных сверху и снизу гирляндах. Оказывается, что гирлянда Г решетки Lat(T, G) ограничена снизу тогда и только тогда, когда она содержит полную промежуточную подгруппу (то есть подгруппу F 6 Г такую, что TF = F). Следовательно, все ограниченные снизу гирлянды решетки Lat(T, G) находятся во взаимно однозначном соответствии со всеми полными промежуточными подгруппами. Аналогичное утверждение справедливо для ограниченных сверху гирлянд (при условии, что операция подъема удовлетворяет условию монотонности на гирляндах: если А, В е Г и А ^ В, то А^ ^ Б(1)).

В §4 исследуется связь между факторизацией группы G по выделенной подгруппе Go и промежуточными подгруппами Н, Go ^ Н ^ G.

Во второй главе излагается общая техника исследования структуры jLat(T, G) промежуточных подгрупп Н полной линейной группы G = GL(2,k) (char к ф 2), содержащих квадратичный тор, предложенная в [91]. Основная идея метода заключается в расчленении решетки Lat(T, G) на подрешетки и исследовании каждой подрешетки в отдельности.

Мы доказываем, что если промежуточная подгруппа содержит общую трансвекцию, то она содержит нетривиальную элементарную трансвек-цию. Поэтому основным объектом исследований служат промежуточные подгруппы Н, содержащие элементарную трансвекцию . Для них определяются модуль трансвекций и его кольцо множителей

R = R(H) = {Л е к : ХА С А}.

Далее, если подгруппа А аддитивной группы (к,+) и кольцо множителей R модуля А реализуются в качестве промежуточной подгруппы Н, т.е. существует подгруппа Н £ Lat{T, G) такая, что А = А(Н), R = R(H), то пара (R,A) называется допустимой. Кольцо R такое, что R = R(H) для некоторой промежуточной подгруппы Н Е Lat(T, G) также называется допустимым кольцом.

Доказывается (теорема 2.5.2), что если (R,A) допустимая пара, то множество

Lat(R, А) = {Н <Е Lat(T, G) : А = А(В), R = R(H)} образует подрешетку решетки Lat(T, G). Далее (2.5.1.), подрешетка Lat(R, А) инвариантна относительно операций спуска и подъема. В частности (следствие 2.5.3), всякая нетривиальная гирлянда содержится в Lat(R,A) для некоторой допустимой пары (R,A).

Таким образом, исследуемая решетка представляет собой дизъюнктное объединение

Lat(T,G) = {T}U{NG{T)}UL, где L = U Lat(R,A), объединение берется по всем допустимым парам (R,A)

R,A).

Отсюда следует необходимость выявления прежде всего допустимых пар. В соответствующем критерии ключевую роль играет подкольцо основного поля к, а именно, кольцо Rq = ring (1, —-J——), определенное хек \ хг-Ц/ в §1 (теорема 2.1.2, следствие 2.1.З.). Сам критерий формулируется следующим образом (теорема 2.2.5.). Для того чтобы пара (R,A) была допустимой необходимо и достаточно, чтобы Rq С R} цА2 С R. (Здесь уь -неквадрат поля к, К = k{y/Jl) - квадратичное расширение поля к). \хх \

Далее выделяется идеал Q кольца R, Q = ideal ( —^-) и рассматх&к \xz — [1j ривается сеть идеалов

QA цА\ а~\А QAJ '

Доказывается (теорема 2.3.1), что всякая промежуточная подгруппа Н £ Lat(T, G), содержащая трансвекцию, удовлетворяет включениям

Т - Е(а) ^ Н ^ NG(E(a)), где Е(су) - элементарная сетевая подгруппа.

Затем основным объектом исследований становится подрешетка Lat(R, А) = {# £ Lat(T, G) : А = А(Н), R = R(H)}. В ней выделяются наименьшая Fo (теорема 2.6.1) и наибольшая F0 (теорема 2.6.3) подгруппы, затем описываются (теорема 2.7.3) все промежуточные подгруппы Н подрешетки Lat(R,A). В параграфах 8 и 9 рассматриваются общие вопросы, связанные с нормальным замыканием и нормализатором произвольной промежуточной подгруппы Н Е Lat(R,A).

В третьей главе излагаются основные результаты диссертации, а именно, дается описание решетки промежуточных подгрупп, содержащих квадратичный тор, для случая поля рациональных функций.

Пусть к = Fq(t) - поле рациональных функций от одной переменной над конечным полем Fg нечетной характеристики, ц Е - неквадрат поля констант, К — k(^/Ji) - квадратичное расширение поля к. Рассматривается регулярное вложение мультипликативной группы К* в группу всех fc-линейных автоморфизмов Autk(K)

К* Autk(K), сопоставляющее всякому ненулевому элементу а оператор умножения а : К —К такой, что а{х) = ах.

Далее для удобства мы переходим на язык матриц. В базисе 1,^/Д образом К* при регулярном вложении служит подгруппа (квадратичный тор)

Исследуется решетка La£(T, G) промежуточных подгрупп Н полной линейной группы степени два G = GL{2, Fq(t)) над полем рациональных функций к = Fq(t), содержащих квадратичный тор Т,

Lat{T, G) = {H : Т^Н ^ G}.

Согласно техники, описанной во второй главе, наша задача сводится к описанию допустимых пар (R, А), затем исследованию подрешетки Lat(R, А).

В §1 проводятся исследования, касающиеся неприводимых многочленов над конечным полем нечетной характеристики, используемые нами в дальнейшем. В частности, получен следующий результат (в диссертации - 3.1.6).

Теорема 1. Для всякого неприводимого многочлена ip £ четной степени 2т и любого неквадрата ц 6 IFg\IF^ существуют взаимно простые многочлены f,g 6 такие, что

P = f2~ М2

В §2 описывается (3.2.1.) кольцо Rq, определяющее допустимые пары (.R,A).

Теорема 2. Кольцо Rq совпадает с мнооюеством всех рациональных дробей степень числителя которых не превосходит степени 9 знаменателя, причем знаменатель представляет собой произведение неприводимых многочленов четной степени, т.е.

R0 = ^(ВД) П Л, 16 где So - множество всех неприводимых многочленов четной степени из Fg[£], а

Л = G Fg{t) : " = de99 ~ degf > 0 j .

Далее дается описание (3.3.1.) допустимых колец R и их идеалов (§4, 3.4.10, 3.4.11.).

Теорема 3. Пусть кольцо R допустимо (R Э R0). Тогда существует некоторое множество S неприводимых многочленов из F9[t]; содержащее S0, S D So, такое, что R совпадает либо с .9-1(Fg[£]), либо с S~\ Fg[t])nA.

Теорема 4. Если кольцо R строго содержит кольцо Rq, то R является кольцом главных идеалов. Если R = Rq = »S'o^1(Fg[t]) П А, то всякий идеал А кольца R является либо главным, либо порождается f двумя элементами, А = —А\, где g - произведение неприводимых мно9 гочленов четной степени, degf ^ degg + 1, А\ = {и € Rq '• v(u) ^ 1}.

В §5 описывается подрешетка Lat(R,A), связанная с допустимой парой (R, А).

Роль наименьшей подгруппы Fq в подрешетке играет

FQ = T • где = (/(я, а), х е k, а е А),

1 0 А По(А) lia + x)2-^ ( цх \ ( ц Далее, роль наибольшей подгруппы F0 играет

FO^T-I1 ° ,, A n°(A)J

17 где П°(А) = {в Е R* : в2 - 1 G А}.

Основным результатом параграфа служит теорема (3.5.1.) Теорема 5. Если s.r.R = 1, то для произвольной промежуточной подгруппы Н £ Lat{R, А) спуск и подъем стабилизируются на втором шаге. Точнее, второе нормальное замыкание совпадает с наименьшей подгруппой Fq, а второй нормализатор - с наибольшей подгруппой F0, т.е. Щ2) = F0, Н® = F

В §6 устанавливается (теорема 3.6.1), что стабильный ранг всех допустимых колец R (не содержащихся в Л) равен 1.

Автор признателен своему научному руководителю В.А.Койбаеву за внимание и ценные указания в работе, а также с благодарностью вспоминает З.И.Боревича, поставившего задачу настоящей диссертации.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Дзигоева, Валентина Созрыкоевна, 2008 год

1. Артин Э., Геометрическая алгебра. - М., Наука, 1969, 283 с.

2. Ба М.С., Боревич З.И., О расположении промежуточных подгрупп. -Кольца и линейные группы, Сб. научн. трудов, Краснодар, 1988, 14-41.

3. Басс X., Алгебраическая К теория. - М., Мир, 1973, 591 с.

4. Башкиров Е.Л., Линейные группы над телами, содержащие подгруппы квадратичных унипотентных элементов. Докт.дисс., 2006, 270с.

5. Башкиров Е.Л., Линейные группы, содержащие специальную унитарную группу ненулевого индекса. Вести Акад. Наук БССР, Сер. Физ.-мат. наук,1985,№5,122-123.

6. Башкиров Е.Л., Линейные группы, содержащие симплектическую группу. Вести Акад. Наук БССР, Сер. Физ.-мат. наук, 1987,№3,116-117.

7. Башкиров Е.Л., О подгруппах полной линейной группы над телом кватернионов, содержащих специальную унитарную группу. Сиб. мат. журн.,39:6(1998)Д251-1266.

8. Бондаренко А.А., Промежуточные подгруппы, содержащие нерасще-пимый тор, в полной линейной группе степени 2 над локальным числовым полем. Канд. дисс. Санкт-Петербург, 1994,157 с.

9. Бондаренко А.А., Расположение подгрупп, содержащих разветвленный квадратичный тор в полной матричной группе степени 2 над локальным числовым полем (р ф 2). Вестник СПбГУ, Сер.1., 4:22(1993), 7-15.

10. Бондаренко А.А., Расположение подгрупп, содержащих неразветв-ленный квадратичный тор, в полной линейной группе степени 2 над локальным числовым полем (р ф 2). Зап. научн. семин. ПОМИ,221(1994),67-79.

11. Бондаренко А.А., Расположение подгрупп, содержащих неразветв-ленный квадратичный тор в полной линейной группе степени 2 над локальным числовым полем (р = 2). Зап. научн. семин. ПОМИ,221(1994),80-90.

12. Боревич З.И., О параболических подгруппах в линейных группах над полулокальным кольцом. Вестн. Ленингр. ун-та,13(1976),16-24.

13. Боревич З.И., О параболических подгруппах в специальной линейной группе над полулокальным кольцом. Вестн. Ленингр. унта,19(1976),29-34.

14. Боревич З.И., Описание подгрупп полной линейной группы, содержащих группу диагональных матриц. Зап. научн. семин. ЛОМИ,64(1976),12-29.

15. Боревич З.И., О подгруппах линейных групп, богатых трансвекци-ями. Зап. научн. семин. ЛОМИ,75(1978),22-31.

16. Боревич З.И., О расположении подгрупп. Зап. научн. семин. ЛОМИ,94(1979),5-12.

17. Боревич З.И., Вавилов Н.А., О подгруппах полной линейной группы над полулокальным кольцом. Зап.научн.семин. ЛОМИ,75(1978),32-34.

18. Боревич З.И., Вавилов Н.А., Подгруппы полной линейной группы над полулокальным кольцом, содержащие группу диагональных матриц. Тр. Мат. ин-та АН СССР,148(1978),43-57.

19. Боревич З.И., Вавилов Н.А., О подгруппах полной линейной группы над коммутативным кольцом. Докл. АН СССР,267:4(1982),777-778.

20. Боревич З.И., Вавилов Н.А., Расположение подгрупп, содержащих группу клеточно-диагональных матриц, в полной линейной группе над кольцом. Изв. вузов,Математика,1982, №11,12-16.

21. Боревич З.И., Вавилов Н.А., Расположение подгрупп в полной линейной группе над коммутативным кольцом. Тр. Мат. ин-та АН СССР,165(1984),24-42.

22. Боревич З.И., Вавилов Н.А., Наркевич В., О подгруппах полной лиIнейной группы над дедекиндовым кольцом. Зап. научн. семинаров ЛОМИ, 94(1979),13-20.

23. Боревич З.И., Койбаев В.А., Подгруппы полной линейной группы над полем из пяти элементов. Алгебра и теория чисел, Межвуз. сб., 3(1978),9-32.

24. Боревич З.И., Койбаев В.А., О кольцах множителей, связанных с промежуточными подгруппами для квадратичного тора. Вестник СПбГУ,1:2(1993),5-10.

25. Боревич З.И., Койбаев В.А., Чан Нгок Хой, Решетки подгрупп в GL(2, Q), содержащих нерасщепимый тор. Зап. научн. семин. ЛОМИ, 191(1991), 24-43.

26. Боревич З.И., Крупецкий С.Л., Подгруппы унитарной группы, содержащие группу диагональных матриц. Зап. научн. семинаров ЛОМИ, 86(1979),19-29.

27. Боревич З.И., Мацедонская О.Н., О решетке подгрупп. Зап. научн. семин. ЛОМИ,103(1980),13-19.

28. Боревич З.И., Мысовских В.И., Бесконечные цепи последовательных нормализаторов в полной линейной группе над полем . Зап. научн. семин. ЛОМИ,191(1991),44-48.

29. Боревич З.И., Чан Нгок Хой, О стабильном ранге некоторых под-колец поля рациональных чисел. Кольца и модули. Предельные теоремы теории вероятностей. Вып.З. СПб: Издательство С.-Петербург, ун-та, 1993,7-16.

30. Боревич З.И., Шафаревич И.Р., Теория чисел. 3-е изд., М., Наука, 1985, 504 с.

31. А.Борель, Линейные алгебраические группы. М., Мир,1972.

32. А.Борель, Ж.Тите, Редуктивные группы. Математика. Период, сб. перев. иностр. статей,11:1(1967),43-111;11:2,3-31.

33. Буй Суан Хай, О расположении подгрупп в специальной линейной группе над телом с бесконечным центром. Зап. научн. семин. ЛОМИ,175(1989),5-11.

34. Буй Суан Хай, Подгруппы специальной линейной группы над телом, содержащие группу диагональных матриц. Зап. научн. семин. ПОМИ,211(1994),91-103.

35. Вавилов Н.А., Об описании подгрупп полной линейной группы над полулокальным кольцом, содержащих группу диагональных матриц. Зап. научн. семинаров ЛОМИ , 1979,Т.86,30-33.

36. Вавилов Н.А., О подгруппах расширенных групп Шевалле, содержащих максимальный тор. XVI Всесоюзн. алгебр, конф.,Тезисы. 4.1. Л. 1981,26-27.

37. Вавилов Н.А., О подгруппах унитарной группы над полулокальным кольцом. Успехи Мат. наук,37:4(1982), 147-148.

38. Вавилов Н.А., Подгруппы полной линейной группы над полулокальным кольцом, содержащие группу клеточно-диагональных матриц. -Вестник Ленингр. ун-та,1(1983),16-21.

39. Вавилов Н.А., О подгруппах специальной линейной группы, содержащих группу диагональных матриц. I-Y. Вестник Ленингр. ун-та, Сер.1,1985, №4, 3-7; 1986, №2, 10-15; 1987, №2, 3-8; 1988, №3,10-15,; 1993, №2,10-15.

40. Вавилов Н.А., О подгруппах полной линейной группы над деде-киндовым кольцом арифметического типа. Изв. вузов, Математика, 12(1987), 14-20.

41. Вавилов Н.А.,Подгруппы расщепимых классических групп. Докт. дисс.,Л.,1987,338 с.

42. Вавилов Н.А., Строение расщепимых классических групп над коммутативным кольцом. Докл. АН СССР,299:6(1988),1300-1303.

43. Вавилов Н.А., О подгруппах расщепимых ортогональных групп.I-II Сиб.мат.журн.,29:3(1988),12-25;Зап.научн.семин.ПОМИ,265(1999),42-63.

44. Вавилов Н.А., О подгруппах расщепимых ортогональных групп над кольцом. Сиб.мат.ж.,29:4(1988),31-43.

45. Вавилов Н.А., О подгруппах расщепимых классических групп. -Тр.Мат.ин-та АН СССРД83(1990),29-42.

46. Вавилов Н.А., Подгруппы групп Шевалле, содержащие максимальный тор. Тр. Ленингр. мат. об-ва,1990,Т.1,64-109.

47. Вавилов Н.А., О подгруппах спинорной группы, содержащих расщепимый максимальный тор.1,11. Зап. научн. семин. ПОМИ,191(1991),49-75; 289(2002),37-56.

48. Вавилов Н.А., О подгруппах полной симплектической группы над коммутативным кольцом. Кольца и модули. Предельные теоремы теории вероятностей,Вып.3,СПб: Изд-во С.-Петербургского унта,1993,16-38.

49. Вавилов Н.А., Подгруппы расщепимых ортогональных групп над коммутативным кольцом. Зап. научн. семин. ПОМИ,281 (2001),35-59.

50. Вавилов Н.А., О подгруппах симплектической группы, содержащих subsystem subgroup. Зап. научн. семин. ПОМИ,349(2007),5-29.

51. Вавилов Н.А., Дыбкова Е.В., О подгруппах полной симплектической группы, содержащих группу диагональных матриц. 1,11. Зап. научн. семин. ЛОМИ,(103) 1980,31-47;132(1983),44-56.

52. Вавилов Н.А., Петров В.А., О надгруппах EO{2l,R). Зап. научн. семин. ПОМИ,272(2000),68-85.

53. Вавилов Н.А., Петров В.А., О надгруппах Ep(2l,R). Алгебра и анализ, 15:4(2003) ,49-100.

54. Вавилов Н.А., Петров В.А., О надгруппах EO(n,R). Алгебра и анализ,19(2007),10-51.

55. Вавилов Н.А., Плоткин Е.Б., Сетевые подгруппы групп Шевал-ле.1,П. Зап. научн. семин. ЛОМИ,94(1979),40-49;114(1982),62-76.

56. Вавилов Н.А., Степанов А.В., О подгруппах полной линейной группы над кольцом, удовлетворяющим условиям стабильности. Изв. вузов. Мат.,10(1989),19-25.

57. B.C. Вавилов Н.А., Степанов А.В., Надгруппы полупростых групп.

58. Вавилов Н.А., Нестеров В.В., Геометрия микровесовых торов. Владикавказский Мат.Журн.,10(2008),10-23.

59. Васерштейн Л.Н., Михалев А.В., О нормальных подгруппах ортогональной группы над кольцом с инволюцией. Алгебра и логика (Новосибирск),9:6(1970),629-632.

60. Голубчик И.З., О подгруппах полной линейной группы GLn(R) над ассоциативным кольцом. Успехи мат. наук,39:1(1984),125-126.

61. Голубчик И.З., О нормальных делителях линейной и унитарной групп над ассоциативным кольцом. Пространства над алгебрами и некот. вопросы теории сетей. Уфа,1985,122-142.

62. Голубчик И.З., Михалев А.В., Изоморфизмы унитарных групп над ассоциативным кольцом. Зап. научн. семин. ЛОМИ,132(1983),97-109.

63. Голубчик И.З., Михалев А.В., Изоморфизмы полной линейной группы над ассоциативным кольцом. Вестник МГУ, Сер. мат.-мех.,1983,№3, 61-72.

64. Джусоева Н.А., Койбаев В.А., Подгруппы, содержащие тор, связанные с полем отношений кольца с однозначным разложением. Владикавказский мат. журнал, 5:4(2003),31-39.

65. Дзигоева B.C., Описание допустимых колец поля рациональных функций. Вестник СОГУ им. K.JI. Хетагурова, 1(1999),15-17.

66. Дзигоева B.C., О решетке промежуточных подгрупп полной линейной группы степени 2 над полем рациональных функций, содержащих нерасщепимый максимальный тор. Междунар. алгебр, конф. памяти Д.К. Фаддеева,С.-П.,Тезисы докл., 2007, с.25

67. Дзигоева B.C., О решетке промежуточных подгрупп полной линейной группы степени 2, содержащих квадратичный тор. -Изв.вузов.Сев.-Кавк.регион.Естеств.науки.3(2008),8-9.

68. Дзигоева B.C., Койбаев В.А., Подгруппы полной линейной группы степени 2 над полем рациональных функций, содержащие нерасщепимый тор. Междунар. алгебр, конф. памяти Д.К. Фаддеева,С.-П.,Тезисы докл., 1997, с.193.

69. Дзигоева B.C., Койбаев В.А., О подгруппах полной линейной группы степени 2 над полем рациональных функций, содержащих нерасщепимый тор. Вестник СОГУ им. K.JI. Хетагурова, 1(1999), 22-24.

70. Дзигоева B.C., Койбаев В.А., Промежуточные подгруппы в полной линейной группе второго порядка над полем рациональных функций, содержащие нерасщепимый тор. Владикавказский мат. журн.,10:1(2008),27-34.

71. Дыбкова Е.В., О сетевых подгруппах гиперболических унитарных групп. Алгебра и анализ,9(1997),87-96.

72. Дыбкова Е.В., О наддиагональных подгруппах гиперболической унитарной группы над некоммутативным телом. Зап. научн. семин. ПОМИ,289(2002),154-206.

73. Дыбкова Е.В., Подгруппы гиперболических унитарных групп. -Докт. Дисс. СПбГУ, 2006, 182 е.

74. Дьедонне Ж., Геометрия классических групп. М.,Мир, 1974.

75. Залесский А.Е., Линейные группы. Успехи мат. наук,36:5(1981),56-107.

76. Залесский А.Е., Линейные группы. Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Алгебра. Топология. Геометрия,21(1983),135-182.

77. Залесский А.Е., Линейные группы. Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Совр; пробл. матем. Фунд. напр.,37(1989),114-228.

78. Заллесский А.Е., Сережкин В.Н., Конечные линейные группы, порожденные отражениями, над полями нечетных характеристик. -Препринт N 20(76), Минск, 1979,59 с.

79. Залесский А.Е., Сережкин В.Н., Конечные линейные группы, порожденные отражениями. Изв. АН СССР, Сер. Матем.,44:6(1980),1279-1307.

80. Койбаев В.А., Подгруппы полной линейной группы над полем из четырех элементов. Алгебра и теория чисел, Межвуз.сб., Вып.4.,Нальчик, 1979,21-31.

81. Койбаев В.А., Описание D-полных подгрупп в полной линейной группе над полем из трех элементов. Зап. научн. семин. ЛОМИ,103(1980),76-78.

82. Койбаев В.А., Подгруппы полной линейной группы над полем из трех элементов. Структурные св-ва алгебраических систем, Нальчик, 1981,56-68.

83. Койбаев В.А., Подгруппы полной линейной группы над полем из трех элементов. XYI Всесоюзн. Алгебр, конф., Тезисы, Ч.1., Л., 1981,73-74.

84. Койбаев В.А., О подгруппах полной линейной группы, содержащих группу элементарных клеточно-диагональных матриц. Вестник Ленингр. ун-та,13(1982),33-40.

85. Койбаев В.А., Расположение подгрупп в линейных группах над конечными полями. Дисс.канд.ф.-м. наук,Санкт-Петербург, 1982,140с.

86. Койбаев В.А., Подгруппы полной линейной группы над конечным полем, содержащие группу элементарных клеточно-диагональных матриц. Структурные св-ва групп,Северо-Осетинский ун.-т, Орджоникидзе (Владикавказ),1982,6-16.

87. Койбаев В.А., Подгруппы ортогональной группы над конечным полем, содержащие группу диагональных матриц. Кольца и матричные группы, Орджоникидзе (Владикавказ),1984,57-76.

88. Койбаев В.А., Подгруппы специальной линейной группы над полем из пяти элементов, содержащие группу диагональных матриц. IX Всесоюзн.симпозиум по теории групп. Тезисы докл., М., 1984, 210-211.

89. Койбаев В.А., Подгруппы специальной линейной группы над полем из четырех элементов, содержащие группу диагональных матриц. -XVIII Всесоюзн.алгебр.конф. Тезисы докл., Кишинев,1985,264.

90. Койбаев В.А., Подгруппы группы GL(2,Q), содержащие нерасще-пимый максимальный тор. Докл. АН СССР,312:1(1990),36-38.

91. Койбаев В.А., Подгруппы группы GL(2, к), содержащие нерасщепи-мый максимальный тор. Зап. научн. семин. ПОМИ,221(1993), 136-145.

92. Койбаев В.А., Нормализатор группы автоморфизмов модуля, возникающего при расширении основного кольца. Зап. научн. семин. ПОМИ,211(1993).

93. Кондратьев А.С., Подгруппы конечных групп Шевалле. Успехи мат. наук,41:1(1986),57-96.

94. Корлюков А.В., Линейные группы, порожденные двумерными элементами порядка г > 5. Вестн. МГУ. Сер. Мат. Мех., 1983,№5,19-32.

95. Крупецкий С.Л., Подгруппы ортогональной группы, содержащие группу клеточно-диагопальных матриц. Зап. научн. семин. ЛОМИ,94(1979),73-80.

96. Крупецкий С.Л., О подгруппах унитарной группы над локальным полем. Зап. научн. семин. ЛОМИ,94(1979),81-103.

97. Крупецкий С.Л., О подгруппах унитарной группы над диадическим локальным полем. Зап. научн. семин. ЛОМИ, 103(1980),79-89.

98. Крупецкий С.Л., О подгруппах унитарной группы над телом кватернионов, содержащих максимальный тор. Кольца и модули. Предельные теоремы теории вероятностей. Вып.1., Л.,1986,103-115.

99. Крупецкий С.Л., Промежуточные подгруппы вещественной изотропной ортогональной группы. Кольца и линейные группы. Сб. науч. трудов. Краснодар, 1988,54-59.

100. Крупецкий C.JI., Шокуев В.Н., Подгруппы конечной унитарной группы, содержащие диагональ. Структурные свойства алгебраических систем. Нальчик, 1981,69-79.

101. Мерзляков Ю.И., Линейные группы. Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Сер. Алгебра.Топология. Геометрия.16(1978),35-89.

102. Дж. Милнор, Введение в алгебраическую К теорию. - М., Мир,1974.

103. Нужин Я.Н., О группах, заключенных между группами лиева типа над различными полями. Алгебра и логика,22:5(1983),525-541.

104. Нужин Я.Н., О подгруппах, лежащих между группами Шевалле над различными кольцами. Краснояр. политехи, ин-т.Красноярск, 1984.6с.(Рукопись деп. в ВИНИТИ 5 дек. 1984г.,№7764-84Деп). - Алгебра и логика,22:5(1983),525-541.

105. Нужин Я.Н., Якушевич А.В., Промежуточные подгруппы групп Шевалле над полем частных кольца главных идеалов. Алгебра и логика,39:3(2006),347-358.

106. Романовский Н.С., Максимальные подкольца поля Q и максимальные подгруппы группы SL(n, Q). Алгебра и логика.6:4(1967),75-82.

107. Романовский Н.С., Подгруппы, лежащие между специальными линейными группами над кольцом и его подкольцом. Мат. заметки,6:3(1969),335-345.

108. Романовский Н.С., О подгруппах общей и специальной линейных групп над кольцом. Мат. заметки,9:6(1971),699-708.

109. Сережкин В.Н., Группы отражений над конечным полем характеристики р> 5. Докл. АН СССР, 227:3(1976),574-575.

110. Р. Стейнберг, Лекции о группах Шевалле. М.,Мир,1975.

111. Степанов А.В., Условия стабильности в теории линейных групп над кольцами. Канд.дисс., ЛГУД987Д12 с.

112. Степанов А.В., Описание подгрупп полной линейной группы над кольцом при помощи условий стабильности. Кольца и линейные группы, КраснодарД988,82-91.

113. Суслин А.А., О структуре специальной линейной группы над кольцами многочленов. Изв. АН СССР, Сер. Матем.,41:2(1977),235-252.

114. Чан Нгок Хой, Расположение подгрупп в GL(2,Q), содержащих нерасщепимый тор. Канд. дисс., Ленинград, 1990, 182 с.

115. Шмидт Р.А., О подгруппах полной линейной группы над полем частных кольца главных идеалов. Зап. научн. семин. ЛОМИ,94(1979) ,185-187.

116. Шмидт Р.А., О подгруппах полной линейной группы над полем частных дедекиндова кольца. Зап. научн. семин. ЛОМИ,94(1979) ,119-130.

117. М. Aschbaher, On the maximal subgroups of the finite classical groups.- Invent.Math.,76:3(1984),469-514.

118. Bloom D. M. The subgroups of PSL (3, q) for odd q . Trans. Amer. Math. Soc.,127:1(1967),150-178.

119. Borel A., Tits J., Groupes reductifs. Inst. Hautes Etudes. Sci. Publ. Math.,27(1965),55-150.

120. Carter R., Simple groups of Lie type. London - New - York - Sydney- Toronto. J. Wileys Sons, 1972, 331 p.

121. Dieudonne J. Sur les groups classiques. Actualites Scientifiques et Industrielles, 1040, Paris, Hermann, 1948.

122. Dixon J.D., The structure of linear groups. London, Van Nostrand, 1971.

123. Djokovic D. Z., Subgroups of compact Lie groups containing a maximal torus are closed. Proc. Amer. Math. Soc., 83:2(1981),431-432.

124. Estes D., Ohm J. Stable range in commutative rings. J. Algebra,7:3(1967),343-362.

125. Hahn A.J.,0'Meara O.T. The classical groups and K-theory. -Springer,Berlin et.al.,1989.

126. Hayes D.R., The distribution of irreducibles in GFq,x]. Trans. Amer. Math. Sos. 117. 1965. p.101-127.

127. Kantor W.M., Subgroups of classical groups generated by long root elements. Trans.Amer.Math.Soc.,248:2(1979),p.347-379.

128. Kantor W.M., Linear groups containing a Singer cycle. J. Algebra,62:1(1980), p.232-234.

129. Kantor W.M., Generation of linear groups. The geometric Vein: Coxeter Festschrift,Springer,Berlin et al.,1981,p.497-509.30. 0. King On subgroups of the special linear group containing the special orthogonal group. J.Algebra,96:1(1985),p.178-193.

130. O. King, On subgroups of the special linear group containing the special unitary group. Geom. Dedic.,19:3(1985),297-310.

131. O. King, Subgroups of the special linear group containing the diagonal subgroup. J.Algebra,132(1990),p.198-204.133. 0. King The subgroup structure of classical groups. Contemp. Math.,131:1(1992),p.209-215.

132. Li Shangzhi, Overgroups in GL(nr,F) of certain subgroups of SL(n,K).I. J. Algebra, 125:1(1989),p.215-235.

133. Li Shangzhi, The maximality of monomial subgroups of linear groups over division rings. J. Algebra,127:1 (1989),p.22-39.

134. Li Shangzhi, A new type of classical groups over skew-fields of characteristic 2. J. Algebra,138(1991),p.319-419.

135. Li Shangzhi, Overgroups in GL(nr,F) of certain subgroups of GL(U) 0 GL(W).ll. preprint. - V.

136. Mc Laughlin J., Some groups generated by transvections. Arch. Math.,18:4(1967),p.364-368.

137. Platonov V. P., Subgroups of algebraic groups over local or a global field containing a maximal torus. C.R. Acad. Sci. Paris.318:10,(1994), p.899-903.

138. Seitz G. M. Subgroups of finite groups of Lie type. J. Algebra, 61:1 (1979), p.16-27.

139. Seits G. M. On the subgroup structure of the classical groups. -Commun. Algebra,10:8(1982), p.875-885.

140. Seitz G. M. The root subgroups for maximal tori in finite groups of Lie type. Pacif.J.Math.,106:1(1983), p.153-244.

141. Stepanov A. Non-standard subgroups between En(A) and GLn(A). -Algebra Collog.,11:3(2004), p.321-334.

142. Stepanov A., Free product subgroups between Chevalley groups С(Ф, F) and G{Ф, FM). Israel J. Math/ -2008. - V. (to appear).

143. Thompson J. G. Quadratic pairs. Proc. Internat. Congr. Math. (Nice, 1970).Gautier- Villards. Paris.l(1971), p.375-376.

144. Timmesfeld F.G. Abstract root subgroups and quadratic action. With an appendix by A.E. Zalesskii. Adv.Math.,142:1(1999), p.1-150

145. N.A.Vavilov, On subgroups of split orthogonal groups in even dimensions. Bull. Acad. pol. sci., Ser.sci.math., 29:9-10(1981), p.425-429.

146. N.A.Vavilov, Structure of Chevalley groups over commutative rings.- Proc.Conf.Non-associative algebras and related topics (Hirosima-1990),World Sci.Publ.,Singapore et al.,1991, p.219-335.

147. N.A.Vavilov, Intermediate subgroups in Chevalley groups.- Proc. Conf. Groups of Lie type and their geometries (Como-1993),Cambridge Univ.Press,1995, p.233-280.

148. N.A.Vavilov, Geometry of 1-tori in GLn. Preprint Univ.Bielefeld,8(1995), p.1-21.

149. N.A.Vavilov, Subgroups of SLn over a semilocal ring. Preprint Univ.Bielefeld,11(1998),p.1-13.

150. Wilson J.S., The normal and subnormal structure of general linear groups. Proc.Cambr.Phil.Soc.,71:2(1972), p.163-177.