Равновесие и устойчивость нелинейно упругого шара с распределёнными дислокациями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат наук Головешкина Евгения Валерьевна

• Головешкина Евгения Валерьевна
• кандидат наук
• 2021

Оглавление диссертации кандидат наук Головешкина Евгения Валерьевна

Введение

Глава 1. Постановка задачи о равновесии шара с распределёнными дислокациями

1.1. Сферически симметричное состояние

1.2. Преобразование краевой задачи в случае произвольного сферически симметричного распределения дислокаций

Глава 2. Универсальное сферически симметричное решение для шара из несжимаемого материала с краевыми и винтовыми дислокациями

2.1. Собственные напряжения в бесконечном пространстве

2.2. Собственные напряжения в сплошном шаре

2.3. Ни гружен не шара внешним давлением

2.4. Квазитвёрдое сферически симметричное состояние

2.5. Собственные напряжения в бесконечном пространстве со сферической полостью

2.6. Ни гружен не сферической полости бесконечного пространства

2.7. Задача о собственных напряжениях в полом шаре для произвольного сферически симметричного распределения дислокаций

Глава 3. Универсальное сферически симметричное решение для полого несжимаемого шара с винтовыми дислокациями ради-

ального направления

3.1. Сжатие шара гидростатическим давлением

3.2. Раздувание шара гидростатическим давлением

3.3. Задача для сплошного шара

3.4. Численные результаты

Глава 4. Сферически симметричное состояние полого шара из

полулинейного материала с дислокациями

4.1. Точное решение о собственных напряжениях в шаре с краевыми дислокациями

4.2. Влияние распределённых краевых дислокаций на большие деформации шара, нагруженного давлением

4.3. Собственные напряжения в полом шаре при произвольном сферически симметричном распределении дислокаций

Глава 5. Устойчивость равновесия нелинейно упругого шара с

распределёнными дислокациями

5.1. Невозмущенное состояние

5.2. Линеаризованная краевая задача

5.3. Анализ потери устойчивости

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Равновесие и устойчивость нелинейно упругого шара с распределёнными дислокациями»

Введение

Дефекты кристаллических материалов в виде дислокаций [1, 2] изменяют порядок структуры кристалла, а также влияют на прочностные, деформационные, упругопластические и другие свойства кристаллических тел. Впервые термин «дислокация» появился в начале двадцатого века [3] при объяснении упругого поведения однородной изотропной среды. Основываясь на термине «distorsioni», введённым В. Вольтерра (1907), А. Ляв ввёл термин «дислокация» (1927) для описания разрывности перемещения в упругом теле. Затем в 1934 году Е. Orowan, М. Polanyi и G.I. Taylor применили этот термин для обозначения отклонения от идеальной структуры кристаллической решётки [3].

Задачи для тел с дислокациями представляют интерес для учёных по всему миру. Дислокации в полой сфере исследуются, например, в работе [4], где определяются критические условия, при которых в наночастицах возникают дислокационные петли. Задача о прямолинейной винтовой дислокации в сферической частице, расположенной в осевом направлении, решалась в [5]. Численное решение краевой задачи классической теории упругости для круговой призматической дислокационной петли (КПДП) в упругом теле с одной или двумя сферическими свободными поверхностями (сферическая частица, бесконечное тело со сферической полостью и сферическая толстая оболочка) представлено в [6]. Предполагалось осесимметричное положение КПДП относительно поверхностей. В статье [7] представления упругих полей круговых петель дислокации и дисклинации применяются к решениям упругих краевых задач теории дефектов и к расчету упругих полей сегментированных сферических включений. В рамках метода виртуальных круговых петель дислокации дисклинации дается схема решения осесимметричных задач теории упругости с заданными на сфере граничными условиями. В работе [8] показано, что источниками и выходами дислокаций в сферических гексагональных

кристаллах являются протяженные топологические дефекты, возникающие в таких кристаллах из-за их кривизны. В статье [9] предложена модель анизотропного распределения дислокационной петли для моделирования нано-индентирования монокристаллов на основе нового решения упругих полей перемещений и напряжений, вызванных многоугольной дислокацией в анизотропном подпространстве. Работа [10] посвящена исследованию образования двух краевых дислокаций несоответствия на границах напряжённого тонкого слоя, внедрённого в матрицу, на основе вычисления вариации энергии как функции несоответствия решёток слоя и матрицы. Антиплоские сдвиговые деформации гексагонального квазикристалла с множеством винтовых дислокаций рассмотрены в [11]. Дислокации вдоль линии разрушения в задаче о радиальном разрушении в трёхфазном композите изучены в [12].

В настоящей работе в качестве математической модели твёрдого тела с дефектами рассматривается континуальная теория непрерывно распределённых дислокаций. Эта теория занимает важное место в ряду других обобщенных моделей континуума, таких как микрополярная, микроморфная и гради-ентно-деформационная модели [13-19]. Континуальный подход к задачам с дислокациями является достаточно распространённым. В статье [20] предложена континуальная теория дислокаций, способная предсказывать равновесные распределения большого числа винтовых дислокаций в анизотропных балках. Показано, что эта терия приводит к краевой задаче с неизвестной границей. Для более точного вычисления энергии в исследовании [21], посвя-гцённом континуальной теории винтовых дислокаций, приводятся скорректированные условия, отражающие подробное описание микроструктуры и зависящие от взаимного расположения дислокаций. В работе [22] проводится подробное сравнение континуальной и атомистической моделей для процесса внесения прямолинейной винтовой дислокации. Доказано, что основные атомистические особенности могут быть зафиксированы в сплошной среде. С помощью континуальной теории дислокаций в [23] показано, что локальные

поля напряжений, вызванных дислокациями, вызывают дисторсии (искажения) в кристаллической структуре, приводящие к локальным изменениям внутренних магнитных свойств. Делается вывод о том, что из высокой плотности дислокаций следует высокая коэрцитивность.

Дислокационный подход применим не только для описания дислокаций. С его помощью целесообразно моделировать различные эффекты и физические явления (например, трещины и другие дефекты) в деформируемых телах. Континуальная теория для тел с распределёнными дефектами используется и при моделировании самодеформированных тел, т.е. применяется и для аддитивных технологий, поскольку освобождение от внутренних (остаточных) напряжений, присущих всем формам растущего тела, требует неевклидову формализацию для глобальной ненапряжённой формы [24]. К остаточным напряжениям, а также к искажению геометрии тела приводят несовместные деформации [25], которые в кристаллических телах могут быть обусловлены дефектами в структуре.

Изменение структуры материала на макроуровне способствует изменению упругих и пластических характеристик материала. Для описания упруго-пластических и термоупругопластических процессов используется специальная теория, разработанная для сложных сред при конечных деформациях и структурных изменениях [26-28].

Линейная теория дислокаций получила развитие в исследованиях Дж. Эшелби, Р. де Вита, Дж. Хирта и Л. Лоте, В. П. Мясникова, А. Е. Романова и др. Нелинейная теория дислокаций и дисклинаций рассматривается в работах Л.М. Зубова, М.И. Карякина, A.A. Вакуленко, К. Теодосиу, J.D. Clayton и др. Нелинейная континуальная теория дислокаций, основанная на работах [29-33], получила своё развитие в работах [34-37]. Общая постановка нелинейной задачи о равновесии упругого изотропного шара с произвольным сферически симметричным распределением дислокаций дана в [38]. В основе математической теории дислокаций лежит задача об определениии

положения точки тела после деформации по заданному дифференцируемому и однозначному полю тензора дисторсии в области, занимаемой телом в от-счётной конфигурации. В случае многосвязной области это положение определяется неоднозначно, что свидетельствует о наличии в теле трансляционных дислокаций, каждая из которых характеризуется вектором Бюргерса. Согласно [34] производится переход от дискретного набора дислокаций к их непрерывному распределению. Плотность дислокаций определяется как тензорное поле второго ранга, поток которого через любую поверхность даёт суммарный вектор Бюргерса дислокаций, пересекающих эту поверхность [1,39-41]. Уравнения нелинейной теории дислокаций представлены в работах [29-32,34].

В настоящей работе исследование дислокаций ведётся на примере упругого шара, частный случай которого — полая сфера — имеет широкое распространение на практике. Область применения главным образом определяется размером полой частицы и материалом, из которого она изготавлена. Полые частицы в индустрии конструкционных и защитных материалов применяются в виде порошков, которые получили название полых порошков. Такого рода порошки используются в производстве композиционных материалов. Керамические полые порошки позволяют изготавливать тепло- и звукоизоляционные материалы, элементы плавучести, легкие наполнители, используемые в строительстве. Более того, они представляют основу для фильтрующих элементов, капсулирующих сред, катализаторов и адсорбентов.

Полимерные полые частицы играют важную роль и при производстве лакокрасочных материалов, а также полимерных композиций, где они служат многофункциональными добавками.

Задание конкретного химического состава позволяет расширять область применения полых частиц. Так, например, наночастицы из серебра находят применение в дезифецирующих аэрозолях, а в микроэлектронике используются для соединения деталей. Частицы, изготовленные из диоксида циркония [42], используются при создании теплозащитных покрытий методом га-

зотермического напыления. Порошок такого состава улучшает прочностные и теплоизоляционные характеристики получаемых покрытий.

Ещё одна технология использования полых частиц описана в [43], в которой представлено изготовление водных латексов. Это находит применение в производстве дисперсионных красок, покрытий и полимерных композиций на основе водных преполимеров термореактивных смол. Одним из основных назначений использования полых полимерных частиц является то, что они позволяют уменьшить внутренние напряжения при изготовлении полимерного изделия или покрытия.

Также полые частицы участвуют в изготовлении композита с металлической матрицей. Его главное преимущество состоит в том, что, не уступая металлу по прочности, он является более легким. Эта особенность по большей части проявляется в способности данного материала к плавучести, что располагает к использованию материала в судостроительстве.

Из-за потребности промышленности в высокопрочных конструкциях с малым весом предпочтительным элементом конструкции является наноком-позитная оболочка. Нанокомпозитные материалы находят применение в таких отраслях промышленности, как аэрокосмическая, оборонная, морская и автомобильная. В научной литературе рассматривается механическое поведение таких оболочек. Так, например, в статье [44] исследована устойчивость на кручение однослойной композитной наноболочки с учётом влияния магнитного ПОЛЯ

В медицине полые сферические частицы могут выступать как терапевтические агенты за счёт большой площади поверхности, что даёт возможность компактно размещать молекулы, выполняющие разные функции (лечебные, детектирующие, направляющие). В работе [45] описывается динамическое поведение микропузырьков, служащих биосенсорами для мониторинга окружающей среды. В области моделирования живых систем сферической оболочкой можно моделировать левый желудочек. Работа [46] показывает, как по дан-

ным о давлении и объёме левого желудочка может быть оценена жёсткость сердечной мышцы.

Сферической оболочкой является одна из форм вирусного капсида. Для него характерно то, что он должен выдерживать большие внутренние давления при инкапсулировании и защите вирусной ДНК. Для таких вирусных капсидов в статье [47] рассмотрены механические свойства кристаллических оболочек икосаэдрической симметрии на подложке при приложенной одноосной силе. Предсказываются упругий отклик на малые деформации и выпучивания при больших деформациях. Показано, что несмотря на то, что большие оболочки хорошо описываются континуальной теорией упругости, малые оболочки размера вирусных капсидов ведут себя иначе уже при малых деформациях.

Вирусоподобные частицы, а именно сферические наноструктуры с ребристым рисунком на поверхностях, рассматривались в статье [48], где представлен двухэтапный подход их построения (самосборки смесей сополимеров в растворе). Изучены неотъемлемые дефекты ребристых рисунков на поверхностях — дислокации и дисклинации. Показано, что с добавлением воды на первом этапе количество дислокаций увеличивается.

В работе [49] строится теория упругости созревания вирусных капсидов, учитывающая внутреннюю структуру составных белков и, следовательно, способная описать картину перемещений капсида во время созревания. Показано, что моделирование конформационных изменений вирусной оболочки должно включать инструменты, характерные для механики роста и пластичности. Указывается, что предварительно деформированные гексамеры не только определяют сферическую форму капсида, но также могут играть фундаментальную роль в процессе сборки капсида.

Таким образом, распространённость применения сферических частиц, а также существенное влияние дислокаций на напряжённое состояние упругого тела определяют научный интерес представленной работы о напряжениях в

шаре с дислокациями.

Настоящая работа предполагает, что деформации являются большими. Нелинейная теория упругости находит отражение в работах Дж. Адкинса, А. Грина, Р. Ривлина, К. Трусделла, Дж. Эриксена, Ж. Можена, А. И. Лурье, Л. М. Зубова, А. А. Рогового, Н. Ф. Морозова, Л. И. Седова и др. Упругие деформации, выходящие за пределы линейной теории упругости [50-54], определяются существенно нелинейными уравнениями в частных производных, и, как правило, вместо стандартных методов решения разрабатываются специальные методы. Особое внимание в теории конечных деформаций уделяется точным решениям [55-58]. Для тел с распределёнными дислокациями точные решения краевых задач пространственной нелинейной теории упругости представлены в работах [38,41,59,60].

В литературе присутствуют сравнения линейной теории и нелинейной, учитывающей большие деформации. Эти сравнения показывают, что в ряде случаев нелинейная теория более точно описывает напряжённое состояние. Так, например, в статье [46] доказано, что теория больших деформаций даёт результаты более близкие к результатам исследований папиллярных мышц. Геометрическая нелинейность оболочек рассматривалась в работе [61], в которой исследуется нелинейное динамическое поведение оболочек с учётом поверхностных напряжений. В [62] делается акцент на том, что при такой обработке материала, как вытяжка из полой заготовки, или другом сложном формировании деформация следует не простой линейной траектории, а сложной или даже разрывной. В статье [63] в рамках нелинейной теории упругости изучены кусочно-однородные трёхмерные деформации в несжимаемых материалах.

В данной работе в рамках нелинейной теории решаются задачи равновесия упругого шара с распределёнными дислокациями: задача о собственных напряжениях и задача о нагружении шара внешним и внутренним гидростатическими давлениями (задача Ламе). Задача Ламе рассматривалась ранее в

и

работах [2,50,56,64], где решение проводилось без учёта дислокаций. Раздувание сжимаемой сферы в рамках конечной упругости, дополненной зависимостью функции запасённой энергии от локального свободного объёма из-за раздувания, рассмотрено в сферически симметричной задаче об образовании полости [65] . Нелинейная задача Ламе без учёта дислокаций изложена в [2]. Собственные напряжения, связанные с наличием дислокаций, рассматривались, например, в работе [66] о конечных деформациях в керамических кристаллах с низкосимметричной дефектной структурой, а также в статье [12].

Основным результатом настоящей работы являются новые точные решения нелинейной теории упругости с учётом распределённых дислокаций, которые обладают сферической симметрией. Некоторые из них являются универсальными в классе изотропных несжимаемых материалов. Универсальными решениями, или универсальными деформациями, в механике сплошной среды называют такие решения уравнений равновесия, которые справедливы для любых определяющих соотношений из определённого класса материалов. Значение универсальных решений состоит в их удобстве для экспериментального определения определяющих уравнений, а также в их применении для тестирования численных решений. Примером универсального решения для однородной нелинейно упругой среды при отсутствии массовых сил является произвольная однородная деформация, при которой напряжения постоянны. Для несжимаемых изотропных нелинейно упругих тел известны пять семейств неоднородных универсальных деформаций [2,50,64,67-72]. Понятие универсальных решений первоначально было введено для статических задач теории упругости без учёта массовых сил, но позднее оно было расширено на присутствие массовых сил в статике, а также на динамические задачи [73]. Универсальные деформации нелинейных твёрдых тел со связями, отличающимися от условия несжимаемости, исследованы в [73-75].

В настоящее время значительное распространение получили обобщённые модели сплошных сред, обладающих сложными физико-механическими

свойствами [18,76-78]. Универсальные решения для некоторых из таких моделей построены в [79,80].

Полученные в диссертации универсальные решения дополняют немногочисленный список известных точных решений нелинейной континуальной теории дислокаций [38,41,59,81] и описывают влияние распределённых винтовых и краевых дислокаций на большие сферически симметричные деформации упругой среды.

В диссертации, согласно работам [1,31,32,34,59], задачи о напряженном состоянии тел с распределёнными дислокациями исследованы без использования понятия пластической деформации. Заметим, что пластическая деформация — это довольно расплывчатое понятие, не имеющее строгого и общепринятого математического определения. Феноменологическое понятие пластической деформации не имеет такого фундаментального характера, как понятие дислокаций, описывающее дефекты кристаллической структуры твёрдых тел. Под пластическими деформациями можно понимать, например, деформации, возникающие в упругих телах с распределёнными дислокациями. Эти деформации часто бывают большими, что приводит к необходимости применять нелинейную теорию упругости. Такой же подход, основанный на теории упругости, применяется при определении напряжений, создаваемых изолированными (сингулярными) дислокациями [1,31,82]. Сингулярные дислокации — это предельный случай распределённых дислокаций, в котором плотность дислокаций — обобщённая функция, сосредоточенная на некоторой линии. В работах [35,83,84] развита общая теория непрерывно распределённых дислокаций, основанная на мультипликативном разложении тензора дисторсии на упругую и пластическую составляющие. Краевые задачи об определении напряжений в рамках моделей [35,83,84] значительно сложнее, чем задачи для рассматриваемой в диссертации системы уравнений и могут стать предметом будущих исследований.

Одним из результатов работы является найденное распределение дисло-

каций, обусловливающее сферически симметричное квазитвёрдое состояние упругого тела [85], которое характеризуется нулевыми напряжениями и неоднородным полем вращений элементарных объёмов. Другие примеры квазитвёрдых состояний содержатся в [41,81,86].

В настоящей работе даны строгая постановка и решение задачи устойчивости трёхмерного упругого тела, содержащего распределённые дислокации. Потеря устойчивости конструкции под действием внешних нагрузок является одной из причин её разрушения, поэтому исследование данного явления представляет практический интерес. Исследование потери устойчивости упругих тел является достаточно развитой областью механики деформируемого твердого тела. Большая часть иследований касается устойчивости тонких стержней, пластин и оболочек [87-95]. Вместе с тем явление потери устойчивости целесообразно изучать и для трехмерных упругих тел, допускающих большие деформации [56,72,82,96-102]. Вопросы потери устойчивости упругих тел на основе трехмерной нелинейной теории упругости рассматривались в работах Дж. Адкинса, Дж. Саккоманди, К. Сенсенига, А. Грина, Р. Огдена, А. И. Лурье, Л. М. Зубова, М. И. Карякина, А. А. Зеленина, Д. Н. Шейдакова и др.

Неустойчивость при растягивающих напряжениях [103-109] является примером задач, в которых упругое тело в докритическом состоянии испытывает большие деформации. В [110] на основании трёхмерной нелинейной упругости исследуется устойчивость полого кругового бесконечного цилиндра при трёхпараметрическом нагружении: осевое растяжение, кручение и раздувание. Неустойчивость растянутого полого цилиндра, раздутого внутренним давлением, исследована в [105,111,112]. Влияние кручения на устойчивость сплошного кругового цилиндра при растяжении проанализировано в [113].

Влияние на потерю устойчивости внутренних напряжений в теле, обусловленных дефектом структуры в виде клиновой дисклинации, рассматривалось в работе [114]. Устойчивость тел с микроструктурой может значитель-

но отличаться от устойчивости простых сред, как показано в статье [103], где исследована устойчивость балочпо-решетчатых метаматериалов при растяжении. На важность учёта микроструктуры в моделях пористых материалов при изучении устойчивости указано в работе [115]. Ранее устойчивость замкнутой сферы без учёта дислокаций на основе уравнений теории оболочек исследовалась в [116], а на основе трёхмерной теории упругости — в [96,97,117]. В [117] показано, что неустойчивость толстостенной оболочки при раздувании гидростатическим давлением может влиять на потерю сферичности полой сферы. Для ряда нелинейно упругих тел в трёхмерной постановке устойчивость при наличии поверхностных напряжений изучена в статье [118], где обозначена их роль для микро- и наноразмерных тел. Явление выпучивания нелинейно упругого полого шара с учётом поверхностных напряжений, действующих на внутренней и внешней поверхностях шара, представлено в работе [119]. Решение ряда задач устойчивости трёхмерных упругих тел с изолированными дислокациями и дисклинациями содержится в [82].

Наиболее распространённым методом исследования устойчивости равновесия пространственных нелинейно упругих тел является бифуркационный метод, называемый также статическим методом Эйлера [2,56,72,97,99,100, 117,118]. В рамках этого метода анализ устойчивости сводится к решению однородной краевой задачи, линеаризованной в окрестности основного состояния, то есть к определению собственных значений (критических нагрузок) и собственных функций (форм неустойчивости). Необходимым условием корректности бифуркационного метода является консервативность внешних нагрузок.

Поскольку линеаризованная задача о бифуркации равновесия упругого тела однородна, её нетривиальное решение определено с точностью до произвольного постоянного множителя. Это означает, что с помощью линеаризованной задачи можно найти критические значения параметров нагружения и

формы потери устойчивости, но нельзя определить амплитуду выпучивания. Решение нелинейной задачи о послекритическом поведении упругого тела требует привлечения [120] теории ветвления решений нелинейных уравнений и операторного метода Ляпунова-Шмидта. В работах [97,120,121] этим методом решён ряд задач о послекритическом поведении трёхмерных упругих тел.

Актуальность темы исследования. Дислокации являются распространённым дефектом микроструктуры твёрдых тел. Дислокационные модели позволяют описывать различные свойства современных материалов, находят применение в геомеханике, используются для теоретического описания таких явлений, как неупругость, внутреннее трение, пластическое течение, усталость, разрушение, рост кристаллов и др. В настоящее время известно лишь ограниченное число точных решений нелинейной теории дислокаций. Точные решения позволяют, в частности, выявить новые количественные и качественные эффекты деформирования тел с распределёнными дислокациями.

Объект и предмет исследования. Объектами исследования выступают нелинейно упругие изотропные тела, содержащие распределённые дислокации: полый шар, сплошной шар, бесконечное пространство со сферической полостью. Предметом исследования является влияние распределённых дислокаций на напряжённо-деформированное состояние при равновесии и потере устойчивости упругого шара с дефектами микроструктуры в виде дислокаций.

Цели и задачи диссертации. Целью работы являются постановка и решение в рамках трёхмерной нелинейной теории упругости задач о равновесии и устойчивости равновесия упругого шара, содержащего дефекты микроструктуры в виде дислокаций. Для достижения данной цели были поставлены задачи исследовать напряжённое состояние полого шара, сплошного шара, а также бесконечного пространства со сферической полостью, содержащих рас-

пределённые дислокации. Поставленные задачи решались для несжимаемого и сжимаемого материалов.

Научная новизна заключается в получении новых решений задач нелинейной теории упругости о больших деформациях упругого тела, содержащего дислокации. На базе полученных решений выявлены нелинейные эффекты, присущие деформациям тел со сложной структурой. Некоторые решения являются точными и, в случае несжимаемого материала, универсальными в классе изотропных несжимаемых материалов. Такие решения дополняют немногочисленный список известных точных решений нелинейной континуальной теории дислокаций.

В рамках модели полулинейного (гармонического) материала найдено точное решение для любой скалярной функции, характеризующей плотность краевых дислокаций азимутального и меридионального направлений. Кроме задачи о собственных напряжениях решена задача о нагружении полого шара внешним и внутренним гидростатическим давлением. Изучено нелинейное влияние дислокаций на сопротивление шара сжатию и раздуванию. Даны строгая постановка и решение трёхмерной задачи устойчивости упругого шара, содержащего распределённые дислокации.

Для винтовых дислокаций радиального направления и специального распределения винтовых и краевых дислокаций найдены точные сферически симметричные решения, которые универсальны в классе изотропных несжимаемых упругих тел. Определены собственные напряжения в сплошном упругом шаре и бесконечном пространстве со сферической полостью. Исследовано взаимодействие дислокаций с внешней гидростатической нагрузкой. Найдено распределение дислокаций, обусловливающее сферически симметричное квазитвёрдое состояние упругого тела, которое характеризуется нулевыми напряжениями и неоднородным полем вращений элементарных объёмов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Головешкина Евгения Валерьевна, 2021 год

// / //

I.....

1 о.е

ч

-рч— s

•ч\ \ \ Ч N

^ --л

* v

к

Yo=0.1 Yo=0.25 Yo=0.4

.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Рис, 4,38, Радиальное напряжение Коши Тз в полом сжимаемом шаре, cos ф > 0 = 0.2

Ti

о.э 0.2 0.1

-0.1

. ч

ч > S

: о 6 0 7 ^ * % 9 1 ---

"-■С**-.

Ко=0.1 Ко=0.25 Ко=0.4

Рис, 4,39, Окружное напряжение Коши Т\ в полом сжимаемом шаре, cos ф > 0 = 0.2

Рз

0.08

0.06

0.04

0.02

{

—/-

/ / / / /

//

:/ ■■

а/

I/

N

S

N

ч Ч s ^ Чч

ЧЧ

ЧЧ

Y0=0.1 Yo=0.25 Yo=0.4

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Рис, 4,40, Радиальное напряжение Кирхгофа Рз в полом сжимаемом шаре, cos ф > 0, Ро = 0.2

Р1

0.3 к

0.2 0.1

-0.1

-0.2

\

N

_■_,_,_|

0.6

0.7

0.9

1.0

К0=0.1

К0=0.25

К0=0.4

Рис. 4.41. Окружное напряжение Кирхгофа Рх в полом сжимаемом шаре, еов^ > 0 Р0 0.2

С1

л

1.05

1.00

0.90

0.7

0.8

■0:9-.

-----/о=0.1

................Ко=0.25

г ------------Ко=0.4

1.0

___

Риг. 4.42. Дисторсия Сх в полом сжимаемом шаре, еов^ > 0, 00 = 0.2

Сз

1.04 1.02 1.00 0.98 0.96 0.94

/ »/

* V *//

//

•7 /

у:.

-----Ко=0.1

■....... ко=0.25

------ Ко=0.4

0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Рис. 4.43. Дисторсия С3 в полом сжимаемом шаре, еов^ > 0, 00 = 0.2

й1

-1

-2

-3

-»г»*__

-----

0.6

0.8

0.9

1.0

* #/ ///

- у' #

V

-----К0=0.1

г

................У0=0.25

------------К0=0.4

Рис. 4.44. Напряжение Пиолы ^ в полом сжимаемом шаре, еов^ < 0, @0 = 0.2

Э2

0.6

0.4

0.2

-0.2 -0.4 -0.6 -0.8

7

ч.

Ко=0.1

Ко=0.25

ко=0.4

Рис. 4.45. Напряжение Пиолы И2 в полом сжимаемом шаре, еов^ < 0, 00 = 0.2

□э

-0.

-0.2

-0.3

-0.4

-0.5

-0.6

-0.7

I

0.6

\

\

\\\ \\

0.7

0.8

0.9

'У

У.у

1с

* у

/// У *' * »/

У

К0=0.1 К0=0.25 К0=0.4

Рис. 4.46. Напряжение Пиолы И3 в полом сжимаемом шаре, сввф < 0 Р0 = 0.2,

Ci

-0.6 -0.8 -1.0 -1.2 -1.4 -1.6

-----Kg=G.1

'-.Л*' ........ kg=0.25

yyjX ------ Kg=04

r

M—l_1-

0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Рис, 4,47, Дисторсия C\ в полом сжимаемом шаре, cos ф < 0 ß0 = 0.2

Сз

1.2 1.0 0.8 0.6 0.4

■ •■J--

♦О

S

s

S

Yo=0.1 Yo=0.25 Y0=0.4

0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Рис, 4,48, Дисторсия Сз в полом сжимаемом шаре, cos ф < 0 ß0 = 0.2

158

Глава 5

Устойчивость равновесия нелинейно упругого шара с распределёнными дислокациями

Материал, представленный в данной главе, основывается на работах автора [125,126,129].

5.1. Невозмущенное состояние

Предположим, что распределение дислокаций в полом шаре характеризуется сферически симметричной тензорной плотностью (4.1.1).

Решение такой задачи о равновесии найдено в п. 4.2 и при f(г) = f0rк (f0 = const к = const) имеет вид (4.2.5)-(4.2.8).

Рассмотрим случай, когда внутренняя поверхность шара не нагружена,

о

водит к граничным условиям

Постоянные интегрирования А\ и А2, в общем случае имеющие вид (4.2.3) и (4.2.4), согласно (5.1.1), принимают форму

АМ = -Р0С2Ы, Dx(ri) = 0.

(5.1.1)

Ai

A = -Air\,

5.2. Линеаризованная краевая задача

Устойчивость равновесия нелинейно упругого тела может быть изучена с помощью статического метода Эйлера, состоящего в нахождении параметров нагружения, при которых линеаризованная краевая задача имеет нетривиальные решения. На невозмущённое (докритическое) состояние накладывается малая деформация, и определяются возможные формы равновесия.

Особенность задач о равновесии упругого тела с распределёнными дислокациями состоит в том, что в деформированном состоянии можно определить поля напряжений, деформаций и поворотов, но нельзя найти положения частиц тела, поскольку векторное поле Щ^) не существует. Это замечание относится и к докритическому состоянию упругой сферы. Поэтому уравнения возмущённого равновесия следует выводить путём линаризации уравнений равновесия (1.1), определяющих соотношений (1.2) и уравнений несовместности (1.4).

Для выполнения процедуры линеаризации положим

где нижним индексом 0 отмечены величины, относящиеся к докритическому состоянию, т. е. Со и Бо имеют представления (4.1.2) и (4.1.3), соответственно. Оставив в соотношениях (5.2.1) и (5.2.2) только слагаемые первого порядка относительно получим линеаризованное уравнение равновесия (1.1)

Б = Бо + ^Б + О (г]2) , Б = — Б (Со + цЛ) С = Со + + О (г]2) ,

а

(5.2.1)

(5.2.2)

а1у б = о.

(5.2.3)

Предполагая, что при переходе к возмущённому состоянию равновесия тензор плотности дислокаций остаётся неизменным, из (1.4) получим линеаризован-

ное уравнение несовместности

rot Л = 0 . (5.2.4)

Общее решение последнего уравнения можно представить в виде

Л = grad w, (5.2.5)

где w — дифференцируемое векторное поле, называемое полем квазиперемещений.

В дальнейшем ограничимся поиском осесимметричных решений линеа-

w

есть

w = u(r, 0)er +v(r, в)во . (5.2.6)

При осесимметричной конечной деформации шара тензор дисторсии имеет вид

C = C^e^ ® е^ + Coo ев ® ee + Сгв er ® ев + Свг е$ ® er + Crr er ® er . (5.2.7)

Компоненты тензора (5.2.7) не зависят от координаты у. Следовательно, с учётом соотношения

C = U • A (5.2.8)

получим

U = U(p4>e(p ® е^ + Useев ® ев + Ureer ® ев + Uerев ® er + Urrer ® ег, (5.2.9) A = (ее ® er - er ® ев) sin х + (е# ® ев + er ® er) cos х + е^ ® е^ . (5.2.10)

Геометрический смысл формулы (5.2.10) состоит в том, что поворот элемен-

тарных объёмов шара происходит на угол х(г, 0) вокруг вектopa e^. Поскольку тензор U является симметричным, то

C • AT = A • CT . (5.2.11)

С помощью (5.2.7), (5.2.10), (5.2.11) получим уравнение для определения угла поворота элементарных объёмов %

(Свг - Сгв) cos х = (Coo + Crr) sin х. (5.2.12)

Решением уравнения (5.2.12) является пара функций

s t

cos y = ± . , sin у = ± . , (5.2.13)

Vs^+T2 Vs^+T2

s = Coo + Crr, t = С0r — Cro.

Здесь знаки функций берутся либо оба верхние, либо оба нижние. Выбор знака осуществляется согласно требованию положительной определённости тензора и, выражаемому неравенством

tr [(Cooeo & eo + Croer & во + Coreo & er + Crrer & er) • AT] > 0 . (5.2.14)

Данному условию удовлетворяет пара решений из (5.2.13) со знаком плюс, то есть

s t

cos х = 7 о о, sin х = / о . (5.2.15)

л/s2 + t2 Vs2 + t2 '

С учётом (5.2.15) запишем тензор поворота

s , , t

Г1== (вв & вв + er & er) + _

V s2 + t2 \f s2 +12

(5.2.16)

A — e^ & e^ + ^— == (ee & ee + er & er) + (ee & er — er & ee)

и компоненты тензора растяжения

и= С(5.2.17)

5 Свв + ^ Свг тт 8 Сгг — Ь СГ0 /гою\

ивв = —, 2 „ , игг = — , (5.2.18

V в 2 + г 2 V 5 2 +1 2

тт тт СввСгв + СггСвг /г о 1П\

и0г = игв =-. -. (5.2.19)

V й 2 + £ 2

Согласно равенству

Ао = Е, (5.2.20)

линеаризованный тензор напряжений для полулинейного материала, задаваемого определяющими соотношениями (4.1), имеет вид

Б = ^^ (у ^ ио - 1 - и) А +--—— (V 1г и) Е + 2дЛ . (5.2.21)

1 — 2 V 1 — 2и \ /

В силу (5.2.20) тензор А является антисимметричным. Это можно показать,

учитывая, что ¿0 = 0 (поскольку = С°0 = 0). Поэтому линеаризованный тензор поворота имеет представление

; I / ч — Хгв , ч / п

А = — (ев ® ег — ег ® вв) = —-— (ев ® ег — ег ® ее) . (5.2.22)

8 о Свв + Сгг

Докажем вспомогательное равенство

1г и = 1г Л . (5.2.23)

Для этого подставим в качестве тензора растяжения его выражение через тензоры дисторсии и поворота согласно (5.2.8) и продифференцируем по па-

1ги = |)г (С • Ат)] • = 1г (С • А?) + 1г (Со • Ат) . (5.2.24)

Так как 1т ^Со • А= О в силу симметричности тензора Со и антисимметричности тензора А и выполняется (5.2.20), то получим выполнение соотношения (5.2.23). Поскольку справедливо равенство (5.2.20), а также и0 = Со • АоТ, то

ио = Со . (5.2.25)

Следовательно, имеем линеаризованные определяющие соотношения (5.2.21) в виде

тк 2 ц / ^ ч Аог — \гв . ч 2 ц ж \ т-,

О = ^-^ (у 1г Со — 1 — у) ———— (евег — егев ) + --— (и 1г Л) Е + 2дЛ .

1 — 2и ^00 + игг 1 — 2^

(5.2.26)

Со

дисторсии и сам тензор определяются согласно представлению

ди(г,в) ду(г,0) и(г,в) — V (г,0)1аи в

■---ег во +--<

ог Ог г

+ ■+ V 6060 + —V 60е, (5-2-27)

полученному с учётом (5.2.5), (5.2.6).

Подставляя линеаризованный тензор напряжений Е) (5.2.26) в линеаризованное уравнение равновесия (5.2.3), получим два уравнения относительно функций, зависящих от переменных г я в.

Для линеаризации граничных условий, запишем их в терминах площадей поверхности шара в начальной и конечной конфигурациях а и соответственно:

п • Ейа = N • Та£ . (5.2.28)

Здесь Т — симметричный тензор напряжений Коши, п — вектор нормали к поверхности в начальном состоянии, а N - в конечном. С учётом соотношения п • Е = — рЗС—1 • п получим линеаризованные граничные условия

п • Б = — С"1) •• п, (5.2.29)

где . = det С — третий инвариант тензора дисторсии. Производная в правой части данного равенства находится по формуле

(ЗС—1) = .С—1 — .оС—1 • Л • С—1, (5.2.30)

где

ди и — tan 0v 1 / dv и

+-^-+ — ( — + -

J — С1С2

(5.2.31)

С1дг С2г С2\ гдв г J Решение краевой задачи для вектора квазиперемещений w будем искать в виде [117], аналогичном представлению, введённому в [99]

и(г, в) — an(r)Pn(s\nO), v(r, в) — bn(r)Pn (sinocos в, (5.2.32)

где Pn(sin0) — полином Лежандра степени п, угол в меняется в диапазоне [—^/2,^/2]- Здесь ' означает производную данной функции по аргументу sin

пых соотношений для полинома Лежандра [142]. Так, например, первые три производные связаны следующим образом:

Pn М — 4:р:— Ч ^ P,:, (5.2.33)

п(п + 1) — 2

Pn

, ч 2ж Рп +8(х2 — 1)Рп

Рп(х) =-П 8 ^ ^ П . 5.2.34

п(п + 1)

ных уравнениях (5.2.3), (5.2.26), (5.2.27) так и в линеаризованных граничных условиях (5.2.29).

В итоге получаем уравнения равновесия

V

(°'п +

2а' 2 ап

1 - 2 V \ ~ г

+п(п + 1)

2

\ . '' . 2 ( / ап \

)+ап + ~\ап - —)

V (Сг + 2 С2) - 1 - V (ап - Ь.

(1 - 2 и) (Сг + С2)г у (Сг + 2 С2) - 1 -V

О

,-ь' + —

(1 - 2 и)г V п + Г )

ап - 2 п

2

(-аП + 2Ь'п + г&П) -

V (Сг + 2 С2

(1 - 2 у) ( Сг + С2)г v п ' п ' ^ (1 - 2у) (Сг + с2) (С1 + С2) [у (Сг + 2С2) - 1 - у\(ап - ь.

= 0, (5.2.35)

ап - п

— оп

(ап Ьп , I \

-Г" - Ь")

(1 - 2 V) (Сг + С2)

г - ч+к+7

ап - п 1

2--+ ап ] + -

(1 - 2и)г г '

[п(п + 1) - 2] Ьп ( у \

V 1 - 2 у)

2 Оп—Ьп + Ь'

= 0

2

(5.2.36)

и граничные условия

2ц ИСг + 2С2) - 1 - V] (ап - Ь (1 - 2 у)(Сг + С2)

(ь: - Оп-^ +2цЪ п - рС2 (ап - Ьп) =0,

2ц и 1 - 2 и

2 С2 ап

^а'п + ^о^ + 2ца'п + - п(п + 1)

2ц V Ьп р С2 Ьг

(1 - 2 )

(5.2.37) = 0.

(5.2.38)

линеаризованная задача для шара с дислокациями состоит из однородной системы двух обыкновенных линейных дифференциальных уравнений второго порядка (5.2.35), (5.2.36) относительно функций ап(г), Ьп(г) и граничных условий (5.2.37), (5.2.38). Однородная линейная задача (5.2.35)-(5.2.38)

п

ридиану формы выпучивания. При потере устойчивости шара реализуется

п

( п)

Таблица 5.1. Критическое давление р в случае 3(г) = 3о вт(шг), толстая оболочка

ш ^^ 0.1 0.5 1 2

-2 0.9 0.78 0.64 0.36

1 0.98 1.21 1.53 2.24

2 0.96 1.07 1.21 1.47

3 0.88 0.72 0.55 0.33

5.3. Анализ потери устойчивости

Рассмотрены случаи тонкой (г! = 0.95го) и толстой (г! = 0.5г0) оболочек. Отметим, что радиальная координата отнесена к внешнему радиусу г0, что эквивалентно г 0 = 1, а напряжения отнесены к постоянной д (эквивалентно д =1), которая при малых деформациях имеет смысл модуля сдвига. Положим V = 0.3. Скалярная плотность дислокаций рассматривается в виде 3 (г) = 3огк

При распределении дислокаций по закону 3(т) = 30 зт(шг) зависимость критического давления р от амплитуды 3о представлена в таблице 5.1, из которой видно, что для ш > 0 чем меньше ш, тем больше критическое давление

Рисунки 5.1, 5.2 показывают, что в толстой оболочке с увеличением скалярной плотности дислокаций 3(т) = 30г абсолютные значения квазиперемещений в меридиональной плоскости уменьшаются на внутренней поверхности шара и увеличиваются на внешней.

Внутри тонкой оболочки (рис. 5.3, 5.4) на разных её участках увеличение скалярной плотности или увеличивает квазиперемещения, или уменьшает. Например, на внутренней поверхности оболочки квазиперемещения уменьшаются с увеличением скалярной плотности дислокаций, а на внешней — увеличиваются по абсолютной величине.

На рис. 5.5 показано, что тонкая оболочка с внутренним радиусом Г! = 0.95 теряет устойчивость уже при п = 8.

г

Рис, 5,1, Квазиперемещение в меридиональной плоскости вдоль вектора толстая оболочка, к = 1, п = 2

г

Рис, 5,2, Квазиперемещение в меридиональной плоскости вдоль вектора ег, толстая оболочка, к = 1, п = 2

г

Рис, 5,3, Квазиперемещение в меридиональной плоскости вдоль вектора тонкая оболочка, к =1,п = 8

г

Рис, 5,4, Квазиперемещение в меридиональной плоскости вдоль вектора ег, тонкая оболочка, к =1,п = 8

0.015

а, 0.010

0.005

0.000

--п= 2

— — п= 3 -■- п=4

..........п =5

--п =6

--п =7

-■- п=8

..........п =9

--п =10

--п=11

- ■ - п =12

..........п =13

--п =14

--п =15

ßo

Рис, 5,5, Связь критического давления р и параметра плотности дислокаций ß0, тонкая оболочка, к =1

Согласно рис. 5.6, 5.7, толстая оболочка {г\ = 0.5) выпучивается при п = 2. Заметим, что для тонкой оболочки область устойчивости является замкнутой, а для толстой оболочки незамкнутой. Из рис. 5.6, 5.7 можно видеть, что отрицательная скалярная плотность дислокаций ¡3(г) = (30гк уменьшает критическое давление р, а положительная — увеличивает.

Результаты расчётов при отсутствии дислокаций сравнивались с результатами работы [97], где рассматривалось ветвление форм равновесия толстой оболочки. Например, в [97] для шара с внутренним радиусом г\ = 0.7 потеря устойчивости наблюдалась при п = 3 и критическом давлении р = 0.188, а в настоящей работе такой оболочке соответствует критическое давление р = 0.189.

В таблице 5.2 приведены параметры плотности дислокаций при которых происходит потеря устойчивости при отсутствии внешней нагрузки, то есть за счёт собственных напряжений в шаре, возникающих из-за наличия дислокаций. Такое выпучивание оболочки происходит при отрицательных скалярных плотностях дислокаций ¡3 (г) = (30гк7 а в случае тонкой оболочки _ и ПрИ положительных. С увеличением показателя степени к критиче-

О

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

00