Разработка и исследование критериев проверки гипотез случайности, независимости и однородности тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.16, кандидат физико-математических наук Чепурко, Валерий Анатольевич

• Чепурко, Валерий Анатольевич
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Чепурко, Валерий Анатольевич

ч. ■ ." ■'■'■•■■'.

ГЛАВА 1. ПРОВЕРКА ОДНОРОДНОСТИ.

1.1 Постановка задачи.

1.2 Обзор и анализ методов проверки однородности выборок.

1.3 Распределение критерия подобия в предположении нормальности исходных распределений.

1.4 Аппроксимация распределения.---------------;.

1.5 Построение критерия.

1.6 Распределение критерия подобия в предположении о гамма-законе исходных распределений.

1.7 Критерий подобия, как инвариантный, локально наиболее мощный.'.

ГЛАВА 2. ПРОВЕРКА НЕЗАВИСИМОСТИ.

2.1 Постановка задачи исследования., л

2.2 Критерий Гёфдинга. Нормировка.

2.3 Проекция статистики И в семейство линейных ранговых статистик.

2.4 < Зависимость известных статистик от е- расстояния.

ГЛАВА 3. ПРОВЕРКА СЛУЧАЙНОСТИ.

3.1 Постановка задачи. Критерии Кендалла, Спнрмена.

3.2 Критерий смешанных произведений Мп. Основные свойства. . .64 . 3.2.1 Критерий Мп как РИМ против альтернатив гиперболического убывания.

3.3 Распределение статистики Мп.

3.3.1 Некоторые неравенства и зависимости.

3.3.2 Аппроксимация распределения.

3.4 Интегральный критерий.

3.4.1 Формулировка интегрального критерия.

3.4.2 Свойства компонент интегральной статистики.

3.4.3 Статистика ПК.

3.4.4 Числовые характеристики Ш? и её связь со статистикой Спирмена К.

3.4.5 Статистики (»S^) , (ST{ ~П

3.5 Нормировка интегрального критерия, его распределение при Нп.

3.G Критерий локального тренда.

3.6.1 Скорость сходимости модуля статистики Сппрмена.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка и исследование критериев проверки гипотез случайности, независимости и однородности»

Актуальность темы. Новые экономически« условия диктуют необходимость изыскивать резервы более эффективной организации функционирования действующих АЭС. В этих условиях * I »од-.исследователями встает ряд задач, решение которых позволит по но^ыу подойти, к проблеме эксплуатации систем, блоков и АЭС в целом. Основные из них:

• обоснование возможности продления ресурса отдельных систем или блоков АЭС. Планируемый срок эксплуатации блоков АЭС определен в 30 лет. Ресурс отдельных видов оборудования и систем еще более ограничен. При достижении критического срока необходимо проводить комплексное обследование систем. Центральное место в этом обследовании занимает анализ надежности элементов и систем с целью выявления остаточного ресурса; ,

• проведение вероятностного анализа безопасности АЭС (ВАБ). При этом одновременное использование априорной информации, информации от объектов аналогов значительно улучшает качественные характеристики оценок. В этом случае перед исследователем встаёт задача проверки гипотезы об однородности информации.

Теория проверки гипотез представляет собой развитую ветвь математической статистики. Критерии проверки гипотез находят широкое применение в научных исследованиях, связанных »:; обработкой и исследованием статистической информации, в экономических и социологических исследованиях, в теории надежности и т.д.

Для решения задач проверки гипотез используются, критерии согласия, определяющиеся заданием критической области в выборочном пространстве. Качество критерия характеризуется вероятностью отвергнуть истинную гипотезу. Чем меньше эта вероятность, тем лучше критерий. С другой стороны, критерий характеризуется вероятностями принять ложную гипотезу (эта вероятность зависит, естественно, от того, каким является истинное распределение статистики). Эти вероятности также желательно сделать как можно меньшими. Оптимальным критерием является такой, у которого при заданном уровне значимости достигается максимальное значение функции мощности. Если задача сводится к проверке простых гипотез против простых альтернатив, то критерий обладающий оптимальными свойствами строится на основании фундаментальной леммы Неймана-Пирсона. Если же усложнить гипотезу или альтернативу, то построение оптимального критерия являющегося равномерно наиболее мощным или локально наиболее мощным является в основном нетривиальной, а иногда неразрешаемой задачей. Доказана, к примеру, неразрешимость проблемы Беренса- Фишера о сравнении средних значений в двух нормальных выборках с неизвестной дисперсией. Эта задача решается только приближенными методами. Например, с помощью критерия, статистика которого выражается в терминах достаточных статистик, а критические значения являются интерполяционными полиномами от неизвестного отношения дисперсий, которое является в данной задаче мешающим параметром.

Значительную часть в теории проверки гипотез занимают ранговые критерии, то есть критерии, основанные на рангах - порядковых номерах наблюдений в вариационном ряде. Ранговые критерии образуют подсемейство семейства критериев, основанных на перестановках. Ра,сцвет теории ранговых критериев вызван без сомнения их успехом как в практике, так и в теории. Ранговые процедуры осуществляются просто и быстро, они могут быть использованы тогда, когда известив, " м-со результаты упорядочения наблюдений. Однако область применен])* этих процедур имеет естественные границы. Ранговые процедуры подходят только для простых планов эксперимента с достаточно большими группами одинаково распределенных наблюдений при нулевой гипотезе. Кроме того построение доверительных интервалов, основанных на ранговых критериях, довольно трудоёмко. Другое возражение против ранговых критериев состоит в том, что их эффективность ниже, чем эффективность наилучших параметрических критериев. Это, однако, не столь серьёзно, так как потеря эффективности обычно невелика. Первоначальной целью введения ранговых критериев было создание критериев с точным уровнем значимости для гипотез в непараметрической постановке. Впоследствии репутация ранговых критериев сильно возросла благодаря установлению их высокой асимптотической эффективности во многих важных задачах. При малых, объемах выборок многие ранговые критерии значительно теряют в эффективности из-за плохой заполняемости интервала распределения. А поскольку зачастую приходится работать именно с малыми выборками необходимо иметь более мощные критерии, построенные на статистиках, заполняющих интервал распределения как можно плотнее.

Разработка и внедрение новых методов опрел »лени я .количественных показателей надежности оборудования ЯЭУ с уче,то => цдцифики их эксплуатации, базирующихся на теории проверки статист гчжих гипотез, позволяет определить степень работоспособности ЯЭУ й' ее подсистем, принимать при необходимости меры к повышению работоспособности, к снижению экономических затрат, связанных с вынужденными простоями ЯЭУ, с обслуживанием реакторных установок, обоснованно подходить к назначению ресурса блоков. Диссертационная работа связана с планами научно- исследовательских работ, проводимых Обнинским институтом атомной энергетики по теме "Разработка и исследование методических вопросов анализа надежности и безопасности функционирования действующих атомных станций" N 01930004724.

Цель работы. Исследование и обоснование критерия подобия, как критерия проверки гипотезы однородности текущей и априорной информации. Разработка оптимальных критериев в задачах проверки "гипотезы случайности" против альтернатив наличия монотонного тренда, использующихся также при проверке независимости в условиях ограниченной информации. Исследование и разработка критериев, состоятельных против альтернатив тренда сложного вида.

Научная новизна работы. Основные резул ьтаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

• Проведено теоретическое исследование парамет рического критерия подобия проверки однородности статистической информации. Доказаны оптимальные свойства этого критерия при предположении о гамма-распределении случайных величин.

• Впервые предложен новый ранговый критерий проверки гипотезы случайности" и независимости статистических данных, позволяющий по малой выборке (наиболее часто встречающаяся на практике ситуация) делать более значимые выводы, по сравнению с известными критериями. Проведено исследование его распределения при нулевой "гипотезе случайности", позволяющее построить границы критической области. в Впервые разработана ранговая статистика, обобщающая статистику

Снирмена и чувствительная к сложному тренду, находящемуся .внутри временного ряда. Таким образом критерий использующий эту статистику можно применять на практике в едуна Л- .^,щда случайные величины (к примеру параметр потока отказов) .(-¿пинают возрастать с ненулевого момента времени (момента начала этапа выработки ресур-сн);'

Практическая значимость работы.

• Построено табличное обеспечение для локально- наиболее -мощного критерия проверки гипотезы об однородности и для критерия проверки "гипотезы случайности". в Разработаны необходимые методики и программы, позволяющие определять критические значения для любых объёмов информации и уровней значимости. Па основании вновь предложенного критерия проверки гипотезы случайности проводилась проверка гипотезы выработки своего ресурса элементами оборудования Вилибинской АЭС. С помощью вновь предложенного критерия выполнен анализ процесса. .достижения предельного состояния элементами системы управления защитой энергоблоков ВВЭР- -110 и ВВЭР 1UUU но информации, представленной Международной хозяйственной организацией " Интер-атомэнерго".

Основные результаты, выносимые па защиту:

• Аппроксимация распределения статистики отношения средних арифметических двух нормально распределённых совокупностей и критических границ для критерия, построенного на этой статистике;

• Доказательство инвариантности и локальной оптимальности критерия подобия в случае гамма- распределения двух совокупностей с одинаковыми параметрами формы.

• . Центрирование статистики типа Гефдипга. Те орема о проекции статистики Гефдинга в семейство линейных ранговых статистик.

• Определение основных числовых характеристик статистики смешанных произведений, таких, как математическое ожидание, минимум, максимум. Аппроксимация распределения при выполнении нулевой гипотезы случайности". Доказательство оптимальности в случае экспоненциального распределения исходной совокупности с линейно возрастающей интенсивностью.

• Теорема об эквивалентности условий и ЛИ условиям выполнения альтернативы возрастания и альтернативы убывания. Теорема о центрированной интегральной статистике. Доказательство нормальности распределения при нулевой гипотезе.

• Определение основных числовых характеристик статистики типа Сии-рмена, чувствительной к тренду сложного вида.

Личный вклад автора в работу. Конкретное личное участие автора заключается в проведённых теоретических исследованиях, направленных на разработку и исследование статистических критериев теории проверки гипотез случайности, независимости и однородности широко используемых при анализе показателей надежности ЯЭУ.

Автором исследован параметрический критерий проверки однородности выборок, полученных на разных этапах наблюдений за функционированием объектов. Доказаны оптимальные свойства этого критерия при условии гамма- распределения исходных наблюдений (инвариантность, локально наибольшая мощность). Получены формулы для вероятности ошибки второго рода, оценки Бахадура границ критической области в случае нормального и гамма- распределения.

В работе проведены новые исследования известных критериев проверки "гипотезы случайности" таких как Кендалла, Спирмена, критерия смешанных произведений рангов. Предложен новый непараметрический ранговый критерий проверки гипотезы случайности и независимости. Получено его распределение при выполнении нулевой гипотезы. Проведено исследование мощности при малой выборке. Выведен ряд свойств компонентов интегральной статистики, позволяющих упростить использование критерия.

Автором предложен новый непараметрический критерий проверки гипотезы случайности против альтернативы сложного тренда с ненулевым временем начала. Получено его распределение при выполнении нулевой гипотезы.

Апробация работы.

• на семинаре кафедры АСУ МИИТ по теории надежности,

• на международном молодежном симпозиуме "Ядерная энергетика в третьем тысячелетии" ИАТЭ 1996г.

Публикации.

По теме диссертации опубликовано 6 статей и 3 научно- технических отчёта.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка литературы. Работа изложена на 144 страницах, в том числе основного текста - 139 страниц, библиографический список из 64 наименований на 5 страницах.

Заключение диссертации по теме «Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (по отраслям наук)», Чепурко, Валерий Анатольевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основными теоретическими и практическими результатами, полученными в работе, являются следующие.'

1. Проведено теоретическое исследование параметрического критерия подобия для проверки однородности статистической информации. Доказаны оптимальные свойства этого критерия при предположении о гамма- распределении случайных величин и построено табличное обеспечение критерия.

2. Предложен новый ранговый критерий проверки гипотезы "случайности" и независимости статистических данных, позволяющий по малой выборке (наиболее часто встречающаяся на практике ситуация) делать более значимые выводы, по сравнению с известными критериями. Проведено исследование его распределения при нулевой "гипотезе случайности", позволяющее построить границы критической области.

3. Разработана ранговая статистика, обобщающая статистику Спирмена и чувствительная к сложному тренду, находящемуся внутри временного ряда. Таким образом критерий использующий эту статистику можно применять на практике в случае, когда случайные величины (к примеру параметр потока отказов) начинают возрастать с ненулевого момента времени (момента начала этапа выработки ресурса).

4. Разработано методическое и программное обеспечение, позволяющие определять критические значения для любых объёмов информации и уровней значимости.

5. На основании вновь предложенного критерия проверки гипотезы случайности проводилась проверка гипотезы выработки своего ресурса элементами оборудования Билибинской АЭС.

6. С помощью вновь предложенного критерия выполнен анализ процесса достижения предельного состояния элементами системы управления защитой энергоблоков ВВЭР- 440 и ВВЭР- 1000 по информации, представленной Международной хозяйственной организацией "Интер-атомэнерго".

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Чепурко, Валерий Анатольевич, 1998 год

1. Антонов A.B. Об одном методе проверки однородности информации в случае параметрического оценивания характеристик надежности. //Надежность и контроль качества. -М.: Изд-во стандартов, № 10, 1993.

2. Антонов A.B. Параметрический метод проверки гипотезы о наличии эффекта старения в работе оборудования. // Надежность и контроль качества. М.: Изд-во стандартов, 1996, № 6, с.22-28.

3. Антонов A.B., Буртаев Ю.Ф. Теория проверки статистических гипотез в задачах анализа надежности и качества. Учебное пособие по курсу "Надежность функционирования автоматизированных систем АЭС". -Обнинск: ИАТЭ,1991.

4. Антонов A.B., Острейковский В.А. Оценивание характеристик надежности элементов и систем ЯЭУ комбинированными методами. -М.: Энергоатомиздат. 1993.

5. Антонов A.B., Чепурко В.А. Исследование свойств параметрического критерия проверки однородности выборок. //Сборник научных трудов № 10 кафедры АСУ.- Обнинск: ИАТЭ, 1995, 43с.

6. Антонов A.B., Чепурко В.А. Критерий подобия как инвариантный, локально наиболее мощный. //Сборник научных трудов № 11 кафедры АСУ,- Обнинск: ИАТЭ, 1996.

7. Бендат Дж., Пирсол А. Прикладной анализ случайных данных. -М.: Мир, 1989.

8. Болыпев JI.H. Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики, -М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы. 1965.

9. Боровков A.A. Теория вероятностей: Учебное пособие для вузов. -М.: Наука, 1986.

10. Боровков A.A. Математическая статистика. Дополнительные главы: Учебное пособие для вузов. -М.: Наука, 1984.

11. Буртаев Ю.Ф. О некоторых свойствах критериев, зависящих от обратных рангов. //Сборник научных трудов № 9 кафедры АСУ.- Обнинск: ИАТЭ, 1994, 88с.

12. Буртаев Ю.Ф., Острейковский В.А. Статистический анализ надежности объектов по ограниченной информации. -М.: Энергоатомиздат, 1995, -220 е.: ил.

13. Вайну Я. Я.-Ф. Корреляция рядов динамики. -М.: Статистика, 1977.

14. Ван-дер-Варден В.А. Математическая статистика. -М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1962.

15. Воинов В.Г., Никулин М.С. Несмещенные оценки и их применение. -М.: Наука, 1989.

16. Гаек Я., Шидак 3. Теория ранговых критериев. -М.: Наука, 1971.

17. Гихман И.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов. М.: Наука, 1977, 568с.

18. Де Гроот М. Оптимальные статистические решения. -М.:Мир, 1974.

19. Дейвид Г. Порядковые статистики. -М.:Наука, 1979.

20. Дёч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z-пpeoбpaзoвaния. -М.: Наука, 1971.

21. Закс III. Теория статистических выводов. -М.:Мир, 1975.

22. Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. Математическая статистика: Учеб. пособие для втузов,- М.: Высшая школа, 1984.

23. Кендалл М., Стьюарт А. Теория распределений. -М.: Наука, 1966.

24. Кендалл М., Стьюарт А. Статистические выводы и связи -М.: Наука, 1973.

25. Кендалл М. Ранговые корреляции. -М.: Статистика, 1975.

26. Кузнецов Д.С. Специальные функции. М.: Высшая школа, 1965, 272с

27. Крамер Г. Математические методы статистики. -М.: Издательство ино странной литературы, 1975.

28. Леман Э. Проверка статистических гипотез: Пер. с англ. М.: Наука 1979.

29. Леман Э. Теория точечного оценивания. -М.: Наука, 1991.

30. Линник Ю.В. Избранные труды. Математическая статистика. М.: Наука, 1982, 242с.

31. Липский В. Комбинаторика для программистов. -М.: Мир, 1988.

32. Острейковский В. А. Старение и прогнозирование ресурса оборудование атомных станций. -М.: Энергоатомиздат, 1994.

33. Пагурова В.И., Гурский В.В. Доверительный интервал для общего среднего нескольких нормальных распределений. // Теория вероятностей и её применения. М.: Изд-во АН СССР, 1979, № 4, с.885-892.

34. Пагурова В.И., Орлов С.И. О критериях для коэффициентов вариации нормальных распределений. // Вест. Моск. ун-та., сер. 15, 1984, № 4, с.55-60.

35. Пагурова В.И. О сравнении средних значений в двух нормальных выборках. // Теория вероятностей и её применения. 1968 № 3 - с.561-569.

36. Пагурова В.И. О доверительном оценивании в общей модели линейной регрессии в случае неоднородности дисперсий. // Теория вероятностей и её применения. 1982 - № 2 - с.384-388.

37. Пагурова В.И. Критерий сравнения средних значений по двум нормальным выборкам. М.: Изд-во АН СССР, 1968, 57с.

38. Петрович М.Л., Давидович М.И. Статистическое оценивание и проверка гипотез на ЭВМ. -М.: Финансы и статистика, 1989,

39. Розанов Ю.А. Теория вероятностей, случайные процессы и математическая статистика. -М.: Наука, 1985.

40. Рунион Р. Справочник по непараметрической статистике. -М.: Финансы и статистика, 1982, -198 с.

41. Savage J.R. Contributions to the theory of rank order statistics the "trend" case //Ann. Math. Statistics. 1957. V.27. P.968-977.

42. Севастьянов Б.A. Курс теории вероятностей и математической статистики. -М.: Наука, 1985.

43. Северцев Н.А., Шолкин В.Г., Ярыгин Г.А. Статистическая теория подобия: Надежность технических систем. -М.: Наука, 1986.

44. Секей Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике: Пер. с англ. М.: Мир, 1990., 240с.

45. Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. Лекции по теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1989, 480с.

46. Смирнов Н.В. Дунин-Барковский И.В. Курс теории вероятностей и математической статистики. -М.: Наука, 1969.

47. Справочник по теории вероятностей и математической статистике /В.С.Королюк, Н.И. Портенко, А.В. Скороход, А.Ф. Турбин. -М.: Наука, 1985.

48. Справочник по спец. функциям. Под ред. М.Абрамовица, и И.Стиган. -М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1979.

49. Стенли Р. Перечислительная комбинаторика. -М.: Мир, 1990.

50. Уилкс С. Математическая статистика. -М.: Наука, 1967.

51. Федорюк М.В. Асимптотика: Интегралы и ряды. -М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит-ры., 1987.

52. Холлендер М., Вулф Д. Непараметрические методы статистики. -М.: Финансы и статистика, 1983. -518 с.

53. Чепурко В.А. О некоторых свойствах автокоррелявдюнных критериев. //Сборник научных трудов № 10 кафедры АСУ.- Обнинск: ИАТЭ, 1995, 51с.

54. Черномордик О.М. Непараметрические критерии проверки однородности нескольких выборок. : Автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук / МГУ им. М.В.Ломоносова. М., 1984. - 16с.

55. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. -М.: Наука, 1982.

56. Анализ статистической информации об эксплуатации реакторов ВВЭР-440, ВВЭР-1000. Годовой отчёт Интератомэнерго/ Антонов A.B., Вася-шин A.B., Чепурко В.А. и др.- Москва: Интератомэнерго.-1996.

57. Анализ показателей надёжности и ресурсных характеристик подсистем СУЗ Билибинской АЭС с выдачей рекомендаций о возможности продления ресурса СУЗ: Отчёт по НИР (заключительный)/Антонов A.B., Буртаев Ю.Ф., Чепурко В.А. и др.- Обнинск: ИАТЭ, 1995.

58. Чепурко В.А. О предельном распределении некоторых ранговых статистик. //Сборник научных трудов № 12 кафедры АСУ.- Обнинск: ИАТЭ, 1998, (в печати).

59. Антонов A.B., Морозова О.В., Чепурко В.А. Критерии проверки гипотезы случайности в задачах надёжности//Известия вузов. Ядерная энергетика.- Обнинск: ИАТЭ, 1998, (в печати).