Развитие математических моделей и методов теории гидравлических сетей и их применение для моделирования рассредоточенного рынка тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор физико-математических наук Коваленко, Алексей Гаврилович

• Коваленко, Алексей Гаврилович
• доктор физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Коваленко, Алексей Гаврилович

Введение.

1. Математические методы теории гидравлических сетей для моделирования однопродуктового рассредоточенного рынка.

1.1. Основные определения и обозначения.

1.2. Математическая модель однопродуктового рассредоточенного рынка, как задача потокораспределения теории гидравлических сетей.

1.3. Некоторые вопросы анализа функций спроса и предложения.

1.3.1. Некоторые вопросы анализа функций предложений и спроса на факторы производства, построенных на основе задачи производителя.

1.3.2. Некоторые вопросы анализа функций спроса, построенных на основе задачи потребителя.

1.3.3. Кривая предложения-спроса пункта, экспортно-импортная кривая, торгово-транспортная кривая.

1.4. Анализ устойчивости, существования состояния равновесия и равновесных цен. Алгоритмы поузловой увязки для отыскания равновесного состояния однопродуктового рассредоточенного рынка.

1.5. Некоторые вопросы анализа функционирования систем, описываемых моделью однопродуктового рассредоточенного рынка.

1.5.1. О распространении неравновесных состояний.

1.5.2 Роль субъектов рынков в процессе перехода к состоянию равновесия95 1.5.3. Численный анализ в случаях невыполнения достаточных условий

1.6. Алгоритмы поконтурной увязки для отыскания равновесного состояния модели однопродуктового рассредоточенного рынка.

1.7. Модификация алгоритма поконтурной увязки для отыскания параметров моделей субъектов однопродуктового рассредоточенного рынка.

2. Экстремальные модели многопродуктового рассредоточенного рынка, некоторые их свойства, применимость методов расчета потокораспределений ТГС для отыскания их равновесных состояний.

2.1. Математическая модель однопродуктового рассредоточенного рынка, как система экстремальных задач.

2.2. О применимости методов поузловой и поконтурной увязки.

2.3.0 взаимосвязи модели однопродуктового рассредоточенного рынка и сетевой транспортной задачи.

2.4. Статическая модель многопродуктового рассредоточенного рынка.

2.5. Взаимосвязь статической модели многопродуктового рассредоточенного рынка и модели межотраслевого баланса.

2.6. Вопросы применимости алгоритмов поузловой и поконтурной увязки теории гидравлических сетей для отыскания равновесного состояния модели многопродуктового рассредоточенного рынка.

2.7. Финансовые потоки в сети, расчет валового внутреннего продукта.

2.8. О взаимосвязи равновесных состояний математических моделей многопродуктового рассредоточенного рынка и задачи централизованного управления.

2.8.1. Математическая модель многопродуктового рассредоточенного рынка и задача централизованного управления.

2.8.2. Теоремы сравнения функционирования экономических систем, описываемых моделью многопродуктового рассредоточенного рынка и задачи централизованного управления.

2.8.3. Рекомендации по синтезу оптимальных структур управления больших экономических систем.

2.9. Динамические модели рассредоточенного рынка.

3. Модификации метода возможных направлений для отыскания равновесных состояний модели конкурентного равновесия рассредоточенного рынка.

3.1. Модель конкурентного равновесия рассредоточенного рынка с распределяемыми ресурсами.

3.2. Основная задача выпуклого векторного программирования.

3.3. Некоторые вопросы разрешимости систем выпуклых неравенств.

3.4. Критерии эффективности в задачах векторного выпуклого программирования.

3.5. Функция Лагранжа.

3.6. Алгоритмы поиска слабо эффективных точек.

3.6.1. Алгоритм поиска слабо эффективной точки безусловной векторной оптимизации.

3.6.2. Алгоритм поиска слабо эффективной точки условной векторной оптимизации.

3.6.3. Алгоритм возвращающих направлений для поиска слабо эффективной точки в задаче условной векторной оптимизации.

3.6.4. Некоторые вопросы численной реализации алгоритма возвращавших направлений.

3.7. Конкурентное равновесие и Парето-эффективность.

3.8. Алгоритм метода возможных направлений для поиска точек равновесия в моделях многопродуктового рассредоточенного рынка.

4. Динамическое программирование и аппроксимационно-комбинаторный метод в задачах размещения предприятий рассредоточенных экономических систем.

4.1. Постановки задач оптимизации многошаговых процессов, заданных на ориентированном дереве.

4.1.1. Основные обозначения, понятия и определения.

4.1.2. Постановки задач оптимизации многошаговых процессов, заданных на ориентированном дереве.

4.2. Алгоритмы решения задач оптимизации многошаговых процессов.

4.2.1. Алгоритмы динамического программирования для решения задачи

4.2.2. Модификации алгоритмов динамического программирования и аппроксимационно-комбинаторного метода для отыскания оптимальных и R-близких решений, для решения многокритериальной задачи.

4.2.3. Аппроксимационно-комбинаторный метод решения задачи 4.

4.3. Развитие задач и методов оптимизации многошаговых процессов, заданных на ориентированном дереве.

4.3.1. Задача размещения предприятий на сетях в виде ориентированного дерева.

4.3.2 Алгоритмы отыскания оптимальных решений задачи размещения предприятий на сетях в виде ориентированного дерева.

4.3.3. Примеры балансовых соотношений. Алгоритмы построения функций Ci(z).

4.3.4. Алгоритмы отыскания оптимальных и всех R-близких решений ЗЦУ в сетевой постановке для сети типа ориентированного дерева.

4.4. Задача размещения предприятий на сетях произвольной структуры.

4.4.1. Определения, постановка задач.

4.4.2. Построение аппроксимирующей задачи.

4.4.3. Алгоритмы решения задачи размещения предприятий в сетевой постановке.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Развитие математических моделей и методов теории гидравлических сетей и их применение для моделирования рассредоточенного рынка»

П.5.2. Система водоснабжения населения и промышленности города с фиксированными отборами, как однопродуктовый полностью рассредоточенный рынок.294

П.5.3 Централизованное управление гидравлической системой с фиксированными отборами.298

П.5.4. Система водоснабжения населения и промышленности города с нефиксированными отборами, как однопродуктовый рассредоточенный рынок.299

П.5.5. Система водоснабжения населения и промышленности города с фиксированными отборами как однопродуктовый частично рассредоточенный рынок.301

П.5.6. Проблема единственности состояния равновесия.303

П.5.7. Заключение приложения 5.305

Введение

Известно, что поведение однопродуктового конкурентного рынка описывается кривыми спроса и предложений, его равновесное состояние [168], [259] достигается в точке пересечения этих кривых. Однопродуктовый рынок будем называть сосредоточенным, если поведение всех его субъектов (покупателей и продавцов) можно описать одной кривой спроса и одной кривой предложений (смотри рис. 01).

Рис. 01. Однопродуктовый сосредоточенный рынок

Точкой равновесия является точка пересечения этих кривых, т.е. такое значение цены продукта, при котором спрос совпадает с предложением. Сосредоточенный рынок неявно предполагает, что на рынке встречаются два субъекта (вообще говоря, агрегированные): производитель и потребитель - и расположены они в том же месте (пункте), где осуществляется обмен, либо их кривые приведены к условиям этого места.

Возможно, что такое описание и адекватно для процесса обмена для отдельного изолированного пункта или простейшей экономической системы. Неравномерность геофизических свойств территорий, разбросанность размещения природных ресурсов, разбросанность и ограниченность мест, приспособленных для комфортного проживания людей, их большое количество (гораздо большее, чем количество мест проживания), склонность индивидуумов к производству только отдельных видов товаров, их склонность к потреблению товаров, произведенных не только на месте проживания, приводит к тому, что происходит обмен товарами также и между различными пунктами. Необходимость моделирования такой ситуации приводит к возникновению понятия однопродуктового рассредоточенного рынка (ОРР), т.е. рынка, в котором товар может производиться в одних местах, а потребляться в других [95] - [99]. При этом возникает необходимость описания не только процессов его (товара) производства и потребления, но и 'доставки от производителя к потребителю. Конечно, функции доставки товаров часто выполняют сами потребители и производители, однако на этой стадии развития рыночных отношений возникает еще один субъект рынка -арбитражер, выполняющий посреднические функции. Арбитражер приобретает товар в пункте с меньшей ценой и продает его в пункте с большей ценой [109]. Различие в условиях производства и потребления и пространственная разобщенность приводят к различию цен обмена в разных пунктах [25], что в свою очередь приводит к обмену между отдельными пунктами. Различие цен в различных пунктах рассредоточенного рынка Поволжья во второй половине XIX - начале XI вв. демонстрирует карта изоцен на большой территории, выполненная в работе [155]. Исследования по разбросу цен на территории современной России приводятся в [37].

История развития человечества показывает, что арбитражеры являются одной из основных движущих сил познания и освоения новых территорий. Они осуществляют поиск рынков сбыта производимых товаров и дешевых рынков потребляемых товаров. История развития морского флота (да и речного тоже) теснейшим образом связана с развитием, прежде всего торгового флота. Истории крупнейших географических открытий, Великий шелковый путь, реформаторские преобразования Петра I в России, Северный морской путь -примеры расширения торговых отношений различных удаленных территорий. Роль арбитражеров выполняют различные торговцы, в России - купцы. Этот вид субъектов экономики оказался не менее значимым, чем первые два (производители и потребители). Так, например, согласно современной экономической географии [150], необходимость обмена между различными пунктами и уменьшения затрат на транспорт продуктов приводит к размещению мест поселений в основном по трассам коммуникаций (первоначально вдоль берегов морей, рек, озер, позже вдоль железных, автомобильных дорог). В модели однопродуктового рынка параметром, который определяет объем выпуска товара (поведение производителя), является цена, этот же параметр определяет и объем потребления (поведение потребителя). Объем товара, который куплен в одном пункте и продан в другом, определяет разность цен на товар между этими пунктами. В результате этих взаимодействий цены на сосредоточенных рынках приходят в иное равновесное состояние.

Модель ОРР состоит из конечного числа сосредоточенных рынков (смотри рис. 02). Их субъектами являются производители, потребители и арбитражеры, осуществляющие обмен товаром между пунктам. Арбитражеры каждого пункта могут выполнять роли как покупателя, так и продавца, в зависимости от соотношения цен со смежными пунктами. Отметим также, что в каждом пункте могут присутствовать субъекты, осуществляющие экспортно-импортные операции во внешние экономические системы. Под равновесным состоянием модели ОРР будем понимать такие цены продукта, при которых каждый пункт находится в равновесном состоянии, т.е. в каждом пункте выполняются условия материального баланса: количества товара, поступающего в пункт, плюс количество производимого равно количеству потребляемого и выходящего из пункта. А это и есть задача потокораспределения теории гидравлических сетей с нефиксированными отборами [120], в которой цены на товары следует интерпретировать как потенциалы с противоположным знаком.

Рис. 02. Сетевая модель однопродуктового рассредоточенного рынка

Отметим, что подобная взаимосвязь этих переменных отмечена еще Ермольевым Ю.М. [58] для транспортной задачи в сетевой постановке. Развитию математических моделей и методов теории гидравлических сетей [8], [125], [157] с целью применения для моделирования рассредоточенных рынков (как однопродуктовых, так и многопродуктовых) посвящена данная работа.

Опишем кратко суть моделей и задач теории гидравлических сетей, которые развиваются в данной работе. За основу описания возьмем монографию основоположников этой дисциплины А. П. Меренкова и В. Я. Хасилева [120] и монографии Б. М. Кагановича А.П. Меренкова, О.А. Балышева [65], А. П. Меренкова, Е. В. Сенновой, С. В. Сумарокова и др.[119]. Под гидравлической цепью (в дальнейшем мы применяем термин гидравлическая сеть (ГС), который, по мнению автора, ближе к используемым в употребляемой экономической литературе терминам в аналогичных моделях) понимается математическая модель, включающая две составные части: расчетную схему в виде ориентированного графа и алгебраические соотношения, описывающие движение некоторого потока по его дугам. В [65] приводятся примеры применения ГС при расчетах химических реакций и анализе превращений и распространения вредных веществ в атмосфере. Предмет теории гидравлических сетей (ТГС) составляют:

- прямые задачи потокораспределения в ГС;

- обратные задачи потокораспределения в ГС;

- задачи оптимального синтеза (выбора схем и параметров) сетей. Последние обычно связаны с технико-экономической оптимизацией трубопроводных гидравлических систем (водо-, тепло-, нефте- и газоснабжение и др.).

При изучении реальных объектов в ТГС до настоящего времени исследовались три основных типа моделей:

- сети с сосредоточенными параметрами;

- сети с переменными (регулируемыми) параметрами;

- сети с распределенными параметрами.

Более подробно смотри [120]. Отметим, что если все зависимости для ветвей распределенной сети удается представить в виде функции не более чем двух переменных, то и замыкающие соотношения для них, по крайней мере, теоретически, оказывается возможным записать в сосредоточенной интегральной форме, т.е. распределенные модели становятся преобразуемыми в сосредоточенные.

Гидравлические сети могут быть открытые и закрытые, гомогенные и гетерогенные. Открытые сети имеют притоки и стоки, т.е. обмениваются веществом с окружающей средой. В закрытых сетях притоки и стоки отсутствуют. Под делением гидравлических сетей на гомогенные (однородные) и гетерогенные (разнородные) понимается два подхода. В термодинамике к гетерогенным относятся системы, вещество в которых находится в различных фазах.

Для простейших сетей, т.е. сетей с сосредоточенными параметрами, задачи расчета стационарного потокораспределения в [120] описаны тремя способами: а) на основе контурной системы уравнений; б) с использованием потенциалов в вершинах; в) в экстремальной постановке на основе тепловой теоремы Кирхгофа -Максвелла.

Контурная система уравнений имеет вид:

- у и yv - вектор потоков на участках сети и его v-й компонент соответственно;

- A=[aiv] - матрица инциденций соединений вершин и дуг размерности (\Е\-1)х|Р| [148], в ней aiv= 1, если дуга v ориентирована в вершину /; aiv=-1, если дуга v ориентирована от вершины /; и aiv= 0, когда вершина / и дуга v не связаны между собой;

- Q-вектор внешних притоков и стоков в вершинах, £{£),: /=1,2,3,.,|£|}=0;

- Е - множество вершин;

- V- множество дуг;

- АР и APV - вектор потерь напора и его v-й компонент;

- Я - вектор действующих напоров;

Ау= Q, ВЛР = ВН, APv=fv(yv),

0.1) (0.2) (0.3) где

- В=[Ьь] - схл-матрица совпадений контуров и участков; Ьь~ 1, если первоначально задаваемое направление потока на участке совпадает с направлением обхода контура; bicv=-1, когда эти направления противоположны; Ьь=0, когда участок v не входит в контур к.

Уравнение (0.1) описывает первый закон Кирхгофа, который применительно к гидравлическим сетям выражает требование сохранения массы. С помощью (0.2) формулируется второй закон Кирхгофа, который можно интерпретировать как распространение общего принципа сохранения энергии на отдельные контуры сети. Выражение (0.3) является замыкающим соотношением, связывающим потерю напора с расходом на ветви. Отметим, что соотношения (0.1) - (0.3) присутствуют и в модели ОРР, однако в ней замыкающее соотношение (0.3) имеет совершенно иную природу.

При использовании потенциалов в вершинах в системе (0.1)—(0.2) уравнение (0.2) заменяется уравнением

ЛР-Н= Ат Р, где

- Ат- транспонированная полная тхп матрица соединений узлов и ветвей;

- Р - вектор давлений в вершинах.

Если в при этом считать, что в (0.1) вектор Q является известной функцией от вектора Р давлений в вершинах, т.е. Q~Q{P), то получаем задачу потокораспределения с нефиксированными отборами. Несложными преобразованиями графа, задача с нефиксированными отборами может быть преобразована в задачу с фиксированными отборами. Такой переход описан и используется в работе [32].

Основанный на работах Кирхгофа и Максвелла экстремальный принцип потокораспределения в сетях сформулирован в [120] как тепловая теорема, смысл которой заключается в следующем: потоки в открытой пассивной сети распределяются так, что ими производится наименьшее количество теплоты. Соответствующая математическая задача приобрела вид: найти

Y<{APvyv: v€ V) -*min при ограничениях

Лу= Q, APv=fv(yv)

В [120] рассматривались возможности распространения теоремы о наименьшем тепловом действии на активные сети, в том числе с различными показателями степени в замыкающих соотношениях (см. ниже), путем такого изменения вида целевой функции, чтобы решение экстремальной задачи совпало с решением системы уравнений (0.1) - (0.3). В зависимости от того, в каком виде представлена задача потокораспределения, применяются соответствующие методы решения: поконтурная увязка, поузловая увязка, применение различных экстремальных методов.

Замыкающие соотношения /v(yv) для несжимаемых жидкостей применительно к описанию задач ТГС в [120] представлены в двух формах:

APv=fv(yv)=zv/v, (0.4)

APv=fv(yv)= zvl yv +zv2 y\, (0.5) где z - сопротивление дуги. Показана возможность использования зависимостей (0.4) и (0.5) для моделирования характеристик источников действующих напоров с помощью уравнения

Н=Н°-2вн/вн (0.6) в котором второе слагаемое в правой части представляет собой потерю напора в фиктивной ветви, имитирующей внутреннее сопротивление нагнетателя.

С вычислительной точки зрения исследовались формулы для определения z на основе уравнения Дарси-Вейсбаха:

AP=A(w2p)/(2d) и экспериментальных зависимостей для коэффициента трения Я.

Влияние вида замыкающих соотношений на математические особенности задач технико-экономической оптимизации сетей исследовалось

В.Я. Хасилевым [159] - [162] и затем Б.М. Кагановичем [64]. Как отмечалось выше, замыкающие соотношения ОРР имеют совершенно иную природу и изучаются в этой работе.

Развитые в ТГС методы оптимизации сетей и решения обратных задач потокораспределения (идентификации) подробно изложены в [119], [120]. Развитие методов оценивания параметров рассмотрено в монографии [126]. В ней описаны задачи статистического оценивания параметров, имеющие общее значение для трубопроводных и гидравлических систем различного типа и назначения и возникающие при их идентификации, оценивании и прогнозировании состояний, системной диагностике, управлении режимами. Представлены основные положения методики гибкого статистического оценивания, инвариантной к составу и свойствам привлекаемой информации; принципы построения и основные формы стохастических линеаризованных моделей гидравлических цепей с сосредоточенными, переменными и распределенными параметрами; методы численного оценивания при разнохарактерной информации, многократных измерениях, неизвестных параметрах распределения ошибок.

Теория гидравлических сетей уже в течение нескольких десятилетий широко применяется при решении инженерных задач развития и эксплуатации трубопроводных и других гидравлических сетей с однородными по химическому и фазовому составу потоками.

В монографии [65] развиваются основные положения теории гидравлических сетей применительно к многоконтурным гетерогенным системам со сложным фазовым и химическим составом потоков. На языке математического программирования излагаются экстремальные термодинамические модели таких систем.

Так же, как и в теории гидравлических сетей, в моделях ОРР потокораспределение существенно зависит от замыкающих соотношений. В связи с этим представляется необходимым анализ этих соотношений, полученных на основе задач производителя и потребителя микроэкономики. Подобный анализ известен в литературе, в основном он проводится на основе графического анализа, (см. например [259], [168]), но известен и более глубокий математический анализ [21], [22], [50]. В данной работе эти исследования дополняются и показывается, что получаемые замыкающие соотношения могут быть возрастающими, кусочно-непрерывными, кусочно-дифференцируемыми функциями. Все это, в свою очередь, накладывает ограничения на применяемые методы. Так методы ньютоновского типа, развиваемые в [120], будут иметь ограниченное применение для анализа моделей ОРР. Замыкающие соотношения могут быть и разрывными, из этого могут возникать новые задачи анализа и несколько иные методы решения.

Следует отметить, что отсутствие замыкающих соотношений и трудность их построения является одним из основных препятствий, стоящих на пути широкого практического внедрения методов теории гидравлических сетей в экономические исследованиях. И именно достаточная их простота в практических инженерных задачах дала возможность широкого применения этой теории. Следует также отметить, что в настоящее время появилось большое количество исследований, связанных с поиском эластичностей спроса, предложения (см., например журнал «Экономика и математические методы), которые напрямую связаны с построением этих замыкающих соотношений.

Первое развитие модели ОРР, которое мы получаем от задач потокораспределения, - замена замыкающих соотношений fv(yv) экстремальными задачами арбитражера, представление нефиксированных отборов Q=Q(P) через разность между потреблением и производством в вершине и замены их так же соответствующими экстремальными задачами потребителя и производителя, которые используют соответствующие функции полезности [211] и производственные функции [72], нашедшие широкое применение в микроэкономических исследованиях [174]. Эта замена требует уточнения характера взаимодействия субъектов. Мы рассматриваем случаи, когда все субъекты являются совершенными конкурентами, т.е. для них цены в вершинах являются параметрами.

Однако модель ОРР не охватывает экономических взаимодействий с рынками других продуктов (многопродуктовый рынок), необходимых как для описания производства, так и потребления [113]. В настоящее время основной многопродуктовой моделью, описывающей выпуск - потребление в различных отраслях, является модель межотраслевого баланса (МОБ) [114]. Однако в ней существует ряд ограничений, сужающий ее применение [62]:

1) каждый продукт выпускается только одной отраслью;

2) в каждой отрасли имеется единственная технология производства выпускаемой ею продукции;

3) нормы производственных затрат не зависят от объема выпускаемой продукции;

4) не допускается замещения одного сырья другими.

В ней также не отражены рыночные взаимодействия отраслей. Методы достижения состояния, являющегося одновременно состоянием рыночного равновесия и состоянием эквивалентного межотраслевого обмена, изучаются в работе [11].

Модель межотраслевого баланса можно назвать сосредоточенной, подчеркивая тем самым концентрацию модели межотраслевого взаимодействия. Ее «рассредоточением» является модель межрегионального межотраслевого баланса (ММОБ), описывающая не только балансовые, но и экономические взаимодействие регионов [42], [149].

Представление задач субъектов рынков в виде экстремальных задач позволило объединить модели ОРР (отраслей) межотраслевыми связями в одной сетевой статической модели в равновесном состоянии. Каждое предприятие может получать факторы производства с других рынков. Получившаяся модель является развитием МОБ и названа моделью многопродуктового рассредоточенного рынка (МРР) [100], [102].

Из ограничений МОБ в ней останется следующее. Каждое предприятие выпускает только один вид продукта, но каждое предприятие, выпускающее этот же вид продукта, имеет право на собственную технологию. В модели МРР в явном виде регионы не выделяются, однако не составляет большого труда ввести принадлежность субъектов каким-либо образованиям (административно-территориальным, кооперативным и т.д.) и осуществлять моделирование с учетом их влияния (налоги, субсидии, и т.д.) [168]. В отличие от модели ММОБ, где регион следует считать единым производственно-хозяйственным комплексом, субъекты данной модели позиционируются как самостоятельные и принимают решения на основе критерия максимизации прибыли.

По своей структуре модели рассредоточенного можно отнести к классу моделей функционирования конкурентной экономики по Вальрасу [124], [172] концепция экономического равновесия которой в современной экономической теории занимает центральное место. Среди создателей этих концепций JI. Вальрас, Дж. Хикс, П. Самуэльсон, А. Вальд. Основополагающими работами в этом направлении следует считать работы Кеннет Эрроу и Джерард Дебре [179], JI. Мак-Кензи [222], которые заложили основы современных математических моделей замкнутой децентрализованной экономической системы. Эти модели и их обобщения настолько общие по постановке, что, видимо, могут включить в себя и модели МРР, но при этом теряется наглядность, возможность применения многих численных методов, используемых в ТГС, а также методов, разрабатываемых в данной работе.

Идеи равновесия является ключевой в современных экономико-математических исследованиях [1], [13], [14], [23], [45], [48], [130], [135], [139], [140], [146], [228], [241], - [244], [261]. Работа [146] посвящена взаимосвязи ряда физических моделей и методов теории равновесия с моделями экономики. Последние 40 лет были отмечены обширным потоком работ, обобщающих результаты Эрроу - Дебре в самых различных направлениях. Одним из таких направлений являлось ослабление предположений, при которых гарантировалось существование состояния конкурентного равновесия. Работы таких авторов, как Мас-Колелл [221], Ауманн [177], Хильденбранд, Гейл и ряд других. Интересные результаты в последние годы в этом направлении получены В.М. Маракулиным, М. Флорензано, П. Гурделем, А.В. Коноваловым [204], [225].

С начала 70-х годов в экономико-математической литературе появились исследования моделей экономики с бесконечным числом продуктов. В этих моделях в качестве параметров, характеризующих продукт, можно принять пространственную (аналог рассредоточенного рынка) и временную его характеристику. Одной из первых работ этого направления можно считать работы Пелеги и Ярри [238]. В своей работе Бьюли [188] установил существование состояний равновесия в модели типа Эрроу - Дебре с конечным числом экономических агентов, в которой в качестве пространства продуктов было избрано пространство существенно ограниченных измеримых функций (см. также [194]). Перспективным направлением являются исследования [192], [193], изучающие состояния равновесия с неделимыми товарами.

Большую теоретическую значимость в этом направлении исследований имеют порядковые структуры пространства продуктов, впервые рассмотренные Крепсом [226] линейные решётки введены в теорию конкурентного равновесия Алипрантисом и Брауном (см. [3], [175]). В последствии решеточная структура пространства продуктов использована Мас-Колеллом [219], (обзор литературы в [220]). Основные достижения 80-х годов в равновесном анализе моделей с бесконечным числом продуктов изложены в монографии Алипрантиса, Брауна и Беркеншо [176]. Из более поздних работ следует отметить работу Мас-Колелла и Ричарда [220], которые установили существование равновесия в моделях с пространством продуктов, описываемым как линейная векторная решетка. В последующих работах [195],

203], [239], [257], вопросы существования равновесия установлены при нетранзитивных и неполных предпочтениях экономических агентов.

Важным направлением общего бесконечномерного равновесного анализа являются динамические равновесные модели с перекрывающимися поколениями экономических агентов. Обзор этих работ смотри в [207]. В этом классе моделей множество временных периодов жизни экономики счетное, число экономических агентов также счетное, в каждом временном периоде их число конечное. В работе [264] Вильсон установил существование последовательности равновесных цен, соответствующих периодам жизни экономики при условии, что, либо каждый агент обладает только конечно живущими ресурсами, либо имеется конечная группа агентов, обладающая положительной долей всех ресурсов экономики во всех периодах ее жизни. В работе [48] В.И. Данилов получил ряд обобщений в этом направлении, которые позволили дать лучшую, чем у Вильсона экономическую интерпретацию равновесных цен. В последнее время в этом направлении работали и получили ряд результатов другие авторы [195], [ 203], [247]. Другим направлением, началом которого была попытка обобщить модели Эрроу - Дебре и более адекватно отразить в моделях функционирование финансового сектора реальных экономик, являются неполные рынки, учитывающие как неполноту информации, так и неопределенность будущего. В экономике совместно с рынками обычных продуктов сложились рынки финансовых инструментов. Целью этих рынков является решение задач, связанных с неопределенностью будущих событий (см. обзор [246]). Развитие модели Эрроу - Дебре в этом направлении дало теорию неполных рынков (см. [206], [218]).

Концепции теории равновесия использовались и для анализа плановой экономики [10], [26], [29], [33], [49], [141]. Известен ряд монографий, содержащих элементы теории равновесия и ее приложения [9], [69], [116], [124], [149].

Классическая теория равновесия основывается на предположение о возможности установить цены в равновесном значении. Развитием равновесного подхода являются ряд теорий функционирования экономики при неравновесных ценах [140]. Наибольшее развитие получили идеи Хикса [167] Барро и Гроссмана [180], достаточно общие постановки приведены в [17], [265], [185], [198] Полное изложение этих идей и их развитие приведены в монографиях [18], [139], [185].

Наибольшее полное развитие идей рассредоточения получили в геоэкономических исследованиях [142], международной экономике [109], а также в межрегиональной экономике. О взаимосвязи межрегиональной и международной связей можно найти в работе [215]. Межрегиональная и международная торговля уменьшает замкнутость экономик и использует преимущества разделения труда [107], [216]. Так в работе [130] приведены исследование влияния международной торговли и валютных обменов на экономический рост. В условиях глобализации экономики все большее развитие получают транснациональные компании, территориально расположенные в целом ряде стран [107]. Пространственная рассредоточенность и взаимосвязь субъектов мирового хозяйства отражена в научных изданиях [33], [34].

Математические методы уже давно используются для изучения международной торговли. Большое количество различных моделей, предназначенных для исследования международной торговли, территориального планирования и т.д. [118], [208], [209] основано на идеях равновесия. Наиболее близким разделом математической экономики, который могут описать модели рассредоточенного рынка, является раздел, описывающий международную торговлю и экономическое взаимодействие крупных экономических регионов [43]. В западной литературе эти вопросы исследуются в теориях международной торговли, основные идеи которых заложены в трудах Тюнена, Вебера, Леша, Айзарда. Следует отметить работы

Кавеса, Франкеля, Джонса [190], Кругмана [214], Обсфельда [215], [109], в которых разбираются вопросы, связанные с зонами свободной торговли, общих рынков, таможенных, монетарных, экономических союзов. Однако наиболее строгие положения, утверждения и результаты получены в малоразмерных моделях (1-2 продуктовые и 2-3 региональные). В этой области следует отметить работы Баласса [181], Робсона [249], Трумэна [258], Викермана [262].

Для моделирования товарных потоков между парами стран сконструированы специальные эконометрические модели, получившие в литературе наименование гравитационных [46], которые по своей идее близки к моделям потокораспределения в гидравлических сетях. В общем случае гравитационная модель представляет собой эконометрическую функцию, связывающую товарный поток из страны или региона i в страну или регион j с факторами экономического и социального характера, а также с издержками по продвижению потока из i в j: гЛ?/5 ^i ft ij)> где Е?у - экспорт из страны (региона) i в страну (регион) j; Z',; Zy - факторы, определяющие потенциальное положение стран; R'ij - факторы, относящиеся к продвижению товарного потока из i в j. (переменные, отображающие наличие барьеров на пути из i в j, типа расстояния между ними и т. п.). Для данного типа моделей широко известны модель Тинбергена [256], П. Пойхонена [245], X. Линнемана [227], П. Васархелги [260]. Следует также отметить работы Брада, Мендеса [189], Бергстренда [185], [186]. Все эти модели основаны на мультипликативных эконометрических функциях и отличаются количеством и качественным составом параметров, входящих в Z*,-, Zy, R'y. Модель Эли Хекшера и Бертиля Олина связывает международную торговлю с распределением ресурсов, ее математическое описание приведено в [212].

По нашему мнению, математические модели рассредоточенного рынка, как совокупность взаимосвязанных локальных рынков, являются удобным аппаратом для описания этих проблем. Как отмечалось выше, в этих моделях в явном виде страны и регионы не выделяются. Но в условиях рыночной экономики любая территория представляет собой совокупность самостоятельных индивидуумов, ведущих на этой территории производственную деятельность, связанных между собой как на самой территории, так и за ее пределами [106]. Задачи исследований, связанные с изучением взаимодействия локальных рынков, поставлены достаточно давно [250], [251], [252] и остаются актуальными до настоящего времени как в теоретическом, так и в прикладном аспектах. Среди зарубежных исследований взаимодействия локальных рынков в России известны следующие работы: в [205], [223] изучается межрегиональный разброс цен и тенденции его изменения в России, предметом исследования в [183] являются ценовые взаимосвязи между локальными рынками. Из отечественных работ приведем [147], [59]. Первая посвящена типологии российских регионов по характеру поведения цен, вторая - выявлению причин различий цен в разных регионах. В работе [37] на данных о динамике уровней цен продовольственных и промышленных товаров по регионам Западной Сибири за 1994 - 1998 гг. изучается, имеет ли место сходимость к единой цене.

Среди работ, изучающих пространственный разброс цен в странах с развитой рыночной экономикой, приведем [199] и [236]. В статье [237] приведены результаты исследования разброса цен между городами США. Следует отметить, что исследования, проведенные в работах [38], [59], [147], [183], [199], [205], [223], [236], [237] основаны в большинстве на построении и анализе эконометрических моделей.

Теории международной торговли и таможенных союзов давно вошли в учебники по моделированию [46], написаны специализированные учебники

109], [253]. Современный уровень регионалистики и межрегиональных взаимодействий отражен в учебной литературе [41].

Как отмечалось выше, большое количество различных моделей, предназначенных для исследования международной торговли, территориального планирования и т.д., основаны на теории равновесия. Различают два типа моделей: модели частичного и общего равновесия. В моделях первого типа речь идет только о равновесии между предложением и спросом по конкретным видам товаров. Модели второго типа рассматривают все рынки продукции, а также рынки рабочей силы и капитала. Такие модели, как правило, сильно агрегированы (включают всего несколько отраслей и прочую экономику), модели частичного равновесия, сильно дезагрегированы. Хотя литература по данному вопросу и достаточно обширна, однако в большинстве случаев она касается конкретных исследований и мало затрагивает математические методы, используемых в них. Исследования, в которых использовались модели частичного и общего равновесия, проводились в США, Нидерландах, Австралии, ФРГ, во Франции, ряде международных организаций, например, ОЭСР, Международном институте анализа прикладных систем (Австрия) и т.д. Значительное число исследований посвящено изучению влияния внешнеторговой политики на развитие АПК (более подробно см. [70]). Модели общего равновесия использовались Службой экономических исследований Министерства сельского хозяйства США, была разработана 10-секторная модель общего равновесия страны [248], а так же 30-секторная модель аграрной политики США [224]. Модель общего равновесия ORANI разработана в университете города Мельбурн [197]. Эта модель включала 113 производственных отраслей, 115 категорий товаров, производимых национальной экономикой, и такое же количество импортных товаров, 9 категорий трудовых ресурсов, 7 типов обрабатываемых земель. Модель была создана во времена, когда еще не было эффективных программных средств для решения задач такого класса. Опыт, который был получен в ходе разработки данной модели, использован в постоянно развивающемся проекте в области внешней торговли GTAP (Global Trade Analysis Project) [254].

Практическое использование такого рода моделей связано с разработкой программного обеспечения «GAMS» (General Algebraitic Modeling System -общая алгебраическая система моделирования), представляющую собой систему, реализующую язык заданий в удобной для пользователя форме математического программирования. Одной из первых моделей общего равновесия, реализованной с помощью данной системы, была модель Камеруна [217].

В качестве системы примера модели частичного равновесия можно привести систему моделирования FAPRI (FAPRI Modeling System) [255]. С ее помощью в институте изучения продовольствия и сельскохозяйственной политики (FOOD and Agricultural Policy Research Institute, FAPRI) при Центре изучения развития сельского хозяйства и сельской местности Университета штата Айова (Center for Agricultural and Rural Development, CARD) проводились исследования по анализу влияния на функционирование сельского хозяйства торговой политики США, а также ряда других стран.

Для анализа политики в области международной торговли Службой Экономических исследований Министерства сельского хозяйства США разработана система моделей, получившая название SWOPSIM (A Static Word Policy Simulation Modeling Framework). Система включает мощную базу данных, содержащую информацию в области производства, потребления и торговли продовольствием для большинства стран мира [263]. В настоящее время SWOPSIM непрерывно совершенствуется и широко используется на практике. Ее продолжением явилось создание DWOPSIM (A Dynamic World Policy Simulation Model Building Framework), позволяющая проводить моделирование экономических систем в динамике.

Существует также множество моделей, которые разрабатывались в рамках диссертационных исследований для целого ряда развивающихся стран мира. Подробный анализ этих моделей проведен в [70].

Одной из основных моделей по анализу экономической политики в области сельского хозяйства для стран СНГ является модель EPACIS. В ней внешнеторговые связи разделяются на две составляющие: торговлю между странами СНГ и торговлю со странами дальнего зарубежья. Модель подробно анализирует двусторонние торговые потоки. Это позволяет наблюдать не только за изменением сальдо сельскохозяйственной торговли, но и детально анализировать ситуацию по каждому продукту или продуктовым группам, используемым в модели [203]. Описанию современной Российской экономики с применением теории экономического равновесия посвящена работа [44].

Математические модели экономического равновесия породили ряд работ, связывающих динамику с равновесием [117], [178]. Равновесие и асимптотический рост изучались в работах, [130], [135] - [138]. В работе [130] изложены общие положения, модели и методы системного анализа развивающейся экономики. Модели описывают ряд качественных особенностей эволюции плановой и рыночной экономики, экономики СССР и России в переходной период 1991-1995 гг. [1], [128], [131]. В работе [196] описывается значение фактора времени в теоретическом анализе отдельных отраслей индустрии, и всей экономики в целом. Реальное развитие экономики показывает, что есть территории развивающиеся, есть деградирующие, и это порой мало связано с наличием и отсутствием ресурсов, причем возможен переход из одной крайности в другую. Теоретический анализ межтерриториальных аспектов динамики при большом количестве территорий, основанные реальных данных, вряд ли выполним. Основная проблема здесь заключается в сложности этих задач. Одним из подходов в решении этой проблемы является применение имитационного моделирование и имитация динамики, заложенная в работе Дж. Форрестера «Мировая динамика» [158].

Исследования на основе численного эксперимента межрегиональной динамики развиваются в работах [42], [41], [191]. В данной диссертационной работе, следуя принципам моделирования динамических систем [63], [108], [158] строятся динамические модели многопродуктового рассредоточенного рынка, представляющие собой последовательность взаимосвязанных равновесных состояний. Динамическая модель позволяет, учитывая потребление восполнимых и невосполнимых ресурсов, прогнозировать развитие как системы в целом, оценивая ее значением внутреннего валового продукта (ВВП), так и отдельных ее субъектов, оценивая их, например, величиной добавленной стоимости выпускаемой ими продукции. Становится возможной также имитация управляющих воздействий на систему для регулирования рыночных отношений.

Одним из направлений, бурно развивающимся в настоящее время и связанным с развитием модели Эрроу-Дебре, является «Равновесное программирование» [5]. За сравнительно небольшой период времени в этой области знаний произошел значительный прогресс в теории и методах нахождения решения равновесных задач различных типов (включающих, например, вариационные неравенства, задачи дополнительности, задачи о седловой точке и об игровом равновесии). Различные постановки задач ценового равновесия и их свойства приведены в [9], [16], [139], [152], [210], [19]. Методы решения и библиографический обзор приведен в работе Коннова И. В. [105].

Внутри этого направления выделяется направление - «сетевая экономика», развиваемое школой А. Нагурней [231] - [235]. Основные модели, рассматриваемые в этих работах, основаны на свойствах состояний равновесия в экономических системах, для поиска применяются методы решения вариационных неравенств. Модели и методы, развиваемые автором, также можно отнести к этому направлению, однако в отличии от последних, рассматриваются и развиваются модели и методы, получившие широкое применение в теории гидравлических сетей, эффективность которых подтверждена многолетним использованием. Стохастические модели равновесия на графах рассматривались так же в работах [134], [202].

В силу исторического развития, экономическая наука в СССР имела направленность оптимального планирования. Основоположниками этого направления являлись JI.B. Канторович [67], [68], В.В. Новожилов [127], A.JI. Лурье [115]. Дальнейшее развитие эти идеи получили в трудах [2], [10], [11], [40], [169]. Работы этого направления стимулировало развитие методов оптимизации и исследование операций [39], [54], [173], [200], [201], исследование операций и системного анализа [35], [36], [123], [132]. А также их развитие и применение в системах энергетики [61]. Задачи линейного программирования получили большое развитие в направлении решения задач большой размерности и соответственно получили развитие идеи децентрализации планирования [24]. Появилось направление «региональное программирование» [165], [166].

В соответствии с современной экономической теорией, агенты экономических систем описываются экстремальными задачами. Один из методов анализа этих систем основывается на построении по экстремальным задачам функций спроса и предложения с последующей увязкой их. Задачи построения функций спроса и предложения входят в состав задач параметрического программирования, наиболее изученным классом которого являются линейные задачи оптимизации [173]. Результаты работ [22], [116] связанные с экстремальными свойствами равновесных состояний (например, теорема о благосостоянии) дают основание предполагать, что более перспективным является направление, использующее численные методы решения многокритериальных задач, которые активно развиваются в [27] [38], [53], [55], [56], [73], [133], [151], [165], [171]. Отмеченная в диссертации взаимосвязь моделей МРР, в которых конечные потребители минимизируют затраты при ограничениях уровня полезности, с задачами централизованного управления, дает основание предполагать, что для анализа моделей МРР будут применяться численные методы решения экстремальных задач.

Задачи прогнозирования социально-экономического развития различных экономических систем являются важными и характеризуются сложностью расчетов, неопределенностью исходных данных [170]. Оценка принимаемых решений, как правило, осуществляется по многим показателям, при этом могут быть использованы неформализованные правила оценки. Для принятия решения в таких ситуациях обычно рассматривают несколько сценариев развития и, используя формальные и неформальные методы анализа, выбирают один из них, который рекомендуют для внедрения. Аналогичный подход применяется при проектировании сложных производственно-технологических систем (многовариантное проектирование). Многовариантный анализ (проектирование) в настоящее время является основным способом, помогающим принимать решение. Основной задачей при этом является уменьшение числа вариантов проектов, которые должны быть подвергнуты окончательному анализу, так как общее число вариантов, как правило, чрезмерно велико. Традиционные способы применения методов оптимизации позволяют определять оптимальные решения по какому-либо одному критерию оценки качества проекта. Однако по вышеперечисленным причинам такие оптимальные решения могут оказаться не приемлемыми для внедрения. Очень часто решения, близкие к оптимальному, то есть незначительно (на некоторую заранее заданную величину R > 0) отличающиеся по значению критерия от оптимального, более подходят для внедрения.

В моделях МРР поведение субъектов рынков описываются экстремальными задачами, однако в действительности, в силу многих причин, редко кто из субъектов решает эти задачи. Для описания конечного потребителя используется функция полезности, которая является «правдоподобной» абстракцией. Трудно однозначно определить, действительно ли он максимизирует полезность при бюджетном ограничении, или минимизирует затраты на достижение определенного уровня полезности, да и вообще, решает ли моделируемый субъект эти задачи. В связи с этим возникает потребность в отыскании не только оптимальных решений, но и близких к ним. Подход к решению экстремальных задач, основанный на отыскании близких решений аппроксимирующей задачи, предложенный В.Р. Хачатуровым в аппроксимационно-комбинаторном методе, позволил ему найти ряд модификаций известных методов оптимизации и расширить их применение для решения новых классов задач [164], [165]. Эти методы получили широкое развитие, применение [7], [20], [75] - [79], [80], [91], [92] и описаны в [81] -[86], [166].

Заметим, что методы отыскания решений, близких к оптимальным, в задачах дискретного программирования известны достаточно давно. Сюда можно отнести работы Р. Беллмана, С. Дрейфуса [15], Р. Калабы [66], [182], К. Мурти [230], М. Поллака [240], В. А. Емеличева, В. И. Комлика [57], С. С. Лебедева [112]. Эти методы направлены на получение решений, близких к оптимальному, в порядке неубывания (для задач минимизации) значений их функционалов.

Методы динамического программирования Р. Беллмана имеют широчайшую известность и широчайшее применение [15]. Большое развитие получили эти методы и в теории гидравлических сетей. Они являются основой математических методов оптимизации выбора параметров трубопроводных, электроэнергетических и других физико-технических систем, имеет большую историю, отраженную в весьма обширной литературе (обзор см. в монографии [120]). Развитие вычислительной техники и методов математического программирования (в частности дискретного) стимулировали разработку новых подходов и методов теории гидравлических сетей [121]. Для решения задач проектирования трубопроводных систем стали применяться различные схемы последовательного анализа вариантов. Пионерскими в этом направлении были работы B.C. Михалевича, Н.З. Шора и других сотрудников Института кибернетики АН УССР [28], [58], [122]. Получили развитие методы динамического программирования. В этом направлении следует отметить также работы сотрудников Сибирского энергетического института [120], [121], [129], [163], М.Г. Сухарева и Е.Р. Ставровского [153], [154] и др. Динамическое программирование, применяемое ранее для оптимизации линейно-упорядоченных процессов, стало использоваться для оптимизации процессов, заданных на ориентированном дереве [6], [187], [229]. В работе [74] приведен вывод функционального соотношения Беллмана для такого вида задач, которое получило дальнейшие развитие и модификации в [86], [87], [89]. В работах [90], [120], [213] описано программное обеспечение решения задач оптимизации гидравлических систем различного назначения, где основным методом является динамическое программирование.

Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения, списка литературы и приложений.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Коваленко, Алексей Гаврилович

Заключение

В первой главе приведена постановка математической модели однопродуктового рассредоточенного рынка в равновесном состоянии, как задача расчета потокораспределения с нефиксированными отборами в гидравлической сети. Аналогом функциональных зависимостей, которые применяются в этой задаче, являются функции спроса и предложения микроэкономики. Для оценки применимости методов теории гидравлических сетей проведен анализ функций спроса и предложения, построенных на основе задач производителя и потребителя. Достаточным условием применимости методов поузловой и поконтурной увязки являются их непрерывность, монотонность, неограниченность изменения при изменении аргумента. Функции спроса и предложения микроэкономики могут обладать этими свойствами, но могут иметь и конечное число разрывов.

Проблема равновесия, устойчивости, существования устойчивого равновесия является ключевой при анализе различного вида систем и, в частности, самоорганизующихся систем. Эта проблема проанализирована для математической модели однопродуктового рассредоточенного рынка. Приведены достаточные условия, которым должны удовлетворять кривые спроса и предложения, при которых, если поведение субъектов каждого локального рынка приводит его в состояние равновесия, то и в целом весь рынок приводится в состояние равновесия. Описана роль субъектов рынка в распространении неравновесных состояний между локальными рынками, и приведении рынка в целом в состояние равновесия. В случае, если достаточные условия не выполняются, показано как можно применить алгоритмы поузловой для анализа системы.

Для отыскания равновесного состояния приведен алгоритм поконтурной увязки, разработана его модификация, позволяющая отыскивать параметры моделей субъектов однопродуктового рассредоточенного рынка.

Во второй главе приведена постановка математической модели однопродуктового рассредоточенного рынка в равновесном состоянии, как система экстремальных задач, в которых каждый субъект описан своей экстремальной задачей. Предложены алгоритмы поузловой и поконтурной увязки отыскания равновесного состояния, использующие некоторые свойства экстремальных решений этих задач.

О применении решений сетевой транспортной задачи для решения задач потокораспределения известно давно. Во второй главе предложен метод отыскания градиента в сетевой транспортной задаче, использующий экстремальные свойства экстремальных задач субъектов рынка. Таким образом, становится возможным применение градиентных методов для отыскания равновесных состояний в модели ОРР, описанной как системы экстремальных задач.

Представление модели однопродуктового рассредоточенного рынка в виде системы экстремальных задач позволило на ее основе построить модель многопродуктового рассредоточенного рынка, как системы взаимосвязанных моделей ОРР. Показано, что из этой модели можно получить модель межотраслевого баланса В. Леонтьева.

Показано, что модель многопродуктового рассредоточенного рынка в равновесном состоянии, используя аппарат функций спроса и предложений субъектов, можно свести к виду, близкому задаче потокораспределения теории гидравлических сетей. Также показано, что для отыскания равновесного состояния можно применить алгоритмы поузловой увязки. Применение методов поконтурной увязки сопряжено с рядом тяжело преодолимых трудностей.

Для модели МРР рассмотрены вопросы движения финансовых потоков в сети. Получены зависимости вычисления валового внутреннего продукта системы через добавленные стоимости, произведенные субъектами системы, и через затраты от конечного потребления.

Управление производственным и транспортными блоками в модели МРР может быть осуществлено и централизовано, поэтому рассмотрена модель централизованного управления (ЦУ) системой, критерием которой является максимизация прибыли всей системы. Отметим, что конечные потребители в этом случае представлены задачей минимизации затрат на удовлетворение требуемого уровня полезности. Показано, что в этом случае централизованного управления не менее эффективна, чем любые другие рассредоточенные системы управления, однако если рассредоточенная система управления в каждом локальном рынке есть рынок совершенной конкуренции, то эффективности управления совпадают с ЦУ. На основании этого делаются выводы об оптимальном синтезе больших систем управлении, об направлении дальнейшего развития математических методов отыскания равновесных состояний в модели МРР.

Используя статическую модель ММР, строится динамическая модель рассредоточенного рынка, как последовательность взаимосвязанных статических в равновесных состояниях. За основу построения берутся основные принципы построения моделей динамических систем, заложенным Дж. Форрестером.

В третьей главе рассмотрена более общая модель многопродуктового рассредоточенного рынка, в котором некоторым владельцам могут принадлежать несколько предприятий, они, являясь владельцами ресурсов, распределяют их объем между этими предприятиями (модель МРРРК). Сведение этой модели к задачам потокораспределения теории гидравлических сетей становится невозможным, однако становится возможным применение экстремальных методов решения многокритериальных задач.

Для многокритериальной задачи (задачи выпуклого векторного программирования) определены понятия отношения нестрогого предпочтения ^ (предпочтения по Парето) и строгого предпочтения -<. На основе этих понятий определены понятия эффективных решений (эффективных по Парето и слабоэффективных). Для анализа существования допустимых решений исходной задачи, анализа и поиска эффективных решений построена теория, основанная на методе возможных направлений Зойтендейка. Построены критерии разрешимости систем выпуклых неравенств, критерии эффективности в задачах векторного выпуклого программирования. Для задач выпуклого векторного программирования разработаны:

- алгоритм поиска слабо эффективной точки безусловной векторной оптимизации;

- алгоритм поиска слабо эффективной точки условной векторной оптимизации;

- алгоритм возвращающих направлений для поиска слабо эффективной точки в задаче условной векторной оптимизации, позволяющий осуществлять спуск с произвольной точки пространства R".

Для разработанных алгоритмов доказаны теоремы сходимости, приведены модификации алгоритмов, учитывающие специфику решаемых задач.

Для модели МРРРК доказывается теорема о том, что если некоторая точкаx=(Ph/е£'и£2; т/,,г,-,Rt, /<e£'u£2; yv,veV;rv,Rv,ve V\VD) является точкой равновесия модели МРРРК, тогда для каждого конечного потребителя, максимизирующего свою полезность, среди семейства эквивалентных функций полезности, определяющих его предпочтение, существуют такие функции полезности, что точка х является слабо эффективной для задачи выпуклого векторного программирования, описываемого соотношениями модели МРРРК без балансовых соотношений. Используя эту теорему и разработанные алгоритмы метода возможных направлений для поиска слабоэффективных точек задачи выпуклого векторного программирования, разрабатывается алгоритм, позволяющий определять точки равновесия модели МРРРК.

В четвертой главе рассмотрены методы динамического программирования и аппроксимационно-комбинаторного метода в задачах размещения предприятий, которые являются основной составляющей задач синтеза рассредоточенных экономических систем. Первоначально рассмотрены задачи оптимизации многошаговых процессов, заданных на ориентированном дереве. Приведено обоснование и алгоритмы решения следующих задач.

1. Отыскание оптимальных решений задачи оптимизации многошаговых процессов, заданных на ориентированном дереве.

2. Отыскание всех Д-близких решений по заданному критерию задачи оптимизации многошаговых процессов, заданных на ориентированном дереве.

3. Решение многокритериальной задачи оптимизации многошаговых процессов, заданных на ориентированном дереве, т.е. отыскание всех решений, являющихся /?у-близкими одновременно по т (/=1,2,3,.,/и) критериям.

4. Отыскание оптимальных решений задачи оптимизации многошаговых процессов, заданных на ориентированном дереве с непрерывными фазовыми состояниями и дискретными управлениями.

Для первой задачи доказана модификация функционального соотношения Беллмана и применен алгоритм динамического программирования. Для решения второй задачи доказано функциональное неравенство, которое применено в модификации алгоритма динамического программирования. Этот алгоритм модифицирован и для решения задачи 3. Задача 4 решается аппроксимационно-комбинаторным методом, использующим алгоритм решения задачи 2.

Рассмотрены задачи оптимизации многошаговых процессов, в которые включены различные производственные функции, позволяющие интерпретировать эти задачи как многопродуктовые задачи размещения предприятий на древовидных сетях. Для их решения применены алгоритмы динамического программирования, а также его модификации, позволяющие отыскивать все /^-близкие решения по заданному критерию, отыскивать решения многокритериальных задач, т.е. отыскивать все решения, являющиеся -близкими одновременно по т (/=1,2,3,.,/и) критериям.

Для решения задачи размещения предприятий в сетевой постановке для сетей произвольной структуры применен аппроксимационно-комбинаторный метод. Граф «разворачивается» в дерево, в результате этого получаем задачу размещения для древовидных сетей, на оптимальных и близких решениях которой ищется решение исходной.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Коваленко, Алексей Гаврилович, 2006 год

1. Автухович, Э.В. Гуриев С.М., Оленев Н.Н., Петров А. А., Поспелов И.Г., Шананин А. А., Чуканов С.В. Математическая модель экономики переходного периода М.: Вычислительный центр Российской академии наук, 1999.143 с.

2. Аганбегян, А. Г. Багриновский Н. А., Гранберг А. Г. Система моделей народнохозяйственного планирования. М.: Наука, 1972. - 352 с.

3. Алипрантис, К. Браун Д., Беркеншо О. Существование и оптимальность конкурентного равновесия. М: Мир, 1995. - 384 с.

4. Антипин, А.С. Обратная задача оптимизации: постановка задачи и подходы к ее решению. // Обратные задачи математического программирования. М.: ВЦ РАН, 1992.-С. 6-56.

5. Антипин, А.С. Равновесное программирование: проксимальные методы //Журн. вычислит, матем. и матем. физ. 1997.- № 11. - Т. 37. - С. 13271339.

6. Арис, Р. Дискретное динамическое программирование. М. :Мир, 1969. -171 с.

7. Атавин, А. А. Тарасевич А. М., Сухарев М. Г., Коваленко А. Г., и др. Трубопроводные системы энергетики: модели, приложения, информационные технологии. М.: ГУП Издатель «Нефть и газ» РГУ Нефти и газа им. И.М. Губкина, 2000. - 320с.

8. Ашманов, С. А. Введение в математическую экономику. М.: Наука, 1984. -296 с.

9. Багриновский, К. А. Основы согласования плановых решений. М.: Наука, 1977.-303 с.

10. Багриновский, К. А. Бусыгин В. П. Математика плановых решений. М.: Наука, 1980.-224 с.

11. Багриновский, К. А. Прокопова B.C. Исследование особенностей межотраслевого обмена в экономике России // Экономика и мат. методы. -1997. т. 34, вып. 1. - С. 52-62.

12. Бекларян, JI.A. Акопов А.С. Модель поведения естественной монополии в условиях переходного периода. М., 2000. - 74 с. - (Препр. ЦЭМИ РАН; N WP/2000/098).

13. Бекларян, JI.A. Модели согласования инвестиционного контракта// Аудит, и фин. анализ. М., 1998. - С. 35-66.

14. Беллман, Р. Дрейфус С. Прикладные задачи динамического программирования. М.: Наука, 1965. - 458 с.

15. Бершанский, А. Б. Мееров М. В. Теория и методы решения задач дополнительности //Автоматика и телемеханика. -1983. № 6. - С. 5-31.

16. Браверман, Э. М. Модели производства с неравновесными ценами // Экономика и мат. методы. 1972. - Т. 8. - Вып. 2.

17. Браверман, Э. М. Левин М.Н. Неравновесные модели экономических систем.-М.: Наука, 1981.-304 с.

18. Булавский, В. А. Калашников В. В. Сетевая модель рынка однородного товара. М.: ЦЭМИ РАН, 1996. 26 с.

19. Бусыгин, В. П. Желободько Е. В., Коровин С. Г., Цыплаков А. А. Микроэкономический анализ несовершенных рынков: Ч.1.- Новосибирск: Новосибирский государственный университет, 2000. 264 с.

20. Васин, А. А. Васина П. А. Рынки и аукционы однородного товара. Препринт #.-М.: РЭШ, 2004.-51 с.

21. Введение в теорию и методологию системы оптимального функционирования социалистической экономики. / Н.П. Федоренко, Ю.В. Овсиенко, Н.Я. Петраков. М.: Наука, 1983. - 368 с.

22. Войтинский, В. Рынок и цены : Теория потребления, рынка и рыночных цен.-СПб., 1906.-С. 243.

23. Волконский, В. А. Принципы оптимального планирования. М., Экономика, 1973.-239 с.

24. Волошинов, В. В., Королев А. Н., Коссых Ю. В., Коткин Г. Г. Зависимые методы векторной нелинейной оптимизации. М.: ВЦ АН СССР, 1994. -20 с.

25. Вычислительные методы выбора оптимальных проектных решений. / В. С. Михалевич, Н. 3. Шор, JI. А. Галустова и др. Киев: Наук, думка, 1977. -178 с.

26. Гаврилец, Ю. Н. Социально-экономическое планирование (системы и модели).-М.: Экономика, 1974.

27. География инновационной сферы мирового хозяйства. / Под ред. Н. С. Мироненко. М.: «Пресс-Соло», 2000. - 384 с.

28. География мирового хозяйства. / Под ред. Н. С. Мироненко Москва-Смоленск: Изд-во СГУ, 1997. - 272 с.

29. Гермейер, Ю. Б. Введение в теорию исследования операций М.: Наука, 1976. 384 с.

30. Гермейер, Ю. Б. Игры с непротивоположными интересами М.: Наука, 1976. 327 с.

31. Глущенко, К. 77. Пространственное поведение уровней цен // Экономика и мат. методы 2001. - Т. 37. - № 3,2001. - С. 3-13.

32. Голиков, А. И., Коткин Г.Г. Характеристика множества оптимальных оценок задач многокритериальной оптимизации // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1988. - Т.28.-№ 10. - С. 1461-1474.

33. Голыитейн, Е. Г. Теория двойственности в математическом программировании и ее приложения .- М.:, Наука, 1971. 351 с.

34. Гранберг, А. Г. Математические модели социалистической экономики. М.: Экономика, 1978.-351 с.

35. Гранберг, А. Г. Основы региональной экономики: учебник для вузов. М.: ГУ ВШЭ, 2000. - 495 с.

36. Гранберг, А. Г. Суслов В. И., Коломак Е. А. Крупные регионы России: экономическая интеграция и взаимодействие с мировой экономикой: Финальный отчет по гранту фонда Евразия. http://arn.eerc.ru/details/download.aspx?fileid=3870.

37. Гуриев, С. М. Поспелов И. Г., Шапошник Д. В. Модель общего равновесия при наличии транзакционных издержек и денежных суррогатов // Экономика и мат. методы. 2000. - т. 36. - № 1. С. 75 - 90.

38. Давидсон, М.Р. Догадушкина Ю.В., Крейнес Е.М., Новикова Н.М., Удальцов Ю.А., Ширяева JI.H. Математическая модель конкурентного оптового рынка электроэнергии в России // Известия академии наук. Теория и системы управления. 2004. №3. С. 72-83.

39. Дадаян, B.C. Моделирование глобальных экономических процессов. М.: Экономика, 1984.-320 с.

40. Данилов, В.И. Сотсков А.И. Механизмы группового выбора. М.: Наука, 1991.- 175 с.

41. Данилов, В. И. Равновесия в экономиках с перекрывающимися поколениями экономических агентов // Экономика и мат. методы. 1993. - Вып. № 29. -С. 26-38.

42. Данилов-Данильян, В.И. Завельский М.Г. Система оптимального перспективного планирования народного хозяйства. М.: Наука, 1975. - 393 с.

43. Дубов, Ю.А. Травкин С. Я., Якимец В. Н. Многокритериальные модели формирования и выбора вариантов систем. М.: Наука, 1986. - 296 с.

44. Евтушенко, Ю. Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. -М.: Наука, 1982.-432 стр.

45. Евтушенко, Ю. Г. Потапов М. А. Численные методы решения многокритериальных задач // Кибернетика и вычислительная техника. 1987.-Вып. 3.-С. 230-235.

46. Евтушенко, Ю. Г. Потапов М. А. Методы решения многокритериальных задач// ДАН СССР.-Т. 291. -№ 1. 1986.-С. 25-39.

47. Емеличев, В. А. Комлик В. И. Метод построения последовательности планов для решения задач дискретной оптимизации. М.: Наука, 1981. -208 с.

48. Ермольев, Ю. М. Мельник И. М. Экстремальные задачи на графах. Киев: Наукова думка, 1968. 176 с.

49. Зарова, Е. Проживина Н. О региональных факторах российской инфляции // Вопросы статистики. 1997. - № 10. - С. 16 - 22.

50. Зойтендейк, Дж. Г. Методы возможных направлений. М.: Иностранная литература, 1963. - 176 с.

51. Зоркальцев, В.И. Симметричная двойственность. Приложение к моделям электрических и гидравлических цепей. Иркутск: ИСЭМ, 2001. - 41 с.

52. Иванилов, Ю. П. Лотов А. В. Математические модели в экономике. М., Наука, 1979.-С. 304.

53. Иванов, Ю. Н. Токарев В. В., Уздемир А. П. Математическое описание элементов экономики. М.: Физматлит, 1994. - 416 с.

54. Каганович, Б. М. Дискретная оптимизация тепловых сетей. Новосибирск: Наука, 1978.-88 с.

55. Каганович, Б. М. Меренков А. Я., Большее О. А. Элементы теории гетерогенных гидравлических цепей Новосибирск: Наука, 1997. - 120 с.

56. Калаба, Р. Теория графов и автоматическое управление // Прикладная комбинаторная математика. М: Мир, 1968. С.139-158.

57. Канторович, Л. В. Математические методы организации и планирования производства Ленинград: ЛГУ, 1939. - 67 с.

58. Канторович, Л. В. Экономический расчет наилучшего использования ресурсов. М.: Изд-во АН СССР, 1959. - 347 с.

59. Карлин, С. Математические методы в теории игр, программировании в экономике. М.: Мир, 1964. - 840 с.

60. Ю.Карлова, Н. Кобута И., Прокопьев М, Серова Е., Храмова И., Шик О. Агропродовольственная политика и международная торговля: российский аспект. М: ИЭПП. 2001.-194 с.

61. Карманов, В.Г. Математическое программирование. -М.: Наука, 1986. -286 с.

62. Клейнер, Г. Б. Производственные функции: Теория, методы, применение. -М.: Финансы и статистика, 1986.-239 с.

63. Коваленко, А. Г. Элементы выпуклого векторного программирования. -Куйбышев: Куйбышевский государственный университет, 1990. 83 с.

64. Коваленко, А. Г. Овчинников В. Г. Об одной задаче нелинейного программирования // Журн. вычисл. математики и мат. физики 1975. - № 1.-Т.15.- с. 248-251.

65. Коваленко, А. Г. Алгоритмы отыскания оптимальных и всех близких решений в задаче дискретной оптимизации многошаговых процессов // Сборник работ по математической кибернетике Вып.2. М.: Вычислительный Центр АН СССР, 1977. - С. 65-69.

66. Коваленко, А. Г. Саратовкина Л. Г. Об одной задаче проектирования сетей трубопроводов геотермальной воды: тезисы докладов на Всесоюзной конференции «Народнохозяйственные и методические проблемы геотермии.- Часть 2. Махачкала, 1978. - С.46.

67. Коваленко, А. Г. Саратовкина Л. Г. Оптимизация тепловых сетей и скважин, обеспечивающих работу Гео ТЭС. // Режимы потребления и экономические вопросы потребления энергии. Вып.52. - М.: ЭНИН, 1976. -С. 103-113.

68. Коваленко, А. Г. Лихушин Э. К Имитационная система управления процессами поддержания пластового давления. Экспресс-информация // Автоматизация и телемеханизация в нефтяной промышленности. 1984. -Выпуск 10.-С. 22-24.

69. Коваленко, А. Г. Алгоритмы решения некоторых задач оптимизации многошаговых процессов и их применение к расчету нефтегазопроводов. Автореф. дис. канд. физ.-мат. наук -М., 1979. 15 с.

70. Коваленко, А. Г. Хачатуров В. Р. Алгоритмы решения некоторых задач оптимизации многошаговых процессов аппроксимационно-комбинаторным методом I // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. - 1982. - № 1 -С. 3-17.

71. Коваленко, А. Г. Хачатуров В. Р. Алгоритмы решения некоторых задач оптимизации многошаговых процессов аппроксимационно-комбинаторным методом II // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. - 1982. - № 2.- С. 46-55.

72. Коваленко, А. Г. Хачатуров Ю. Р. Об одной задаче размещения технологических устройств // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. - 1985. -№ 2. - С. 178 - 182.

73. Коваленко, А. Г. Об одной задаче размещения предприятий в сетевой постановке // Системы программного обеспечения решения задач оптимального планирования. Тезисы доклада. - М.: ЦЭМИ АН СССР, 1984.-С. 198-199.

74. Коваленко, А. Г. Алгоритмы решения некоторых задач оптимизации многошаговых процессов. Учебное пособие. Куйбышев, 1985. - 71 с.

75. Коваленко, А. Г. Алгоритмы интервалов и их применение для решения задач дискретной оптимизации многошаговых процессов // Теоретические проблемы вычислительных сетей. Совет по комплексной проблеме кибернетики АН СССР. - Куйбышев, 1986. - С. 163-170.

76. Коваленко, А. Г. Возвращающие направления в математическом программировании // Методы математического программирования и программное обеспечение. Свердловск, 1987. - С. 65-66.

77. Коваленко, А. Г. Алгоритмы интервалов и их применение для решения задач оптимизации многошаговых процессов // Кибернетика. № 3. - Киев, 1987. -С. 102-105.

78. Коваленко, А. Г. О математическом моделировании систем инженерного обеспечения города. Прикладные задачи в машиностроении и экономике:тезисы докладов научно-технической конференции. Самара, 1996. -С. 13-14.

79. Коваленко, А. Г. Взаимосвязь задач потокораспределения и идентификации в гидравлических сетях . Известия АН СССР - Энергетика - 1998. - № 6. -С. 98- 104.

80. Коваленко, А. Г. К проблеме анализа гидравлических сетей // Математическое моделирование и вычислительный эксперимент в естественных, гуманитарных и технических науках: сб. научных трудов: т II. Кисловодск, 1998. - С. 43^5.

81. Коваленко, А. Г. О сводимости задач идентификации параметров элементов гидравлических цепей к задачам потокораспределения. Методы оптимизации и их приложения // Труды XI международной Байкальской школы-семинара. Иркутск, 1998. - С. 99 - 102.

82. Коваленко, А. Г. Математические модели рассредоточенного рынка и задача потокораспределения теории гидравлических сетей // Известия РАН. -Теория и системы управления. 2001. - № 4. - С. 87-94.

83. Коваленко, А. Г. О математическом моделировании рассредоточенного рынка // Экономика и мат. методы. 1999. - Т. 35. - № 3. - С. 108 - 115.

84. Коваленко, А. Г. Математические модели межотраслевого баланса в условиях рассредоточенного рынка // Экономика и мат. методы. 2001. - Т. 37.-№2.-С. 92-106.

85. Коваленко, А.Г. О сходимости к состоянию равновесия математической модели однопродуктового рассредоточенного рынка. Обозрение прикладной и промышленной математики // Обозрение прикладной и промышленной математики. М.: ТВП, 2001. - С. 215-216.

86. Коваленко, А.Г. О применении экстремальных методов для отыскания равновесного состояния в математической модели рассредоточенного рынка // Международная конференция математическое моделирование ММ-2001: труды конференции Самара, 2001. - С. 22-24.

87. Коваленко, А.Г. Математические модели однопродуктового рассредоточенного рынка и их исследование // Известия РАН. Теория и системы управления. - 2005. № 3. С. 41-54.

88. Кочетов, Э. Г. Геоэкономика (Освоение мирового экономического пространства): Учебник. М.: Издательство БЕК, 1999. - 480 с.

89. Краснощекое, П.С. Петров А.А. Принципы построения моделей. М.: Изд-во ФАЗИС, 2000. - 411 с.

90. Кругман, Н. Обстфельд М. Международная экономика. Теория и практика. М.: Изд-во МГУ, ЮНИТИ, 1997. 832 с.

91. Кудинов, В. А. Колесников С. В., Коваленко А. Г., Панамарев Ю. С. Разработка компьютерной модели и исследование режимов работы циркуляционной системы Новокуйбышевской ТЭЦ-2 // Известия Академии Наук.-Энергетика.-2001.- №6.-С. 108-114.

92. Лебедев, В.В. Математическое моделирование социально-экономичесчких вопросов. М.: Изограф, 1977. - 224 с.

93. Лебедев, С. С. Методы упорядоченного перебора для задач линейного программирования с булевыми переменными // Математическое программирование. Алма-Ата: Институт экономики АН Каз. ССР, 1969. -вып. 5.-С. 38-118.

94. Левин, М. И. Макаров В. Л., Рубинов A.M. Математические модели экономического взаимодействия М.: Наука, 1993. - 376 с.

95. Леонтьев, В. Межотраслевая экономика. М.: Экономика», 1997. -С. 479.

96. Лурье, А. Л. Экономический анализ моделей планирования социалистического хозяйства. М.: Наука, 1973. - 453 с.

97. Маленво, Э. Лекции по микроэкономическому анализу. М.: Наука, 1985. -390 с.

98. Математическое моделирование и оптимизация систем тепло-, вод о-, нефте- и газоснабжения / А.П. Меренков, Е.В. Сеннова, С. В. Сумароков и др. Новосибирск: Наука, 1992.-407 с.

99. Меренков, А. П. Хасилев В. Я. Теория гидравлических цепей. М.: Наука, 1985.-278 с.

100. Меренков, А. П. Применение ЭВМ для оптимизации разветвленных тепловых сетей. Изв. АН СССР. - Энергетика и транспорт, 1963. - № 94. -С. 531 -538.

101. Михалевич, В. С. Последовательные алгоритмы оптимизации и их применение // Кибернетика. 1965. - № 1. - с.45 — 46; № 2 - с. 85 - 89.

102. Моисеев, Я. Я. Математические задачи системного анализа.- М.: Наука, 1981.-488 с.

103. Никайдо, X. Выпуклые структуры и математическая экономика. М., Мир, 1972.-514 с.

104. Новицкий, Я. Я. Сеннова Е. В., Сухарев М. Г., Коваленко А. Г. и др. Гидравлические цепи. Развитие теории и приложения. Новосибирск: Наука, 2000. -273 с.

105. Новицкий, Я. Я. Оценивание параметров гидравлических цепей. -Новосибирск: Наука, 1998. 214 с.

106. Новожилов, В. В. Проблемы измерения затрат и результатов при оптимальном планировании. М.: Экономика, 1972.-434 с.

107. Оленев, Н.Н. Петров А.А., Поспелов И.Г. Некоторые результаты исследования модели экономики переходного периода. М.: ВЦ РАН, 1997.-47 с.

108. Ощепкова, Т. Б. Оптимизация разветвленных и многоконтурных трубопроводных систем: Автореф. дис. . канд. техн. наук. Новосибирск, 1983.-22 с.

109. Петров, А. А. Поспелов И. Г., Шананин А. А. Опыт математического моделирования экономики. М.: Энергоатомиздат, 1996. - 544 с.

110. Петров, А. А. Поспелов И. Г., Шананин А. А. От Госплана к рыночной экономике: Математический анализ эволюции российских экономических структур. Изд. The Edwin Mellen Press, 1999. - 408c.

111. Петросян, JI. А. Кузютин Д. В. Игры в развернутой форме: оптимальность и устойчивость. СПб.: Изд-во С. ун-та, 2000. - 292 с.

112. Подиновский, В. В. Ногин В. Д. Парето оптимальные решения многокритериальных задач. М.: Наука, 1982. - 256 с.

113. Поспелов, И.Г. Эволюционный принцип в описании экономического поведения: Дис. д-ра физ.-мат. наук. М.: ВЦ АН СССР, 1989. - 253 с.

114. Поспелов, И. Г. Гуриев С. М. Модель общего равновесия экономики переходного периода // Математическое моделирование. 1994. - Т. 6. -№2.-С. 3-21.

115. Полтерович, В. М. Модели равновесного экономического роста // Экономика и мат. методы. 1976. - Т. XII. - Вып. 3.

116. Полтерович, В. М. Равновесные траектории экономического роста // Методы функционального анализа в математической экономике. М.: Наука, 1978.-С. 3-24.

117. Полтерович, В. М. Эффективный равновесный рост при переменном дисконте // Математическая экономика и экстремальные задачи. -М.: Наука, 1984.

118. Полтерович, В. М. Экономическое равновесие и хозяйственный механизм. -М.: Наука, 1990. 265 с.

119. Полтерович, В.М. Оптимальное распределение благ при неравновесных ценах // Экономика и мат. методы. 1995. - т.31. - вып.З.

120. Полтерович, В. М. Экономическое равновесие и оптимум // Экономика и мат. методы. 1973. - Т. IX. - Вып. 5. - С. 835-845.

121. Пространственные структуры мирового хозяйства / Под редакцией Н. С. Мироненко. М.: Пресс-Соло, 1999. - 420 с.

122. Пшеничный, Б.Н. Данилин Ю.М. Численные методы в экстремальных задачах. М.: Наука, 1975. - 320 с.

123. Пшеничный, Б.Н. Расчет энергетических сетей на ЭВМ. Журн. вычисл. математики и мат. физики. - 1962. - №5. - С. 942-947.

124. Пшеничный, Б.Н. О численных методах гидравлического расчета сетей // Первая Всесоюзная конференция по оптимизации и моделированию транспортных сетей: сб. докл., Киев: Ин-т Кибернетики АН СССР. 1967. -С. 77-90.

125. Разумихин, Б.С. Физические модели и методы теории равновесия в программировании и экономике М.: Наука, 1986. - 244 с.

126. Райская, Н. Н Сергиенко Я.В., Френкель А. А. Региональные аспекты инфляционных процессов // Вопросы статистики. 1998. № 10. - С. 41-52.

127. Романовский, И. В. Алгоритмы решения экстремальных задач . М. Наука, 1977.- 352 с.

128. Рубинштейн, А. Г. Моделирование экономического взаимодействия в территориальных системах. Новосибирск: Наука, 1983. - 238 с.

129. Скопин, А. Ю. Введение в экономическую географию: базовый курс для экономистов, менеджеров, географов и регионоведов: учеб. для студ. высш. учеб. заведений. -М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 2001. 272 с.

130. Смирнов, М. М. Метод обратной логической свертки в задачах векторной оптимизации. М.: ВЦ РАН, 1996.

131. Сухарев, А. Г. Тимохов А. В., Федоров В. В. Курс методов оптимизации. -М.: Наука, 1986.-328 с.

132. Сухарев, М. Г. Ставровский Е. Р. Расчеты систем транспорта газа с помощью вычислительных машин. М.: Недра, 1971. - 206 с.

133. Сухарев, М. Г. Ставровский Е. Р. Оптимизация систем транспорта газа. -М.: Недра, 1975.-278 с.

134. TaaupoeaF, Н.Ф. Рынок Поволжья (вторая половина XIX начало XI вв.). - М.: Московский общественный научный фонд; ООО «Издательский центр научных и учебных программ», 1999. - 312 с.

135. Тетерев, А.Г. Методы возможных направлений в математическом программировании. Куйбышев, 1980.-94 с.

136. Трубопроводные системы энергетики: управление развитием и функционированием / Н.Н. Новицкий, Е.В. Сеннова, М.Г. Сухарев, А.Г. Коваленко и др. Новосибирск: Наука, 2004.-461 с.

137. Форрестер, Дж. Мировая динамика. М.: Наука, 1978. - 167с.

138. Хасилев, В. Я. Вопросы технико-экономического расчета тепловых сетей // Проектирование городских тепловых сетей. М.; Л.: Госэнергоиздат, 1957.-С. 52-56.

139. Хасилев, В. Я. Обобщенные зависимости для технико-экономических расчетов тепловых и других сетей // Теплоэнергетика. 1957. - № 1. -С. 28-32.

140. Хасилев, В. Я. Элементы теории гидравлических цепей // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт, № 1. 1964. - С. 69 - 88.

141. Хасилев, В. Я. Элементы теории гидравлических цепей: Автореф. дис. . д-ра техн. наук. Новосибирск: Секция техн. наук Объед. уч. совета СО АН СССР. - 1966. -98 с.

142. Хачатуров, В.Р. Математические методы регионального программирования. М.: Наука, 1989.-304 с.

143. Хачатуров, В. Р., Веселовский В. Е., Злотов А. В., Калдыбаев С. У., Калиев Е.Ж., Коваленко А. Г., Монтлевич В. М., Сигал И.Х., Хачатуров

144. Р. В. Комбинаторные методы и алгоритмы решения задач дискретной оптимизации большой размерности. М.: Наука, 2000. - 360 с.

145. Хикс, Дж. Р. Стоимость и капитал. М.: Прогресс, 1988. - 223 с.

146. Чеканский, А. Н. Фролова Н. Л. Теория спроса, предложения и рыночных структур. М.: Экономический факультет МГУ, ТЭИС, 1999. - С. 421.

147. Черемных, Ю. Н. Математические модели развития народного хозяйства. -М.: МГУ, 1986.-102 с.

148. Шибалкин, О. Ю. Проблемы и методы построения сценариев социально -экономического развития. М.: Наука, 1992. - 172 с.

149. Штойер, Р. Многокритериальная оптимизация. Теория, вычисления и приложения: пер. с англ. М.: Радио и связь, 1992. - 504 с.

150. Экланд, И. Элементы математической экономики. М.: Мир, 1983. -248 с.

151. Юдин, Д. Б. Голъштейн Е. Г. Линейное программирование. Теория и конечные методы. М.: Гос. изд-во физ.-мат. литературы, 1963. - 775 с.

152. Adam, Ostaszewski. Mathematics in Economiks: Model and Methods. -Blackwell, 1993.- 544 p.

153. Aliprantis, C. D. Brown D. J. Equilibria in markets with a Riesz space of commodities. J. Math. Econ. 11 (1983) - P. 189 - 207.

154. Aliprantis, C. D. Brown D.J., Burkinshaw O. Existence and Optimality of Competitive Equilibria. Springer-Verlag, Berlin/New- York, 1989 - 284 p.

155. Aumann, R. J. Existence of competetive equilibria in markets with a continuum of trades, Econometrika, 1966. 34. - № 1. - P. 1 - 17.

156. Arrow, K.J. Hahn F.H. General competitive analysis. San Francisco, Holden Day, 1971.

157. Arrow, K. J. Debreu G. Existence of equilibrium for a competitive economy. // Econometrica, 1954. 22. - P. 265 - 290.

158. Barro, R. J. Grossman H. A general disequilibrium model of income and employment// Amer. Econ. Rev. 1971. Vol. 61. - № 1. - P. 82 - 93.

159. Balassa, В. Trade Creation and Diversion in the European Common Market: an Appraisal of the Evidence // European Economic Integration, 1974. -P. 93- 135.

160. Bellman, R. Kalaba R. On k-th Best Policies //J. Soc. Ind. Appl. Math. 1960. -№8.-P. 582-588.

161. Berkowitz, D. DeJong D.N., Husred S. Quantifying Price Liberalization in Russia// J. of Comparative Economics 1998. - V. 26. - № 4. - P. 735 - 760.

162. Benassy, J.-P. Neo-Keynesian disequilibrium theory in a monetary -economy // Rev. Econ. Stud. 1975. Vol. 42. - № 132. - P. 503 - 523.

163. Bergstrand, J. The Gravity Equation in International Trade: Some Microeconomic Foundations and Empirical Evidence. The Review of Economics and Statistics. 1985, № 3. P. 474 - 81.

164. Bergstrand, J. The Generalized Gravity Equation, Monopolistic Competition and the Factor-Proportions Theory in International Trade // The Review of Economics and Statistics. 1989, № 1. P. 143 - 153.

165. Bertele, U. Brioshi F. Nonserial dynamic programming, N.Y., Acad. Press., 1972.-235 p.

166. Bewley, T. Existence of equilibria in economies with infinitely many commodities // J. Econ. Theoiy 4,1972. P. 514 - 540.

167. Brada, J. MendezJ. Economic Integration among Developed, Developing and Centrally Planned Economics: a Comparative Analysis // The Review of Economics and Statistics. 1985. № 4. - P. 549 - 56.

168. Caves, R. FrankelJ., Jones R. World Trade and Payments, 1992.

169. Granberg, A. Suslov V, Kolomak E. Russian «Macro-regions»: Economic integration and interaction with the world economy: Final Report. -M., 1997. -40 p.

170. Danilov, V.I. Koshevoy G.A. Discrete convexity and equilibria in economics with indivisible goods and money. // Math. soc. Sciences 41. 2001.

171. Danilov, V.I. Koshevoy G.A. Substitutes and complements in two-sided market models. / Advances in Economic Theory Springer Verlag, 2003.

172. Debreu, G. Theory of value, John Wiley, New York, 1959. 114 p.

173. Deghdak, M. Florenzano M. Decentralizing Edgeworth equilibria in economies with many commodities // Economic Theory 14, 1999. P. 297-310.

174. Peter, A. Diamond. On Time. Lectures on Models of Equilibrium. -Cambridge University Pres, 1994. 100 p.

175. Dixon, P. B. Parmenter B. R., Sutton J. Vincent D. P. ORANI: a Multisectoral Model of The Australian Economy, Amsterdam: North Holland. 1982.

176. Dreze, J. Existence of an exchange equilibrium under price rigidities// Intern. Econ. Rev. 1975. Vol. 16, № 2. P. 301 - 320.

177. Engel, C. Rogers J. H. How Wide Is the Border // American Economic Rev. 1996. V. 86. №5.-P. 1112-1125.

178. Evtushenko, Yu G., Moretti A., Zhadan V. G. Newton ' s steepest descent for linear programming. In «Dynamics of non homogeneous systems» (Editor Yu. S. Popkov), Russian Academy of Sciences Institute for System Analysis, Vol. 2, 1999.-P. 86- 108.

179. Evstigneev, I. V Taksar M.I. Stochastic equilibria on graphs, I, 1994, Journal of Math. Economics, v.23, 401-433; II, Journal of Math. Economics, v.24. P. 383-406.

180. Fock, A. Weingarten P., Wahl O., Prokopiev M. Russian's Bilateral Agricultural trade; Russian's Agro-food Sector. Towards Truly Functioning Markets. Kluwer Academic Publishers, 2000.

181. Gardner, B. Brooks K. N. Food Prices and Market Integration in Russia: 19921994// American J. of Agricultural Economics. 1994. - V. 76. -P. 641 -646.

182. Geanakoplos, J. D. An introduction to general equilibrium with incomplete assets markets, J. Math. Econ. 19,1990, P. 1 38.

183. Geanakoplos, J. D. Polemarchakis H. M. Overlapping generations, In: Hildenbrand W., Sonnenschein H. (eds.): Handbook of Mathematical Economics, Vol. IV, North-Holland, Amsterdam, 1991, P. 1899-1960.

184. Handbook of mathematical economics/ Ed. K. J. Arrow, M. D. Intrilligator. Amsterdam etc.: North-Holland. 1982. Vol. 2.

185. Handbook of mathematical economics / Ed. K. J. Arrow, M. D. Intrilligator. Amsterdam etc.: North-Holland, 1986. Vol. 3.

186. Harker, P.T. Pang J.-S. Finite-dimensional variational inequality and nonlinear complementari problems: a survey of theory, algorithms and applications // Math. Programming. 1990. - V.48, №2. - P.161 - 220.

187. Jae, Wan Chung. Utilility and Production Functions. Blackwell. 1993, 224 c.

188. Jones, Ronald W. The Structure of Simple General Equilibrium Models. Journal of Political Economi 73,1965. P. 557 - 572.

189. Kally, E. Computerised planning of the least cost water distribution network.— Water and Sewage Works. Reference Number, 1972, Aug. 31. P. 121-127.

190. Krugman, P. Intra-industry Specialization and the Gain from Trade. Journal of Political Economy, 1981. P. 959 - 974.

191. Krugman, P. ObstfeldM. International Economics: Theory and Policy. 2004. - 502 p.

192. Krugman, P. Geography and Trade. Cambridge: MIT Press, 1991.

193. Lewis, Jeffrey D. From stylized to applied Models: Bulding Multisector CGE Models for Polucy Analysis. Working Paper No.616. University of California, Berkeley. 1991.-P. 5-38.

194. Masell, M. Shafer W. Incomplete markets, In: Hildenbrand, W., Sonnenschein, H. (eds.): «Handbook of Mathematical Economics», Vol. IV, Amsterdam: North-Holland, 1991.-P. 1523-1614.

195. Mas-Colell, A. The price equilibrium existence problem in topological vector lattices, Econometrica 54,1986, P. 1039 1053.

196. Mas-Colell, A. Richard S. F. A new approach to the existence of equilibria in vector lattices, J. Econ. Theory 53, 1991.

197. Mas-Colell, А. Хаме, W. Equilibrium theory in infinite dimensional spaces, In: Hildenbrand, W., Sonnenschein, H. (eds.): Handbook of Mathematical Economics, Vol. IV, North-Holland, Amsterdam, 1991.

198. McKenzie, L. W. On equilibrium in Graham's model of world trade and other competitive systems//Econometrica. 1954. Vol. 22, № 1.

199. De Masi, P. Коеп У. Relative Price Convergence in Russia // IMF Staff Papers. 1996. V. 43. №1.-P. 97-106.

200. Kilkenny, M. Computable General Equilibrium Modeling of Agricultural Policies: Documentation of the 30-Sector GAMS Model of the United States. Staff Report, No. AGES9125 Washington, D.C. ERS USDA.

201. Konovalov, A. Marakulin V.M. Equilibria without the survival assumption: a non-standard analysis approach, Center Discussion Paper № 2001-34, Center, Tilburg (electronic form).http://www.math.nsc.ru/~mathecon/Marakulin/SelectPUBL/EquilibriaWSA.pdf.

202. Kreps, D.M. Arbitrage and equilibrium in economies with infinitely many commodities, J. Math. Econ. 8 (1981), P. 15 35.

203. Linnenman, H. An econometric study of international trade flows. Amsterdam, 1966.

204. McCabe, K.A. Rassenti S.J., SMITH V.L DESIGNING 'SMART COMPUTER-ASSISTED MARKETS. An Experimental Auction for Gas Networks. Journal of Political Economy 5. North-Holland, 1989. - P. 259 - 283.

205. Mitten, L. Nemhauser G. Multistage Optimization. "Chen. Eng. Prog.", 1963.-P. 59.

206. Murty, K.G. Solving the fixed charge problem by ranking the extreme points. "Oper. Res.", 16, 1968,268-279.

207. Nagurney, A. Network Economics: A Variational Inequality Approach. Dordrecht/Boston/London: Kluwer Academic Publishers, 1993. 326 p.

208. Nagurney, A. Dong, J., Zhang D. Multicriteria Spatial Price Networks: Statics and Dynamics // Presented at the 5th International Conference on Electronic Commerce Research, Montreal, Canada Oct.,2002.

209. Nagurney, A. Dong J., Mokhtarian P. Traffic Network Equilibrium and the Environment: A Multicriteria Decision-Making Perspective I I Computational Methods in Decision-Making, Economics and Finance, Kluwer Academic Publishers-2002.

210. Nagurney, A. Ke Ke Financial Networks with Electronic Transactions: Modeling, Analysis, and Computations // Presented at the 5th International Conference on Electronic Commerce Research, Montreal, Canada Oct.,2002.

211. Nagurney, A. Dong 3., Mokhtarian P. Integrated Multicriteria Network Equilibrium Models for Commuting versus Telecommuting // Presented at the 5th International Conference on Electronic Commerce Research, Montreal, Canada -Oct.,2002.

212. Obstfeld, M. Taylor A.M. Nonlinear Aspects of Goods-Market Arbitrage and Adjustment: Heckscher's Commodity Points Revisited // J. of the Japanese and International Economies. 1997. V. 11.

213. Parsley, D.C. Wei Sh.-J. Convergence to the Law of One Price without Trade Barriers or Currency Fluctuations // Quarterly J. of Economics. 1996. V. 111. №4.

214. Peleg, В. Yaari, M.E. Markets with countably many commodities, Int. Econ. Review 11, 1970, P. 369-377.

215. Podczeck, K. Equilibria in vector lattices without ordered preferences or uniform properness, J. Math. Econ. 25, 1996, P. 465 485.

216. Pollack, M. The k-th Best Route through a Network. "Operations Res.", 9, 1961.-P. 578-580.

217. Polterovich, V. Gross Substitutability of Point-to-Set Corespondences. Journal of Mathematical Economics, 1983. №2. - Vol.11.

218. Polterovich, V. Schumpeterian Dynamics as a Nonlinear Wave Theory. Journal of Mathematical Economics. 1991. - Vol.20.

219. Polterovich, V. Rationing, Queues and Black Markets. Econometrica, 1993. -№1.- Vol.61.

220. Polterovich, V. Henkin G. A difference-differential analogue of the Burgers equation and some models of economic development. Discrete and Continuous Dynamical Systems, 5, No.4, October 1999. P. 697-728.

221. Poyhonen, P. A tentative model for the volume of trade between countries. -Weltwirtschaftliches Archiv. Bd. 90, Hf. 2. Hamburg, 1963.

222. Radner, R. Equilibrium under uncertantly, In: Arrow K.J. and Intriligator M.D. (eds.): Handbook of Mathematical Economics, Vol. II, North-Holland, Amsterdam, p. 923 1006.

223. Richard, S.F. Srivastava S. Equilibrium in economies with infinitely many consumers and infinitely many commodities, J.Math. Econ. 17,1988. P. 9 - 21.

224. Robinson, S. Kilkenny M., Hanson, K. The USDA/ERS Computable General Equilibrium (CGE) of The United States. No. AGES9049 Washington, D.C. ERS USDA.

225. Robson, P. The Economics of International Integration. 1987.

226. Samuelson, P. The Transfer Problem and Transport Costs: Analysis of Effects of Trade Impediments // Economic J. 1954. V. 64.

227. Samuelson, P. Intertemporal price equilibrium: a proloque to the theory of speculation," Weltwirtschaft- liches Archiv 79 ,1957. P. 181-219.

228. Samuelson, P. Spatial price equilibrium and linear programming, American Economic Review 42. 1952. - P. 283-303.

229. Sodestren, D. Reed G. International and Economics. 1994.

230. Thomas, Hertel W. Global Trade Analysis. Modelling and application. Cambridge University Press. 1997.

231. Taylor, C. Reichelderfer K., Johnson S. Agricultural Sector Models for United States. Iowa State University Press, Ames. 1993.

232. Tinbergen, J. Shaping the World Economy: Suggestions for an International Economic Policy. 1962.

233. Tourky, B. A new approach to the limit theorem on the core of an economy in vector lattices, J. Econ. Theory 78,1998. P. 321 - 328.

234. STruman, E. The Effects of European Economic Integration on the Production and Trade of Manufactured Products. European Economic Integration. 1975.

235. Varian, H.R. Microeconomic Analysis (third edition), New York & London, 1992.

236. Vasarhelgi, P. An ezperiment to forecast foreign trade by a refinde gravity model and with the help of one variant of the RAS method. ECE, 1970.

237. Vasin, A. Durakovich, Vasina P. Cournot equilibrium and competition via supply functions, Came Theory and Applications, Nova Science Publishers, vol. 9. New York, 2003. - P. 181-191.

238. Vickeiman, R. The Single European Market: Prospects for Economic Integration. 1992.

239. Vernon, O. Roningen. A Static World Policy Simulation (SWOPSIM) Modeling Framework. Staff Report No.AGES860625. Washington, D.C. ERS USDA. 1986.

240. Wilson, C.A. Equilibrium in dynamic models with an infinity of agents, J. Econ. Theory 24, 1981. P. 95 - 111.

241. Younes, Y. On the role of money in the process of exchange and the existence of a non-walrasian equilibrium // Rev. Econ. Stud. 1975. Vol. 45, № 132.

242. Zontendijk, G. Methods of Feasible Directions, Amsterdam. Elsevier Publishing Co., Amsterdam, Holland, 1960.