Ренормгрупповой анализ магнитных и структурных фазовых переходов в кристаллах со сложными видами упорядочения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.07, кандидат физико-математических наук Варнашёв, Константин Борисович

• Варнашёв, Константин Борисович
• кандидат физико-математических наук
• 2002

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Варнашёв, Константин Борисович

Введение

Глава 1. Фазовые переходы в кристаллах с многокомпонентными параметрами порядка. Предсказания низших приближений метода РГ

1.1. Исследуемые материалы и модельный гамильтониан

1.2. Анализ критического поведения многоподрешёточных антиферромагнетиков методом е-разложения в двухпетлевом приближении

1.3. Метод РГ в пространстве фиксированной размерности

1.4. Анализ критического поведения многоподрешёточных антиферромагнетиков методом РГ в трёхмерном пространстве: двухцетлевое приближение

Глава 2. Исследование критического поведения модели методом е-разложения в трёхпетлевом приближении

2.1. Размерная регуляризация и MS схема.

2.2. /^-функции ж критические индексы в трёхпетлевом приближении. Фиксированные точки и их устойчивость

2.3. Структура рядов для индексов устойчивости "уникальной" фиксированной точки: двухкратное вырождение и у/ё разложение. Критическая размерность поля ПП

2.4. Суммирование расходящихся рядов методом преобразования Бореля с конформным отображением. Численные оценки значений критических индексов.

Глава 3. Исследование критической термодинамики модели методом РГ в трёхмерном пространстве: трёхпетлевое приближение

3.1. РГ разложения для/^-функций

3.2. Фиксированные точки и структура трёхмерной фазовой диаграммы

3.3. РГ разложения для критических индексов. Численные оценки и сравнение результатов с предсказаниями е разложения.

3.4. Качественные предсказания и количественный уровень точности теории в трёхпетлевом приближении.

Задачи для дальнейших исследований

Глава 4. Новый подход к суммированию расходящихся рядов теории поля. Численные оценки значений критических индексов кубического ферромагнетика в трёхмерном пространстве

4.1. Описание метода и его тестирование на пробных функциях и в простых квантово-механических задачах

4.2. Численные оценки значений критических индексов в некоторых анизотропных моделях с кубической и тетрагональной симметрией.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Ренормгрупповой анализ магнитных и структурных фазовых переходов в кристаллах со сложными видами упорядочения»

Из эксперимента известно, что при подходе к критической точке восприимчивость системы неограниченно возрастает. Другие термодинамические величины, такие как теплоемкость, намагниченность или сечение рассеяния медленных нейтронов также обнаруживают характерное аномальное поведение в точке магнитного упорядочения, причем для различных магнетиков эти аномалии сходны и хорошо описываются степенными законами. Сингулярности различных термодинамических функций являются прямым следствием появления в критической точке сильных флуктуации некоторых термодинамических переменных, называемых параметрами порядка (ПП). Эти флуктуации простираются на большие расстояния и очень медленно затухают. Область исследования, связанную с изучением описанных выше явлений называют теорией критического поведения, ставшую сегодня самостоятельным разделом физики. Основная задача теории критических явлений состоит в описании свойств веществ самой различной природы в области сильно развитых термодинамических флуктуации параметра порядка. Причем речь идет не только о качественном описании поведения системы, но и о вычислении степени расходимости каждой из термодинамических величин, то есть величин критических индексов. Последняя задача является наиболее трудоемкой.

В основе теории критических явлений лежит универсальность, суть которой состоит в том, что различные по своей природе физические системы демонстрируют практически одинаковое критическое поведение. Системы, проявляющие одинаковое критическое поведение, объединяют в один класс универсальности. Согласно гипотезе универсальности, верной для всех фазовых переходов второго рода, поведение систем, принадлежащих одному классу универсальности, определяется исключительно общими свойствами системы, а именно размерностью пространства, симметрией задачи, природой параметра порядка и общим характером взаимодействия, но не зависит от микроскопических деталей.

Первой теорией критического поведения, естественно включающей в себя универсальность, явилась теория самосогласованного поля, созданная Ландау в 1937 году [1, 2, 3, 4]. Ландау отметил общую черту всех фазовых переходов П-го рода, а именно, в точке фазового перехода происходит спонтанное нарушение симметрии системы. Качественной и количественной характеристикой, определяющей степень нарушения симметрии в несимметричной фазе, является в теории Ландау параметр порядка <р (поле упорядочения). В магнетиках, например, в качестве параметра порядка естественно взять намагниченность, а в сегнетоэлектриках - вектор спонтанной поляризации. Комплексная скалярная функция ф - волновая функция конденсата сверхпроводящих электронов - играет роль параметра порядка в сверхпроводниках и сверхтекучем гелии. Однако далеко не во всех случаях параметр порядка можно интерпретировать как наглядную физическую величину, напротив, зачастую это весьма нетривиальная обобщенная характеристика системы.

Математический аппарат теории самосогласованного поля опирается на два простых постулата: во-первых, равновесное значение параметра порядка (ро может быть получено из условия минимума свободной энергии /,'{с/)(х)}, являющейся функционалом от <р, а также других переменных (магнитного поля, температуры и т.д.), определяющих состояние системы и во-вторых, предполагается, что функционал /^{^(х)} является аналитичным по всем переменным вблизи точки фазового перехода. Последнее означает, что F{c/>(x)} раскладывается в ряд Тейлора по малым отклонениям параметров от их критических значений. В силу малости отклонений в разложении достаточно удержать лишь небольшое число первых членов. Таким образом, для заданной симметрии задачи и фиксированного набора переменных функционал Ландау определяется однозначно, в чем и состоит универсальность.

Теория самосогласованного поля, являясь простейшей теорией критического поведения, дала определенные предсказания относительно аномалий термодинамических функций в критической точке. Однако теория Ландау пригодна лишь до тех пор, пока мы находимся хотя и вблизи, но не на столько близко к критической точке, что флуктуации параметра порядка становятся существенными и начинают играть заметную роль в критическом поведении системы. Ряд экспериментов с различными газами, выполненные Гугенгеймомв середине 40-х годов XX века [5], а также точное решение двумерной модели Изинга [6], найденное Онзагером в 1944 году [7], отчетливо продимонстрировали тот факт, что предсказания теории самосогласованного поля неточны; аномальное поведение термодинамических функций управляется степенными законами, но с показателями, отличными от тех, которые предсказывает теории Ландау. Критерий применимости теории Ландау был сформулирован в работах Леванюка [8] и Гинзбурга [9]. Его физический смысл заключается в следующем: пока флуктуации в объеме с линейным размером гс (радиус корреляции) малы по сравнению с характерной равновесной величиной у о, теорией самосогласованного поля Ландау можно пользоваться, в противном случае термодинамический подход неприменим. Количественной характеристикой критерия является безразмерный параметр, называемый числом Гинзбурга & и представляющий собой константу для данного вещества. Если 01 « 1, теория Ландау применима, если & » 1, для описания критических явлений необходимо использовать существенно иные методы.

Прогресс в области экспериментальных и теоретических исследований критических сингулярностей в 60-х годах прошлого столетия, убедительно продемонстрировавший расхождение в поведении критических индексов с предсказаниями теории Ландау, немало способствовал утверждению идеи об определяющей роли крупномасштабных флуктуаций для всей проблематики фазовых превращений вблизи критической точки. Феноменологически описать влияние флуктуаций удалось с помощью термодинамической гипотезы подобия (гипотезы критического скейлинга) Домба-Хантера-Вайдома-Каданова-Патаптнского-Покровского [10, 11, 12, 13, 14, 15, 16]. Суть гипотезы подобия состоит в предположении, что ответственные за критические сингулярности части свободной энергии и корреляционных функций можно считать обобщенными однородными функциями некоторой комбинации термодинамических переменных, через критические размерности которых однозначно выражаются все остальные индексы. Например, в случае магнетиков такими переменнными являются приведённая температура т = (Т — Тс)/Тс и внешнее магнитное поле к. Гипотеза подобия критических флуктуаций позволила связать известные соотношения между критическими индексами с поведением всех корреляционных функций в точке фазового перехода и естественным образом объяснить широкий круг критических явлений. Сегодня мы располагаем множеством экспериментальных подтверждений термодинамической гипотезы подобия [17, 18].

Важнейшим постулатом современной теории критического поведения является возможность подмены точной (микроскопической) модели флуктуационной и забывание системой "затравочных" зарядов в критической области. Флуктуационная модель уже содержит в себе универсальность (функционал Ландау) и, кроме того, она учитывает флуктуации, поскольку оперирует не со средним значением параметра порядка, а с некоторым случайным полем </?(х). С математической точки зрения, теория классического случайного поля полностью эквивалентна квантовой теории поля в евклидовом пространстве: вариационный функционал Ландау на языке теории поля есть функционал действия модели. Следовательно, оказывается естественным использовать для вычисления, скажем, корреляционных функций или критических индексов хорошо разработанный аппарат теории поля, такой как, функциональное интегрирование, разложение в ряды теории возмущений с помощью диаграмной техники Фейнмана, перенормировку и устранение расходимостей и т.п. Однако в близкой окрестности точки фазового перехода, когда сильно развитые взаимодействующие флуктуации определяют свойства системы, а флуктуационные поправки уже не малы, мы имеем дело с теорией поля, в которой малый параметр отсутствует. Проблеммы теории поля без малого пораметра общеизвестны. В частности, представление наблюдаемых физических величин, скажем, критических индексов, диа-грамными рядами по теории возмущения, может оказаться просто бессмысленным. Именно поэтому вычисление критических индексов (аномальных размерностей термодинамических функций) оставалось практически недоступной задачей вплоть до 1972 г.

Новые идеи, в основе которых лежала гипотеза критического скейлинга, были предложены в работах американских физиков Вильсона и Фишера. Для решения проблемы сильновзаимодействующих флуктуации в непосредственной близости от точки фазового перехода, Вильсон [19] предложил использовать метод ренормали-зационной группы1 (РГ), а для вычисления критических индексов Вильсон и Фишер [20, 21] разработали изящную математическую процедуру, метод е-разложения (е = 4 — В - малое отклонение от четырёхмерности пространства), которая широко используется сегодня для решения задач теории критического поведения в самых различных областях физики.

Метод РГ, предложенный Вильсоном, впервые открыл возможность аналитических вычислений приближенных значений критических индексов и уравнений состояния, позволил проанализировать условия устойчивости реальных физических систем [22, 23]. Это был метод последовательного исключения большого числа степеней свободы флуктуирующего поля ж сведения задачи к вычислению статистической суммы системы крупных блоков. Однако исторически первый вариант метода РГ, основанный на теоретико-полевом подходе, был открыт в релятивистской квантовой теории поля еще в середине 50-х годов Штюкельбергом и Петерманом [24, 25], а также Гелл-Манном и Лоу [26] и позднее развит в работах Боголюбова и Ширкова [27, 28, 29, 30, 31]. Применительно к теории фазовых переходов, теоретико-полевой подход был сформулирован в работе Паташинского и Покровского [14, 15] и затем развит в работах Полякова [32] и Мигдала [33], а также Ди-Кастро и Йона-Лазинио [34, 35]. Теоретико-полевой вариант метода РГ оказался более конструктивным. Кроме того, он обладает высокой степенью автоматизма и, следовательно, является наиболее удобным для вычисления различных корреляционных функций, уравнений состояния и вкладов высших приближений. Именно теоретико-полевой подход метода РГ выбран в качестве основной процедуры вычислении в данной диссертационной работе.

1 Ренормализ анионную группу можно определить как совокупность преобразований симметрии (они образуют полугруппу), выполняемых в некотором параметрическом пространстве, которые оставляют сложные макроскопические системы инвариантными в критической точке, но в отличие от простых преобразований симметрии, таких, как трансляции или вращения, преобразования РГ обладают некоторыми специфическими свойствами.

Отметим, что существует альтернативный способ нахождения критических индексов и других универсальных характеристик - это метод высокотемпературных разложений (ВТ), решёточный подход, в котором различные термодинамические функции - теплоемкость, восприимчивость, спонтанная намагниченность в магнетиках или спонтанная поляризация в сегнетоэлектриках и прочее - представляются в виде рядов по степеням обратной температуры, 1 ¡Т. Основы метода были сформулированы в работах Домба, Сайкса, Фишера, Стенли и Вортнса и подробно изложены в обзорах Ричи и Фишера [36], Домба [37] и других авторов [38]. В рамках метода высокотемпературных разложений все вычисления в конечном счете сводятся к решению сложных комбинаторных задач. Разработка новых графических методов, дающих возможность генерировать вклады высших порядков по 1 /Т [39, 40, 41, 42, 43], а также использование мощных ЭВМ позволили получить для простых моделей фазовых переходов ВТ разложения, насчитывающие несколько десятков членов. Так для трехмерных моделей Изинга и Гейзенберга ВТ ряды для восприимчивости х известны сегодня до 25-го [43] и 21-го [44, 45, 46, 47] порядков по 1/Г, соответственно. Для планарного магнетика, принадлежащего к ХУ классу универсальности, получены 20 вкладов [48, 49, 50]. Для модели, описывающей критические явления в полимерах [0(п)~симметричная модель с числом компонент параметра порядка равным нулю, п = 0], ряд для восприимчивости вычислен до 26 порядка по 1/Т [51]. В случае же двумерных систем ВТ разложения известны с максимальной точностью, порядка (1/Т')30 [52, 53]. Решеточный подход в совокупности с использованием простых процедур обработки полученных рядов обеспечил достаточно высокий уровень точности оценок критических индексов базовых моделей фазовых переходов [44,45, 47, 54]. Однако он не нагляден, то есть не связан с физической картиной фазового перехода, и в нем не просматривается факт универсальности. Напротив, метод РГ обладает и непосредственной связью с картиной масштабной инвариантности флуктуации, и у нивер сально стью.

В полевом подходе различают приближенные и точные преобразования РГ [22], которые математически выражаются через рекуррентные формулы или через дифференциальные уравнения. Важную роль в обосновании и развитии метода теоретико-полевой РГ, и в частности метода £-разложения Вильсона-Фишера, сыграли работы Каллана [55] и Симанзика [56, 57], а также работы французских теоретиков Брезана, Ле-Гийо и Зинн-Жюстэна [58, 59, 60]. Практически сразу же в рамках теоретико-полевого подхода был предложен другой эффективный способ вычисления критических индексов - разложение по степеням константы связи д эффективного гамильтониана модели при фиксированной размерности пространства, обычно И = 2 или Б = 3 [61]. Преимущества обоих методов - теоретико-полевой РГ в 2) = 4 — £ измерениях и в пространстве фиксированной размерности - особенно наглядно проявляются при расчёте высших порядков в перенормированной теории возмущения. Действительно, в обоих схемах РГ функции в форме рядов по е или д вычисляются через так называемые константы ренормировки которые не зависят от таких переменных, как координата или импульс, и поэтому являются гораздо более простыми объектами, чем корреляционные функции, используемые в технике Вильсона. Наконец отметим, что способы вычисления универсальных величин, определяющих характер фазовых переходов, в рамках теоретико-полевой РГ сегодня черезвычайно разнообразны. Так для некоторых моделей, наряду со стандартным разложением Вильсона до параметру е или по константам связи эффективного гамильтониана, строят 2 + е разложение по параметру е = О — 2 или ^ разложение по обратному числу компонент ПП. Детальное изложение идей и методов теоретико-полевой РГ, а также их приложение к различным задачам статистической физики можно найти в обзорах Фишера [62], Уоллеса и Зиа [63], Брезана, Ле-Гийо и Зинн-Жюстэна [60], а также в современных монографиях Амита [64], Зинн-Жюстэна [65] и Васильева [66]. Там же собраны многочисленные экспериментальные данные и результаты, полученные в рамках существенно отличных теоретических подходов, включая методы компьютерного моделирования на решётках. Таким образом, техника РГ сегодня является одним из наиболее мощных методов исследования широкого круга задач в теории критического поведения. По сути дела она представляет собой новый язык, не менее универсальный, чем теория самосогласованного поля

Ландау, но гораздо более гибкий и обладающий большей предсказательной силой.

Стремительное развитие методов РГ, с одной стороны, и обширное использование техники РГ в теории критического поведения - с другой, в 70-х и 80-х годах прошлого столетия, привели к тому, что сегодня критическое поведение простых (базовых) моделей фазовых переходов, описываемых изотропными теориями поля, в целом можно считать хорошо изученным. В частности, установлено, что критические явления в полимерах, в одноосных ферромагнетиках, в простых жидкостях и бинарных сплавах, в планарных ферромагнетиках и в некоторых сверхпроводниках, а также в сверхтекучем гелии-4, в гейзенберговских ферромагнетиках и в кварк-глюонной плазме некоторых моделей квантовой хромодинамики управляются 0(гг)-симметричным классом универсальности со значениями компонент параметра порядка равными п = 0,1,2,3,4 соответственно. Теоретико-полевые РГ разложения в больших порядках (до еъ в методе ^-разложения и до д6, д1 в методе РГ в трёхмерном пространстве) совместно с надлежащими процедурами пересуммирования асимптотических рядов, а также высокотемпературные разложения и высокопрецизионные компьютерные вычисления на решётках обеспечили достаточно точные и сопоставимые друг с другом численные оценки критических индексов, универсальных констант связи и отношений критических амплитуд, которые сегодня считаются каноническими [65, 67, 68, 69, 70, 71, 72].

Однако в реальных кристаллах, в следствие их сложной кристаллографической структуры, всегда имеется какая-либо анизотропия. Это означает, что для адекватного описания критических свойств реальных веществ необходимо использовать обобщённые функционалы Ландау, включающие помимо изотропного взаимодействия 1 инвариантного относительно группы вращения в трёхмерном пространстве, другие инварианты четвёртого порядка, явно учитывающие специфическую для данного вещества анизотропию взаимодействия2 [73]. Простейшей кри

2В диссертации мы рассматриваем модели с изотропным коррелятором. Влияние анизотропии коррелятора на критические свойства фазового перехода в кубическом кристалле изучено в работе Наттермана и Тримпера [79] сталлографической анизотропией, нарушающей вращательную симметрию, является кубическая анизотропия. Так в кубическом ферромагнетике вектор намагниченности направлен преимущественно либо вдоль рёбер га-мерного куба, либо вдоль его главных диагоналей. Соответствующее взаимодействие, которое необходимо добавить в функционал Ландау, имеет вид Расширенная теория, определяемая теперь гамильтонианом с двумя константами связи, может обнаруживать фазовый переход И-го рода, характеризуемый либо тривиальными изотропными, либо нетривиальными кубическими критическими индексами. Установлено, что обнаружение нового кроссоверного режима между этими двумя возможными сценариями напрямую зависит от числа компонент п параметра порядка и достигается при некотором пограничном значении пс.

Исследование критических явлений в трёхмерных кристаллах с кубической симметрией методом РГ имеет долгую история. Оно было начато в классических работах Вильсона и Фишера [20, 21], Аарони [74], Кетли и Уоллеса [75, 76], Люксютова и Покровского [77], Брюса [78], а также Наттермана и Тримпера [79], выполненных ещё в начале 70-х годов прошлого века. Однако вопрос о том, какой режим критического поведения в действительности реализуется долгое время оставался неясным [80, 81, 82, 83]. Лишь в последнее десятилетие, и в особенности совсем недавно, в серии работ, основанных на теоретико-полевой РГ в больших порядках совместно с надлежащими процедурами пере суммирования расходящихся рядов [84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91], удалось убедительно показать, что фазовые переходы в кубических ферромагнетиках принадлежат к кубическому классу универсальности и, следовательно, их критическая термодинамика управляется нетривиальными критическими индексами. Важно отметить, что в ходе этих исследований в рамках различных теоретико-полевых РГ подходов и пересуммировочных процедур было достигнуто замечательное согласие не только качественных, но и количественых результатов [88, 89, 90, 91]. С другой стороны, высокопрецизионные расчёты на решётках методом Монте Карло всё ещё не обеспечивают надлежащий уровень качественных и количественных предсказаний [92].

Не менее впечатляющи успехи РГ в исследовании статических и динамических критических свойств слабо разупорядоченных систем с замороженными равновест-ными [93, 89, 90] и неравновестными [94, 95, 96, 97, 98, 99, 100,101,102, 84, 85,103, 104, 89, 105, 106, 107] примесями, другими дефектами [108, 109, 110, 111, 112, 113], а также в теории сильно развитой турбулентности и стохастической динамике [66, 114]. Наконец, в рамках различных формулировок метода РГ (е разложение, ^ разложение, РГ в пространстве фиксированной размерности, метод "точной" РГ и РГ расчёты на решётках методом Монте Карло) сегодня активно исследуется критическое поведение фрустрированных спиновых систем с неколлинеарным порядком, описывающих фазовые переходы в слоистых треугольных антиферромагнетиках и геликоидальных магнетиках [115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 124, 125, 123, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 54], а также полевых моделей, описывающих критические явления в необычных (unconventionalf) сверхпроводниках с нетривиальными видами спаривания (d- and р- wave pairing) [тяжело-фермионные и высокотемпературные сверхпроводники [139, 140, 141, 142, 143, 124]]. Критические индексы для большинства из этих моделей были вычислены с рекордной на сегодняшний день точностью.

Между тем существуют более сложные модели, флуктуационные гамильтонианы которых содержат три и более независимых членов взаимодействия, ассоциированных с различными кристаллографическими симметриями. При этом полем ПП является и-компонентный вещественный или комплексный вектор преобразующийся по неприводимым представлениям пространственных групп преобразований. Полная классификация эффективных гамильтонианов А</>4-теории, имеющих отношение к фазовым переходам в кристаллах с 4-х компонентным ПП и учитывающая различные типы пространственной анизотропии, была дана на основе группового подхода в работе Толедано и др. [144]. Критическое поведение 22-х различных эффективных гамильтонианов было изучено методом с-разложеншг до второго порядка по е включительно. Детальный анализ структуры фазовых диаграмм вблизи фиксированных точек уравнений РГ этих моделей позволил установить характер их критического поведения. Фазовые переходы в многочисленных реальных физических системах с п > 4-компонентными ПП также активно исследовались как в рамках £ разложения, так и методом теоретико-полевой РГ в трехмерном пространстве [145, 146, 147, 148, 149, 150, 141, 142, 143, 124, 152, 151, 153, 155, 156, 157, 159, 54].

Замечено, однако, что в критической области непрерывные фазовые переходы в анизотропных системах с несколькими константами связи оказываются неустойчивыми к флуктуациям параметра порядка и превращаются в переходы I рода3. Этот хорошо известный факт, однако, не имеет статуса теоремы4. И все же многозарядные модели, обладающие нетривиальными устойчивыми особыми точками уравнений РГ, с которыми ассоциируют новые классы универсальности, крайне редки.

Настоящая диссертация посвящена теоретическому исследованию критического поведения 2/У-компонентной теоретико-полевой модели с тремя независимыми константами взаимодействия, описывающей антиферромагнитные и структурные фазовые переходы в кристаллах со сложными видами упорядочения. В некотором специальном случае, когда поле ПП имеет размерность 2N = 4, эта модель описывает также критические явления в сверхпроводниках с нетривиальными видами спаривания [тяжело-фермионных и высокотемпературных сверхпроводниках], полностью фрустрированных джозефсоновских решётках, слоистых треугольных антиферромагнетиках (случай планарных спинов) и геликоидальных магнетиках. Все исследуемые материалы подробно описаны в следующей главе. Диссертационная работа состоит из введения, четырёх глав, заключения и приложения. Каждой главе

Заключение диссертации по теме «Физика конденсированного состояния», Варнашёв, Константин Борисович

Заключение

Подводя итоги настоящего диссертационного исследования, отметим, что основным его содержанием являлось построение количественной теории критического поведения модели, описывающей фазовые переходы в некоторых многоподрешёточных антиферромагнетиках и структурный фазовый переход в кристалле N1)02, а также киральные упорядоченные состояния в гелимагнетиках и слоистых треугольных антиферромагнетиках.

Перечислим наиболее важные конкретные результаты.

1) Методом РГ в трёхмерном пространстве вычислены двух- и трёхпетлевые разложения для ¡3-функций и критических индексов обобщённой 2/^-компонентной модели Гинзбурга-Ландау с тремя независимыми константами взаимодействия. Показано, что пересуммирование методом Паде-Бореля трёхпетлевых РГ разложений позволяет получить оценки значений координат фиксированных точек и критических индексов с точностью порядка 10%. Для простых (базовых) моделей фазовых переходов эта точность не превышает 1-2%. Получена оценка значения критической размерности ПП Мс, отделяющей возможные режимы критического поведения исследуемых фазовых переходов. Изучено поведение фазовых траекторий вблизи фиксированных точек уравнений РГ, построен глобальный фазовый портрет этих уравнений.

2) Для той же модели в рамках трёхпетлевого приближения метода е-разложения с использованием размерной регуляризации и схемы минимальных вычитаний (МБ) получены теоретико-полевые разложения для /^-функций и критических индексов, вычислены координаты фиксированных точек, дан анализ их устойчивости. Найдено разложение для критической размерности поля ПП А^, численная обработка которого методом Паде-Бореля дала результат, согласующийся с предсказаниями метода РГ в трёхмерном пространстве.

3) В рамках обоих подходов (метода РГ в трёхмерном пространстве и метода

-разложения) показано, что для всех N > 2 модель имеет единственную абсолютно устойчивую в трёхпараметрическом пространстве констант связи II-тетрагональную фиксированную точку, определяющую новый класс универсальности с специфическими критическими индексами.

4) Для Н-тетрагональной фиксированной точки обнаружено двухкратное вырождение собственных значений матрицы устойчивости в однопетлевом приближении по е, которое, как следует из детального анализа, может вести к появлению в соответствующих разложениях степеней у/е, а также к существенной потере точности, ожидаемой в рамках данного приближения.

5) Для наиболее интересных в плане физических приложений гейзенберговской, бозевской и П-тетрагональяой фиксированных точек вычислены критические индексы 7 и 1] до е3 и £4 включительно. Установлено, что индекс магнитной восприимчивости П-тетрагональной фиксированной точки при N = 2 отличается в третьем порядке по £ от индекса 7 (9(4)-симметричной точки. Напротив, индексы Фишера г\ обоих фиксированных точек совпадают вплоть до £4. Численные оценки значений критических индексов для случаев N = 2 и N = 3 получены на основе нового подхода к борелевскому суммированию расходящихся теоретико-полевых рядов. Путём сравнения полученных результатов с предсказаниями, даваемыми другими теоретическими методами и экспериментом, сделан вывод о неэффективности метода £-разложения для данной трёхзарядной модели.

6) В рамках трёхпетлевого РГ анализа показано, что фазовые переходы в таких антиферромагнетиках как ТЬАиг, ОуСг, Кг1гС1б, ТЬБг, Мп82 и N(1, а также структурный фазовый переход в кристалле КЬСЬ являются переходами II рода. Их критическая термодинамика определяется анизотропной устойчивой II-тетрагональной фиксированной точкой с нетривиальными критическими индексами, численно весьма близкими к индексам ХУ-модели. Следовательно, критическое поведение упомянутых выше материалов экспериментально неотличимо от критического поведения трёхмерных бозе-систем.

7) Путём пересуммирования известных пятипетлевых е разложений методом преобразования Бореля с конформным отображением вычислены значения критических индексов кубического ферромагнетика. Установлено, что соответствующие численные оценки отличаются от наиболее точных - шестипетлевых - не более, чем на 1%.

В заключение автор выражает благодарность научному руководителю А. И. Соколову за постановку задачи на раннем этапе исследования и за интерес к работе, своему другу и соавтору А. И. Мудрову за исключительную возможность совместного научного творчества, Б. Н. Шалаеву за многочисленные плодотворные дискуссии. Автор выражает глубокую признательность А. В. Мезенову, В. С. Шерстинову и В. Н. Назарову за оказанную помощь при подготовке диссертации. Наконец, автор искренне благодарит своих родных и близких за их бесконечное терпение и понимание, проявленные в период работы над диссертационным материалом.

Я благодарен также Российскому Фонду Фундаментальных Исследований (грант N0. 01-02-17048) и Министерству Образования Российской Федерации (грант N0. Е00-3.2-132, грант N0. М01-2.4К-40 и грант N0. М02-2.4К-25) за финансовую поддержку работы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Варнашёв, Константин Борисович, 2002 год

1. Ландау Л.Д. К теории фазовых переходов. 1. // ЖЭТФ 7, 19 (1937).

2. Ландау Л.Д. К теории фазовых переходов. II. // ЖЭТФ 7, 627 (1937).

3. Ландау Л.Д. Рассеяние рентгеновских лучей кристаллами вблизи точки Кюри. // ЖЭТФ 7, 1232 (1937).

4. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Статистическая физика. Часть I. Москва: Наука (3-е издание), 1976.

5. Guggenheim Е.А. // J. Chem. Phys. 13, 253 (1943).

6. Ising Е. // Z. Physik 31, 253 (1925).

7. Onsager L. Crystal statistics. I. A two-dimensional model with an order-disorder transition. // Phys. Rev. 65, 117 (1944).

8. Леванюк А.П. К теории рассеяния света вблизи точек фазового перехода второго рода. // ЖЭТФ 36, 810 (1959).

9. Гинзбург В.Л. Несколько замечаний о фазовых переходах второго рода и микроскопической теории сегнетоэлектриков. // ФТТ 2, 2031 (1960).

10. Domb С., Hunter D.L. // Proc. Phys. Soc. 86, 1147 (1965).

11. Widom В. // J. Chem. Phys. 43, 3892 (1965).

12. Widom B. Equation of state in the neighbourhood of the critical point. //J. Chem. Phys. 43, 3898 (1965).

13. Kadanoff L.P. Scaling laws for Ising models near Tc. // Physics 2, 263 (1966).

14. Паташинский A.3., Покровский В.Л. Фазовый переход второго рода в бозе-жидкости. // ЖЭТФ 46, 994 (1964).

15. Паташинский А.З., Покровский B.JI. О поведении упорядочивающихся систем вблизи точки фазового перехода. // ЖЭТФ 50, 439 (1966).

16. Паташинский А.З. Гипотеза подобия корреляций в теории фазового перехода второго рода. // ЖЭТФ 53, 1987 (1967).

17. Анисимов М.А. Исследования критических явлений в жидкостях. // УФН 114, 249 (1974).

18. Паташинский А.З., Покровский B.JI. Флуктуационная теория фазовых переходов. Москва: Наука (2-е издание 1982).

19. Wilson К.G. Renormalization group and critical phenomena. I. Renormalization group and the KadanofF scaling picture. II. Phase-call analisis of critical behavior. // Phys. Rev. В 4, 3174, 3184 (1971).

20. Wilson K.G. and Fisher M.E. Critical exponents in 3.99 dimensions. // Phys. Rev. Lett. 28, 240 (1972).

21. Wilson K.G. Feynman-graph expansion for critical exponents. // Phys. Rev. Lett. 28, 548 (1972).

22. Wilson K.G., Kogut J.B. Renormalization group and e expansion. // Phys. Rep. С 12, 75 (1974). Русский перевод обзора содержится в кн.: Вильсон К., Когут Дж. Ренормализационная группа и е разложение. Москва: Мир, 1975.

23. Ma Ш. Современная теория критических явлений. Москва: Мир, 1980.

24. Stueckelberg E.C.G., Peterman А. // Helv. Phys. Acta 24, 153 (1951).

25. Stueckelberg E.C.G., Peterman A. // Helv. Phys. Acta 26, 499 (1951).

26. Gell-Mann M., Low F.E. Quantum electrodynamics at small distances. // Phys. Rev. 95, 1300 (1954).

27. Боголюбов Н.Н., Ширков Д.В. О ренормализационной группе в квантовой электродинамике. // ДАН СССР 103, 203 (1955).

28. Боголюбов Н.Н., Ширков Д.В. Приложение ренормализационнои группы к улучшению формул теории возмущений. // ДАН СССР 103, 391 (1955).

29. Ширков Д.В. Двухзарядная ренормадизационная группа в псевдоскалярной ме-зонной теории. // ДАН СССР 105, 972 (1955).

30. Боголюбов Н.Н., Ширков Д.В. Модель типа Ли в квантовой электродинамике. // ДАН СССР 105, 685 (1955).

31. Боголюбов Н.Н., Ширков Д.В. Введение в теорию квантованных полей. Москва: Наука (4-е издание), 1984.

32. Поляков A.M. Микроскопическое описание критических явлений. // ЖЭТФ 55, 1026 (1968).

33. Мигдал А.А. Диаграмная техника вблизи точки Кюри и фазовый переход второго рода в бозе-жидкости. // ЖЭТФ 55, 1964 (1968).

34. Di Castro С., Jona-Lasinio G. // Phys. Lett. A 29, 322 (1969).

35. Де Паскуале Ф., Ди Кастро К., Йона-Лазинио Г. Полевой подход к теории фазовых переходов. В кн.: Квантовая теория поля и физика фазовых переходов. Москва: Мир, 1975.

36. Ritchie D.S. and Fisher М.Е. Theory of critical-point scattering and correlations. II. Heisenberg models. // Phys. Rev. В 5, 2668 (1972).

37. Domb C. In: Phase Transitions and Critical Phenomena (Ed. by Domb C. and Green M.S.) New York: Academic Press, 1974, V. 3.

38. Phase Transitions and Critical Phenomena. (Ed. by Domb C. and Green M.S.) -New York: Academic Press, 1974, V. 3.

39. Wortis M. Linked cluster expansion. In: Phase Transitions and Critical Phenomena (Ed. by Domb C. and Green M.S.) New York: Academic Press, 1974, V. 3.

40. Liischer M. and Weisz P. // Nucl. Phys. B 300, 325 (1988).

41. Nickel B.G. and Rehr J.J. // J. Stat. Phys. 61, 1 (1990).

42. Reisz T. Advanced linked cluster expansion. Scalar fields at finite temperature. // Nucl. Phys. B 450, 569 (1995).

43. Campostrini M. Linked cluster expansion of the Izing model. //J. Stat. Phys. 103, 369 (2001).

44. Butera P. and Comi M. A^-vector spin models on the sc and the bec lattices: a study of the critical behavior of the susceptibility and of the correlation lenth by high temperature series extended to order /?21. // Phys. Rev. B 56, 8212 (1997).

45. Butera P. and Comi M. Renormalized couplings and scaling correction amplitudes in the Af-vector spin models on the sc and bcc lattices. // Phys. Rev. B 58, 11552 (1998).

46. Campostrini M., Pelissetto A., Rossi P., and Yicari E. Critical limit and anisotropy in the two-point correlation function of three-dimensional 0(N) models. // Euro-phys. Lett. 38, 577 (1997).

47. Campostrini M., Pelissetto A., Rossi P., and Vicari E. The two-point correlation function of three-dimensional O(N) models: critical limit and anisotropy. // Phys. Rev. E 57, 184 (1998).

48. Campostrini M., Pelissetto A., Rossi P., and Vicari E. Improved high-temperature expansion and critical equation of state of three-dimensional Ising-like systems. // Phys. Rev. E 60, 3526 (1999).

49. Campostrini M., Pelissetto A., Rossi P., and Vicari E. The critical equation of state of three-dimensional XY systems. // Phys. Rev. B 62, 5843 (2000).

50. Campostrini M., Hasenbusch M., Pelissetto A., Rossi P., and Vicari E. Critical behavior of the three-dimensional XY universality class. // Phys. Rev. B 63, 214503 (2001).

51. MacDonald D., Joseph S., Hunter D.L., Moseley L.L., Jan N., and Guttmann A.J. Self-avoiding walks on the simple cubic lattice. // J. Phys. A: Math. Gen. 33, 5973 (2000).

52. Campostrini M., Pelissetto A., Rossi P., and Vicari E. A strong-coupling analysis of two-dimensional O(N) sigma models with iV > 3 on square, triangular and honeycomb lattices. // Phys. Rev. D 54, 1782 (1996).

53. Campostrini M., Pelissetto A., Rossi P., and Vicari E. A strong-coupling analysis of two-dimensional O(N) sigma models with N< 3 on square, triangular and honeycomb lattices. // Phys. Rev. B 54, 7301 (1996).

54. Pelissetto A. and Vicari E. Critical Phenomena and Renormalization-Group Theory. // Phys. Rep. 368, 549 (2002).

55. Callan C.G. Jr. Broken scale invariance in scalar field theory. // Phys. Rev. D 2, 1541 (1970).

56. Symanzik K. Small-distance-behaviour in field theory and power counting. // Commun. Math. Phys. 18, 227 (1970).

57. Symanzik K. Small-distance-behaviour analysis and Wilson expansions. // Commun. Math. Phys. 23, 49 (1971).

58. Brezin E., Le Guillou J.C., and Zinn-Justin J. Wilson theory of critical phenomena and Callan-symanzik equations in 4 — e dimensions. // Phys. Rev. D 8, 434 (1973).

59. Brezin E., Le Guillou J.C., and Zinn-Justin J. Approach to scaling in renormalized perturbation theory. // Phys. Rev. D 8, 2418 (1973).

60. Brezin E., Le Guillou J.С., and Zinn-Justin J. Field theoretical approach to critical phenomena. In: Phase Transitions and Critical Phenomena (Ed. by Domb C. and Green M.S.). New York: Academic Press, 1976, V. 6.

61. Parisi G. Field theory approach to second order phase transitions in three and two dimensional systems. // J. Stat. Phys. 23, 49 (1980); lectures given at the 1973 Cargese Summer School (edited by Brezin E. and Charap J.M.). Gordon & Breach, 1974.

62. Fisher M.E. The renormalization group in the theory of critical behavior. // Rev. Mod. Phys. 46, 597 (1974).

63. Wallace D.J. and Zia R.K.P. The renormalization group approach to scaling in physics. // Rep. Prog. Phys., 1977.

64. Amit D.J. Field theory, the renormalization group, and critical phenomena. New York: McGraw-Hill, 1978.

65. Zinn-Justin J. Quantum field theory and critical phenomena. Oxford: Clarendon Press, 2001.

66. Васильев A.H. Квантовополевая ренормгруппа в теории критического поведения и стохастической динамике. С.-Петербург: ПИЯФ, 1998.

67. Baker G.A. Jr, Nickel B.G., Green M.S. and Meiron D.I. Ising-model critical indices in three dimensions from the Callan-Symanzik equation. // Phys. Rev. Lett. 36, 1351 (1976).

68. Baker G.A. Jr, Nickel B.G., and Meiron D.I. Critical indices from perturbation analysis of the Callan-Symanzik equation. // Phys. Rev. В 17, 1365 (1978).

69. Guida R. and Zinn-Justin J. Critical exponents of the iV-vector model. //J. Phys. A: Math. Gen. 31, 8103 (1998).

70. Kleinert H. Strong-coupling behavior of (f4 theories and critical exponents. // Phys. Rev. D 57, 2264 (1998).

71. Kleinert H. Critical exponents from seven-loop strong-coupling <p4 theory in three dimensions. // Phys. Rev. D 60, 085001 (1999).

72. Campostrini M., Pelissetto A., Rossi P., and Vicari E. High-precision determination of the critical exponents for the A-transition of 4He by improved high-temperature expansion. // Phys. Rev. В 61, 5905 (2000).

73. Aharony A. In: Phase Transitions and Critical Phenomena (Ed. by Domb C. and Green M.S.). New York: Academic Press, 1976, V. 6.

74. Aharony A. Critical behavior of anisotropic cubic systems. // Phys. Rev. В 8, 4270 (1973).

75. Ketley I.J. and Wallace D.J. A modified e expansion for a Hamiltonian with cubic point-group symmetry. // J. Phys. A: Math. Gen. 6, 1667 (1973).

76. Wallace D.J. Critical behavior of anisotropic cubic systems. //J. Phys.: Condens. Matter 6, 1390 (1973).

77. Люксютов И.Ф., Покровский В.JI. Фазовые переходы первого рода в системах с кубической анизотропией. // Письма в ЖЭТФ 21, 22 (1975).

78. Bruce A.D. Critical behaviour of cubic n = ¿-component spin system. // Phys. Lett. A 54, 49 (1975).

79. Natterman Т., Trimper S. Critical behaviour and cubic anisotropy. // J. Phys. A: Math. Gen. 8, 2000 (1975).

80. Aharony A. and Bruce A.D. Polycritical points and floplike displacive transitions in perovskites. // Phys. Rev. Lett. 33, 427 (1974).

81. Yalabik M.C. and Houghton A. Approximate renormalization group calculation of cubic crossover. // Phys. Lett. A 61, 1 (1977).

82. Ferer M., Van Dyke J.P., and Camp W.J. Effect of a cubic crystal field on the critical behavior of a 3-D model with Heisenberg exchange coupling: a high-temperature series investigation. // Phys. Rev. B 23, 2367 (1981).

83. Newman K.E. and Riedel E.K. Cubic N-vector model and randomly dilute Ising model in general dimensions. // Phys. Rev. B 25, 264 (1982).

84. Shpot N.A. Critical behavior of the mn-component field model in three dimensions. I. Two-loop results. II. Three-loop results. // Phys. Lett. A 133, 125 (1988); 142, 474 (1989).

85. Mayer I.O., Sokolov A.I., and Shalaev B.N. Critical exponents for cubic and impure uniaxial crystals: most accurate (?) theoretical value. // Ferroelectrics. 95, 93 (1989).

86. Kleinert H. and Schulte-Frohlinde V. Exact five-loop renormalization group functions of i£>4 theory with (9(Ar)-symmetric and cubic interactions. Critical exponents up to e5. // Phys. Lett. B 342, 284 (1995).

87. Kleinert H., Thoms S., and Schulte-Frohlinde V. Stability of a three-dimensional cubic fixed point in the two-coupling-constant ipA theory. // Phys. Rev. B 56, 14428 (1997).

88. Varnashev K.B. The stability of a cubic fixed point in three dimensions from the renormalization group. // J. Phys. A: Math. Gen. 33, 3121 (2000).

89. Varnashev K.B. Stability of a cubic fixed point in three dimensions: Critical exponents for generic N. // Phys. Rev. B 61, 14660 (2000).

90. Carmona J.M., Pelissetto A., and Vicari E. The iV-component Ginzburg-Landau Hamiltonian with cubic anisotropy: A six-loop study. // Phys. Rev. В 61, 15136 (2000).

91. Folk R., Holovatch Yu., and Yavors'kii T. Pseudo-e expansion of six-loop renormalization-group functions of an anisotropic cubic model. // Phys. Rev. В 62, 12195 (2000); Erratum: Phys. Rev. В 63, 189901 (2001).

92. Caselle M. and Hasenbusch M. The stability of the O(N) invariant fixed point in three dimensions. //J. Phys. A: Math. Gen. 31, 4603 (1998).

93. Aharony A. Critical behavior of anisotropic cubic systems in the limit of infinite spin dimensionality. // Phys. Rev. Lett. 31, 1494 (1973).

94. Grinstein G., Luther A. Application of the renormalization group to phase transitions in disordered systems. // Phys. Rev. В 13, 1329 (1976).

95. Aharony A. New singularities in the critical behavior of random Ising models at marginal dimensionalities. // Phys. Rev. В 13, 2092 (1976).

96. Harris A.B. and Lubensky T.C. Renormalization group approach to the critical behavior of random-spin models. // Phys. Rev. Lett. 33, 1540 (1974).

97. Lubensky T.C. Critical properties of random-spin models from the e expansion. // Phys. Rev. В 11, 3573 (1975).

98. Хмельницкий Д.Е. Фазовый переход второго рода в неоднородных телах. // ЖЭТФ 68, 1960 (1975).

99. Шалаев Б.Н. Фазовый переход в слабонеупорядоченном одноосном ферромагнетике. // ЖЭТФ 73, 2301 (1977).

100. Jayaprakash С., Katz H.J. Higher-order corrections to the e^ expansions of the critical behavior of the random Ising systems, jJ Phys. Rev. В 16, 3987 (1977).

101. Shalaev B.N., Antonenko S.A., and Sokolov A.I. Five-loop i/s-expansions for random Ising model and marginal spin dimensionality for cubic systems. // Phys. Lett. A 230, 105 (1997).

102. Jug G. Critical behaviour of disordered spin systems in two and three dimensions. // Phys. Rev. В 27, 609 (1983).

103. Mayer I.O. Critical exponents of the delute Ising model from four-loop expansions. // J.Phys. A: Math. Gen. 22, 2815 (1989).

104. Holovatch Yu., Yavors'kii T. Critical exponents of the diluted Ising model between dimensions 2 and 4. // J. Stat. Phys. 92, 785 (1998).

105. Folk R., Holovatch Yu., and Yavors'kii T. Effective and asymptotic critical exponents of a weakly diluted quenched Ising model: Three-dimensional approach versus yfe expansion. // Phys. Rev. В 61, 15114 (2000).

106. Pakhnin D.V. and Sokolov A.I. Five-loop renormalization-group expansions for the three-dimensional n-vector cubic model and critical exponents for impure Ising systems. // Phys. Rev. В 61, 15130 (2000).

107. Pelissetto A. and Vicari E. Randomly dilute spin models: A six-loop field-theoretic study. // Phys. Rev. В 62, 6393 (2000).

108. Dorogovtsev S.N. Critical exponents of magnets with lengthy defects. // Phys. Lett. A 76, 169 (1980).

109. Корженевский A.JI., Лужков А.А. Фазовые переходы в кристаллах с низкосимметричными точечными дефектами. // ЖЭТФ 94, 250 (1988).

110. Прудников В.В., Прудников П.В., Федоренко А.А. // Теоретико-полевое описание мультикритического поведения систем с двумя параметрами порядка. // Письма в ЖЭТФ 68, 900 (1998).

111. Прудников В.В., Белим С.В., Иванов А.В., Осинцов Е.В., Федоренко А.А. Критическая динамика слабонеупорядоченных спиновых систем. // ЖЭТФ 114, 985 (1998).

112. Prudnikov V.V. and Fedorenko A.A. Critical behaviour of 3D systems with longrange correlated quenched defects. // J. Phys. A: Math. Gen. 32, L399 (1999).

113. Prudnikov V.V., Prudnikov P.V. and Fedorenko A.A. Static and dynamic critical properties of 3D systems with long-range correlated defects. //J. Phys. A: Math. Gen. 32, 8587 (1999).

114. Adzhemyan L.Ts., Antonov N.Y., Vasiliev A.N. Field theoretic renormalization group in fully developed turbulence. Gordon and Breach Science Publishers, 1998.

115. Choi M.Y. and Doniach S. Phase transitions in uniformly frustrated XY models. // Phys. Rev. В 31, 4516 (1985).

116. Yosefin M. and Domany E. Phase transitions in fully frustrated spin systems. // Phys. Rev. В 32, 1778 (1985).

117. KawamuraH. Renormalization-group approach to the frustrated heisenberg antifer-romagnets on the layered-triangular lattice. //J. Phys. Soc. Jpn 55, 2157 (1986).

118. Kawamura H. Phase transition of the three-dimensional XY antiferromagnet on the layered-triangular lattice. //J. Phys. Soc. Jpn 55, 2157 (1986).

119. Kawamura H. Critical properties of helical magnets and triangular antiferromagnets // J. Appl. Phys. 63, 3086 (1988).

120. Kawamura H. Renormalization-group analysis of chiral transitions. // Phys. Rev. В 38, 4916 (1988); 42, 2610 (1990) (Erratum).

121. Diep H.T. Magnetic transitions in helimagnets. // Phys. Rev. В 39, 397 (1989).

122. Azaria P., Delamotte В., and Jolicoeur T. Nonuniversality in helical and canted-spin systems. // Phys. Rev. Lett. 64, 3175 (1990).

123. Azaria P., Delamotte В., Delduc F., and Jolicoeur T. A renormalization-group study of helimagnets in D = 2 + e dimensions. // Nucl. Phys. В 408, 585 (1993).

124. Antonenko S.A. and Sokolov A.I. Phase transitions in anisotropic superconducting and magnetic systems with vector order parameter: three-loop renormalization-group analisis. // Phys. Rev. В 49, 15901 (1994).

125. Antonenko S.A., Sokolov A.I., and Varnashev K.B. Chiral transitions in three-dimensional magnets and higher order e expansion. 11 Phys. Lett. A 208, 161 (1995).

126. Kawamura H. Universality of phase transitions of frustrated antiferromagnets. // J. Phys.: Condens. Matter 10, 4707 (1998).

127. Tissier M., Delamotte В., and Mouhanna D. Heisenberg frustrated magnets: a non-perturbative approach. // Phys. Rev. Lett. 84, 5208 (2000).

128. Tissier M., Mouhanna D., and Delamotte B. A nonperturbative approach of the principal chiral model between two and four dimensions. // Phys. Rev. В 61, 15327 (2000).

129. Loison D., Sokolov A.I., Delamotte В., Antonenko S.A., Schotte K.D., and Diep H.T. Critical behavior of frustrated systems: Monte Carlo simulations versus renor-malization group. // Письма в ЖЭТФ 72, 487 (2000).

130. Varnashev K.B. Four-loop renormalization group functions of (p4 theory with O(N)-symmetric, cubic, and "chiral" interactions in three dimensions. // Preprint SPbU-IP-00-12 (2000).

131. Pelissetto A., Rossi P., and Vicari E. The critical behavior of frustrated spin models with noncollinear order. // Phys. Rev. В 63, 140414(R) (2001).

132. Mudrov A.I., Varnashev K.B. Critical thermodynamics of three-dimensional MN-component field model with cubic anisotropy from higher-loop e expansion. //J. Phys. A: Math. Gen. 34, L347 (2001).

133. Mudrov A.I., Varnashev K.B. On critical behavior of phase transitions in certain antiferromagnets with complicated ordering. // Письма в ЖЭТФ 74, Вып. 5, 309 (2001) JETP Lett. 74, Is. 5, 279 (2001)].

134. Mudrov A.I. and Varnashev K.B. Critical behavior of certain antiferromagnets with complicated ordering: Four-loop e expansion analysis. // Phys. Rev. В 64, 214423 (2001).

135. Pelissetto A., Rossi P., and Vicari E. Large-« critical behavior of O(n) x 0(m) spin models. // Nucl. Phys. В 607, 605 (2001).

136. Воловик Г.Е., Горькое Л.П. Сверхпроводящие классы в системах с тяжёлыми фермионами. // ЖЭТФ 88, 1412 (1985).

137. Busiello G., De Cesare L., and Uzunov D.I. Random fields and the weakly first-order phase transition in superconductors. // Phys. Rev. В 34, 4932 (1986).

138. Blagoeva E.J., Busiello G., De Cesare L., Millev Y.T., Rabuffo I., and Uzunov D.I. Fluctuation effects in heavy-fermion and higli-7'c superconductors. // Phys. Rev. В 40, 7357 (1989).

139. Blagoeva E.J., Busiello G., De Cesare L., Millev Y.T., Rabuffo I., and Uzunov D.I. Fluctuation-induced first-order transitions in unconventional superconductors. // Phys. Rev. В 42, 6124 (1990).

140. Антоненко С.А., Соколов А.И., Шалаев Б.Н. Критическая термодинамика тетрагональных и гексагональных сверхпроводников с ¿-спариванием. // ФТТ 33, 1447 (1991).

141. Toledano J.-С., Michel L., Toledano P., and Brezin E. Renormalization-group study of the fixed points and of their stability for phase transitions with four-component order parameters. // Phys. Rev. В 31, 7171 (1985).

142. Mukamel D. Physical realizations of n > 4 vector models. // Phys. Rev. Lett. 34, 481 (1975).

143. Mukamel D. and Krinsky S. e-expansion analysis of some physically realizable n > 4 vector model. //J. Phys.: Condens. Matter 8, L496 (1975).

144. Mukamel D. and Krinsky S. Physical realizations of n > 4-component vector models.1.. e-expansion analysis of the critical behavior. (/ Phys. Rev. В 13, 5078 (1976).

145. Bak P. and Mukamel D. Physical realizations of n > 4-component vector models.

146. I. Phase transitions in Cr, Eu, MnS2, Ho, Dy, and Tb. // Phys. Rev. В 13, 5086 (1976).

147. Бразовский С.А., Дзялошинский И.Е. Переход I рода в МпО и РГ ("скейлинг"). // Письма в ЖЭТФ 21, 360 (1975).

148. Бразовский С.А., Дзялошинский И.Е., Кухаренко Б.Г. Магнитные фазовые переходы I рода и флуктуации. // ЖЭТФ ТО, 2257 (1976).

149. Antonenko S.A., Sokolov A.I., and Varnashev K.B. Critical behaviour of the model describing orientational phase transition in fullerite. // Mol. Mat. 8, 175 (1996).

150. Варнашёв К.Б., Соколов А.И. Критическая термодинамика кубических и тетрагональных кристаллов с многокомпонентными параметрами порядка. // ФТТ 38, 3665 (1996).

151. Sokolov A.I., Varnashev K.B., and Mudrov A.I. Critical exponents for the model with unique stable fixed point from three-loop RG expansions. // Int. J. Mod. Phys. В 12, 1365 (1998).

152. Mudrov A.I. and Varnashev K.B. Three-loop renormalization group analysis of a complex model with stable fixed point. Critical exponents up to e3 and e4. // Phys. Rev. В 57, 3562 (1998).

153. Mudrov A.I. and Varnashev K.B. Stability of three-dimensional fixed point in model with, three coupling constants from an e expansion. Three-loop results. // Phys. Rev. В 57, 5704 (1998).

154. Blagoeva E.J. Critical behaviour of a two component complex field model and symmetry of its renormgroup structure. // Mod. Phys. Lett. В 10, 439 (1996).

155. Sokolov A.I. and Varnashev K.B. Critical behavior of three-dimensional magnets with complicated ordering from three-loop renormalization-group expansions. // Phys. Rev. В 59, 8363 (1999)

156. Grinstein G. and Mukamel D. Stable fixed points in models with many coupling constants. // J. Phys. A: Math. Gen. 15, 233 (1982); Michel L., in Proceedings of the Fesa Gursey Festschrift (unpublished).

157. Дзялошинский И.Е. О характере фазовых переходов в геликоидальное или синусоидальное состояние магнетиков. // ЖЭТФ 72, 1930 (1977).

158. International Tables of X-Ray crystallography. Birmingham: Kynoch Prees. Vol. 1 Symmetry groups (1952), Vol. 2 Mathematical tables (1959).

159. Granato E. and Kosterlitz J.M. Superconductor-insulator transition and universal resistance in Josephson-junction arrays in a magnetic field. // Phys. Rev. Lett. 65, 1267 (1990).

160. Shapiro S.M., Axe J.D., Shirane G., and Raccah P.M. // Solid State Commun. 15, 377 (1974).

161. Marinder B.O. // Ark. Kemi 19, 435 (1963).

162. Atoji M. // J. Chem. Phys. 48, 560 (1968).

163. Atoji M. // J. Chem. Phys. 48, 3384 (1968).

164. Mukamel D. and Krinsky S. Physical realizations of n > 4-component vector models. I. Derivation of the Landau-Ginzburg-Wilson Hamiltonians. // Phys. Rev. В 13, 5065 (1976).

165. Bruce A.D. On the critical behaviour of anisotropic systems. //J. Phys. C: Proc. Phys. Soc. (London) 7, 2089 (1974).

166. Cox D.E., Shirane G., Takei W.J., and Wallace W.E. // J. Appl. Phys. 34, 1352 (1963).

167. Minkiewicz V.L., Shirane G., Frazer B.C., Wheeler R.C., and Dorain P.B. // J. Phys. Chem. Solids 29, 881 (1968).

168. Cox D.E. // Preprint No 13822 of the Brookhaven National Laboratory, New York, 1969 (unpublished); Cox D.E. // IEEE Trans. Magnet. 8, 161 (1972).

169. Hastings J.M., Elliott N., and Corliss L.M. Antiferromagnetic structures of MnS2, MnSe2, and MnTe2 // Phys. Rev. 115, 13 (1959).

170. Koehler W.C., Child H.R., Wollan E.O., and Cable J.W. // J. Appl. Phys. Suppl. 34, 1335 (1963).

171. Koehler W.C. // J. Appl. Phys. 36, 1078 (1965).

172. Dietrich O.W. and Als-Nielsen J. Neutron diffraction study of the magnetic longrange order in Tb. // Phys. Rev. 162, 315 (1967).

173. Hubbard J. Calculation of partition functions. // Phys. Rev. Lett. 3, 77 (1959).

174. Стратанович P.JI. Об одном методе вычисления квантовых функции распределения. // ДАН СССР 115, 1097 (1957).179. de Gennes P.G. // Phys. Lett. A 38, 339 (1972).

175. Emery V.J. Critical properties of many-component systems. // Phys. Rev. В 11, 239 (1975).

176. Loeffel J.J. // Centre d' Etudes Nucleaires de Saclay Report No. SACLAY-DPh-Т/76-20 (unpublished).

177. Le Guillou J.C. and Zinn-Justin J. Critical exponents for the re-vector model in three dimensions from field theory. // Phys. Rev. Lett. 39, 95 (1977).

178. Seznec R. and Zinn-Justin J. // J. Math. Phys. 20, 1398 (1979).

179. Казаков Д.И., Тарасов О.В., Ширков Д.В. Аналитическое продолжение результатов теории возмущений модели g ф4 в область д > 1. // ТМФ 38, 15 (1979).

180. Владимиров А.А., Казаков Д.И., Тарасов О.В. О вычислении критических индексов методами квантовой теории поля. // ЖЭТФ 77, 1035 (1979).

181. Le Guillou J.C. and Zinn-Justin J. Critical exponents from field theory. Phys. Rev. В 21, 3976 (1980).

182. Nickel B.G., Meiron D.I., and Baker G.A., Jr. Compilation of 2-pt and 4-pt graphs for continuous spin model. // Report University of Guelph, 1977.

183. Pynn R. and Axe J.D. Unusual critical crossover behaviour at a structural phase transition. //J. Phys.: Condens. Matter 9, L199 (1976).

184. Loh E., Chien C.L., and Walker J.C. // Phys. Lett. A 49, 358 (1974).

185. Eckert J. and Shirane G. // Solid State Commun. 19, 911 (1976).

186. Cowley K.A. and Bruce A.D. The theory of structurally incommensurate systems: I. Disordered-incommensurate phase transitions. //J. Phys.: Condens. Matter 11, 3577 (1978).

187. Sak J. Critical behavior of compressible magnets. // Phys. Rev. В 10, 3957 (1974).

188. Aharony A. and Fishman S. Decoupled tetracritical points in quenched random alloys with competing anisotropies. // Phys. Rev. Lett. 37, 1587 (1976).

189. Goldrier L.S. and Ahiers G. Superfluid fraction of 4He very close to Тд. // Phys. Rev. В 45, 13129 (1992).

190. Yoon J., Chan M.H.W. Superfluid transition of 4He in porous gold. // Phys. Rev. Lett. 78, 4801 (1997).

191. Zassenhaus G.M., Reppy J.D. Lambda point in the 4He-Vycor system: a test of hyperuniversality. // Phys. Rev. Lett. 83, 4800 (1999).

192. Brezin E., Le Guillou J.C., and Zinn-Justin J. Discussion of critical phenomena for general n-vector models. // Phys. Rev. В 10, 892 (1974).

193. Шпот H.A. О критическом поведении трёхмерных кубических кристаллов с примесями. // Препринт ИТФ-89-21Р (1989).

194. Бейкер Дж., Грейвс-Моррис П. Аппроксимации Паде. Москва: Мир, 1986.

195. Antonenko S.A., Sokolov A.I. Critical exponents for a three-dimensional 0(n)~ symmetric model with n> 3. // Phys. Rev. E 51, 1894 (1995).

196. Collins J. С. Structure of counterterms in dimensional regularization. // Nucl. Pliys. B. 80, 341 (1974).

197. Коллинз Дж. Перенормировка. Москва: Мир, 1988.

198. Kazakov D. I., Tarasov О. V., Vladimirov A. A. Dubna, 1979. // Препринт E2-12249 (JINR, Dubna, 1979).

199. Горишний С. Г., Ларин С. А., Ткачёв Ф. В., Четыркин К. Г. Аналитическое вычисление пятипетлевых приближений ренормгрупповых функций моделив MS-схеме: подиаграммный анализ. Москва, 1986. // Препринт ИЛИ АН СССР, П-0453.

200. Kleinert Н. and Schulte-Frohlinde V. Critical properties of ^-theories. Singapore: World Scientific, 2001.

201. Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. Часть I: Функции одного переменного. Москва: Наука, 1985, С. 191.

202. Le Guillou J.С. and Zinn-Justin J. // J. Rhys. Lett. (Paris) 46, L137 (1985); J. Phys. (Paris) 48, 19 (1987); там же 50, 1365 (1989).

203. Липатов Л.Н. Рассходимость ряда теории возмущений и псевдочастицы. // ЖЭТФ 25, 116 (1977).

204. Brezin Е., Le Guillou J.С., and Zinn-Justin J. Perturbation theory at large order. I. The ip2N interaction. // Phys. Rev. D 15, 1544 (1977).

205. Brezin E., Parisi G. // J. Stat. Phys. 19, 269 (1978).

206. Kleinert H., Thorns S., and Janke W. Resummation of anisotropic quartic oscillator. Crossover from anisotropic to isotropic large-order behavior. // Phys. Rev. A 55, 915 (1997).

207. Mudrov A.I. and Yarnashev K.B. Modified Borel summation of divergent series and critical exponent estimates for an TV-vector cubic model in three dimensions from five-loop e expansions. // Phys. Rev. E 58, 5371 (1998).

208. Суслов И.М. Суммирование расходящихся рядов теории возмущения в пределе сильной связи. Функция Гелл-Манна-JIoy ц>4 теории. // ЖЭТФ 120, 1 (2001)

209. Truesdell С.А. // Ann. Math. 46, 114 (1945).

210. Harris А.В. Effect of random defects on the critical behaviour of Ising models. // J. Phys.: Condens. Matter 7, 1671 (1974).

211. Chisholm J.S.R. // Math. Comput. 27, 841 (1973).

212. Bervillier C. Estimate of a universal critical-amplitude ratio from its e expansion up to e2. // Phys. Rev. В 34, 8141 (1986).

213. Holovatch Yu., Dubka M., Yavors'kii T. A marginal dimension of a weakly diluted quenched M-vector model. // J. Phys. Studies 5, 233 (2001).

214. Itakura M. Monte-Carlo renormalization-group study of the Heisenberg and the XY antiferromagnet on the stacked triangular lattice and the chiral <pA model. // cond-mat/0110306 (2001).

215. Pelissetto A., Rossi P., and Vicari E. Critical exponents in frustrated spin models with noncollinear order. // Phys. Rev. В 65, 020403 (R) (2002).

216. Plakhty V.P. et al. Chiral critical exponents of the triangular-lattice antiferromagnet CsMnBr3 as determined by polarized neutron scattering. // Phys. Rev. Lett. 85, 3942 (2000).

217. Calabrese P., Parruccini, and Sokolov A.I. Chiral phase transitions: focus driven critical behavior in systems with planar and vector ordering. // Preprint cond-mat/0205046 (2002).

218. Псевдо-е разложение впервые было предложено Берни Ншекелем (B.G. Nickel); см. ссылку 19 в работе 186].

219. Schloms R. and Dohm V. // Europhys. Lett. 3, 413 (1987).

220. Schloms R. and Dohm V. // Nucl. Phys. В 328, 639 (1989).

221. Недавно автор имел переписку с Бертраном Деламоттом, который сообщил, нто такая работа в его исследовательской группе (М. Tissier, В. Delamotte, and D. Mouhanna) уже начата.

222. Bender С.М., Wu Т.Т. Anharmonic oscillator. // Phys. Rev. 184, 1231 (1969).

223. Вайнберг B.M., Елецкий В.JI., Попов B.C. Логарифмическая теория возмущений для экранированного кулоновского потенциала и потенциала чармония. // ЖЭТФ 81, 1567 (1981).

224. Майер И.О. Борелевское суммирование расходящихся рядов теории поля и е-алгоритм Винна. // ТМФ 75, 234 (1988).

225. Wynn Р. // Arch. Rat. Mech. Anal. 28, 83 (1968).

226. Henkel M. Conformal invariance and critical phenomena. Heidelberg: Springer, 1999.

227. Fisher M.E. Renormalization of critical exponents by hidden variables. // Phys. Rev. 176, 257 (1968).