Римановы риччи-полусимметрические многообразия и их изометрические погружения в пространства кривизны тема диссертации и автореферата по ВАК 01.01.04, доктор физико-математических наук Мирзоян, Ваня Александрович

Диссертация и автореферат на тему «Римановы риччи-полусимметрические многообразия и их изометрические погружения в пространства кривизны». disserCat — научная электронная библиотека.
Автореферат
Диссертация
Артикул: 60306
Год: 
1998
Автор научной работы: 
Мирзоян, Ваня Александрович
Ученая cтепень: 
доктор физико-математических наук
Место защиты диссертации: 
Ереван
Код cпециальности ВАК: 
01.01.04
Специальность: 
Геометрия и топология
Количество cтраниц: 
223

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Мирзоян, Ваня Александрович

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. РЙМАНОВЫ /¿¡С, -ПОЛУСИММЕТРИЧЕСКИЕ

ПРОСТРАНСТВА.

§ I* Элементы формализма ковариантного дифференцирования.

§ 2. Действие операторов кривизны и определение римановых - полусимметрических пространств.

§ 3. Основные классы римановых Нос- полусимметрических пространств

§ 4. - полусимметричность как мультипликативное свойство

ГЛАВА 2, РЙМАНОВЫ ПРОСТРАНСТВА С ПОЛУПАРАЛЛЕЛЬНЫМ

СИММЕТРИЧЕСКИМ ЭНДОМОРФИЗМОМ

§ 5. Подпространства собственных векторов симметрического эндоморфизма

§ б. У- и ¿и. — разложения.

§ 7. Приводимость риманова пространства с полупараллельным симметрическим эндоморфизмом.5?

ГЛАВА 3. СТРУКТУРНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ РИМАНОВЫХ ¡¿Се

- П0ЛУСЙ1МЕТР1ЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ

§ 8. Основная структурная теорема и ее следствия

§ 9. Частные структурные теоремы и признак приводимости

§ 10.Аналитические римановы и кэлеровы Шс

- полусимметрические пространства

§ II. /¿Ce-» полуошметрячесше пространства о гармощчеокой кривизной

§ 12» Конусы с многомерными образующими над двумерными л зйнштейновыми пространствами

глава 4. foc ~ шдашшдаЕсш юдшогоошаш m

§ 13. Основные определения, формулы и уравнения * •

§ 14. Проблема приводимости пояуоимметряческшс подмногообразий а приводимость подмногообразия в евклидовом пространстве . •

§ 15. Признаки приводимости некоторых классов уй'с

- полусишетрическшс подмногообразий • » ». •

§ 16. Полуояммбсричвокяб подмногообразия.

ГЛАВА 5. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ I ПОЛУПАРАШ ДЬНЫЕ СТРУКТУРЫ на подмюгоошаюх.ш

§ 17. Общие свойства параллельных подмногообразий . . .»

§ 18. Локальная структура s - параллельных в s ~ полутараллелышж подмногообразий « * » fI9. параллельные подмногообразия с лапласово S - рекуррентной второй фундаментальной формой

§ 20, Подмногообразия,несущие полупараллельные структуры как огибающие

Введение диссертации (часть автореферата) На тему "Римановы риччи-полусимметрические многообразия и их изометрические погружения в пространства кривизны"

Открытие в 1925-1926 родах П.А.Широковым и Э.Картаном римановых симметрических пространств ознаменовало важный этан в развитии римановой геометрии. В настоящее время геометрия симметрических пространств оформилась в обширную и богатую приложениями теорию, которая активно взаимодействует с многими областями математики и оказывает на них значительное влияние. Основы этой теории и современное состояние ряда ее разделов освещены в монографиях Дж.Вольфа [ 8 Э.Картава [14] , ВиКобаяви и К.Номидзу [ 17 ] , 0.1ооса[ 23 ] , В.В.Трофимова [76], А.Т.Фоменко ( 78 ], С.Хелгасона/ 79 ] и др. Обзор работ по симметрическим пространствам и библиография даны в обзорной статье В.И.Ведерникова и А.С.Феденко[ б ].

Начиная с 1950-х годов, параллельно с развитием теории симметрических пространств, стали появляться различные теоретико-групповые обобщения симметрических пространств. Это ре-дуктивные пространства, введенные П.К.Рашевским, однородные Ф - пространства, введенные В.И.Ведерниковым, субсимметрические и трисимметрические пространства, определенные Л.В.Сабининым, 5- пространства, введенные А.Ледаером и далеко идущие обобщения этих пространств. Ближайшим и естественным обобщением неприводимых римановых симметрических пространств являются также однородные римановы пространства, у которых стационарная группа точки неприводимо действует на касательном пространстве. Классификация таких пространств впервые была получена О.В.Мантуровьш [ 33-35 В настоящее время геометрия обобщенных симметрических пространств оформилась в стройную и красивую теорию. Наиболее важные достижения этой теории отражены в монографиях О.Ковальского[ 19 ], посвященной теории ^ - структур, и А*С»Феденко [77 ] 9 посвященной в основном регулярным Ф ~ пространствам. В [77] А.О.Феде«-ко введены пространства о симметрия«», позволяющие рассматривать с единой точки зрения все разновидности симметрических пространств и многих их обобщений. Подробный обзор результатов по теории обобщенных симметрических пространств ш библиография приведены в обзорной статье Г 6 1. 1.1.Широковым [ 80 I, [ 81 ] рассматривались симметрические пространства, определяемые алгебрами. Это направление активно разрабатывалось и в дальнейшем оформилось в теорию пространств над алгебрами, основные достижения которой освещены в монографии В.В.Вишневского, А.II,Широкова, В.В.Вурыгшна [ 7 ].

Наряду с теоретико-групповыми обобщениями симметрических пространств рассматривались также их прямые дифференциально-геометрические обобщения» Еще П.А.Ищшковым [ 82 ] были рассмотрены римановы пространства с параллельным тензором Риччи (симметрические пространства этим свойством обладают) и доказано, что они разлагаются в произведение эйнштейновых пространств. Так как рашшово (локально) симметрическое пространство М характеризуется условием ковариаитного постоянства ми парюгашот (ЭДо тс же самое) тензора кривизны Г ,

VII - 0 , где V- риманова связность на М % го оно автоматически удовлетворяет таю условию И (Х} У) • Ц - О, где X, У - произвольны® касательные векторные поля, а

Ц (X, а ; = ¡7Х Уу - % ¡7/ - X, у Г оператор кривизны. Это условие в своих исследованиях существенно использовали ЭДартан [ 14 ] и П.А.Широюв [ 83 ]. Ими же была поставлена проблема изучения римановых пространств, удовлетворяющих условию £ (У> 0. В теории геодезических отображений римановых пространств условие

Х рассматривалось Н.С.Синюковым [71 ] . Римановы пространства, удовлетворяющие условию /¿(X,У) • Я =- О им были названы полусимметрическими [72 ], В настоящее время это название является общепринятым и мы также будем придерживаться его. Условие Я (X, У) 'Я =0 называется также условием полупараллельности тензора И •

В 1968 г. К.Номидзу (135 ] доказал, что полная гиперповерхность в евклидовом пространстве Е^^ с типовым числом к(х)^>3 хотя бы в одной точке и удовлетворяющая условию /1(Х>Ч)'/1 0 является произведением сферы ^ в (Н- К)-плоскости Е¡пк (тогда V О!) и выдвинул гипотезу, что для полного неприводимого риманова пространства условие — О влечет VЯ — 0. Эта гипотеза была опровергнута Х.Такаги [152 ] построением полной неприводимой трехмерной поверхности в Е^ , удовлетворяющей условиям |7 И И (X, {д)-Я = 0. Тем не менее, справедливость гипотезы К.Номидзу при различных дополнительных условиях доказали С.Фудхимура [103 ] , К.Секигава [ 141 [143-145] , С.Тайно [ 156 ] и др. Задачу локальной классификации римановых полусимметрических пространств решил З.Сабо [ 149 ]. Им рассмотрены также вопросы глобальной теории этих пространств и в евклидовом пространстве дана классификация полных внутренне полусимметрических гиперповерхностей, т.е. гиперповерхностей, удовлетворяющих условию Я(Х> Ю'М — 0. В пространстве постоянной кривизны М„ (с ) внутренне полусимметрические гиперповерхности рассматривал П.Райен[ 138 ]. Внутренне полусимметрические подмногообразия коразмерности > I в М^(с) с наложением ряда дополнительных условий рассмотрены К.Сакамото Г140 ] . В общем случае этот класс подмногообразий мало изучен.

Полусимметрические псевдоримановы пространства иооледовали с ь В.Р.Кайгородовым [ II-I3 ] в связи с применением их в теории гравитации. Подробный обзор работ в этом направлении и библиография приведены в [ 13 J. Алгебраическую трактовку условия /¿(X, =0 Дал П.И.Ковалев[18 J.

В связи с указанной выше гипотезой К.Номидзу, начиная о 1969 г., стали рассматриваться также римановы пространства и подмногообразия, удовлетворяющие условию R, (X^ У)*—О> где /?Х - тензор Риччи. Так как римановы пространства с параллельным тензором Риччи и полусимметрические пространства удовлетворяют этому условию (см. § 3), то этот класс римановых пространств является их естественным обобщением. Частные классы римановых пространств и подмногообразий, удовлетворяющих условию Я ( Х} У) * Ц^ = О рассматривались в работах С.Танно [ 155 ], К.Секигавы и Х.Такаги [146] , К.Секигавы /"142 J , Х.Такаги и Я.Ватанабе /"153 7 , Х.Накагавы и Р.Такаги [134 ] , Я.Матсуямы [ 127 J и др. В этих работах, с привлечением сильных дополнительных условий, решаются в основном вопросы приводимости, проверяются импликации К(Х,У )•£=() И(Х>Ч>К=0> ~ 0 VИi — 0 и выявляются некоторые свойства изучаемых объектов. Геодезические и голоморфно-проективные отображения римановых и кэлеровых пространств, удовлетворяющих условию Ц (Xi У)' Ri —0 рассматривались в работах й.Микеша Г 36 ] , [130 ] , Н.С.Синюкова и Е.Н.Синюковой [74 J и Е.Н.Синюковой [75 В этих работах римановы пространства, удовлетворяющие указанному условию, были названы риччи-полусимметрическими. Мы также будем придерживаться этого термина и называть их просто -полусимметрическими пространствами. Условие И (Х3 У) ' называется также условием полупараллельности тензора Эйнштейновы пространства также удовлетворяют условию Ц (X, 3) • * (¿± = 0. Им посвящены монографии А.Бессе [4,5] и А.З.Петрова

Гбз].

Среди подмногообразий пространств постоянной кривизны, моделирующих римановы локально симметрические пространства наиболее интересны (внешне) симметрические подмногообразия, аналитически характеризуемые параллельностью второй фундаментальной формы (ф.ф.) (т.е. V— 0 , где обозначает связность Ван дер Вардена-Бортолотти) и подмногообразия с параллельной ф.ф. высшего порядка ( Как показали

Д.Ферус [ 100-102 ] , а затем М.Такеути [ 154 Е.Бакес и Х.Рек-цигел [ 89 ] симметрические подмногообразия исчерпываются, в основном, стандартными вложениями симметрических Я, -пространств. Для подмногообразий с параллельной ф.ф. ( 3 ), которым посвящены работы автора [37,38 ] , [46],[50], [ 52 ],[59], [62] , Ю.Г.Лумисте [25-27] ,[109] ,[ПЗ ] ,[П6] , К.Рийвес [ 67], [б8 ] , Ф.Диллена [ 95-97 7 , классификационные задачи решены ( в основном Ю.Г.Лумисте и Ф.Дилленом) для случая плоской нормальной связности и для малых размерностей. В общем случае теория этих подмногообразий еще не разработана и многие проблемы остаются открытыми. Различные классы подмногообразий с параллельной ф.ф. с^л описаны Ю.Г.Лумисте в [ 114,115 ],[ 117-121 ] . Однако проблема их полного геометрического описания остается пока открытой. Более детальный обзор результатов по подмногообразиям с параллельной ф.ф. (б 2) дан в § 17 (см. также обзорные статьи [ 30]и [54] ).

Следующий наиболее изученный класс подмногообразий в пространствах постоянной кривизны составляют полусимметрические подмногообразия, характеризуемые условием полупараллельности ф.#. ^ = 0, где R Ш) = % Гц ff/fy ~F[x У J " оператор кривизны связности 7 )• В силу импликации Я (УU^-0 И(X, 3)'Я = О они имеют внутреннюю геометрию полуоимметрического риманова пространства, чем и обусловлен большой интерс к этим подмногообразиям. Им посвящены работы Й.Депр [93,94 7, Ю.Г.Лумисте [ 28-30 ] [ 105,106 J , [ 108 J ,["110-112 J,[ 114,115 J, [117-122 ], Ю.Г.Лумисте и К.Рийвес [ 123 ], К.Рийвес[ 69],[l37], Ф.Меркури [ 129], Ф.Диллена и С.Нёлкер Г 98 J, А.Асперти и Ф.Меркури [ 87 J и автора f53]. Обзор этих работ приведен в § 16. Здесь мы только отметим, что большая заслуга в решении классификационных задач полусимметрических подмногообразий (для подмногообразий малых размерностей и для случая плоской нормальной связности) и их геометрического описания принадлежат Ю.Г.Лумисте.

Подводя итог сделанному выше краткому обзору, можем сказать, что хотя и отдельные классы /¿¿с - полусимметрических пространств, такие как локально симметрические и эйнштейновы, всесторонне исследованы и классифицированы, тем не менее общая теория ршановых -Hit~ полусимметриче ских пространств еще не разработана. Особенно мало изучены изометрические реализации этих многообразий в пространствах постоянной кривизны (за исключением указанных выше частных случаев).

Настоящая диссертация, посвященная структурным и общим проблемам теории римановых Hie - полусимметрических пространств и их изометрических погружений, имеет своей целью восполнить в некоторой степени указанный выше пробел. Основными объектами исследования являются:

1) римановы пространства с полупараллельным симметрическим эндоморфизмом;

2) римановы Осе - полусимметрические пространства, которые исследуются как в общем случае, так и при наложении ряда дополнительных условий;

3) конусы с многомерными плоскими образующими над двумерными и эйнштейновыми пространствами;

4) ¡¿¿с - полу симметрические подмногообразия пространств постоянной кривизны и такие их частные классы как а) внутренне полусимметрические подмногообразия, б) подмногообразия с параллельным тензором Риччи, в) полусимметрические подмногообразия, г) подмногообразия с параллельными и полупараллельными фундаментальными формами высших порядков,

В связи с той исключительной ролью, которую играли и играют симметрические пространства и их обобщения в развитии ри~ мановой геометрии и приложениях, особенно в теоретической физике, изучение перечисленных выше классов римановых пространств и подмногообразий является задачей своевременной и весьма актуальной.

Перейдем к обзору содержания диссертации.

Диссертация состоит из пяти глав, разбитых на 20 параграфов со сквозной нумерацией и списка литературы.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Мирзоян, Ваня Александрович, 1998 год

1. Акивис i.A. О строении двухкомпонентжых сопряженных систем.- Тр. реометр, семинара. ВИНИТИ АН СССР. 1966, т.1, С.7-31.

2. Акивис i.A. О строений сопряженных систем на многомерных поверхностях. -Изв. вузов. Мат. I97Q, й 10, С.З-П.

3. Базылев В.Т., Кузьмин М.К., Столяров A.B. Сети на многообразиях. -Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР. Пробл. геометрии.1981, f. 12, С.97-125.

4. Бессе А. Многообразия Эйнштейна. Т.Х. -М. : Мир, 1990.-3X8 о.

5. Бессе А. Многообразия Эйнштейна. Т.2. -М. : Мир, 1990.-384 с.

6. Ведерников В.И., Феденко A.C. Симметрические пространства и их обобщения. -Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР. Алгебра. Топология. Геометрия. 1976, т.14, С.249-280.

7. Вишневский В.В., Широков А.П., Шурыгин В.В. Пространства над алгебрами. -Казань : йзд-во Казанск. ун-та, 1985. -262 с.

8. Вольф Дж. Пространства постоянной кривизны. -М. : Наука,1982. -480 с.

9. Кайгородов В.Р. О римановых пространствах Кh . Тр. гео-метр"УВМНИТИ АН СССР. 1974, т.5, С.359-373.

10. Кайгородов В.Р. Полусимметрические лоренцовы пространства с совершенной группой голономии. -Гравитация и теория относи-тельн. Казань, Казанск. ун-т. 1978, Ш 14-15, C.II3-I20.

11. Кайгородов В.Р. Структура кривизны пространства времени.-Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР, Пробл. геометрии. 1983, т.14, С.177-204.

12. Картан Э. Геометрия групп Ли и симметрические пространства. -М. : 1Д, 1949. -384 с.

13. Картан Э. Риманова геометрия в ортогональном репере. -М. : Изд. МГУ, i960. -307 с.

14. Кобаяси I., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. T.I. -М. : Наука, 1981. -344 с.

15. Кобаяси 1., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. Т.2. -М. : Наука, 1981. -416 с.

16. Ковалев и.И. Тройные системы Ли и пространства аффинной связности. -Мат. заметки. 1973, т.14, № I, C.I07-II2.

17. Ковальский 0. Обобщенные симметрические пространства. -М.: Мир, 1984. -240 с.

18. Кручкович Г. И. Об одном классе римановых пространств. -Тр. семин. по векторн. и тензорн. анализу. 1961, вып. II,С.103-128.

19. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия многомерных поверхностей. -Итоги науки. ВИНИТИ АН СССР. "Геометрия 1963й. 1965, С.5-64.

20. Лихнерович А. Теория связностей в целом и группы голономий. -М. : ЙЛ, i960. -216 с.

21. Лоос 0. Симметрические пространства. -М. : Наука, 1985. -208 с.

22. Лумисте Ю.Г. Дифференциальная геометрия подмногообразий. -Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР. Алгебра. Топология. Геометрия. 1975, т.13, С.273-340.

23. Лумисте Ю.Г. Неприводимые подмногообразия малых размерностей с параллельной третьей фундаментальной формой. -Уч.зап. Тартуск. ун-та. 1986, выи. 734, C.5Q-62.

24. Лумисте Ю.Г. Подмногообразия с плоской связность© Ван-дер -Вардена-Вортолотти и параллельность третьей фундаментальной формы. -Изв. вузов. Мат. 1987, Нг I, С,18-27.

25. Лумисте Ю.Г. Приводимость подмногообразия с параллельной третьей фундаментальной формой. -Изв. вузов. Мат. 1987, N» II, С.32-41.

26. Лумиете Ю.Г. Неприводимые нормально плоские полусимметрические подмногообразия. I. -Изв. вузов. Мат. 1990, 1 8, С.45-53.

27. Лумиете Ю.Г. Неприводимые нормально плоские полусимметрические подмногообразия. II. -Изв. вузов. Мат. 1990, № 9, С.31-40.

28. Лумисте Ю.Г. Полусимметрические подмногообразия. -Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР. Пробл.геометрии. 1991, т.23, С,3-28.

29. Лумисте Ю.Г., Чакмазян A.B. Подмногообразия с параллельным нормальным векторным полем. -Изв. вузов. Мат. 1974, № 5, С.148-157.

30. Лумисте Ю.Г., Чакмазян A.B. Нормальная связность и подмногообразия с параллельными нормальными полями в пространстве постоянной кривизны. Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР. Пробл. геометрии. 1981, т.12, С.3-30.

31. Мантуров О.В. Об однородных римановых пространствах с неприводимой группой вращений. -Докл. АН СССР. 1961, т. 141, I! 4, С.792-795.

32. Мантуров О.В. Римановы пространства с неприводимой группой вращений и ортогональными и симплектическими группами движений. -Докл.АН СССР. 1961, т.141, Ш 5, C.I034-I037.

33. Мантуров O.B. Однородные римановы пространства с неприводимой группой вращений. -Тр. еемин. по векторн. и тензорн. анализу. 1966, вып. ХШ, С.68-145.

34. Микен I. О геодезических отображениях Риччи 2-симметричес-ких римановых пространств. -Мат. заметки. I98Ö, т.28, üs 2, С.313-317.

35. Мирзоян В.А. Подмногообразия е параллельной фундаментальной формой высшего порядка. -ВИНИТИ. Х978, 47 с. Ш 2074-78 Деп.

36. Мирзоян В.А, Подмногообразия о параллельными фундаментальными формами высшего порядка. Диссертация на соискание уч. ст. кандидата физ.-мат.наук. -Тарту, 1979. -128 с.

37. Мирзоян В.А. Подмногообразия с коммутативным нормальным векторным полем. -Тезисы конф. "Теоретические и прикл. вопросы математики". Тарту, 1980, С.81-83.

38. Мирзоян В.А. Подмногообразия с коммутирующим нормальным векторным полем. -Докл. АН Арм.ССР. 1981, т.72, Ш I, С.14--17.

39. Мирзоян В.А. Подмногообразия с коммутирующим нормальным векторным полем. -Уч. зап. Ереванск. ун-та. Естеств.н. 1981, Ш 3 (148), С.9-16.

40. Мирзоян В.А. О канонических погружениях Ц -пространств. -Мат.заметки. 1983, т.ЗЗ, Ш 2, С.255-260.

41. Мирзоян В.А. Подмногообразия с коммутирующим /'-мерным подраеслоением нормального расслоения. -Уч.зап. Ереванск. ун-та. Естеств.н. 1983, Ш I (152), С.20-27.

42. Мирзоян В.А. Подмногообразия с коммутирующим нормальным векторным нолем. -Итога науки и техн. ВИНИТИ АН СССР. Пробл. геометрии. 1983, т.14, С.73-100.

43. Мирзоян В.А. Нормальная дефектность подмногообразия. -Докл.АН Арм. ССР. 1983, ш.77, № I, СД1-15.

44. Мирзоян В,А. О локальном отроении подмногообразия о параллельной фундаментальной формой (^>3). Шестая прибалт.геометр.конф. Тезисы докл. Таллин, 1984, С.83.

45. Мирзоян В.А. Нормальная дефектность подмногообразия в ри-мановом многообразий. -Уч.зап. Тартуск.ун-та. 1986, выи. 734, С.63-79.

46. Мирзоян В.А. Внутренне симметрически подмногообразия. -Тезисы конф. "Проблемы теоретической и прикл.математики". Тарту, 1990, С.58-60.

47. Мирзоян В.А. Подмногообразия с параллельным тензором Рич-чи. -Всесоюзн.совещание ученых по дифф.геометрии,посвящ. 80-и летию Н.В.Ефимова (Абрау-Дюрсо, 29 сентября-5 октября 1990 г.). Тезисы докл. Ростов-на-Дону, 1990, 0.72.

48. Мирзоян В.А. О подмногообразиях с параллельной фундаментальной формой и3 (5^-3 ). Уч. зап.Тартуск.ун-та. 1991, вып. 930, С,97412 .

49. Мирзоян В.А. Подмногообразия с полупараллельным тензором Риччи. Уч. зап. Тартуск. ун-та. 1991, вып. 930, С.ПЗ--128.

50. Мирзоян В.А. Разложение в произведение подмногообразий с параллельной фундаментальной формой -Изв. вузов. Мат. 1991, 1 8, С.44-53.

51. Мирзоян В.А. Полусимметрические подмногообразия и их разложение в произведение. -Изв. вузов. Мат. 1991, 1 9,С.29-38.

52. Мирзоян В.А. А'с-пол у симметрические подмногообразия. -Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР. Пробл. геометрии. 1991, т.23, С.29-66.

53. Мирзоян В.А. Структурные теоремы для римановых нолу-симметрических пространств. -Изв.вузов. Мат. 1992, № 6,С,80-89.

54. Мирзоян В.А. Подмногообразия е параллельным тензором Риччи в евклидовых пространствах. -Изв.вузов. Мат. 1993, 1 9,С.22—27.

55. Мирзоян В.А. Структурные теоремы для кэлеровых Нее -полусимметрических пространств. -Докл. НАН Армении. 1995,т. 95, Ш I, С.3-5.

56. Мирзоян В.А. О к -полупараллельных подмногообразиях. -Международная геометр.школа-семинар памяти Н.В.Ефимова (Абрау-Дюрсо, 2? сентября-4 октября 1996 г.). Тезисы докл. Ростов-на-Дону, 1996, С.141-142.

57. Мирзоян В.А. Об одном классе подмногообразий с лапласово рекуррентной второй фундаментальной формой. -Международный геометр, семинар "Современная геометрия и теория физических полей" (Казань, 4-6 февраля 1997 г.). Тезисы докл. Казань, 1997, С.85.

58. Мирзоян В.А. Подмногообразия с симметрическими фундаментальными формами высшего порядка. -Изв. вузов. Мат. 1997, № 9 (424), С. 35-40.

59. Мирзоян В.А. Подмногообразия с полупараллельными фундаментальными формами высшего порядка как огибающие. -Изв. вузов. Мат. 1998, №2, С.13-%0.

60. Мирзоян В.А. Об одном классе подмногообразий с параллельной фундаментальной формой высшего порядка. -Изв. вузов. Мат. 1998, 6, С. 46-ГЗ.

61. Петров А.В. Пространства Эйнштейна. -М. : Физматгиз, 1961. 463 с.

62. Постников М.М. Введение в теорию Морса. -М. : Наука, 1971, -568 с.

63. Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр 1У. Дифференциальная геометрия. -М. : Наука, 1988. -496 с.

64. Рашевский ПД. Риманова геометрия и тензорный анализ, -i.: Наука, 1967.

65. Рийвес К.В. 0 поверхностях V^c:EgQ параллельной третьей фундаментальной формой, имеющих неплоскую нормальную связность. -Восьмая Всес.научная конференция по современным проблемам геометрии (Одесса, сентябрь 1984 г.). Тезисы докл. Одесса, 1984, С.131.

66. Рийвес К.В. Подмногообразия с параллельной третьей фундаментальной формой в евклидовом пространстве Е^. -Уч. зап. Тартуск.ун-та. 1986, вып.734, C.IÖ2-XI0.

67. Рийвес К.В. О двух классах полусимметрических подмногообразий. -Уч.зап. Тартуск.ун-та. 1988, вып.803, C.95-I02.

68. Рыжков В.В. Сопряженные системы на многомерных поверхностях. -Тр. Моск.мат. о-ва. 1958, т.7, C.I79-226.71» Сшшков Н.С. О геодезическом отображении римановых пространств на симметрические римановы пространства. -ДАН СССР. 1954, т.98, Ш I, С.21-23.

69. Синюков Н.С, 0 геодезическом отображении римановых пространств. -Труды третьего всесоюзного матем.съезда. 1956, т.1, С.167-168.

70. Синюков Н.С. Геодезические отображения римановых пространств. -М.: Наука, 1979, -256 с.

71. Синюков Н.С., Синюкова E.H. О голоморфно-проективных отображениях специальных кэлеровых пространств. -Мат. заметки. 1984, т.36, Ш 3, С.417-423.

72. Синюкова E.H. О геодезических отображениях некоторых специальных римановых пространств. -Мат.заметки. 1981, т.30, № 6, С.889-894.

73. Трофимов В.В. Введение в геометрию многообразий с еиммет-риями• -М. : Изд. МГУ, 1989, -359 о.

74. Феденко A.C. Пространства с оимметриями. -Мн. : Изд. БГУ, 1977. -168 с.

75. Фоменко А.Т. Дифференциальная геометрия и топология. Дополнительные главы. -M. i Изд. МГУ, 1983. -216 с.

76. Хелгасон G. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства. -М. : Мир, 1964. -533 с.

77. Широков А.П. О симметрических пространствах, определяемых алгебрами. -Изв.вузов. Мат. 1963, É6, СЛ59-171.

78. Широков А.П. О симметрических пространствах, определяемых коммутативными алгебрами 4-го порядка. -Уч.зап. Казанск. ун-та. 1966, T.I26, è I, С.60-80.

79. Широков П.А. Постоянные поля векторов и тензоров 2-го порядка в римановых пространствах. -Изв. физ.-мат. общества при КГУ. Серия 2. 1925, т. 25, С.86-114.

80. Широков П.А. Симметрические пространства 1-го класса. -Уч. зап. Казанск. ун-та. 1954, т.114, ш 8, C.7I-82.

81. Широков П.А. Избранные работы по геометрии. -Казань : Изд. КГУ, 1966. -432 с.

82. Akbar-Zadeh H., Couty R. Espaces a tenseur de Ricci parallele admettant des transformations projectives.-Rend.mat.1978, v.11, No 1, p.85-96.

83. Akiba S. Submanifolds with flat normal connection and parallel second fundamental tensor. Sci.Repts Yokohama Nat.Univ.Sec.1, 1976, No 23, p.7-14.

84. Asperti A.C., Mercuri F. Semi-parallel immersions into space forms. Boll.Unione Mat.Ital. 1994, (7)8-B,p.833-895.88

Обратите внимание, представленные выше научные тексты размещены для ознакомления и получены посредством распознавания оригинальных текстов диссертаций (OCR). В связи с чем, в них могут содержаться ошибки, связанные с несовершенством алгоритмов распознавания.
В PDF файлах диссертаций и авторефератов, которые мы доставляем, подобных ошибок нет.

Автореферат
200 руб.
Диссертация
500 руб.
Артикул: 60306