Системы порождающих алгебры инвариантов представлений колчанов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Лопатин, Артем Анатольевич

• Лопатин, Артем Анатольевич
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Лопатин, Артем Анатольевич

Введение

1. Относительно свободная алгебра с тождеством .х^О

1.1. Определения и обозначения.

1.2. Замечания о работе с тождествами.

1.3. Тождества некоторых однородных компонент.

1.4. Случай рфО, ¿ФЗ.

1.5. Случай р=0 илир>3.

1.6. Метод композиций.

1.7. Полилинейная однородная компонента

1.8. Случай/т=2.

1.9. Случай/7=3.

1.10.Свойство коммутативности однородной компоненты мультисте-пени (3,3,.,3) при р=3.

2. Матричная алгебра инвариантов 3-го порядка

2.1. Порождающие и определяющие соотношения.

2.2. Вспомогательные результаты

2.3. Случай характеристики равной 2.4. Минимальная система порождающих.

2.5. Однородная система параметров для трех матриц.

3. Полуинварианты '-представлений колчанов

3.1. Предварительные сведения

3.1.1. Обозначения и некоторые замечания.

3.1.2. *-представления колчанов

3.1.3. Распределения множеств и подгруппы Юнга.

3.2. Опредление и свойства БР.

3.3. Сведение случая произвольного колчана к зигзаг-колчану.

3.4. Полуинварианты ""-представлений зигзаг-колчанов.

3.5. Доказательство теоремы

4. Некоммутативные инварианты

4.1. Предварительные сведения и определения.

4.2. Алгебра инвариантов симметрической степени

4.3. Алгебра инвариантов внешней степени.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Системы порождающих алгебры инвариантов представлений колчанов»

Настоящая диссертация посвящена вопросам, связанным с построением систем порождающих некоторых алгебр инвариантов.

Теория инвариантов сформировалась как самостоятельная алгебраическая дисциплина более полутора веков назад под влиянием ряда задач геометрии, алгебры и теории чисел. Ее первоначальной целью было изучение алгебраических выражений, не меняющихся (или меняющихся определенным образом) при невырожденных линейных заменах переменных. Однако в течение последующего времени и взгляд на основные задачи, и основные методы теории менялись не один раз. Причину этого следует искать в органической связи теории инвариантов с рядом математических дисциплин, все крупные достижения которых давали новые импульсы теории инвариантов. В то же время и сама теория инвариантов стимулировала развитие смежных областей и даже дала начало новым разделам алгебры (коммутативной алгебре и гомологической алгебре). Не слишком упрощая, можно сказать, что с современной точки зрения теория инвариантов — это теория действия алгебраических групп на алгебраических многообразиях. Основы теории инвариантов изложены в книгах Спрингера [15], Мамфорда и Фогати [50], Крафта [8], Винберга и Попова [1].

Сформулируем основную проблему теории инвариантов. Все векторные пространства, алгебры, модули будем рассматривать над бесконечным полем К произвольной характеристики р (р = 0,2,3,.). Пусть редуктивная алгебраическая группа б? регулярно действует на т-мерном аффинном многообразии V = Кт. Это действие определяет естественное действие С? на координатной алгебре К\У\: (д • /)(ь) = /(д'1' где / е КЩ д € С, V е V. Через К\у)° обозначим алгебру инвариантов кольца К\у] относительно действия (7. Согласно теореме Гильберта-Нагаты об инвариантах [51], К[У]° является конечно порожденной градуированной алгеброй. Однако предложенное Гильбертом доказательство для полей нулевой характеристики, как и доказательство Нагаты для полей положительной характеристики, является неконструктивным. Поэтому основная проблема теории инвариантов — отыскание системы порождающих К[У]° — остается открытой. Кроме того, с позиций конструктивной теории инвариантов желательно отыскать не произвольную, а минимальную относительно включения систему порождающих (МСП). Понятно, что рассчитывать на удовлетворительное описание системы порождающих в произвольном случае не приходится, поэтому обычно рассматривают более конкретные ситуации.

Представления колчана впервые появились в работе Габриэля [36]. Важность этого понятия заключается в том, что категория представлений данного колчана эквивалентна категории конечномерных модулей над алгеброй путей, ассоциированной с ним. Поскольку произвольная конечномерная наследственная базисная алгебра над алгебраически замкнутом полем является фактор-алгеброй некоторой алгебры путей подходящего колчана (например, см. главу 3 из [2]), ее конечномерные модули образуют полную подкатегорию категории представлений этого колчана. Произвольное представление колчана является набором из векторных пространств, индексированных вершинами колчана, и линейных отображений между ними, ориентированных „вдоль" ребер. Морфизмы представлений — это наборы линейных отображений между одноименно индексированными пространствами, коммутирующие с линейными отображениями самих представлений. Множество представлений колчана фиксированной размерности естественным образом наделяется структурой векторного пространства. Его группа автоморфизмов — это прямое произведение общих линейных групп, действующих на „вершинных" пространствах. Понятно, что орбиты этого действия тождественны классам эквивалентных (изоморфных) представлений. Построив категорный фактор этого действия, т.е. посчитав порождающие алгебры инвариантов, мы сможем разделять, по крайней мере, замкнутые орбиты, соответствующие полупростым представг лениям.

Впервые эта задача была решена в важном частном случае колчана с одной вершиной и й петлями. Его пространство представлений размерности п совпадает с пространством с? матриц п-ого порядка, на котором £Х(п) действует диагонально сопряжениями. Соответствующая алгебра инвариантов называется матричной алгеброй инвариантов п-го порядка и обозначается через В случае р — 0 порождающие и определяющее соотношения Яп^ описаны Сибирским [14], Прочези [53] и Размысловым [12]. Проблема нахождения независимого от характеристики подхода к матричной алгебре была поставлена, например, Форманеком в [38]. Значительный прогресс в этой области был достигнут за последние пятнадцать лет: для произвольной характеристики порождающие были описаны Донкиным [32], а определяющие соотношения — Зубковым [3]. Метод этих работ базируется на теории модулей с хорошей фильтрацией [30].

Проблема определения МСП алгебры Дг,«* решена Сибирским [14] для случая р = 0, Прочези [54] — для р > 2 и Домокосом, Кузьминым, Зубковым [28] — для р = 2. Кроме того, в работе Домокоса [27] для поля произвольной характеристики найдены некоторые верхние и нижние границы на максимальную степень элементов из МСП алгебры Ип4- Для р — 0 Абеасис и Питталуга [18] при помощи компьютера вычислили мощность МСП Яз^ при <1 < 10 и указали алгоритм вычисления этого множества для произвольного числа матриц. В предлагаемой работе найдена МСП Иг,а для произвольного в, и произвольной характеристики. Для этих целей был установлен базис ассоциативной относительно свободной алгебры с тождеством хг = 0 над полем произвольной характеристики и, в частности, найдена ее ступень нильпотентности.

Отметим, что проблема определения С(п,с1,К) — ступени нильпотентности ассоциативной относительно свободной алгебры с д. порождающими и тождеством хп = 0 — восходит к теореме Дубнова-Иванова-Нагаты-Хигмана [35, 40], утверждающей, что для р — 0 или р > п выполнено С{п,(1,К) < 2п, т. е. существует верхняя оценка на С(п, ¿, К), не зависящая от в,. Позже для полей нулевой характеристики Размысловым и Кузьминым [9, 13] были доказаны оценки п(п + 1)/2 < С(п,с?,/С) < п2 и выдвинута гипотеза, что С(п,<1,К) — п(п+1)/2. Эта гипотеза доказана Воган-Ли лишь для случая п < 4 [60], и есть частичный результат Шестакова и Жукаветц для п = 5 [56]. Для полей положительной характеристики верхнюю оценку на С(п,с1,К) предложил Белов [22], которую затем усилил Клейн [42]: С(п,ё,К) < (1/6)п6сГ и С(п, й, К) < 1/{т - 1)! пл3бГ, где т = [я/2].

Согласно лемме Нетер о нормализации В^^ содержит однородную относительно градуировки натуральными числами систему параметров (ОСП), т.е. такое множество алгебраически независимых однородных элементов, что Яп^ цела над порожденной ими подалгеброй. Как доказал Хашимото [39], Ип,<1 является свободным модулем над подалгеброй, порожденной произвольной ОСП. Этим и объясняется важность нахождения ОСП для Яп4- Работа по изучению ОСП алгебры Кпд и ее ряда Гильберта была начата Тераниши. В случае р = 0 он нашел ОСП для #з,2 > #4,2 [57] и для Е.24 при (I > 2 [58]. На случай р > 0 эти результаты были обобщены в [28]. В данной работе построена ОСП для Яз,з для поля произвольной характеристики.

Метод работ [32, 3] в дальнейшем был успешно применен Донкиным и Зубковым для нахождения порождающих и определяющих соотношений инвариантов представлений произвольных колчанов [34, 5]. В случае р = О эти результаты были независимо получены Ли Брюном, Прочези [44] и Домокосом [26].

Естественным обобщением изложенного выше было бы вычисление полуинвариантов представлений колчанов и переход к другим классическим группам. Первая задача была решена Домокосом, Зубковым [29] тем же методом, который использовался в работах [32, 34,3, 5], и независимо Дерксеном, Вейманом [24, 25] — методами теории представлений колчанов. Отметим еще работу Скофилда, Ван дер Берга [55], решивших эту проблему в случае р — 0. Что касается второй задачи, то первые шаги были сделаны в классической работе Прочези [53]. Им были посчитаны матричные инварианты ортогональных и симплектических групп над полем нулевой характеристики. Затем Зубковым [4] этот результат был обобщен для почти всех классических групп. Неисследованным остался лишь случай р = 2 для (специальных) ортогональных групп и случай специальной ортогональной группы четной степени всех характеристик, кроме нулевой [21]. Основная редукция статьи [4] фактически показывает, что наиболее общая концепция, в рамках которой может быть решена вторая задача, это понятие »-представлений колчана. В явном виде это понятие было сформулировано Зубковым в [62] под именем смешанного представления. Там же были найдены порождающие инварианты *-представлений колчанов, а также их различных обобщений, включающих ортогональные и симплектические представления симметрических колчанов, недавно введенные Дерксеном и Вейманом [24]. Кроме того, Зубковым [63] были найдены определяющие соотношения алгебр инвариантов ^-представлений колчанов и намечены приложения к проблеме вычисления определяющих соотношений инвариантов ортогональных и симплектических групп. Диссертантом совместно с Зубковым была найдена порождающая система алгебры полуинвариантов ♦-представлений колчанов.

Аналогично определению алгебры инвариантов К[У]° можно определить алгебру некоммутативных инвариантов К(у)°. Независимо друг от друга Лейн [43] и Харченко [17] доказали, что для произвольной С < К(у)с будет свободной ассоциативной алгеброй над полем

К. В отличие от классического случая, алгебра некоммутативных инвариантов не всегда является конечно порожденной. В случае поля нулевой характеристики критерий конечной порожденности К(У)° дает теорема Корюкина [7]: пусть С — группа линейных преобразований конечномерного пространства V и IV — минимальное подпространство V такое, что К{У)° С К(\У); тогда К{У)° будет конечно порожденной алгеброй тогда и только тогда, когда С действует на IV как конечная циклическая группа скалярных преобразований. Пусть V будет конечномерным векторным пространством и пусть 5£(У) диагонально действует на симметрической степени 5Г(К) и на внешней степени ЛГ(У"). В статье Тераниши [59] были найдены базисы и свободные порождающие алгебр инвариантов К{Бг(У))3^у\ К{АГ(У))ЗЬ^ над полем характеристики 0 и доказано, что они не являются конечно порожденными над К. В диссертации показано, как рассуждения из [59] переносятся на случай поля произвольной характеристики.

Опишем содержание диссертации по главам.

В главе 1 строится базис относительно свободной алгебры с тождеством аг3 = 0 над полем произвольной характеристики, которую обозначим через (теоремы 1.2,1.3 и утверждение 1.2), и, в частности, устанавливается ее ступень нильпотентности (следствие 1.1). В разделе 1.1 вводятся обозначения и понятия, необходимые в главе 1. Раздел 1.2 посвящен выведению простейших тождеств алгебры Л^ и определению так называемого канонического вида элементов N3^. В разделе 1.3 исследуются тождества некоторых однородных компонент алгебры N3^ и определяются гомоморфизмы, которые далее играют важную роль. В разделе 1.5 показано, что в случае р ^ 2,3 степень нильпотентности N3,4 постоянна, поэтому базис N3^ несложно найти при помощи компьютерной программы, что и было сделано. В разделе 1.6 метод композиций приспосабливается к данной ситуации и показывается, что при р = 2,3 для нахождения базиса полилинейной компоненты алгебры N3^ можно ограничиться рассмотрением „малых" в, (утверждение 1.3). В разделе 1.7 для р = 2,3 был найден базис полилинейной компоненты ТУз^ при „малых" ё посредством компьютерной программы, а затем этот результат был обобщен на произвольные <1 (теорема 1.1). Задача построения базисов остальных однородных компонент решена независимо от полилинейного случая при р= 2 в разделе 1.8 и сведена к нему при р — 3 в разделе 1.9. В разделе 1.10 устанавливается свойство коммутативности для некоторых однородных компонент N3^ при р = 3, которое необходимо в главе 2 (утверждение 1.4).

Глава 2 посвящена алгебре Яз^ — матричной алгебре инвариантов третьего порядка. А именно, находится МСП алгебры Яз4 при произвольном (1 (теорема 2.1) и устанавливается ОСП алгебры Яз$ (теорема 2.2). В разделе 2.1 вводятся необходимые определения и формулируется теорема Прочези-Размыслова. В разделе 2.2 описывается связь между МСП алгебры Яп4 и базисами алгебры Л^. Кроме того, для р = 3 в разделе 2.3 пришлось изучить соотношения фактора по квадрату подалгебры, состоящей из суммы однородных компонент положительной степени. В разделах 2.4, 2.5 формулируются и доказываются упомянутые теоремы 2.1, 2.2»

В главе 3 строится система порождающих алгебры полуинвариантов »-представлений колчанов.

В разделе 3.1 вводятся необходимые определения (в том числе и определение »-представлений колчана) и формулируются некоторые вспомогательные результаты.

Раздел 3.2 посвящен определению функции БР от тройки матриц, которая представляет собой смесь детерминанта и двух пфаффианов, и изучению некоторых ее комбинаторных свойств (лемма 3.4).

В разделе 3.3 осуществляется редукция общей задачи к случаю так называемых зигзаг-колчанов, являющихся частным случаем двудольных колчанов. Доказывается, что полуинварианты Непредставлений произвольного колчана накрываются полуинварианта^ ми »-представлений некоторого зигзаг-колчана, и указывается алгоритм его построения (теорема 3.1).

Разделы 3.4, 3.5 посвящены поиску системы порождающих полуинвариантов *-представлений зигзаг-колчана. Существует естественный способ построения некоторых полуинвариантов »-представлений: специальным образом строятся тройки блочных матриц, при этом в качестве блоков используются компоненты пространства представлений колчана. Частичные линеаризации значений функции БР от построенных троек блочных матриц являются полуинвариантами непредставлений колчана. В разделе 3.4 сформулирована и доказана в разделе 3.5 теорема 3.2, утверждающая, что все полуинварианты непредставлений колчана лежат в линейной оболочке построенных полуинвариантов »-представлений.

В главе 4 результаты из статьи [59] переносятся на случай поля положительной характеристики, а именно, находятся базисы и свободные порождающие алгебр некоммутативных инвариантов К(Аг над полем К и показывается, что они не являются конечно порожденными над К (утверждения 4.1, 4.2, 4.3, 4.4, 4.5, 4.6).

Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в научных исследованиях по теории инвариантов.

Результаты работы докладывались международных конференциях „Мальцевские чтения" (Новосибирск, 2002, 2003), международной алгебраической конференции, посвященной 250-летию Московского государственного университета и 75-летию кафедры алгебры (Москва,

2004), международной конференции „Теория представлений и ее приложения" (Швеция, Уппсала, 2004). Основные результаты диссертации опбликованы в работах [10, 45, 11, 46, 47, 48, 6].

В заключение автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю профессору Зубкову Александру Николаевичу за ценные советы и постоянное внимание к работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Лопатин, Артем Анатольевич, 2004 год

1. Винберг Э.Б., Попов В.Л. Теория инвариантов // Итоги науки и техн. Соврем, проблемы матем. Фундам. напр. ВИНИТИ. 1989. Т. 55. С. 137-309.

2. Дрозд Ю.А., Кириченко В.В. Конечномерные алгебры. Киев, 1980.

3. Зубков А.Н. Об одном обобщении теоремы Прочези-Размыслова // Алгебра и Логика. 1996. Т. 35. N 4. С. 433-457.

4. Зубков А.Н. Инварианты присоединенного действия классических групп // Алгебра и Логика. 1999. Т. 38. N 5. С. 549-584.

5. Зубков А.Н. Теорема Прочези-Размыслова для колчанов // Фундам. и прикл. мат. 2001. Т. 7. N 2. С. 387-421.

6. Зубков А.Н., Лопатин A.A. Полуинварианты *-предсталений колчанов: Препринт N 04-08. Омск: Омск. гос. ун-т, 2004. 26 с.

7. Корюкин А.Н. О некоммутативных инвариантах редуктивных групп-// Алгебра и логика. 1984. Т. 23. N 4. С. 419-429.

8. Крафт X. Геометрические методы в теории инвариантов. М.: Мир, 1987.

9. Кузьмин E.H. О теореме Нагаты-Хигмана // Математические структуры — Вычислительная математика — Математиеское моделирование. Сборник трудов, посвященных шестидесятилетию академика Л.Г. Илиева. София, 1975. С. 101-107.

10. Лопатин A.A. Некоммутативные инварианты в случае поля простой характеристики // Вестник ОмГУ. 2002. Т. 23. N 1. 19-21.

11. Domokos M. Invariants of quivers and wreath products // Comm. Algebra. 1998. V. 26. P. 2807-2819.

12. Domokos M. Finite generating system of matrix invariants // Math. Pannon. 2002. V. 13. N 2. P. 175-181.

13. Domokos M., Kuzmin S. G., Zubkov A.N. Rings of matrix invariants in positive characteristic //J. Pure Appl. Algebra. 2002. V. 176. P. 6180.

14. Domokos M., Zubkov A.N. Semi-invariants of quivers as determinants // Trans, groups. 2001. V. 6. N 1. P. 9-24.

15. Donkin S. Rational representations of algebraic groups: tensor products and filtarations // Lecture Notes in Math. Springer, 1985. V. 1140.

16. Donkin S. Skew modules for reductive groups // J. Algebra. 1988. V. 113. P. 465-479.

17. Donkin S. Invariants of several matrices // Invent. Math. 1992. V. 110. P. 389-401.

18. Donkin S. Invariant functions on matrices // Math.Proc.Cambridge Phil.Soc. 1992. V. 113. N 23. P. 23-43.

19. Donkin S. Polynomial invariants of representatins of quivers // Comment. Math. Helvetici. 1994. V. 69. P. 137-141.

20. Dubnov J., Ivanov V. Sur l'abaissement du degre des polynomes en affineurs // C. R. (Doklady) Acad. Sci. URSS (N. S.). 1943. V. 41. P. 95-98 (French).

21. Gabriel P. Unzerlegbare Darstellungen I // Manuscr. Math. 1972. V. 6. P. 71-103.

22. F.D. Grosshans, Algebraic homogeneous spaces and invariant theory, Lecture Notes in Math. Springer, 1997. V. 1673.

23. Formanek E. The polynomial identities and invariants of n x n matrices // American Math. Soc. Regional Conference series in Mathematics. 1991. V. 78. Providence, RI.

24. Hashimoto M. Good filtrations of symmetric algebras and strong irregularity of invariant subrings // Math. Z. 2001. V. 236. P. 605-623.

25. Higman G. On a conjecture of Nagata // Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 1956. V. 52. P. 1-4.

26. Hilbert D. Uber die vollen Invariantensysteme // Ges. Abh. II. Springer-Verlag, 1970. P. 287-344.

27. Klein A.A. Bounds for indices of nilpotency and nility // Arch. Math. (Basel). 2000. V. 76. P. 6-10.

28. Lane D.R. Free algebras of rank two and their automorphisms. Ph.D. thesis. Betford College. London, 1976.

29. Le Bruyn L., Procesi C., Semi-simple representations of quivers // Trans. Amer. Math. Soc. 1990. V. 317. P. 585-598.

30. Lopatin A.A. The algebra of invariants of 3 x 3 matrices over a field of arbitrary characteristic // Comm. Algebra. 2004. V. 32. N 7. 28632883.

31. Lopatin A.A. Relatively free algebras with the identity x3=Q Preprint N 04-09. Omsk State Univ. 2004. 43 pp.

32. Mathieu O. Filtrations of G-modules // Ann. Sei. Ecole Norm. Sup. 1990. V. 23. N 4. P. 625-644.

33. Mumford D., Fogarty J. Geometric invariant theory. 2nd enlarged edition. Ergebnisse 34. Springer, 1982.

34. Nagata M. Invariants of a group in an affine ring //J. Math. Kyoto Univ. 1964. V. 3. P. 369-377.

35. Procesi C. Finite-dimensional representations of algebras // Israel J.Math. 1974. V. 19. P. 169-182.

36. Procesi C. The invariant theory of n x n matrices // Adv. Math. 1976. V. 19. P. 306-381.

37. Procesi C. Computing with 2x2 matrices //J. Algebra. 1984. V. 87. P. 342-359.

38. Schofield A., Van den Bergn M. Semi-invariants of quivers for arbitrary dimension vectors //To appear in Indag. Math.

39. Shestakov LP., Zhukavets N. On associative algebras satisfying the identity x5 = 0 // Algebra and Discrete Mathematics. 2004. N 1. P. 112-120.

40. Teranishi Y. The ring of invariants of matrices // Nagoya Math. J. 1986. V. 104. P. 149-161.

41. Teranishi Y. The Hilbert series of rings of matrix concomitants // Nagoya Math. J. 1988. V. 111. P. 143-156.

42. Teranishi Y. Noncommutative classical invaiant theory // Nagoya Math. J. 1988. V. 112. P. 153-169.

43. Vaughan-Lee M.R. An algorithm for computing graded algebras //J. Symbolic Comput. 1993. V. 16. P. 345-354.

44. Zubkov A.N. Endomorphisms of tensor products of exterior powers and Procesi hypothesis // Comm. Algebra 22(1994), N12, 6385-6399.

45. Zubkov A.N. Invariants of mixed representations of quivers I // To appear in Journal of Algebra and its Applications.

46. Zubkov A.N. Invariants of mixed representations of quivers II // To appear in Journal of Algebra and its Applications.