Теоремы единственности для максимума конформного радиуса и для внешней обратной краевой задачи тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Попов, Николай Иванович

• Попов, Николай Иванович
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Попов, Николай Иванович

СОДЕРЖАНИЕ

Введение___________________________________3

Глава I. Неравенства изопериметрического типа в экстремальных задачах при конформном отображении_____________________12

§1. Экстремальные задачи для площадей при конформном отображении единичного круга_______________________12

§2. Минимизация площадей при конформном отображении кольца и

круга с концентрическими разрезами________________21

§3. Неравенства изопериметрического типа с применением к

оценкам конформного радиуса____________________32

§4. Об условиях звездообразности аналитических функций с ограниченной кривизной образа границы_________________38

Глава II. Теоремы единственности_____________________48

§5. Исследование экстремумов конформного радиуса______48

§6. Метод подчиненности при локализации максимума конформного радиуса _______________________________53

§7. Точные оценки для функционалов при использовании условия

подчиненности_____________________________61

§8. О единственности решения внешней обратной краевой задачи в подклассах однолистных функций________________74

Литература

82

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Теоремы единственности для максимума конформного радиуса и для внешней обратной краевой задачи»

ВВЕДЕНИЕ

В диссертации рассмотрены экстремальные задачи для площадей при конформном отображении и их приложения . Доказаны теоремы единственности для максимума конформного радиуса и для внешней обратной краевой задачи.

Понятие конформного радиуса односвязной области введено Д.Пойа и Г.Сеге в известной работе „Задачи и теоремы из анализа", впервые вышедшей в 1925 г. ( см . [35 ]). Это понятие определяется следующим образом. Пусть О - произвольная односвязная область плоскости имеющая более одной граничной точки, со - произвольная конечная точка области О. По теореме Римана о конформном отображении ([17 ], с. 29-32 ) существует единственная функция г = Е{м>), регулярная в О, нормированная условиями Е(со) = Е'(а))-1 = 0 и однолистно отображающая область О на круг \z\kR. Радиус этого круга К = со) и называется конформным (внутренним ) радиусом области О в точке со.

Интерес к этому понятию возник из-за его связи с другими характеристиками области О (трансфинитным диаметром, площадью области, длиной ее границы и другими ). Взаимосвязи такого типа в форме оценок изопери-метрического характера нашли отражение в монографии [36]. Исследование точности этих оценок привело к необходимости изучения экстремальных свойств участвующих в них величин .

В работе „Задачи и теоремы из анализа" рассматривались простейшие свойства экстремума Д(Дй>), а систематическое их описание было предпринято в статье Г. Хиги [56]. В ней, в частности, получена формула для вычисления конформного радиуса

= Я(/(Е),/(0) = \/'(0\ ■ (1 -), ( 0.1 )

где /(£) - функция, реализующая конформное отображение единичного круга Е = {£. |£|<1} на область £> = /(#). При этом конформный радиус (0.1) интерпретировался как поверхность над кругом Е или обла-

стью О, и исследовался геометрический характер ее критических точек, т.е. точек = + гщ е Е, для которых выполняются условия

д

д

<Г<о ^

= 0,(=£+щ (0.2)

В [56 ] было получено и первое достаточное условие единственности критической точки Л(Дгу) - выпуклость области О, отличной от полосы, - которое в дальнейшем передоказывалось другими способами ([54], [4], см. также [36], с. 211-214).

Можно отметить два направления, по которым развивались исследования экстремальных свойств конформных радиусов : 1) получение оценок указанных величин и их применения в различных неравенствах геометрического и физического содержания и 2) выделение классов областей, обеспечивающих единственность экстремума конформного радиуса, и выяснение условий, приводящих к нескольким критическим точкам . Развитие и современное состояние первого направления в связи с экстремальными задачами геометрической теории функций отражено в монографиях [44], [17], [18], [26], [32] и [31] . Использование оценок конформных радиусов в теории потенциала и их распространение на многомерный случай описаны в [49].

Первое направление характеризует в основном применение конформных радиусов в математической физике ([36]), второе же существенно связано с исследованием внешней обратной краевой задачи по параметру 5, а также задачи удержания плазмы магнитным полем (см. [43]).

Теория обратных краевых задач ( ОКЗ ) для аналитических функций, становление которой связано с именами Г.Г. Тумашева, М.Т. Нужина и Ф.Д.Гахова ( см . [42] и [16] ), в настоящее время имеет многочисленные применения в аэрогидродинамике, теории фильтрации и математической физике . Развитие и современные достижения этой теории отражены в монографиях [42], [34], [41], [19] ,а также в обзорах [2], [6], [3].

Обратная краевая задача по параметру 5 в постановке Ф.Д. Гахо-

ва ([16], §33 ) состоит в отыскании односвязной области ДсСи регулярной в Dz функции w(z), если на границе Lz = dDz задано условие

w(z) | L = u{s) + iv{s), 0 <s<l, ( 0.3 )

где s - дуговая абсцисса неизвестного спрямляемого контура Lz, 1-е го

длина . При этом краевое условие ( 0.3 ) должно удовлетворять некоторым дополнительным ограничениям ([16], с.320 ; [42], с.76 ), при выполнении которых уравнения и = u(s\ v = v(s), 0 <s<l, определяют в плоскости w = u+iv простую замкнутую кривую Ляпунова . Обратная краевая задача называется внутренней или внешней в зависимости от того, какой из областей, соответственно, C\DZ или Dz, принадлежит бесконечно удаленная точка.

Решение внешней ОКЗ при переходе к единичному кругу (w = еЕ) с точностью до сдвигов и поворотов в плоскости z запи-

сывается в виде

ZÍS) = • <0 4)

а V Ь ЪО J

( |а| <1, -комплексная постоянная ), где функция /(£") является ре-

шением внутренней ОКЗ с тем же краевым условием ( 0.3 ). Полюс £ = функции z(£) определяется из условия

/ЧО

известного в теории ОКЗ как уравнение Ф.Д. Гахова, который получил его и доказал разрешимость ([15]). В работах Ф.Д. Гахова [15], [16], B.C. Рогожина [40], [39], С.Н. Кудряшова [24] был построен ряд примеров неединственности решения уравнения (0.5).

В статье J1.A. Аксентьева [4] установлена связь между внешней ОКЗ и конформным радиусом области . Оказалось, что равенство ( 0.5 ) в некоторой точке эквивалентно условиям ( 0.2 ). Это позволяет сделать вы-

вод о том, что число решений внешней ОКЗ не превосходит количества критических точек конформного радиуса, и что единственность критической точки (0.1 ) означает единственную разрешимость внешней ОКЗ .

Получение достаточных признаков единственности решения внешней ОКЗ развивалось в основном в двух направлениях : построение внутренних условий - по поведению функции /(£), и внешних условий, которые устанавливаются с помощью эквивалентного представления формулы (0.4) во внешности Е~ = {ж > 1} единичного круга

Л - ..Л2

W

П 1

1 - WQW

F(w) = if'[-]— -— dw (0.6)

ь \wJ W VW-Wq J

( b^w0, 1 < |6| < oo, -комплексная постоянная ). Полюс w0 еЕ~ функции

F(w) определяется из уравнения ( 0.5) при £= —. При условии /"(0) = О

w

это уравнение можно переписать в форме [24]

F"(w) "2 ,«-,4

w =—г-. (0.7)

F'(w) |w|2_i

Условия единственности решения уравнения ( 0.5 ) или ( 0.7 ) построены в работах Ф.Г. Авхадиева, Я.А. Аксентьева, A.B. Казанцева, С.Н. Кудряшова, Ю.Е. Хохлова, Е.А. Широковой (см . [4], [5], [11], [23], [25],

Г Л Gl Г VI-71 ГОЛ1 \

l4bj, L'WJ, lA/j ).

Распространение понятия конформного радиуса на многосвязный случай приведено в работах [62], [63]. В связи с этим вопрос о числе решений внешней ОКЗ в случае конечносвязных и счетносвязных областей, рассмотрен в [10], [20], [21], [22].

Актуальность темы диссертации обусловлена необходимостью выделения новых классов единственности решения внешней ОКЗ . Целью диссертации является получение достаточных условий единственности критической точки конформного радиуса в виде неулучшаемых признаков, а также установление единственности решения внешней ОКЗ в подклассах однолистных функций.

Перейдем к изложению основных результатов работы .

Диссертация состоит из восьми параграфов, объединенных в две главы . Нумерация утверждений и формул ведется по параграфам .

V V/

В первой главе решены экстремальные задачи для площадей при конформном отображении и неравенства изопериметрического типа применены к оценкам конформного радиуса .

В §1 решены экстремальные задачи для площадей при конформном отображении единичного круга . Задачи такого типа рассматривали Гуд-ман [55] и С.Ямашита [64]. В [64] получены точные значения

1

шах о\ (Ег) I и шах с

/еБ 1 1 /б?

F

■(Е,О

/

, где ст^Д^)] обозначает площадь об/00

раза круга Ег = {г: \г\ < г} при отображении функцией /7(2), ^(г) =

а функция /(г) = г + аггг + а3гъ +... е 51, т. е. является регулярной и однолистной в круге Е = {г: \г\ < 1}. В данном параграфе рассмотрены аналогичные задачи на подклассах из в частности, в подклассе Бм таких функций /(г) е 5, которые по модулю ограничены величиной М >1, а также

для регулярных в Е функций /(г). ТЕОРЕМА 1.2 . Пусть функция

/00 = 2+ Ф о,

ы з

(0.8)

регулярна в Е,

= 6а3г

2 /'00

ГО0

(0.9)

Тогда справедлива оценка

<7

6 аъ2

яи)

= сг

У 00

<4 л-

(0.10)

1

при выполнении неравенства \а3\< - и одного из следующих условий:

6

I ¡2 | |2 1

I)g(z) е5 и \а3\ +2\а4\ <—;

II)§{2)е8 и \8"Щ< 2^2-

III)§(2)еБм, 1 < М < 2 + л/3;

Некоторым видоизменением теоремы 1.2 является ТЕОРЕМА 1.3 . Пусть функция /(г), заданная с помощью соотношения ( 0.8 ), регулярна в Е и g(z) определяется равенством ( 0.9 ) . Тогда справедлива оценка (0.10) при условии, что

11тЛЮ|~Ш6 Ы 8(2)е8'

Экстремальные задачи для площадей, рассмотренные в §1, используются в дальнейшем в параграфах 5 и 6 для получения достаточных условий единственности критической точки конформного радиуса .

Во втором параграфе получены утверждения, связанные с минимизацией площадей при конформном отображении кольца и круга с концентрическими разрезами . Доказан аналог теоремы Д.В. Прохорова [38] о минимизации образа кольца при отображении регулярной функцией , также в данном параграфе по-новому доказано известное классическое неравенство Карлемана [52], которое используется в дальнейшем.

В третьем параграфе с применением неравенств изопериметрическо-го типа из монографии [36] представлена некоторая систематизация результатов, связанных с условием единственности критической точки конформного радиуса.

В работе [33] была доказана единственность решения внешней обратной краевой задачи для аналитических функций в постановке Ф.Д. Га-хова [16] в классах областей со спиралеобразными или звездообразными дополнениями . В связи с этой задачей возникла проблема выделения подклассов звездообразных контуров в некоторых классах простых контуров. В §4 получено достаточное условие звездообразности простого гладкого

контура Ь при ограничениях на кривизну и длину рассматриваемого контура. Приводится также достаточное условие звездообразности аналитических, за исключением полюса в оо, функций

1,

относительно точки уу = 0, не принадлежащей образу > 1 при отображении функцией м> = Еп{£).

Во второй главе доказаны теоремы единственности для максимума конформного радиуса и для внешней обратной краевой задачи [16].

В пятом параграфе получены достаточные условия единственности критической точки ( максимума ) конформного радиуса с использованием неравенств изопериметрического типа. К ним относится следующая

ТЕОРЕМА 5.1 . Пусть функция ( 0.8 ) регулярна в круге Е, а для

функции Е(г) = ^ ^ выполняется неравенство

<7(70 = о[р(Е)] = ¡1\р'(г)\2¿хду < 4лг, г = х + гу. ( 0.11 )

Е

Тогда г-0 - единственная критическая точка ( максимум ) конформного радиуса Щг) = (Е),/(г)] = ¡/'0)|^1 - \г\2Е, причем постоянную

4 я- в ( 0.11) увеличить нельзя.

Построение достаточных условий единственности критической точки конформного радиуса в форме ограничений, ставших традиционными в теории достаточных признаков однолистности, рассматривается в шестом параграфе. С использованием метода подчиненности основные результаты этого параграфа сформулированы в виде теорем 6.1, 6.2 и 6.3. В качестве следствий из результатов решений экстремальных задач для площадей из §1 получено несколько утверждений о единственности максимума конформного радиуса.

Для установления теоремы единственности для внешней ОКЗ в подклассах звездообразных функций и функций с ограниченным вращением в

седьмом параграфе приведены точные оценки для функционалов при использовании условия подчиненности . Пусть в круге Е для функции ( 0.8 ) выполняются подчинения

1 + у0г \ +

и

^ при а + /?>0 и а, е (-1, 1].

1-0^ /(г) 1-аг В плоскости а + 1/3 найдены границы областей и которые обеспечивают выполнение импликаций, соответственно,

\-аг ,/'00 1 + ^

/{£) 1-аг

, а+ 1(5 ^ 01

т.

/"00

/'00

< , 0<т<2, и ЗшЫ

<-Чг, 0<т<2.

1-Ы'

На основе доказанных теорем 7.1 и 7.2 в §8 сформулировано утверждение о единственности решения внешней О КЗ . Отметим, что плоскость параметров а-\-iJ3 можно связать с плоскостью параметров (а, Я), причем

каждый допустимый в теореме 8.1 параметр а + \р определяет величины

а и В. , приводящие к кругам \уу - а\ < Л, которыми покрываются области

с /"'(г)

значений функций ^ = или = г ,с- комплексная по-

стоянная .

Выделим основные результаты работы :

- в подклассах регулярных функций получены оценки площадей при конформном отображении единичного круга;

- найдены ограничения на параметры а + г/З, позволяющие получить точные оценки для функционалов при использовании условия подчиненно-

1 +

сти

вида -

1 — I

аг

- установлены новые неулучшаемые условия единственности критической точки конформного радиуса;

- доказаны теоремы единственности решения внешней обратной краевой задачи в подклассах однолистных функций.

Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [8], [9], [12], [28], [29], а также в тезисах докладов третьей Суслинской конференции [50] ( Саратов, июль 1994 г.) и в тезисах докладов научной школы - конференции „Теория функций и ее приложения" [37] ( Казань, июнь 1995 г.). В статье [9], написанной совместно с Л.А. Аксентьевым и A.B. Казанцевым, автору диссертации принадлежат результаты §2, а также следствия 4 и 6 из §3, в работе [8], выполненной в соавторстве, основные идеи статьи предложены Л. А. Аксентьевым и А. В. Казанцевым, в статье [28], написанной совместно с В.П. Миккой, автором получены результаты §2, в работе [12], выполненной совместно с Е.А. Бабенко, соавтором установлена точность четвертого знака константы а0.

По мере получения результаты работы докладывались на семинаре по геометрической теории функций в Казанском университете ( руководитель - профессор Л.А. Аксентьев ), на итоговых научных конференциях Казанского и Марийского государственного университетов ( 1993-1998 гг.), на научной конференции „Вавиловские чтения : диалог наук на рубеже XX-XXI веков и глобальные проблемы современности" ( Йошкар-Ола, декабрь 1996 г.).

Автор выражает глубокую благодарность научным руководителям профессору Л.А. Аксентьеву и доценту В.П. Микке за ценные советы и постоянное внимание к работе, а также доценту A.B. Казанцеву за полезные замечания в процессе получения результатов диссертационной работы .

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Попов, Николай Иванович, 1998 год

ЛИТЕРАТУРА

1.Авхадиев Ф.Г. Конформные отображения и краевые задачи. - Казанский фонд „Математика".- 1996. - 216 с.

2. Авхадиев Ф.Г., Аксентьев Л.А. Основные результаты в достаточных условиях однолистности аналитических функций // Успехи мат.наук.-1975,- Т.ЗО.- № 4.- С.3-60.

3. Авхадиев Ф.Г., Аксентьев Л.А., Елизаров A.M. Достаточные условия ко-нечнолистности аналитических функций и их приложения // Итоги науки и техники : Математический анализ,- М.: ВИНИТИ, 1987 .- Т.25,-С.3-121.

4. Аксентьев Л.А. Связь внешней обратной краевой задачи с внутренним радиусом области // Изв. вузов. Математика. -1984.- №2.- С.3-11.

5. Аксентьев Л.А., Авхадиев Ф.Г. Об одном классе однолистных функций // Изв. вузов. Математика. - 1970.- №10.- С. 12-20.

6. Аксентьев Л.А., Ильинский Н.Б., Нужин М.Т., Салимов Р.Б., Тума-шев Г. Г. Теория обратных краевых задач для аналитических функций и ее приложения // Итоги науки и техники : Математический анализ.-М.: ВИНИТИ, 1980 .-Т. 18.-С.69-126.

7. Аксентьев Л.А., Казанцев A.B., Киндер М.И., Киселев A.B. О классах единственности внешней обратной краевой задачи // Труды семин. по краев, задачам.- Изд-во Казанск. ун-та.-1990,- Вып. 24.- С.39-62.

8. Аксентьев Л.А., Казанцев A.B., Попов Н.И. О теоремах единственности для внешней обратной краевой задачи в подклассах однолистных функций II Изв. вузов. Математика. - 1998. - № 8. - С.3-13.

9. Аксентьев Л.А., Казанцев A.B., Попов Н.И. Экстремальные задачи для площадей при конформном отображении и их применение // Изв. вузов. Математика. - 1995.- №6.- С.3-15.

10. Аксентьев Л.А., Киндер М.И., Сагитова С.Б. Разрешимость внешней обратной краевой задачи в случае многосвязной области // Тр. семина-

ра по краевым задачам.-Казань : Казанск. ун-т, 1983,- Вып. 20,-С.22-34.

11. Аксентьев Л.А., Хохлов Ю.Е., Широкова Е.А. О единственности решения внешней обратной краевой задачи // Мат. заметки,- 1978,- Т.24.-С.319-333.

12. Бабенко Е.А., Попов Н.И. О единственности решения внешней обратной краевой задачи // Междисциплинарная научная конференция „Ва-виловские чтения : диалог наук на рубеже XX-XXI веков и глобальные проблемы современности" : Материалы. - Йошкар-Ола, 1996. -С.537-538.

13. Бляшке В. Круг и шар. - М.: Наука, 1967. - 230 с.

14. Гайдук В.Н. Некоторые условия однолистности решений обратных краевых задач // Тр. семинара по краевым задачам.-Казань : Казанск. ун-т, 1970,- Вып. 7,- С.98-102.

15. Гахов Ф.Д. Об обратных краевых задачах // ДАН СССР.- 1952.- Т.86,-№ 4,- С. 649-652.

16. Гахов Ф.Д. Краевые задачи .- 3-е изд., перераб. и доп.- М.: Наука, 1977.- 640 с.

17. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного- 2-е изд. перераб. и доп.- М.: Наука, 1966.- 628 с.

18. Дженкинс Дж. Однолистные функции и конформные отображения.-М.: Иностр.лит., 1962,- 266 с.

19. Елизаров А.М., Ильинский Н.Б., Поташев A.B. Обратные краевые задачи аэрогидродинамики : теория и методы проектирования и оптимизации формы крыловых профилей .- М.: Физматлит, 1994.- 436 с.

20. Казанцев A.B. Экстремальные свойства внутренних радиусов и их приложения.//Дис.... канд. физ.-мат. наук.- Казань, 1990- 145 с.

21. Киндер М.И. Исследование уравнения Ф.Д. Гахова в случае многосвязной области // Тр. семинара по краевым задачам.-Казань : Казанск. ун-т, 1985.- Вып. 22 - С. 104-116.

22. Киселев A.B. Классы корректности внешних обратных краевых задач по смешанным параметрам.- Автореф.дисс. ... канд. физ.-мат. наук,-Казань, 1989,- 16 с.

23. Кудряшов С.Н. О единственности решения внешних обратных краевых задач // IV науч. конф. аспирантов Ростовск. ун-та : Материалы-Ростов н/Д, 1962 - С. 56-59.

24. Кудряшов С.Н. О числе решений внешних обратных краевых задач // Изв. вузов. Математика. - 1969,- №8,- С.30-32.

25. Кудряшов С.Н., Авхадиев Ф.Г. О числе решений внешней обратной краевой задачи // Тр. семинара по краевым задачам.-Казань : Казанск. ун-т, 1971,- Вып. 8.- С. 136-143.

26. Кузьмина Г.В. Модули семейств кривых и квадратичные дифференциалы // Тр. института / Мат. ин-т АН СССР им. В.А. Стеклова. -1980,-Т.139.- С. 1-240.

27. Микка В.П. Исследования по условиям однолистности аналитических функций и однолистная разрешимость обратных краевых задач // Дис. ... канд. физ.-мат. наук,- Казань, 1973.

28. Микка В.П., Попов Н.И. Об условиях звездообразности аналитических функций с ограниченной кривизной образа границы // Казан, ун-т.- Казань, 1993,- 11 е.- Деп. в ВИНИТИ 30.04.1993, № 1165-В93 ( РЖМат,

1993, 7Б165).

29. Микка В.П., Попов Н.И. Об условии звездообразности аналитических функций с ограниченной кривизной образа границы // Физико-химические методы исследования структуры и динамики молекулярных систем. Материалы Всероссийского совещания. - Йошкар-Ола. -

1994.-С. 10-12.

30. Милин И.М. Однолистные функции и ортонормированные системы.-М.: Наука, 1971.- 256 с.

31. Митюк И.П. Симметризационные методы и их применение в геометрической теории функций . Введение в симметризационные методы .Краснодар : Кубан. ун-т,- 1980.- 90 с.

32. Миткж И.П. Применение симметризационных методов в геометрической теории функций .- Краснодар : Кубан. ун-т.- 1985.- 94 с.

33. Насыров С.Р., Хохлов Ю.Е. Единственность решения внешней обратной краевой задачи в классе спиралеобразных областей // Изв. вузов. Математика. - 1984,- №8,- С.24-27.

34. Нужин М.Т., Ильинский Н.Б. Методы построения подземного контура гидротехнических сооружений. Обратные краевые задачи теории фильтрации.- Казань : Казан, ун-т.- 1963.- 139 с.

35. Полиа Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа . Часть 2. - 3-е изд.-М.: Наука, 1978,- 432 с.

36. Полиа Г., Сеге Г. Изопериметрические неравенства в математической физике.-М.: ГИФМЛ, 1962.-336 с.

37. Попов Н.И. Экстремальные задачи для площадей при конформном отображении и их применение // Теория функций и ее приложения : Тез. докл. школы-конф. 15-22 июня 1995 - Казань, 1995.- С. 54.

38. Прохоров Д.В. Минимизация площади при голоморфном отображении кольца // Вторые матем. чтения памяти М.Я. Суслина. Тез. докл.- Саратов, 1991 .-С. 75.

39. Рогожин B.C. О единственности решения внешней обратной краевой задачи // Учен. зап. Казан, ун-та,- Казань, 1957.- Т.117,- №2,- С. 38-41.

40. Рогожин B.C. О числе решений внешней обратной краевой задачи // Учен. зап. Ростовск. н./Д ун-та,- Ростов н/Д.,1959,- Т.66.- №7-С. 155-158.

41. Салимов Р.Б. Некоторые основные задачи об изменении контуров теории аналитических функций и их приложения в механике жидкости,-Казань : КВВКИУ, 1970.- 364 с.

42. Тумашев Г.Г., Нужин М.Т. Обратные краевые задачи и их приложения.- 2-е изд.- Казань, Казан, ун-т, 1965,- 333 с.

43. Фридман А. Вариационные принципы и задачи со свободными границами. - М.:Наука. - 1990. - 536 с.

44. Хейман В. Многолистные функции. - М.: Изд-во иностр. лит., 1960.-179 с.

45. Хейман У., Кеннеди П. Субгармонические функции. - М.: Мир, 1980.304 с.

46. Хохлов Ю.Е. О разрешимости внешних обратных краевых задач для аналитических функций //ДАН СССР. - 1984. - Т. 278. - №2. - С.298-301.

47. Широкова Е.А. О единственности корня уравнения Гахова // Изв. вузов. Математика. -1981. - №11. - С.64-68.

48. Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф. Специальные функции (формулы, графики, таблицы). - М.: Наука, 1968. - 344 с.

49. Янушаускас А.И. Трехмерные аналоги конформных отображений. - Новосибирск: Наука. Сиб.отд-ние. - 1982. - 176 с.

50. Aksenf ev L.A., Kazantsev A.V., Popov N.I. Area estimates and their application to uniqueness conditions of integral representations // Third Souslin conference. Abstracts. July 20-30, 1994. - Saratov, Russia, 1994.-P.16.

51. Brannan D.A., Kirwan W.E. On some classes of bounded univalent functions // J.London Math. Soc., Sec. Ser. - 1969. - V.1. - Part 3. - P. 431-443.

52. Carleman T. Über ein Minimalproblem der mathematischen Physik //Math. Z.-1918.- Bd.1.- S.208-212.

53. De Branges L. A proof of the Bieberbach conjecture // Acta Math. - 1985. -V.154. - P. 137-152.

54. Finkelstein M. On the relation between measures and convex analytic functions // Illinois j. math. - 1968. - V. 12. - N 2. - P. 175-183.

55. Goodman A.W. Univalent functions // Tampa: Mariner Publ. Co., Inc. - 1983. -V.1.-Chapter3. - P. 25-32.

56. Haegi H.R. Extremal probleme und Ungleichungen konformer Gebietsgrössen // Compositio Math. - 1950. - V.8. - F.2. - P.81 -111.

57. Klötzler R. Zur Anwendung des Pontrjaginschen Maximumprinzips bei distributiver Steuerung auf eine geometrische Aufgabenklasse // Zeitschrift für Analysis und ihre Anwendungen. - 1998. - Bd. 7(3). - S.263-276.

58. Krzyz J. G. Some remarks on the maxima of inner conformai radius // Ann. UMCS. A. - 1992. -T.46. - P.57-61.

59. Kühnau R. Maxima beim konformen radius einfach zusammenhängender Gebiete // Ann. UMCS. A. - 1992. - T.46. - P.63-73.

60. London D. On the zeros of the solutions of w"(z) +p(z)-w(z) = 0 // Pacif. J. Math.- 1962.- V.12.- №3.- P. 979-991.

61. Nehari Z. The Schwarzian derivative and schlicht functions // Bull . Amer. Math . Soc.- 1949,- V.55.- №6.- P. 545-551.

62. Schiffer M. Hadamard's formula and variation of domain-functions // Amer. J. of Math.- 1946.- V.68 - № 4.- P. 417-448.

63. Szegö G. On the capacity of a condenser // Bull . Amer . Math . Soc.-1945.- V.51- №5,- P. 325-350.

64. Yamashita S. Area and length maxima for univalent functions // Bull . Austral. Math . Soc.- 1990.- V.41.- P. 436-439.