Тригонометрические суммы по подгруппам и задачи делимости частных Ферма тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Штейников Юрий Николаевич

• Штейников Юрий Николаевич
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Штейников Юрий Николаевич

1.3 Доказательство теоремы

1.4 Наибольшее расстояние между соседними элементами смежных классов по подгруппе

1.5 Оценки тригонометрических сумм по модулю р3

1.6 О произведении интервалов и множеств с малым мультипликативным удвоением

Глава 2. Совместные представители вычетов по двум модулям

2.1 Введение в задачу о совместных представителях вычетов

2.2 Основное утверждение

2.3 Доказательство неулучшаемости теоремы

Глава 3. Распределение элементов подмножеств натуральных чисел, замкнутых относительно умножения

3.1 Вспомогательные утверждения

3.2 Доказательство теоремы

Глава 4. Задачи делимости частных Ферма

4.1 Определение и некоторые результаты

4.2 Вспомогательные утверждения

4.3 Доказательство основной леммы

4.4 Завершение доказательства теоремы

4.5 Делимость частных Ферма на квадрат простого числа

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Тригонометрические суммы по подгруппам и задачи делимости частных Ферма»

Введение.

Диссертация подготовлена в Математическом институте имени В. А. Стеклова и затрагивает ряд вопросов, относящихся к распределению элементов подгрупп и задач делимости частных Ферма.

Актуальность темы. Настоящая диссертация посвящена исследованию оценок тригонометрических сумм по подгруппам, их приложениям к задачам делимости частных Ферма и свойствам распределения элементов полугрупп натуральных чисел.

Постановки задач, связанных с оценками тригонометрических сумм по подгруппам восходят к работам К.Гаусса, Г.Г. Харди, Дж.Е. Литтлвуда. Ими впоследствии занимались такие известные математики как A.A. Ка-рацуба, И.Е. Шпарлинский, Д.Р. Хиф-Браун, C.B. Конягин, Ж. Бургейн, ИД. Шкредов. Этой и сходным задачам посвящено множество работ, как в России, так и за рубежом. Классическим и новым результатам, связанным с этими вопросами, а также их приложениям уделено внимание в совместной книге С.В Конягина и И.Е. Шпарлинского [26], а также в книге T.Tay и В.Ву [35].

За последние десятилетия были разработаны существенно новые методы и получены глубокие результаты с многочисленными применениями тригонометрических сумм в различных задачах теории чисел. Оценки этих сумм могут быть получены с использованием оценок на количество решений специальных сравнений. Такой подход, основанный на получении оценок таких сравнений, использовался например в работах Д.Р. Хиф-Брауна, C.B. Конягина [24] [2], Ю.В Малыхина [4] [3], Б. Жоу [37], ИД. Шкредова [32]. В настоящей диссертации получена новая оценка на число решений определенного сравнения, на основании которой получаются новые оценки тригонометрических сумм по мультипликативным подгруппам, которые принадлежат полю вычетов простого порядка и размер которых лежит в определенном диапазоне.

В диссертации также исследуются задачи о делимости частных Ферма на простое и квадрат простого числа. Данное свойство имеет некоторые теоретико-числовые приложения. Первые нетривиальные результаты в задаче о делимости частного Ферма на простое число появились в работах X. Ленстры [28], Э. Грэнвиля [21]. В статье [16] с использованием тригонометрических сумм и комбинаторных идей были получены существенные продвижения в этой задаче. В диссертации будет улучшена одна из теорем работы [16].

Научная новизна. Полученные результаты являются новыми, полученными автором самостоятельно. Основными результатами данной работы можно считать следующие:

— Получены новые оценки тригонометрических сумм по подгруппам в поле вычетов простого порядка, размер которых есть приблизительно кубический корень из простого числа.

— Получена новая верхняя оценка на первое число, не обладающего свойством делимости частного Ферма на простое число, за исключением множества простых относительно нулевой плотности.

— Получены оценки о количестве элементов полугрупп натуральных чисел на коротких отрезках с заданным степенным распределением на больших интервалах.

Методы исследования. В работе используются результаты, полученные методом С.А. Степанова, линейная алгебра, результаты о распределении гладких чисел, некоторые комбинаторные идеи.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы при исследовании распределения конечных множеств.

Апробация работы. Результаты настоящей диссертации неоднократно докладывались автором на следующих семинарах:

1. Современные проблемы теории чисел - под руководством C.B. Коня-гина и И.Д. Шкредова в Математическом институте имени В.А. Стеклова,

2. Ортогональные ряды - под руководством B.C. Кашина, C.B. Конягина,

а также на международных конференциях

Компьютерная алгебра и информационные технологии (Одесса, 20-26 августа 2012 года),

Лобачевские чтения - 2014 (Казань, 24-29 октября 2014 г.),

Воронежская зимняя математическая школа. Современные методы теории функций и смежные проблемы. (Воронеж, 27 января - 2 февраля 2015 года.)

Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения (Тула, 25-30 мая 2015 года.)

XII Международная Казанская летняя школа-конференция-

Теория функций, ее приложения и смежные вопросы (Казань, 27 июня - 4 июля 2015 г.)

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [6], [7], [8], [9]. Кроме того, результаты диссертации были также опубликованы в трудах конференций [10], [11], [12], [13], [14].

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 60 страницах и состоит из введения, 4 глав и списка литературы, включающего 37 наименований.

Содержание работы.

Введем некоторые определения, которыми будем пользоваться в дальнейшем. Для натурального g мы будем обозначать через Zq := Z/qZ, а через Z* условимся обозначать множество обратимых элементов кольца Zq, p достаточно большое простое число, если не оговорено обратное. Для целого ж обозначим eq (x) := e2nix/q. Пусть Г Ç Z* - некоторая подгруппа по умножению. Тригонометрическими суммами по подгруппе Г будут называться суммы вида

S (a, Г) = ^^ eq (ax).

xer

Важной задачей является установление нетривиальных по порядку верхних оценок для S (Г) := maxaeZ* |S (a, Г)|:

S (Г) = o( |Г|), q ^œ. (0.1)

Один из первых результатов в этом направлении принадлежит К. Гауссу. Г

точное значение величин S (a, Г) Оценка ми S (a, Г) для случая Г С Zp занимались Г.Г. Харди и Дж. Е. Литллвуд [23]. Из их результата [23] следует соотношение (0.1) для подгрупп Г, когда |Г| > yfp.

По определению пусть

Tk(Г) := {(xi,...,x2k) e Г(2к) : xi + ... + xk = Xk+i + ... + X2k}.

Верхние оценки для S (Г) могут быть получены с использованием оценок для Tk (Г). Пуст ь Г Ç Zp - подгруппа мультипликативной группы поля простого порядка p и t := |Г|. А. Гарсиа и Дж. Волох [22] установили, что при t ^ p3/4 и любо го a e Zpp сравнен ne g + g' = a (mod p) имеет не более 4t2/3 решений относительно g, g' e Г. Из этого следует нетривиальная оценка Т2(Г) ^ t8/3. На основании метода С.А. Степанова Д.Р. Хиф-Браун и C.B. Конягин установили [24], что при t < p2/3 справедлива оценка Т2(Г) ^ t5/2. Затем C.B. Конягин получил [2] нетривиальные оценки дляТ^(Г) для всех натуральных k > 1.

t>

p1/4+e ВЫполнено неравенство:

S (Г) < C (£)tp-^(e),

для некоторых функций C(s), 6(e) > 0. Используя другой подход Ж. Бур-гейн и C.B. Конягпн [17] доказали оценку такого типа и при t > p£. Ж. Бургейп доказал такой результат для произвольного составного модуля.

Относительно недавно И. Д. Шкредов [33], [31] усилил оценку как для величины Т2(Г), так и для соответствующей тригонометрической суммы для подгрупп Г, размер которых лежит в определеных границах.

Используя подход И. Д. Шкредова этих работ, в первой главе получена новая оценка на величину 7з(Г). Это - основной результат первой главы, из которого получаются новые верхние оценки тригонометрических сумм по подгруппам в поле вычетов простого порядка, когда размер подгруппы есть pa и а лежит в окрести ости 1/3. Теорема формулируется так.

Теорема. При, t < p1/2 справедлива следующая оценка:

Тз(Г) « t414 (log t)12/7.

Далее в этой главе будут получены с использованием тригонометрических сумм и других величин новые оценки для наибольшего расстояния между соседними элементами подгруппы Г |Г| ^ p2. Также будет получена оценка тригонометрической суммы по специальной подгруппе в кольце вычетов по модулю p3 и этот результат будет использован в четвертой главе для задачи делимости частных Ферма на квадрат простого числа.

В последней части первой главы, следуя работе [20], будет распространена от простого модуля p к произвольному оценка о числе решений ux = y (mod p),x,y G I,u G U, включающего интервал натуральных чисел I и множества с малым мультипликативным удвоением U.

Во второй главе изучается такая задача. Пусть даны два произвольных множества G1 и G2, причем G1 Ç Zqi ,G2 Ç Zq2, q1 и q2 различные натуральные числа. Для заданного N требуется оценить сверху количество натуральных n, что

{n<N,n G G1 (mod q1),n G G2 (mod q2)} (0.2)

G1 G2

ми, была оценена в работе [16] и там же использовалась для исследования свойств делимости частных Ферма. Во второй главе рассматривается эта задача в несколько более общей формулировке. q1 q2

N1 , N2

лом решений следующих двух сравнений

N

x1 — x2 = kq2 (mod q1), x1, x2 G G1, 0 ^ k ^ —

q1

и

N

xi — x2 = kqi (mod q2), £ъ x2 G G2, 0 ^ k ^ —.

qi

Во второй главе получена неулучшаемая по порядку оценка на искомую величину (0.2). Ниже дается основной, но с несколько упрощенной формулировкой, результат второй главы.

Теорема. Пусть, как указано выше, даны qi, q2, N множества Gi С Zqi, G2 С Zq2 и соответственно заданы величины Ni, N2. Тогда, справедлива оценка

|{n<N,n G Gi (mod qi),n G G2 (mod q2)}| < (NiN2)i/2

Мы отмечаем, что этот результат используется далее в четвертой главе. В третьей главе рассматривается такая задача. Пусть дано множество A натуральных чисел, замкнутое относительно умножения. То есть, если a, b G A то и ab G A. Пусть известно, что для некоторого числа q и v G (0,1) выполняется

|{m G A; 1 ^ m ^ q}| < qv.

Требуется оцепить количество элементов множества A на пнтервале [1,n], когда n ^^^^ет медленнее чем любая степень q. В этой главе получены верхние оценки для такой величины.

A

q

Г С Z*. Отметим, что в работе [18] получены оценки на количество чисел не превосходящих n, которые принадлежат подгруппе порядка i группы Zp Эти оценки содержательны, когда t мало по сравнению с p. Из результата третьей главы вытекают оценки в случае, когда t растет гак степень p, а n мало.

Для простого p и целого a (a,p) = 1, определяется частное Ферма:

ap—i — 1 qp(a) =-.

p

В четвертой главе исследуются задачи о делимости qp(a) на p и p2. Нас будет интересовать наименьшее a, для которого не выполнено сравнение qp(a) = 0 (mod p). Для простого p обозначим это число lp. Ленстра доказал следующие неравенства [28]:

p > 3 ^ lp < 4(logp)2; p ^ то ^ lp < (4e—2 + o(1))(logp)2.

Можно, однако, ожидать гораздо более сильную оценку на/р. Например, Ленстра предположил, что 1Р ^ 3. В работе [16] были расмотрены три задачи о верхней оценке 1Р :

1)для всех простых р,

2) для всех простых на заданном интервале, возможно кроме одного,

3)для большинства простых на заданном интервале.

Основной результат четвертой главы - получение новой верхней оценки для задачи 3). Соответствующий результат формулируется так.

Теорема. Для каждого е > 0 существует, такое 5 > 07 что при достаточно больших Q неравенство:

1Р ^ р)3 +

выполнено для всех простых р < Q, за, исключением О^1 д) простых. Отметим, что в работе [16] в соответствующей теореме вместо показателя | стоял показатель

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю С. В. Конягину за постановку задач и постоянное внимание к работе.

Глава 1

Тригонометрические суммы по подгруппам и некоторые их применения.

1.1 Введение

Как и раньше пусть p - простое чиело, Г - подгруппа Z*, a G Zp Требуется нетривиально оцепить S (Г):

S (Г) := max |S (a, Г)|.

aG Zp

Одна из основных задач этой главы - получение нетривиальных по порядку верхних оценок для S (Г).

Известны применения этих оценок, например для распределения элементов подгрупп [15], некоторых аддитивных задач по простому модулю. Всюду далее t := |Г|.

Для целого & и для мультипликативной группы Г С Zpp мы определили величину

Tk(Г) := {(xi,..., X2k) G Г2^ : xi + ... + Xk = Xk+i + ... + X2k}.

Оценки для S (Г) могут быть получены с помощью оценок для Tk (Г). Известна следующая лемма:

Лемма 1.1. Для произвольных натуральных k, l справедливо неравенство:

S (Г) ^ (pTk (Г)Т (Г)) t1-1/k-1/1.

Оценки такого вида установлены И.М. Виноградовым для тригонометрических сумм Вейля. Доказательство этой леммы можно найти в [26] . C.B. Конягин получил нетривиальные оценки Tk (Г) для всех натураль-k

Лемма 1.2. Для любого натурального т существует такое С(т)7 что для любых р, Г таких, что £ < р2/3 при т = 2 и £ < р1/2 при т > 27 имеет место оценка:

Тт(Г) ^ С(т)£2т-2+1/2"

i

В работах [33], [31] И.Д. Шкредов доказал оценки как для величины Т2(Г), так и для соответствующей тригонометрической суммы. Ниже приводятся эти результаты.

Теорема 1.1. При t < p2/3 справедлива, оценка: S(Г) « pi/6ti/2(log t)i/6, Т2(Г) « min(t i (log t)61, t3p—3 log t + p261^ (log t) 13).

Это утверждение усиливает ранее полученные оценки сумм по подгруппам, чей размер находится в определенном интервале. В данной главе мы будем использовать идеи указанных работ и получим новую оценку для величины Т3(Г). Как следствие, используя лемму 1.1, мы также усилим оценки

Г 28 182 -|

сумм по подгруппам, чей порядок находится в интервале [p95 ,p487]. Отметим, что

28 182 — = 0.29473..., — = 0.37371... 95 ' 487

Один из основных результатов этой главы такой:

t < pi/2

Тз(Г) « t414 (log t)i2/7.

Как следствие теоремы 1.2 и леммы 1.1 мы получаем теорему 1.3

Теорема 1.3. Справедливы неравенства:

182 182 /--у / —. ч 1 15 19^ \ 1061

p 515 < t < p 487 ^ S (!) « p 12 t 2184 (log t) 5460 ; 56 182 , , 1 101/i \i

p 185 < t < p 515 ^ S (!) « p 18 1126 (log t) 21 ;

28 156 ги-гл\ 1 1139 ,

p 95 < t < p 185 ^ S (!) « p 24 11344 (log t) 14

Для сравнения приведем такой пример. Для подгруппы Г у которой £ имеет порядок р3 справедлива оценка S(Г) < £ ез +°(1), В предыдущем результате вместо показателя 63 был 36. Отметим, что

35 61

— = 0.97222..., — = 0.96825...

36 ' 63

Мы применим оценки величин тригонометрических сумм иТк (Г) для оценки наибольшего расстояния между соседними элементами смежных классов по

и

В этой главе также мы получим оценку тригонометрической суммы для подгруппы G, G С Z*3, |G| = p — 1. Для этого мы будем использовать современные оценки па величины S(G) T2(G) для G £ Zp2 и метод Ю.В. Ма-лыхпна получения таких оценок по модулю рг, где r - произвольное.

1.2 Предварительные утверждения

Также обозначим через Г(х) - характеристическую функцию множества Г на Zp. По определению для двух функций f,g на Zp полагаем f о g(x) :=

:k—l=x f (k)g(l) f * g(x) := Ek,i :k+l=x f (k)g(l)-

Пусть g : Zp ^ R - некоторая функция. Введем матрицу, предложенную ИД. Шкредовым

Т9(x,y) := g(x — у)Г(х)Г(у),

где x,y £ Zp. Эту матрицу можно рассматривать как оператор, действующий па пространстве функций. Через {да(Т9)} и {fa} обозначим набор собственных значений и собственных функций этого оператора. Нам понадобятся утверждения, доказанные соответственно в [33] (предложение 3) и [2] (следствие 16).

Теорема 1.4. Пусть g1,g2 : Zp ^ R - четные функции и {fa} - собственные функции, оператора Т91. Тогда, вы,полнено равенство:

Е gi(x — y)gi(x — z)g2(y — z)= Y, A.(T91) < T92 fa, fa > .

x,y,z£T a

Теорема 1.5. Пусть Г1 ,S2,S3 С Z** - являются Г - инвариантными множествами, причем Г1— смежный класс по Г и что: |S2 ||S3| ^ t4/16. Тогда, имеет место неравенство:

Е (S2 о Ss)(x) « t1/3(| S21| S31 )2/3.

х£Г1

Через Г1, Г2,... обозначим смежные классы группы Zp по подгруппе Г. Будем считать Г0 - это класс состоящий из пулевого элемента. Соответственно пусть - являются представителями этих классов. Обозначим также

N4(y) = |{x1 + x2 — x3 — x4 = y (mod p), xi £ Г}|

N3(y) = |{x1 + x2 — x3 = y (mod p),xi £ Г}|

ai,j = |{gi — g = C? (mod p),gi £ Гг, g £ Г, ^ £ Гj — fixed}.

(у), а^- не зависят от выбора в качестве у представителя данного

Г.

Лемма 1.3. Пусть {£•},; ^ £ принадлежат, различным ненулевым смежным классам Га и N4 (£7) невозрастают по Тогда, имеет место неравенство:

N4^-) « £Тз1/3(Г);-1/3.

Доказательство. Для получения неравенства достаточно получить оценку на сумму этих J слагаемых такого вида:

£ N4(6) « Щ ^/3,

когда J < £. Несложно заметить, что:

) = £ N3(2*)^,

г

где х принадлежат различным смежным классам Гг(и нулевому тоже). Далее,

£ N4(0) = £ N3^, ^ г

ГДе 5г = ^2.

Разберемся со слагаемым соответствующем г = 0. Замечаем, что а07 равно единице только в одном случае среди всех Поэтому слагаемое N3(0)50 « £5/3.

Значит, вклад этого слагаемого не существенен для заявленной в утверждении оценки. Оставшиеся в сумме слагаемые перепишем так:

£^3(хгг К ,

г

где индекс г € [1, (р — 1)/£], гг отличны от нуля и ) неубывают по г.

г

N3(хгг) ^ Т31/2(Г)(£г)—^,N3^) ^ £2/г.

Будем разбивать сумму ^(жггна две части: 1 ^ г ^ г0,г ^ г0. Обозначим эти суммы через о^, о2. Разберемся с 1-ой суммой

£ Щх,К < £ Т31/2(Г)(Ы)—1/Ч.

Применяя преобразование Абеля к этой сумме, мы получаем

Е (Тз1/2(Г)(^)-1/2 - Тз1/2(Г)(^ + 1))-1/2)$ + Т31/2(Г)(Ьго)-1/25*о,

где = к<1 в к. Покажем, что для любого г справедлива оценка

$ < (Ш)2/3.

Если г] < Ь2/16 то заявленная оценка следует из теоремы 1.5. Пусть теперь г.] > Ь2/16. Вспоминаем, что ] < Ь. Тогда в этом случае из простых соображений оценить можно так

$ < л < ь2 < (Ь3)2/3 < (гл)2/3.

Тем самым оценка на верна всегда при ограничении ] < Ь. Для первой суммы а1 мы получаем оценку а ^

Т31/2Ь1/6 ] 2/3г0/6.

Теперь разберемся с суммой а2 :

а2 < Е^А)*

i>io

Опять применяя преобразование Абеля, получаем

Ь2 Ь2

а < Е(- - "ГГ« ь8/3]2/3г-1/3.

г г I 1

i>io

Выбирая параметр г0 := Ь5/Т3(Г) мы завершаем доказательство леммы

1.3.

1.3 Доказательство теоремы 1.2

Пусть ненулевые смежные классы С^ по ПодГруПпе Г расположены таким образом, что числа tj := N4(у), у е Cj образуют невозрастаюгцую последовательность.

Прежде всего мы можем считать, что

Ь3 < МЬТ31/3(Г)]-1/3,

где М- некоторая константа. Справедливость этой оценки для] < Ь следует из леммы 1.3. Пусть теперь ] ^ Ь. Тогда

^ < Ь3/]

■3 ЫЬТ 1/3(Г) 4

Если вдруг у ^ —"^З/з^ , то это влечет оценку Т3(Г) « £4. Поэтому мы

можем считать, что для всех ; выполнено ^ М£Т31/3(Г);—1/3 с некоторой абсолютной константой М.

Далее, по данному натуральному г то определению Si (х) — характеристическая функция множества:

г ^ MíT31/3(r) ^ MíT31/3(r)1

и функции g¿(x) := (Г * Г) о (Г * Г)(х)5^(х), g(x) = (Г * Г) о (Г * Г)(х).

Для натурального i определим величину Т3(г)(Г) := |(x1,...,x6 Е Г : x1 + x2 — x3 — x4 = x5 — x6 : x1 + x2 — x3 — x4 Е S¿}|. Для i = 0 мы полагаем Т3(0)(Г) := |(x1,... ,x6 Е Г : x1 + x2 — x3 — x4 = x5 — x6 : x1 + x2 — x3 — x4 = 0}| Легко видеть, что сумма всех T3(i)(Г) равна в точности Т3(Г). Далее мы

i

T(0(Г)^> Т3(Г) T (Г) > (log p)

и фиксируем его. С другой стороны, T3(i) (Г) можно «выразить через оператор»:

< TgiГ, Г >= £ (Г * Г) о (Г * Г)(х — y)Si(x — y) = = £((Г * Г) о (Г * Г))(*)(Г о Г)(2) = Т»(Г).

zESi

Далее, Т3(г)(Г) =< TgiГ, Г Mo(Tgi)t. Итак, < Mo(Tgi)

Наша цель оценить величину M0(Tgi). Для этого воспользуемся теоремой 1.4 и неотрицательностью оператора Tg, получим (fa - собственные функции оператора Tgi):

M0(Tgi) Ma(T«) <Tg fa, fa >= £ gi(x — y )gi(x — Z )g (y — Z).

a x,y,zEr

Преобразуем последнюю сумму, обозначив а := x — y, в := x — z a = £ gi(x — У)^»(х — z)g(y — z) = £gi(a)gi(e)g(e — a)C3(а,в),

x,y,zEr a,e

где

С3(а, в) := {х е Г : х - а,х - в е Г}.

Т(^(Г) 3 _

Итак, мы заключаем: (т1уг)3 < «в9'1(а)9'1 (в)д(в - а)С3(а,в). Оценим сверху вклад слагаемых (а, в), для которых д(в - а) < ё (где ё определим потом).

Для них имеем оценку:

^дг(а)дг(в)С3(а,в) = dEEgi(а)д0)Г(х - а)Г(х - в) =

а,в хеГ а,в

= ёЕ(Г * gi)2(x).

хеГ

Разберемся с величиной (Г * д^(х),х е Г. Она равна

|{х1, х2, х3, х4,х5 е Г : х = х1 + х2 - х3 - х4 + х5, х1 + х2 - х3 - х4 е 5^1.

Далее, величина (Г*д^(х) постоянна на Г. Сумма г(Г*д^(х), как можно

заметить, равна Т3(^(Г). Поэтому (Г * д^2(х) = (Тз ¡(Г))2.

Тем самым вклад маленьких слагаемых не превосходит ё( ^ ' . Поэтому

можно просуммировать по таким (а, в), что д(в - а) ^ , но при этом неравенство примет следующий вид:

Т (^(Г)

(« Е gi(а)gi(в)д(в - а)С3(а,в).

т (4)(г)

Обозначим последню сумму через а и оценим ее по неравенству Коши:

а2 « Е д?(а)д?(в)д2(в - а) Е С|(а,в).

а,р'-д2(р—а — Несложно заметить, что

У^ С|(а, в) = |{(х1,..., х6) : х1 - х2 = х3 - х4 = х5 - х6; х^ е Г}|.

а,в

Известна оценка на нее, [33]

Е С2(а,в) « t3 logt.

у3 (a

а,в

Оценим теперь первую сумму. Мы разбиваем сумму на такие части. Если а Е 5г,в Е 5г,в — а Е 5к, (здесь г фиксированно, а к меняется). Возможен также случай, когда в — а = 0 - его мы также рассмотрим. В случае в — а Е 5к мы получаем:

¿6т 2 (Г)

£<«(в)р2(в — а) « £ -^Г £ |{в Е : в — а Е 5к}| =

а,в к aЕSi

= Е ¿¿Йг £<*' ◦ 5')(г).

к zЕSk

Для оценки (5г◦ 5г)(г) разобьем 5к на смежные классы, из которых

он состоит. Если |5г| < Ь2/4, то далее для каждого смежного класса, входящего в 5к применим теорему 1.5. Мы указывали на то, что можно считать ¿у < СТ31/3(Г);—11/3. Поэтому 5к состоит из не более 8к смежных классов. Исходя из сказанного, в случае |5г| < Ь2/4 получаем:

£ (5 о $)(*) « 8кЬ1^3 « 8к24гЬ5/3.

к

Если же |5г| > Ь2/4 то отсюда получаем, что 8гЬ ^ ¿^и Ь1/3 « 2г. Поэтому в случае |5г| > Ь2/4 оцениваем так (5г о 5г)(г) « 8кЬ|5г| «

8к¿5/3+1/323г « 8к¿5/324г. Получилась такая же оценка.

в — а Е 5к мы получаем

Е £?(ак2(в2(в — а) « Ь73Т|(Г)2к.

а,в

в=а

Е ^(ак2(в 2(в — а) = £ #4(а)#2(0).

а=в а

Величина д(0) это в точности есть аддитивная энергия группы Г -

Т2(Г) = |{^1 + ^2 = #3 + Р4,& Е Г}|.

Известна оценка на нее - см. например [2] : Т2(Г) « Ь5/2, при Ь < р2/3. Несложно показать, что:

5 « ¿23г,

поэтому,

t10i 4/3(Г) Еg4(a)g2(0) <t 13

2'

a

Мы можем считать, что:

t10T4/3

2' « t7312(Г).

В противном случае, получаем,

13(Г) « t3.5.

Итак, случай а = в мы рассмотрели. Итого мы выводим,

Е g2(a)g2(e)д2(в - а) « Е t731|(Г)2к.

а,в k

Мы помним,что достаточно суммировать только по тема, в? для которых

T (i)(r) 1/3 k T (i)(r)

д(в — а) > 32t2 ). В нашем случае в — а G Sk, то есть t13/ (Г)/2к > 32t2 ). Вспоминая оценку 13(Г) « 13(г)(Г) log t, получаем, что 2k « t (^ ^/3. Итак, собирая все вместе мы выводим, что:

(^-Iff!)6 « t133 (log t)4/3 1з(Г) . t 6 (T3(i) (Г))2/3

Опять пользуемся, что 13(Г) « 13(г) (Г) log t, получаем,

(13('}(Г))42 « t192(logt)33.

Отсюда получаем оценку:

13(г)(Г) « t413 (log t)5/7.

Значит имеется оценка 13 (Г) « t414 (log t)12/7. Тем самым оценку на 13(Г) мы показали.

1.4 Наибольшее расстояние между соседними элементами смежных классов по подгруппе

Для мультипликативной группы Г Ç Zpp порядка t введем как в [15] величину

Hp(t) = max{H : 3a G Z*, 3u G Zp : u + j G Zp \ аГ} Следующий результат был получен в работе [15] (теорема 3)

Теорема 1.6. Для t ^ p1/2 имеет, место оценка:

Hp(t) < p463/504+o(1) ,p ^ œ.

Новые оценки для Tk(Г) и для тригонометрических сумм по подгруппам позволяют усилить этот результат. А именно имеет место такая

Теорема 1.7. Для t ^ p1/2 имеет место оценка:

Hp(t) < pб977+o(1),p ^ œ. Заметим, gf = 0.91865...; ffg = 0.91224...

Сначала введем необходимые определения. Пусть g- первообразный корень Zp, как и ранее Г - подгруппа порядка t, n = (p — 1)/t. Полагаем

Г := gjГ; Sj(t) := S(gj, Г); N^h) := |{1 < |u| < h : u G Г}|

Здесь первая и вторая величина это смежный класс и тригонометрическая сумма по нему.

Связь между Hp(t), Nj,t(h), Sj (t) дается следующим утверждением (лемма 7.1) [26] , которое мы приводим ниже:

Теорема 1.8. Если для некоторого h ^ 1 неравенство:

£ Nj,t(h)|Sj+k(t)| < 0.5t

1 < j <П

выполняется для всех k = 1,... , n, то для любого е > 0

Hp(t) < p1+eh—1.

Несложно заметить, что величина Xa<j<n N2t(h) это число решений сравнений

{ux = y (mod p),0 < |x|, |y| < h,u G Г}. Обозначим это число через N (Г, h).

Оценка этой величины нам понадобится для доказательства теоремы 1.7. Приведем ниже теорему 1 работы [15] для оценки N (Г, h).

Теорема 1.9. Пусть V ^ 1 - фиксированное целое, |Г| ^ р1/2,р ^ то. Тогда справедлива оценка:

N (Г, Л) < ЛЬ ^+о(1) + Л¥^р-^+°(1).

Теперь мы готовы вывести теорему 1.7. Как и ранееЬ := |Г|. Для случая Ь > 0.7р2/3 в работе [15] показано, что Нр(Ь) < р5/6+о(1).

Остаются случаи, когда р1/2 < Ь < 0.7р2/3. Вновь рассмотрим случай, когда р48 < Ь < 0.7р2/3. Будем пользоваться теоремой 1.8. Применим оценку

Г

£ ^¡(Л).(Ь)| < тех,$(Ь)| £ Nj,¡(Л) < р1/6+°<1)Ь1/2Л.

1<<П <п

Поэтому Л можно взять [р 156 е] для некоторого малого £ > 0. В этом случае по теореме 1.8:

'р

49

Нр(Ь) < р^+3£.

49

ПОЭТОМУ При р78 < Ь < 0.7р2/3 теорема 1.7 верна.

Теперь рассмотрим последний случай р 2 < Ь < р78. Вновь пользуемся теоремой 1.8 и неравенством Гельдера:

Е (ь)| < ( е %(Л))1/2( Е ^¡(Л)2)1/4( Е 15(Ь)|4)1/4.

1« 1<<п 1<<п 1<<п

Берем достаточно малое £ > 0 и полагаем Л := [р651-е]. Мы имеем:

Е ^¡(Л) = 2Л,

1 <, <п

Е ^¡(Л)2 = N (Г, Л).

Для оценки второй суммы воспользуемся теоремой 1.9 с V = 6. Несложно убедиться, что при выбранном Л и р1/2 < Ь < р^ первое слагаемое в неравенстве теоремы 1.9 доминирует. Итак получаем:

Е ^¡(Л)2 = N (Г, Л) < ЛЬ 84 р

1 < .7 <п

Е 1$(Ь)|4 <рТ2(Г) < рЬ19/13+о(1). Ь

1< <п

В последнем неравенстве мы применили оценку наТ2(Г) из теоремы 1.1. Собирая все вместе получим:

Е N¿¡(41$-+*(Ь)| < Л1/2(ЛЬ84р-+о(1))1/4(рЬ19/13+о(1))1/4.

1<7<П

Собирая все вместе, несложно убедиться, что при Ь ^ р1/2 и для выбранного Л правая часть меньше 0.5Ь. Этим завершается доказательство теоремы 1.7.

1.5 Оценки тригонометрических сумм по модулю р3

Обозначим через Ог - подгруппу Ъ*рГ порядка р — 1. Наша задача состоит в оценке величины:

5(ву := таха€^% |5(а, в)| р3

Эту оценку мы применим в 4 главе в задаче делимости частных Ферма на квадрат простого числа.

Метод, описанный в работе [4] позволяет получать нетривиальные оценки для 5(Сг). В частности было отмечено, чтоТ*(Сг+1) < Т*(Сг) выполняется для всех к. С помощью леммы 1.1 можно получать оценки для 5(в), используя оценки величин Т*(Сг_ 1). Используя современные оценки на 5(в2) и Т2(С2) мы получим более точную оценку на 5(в3). Мы покажем такую оценку.

Теорема 1.10. Имеет место оценка

5(в) <рш+о(1).

Для доказательства нам будут нужны результаты И.Д.Шкредова из работ [331, [321 соответственно:

Теорема 1.11. Имеет место оценка

S(G2) << p5(logp)6,T2(G2) < p32+o(1).

Теперь дадим доказательство теоремы 1.10.

Получим сначала такую оценку: T3(G2) < p439 +o(1). Мы имеем:

p2T3(G2)= £ |S(a, G2)|6 + £ |S(a,G2)|6 + (p - 1)6.

ae Zp2 a€Zp2 \0,p|a

Разберемся со вторым слагаемым. Лемма 11 работы [16] утверждает, что все элементы группы принадлежат различным классам вычетов по модулю р, за исключением нулевого. Поэтому для а = /р, (/,р) = 1 мы имеем:

5(а,ву = £ V(ад) = £ ер(/п) = -1.

Поэтому,

£ (а,С2)|6 = р - 1.

Теперь разберемся с первым слагаемым.

£ (а,^2)|6 ^ ( £ (а,С2)|4)шах|5(а^)|2

р2 р

Известно [26], что Х^аб^ (а,С2)|4 = р2Т2(С2). Поэтому применяя оценки на Т2 и 5(С2) теоремы 1.11, мы получим

£ |S(a, G2)|6 ^ p639

a€Z%

p2

Итак, мы получили: Т3(С2) < р4з59 +о(1). Значит, Т3(С3) ^ Т3(С2) <

р4 39+о(1).

Теперь, применяя неравенство леммы 1.1 при к = / = 3, мы получим:

S(G3) <p^+o(1). тем самым оценку на S(G3) мы вывели.

1.6 О произведении интервалов и множеств с малым мультипликативным удвоением.

1.6.1 Формулировка результата

Целью этого раздела является получение точной верхней оценки для числа решений следующего сравнения

{ux = y (mod m),0 < |x|, |y| ^ Z;u G G},

где G - произвольное множество с малым мультипликативным удвоением, |G|, Z связаны некоторыми ограничениями, am некоторое число.

Подобная величина уже встречалась в задаче об оценке Нр(£) - там сравнение было по простому модулю. Рассматриваемая величина и ее приложения изучались в работах [15] и [20]. Рассматривались соответственно случаи, когда О подгруппа и множество с малым мультипликативным удвоением. Приведем соответствующую теорему 1, часть (1) из работы [20].

Теорема 1.12. Пусть U С Zpp и n,H - натуральные числа, что |U| < pn/(2n+1); |U * U| < 10|U|U|Hn < p. Тогда, число решений J сравнения

ux = y (mod p); 1 ^ x, y ^ H; u G U удовлетворяет, неравенству J ^ Hpo(1).

Как замечено в работе [20], условие |U * U | < 10 |U | можно ослабить до |U * U | < |U |1+o(1). Следуя работе [20] мы можем показать справедливость следующей теоремы.

Теорема 1.13. Пусть U С Z*m и n,H - натуральные числа, что |U| < mn/(2n+1); |U * U| < |U|1+o(1); |U|Hn < m. J

ux = y (mod m); 1 ^ x, y ^ H; u G U удовлетворяет, неравенству J ^ Hmo(1).

1.6.2 Вспомогательные утверждения

Нам понадобится лемма доказанная в [15].

Лемма 1.4. Пусть

r

A = {- : 1 ^ r, s ^ Q; gcd(r, s) = 1} s

и k - натуральное число. Тогда, для достаточно большого Q верно

iA(k,i>exp(-c (k)(bgSQi^)|A|k,

где C(k) - некоторая функция зависящая только omk.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Штейников Юрий Николаевич, 2015 год

Список литературы

[1] Д.В. Горбачев Некоторые неравенства для дискретных положительно определенных функций, Известия ТулГУ. Естественные науки. 2015. Вып. 2. С. 5-12.

[2] С. В. Конягин Оценки тригонометрических сумм по подгруппам и сумм Гаусса, IV Международная конференция - Современные проблемы теории чисел и ее приложения, посвященная 180-летию П. Л. Чебышева и 110-летию И. М. Виноградова: Актуальные проблемы ч. III, МГУ, мехмат 2002, стр. 86-114.

[3] Ю. В. Малыхип Оценки тригонометрических сумм по модулю p2, Фундамент. и прикл. матем., 11:6 (2005),с. 81-94.

[4] Ю. В. Малыхин Оценки тригонометрических сумм по модулю pr,' Математические заметки, том 80, выпуск 5, 2006, с. 793-796.

[5] К. Прахар, Распределение простых чисел, Издательство Мир, 1984.

[6] Ю.Н. Штейников, О распределении элементов полугрупп натуральных чисел, Чебышевский сборник, 13:3 (2012), с. 91-99.

[7] Ю.Н. Штейников, Делимость частных Ферма, Математические заметки, 92:1 (2012), с. 116-122.

[8] Ю.Н. Штейников, Тригонометрические суммы по подгруппам и некоторые их приложения, Математические заметки, 98:4 (2015), с. 606-625.

[9] Ю.Н. Штейников, О множестве совместных представителей вычетов по двум модулям, Труды МИАН, том 290, (2015), с. 202-210.

[10] Ю.Н. Штейников, О распределении элементов полугрупп натуральных чисел, Материалы конференции - Компьютерная алгебра и информационные технологии, с. 89-90.

[11] Ю.Н. Штейников, Оценки тригонометрических сумм по подгруппам, Материалы тринадцатой молодежной школы-конференции - Лобачевские чтения - 2014 , с. 181-183.

[12] Ю.Н. Штейников, О произведениях множеств с малым мультипликативным удвоением и интервалов , Материалы конференции - Воронежская зимняя математическая школа - 2015 , с. 151.

[13] Ю.Н. Штейников, О множестве совместных представителей вычетов по двум модулям, Материалы конференции - XIII Международная конференция Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения - 2015 , с. 254-255.

[14] Ю.Н. Штейников, О плотности распределения полугрупп натуральных чисел , Материалы конференции - XII Международная Казанская летняя школ а-конференция - Теория функций, ее приложения и смежные вопросы - 2015 , с. 491-492.

[15] J. Bourgain, S.V. Konyagin and I.E. Shparlinski Product sets of rationals, multiplicative translates of subgroups in residue rings and fixed points of the discrete logarithm International Math Research Notices 2008, p. 1-29.

[16] J. Bourgain, K. Ford, S. Konyagin, I. Shparlinski On the divisibility of Fermat Quotients, Michigan J. Math. 59:2 , 2010 p. 313-328.

[17] J. Bourgain, S. Konyagin Estimates for the number of sums and products and for exponential sums over subgroups in fields of prime order, C. R. Math. Acad. Sci. Paris, 337:2, 2003, p. 75-80.

[18] J. Bourgain, S. Konyagin, I. Shparlinski Distribution of elements of cosets of small subgroups and applications, International Math Research Notices, 1968-2009, 2012:9 (2012).

[19] U. Betke, M. Henk, J. M. Wills Successive-minima-type inequalities, Discr. Comput. Geom., 9, 1993, p. 165-175.

[20] J. Cilleruelo, M. Z. Garaev Congruences involving product of intervals and sets with small multiplicative doubling modulo a prime and applications, lift}): /arxiv.org/abs/1404.5070.

[21] A. Granville On pairs of coprime integers with no large prime factors, Exposition. Math. 9 1991, p. 335-350.

[22] A. Garcia, J.F. Voloch Fernat curves over finite fields, J. Number Theory, 30, 1988, p. 345-356.

[23] G.H. Hardy and J.E. Littlewood, Some problems of "Partitio Numerorum": IV The singular series in Waring's problem, Math. Z. 12 (1922), 161-188.

[24] D. R. Heath-Brown, S. Konyagin New bounds for Gauss sums derived from kth powers, and for Heilbronn's exponential sum, Q. J. Math., 51:2 (2000),p. 221-235.

[25] A. Hildebrand, G. Tenenbaum, Integers without large prime factors, J Theorie des Nombres de Bordeaux, 5 (1993) no. 2 411-484.

[26] S. Konyagin, I. Shparlinski Character sums with exponential functions, Cambridge University Press, Cambridge, 1999.

[27] S. V. Konyagin, C. Pomerance On primes recognizable in deterministic polynomial time, The mathematics of Paul Erdos, 1 p. 176-198, Springer, Berlin.

[28] H.W. Lenstra, Miller's primality test, Inform. Process. Let.,8 (1979),p. 8688.

[29] M. B. Nathanson Additive number theory. Inverse problems and the geometry of sumsets, Springer, New York, 1996.

[30] A. Ostafe, I. Shparlinski, Pseudorandomness and dynamics of Fermat quotients, SIAM J. Discr. Math., 2011, v. 25, p. 50-71.

[31] I.D. Shkredov Some new inequalities in additive combinatorics, Moscow journal of combinatorics and number theory 3, 2013 p. 189-239.

[32] I. D. Shkredov On Heilbronn's exponential sum Q. J. Math., 64:4, 2013 p. 1221-1230.

[33] I.D. Shkredov On exponential sums over multiplicative subgroups of medium size, Finite fields and applications, 30, 2014, p. 72-87.

[34] I. Shparlinski, Integers with a large smooth divisor, Electronic journal of combinatorial number theory 7, 2007.

[35] T. Tao, V. Vu Additive combinatorics, Cambridge University Press, Cambridge, 2010.

[36] G. Tenenbaum, Introduction to analytic and probabilistic number theory, Cambridge Universit Press, Cambridge, UK, 1995.

[37] B. Zhou A note on exponential sums over subgroups of Zp and their applications, J. Number Theory, 130:11 2010, p. 2467-2479.