Вариационные задачи о контакте упругих тел, содержащих жесткие включения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Ротанова, Татьяна Александровна

  • Ротанова, Татьяна Александровна
  • кандидат физико-математических науккандидат физико-математических наук
  • 2012, Новосибирск
  • Специальность ВАК РФ01.01.02
  • Количество страниц 104
Ротанова, Татьяна Александровна. Вариационные задачи о контакте упругих тел, содержащих жесткие включения: дис. кандидат физико-математических наук: 01.01.02 - Дифференциальные уравнения. Новосибирск. 2012. 104 с.

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ротанова, Татьяна Александровна

Введение

1 Задача об одностороннем контакте упругой пластины с балкой

1.1 Постановка задачи.

1.2 Препятствие, выходящее на границу области

1.3 Предельный случай.

1.4 Жесткое включение в пластине . . .'.

2 Задача об одностороннем контакте двух пластин, одна из которых содержит жесткое включение

2.1 Геометрия задачи о контакте двух упругих пластин

2.2 Жесткое включение в нижней пластине.

2.3 Другие случаи расположения жесткого включения.

2.4 Предельный переход от упругого включения к жесткому

2.5 Выход области контакта на внешнюю границу.

2.6 Жесткое включение в верхней пластине.

3 Задача об одностороннем контакте двух пластин, каждая из которых содержит жесткое включение

3.1 Жесткое включение в двух пластинах.

3.2 Первый вариант расположения жесткого включения.

3.3 Второй вариант расположения жесткого включения.

3.4 Выход жесткого включения на границу верхней пластины.

Рекомендованный список диссертаций по специальности «Дифференциальные уравнения», 01.01.02 шифр ВАК

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Вариационные задачи о контакте упругих тел, содержащих жесткие включения»

Механика контактных взаимодействий твердых деформируемых тел представляет в настоящее время большую и активно развивающуюся область механики сплошных сред. Широкий интерес к данной тематике обусловлен тем, что все механизмы и конструкции состоят из взаимодействующих деталей, физические процессы в которых описываются задачами контактного взаимодействия. Текущее развитие науки и техники создает необходимость в математических постановках новых задач о контакте упругих и неупругих тел и их изучении. Кроме того, внутренняя логика развития этого современного раздела механики сплошной среды в свою очередь является сильнейшим стимулом развития соответствующих фундаментальных разделов математики.

В данной диссертационной работе рассматриваются краевые задачи о равновесии контактирующих друг с другом упругих тел, содержащих жесткие включения, в негладких областях. Под жестким включением понимается подобласть пластины, характеризующаяся нулевыми деформациями. Однако перемещения точек данной области имеют заданную структуру и не всегда нулевые, в отличие от абсолютно жестких недеформируемых тел. Краевые условия на негладких компонентах границы имеют вид системы равенств и неравенств.

Задача о контакте двух упругих тел была впервые поставлена и решена в конце XIX века Герцем при значительных ограничительных допущениях, в частности, предполагалось, что площадка соприкасания тел весьма мала, а уравнения недеформируемых поверхностей вблизи области контакта могут быть представлены в упрощенном виде. В дальнейшем при более общих предположениях эта задача рассматривалась в работах И.Я. Штаермана [87], [88]. A.B. Бицадзе приводит эту задачу к сингулярному интегральному уравнению, решение которого находится сразу, см. [5]. Основополагающими работами в области контактных задач считаются также работы Я. Бусси-неска, С.А. Чаплыгина, А.Н. Динника, Н.М. Беляева.

Многие контактные задачи могут быть приведены к граничной задаче теории функций комплексного переменного, методы которой, развивавшиеся с 30-х годов XX века Н.И. Мусхелишвили и его учениками, оказались весьма эффективными, см. [46]. Применение методов теории функций комплексного переменного в плоских контактных задачах можно найти, например, в [17], [45]. Теория пространственны* контактных задач была развита в [41], [88]. Отметим также более позднюю работу Л.А. Галина [11].

Начало бурного развития теории контактных задач совпало с годами Второй мировой войны. Такая задержка в математическом развитии теории контактного взаимодействия объясняется недостаточностью математических средств, применявшихся в прошлом для ее исследования. К настоящему времени для исследования контактных задач теории упругости применяются разнообразные математические модели и методы. Сведение задач к интегральным уравнениям и последующее их изучение описаны, например, в [52]. Отметим также метод Винера-Хопфа для решения интегральных уравнений, основанный на идее факторизации. Метод потенциала в теории упругости ([31]) также нашел применение к контактным задачам. Широкое использование при исследовании контактных задач получили методы сведения к бесконечным алгебраическим системам (асимптотический метод), методы ортогональных многочленов и парных интегральных уравнений. Эти подходы, ставшие классическими, применяются в задачах о контакте упругих и неупругих тел с краевыми условиями на множестве контакта вида равенств. Отметим обзорную монографию [55], в которой изложены математические методы, разработанные к 1976 году для исследования контактных задач с условиями вида равенств. Прикладные аспекты контактных задач с линейными краевыми условиями можно найти в [1], [14]. Однако при рассмотрении многих практических задач точность решения, полученного в рамках таких моделей, является недостаточной.

Все краевые задачи, рассматриваемые в данной работе, относятся к классу задач с неизвестной границей. Задачи о контакте упругих тел с неизвестной границей занимают важное место среди математических задач механики твердого тела. В задачах этого класса конкретное краевое условие на границе определяется лишь после решения задачи в целом. Такие ситуации характерны для многих проблем физики и механики. Задачи с неизвестной границей оказываются, как правило, нелинейными.

Большое число физических и инженерных задач с неизвестной границей могут быть сформулированы как вариационные, в частности, задачи о контакте упругих и неупругих тел, см. [4], [8], [44], [56]. Вариационный подход к решению контактных задач основан на формулировке граничных условий контактного взаимодействия в виде вариационных или квазивариационных неравенств с односторонними ограничениями. Связь вариационных неравенств и краевых задач, их эквивалентность для конкретных задач механики и физики изложена в [3], [16], [100]. Сведение задачи к вариационной постановке обычно вызвано тем, что краевые условия являются нелинейными. Кроме того, вариационная постановка статических контактных задач подразумевает, что допустимые функции удовлетворяют дополнительному ограничению, имеющему форму неравенства (так называемые односторонние контактные задачи). Это ограничение-неравенство отражает физическое требование непроникания, и с точки зрения приложений эта модель предпочтительнее классических линейных моделей с граничными условиями вида равенств для контактных задач. Условие непроникания выделяет из множества допустимых к сравнению функций выпуклое подмножество, и статические вариационные неравенства приводят к задачам минимизации потенциальной энергии системы, что позволяет исследовать вопросы существования и единственности решения, а также асимптотического поведения решения. Именно с применением и развитием вариационного подхода связано значительное продвижение в исследовании контактных задач со свободными границами в последние годы.

Теория вариационных неравенств как новый раздел теории уравнений с частными производными сформировалась во второй половине XX века. Источником для создания этой теории послужила практическая задача из теории упругости (задача А. Синьорини, 1933, см.[111]), впервые полностью изученная в работе Г. Фикеры [75], где были заложены основы теории вариационных неравенств. А. Синьорини исследовал задачу о контакте упругого тела с недеформируемой жесткой поверхностью, поставив ограничение для кинематически допустимых функций в форме неравенства (на границе упругого тела), описывающего непроникание точек тела внутрь поверхности. Затем исследования вариационных неравенств продолжались в теоретических работах Ж.-Л. Лионса, Г. Стампаккьи и их учеников ([16], [37], [38], [19], [113]). В частности, ими рассматривалась абстрактная постановка задач, приводящих к таким неравенствам. В отмеченных работах в основном рассматриваются традиционные задачи типа Синьорини. Впервые в отечественной механике теорию вариационных неравенств к задачам теории упругости применил A.C. Кравчук. В его работе [28] приведен пример постановки контактной задачи для нескольких тел как задачи линейного программирования.

Дальнейшее развитие теория и методы решений конкретных задач получили в работах A.C. Кравчука, Г.И. Львова, A.M. Хлуднева, К. Бай-окки, П. Панагиотопулоса, В.М. Садовского, L.A. Caffarelli, A. Friedman, J. Haslinger, I. Hlavácek, G. Dal Maso, J. Sokolowski и др. (см., в частности, [3], [12], [27], [29], [30] [42], [51], [66], [81], [91]-[93], [94], [100]).

Решение вариационной задачи понимается в обобщенном смысле, поэтому важным направлением исследований является изучение гладкости решения. Гладкость решения вариационной задачи зависит от гладкости данных задачи и от характера выпуклых ограничений. Методы исследований гладкости могут сильно отличаться в зависимости от конкретной задачи в силу нелинейности вариационных задач. Результаты о гладкости решений вариационных задач можно найти, например, в [54], [73], [74], [76], [80], [81], [91], [92], [99], [106].

В обзорной монографии 2001 года ([55]) приведено множество современных методов для решения контактных задач. Примеры, относящиеся к задачам о контакте пластин и оболочек, а также анализ приближенных моделей, положенных в основу при решении таких задач, можно найти в [15], [27]. При построении приближенных решений теории упругости удобно применение вариационных методов, которые дают возможность избежать зачастую непреодолимые трудности отыскания решений краевых задач. Результаты о численных методах, применяемых для вариационных неравенств, можно найти в [13], [20], [22], [86].

К близким математическим проблемам приводят краевые задачи теории трещин, также принадлежащие классу задач с неизвестной границей. Классическая теория трещин характеризуется линейными краевыми условиями для функций перемещений или компонент тензора напряжений на берегах разреза, моделирующего трещину. Получаемые при этом математические т модели являются линейными (см., например, [53], [85], [98]). Недостаток подобных моделей с точки зрения приложений состоит в том, что противоположные берега трещины могут проникать друг в друга. С физической точки зрения, краевые условия типа неравенств имеют более точную интерпретацию по сравнению с классическими условиями вида равенств. В связи с этим возникает необходимость в изучении задач с ограничениями вида неравенств. Получаемые таким образом краевые задачи становятся нелинейными краевыми задачами с возможным контактом берегов.

Для краевых задач, описывающих равновесие упругих оболочек (пластин) с трещинами, A.M. Хлудневым было предложено краевое условие, имеющее вид неравенства, при котором исключается проникание берегов трещины друг в друга (условие непроникания), см. [83], [84]. В монографии [99] представлен широкий класс задач о равновесии упругих и неупругих тел с трещинами. В настоящее время имеется ряд работ как отечественных, так и зарубежных, в которых рассмотрены краевые задачи с условиями на трещинах вида неравенств, см. например работы В.А. Ковтуненко, Н.П. Лазарева, Е.М. Рудого, A.M. Хлуднева, М. Bach, К. Ohtsuka, J. Sokolowski [21], [32], [64], [90], [101], [109].

Задачи о равновесии упругих и неупругих тел с трещинами можно отнести к классу контактных за'дач, если на берегах трещины заданы краевые условия взаимного непроникания вида неравенства. Задачи этого класса формулируются в негладких областях, содержащих разрезы (трещины). В контактных задачах, несмотря на то, что решение вариационной задачи находится в гладкой области, уравнение равновесия оказывается выполнено в области с разрезом. Однако методы теории трещин не применимы к контактным задачам, так как краевые условия в этих задачах имеют другой характер.

В настоящей работе рассматривается модель Кирхгофа-Лява ([10]) для пластин. Предполагаем, что пластина в естественном состоянии занимает область вида Ох (—где fiel2 - заданная область, h — малый параметр, отвечающий за толщину пластины. В рамках модели Кирхгофа - Лява искомыми величинами считаются перемещения точек серединной плоскости пластины Q х 0. Горизонтальные перемещения точек пластины линейно зависят от расстояния до срединной плоскости, а вертикальные перемещения остаются неизменными. Задачи о .равновесии упругих тел с краевыми условиями вида неравенств в рамках другой модели можно найти в работах Н.П. Лазарева [33]-[36], где рассматриваются упругие изотропные пластины Тимошенко с трещинами. Будем считать, что мы исследуем однослойные пластины из неоднородного анизотропного материала, которые являются упругими и подчиняются линейному уравнению состояния. Будут рассмотрены постановки новых краевых задач о контакте пластины с упругой балкой и о контакте двух пластин,' расположенных под углом друг к другу. При этом пластины могут содержать жесткие включения.

Односторонние контактные задачи для пластин с неизвестной областью контакта анализировались в большом количестве исследований. В частности, в работе В. Schild [112] анализируется тонкое абсолютно жесткое препятствие для пластины. Случай препятствия, заданного во всей области, был рассмотрен в работах L.A. Caffarelli, A. Friedman, Dal Maso, G. Paderni ([91],[93]). Отметим также статью [92], в которой изучена задача с двусторонними ограничениями. Большой набор контактных задач для пластин и оболочек можно найти в монографии [100].

В [77] A.M. Хлудневым с соавторами исследована задача о контакте однородной изотропной упругой пластины с балкой. Балку можно рассматривать как тонкое упругое препятствие для пластины. Задача описывается вариационным неравенством для оператора четвертого порядка. В работе найдены краевые условия, выполняющиеся на множестве возможного контакта, и их точная формулировка. Обоснована также смешанная формулировка рассматриваемой задачи. Для неоднородной анизотропной пластины соответствующие результаты получены H.B. Hey строевой в [48].

В работах A.M. Хлуднева, G. Leugering, A. Tani [82], [104], [105] впервые рассмотрена задача о контакте вдоль линии двух упругих пластин, в естественном состоянии расположенных под заданным углом друг к другу, и дано полное описание краевых условий, выполненных на множестве контакта. Приводятся различные формулировки задачи. В [82] рассмотрены две модели, в одной из них обе пластины подвержены изгибу, а в другой одна из пластин (нижняя) деформируется в своей плоскости. В обеих моделях нижнюю пластину можно интерпретировать как тонкое упругое препятствие для верхней пластины. Также в работе исследованы асимптотические свойства решений при стремлении параметров жесткости контактирующих тел к бесконечности.

В настоящее время в связи с активным изучением композитных материалов представляет огромный интерес исследование нового класса контактных задач с неизвестной границей, а именно, задач о контакте упругих тел, содержащих жесткие включения. Известно, что уравнение равновесия упругого тела не выполняется в области жесткого включения. Математическая постановка данного класса задач требует принципиально нового подхода. В ряде недавних работ A.M. Хлуднева, Г.В. Алексеева, G. Leugering, Е.М. Рудого, см. [2], [40], [65], [78], [102], посвященных описанию и анализу двумерных задач о контакте упругих тел, содержащих трещины и жесткие включения, был предложен метод, позволяющий выписать полную систему краевых условий на границе жесткого включения. Трехмерный случай рассмотрен в совместной работе A.M. Хлуднева, A.A. Novotny, J. Sokolowski, A. Zochowski [103]. Отметим также статьи A. Morrassi, Е. Rosset [107],[108], посвященные выявлению жестких включений и отверстий в упругом теле без учета внешних нагрузок. Задачи о контакте пластин, одна из которых содержит жесткое включение, исследовались Н.В. Неустроевой в [49], [50], однако в этих работах учитываются только вертикальные перемещения пластин. Существенным продвижением в данном направлении исследований является то, что в диссертационной работе рассматриваются задачи, описывающие контакт жестких подобластей друг с другом.

В диссертации используются фундаментальные результаты и методы теории дифференциальных уравнений, функционального анализа, вариационного исчисления, выпуклого анализа.

Теория эллиптических задач в областях с гладкими границами изложена, в книге Ж.-Л. Лионса, Э. Мадженеса [39]. С фундаментального исследования В.А. Кондратьева ([23]) берет свое начало теория общих эллиптических задач в негладких областях, см. [47], [95], [96]. Вопросы гладкости обобщенного решения задачи Дирихле для бигармонического уравнения в граничных точках области можно найти в работах В.А. Кондратьева с соавторами [23]-[26]. В книгах [72], [96], [99] дается обоснование формул Грина, используемых в теории упругости.

Пространства Соболева, обобщенные функции и теоремы вложения можно найти в [3], [9], [43], [67], [68], [95]. В книге Л.В. Канторовича [18] подробно изложены понятия рефлексивности функциональных пространств, слабой замкнутости, слабой сходимости.

Вариационные задачи и различные вопросы минимизации функционалов можно найти в монографиях [7], [89].

Представленная диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Теоремы и формулы в каждой главе нумеруются двумя натуральными числами, первое из которых указывает на номер главы, второе — на номер теоремы или формулы соответственно. В работе имеются иллюстрации; штриховкой на рисунках обозначены жесткие включения, а цветом выделены те включения в пластинах, которые являются неподвижными.

Похожие диссертационные работы по специальности «Дифференциальные уравнения», 01.01.02 шифр ВАК

Обратите внимание, представленные выше научные тексты размещены для ознакомления и получены посредством распознавания оригинальных текстов диссертаций (OCR). В связи с чем, в них могут содержаться ошибки, связанные с несовершенством алгоритмов распознавания. В PDF файлах диссертаций и авторефератов, которые мы доставляем, подобных ошибок нет.