Вейвлет-анализ нестационарных неэквидистантных временных рядов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.17, кандидат наук Столбова, Анастасия Александровна

• Столбова, Анастасия Александровна
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Столбова, Анастасия Александровна

Введение...........................................................7

1 Обзор методов и средств спектрального анализа данных..........13

1.1 Математическое описание случайных процессов...............13

1.2 Математическое описание процессов с неравномерной

дискретизацией....................................................20

1.3 Обзор методов спектрального анализа неэквидистантных временных

рядов ............................................................22

1.3.1 Преобразование Фурье...................................22

1.3.2 Least Squared-спектры..................................24

1.4 Вейвлет-преобразование....................................26

1.4.1 Характеристики вейвлетов...............................28

1.4.2 Непрерывное вейвлет-преобразование.....................33

1.4.3 Выбор параметров вейвлет-преобразования................35

1.4.4 Адаптивные вейвлеты....................................37

1.5 Комплексы программ анализа данных.........................38

1.6 Постановка задачи.........................................40

Выводы.........................................................40

2 Метод и алгоритмы оценки коэффициентов вейвлет-преобразования... 42

2.1 Подходы к оценке вейвлет-коэффициентов временных рядов....42

2.2 Математическая модель и метод вычисления коэффициентов

вейвлет-преобразования нестационарных неэквидистантных временных рядов без восстановления пропущенных отсчетов...........................43

2.3 Алгоритм получения массива сдвигов для вейвлет-преобразования

временных рядов с неравномерной дискретизацией....................48

2.4 Алгоритм вычисления коэффициентов вейвлет-преобразования

временных рядов с неравномерной дискретизацией....................49

3

2.5 Алгоритм вычисления дискретных значений вейвлетов с заданным

числом масштабов

51

2.6 Алгоритм вычисления коэффициентов вейвлет-преобразования

временных рядов с равномерной дискретизацией......................52

2.7 Аналитические выражения оценки коэффициентов вейвлет-

преобразования модельных сигналов.................................56

Выводы.........................................................64

3 Анализ погрешностей оценки коэффициентов вейвлет-преобразования случайных процессов...............................................65

3.1 Анализ методической погрешности оценки коэффициентов вейвлет-

преобразования................................................... 65

3.2 Оценка погрешности коэффициентов вейвлет-преобразования с вейвлетом Гаусса 8-го порядка на примере синусоидальных процессов с

неравномерной дискретизацией...................................68

Выводы ..................................................... 76

4 Комплекс программ для проведения вейвлет-анализа случайных процессов ....................................................... 78

4.1 Разработка комплекса программ для проведения вейвлет-анализа

случайных процессов............................................... 78

4.2 Структурная схема комплекса программ для проведения вейвлет-

анализа случайных процессов.......................................81

4.2.1 Модуль получения исходного процесса....................82

4.2.2 Модуль получения спектральных характеристик сигнала....86

4.2.3 Модуль построения вейвлетов............................93

4.2.4 Модуль имитационного моделирования.....................93

4.3 Решение прикладных задач при помощи разработанного комплекса

программ..........................................................95

4.3.1 Вейвлет-анализ вариабельности сердечного ритма.........95

4.3.2 Применение вейвлет-анализа при исследовании

электрокардиограмм для диагностики аритмии........................99

4

4.3.3 Анализ электроэнцефалограмм с помощью анализирующих

вейвлетов Морле......................................................102

4.3.4 Анализ процесса фрезерования по сигналу виброакустической

эмиссии с помощью анализирующих вейвлетов Морле......................104

Выводы......................................................110

Заключение...........................................................111

(Список литературы...................................................113

Приложение А Результаты обработки сигналов с частотной модуляцией... 128

Приложение Б Вывод характеристик Гауссовых вейвлетов.................134

Приложение В Результаты вейвлет-преобразования сигналов..............136

Приложение Г Акты внедрения..........................................141

Приложение Д Свидетельства о государственной регистрации программ для

ЭВМ..................................................................145

5

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ И УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

АЭ - акустическая эмиссия;

ВП - вейвлет-преобразование;

ВР - временной ряд;

ВСР - вариабельность сердечного ритма;

КФ - корреляционная функция;

НВР - неэквидистантный временной ряд;

ННВР - нестационарный неэквидистантный временной ряд;

НРД - неравномерная дискретизация;

РД - равномерная дискретизация;

СКО - среднеквадратическое отклонение;

СФ - структурная функция;

ЭКГ - электрокардиограмма;

ЭЭГ - электроэнцефалограмма;

а - параметр масштаба вейвлет-преобразования;

- количество операций сложения;

/) - параметр сдвига вейвлет-преобразования;

(у, - положение анализирующего вейвлета в частотной области;

<у - положение анализирующего вейвлета во временной области;

<W [ ] - операция взятия целой части;

- непрерывный случайные процесс;

X - коэффициент прореживания;

М- длина неравномерной последовательности;

А/м/ - количество операций умножения;

JV- длина равномерной последовательности;

- число масштабов;

JV* - число отсчетов восстановленной последовательности;

А), - число сдвигов;

6

И; - длина вейвлета;

- вероятность пропусков наблюдений;

- вейвлет-спектр;

- скейлограмма;

- скелетон;

/, - временные отсчеты временного ряда;

- центр анализирующего вейвлета во временной области;

) - коэффициенты вейвлет-преобразования;

му - ширина анализирующего вейвлета в частотной области;

и-; - ширина анализирующего вейвлета во временной области;

ИА/гс - количество операций вычисления вейвлетов;

т, - отсчеты временного ряда;

А^, - эффективный радиус анализирующего вейвлета в частотной области;

Ду - эффективный радиус анализирующего вейвлета во временной области;

А/ - интервал дискретизации;

A/,, - интервал принудительной дискретизации;

(бо) - центр анализирующего вейвлета в частотной области;

Т(бэ) - анализирующий вейвлет в частотной области;

;//(/) - анализирующий вейвлет во временной области; ЦуЦЗ - норма анализирующего вейвлета во временной области;

]]Т]]2 - норма анализирующего вейвлета во частотной области.

7

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Вейвлет-анализ нестационарных неэквидистантных временных рядов»

ВВЕДЕНИЕ

Необходимость обработки неэквидистантных временных рядов (НВР) возникает при анализе процессов, полученных с применением адаптивных систем сбора и обработки информации, неточности датирования в многоканальных системах, дискретизации с пропусками наблюдений, стохастическом и квазистохастическом кодировании, принципиальной невозможности получения равномерных отсчетов в ходе исследований. На практике такие данные, как правило, имеют нестационарный характер и встречаются при анализе медицинских сигналов, таких как электроэнцефалограммы, электрокардиограммы, вариабельность сердечного ритма, электромиограммы, при решении задач распознавания речи, анализе космофизических явлений, в задачах обработки изображений, при проведении теплофизических, океанологических и океанографических исследований. Исследованиям в области НВР посвящены работы следующих учёных: В.В. Витязев, С.А. Прохоров, F.J.M. Barning, N.R. Lomb, J.D. Scargle и т.д.

Частотные методы спектрального анализа не позволяют определить время существования частоты в процессе, что приводит к ограниченным возможностям при анализе нестационарных по частоте процессов. Вейвлет-преобразование (ВП), которое относится к частотно-временным методам, является одним из активно развивающихся методов спектрального анализа нестационарных процессов.

Фундаментальными в теории вейвлетов являются работы И. Добеши, С. Малла, Ч. Чуи. Разработки в области вейвлет-анализа ведутся такими учеными, как НМ. Астафьева, М П. Берестень, В.В. Витязев, Н.В. Мясникова и другими. Проблемам исследования процессов методом вейвлет-анализа посвятили свои труды А.А. Короновский, Ю.В. Обухов, А.Е. Храмов. Работы Р.А. Асташова, А Н. Голубинского, О.В. Мандриковой посвящены вопросам выбора базисной функции, а также выбору параметров вейвлета, сдвига и мае-

8

штаба ВП. В работах Д.К. Галягина и П.Г. Фрика, посвященных анализу нестационарных временных рядов, предлагается адаптивное ВП, позволяющее анализировать равномерно дискретизированные процессы с пропусками наблюдений. Предполагается, что известными являются равномерный интервал дискретизации процесса и временные интервалы пропусков наблюдений, что не всегда верно на практике. Зачастую при анализе ННВР восстанавливается и приводится к равномерному виду - такой подход является более простым, не требует разработки новых алгоритмов, однако приводит к появлению погрешности датирования, следовательно, проблемы анализа ННВР решены не в полной мере.

Таким образом, актуальность темы научной работы определяется необходимостью разработки метода и алгоритмов ВП ННВР без восстановления пропущенных отсчетов, позволяющих анализировать данные процессы в частотной и временной областях.

Цель работы - разработка метода и алгоритмов вейвлет-анализа нестационарных неэквидистантных временных рядов, обладающих повышенным быстродействием за счет отсутствия восстановления пропущенных отсчетов.

Задачи диссертационной работы:

1 Обзор методов и средств спектрального анализа ННВР.

2 Разработка метода вычисления коэффициентов ВП ННВР без восстановления пропущенных отсчетов, обладающего повышенным быстродействием.

3 Разработка алгоритмов для реализации метода вейвлет-анализа ННВР.

4 Оценка погрешности вычисления коэффициентов ВП на основе разработанных алгоритмов.

5 Разработка комплекса программ для проведения вейвлет-анализа ННВР.

6 Апробация разработанного метода, алгоритмов и комплекса программ для решения ряда практических задач.

9

Объект исследования - нестационарные неэквидистантные временные ряды.

Предмет исследования - вейвлет-анализ нестационарных неэквидистантных временных рядов без восстановления пропущенных отсчетов, обладающий повышенным быстродействием.

Методы исследования. В работе использованы методы математического анализа, теории вероятностей и математической статистики, теории потоков, использованы численные методы и методы имитационного моделирования.

Научные положения диссертации соответствуют следующему пункту паспорта специальности 05.13.17 - Теоретические основы информатики: 5 Разработка и исследование моделей и алгоритмов анализа данных, обнаружения закономерностей в данных и их извлечениях, разработка и исследование методов и алгоритмов анализа текста, устной речи, изображений.

Научная новизна работы содержится в следующих результатах:

1 Предложен метод сопряжённого вейвлет-анализа ННВР с подстройкой интервалов дискретизации, позволяющий, в отличие от существующих, строить частотно-временную развертку с равномерным представлением без восстановления пропущенных отсчетов.

2 Разработан алгоритм вычисления коэффициентов ВП ННВР без восстановления пропущенных отсчетов, основанный на разработанном алгоритме получения сдвигов с равномерным интервалом дискретизации для ВП НВР, отличающийся повышенным быстродействием.

3 Разработан алгоритм вычисления коэффициентов ВП процессов с равномерной дискретизацией, отличающийся снижением временных затрат, которое достигается за счет уменьшения количества операций вычисления значений вейвлетов пропорционально числу сдвигов и сохранения полученных значений в памяти, а также отсутствия процедуры восстановления отсчётов НВР. Данный алгоритм включает разработанный алгоритм вычисления

10 дискретных значений вейвлетов, основанный на вычислении эффективного радиуса вейвлета.

4 Разработан комплекс программ вейвлет-анализа сигналов, реализующий разработанные алгоритмы.

Практическая значимость работы заключается в следующих результатах:

1 Применение метода сопряжённого вейвлет-анализа ННВР с подстройкой интервалов дискретизации, который позволяет строить частотно-временную развертку с равномерным представлением без восстановления пропущенных отсчетов.

2 Реализация разработанных алгоритмов в виде комплекса программ.

3 Применение разработанного комплекса программ при исследовании медицинских сигналов: электроэнцефалограммы, электрокардиограммы и вариабельность сердечных ритмов.

4 Применение разработанного комплекса программ для обнаружения и определения степени износа фрезы по сигналу акустической эмиссии.

Достоверность работы подтверждается корректностью применения апробированных алгоритмов на практике, внедрением результатов диссертационной работы в работу ООО «Сура-Кардио», ООО «Саминтех», в учебный процесс Самарского университета.

Апробация результатов. Результаты, полученные в диссертации, представлены на 63 молодежной научной конференции (Самара, 2013); Международной научно-технической конференции «Проблемы автоматизации и управления в технических системах» (Пенза, 2013); конференции с международным участием «Молодые ученые 21 века - от современных технологий к инновациям» (Самара, 2014); Международной научно-технической конференции «Шляндинские чтения» (Пенза, 2014); Всероссийском конгрессе молодых ученых (Санкт-Петербург, 2015); Международных научно-технических конференциях «Перспективные информационные технологии» (Самара, 2015-2017);

и

Международной конференции и молодежной школе «Информационные технологии и нанотехнологии» (Самара, 2017); Всероссийской научно-технической конференции «Новые информационные технологии в научных исследованиях» (Рязань, 2017); 21st IEEE Conference of Open Innovations Association FRUCT (Хельсинки, 2017).

Работа была представлена на региональном этапе Всероссийского конкурса «IT-прорыв» в номинации IT в медицине (Самара, 2016), заняла 2 место в федеральном этапе Всероссийского конкурса «IT-прорыв» в номинации IT в медицине (Москва, 2016).

На защиту выносятся:

1 Метод сопряжённого вейвлет-анализа ННВР, позволяющий получить, в отличие от существующих, вейвлет-спектр с равномерным представлением без восстановления пропущенных отсчетов.

2 Алгоритм вычисления вейвлет-спектра ННВР с равномерным представлением, основанный на алгоритме получения сдвигов для ВП НВР с равномерным интервалом дискретизации, повышение быстродействия которого достигается за счёт отсутствия процедуры восстановления временного ряда.

3 Алгоритм вычисления вейвлет-спектра процессов с равномерной дискретизацией, включающий алгоритм вычисления дискретных значений вейвлетов, основанный на вычислении эффективного радиуса вейвлета, повышение быстродействия которого пропорционально числу сдвигов достигается за счёт хранения значений вейвлетов в памяти.

4 Комплекс программ для вейвлет-анализа временных рядов и результаты его апробации.

Публикации. Результаты опубликованы в 20 работах, из них: 3 публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ; 2 публикации в рецензируемых изданиях, входящих в систему цитирования Scopus; 3 свидетельства о государственной регистрации программы для ЭВМ; 1 свидетельство о государственной регистрации базы данных.

Объём и структура диссертации. Работа состоит из введения, четырёх

12

глав основного материала, заключения, списка литературы из 137 наименований, 5 приложений. Общий объем диссертации составляет 149 страниц машинописного текста, включая 30 таблиц и 58 рисунков.

13

1 ОБЗОР МЕТОДОВ И СРЕДСТВ СПЕКТРАЛЬНОГО

АНАЛИЗА ДАННЫХ

1.1 Математическое описание случайных процессов

Источником информации об исследуемом объекте является электрический сигнал. В зависимости от свойств сигнала, он может быть случайным и детерминированным. Случайными называются процессы, численные значения которых невозможно определить (вычислить) для любого заданного момента времени [81]. Процесс, значения которого в любой момент времени известны с вероятностью единицы является детерминированным. В свою очередь данные процессы могут обладать такими свойствами, как стационарность и эргодичность. Случайный процесс, у которого все конечномерные функции распределения вероятностей любого порядка инвариантны относительно сдвига по времени, является стационарным в узком смысле [26]. По характеру области определения и области значений сигнала, его можно разделить на поток и последовательность (временной ряд). Область определения потоков и временных рядов является дискретной, а, следовательно, они могут быть равномерными и неравномерными. Классификация сигналов приведена на рисунке 1.1. Каждый из классов, описанных выше, имеет свое описание - математическую модель.

Как правило, результаты исследований представляют собой случайные временные ряды:

{^,/Д/,(1.1)

Аб — 6+1 — 6'

где / - номер отсчета, /, - время отсчета.

14

Процессы

Случайные

Детерминированные

Стационарные

Эргодические

Нестационарные

Неэргодические

Потоки

Равномерные

Последовательности

6*

*3

Неравномерные

Рисунок 1.1- Классификация процессов

На практике случайные процессы чаще всего являются нестационарными, которые в свою очередь могут быть нестационарными по математическому ожиданию, дисперсии и частоте (рисунок 1.2).

Рисунок 1.2 - Классификация нестационарных временных рядов

15

Случайный процесс представим в следующем виде [77]:

/^) = ^)+?7(^), (1.2)

где <д(/), ?/(/) - детерминированные функции времени;

j(/) - центрированный стационарный процесс.

Изменяя параметры данной модели, получают различные частные модели случайных процессов, в том числе нестационарные по математическому ожиданию и по частоте, показанные в таблице 1.1. Для оценки спектральных характеристик таких процессов исследуют структурные функции.

Таблица 1.1 - Некоторые модели нестационарных процессов

?7^) Название процесса

1 нестационарный по математическому ожиданию

0 77^) /М=77(;)-х(;) нестационарный по дисперсии

Примеры нестационарных случайных процессов по математическому ожиданию (1.3) и дисперсии (1.4) показаны на рисунке 1.3:

/^)=sin(0.06^+.x^), (1.3)

/^) = sin(0.005^.x^), (1.4)

где - случайный процесс с КФ /?(т)= .

16

a)

б)

Рисунок 1.3 - Нестационарные случайные процессы: а) нестационарный по математическому ожиданию; б) нестационарный по дисперсии

В том случае, когда во времени изменяется частота и процесс является нестационарным по частоте, он является процессом с частотной модуляцией, который модулируется сигналом и его модель имеет следующий

вид [41]:

/M = ^cos

(1.5)

—00

17

где б)о * несущее колебание;

- коэффициент пропорциональности;

77^ " амплитуда высокочастотного несущего колебания в отсутствие модуляции.

Одной из разновидностей частотной модуляции является модуляция, при которой частота изменяется по линейному закону. Математическое описание такого сигнала имеет следующий вид:

(1.6)

где 77^ - амплитуда сигнала;

(ә,) = max 2—пдп- _ центральное значение несущей частоты;

/7 _ //

_ ^ lnax ^ lnin .

Г

7). - длительность сигнала;

7'"]^ - максимальное значение сигнала;

7^^ - минимальное значение сигнала.

Пример сигнала (1.7) с линейной частотной модуляцией с частотой дискретизации А7 = 0,01 и числом отсчетов 7V=77W, где 77^=1, 7^ = 0,2,

=6, показан на рисунке 1.4.

/(7) = cos[27r(2,67 + 0,247 jj.

(1-7)

При модуляции простейшим низкочастотным гармоническим сигналом модель частотно модулированного сигнала принимает следующий вид:

/(7) = 77^ cos[^7 + /и sin ,

(1.8)

18

где /и = —- индекс угловой модуляции;

Qo

- амплитуда низкочастотного модулирующего сигнала;

О,, - частота модулирующего сигнала.

Рисунок 1.4 - Процесс с линейной частотной модуляцией

Пример сигнала (1.9), модулированного гармоническим сигналом, с частотой дискретизации А/ = 0,1 и числом отсчетов JV=7(W, где (7^=1, б?о = 50, = 8, Qg = 0,5, показан на рисунке 1.5.

/(/) = cos[50/ + 2sin0,5/]. (1.9)

Для анализа случайных процессов используют вероятностные характеристики, представленные на рисунке 1.6, определяемые во временной, частотной и частотно-временной областях. Результаты обработки сигналов (1.7) и (1.9) приведены в приложении А.

19

Рисунок 1.5 - Процесс с линейной модуляцией гармоническим сигналом

Вероятностные характеристики, определяемые во временной и частотной областях, могут быть применены для анализа стационарных процессов, либо для нестационарных процессов по математическому ожиданию и по дисперсии. Вследствие того, что у нестационарных по частоте процессов частота является параметром, изменяемым во времени, для их анализа применяются частотно-временные методы, которые являются более информативными в данном случае.

Рисунок 1.6 - Классификация вероятностных характеристик

20

1.2 Математическое описание процессов с неравномерной дискретизацией

При А/, = ш/7<ТЪ/и процесс является неравномерным и классические методы не подходят для его анализа. В данном случае процесс описывается массивом значений {у} и массивом временных отсчетов {/,}, что позволяет использовать для описания {у } теорию случайных процессов, а для {/,} - теорию потоков [65, 71, 77, 80, 81].

Рассмотрим типовые модели потоков [80]:

а) дискретизация со случайными пропусками наблюдений [73];

Интервал дискретизации определяется:

А;, =1^0,

где А/,, - интервал принудительной дискретизации;

У - случайная величина, распределенная по сдвинутому на единицу закону Паскаля с параметром /?:

Р(У = /и) = /77 = 1,2...

Значение случайного процесса и соответствующая ему метка времени равны [73, 81]:

Л?.ХИ-

у A=1 J

<

(110)

6 = А/()^^..

А=1

21

б) дискретизация с дрожанием;

Интервал дискретизации определяется:

A;,.=A;o+^-^_i,

где 2,. - последовательность независимых случайных величин с плотностью

распределения вероятностей расположенных в диапазоне

л

2 ' 2 J

Значение случайного процесса и соответствующая ему метка времени равны [73, 81]:

=/Л;о+^.

(111)

в) аддитивная случайная дискретизация;

Интервал дискретизации определяется:

где 2,. - последовательность независимых случайных величин с плотностью распределения вероятностей /7(<^), расположенных в диапазоне А?,

Значение случайного процесса и соответствующая ему метка времени равны [73, 81]:

- /,+] +

(112)

22

1.3 Обзор методов спектрального анализа неэквидистантных временных рядов

1.3.1 Преобразование Фурье

Основным методом спектрального анализа является классическое преобразование Фурье: функция времени /^), заданная на бесконечном интервале - со < / < со, удовлетворяющая условиям Дирихле (непрерывность, за исключением, быть может, конечного числа точек разрыва конечного типа, ко-нечное число экстремумов) и абсолютно интегрируемая ( J / ^(/)<7/ < оо ), мо-жет быть представлена в виде интеграла Фурье:

00

/(<)= (1.13)

—00

где

00

ғ(й))= (1 14)

—00

Величина ғ(б?) называется спектром сигнала [29, 88]. Выражение (1.14) называется прямым преобразованием Фурье, а выражение (1.13)-обратным преобразованием Фурье.

Пара дискретного преобразования Фурье описывается следующими уравнениями [29, 88]:

(115)

23

и=0

(1.16)

где /? = O,1,...,7V-1, ^ = O,1,...,7V-1.

Для графического представления результатов преобразования Фурье, как правило, используют периодограмму, вычисляемую следующим образом:

(1.17)

Re^= X/,cos—

и=0

Im^=

и=0

При этом отсчеты периодограммы соответствуют частотам:

г^=Аи^, (1-18)

где ^ = 0,1,...,у;

Аг = —;

Л'А/

7V - объем выборки случайного процесса;

А/ - шаг дискретизации случайного процесса.

Рассмотренные выше алгоритмы применимы к процессам с равномерной дискретизацией. В работе [113] Широкова О.Ю. был предложен алгоритм оценки дискретного преобразования Фурье процессов с неравномерной дискретизацией без восстановления пропущенных отсчетов.

24

Для вычисления ДПФ НВР предлагается модифицировать классический алгоритм таким образом, чтобы проводить преобразование только над существенными отсчетами т, последовательности длины Л7 = Л'/Zy^., где М- число существенных отсчетов, - число отсчетов предполагаемого равномерного процесса, Zy^. - коэффициент сжатия.

(1.19)

где % = .S7g/?(y )биД у

дискретное значение амплитуды сигнала;

л/улД*,) - знаковая функция.

Основными недостатками преобразования Фурье являются:

- ограниченный анализ нестационарных сигналов, а именно невозможность локализации частот во времени;

- отсутствие возможности анализа особенностей сигнала, например, пиков и ступенек;

- при анализе части сигнала или скачкообразного сигнала появляется эффект Гиббса [125].

1.3.2 Least Squared-спектры

В работах F.J.M. Baming (1963), N.R. Lomb (1976), J.D. Scargle (1982) для оценки спектра мощности неэквидистантных последовательностей предложены новые оценки спектра. Основная идея заключается в аппроксимации последовательности простой гармонической функцией. Пусть временной ряд (1.1) задан моделью [14]:

2

/=1

25

где <^(/) = cos%%y

<у?2^) = sin й?/.

Введем следующие обозначения:

1 Л^-1

Коэффициенты й, и находятся следующим образом:

<?1

1

-(^1^2)

1Һ11" .

где А = 11<Д1^11<Д2^-[(<Д1,<Д2)р.

В связи с тем, что данная оценка основана на методе наименьших квадратов, она была названа LS-спектром (Least Squared). Окончательно оценка спектра имеет следующий вид:

1 2

/=1

В работе [14] подробно рассмотрены виды LS-спектров. Данные методы оценки спектра обладают существенным недостатком при анализе НВР - отсутствие возможности локализации частотных характеристик во времени. Данный недостаток устраняется применением частотно-временных методов анализа [117, 123, 124, 126], например, таких, как оконное преобразование

26

Фурье [18, 31, 42, 46, 63], преобразование Вигнер-Виля [6, 16, 43, 47, 48, 101], вейвлет-преобразование [23, 33,34, 92].

1.4 Вейвлет-преобразование

В настоящее время разработкам в области вейвлет-преобразования посвящено большое количество работ [9, 15, 30, 31, 45, 131]. Проблемами исследования процессов при помощи вейвлет-анализа занимаются такие авторы, как А.Е. Храмов и А.А. Короновский [39, 62, 66, 90, 91, 107-109], Н.В. Мясникова [57].

Вейвлет-преобразование активно применяется в различных областях, а именно: в анализе медицинских сигналов таких, как электроэнцефалограмма [5, И, 19, 20, 54, 104, 119], электромиограмма, исследование последовательности ДНК [33,99,100,103,133]; при решении задач распознавания [36, 133]; анализе космофизических явлений [8, 51-53]; для подавления шума [124, 127]; в обработке изображений [1, 105] и др.

Вейвлет - это функция, которая должна удовлетворять следующим условиям [2, 9, 32, 40,49,115]:

1) Условие допустимости. Базовый вейвлет выбирается так, чтобы выполнялось следующее условие для его Фурье-образа [111, 121, 122]:

С = 2я* f ' Л < оо. (1-20)

—00

В связи с тем, что для практического применения достаточно рассматривать положительные частоты условие (1.20) примет вид:

00

С,,=4л-{

о

<7щ<00.

(1.21)

27

Данное условие эквивалентно требованию нулевого среднего:

J = 0.

—00

(1.22)

Для приложений часто бывает необходимо, чтобы /и моментов вейвлета были равны нулю [2, 33, 134, 135]. Тогда условие (1.22) можно записать как выражение:

00

= о.

—00

(1.23)

Вейвлеты, удовлетворяющие этому условию, позволяют анализировать мелкомасштабные флуктуации и особенности высокого порядка.

2) Локализация. Для того, чтобы базовый вейвлет был локализован во временной и частотной областях, в отличие от преобразования Фурье, он должен быть задан на конечном интервале.

3) Ограниченность. Условие ограниченности можно записать в следующем виде:

00

j]y(^)]2(^<<x). (1-24)

—00

Оценка хорошей локализации и ограниченности определяется при помощи следующих выражений:

(1.25)

28

1

где 6)Q - доминирующая частота вейвлета;

и - сколь угодно большое число.

1.4.1 Характеристики вейвлетов

Вейвлеты обладают такими характеристиками, как центр и радиус во временной и частотной областях. Зная данные характеристики, мы можем определить текущее положение окна преобразования, а также его ширину.

Во временной области положение окна (1.27) и его ширина (1.28) определяются как [2]:

+ (1-27)

где б/, /) - параметры масштаба и сдвига вейвлета;

- центр заданного базового вейвлета во временной области;

И?;=8(7А;, (1-28)

где а - параметр масштаба вейвлета;

Л; - эффективный радиус заданного базового вейвлета во временной области.

В частотной области данные характеристики имеют следующий вид:

129

где а - параметр масштаба вейвлета;

29

((2?) - центр заданного базового вейвлета в частотной области;

<7

где <т - параметр масштаба вейвлета;

- эффективный радиус заданного базового вейвлета в частотной об-

ласти.

Вычисление центра и эффективного радиуса базовых вейвлетов во временной области

Центр и эффективный радиус вейвлета во временной области вычисляются следующим образом [2, 4, 15, 32, 40, 49]:

] 00

—- центр,

-00

(1.31)

1 00

-00

-радиус,

(1.32)

00

где ]]у[] = норма вейвлета.

—00

В работах [3, 4, 50, 102, 114] рассматриваются вопросы выбора вейвлетов для решения прикладных задач. В данной работе рассмотрим наиболее распространенные вейвлеты, применяемые в непрерывном вейвлет-анализе. Характеристики базовых вейвлетов во временной области приведены в таблице 1.2 [98].

30

Таблица 1.2 - Вейвлеты и их характеристики во временной области

Вейвлет (?) IMf A.

1 (Wave) -/exp k 2 J 0 0,08862 1,2247

2 (Mhat) (/2 - l)exp 7) - 2) 0 1,3293 1,0801

3 (- /З + 3/)ex] 1 1 / 0 3,3234 1,0488

4 ((4 - 6/2 + 3 jexp k 2 J 0 11,6317 1,0351

5 (-/5 +10/2 _i%)exp 1 1 X 7 0 52,3428 1,0274

6 (/^-15/4+45/2-1б)ехр 7^ Г 2„ / 0 287,8853 1,0225

7 (- /7 + 21/5 - Ю5^з io5/)exp 1 1 X У 0 1871,2543 1,0191

8 (/^ -28/^ + 210/4 -420/2 +io5)exp \ 1 1 0 14034,4073 1,0165

DOG Г exp -0,5 exp k 2 J 1 ос 1 Тэ X 7 0 0,41668 1,4409

Морле exp(- /7r/)exp 7) 2^7 0 cr/V2

На рисунке 1.7 показана ширина вейвлета на примере 1-ой производной Гаусса и действительной части вейвлета Морле в зависимости от параметра масштаба.

31

a)

t

t t

в) г)

Рисунок 1.7 - Ширина вейвлета: а) 1-ая производная Гаусса, <7=0,6; б) 1-ая производная Гаусса, <7=7; в) вейвлет Морле, <7=0,6; г) вейвлет Морле, <7=7

Вычисление центра и эффективного радиуса вейвлетов в частотной области

Так как Т(<т,) при отрицательных частотах равняется нулю [49], то характеристики базового вейвлета в частотной области вычисляются следующим образом:

] 00

—у <7щ - центр,

Чг) о

(133)

где Т(<т,) - анализирующий вейвлет в частотной области.

32

Л

] 00

---^(щ-(щ))2]^(щ)2<7щ - радиус, М о

(1.34)

где ЦЧ'ЦЗ = (/б? - норма;

о

<//(й?) - преобразование Фурье соответствующего вейвлета.

В общем виде для вейвлетов Гаусса данные характеристики в частотной области в зависимости от порядка производной и Гауссовой функции представлены в таблице 1.3, где (2/7-1)!!= 1-3-...-(2/7-1). Вывод представлен в приложении Б.

Таблица 1.3 - Характеристики вейвлетов Гаусса в частотной области

Вейвлет Ч^й?) \р 2

Гаусса (- ])"(/й))" VTr X 7 2Л - Я) хехр к 2 7 ^^(2/7-1)!! 2" 2" и! V/r(2/7-l)!! 2/7+1 2 2"/7!и!

л-[(2/7 -1)!!р

Характеристики базовых вейвлетов в частотной области представлены в

таблице 1.4.

Таблица 1.4 - Спектральная плотность вейвлетов и её характеристики

Вейвлет Ч"(й?) \p 2 A.

1 (Wave) -/лл/ТӮгехр J 2,7842 1,1284 0,4762

2 (Mhat) - 6)2^2^-exp Г г 4,1762 1,5045 0,4863

33

Продолжение таблицы 1.4

Вейвлет Ч^й?)

3 /л? л/2Ӯгехр Г 2) 10,4406 1,8054 0,4904

4 й/^2Ӯгехр -ә") J 2 J 36,5422 2,0633 0,4926

5 -/^V2^rex Л 2 Й) 2 7 164,4397 2,293 0,4940

6 - й/' V2^r ex j: r U 2 , \ / 904,4183 2,5010 0,4950

7 /й)7^2Ӯгехр (- 2 J 5878,7188 2,6934 0,4957

8 й)К^/2л-ехр \ 7 2 J 44090,3909 2,8729 0,4962

DOG 7 / л/2^ғ exp L -ехр(-2й)^) 7 1,3091 1,0800 0,3877

Морле er exp сг^(^- Й))^ 2 2 / сгл/тғ 1/20-2

1.4.2 Непрерывное вейвлет-преобразование

Непрерывное (интегральное) вейвлет-преобразование функции /(/)е /^(/?) от времени /) и масштаба <т записывается в следующем виде [2,15, 17,32,35,40,49,115]:

(135)

34

где / (/) - случайный процесс;

;//(/) - выбранный анализирующий вейвлет;

0 - параметр масштаба;

/)>0-параметр сдвига.

Так как имеет нулевое среднее, то измеряет изменение / в

окрестности точки размер которой пропорционален а.

Обратное вейвлет-преобразование существует в том случае, если вейвлет удовлетворяет условию допустимости (1.21) и имеет следующий вид [2, 15, 17, 32, 35, 40, 49, 115]:

(1.36) (д!/ 0 -оо \ 7 <7

В результате вейвлет-преобразования получается поверхность вейвлет-коэффициентов 1С(м,^). В качестве графического представления результатов возможно использовать трехмерный график и график в виде контурной карты.

Функция, описывающая распределение энергии по масштабам, называется вейвлет-спектром (скалограммой). Она имеет вид [2, 15, 38]:

$(а,.,0=]1Ңа,.,бф. (1.37)

Вместо поверхности можно использовать ее проекцию на плоскость, отслеживающую линии локальных экстремумов - скелетон. Скелетон имеет вид [2, 15, 38]:

57(д,,^)=<

О, МН <746.

35

Также одним из способов представления результатов является скейло-грамма, которая имеет следующий вид [2, 15, 38]:

(1.39)

где ? = 0,1,...,Д^-1.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Столбова, Анастасия Александровна, 2018 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1 Александров, А. А. Алгоритм видеокомпрессии на основе дискретного вейвлет-преобразования с трехслойной схемой кодирования векторов движения / А. А. Александров, Е. А. Коплович, С.В. Умняшкин // Известия высших учебных заведений. Электроника. - 2008. - № 5. - С. 69-73.

2 Астафьева, Н.М. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения / Н.М. Астафьева // Успехи физических наук. - 1996. -Т. 166, №11.-С. 1145-1170.

3 Асташов, Р.А. О материнском вейвлете непрерывного вейвлет-преобразования для задач анализа и синтеза речи / Р.А. Асташов, А Н. Голубинский // Наука и современность. - 2012. - № 19-2. - С. 12-19.

4 Асташов, Р.А. Обоснование выбора материнского вейвлета непрерывного вейвлет-преобразования для анализа речевых сигналов / Р.А. Асташов, А Н. Голубинский // Вестник Воронежского института МВД России. -2014.-№1.-(2.11-17.

5 Ациперов, В.Е. Двумерное многомасштабное представление данных ЭЭГ записей эпилептических разрядов / В.Е. Ациперов, Ю.В. Обухов // Альманах клинической медицины. - 2008. - № 17-1. - С. 154-157.

6 Бабанов, Ю Н. Спектрально-временной анализ детерминированных сигналов / Ю Н. Бабанов, Ю.П. Лебедев, Б.С. Воинов. - Горький: ГГУ, 1980. -91 с.

7 Баевский, Р.М. Анализ вариабельности сердечного ритма при использовании различных электрокардиографических систем (часть 1) / Р.М. Баевский, Г.Г. Иванов, Л.В. Чирейкин и др. // Вестник аритмологии. - 2002. -№24. - С. 65-87.

8 Базин, Д.В. Исследование геомагнитной активности методами вейвлет-анализа / Д.В. Базин, Ю Г. Древе // Научная сессия МИФИ - 2004. -2004.-Т. 12.-(2. 75-77.

114

9 Блаттер, К. Вейвлет-анализ. Основы теории / К. Блаттер. - М. : ТЕХНОСФЕРА, 2004. - 280 с.

10 Бокерия, Л.А. Вариабельность сердечного ритма: методы измерения, интерпретация, клиническое использование / Л.А. Бокерия, О.Л. Бокерия, И В. Волковская // Анналы аритмологии. - 2009. - №4. - С. 21-32.

11 Боснякова, Д.Ю. Новые подходы к поиску нестационарных характеристик электроэнцефалограмм / Д.Ю. Боснякова, Ю.В. Обухов, Ф.А. Дика-рев, Г.Д. Кузнецова, А.В. Жарикова // Альманах клинической медицины. -2008.-№17-1.-С. 164-167.

12 Вариабельность сердечного ритма. Стандарты измерения, физиологической интерпретации и клинического использования / Рабочая группа Европейского Кардиологического Общества и Северо-Американского общества стимуляции и электрофизиологии. - 1996. - 45 с.

13 Вержбицкий, В.М. Основы численных методов / В.М. Вержбицкий. - М.: Директ-Медиа, 2013. - 847 с.

14 Витязев, В.В. Анализ неравномерных временных рядов / В.В. Ви-тязев. - СПб: С.-Петерб. ун-т, 2001. - 68 с.

15 Витязев, В.В. Вейвлет-анализ временных рядов / В.В. Витязев. -СПб: С.-Петерб. ун-т, 2001. - 58 с.

16 Вишнивецкий, О. В. Вигнер-анализ в задачах космической радиофизики / О.В. Вишнивецкий, О.В. Лазоренко // Вестник Харьковского национального университета В.Н. Каразина. Серия «Радиофизика и электроника». -2010. - № 927, вып. 16. - С. 89-95.

17 Воробьёв, В.И. Теория и практика вейвлет-преобразования / В.И. Воробьёв, В.Г. Грибунин. - СПб : С.-Петербург, 1999. - 202 с.

18 Воскобойников, Ю.Е. Фильтрации сигналов и изображений: Фурье и вейвлет алгоритмы (с примерами в Mathcad) / Ю. Е. Воскобойников,

А.В. Гочаков, А.Б. Колкер. - Новосибирск : НГАСУ (Сибстрин), 2010. - 188 с.

19 Габова, А.В. Использование вейвлет-преобразований для анализа электрической активности мозга при болезни паркинсона / А.В. Габова,

115

В.В. Гнездицкий, А.В. Карабанов, С.Н. Иллариошкин, Ю.В. Обухов, А.А. Морозов, М.С, Королев, Т.П. Швецова, Г.Д. Кузнецова, А С. Базян // Нервные болезни. - 2012. - № 3. - С. 2-7.

20 Габова, А.В. Метод вейвлет-преобразований в неврологии: анализ частотно-временных характеристик типичных и атипичных разрядов неконвульсивной эпилепсии / А.В. Грабова, Г.Д. Кузнецова, В.В. Гнездицкий, А С. Базян, Ю.В. Обухов // Анналы клинической и экспериментальной неврологии. - 2009. - Том 3, № 4. - С. 39-44.

21 Галягин, Д.К. Адаптивные вейвлеты (Алгоритм спектрального анализа сигналов) / Д.К. Галягин, П.Г. Фрик // Математическое моделирование систем и процессов. - 1996. -№4. - С. 20-28.

22 Гамма, Э. Приемы объектно-ориентированного программирования. Паттерны проектирования / Э. Гамма, Р. Хелм, Р. Джонсон, Дж. Влисси-дес. - СПб : Питер, 2001. - 368 с.

23 Гаспаров, М.С. Применение вейвлет-анализа при исследовании кавитации насосных агрегатов / М.С. Гаспаров, А Н. Крючков, Е В. Шахматов, Л.В. Родионов // Известия Самарского научного центра Российской академии наук.-2006.-Т. 8,№4.-С. 1131-1135.

24 Голубинский, А Н. К вопросу о выборе масштаба непрерывного вейвлет-преобразования для обработки речевых сигналов / А Н. Голубинский, Р.А. Асташов // Охрана, безопасность, связь : материалы Международной научно-практической конференции. - Воронеж, 2011. - С. 64-68.

25 Голубинский, А Н. Параметры вейвлета, выбор сдвига и масштаба непрерывного вейвлет-преобразования для детектирования эмоций по голосу / АН. Голубинский, Р.А. Асташов // Вестник Воронежского института МВД России. -2013. -№2. - С. 109-118.

26 ГОСТ 21878-76 Случайные процессы и динамические системы. Термины и определения. - М. : Издательство стандартов, 1976. - 33 с.

27 ГОСТ Р ИСО 12716-2009 Контроль неразрушающий. Акустическая эмиссия. Словарь. -М.: Стандартинформ, 2011. - 12 с.

116

28 Градштейн, И.С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И.С. Градштейн, И М. Рыжик. - М.: Физматлит, 1963. - 1100 с.

29 Грибанов, Ю.И. Спектральный анализ случайных процессов / Ю.И. Грибанов, В.Л. Мальков. - М. : Энергия, 1974. - 240 с.

30 Дворников, С. В. Параметрическая мимикрия сигналов, модулированных колебаниями и сформированных в различных функциональных базисах / С.В. Дворников, С.С. Манаенко, С.С. Дворников // Информационные технологии. - 2015. - Т. 21, № 4. - С. 259-263.

31 Дворников, С. В. Синтез фазоманипулированных вейвлет-сигна-лов / С.В. Дворников, С. С. Манаенко, С. С. Дворников, А. А. Погорелов // Информационные технологии. - 2015. - Т. 21, № 2. - С. 140-143.

32 Добеши, И. Десять лекций по вейвлетам / И. Добеши. - Ижевск : НИЦ «Регулярная и хаотическия динамика», 2001. - 464 с.

33 Дремин, И М. Вейвлеты и их использование / ИМ. Дремин, О.В. Иванов, В.А. Нечитайло // Успехи физических наук. - 2001. - Т. 171, № 5. -С. 465-501.

34 Дьяконов, В.П. Вейвлеты. От теории к практике / В.П. Дьяконов. -М.: СОЛОН-Р, 2002. - 448 с.

35 Захарова, Т. В. Вейвлет-анализ и его приложения / Т В. Захарова, О.В. Шестаков. - 2-е изд., перераб. и доп. - М. : ИНФРА-М, 2012 . - 158 с.

36 Имамвердиев, Я. Н. Разработка робастного метода извлечения речевых признаков на основе эмпирического вейвлет-преобразования / Я.Н. Имамвердиев, Л. В. Сухостат // Информационные технологии. - 2015. -Т. 21, № 1. - С. 19-23.

37 Ковалева, А.В. Анализ вариабельности ритма сердца и возможности его применения в психологии и психофизиологии / А.В. Ковалева, Е.Н. Панова, А.К. Горбачева // Современная зарубежная психология. - 2013. -№1. - С. 35-50.

38 Козлов, ИВ. Вейвлет-преобразование и анализ временных рядов / П.В. Козлов, Б.Б. Чен // Вестник КРСУ. - 2002. - Т. 2, №2. - С. 1-10.

117

39 Короновский, А.А. Диагностика синхронизации автоколебательных систем при изменении частоты внешнего воздействия с использованием вейвлетного анализа / А.А. Короновский, В.И. Пономаренко, М.Д. Прохоров, А.Е. Храмов // Радиотехника и электроника. - 2007. - Т. 52, № 5. - С. 581-592.

40 Короновский, А.А. Непрерывный вейвлетный анализ и его приложения / А.А. Короновский, А.Е. Храмов. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 176 с.

41 Котиков, В.И. Математические модели сигналов: Пособие к выполнению лабораторных работ / В.И. Котиков // - Москва: МГТУ ГА, 2007. -44 с.

42 Коэн, Л. Время-частотные распределения: Обзор / Л. Коэн // ТИИЭР. - 1989. - Т. 77, № 10. - С. 72-120.

43 Кривошеев, В.И. Спектрально-временной анализ линейных систем и анализаторов спектра: учебное пособие / В.И. Кривошеев, Ю.П. Лебедев. - Горький: ГГУ,1983. - 76 с.

44 Кудря, О Н. Влияние физических нагрузок разной направленности на вариабельность ритма сердца у спортсменов / О Н. Кудря // Бюллетень сибирской медицины. - 2009. -№1. - С. 36-43.

45 Кухаренко, Б. Г. Использование метода Прони для оценки временного масштаба при обнаружении паттернов во временных рядах / Б.Г. Кухаренко, Д.И. Пономарев // Информационные технологии. - 2012 - №1. -(2.37-41.

46 Лазоренко, О.В. Сверхширокополосные сигналы и физические процессы. Методы анализа и применение / О.В. Лазоренко, Л.Ф. Черногор // Радиофизика и радиоастрономия. - 2008. - Т. 13, № 4. - С. 270-322.

47 Лазоренко, О.В. Системный спектральный анализ сигналов: теоретические основы и практические применения / О.В. Лазоренко, Л.Ф. Черногор // Радиофизика и радиоастрономия. - 2007. - Т. 12, № 2. - С. 162-181.

48 Лупов, С. Ю. Модификация преобразования Вигнера-Виля для анализа интерферометрических данных газодинамических процессов / С.Ю.

118

Лупов, В.И. Кривошеев // Вестник нижегородского университета им. Н И. Лобачевского : Радиофизические измерения. - 2011. - № 5(3). - С. 95-103.

49 Малла, С. Вейвлеты в обработке сигналов : пер. с англ / С. Малла. -М. : Мир, 2005.-671 с.

50 Мандрикова, О. В. Критерии выбора вейвлет-функции в задачах аппроксимации природных временных рядов сложной структуры / О.В. Мандрикова, Ю. А. Полозов // Информационные технологии. - 2012. - № 1. - С. 31 -36.

51 Мандрикова, О. В. Методы анализа вариаций геомагнитного поля и данных космических лучей/ О.В. Мандрикова, И. С. Соловьев, Т. Л. Заляев // Информационные технологии. - 2015. - Т. 21, № 11. - С. 849-855.

52 Мандрикова, О. В. Моделирование вариаций космических лучей на основе совмещения кратномасштабных вейвлет-разложений и нейронных сетей переменной структуры / О.В. Мандрикова, Т.Л. Заляев // Цифровая обработка сигналов. -2015. -№1. - С. 11-16.

53 Мандрикова, О.В. Аппроксимация и анализ ионосферных параметров на основе совмещения вейвлет-преобразования с коллективами нейронных сетей / О.В. Мандрикова, Ю.А. Полозов // Информационные технологии. - 2014. - № 7. - С. 61-65.

54 Мансфельд, А Д. Метод анализа фазовой динамики хребтов вейвлет-преобразований электроэнцефалограмм сигнала / А Д. Мансфельд, Ю.В. Обухов, А.А. Морозов // Нелинейный мир. - 2012. - Т. 10, № 2. -

С. 129- 130.

55 Методические рекомендации по анализу вариабельности сердеч-

ного ритма у спортсменов в видах спорта на выносливость с применением математических методов [Электронный ресурс] // Официальный сайт ГБУ «ЦСП по лёгкой атлетике». - Режим доступа : http://csp-

athletics.ru/images/doc/metod/control/metod-control-10.pdf.

56 Михайлов, В.М. Вариабельность ритма сердца. Опыт практического применения / В.М. Михайлов. - Иваново, 2000. - 200с.

119

57 Мясникова, Н.В. Экспресс-анализ сейсмических сигналов / Н.В. Мясникова, М П. Берестень, В.А. Дудкин // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2007. - №4. - С. 144-150.

58 Назимов, А.И. Адаптивный вейвлет-анализ данных оптической когерентной томографии: применение в задачах диагностики / А.И. Назимов, А Н. Павлов, В.В. Лычагов, О.В. Семячкина-Глушковская // Письма в журнал технической физики. - 2013. - №19. - С. 86.

59 Назимов, А.И. Адаптивный метод распознавания характерных ос-цилляторных паттернов на основе вейвлет-преобразования / А.И. Назимов, А Н. Павлов, А.Е. Храмов, В.В. Грубов, Е Ю. Ситникова, А.А. Короновский // Радиотехника и электроника - 2013. - №8. - С. 789.

60 Назимов, А.И. Метод защиты передаваемой информации с использованием нейросетевого детектирования / А.И. Назимов, А Н. Павлов // Письма в журнал технической физики. - 2013. - №18. - С. 61.

61 Назимов, А.И. Применение вейвлет-анализа и искусственных нейронных сетей к решению задачи распознавания формы импульсных сигналов при наличии помех / А.И. Назимов, А Н. Павлов // Радиотехника и электроника. -2012. -№7. - С. 771.

62 Назимов, А.И. Распознавание осцилляторных паттернов на электроэнцефалограмме на основе адаптивного вейвлет-анализа / А.И. Назимов, АН. Павлов, А.Е. Храмов, В.В. Грубов, Е Ю. Ситников, М.В. Храмова//Вестник ЛГУ.-2013.-т. 18,вып. 4.-С. 1431-1434.

63 Оппенгейм, А. Цифровая обработка сигналов / А. Оппенгейм, Р. Шафер. - М: Техносфера, 2006. - 856 с.

64 Орлов, Р.С., Нормальная физиология / Р.С Орлов, А Д. Ноздра-чев. - 2-е изд., исправл. и доп. - 2010. - 832 с.

65 Орлов, Ю Н. Программный комплекс для моделирования нестационарных неэквидистантных временных рядов / Ю Н. Орлов, Р.В. Плешаков // Препринты ИПМ им. М.В.Келдыша. - 2017. - № 36. - 15 с.

120

66 Павлов, А Н. Вейвлет-анализ в нейродинамике / А Н. Павлов, А.Е. Храмов, А.А. Короновский, Е Ю. Ситников, В.А. Макаров, А.А. Овчинников // Успехи физических наук. - 2012. - Т.182, № 9. - С. 905-939.

67 Поскотинова, Л.В. Соотношение показателей вариабельности сердечного ритма и дисперсионного картирования электрокардиограммы у человека в условиях пробы с фиксированным темпом дыхания /Л.В. Поскотинова, Т А. Зенченко, А.А. Медведева, М.А. Овсянкина // Вестник Российской академии медицинских наук. - 2012. - №7. - С. 44-49.

68 Прохоров, С.А. Автоматизированная информационная система вейвлет-анализа случайных процессов / С.А. Прохоров, А.А. Столбова // Проблемы автоматизации и управления в технических системах : сборник статей междун. научи.-технич. конф. - Пенза: ПТУ, 2013. - С. 159-163.

69 Прохоров, С. А. Автоматизированная система аппроксимативного корреляционно-спектрального анализа в ортогональном базисе Бесселя / С.А. Прохоров, Я.В. Газетова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2010. -№2 (14). - С. 30-40.

70 Прохоров, С.А. Автоматизированная система вейвлет-анализа случайных процессов / С.А. Прохоров, А.А. Столбова // Свидетельство о гос. регистрации программы для ЭВМ №2013610653 от 27.03.2013. - М.: ФИПС, 2013.

71 Прохоров, С.А. Автоматизированная система корреляционноспектрального анализа случайных процессов / С.А. Прохоров, А.В. Иващенко, А.В. Графкин // - Самара: СНЦ РАН, 2002. - 286 с.

72 Прохоров, С.А. Автоматизированные системы аппроксимативного анализа случайных процессов / С. А. Прохоров [и др ]. - Самара: СГАУ, 2010.-26 с.

73 Прохоров, С.А. Аппроксимативный анализ случайных процессов : 2-е изд., перераб. и доп. / С.А. Прохоров. - Самар, гос. аэрокосм, ун-т, 2001. -380 с.

121

74 Прохоров, С.А. База данных для хранения вейвлет-преобразова-ний /С.А. Прохоров, А.А. Столбова, Г.М. Чиркова // Свидетельство о гос. регистрации базы данныз №2016620615 от 17.05.2016. -М.: ФИПС, 2015.

75 Прохоров, С.А. Вейвлет-анализ электроэнцефалограмм / С.А. Прохоров, А.В. Иващенко, А.В. Кузьмин, А.А. Столбова // Шляндинские чтения - 2014 : сборник научных статей международной научно-технической конференции. - Пенза: ПТУ, 2014. - С. 144-146.

76 Прохоров, С.А. Информационная система вейвлет-анализа сигналов с разбиением их на блоки / С.А. Прохоров, А.А. Столбова, Д.С. Бочаров // Свидетельство о гос. регистрации программы для ЭВМ №2015618128 от 31.07.2015. -М.: ФИПС, 2015.

77 Прохоров, С.А. Математическое описание и моделирование случайных процессов / С.А. Прохоров. - Самара: СГАУ, 2001. - 209 с.

78 Прохоров, С.А. Ортогональные модели корреляционно-спектральных характеристик случайных процессов. Лабораторный практикум / С.А. Прохоров, И М. Куликовских // - Самара: СНЦ РАН, 2008. - 301 с.

79 Прохоров, С.А. Паттерновое проектирование при создании комплекса программ для проведения вейвлет-анализа / С.А. Прохоров, А.А. Столбова // Известия СНЦ РАН. - 2015. - Т. 17, №2(5). - С. 1092-1096.

80 Прохоров, С.А. Прикладной анализ неэквидистантных временных рядов / С.А. Прохоров. - Самара: СГАУ, 2001, 375 с.

81 Прохоров, С.А. Прикладной анализ случайных процессов / С.А. Прохоров [и др ]. - Самара: СНЦ РАН, 2007. - 582 с.

82 Прохоров, С.А. Программный комплекс анализа неэквидистантных временных рядов на основе непрерывного вейвлет-преобразования / С.А. Прохоров, А.А. Столбова // Программные продукты и системы. - 2017. -Т. 30, №4. - С. 668-671.

83 Прохоров, С.А. Программный комплекс для проведения вейвлет-анализа / С.А. Прохоров, А.А. Столбова // Свидетельство о гос. регистрации программы для ЭВМ №2015617561 от 14.07.2015. -М.: ФИПС, 2015.

122

84 Прохоров, С. А. Разработка мобильного приложения для вейвлет-анализа сигналов / С.А. Прохоров, А.А. Столбова, Д.С. Бочаров // Перспективные информационные технологии (ПИТ 2016) : труды Междун. научн.-технич. конф. - Самара: СНЦ РАН, 2016. - С. 147-149.

85 Прохоров, С.А. Численно-аналитический подход к вычислению интегралов при построении ортогональных моделей / С. А. Прохоров, И М. Куликовских // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: физико-математические науки. - 2002. - № 2(9). - С. 140-146.

86 Прохоров, С. А. Вейвлет-преобразование нерегулярных процессов без восстановления пропущенных отсчетов / С. А. Прохоров, А.А. Столбова // Перспективные информационные технологии (ПИТ 2017): труды Международной научи.-техн. конф. - Самара : СНЦ РАН, 2017. - С 154-156.

87 Прохоров, С.А. Паттерны проектирования при создании комплекса программ для проведения вейвлет-анализа / С.А. Прохоров, А.А. Столбова // Перспективные информационные технологии (ПИТ 2015): труды Международной научи.-техн. конф. - Самара : СНЦ РАН, 2015. - Т. 1. -С 109-112.

88 Рабинер, Л.Р. Цифровая обработка речевых сигналов / Л.Р. Раби-нер, Р.В. Шафер. - М. : Радио и связь, 1981. - 496 с.

89 РТМ 25 139-74. Руководящие технические материалы. Методы нормирования метрологических характеристик, оценки и контроля характеристик погрешностей средств статистических измерений. - Минприбор, 1974. -76 с.

90 Руннова, А.Е. Применение адаптивного вейвлетного анализа для диагностики различных волновых компонент цифровых данных наземной сейсморазведки / А.Е. Руннова, А.А. Короновский, А.В. Иванов, АН. Павлов, С.А. Куркин, И.А. Яшков, А.Е. Храмов // Вестник СГТУ. - 2013. - № 1 (69). -С. 12-20.

91 Руннова, А.Е. Фильтрация звуковых и поверхностных волн-помех на данных сейсмической разведки методами многомасштабного дискретного

123 вейвлет-анализа / А.Е. Руннова, А Н. Павлов, А.Е. Артемьев, М.В. Храмова, А.Е. Храмов // Вестник ТГУ. - 2014. - Т. 19, вып. 3. - С. 918-922.

92 Сальников, И. И. Анализ пространственно-временных параметров удаленных объектов в информационных технических системах / И И. Сальников. - М.: Физматлит, 2011. - 252 с.

93 Столбова, А.А. Автоматизированная система вейвлет-анализа сигналов / А.А. Столбова // 63 молодежная научная конференция : тезисы докладов. - Самара: СГАУ, 2013. - С. 102-104.

94 Столбова, А.А. Анализ быстродействия алгоритмов вейвлет-пре-образования // А. А. Столбова / Новые информационные технологии в научных исследованиях : материалы XXII Всероссийской научн.-техн. конф, студентов, молодых ученых и специалистов. - Рязань: РГРТУ, 2017. - С. 173-174.

95 Столбова, А.А. Анализ электроэнцефалограммы коры головного мозга с использованием вейвлет-преобразования / А. А. Столбова // «Молодые ученые 21 века - от современных технологий к инновациям» : материалы докладов. - Самара: Типография ООО «ЦПР», 2014. - С. 361-363.

96 Столбова, А.А. Вычисление коэффициентов вейвлет-преобразования на кластерных системах / А.А. Столбова, С.В. Востокин, С.Н Попов // Перспективные информационные технологии (ПИТ 2017): труды Междун. научн.-технич. конф. - Самара: СНЦ РАН, 2017. - С. 476-478.

97 Столбова, А.А. Паттерн проектирования МУР при создании автоматизированной системы вейвлет-преобразования [Электронный ресурс] / А.А. Столбова // IV Всероссийский конгресс молодых ученых : сборник тезисов докладов конгресса молодых ученых. - СПб: Университет ИТМО, 2015. -URL: http: //kmu. ifmo. ru/collections.

98 Столбова, А.А. Разработка и программная реализация алгоритмов непрерывного вейвлет-преобразования временных рядов с регулярной дискретизацией / А.А. Столбова // Программные продукты и системы. - 2017. - Т. 30, №4. - С. 765-769.

124

99 Сушкова, О. С. Метод частотно-временного анализа совместных измерений ЭЭГ, ЭМГ и механического тремора при болезни Паркинсона / О С. Сушкова, А.В. Габова, А.В, Карабанов, И.А. Кершнер, К.Ю. Обухов, Ю.В. Обухов // Нелинейный мир. - 2015. - Т. 13, № 2. - С. 49-51.

100 Табаков, Ю. Г. Модель и алгоритм обработки низкочастотного сигнала для тренажера на основе вейвлет-преобразований / Ю. Г. Табаков // Информационные технологии. - 2015. - Т. 21, № 6. - С. 464-468.

101 Тоцкий, А.В. Частотно-временной анализ нестационарных многочастотных сигналов / А.В. Троцкий // Системи обробки шформацп. - 2009. -Т. 77, №3. - С.108-115.

102 Туровский, Я. А. Выбор анализирующих вейвлетов для системы с параллельной обработкой биомедицинских данных / Я.А. Туровский, С.Д. Кургалин, А.В. Максимов // Вестник ВГУ: системный анализ и информационные технологии. - 2011. - № 2. - С. 74-79.

103 Туровский, Я.А. Обобщение метода цепочек локальных экстремумов для анализа сигналов различной природы / Я.А. Туровский, С.Д. Кургалин, А.А. Вахтин, С.В. Борзунов, В.А. Белобродский // Цифровая обработка сигналов. -2015. -№ 1. -С. 35-38.

104 Тычков, А.Ю. Применение частотно-временных методов анализа в задачах обработки ЭЭД / А.Ю. Тычков, П.П. Чураков // Измерение. Мониторинг. Управление. Контроль. -2015. -№1(11). - С. 68-72.

105 Умняшкин, С. В. Сжатие изображений на основе блочной декомпозиции в области пакетного вейвлет-преобразования / С.В. Умняшкин, Р.Р. Гизятуллин // Цифровая обработка сигналов. - 2014. - №1. - С. 46-51.

106 Фаулер, М. Архитектура корпоративных программных приложений : пер. с англ. / М. Фаулер. - М. : Вильямс, 2007. - 541 с.

107 Филатова, А.Е. Диагностика и фильтрация различных волновых компонент цифровых данных наземной сейсморазведки на основе вейвлетного анализа / А.Е. Филатова, А Н. Павлов, А.А. Короновский, А.Е. Храмов // Вестник ТГУ. -2011. -Т. 16,вып. 2. - С. 468-475.

125

108 Филатова, А.Е. Применение вейвлетного преобразования для диагностики волн-помех звукового и поверхностного типов по цифровым данным наземной сейсморазведки / А.Е. Филатов, А.А. Овчинников, А.А. Коронов-ский, А.Е. Храмов // Вестник ТГУ. - 2010. - Т. 15, вып. 2. - С. 561-265.

109 Филатова, А.Е. Частотно-временной анализ нестационарных геофизических процессов на основе вейвлетов и эмпирических мод / А.Е. Филатова, А Н. Павлов, А.Е. Храмов, А.В. Иванов, В.В. Грубов, И.Я. Яшков, Е.Н. Егоров, М.В. Храмова // Вестник ТГУ. - 2012. - Т. 17, вып. 5. - С. 1428-1432.

110 Хаймович, А Н. Моделирование процесса фрезерования по сигналу виброакустической эмиссии с помощью анализирующих вейвлетов Морле / А Н. Хаймович, С.А. Прохоров, А.А. Столбова, А.И. Кондратьев // Сборник трудов конференции «Информационные технологии и нанотехнологии - 2017». - Самара : Новая техника, 2017. - С. 1303-1309.

111 Чуи, Ч. Введение в вейвлеты: пер. с англ. / С. Малла. - М. : Мир, 2001. -412 с.

112 Шепелев, И.Е. Новый нейросетевой подход к созданию ИМК на основе ЭЭГ-паттернов произвольных мысленных движений / И.Е. Шепелев, Д.М. Лазуренко, В.Н. Кирой [и др ] // Журнал высшей нервной деятельности им. И.П. Павлова. - 2017. - т. 67, № 4. - С. 527-545.

113 Широков, О.Ю. Дескрипторные алгоритмы преобразования Фурье / О.Ю. Широков, С.А. Прохоров, А С. Овсянников // Актуальные проблемы радиоэлектроники : Вестник СГАУ - Самара, 2001. - 94-99 с.

114 Шоберг, А.Г. Анализ одномерного сигнала на основе нечетного и четного базисов вейвлетов с компактными носителями / А.Г. Шоберг // Интеллектуальные системы. - 2012. - № 33 (3). - С. 150-157.

115 Яковлев, А Н. Введение в вейвлет-преобразования/ А Н. Яковлев. -Новосибирск: НГТУ, 2003. - 104 с.

116 Addison Paul S. Wavelet transforms and the ECG: a review / Paul S. Addison // Physiological measurement. - 2005. - № 26. - P. 155-199.

126

117 Allen, R.L. Signal Analysis: Time, Frequency, Scale, and Structure / R.L. Allen, D.W. Mills. - Wiley-IEEE Press, 2004. - 966 p.

118 Babiloni, F. Linear Classification of Low-Resolution EEG Patterns Produced by Imagined Hand Movements / Babiloni, F [other] // IEEE transactions on rehabilitation engineering. - 2000. - Vol. 8, №. 2. - P. 186-188.

119 Bosnyakova, D. Yu. Wavelet and correlation analysis of thermomaps of the human brain / D.Yu. Bosnyakova, Yu.V. Obukhov // Pattern recognition and image analysis (advances in mathematical theory and applications). - Pleiades Publishing, 2003. - Vol. 13, № 4. - P. 664-669.

120 Cohen, L. Time-frequency analysis : theory and applications / L. Cohen // Prentice-Hall. - New Jersey, 1995. - 315 p.

121 Daubechies, I. Orthonormal Bases of Compactly Supported Wavelets / I. Daubechies // Communications on Pure and Applied Mathematics. - 1998. -Vol. 41.-P. 909-996.

122 Daubechies, I. Recent Results in Wavelet Applications / I. Daubechies // Proceedings of SPIE Aerosense Symposium. - 1998. - P. 23-31.

123 Greitans, M. Processing of non-stationary signal using level-crossing sampling / M. Greitans // in Proc, of the International Conference on Signal Processing and Multimedia Applications. - Setubal, Portugal, Aug. 7-10, 2006. -P. 170-177.

124 Greitans, M. Time-frequency representation based chirp-like signal analysisusing multiple level crossings / M. Greitans // in Proc, of the 15th European Signal Processing Conference (EUSIPCO 2007). - Poznan, Poland, September 3-7, 2007. - P. 2254-2258.

125 J. Willard Gibbs. Fourier's Seri es. // Nature. — 1899. — Vol. 59, num. 1539. —P. 606.

126 Johansson, E. Wavelet theory and some of its applications / E. Johansson. - Lulea, Lulea University of technology, 2005. - 76 p.

127 Kaiser, G. Wavelet Filtering with the Mellin Transform / G. Kaiser // Applied Mathematics Letters. - Elsevier, 1996. - Vol 9, № 5. - P. 69-74.

127

128 Ke Liao, Decoding Individual Finger Movements from One Hand Using Human EEG Signals / Ke Liao Ran Xiao, Jania Gonzalez, Lei Ding // Pios one. - 2014. - Vol. 9, Issue 1. - e85192.

129 Khaymovich A. I. A model of milling process based on Morlet wavelets decomposition of vibroacoustic signals / A.I. Khaymovich, S.A. Prokhorov, A.A. Stolbova, A.I. Kondratyev // Proceedings of the Mathematical Modeling Session at the International Conference Information Technology and Nanotechnology 2017. -2013. - Volume 1904. -P. 135-140.

130 Kuzmin, A. Mobile ECG monitoring system prorotype and waveletbased arrhythmia detection / A. Kuzmin, M. Safronov, O. Bodin S. Prokhorov, A. Stolbova // Proceedings of the 21st IEEE Conference of Open Innovations Association FRUCT. -2017. -P. 210-216.

131 Lee, D. Wavelet Analysis: theory and application / D. Lee, A. Yamamoto // Hewlett-Packard Journal. - 1994. - P. 44-52.

132 Mantri, S. Non invasive EEG signal processing framework for real time depression analysis / S. Mantri, P. Agrawal, D. Patil, V. Wadhai // SAI Intelligent Systems Conference. - London, 2015. -P. 518-521.

133 Merry, R.J.E. Wavelet theory and applications : a literature study / R.J.E. Merry. - Eindhoven : Technische Universiteit Eindhoven, 2005. - 41 p.

134 Meyer, Y Algorithm and applications : translated by Robert D. Rayan / Y. Meyer. - Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, 1993. -133 p.

135 Meyer, Y Wavelets and operators / Y. Meyer // Cambridge Studies in Advanced Math.. - Cambridge : Cambridge Univ. Press, 1992 - vol. 37. - 223 p.

136 Saritha C. ECG Signal Analysis Using Wavelet Transforms / C. Saritha, V. Sukanya, Y. Narasimha Murthy // Bulgarian Journal of Physics. - 2008. -№35. -P. 68-77.

137 Ziran Peng A. Novel ECG Eigenvalue Detection Algorithm Based on Wavelet Transform / Ziran Peng, Guojun Wang // BioMed Research International. -2017.- V. 2017. - 12 p.

128

ПРИЛОЖЕНИЕ А

Результаты обработки сигналов с частотной модуляцией

Сигнал с частотной модуляцией гармоническим сигналом

Рисунок А. 1 - Автокорреляционная функция

Рисунок А.2 - Аппроксимация АКФ в ортогональном базисе Лагерра

129

Рисунок А.З - Фазовый портрет

Рисунок А. 5 - Спектр

130

Рисунок А. 6 - Вейвлет-спектр

93,75)

131

Сигнал с линейной частотной модуляцией

Рисунок А. 7 - Автокорреляционная функция

Рисунок А. 8 - Аппроксимация АКФ в ортогональном базисе Лагерра

132

Рисунок А. 9 - Фазовый портрет

Modulus of power spectrum

Рисунок A. 10 - Спектр (в системе SCAN)

Рисунок А. 11 - Спектр

133

E

E

zr

Время.c

Рисунок A. 12 - Вейвлет-спектр

9,375'

134

ПРИЛОЖЕНИЕ Б

Вывод характеристик Гауссовых вейвлетов

Характеристики спектральной плотности <//(щ) соответствующего вейвлета ^(^) имеют следующий вид:

ю

М = jl^(щ) * норма,

о

1 ю

—J(щ) ^щ - центр,

о

А

щ

1 ю

—[(щ-(Щ) 1цу(щ) - эффективный радиус.

Ml о

Общий вид спектральной плотности вейвлетов Гаусса:

(щ) = (-1)" (/щ)" exp

Л 2 А

-щ

где и - порядок производной.

Норма данных вейвлетов вычисляется следующим образом:

II 412 ю 2" -щ2 , г-(2" -1)! г-(2" -1)!

= 2^jщ2"eщ ^щ = 2^/^——= ,

о 22

где (2" -1)!!= 1 - 3 -... - (2" -1).

Тогда центр будет иметь вид:

135

2"+1^ ^V^(2" -1)!

Ю

Г 2и +1

0

2"+1 "!____J22"___

V^(2" -1)!! 2 у^(2" -1)!

Эффективный радиус вейвлетов Гаусса:

2"+1

2"н!

2"+1

2"+1 "!^ 22" (и!)2 '

V^(2" -1)!! ^((2" -1)! !)2

<д2"е

Ю

/1 = J^2"+2e*^2 J^ =

0

2"+2

2"+1"!

V^(2" -1)!!

Ю

J^2"+1e

0

2"+1"! "!

2""!"!

2

V^(2" -1)!! 2 V^(2" -1)!!'

22""!"!

/ 3 =___________________

^(2" -1)!!(2" -1)!!

22""!"!

2

^ = —7--------rr------ST

^(2" -1)!!(2" -1)!!

2"+1

е J^ =

J

о У

<^2"e*^ =

J

о У

Ю

о

2"-1"!"!

Тогда, эффективный радиус равен:

2"+1 J^(2" -1)!!

(/1 - / 2 + / 3)=

2"+1 ^/^(2" +1)!!

V^(2" -1)!!^ 2"+2

2""!"!

V^(2" -1)!!

2"-1"!"! 2"+1 V^(2" +1)!! "!"!2" 1 2" +1 22""!"!

V^(2" -1)!!^ V^(2" -1)! У 2"+2 J^(2" -1)!!^ 2 ^[(2" - 1)!!p

136

ПРИЛОЖЕНИЕ В

Результаты вейвлет-преобразования сигналов

Таблица В. 1 - Вейвлет-спектры и скейлограммы здоровых пациентов (первый

канал ЭКГ).

«чистая» запись

№

продолжение «чистой» записи

1

«чистая» запись

продолжение «чистой» записи

2

137

Таблица В.2 - Вейвлет-спектры и скейлограммы пациентов с аритмией (пер

вый канал ЭКГ)

№

запись от пациента с аритмией

продолжение записи от пациента с

аритмией

15

16

запись пациента с аритмией пе-

ред приступом

W идю

Ж

ж орю Ж0Д№ ж олзо Ж одк Ж одю

ЯД* орт

У OJP5

продолжение записи пациента с аритмией во время приступа

Время с Ж ° к"

Ж O.W.

138

Таблица В.З - Вейвлет-спектры и скейлограммы пациентов (второй ка-

нал ЭКГ)

№

«чистая» запись

продолжение «чистой» записи

1

«чистая» запись

W одр Ж ОД)! Ж ОДР Ж ОДП Ж одл Ж ОДП В О/В'

2

__ОДП

**'*'*'*'* ВодИ ЖОДЗИ

Ж одл

ВОДР Ж одно Ж ОДР Ж одр Ж РДР Ж одю В* О ДО'

продолжение «чистой)) записи

й S

У

11

9.566

7.637 6737 5.763

4.S38

3.389

1

1.040 С.О91

139

Продолжение таблицы В.З

№

запись от пациента с аритмией

продолжение записи от пациента с аритмией

15

запись пациента с аритмией перед

приступом

продолжение записи пациента с аритмией во время приступа

16

Таблица В.4 - Вейвлет-спектры ЭЭГ

Физическое действие

FplAl

СЗА1

ТЗА1

Б Б

Б Б

Р' g

Мысленное представление действия

Б

ю

141

ПРИЛОЖЕНИЕ Г

Акты внедрения

142

ООО «Сура-Кардио»

Общество с ограниченной ответственностью «Сура-Кардио>>

440026, г.Пенза. ул.Красная, д.40, ИНН 5837049385, КПП 583701001, ОГРН 1125837000277

СПРАВКА

об использовании результатов кандидатской диссертационной работы Столбовой Анастасии Александровны