Адаптивные наблюдатели для нелинейных систем на основе процедуры динамического расширения и смешивания тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Беспалов Владимир Владимирович

• Беспалов Владимир Владимирович
• кандидат наук
• 2023

Оглавление диссертации кандидат наук Беспалов Владимир Владимирович

Реферат

Synopsis

Введение

Глава 1. Обзор существующих решений и обобщенная

постановка задачи

1.1 Обзор методов синтеза адаптивных наблюдателей

1.1.1 Общая проблематика синтеза адаптивных наблюдателей

1.1.2 Основные методы синтеза адаптивных наблюдателей

1.1.3 Особый класс адаптивных наблюдателей

1.2 Обобщенная постановка

1.3 Выводы по Главе

Глава 2. Параметризация модели

2.1 Модели со стационарной матрицей состояния

2.2 Модели с нестационарной матрицей состояния

2.3 Модели с линейным выходом

2.4 Выводы по Главе

Глава 3. Метод синтеза адаптивного наблюдателя

3.1 Идентификация параметров нелинейной системы

3.2 Синтез наблюдателя состояний

3.3 Результаты численного моделирования

3.3.1 Пример

3.3.2 Пример

3.4 Выводы по Главе

Глава 4. Синтез адаптивного наблюдателя для синхронного

двигателя

4.1 Постановка задачи

4.2 Синтез адаптивного наблюдателя магнитного потока и положения ротора

Стр.

4.3 Синтез адаптивного наблюдателя скорости вращения ротора и момента нагрузки

4.4 Наблюдатель момента нагрузки

4.5 Наблюдатель скорости

4.6 Результаты моделирования

4.7 Выводы по Главе

Заключение

Словарь терминов

Список литературы

Приложение А. Публикации по теме диссертации

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Адаптивные наблюдатели для нелинейных систем на основе процедуры динамического расширения и смешивания»

Реферат Общая характеристика работы

Актуальность темы. В современной теории автоматического управления одним из активно развивающихся направлений является разработка адаптивных наблюдателей для динамических систем. Заинтересованность исследователей в этой области обусловлена наличием широкого спектра практических применений: получаемые оценки переменных состояния и неизвестных параметров системы можно использовать при синтезе законов управления, систем диагностирования и предсказания ошибок. Дело в том, что измерения тех или иных физических величин с помощью датчиков может быть затруднено по техническим или экономическим соображениям, в этом случае можно попытаться решить задачу, используя оценки этих величин. В некоторых случаях оценивание может использоваться наряду с измерениями с помощью датчиков для повышения надежности системы. Упомянутые подходы все чаще находят применение в таких технических системах, как синхронные и асинхронные двигатели переменного тока, в системах магнитной левитации, робототехнических системах и других. В частности, одним из результатов настоящей работы является решение задачи синтеза адаптивного наблюдателя для нелинейной модели синхронного двигателя с постоянными магнитами, учитывающей вязкое трение.

Степень научной разработанности проблемы. В современной литературе многими авторами (Р. Ортега, М. Марино, Х. Халил, А. Арановский, Л. Прали, П. Бернард, А. Астолфи и другие) были представлены различные методы синтеза адаптивных наблюдателей. Однако в нелинейном случае отсутствует общее решение и каждое существующее накладывает те или иные ограничения на класс рассматриваемых систем. Часть из методов требует найти замену координат, приводящую систему к нужному виду. Другие требуют сначала провести оценивание начальных условий и на их основе рассчитывают оценку текущего состояния. На практике использование подобных методов может быть затруднено в силу того, что при наличии помех измерений данные наблюдатели могут демонстрировать низкие робастные свойства. Те методы, которые работают для широкого класса систем, зачастую обеспечивают лишь

локальную сходимость, т. е. сходимость оценок к истинным значениям будет зависеть от начальных условий, параметров наблюдателя и даже сигнала управления. Поэтому синтез адаптивных наблюдателей для нелинейных систем с глобальной сходимостью остается открытой задачей, в том числе с точки зрения расширения класса систем, к которым подобные методы синтеза могли бы быть применены.

Целью работы является развитие методов синтеза адаптивных наблюдателей переменных состояния динамических нелинейных систем без оценивания начальных условий.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1. Разработать метод параметризации математических моделей нелинейных систем, сводимых к линейной по состоянию форме, для получения линейных моделей относительно неизвестных параметров и переменных состояния.

2. Разработать алгоритм синтеза адаптивного наблюдателя для нелинейных динамических систем, сводимых к линейной по состоянию форме.

3. Синтезировать адаптивный наблюдатель с конечным временем сходимости для модели синхронного двигателя с постоянными магнитами с учетом вязкого трения.

Научная новизна работы. Предложенный метод синтеза адаптивных наблюдателей для нелинейных динамических систем с глобальной сходимостью является новым и позволяет решить задачу синтеза наблюдателей для более широкого класса систем. Дополнительно данный метод позволяет получать оценку вектора состояния напрямую, избегая промежуточного шага оценивания начальных условий, что в ряде случаев повышает робастные свойства адаптивного наблюдателя.

Теоретическая и практическая значимость. Полученные результаты позволяют расширить класс нелинейных систем, для которых возможно синтезировать адаптивный наблюдатель с глобальной сходимостью и без оценивания начальных условий. Предложенный метод позволяет использовать более точные нелинейные модели для учета большего числа факторов, влияющих на их динамику. Например, на практике становится возможным учитывать вязкое трение в нелинейных моделях электродвигателей, что позволяет повысить качество оценивания. Это в свою очередь положительно отражается на качестве

регулирования при использовании получаемых оценок неизвестных параметров и переменных состояния.

Методы исследования. При получении основных теоретических результатов в диссертационной работе использовались аналитические методы современной теории управления, в том числе лемма о перестановках (лемма о расширенной ошибке), методы анализа устойчивости непрерывных систем, методы идентификации систем на основе процедуры динамического расширения и смешивания регрессора. Для исследования эффективности и реализуемости полученных теоретических результатов использовалось компьютерное моделирование в программной среде МаШЬ/БтиПпк.

Положения, выносимые на защиту:

1. Метод параметризации математических моделей нелинейных систем, сводимых к линейной по состоянию форме, для получения линейных моделей относительно неизвестных параметров и переменных состояния.

2. Алгоритм синтеза адаптивного наблюдателя для нелинейных динамических систем, сводимых к линейной по состоянию форме.

3. Адаптивный наблюдатель с конечным временем сходимости для модели синхронного двигателя с постоянными магнитами с учетом вязкого трения.

Достоверность полученных результатов обеспечивается

— строгостью математических доказательств утверждений, связанных с поставленными задачами и положениями, выносимыми на защиту;

— использованием известных и проверенных моделей и методов при решении задач диссертационного исследования, что обеспечивает достоверность результатов путем сопоставления их с предыдущими достижениями в области;

— апробацией основных результатов, полученных в ходе диссертационного исследования, на научно-практических конференциях как на национальном, так и на международном уровне.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на двух международных и пяти всероссийских конференциях:

— Пятьдесят вторая (ЬП) научно и учебно-методическая конференция Университета ИТМО (31.01.2023-03.02.2023).

— 14th IFAC International Workshop on Adaptation and Learning in Control and Signal Processing (ALCOS 2022) (29.06.22-01.07.22).

— X Конгресс молодых ученых (онлайн формат) (14.04.2021-17.04.2021).

— L научная и учебно-методическая конференция Университета ИТМО 2021 (01.02.2021-04.02.2021).

— 13-я Мультиконференция по проблемам управления (МКПУ-2020). «Математическая теория управления и ее приложения» (МТУиП-2020) (06.10.2020-08.10.2020).

— European Control Conference 2020 (ECC2020) (13.05.2020-15.05.2020).

— XXII конференция молодых ученых «Навигация и управление движением» (XXII КМУ 2020) (17.03.2020-20.03.2020).

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в семи печатных работах, из них четыре статьи в реферируемых изданиях трудов международных [1—3] и всероссийской [4] конференций, индексируемых Scopus и Web of Science, одна статья в рецензируемом журнале [5], входящем в перечень ВАК, две публикации в трудах всероссийских конференций [6; 7].

Личный вклад. Личный вклад соискателя заключается в непосредственном участии во всех этапах диссертационного исследования, включая проведение аналитического обзора, постановку цели и задач, формулировку и доказательство утверждений, составляющих основу выносимых на защиту положений, и проведение компьютерного моделирования.

Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавторами, причем все представленные в диссертации результаты получены лично автором. Так в работах [1; 2; 6] исследовалась проблема оценивания переменных состояния электромеханических систем на примере систем магнитной левитации. В статье [6] автором была получена параметризация, позволяющая оценить полный магнитный поток. Наблюдатель, обеспечивающий сходимость ошибок оценивания при наложении относительно слабого допущения об интервальном возбуждении в системе, был синтезирован и описан в работе [2]. Исследование посредством компьютерного моделирования альтернативного метода обеспечения сходимости при невыполнении условия неисчезающего возбуждения было проведено соискателем в работе [1]. В работах [4; 7] объектом исследования выступал синхронный двигатель с постоянными магнитами. В статье [7] автором получена параметризация для оценивания полного магнитного потока при наличии помех измерения, с по-

мощью компьютерного моделирования проведено исследование и сравнение с другими методами синтеза наблюдателей. Адаптивный наблюдатель скорости вращения ротора электродвигателя с конечным временем сходимости синтезирован соискателем в работе [4]. В статье [3] автором предложена параметризация и метод синтеза адаптивных наблюдателей для систем, сводимых к линейной по состоянию форме со стационарной матрицей состояния. Здесь же была решена задача синтеза адаптивного наблюдателя для нелинейной модели двигателя, учитывающей вязкое трение. В работе [5] полученный ранее результат был обобщен соискателем на более широкий класс нелинейных систем.

Таким образом, содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из русскоязычного и англоязычного рефератов, введения, 4 глав, заключения и 1 приложения. Полный объём диссертации составляет 192 страницы, включая 20 рисунков. Список литературы содержит 134 наименования.

Содержание работы

Во Введении обосновывается актуальность исследований, проводимых в рамках данной диссертационной работы, приводится обзор научной литературы по изучаемой проблеме, формулируется цель, ставятся задачи работы, излагается научная новизна и практическая значимость представляемой работы.

Первая глава посвящена формулированию и описанию как обобщенной проблематики, рассматриваемой в данной работе, так и формальной постановке цели и задач, решенных в рамках рассматриваемой диссертации. На основе обзора современных методов синтеза адаптивных наблюдателей были выделены три эффективные методики: АНОП [8] (адаптивный наблюдатель, оценивающий параметры), ОАНОП [9] (обобщенный адаптивный наблюдатель, оценивающий параметры), АНДРСР [10] (адаптивный наблюдатель на основе динамического расширения и смешивания регрессора). Были приведены необходимые алгебра-

ические допущения, накладываемые на нелинейную систему, для возможного синтеза адаптивного наблюдателя согласно выбранным методикам.

На основе обзора сформулирована обобщенная постановка задачи. Рассматривается нелинейная динамическая система общего вида:

х(ь) = / (х(ь),п(ь), ер), (1)

у(ь) = н(х(г)), (2)

где х(Ь) 2 — неизмеримый вектор состояния системы, п(Ь) € Кт — сигнал управления, у(Ь) 2 — выходной сигнал системы, и ер 2 Кр — вектор постоянных неизвестных параметров. Сигналы п(Ь) и у(Ь) считаются известными или доступными для измерения, а для функций /(х(Ь),п(Ь), ер) и Н(х(Ь)) известен их аналитический вид.

Для более компактной записи зависимость от времени у функций будет опущена, например, для х(Ь) будет использоваться обозначение х.

Главная задача работы состоит в разработке метода синтеза адаптивного наблюдателя, которую сформулируем следующим образом.

Задача 1. Спроектировать динамическую систему

¿ = ^(у, с,п,ер),

✓р = Fе(y, С,п,е)р), х = о(у, с,п,е^р),

где С(Ь) 2 — вектор состояния наблюдателя, 0р(Ь) 2 Кр — оценка вектора неизвестных параметров, х(Ь) 2 — оценка вектора состояния системы (1) такую, что для всех начальных условий х(0) 2 ошибка оценивания вектора состояний х(Ь) стремится к нулю экспоненциально, а ошибка оценивания вектора неизвестных параметров ер обладает свойством сходимости за конечное время:

|х(Ь)| 6 ^б-р*|х(0)|, (3)

ерСКВ (Ь) = ер, 8Ь > Ьс, (4)

где ц,, в — положительные константы, Ьс > 0.

Поскольку задача синтеза адаптивных наблюдателей не имеет решения в общем виде, необходимо определить класс нелинейных динамических систем,

для которых предложенный в данной диссертации метод применим. Для этого были сформулированы следующие допущения. Пусть для рассматриваемой нелинейной системы (1) существует набор гладких отображений:

ф : шп ! ш«, фь : ш« х к5 ! шп, ' : к5 х шт ! ш1+п, Н : к5 х шт!Ш^р^] : к5 х шт!к«,с : к5 х шт !к,

таких что выполняются следующие свойства.

Допущение 1. Существует замена координат х = ф(х), приводящая систему (1) к линейной по ф(х) и вектору неизвестных параметров 6р форме:

VфТ(х)/(х, и, ✓) = А(у,и)ф(х) + Н(у,и)6р + -ш(у, и), (5)

где А(у,и) 2 — известная нестационарная матрица; V / := ,

Н(у,и) и /ш(у,и) — известные функции. В компактной записи

х = Цу,и)х + Н (у,и)вр + 'Ш(у,и). (6)

Допущение 2. Для ф(х) существует левая обратная функция фь, такая что выполняется

фь(ф(х), Н(х)) = х. (7)

Допущение 3. Существует алгебраическое соотношение, связывающее неизвестные состояния системы с сигналом выхода и сигналом управления:

.т

(Н(х),и

✓1

ф(х)

= с(Н(х),и), (8)

где 6/ 2 ш1 — неизвестный постоянный вектор, '(Н(х),и) и с(Н(х),и) — известные функции.

Допущение 4. Сигнал управления и(Ь) такой, что все решения нелинейной системы (1) ограничены.

Ключевым элементом решения Задачи 1 является синтез модели, похожей на регрессионную и линейную относительно вектора неизвестных параметров и вектора переменных состояний, поэтому в работе была сформулирована следующая задача.

Искомая параметризация Допущение

Л(0 = 0 Л(0 Ф 0

Л(х),и)=#(ВД,и) 01 1 >40). АНОП ОАНОП

Шх),и) = ф(Мх),и) «КО АНДРСР Предлагаемое решение

Рисунок 1 — Взаимосвязь предлагаемого решения с известными методами

Задача 2. Для нелинейной динамической системы (1), удовлетворяющей сформулированным Допущениям 1—4, получить линейную по неизвестным состояниям и параметрам модель:

& (Н(х),п) = ^(Н(х),и)

✓р

ф(х)

(9)

где &(Н(х),и) и *ф(^(х),п) — известные функции.

Для наглядности на рисунке 1.1 предложена общая схема рассмотренных в обзоре методов, а также условное расположение предлагаемого решения. Под искомой параметризацией понимается алгебраическое соотношение из Задачи 2, которое требуется получить перед синтезом наблюдателя в каждом из методов.

Алгоритмы АНДРСР и АНОП требуют от рассматриваемой нелинейной динамической системы приводимость к каскадной форме, т. е. матрица состояния Л должна быть равна нулю. В отличие от них, алгоритм ОАНОП требует сводимости к линейной по состоянию форме, что ослабляет требование о каскадной форме и тем самым расширяет класс систем, для которых возможно синтезировать адаптивный наблюдатель.

С другой стороны, оценивание состояния методами АНОП и ОАНОП подразумевает на первом этапе получение оценки параметров, связанных с начальными условиями переменных состояний, а затем восстановление значения самих состояний. Данный подход проблематичен в реализации при наличии помех в измеряемых сигналах. Этого недостатка метод АНДРСР лишен, так как он позволяет производить оценивание состояний напрямую.

В результате анализа был сформулирован и предложен метод, позволяющий обобщить методы ОАНОП и АНДРСР, для синтеза адаптивных наблюдателей для нелинейных динамических систем широкого класса в сравнении с АНДРСР и не требующий оценки начальных условий в сравнении с ОАНОП. Таким образом, в данной работе представлен метод синтеза адаптивных наблюдателей, обобщающий разработанные ранее методы и сохраняющий их преимущества.

После разработки метода синтеза адаптивного наблюдателя требовалось его применить для оценивания состояний и параметров модели ненасыщенного синхронного двигателя с постоянными магнитами, учитывающей вязкое трение.

Задача 3. Для нелинейной двухфазной &в-модели ненасыщенного синхронного двигателя с постоянными магнитами [11] синтезировать адаптивный наблюдатель, обеспечивающий сходимость ошибки оценивания неизвестных параметров и переменных состояния к нулю за конечное время (СКВ) по измерениям сигналов силы тока и напряжения в обмотках статора.

В соответствии с поставленными задачами и их логической последовательностью структура диссертации следующая:

— Глава 2 посвящена решению Задачи 2 для рассматриваемого класса нелинейных динамическим систем.

— В Главе 3 решается Задача 1 синтеза адаптивного наблюдателя.

— В Главе 4 результаты Главы 2 и Главы 3 используются совместно для решения Задачи 3.

Во Второй главе представлен метод параметризации для класса нелинейных динамических систем, сводимых к линейной по состоянию форме (1), соответствующей решению Задачи 2.

Замечание 1. Здесь и далее, следуя сложившей практике в исследуемой области, для более компактной записи

— зависимость от времени может быть опущена, например вместо х(Ь) в выражениях может использоваться х,

— зависимость известных функций от измеримых сигналов п(Ь) и у(Ь) может быть заменена на зависимость от времени, например л(п,у) может быть записана в виде Л(Ь).

Замечание 2. Поскольку для всех трех видов модели ставится задача получения соотношения вида (9), и алгоритм синтеза, описанный в следующей главе, не зависит от вида модели, то для них всех будут использованы единые обозначения для искомых функций: я(Ь,а) и 1ф(Ь,а).

В рамках рассматриваемой работы из всего класса нелинейных динамических объектов, удовлетворяющих Допущениям 1-4, было выделено три вида систем, для которых рассмотрено применение метода.

Первыми рассматриваются модели со стационарной матрицей состояния. Это такие объекты, у которых в линейной форме (6) матрица состояния является постоянной, т.е. л(у,п) = л и математическая модель принимает вид

х = лх + н (у,п)ер + Цу,п). (10)

Утверждение 1. Для нелинейной динамической модели вида (1), удовлетворяющей Допущениям 1-4, приводимой к линейной по состоянию форме вида (10), существует параметризация вида

(11)

где &(Ь, а) и "ф(Ь, а) — известные функции.

Следствие 1. Полученную линейную модель можно упростить. Если стационарная матрица Л является матрицей Гурвица, то величина еАг ! 0 при Ь ! +1. В регрессоре данная величина в явном виде присутствует в качестве сомножителя при неизвестных начальных условиях х(0) вектора

&(Ь, а) = -ф(Ь, а)

е/

х(ь)

х(0) ер

состояния, поэтому целесообразно линейную модель (11) представить в виде:

Х(г)

&(а) = ^I(г, а) | ^х(г, а) I ^р(г,а)

где "1 — экспоненциально затухающая величина.

✓ г

+"1,

(12)

Следствие 2. Модель (11) сводима к виду

& (г, а) = -ф(£, а)

х(г)

✓ р

(13)

Вторым видом моделей, рассматриваются те, чья матрица состояния является известной нестационарной и в общем случае зависит от сигнала выхода и управления Л(у,п). В этом случае изначальная нелинейная система (1) сводится к линейной по состоянию форме вида:

Х = Л(у,п)х + н (у,п)бр + -ш(у,п). (14)

Задача сохраняется прежней — необходимо параметризовать исходную систему (1) для получения линейной модели по вектору неизвестных параметров.

Для достижения поставленной цели было введено дополнительное допущение.

Допущение 5. Для известного управления п(г) и измеряемого выходного сигнала у (г) все решения г (г) дифференциального уравнения

¿(г) = Л(п(г),у (г)) г (г)

ограничены.

Утверждение 2. Для нелинейной динамической модели вида (1), удовлетворяющей Допущениям 1-5, приводимой к линейной по состоянию форме вида (14), существует параметризация вида

& (г, а) = -ф(г, а)

где & (г, а) и "ф(г, а) — известные функции.

х(г)

Х(0)

✓ р

Следствие 3. Если в Утверждении 2 дополнительно выполняется, что нестационарная матрица Л(у,и) является экспоненциально устойчивой, то (15) сводима к виду

. ^ е/

&(Ь, а) = (Ь, а) | ^Х(Ь, а) | *фр(Ь,а)

Х(Ь) ер

+ "2,

(16)

где "2 — экспоненциально затухающая величина.

Последним видом систем рассматриваются модели с линейным выходом. Данный вид объектов сводим к линейной по состоянию форме аналогичной первой модели со стационарной матрицей состояния:

х = лх + н(у,и)ер + гш(у, и). (17)

Дополнительно, пусть рассматриваемая система соответствует следующим допущениям.

Допущение 6. Известный сигнал выхода нелинейной динамической системы (1) такой, что выполняется у(Ь) = Сх(Ь), где С 2 — известная стационарная матрица.

Допущение 7. Пара матриц (л, С) является полностью наблюдаемой.

Утверждение 3. Для нелинейной динамической модели (1), удовлетворяющей Допущениям 1-4 и 6-7 и приводимой к линейной по состоянию форме вида (17), существует следующая параметризация:

е/

&(Ь, а) = -ф(Ь, а)

Х(Ь)

х(0) ер

(18)

где &(Ь, а) и "ф(Ь, а) — известные функции.

Следствие 4. Если в Утверждении 3 дополнительно выполняется, что матрица Л является Гурвицевой, то (18) сводима к виду

е/

&(Ь, а) = -ф(Ь, а)

х(ь) ер

+ "3,

(19)

где "3 — экспоненциально затухающая величина.

Третья глава посвящена решению Задачи 1, то есть синтезу адаптивного наблюдателя динамических систем, приводимых к моделям, предложенных в Главе 2.

Основным инструментом в синтезе адаптивного наблюдателя является метод динамического расширения и смешивания регрессора (ДРСР). Общая методология разработки адаптивного наблюдателя на основе ДРСР включает в себя следующие шаги.

Шаг 1. Найти замену координат состояния х = ф(х), Х 2 К9, которое удовлетворяет общей линейной по состоянию форме из Допущения 1:

Х = Л(у,п)х + Н (у,п)% + -ш(у,и). (20)

Шаг 2. К алгебраическому соотношению (8), сформулированному в Допущении 3, применить Лемму о перестановках для создания линейной модели, в зависимости от вида системы, приведенного в соответствующих разделах предыдущей Главы.

Шаг 3. Использовать N := I + + р различных значений а и соответствующие им линейные операторы вида р+а, где р := ^, чтобы получить расширенную регрессионную модель. Применить операцию «смешивания» согласно методу ДРСР для получения N скалярных регрессионных уравнений.

Шаг 4. Оценить неизвестные параметры на основе полученных скалярных линейных регрессионных уравнений, соответствующих неизвестным параметрам, например, с помощью метода градиентного спуска.

Шаг 5. Синтезировать наблюдатель для х, используя динамическую модель (77) и скалярные регрессионные уравнения, соответствующие х, для формирования корректирующего слагаемого.

Шаг 6. Применить обратное отображение фь(ф(х),к(х)) = х(г), чтобы получить вектор неизвестных состояний х(г).

Шаг 1 и Шаг 2 были рассмотрены в Главе 2.

Рассмотрим задачу идентификации вектора неизвестных параметров ✓р такой нелинейной динамической системы (1), для которой, согласно результатам Главы 2, существует параметризация вида:

& (г, а) = ^(г, а)

х(г)

Х(0)

✓ р

(21)

где &(Ь, а) и "ф(Ь, а) — известные функции, х(Ь) 2 К9 — неизмеряемый вектор состояния, ер 2 Кр — вектор неизвестных параметров, который необходимо идентифицировать, е/ 2 К1 — вектор неизвестных параметров, связанных с алгебраическим соотношением (8) из соответствующего Допущения 3, которые не требуется идентифицировать.

Следуя предложенным шагам, получим расширенную линейную систему уравнений. Введём N := I + 2д + р устойчивых линейных фильтров вида ,

р+аг

где а^ > 0, г = 1,...,^ Используя введенные фильтры, применим Лемму о перестановках к алгебраическому отношению (8) и синтезируем N разных регрессионных моделей:

&(Ь, аг) = -ф(Ь, аг)

е/

х(ь)

х(0) ер

(22)

где г = 1,..., N.

Объединив полученные уравнения в матричную форму, получим расширенную линейную модель:

е(Ь) = ф(Ь)

е/

х(ь)

х(0) ер

(23)

где

Е(Ь) :=

&(Ь, а:) & (Ь, а2)

&(Ь, а^)

е к

N

Ф(Ь) :=

^(Ь, а:) ^(Ь, а2)

^(Ь, аN)

е к

NxN

(24)

Осуществляя шаг «смешивания» к расширенному линейному уравнению (23), получим

я (Ь) = д(Ь)

е/

Х(Ь)

х(0) ер

(25)

где известные сигналы 2(г) и А(г) определены как

^(г) := алцъ(г)Щг), А(г) := det{ъ(г)}.

Теперь становится возможным осуществить Шаг 4, который можно сформулировать в виде следующего утверждения.

Утверждение 4. Для нелинейной динамической системы (1), приводимой к расширенной линейной модели вида (25), градиентный наблюдатель вида

✓ р(г) = урд(г)(2р(г) - А(г)^(г)), (26)

где ур > 0 — коэффициент настройки, — компоненты сигнала 2(г), соот-ветсвующие вектору параметров ✓р, совместно с векторной функцией

✓рСКВ := I—в(1) - гФ)Ш , (27)

где вспомогательная гладкая функция ъс(г) определена как:

р, если /ш(г > р, ■^с(г) = { (28)

/ш(г), если /ш(г) < р,

с настраиваемым параметром р 2 (0,1) и функцией ъ(г), являющейся решением дифференциального уравнения:

ъо(г) = -урА2(г)ъ(г), w(0) = 1, (29)

при условии, что скалярный регрессор полученной расширенной линейной модели (25) соответствует условию интервального возбуждения [12], то есть существует такой момент времени гс > 0, что выполнено

Г Ъ 1

д2(т)(т >--\и(р), (30)

,/о Ур

обеспечивает для всех начальных условий ^(0) 2

✓рСКВ (г) = ✓р, 8г > гс.

На основе полученной оценки вектора неизвестных параметров сформируем наблюдатель переменных состояний.

Утверждение 5. Для динамической системы вида (1), для которой получены соотношения (25), наблюдатель вида:

Х(Ь) = л(у,«)х(Ь) + н(Ь)0СКВ + ЦЬ) + Ухд(Ь) (ях(Ь) - х(Ь)д(Ь)), (31)

х = фЬ(х ,У), (32)

где ух > 0 — коэффициент настройки, еСКВ — оценка вектора параметра ер, синтезированная на основе (27), при условии, что левообратная функция фь(х) удовлетворяет условию Липшица:

9Ь > 0 : |ФЬ(Х1,У) - ФЬ(Х2,У)| 6 Ь|Х1 - Х2|, (33)

а скалярный регрессор д(Ь) и матрица л(у,и) такие, что для них выполняется условие, аналогичное условию незатухающего возбуждения

г

36 > 0, Т > 0 : / (л(т) - ухд2(т)/9)^т 6 -61, (34)

чг

обеспечивает экспоненциальную сходимость ошибки оценивания состояния х(Ь) к нулю:

|Х(Ь)| 6 ^е-в^|Х(0)|, (35)

где ц, в — положительные константы, Х(Ь) = Х(Ь) - х(Ь).

Если дополнительно выполняется, что рассматриваемая нелинейная динамическая система (1) такая, что следующие функции могут быть выражены как сумма функции, обозначаемой (-)р, и производной по времени второй функции, называемой

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Беспалов Владимир Владимирович, 2023 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Long Zhiqiang. On Maglev train automatic operation control system based on Auto-Disturbance-Rejection control algorithm. The 27th Chinese Control Conference, CCC. 2008. P. 681-685.

2. Meisel,J. Principles of electromechanical energy conversion. FL:KriegerPubCo. 1984.

3. Schweitzer, G., & Maslen, E. Magnetic bearings: Theory, design and application to rotating machinery. Heidelberg: SpringerVerlag. 2009.

4. Knospe, C. The nonlinear control benchmark experiment. American Control Conference. 2000. Vol 3. P. 21342138.

5. H. Rodriguez. A Novel Passivity-Based Controller for an Active Magnetic Bearing Benchmark Experiment. Proceedings of the American Control Conference. 2000. Vol.3 P. 2144 - 2148.

6. A. Pyrkin, A. Vedyakov. A robust adaptive flux observer for a class of electromechanical systems. International Journal of Control. 2018. P. 1619-1629.

7. Sastry, S., & Bodson, M. Adaptive control: Stability, convergence and robustness. London: Prentice-Hall. 1989.

8. Efimov, D., & Fradkov, A. Design of impulsive adaptive observers for improvement of persistency of excitation. International Journal of Adaptive Control and Signal Processing. 2015. P. 765-782.

9. Rodriguez et al. A novel passivity based controller for an active magnetic bearing benchmark experiment. Proceedings of the American Control Conference. 2000. Vol.3. P. 2144 - 2148

V. V. Bespalov, A.V. Kalin (ITMO University, St.Petersburg). Magnetic flow evaluation for a magnetic levitation system with two degrees of freedom

The magnetic flux estimation problem for the magnetic levitation system using biased measurements of the currents and voltages is considered. The linear regression is obtained from the dynamic model of the system. This algebraic relation is used to construct a magnetic flux observer. The observer is robust to biases in the measured signals.

УДК 681.5.015

В. В. БЕСПАЛОВ, А. В. КАЛИН (Университет ИТМО, Санкт-Петербург)

ОЦЕНИВАНИЕ МАГНИТНОГО ПОТОКА ДЛЯ СИНХРОННОГО ДВИГАТЕЛЯ C ПОСТОЯННЫМИ МАГНИТАМИ ПРИ НАЛИЧИИ СМЕЩЕНИЯ В ИЗМЕРЯЕМЫХ

СИГНАЛАХ

Приводится сравнение работы трёх алгоритмов оценивания магнитного потока синхронного двигателя с постоянными магнитами при наличии смещения в измеряемых сигналах сил токов. В первом случае наблюдатель магнитного потока синтезирован на основе регрессионной модели системы и представления магнитного потока двигателя, как суммы магнитного потока обмоток статора и магнитного потока постоянных магнитов. Смещения в измеряемых сигналах силы тока учитываются и оцениваются для корректировки оценки магнитного потока в наблюдателе. Идея второго алгоритма заключается в получении линейной регрессии, где неизвестной величиной является текущее значение магнитного потока. Полученное значение используется в качестве корректирующего члена при синтезе наблюдателя. Третий алгоритм основан на сведении задачи наблюдения за сигналом к задаче оценивания постоянного параметра магнитного потока в нулевой момент времени.

Введение. Повсеместное распространение синхронных двигателей с постоянными магнитами в таких областях как авиационной технике, автомобильном машиностроении, биомедицинской аппаратуре, бытовой технике привело к росту исследований в области управления двигателями, а также в промышленности, особенно в системах регулирования скорости с большим диапазоном и высоким темпом пусков, остановок и реверса [1]. Одно из самых востребованных направлений является бездатчиковое управление на основе оценок углового положения и угловой скорости ротора двигателя по измеренным сигналам сил токов и напряжений обмоток статора [2].

Настоящая работа посвящена сравнению трёх алгоритмов бездатчикового оценивания магнитного потока при наличии смещения в измеряемых сигналах сил токов.

Постановка задачи. Уравнения движения классического двухполюсного синхронного двигателя с постоянными магнитами описывается имеет следующий вид [3]:

Х = у-т,

}М! = -/м> + Те-Т1, (1)

cos(np 0) _ ^п(пр0) _

где X £ Я2Х1— магнитный поток, г — сила тока в обмотках, и —напряжение на обмотках, L - индуктивность обмоток статора, Я — сопротивление обмоток статора, _/ — инерция ротора, 0 — угловое положение ротора, w — механическая угловая скорость, / — коэффициент вязкого трения, те — электромагнитный момент, т1 — момент нагрузки, пр — количество пар полюсов, Хт —

магнитный поток от постоянных магнитов.

Цель работы - исследование адаптивных алгоритмов оценивания магнитного потока [4, 5, 7] для синхронного двигателя с постоянными магнитами, при наличии постоянного смещения в измеряемых сигналах сил тока г = г + ^ . Исследуемые алгоритмы синтезированы на основе

измеряемых сигналов сигналов сил тока и напряжений обмоток статора синхронного двигателя. Предполагается, что в силу адаптивных свойств алгоритмов [5] и [7], будет получена оценка магнитного потока, без дополнительных модификаций регрессионной модели, которые требовались бы при учёте смещений.

Первый алгоритм оценивания [4]. На основе модели двигателя (1), с помощью леммы о расширенной ошибке [6] и метода динамического расширения и смешивания регрессора (ДРСР) [8] можно построить следующую регрессионную модель исследуемого объекта:

х = ьг + х

т

Научный руководитель: к.т.н., доцент Ведяков А.А.

'л(г) + 0.5п2

л

где Z(t) е Я5х1 и Мф е Я5х5

2 (г ) = М (г —'2Х1 (2)

I П )

матрицы известных сигналов, полученные с помощью метода ДРСР, п = \[Пт пПтПт] еЯ3х1 — вектор, содержащий неизвестные величины смещений, присутствующие в измеряемом сигнале силы тока: пт = . Полученная модель (2) позволяет построить требуемый закон оценивания:

4 = Уп^^п ~Ап1

Л = р-(Ь/К)(чт+Зи), (3)

где уп,ул — коэффициенты настройки; А = det М^), Yn = Yя= + 0.5%)— вели-

чины, полученные на основе регрессора, в - вспомогательный сигнал.

Второй алгоритм оценивания [5]. Введём вспомогательное отображение следующего вида:

)

$,т(прх)

Для которого обратное отображение будет иметь вид:

1 ^ Х2 х = — агСап—.

пр Х1

Из (1) можно получить следующее выражение:

Х = и- Яг - Ь1. (4)

т

На основе выражения (5) и фильтра :=

а

р + а

-(•) с а >0 можно построить регрессион-

ную модель:

(рТ(С, а)х = с(г, а),

р(г,а) = и/ (г,а) — Я1/ (г,а) — (г,а),

(5)

с (г,а)(г,а)—а (г,а)г (г,а)—2а [/(г,а)!

где (р(г,а)е Я2, хе Я2, а д(г,а) :

1 т Ь

д(г,а) = -[и(г)—Яг(г)] р(г,а)+—1

ё/ (,а) + |0Ь — Я^ (,а)

(,а).

/

Следующим шагом применим метод ДРСР к (5), в результате чего можно получить следующее выражение:

с (о= Ф(0х(0,

(6)

где С(0 = [с(С, аг) с(С, а2)]т е К2Х1 и Ф(0 = [срт(С, аг) а2)]т е К2Х2 — величины, ос-

нованные на измеряемых сигналах (7) и системы фильтров при а12 > 0 ; х(0 ^ ^2Х1 — вектор неизвестных сигналов.

К (7) можно построить наблюдатель магнитного потока:

,¥„-(1- ¿/)Д] (7)

Л = и-Я1 + ухА.

где А = det Ф(7) и Yx = Ф(7) } С(/) - величины, полученные на основе регрессора (6), а ух -

коэффициент настройки.

Третий алгоритм оценивания [7]. Первым шагом на основе уравнения движения ОУ можно получить выражение вида:

Ь — = —Яг + п wLJг — п wJ X + V dt р р

(8)

Далее, на основе дополнительных измеряемых сигналов г1 = judт, = ^т и уравнения

0 0

(8) можно получить:

dг / \

Ь — + Яг — npLJwг + п^ (wz1 — Rwz2) — V = —пр^Х0 (9)

а

Вводя фильтр вида (•) г :=-(•) с а >0 применяя к (9), можем получить линейную ре-

р + а

грессионную модель вида:

у = ФХ^ e(t),

(10)

где у е Я1 , Ф= —п^^ — известные величины, А0 е Я — неизвестное начальное значе

ние магнитного потока, £(0 — экспоненциально затухающая функция. Наблюдатель магнит ного потока будет иметь следующий вид:

Л =ГФТ (у -Ф Х0),

(11)

X = Л0 + - Я^,

где Г — матрица коэффициентов настройки.

Результаты моделирования. Для иллюстрации свойств работоспособности исследуемых наблюдателей (3), (7), (11) было проведено моделирование в среде МА^АВ Simulink. Были заданы аддитивные смещения по силам токов:

" 0.4

51 =

—0.3

А.

На рисунках 1-3 изображены графики ошибок оценивания магнитного потока в двух обмотках для каждого из алгоритмов. Графики демонстрируют, что алгоритм [4] успешно справился с оценкой магнитного потока при наличии смещений в измеряемых сигналах, обеспечил глобальную сходимость ошибки оценивания к нулю, что оправдывает необходимость учёта аддитивных смещений в векторе неизвестных величин.

60

1, с

Рис. 1. Ошибка оценивания магнитного потока, полученная алгоритмом [4].

во

I, с

Рис. 2. Ошибка оценивания магнитного потока, полученная алгоритмом [5] 15|-1-1-

!—3 •10 '

-IS _I_I_

0 5 10 15

С

Рис. 3. Ошибка оценивания магнитного потока, полученная алгоритмом [6]

Алгоритм [5] обеспечил ограниченную ошибку оценивания магнитного потока. Уменьшение коэффициента ух приводит к снижению величины ошибки оценивания в работе алгоритма.

Алгоритм [7] в силу того, что в своей сути использует интегрируемые вспомогательные сигналы z1 2 и, следовательно, интегрирует неизвестные аддитивные составляющие, не может обеспечить ограниченность ошибки оценивания.

Заключение. Проведено сравнение эффективности алгоритмов оценивания магнитного потока для синхронного двигателя c постоянными магнитами при наличии смещения в измеряемых сигналах. По результатам моделирования, было выявлено, что наименьшее значение ошибки оценивания магнитного потока обеспечивает первый алгоритм [4] оценивания. Алгоритм [5] обеспечил ограниченную ошибку оценивания магнитного потока. Алгоритм [7] не обеспечивает ограниченность ошибки оценивания.

ЛИТЕРАТУРА

1. Sakunthala et al. A Review on Speed Control of Permanent Magnet Synchronous Motor Drive Using Different Control Techniques, International Conference on Power. Energy, Control and Transmission Systems (ICPECTS). 2018. P. 97-102

2. Leonhard,W. Control of electrical drives. Berlin:Springer Science & Business Media, 2012. P. 289-291.

3. Nam K.H. AC Motor control and electric vehicle applications, CRC Press, 2010. P. 106-129.

4. Bobtsov A. A., et al. Adaptive Flux Observer for Nonsalient PMSM with Noised Measurements of the Current and Voltage. Mekhatronika, Avtomatizatsiya, Upravlenie. 2019. P.215-218

f—

_-_X

5. S. Aranovski Flux and Position Observer of Permanent Magnet Synchronous Motors with Relaxed Persistency of Excitation Conditions, IFAC, 2015. P.301 - 306

6. Shankar Sastry and Marc Bodson. Adaptive control: stability, convergence and robustness. Courier Corporation. 2011.

7. S. Aranovskiy Performance enhancement of parameter estimators via dynamic regressor extension and mixing. IEEE Trans. Automatic Control. 2017. Vol. 62. P. 3546-3550.

8. Pyrkin A. A., et al. Adaptive State Observers Using Dynamic Regressor Extension and Mixing. Systems & Control Letters. 2019. Volume 133. P. 1-8.

V. V. Bespalov, A.V. Kalin (ITMO University, St.Petersburg) Estimation of a magnetic flow for a synchronous motor with permanent magnets in the presence of the offset in the measured signals

The comparison of three algorithms of estimation of the magnetic flux of a synchronous motor with permanent magnets in the presence of displacement in the measured signals of current forces is given. In the first method, the magnetic flux observer is synthesized on the basis of the representation of the motor magnetic flux as the sum of the stator windings magnetic flux and the permanent magnet magnetic flux. The idea of the second method is to obtain a linear regression, where the current value of the magnetic flux is unknown, that is used as a corrective term in observer synthesis. The third method is that the task of observing an unknown signal is reduced to the task of estimating an unknown constant parameter - magnetic flux at zero moment in time.