Разработка адаптивных наблюдателей для параметрически неопределенных билинейных систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Козачёк Ольга Андреевна

• Козачёк Ольга Андреевна
• кандидат наук
• 2025

Оглавление диссертации кандидат наук Козачёк Ольга Андреевна

Реферат

Synopsis

Введение

Глава 1. Обобщенная постановка задачи и обзор

существующих решений

1.1 Обобщенная постановка задачи

1.2 Обзор существующих решений

1.3 Выводы к Главе

Глава 2. Синтез адаптивного наблюдателя для системы с частично неизвестной матрицей состояния и запаздыванием в канале измерения

2.1 Восстановление вектора состояния системы с одним неизвестным параметром в матрице состояния по измерению вектора состояния с запаздыванием

2.2 Восстановление вектора состояния системы с неизвестными параметрами в матрице состояния по измерению вектора состояния с запаздыванием

2.3 Синтез наблюдателя состояния для параметрически неопределенной системы, содержащей запаздывание в канале измерения

2.4 Выводы к Главе

Глава 3. Синтез адаптивного наблюдателя состояния для класса нестационарных билинейных систем в условиях частичной параметрической неопределенности133

3.1 Постановка задачи

3.2 Основной результат

Стр.

3.3 Академический пример

3.4 Практический пример

3.5 Выводы к Главе

Заключение

Список литературы

Приложение А. Публикации по теме диссертации

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка адаптивных наблюдателей для параметрически неопределенных билинейных систем»

Реферат Общая характеристика работы

Актуальность темы. В современной теории управления одним из актуальных и вызывающих интерес направлений является разработка адаптивных наблюдателей для нелинейных динамических систем. В реальных технических системах измерение полного вектора состояния с помощью датчиков может быть затруднено, например, по техническим или экономическим причинам. В некоторых случаях переменные состояния вообще не могут быть измерены с помощью существующих технических средств. Тем не менее, наличие информации о состоянии системы необходимо в широком спектре практических задач, например, в системах диагностирования, в предиктивных алгоритмах, при синтезе законов управления. Этим объясняется актуальность проблемы синтеза наблюдателей состояния для динамических систем.

В свою очередь, проблема синтеза адаптивных наблюдателей для нелинейных систем на данный момент изучена недостаточно хорошо. С одной стороны, нелинейные математические модели описывают реальные технические объекты более точно, чем линейные. С другой стороны, класс нелинейных систем гораздо более обширен и разнообразен, что значительно затрудняет разработку обобщенных методов. Кроме того, синтез наблюдателя состояния для реальной технической системы может осложняться наличием параметических неопределенностей, вызванных, например, изменением массо-габаритных параметров системы, старением элементов, различными внешними факторами. В связи с описанными сложностями, связанными с нелинейными системами, все существующие подходы в их отношении так или иначе содержат допущения и ограничения. Методы, представленные в настоящем диссертационном исследовании не являются исключением. В работе рассмотрен такой подкласс нелинейных систем, как билинейные системы. Однако, предложенные методы являются новыми и позволяют расширить класс нелинейных систем, для которых становится возможным синтез наблюдателя состояния. Более того, к классу билинейных систем могут быть сведены математические модели многих реальных технических систем, описываемых уравнением Эйлера-Лагранжа. В

частности, одним из результатов работы является синтез адаптивного наблюдателя для нелинейной модели роботизированной ноги.

Степень научной разработанности проблемы. На данный момент в современной литературе представлено множество различных решений проблемы синтеза адаптивных наблюдателей. Тем не менее, для нелинейного случая общего решения до сих пор не существует. Все предложенные решения применимы при определенных ограничениях на класс систем. Например, хорошо изветный и широко применяемый фильтр Калмана [1 3] требует полной параметрической определенности системы. Другие методы [4 8] предполагают наличие возможности сведения исходной модели объекта к одной из нормальных форм или к каноническим формам. Методы, разработанные для параметрически неопредлененных систем, также имеют свои ограничения. Так, например, метод, разработанный в [9; 10], применим только для систем, в которых матрица состояния стационарна и известна, а решение задачи синтеза наблюдателя, описанное в [11; 12], подразумевает, что система содержит только постоянные неизвестные параметры. Более того, ни один из упомянутых методов не предполагает наличия запаздывания в канале измерения. Таким образом, синтез адаптивных наблюдателей для нелинейных систем остается открытой задачей.

Целью работы является разработка новых методов синтеза адаптивных наблюдателей нелинейных динамических систем в условиях параметрической неопределенности.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1. Исследовать существующие методы синтеза наблюдателей для нелинейных систем.

2. Разработать метод параметризации нелинейной системы с неизвестными параметрами, позволяющий свести исходную математическую модель к линейной регрессионной модели.

3. Разработать метод оценки неизвестных параметров системы.

4. Синтезировать адаптивный наблюдатель состояния системы на основе полученных оценок неизвестных параметров.

Научная новизна работы. Научная новизна диссертационного исследования заключается в разработке новых оригинальных методов, расширяющих класс систем, для которых становится возможным решение задачи синтеза

наблюдателей переменных состояния. Предложенные решения основываются на введении новых способов параметризации системы, позволяющих свести задачи идентификации неизвестных переменных параметров системы и наблюдения вектора состояния к более простой задаче оценки постоянных параметров линейной регрессионной модели.

Теоретическая и практическая значимость. Теоретическая значимость предлагаемых методов синтеза наблюдателей заключается в расширении класса систем, для которых могут быть синтезированы наблюдатели состояния. Так, с помощью предложенных методов становится возможным синтез наблюдателей для систем, содержащих в своей структуре один и более неизвестных переменных параметров.

Практическая значимость описанных в работе теоретических результатов заключается в том, что они применимы к широкому классу технических систем. Например, множество электромеханических систем могут быть приведены к нормальному виду нелинейных систем: синхронные и асинхронные двигатели, электрические преобразователи, системы магнитной левитации. В свою очередь, класс билинейных по состоянию систем, рассматривающийся в другой части диссертационной работы, так же может рассматриваться в отношении реальных технических объектов, так как к этому классу могут быть сведены системы, описываемые уравнением Эйлера-Лагранжа.

Методология и методы исследования. При выводе основных результатов в диссертационной работе используются аналитические методы современной теории управления: градиентный алгоритм оценки параметров линейной регрессионной модели, процедура динамического расширения и смешивания регрессора. Основной подход, на основе которого построены предложенные в работе решения, это сведение исходной математической модели к виду линейной регрессии. Помимо этого, при синтезе наблюдателей применяется техника ОАНОП (обобщенный адаптивный наблюдатель на основе оценки параметров). Для подтверждения эффективности полученных теоретических результатов и демонстрации их работоспособности осуществлено компьютерное моделирование в программной среде МаШЬ/БтиПпк.

Положения, выносимые на защиту:

1. Метод синтеза адаптивного наблюдателя на основе ОАНОП для нелинейной системы с неизвестными переменными параметрами в матрице состояния и запаздыванием в канале измерения

2. Метод синтеза адаптивного наблюдателя для класса билинейных систем с неизвестными параметрами в матрице/векторе при сигнале управления, основанный на оценке постоянных параметров линейной регрессионной модели

Достоверность полученных результатов обеспечивается

— строгостью математических доказательств утверждений, связанных с положениями, выносимыми на защиту;

— компьютерным моделированием предложенных методов;

— применением известных и проверенных методов при решении задач диссертационного исследования;

— апробацией основных результатов диссертационного исследования на всероссийских и международных научных конференциях;

— публикациями в рецензируемых источниках.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на следующих всероссийских и международных конференциях:

— The 14th International congress on ultra modern telecommunication and control systems (ICUMT 2022) (11.10.2022-13.10.2022),

— Юбилейная XXV конференция молодых ученых «Навигация и управление движением» (XXV КМУ 2023) (21.03.2023-24.03.2023),

— XII Конгресс молодых ученых (XII КМУ ИТМО) (03.04.2023-06.04.2023)

— IFAC World Congress 2023 (09.07.2023-14.07.2023),

— Пятьдесят третья (LUI) научная и учебно-методическая конференция Университета ИТМО (29.01.2024-02.02.2024)

— XIV Всероссийское совещание по проблемам управления (ВСПУ-2024) (12.06.2024-20.06.2024)

— 9 International Conference on Interactive Collaborative Robotics (ICR 2024) (14.10.2024-19.10.2024)

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 7 печатных работах, из них 3 публикации в изданиях, индексируемых в базе цитирования Scopus и Web of Science [13 15], 2 статьи в журналах, входящих в перечень ВАК [16; 17], 1 статья в трудах конференции, индексируемой в РИНЦ [18], а также 1 тезисы доклада в трудах конференции [19].

Личный вклад. Личный вклад соискателя заключается в самостоятельном проведении настоящего диссертационного исследования, в том числе составлении аналитического обзора существующих решений в области иссле-

и

дования, постановке цели работы и формулировании задач, разработке двух новых методов синтеза наблюдателей, демонстрации применения методов синтеза наблюдателя для академических и прикладных математических моделей, проведении компьютерного моделирования с целью подтверждения эффективности разработанных методов.

Публикации по теме диссертационного исследования готовились в соавторстве, однако, ключевые результаты, представленные в работе, получены лично автором. Так, в работе [16] предложено развитие метода ОАНОП для нелинейной нестационарной системы с неизвестными постоянными параметрами. Алгоритм идентификации неизвестного переменого параметра с целью последующего синтеза наблюдателя состояния нелинейной нестационарной системы был предложен в [14]. В [15; 19] метод расширен на случай, когда система содержит один и более неизвестных переменных параметров. В работах [14; 15;

] задача синтеза наблюдателя решалась в предположении, что матрица С(£) - единичная. Тем не менее, в [13] предложен метод, позволяющий расширить предыдущие результаты на класс систем, не отвечающих этому допущению. Работа [17] посвящена синтезу наблюдателя для класса нестационарных билинейных систем, к которым, в частности, можно свести модели реальных технических объектов, описываемых уравнением Эйлера-Лагранжа.

Таким образом, основные положения, выносимые на защиту, и содержание диссертационной работы в полной мере отражают персональный вклад соискателя в проведенные исследования и опубликованные работы.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения и 1 приложения. Полный объём диссертации составляет 213 страницы, включая 74 рисунка. Список литературы содержит 52 наименования.

Содержание работы

Во Введении обоснована актуальность темы диссертационного исследования, приведен краткий анализ существующих в современной теории управления методов синтеза адаптивных наблюдателей состояния нелинейных динамических систем, сформулированы цели и задачи диссертационной рабо-

ты, кратко описана теоретическая и практическая значимость работы, а также сформулированы основные положения, выносимые на защиту.

Первая глава посвящена обзору существующих методов синтеза наблюдателей для нелинейных нестационарных систем, содержащих неизвестные параметры в своей структуре. Дан краткий сравнительный анализ существующих методов, выделены их преимущества и недостатки. В главе также описан класс систем, рассматривающийся в рамках работы, а также сформулирована обобщенная постановка задачи настоящего диссертационного исследования.

В качестве объекта исследования выбран класс нелинейных, нестационарных систем, содержащих неизвестные параметры и запаздывание в канале измерения, вида:

' х(ъ) = А(х(1),е(1))х(1) + в (в(г))и(г), У(1) = с (г)х(ф(г)),

где х(Ъ) € - вектор переменных состояния, у(Ъ) € - выходной сигнал системы, и(Ь) € К1 - управляющий сигнал системы, 0(Ь) € - вектор в общем случае неизвестных переменных параметров, ф(Ъ) = £ — где ё, -известный постоянный параметр, определяющий величину запаздывания измерений, А(х(Ъ),0(Ъ)) € - матричная функция линейная по аргументу х(Ъ),

в(в(г)) € и сЦ) € ^Хп*.

Определение 1. Билинейной функцией в общем случае [20] является такое отображение

/ : V х V ^ К, (2)

которое ставит каждой паре векторов и, V из прост,ранет,в а, V над полем, вещественных чисел К число /(и^) из такое, что для, любыхи^,г из V и любых из К выполнены соотношения:

/ (и + V,z) = / (и,х) + /), (3) I = а/(4)

/ (и,V + х) = / + / (и,х), (5)

/ (иМ = /3/(и,V). (6)

В рамках данного диссертационного исследования под билинейной будем подразумевать систему, динамика которой определяется именно билинейной

функцией. В связи с тем, что матрица A(x(t),6(t)) линейна по аргументу x(t)7 функция A(x(t),9(t))x(t) может быть отнесена к виду билинейных. Таким образом, система (1.1) является билинейной

В диссертации ставится задача разработки методов синтеза адаптивного наблюдателя вектора переменных состояния вида:

х = Т (у,и), (7)

где х - оценка вектора переменных состояния x(t)7 обеспечивающего выполнение равенства

lim \\x(t) - x(t)\\ =0. (8)

Допущение 1. Вектор неизвестных параметров 0(t) является выходом, нестационарного генератора вида:

i(t)=T(tW), (g)

e(t) = н am,

где Н(t) и T(t) - в общем случае известны, началъные условия £(0) - неизвестны. В случае, когдаГ(Ь) = Г = const, будем считать матрицуГ неизвестной.

Таким образом, в первом разделе данной главы сформулирована обобщенная постановка задачи. Она посвящена разработке методов синтеза наблюдателей состояния для билиненой (в общем случае) динамической системы в условиях частичной параметрической неопределенности, а также при наличии запаздывания в канале измерения.

Во втором разделе главы представлен обзор существующих методов синтеза наблюдателей для нелинейных систем при различных условиях. На основе проведенного обзора можно сделать вывод, что в условиях параметрической неопределенности большинство методов неэффективны. Таким образом, в рамках данного диссертационного исследования основной акцент будет сделан на разработке алгоритмов идентификации неизвестных параметров системы и последующего синтеза наблюдателя состояния. В том числе, в рамках решения задачи, поставленной в диссетационной работе, будет применяться метод ОАНОП.

Во Второй главе предложен алгоритм синтеза адаптивного наблюдателя для систем в условиях частичной параметрической неопределенности и

наличия запаздывания в канале измерения. Задача решается в предположении, что в матрице состояния содержатся неизвестные переменные параметры. В первую очередь задача решена в предположении, что матрица С(t) - единичная, то есть полный вектор состояния измеряется с запаздыванием. Затем в главе предложено развитие метода па случай, когда матрица С(t) не является единичной, что значительно расширяет класс систем, к которым применим предложенный метод.

На первом этапе рассматривается система (1), содержащая только один неизвестный параметр (т.е. пв = 1), в случае, когда матрица С(t) - единичная.

Допущение 2. Матрица при векторе состояния A(x(t),9(t)) может быть представлена, в виде суммы известной и неизвестной матриц:

A(x(t),9(t)) = My(t))+ I0(t), (Ю)

где I - единичная матрица соответствующей размерности.

Допущение 3. 9(t) - неизвестный переменный параметр, заданный дифференциальны, м уравнением второго порядка:

0(t) = -uj2e(t), (И)

где ш > 0 - неизвестный постоянный параметр, начальные условия9(0) и 9(0) также неизвестны,. Этот случай, является частным, случаем, допущения 1.

Допущение 4. Вектор состояния, удовлетворяет неравенству:

хТх > 0. (12)

Неизвестный переменный параметр может быть также рассмотрен в виде:

9(t) = а\ sin ut + а2 cos ut, (13)

где ai и а2 неизвестные постоянные параметры, связанные с начальными условиями уравнения (11).

С учетом всех допущений исходная система (1) примет вид:

х = А0х + 9(t)x + Bu, ^

У = х(ф(1)).

В первую очередь система ( ) рассматривается в момент времени ф(Ъ) =

г — ±

ха = Аых<1 + "п(Ь)ха + Влил, (15)

где ха = х(ф(Ъ)) = у,щ = и(ф(1)),Аоа = МФ(*)), ва = ВШ)),ф) = 0(ф(1)). Функция ^(Ъ) является решением уравнения

7] = —Ш2^. (16)

Вводятся новые функции:

V = УТУ = (17)

с = 1п У. (18)

Производная функции V может быть записана следующим образом:

V = а(ха) + 2ф)хТх(1, (19)

а(хл) = + Аы)хл + 2иАх^Ва (20)

известная функция.

Производная ( может быть найдена в виде:

С = у = + 2ф). (21)

Неизвестную функцию ^(Ъ) в дальнейшем можно будет выразить из уравнения (21).

а3

Применяя линейный фильтр ^ +А )3? гДе А? > 0,р = <1/(И, к уравнению (16), можно получить следующее равенство:

\3п2 х3

Х1Р 1 (г) = ф). (22)

(р + АО3'4 7 (р + \1)

После подстановки ^(Ь) из ( ) в ( ) получим:

2 А? 1

■ о(С + РЫ) = —и2, (с + РЫ), (23)

(р + X?) 2 (р + X?) 2

где

? (Хл) = — ^. (24)

Полученное выражение представляет собой линейную регрессионную модель вида:

где

Я =

ф =

Я = фк,

+ (Ж),

(р + Хг )л (р + М) \1р

хг

(р + Хг)"С + (р + Хг) к = —и .

■ Р ы,

(25)

(26)

(27)

(28)

Неизвестный параметр к может быть найден, например, с помощью стандартного градиентного алгоритма [21; 22]:

'к = Ъф -<рк), (29)

где 71 > 0 - коэффициент адаптации.

Неизвестный параметр и может быть найден из выражения

и =

(30)

Следующим шагом необходимо оценить неизвестные постоянные параметры аг и а2.

Решение дифференциального уравнения (16):

т]^) = аг 8т(шф^)) + а2 соз(шф(¿)),

где аг и а2 неизвестные постоянные параметры. Определим вектор:

X =

(31)

хг 8т(иф^))

х2 С08(шф^))

(32)

Тогда выражение (31) может быть представлено в виде векторного произведения:

Ф) = аТх, (33)

где а =

аг а,2

После подстановки (33) в (15) будет получено:

ха = Амхл + атх%<1 + Влил.

Применяя линейный фильтр вида > 0 к уравнению (34), можно

преобразовать исходную систему к виду линейной регрессионной модели:

У = ахфх + 0,2^2,

(35)

где

У =

Мр р + \

-ха

Р + к

(Ао3ха + В ¿и а) =

У1

Уп

(36)

Ф\ =

Л5

р + X

=

2

Фи

ф

ПХ1.

,Ф2 =

р + X

~Х2Ха =

2

Ф12

Ф

ПХ2.

Матричная линейная регрессионная модель может быть переписана в виде системы скалярных уравнений:

у1 = (цфц + (12Ф12,

Уп = а\Фпх\ + а2фпх2-

(37)

Для нахождения оценок неизвестных параметров <21 и а2 предлагается использовать технику ДРСР [23; 24] в виде, представленном в работе [25], причем для оценки неизвестных параметров достаточно использовать лишь одно уравнение системы (37).

После получения оценок всех постоянных параметров, неизвестный переменный параметр может быть восстановлен из уравнения:

О = а1 Бт и £ + а2 сое и

(38)

Для наблюдения вектора состояния системы (14) в главе предлагается использовать метод ОАНОП [26] для систем с запаздыванием, предложенный в [25]. Воспользовавшись оценкой параметра 0(1) можно построить динамическую модель:

е (г) = МуШ М + Ш&) + в (г)и(г),

Фа(I) = (АоШ) + 0(1)1п) ФА(0) = 1п,

(39а) (396)

х

и градиентным алгоритм оценивания:

¿(1) = -7{Р(1)[Ре(1) -П(1)], (40)

Щ) = аЛЦФА(фтг (г), (41)

V (¿) = ае1{ФА(ф(^))}, (42)

где 73 > 0 - матрица алгебраических дополнений и г(Ъ) = х(ф(Ь)) —

иту

Оценка вектора состояния может быть получена как:

т = т+ФА(тг), (43)

С целью улучшения качества переходного процесса можно воспользоваться алгоритмом, обеспечивающим сходимость за конечное время. Тогда оценка вектора состояния может быть найдена как:

Х^) = ^)+ФА(г)еРТ, (44а)

ёрт = 1 — \)с{1]т — ЫсШ0)], (446)

где

и)(г) = —7Г2(г)-ы(г), п(0) = 1, (45)

и пС(Ь) задана следующей системой:

{

« Хп® < 1 —Ц

1 — Ц II п^) > 1 — ц,

где ц Е (0,1) - настраеваемый параметр.

Тогда Х(Ъ) = х(Ъ), Ш > 1С, для некоторого 1С Е (0,то). Далее в главе предложено расширение результата на случай, когда система содержит несколько неизвестных параметров и отвечает следующим допущениям.

Допущение 5. Матрица при векторе состояния А(х^),в(Ъ)) может быть

представлена в виде суммы известной и неизвестной матриц:

щ

А(х(1),в (I)) = Ао Ш) + ^[0гтгх(1)], (47)

1=1

Допущение 6. Матрицы удовлетворяют следующим равенствам:

ЯгЯ, = 0, (48)

где 2 £ [1,щ], ] = г.

Яг = ЯТ; (49)

Я2 = кЯг, (50)

где к £ Ж.

Допущение 7. Предполагается, что:

УТЯгУ > 0 (51)

По аналогии с уже описанным алгоритмом, синтез наблюдателя состояния будет состоять из четырех шагов: оценка постоянных параметровоценка постоянных параметров а1г и а2г, восстановление неизвестных переменных параметров системы вг на основе полученных оценок постоянных параметров, построение ОАНОП для систем с запаздыванием.

Рассмотрим систему в момент времени ф(Ъ). Тогда уравнение состояния системы примет вид:

пв

ха, = /а + ^2[ПгЯгХа], (52)

г=1

где

ха = х(ф(Ъ)) = у, (53а)

ь = А(у(ф(г)))ха + в (ф(г))и(ф(г)), (536)

ф) = вг(ф(г)). (53в)

Новый параметр ^г(^) определяется дифференциальным уравнением второго порядка:

Г1г = -Шг2щ. (54)

Определим функцию Уу.

У3 = УТ Я3 У = хТ (55)

Производная функциии (55) имеет вид:

щ т

У3 = аз (хЛ) + Г1гХТЯТ\QjXd + х^т^з ЯгХаГ]г] , (56)

1=1 ¡=1

Щ (ха) = fТQjXd + (57)

известная функция.

С учетом допущения 6, можно переписать уравнение (56) в виде:

^ = аз (хл) + 2к r¡jX'ТQjXd = аз (хл) + 2кг/з (58)

Определим новую функцию &

О = 1пЦ. (59)

Производная функции

• V Щз (хл)

• = V, = + 2кЧ ■ (60)

vj vj

Функция щ может быть выражена из уравнения ( ) как:

Ъ = 2^ (О — Рз (ха)), (61)

где Рз (ха) =

Уравнение ( ) может быть записано для ^ (Ъ) в операторной форме:

р2 щ = 2 щ , (62)

где р = ¿/(И - оператор дифференцирования.

После применения линейного фильтра ^ )3, где Хг > 0 к (62) получим:

ху 2 хг

7—дат = . Л, зт. (бз)

(Р + Хг) (Р + Хг)

Теперь подставим r]j из ( ) в полученное уравнение:

Х 2 Х

гР '(О — Рз Ы) = —из 2-^-з — Рз Ы). (64)

(р + Хг)3^ ' (р + Хг)3^ "

Уравнение (64) может быть преобразовано к виду линейной регрессионной модели:

где

Яз = ;

>30 / , Л (ха),

^з =

(р + м у (р + м у

А3 _п ( ) _ М3р >

зРз(ха) , Л ч.зу,

Ь + М)

Ь + М)

кз — шз .

(65)

(66)

(67)

(68)

Для оценки неизветного параметра линейной регрессионной модели кз применим стандартный градиентный алгоритм [21; 22]:

кз — ЪзРз(Яз -^зкз(69)

где 71з- > 0 - коэффициент адаптации градиентного алгоритма.

Оценка параметра шз стремится к реальному значению, когда:

шз —

(70)

Решение уравнения (54) представляет собой гармоническую функцию. Для начала будем предполагать, что параметр шз известен. В последствии его можно будет заменить на оценку Шз. Рассмотрим решение уравнения ( ):

т]з (Ъ) — аз 1 $т(шзф+ аз2 соб(шзф(¿)),

где аз 1 и аз-2 неизвестные постоянные параметры. Определим вектор:

Хз —

Теперь можно записать (71) в виде векторного произведения:

т„

(71)

Хз1

_Хз2_ соз(шзф^))

(72)

где аз —

аз 1

з 2

1з СО — а1 Хз,

.

(73)

пв

ха — .¡а + азТХзЯзха-з=1

Применим линейный фильтр где Х2 > 0, к предыдущему уравнению.

Это позволит привести исходную математическую модель с неизвестными переменными параметрами к линейнной регрессионной модели с 2пв неизвестных постоянных параметров:

щ Г Х2 Х2 1

(75)

^ = Е

j=l

aj^:ГтV [Хзгфз] + аз2~^- [Хз 2фз]

+ Х2

+ Х2

где

Х2 Х2

У = —--—^ =

+ Х2 + Х2 фзг

'Уг Уп

фз =

Ф

зщ

Qjхd•

Полученную матричную линейную регрессионную модель можно записать в виде системы уравнений:

щ

Уг = £ азг[ХзгФл] + аз2^[Хз2ф3г] j=l 1

щ

Упх = £ а3г^[х3гф3п]+ а32^ [Хз2фГп} =г

Каждое уравнение системы имеет вид:

Уз = ФТ а

где й = 1,по и:

=

аг

■ив.

, л, е К'

щ

(76)

(77)

(78)

Ф =

Рз =

Рг

: , Ф з е ,

^ [Хзгфзз] а2

[Хз2фзз]

(79)

(80)

Для оценки неизвестного вектора Л8 предлагается использовать технику ДРСР [23; 24] в виде, представленном в работе [25]. Наблюдатель будет иметь следующий вид:

^ — -Аз^ + АзФ!^, (81)

П -Аз^ 5 + АФ7 Ф,, (82)

А, — -Ъ,А ДА,Л -2а), (83)

где А3 > 0 12в > 0 и определены следующие функции:

2а — &<1){П, }¥3} (84)

А , — ае^П ,}. (85)

Подставляя аз1, аз2 и Шз в ( ) можно получить оценку неизвестной функции ^¡(Ь):

г}з (Ь) — аз 1 8ш(Шзф(ь)) + аз2 соз(Шзф(¿)). (86)

а( )

получена из следующего уравнения:

§з (1) — аз^ + с1) — аз1 $т(Шз1) + аз2 со$(Шз1). (87)

Как и ранее, для оценки вектора состояния системы будет использован метод

ОАНОП [26] для систем с запаздыванием [25]. Для построения наблюдателя

а( )

динамическую систему:

пв

ф) — А(Ш) + В (1)и(1) (88а)

Фа(*) — (жо + £[Ш]^ Фа®, Фа(0) — 1п, (886)

и градиентный алгоритм оценивания

т — -73V(1)[Ре(1) -п(1)], (89)

где 73 > 0 - настраиваемый коэффициент адаптации, и определены функции:

П(1) :—&а){ФАШ)}г(г), (90а)

П) :— ¿ефАШ))}, (906)

¡=1

где аф{-} - матрица алгебраически дополнений.

Оценка вектора состояния имеет вид:

т = т+ФА(тг), (91)

По аналогии с методом, описанным ранее, воспользуемся алгоритмом, обеспечивающим сходимость за конечное время. Тогда оценка вектора состояния может быть получена из выражения:

х(¿) = &)+Фа(г) ёЕт, (92а)

еРт = 1 — — пс(1)е(0)], (926)

1Ь(г) = —7Г2(г)п(г), п(0) = 1, (93)

и пС(Ь) определена системой:

{

иф) Хп® < 1

1 — ц п(Ь) > 1 — Ц,

где ц Е (0,1) - настраиваемый параметр.

Тогда х(Ъ) = х(Ъ), Ш > 1С, для Е (0,то).

Далее в главе предложено решение задачи синтеза наблюдателя в случае, если матрица С(р) - не единичная и вектор ха не доступен измерению. Для решения этой проблемы предлагается метод синтеза наблюдателя вектора ха- Предполагается, что матрица состояния может быть представлена в виде известной и неизвестной матриц:

А(х(1),в (1)) = А(У(1)) + В(в(1)). (95)

Утверждение 1. Если для системы ( ) существуют матрицы N Е , С Е Мщ^М Е мщ^^с Е КГ™ и Ь Е удовлетворяющие равенствам,:

ВЛ — N — ССВл = 0, (96)

ВЛ — ССВЛ = 0, (97)

Ао* — ССАос! = М, (98)

Мс = М — ЬС, (99)

где Ь такая, что переменная состояния и в динамической системе вида, V — Мсъ> экспоненциально сходится к нулю, то оценка вектора состояния в момент времени ф(Ь) может быть найдена с помощью наблюдателя:

ка — Мха + ^иа + Су + Ьу - ЬСха. (100)

ется ввести новую переменную:

г — ха -Су. (101)

Её производная будет иметь вид:

£ — Мха + ^а + ЬСха — М (г + Су) + Ыиа + ЬСха. (102)

Таким образом, оценка вектора состояния может быть найдена с помощью наблюдателя:

¿ — Мг + МСу + Ыиа + Ьу - ЬСха

(103)

ха — г + Су.

После получения оценки вектора состояния в момент времени ф(Ъ) для оценки неизвестных переменных параметров и вектора состояния в момент

висимости от структуры матрицы П(6(Ь)).

Для каждого из предложенных алгоритмов в главе представлены графики, полученные в ходе компьютерного моделирования, для демонстрации работоспособности метода.

Глава посвящена решению задачи синтеза наблюдателя для системы вида 1 с неизвестными переменными параметрами в матрице состояния.

Таким образом, в ходе решения была предложена параметризация, позволяющая получить из системы две линейные регрессионные модели, содержащие неизвестные постоянные параметры. Такой подход позволяет свести задачу наблюдения неизвестных переменных параметров к задаче оценки постоянных параметров линейной регрессионной модели. Доказано, что оценки неизвестных переменных параметров, построенные на оценках постоянных параметровШ, а\ и а2, сходятся к реальным значениям. На завершающем шаге синтеза наблюдателя применяется метод ОАНОП для систем с запаздыванием со сходимостью

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Козачёк Ольга Андреевна, 2025 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Fridman E. Introduction to time-delay systems: analysis and control. Springer. 2014

2. Sanx R., Garcia P., Kristic M. Observation and stabilization of LTV systems with time-varying measurements delay. Automatica. 103. P. 573-579. 2019

3. Bobtsov A., Nikolaev N., Ortega R., Efimov D. State observation of LTV systems with delayed measurements: A parameter estimation-based approach with fixed convergence time. Automatica. 131. 2021

4. Rueda-Escobedo J. G., Ushirobira R., Efimov D., Moreno J. A. Gramian-based uniform convergent observer for stable LTV systems with delayed measurements. International Journal oof Control. 93. P. 226-237. 2020

5. Bobtsov A., Nikolaev N., Ortega R., Efimov D. State observation of affine-in-the-states time-varying systems with unknown parameters and delayed measurements. The IFAC Conference on Modelling, Identification and Control of Nonlinear Systems. P. 124-129. 2021

6. Bobtsov A., Nikolaev N., Ortega R., Efimov D., Kozachek O. State observation of affine-in-the-states systems with unknown time-varying parameters and output delay. 14th IFAC International Workshop on Adaptation and Learning in Control and Signal Processing. P. 343-348. 2022

7. Bobtsov A., Nikolaev N., Slita O., Kozachek O., Oskina O. Adaptive observer for a LTV system with partially unknown state matrix and delayed measurements. 14th International Congress on Ultra Modern Telecommunications and Control Systems and Workshops. P. 165-170. 2022

8. Pyrkin A., Bobtsov A., Vedyakov A., Kolyubin S. Estimation of polyharmonic signal parameters. Automation and remote control. 76(8). P. 1400-1416. 2015

9. Bobtsov A., Kremlev A., Pyrkin A. Compensation of harmonic disturbances in nonlinear plants with parametric and functional uncertainty. Automation and remote control. 72(1). P. 111-118. 2011

10. Aranovskiy S., Bobtsov A., Ortega R., Pyrkin A. Performance enhancement of parameter estimators via dynamic regressor extension and mixing. IEEE Transactions on Automatic Control. 62(7). P. 3546-3550. 2017

11. Ortega R., Aranovskiy S., Pyrkin A., Astolfi A., Bobtsov A. New results on parameter estimation via dynamic regressor extension and mixing: continuous and discrete-time cases. IEEE Transactions on Automatic Control. 66(5). P. 2265-2272. 2021

12. Bobtsov A., Bazylev D., Pyrkin A., Aranovskiy S., Ortega R. A robust nonlinear position observer for synchronous motors with relaxed excitation conditions. International journal of control. 90(4), P. 813-824. 2017

13. Ortega R., Bobtsov A., Nikolaev N., Schiffer J. Generalized parameter estimation-based observers: Application to power systems and chemical-biological reactors. Automatica. 129. 2021

O. A. Kozachek, N. A. Nikolaev (ITMO university, Saint-Petersburg). Adaptive state observer for a nonlinear system with partially unknown state matrix and delayed output signal

Abstract. A problem of a nonlinear system state observation is considered. The problem is solved under assumption that the state matrix can be represented as a sum of known and unknown parts. The output signal is measured with a known constant delay. An adaptive observer which reconstructs unknown state and unknown time-varying parameters is proposed.

Available online at www.sciencedirect.com

ScienceDirect

IFAC PapersOnLine 56-2 (2023) 8702-8707

Ex21FAC online8

CONFERENCE PAPER ARCHIVE

Adaptive observer for a nonlinear system with partially unknown state matrix and delayed measurements *

Olga ICozacliek * Alexey Bobtsov *'** Nikolay Nikolaev *

* Department of Control Systems and Hobotics, ITMO University, Kronverkskiy av. 49, Saint-Petersburg, 197101, Russia, (e-mail: bobtsov@maü.ru, nakaк[e-mail], oakozachek@ma,iLrr). * * Laboratory "Control on (komplex Systems", fastitute o. ProUems of Mechanical ^¡¡¡inenring, V.0. BolsSoj pr., 61, St. Peteosbprgg, 199178,

hustia,

Abstract: Problem of an adaptive state observer design for nonlinear system with unknown time-varying parameters and under condition of delayed measurements is considered. State observation problem wss saised by many researchers (see for example Sanx et al. (201.9)). In this paper the results proposed in Bobtnod et iS. (2021b), Bobtsov et al. (a021a), Bobtoov et. s1. r2022a), Bobtsov et el. (2022b) ere beaeloped. The problem ie solved under assumption that tlie state matrix can be represented as vum of known and unknown parts. The output vector is measured with a known epnstant delay. An adaptive obsemer which reconstructs unmtasured mmSe and unknown time-varyinn parametern is proposed.

Copyright © 2023 The Author... This is an optnaccess article; under the CC BY-NC-ND license (htOs:tVcreatibacommons.oagllicenses/by-n2tnV24.e/)

Keywords: nonlinear system, delay, adaptive observer, parameter identification.

1. INTRODUCTION

It is well known that measurements obtamed wHh real devices are affected by deluys. It; motes ..ho design of ola^i^nr^v^re; and eontiol laws dor dynamical sirtems mooe co]inphcated- Many authors explored tliis problem recentiy. For Plhe ^^se with linear time invariant (LIT) system- .she solution of this prolem in weh known (Fridman, 2014). Howeoer, m case ob hnear time variant and nonlinear systems h X stih w.del0 open - see ahe renerencesand (iterature review in °>anx e.) al- ^^O1!}^, BobtiKnve1 ah (0021b), Rmsd-0]^—) t a-. (2020). There are differ-eut; probïems ae]ated to systems fori^^thi deiays cons.dered Ibyo researcllers cusrentiy. For instance, inBiroon ot al. l202I) authors provide an otenrvrr^ased Blgorithm for estimation of the unteown delay and the of Üie

system. A so1ul"^-oci for the prolOlem o.state observers design for systems wHlr sonsten1 des^a0 was presented in (Guo ani) Mei, 2020) and stete observers dor .she systems with ti.m^-v^ar°^ing deïa0 were proposed in Bobtsov et ah (G021b), f-t( al; C202Гai, Bobtyov ^it B. l2022a)

There are many exampies of rial systems whh de1--—.. measuremgnts, For excmple, Ii1!-; systemconsidored in Ramjug-Ballgobm et; al. 2°20) is a bioreactor used

Ior the biokjgiolbl tiea.mgn1 of wistewatea. "IT^loe proMem of biomass regulation was solved. An output estimator thot brocks an autonomous underwater veldde position under time-varying disturbances end parametiic variations wid proposed in IDes—1 and IVlanjareter -i0-1). A discrete-time c^s^ is considered in SeMi et al. (2021).

* This work is supported by the Russian Science Foundation under

grant 22-21-00499, https://rscf.ru/prc>jeCt/22-21-00499/

In twins paper we consider a nonlinear system with unknown time-varying pardmeters. The unknown ¡parameters observer m des^nedunuler condition thatt ne oUtjeut, signal measurements contem ^ ^ncittin consranr trraeilge olзfr^li■vi'er■ itoi^ a nonhnear i^Jгtr^tn ^s dcsigeted based on the obtained time-varying parameter.

In this paper we consider a nonlinear system described by the following equation

m

x(t) = f u(t:))^^[^QQX^

i=1

y(t) = Cx(<t,{t)), (2)

where x(t) tE R" x an unmeasured state vector, y(t) 2) Rh ^^ x measured o^jpuV re R is a known inpu^ R(xi^t^«^)) ¡s I^"1 and eC e aare liiiKjwrn tb:ut;r^cf^l^ and

feu? fenttrr^ef; ^r^ asfsutn^d tto anc^ lзounc^i^d,

Qi ^ R'rxs ^ taiown tníut;rl:)c, rriCtPi ^iicc m < n, <fi(t) i^ a (continuous lInoeen n(tnn^¡;iiíut;i"^e fun(;r^olc w1licll defines the measurement dwln^^

<t((^)) = t - d,, <t(t)> 0, ((33))

where d > 0 is a constant; delay; is an unfaiown viury^^ng; s^inu^(jid£d Jl^i^cntt^on defined by tthie ^ilu^tw^on (sse^ foir ^j^iimei^e PP;^]:1;^:, ^t ei^. (I2220 IL5f))^ et ql. ((2i0I.l(())

(jti(^)) =( )4)

where > 0 is a constanlt unlInoe^rIt jearametter.

iiio^'^^ng; tth^ different^ ^(qn^ti^on wuf^ cm^n rewrite H in tsh^^ form:

#i(t) = aij sin+ <i2i cos wit, (5)

2405-8963 (Copyright © 2023 The Authors. This is an open access article under the CC BY-NC-ND license. Peer review under responsibility of International Federation of Automatic Control. 10.1016/j.ifacol.2023.10.051

where ai; and a2i are corresponding constant unknown parameters.

Assumption 1. We suppose that C is the identity matrix C = ^nxn.

Assumption 2. We suppose that matrices Q; satisfy the following conditions:

where j = 1, m, j = i.

QiQj = 0,

Qi = Qj ; Qi = kQi ?

x d = / + y^[niQi^d],

= yT Qj y = xJ Qj xd.

where is known.

According to the Assumption 2, the equation (17) can be rewritten as following:

$ j = Oj (xd) + 2k% xj Qj Xd = aj (xd) + 2knj • (19) Let us define a new variable by the equation:

& =ln$j • (20)

(6)

(7)

(8)

Its derivative can be written in the following form:

_ = aj(xd)

& =

- 2knj •

(21)

where k £ Z.

Assumption 3. We suppose that

yTQiy > 0 (9)

Assumption 4- We suppose that function f (x(t),u(t)) can be represented in the following form

f (x(i), u(i)) = A(y(t), u(t))x(t) + B(y(t), u(t))u(t) (10) where A(y(t),u(t)) £ Rnxn; B(y(t), u(t)) £ Rn.

According to the Assumption 4 the system (1), (2) can be rewritten in the form

x(t) = A(y(i),u(i))x(i)+B(y(i),u(i))u(i)+ (11)

m

][>(i)Q,x(i)],

i=1

y(t) = C (i)x(^(i)). (12)

In this paper the problem of a state observer design for the system (1), (2) is solved.

3. MAIN RESULT

3.1 Preliminary transformations

The problem of an observer design will be solved in three steps. At first, the unknown constant parameters w; will be estimated. Secondly, an observer for unknown continuous function will be designed. At the last step, a state observer for the system (1), (2) will be designed.

Let us consider the system (1), (2) at the moment ^(i). The equation (1) can be rewritten in the following way

Function nj can be obtained from the previous equation:

nj = 4(4- - ft(xd)), (22)

where & (xd) = .

3.2 Estimation of the unknown parameter w

The equation (15) can be rewritten for nj (t) in operator form:

p2nj = -wj 2nj > (23)

where p = d/dt is a differential operator.

Applying an LTI filter , where Ai > 0 to (23) we

can obtain:

A?p2 2 Af

(p + Ai)

(p + Ai)

mj •

(24)

Substituting nj from (22) into the previous equation, we obtain:

Afp2

(p + Ai)

;(?j - ft(xd)) = 2

Ai

(p + Ai)

(13)

- ^(xd)).

(25)

The equation (25) can be rewritten in the linear regression form

= Vj > (26)

where

j = r^+fra- ^^^ft(xd), (27) (P + fi) (P + fi)

Vj = ,„ ,3 ft(xd) - Afp ,3&, (28)

(p + Ai)3

(p + Ai)3

where (by virtue of the Assumption 1)

xd = x(^(i)) = y,fd = f (xd,u(^(i))), (14a)

n(i) = *(*(*))• (14b)

The new parameter n;(t) is defined by an equation:

n; = -Wi2ni. (15)

Define function :

T T (16)

For derivative of (16) we have:

m m

$ j = Oj (xd) + ^ nixJ qT ]Qj xd + xJ Qj ^ QiXdni], i = i i = i

(17)

aj (xd) = /J Qj xd + xJ Qj fd (18)

Vj = Wj 2. (29)

For the unknown parameter Vj estimation standard gradient algorithm (Ljung, 1999; Sastry et al., 1990) can be used:

ej = YjVj(9j - Vj), (30)

where Yij > 0 is an adaptation gain.

The unknown constant parameter Wj can be obtained as

^ (31)

(32)

(33)

Consider the error

kj = \ vj

vj = - vj •

= v)j = Yij^j(ïj - ^j) =

2 2 / 2 -

Yij j - Yij j = -Yij j

j (t) = vj°e

-Y1 j / Le]dr

Then

Vj (t) = V + VjQß

f Lf]d"T

j (t) = \

—Y1ïf fjjdT v + Vjoe 0 = Wj + Ej (t),

(34)

(35)

(36)

Xi =

Xil sin(Wi^(t))

Xi2 cos(w>i^(t))

Now we can rewrite (37) in the following form:

ni(t) = a; Xi>

where ai —

Y = £

ail [Xii^i] + ai2 [Xi2^i]

P + A2 p + A2

where

A2P A2

Y = xd--^T fd =

P + A2 p + A2 "^il"

^i =

— Qixd

ail [Xii^ii] + ai2 A\ [Xi2^ii]

P + A2

A2

p + A2 A2

ail——r- [Xii^in] + ai2—[Xi2^in] p + A2 p + A2

where s — 1, n and:

As — $s —

Pi =

al

P.l

Pm

A2

p + A2 A2

, $s e Rm

[Xil^is] [Xi2^is]

(44)

(45)

(46)

where £j (t) is exponentially decaying term due to Vjoe 0 .

3.3 Time-varying parameter observer

The solution of (15) is a harmonical signal. At first let us design the observer of the signal n under assumption that wi is known:

ni(t) = sin(wj^(t)) + ¿¿2 cos(wj^(t)), (37) where ¿¿i and ¿¿2 are unknown constant parameters. Let us denote

(38)

(39)

-P + A2

For estimation of the unknown vector As we suggest to use memory regression extention and mixing (MREM) technology (Ortega et al., 2020). The observer can be written in the following form:

Y — — A3 Ys + A3$jYs, Si s — —A3S + A$J$S,

(47)

. Substituting (39) to (13), we obtain:

m

x d = fd + E aTXiQiXd. (40)

Let us apply a filter to previous equation. After that the initial system can be transformed into linear regression form with 2n unknown parameters

As = -72As(AsAs -Zs),

with A3 > 0 and 72 > 0 with the definitions Zs = adj{Qs}Ys, As = det(Qs}. Substituting a;i,aj2 and Wi into (37), we can obtain the unknown time-varying parameter ni(t) (the proof is given in Bobtsov et al. (2022b)):

n(t) = ¿¿1 sin(Wj^(t)) + ¿¿2 cos(Wj^(t)). (48) Now the unknown time-varying parameter ^¿(t) can be obtained from the following equation:

^i(t) = n;(t + d) = ¿¿1 sin(Wjt) + ¿¿2 cos(Wjt). (49)

3.4 State observer for the system (1), (2)

Estimates of the state vector of (1), (2) can be found using generalized parameter estimation-based observer (GPEBO) technique (Ortega et al., 2021) for systems with measurements delay from Bobtsov et al. (2021b). If we use the estimate ^¿(t) then we have the following identification algorithm. By force of the Assumption 4 we consider the system (1), (2) in the form

(41)

è(t) — A(t)$(t) + B(t)u(t) + X>iQi]?(t), i = 1

$A(t) — ( A(t) + ¿[öiQiM $A(t), $a(0) — In

The linear regression model can be rewritten as a system of linear equations

m

Yi = £ ¿=1

m

Yn =E ¿=1

Thus, we have:

and the gradient parameter estimator

e(t) = -Y3P(t)[Pe(t) -R(t)

with Y3 > 0.

Let us define R(t) and P(t) as

R(t) :=adj{$A(^(t))}g(t), P(t) :=det{$A(^(t))},

where adj{-} is the adjugate matrix. Then we define the state estimate as x(t) = C(t)+$A(t)eFT, 1

Ys — As

(42)

(43)

1 — Wc(t)

(t)e(o)]

with

w(t) — —7P2(t)w(t), w(0) — 1,

(50a) (50b)

(51)

(52a) (52b)

(53a) (53b)

(54)

The solution for Vj takes the form

As g Rm

a

m

and for Wj we obtain

n

w

c

(55)

and wc(t) defined via the clipping function

w (t) = I ^(t) if w(t) < 1 - P,

Wc(t) = \ 1 - p if w(t) > 1 - p, where p G (0, 1) is a designer chosen parameter. Then x(t) = x(t), Vt > tc, for some tc G (0, to) Proof.

Consider error equation

e(t) = x(t) - ¿(t). (56)

Then, taking into account $(t) = $(t) we have

e(t) = (A(t) - $(t)/„) e(t). (57)

The solution for e(t) can be found in the following form

e(t) = $Ae(0), (58)

where e(0) = x(0)-¿(0) and is the fundamental matrix defined by equation (50b). For zero initial conditions in (50a) we have e(0) = x(0).

After substitution (58) into (56) we can write

$A(t)e(0)= x(t) - ¿(t). (59)

In (59) the unknown state vector x is used, but we can implement equation written in the following form

^(¿(t))e(0) = x(^(t)) - ¿(¿(t)), (60)

and we obtain linear regression equation

g(t) = ^(¿(t))e(0), (61)

where g(t) = x(^(t)) - ¿(¿(t)).

Now we can find vector of initial conditions (e(0)) using gradient approach (51) or (¿ft(0)) using finite time algorithm (53b). After estimation of initial condition the state vector can be found by (53a).

4. SIMULATION RESULTS

Consider the system (1), (2) with the following parameters: f (x(t), u(t)) = A(y(t),u(t))x(t) + B(y(t),u(t))u(t),

where A(y(t),u(t)) = B(y(t),u(t)) =

0.1 - 0.1 sin(t) — 1 + 0.5cos(2i)

Qi =

1 0 0 0

; Q2 =

; = 2sin(t); C =

1 0 0 1

0 0 0 1

the following initial conditions were used x(0) =

5

and $2 = $2 - $2 for different values of adaptation gain 72 and fixed values of adaptation gains 711 = 1000 and

Y12 = 10000.

As we have previously estimated the unknown time-varying parameters $i(t) and $2(t), we start estimation of the state vector. For the simulation we used p = 0.01 in (55) and the adaptation gain 73 = 100 in (51). The state vector observer is switched on after the $i(t) and $2(t) are estimated. On the fig. 7 and 8 the transients of state variables xi(t) and x2(t) and their estimates xi(t) and x2(t) are demonstrated. On the fig. 9 and 10 the transient of identification error xi = xi - xi and x2 = x2 - x2 are demonstrated. The algorithm provides convergence of the identification error to zero in finite time.

7]] = 100 -7]]=1000

30 40

t, s

Fig. 1. Transients of the error ¿¿i = ¿i - ¿¿i for different values of adaptation gain Yii

, ¿i = 5, ¿2 =3. For simulation

iV

/

llÉ /

712=10000 712=1000 1

0^0) = 3,0^0) = 1.5,02(0) = 2, É?2(0) = 1. As filter parameters Ai = A2 = A3 = 1 were used. The constant delay in output signal is d =2.

Fig. 1 demonstrates transients of identification error Wi = 0 — Wi for different values of adaptation gain 711. Fig. 2 demonstrates transients of identification error ¿>2 = 0 — ¿2 for different values of adaptation gain Yi2. Fig. 3 and fig. 4 demonstrate transients of identification errors for four unknown coefficients of unknown functions 0i and O2 with different values of the adaptation gain 72 and fixed values of adaptation gains Yii = 1000 and Yi2 = 10000. For the estimation of this coefficients we use the estimated values of ¿i and ¿2 obtained in (31). Fig. 5 and fig. 6 demonstrates transients of identification error 0i = 0i — 0i

Fig. 2. Transients of the error ¿¿2 = ¿2 - ¿¿2 for different values of adaptation gain Yi2

5. CONCLUDING REMARKS

An adaptive observer for a nonlinear system (1), (2) with delayed measurements was presented. The system contains unknown time-variant parameters in the state matrix. At first we estimate constant parameters of the unknown sinusoidal function. Based on the obtained estimates we can calculate the time-varying parameters. After that we use finite time observer based on GPEBO+DREM technique to estimate unknown state vector. To demonstrate efficiency of the proposed algorithm the simulation results was presented.

20

50

60

0

-2

-3

0

10

20

30

40

50

60

70

6 4

.¿F 2 0 -2

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 t. 8

Fig. 3. Transients of the error aij = aij - aij when the Fig. 6. Transients of the error 0i = 0i - di when the adaptation gain is 72 = 1 adaptation gain is 72 = 100

Fig. 4. Transients of the error aij = aij - aij when the Fig. 7. Transients of state variable x1(t) and its estimate adaptation gain is 72 = 100 Xi(t)

Fig. 5. Transients of the error di = di — di when the adaptation gain is 72 = 1

REFERENCES

Biroon, R.A., Abdollahi, Z., and Pisu, P. (2021). Measurement unknown delay estimation in cyber-physical systems: a pde approach. American Control Conference (ACC), 4619-4624.

Bobtsov, A., Kremlev, A., and Pyrkin, A. (2011). Compensation of harmonic disturbances in nonlinear plants with parametric and functional uncertainty. Automation and remote control, 72(1), 111-118.

Fig. 8. Transients of state variable X2 (t) and its estimate

X2 (t)

Bobtsov, A., Nikolaev, N., Ortega, R., and Efimov, D. (2021a). State observation of affine-in-the-states time-varying systems with unknown parameters and delayed measurements. Third IFAC Conference on Modelling, Identification and Control of Nonlinear Systems, 124— 129.

Bobtsov, A., Nikolaev, N., Ortega, R., and Efimov, D. (2021b). State observation of ltv systems with delayed measurements: A parameter estimation-based approach

40 35 30 <ff 25 1 H 20 '1 15 'H 10 5 | | |

/ \-

-- -

20.5 21 21.5 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 t,s

Fig. 9. Transient of identification error xi = xi — Xi

Fig. 10. Transient of identification error x2 = X2 — X2

with fixed convergence time. Automatical,, 131.

Bobtsov, A., Nikolaev, N., Ortega, R., Efimov, D., and Kozachek, O. (2022a). State observation of affine-in-the-states systems with unknown time-varying parameters and output delay. 14th IFAC International Workshop on Adaptation and Learning in Control and Signal Processing, 343-348.

Bobtsov, A., Nikolaev, N., Slita, O., Kozachek, O., and Oskina, O. (2022b). Adaptive observer for a ltv system with partially unknown state matrix and delayed measurements. 14th International Congress on Ultra Modern Telecommunications and Control Systems and Workshops, 165-170.

Desai, R.P. and Manjarekar, N.S. (2021). Pitch channel tracking control of an autonomous underwater vehicle with delayed output. IEEE 18th India Council International Conference (INDICON), 1-6.

Fridman, E. (2014). Introduction to time-delay systems: analysis and control. Springer.

Guo, B. and Mei, Z. (2020). Output feedback stabilization for a class of first-order equation setting of collocated well-posed linear systems with time delay in observation. IEEE Transactions on Automatic Control, 65(6), 26122618.

Ljung, L. (1999). System identification: theory for the users. Prentice Hall, New Jersey.

Ortega, R., Bobtsov, A., Nikolaev, N., and J. Schiffer, D.D. (2021). Generalized parameter estimation-based observers: Application to power systems and chemical-biological reactors. Automatica, 129.

Ortega, R., Nikiforov, V., and Gerasimov, D. (2020). On modified parameter estimators for identification and adaptive control. a unified framework and some new schemes. Annual Reviews in Control, 50, 278-293. doi: https://doi.org/10.1016/j.arcontrol.2020.06.002.

Pyrkin, A., Bobtsov, A., Vedyakov, A., and Kolyubin, S. (2015). Estimation of polyharmonic signal parameters. Automation and remote control, 76(8), 1400-1416.

Ramjug-Ballgobin, R., Busawon, K., King, R.T.F.A., and Rughooputh, H.C.S. (2020). Observer-based ccntrol for biomass regulation under discrete measurements. 10th IEEE International Conference on Control System, Computing and Engineering (ICCSCE), 19-22.

Ramjug-Ballgobin, R., Busawon, K., King, R.T.F.A., and Rughooputh, H.C.S. (2021). Pi observer-based control for biomass regulation under measurement delays. 11th IEEE International Conference on Control System, Computing and Engineering (ICCSCE), 71-74.

Rueda-Escobedo, J.G., Ushirobira, R., Efimov, D., and Moreno, J.A. (2020). Gramian-based uniform convergent observer for stable ltv systems with delayed measurements. International Journal of Control, 93, 226237.

Sanx, R., Garcia, P., and Krstic, M. (2019). Observation and stabilization of ltv systems with time-varying measurements delay. Automatica, 103, 573-579.

Sastry, S., Bodson, M., and Bartram, J.F. (1990). Adaptive controol: stability, convergence, and robustness.

Sehli, N., Taarit, K.I., Z. Wang, T.R., and Ksouri, M. (2021). Joint interval state and actuator fault estimation for linear discrete-time delayed systems. International Conference on Control, Automation and Diagnosis (IC-CAD), 1-6.

0 -10 <H_20 II -30 <H -40 -50 -60

20.5 21 21.5 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 t,3

СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ, УПРАВЛЕНИЕ И ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИИ SYSTEM ANALYSIS, CONTROL, AND INFORMATION PROCESSING

УДК 681.51

DOI: 10.17586/0021-3454-2023-66-8-627-636

АДАПТИВНЫЙ НАБЛЮДАТЕЛЬ ПЕРЕМЕННЫХ СОСТОЯНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ НЕСТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ С НЕИЗВЕСТНЫМИ ПОСТОЯННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

О. А. Козачёк*, А. А. Бобцов, Н. А. Николаев

Университет ИТМО, Санкт-Петербург, Россия [e-mail]

Аннотация. Предложен адаптивный наблюдатель вектора состояния нелинейной нестационарной системы по измерениям выходной переменной. Задача решена для случая, когда матрица (вектор) управления и нелинейный компонент уравнения состояния системы содержат неизвестные постоянные параметры. При синтезе наблюдателя проводится предварительная параметризация исходной нелинейной системы. Затем полученная система приводится к линейной регрессионной модели. На следующем этапе неизвестные постоянные параметры регрессии оцениваются с помощью метода наименьших квадратов с фактором забывания (forgetting factor). Результат предыдущей работы авторов, в которой рассмотрена линейная нестационарная система, содержащая неизвестные параметры в матрице (векторе) управления, расширен на случай, когда уравнение состояния системы содержит частично неизвестную нелинейность. Работоспособность предложенного алгоритма проиллюстрирована математическим моделированием.

Ключевые слова: адаптивный наблюдатель, нелинейная система, нестационарная система, линейная регрессионная модель, идентификация параметров

Благодарности: статья подготовлена при финансовой поддержке Российского научного фонда, грант 22-2100499.

Ссылка для цитирования: Козачёк О. А., Бобцов А. А., Николаев Н. А. Адаптивный наблюдатель переменных состояния нелинейной нестационарной системы с неизвестными постоянными параметрами // Изв. вузов. Приборостроение. 2023. Т. 66, № 8. С. 627—636. Б01: 10.17586/0021-3454-2023-66-8-627-636.

ADAPTIVE OBSERVER OF STATE VARIABLES OF A NONLINEAR NONSTATIONARY SYSTEM WITH UNKNOWN CONSTANT PARAMETERS

O. A. Kozachek*, A. A. Bobtsov, N. A. Nikolaev

ITMO University, St. Petersburg, Russia [e-mail]

Abstract. For a nonlinear nonstationary system an adaptive state vector observer using output variable measurement is developed the control matrix (vector) and the nonlinear component of the equation of state of the system contain unknown constant parameters. When synthesizing the observer, a preliminary parametrization of the original nonlinear system is carried out. Then the derived system is reduced to a linear regression model. At the next stage, unknown constant regression parameters are estimated using the least squares method with a forgetting factor. The result of the previous work by the authors, which considered a linear non-stationary system containing unknown parameters in the control matrix (vector), is extended to the case when the equation of state of the system contains a partially unknown nonlinearity. The performance of the proposed algorithm is illustrated by mathematical modeling.

© Козачёк О. А., Бобцов А. А., Николаев Н. А., 2023 JOURNAL OF INSTRUMENT ENGINEERING. 2023. Vol. 66, N 8

Keywords: adaptive observer, nonlinear system, nonstationary system, linear regression model, parameters identification

Acknowledment: The article was prepared with the financial support of the Russian Science Foundation, grant 22-21-00499.

For citation: Kozachek О. А., Bobtsov А. А., Nikolaev N. А. Adaptive observer of state variables of a nonlinear nonstationary system with unknown constant parameters. Journal of Instrument Engineering. 2023. Vol. 66, N 8. P. 627—636 (in Russian). DOI: 10.17586/0021-3454-2023-66-8-627-636.

Введение. Получение информации о состоянии системы является важной задачей при управлении динамическими системами. Для этого могут использоваться первичные измерительные преобразователи (датчики). Однако не всегда весь вектор состояния объекта доступен прямым измерениям. В случаях, когда невозможно разместить набор средств, достаточный для измерения всего вектора состояния, при оценке неизвестных переменных применяются наблюдатели.

Методы синтеза наблюдателей состояния линейных динамических систем с постоянными параметрами известны и достаточно эффективны [1, 2]. Однако интерес исследователей к проблеме синтеза наблюдателей для линейных систем не угасает. Об этом свидетельствует публикационная активность в изданиях, посвященных проблемам анализа и синтеза систем автоматического управления. В частности, в [2] рассмотрен синтез оптимальных эллипсоидных наблюдателей и алгоритмов, которые позволяют обеспечить оптимальные эллипсоидные оценки вектора состояния системы и неизвестных параметров.

Проблема разработки алгоритмов наблюдения переменных состояния нелинейных систем на данный момент изучена меньше. По этой причине в научном сообществе сохраняется интерес к исследованию нелинейных систем [3, 4].

Важным аспектом задачи построения наблюдателей является тот факт, что объект не всегда может быть описан моделью с постоянными параметрами. В некоторых случаях параметры системы изменяются со временем под действием внутренних и внешних факторов. К таким факторам, например, относятся изменение параметров вследствие старения элементов системы, воздействие экстремальных температур, изменение массогаба-ритных параметров в ходе эксплуатации. В связи с этим поведение сложных динамических систем может быть описано более точно с помощью математических моделей, содержащих нестационарные параметры. По этой причине исследования, посвященные проблеме синтеза наблюдателей для нестационарных систем, в настоящее время имеют большую актуальность.

При построении наблюдателей применяются различные подходы. Одним из них является сведение исходной модели объекта к линейной регрессионной (см., например, [5, 6]) с дальнейшей идентификацией неизвестных параметров модели.

Алгоритмы оценки вектора состояния нелинейной нестационарной системы могут использоваться не только при синтезе законов управления. Они также имеют и самостоятельное значение. К примеру, эти алгоритмы могут применяться при разработке средств контроля технического состояния [7, 8].

При решении задач, связанных с синтезом наблюдателей неизвестных переменных состояния нестационарных систем, исследователи вводят в отношении матриц описания объекта различные допущения и предположения. В качестве примера можно рассмотреть работу [9], где предполагается, что матрица состояния задана в канонической форме. Кроме того, в статье [10] предполагается, что матрица состояния может быть представлена в виде суммы, где одно слагаемое известно, а второе состоит из неизвестных постоян-

ных параметров. В статье оцениваются неизвестные параметры, а затем на основе полученных оценок синтезируется наблюдатель неизвестного вектора состояния системы.

В настоящей работе предложено развитие результатов работы [11], в которой представлен алгоритм оценки вектора состояния линейной нестационарной системы. Рассмотренная система содержит неизвестные параметры в матрице состояния и матрице (векторе) управления. В настоящей работе подход, предложенный в [11], развивается на случай, когда система является нелинейной. Предполагается, что нелинейный компонент, содержащийся в уравнении состояния системы, частично неизвестен.

Постановка задачи. Рассматривается нелинейная нестационарная система с одним входом и одним выходом (SISO) вида:

x(t) = A(t)x(t) + kCT (t)x(t) + bu(t) + w(y,t), x(0) = x0 e Ми, t > 0,

y (t) = CT (t)x(t),

где x (t)e Mn — неизвестный вектор состояния; u (t)e M — известный входной сигнал; y (t)e M — измеряемый выходной сигнал; матрицы A (t)e Mnxn, CT (t)e Mn являются известными и ограниченными с нестационарными параметрами; параметры k e Mn и b e Mn постоянны и неизвестны; w (y, t) — частично неизвестная нелинейная вектор-функция.

В отношении рассматриваемой системы при решении поставленной задачи были приняты следующие допущения.

Допущение 1. Нелинейная вектор-функция w (y, t) может быть представлена в виде:

w ( y, t ) = mf ( y (t)),

где f (y (t)) — известная нелинейная функция, а m e Mn — вектор неизвестных постоянных параметров.

Допущение 2. Предполагается, что траектории входа и состояний ограничены. Допущение 3. Пара матриц A (t) и CT (t) обнаруживаема. Это означает, что существует матрица обратной связи L (t) такая, что автономная система

x (t) = Г A (t) - L (t )CT (t)] x (t)

асимптотически устойчива.

Допущение 4. Автономная система x (t) = A0 (t)x (t), где A0 (t) = A (t)- L (t)CT (t), является равномерно устойчивой (uniformly stable), т.е. ее фундаментальная матрица удовлетворяет условию (см. теорему 6.4 [12]):