Адаптивный подход к увеличению точности вычислительных моделей гидродинамических опор роторов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Кольцов Александр Юрьевич

• Кольцов Александр Юрьевич
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Кольцов Александр Юрьевич

Введение

Глава 1. Базовые вычислительные модели гидродинамических опор

роторов и подходы к увеличению их точности

1.1 Математическая модель напорно-сдвигового течения тонкого

слоя вязкой несжимаемой жидкости в канале переменной геометрии

1.2 Моделирование геометрии канала

1.3 Теоретические предпосылки адаптационных методов построения расчетных сеток

1.4 Адаптивный подход к определению свободных параметров аппроксимирующей функции в бессеточных методах

Основные выводы главы

Глава 2. Метод статистической адаптации и его применение в

задачах аппроксимации явно заданных функций

2.1 Задача поиска статистически оптимального приближения в фиксированном множестве параметрических функций

2.2 Адаптивная аппроксимация в классе кусочно-постоянных функций

2.3 Адаптивная аппроксимация в классе кусочно-линейных функций

2.4 Адаптивное определение центров радиально-базисных приближений

Основные выводы главы

Глава 3. Адаптация параметров численного решения краевых задач

математической физики

3.1 Оптимизация параметров численных методов решения краевых

задач для обыкновенных дифференциальных уравнений

3.2 Оптимизация параметров численных методов решения краевых

задач в частных производных

3.3 Алгоритмические аспекты метода статистической адаптации .... 83 Основные выводы главы

Глава 4. Адаптивная вычислительная модель гидродинамической

опоры роторов

4.1 Адаптивная вычислительная модель гидродинамической опоры с произвольным отклонением формы опорных поверхностей от идеальных

4.2 Вопросы построения обучающей выборки для метода статистически оптимальной аппроксимации

4.3 Описание программного комплекса по расчету полей давлений методами конечных разностей и коллокации на

радиально-базисных функциях

Основные выводы главы

Заключение

Литература

Введение

Актуальность. Выполнение высокоточных вычислений характеристик на-порно-сдвиговых течений в каналах переменной геометрии, возникающих при рассмотрении системы «ротор - опора скольжения», сопряжено с рядом трудностей как теоретического, так и практического характера. Численное исследование течения по каналу со сложной геометрией сред сложной реологии требует существенного увеличения порядка вычислительной модели, что приводит к увеличению ее «вычислительной» стоимости и снижению степени обусловленности. Возможным путем увеличения точности расчетов в таком случае является модификация вычислительной модели таким образом, чтобы установить значения ее свободных параметров адекватными решаемой краевой задаче; при этом желательно, чтобы такая модификация не приводила к необходимости существенного усложнения структуры вычислительной модели.

В настоящее время существует большое количество работ, посвященных разработке математических методов для численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных с повышенной точностью, однако большинство таких методов либо требует дополнительной информации о свойствах решения, получение которой не всегда возможно, либо обладает недостаточной технологичностью, что затрудняет их массовое использование.

Чувствительность метода к параметром задачи без априорного знания особенностей решения может быть достигнута путем включения в их структуру механизмов самоорганизации и адаптации. Включение процессов адаптации в структуру вычислительной модели позволяет добиться существенного увеличения точности без необходимости структурного изменения остальных частей модели. В частности, применение такого подхода для построения расчетной сетки в методах конечных разностей и элементов позволяет повысить точность численного решения без необходимости решения вспомогательных задач, сложность которых сопоставима или даже превосходит сложность исходной краевой зада-

Работа выполнена в рамках выполнения проекта №9.101.2014 государственного задания «Гидродинамические эффекты в напорно-сдвиговых течениях сред сложной реологии в каналах переменной геометрии».

Цель исследования: разработка основанных на принципах самоорганизации и адаптации методов и алгоритмов оценки и повышения точности численного решения краевых задач, возникающих при математическом моделировании системы «ротор - гидродинамическая опора».

Для достижения сформулированной цели были поставлены и решены следующие задачи:

- предложить конструктивный способ количественной оценки степени необходимого для получения оптимального решения сгущения и разрежения расчетной сетки при решении краевой задачи на заданной расчетной области;

- разработать метод адаптивного увеличения точности вычислительных моделей, в основе которого лежат принципы самоорганизации;

- разработать математическую модель гидродинамической опоры с осевой подачей смазочного материала, в которой возможно наличие отклонений форм рабочих поверхностей от идеальных;

- провести вычислительный эксперимент по исследованию точности конечно-разностной модели многоклиновой гидродинамической опоры с осевой подачей смазочного материала на равномерной и адаптивной сетках;

- разработать программный комплекс по расчету полей давлений в гидродинамических опорах роторов с контролем точности по разработанному методу.

Объектом исследования являются математические и вычислительные модели гидродинамических опор роторов.

Предметом исследования являются методы и алгоритмы получения количественной оценки необходимости местного сгущения и разрежения расчетных сеток и их применение для увеличения точности получаемого численного решения краевых задач.

Методы исследования. В работе использованы методы математической физики и гидродинамической теории смазки, численные методы решения диф-

ференциальных уравнений, методы статистического анализа и «мягких» вычислений.

Научная новизна и положения, выносимые на защиту:

1. Разработан новый метод построения расчетных сеток и выбора центров радиально-базисных функций, способный адаптироваться к свойствам решаемой краевой задачи и отличающийся высокой технологичностью и низкой «вычислительной» стоимостью.

2. Построена математическая модель гидродинамической опоры роторов, в которой учтено наличие макро- и микронеровностей рабочих поверхностей и перекоса ротора.

3. На основе представленных методов и алгоритмов разработана адаптивная конечно-разностная модель многоклиновой гидродинамической опоры с осевой подачей смазочного материала, отличительной особенностью которой является способность подстраивать свои параметры под заданные геометрические и рабочие параметры и обеспечивать высокую точность расчетов, сохраняя при этом заданную размерность.

4. Получены результаты вычислительного эксперимента по сравнению точности адаптивной и неадаптивной конечно-разностных моделей гидродинамической опоры, подтверждающие увеличение точности разработанным методом в 1,5 — 2 раза по сравнению конечно-разностной моделью на равномерной расчетной сетке.

Практическая значимость. На основании выполненных исследований разработан комплекс программ для моделирования гидродинамических опор с возможной осевой подачей смазочного материала, позволяющий учесть геометрические отклонения формы рабочих поверхностей от идеальных и наличие особенностей формы канала. На основе предложенного метода разработана вычислительная модель, способная адаптироваться к заданным геометрическим и рабочим параметрам роторно-опорного узла и обеспечивать в 1,5 — 2 раза большую точность по сравнению со своими аналогами.

Результаты работы подтверждены актами о внедрении и свидетельством о государственной регистрации программы «Программа расчета поля давлений в цилиндрическом гидродинамическом подшипнике с использованием метода конечных разностей со статистически оптимизированной расчетной сеткой» для

ЭВМ №2015610925. Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 12 января

Соответствие специальности научных работников. Работа соответствует п. 3, 4, 5 паспорта специальности «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

Степень достоверности и апробация работы. Обоснованность и достоверность научных результатов диссертационной работы обеспечивается построением математических моделей на основании фундаментальных законов сохранения вещества и энергии, а также на использовании строгих математических теорий и проведении формального доказательства выдвигаемых утверждений.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 10 работ, в том числе шесть в журналах из списка ВАК, получено 3 свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ.

Личный вклад соискателя. Все представленные в диссертационной работе результаты получены лично соискателем.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Адаптивный подход к увеличению точности вычислительных моделей гидродинамических опор роторов»

Структура работы

В первой главе проводится математическая модель системы «ротор - гидродинамическая опора» с произвольными микро- и макроотклонениями формы рабочих поверхностей от идеальных и произвольной формой развертки поверхности опоры. Проведен анализ методов, применяемых для повышения точности вычислительных моделей путем подходящего выбора их свободных параметров. Рассмотрены вопросы классификации таких методов и их способность учитывать свойства решаемой краевой задачи. Приводятся предпосылки и основные идеи, лежащие в основе описываемых далее методов и алгоритмов.

Во второй главе описан метод количественной оценки распределения ошибки на множестве реализуемых приближений, а также определен способ построения покрытия расчетной области, для которого выполняется требование минимального отклонения распределения математического ожидания интегральной ошибки решения от равномерного в каждом из элементов покрытия. Приведен алгоритм генерации случайной величины, оптимальное кодирование

которой дает такое покрытие. Приводятся результаты вычислительных экспериментов для разных классов аппроксимирующих функций, показывающие, что построенные на такого рода покрытии приближения позволяют существенно уменьшить ошибку аппроксимации.

В третьей главе предложенный метод распространяется на случай решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных. На примере простейших краевых задач показано, что для получения покрытия, близкого к статистически оптимальному, оказывается возможным заменить аппроксимируемую функцию при построении выборки значений кодируемой величины в предложенном алгоритме некоторым ее достаточно грубым приближением при условии, что такое приближение адекватно описывает существенные особенности действительного решения краевой задачи. Приводятся алгоритмы построения адаптивного конечно-разностного по неравномерной ортогональной сетке и радиально-базисного численных решений типовых краевых задач, и результаты вычислительных экспериментов, показывающих существенное увеличение точности решения по сравнению с аналогичными решениями без адаптации.

В четвертой главе рассмотрена адаптивная вычислительная модель гидродинамической опоры роторов. Проведен сравнительный анализ точности решения для случаев использования адаптивной и неадаптивной расчетной сетки на примере многоклиновой опоры с осевой подачей смазочного материала, имеющей характерные особенности поля давлений. Показано, что применение метода статистической адаптации позволяет увеличить точность в 1,5 — 2 раза по сравнению с конечно-разностным решением той же размерности на равномерной сетке. Приведено описание программного комплекса по расчету полей давлений гидродинамических опор роторов с задаваемой формой рабочих поверхностей и возможностью адаптации вычислительных моделей по предложенному методу.

В заключении сформулированы основные результаты диссертации.

Глава 1. Базовые вычислительные модели гидродинамических опор роторов

и подходы к увеличению их точности

1.1 Математическая модель напорно-сдвигового течения тонкого слоя вязкой несжимаемой жидкости в канале переменной геометрии

Основную сложность, препятствующую эффективному анализу динамики гидромеханической системы, составляет отсутствие явного выражения для входящих в уравнение движения сил, возникновение которых обусловлено течением смазочного материала в узком канале переменной геометрии. Задача определение этих сил составляет существенную часть исследований в области моделирования гидромеханических систем и представляет собой типовую задачу гидродинамической теории смазки. Модель течения в общем виде представляет собой систему уравнений, описывающих геометрию канала, движение жидкости в канале, ее термодинамические характеристики, а также соотношения для определения вязкости, плотности и других характеристик. Уравнение движение жидкости строится на базе уравнения Навье-Стокса, которое в общем виде для вязкой сжимаемой жидкости в прямоугольной системе координат имеет следующую запись в скалярных обозначениях [60;61;65]:

д{рУг) ^ Э{рУг) _ ЭПгк

дЬ дхк дхк'

тт х , (дгч , дг,к 2 я дгЛ , ЛХ 14 (Л 14 Щ- = -рдгк + М ~--Ь ---+ Сдгк — - (1.1)

\дхк дх1 3 дх// XI

где П^ - тензор напряжений, д, ( - динамическая и объемная вязкости соответственно. Необходимо также добавить к математической модели закон сохранения массы в форме уравнения неразрывности:

▽(Н = о.

В соответствии с базовыми положениями гидродинамики, данное уравнение описывает как ламинарное, так и турбулентное движение жидкости [61]. Од-

нако для адекватного моделировании турбулентных течений оказывается необходимым использование вычислительных моделей очень высоких размерностей, что приводит к существенным затратам вычислительных ресурсов, неприемлемым для использования таких моделей в реальной инженерной практике. Следуя методике Рейнольдсу, развитой Фавром [31], в уравнении Навье-Стокса производится усреднение пульсирующих параметров за некоторый достаточный для сглаживания этих пульсаций период времени и входящие в уравнение величины представляются в виде суперпозиции своей средней за период составляющей и пульсационной составляющей, которая трактуется как случайная величина с нулевым математическим ожиданием. Ввиду малой толщины исследуемого канал в направлении ОУ опорой обычно адекватны допущения теории пограничного слоя [48; 55; 88], применение которых к усредненному по Рейнольдсу уравнению движения в совокупности с описанием локальной турбулентности по Констан-тинеску [51] приводит к основному уравнению модели опоры - обобщенному уравнению Рейнольдса, которое в связанной с разверткой опоры системе координат имеет следующий вид [77]. Подробный вывод усредненных по Рейнольдсу уравнений движения тонкого слоя вязкой сжимаемой жидкости в канале переменной геометрии проведено в работе [67]. Полученное в результате уравнение носит название обобщенного уравнения Рейнольдса и является одним из основ-

ных уравнений гидродинамической теории смазки. В инвариантных операторных обозначениях данное уравнение может быть записано в следующем виде:

V (a) =

div

' ph¿

gradp i = 6div(phV) + 12pVy,

(vx\

Vy

(

cos a sin a

\VzJ

— sin a cos a 0

0\ {X\ ( 0 ^

Y + uR(z)

\ 0 0 V W V 0 /

(1.2)

(1.3)

Здесь Ух = п,Уг = V (рис. 1.1) - тангенсальная и нормальная скорости смазочного материала, Уг - движение смазочного материала по длине опоры, X, У и ^ - скорости движения центра цапфы, ш - окружная скорость, рад/с, к -функция зазора между опорой и ротором, а - угол поворота, соответствующий движению вдоль оси ОХ по развертке опоры, а =

Тензор К определят локальное изменение вязкости смазочного материала, вызванное наличием турбулентных вихрей. Для их расчета удобно применять методику Поддубного [32], которая хорошо согласуется с экпериментальными данными и хорошо коррелирует с другими известными способами описания турбулентности. При введении на развертке поверхности опоры декартовой системы координат OXZ, коэффициенты турбулентности могут быть записаны следующим образом:

1 ,Res < Rex I 1 , Res < Rez

Kx = ( , X 0,75 ; Kx = < , N 0,75

Í4 ,Res>Rex ЦтН ,Res>Rez

где Res = Reí + Re2, Rez = 2038, Rex = Rez^l - | sin2 (arctg

Rep = licj. + Re2z.

Уравнение 1.3 остается справедливым для всех гидродинамических опор, для которых справедливо допущение о малости толщины смазочного слоя по сравнению с другими геометрическими характеристиками и при условии отсутствия подвижных частей в опоре. Поскольку при условии корректности выполнения формального перехода от математической модели к вычислительной большая часть выводов оказывается справедливой как в случае линейной, так

и в случае нелинейной модели, в дальнейшем ограничимся рассмотрением изотермической постановки задачи. В этом случае оператор уравнения Рейнольдса ▽ • (иу) оказывается линейным и задача построения вычислительной модели сводится к построению приемлемой аппроксимации данного оператора.

Входящая в уравнение функция зазора определяет подобласть пространства Я2, в пределах которой определено решение уравнения 1.3, как область, соответствующая развертке внешней рабочей поверхности. Отметим, что при наличии макроотклонений геометрии рабочих поверхностей уравнение 1.3 сохраняет физический смысл, однако в случае наличия микронеровностей может нарушаться условие непрерывности скоростей на рабочих поверхностях и как следствие - условие прилипания жидкости к поверхности, что делает данное уравнение физически несостоятельным. Таким образом, при рейнольдсовом подходе к описанию течения тонкого слоя жидкости в канале переменной геометрии требуется наложить на функцию микронеровности дополнительные требования.

Задачу определения поля давлений в опоре можно рассматривать как задачу решения краевой задачи относительно линейного уравнения в частных производных эллиптического типа с граничными условиями р(0, г) = р(2пЯ,г),р(х, 0) = ратм,р(х,1) = ратм. Поставленные таким образом граничные условия соответствуют допущению Зоммерфельда, принятому в рамках теории смазки, о полном охвате смазочным слоем опорной поверхности.

1.2 Моделирование геометрии канала

Определение гидродинамических параметров течений в опоре гидромеханической системы требует построения геометрической модели канала, на основании которой можно сделать вывод о допустимости различных предположений относительно характеристик течения, в частности, допущения Рейнольдса, позволяющее в значительной мере упростить задачу определения характеристик течений, а также замкнуть систему уравнений математической модели опоры, в явном виде определив входящие в уравнения гидродинамики геометрические параметры.

В работах, посвященных моделированию течений в опорах, разделяют опои М V-/ Т~Ч и

ры с идеальной и неидеальной геометрией. В моделях идеальной опоры рабочие поверхности ротора и опоры описываются в некотором ограниченном подпространстве пространства Я3 каноническими уравнениями аналитической геометрии для поверхностей не более чем второго порядка1. Отклонение геометрии опорных поверхностей от идеальной возникает в случае учета в модели особенностей технологического процесса обработки и износа поверхностей в процессе эксплуатации агрегата. В данном отношении разделяют макронеровности, приводящие к возникновению таких отклонений формы, как эллипсность, корсетность, бочкообразность, конусность, волнистость (поперечная и продольная) [43], и микронеровности (шероховатости), приводящие к нерегулярным и несимметричным отклонениям формы от идеальной.

Наиболее исследованными на данный момент являются течения в каналах, образованных следующими комбинациями идеальных поверхностей ротора и опоры:

- цилиндр-цилиндр [77] [81];

- конус-конус [53];

- цилиндр-конус [52].

Обладающие данной геометрией каналы исследовались на предмет выполненности в них основных допущений гидродинамической теории смазки. При этом рассматривались как модели, симметричные относительно оси опоры, так и несимметричные, получаемые путем параллельного переноса поверхности ротора в плоскости опоры, что характерно для моделей симметричного жесткого ротора. Вопросы поворота ротора в области опоры, играющие важную роль при рассмотрении моделей гибкого несимметричного ротора и ротора с распределенными параметрами, рассмотрены существенно меннее подробно. В работе [77] предложено описывать неидеальную рабочую поверхность как суперпозицию поверхностей, описывающих различные уровни отклонения от идеальности, что в терминологии зазора между ротором и опором описывается следующим выражением: Н(р, г) = г) + ^макро(^>, г) + ^микро(^>, г). Данное описание вполне приемлемо при фиксированном взаимном положении рабочих поверхностей в выбранной системе координат, однако создает существенные сложности в том

!В ряде работ, в частности, в работах [77], [43] и др. под каналом с идеальной геометрией понимают канал, образуемый двумя поверхностями второго порядка с согласованными геометрическими параметрами. В частности, канал конус-конус считается идеальным при одинаковых углах конусности поверхностей опоры и ротора.

случае, когда одна или обе поверхности свободно перемещаются в координатном пространстве, поскольку соответствующее такому перемещению преобразование функции Н((р, г) будет, вообще говоря, нелинейным. В этой связи оказывается целесообразным разработать методику, позволяющую описать в выбранной системе координат искомую геометрическую характеристику - функцию зазора Н(х, г) для каналов, полученных совмещением идеальных и неидеальных поверхностей произвольного вида.

Рассмотрим образующие канал поверхности в цилиндрической системе координат, такой, что ось OZ совпадает с осью опоры. Пусть Я(^>,г) - функция условного радиуса опоры, то есть длина вектора в пространстве Я2, перпендикулярного оси OZ и составляющего с осью ОУ угол, равный Приняв неизменность данной функции по времени, рассмотрим задачу определения геометрии канала в заданный момент времени как задачу отыскания функции т(^>, г), описывающей положение поверхности ротора в заданной системе координат. Очевидно, что искомая функция зазора Н(р,г) может быть определена как г) = Я(^>, г) — т(^>, г).

Наиболее удобно при описании поверхности ротора считать, что ось OZ проходит через его условную ось симметрии. Преобразование перемещения, действующее на данную поверхность, может быть представлено как композиция преобразований поворота относительно некоторой точки пространства и переноса на заданный вектор. При этом очевидно, что такое преобразование инвариантно относительно некоторых характеристик поверхности. В простейшем случае, когда поворот отсутствует и ротор имеет строго цилиндрическую форму, функция т не зависит от г и может быть получена из канонического уравнения окружности со смещенным центром:

т(ф) = Хо С08(^>) + Уо вт(^) +

| у/(2ж0со8((/9) + 2у08т(у?))2 - 4 • (х2 + у2 - Я2) ^ ^

Из данного выражения легко получить формулы для любой осесимметрич-ной поверхности, взяв входящий в формулу радиус Я как функцию координаты

г. Более сложной оказывается задача описания поворота поверхности относительно некоторой точки (не обязательно лежащей в ограниченном поверхностью опоры подпространстве Л3). Для конической поверхности решение этой задачи представлено в статье [50].

Аналитически поверхность вала представляет собой множество точек в трехмерном евклидовом пространстве, удовлетворяющих некоторому соотношению. Перекосу вала вследствие действия на него некоторой силы соответствует воздействие на элементы данного множества некоторого линейного оператора — оператора поворота (линейность в данном случае следует из определения операции поворота, которая требует сохранения расстояния между любыми двумя точками). Поворот в общем случае может характеризоваться тремя классическими углами Эйлера — углом рыскания ф (в горизонтальной плоскости), углом тангажа в (в вертикальной плоскости) и углом вращения ф (собственное вращение). Вращение тела относительно каждого угла записывается в виде матриц перехода А1, А2, А3, которые имеют следующий вид:

Ai =

cos ф — sin ф 0 sin ф cos ф 0

0

0

1

Ao =

10

0

0 cos в — sin в 0 sin в cos в

Аз =

cos ф — sin ф 0 sin ф cos ф 0

0

0 1 (1.5)

Матрица А, соответствующая искомому оператору вращения, определяется как: А = А1 • А2 • А3, тогда после преобразования матрица А(ф,в,ф) имеет вид [36]:

cos ф cos ф — sin ф cos в sin ф — cos ф sin ф — sin ф cos в cos ф sin ф sin в

А = sin ф cos ф + cos ф cos в sin ф — sin ф sin ф + cos ф cos в cos ф — cos ф sin в

sin в sin ф sin в cos ф cos в

(1.6)

Форма соотношения, которому должны удовлетворять точки определяющего поверхность вала множества, зависит от выбранной системы координат. В случае конической формы вала удобно использовать каноническое уравнение:

2 2 2 x2 y2 z2

- + f*-- = 0. (1.7)

a2 b2 c2

-50

Рис. 1.2 — Коническая поверхность, повернутая на углы Эйлера ф = 0, 6 = -ф = 0 относительно точки р = [0, 0, г0]т, являющейся началом связанной с

подшипником системы координат

Данное уравнение определяет конус с точкой схода в начале системы координат, ось которого совпадает с осью OZ. Система координат, в которой в соответствии с уравнением (1.7) определено множество точек, задающих поверхность вала, отличается от системы координат, связанной с подшипником, на вектор [0,0, х0], где Ктгп — меньший радиус конического подшипника, а, Ь, с — параметры конуса, го = ЯтгП/Ьап% — смещение системы координат вдоль оси OZ, а — угол конусности

Оператор поворота А имеет единственную неподвижную точку — [0,0,0]т, таким образом, применение А соответствует повороту конуса на соответствующие углы против часовой стрелки относительно начала координат, или, что то же самое, относительно вершины конуса. Постановка задачи, с другой стороны, требует, чтобы поворот был осуществлен относительно некоторой точки р. Для этого требуется осуществить дополнительно перенос системы координат на вектор [рх,ру,Рг]т = Ар — р, то есть вектор, проведенный от точки р к ее образу Ар — точке, полученной применением оператора А к р.

Аналитически поворот множества точек, определяемых уравнением (1.7), против часовой стрелки на заданные углы Эйлера в заданной системе координат, может быть представлен в эквивалентной форме как поворот самой системы координат на те же углы по часовой стрелке, что повлечет за собой соответствующее преобразование уравнения (1.7):

(апх + аУ2у + а1зг)2 ((21 х + (122У + о^г )2 (аз1Х + аз2У + азз г)2 ...

Н--—---^-= и; (1.6)

а2

Ь2

Здесь а^ — элементы матрицы «отрицательного» поворота Л(—ф, —в, — < Раскрыв скобки и приведя подобные, получим следующее уравнение для повернутого относительно вершины конуса:

а

Х

11

а

21

а2

а

31

+ у2

а

12

а

22

а2

а

32

с2

+ г2

а

13

а

23

а2

а

33

+

/2(11 (12 , 2а21а22 2(31(3^ \ /2(11(13 , 2а21а2з 2аз1азз\

+ + —---—)+хг {-¿г- + —---—) +

/2а12а1з 2а22а2з 2аз2азз\

—( '

Добавив дополнительно перенос системы координат, сохраняющий неподвижной заданную точку р (переход в систему координат Х1У1Z1 посредством линейного переноса на вектор р, рис. 1.3) и приводящий в систему координат, ассоциированную с подшипником (переход в систему координат Х2У^2 путем пе-

2

2

2

2

2

2

2

с

с

реноса на вектор [0,0, г0]т, рис. 1.3), получаем следующее окончательное уравнение для повернутого конуса в декартовой системе координат:

где

/ 2а11а12 , 2а21а22 2а31а32 \

+ (х + рх) (у + ру) + —---— ) +

/ \/ , , ч /^2а11 а13 , 2а21а23 2а31а3з\

/ , ч/ , , ч (2а12а13 , 2а22а23 2а32а33 \ Л + + ( + —р---—) =°;

От2 + Ьу2 + Сху + Вт + Еу + Е = 0, (1.10)

о =

Ь =

222 а11 а21 а31 п—тт;--

а2 а212

ь2

с

2

а

2

22

^22 _ а32

Ь2

с

2

_ 2аца12 2а21<222

Уу — о Г

2а31а32

а2

ь2

с2

В = 2рх • О + ру • С + (г + ¿0 + рг)

Е = 2ру • Ь + рх • С + (г + ¿о + рг) Е = рХ • О + р2 • Ь + (г + ¿0 + рг)2 •

/ 2апа1з 2<Д21^23

V а2 б2

/ 2а12Й13 2Й220'23

а2

Ь2

2аз1«зз\ с2 У 2аз2«зз\ с2 У

а

13

а2

+

а

23

а

33

Ь2

с2

+

^ , / , Ч /2а11а13 , 2а21а23 2а31а33 Л + РхРу ■ С + рх ■ [г + г0 + рг) ■ ( —--1--р----2— I +

2а12а13 2а22а23 2а32а33 + ру (г + г0 +рг) • + —---^ •

(1.11)

В цилиндрической системе координат уравнение (1.10) примет вид:

2

2

r2(Q • cos2 f + L • sin2 f + C • sin f • cos f) + r(D • cos f + E • sin f) + F = 0 (1.12)

При z = const уравнение (1.12) определяет заданную в полярной системе координат кривую, образованную пересечением повернутого конуса и соответствующей плоскости. Возможные сочетания корней уравнения соответствуют случаям, когда прямая, составляющая угол f с осью OX сопряженной декартовой системы, пересекает кривую-сечение конуса в двух точках (подкоренное выражение положительно), в одной точке (подкоренное выражение равно нулю) и ни в одной точке (подкоренное выражение отрицательно, оба корня - мнимые). Применительно к рассматриваемой задаче достаточно ограничиться корнем

-Р + \~ 4aF

П =-2а-'

в предположении, что корни являются действительными для любого угла ф. Первое допустимо, поскольку r2(f) = r1(n + f), второе следует из малости зазора между подшипником и ротором, что не позволяет полюсу оказаться вне любого сечения конуса. Решение r1 уравнения (1.12) удобно записать как функцию r1 = r(z, f).

Таким образом, перемещение поверхности ротора, соответствующее его повороту относительно некоторой точки пространства, может быть представлено композицией оператора поворота A, заданного матрицей вращения, и оператором переноса SA. Поскольку оператор переноса однозначно определяется вектором смещения, для описания произвольного перемещения можно использовать оператор S = (SV 0 SA) 0 A, где SV - оператор переноса поверхности, не связанный с ее вращением, а композиция SV 0 SA однозначно определяется суммой соответствующих векторов смещения.

Для описания симметричной конической поверхности удобно использовать такие характеристики, как угол конусности а, малый радиус Rmin, большой радиус Rmax и длина l. Тогда справедливы следующие соотношения:

зазор,м

о.ооз

Рис. 1.4 — Поверхность функции зазора для цилиндрической опоры радиуса

0.02 м и конического ротора с размерами 0.018м и 0.019м для малого и большого радиусов соответственно, повернутого относительно своего центра

на угол 5 • 10 4 радиан.

а Ятах йшт ~2 =-1-<

Ятт

¿0 =

*д(а/2)'

а

а = Ь = Япгт + 1д— -2/, с= г0 + 21.

Проводя над каждым каноническим уравнением поверхности второго порядка, которая может описывать поверхность ротора, аналогичные манипуляции, можно получить функции зазора для любого положения ротора в связанной с опорой системе координат. Это позволяет в относительно общем виде описать функции зазоров для всех идеальных и имеющих макроотклонения по представленной в работе [43] классификации.

Выполним аналогичные построения для общего уравнения поверхности второго порядка, которое имеет вид [36]:

ООО

а11х2 + а22у2 + а33г2 + 2а12ху + 2а23уг + 2а31гх + 2а14х + 2а24у + 2а34г + а44 = 0.

Примение к множеству точек, удовлетворяющих данному уравнению, оператора поворота, получим уравнение того же вида

222 а11х + а22У + а33г + 2а12ХУ + 2а23р+

+ 2а3+ 2а/14ж + 2а24у + 2а'34г + а44 = 0, (1.13)

222 а11 = апа11 + а22 а21 + а33а31 + 2а12ап а21 + 2а23а21а31 + 2а31апа31,

222 а22 = апа12 + а22 а22 + а33а32 + 2а12а12 а22 + 2а23а22а32 + 2а31а12а32,

222 а33 = апа13 + а22 а23 + а33а33 + 2а12а13 а23 + 2а23а23а33 + 2а31а13а33,

а12 = ацац а12 + а22 а21а22 + а33а31 а32 + а12апа22 + а12а12 а21 + а23а21а32+

+а23а22 а31 + а31 апа32 + а31а12 а31,

а31 = ацац а13 + а22 а21а23 + а33а31 а33 + а12апа23 + а^а^ а21 + а23а21а33+

+а23а23 а31 + а31 апа33 + а31а13 а31,

а'23 = апа12 а13 + а22 а22а23 + а33а32 а33 + а12а12а23 + а^а22 а13 + а23а22а33+

+а23а23 а32 + а31 а^а33 + а31а13 а32,

а' 4 = а14 ац + а24а21 + а34а31,

а2 4 = а14 а12 + а24а22 + а34а32,

а3 4 = а14 а13 + а24а23 + а34а33,

Х = х + рх, у = у + ру, г = г + ¿0 + рх.

Раскрывая скобки и приводя подобные аналогично тому, как это было сделано для уравнения конуса, получим уравнение следующего вида:

а'+ «22У2 + 2а'2xy + x • [A = 2(а'14 + а'11 + а'2py + «3+

+ У • [B = 2(а24 + а22Py + а12Px + а23^1 +

+ [Q = («44+«; ipX+a/22P2+«'33^+2«; 2PxPy+2а3 iPx^+2a/14px+2a724py+2a3.4z)] = 0,

(1.14)

которое в цилиндрической системе координат имеет вид

2 2 2 r (а11 cos ф + а22 sin ф + 2а12 sin ф cos ф) +

+ r(A cos ф + B sin ф) + Q = 0. (1.15)

Подставляя в решение данного уравнения коэффициенты в соответствии с общей теорией поверхностей второго порядка можно получить функцию, описывающую произвольное макроотклонение формы рабочих поверхностей. Более сложные геометрические модели, имеющие аналитическое представление, достаточно редко встречаются в работах, посвященных исследованию гидромеханических систем. Это, в частности, обусловлено тем, что усложнение геометрических моделей канала значительно усложняет модель течений, поскольку классические допущения гидродинамической теории смазки при такой геометрии могут не выполняться. Действительно, при рассмотрении течения вязкой жидкости в канале, у которого хотя бы одна из поверхностей совершает вращательное движение, предполагается, что в каждая точка поверхности находится в непосредственном контакте с некоторым объемом жидкости (условие прили-паемости). Однако если поверхность описывается негладкой функцией, вблизи разрывов производной это условие может нарушаться, поскольку вступает в противоречие с предположением неразрывности потока. Кроме того, наличие рытвин и впадин на поверхности приводит к необходимости необходимости рассмотрения в близи них внутренних течений, направление которых отличается от направления основного потока. Иными словами, учет подобных особенностей геометрии канала приводит к серьезному усложнению задачи определения распределения скоростей в смазочном слое и к некорректности таких допущений, как допущение Рейнольдса, Зоммерфельда и др.

В соответствии с [49] будем использовать следующую классификацию подходов к моделированию микроотклонений формы опорной поверхности от идеальной:

- параметрический; в рамках данного подхода используются нормированные параметры шероховатости поверхности, которые могут быть непосредственно измерены и использованы для выбора наиболее адекватной макромодели;

- аналитический; шероховатость поверхности описывается некоторой явно или неявно заданной функцией, полученной из некоторых эмпирических или модельных представлений относительно порождающего шероховатость технологического или эксплуатационного процесса; такие функции, как правило, обладают некоторым набором свободных параметров, которые подбираются экспериментально. Одним из наиболее интересных подходов данного типа можно считать фрактальный подход, который, как показано в [82], позволяет достаточно адекватно описать геометрию поверхности на микроуровне без привлечения статистических методов;

- вероятностный; при использовании данного подхода топология поверхности определяется как случайная величина или случайная функция, обладающая заданным распределением вероятностей. Такой подход оказывается наиболее адекватным при рассмотрении конкретных опорных поверхностей, однако рассматриваемые в этом случае модели течений также носят вероятностный характер, что затрудняет их исследование. По этой причине, несмотря на всю привлекательность данных моделей, они на текущий момент практически не используются при моделировании гидромеханических систем.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Кольцов Александр Юрьевич, 2016 год

Литература

1. Bohn, Ch.-A. Finite Element Mesh Generation using Growing Cell Structures Networks / Ch.-A. Bohn. // Neural Networks in Engineering Systems, Turku, Finland. - 1997. - С.241-244.

2. Brackbill, J.U. Adaptive zoning for singular problems in two dimensions / J.U. Brackbill, J.S. Saltzman. // J. of Computational Phisics. - 1982. - Vol.49.

3. Buhman, M.D. Radial Basis Functions: Theory and Implementations / M. D. Buhman. - Cambridge Monographs on Applied and Computational Mathematics, 2004.-271 с.

4. Cao, W. Approaches for generating moving adaptive meshes: location versus velocity / W. Cao, W. Huang, R.D. Russell. // Applied Numerical Mathematics. -2003.-№47.-С.121-138.

5. DeSieno, D. Adding a conscience to competitive learning / D. DeSieno. // IEEE International Conference of Neural Networks, San Diego, CA. - 1988. - Vol.1.

- P.117-124.

6. Driscoll, T.A. Adaptive residual subsampling methods for radial basis function interpolation and collocation problems / T.A. Driscoll, A.R. Heryudono. // Computers and Mathematics with Applications. - 2007. - Vol.53. - P.927-939.

7. Fasshauer, G.E. Solving differential equations with radial basis functions: multilevel methods and smoothing / G.E. Fasshauer. // Advances in Computational Mathematics. - 1999. - P.139-159.

8. Frey, P.J. Mesh Generation. Application to Finite Elements - 2 / P. J. Frey, P.-L. George. - Wiley, 2008. - 833 с.

9. Gersho, A. Vector Quantization and Signal Compression / A. Gersho, R. M. Gray. - MA: Kluwer, 1992.

10. Grossberg, S. On learning and energy-entropy dependence in recurrent and nonrecurrent signed networks / S. Grossberg. // Journal of Statistical Physics.

- 1996.-Vol.1.-P.319-350.

11. Julia: A Fresh Approach to Numerical Computing / J. Bezanson, A. Edelman, S. h gp. // Cornell University Library. - 2014.

12. Kansa, E.J. Multiquadrics - A scattered data approximation scheme with applications to computational fluid-dynamics - I surface approximations and partial derivative estimates / E.J. Kansa. // Computers and Mathematics with Applications. - 1990. - P.127-145.

13. Kansa, E.J. Multiquadrics - A scattered data approximation scheme with applications to computational fluid-dynamics - II solutions to parabolic, hyperbolic and elliptic partial differential equations / E.J. Kansa. // Computers and Mathematics with Applications. - 1990. - P.147-161.

14. Kohonen, T. The self-organizing map / T. Kohonen. // Proceedings of the Institute of Electrical and Electronics Engineers. - 1990. - №78. - C.1464-1480.

15. Larsson, E. A Galerkin radial basis function method for the Schrodinger equation / E. Larsson, K. Kormann. // SIAM Journal on Scientific Computing. - 2013. -Vol.6.

16. Linsker, R. How to generate ordered maps by maximizing the mutual information between input and output signals / R. Linsker. // Neural computations. - 1989. - Vol.1. - P.402-411.

17. Liseikin, V.D. A computational differential geometry approach to grid generation - 2 / V. D. Liseikin. - Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2007. - 301 c.

18. Liseikin, V.D. Applications of a comprehensive grid method to solution of three-dimensional boundary value problems / V.D. Liseikin, A.D. Rychkov, A.V. Kofanov. // J. Comput. Phys.. - 2011. - Vol.230. - P.7755-7774.

19. Lowther, D.A. On automatic mesh generation using Kohonen maps / D.A. Lowther, W. Mai. // IEEE transactions on magnetics. - 1998. - №5. - C.3391-3394.

20. Manevitz, L. Finite-Element Mesh Generation Using Self-Organizing Neural Networks / L. Manevitz, M. Yousef. // Microcomputers in Civil Engineering. -1997. - Vol.12. -P.233-250.

21. Micchelli, C.A. Interpolation of scattered data: distance matrices and conditionally positive definite functions / C.A. Micchelli. // Contr. Approx.. -1986. - P.11-22.

22. Nechaeva, O. Neural Network Approach for Parallel Construction of Adaptive Meshes / O. Nechaeva. // Parallel Computing Technologies 2005. Lecture Notes in Computer Science. - 2005. - Vol.3606. - P.446-451.

23. Numerical solution of elliptic partial differential equation using radial basis function neural networks / L. Jianyu, L. Siwei, Q. h gp. // Neural Networks. -2003.-Vol.16.

24. Solution adaptive grid strategies based on point redistribution / B.K. Soni, R. Koomullil, D.S. h gp. // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg.. - 2000. -Vol.189. -P.1183-1204.

25. Sullivan, T.J. A self-organizing map with homeostatic synaptic scaling / T.J. Sullivan, V.R. de Sa. //Neurocomputing. - 2006. - P.1183-1186.

26. Topology preservation in self-organizing maps: exact definition and measurement / T. Villman, R. Der, M. h gp. // IEEE Transactions on Neural Networks. - 1997. - C.256-266.

27. Tubakman, T. Towards real-time self-organizing maps with parallel and noisy inputs / T. Tubakman, I. Exman. // Proceedings of the 10th Israeli Symposium on Artificial Intelligence, Computer Vision and Neural Networks, Ramat Gan, Israel. - 1993. - P.155-164.

28. Warsi, Z.U. Tensors and differential geometry applied to analytic and numerical coordinate generation / Z. U. Warsi. - MSSU-EIRS-81-1, Aerospace Engineering. Mississippi State University, 1981.

29. Yousef, M. Automatic mesh generation using self-organizing neural networks, master's thesis / M. Yousef. // University of Haifa. - 1996.

30. Zavattieri, P.D. Optimization strategies in unstructured mesh generation / P.D. Zavattieri, E.A. Dari, G.C. Buscaglia. // International journal for numerical methods in engineering. - 1996. - Vol.39. - P.2055-2071.

31. Андерсон, Д. Вычислительная гидромеханика и теплообмен / Д. Андерсон, Дж. Таннехилл, Р. Плетчер. - М.: Мир, 1990. - 384 с.

32. Артеменко, Н.П. Гидростатические опоры роторов быстроходных машин / Н. П. Артеменко, А. И. Чайка, В. Н. Доценко. - М.: Мир, 1990. - 384 с.

33. Артюхина, Е.В. Радиально-базисные нейронные сети для решения краевых задач математической физики бессеточным методом с использованием локально определенных интерполянтов / Е.В. Артюхина. // Известия Пензенского государственного педагогического университета им. В.Г. Белинского.

34. Архипов, С.В. Нейросетевой подход в построении адаптивных сеток для нерегулярных плоских областей / С.В. Архипов, А.Ф. Брагин. // Вестник Бурятского государственного университета. - 2012. - №9.

35. Бахвалов, Н.С. Численные методы - 7-е / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2011. - 636 с.

36. Беклемишев, Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры -5-е, переработ. / Д. В. Беклемишев. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984. - 320 с.

37. Вабищев, П.Н. Адаптивные сетки составного типа в задачах математической физики / П.Н. Вабищев. // Вычисл. матем. и матем. физ.. - 1989. -№29.

38. Василевский, Ю.В. Адаптивный алгоритм построения квазиоптимальных сеток / Ю.В. Василевский, К.Н. Липников. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ.. - 1999. - №39. - С.1532-1551.

39. Василевский, Ю.В. Параллельные технологии решения краевых задач: Дис. докт. физ.-мат. наук: 01.01.07 / Василевский Юрий Викторович. - Москва, 2004.

40. Вержбицкий, В.М. Основы численных методов: Учебник для вузов - 3-е, стер. / В. М. Вержбицкий. - М.: Высшая школа, 2009. - 840 с.

41. Воеводин, В.В. Параллельные вычисления / В. В. Воеводин, Вл. В. Воеводин. - СПб.: БХВ-Петербург, 2002. - 368 с.

42. Годунов, С.К. Построение сеток в сложных областях при помощи квазиконформных отображений / С.К. Годунов, Е.И. Роменский, Г.А. Чумаков. // Труды ИМ СО РАН, Новосибирск: Наука. - 1990. - №18. - С.75-84.

43. Данчин, И.А. Влияние отклонений формы опорных поверхностей гидро-статодинамических подшипников на динамические характеристики роторных систем: Дис. канд. техн. наук: 01.02.06 / Данчин Игорь Анатольевич. -М., 2007. - 160 с.

44. Дарьин, Н.А. Об одном подходе к построению адаптивных сеток для нестационарных задач / Н.А. Дарьин, В.И. Мажукин. // Моделирование в механ. Новосибирск : ВЦ ИТПМ СО АН СССР. - 1987. - №1.

45. Задорожная, Е.А. Совершенствование и расширение области применения метода расчета динамики и гидромеханических характеристик опор скольжения с плавающими втулками: Дис. канд. техн. наук: 01.02.06 / Задорожная Елена Анатольевна. - Челябинск, 2002.

46. Земскова, Ю.Н. Применимость компактно поддерживаемых нейронных сетей для решения дифференциальных уравнений в частных производных методом конечных элементов / Ю.Н. Земскова. // Известия Пензенского государственного педагогического университета им. В.Г. Белинского. - 2009. -№17.

47. Иванов, В.К. О некорректно поставленных задачах / В.К. Иванов. // Матем. сборник. - 1963. - №61.

48. Камерон, А. Теория смазки в инженерном деле / А. Камерон. - М.: Машгиз, 1962. - 296 с.

49. Кольцов, А.Ю. Моделирование рабочих поверхностей роторно-опорных узлов с учетом макро- и микронеровностей / А.Ю. Кольцов, А.В. Просекова. // Известия «Госуниверситета - УНПК», серия «Фундаментальные проблемы техники и технологии». - 2014. - №5.

50. Кольцов, А.Ю. Определение обобщенной функции зазора при перекосе ротора в конических подшипниках жидкостного трения / А.Ю. Кольцов, А.Ю.

Корнеев. // Известия ОрелГТУ, серия «Фундаментальные проблемы техники и технологии». - 2013. - №4.

51. Константинеску, В.Н. Газовая смазка / В. Н. Константинеску. - М.: Машиностроение, 1968. - 718 с.

52. Корнаева, Е.П. Математическое моделирование напорно-сдвиговых течений вязких жидкостей в каналах переменной геометрии: Дис. канд. физ.-мат. наук: 05.13.18 / Корнаева Елена Петровна. - Старый Оскол, 2011.

53. Корнеев, А.Ю. Динамические и интегральные характеристики конических подшипников скольжения: Дис. канд. техн. наук: 01.02.06 / Корнеев Андрей Юрьевич. - Орел, 2004.

54. Коробицын, В.А. Метод базисных операторов построения дискретных моделей сплошной среды: Дис. докт. физ.-мат. наук: 05.13.18 / Коробицын Владимир Анатольевич. - Томск, 2012.

55. Коровчинский, М.В. Теоретические основы работы подшипников скольжения / М. В. Коровчинский. - М.: Машгиз, 1959. - 404 с.

56. Кохонен, Т. Самоорганизующиеся карты / Т. Кохонен. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. - 655 с.

57. Крейс, Р.И. Построение адаптирующихся сеток с помощью вариационного метода Брэкбилла-Зальцмена / Р.И. Крейс, Ф.К. Теймз, Х.А. Хасан. // Аэрокосмическая техника. - 1987. - №1.

58. Ладонкина, М.Е. Один численный алгоритм для уравнений диффузионного типа на основе многосеточных методов / М.Е. Ладонкина, О.Ю. Милюкова, В.Ф. Тишкин. // Матем. модел.. - №19. - С.71-89.

59. Ладонкина, М.Е. Численный алгоритм для уравнений диффузионного типа на основе многосеточных методов / М.Е. Ладонкина, О.Ю. Милюкова, В.Ф. Тишкин. // Матем. моделирование. - 2007. - №19. - С.71-89.

60. Ламб, Г. Гидродинамика / Г. Ламб. - М.-Л.: Гос. изд. технико-теоретической литературы, 1947. - 930 с.

61. Ландау, Л.Д. Теоретическая физика: Учеб. пособ.: Для вузов. В 10 т. - 5-е, стереот. / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 736 с.

62. Лебедев, В.И. Функциональный анализ и вычислительная математика / В. И. Лебедев. - М.: Физматлит, 2000. - 296 с.

63. Лисейкин, В.Д. Обзор методов построения структурных адаптивных сеток / В.Д. Лисейкин. // Вычисл. матем. и матем. физ.. - 1996. - №36.

64. Лисейкин, В.Д. Разностные сетки. Теория и приложения / В. Д. Лисейкин. - Новосибирск: Издательство СО РАН, 2014. - 254 с.

65. Лойцянский, Л.Г. Механика жидкости и газа: Учеб. для вузов - 7-е изд., испр. / Л. Г. Лойцянский. - М.: Дрофа, 2003. - 840 с.

66. Лысенков, А.В. Разработка метода построения адаптивной многоблочной сетки для двумерных течений на базе полной системы уравнений Эйлера /

A.В. Лысенков. // Ученые записки Цаги. - 2002. - №XXXIII.

67. Майоров, С.В. Параметрические колебания роторов на радиальных подшипниках жидкостного трения: Дис. канд. техн. наук: 01.02.06 / Майоров Сергей Владимирович. - Орел, 2009.

68. Мальцев, А.И. Алгоритмы и рекурсивные функции - 2-е / А. И. Мальцев. -М.: Наука, 1986. - 368 с.

69. Малютина, Э.Э. Разработка и применение генетических алгоритмов для анализа поведения сложных динамических систем: Дис. канд. физ.-мат. наук: 05.13.18 / Малютина Элина Эдуардовна. - М., 2001.

70. Мареев, В.В. Многосеточные методы. Введение в стандартные методы /

B. В. Мареев, Е. Н. Станкова. - М.: Издательство Санкт-Петербургского университета, 2012. - 61 с.

71. Михайлов, Н.А. Численное статистическое моделирование. Методы Монте-Карло / Н. А. Михайлов, А. В. Войтишек. - Academia, 2006. - 368 с.

72. Нечаева, О.И. Нейросетевой подход для построения адаптивных сеток / О.И. Нечаева. // Сборник научных трудов Всероссийской научно-

технической конференции Нейроинформатика-2006: Часть 2. Москва: МИФИ. - 2006. - С.172-179.

73. Нечаева, О.И. Нейросетевые модели, алгоритмы и комплексы программ для построения адаптивных сеток: Дис. канд. физ.-мат. наук: 05.13.18 / Нечаева Ольга Игоревна. - Новосибирск, 2007.

74. Нечаева, О.И. Применение самоорганизующихся карт Кохонена (80М) для построения адаптивных сеток / О.И. Нечаева. // Труды конференции молодых учёных ИВМиМГ, Новосибирск. - 2004. - С.140-147.

75. Прокопьев, В.Н. Многосеточные алгоритмы интегрирования уравнения Рейнольдса в задачах динамики сложнонагруженных подшипников скольжения / В.Н. Прокопьев, А.К. Бояршинова, Е.А. Задорожная. // Проблемы машиностроения и надежности машин. - 2005. - С.16-21.

76. Пугачев, А.О. Динамика переходных режимов работы роторов на радиальных подшипниках скольжения: Дис. канд. тех. наук: 01.02.06 / Пугачев Александр Олегович. - Орел, 2004.

77. Савин, Л.А. Теоретические основы расчета и динамика подшипников скольжения с парожидкостной смазкой: Дис. докт. техн. наук: 01.02.06 / Савин Леонид Алексеевич. - Орел, 1998.

78. Самарский, А.А. Методы решения сеточных уравнений / А. А. Самарский, Е. С. Николаев. - М.: Наука, 1978. - 592 с.

79. Самарский, А.А. О консервативных разностных схемах / А.А. Самарский. // Проблемы прикладной математики и механики. - 1971. - С.129-136.

80. Самарский, А.А. Теория разностных схем / А. А. Самарский. - М.: Наука, 1977. - 656 с.

81. Соломин, О.В. Разработка методов и инструментальных средств динамического анализа роторных систем с подшипниками жидкостного трения: Дис. докт. техн. наук: 01.02.06 / Соломин Олег Вячеславович. - Орел, 2007. -417 с.

82. Тихомиров, В.П. Инженерия фрактальных поверхностей / В. П. Тихомиров, О. А. Горленко, М. А. Измеров. - М.: Машиностроение, 2011. - 184 с.

83. Тихонов, А.Н. Методы решения некорректных задач - 2-е / А. Н. Тихонов, В. Я. Арсенин. - М.: Наука, 1979. - 288 с.

84. Федоренко, Р.П. О скорости сходимости одного итерационного процесса / Р.П. Федоренко. // ЖВМ и МФ. - 1964. - №4.

85. Флетчер, К. Вычислительные методы в динамике жидкостей: В 2-х томах: Пер. с англ. / К. Флетчер. - М.: , 1991. - 504 с.

86. Хайкин, С. Нейронные сети: полный курс - 2-е издание. : Пер. с англ. / С. Хайкин. - Издательский дом «Вильямс», 2008. - 1104 с.

87. Шайдуров, В.В. Многосеточные методы конечных элементов / В. В. Шай-дуров. - М.: Наука, 1989. - 288 с.

88. Шлихтинг, Г. Теория пограничного слоя / Г. Шлихтинг. - М.: Наука, 1974. -712 с.

ж жжжжж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж

-у-

СВИДЕТЕЛЬСТВО

Ж

ж ж ж ж ж

ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж

ж жж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж

о государственной регистрации программы для ЭВМ

№ 2012611361

Автоматизированный учебный комплекс «Основы инженерной подготовки»

Правообладатель(ли): Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Государственный университет - учебно-научно-производственный комплекс» (ФГБОУВПО «Госуниверситет - УНПК») (№)

Автор(ы): Кольцов Александр Юрьевич,

Савин Леонид Алексеевич, Поляков Роман Николаевич (1III)

Заявка №2011619362

Дата поступления 7 декабря 2011 г. Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 3 февраля 2012 г.

Руководитель Федеральной службы по интеллектуальной собственности

Б.П. Симонов

Ж

ж ж

ж

ж ж ж ж

»жжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжж^

ГО€ШЙ€ЕАЖ ФВДРРАЩШШ

ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж

ж ж ж

СВИДЕТЕЛЬСТВО 5

о государственной регистрации программы для ЭВМ Ж

Ж

№ 2013610844 *

Программа расчета сдвигового течения неньютоновской среды в зазоре между соосными цилиндрами

Правообладатель(ли): Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Государственный университет - учебно-научно-производственный комплекс» (ФГБОУВПО «Госуниверситет - УНПК») (Ш)

Автор(ы): Корнаев Алексей Валерьевич,

Савин Леонид Алексеевич, Корнаева Елена Петровна,

Антонов Павел Геннадьевич, Кольцов Александр Юрьевич (ВИ)

Заявка №2012619810

Дата поступления 13 ноября 2012 г. Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ

ЯШж 9 января 2013 г.

Руководитель Федеральной службы по интеллектуальной собственности

Б.П. Симонов

ЖЖЖЖЖЖЖЖЖЖЖЖЖЖЖЖЖЖ<Й^

ж ж ж ж

ж ж ж ж ж

ж жж ж ж

ртешйеж Аж федшрмцшш

ж ж ж ж ж ж

ж жж ж ж ж

СВИДЕТЕЛЬСТВО

о государственной регистрации программы для ЭВМ

№ 2015610098

Библиотека базовых матричных структур на языке Haskell

Правообладатель: Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Государственныйуниверситет -учебно-научно-производственный комплекс» (ФГБОУ ВПО «Госуниверситет - УН ПК») (К II)

Автор: Кольцов Александр Юрьевич (RU)

Заявка № 2014661298

Дата поступления 06 ноября 2014 г.

Дата государственной регистрации

в Реестре программ для ЭВМ 12 января 2015 г.

Врио руководителя Федеральной службы по интеллектуальной собственности

Л. Л. Кирий

ш ш ш т ш ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж

жжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжж

ШООТЙОШИ ФВДШРАЩШШ

ж ж ж ж ж ж

ж ж ж

ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж

жжжжжж ж ж ж ж ж ж ж

СВИДЕТЕЛЬСТВО

о государственной регистрации программы для ЭВМ

№ 2015610425

Программа расчета поля давлений в цилиндрическом гидродинамическом подшипнике с использованием метода конечных разностей со статистически оптимизированной

расчетной сеткой

Правообладатель: Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Государственный университет -учебно-научно-производственный комплекс» (ФГБОУ ВПО «Госуниверситет - УНПК») (Яи)

Автор: Кольцов Александр Юрьевич (Я11)

Заявка № 2014661462

Дата поступления 12 Ноября 2014 Г.

Дата государственной регистрации

в Реестре программ для ЭВМ 12 ЯНварЯ 2015 г.

Врио руководителя Федеральной службы по интеллектуальной собственности

Л. Л. Кирий

Ж

ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж

»жжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжж

УТВЕРЖДАЮ

'^о учебной работе

д.-экон. наук, доц.

УШМ. Зомитева Шщбря 2015 г.

АКТ

об использовании научных положен;

кандидатской диссертации Кольцова Александра Юрьевича на тему: «Адаптивный подход к увеличению точности вычислительных моделей гидродинамических опор роторов» в учебном процессе ФГБОУ ВО «ПГУ»

Комиссия в составе начальника учебного управления, канд. экон. наук, Н.С. Лаушкиной, декана факультета новых технологий и автоматизации производства, д-ра техн. наук, проф. A.B. Коробко, заведующего кафедрой «Мехатроника и международный инжиниринг», д-ра техн. наук, проф. Л.А. Савина составила настоящий акт в том, что научные положения и результаты диссертационной работы:

- математическая модель системы «ротор - опора скольжения» с учетом перекоса ротора и отклонениями формы рабочих поверхностей от идеальных, а также программная реализация данной модели;

- метод количественной оценки степени требуемого сгущения и разрежения расчетных сеток в методах конечных разностей и конечных элементов;

- алгоритм построения адаптивных конечно-разностных, конечно-элементных и радиально-базисных приближенных решений краевых задач для уравнений математической физики,

реализованы в учебном процессе на кафедре «Мехатроника и международный инжиниринг» при выполнении курсовых проектов, лабораторных, практических и выпускных квалификационных работ студентами, обучающимися в бакалавриате и магистратуре по направлениям 15.03.06 "Мехатроника и робототехника", 15.04.06 "Мехатроника и робототехника".

Начальник учебного управления канд. экон. наук

Н.С. Лаушкина

Декан факультета новых технологий и автоматизации производства д-р техн. наук, проф.

Заведующий кафедрой

«Мехатроника и международный инжиниринг» д-р техн. наук, проф.

УТВЕРЖДАЮ Директор ООО ЦКТ «Сигма»

¿/г—ё^, P.M. Шахбанов «¿¿_» < 2015 г.

АКТ

научно-технической комиссии о реализации научных результатов

кандидатской диссертации Кольцова Александра Юрьевича на тему: «Адаптивный подход к увеличению точности вычислительных моделей гидродинамических опор роторов»

Научно-техническая комиссия в составе директора P.M. Шахбанов и ведущего программиста Апалькова А.Г. составили настоящий акт в том, что научные результаты диссертационной работы:

- алгоритм построения структурной расчетной сетки, адаптирующейся к особенностям решаемой краевой задачи методами конечных разностей и конечных элементов;

- адаптивная конечно-разностная модель гидродинамической опоры роторов,

приняты к практической реализации на предприятии и будут использованы при разработке программного обеспечения для конечно-элементного анализа в области машиностроения и строительства в соответствии с тематическим планом развития предприятия.

Алгоритм генерации адаптивной расчетной сетки позволяет добиться существенного увеличения точности при конечно-элементном и конечно-разностном моделировании гидромеханических систем и получать более адекватные значения их рабочих характеристик без необходимости наращивания вычислительных мощностей.

Директор

Ведущий программист

P.M. Шахбанов А.Г. Апальков