Алгоритмы для численной оценки затухания сейсмических волн в трещиновато-пористых флюидонасыщенных средах в зависимости от связности трещин с использованием конечно-разностной аппроксимации уравнений Био в динамической постановке тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Новиков Михаил Александрович

• Новиков Михаил Александрович
• кандидат наук
• 2023

Оглавление диссертации кандидат наук Новиков Михаил Александрович

Введение

Глава 1. Разработка алгоритма построения дискретной системы трещин с заданной длиной перколяции

1.1 Аналитический обзор известных современных решений, их достоинства и недостатки

1.2 Постановка задачи построения дискретной системы трещин

1.3 Использование метода имитации отжига для построения дискретной системы трещин с заданной длиной перколяции

1.4 Верификация алгоритма построения дискретной системы трещин

с заданной длиной перколяции

Глава 2. Разработка алгоритма численной оценки затухания

сейсмических волн в пористых флюидонасыщенных средах

2.1 Аналитический обзор известных решений, их достоинства и недостатки

2.2 Постановка задачи

2.2.1 Описание математической модели распространения сейсмических волн

в анизотропной пороупругой флюидонасыщенной среде с использованием системы уравнений Био

2.2.2 Описание модификации системы уравнений Био

в идеально согласованных слоях

2.2.3 Описание расчетной области для численного моделирования распространения волны и постановка численного эксперимента

2.3 Конечно-разностная аппроксимация системы уравнений Био

2.4 Оценка затухания сейсмической волны по результатам численного моделирования

2.5 Верификация алгоритма численной оценки затухания сейсмических волн в пористых флюидонысыщенных средах

2.6 Численная оценка затухания сейсмических волн под влиянием связности трещин в пористых флюидонасыщенных средах с использованием разработанного алгоритма

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Алгоритмы для численной оценки затухания сейсмических волн в трещиновато-пористых флюидонасыщенных средах в зависимости от связности трещин с использованием конечно-разностной аппроксимации уравнений Био в динамической постановке»

Введение

Объект исследования - конечно-разностный метод численного решения системы уравнений Био в динамической постановке на сдвинутых сетках, метод имитации отжига, метод деконволюции сигналов на предмет их использования при разработке алгоритмов для оценки затухания сейсмических волн для определения транспортных свойств трещиноватых формаций.

Актуальность. Современные вычислительные системы, обладая высокой производительностью и параллельной архитектурой, делают возможным проведение масштабных численных экспериментов, актуальность которых только растет практически во всех научных исследованиях и промышленных отраслях, в частности, в области изучения сейсмических процессов в глубинных слоях Земли и при решении практических задач промысловой геофизики. Поскольку реальная геологическая среда является гетерогенной, зачастую высокопористой и флюидонасыщенной и содержит системы связанных трещин, то геологические объекты требуют учета особенностей их мезо-и даже микроструктуры, однако до сих пор, как правило, описываются в рамках упругих моделей среды. Поэтому требуется развитие известных и создание новых способов обработки и интерпретации данных путем использования более детальных моделей сред с учетом указанных особенностей. При этом в современных исследованиях активно используется численное моделирование

волновых процессов в геологической среде, распространения сейсмических волн. Таким образом, возникает необходимость разработки новых алгоритмов, учитывающих как можно более детальную структуру геологической среды, и эффективного специализированного программного обеспечения. В области вычислительной физики горных пород в последнее время актуально направление численного исследования диффузионных эффектов, которые возникают при прохождении сейсмических волн в трещиновато-пористых средах. В частности, при распространении сейсмических и акустических волн в трещиноватых средах, где трещины заполнены высокопористым флюидо-насыщенным материалом, возникают потоки, известные у специалистов как "индуцированные волной потоки флюидов" ("wave induced fluid flow", "WIFF"-в англоязычной литературе) [Muller, Gurevich, Lebedev, 2010]. Порожденные проходящей волной локальные перепады давления индуцируют переток флюида из области с повышенным давлением в область с пониженным давлением. Такие потоки флюида, в свою очередь, приводят к диссипации сейсмической энергии, затуханию сейсмической волны. Специалистами принято разделять мезомасштабные потоки в трещиноватой среде на два типа: потоки флюида между материалом-наполнителем трещин и вмещающей средой ("fracture-to-background WIFF", "FB-WIFF" - в англоязычной литературе) и флюидопо-токи между связанными трещинами ("fracture-to-fracture WIFF ", "FF-WIFF" - в англоязычной литературе). Причем наибольшая интенсивность потоков обеспечивается на разных характерных частотах и определяется разными факторами. Первый тип флюидопотоков преобладает на низких частотах, а его интенсивность определяется разницей между транспортными свойствами наполнителя трещин и вмещающей породы. В свою очередь, второй тип флю-

идопотоков оказывает наибольшее влияние на затухание при распространении высокочастотных сейсмических сигналов (с частотой вплоть до десятков кГц), а интенсивность определяется преимущественно ориентацией, геометрической структурой и связностью системы трещин. Таким образом, проявление потоков флюида в регистрируемых полях по таким характеристикам как частотно-зависимая анизотропия и поглощение используется для оценки транспортных свойств трещиноватых коллекторов углеводородов.

Поскольку транспортные свойства трещиноватых коллекторов главным образом определяются наличием протяженных систем связанных трещин, то для определения достоверных зависимостей между структурой трещинова-тости и сейсмическим затуханием необходимо рассмотрение сложных систем трещин с глобальной связностью. Для построения численных моделей системы трещин специалистами используется метод дискретной системы трещин ("discrete fracture network ", "DFN" - в англоязычной литературе) [Tran, 2007; Hunziker et al., 2018; Lei, Sornette, 2020]. Однако известные алгоритмы не позволяют заранее определять степень связности трещин в системе, что необходимо для более детального определения зависимости затухания сейсмических волн от связности трещин. Поэтому необходимо развитие алгоритмической составляющей методов построения дискретной системы трещин со связанными трещинами путем явного задания характеристик, обеспечивающих глобальную связность трещин во всей рассматриваемой модели трещиноватой среды.

В настоящее время исследования индуцированных сейсмической волной потоков флюида проводятся либо на теоретическом уровне, либо численными экспериментами с использованием системы уравнений модели Био пороупру-

гой флюидозаполненной среды в квазистатической постановке [Kong et al., 2013; Qi et al., 2014; Kuteynikova et al., 2014; Hunziker et al., 2018] и в динамической постановке [Masson, Pride, Nihei, 2006; Masson, Pride, 2007; Masson, Pride, 2010], однако численные эксперименты выполняются в случае изотропной среды. Численное решение уравнений Био в квазистатической постановке по сравнению с полноволновым численным моделированием требует меньше вычислительных ресурсов и позволяет получать оценки частотно-зависимого затухания. Однако такой подход, в отличие от численного решения уравнений Био в динамической постановке, не позволяет учитывать волновую природу процесса (взаимодействие волн с флюидозаполенными трещинами), в частности, не принимаются во внимание эффекты дифракции и рассеяния энергии на системе трещин, что значительно снижает точность оценки в высокочастотном диапазоне. Кроме того, физико-химические процессы (частичное растворение, образование осадков) в перколирующих трещинах приводят к значительной анизотропии свойств материала-наполнителя трещин. Поэтому необходима разработка новых алгоритмов численной оценки затухания на основе полноволнового моделирования с использованием численных моделей сред, учитывающего их микромасштабную анизотропию.

Цель исследования - развитие программно-алгоритмической составляющей методов оценки затухания сейсмических волн в трещиноватых средах за счет использования при разработке новых алгоритмов метода имитации отжига для построения дискретной системы трещин, метода конечных разностей и метода деконволюции сигналов для оценки затухания с учетом пористости, флюидонасыщенности, наличия систем связанных трещин, микромасштабной анизотропии.

Научные задачи:

1. Разработать и реализовать в виде программного продукта алгоритм построения дискретной системы трещин с заданной длиной перколяции для построения численной модели трещиноватой среды с глобальной связностью трещин и анализа влияния глобальной связности трещин на затухание сейсмической волны при прохождении в среде с системой трещин.

2. Разработать и реализовать в виде программного продукта модульной архитектуры алгоритм численной оценки затухания сейсмических волн в неоднородных анизотропных пористых флюидонасыщенных средах для определения зависимости между транспортными свойствами трещиноватых сред и сейсмическим затуханием в них путем численной оценки частотно-зависимого параметра величины, обратной добротности.

Теория, методы исследования, программное обеспечение. При

разработке алгоритма построения дискретных систем трещин, отвечающих установленным условиям на распределение и связность трещин в модели среды, используются элементы теории геостатистического моделирования. В частности, применяется метод имитации отжига - метод поиска глобального экстремума целевого функционала. Адаптация метода заключается во вклю-чени в целевой функционал параметра вероятности протекания флюида (пер-коляции) по связанным трещинам на заданное расстояние. Кроме того, для формирования целевого функционала также используется оценка фрактальной размерности множества центров трещин - статистического параметра для анализа равномерности распределения центров трещин.

При решении задачи разработки алгоритма численной оценки затуха-

ния сейсмических волн в пористых флюидонасыщенных средах используется теория пороупругости Био, а именно рассматривается система уравнений Био в динамической постановке, позволяющая с высокой точностью описывать сейсмические волновые процессы в трещиновато-пористой флюидонасыщен-ной среде с учетом микромасштабной анизотропии транспортных свойств. Для численного моделирования волновых сейсмических полей используется метод конечных разностей. В частности, для аппроксимации системы уравнений Био используется явная конечно-разностная схема на разнесенных сетках. Используемая схема позволяет эффективно получать решение задачи распространения сейсмической волны, которое затем используется для численной оценки затухания.

Для численной оценки затухания сейсмической волны выполняется оценка параметра добротности в зависимости от частоты волны. Для оценки величины, обратной добротности, используется метод деконволюции (обратной свертки) сигналов, основанный на преобразовании Фурье сигналов, с линий приемников до и после прохождения волны через рассматриваемую среду по результатам численного моделирования распространения волны.

При программной реализации алгоритма построения дискретных систем трещин и параллельной программной реализации алгоритма численного моделирования распространения сейсмической волны в пористых флюи-донасыщенных средах на языке C++ используется интегрированная среда разработки Visual Studio с установленным пакетом CUDA Toolkit для эффективного выполнения расчетов параллельно в наборе узлов расчетной сетки с применением графических сопроцессоров. Для программной реализации модуля алгоритма численной оценки сейсмического затухания на основе де-

конволюции зарегистрированных синтетических сигналов используется пакет прикладных программ МЛТЬЛБ и соответствующий язык программирования.

Верификация разработанного алгоритма численной оценки сейсмического затухания проводится сравнением с известными аналитическими оценками, которые можно построить в явном виде. В частности, выполнена верификация алгоритма сопоставлением оценок затухания волны в однородной аниизотропной среде, полученных с использованием разработанного алгоритма и аналитического решения дисперсионного уравнения для системы уравнений Био. Верификация также выполнена сопоставлением оценок затухания волны в периодической слоистой модели среды с использованием известной аналитической оценки затухания в ней. Кроме того, для верификации оценки затухания сопоставлением полученных с использованием разработанного алгоритма результатов с результатами, полученными с использованием известного алгоритма, основанного на системе уравнений Био в квазистатической постановке, применяется также численная оценка затухания, вызванного рассеянием сейсмической волны в трещиноватой среде. Для ее получения применяются элементы известной теории однократного рассеяния волн. Более конкретно, для оценки затухания, вызванного рассеянием, выполняется численное интегрирование эффективного поперечника рассеяния плоской волны.

Защищаемые научные результаты:

1. Алгоритм построения дискретной системы трещин с заданной длиной перколяции для численного моделирования трещиноватой среды с глобальной связностью трещин и определения её влияния на затухание сей-

смической волны.

2. Алгоритм численной оценки затухания сейсмических волн в неоднородных анизотропных трещиновато-пористых флюидонасыщенных средах в зависимости от их транспортных свойств путем численной оценки частотно-зависимого параметра величины, обратной добротности.

Научная новизна результатов исследования и личный вклад.

1. Разработан и реализован в виде научно-исследовательской версии программного продукта (в соавторстве с Д. Р. Колюхиным и В. В. Лисицей) алгоритм построения дискретной системы трещин с заданной длиной перколяции. Алгоритм разработан с использованием метода имитации отжига и его адаптации путем определения целевого функционала через параметр вероятности существования непрерывного пути по цепочке связанных трещин (перколяции) и параметр фрактальной размерности для обеспечения равномерного распределения трещин в расчетной области. С использованием разработанного алгоритма построено 60 моделей трещиновато-пористых флюидонасыщенных сред - по 10 реализаций для шести разных степеней связности, от систем практически непересекающихся трещин до систем с глобальной связностью, в которых пересекающиеся трещины формируют протяженные цепочки и обеспечивают среднюю перколяцию в среде на заданное расстояние; по результатам численной оценки геометрических характеристик трещиноватых сред (средних длины цепочки трещин, расстояния между концами, кривизны извилистости) в зависимости от ориентации цепочки трещин для построенных дискретных систем трещин показано структурное различие построенных

систем с разной средней длиной перколяции.

2. Разработан и реализован в виде научно-исследовательской версии программного продукта (в соавторстве с Д. М. Вишневским и В. В. Лисицей), ориентированного на использование графических сопроцессоров, алгоритм численной оценки затухания сейсмической волны в анизотропной трещиновато-пористой флюидонасыщенной среде. Алгоритм разработан на основе явной конечно-разностной схемы на сдвинутых сетках, аппроксимирующей систему уравнений Био для неоднородной анизотропной пористой флюидонасыщенной среды в динамической постановке. Для численной оценки частотно-зависимого затухания по результатам численных экспериментов по распространению сейсмической волны в пороупругой флюидонасыщенной среде используется метод деконволюции синтетических сигналов, зарегистрированных на линиях приемников. По результатам лично выполненных с использованием разработанного алгоритма численных экспериментов по распространению в трещиновато-пористой флюидонасыщенной среде получены полные волновые поля в среде с системой трещин, демонстрирующие перепады давления на границах раздела сред. По результатам лично выполненных 100 численных экспериментов по распространению сейсмической волны в средах с непересекающимися и пересекающимися трещинами построены более точные на высоких частотах численные оценки зависимости затухания сейсмической волны (вызванного как индуцированными волной потоками флюидов, так и рассеянием волны на системе трещин), чем получаемые по результатам использования уравнений Био в квазистатической постановке, Кроме того,

по результатам лично выполненных 600 численных экспериментов по распространению сейсмической в трещиноватых средах с разной степенью связности трещин показан рост затухания волны с ростом длины пер-коляции на всем рассматриваемом частотном диапазоне от 1 до 10 кГц, Наконец, по результатам лично выполненных 1800 численных экспериментов в трещиноватых средах с разным наполнителем трещин показано проявление микромасштабной анизотропии параметров материала в трещинах (проницаемости, извилистости порового пространства, упругих модулей флюидонасыщенной породы) в оценках частотно-зависимого затухания в трещиноватых средах с высокой степенью связности трещин.

Теоретическая значимость работы.

1. Используемый в алгоритме построения дискретных систем трещин метод имитации отжига с целевой функцией, в которую входит вероятность перколяции, позволяет явно задавать среднюю длину перколяции в моделях и тем самым дает возможность более точно определять зависимость сейсмического затухания от степени связности трещин, что важно для повышения точности интерпретации данных сейсморазведки.

2. Разработанный алгоритм численной оценки затухания дает возможность получить более точную оценку затухания по сравнению с распространенным подходом, использующим квазистатическое нагружение трещиноватого образца, поскольку учитывает как перепады давления флюида и соответствующие флюидопотоки (на границах между вмещающей средой и материалом-наполнителем трещин, между связанными трещинами), так и динамические эффекты, в том числе рассеяние. Метод деконволюции

сигналов позволяет восстанавливать как частотно-зависимое затухание, так и фазовую скорость волны. Программная реализация алгоритма с использованием параллельных вычислений на графических сопроцессорах позволяет существенно сократить время вычисления волновых полей, что дает возможность выполнять численные эксперименты как для больших расчетных областей, так и высоко детализированных сеточных моделей среды, учитывающих сложную структуру трещиноватости.

Апробация и реализация результатов исследования. Научная задача, решаемая в рамках исследования, поддерживалась:

• Российским фондом фундаментальных исследований:

— 2018-2020, проект № 18-05-00031 "сейсмический мониторинг коллективных проявлений изменений микромасштабной структуры горных пород, вызванных геохимическими процессам" , руководитель — Лисица В. В.,

— 2019-2021, проект № 19-01-00347 "Цифровой керн: методология построения разномасштабной модели горных пород путём проведения виртуальных физических экспериментов" , руководитель — Решетова Г. В.

• Российским научным фондом: 2019-2022, проект № 19-77-20004 "Проявление связности систем трещин в волновых полях - численные исследования процессов распространения сейсмических и акустических волн в флюидонасыщенных трещиновато-пористых средах" , руководитель — Роменский Е. И.,

• Советом по грантам Президента Российской Федерации для государствен-

ной поддержки молодых российских ученых и по государственной поддержке ведущих научных школ Российской Федерации: 2019-2020, проект № МД-20.2019.5 "Проявление флюидонасыщения трещиновато-пористых сред в сейсмических полях", руководитель — В. В. Лисица.

Всего по теме диссертации соискателем в соавторстве опубликовано 30 работ, в том числе 4 статьи в научных изданиях из списка ВАК, из которых одна индексируется в базах данных Web of Science и Scopus. Результаты исследования обсуждались на 24 международных и всероссийских конференциях, в их числе

• Ежегодная конференция и выставка общества геофизиков

(SEG Annual Meeting), Хьюстон, США, 2017; Анахейм, США, 2018.

• Конференция и выставка Европейского общества геоученых и инженеров (EAGE Conference and Exhibition), Копенгаген, Дания, 2018; Лондон, Великобритания, 2019.

• Международная конференция по теории и применению конечно-разностных методов (FDM 2018), Лозенец, Болгария, 2018.

• Международная конференция Европейского общества геоученых

и инженеров (EAGE. Saint Petersburg), Санкт-Петербург, 2018, 2020.

Из них 15 докладов сделано лично.

Благодарности. Диссертация выполнена в лаборатории вычислительной физики горных пород Института нефтегазовой геологии и геофизики СО РАН.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю д.ф.-м.н. В.В. Лисице за предложенное интересное и перспективное направление исследований, всестороннюю помощь, а также за профессиональные рекомендации при разработке алгоритмов и ощутимые поддержку и внимание при написании диссертации.

Особую благодарность автор выражает коллегам из научных институтов СО РАН с.н.с. Д.М. Вишневскому за профессиональную помощь при программной реализации модуля разработанного алгоритма для численного моделирования распространения сейсмической волны в пороупругой флюи-донасыщенной среде, к.ф.-м.н. Д.Р. Колюхину, д.ф.-м.н. Я.В. Базайкину за компетентность и профессионализм при совместном обсуждении и решении задач из области геостатистического моделирования при разработке алгоритма построения дискретной системы трещин и задач вычислительной геометрии и математической статистики для оценки структуры полученных систем.

Автор благодарит к.ф.-м.н. Т.С. Хачкову за предоставление эффективных транспортных и упругих параметров по результатам численного анализа цифрового образца известняка, без которых невозможно было провести набор численных экспериментов для оценки затухания волны в трещиноватой среде с реалистичной микромасштабной анизотропией, а также иностранных коллег Е. Каспари, Н. Барбоса, Б.Кинтал, Д.Г. Рубино и К.Холлигера за предоставленные результаты численной оценки затухания на основе моделирования квазистатического нагружения образца пороупругой флюидонасы-щенной среды для верификации разработанного алгоритма численой оценки затухания сопоставлением оценок затухания, а также за плодотворную работу над совместной публикацией.

Глубокую признательность автор выражает своим коллегам научным сотрудникам из лаборатории вычислительной физики горных пород к.ф.-м.н. Т.С. Хачковой, к.ф.-м.н. В.И. Костину, к.ф.-м.н. С.А. Соловьеву, н.с. Д.И. Прохорову, сотрудникам лаборатории многоволновых сейсмических исследований д.ф.-м.н. М.И. Протасову, к.ф.-м.н. Д.А. Неклюдову, к.ф.-м.н. К.Г. Гадыльшину, н.с. В.В. Карстену за важные замечания и плодотворные обсуждения в рамках темы диссертации, помощь при представлении работы.

Отдельную благодарность автор выражает В.И. Самойловой за постоянную всестороннюю помощь при подготовке текста диссертации и ценные методические рекомендации.

Глава 1

Разработка алгоритма построения дискретной системы трещин с заданной длиной перколяции

1.1 Аналитический обзор

известных современных решений, разработок, их достоинства и недостатки

Для оценки затухания сейсмических волн вследствие флюидопотоков в трещиноватых средах необходимо построение численных моделей этих трещиноватых сред. Как известно, в основе построения численных моделей трещиноватой среды лежит построение дискретной системы трещин [Montemango, Pyrak-Nolte, 1999; Xu, Dowd, 2010; Lei, Latham, Tsang, 2017]. Существует множество подходов к построению дискретных систем трещин: непосредственное получение структуры системы трещин с обнажений, разрезов и из скважин; статистическое моделирование; использование геомеханических моделей с описанием роста трещин [Lei, Latham, Tsang, 2017]. Однако наиболее распространенным является стохастический подход, при котором положение, ориентация, длина и раскрытость трещин считаются случайными дискретными величинами, а их распределение определяется по характеристикам образ-

цов породы [Deng, Fitts, Peters, 2016; Grechishnikova, 2017]. При этом связность в алгоритмах построения дискретной системы трещин в большинстве исследований не задается в качестве входных параметров, а оценивается в уже построенных моделях трещиноватой среды [Robinson, 1983; Berkowitz, 1995; Xu et al., 2006]. Этот подход не позволяет контролировать глобальную связность дискретной системы трещин во всей расчетной области, используемой при численном моделировании для оценки затухания сейсмических волн, и поэтому использование полученной таким способом системы трещин недостаточно для определения зависимости частотно-зависимого затухания сейсмических волн от связности трещин в среде.

Для определения зависимости затухания и дисперсии сейсмических волн от связности трещин в простых системах трещин либо выполняется условие попарного пересечения [Caspari et al., 2019], либо задается среднее число пересечений [Rubino et al., 2017] взаимно перпендикулярных трещин фиксированной длины. Очевидно, такой подход обеспечивает лишь локальную связность трещин, но не обеспечивает получение протяженных перколирующих кластеров [Тарасевич, 2002], обеспечивающих основные флюидопотоки в трещиноватой среде.

Более сложные и реалистичные дискретные системы трещин строятся с использованием степенного закона распределения длин трещин при условии равномерного распределения положений и ориентаций (угла наклона относительно координатной оси) трещин [Hunziker et al., 2018; Lei, Sornette, 2020]. Однако соотношение параметров распределения длин и связности трещин при этом подходе устанавливается лишь на качественном уровне, позволяя делать выводы о зависимости связности трещин только от их локальных

пересечений [Hunziker et al., 2018]. Вместе с заданием распределения длин, ориентаций и прочих характеристик в алгоритмах построения дискретных систем трещин применяется метод имитации отжига, метод поиска глобального минимума функции введением случайного возмущения в дискретную систему трещин и сохранения этого возмущения при уменьшении значения минимизируемой (целевой) функции [Tran, 2007]. Таким образом, для получения глобальной связности системы трещин при использовании метода имитации отжига в целевую функцию необходимо включить параметр, связанный с длиной перколяции. При этом под длиной перколяции понимается длина непрерывного пути протекания флюида по системе связанных трещин.

1.2 Постановка задачи построения дискретной системы трещин

Для оценки влияния связности трещин на затухание сейсмических волн по результатам численных экспериментов по распространению волны в трещиноватой пористой флюидонасыщенной среде вначале строится дискретная система связанных между собой трещин, которые образуют протяженные цепочки для обеспечения движения флюида. Для построения дискретной системы трещин с высокой степенью связности, задаваемой длиной перколя-ции, т. е. длиной цепочки связанных трещин [Novikov, Lisitsa, Bazaikin, 2020], используется метод имитации отжига [Tran, 2007]. Метод имитации отжига итерационный, и в качестве исходной задается дискретная система трещин, в которой с помощью последовательного внесения случайных малых возмущений этой системы связность трещин будет увеличиваться. Исходная си-

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Новиков Михаил Александрович, 2023 год

Литература

1. Ковтун А. А. Об уравнениях Био и их модификациях / А. А. Ковтун // Ученые записки СПбГУ. - 2011. - №. 444. - С. 3-26.

2. Короленко П. В. Новационные методы анализа стохастических процессов и структур в оптике. Фрактальные и мультифрактальные методы, вейвлет-преобразования / П. В. Короленко, М. С. Маганова, А. В. Мес-нянкин.-М. : МГУ, 2004.- 82 с.

3. Местецкий Л. М. Непрерывный скелет бинарного растрового изображения // Труды Международной конференции "Графикон-98"(Москва, 7-11 сентября 1998 г.)-Москва, 1998.- С. 71-78.

4. Новиков М. А. Численное моделирование волновых процессов в трещиновато-пористых флюидозаполненных средах / М. А. Новиков, В. В. Лисица, А. А. Козяев // Вычислительные методы и программирование. - 2018. - Т. 19. - С. 130-149.

5. Моделирование волновых процессов в трещиновато-пористых средах: влияние связности трещин на поглощение сейсмической энергии / М. А. Новиков [и др.] // Вычислительные методы и программирование. -2018.- Т. 19.- С. 235-252.

6. Новиков М. А. Регсо1а1^_ЭРК_81шЛпп: Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ / М. А. Новиков, В. В. Лисица, Д. Р. Колюхин // № 2021665763, заявка № 2021664756 от 23.09.2021, зарегистрировано 01.10.2021, ИИ

7. Вишневский Д. М. Бю^Ркпе'Мауе: Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ / Д. М. Вишневский, М. А. Новиков, В. В. Лисица // № 2020612632, заявка № 2020611392 от 10.02.2020, зарегистрировано 27.02.2020, ИИ

8. Роменский Е. И. Термодинамически согласованная система законов сохранения течения сжимаемой жидкости в пористой упругой среде / Е. И. Роменский // Сибирский журнал индустриальной математики. — 2011.- Т. 14, №. 4. — С. 86-97.

9. Решетова Г.В. Оценка упругих свойств образцов горной породы по цифровым изображениям керна // Интерэкспо ГЕО-Сибирь: XIV Международный научный конгресс (г. Новосибирск, 23-27 апреля 2018 г.): Меж-дунар. науч. конф. "Недропользование. Горное дело. Направления и технологии поиска, разведки и разработки месторождений полезных ископаемых. Экономика. Геоэкология": Сборник материалов в 6 т.— Новосибирск, 2018. — 2018. — Т. 4. — С. 143-151.

10. Рытов С. М. Введение в статистическую радиофизику. Часть 2. Случайные поля / С. М. Рытов, Ю. А. Кравцов, В. И. Татарский. — М. : Наука, 1978. — 456 с.

11. Тарасевич Ю. Ю. Перколяция: теория, приложения, алгоритмы: Учебное пособие / Ю. Ю. Тарасевич. -М. : Едиториал УРСС, 2002.- 112 с.

12. Тимошенко С. П. Теория упругости / С. П. Тимошенко, Дж. Гудьер- М. : Наука 1979.- 560 с.

13. Уайт Д. Е. Распространение сейсмических волн в слоистых средах, насыщенных жидкостью и газом / Д. Е. Уайт, Н. Г. Михайлова, Ф. М. Ляхо-вицкий // Физика Земли. — 1975. — №. 10. — C. 44-52.

14. Alkhimenkov Y. Numerical study of dispersion and attenuation caused by squirt flow // SEG Technical Program Expanded Abstracts (San Antonio, 15-20 September 2019).-San Antonio, 2019.- P. 3563-3567.

15. Frequency-dependent attenuation and dispersion caused by squirt flow: Three-dimensional numerical study / Y. Alkhimenkov [et al.] // Geophysics. -2020. - V. 85, No. 3. - P. MR129-MR145.

16. Ahmad Q. A. Computation of wave attenuation and dispersion, by using quasi-static finite difference modeling method in frequency domain / Q. A. Ahmad, G. Wu, W. Jianlu // Annals of Geophysics. - 2017. - V. 60. - P. 1-11.

17. Aldridge D. F., Symons N. P., Bartel L. C. Poroelastic wave propagation with a velocity-stress-pressure algorithm // Proceedings of the Third International Conference on Poromechanics (Norman, Oklahoma, 24-27 May 2005).-Norman, 2005- P. 253-258.

18. Berenger J.-P. A perfectly matched layer for the absorption of electromagnetic waves / J.-P. Berenger // Journal of Computational Physics. — 1994. — V. 114, No. 2. — P. 185-200.

19. Computational Geometry: Algorithms and Applications / M. de Berg [et al.]. — Heidelberg: Springer Berlin 2008. — 386 p.

20. Berkowitz B. Analysis of fracture network connectivity using percolation theory / B. Berkowitz // Mathematical Geology. — 1995.— V. 27, No. 4.— P. 467-483.

21. Berryman J. G. Bulk elastic wave propagation in partially saturated porous solids / J. G. Berryman, L. Thigpen, R. C. Y. Chin // Journal of the Acoustical Society of America. — 1988. — V. 84, No. 1. — P. 360-373.

22. Biot M. A. General theory for three-dimensional consolidation / M. A. Biot // Journal of Applied Physics. — 1941. — V. 12. — P. 155-164.

23. Biot M. A. Theory of propagation of elastic waves in fluid-saturated porous solid. I. low-frequency range / M. A. Biot // Journal of the Acoustical Society of America. — 1956. — V. 28. — P. 168—178.

24. Biot M. A. Theory of propagation of elastic waves in fluid-saturated porous solid. II. High Frequency Range / M. A. Biot // Journal of the Acoustical Society of America. — 1956. — V. 28. — P. 179—191.

25. Biot M. A. Mechanics of deformation and acoustic propagation in porous media / M. A. Biot // Journal of Applied Physics. — 1962. — V. 33, No. 4. — P. 1482—1498.

26. Carcione J. M. Some aspects of the physics and numerical modeling of Biot compressional waves /J. M. Carcione // Journal of Computational Acoustics. - 1995. - V. 3. - P. 261-280.

27. Wave simulation in partially frozen porous media with fractal freezing conditions / J. M Carcione [et al.] // Journal ofApplied Physics. - 2003.-V. 94. - P. 7839-7847.

28. Carcione J. M. P-wave seismic attenuation by slow-wave diffusion: Effects of inhomogeneous rock properties / J. M. Carcione, S. Picotti // Geophysics.-2006. - V. 71, No. 3. - P. O1-O8.

29. Carcione J. M. Wave Fields in Real Media: Wave Propagation in Anisotropic, Anelastic, Porous and Electromagnetic Media (2nd Edition) / J. M Carcione-Elsevier Science, 2007. - 1002 p.

30. Carcione J. M Computational poroelasticity-a review / J. M. Carcione, C. Morency, J. E. Santos // Geophysics. - 2010. - V. 75. - P. A229-A243.

31. Attenuation mechanisms in fractured fluid-saturated porous rocks: a numerical modelling study / E. Caspari [et al.] // Geophysical Prospecting. - 2019. — V. 67, No. 4.- P. 935-955.

32. Chapman M. Frequency-dependent anisotropy due to meso-scale fractures in the presence of equant porosity / M. Chapman // Geophysical Prospecting. -2003.-Vol. 51- P. 369-379.

33. Cheng A. H. D. Material coefficients of anisotropic poroelasticity / A. H. D. Cheng // International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences. — 1997. — V. 342. — P. 199-205.

34. Colino F. Application of the Perfectly Matched absorbing layer model to the linear elastodynamics problem in anisotropic heterogeneous media / F. Colino // Geophysics. — 2001. — V. 66, No. 1. — P. 294-307.

35. Dai N. Wave propagation in heterogeneous porous media: A velocity-stress, finite-difference method / N. Dai, A. Vafidis, E. Kanasewich // Geophysics. — 1995. —V. 60—P. 327-340.

36. De Basabe J. D. 20. The interior penalty discontinuous Galerkin method for elastic wave propagation: Grid dispersion / J. D. De Basabe, M. K. Ken, M. Wheeler // Geophysical Journal International. — 2008. — V. 75 — P. 8393.

37. Deng H. Quantifying fracture geometry with X-ray tomography: Technique of Iterative Local Thresholding (TILT) for 3D image segmentation / H. Deng, J. P Fitts, C. A. Peters // Computational Geosciences. — 2016.— V. 20, No. 1. — P. 231-244.

38. Discontinuous Galerkin methods for wave propagation in poroelastic media / J. de la Puente [et al.] // Geophysics. — 2008. — V. 73, No. 5. — P. T77-T97.

39. Dutta N. C. Attenuation and dispersion of compressional waves in fluid-filled porous rocks with partial gas saturation (White model) - Part 1: Biot theory, Part II: Results. / N. C. Dutta, H. Ode // Geophysics. — 1979.— V. 44 — P. 1777-1805.

40. Dvorkin J. Squirt Flow in Fully Saturated Rocks / J. Dvorkin, G. Mavko, A. Nur // Geophysics. - 1995.-V. 60- P. 97-107.

41. Garg S. K. Compressional waves in fluid-saturated elastic porous media / S. K. Garg, A. H. Nayfeh, A. J. Good // Journal of Applied Physics. - 1974. -V. 45- P. 1968-1974.

42. Grechishnikova A. Niobrara discrete fracture networks:from outcrop surveys to subsurface reservoir models // SEG Technical Program Expanded Abstracts (Houston, 24-29 September 2017). - Houston, 2017.- P. 3267-3271.

43. Guo J. et al. Effects of fracture intersections on seismic dispersion: theoretical predictions versus numerical simulations // 78th EAGE Conference and Exhibition (Vienna, 30 May - 2 June 2016).-Vienna, 2016.-5 p.

44. Effects of Fracture Intersections on Seismic Dispersion: Theoretical Predictions Versus Numerical Simulations / J. Guo [et al.] // Geophysical Prospecting. - 2017. - V. 65, No. 5. - P. 1264-1276.

45. Seismic dispersion and attenuation in saturated porous rocks with aligned fractures of finite thickness: Theory and numerical simulations - Part 1: P-wave perpendicular to the fracture plane / J. Guo [et al.] // Geophysics. -2018. - V. 83, No. 1. - P. WA49-WA62.

46. Seismic dispersion and attenuation in saturated porous rocks with aligned fractures of finite thickness: Theory and numerical simulations - Part 2: Frequency-dependent anisotropy / J. Guo [et al.] // Geophysics. - 2018. -V. 83, No. 1.- P. WA63-WA71.

47. Guo J. Effects of Coupling Between Wave-Induced Fluid Flow and Elastic Scattering on P-Wave Dispersion and Attenuation in Rocks With Aligned Fractures / J. Guo, B. Gurevich // Journal of Geophysical Research: Solid Earth. - 2020. - V. 125. - P. 1-23.

48. Gurevuch B. Seismic attenuation in finely layered porous rocks: Effects of fluid flow and scattering / B. Gurevich, V. B. Zyrianov, S. L. Lopatnikov // Geophysics. - 1997. - V. 62, No. 1. - P. 319-324.

49. P-wave dispersion and attenuation in fractured and porous reservoirs-poroelasticity approach / B. Gurevich [et al.] // Geophysical Prospecting. - 2009. - V. 57, No. 2. - P. 225-237.

50. A simple model for squirt-flow dispersion and attenuation in fluid-saturated granular rocks / B. Gurevich [et al.] // Geophysics. - 2010. - V. 75, No. 6. -P. N109-N120.

51. Seismic Attenuation and Stiffness Modulus Dispersion in Porous Rocks Containing Stochastic Fracture Networks / J. Hunziker [et al.] // Journal of Geophysical Research: Solid Earth. - 2018. - V. 123, No. 1. - P. 125-143.

52. Janicke R. Numerical homogenization of mesoscopic loss in poroelastic media / R. Janicke, B. Quintal, H. Steeb // European Journal of Mechanics A/Solids . - 2015. - V. 49, - P. 382-395.

53. Jianfeng Z. Quadrangle-grid velocity-stress finite difference method for poroelastic wave equations / Z. Jianfeng // Geophysical Journal International. - 1999.-V. 139, No. 1.- P. 171-182.

54. Numerical modeling and laboratory measurements of seismic attenuation in partially saturated rock / M. Kuteynikova [et al.] // Geophysics. - 2014. -V. 79, No. 2.- P. L13-L20.

55. Effect of fracture fill on seismic attenuation and dispersion in fractured porous rocks / L. Kong [et al.] // Geophysical Journal International. - 2013. -V. 195, No. 3.-P. 1679-1688.

56. Lebedev M. Carbon Geosequestration in Limestone: Pore-Scale Dissolution and Geomechanical Weakening / M. Lebedev, Y. Zhang, M. Sarmadivaleh // International Journal of Greenhouse Gas Control. - 2017. - V. 66, - P. 106119.

57. Lei Q. The use of discrete fracture networks for modelling coupled geomechanical and hydrological behaviour of fractured rocks / Q. Lei, J.-P. Latham, C.-F. Tsang // Computers and Geotechnics. - 2017.- V. 85.-P. 151-176.

58. Lei Q. Scattering Attenuation of Elastic Waves in Fractured Media / Q. Lei, D. Sornette // Journal of Geophysical Research: Solid Earth. - 2020. - P. 127.

59. Levander R. A. Fourth-Order Finite-Difference P-SV Seismograms / R. A. Levander // Geophysics. - 1988. - V. 53, No. 11. - P. 1425-1436.

60. Seismic attenuation and dispersion in poroelastic media with fractures of variable aperture distributions / S. Lissa [et al.] // Solid Earth. - 2019. — V. 10.- P. 1321-1336.

61. Liu E. Seismic Fracture Characterization: Concepts and Practical Applications / E. Liu, A. Martinez // European Association of Geoscientists and Engineers, 2012. — 280 p.

62. Martin R. An Unsplit Convolutional Perfectly Matched Layer Improved at Grazing Incidence for Seismic Wave Propagation in Poroelastic Media / R. Martin, D. Komatitsch // Geophysics. — 2008. — V. 73, No. 4. — P. T51-T61.

63. Masson Y. J. Finite difference modeling of Biot's poroelastic equations at seismic frequencies / Y. J. Masson, S. R. Pride, K. T. Nihei // Journal of Geophysical Research: Solid Earth. — 2006. — V. 111, No. B10. — P. B10305.

64. Masson Y. J. Poroelastic finite difference modeling of seismic attenuation and dispersion due to mesoscopic-scale heterogeneity / Y. J. Masson, S. R. Pride // Journal of Geophysical Research: Solid Earth. — 2007.— V. 112, No. B03. — P. 204.

65. Masson Y. J. Finite-Difference Modeling of Biot's Poroelastic Equations across All Frequencies / Y. J. Masson, S. R. Pride // Geophysics. — 2010. — V. 75, No. 2. — P. N33-N41.

66. Mavko G. The Rock Physics Handbook / G. Mavko, T. Mukerji, J. Dvorkin — Cambridge Univ. Press, New York, 2009. — 511 p.

67. Mochizuki S. Attenuation in partially saturated rocks / S. Mochizuki // Journal of Geophysical Research. — 1982. — V. 87, P. 8598-8604.

68. 3D Heterogeneous Staggered-Grid Finite-Difference Modeling of Seismic Motion with Volume Harmonic and Arithmetic Averaging of Elastic Moduli and Densities / P. Moczo [et al.] // Bulletin of the Seismological Society of America. - 2002. - V. 92, No. 8. - P. 3042-3066.

69. Montemagno C. D. Fracture network versus single fractures: measurement of fracture geometry with X-ray tomography / C. D. Montemagno, L. J. Pyrak-Nolte // Physics and Chemistry of the Earth. Part A: Solid Earth and Geodesy. - 1999. - V. 24, No. 7. - P. 575-579.

70. Morency C. Spectral-element simulations of wave propagation in porous media / C. Morency, Tromp J. // Geophysical Journal International. -2008.-V. 175,- P. 301-345.

71. Muller T. M. Seismic wave attenuation and dispersion resulting from wave-induced flow in porous rocks - A review / T. M. Muller, B. Gurevich, M. Lebedev // Geophysics. - 2010. - V. 75, No. 5.- P. 75A147-75A164.

72. Novikov M. A. Wave Propagation in Fractured-Porous Media with Different Percolation Length of Fracture Systems / M. A. Novikov, V. V. Lisitsa, Y. V. Bazaikin // Lobachevskii Journal of Mathematics. - 2020. - V. 8, No. 41.- P. 1533-1544.

73. Numerical Algorithm of Seismic Wave Propagation and Seismic Attenuation Estimation in Anisotropic Fractured Porous Fluid-Saturated Media / M. A. Novikov [et al.] // 21st International Conference on Computational Science and Its Applications, ICCSA 2021. Lecture Notes in Computer Science (including subseries Lecture Notes in Artificial Intelligence and Lecture Notes

in Bioinformatics) (Cagliari, Italy, September 13-16, 2021). — Cagliari, 2021. — P. 434-448.

74. O'Brien G. S. 3D rotated and standard staggered finite-difference solutions to Biot's poroelastic wave equations: Stability condition and dispersion analysis / G. S. O'Brien // Geophysics. — 2010. — V. 75, No. 4. — P. T111-T119.

75. Ozdenvar T. Algorithms for staggered-grid computations for poroelastic, elastic, acoustic, and scalar wave equations / T. Ozdenvar, G. McMechan // Geophysical Prospecting. — 1997. — V. 45. — P. 403-420.

76. P-wave seismic attenuation by slow-wave diffusion: Numerical experiments in partially saturated rocks / S. Picotti [et al.] // Geophysics. — 2007. — V. 72, No. 4. — P. N11-N21.

77. Plona T. J. Observation of a second bulk compressional wave in a porous medium at ultrasonic frequencies / T. J. Plona // Applied Physics Letters. — 1980. — V. 36, No. 4. — P. 259-261.

78. Pride S. R. Seismic attenuation due to wave-induced flow / S. R. Pride, J. G. Berryman, J. M. Harris // Solid Earth: Chemistry and Physics of Minerals and Rocks/Volcanology. — 2004. — V. 109, No. B1. — P. 1-19.

79. Pride S. R. Poroelastic finite difference modeling of seismic attenuation and dispersion due to mesoscopic-scale heterogeneity / S. R. Pride // Journal of Geophysical Research. — 2005. — V. 112 P. B03204.

80. Quantifying the effect of capillarity on attenuation and dispersion in patchy-saturated rocks / Q. Qi [et al.] // Geophysics. - 2014.- V. 79, No. 5.-P. WB35-WB50.

81. Quintal B. Seismic low-frequency anomalies in multiple reflections from thinly layered poroelastic reservoirs // SEG Technical Program Expanded Abstracts (San Antonio, 23-25 September 2007).-San Antonio, 2007. - P. 1690-1695.

82. Quasi-static finite element modeling of seismic attenuation and dispersion due to wave-induced fluid flow in poroelastic media / B. Quintal [et al.] // Journal of Geophysical Research. - 2011. - V. 116. - P. 1-17.

83. Numerically quantifying energy loss caused by squirt flow / B. Quintal [et al.] // Geophysical Prospecting. - 2019. - V. 67, No. 8. - P. 2196-2212.

84. Robinson P. C. Connectivity of fracture systems - a percolation theory approach / P. C. Robinson // J. Phys. A: Math. Gen..- 1983.- V. 16, No. 3.- P. 605-614.

85. Modeling wavefields in saturated elastic porous media based on thermodynamically compatible system theory for two-phase solid-fluid mixtures / E. Romenski [et al.] // Computers and Fluids. - 2020. - V. 206, P. 104587.

86. Simulation of upscaling effects due to wave-induced fluid flow in Biot media using the finite-element method / J. G. Rubino [et al.] // Journal ofApplied Geophysics. - 2006. - V. 62. - P. 193-203.

87. Simulation of upscaling effects due to wave-induced fluid flow in Biot media using the finite-element method / J. G. Rubino [et al.] // Journal of Applied Geophysics. — 2007. — V. 62. — P. 193-203.

88. Rubino J. G. Equivalent viscoelastic solids for heterogeneous fluid-saturated porous rocks / J. G. Rubino, C. L. Ravazzoli, J. E. Santos // Geophysics. — 2009. —V. 74. — P. N1-N13.

89. Do seismic waves sense fracture connectivity? / J. G. Rubino [et al.] // Geophysical Research Letters. — 2013. — V. 40 — P. 692-696.

90. Seismoacoustic signatures of fracture connectivity / J. G. Rubino [et al.] // Journal of Geophysical Research. — 2014. — V. 119 — P. 2252-2271.

91. Fracture connectivity can reduce the velocity anisotropy of seismic waves / J. G. Rubino [et al.] // Geophysical Journal International. — 2017. — V. 210 — P. 223-227.

92. Saenger E. H. Effective elastic properties of randomly fractured soils: 3d numerical experiments / E. H. Saenger, O. S. Kruger, S. A. Shapiro // Geophysical Prospecting. — 2004. — V. 52, No. 3. — P. 183-195.

93. Samarskii A. A. The Theory of Difference Schemes / A. A. Samarskii. — Marcel Dekker, New York, 2001. — 786 p..

94. Santos J. E. Elastic wave propagation in fluid-saturated porousmedia, Part I: The existence and uniqueness theorems / J. E. Santos // Mathematical Modelling and Numerical Analysis. — 1986. — V. 20. — P. 113-128.

95. Santos J. E. Elastic wave propagation in fluid-saturated porous media, Part II: The Galerkin procedures / J. E. Santos, E. J. Orena // Mathematical Modelling and Numerical Analysis. - 1986. - V. 20. - P. 129-139.

96. A model for wave propagation in a porous medium saturated by a two-phase fluid / J. E. Santos [et al.] // Journal of the Acoustical Society ofAmerica.-1990.-V. 87, P. 1439-1448.

97. Tanase M. A Straight Skeleton Approximating the Medial Axis / M. Tanase, R. C. Veltkamp // Algorithms - ESA 2004. Lecture Notes in Computer Science (Bergen, Norway, September 14-17, 2004). - Bergen, 2004- P. 809-821.

98. Teng Y. C Finite element results of the slow compressional wave in a porous medium at ultrasonic frequencies / Y. C. Teng // Journal of Applied Physics. - 1990. - V. 68. - P. 4335-4337.

99. Thomsen L. Biot-consistent elastic moduli of porous rocks: Low-frequency limit / L. Thomsen // Geophysics. - 1995.-V. 50,- P. 2797-2807.

100. Tran N. H. Simulated annealing technique in discrete fracture network inversion: optimizing the optimization / N. H. Tran // Computational Geosciences. - 2007. - V. 11, No. 3. - P. 249-260.

101. Vinci C. On attenuation of seismic waves associated with flow in fractures / C. Vinci, J. Renner, H. Steeb // Geophysical Research Letters.- 2014. — V. 41, No. 21.- P. 7515-7523.

102. . Virieux J. P-SV wave propagation in heterogeneous media: velocity-stress finite-difference method / J. Virieux // Geophysics. — 1986. — V. 51, No. 4. — P. 889-901.

103. Numerical Study of the Interface Errors of Finite-Difference Simulations of Seismic Waves / D. Vishnevsky [et al.] // Geophysics. — 2014. — V. 79, No. 4. — P. T219-T232.

104. A connectivity index for discrete fracture networks / C. Xu [et al.] // Mathematical Geology. — 2006. — V. 38, No. 5. — P. 611-634.

105. Xu C. A new computer code for discrete fracture network modelling / C. Xu, P. Dowd // Computers and Geosciences. — 2010. — V. 36, No. 3. — P. 292-301.

106. Zhu X. Numerical simulation of seismic responses of poroelastic reservoirs using Biot theory / X. Zhu, G. A. McMechan // Geophysics. — 1991. — V. 56— P. 328-339.