Амплитуды рассеяния и форм факторы в суперсимметричных калибровочных теориях в рамках теории возмущений и за её пределами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, доктор наук Борк Леонид Владимирович

• Борк Леонид Владимирович
• доктор наук
• 2025

Оглавление диссертации доктор наук Борк Леонид Владимирович

2.1 Упорядочение по цвету

2.2 Формализм спиральных спиноров

2.3 Суперпространство массовой поверхности

2.4 Минимальные амплитуды и форм факторы различных операторов

2.5 БСРШ рекурсивные соотношения для суперформфакторов

и импульсные твисторы

2.6 Представление суперформфакторов в виде интеграла по Грассманиану и дуальная конформная симметрия

2.7 Суперформфакторы и интегрируемость на древесном уровне

2.8 Однопетлевые суперформфакторы и обобщённая унитарность

3 Инфракрасные асимптотики амплитуд рассеяния и форм

факторов в N=4 SYM

3.1 Двухпетлевые суперформфакторы

3.2 Инфракрасные асимптотики амплитуд рассеяния и форм факторов в начале пространства модулей N=4 SYM

3.3 N=4 SYM на Кулоновской ветви и MSYM теории в старших размерностях пространства-времени

3.4 Инфракрасные асимптотики амплитуд рассеяния и форм факторов на Кулоновской ветви теории N=4 SYM

4 Коллинеарное OPE в N=4 SYM и ресумирование

4.1 Дуальность между суперамплитудами и Вильсоновскими петлями в N=4 SYM и Коллинеарное OPE

4.2 Коллинеарное OPE для NMHV6 и его ресуммирование

5 УФ поведение MSYM теорий в D>4

5.1 R'-операция

5.2 Обобщённые полюсные уравнения в MSYM теориях в D=6,8,10

6 Заключение

7 Дополнение. Янгиан алгебра

8 Дополнение. BES уравнение

Глава 1 Введение.

Диссертация основана на работах [а-1, а-2, а- 3, а-4, а-5, а-6, а-7, а-8, а-9, а-10, а-11, а-12, а-13, а-14, а-15, а-16, а-17, а-18, а-19] и посвящена исследованию свойств амплитуд рассеяния и форм факторов в N=4 Максимально Суперсимметричной Теории Янга-Миллса ^=4 БУМ). Исследуются симметрийные свойства форм факторов на суперпространстве массовой поверхности в рамках Теории Возмущений (ТВ) а так же изучаются универсальные Инфракрасные (ИК) асимптотики амплитуд рассеяния и форм факторов во всех порядках ТВ.

1.1 Амплитуды рассеяния в суперсимметричных калибровочных теориях

Создание Квантовой Теория Поля (КТП) является одним из самых значимых достижений теоретической физики 20 века. Методы КТП нашли широкое применение в самых различных областях теоретической физики начиная от физики элементарных частиц и заканчивая проблемами физики твёрдого тела и стохастической теории турбулентности. Среди всех КТП неабелевы калибровочные теории занимают особое место. Они являются краеугольным камнем в нашем текущем понимании физики элементарных частиц [Ь-1, Ь-2]. В частности, сильные взаимодействия описываются неабелевой калибровочной теорией - Квантовой Хромоди-намикой (КХД) [Ь-2]. Хотя большое количество свойств КХД, таких как

конфайнмент кварков, являются существенно непертурбативными явлениями, то есть не описываемыми ТВ, вычисления так или иначе базирующиеся на ТВ играют большую роль в нашем «практическом» понимании и использовании КХД [b-3]. Большое количество теоретических предсказаний для ускорительных экспериментов делается в рамках ТВ и вопросы поиска новой физики за рамками Стандартной Модели, частью которой является и КХД, тоже делаются на основе теоретико возмущен-ческих вычислений [b-4]. Типичными наблюдаемыми в физике элементарных частиц, теоретические предсказания для которых даёт КТП, являются дифференциальные сечения рассеяния dan, для вычисления которых, в свою очередь, требуется знание квадратов модулей n-частичных амплитуд рассеяния An (элементов S-матрицы теории), которые могут быть определены как:

An = <1,...,n|S |0>, (1.1)

где S - это оператор S-матрицы теории, <1,...,n| - это некоторое n-частичное состояние на массовой поверхности (последовательность операторов рождения/уничтожения действующая на вакуумное состояние <0| теории). Мы здесь использовали формальные обозначения где все частицы считаются входящими или выходящими [b-5, b-6].

С первых практических расчётов петлевых поправок к амплитудам рассеяния в неабелевых калибровочных теориях стало ясно, что подход к вычислениям по ТВ, основанный на Фейнмановских диаграммах, в случае неабелевых калибровочных теорий, оказывается вычислительно крайне затратным, даже при всестороннем применении ЭВМ и, по сути, ограничивает наши реальные возможности для проведения практических расчётов амплитуд рассеяния первыми порядками ТВ и/или небольшим числом частиц участвующих в процессе рассеяния [b-7, b-5].

Поэтому остро стоит вопрос о разработке подходов к вычислению амплитуд рассеяния и аналогичных матричных элементов, которые не опирались бы непосредственно на использование Фейнмановских диаграмм [b-7, b-6, b-8, b-5, b-9]. Такие подходы обычно опираются на использование свойства унитарности теории и в своём зачаточном виде использовались при первых вычислениях петлевых поправок в Квантовой

Электродинамике (такие примеры можно найти в текстах классического учебника Ланаду Лифшица т.4). Всплеск интереса к поиску таких подходов к ТВ не опирающихся на Фейнмановские диаграммы случился в середине 80-х годов 20 века когда было обнаружено, что, по крайней мере, некоторые амплитуды рассеяния в неабелевых калибровочных теориях с фиксированными спиральностями частиц имеют очень простой аналитический вид, и по-видимому, обладают некоторыми скрытыми симмет-риями (так называемая формула Парке-Тэйлора [Ь-10]).

Поиск упрощённых моделей неабелевых калибровочных теорий, которые, однако, качественно были бы похожи на пертурбативную КХД и в рамках которых можно было бы разрабатывать и тестировать новые вычислительные подходы к ТВ а так же изучать возможные скрытые симметрии амплитуд рассеяния естественным образом привёл теоретиков к рассмотрению неабелевых калибровочных теорий с расширенной суперсимметрией [Ь-6, Ь-8]. Суперсимметрия сама по себе является ещё одним из выдающихся открытий физиков теоретиков второй половины 20 века [Ь-11, Ь-12]. В обсуждаемом здесь контексте она служит скорее не как физическая симметрия на подобие Лоренц-инвариантности, но как полезное математическое свойство модели, позволяющее упростить её рассмотрение, при этом не потеряв основного физического содержания.

Одной из таких суперсимметричных калибровочных теорий является N=4 БУМ [Ь-13]. Вскоре после своего открытия стало понятно, что данная модель обладает, как минимум, уникальными математическим свойствами. В частности, эта первая известная модель КТП в Д=4 размерности пространства-времени полностью свободная от ультрафиолетовых (УФ) расходимостей [Ь-14, Ь-15, Ь-16, Ь-17]. И на этом уникальные свойства данной модели далеко не исчерпываются.

В последние несколько десятилетий деятельность по изучение свойств N=4 БУМ оказалась на пересечении нескольких глобальных направлений исследований в теоретической физике и математике. С одной стороны N=4 БУМ оказалась отличной теоретической лабораторией для разработки подходов и методов к вычислению амплитуд рассеяния в калибровочных теориях (не обязательно суперсимметричных) использующих свойства унитарности теории и не опирающихся на Фейнмановские

диаграммы [Ь-5, Ь-9, Ь-18]. С другой стороны изучение моделей теории струн позволило сформулировать гипотезу AdS/CFT соответствия [Ь-19, Ь-20], которая утверждает, в частности, что N=4 SYM в режиме сильной связи может быть описана другими системами (суперсимметричной сигма моделью на AdS5 х S5) находящимися в режиме слабой связи и следовательно для которых применимы методы ТВ [Ь-21, Ь-22]. Помимо этого было установлено, что многие вычисления в N=4 SYM могут быть сведены к решению задач из теории Д=2 квантовых интегрируемых систем [Ь-23, Ь-24, Ь-25] и [Ь-26, Ь-27], [Ь-28]. Все эти сюжеты оказались взаимодополняющими друг друга и в результате их синтеза удалось получить множество результатов вычисленных в высоких порядках ТВ или вообще справедливых во всех порядках ТВ и которые были бы очевидно недоступны стандартными, основанными на Фейнма-новских диаграммах, методами. Сама же N=4 SYM удостаивалась таких эпитетов как «гармонический осциллятор 21 века» и «атом водорода для релятивистского рассеяния» [Ь-29, Ь-30].

В частности были сформулированы функциональные уравнения [Ь-26] позволяющие вычислить любую аномальную размерность составного калибровочно инвариантного оператора в теории в любом наперёд заданном порядке ТВ. В определённых случаях с их помощью так же можно систематически строить и разложение аномальных размерностей по обратным степеням константы связи [Ь-31]. Помимо этого были получены точные во всех порядках ТВ выражения для четырёх и пятиточечных амплитуд рассеяния [Ь-32, Ь-33] а так же множество результатов для амплитуд рассеяния справедливых для высоких порядков ТВ и/или для большого числа частиц [Ь-18]. Последнее представляет интерес не только для понимания общих свойств моделей КТП, но и для практических вычислений в КХД благодаря Принципу Максимальной Трансценден-тальности [Ь-34, Ь-35, Ь-36], который качественно можно сформулировать как утверждение о том, что каждый ответ в N=4 SYM в фиксированном порядке ТВ может быть получен из соответствующего ответа в КХД путём отбрасывания слагаемых не удовлетворяющих некоторому однозначно сформулированному критерию [Ь-36] (уровню трансценден-тальности). Таким образом все ответы из N=4 SYM составляют «ко-

стяк», обычно наиболее сложный, ответов из КХД, а сами ответы для N=4 SYM качественно воспроизводят свойства своих аналогов из КХД [b-36].

Помимо амплитуд рассеяния An важными объектами в калибровочных теориях являются многочастичные обобщённые форм факторы Fn m, которые мы определим как матричный элемент от произведения m калибровочно инвариантных операторов по n-частичным состояниям на массовой поверхности:

Fn,m = У dDx-i ...dDxme-iXiqi---iXmqm (l,...,n\O(x1)... ü(xm)S\0) (1.2)

Часто в литературе рассматривается случай c m=1 [b-37]. Такого типа объекты могут быть интерпретированы как амплитуды рассеяния когда внешнее классическое поле, которое взаимодействует с полями теории посредством оператора O(x), рождает из вакуума n частиц. Такие объекты также описывают универсальное асимптотическое поведение амплитуд рассеяния [b-38, b-39, b-40, b-41] теории при малых импульсах (инфракрасное поведение), которое особенно важно с точки зрения ускорительных экспериментов [b-3]. Формфакторы также встречаются в контексте применения эффективных теорий поля для описания соответствующих процессов рассеяния [b-42, b-43].

Адаптации и применению методов унитарности к форм факторам в N=4 SYM а также изучению их общих свойств и посвящена данная диссертационная работа [a-1, a-2, a- 3, a-4, a-5, a-6, a-7, a-8, a-9, a-10]. Помимо этого в данной работе рассматриваются смежные вопросы, такие как исследование универсальных инфракрасных асимптотик амплитуд рассеяния и форм факторов в различных кинематических режимах [a-12, a-13, a-14, a-19], а также методы вычисления конечных частей амплитуд и форм факторов использующие подходы теории D=2 квантовых интегрируемых систем [a-11]. В дополнение к этому изучаются свойства ультрафиолетовых расходимостей в калибровочных теориях с максимальной суперсимметрией (MSYM - Maximal Supersymmetric Yang Mills theories) в старших размерностях пространства-времени [a-15, a-16, a-17, a-18]. Все эти сюжеты объединены общими подходами и идеями, так или иначе связанными со свойствами унитарности N=4 SYM и её богатыми сим-

метриями.

1.2 Общая характеристика диссертации

1.2.1 Актуальность темы исследования

Как уже отмечалось ранее, калибровочные теории на сегодняшний день представляют собой важнейший теоретический инструмент для описания физики элементарных частиц. В этой связи особенно актуальной является разработка новых аналитических подходов и вычислительных методов, применимых как в рамках теории возмущений, так и за её пределами для калибровочных теорий. Необходимость таких методов определяется не только перспективами поиска «новой физики», лежащей за пределами Стандартной модели, но и возможностью более глубокого и точного изучения уже известных теорий, в частности КХД при высоких энергиях, причём эти задачи во многом взаимно дополняют друг друга.

Особый интерес в контексте вышеизложенного представляет изучение свойств амплитуд рассеяния и форм факторов в калибровочных теориях с расширенной суперсимметрией. Такие теории представляют из себя прекрасную теоретическую лабораторию как для разработки новых вычислительных подходов и методов для расчётов в калибровочных теориях, таких как КХД, так и для исследования общих свойств моделей КТП в различных размерностях пространства времени, включая Д=4.

1.2.2 Цели и задачи исследования

Целью диссертации является разработка и апробация аналитических методов вычислений в калибровочных теориях для форм факторов и амплитуд рассеяния, которые не использовали бы стандартные подходы основанные на Фейнмановской диаграммной технике. Такие методы позволяют получать результаты в высоких порядках ТВ, которые были ранее недоступны стандартными вычислительными методами основанными на Фейнмановских диаграммах.

1.2.3 Методология и методы исследования

В работе используются методы, основанные на унитарности теории, такие как BCFW рекурсивные соотношения [Ь-44, Ь-45, Ь-46, Ь-47] и метод унитарных разрезов [Ь-46, Ь-48, Ь-49, Ь-6, Ь-8, Ь-50]. В дополнение к ним используются формализмы спиральных спиноров [Ь-51] и суперпространства массовой поверхности [Ь-52]. Помимо этого применяются элементы теории двумерных квантовых интегрируемых систем [Ь-53, Ь-54, Ь-55, Ь-56, Ь-23, Ь-25, Ь-57] и методы Меллина-Барнса [Ь-58, Ь-59, Ь-60, Ь-61] и дифференциальных уравнений [Ь-62, Ь-63, Ь-64, Ь-65, Ь-66] для проведения вычислений многопетлевых интегралов, а также пакеты численного вычисления многопетлевых интегралов [Ь-67, Ь-68, Ь-69] для проверки аналитических ответов.

1.2.4 Положения выносимые на защиту

• 1. Впервые была получена формулировка древесных суперформ-факторов оператора Вильсоновской линии и суперформфакторов операторов из супермультиплета Тензора Энергии Импульса на суперпространстве массовой поверхности.

• 2. Для^MHVra древесных суперформфакторов оператора Вильсо-новской линии и суперформфакторов операторов из супермультиплета Тензора Энергии Импульса впервые была высказана гипотеза о дуальной конформной инвариантности, которая подтверждалась результатами прямых вычислений форм факторов в MHVra и NMHVra секторах на древесном и однопетлевом уровне.

• 3. Для древесных суперформфакторов операторов Вильсоновких линий и суперформфакторов операторов из супермультиплета Тензора Энергии Импульса с произвольным числом частиц любой спи-ральности впервые были получены замкнутые выражения (производящие функции) в виде интегралов по Грассманиану. Была продемонстрирована интегрируемость этих древесных форм факторов.

• 4. Впервые были проведены прямые аналитические вычисления Су-даковского форм фактора в N=4 SYM на Кулоновской ветви тео-

рии (в псевдооффшельной кинематике) в трёхпетлевом приближении и была высказана гипотеза о виде Судаковского форм фактора во всех порядках Теории Возмущений в планарном пределе, косвенно подтверждаемая результатами полученными методами теории интегрируемых систем.

• 5. На основании прямых двухпетлевых вычислений пятичастичной амплитуды рассеяния и трёхчастичных форм факторов 1/2-БРБ операторов на Кулоновской ветви и трёхпетлевых вычислений Су-даковского форм фактора была высказана гипотеза об универсальных инфракрасных асимптотиках многочастичных форм факторов 1/2-БРБ операторов и амплитуд рассеяния во всех порядках Теории Возмущений на Кулоновской ветви теории.

• 6. Впервые был предложен систематический метод суммирования вкладов в Коллинеарное Операторное Разложение в режиме слабой связи в планарном N=4 БУМ в любом наперёд заданном порядке Теории Возмущений, который был успешно верифицирован на воспроизведении древесного и однопетлевого вклада в КМИУ6 амплитуду рассеяния.

• 7. Впервые были выполнены прямые аналитические расчеты лидирующих логарифмических ультрафиолетовых расходимостей в теориях Янга-Миллса с Максимальной Суперсимметрий в размерностях 0=6,8,10 в пятипетлевом приближении и на основании которых были сформулированы обобщённые полюсные уравнения для четырёхточечной амплитуды рассеяния.

Отметим, что если неформально рассматривать результаты, дробя их на конкретные достижения, а концептуально обобщить главный новый научный вклад, то этим вкладом будет успешное применение методов вычисления для амплитуд, основанных на свойствах унитарности, к форм факторам и гипотеза об универсальном всепетлевом поведении ИК расходимостей для амплитуд рассеяния и форм факторов в псевдоофф-шельной кинематике.

1.2.5 Научная новизна

Все результаты, полученные в диссертации, являются новыми, хотя ряд близких вопросов обсуждался в литературе. В частности форм факторы операторов из супермультиплета Тензора Энергии Импульса (ТЭИ) рассматривались на суперпространстве в работе [b-70], однако там помимо прочего использовался другой вид рекурсивных соотношений для вычисления древесных NMHV форм факторов. В работе [b-71] рассматривался интеграл по Грассманиану для форм факторов операторов из ТЭИ, однако хронологически результаты [a-5] были первыми. В этой же работе впервые явно обсуждалась связь древесных форм факторов ТЭИ и Квантового Метода Обратной Задачи Рассеяния (КМОЗР) [b-71]. Но аналогичное представление для формфакторов ТЭИ рассматривалось ранее в [a-5]. Дуальная (супер)конформная симметрия формфакторов изучалась после [a-4] в работах [b-72, b-73, b-74]. Ресуммирование кол-линеарного операторного разложения изучалось в работах [b-75, b-76], но метод, предложенный там, не пригоден для вычисления в старших порядках ТВ. Вычисления петлевых поправок к формфакторам на основании петлевых разрезов рассматривались в серии работ [b-43, b-77, b-78, b-79]. Идеи лежащие за выводом обобщённых полюсных уравнений для МSYM теорий обсуждались в литературе [b-80] и [b-81, b-82, b-83], но сами уравнения такого вида как в [a-17] обсуждаются впервые.

1.2.6 Достоверность результатов

Все результаты (гипотезы) претендующие на точность во всех порядках ТВ проверялись прямыми вычислениями до трёх петель включительно, и в некоторых случаях, до пяти петель. Сами же аналитические результаты петлевых вычислений (результаты вычисления петлевых интегралов) проверялись численными расчётами. Помимо этого, там где было возможно, воспроизводились известные в литературе частные случаи и общие свойства ответов, такие как сокращение нефизических полюсов (spurious poles), экспоненциация инфракрасных логарифмов и выполнение принципа Максимальной Трансцендентальности.

Работы, на которых основана диссертация, опубликованы в лидирую-

щих зарубежных журналах с высоким импакт фактором (h > 5), включая Phys.Rev.Letters, и неоднократно докладывались автором на международных конференциях.

1.2.7 Теоретическая и практическая значимость работы

Основная теоретическая значимость работы заключается в успешной адаптации и применении вычислительных методов основанных на унитарных свойствах теории к многочастичным формфакторам и в исследовании универсальных инфракрасных асимптотик формфакторов и амплитуд рассеяния в различных кинематических режимах.

Практическая значимость работы заключается в том, что результаты для многочастичных форм факторов на древесном уровне могут быть напрямую перенесены в безмассовую КХД, а общие утверждения касательно универсальных инфракрасных асимптотик форм факторов и амплитуд рассеяния в рассмотренных кинематических режимах (оффшельная кинематика) будут справедливы в теориях с меньшей суперсимметрией, включая и пертурбативную КХД [b-36].

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Амплитуды рассеяния и форм факторы в суперсимметричных калибровочных теориях в рамках теории возмущений и за её пределами»

1.2.8 Апробация работы

Результаты, изложенные в диссертации, докладывались на множестве международных конференциях, рабочих совещаниях и семинарах, в том числе на:

1.Helmholtz International Workshop DIAS «Calculations for Modern and Future Colliders», (CALC), 2012, Дубна, Россия. «Form factors in N=4 SYM».

2.Helmholtz International Workshop DIAS «Calculations for Modern and Future Colliders», (CALC), 2018, Дубна, Россия. «The all-loop conjecture for integrands of reggeon amplitudes in N = 4 SYM».

3.The International Workshop «Supersymmetries and Quantum Symmetries» (SQS), 2013, Дубна, Россия. «Scattering amplitudes in supersymmetric gauge theories in higher dimensions».

4.The International Workshop "Supersymmetries and Quantum Symmetries" (SQS), 2017, Дубна, Россия «Four-dimensional ambitwistor strings and form factors of local and Wilson line operators»

5.International Ginzburg Conference on Physics, Москва, Россия, 2012. «Form factors in N=4 SYM».

6.International Ginzburg Conference on Physics, Москва, Россия, 2017. «Ambitwistor string for Form factors in N=4 SYM».

7.International Symposium «Quantum Theory and Symmetries» (QTS), 2015, Ереван, Армения. «Grassmannians and form factors with q2 = 0 in N = 4 SYM theory».

8.International Session-Conference of SNP PSD RAS «Physics of Fundamental Interactions», 2016, Дубна, Россия. «Form factors, Grassmannians and integrability in N = 4 SYM».

9.International Conference on «Quantum Theory and Symmetries» (QTS7), Прага, Чехия, 2011. «Superformfactors in N = 4 SYM».

10.International Conference on «Higher Spin Theory and Holography» (HSTH-5), Москва, Россия, 2016. «UV divergences in MSYM theories in diverse dimention».

11.Russian-Spanish Congress on Particle, Nuclear, Astroparticle Physics and Cosmology, 2017, Дубна, Россия. «Ambitwistor strings and form factors in N = 4 SYM».

12.Bogolyubov Conference «Problems of Theoretical and Mathematical Physics», 2019, Дубна и Москва, Россия. «Collinear OPE and resummation in N = 4 SYM».

13.International Conference «Quantization, Gauge Theory and Strings» dedicated to the memory of Prof. E. S. Fradkin, Россия, 2024. «Scattering аmplitudes and form factors in N=4 SYM on the Coulomb branch».

14.International conference «Advances in Quantum Field Theory» (Ad QFT-2021), 2021, Дубна, Россия. «Fishnet CFTs in diverce dimention».

13.International winter school «Partition Functions and Automorphic Forms», 2018, Дубна, Россия. «Ambitwistor strings and form factors in N = 4 SYM».

1.2.9 Публикации и личный вклад автора

Результаты диссертации опубликованы в 19 статьях в ведущих международных журналах (JHEP, Phys.Rev.D, Phys.Rev.Lett.), индексируемых в международных базах данных Scopus, Web of Science (WoS), РИНЦ (RSCI), ВАК, а также были опубликованы в виде ArXiv-препринтов. Суммарная цитируемость равна 458 ссылкам или ~24 ссылкам на одну работу.

Работы [a-3, a-4] были сделаны автором полностью самостоятельно и опубликованы без соавторов.

В оставшихся работах вклад автора является очень существенным. Автор принимал участие в постановках задач, разработке методов их решения и непосредственном проведении вычислений. Для всех этих работ им были написаны черновые варианты текстов и осуществлялась переписка с редакторами и рецензентами.

1.3 Структура диссертации

Диссертация состоит из 6 глав (включая введение и заключение), двух дополнений и библиографии состоящей из двух списков.

Глава 2. «Пертурбативные вычисления форм факторов в N=4 SYM» состоит из 8 частей.

В части 2.1 «Упорядочение по цвету» рассматривается понятие упорядочения по цвету и вводятся определения упорядоченных по цвету парциальных амплитуд рассеяния и формфакторов, которые будут обсуждаться в дальнейшем.

В части 2.2 «Формализм спиральных спиноров» рассматривается центральный, для всей диссертационной работы, формализм спиральных спиноров. С пользованием этого формализма будет записываться вся кинематика в данной работе. Рассматривается обобщение этого формализма в случае, когда, помимо светоподобных импульсов, в задаче присутствуют импульсы с квадратами не равными 0, что является отличительной чертой формфакторов.

В части 2.3 «Cуперпространство массовой поверхности» даётся вид компонентного лагранжиана N=4 SYM теории, кратко обсуждаются её

основные свойства, включая состав состояний на массовй поверхности и обсуждаются основные понятия формализма суперпространства массовой поверхности. Помимо этого даётся определение суперамплитудам рассеяния.

В части 2.4 «Минимальные амплитуды и форм факторы различных операторов» обсуждается формулировка суперформфакторов операторов из 1/2-BPS супермультиплетов, включая супермультиплет ТЭИ и операторов Вильсоновских линий на суперпространстве массовой поверхности. Обсуждаются некоторые их общие симметрийные свойства. Помимо этого вводится определение минимальных суперамплитуд и суперформфакторов, которые будут играть центральную роль в вычислениях использующих BCFW рекурсию и метод унитарных разрезов.

В части 2.5 «BCFW рекурсивные соотношения для суперформфакторов и импульсные твисторы» обсуждается построение BCFW рекурсивных соотношений для суперамплитуд рассеяния и обобщение этих рекуррентных соотношений для древесных суперформфакторов операторов из супермультиплета ТЭИ и Вильсоновских линий. Рассматриваются конкретные решения этих рекурсивных соотношений для MHV и NMHV секторов. Вводятся переменные импульсных твисторов и обсуждаются свойства полученных решений относительно дуальных конформных преобразований. Делается утверждение об инвариантности суперформ-факторов операторов из супермультиплета ТЭИ относительно дуальных конформных преобразований. Для суперформфакторов операторов из супермультиплета ТЭИ строятся BCFW рекурсивные соотношения в переменных импульсных твисторов.

В части 2.6 «Представление суперформфакторов в виде интеграла по Грассманиану и дуальная конформная симметрия» обсуждается формализм диаграмм массовой поверхности для древесных суперамплитуд рассеяния и их представление в виде интеграла по Грассманиану. Даётся обобщение этого формализма на суперформфакторы операторов из супермультиплета ТЭИ и Вильсоновских линий. Приводятся различные ответы, полученные для данных формфакторов с произвольным числом частиц, в рамках такого подхода и проводится их сравнение с результатами известными в литературе. Обсуждаются свойства этих форм фак-

торов относительно дуальных (супер) конформных преобразований.

В части 2.7 «Суперформфакторы и интегрируемость на древесном уровне» обсуждается формулировка решения БСЕШ рекурсивных соотношений для древесных суперамплитуд в терминах Квантового Метода Обратной Задачи Рассеяния (КМОЗР) и их инвариантность относительно Янгиан симметрии. Показывается как суперформфакторы тоже могут быть интерпретированы аналогичным, но не тождественным образом, в терминах КМОЗР. Устанавливается однозначная связь между слагаемыми БСЕШ рекурсии для форм факторов операторов из супермультипле-та ТЭИ и Вильсоновских линий с рациональными инвариантами Янгиан симметрии.

В части 2.8 «Однопетлевые суперформфакторы и обобщённая унитарность». Обсуждается обобщение метода унитарных разрезов, в частности метода обобщённой унитарности, для вычисления однопетлевых поправок к форм факторам операторов из супермультиплета ТЭИ. Делаются явные вычисления в МНУ и КМНУ секторах для произвольного числа частиц и рассматриваются конкретные примеры с п=3,4 числом частиц. Эти примеры демонстрируют наличие дуальной конформной симметрии у петлевых поправок к форм факторам.

Глава 3. «Инфракрасные асимптотики амплитуд рассеяния и форм факторов в N=4 БУМ» состоит из 4 частей.

В части 3.1 «Двухпетлевые суперформфакторы» приводятся ответы в терминах мастер интегралов для различных двухпетлевых поправок к форм факторам операторов из 1/2-БРБ супермультиплетов, включая и супермультиплет ТЭИ. Эти поправки были получены по методу унитарных разрезов и, в одном случае, прямыми N =1 суперполевыми диаграммными вычислениями.

В части 3.2 «Инфракрасные асимптотики амплитуд рассеяния и форм факторов в начале пространства модулей N=4 БУМ» обсуждаются универсальные свойства ИК расходимостей в суперформфакторах и суперамплитудах. Обсуждается пространство модулей (значений вакуумных средних от скалярных полей из лагранжиана N=4 БУМ теории).

В части 3.3 «N=4 БУМ на Кулоновской ветви и БУМ теории в старших размерностях пространства времени» обсуждаются свойства ИК

расходимостей в ситуации когда вакуумные средние скалярных полей теории не равны нулю и служат ИК регулятором. Обсуждается связь ин-теграндов (подынтегральных выражений) амплитуд рассеяния и форм факторов в этом режиме с интеграндами амплитуд рассеяния и форм факторов в калибровочных теориях c максимальной суперсимметрией в старших размерностях и независимость вида интеграндов некоторых форм факторов и амплитуд от размерности. Таким образом вводится режим «псевдооффшельной» кинематики, когда калибровочно инвариантным образом можно определить амплитуду или форм фактор с безмассовыми пропагаторами у мастер интегралов и квадратами импульсов частиц не равными 0.

В части 3.4 «Инфракрасные асимптотики амплитуд рассеяния и форм факторов на Кулоновской ветви теории N=4 SYM» на примере трёхпетлевых расчётов делается гипотеза об универсальном поведении ИК асимптотик амплитуд рассеяния и форм факторов в псевдоофф-шельном кинематическом режиме во всех порядках ТВ. В рамках этой гипотезы предлагается выражение для Судаковского форм фактора в планарном N=4 SYM справедливое во всех порядках ТВ. Даются косвенные аргументы в пользу этой гипотезы, основанные на свойствах интегрируемости N=4 SYM. Помимо этого приводятся результаты для конечных частей трёхчастичных форм факторов вычисленные в двухпетлевом приближении. Также даётся гипотеза о виде конечной части пятичастич-ной амплитуды рассеяния во всех порядках ТВ в псевдооффшельном кинематическом режиме, являющаяся аналогом известного BDS анзаца.

Глава 4. «Коллинеарное OPE в N=4 SYM и ресумирование» состоит из 2 частей.

В части 4.1 «Дуальность между суперамплитудами и Вильсоновски-ми петлями в N=4 SYM и Коллинеарное OPE» даётся обсуждение основных понятий и положений, связанных с гипотезой Коллинеарного Операторного Разложения (Operator Product Expantion - OPE), которое справедливо во всех порядках ТВ, и которое потенциально даёт способ вычисления конечных частей амплитуд и форм факторов в любом наперёд заданном порядке ТВ.

В части 4.2 «Коллинеарное ОПЕ для NMHV6 и его ресуммирова-

ние» даётся подробное изложение представления NMHV 6-ти точечной амплитуды в рамках Коллинеарного OPE, выделяются древесная и од-нопетлевая части, вычисленные независимым образом, а затем показывается, что ресуммирование всех вкладов OPE в точности воспроизводит древесный и однопетлевой вклад. В конце обсуждается, что метод суммирования вкладов OPE применим и к старшим порядкам ТВ.

Глава 5. «УФ поведение SYM теорий в D>4» состоит из 2 частей.

В части 5.1 «R'-операция» даётся понятие R-операции Боголюбова и обсуждается как она может быть использована для облегчения вычисления старших УФ полюсов в многопетлевых интегралах, в том числе и в неперенормируемых теориях.

В части 5.2 «Обобщённые полюсные уравнения в MSYM теориях в D=6,8,10» даются ответы для лидирующих УФ полюсов в четырёхча-стичной амплитуде рассеяния, вычисленные до пяти петель включительно, в MSYM теориях в размерностях пространства D=6,8,10. Далее предлагаются обобщения полюсных уравнений для этих теорий позволяющие производить рассчёты лидирующих УФ полюсов в любом наперёд заданном порядке ТВ для четырёхчастичной амплитуды. Корректность этих обобщений полюсных уравнений проверяется сравнением их решений с результатами прямого вычисления полюсов до пяти петель включительно.

В заключении подводятся краткие итоги данной работы.

В дополнениях обсуждаются определение Янгиан симметрии и различные формы записи решения BES интегрального уравнения на Кас-повую аномальную размерность rcusp.

Библиография состоит из двух списков литературы. Списки содержат 19 и 204 ссылки соответственно, из них 19 это ссылки на авторские работы.

Глава 2

Пертурбативные вычисления форм факторов в N=4 SYM

2.1 Упорядочение по цвету

Как уже было сказано во введении, за последние два десятилетия было разработано множество новых подходов для организации и упрощения прертурбативных вычислений в калибровочных теориях в различных размерностях пространства-времени. В этой главе мы рассмотрим два таких подхода, которые являются одними из наиболее общих, применимых к широкому кругу квантовых теорий поля, а именно упорядочение по цвету (colour ordering) и формализм спиральных спиноров [b-51] (helicity spinor formalism). В этой части мы в большинстве случаев не будем давать ссылки на оригинальные работы, ограничившись ссылками на обзоры и монографии, в которых уже можно найти подробную библиографию.

Начнём с цветового упорядочения. Идея заключается в том, чтобы выделить из всего набора Фейнмановских диаграмм, дающих вклад в «наблюдаемую», такую как амплитуда рассеяния или форм фактор, ка-либровочно инвариантный поднабор Фейнмановских диаграмм, который вычислялся бы по модифицированным Фейнмановским правилам и который содержал бы меньшее число диаграмм. Полный набор диаграмм восстанавливался бы посредствам перестановок аргументов в выбранном

поднаборе.

Для реализации этой программы рассмотрим SU(Nc) чистую калибровочную теорию (глюодинамику) в произвольной размерности пространства-времени. Заметим, что все четырёхглюонные вершины могут быть сведены к «эффективным» трёхглюонным вершинам посредством введения в рассмотрение искусственных «контактных» пропагато-ров1. Эти эффективные вершины, равно как и исходные трёхглюонные, пропорциональны структурным константам fabc калибровочной группы SU(Nc). Причём для структурных констант существует следующее представление (здесь мы пользуемся нормировками из [b-5]):

iV2fabc = tr(TaTbTc) - tr(TbTaT°), (2.1)

где Ta это генераторы SU(Nc) в фундаментальном представлении. Все пропагаторы в теории (включая новые контактные), в свою очередь, пропорциональны ¿ab, что позволяет объединить все индивидуальные трей-сы трёх Ta матриц из вершин в трейсы большей длины используя соотношение:

(Ta)j(Ta)k = ¿j¿j - N¿j¿k, (2.2)

что в итоге позволяет записать любую n-частичную амплитуду рассея-

ч (г),full ния An в виде:

A(0,fu11 = ^tr(TaiTa(a2 ...Ta2))Ai1)(l,a(2,...,n)) + O(1/Nc), (2.3)

a

где символ а у знака суммы означает, что сумма ведется по всем (n — 1)! перестановкам аргументов с номерами (2,...,n). Это соотношение справедливо в любом порядке l ТВ. Величины типа

A^l, 2, 3,..., n), АПг)(1, 3, 2,..., n),...

стоящие перед трейсами в (2.3) зависят только от кинематических переменных (импульсы и вектора поляризации глюонов) и называются парциальными упорядоченными по цвету амплитудами (partial colour

1 Подробное описание этого трюка может быть найдено в [Ь-84], в главе 4.1.

n 4 5 6 7 8 9 10

физическая амплитуда 4 25 220 2485 34300 559405 10525900

парциальная амплитуда 3 10 38 154 654 2871 12925

Таблица 2.1: Число Фейнмановских диаграмм дающих вклад в древесную физическую амплитуду Ai0)'fu11 и в парциальную упорядоченную по „(0)

цвету An .

ordered amplitudes). Исходную амплитуду AV' обычно называют физической амплитудой рассеяния2. Парциальные упорядоченные по цвету амплитуды рассеяния могут быть вычислены по модифицированным Фейнмановским правилам, которые отличаются от стандартных тем, что все вершины и пропагаторы больше не содержат цветовых факторов связанных с SU(Nc) калибровочной группой и учитываются только такие фейнмановские диаграммы, где внешние линии циклически упорядочены (в явном виде их можно найти, например, в [b-6], рис.5). Иными словами, для вычисления физической амплитуды AV' в фиксированном порядке ТВ, нужно вычислить одну парциальную упорядоченную по цвету амплитуду (1, 2,... , n) по Фейнмановским правилам, которые не содержат цветовых множителей и учитывают только Фейнмановские диаграммы с циклически упорядоченными внешними линями от 1 до n. Таких Фейнмановских диаграмм заведомо меньше чем в исходной физической амплитуде. В таблице 2.1 представлен подсчёт числа диаграмм дающих вклад в полную физическую амплитуду рассеяния глюонов и в парциальную упорядоченную по цвету амплитуду АП (1, 2,... , n) на древесном уровне. Все остальные парциальные упорядоченные по цвету амплитуды могут быть восстановлены из этой тривиальными перестановками аргументов, а физическая амплитуда может быть восстановлена

2Ссылки на оригинальные работы можно найти в обзорах [b-9, b-6], отметим, что впервые цветовая декомпозиция была открыта при изучении амплитуд рассеяния в теории струн [b-85] и цветовые структуры вида tr(Tai Ta(a2 .. . Ta2)) там носят название факторов Чана-Паттона.

из парциальных согласно (2.3). Так же можно заметить, что индивидуальные трейсы (цветовые факторы) tr(Ta(a2 ... Tan)) являются линейно независимыми [b-7], откуда следует калибровочная инвариантность упорядоченных по цвету парциальных амплитуд.

Если рассматривается калибровочная теория, где имеются другие поля в присоединённом представлении, как, например, в случае N=4 SYM теории, то для амплитуд рассеяния в такой теории соотношение (2.3) остаётся без изменений. Также оно не меняется, если рассматриваются не амплитуды рассеяния, а обобщённые многочастичные форм факторы Fra,^11 [b-86, b-87, a-7] в таких теориях:

Ff = £tr(TaiTa(a2.. .Ta2))Fgm(1,a(2,... ,n)) + O(1/Nc). (2.4)

a

В литературе существуют замкнутые выражения для вида поправок по 1/Nc (например в [b-88] для четырёхточечной амплитуды рассеяния), а так же обобщения понятия парциальной упорядоченной по цвету амплитуды или форм фактора на случай когда в теории присутствуют поля в других представлениях калибровочной группы [b-89, b-6] и/или рассматриваются другие калибровочные группы помимо SU(Nc) [b-6]. В дальнейшем мы будем рассматривать только парциальные упорядоченные по цвету амплитуды рассеяния и форм факторы.

2.2 Формализм спиральных спиноров

Рассмотрим теперь ещё один важный метод, позволяющий сильно упростить представление конечных ответов для амплитуд рассеяния и обобщённых форм факторов в калибровочных теориях, равно как и сами их вычисления. Этот метод носит название формализма спиральных спиноров, впервые введённый в рассмотрение в [b-51] («Chinese magic»). Дальнейшее педагогическое его изложение можно найти в обзорах [b-5, b-9, b-6, b-7]. В отличии от предыдущего обсуждения сосредоточимся на размерности пространства-времени D = 4.

Без потери общности мы можем перейти от рассмотрения Лоренце-вых векторных индексов v,... к парам Вейлевских спинорных индексов а, а, в, в,... посредствам свёрток соответствующих объектов с

матрицами Паули. Например, для 4-вектора pV и тензора FUV имеем:

jV

Paá (^U)aá p (P'^^)aá

Faa вв = K)aaK)вв Fuv et.c., (2.5)

где aU = (1,al) и <rU = (1, — аг) c a1'2'3 являются обычными матрицами Паули. Сосредоточимся на рассмотрении 4-векторов. Если 4-вектор светоподобен, как в случае с 4-импульсами глюонов, то условие p2 = 0 будет эквивалентно условию det(p) = 0 для матрицы paa или paa. Это, в свою очередь, означает, что такая матрица может быть представлена в факторизованном виде:

paa = Aa да, paa = Да Да (2.6)

где величины A и Л являются Вейлевскими ( SL(2, C) ) спинорами. Для удобства мы будем иногда опускать спинорные индексы у величин. Для фиксированного светоподобного p всегда можно явно выразить A и Д через компоненты p, причём не единственным образом3, так как легко заметить, что соотношение (2.6) определено с точностью до преобразования A М- cA, Л М- с-1 Л, где с £ C. Если импульс p был действительным и сигнатура пространства-времени выбрана стандартным образом (+, —, —, —), то спиноры A и Л в (2.6) являются комплексно сопряжёнными друг к другу (A)* = Л . Если импульс p был комплексным, то величины A и Л в (2.6) являются независимыми. Для Вейлевских спиноров определено Лоренц-инвариантное скалярное произведение через абсолютно антисимметричный символ еав (и еав):

еав A0^ (q) = еав A«^ (q) = (pq),

еав Лa(p)Лв (q) = ^(p)^ (q) = [pq], (2.7)

где запись типа A(p), Л(q) указывает на то, что соответствующие спиноры построены из компонент светоподобных импульсов p и q соответственно. Так же мы ввели широко распространённое в литературе обозначение

3Явные формулы, выражающие компоненты Л и Л через компоненты р, можно найти в [Ь-5] глава 2.2 и в [Ь-7], аппендикс Е. Эти же формулы могут использоваться для численных расчётов, использующих переменные записанные через спиральные спиноры.

для скального произведения спиноров через острые и квадратные скобки. Из определения скалярного произведения следует, что ((р?))* = [р?] и (р?) = -(?р), (рр) = 0. Более того, для обозначения спиноров часто используются бра-кет обозначения:

Аа(р) = |р), А«(р) = (р|, Лса(р) = |р], Ла(р) = [р|. (2.8)

На всякий случай, подчеркнём, что речь пока идёт только о выборе переменных для описания релятивистской кинематики. Никакие процедуры квантования, обсуждения свойств «волновых функций» и/или спина частиц в теории после квантования пока не обсуждаются. Спиральные спиноры, с тем же успехом, могут быть применены, например, для описания классической Максвеловской электродинамики.

Из (2.7) также видно, что А и Л тождественно удовлетворяют уравнениям Вейля:

равА«(р) = 0, е1х. (2.9)

При рассмотрении многочастичных амплитуд рассеяния глюонов (или других безмассовых частиц) всегда приходится рассматривать наборы импульсов подчинённые закону сохранения р1 + ... + рп = 0. В литературе, при работе с подобной кинематикой, приняты обозначения:

(PiPj) = [р1р2] = [и Ь (2.10)

то есть вместо указания всего символа обозначающего импульс, можно указывать только его номер. Аналогичным образом можно поступать при рассмотрении суммы импульсов скомбинированной со спинорами в Лоренц-инвариантное выражение. Сумму импульсов можно рассматривать как матрицу с а и а индексами умноженную слева и справа на какие либо спиноры. Проиллюстрируем эти обозначения на примере. Рассмотрим ситуацию когда п = 6, соответствующую шестичастичной амплитуде рассеяния. Тогда справедливы, в частности, следующие равенства:

ЛаЫ (рГ + рГ + рГ) А«(рв) = [1|2 + 3 + 4|6) =

[1|1 + 5 + 6|6) = [1|5|6) = [15] (56), (2.11)

где в последней строчке мы последовательно воспользовались законом сохранения 4-импульса и свойствами скалярного произведения спиноров (2.7). Используя аналогичные обозначения, мы так же можем записать скалярное произведение 4-векторов р и pj• как:

2(PiPj) = Ш^. (2.12)

Существуют обобщения этого равенства, связывающие циклические произведения чётного числа спинорных «скобочек» с трейсами:

[и]0'«> = ),

[и]0'к>[кт](тг> = tr+(pipjpfc рт),

е^е. (2.13)

где ..) = tr((1 + 74) .. .)/2. Под ^ тут понимается обычный трейс от Дираковских гамма матриц.

В приложениях часто используется, так называемое, тождество Схол-тена (Schouten связывающее линейным образом различные

скалярные произведения линейно независимых Вейлевских спиноров и являющее следствием того, что Вейлевские спиноры образуют линейное пространство размерности 2:

(гг)(к7> = (г? >(к«> + >

Н^ ] = [г? Рг] + [гк][г7 ]. (2.14)

Важным наблюдением связанным со спиральными спинорами, является тот факт, что вектора поляризации, соответствующие внешним линиям Фейнмановских правилах для безмассовых частиц со спином единица (например глюонов), тоже могут быть явно записаны используя спиральные спиноры. Действительно, можно явно проверить, что следующие величины:

(рЫ = Л»(дМа(р) £- (рЫ = Л»(р)^а(д) (215)

удовлетворяют всем соотношениям, которым должны удовлетворять вектора поляризации. А именно, вектора поляризации должны быть поперечными и в системе отсчёта, в которой векторное поле распространяется вдоль заданной оси, они должны принимать стандартную форму

с нулевой временной компонентой и пространственными компонентами соответствующими круговой поляризации .

В определении (2.15) вектора поляризации зависят от двух импульсов. Импульс р соответствует физическому импульсу частицы со спи-ральностью 1, например, глюона. Зависимость же от импульса д параметризует калибровочный произвол. То есть вектора поляризации в (2.15) определены неоднозначным образом, с точностью до калибровочного преобразования. Действительно, пользуясь тем, что Вейлевские спиноры образуют двухмерное линейное пространство, можно показать, выбрав в качестве одного их базисных спиноров А(р), что для двух произвольных светоподобных д и д' выполняется:

(р|д') = (р|д) + /±р««, (2.16)

где /± функции зависят только от произведений спиноров А(р), А(д) и сопряжённых к ним. То есть изменение импульса д (т.е. соответствующего импульсу д спинора) в определении (2.15) эквивалентно сдвигу вектора поляризации на импульс соответствующей частицы, то есть абелевому калибровочному преобразованию.

Предыдущее наблюдение означает, что мы можем полностью переписать Фейнмановские правила для любой калибровочной теории используя спиральные спиноры в качестве переменных и все парциальные упорядоченные по цвету амплитуды рассеяния, вычисленные по таким Фейнмановским правилам, будучи калибровочно инвариантными объектами, должны быть функциями только от спиноров Аг = А(рг), Лг = Л(рг):

= г4 (Аа4? ({Аг, Лг}П=1) , (2.17)

где мы явно не указали ещё зависимость от константы связи и ультрафиолетового/инфракрасного регуляторов. Для древесных амплитуд, соответствующих I = 0, последняя зависимость, очевидно, отсутствует. Калибровочная инвариантность амплитуд рассеяния означает, что они будут функциями только от {Аг, Лг}П=1 в не зависимости от того каким способом они были вычислены. Мы также далее в тексте часто будем

4Подробности и явные выкладки можно найти, например, в ^-5], упражнение 2.10.

опускать явную запись общей дельта функции закона сохранения и отож-

л(0 л (О дествлять Ап и Ап .

При рассмотрении обобщённых форм факторов нам придётся работать с пространственноподобными или времениподобными5 импульсами (то есть с импульсами дг, дг2 = 0), которые несут операторы. Если мы рассматриваем какой либо форм фактор (однократная вставка (не)локального калибровочно инвариантного оператора) то мы, без потери общности, всегда можем записать:

(п

£ ^ А* - д

г=1

где мы воспользовались законом сохранения чтобы исключить зависимость от д в —П'г Более детальные аргументы в пользу (2.18) выглядят следующим образом. Форм факторы, как и амплитуды, преобразуются ковариантным образом при преобразованиях из малой группы Лоренца. В случае амплитуд рассеяния (или форм факторов) безмассовых частиц в О = 4 эти трансформационные свойства особенно просты - амплитуда или форм фактор просто умножаются на фазу (малая группа это 50(0 — 2), что изоморфно и(1) для О = 4). Следовательно, сами спиральные спиноры должны преобразовываться под действием малой группы. Действительно, малая группа действует на спиноры умножая их на соответствующие фазы. Причём выполняется соотношение [Ь-5]:

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Борк Леонид Владимирович, 2025 год

Библиография 2.

[b-1] Navas S. h gp. Review of particle physics. // Phys. Rev. D — 2024.

— Vol. 110, No. 3. — C. 030001.

[b-2] Navas S. h gp. Quantum Chromodynamics. https://pdg .lbl.gov/ 2024/reviews/rpp2024-rev-qcd.pdf. 2025.

[b-3] White C.D. The SAGEX review on scattering amplitudes Chapter 12: Amplitudes and collider physics. // J. Phys. A — 2022. — Vol. 55, No. 44. — C. 443013.

[b-4] Aad G. h gp. The quest to discover supersymmetry at the ATLAS experiment. // CERN-EP-2024-056 — 2024. — Vol. . —.

[b-5] Elvang H. h Huang Y.t. Scattering Amplitudes. // arXiv:1308.1697

— 2013. — Vol. 1308.1697. —.

[b-6] Dixon L.J. «Calculating scattering amplitudes efficiently». B: Theoretical Advanced Study Institute in Elementary Particle Physics (TASI 95): QCD and Beyond. hhb. 1996, c. 539—584.

[b-7] Mangano M.L. h Parke S.J. Multiparton amplitudes in gauge theories. // Phys. Rept. — 1991. — Vol. 200. — C. 301—367.

[b-8] Bern Z., Dixon L.J. h Kosower D.A. Progress in one loop QCD computations. // Ann. Rev. Nucl. Part. Sci. — 1996. — Vol. 46. — C. 109—148.

[b-9] Weinzierl S. Tales of 1001 Gluons. // Phys. Rept. — 2017. — Vol. 676. — C. 1—101.

[b-10] Parke S.J. h Taylor T.R. An Amplitude for n Gluon Scattering. // Phys. Rev. Lett. — 1986. — Vol. 56. — C. 2459.

[b-11] Golfand Y.A. h Likhtman E.P. Extension of the Algebra of Poincare Group Generators and Violation of p Invariance. // JETP Lett. — 1971. — Vol. 13. — C. 323—326.

[b-12] Volkov D.V. h Akulov V.P. Possible universal neutrino interaction. // JETP Lett. — 1972. — Vol. 16. — C. 438—440.

[b-13] Brink L., Schwarz J.H. h Scherk J. Supersymmetric Yang-Mills Theories. // Nucl. Phys. B — 1977. — Vol. 121. — C. 77—92.

[b-14] Brink L., Lindgren O. h Nilsson B.E.W. The Ultraviolet Finiteness of the N=4 Yang-Mills Theory. // Phys. Lett. B — 1983. — Vol. 123.

— C. 323—328.

[b-15] Mandelstam S. Light Cone Superspace and the Ultraviolet Finiteness of the N=4 Model. // Nucl. Phys. B — 1983. — Vol. 213.

— C. 149—168.

[b-16] Howe P.S., Stelle K.S. h Townsend P.K. Miraculous Ultraviolet Cancellations in Supersymmetry Made Manifest. // Nucl. Phys. B — 1984. — Vol. 236. — C. 125—166.

[b-17] Sohnius M.F. h West P.C. Conformal Invariance in N=4 Supersymmetric Yang-Mills Theory. // Phys. Lett. B — 1981. — Vol. 100. — C. 245.

[b-18] Papathanasiou G. The SAGEX review on scattering amplitudes Chapter 5: Analytic bootstraps for scattering amplitudes and beyond. // J. Phys. A — 2022. — Vol. 55, No. 44. — C. 443006.

[b-19] Maldacena J.M. The Large N limit of superconformal field theories and supergravity. // Adv. Theor. Math. Phys. — 1998. — Vol. 2. — C. 231—252.

[b-20] Witten E. Anti de Sitter space and holography. // Adv. Theor. Math. Phys. — 1998. — Vol. 2. — C. 253—291.

[b-21] Roiban R. h Tseytlin A.A. Strong-coupling expansion of cusp anomaly from quantum superstring. // JHEP — 2007. — Vol. 11.

— C. 016.

[b-22] Roiban R., Tirziu A. h Tseytlin A.A. Two-loop world-sheet corrections in AdS(5) x S**5 superstring. // JHEP — 2007. — Vol. 07. — C. 056.

[b-23] Beisert N. The Dilatation operator of N=4 super Yang-Mills theory and integrability. // Phys. Rept. — 2004. — Vol. 405. — C. 1—202.

[b-24] Beisert N. h Staudacher M. Long-range psu(2,2|4) Bethe Ansatze for gauge theory and strings. // Nucl. Phys. B — 2005. — Vol. 727.

— C. 1—62.

[b-25] Basso B. Exciting the GKP string at any coupling. // Nucl. Phys. B — 2012. — Vol. 857. — C. 254—334.

[b-26] Gromov N., Kazakov V. h Vieira P. Exact Spectrum of Anomalous Dimensions of Planar N=4 Supersymmetric Yang-Mills Theory. // Phys. Rev. Lett. — 2009. — Vol. 103. — C. 131601.

[b-27] Basso B., Sever A. h Vieira P. Spacetime and Flux Tube S-Matrices at Finite Coupling for N=4 Supersymmetric Yang-Mills Theory. // Phys. Rev. Lett. — 2013. — Vol. 111, No. 9. — C. 091602.

[b-28] Basso B. h gp. Asymptotic Four Point Functions. // JHEP — 2019.

— Vol. 07. — C. 082.

[b-29] Arkani-Hamed N. h gp. Solving Scattering in N = 4 Super-Yang-Mills Theory. // CERN-TH-2022-123 — 2022. — Vol. 123. —.

[b-30] Wilhelm M.O. «Form factors and the dilatation operator in N=4 super Yang-Mills theory and its deformations». PhD thesis. Odense U., Humboldt U., Berlin, 2016.

[b-31] Basso B. h Korchemsky G.P. Nonperturbative scales in AdS/CFT. // J. Phys. A — 2009. — Vol. 42. — C. 254005.

[b-32] Bern Z., Dixon L.J. h Smirnov V.A. Iteration of planar amplitudes in maximally supersymmetric Yang-Mills theory at three loops and beyond. // Phys. Rev. D — 2005. — Vol. 72. — C. 085001.

[b-33] Cachazo F., Spradlin M. h Volovich A. Iterative structure within the five-particle two-loop amplitude. // Phys. Rev. D — 2006. — Vol. 74. — C. 045020.

[b-34] Kotikov A.V. h gp. Three loop universal anomalous dimension of the Wilson operators in N = 4 SUSY Yang-Mills model. // Phys. Lett. B — 2004. — Vol. 595. — C. 521—529.

[b-35] Kotikov A.V. h Lipatov L.N. «DGLAP and BFKL evolution equations in the N=4 supersymmetric gauge theory». B: 35th Annual Winter School on Nuclear and Particle Physics. ^eK. 2001.

[b-36] Dixon L.J. The Principle of Maximal Transcendentality and the Four-Loop Collinear Anomalous Dimension. // JHEP — 2018. — Vol. 01. — C. 075.

[b-37] Sudakov V.V. Vertex parts at very high-energies in quantum electrodynamics. // Sov. Phys. JETP — 1956. — Vol. 3. — C. 65— 71.

[b-38] Mueller A.H. On the Asymptotic Behavior of the Sudakov Form-factor. // Phys. Rev. D — 1979. — Vol. 20. — C. 2037.

[b-39] Korchemsky G.P. Sudakov Form-factor in QCD. // Phys. Lett. B — 1989. — Vol. 220. — C. 629—634.

[b-40] Magnea L. h Sterman G.F. Analytic continuation of the Sudakov form-factor in QCD. // Phys. Rev. D — 1990. — Vol. 42. — C. 4222—4227.

[b-41] Sterman G.F. h Tejeda-Yeomans M.E. Multiloop amplitudes and resummation. // Phys. Lett. B — 2003. — Vol. 552. — C. 48—56.

[b-42] Gehrmann T. h gp. Two-Loop QCD Corrections to the Helicity Amplitudes for H ^ 3 partons. // JHEP — 2012. — Vol. 02. — C. 056.

[b-43] Brandhuber A., Travaglini G. h Yang G. Analytic two-loop form factors in N=4 SYM. // JHEP — 2012. — Vol. 05. — C. 082.

[b-44] Britto R. h gp. Direct proof of tree-level recursion relation in Yang-Mills theory. // Phys. Rev. Lett. — 2005. — Vol. 94. — C. 181602.

[b-45] Britto R., Cachazo F. h Feng B. New recursion relations for tree amplitudes of gluons. // Nucl. Phys. B — 2005. — Vol. 715. — C. 499—522.

[b-46] Britto R., Cachazo F. h Feng B. Generalized unitarity and one-loop amplitudes in N=4 super-Yang-Mills. // Nucl. Phys. B — 2005. — Vol. 725. — C. 275—305.

[b-47] Cachazo F., Svrcek P. h Witten E. MHV vertices and tree amplitudes in gauge theory. // JHEP — 2004. — Vol. 09. — C. 006.

[b-48] Bern Z. h gp. One loop n point gauge theory amplitudes, unitarity and collinear limits. // Nucl. Phys. B — 1994. — Vol. 425. — C. 217—260.

[b-49] Bern Z. h gp. Fusing gauge theory tree amplitudes into loop amplitudes. // Nucl. Phys. B — 1995. — Vol. 435. — C. 59—101.

[b-50] Bern Z. h gp. Generalized Unitarity and Six-Dimensional Helicity. // Phys. Rev. D — 2011. — Vol. 83. — C. 085022.

[b-51] Xu Z., Zhang D.H. h Chang L. Helicity Amplitudes for Multiple Bremsstrahlung in Massless Nonabelian Gauge Theories. // Nucl. Phys. B — 1987. — Vol. 291. — C. 392—428.

[b-52] Drummond J.M. h gp. Dual superconformal symmetry of scattering amplitudes in N=4 super-Yang-Mills theory. // Nucl. Phys. B — 2010. — Vol. 828. — C. 317—374.

[b-53] Chicherin D., Derkachov S. h Kirschner R. Yang-Baxter operators and scattering amplitudes in N=4 super-Yang-Mills theory. // Nucl. Phys. B — 2014. — Vol. 881. — C. 467—501.

[b-54] Loebbert F. Lectures on Yangian Symmetry. // J. Phys. A — 2016.

— Vol. 49, No. 32. — C. 323002.

[b-55] Kanning N., Lukowski T. h Staudacher M. A shortcut to general tree-level scattering amplitudes in N =4 SYM via integrability. // Fortsch. Phys. — 2014. — Vol. 62. — C. 556—572.

[b-56] Broedel J., de Leeuw M. h Rosso M. A dictionary between R-operators, on-shell graphs and Yangian algebras. // JHEP — 2014.

— Vol. 06. — C. 170.

[b-57] Benna M.K. h gp. A Test of the AdS/CFT correspondence using high-spin operators. // Phys. Rev. Lett. — 2007. — Vol. 98. — C. 131603.

[b-58] Smirnov V.A. Analytic tools for Feynman integrals. T. 250. Springer, 2012.

[b-59] Smirnov V.A. Evaluating multiloop Feynman integrals by Mellin-Barnes representation. // Nucl. Phys. B Proc. Suppl. — 2004. — Vol. 135. — C. 252—256.

[b-60] Gluza J., Kajda K. h Riemann T. AMBRE: A Mathematica package for the construction of Mellin-Barnes representations for Feynman integrals. // Comput. Phys. Commun. — 2007. — Vol. 177. — C. 879—893.

[b-61] Smirnov A.V. h Smirnov V.A. On the Resolution of Singularities of Multiple Mellin-Barnes Integrals. // Eur. Phys. J. C — 2009. — Vol. 62. — C. 445—449.

[b-62] Lee R.N. Reducing differential equations for multiloop master integrals. // JHEP — 2015. — Vol. 04. — C. 108.

[b-63] Henn J.M. Multiloop integrals in dimensional regularization made simple. // Phys. Rev. Lett. — 2013. — Vol. 110. — C. 251601.

[b-64] Kotikov A.V. Differential equations method: New technique for massive Feynman diagrams calculation. // Phys. Lett. B — 1991. — Vol. 254. — C. 158—164.

[b-65] Kotikov A.V. «Differential equation method. The Calculation of n point diagrams». B: 3rd International Workshop on Software Engineering, Artificial Intelligence and Expert systems for High-energy and Nuclear Physics. Hoa6. 1993.

[b-66] Remiddi E. Differential equations for Feynman graph amplitudes. // Nuovo Cim. A — 1997. — Vol. 110. — C. 1435—1452.

[b-67] Smirnov A.V., Shapurov N.D. h Vysotsky L.I. FIESTA5: Numerical high-performance Feynman integral evaluation. // Comput. Phys. Commun. — 2022. — Vol. 277. — C. 108386.

[b-68] Czakon M. Automatized analytic continuation of Mellin-Barnes integrals. // Comput. Phys. Commun. — 2006. — Vol. 175. — C. 559—571.

[b-69] Duhr C. h Dulat F. PolyLogTools — polylogs for the masses. // JHEP — 2019. — Vol. 08. — C. 135.

[b-70] Brandhuber A. h gp. Harmony of Super Form Factors. // JHEP

— 2011. — Vol. 10. — C. 046.

[b-71] Frassek R. h gp. On-shell diagrams, Graßmannians and integrability for form factors. // JHEP — 2016. — Vol. 01. — C. 182.

[b-72] Bianchi L. h gp. Dual conformal invariance for form factors. // JHEP — 2019. — Vol. 02. — C. 134.

[b-73] Basso B. h Tumanov A.G. Wilson loop duality and OPE for super form factors of half-BPS operators. // JHEP — 2024. — Vol. 02.

— C. 022.

[b-74] Sever A., Tumanov A.G. h Wilhelm M. Operator Product Expansion for Form Factors. // Phys. Rev. Lett. — 2021. — Vol. 126, No. 3. — C. 031602.

[b-75] Cordova L. Hexagon POPE: effective particles and tree level resummation. // JHEP — 2017. — Vol. 01. — C. 051.

[b-76] Lam H.T. h von Hippel M. Resumming the POPE at One Loop. // JHEP — 2016. — Vol. 12. — C. 011.

[b-77] Brandhuber A. h gp. The last of the simple remainders. // JHEP

— 2014. — Vol. 08. — C. 100.

[b-78] Dixon L.J. h gp. Bootstrapping a stress-tensor form factor through eight loops. // JHEP — 2022. — Vol. 07. — C. 153.

[b-79] Basso B., Dixon L.J. h Tumanov A.G. The three-point form factor of Tr 03 to six loops. // JHEP — 2025. — Vol. 02. — C. 034.

[b-80] Kazakov D.I. On a Generalization of Renormalization Group Equations to Quantum Field Theories of an Arbitrary Type. // Theor. Math. Phys. — 1988. — Vol. 75. — C. 440—442.

[b-81] Buchler M. h Colangelo G. Renormalization group equations for effective field theories. // Eur. Phys. J. C — 2003. — Vol. 32. — C. 427—442.

[b-82] Koschinski J., Polyakov M.V. h Vladimirov A.A. Leading Infrared Logarithms from Unitarity, Analyticity and Crossing. // Phys. Rev. D — 2010. — Vol. 82. — C. 014014.

[b-83] Polyakov M.V. h gp. Quasirenormalizable Quantum Field Theories. // Theor. Math. Phys. — 2019. — Vol. 200, No. 2. — C. 1176—1192.

[b-84] Grozin A. «Lectures on QED and QCD». B: 3rd Dubna International Advanced School of Theoretical Physics. Abr 2005.

[b-85] Paton J.E. h Chan H.M. Generalized veneziano model with isospin. // Nucl. Phys. B — 1969. — Vol. 10. — C. 516—520.

[b-86] Brandhuber A. h gp. Form Factors in N=4 Super Yang-Mills and Periodic Wilson Loops. // JHEP — 2011. — Vol. 01. — C. 134.

[b-87] Kotko P. Wilson lines and gauge invariant off-shell amplitudes. // JHEP — 2014. — Vol. 07. — C. 128.

[b-88] Bern Z., De Freitas A. h Dixon L.J. Two loop helicity amplitudes for gluon-gluon scattering in QCD and supersymmetric Yang-Mills theory. // JHEP — 2002. — Vol. 03. — C. 018.

[b-89] Bern Z., Dixon L.J. h Kosower D.A. One loop corrections to two quark three gluon amplitudes. // Nucl. Phys. B — 1995. — Vol. 437. — C. 259—304.

[b-90] Witten E. Perturbative gauge theory as a string theory in twistor space. // Commun. Math. Phys. — 2004. — Vol. 252. — C. 189— 258.

[b-91] Nair V.P. A Current Algebra for Some Gauge Theory Amplitudes. // Phys. Lett. B — 1988. — Vol. 214. — C. 215—218.

[b-92] Sokatchev E. Light Cone Harmonic Superspace and Its Applications. // Phys. Lett. B — 1986. — Vol. 169. — C. 209—214.

[b-93] Brink L., Lindgren O. h Nilsson B.E.W. N=4 Yang-Mills Theory on the Light Cone. // Nucl. Phys. B — 1983. — Vol. 212. — C. 401— 412.

[b-94] Fu C.H. h Kallosh R. New N=4 SYM Path Integral. // Phys. Rev. D — 2010. — Vol. 82. — C. 125022.

[b-95] Gates S.J. h gp. Superspace Or One Thousand and One Lessons in Supersymmetry. T. 58. Frontiers in Physics. 1983. ISBN: 978-0-80533161-5.

[b-96] Hartwell G.G. h Howe P.S. (N, p, q) harmonic superspace. // Int. J. Mod. Phys. A — 1995. — Vol. 10. — C. 3901—3920.

[b-97] Eden B. h gp. The super-correlator/super-amplitude duality: Part I. // Nucl. Phys. B — 2013. — Vol. 869. — C. 329—377.

[b-98] Galperin A. h gp. Unconstrained Off-Shell N=3 Supersymmetric Yang-Mills Theory. // Class. Quant. Grav. — 1985. — Vol. 2. — C. 155.

[b-99] Zupnik B.M. N=4 multiplets in N=3 harmonic superspace. // Theor. Math. Phys. — 2004. — Vol. 140. — C. 1121—1134.

[b-100] Buchbinder I.L. h gp. Superconformal N=3 SYM Low-Energy Effective Action. // JHEP — 2012. — Vol. 01. — C. 001.

[b-101] Galperin A. h gp. Unconstrained N=2 Matter, Yang-Mills and Supergravity Theories in Harmonic Superspace. // Class. Quant. Grav. — 1984. — Vol. 1. — C. 469—498.

[b-102] Alday L.F. h gp. Scattering into the fifth dimension of N=4 super Yang-Mills. // JHEP — 2010. — Vol. 01. — C. 077.

[b-103] Craig N. h gp. Massive amplitudes on the Coulomb branch of N=4 SYM. // JHEP — 2011. — Vol. 12. — C. 097.

[b-104] Drummond J.M. h gp. Generalized unitarity for N=4 superamplitudes. // Nucl. Phys. B — 2013. — Vol. 869. — C. 452— 492.

[b-105] Kirschner R., Lipatov L.N. h Szymanowski L. Effective action for multi - Regge processes in QCD. // Nucl. Phys. B — 1994. — Vol. 425. — C. 579—594.

[b-106] Lipatov L.N. Gauge invariant effective action for high-energy processes in QCD. // Nucl. Phys. B — 1995. — Vol. 452. — C. 369— 400.

[b-107] van Hameren A. BCFW recursion for off-shell gluons. // JHEP — 2014. — Vol. 07. — C. 138.

[b-108] Penante B. h gp. On super form factors of half-BPS operators in N=4 super Yang-Mills. // JHEP — 2014. — Vol. 04. — C. 083.

[b-109] Arkani-Hamed N., Cachazo F. h Kaplan J. What is the Simplest Quantum Field Theory? // JHEP — 2010. — Vol. 09. — C. 016.

[b-110] Conde E. h Rajabi S. The Twelve-Graviton Next-to-MHV Amplitude from Risager's Construction. // JHEP — 2012. — Vol. 09. — C. 120.

[b-111] Berends F.A. h Giele W.T. Recursive Calculations for Processes with n Gluons. // Nucl. Phys. B — 1988. — Vol. 306. — C. 759— 808.

[b-112] Arkani-Hamed N. h gp. The S-Matrix in Twistor Space. // JHEP

— 2010. — Vol. 03. — C. 110.

[b-113] Arkani-Hamed N. h gp. A Duality For The S Matrix. // JHEP — 2010. — Vol. 03. — C. 020.

[b-114] Drummond J.M. h Henn J.M. All tree-level amplitudes in N=4 SYM. // JHEP — 2009. — Vol. 04. — C. 018.

[b-115] Hodges A. Eliminating spurious poles from gauge-theoretic amplitudes. // JHEP — 2013. — Vol. 05. — C. 135.

[b-116] Mason L.J. h Skinner D. Dual Superconformal Invariance, Momentum Twistors and Grassmannians. // JHEP — 2009. — Vol. 11. — C. 045.

[b-117] Bogolyubov N.N. h Shirkov D.V. INTRODUCTION TO THE THEORY OF QUANTIZED FIELDS. T. 3. 1959.

[b-118] Drummond J.M. h gp. Magic identities for conformal four-point integrals. // JHEP — 2007. — Vol. 01. — C. 064.

[b-119] Penrose R. h MacCallum M.A.H. Twistor theory: An Approach to the quantization of fields and space-time. // Phys. Rept. — 1972.

— Vol. 6. — C. 241—316.

[b-120] Arkani-Hamed N., Cachazo F. h Cheung C. The Grassmannian Origin Of Dual Superconformal Invariance. // JHEP — 2010. — Vol. 03. — C. 036.

[b-121] Ben-Israel R., Tumanov A.G. h Sever A. Scattering amplitudes — Wilson loops duality for the first non-planar correction. // JHEP

— 2018. — Vol. 08. — C. 122.

[b-122] Arkani-Hamed N. h gp. Grassmannian Geometry of Scattering Amplitudes. Cambridge University Press, anp. 2016.

[b-123] Arkani-Hamed N. h gp. Unification of Residues and Grassmannian Dualities. // JHEP — 2011. — Vol. 01. — C. 049.

[b-124] Elvang H. h gp. Grassmannians for scattering amplitudes in 4d N = 4 SYM and 3d ABJM. // JHEP — 2014. — Vol. 12. — C. 181.

[b-125] Strominger A. h Zhiboedov A. Gravitational Memory, BMS Supertranslations and Soft Theorems. // JHEP — 2016. — Vol. 01.

— C. 086.

[b-126] Casali E. Soft sub-leading divergences in Yang-Mills amplitudes. // JHEP — 2014. — Vol. 08. — C. 077.

[b-127] Balitsky I. High-energy QCD and Wilson lines. // arXiv:0101042[hep-ph] — 2001. — Vol. 0101042. —.

[b-128] Meidinger D. h gp. A note on NMHV form factors from the Graßmannian and the twistor string. // JHEP — 2017. — Vol. 09.

— C. 024.

[b-129] Bolshov A.E. Gluing operation and form factors of local operators in N =4 Super Yang-Mills theory. // EPJ Web Conf. — 2018. — Vol. 177. — C. 09004.

[b-130] Drummond J.M., Henn J.M. h Plefka J. Yangian symmetry of scattering amplitudes in N=4 super Yang-Mills theory. // JHEP

— 2009. — Vol. 05. — C. 046.

[b-131] Drummond J.M. h Ferro L. The Yangian origin of the Grassmannian integral. // JHEP — 2010. — Vol. 12. — C. 010.

[b-132] Korchemsky G.P. и Sokatchev E. Superconformal invariants for scattering amplitudes in N=4 SYM theory. // Nucl. Phys. B — 2010. — Vol. 839. — С. 377—419.

[b-133] Faddeev L.D. «How algebraic Bethe ansatz works for integrable model». В: Les Houches School of Physics: Astrophysical Sources of Gravitational Radiation. Май 1996, pp. 149—219.

[b-134] Drummond J.M. и Ferro L. Yangians, Grassmannians and T-duality. // JHEP — 2010. — Vol. 07. — С. 027.

[b-135] Beisert N., Eden B. и Staudacher M. Transcendentality and Crossing. // J. Stat. Mech. — 2007. — Vol. 0701. — С. P01021.

[b-136] Eden B. и Staudacher M. Integrability and transcendentality. // J. Stat. Mech. — 2006. — Vol. 0611. — С. P11014.

[b-137] Arkani-Hamed N. и др. The All-Loop Integrand For Scattering Amplitudes in Planar N=4 SYM. // JHEP — 2011. — Vol. 01. — С. 041.

[b-138] Basso B., Sever A. и Vieira P. Space-time S-matrix and Flux tube S-matrix II. Extracting and Matching Data. // JHEP — 2014. — Vol. 01. — С. 008.

[b-139] Bern Z., Dixon L.J. и Kosower D.A. Dimensionally regulated pentagon integrals. // Nucl. Phys. B — 1994. — Vol. 412. — С. 751— 816.

[b-140] Bern Z., Dixon L.J. и Kosower D.A. Dimensionally regulated one loop integrals. // Phys. Lett. B — 1993. — Vol. 302. — С. 299—308.

[b-141] Bern Z. и Huang Y.t. Basics of Generalized Unitarity. // J. Phys. A — 2011. — Vol. 44. — С. 454003.

[b-142] Johansson H., Kosower D.A. и Larsen K.J. An Overview of Maximal Unitarity at Two Loops. // PoS — 2012. — Vol. LL2012. — С. 066.

[b-143] Chetyrkin K.G. и Tkachov F.V. Integration by parts: The algorithm to calculate в-functions in 4 loops. // Nucl. Phys. B — 1981. — Vol. 192. — С. 159—204.

[b-144] Bern Z. и др. The Four-Loop Planar Amplitude and Cusp Anomalous Dimension in Maximally Supersymmetric Yang-Mills Theory. // Phys. Rev. D — 2007. — Vol. 75. — С. 085010.

[b-145] Bern Z. и др. The Complete Four-Loop Four-Point Amplitude in N=4 Super-Yang-Mills Theory. // Phys. Rev. D — 2010. — Vol. 82.

— С. 125040.

[b-146] Bern Z. и др. The Five-Loop Four-Point Amplitude of N=4 super-Yang-Mills Theory. // Phys. Rev. Lett. — 2012. — Vol. 109. — С. 241602.

[b-147] Ellis R.K. и Zanderighi G. Scalar one-loop integrals for QCD. // JHEP — 2008. — Vol. 02. — С. 002.

[b-148] Forde D. Direct extraction of one-loop integral coefficients. // Phys. Rev. D — 2007. — Vol. 75. — С. 125019.

[b-149] Kinoshita T. Mass singularities of Feynman amplitudes. // J.Math. Phys. — 1962. — Vol. 3. — С. 650—677.

[b-150] Lee T.D. и Nauenberg M. Degenerate Systems and Mass Singularities. // Phys. Rev. — 1964. — Vol. 133. — С. B1549— B1562.

[b-151] Ellis S.D., Kunszt Z. и Soper D.E. The One Jet Inclusive Cross-Section at Order alpha-s**3. 1. Gluons Only. // Phys. Rev. D —

1989. — Vol. 40. — С. 2188—2222.

[b-152] Ellis S.D., Kunszt Z. и Soper D.E. The One Jet Inclusive Cross-section at Order a^ : Quarks and Gluons. // Phys. Rev. Lett. —

1990. — Vol. 64. — С. 2121.

[b-153] Usyukina N.I. и Davydychev A.I. An Approach to the evaluation of three and four point ladder diagrams. // Phys. Lett. B — 1993. — Vol. 298. — С. 363—370.

[b-154] Anastasiou C. и др. D-dimensional unitarity cut method. // Phys. Lett. B — 2007. — Vol. 645. — С. 213—216.

[b-155] Dixon L.J., Magnea L. и Sterman G.F. Universal structure of subleading infrared poles in gauge theory amplitudes. // JHEP

— 2008. — Vol. 08. — С. 022.

[b-156] Bern Z., Rozowsky J.S. h Yan B. Two loop four gluon amplitudes in N=4 superYang-Mills. // Phys. Lett. B — 1997. — Vol. 401. — C. 273—282.

[b-157] van Neerven W.L. Infrared Behavior of On-shell Form-factors in a N = 4 Supersymmetric Yang-Mills Field Theory. // Z. Phys. C —

1986. — Vol. 30. — C. 595.

[b-158] Gehrmann T., Henn J.M. h Huber T. The three-loop form factor in N=4 super Yang-Mills. // JHEP — 2012. — Vol. 03. — C. 101.

[b-159] Grisaru M.T., Rocek M. h Siegel W. Superloops 3, Beta 0: A Calculation in N = 4 Yang-Mills Theory. // Nucl. Phys. B — 1981. — Vol. 183. — C. 141—156.

[b-160] Anastasiou C. h gp. Planar amplitudes in maximally supersymmetric Yang-Mills theory. // Phys. Rev. Lett. — 2003. — Vol. 91. — C. 251602.

[b-161] Korchemsky G.P. h Radyushkin A.V. Renormalization of the Wilson Loops Beyond the Leading Order. // Nucl. Phys. B —

1987. — Vol. 283. — C. 342—364.

[b-162] Forte S. On the Sudakov form factor, and a factor of two. // arXiv:2001.04995 [hep-ph] — 2020. — Vol. 2001.04995. —.

[b-163] Drummond J.M., Korchemsky G.P. h Sokatchev E. Conformal properties of four-gluon planar amplitudes and Wilson loops. // Nucl. Phys. B — 2008. — Vol. 795. — C. 385—408.

[b-164] Boels R.H. h O'Connell D. Simple superamplitudes in higher dimensions. // JHEP — 2012. — Vol. 06. — C. 163.

[b-165] Cheung C. h O'Connell D. Amplitudes and Spinor-Helicity in Six Dimensions. // JHEP — 2009. — Vol. 07. — C. 075.

[b-166] Caron-Huot S. h O'Connell D. Spinor Helicity and Dual Conformal Symmetry in Ten Dimensions. // JHEP — 2011. — Vol. 08. — C. 014.

[b-167] Dennen T., Huang Y.t. h Siegel W. Supertwistor space for 6D maximal super Yang-Mills. // JHEP — 2010. — Vol. 04. — C. 127.

[b-168] Brandhuber A. и др. One-loop Amplitudes in Six-Dimensional (1,1) Theories from Generalised Unitarity. // JHEP — 2011. — Vol. 02.

— С. 077.

[b-169] Buchbinder I.L. и др. Gauge theory in deformed N = (1,1) superspace. // Phys. Part. Nucl. — 2008. — Vol. 39. — С. 759—797.

[b-170] Mafra C.R. и Schlotterer O. Two-loop five-point amplitudes of super Yang-Mills and supergravity in pure spinor superspace. // JHEP

— 2015. — Vol. 10. — С. 124.

[b-171] Caron-Huot S. и Coronado F. Ten dimensional symmetry of N = 4 SYM correlators. // JHEP — 2022. — Vol. 03. — С. 151.

[b-172] Henn J.M. и др. More loops and legs in Higgs-regulated N=4 SYM amplitudes. // JHEP — 2010. — Vol. 08. — С. 002.

[b-173] Henn J.M. и др. Higgs-regularized three-loop four-gluon amplitude in N=4 SYM: exponentiation and Regge limits. // JHEP — 2010.

— Vol. 04. — С. 038.

[b-174] Henn J.M., Moch S. и Naculich S.G. Form factors and scattering amplitudes in N=4 SYM in dimensional and massive regularizations. // JHEP — 2011. — Vol. 12. — С. 024.

[b-175] Belitsky A.V. и Korchemsky G.P. Exact null octagon. // JHEP — 2020. — Vol. 05. — С. 070.

[b-176] Coronado F. Bootstrapping the Simplest Correlator in Planar N = 4 Supersymmetric Yang-Mills Theory to All Loops. // Phys. Rev. Lett. — 2020. — Vol. 124, No. 17. — С. 171601.

[b-177] Pikelner A. Three-loop vertex integrals at symmetric point. // JHEP — 2021. — Vol. 06. — С. 083.

[b-178] Remiddi E. и Vermaseren J.A.M. Harmonic polylogarithms. // Int. J. Mod. Phys. A — 2000. — Vol. 15. — С. 725—754.

[b-179] Smirnov V.A. и Rakhmetov E.R. The Strategy of regions for asymptotic expansion of two loop vertex Feynman diagrams. // Theor. Math. Phys. — 1999. — Vol. 120. — С. 870—875.

[b-180] Heinrich G. и др. Expansion by regions with pySecDec. // Comput. Phys. Commun. — 2022. — Vol. 273. — С. 108267.

[b-181] Jantzen B., Smirnov A.V. и Smirnov V.A. Expansion by regions: revealing potential and Glauber regions automatically. // Eur. Phys. J. C — 2012. — Vol. 72. — С. 2139.

[b-182] Belitsky A.V., Smirnov A.V. и Smirnov V.A. MB tools reloaded. // Nucl. Phys. B — 2023. — Vol. 986. — С. 116067.

[b-183] Belitsky A.V. и Smirnov V.A. Near mass-shell double boxes. // JHEP — 2024. — Vol. 05. — С. 155.

[b-184] A. B. Goncharov. Multiple polylogarithms and mixed Tate motives. // arXiv:0103059 [math] — 2001. — Vol. 0103059. —.

[b-185] Goncharov A.B. и др. Classical Polylogarithms for Amplitudes and Wilson Loops. // Phys. Rev. Lett. — 2010. — Vol. 105. — С. 151605.

[b-186] Drummond J.M. и др. On planar gluon amplitudes/Wilson loops duality. // Nucl. Phys. B — 2008. — Vol. 795. — С. 52—68.

[b-187] Drummond J.M. и др. Hexagon Wilson loop = six-gluon MHV amplitude. // Nucl. Phys. B — 2009. — Vol. 815. — С. 142—173.

[b-188] Caron-Huot S. Notes on the scattering amplitude / Wilson loop duality. // JHEP — 2011. — Vol. 07. — С. 058.

[b-189] Belitsky A.V., Korchemsky G.P. и Sokatchev E. Are scattering amplitudes dual to super Wilson loops? // Nucl. Phys. B — 2012.

— Vol. 855. — С. 333—360.

[b-190] Belitsky A.V. Conformal anomaly of super Wilson loop. // Nucl. Phys. B — 2012. — Vol. 862. — С. 430—449.

[b-191] Alday L.F. и др. An Operator Product Expansion for Polygonal null Wilson Loops. // JHEP — 2011. — Vol. 04. — С. 088.

[b-192] Gubser S.S., Klebanov I.R. и Polyakov A.M. Gauge theory correlators from noncritical string theory. // Phys. Lett. B — 1998.

— Vol. 428. — С. 105—114.

[b-193] Basso B., Sever A. h Vieira P. Space-time S-matrix and Flux-tube S-matrix III. The two-particle contributions. // JHEP — 2014. — Vol. 08. — C. 085.

[b-194] Basso B., Sever A. h Vieira P. Space-time S-matrix and Flux-tube S-matrix IV. Gluons and Fusion. // JHEP — 2014. — Vol. 09. — C. 149.

[b-195] Basso B. h gp. OPE for all Helicity Amplitudes. // JHEP — 2015.

— Vol. 08. — C. 018.

[b-196] Basso B. h gp. OPE for all Helicity Amplitudes II. Form Factors and Data Analysis. // JHEP — 2015. — Vol. 12. — C. 088.

[b-197] Dixon L.J. h von Hippel M. Bootstrapping an NMHV amplitude through three loops. // JHEP — 2014. — Vol. 10. — C. 065.

[b-198] Caron-Huot S. h gp. Six-Gluon amplitudes in planar N = 4 super-Yang-Mills theory at six and seven loops. // JHEP — 2019. — Vol. 08. — C. 016.

[b-199] Bogoliubov N.N. h Parasiuk O.S. On the Multiplication of the causal function in the quantum theory of fields. // Acta Math. — 1957. — Vol. 97. — C. 227—266.

[b-200] Hepp K. Proof of the Bogolyubov-Parasiuk theorem on renormalization. // Commun. Math. Phys. — 1966. — Vol. 2. — C. 301—326.

[b-201] Zimmermann W. Convergence of Bogolyubov's method of renormalization in momentum space. // Commun. Math. Phys.

— 1969. — Vol. 15. — C. 208—234.

[b-202] 't Hooft G. Dimensional regularization and the renormalization group. // Nucl. Phys. B — 1973. — Vol. 61. — C. 455—468.

[b-203] J. C. Collins. Renormalization: An Introduction to Renormalization, the Renormalization Group and the Operator-Product Expansion. T. 26. Cambridge Monographs on Mathematical Physics. Cambridge: Cambridge University Press, 1984. ISBN: 978-0-52131177-9.

[b-204] Roiban R. On spin chains and field theories. // JHEP — 2004. — Vol. 09. — C. 023.