Аналитические представления и устойчивость решений линейных систем функционально-разностных уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Кукушкина, Евгения Викторовна

• Кукушкина, Евгения Викторовна
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кукушкина, Евгения Викторовна

ВВЕДЕНИЕ.3 *

Глава 1. СТАЦИОНАРНЫЕ СИСТЕМЫ

ФУНКЦИОНАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ.

1.1. Начальная задача Коши для функционально-разностных уравнений

1.2. Представления решений стационарных функционально-разностных уравнений.

1.3. Уравнения для функций S и Т.

Глава 2. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ СИСТЕМЫ

ФУНКЦИОНАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ.

2.1. Условия существования и единственности решений начальной задачи Коши.

2.2. Общий вид решений нестационарных функционально-разностных уравнений.

2.3. Методы нахождения функциональных зависимостей, определяющих аналитические представления общего решения

2.4. Продолжимость решений функционально-разностных уравнений на всю числовую ось.

2.5. Связь функционально-разностных уравнений с функционально-дифференциальными уравнениями.

Глава 3. УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ

ФУНКЦИОНАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ.

3.1. Стационарные системы функционально-разностных уравнений

3.2. Нестационарные системы функционально-разностных уравнений

3.3. Периодические системы функционально-разностных уравнений

3.4. Устойчивость динамических процессов в математической модели производства товаров.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Аналитические представления и устойчивость решений линейных систем функционально-разностных уравнений»

Актуальность. Исследования разностных уравнений с дискретным аргументом имеют большую историю и продолжаются в наши дни [3], [12], [33], [71], [73], [75], [76], [80], [83]. Интерес к ним стимулируется вопросами математического моделирования в различных областях естествознания и проблемами теоретического обоснования вычислительных алгоритмов. Фундаментальные основы теории этих уравнений изложены в монографиях А.О. Гельфонда [16], А. Халаная и Д. Векслера [63], Д.И. Мартынюка [43], И.В. Гайшуна [15], A.M. Самарского [56]. Развитие теории разностных уравнений с непрерывным аргументом стимулируется потребностями математического моделирования и проблемами, связанными с нахождением решений функциональных уравнений, которые появляются в ходе изучения различных математических объектов. Исследования разностных уравнений установили их тесную связь с дифференциально-разностными уравнениями. Поэтому терминология и методология исследования последних уравнений, изложенная в монографиях [1], [7], [35], [36], [47], [64], [68], [69], может быть использована для разностных уравнений. Наиболее изученным объектом оказались разностные уравнения с постоянными отклонениями аргументов [2], [9]—[11], [27], [35], [41], [44], [45], [50]-[52], [58], [62], [66], [72], [74], [81], [82]. Для данного класса систем получены условия существования решений разной степени гладкости, найдены представления общего решения линейной неоднородной системы и разработаны методы исследования устойчивости. Разностные уравнения с переменными отклонениями аргументов называют также функциональными уравнениями. Проблема существования и представления решений для них является достаточно сложной. Она изучалась в работах [4], [6], [20], [28], [38], [39], [46], [49], [53]-[55], [57], [78], [79]. Спектральные свойства операторов, порождаемых функциональными уравнениями, исследовались, прежде всего, в связи с изучением функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа [1], [8], [29], [40]. Разностные уравнения с распределенными отклонениями аргументов изучены плохо. В настоящей работе мы называем их функционально-разностными по аналогии с функционально-дифференциальными уравнениями. Такие объекты привлекали внимание исследователей в ходе изучения математических моделей, описываемых интегральными уравнениями Вольтерры [14], [59] и функционально-дифференциальными уравнениями нейтрального типа [5], [64], [67], [77]. Установлена связь линейных стационарных функционально-разностных уравнений [64], [77] с теорией сильно непрерывных полугрупп. Также для этих уравнений доказано утверждение, позволяющее делать заключение об устойчивости нулевого решения на основе анализа расположения корней характеристического уравнения [64], [77]. Объектом исследования настоящей работы является линейная система функционально-разностных уравнений.

Цель работы. Предложить методы построения общего решения линейной системы функционально-разностных уравнений в стационарном и нестационарном случаях. Полученные результаты использовать при исследовании устойчивости рассматриваемых систем.

Научная новизна. Результаты, представленные в диссертации, являются новыми и позволяют находить решения начальной задачи Коши для систем функционально-разностных уравнений, а также устанавливать условия устойчивости решений этих уравнений. На защиту выносятся следующие результаты:

1) Установлены условия существования и единственности непрерывных решений начальной задачи Коши для стационарных и нестационарных систем функционально-разностных уравнений.

2) Получены аналитические представления общих решений стационарных и нестационарных систем функционально-разностных уравнений.

3) Разработаны методы нахождения функциональных зависимостей, определяющих аналитические представления общих решений.

4) В функциональном пространстве состояний введены понятия эволюционного оператора, оператора монодромии и доказаны общие утверждения об устойчивости решений функционально-разностных систем.

5) Найдены условия устойчивости решений для некоторых классов функционально-разностных систем.

Методы исследования. Методы исследования данной работы основаны на результатах таких направлений науки, как теория разностных и функционально-дифференциальных уравнений, функциональный анализ и теория устойчивости движения. При нахождении аналитического представления общего решения системы функционально-разностных уравнений основным является результат о виде линейного непрерывного оператора в пространстве непрерывных функций. При исследовании устойчивости решений основными являются понятия эволюционного оператора и оператора монодромии.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы для исследования конкретных функционально-разностных уравнений, в том числе на устойчивость, и дальнейшего развития теории функционально-разностных уравнений, а также в качестве лекций специального курса.

Апробация работы. Основные результаты работы обсуждались и докладывались на:

4-й международной конференции молодых ученых и студентов "Актуальные проблемы современной науки "(Самара, 2003);

Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения

XIII"(2002), "Понтрягинские чтения - XIV"(2003), "Понтрягинские чтения -XV" (2004);

XXVI конференции молодых ученых математико-механического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова (Москва, 2004);

Всероссийской конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач "(Екатеринбург, 2004); семинаре кафедры теоретической механики математико-механического факультета УрГУ им. A.M. Горького (Екатеринбург, 1998-2004).

Публикации. Основные результаты диссертации представлены в работах [84]

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, содержащего 92 наименования, общий объем -112 страниц печатного текста.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Кукушкина, Евгения Викторовна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе получены следующие результаты:

- условия существования и единственности непрерывных решений начальной задачи Коши для стационарных и нестационарных систем функционально-разностных уравнений;

- аналитические представления общих решений стационарных и нестационарных систем функционально-разностных уравнений; методы нахождения функциональных зависимостей, определяющих аналитические представления общих решений;

- понятия эволюционного оператора и оператора монодромии в функциональном пространстве состояний, общие утверждения об устойчивости решений функционально-разностных систем;

- условия устойчивости решений для некоторых классов функционально-разностных систем.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кукушкина, Евгения Викторовна, 2004 год

1. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991.

2. Айдын К., Булгаков А.Я., Демиденко Г.В. Асимптотическая устойчивость решений возмущенных линейных разностных уравнений с периодическими коэффициентами // Сиб. матем. журнал. 2002. Т.43, N 3. С. 493-507.

3. Анашкин О.В. Функции Ляпунова в теории устойчивости нелинейных разностных уравнений с запаздыванием. // Дифференц. уравнения. 2002. Т.38, N 7. С.976-978.

4. Антоневич А.Б. Линейные функциональные уравнения: Операторный подход. Минск: Университетское, 1988.

5. Антоневич А.Б., Галкин Н.Б. О гомотопической классификации сингулярных интегро-функциональных операторов со сдвигом // Изв. вузов. Математика. 1986. N.2. С.9-14.

6. Ацел Я., Домбр Ж. Функциональные уравнения с несколькими переменными. М., 2003.

7. Беллман Р., Кук К.Л. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967.

8. Березанский Л.М. Линейное функционально-дифференциальное уравнение. Непрерывная зависимость от параметра // Дифференц. уравнения. 1984. Т.20, N.4. С.562-570.

9. Близорукое М.Г. К вопросу о построении решений линейных разностных систем с непрерывным временем // Дифференц. уравнения. 1996. Т.32, N 1. С.127-128.

10. Близорукое М.Г., Кукушкина Е.В. О групповых свойствах семейства решений системы разностных уравнений с непрерывным временем. // Деп. ВИНИТИ. 1999. N 2370-В99. 11с.

11. Близорукое М.Г., Куликова М.А. О качественном поведении решений системы линейных разностных уравнений вблизи особой точки. // Деп. ВИНИТИ. 1996. N 384-В96. 13с.

12. Быков О.В. Осцилляция решений операторно-разностных уравнений с конечной разностью первого порядка. М., 1985.

13. Быкова Т.С., Тонкое E.J1. Ляпуновская приводимость линейной системы с последействием // Дифференц. уравнения. 2003. Т.39, N 6. С.731-737.

14. Винокуров В.Р. Некоторые вопросы теории устойчивости систем интегральных уравнений // Изв. вузов. Математика. 1969. N 6. С.24-34.

15. Гайшун И.В. Системы с дискретным временем. Минск, 2001.

16. Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. М.: Наука, 1972.

17. Глушков В.М., Иванов В.В., Яненко В.М. Моделирование развивающихся систем. М.: Наука, 1983.

18. Громова П.С., Зверкин A.M. О тригонометрических рядах, суммой которых является непрерывная и неограниченная на числовой оси функция решение уравнения с отклоняющимся аргументом // Дифференц. уравнения. 1968. Т.4, N 10. С.1774-1784.

19. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория. М.: Мир, 1962.

20. Дарбинян Л.С. Решения некоторых функционально-разностных уравнений в классе аналитических функций и их применение //Уч. записки Ереванского ун-та. Естественные науки. 1982. N 3. С. 13-19.

21. Дейч С. Модели нервной системы. М.: Мир, 1970.

22. Долгий Ю.Ф. Автоматическое регулирование. Свердловск: Изд-во УрГУ, 1987.

23. Долгий Ю.Ф. О спектральных свойствах оператора внутренней суперпозиции // Изв. вузов. Математика. 1988. N 11. С.65-66.

24. Долгий Ю.Ф. Свойства оператора монодромии периодической системы дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом нейтрального типа // Изв.вузов. Математика. 1988. N 9. С.23-30.

25. Долгий Ю.Ф. Устойчивость одного уравнения нейтрального типа с переменным запаздыванием // Дифференц. уравнения. 1985. Т.21, N 9. С. 1480-1489.

26. Долгий Ю.Ф. Устойчивость периодиоческой системы нейтрального типа с постоянным запаздыванием. // Устойчивость и нелинейные колебания. 1983. С.35-46.

27. Долгий Ю.Ф., Леонтьева Т.В. Устойчивость разностных систем с непрерывным временем // Деп. ВИНИТИ 06.07.84. УрГУ. Екатеринбург. N 4765-84.16с.

28. Драхлин М.Е. Об одном линейном функциональном уравнении // Функционально-дифференциальные уравнения. Пермь. 1985. С.91-111.

29. Драхлин М.Е. Оператор внутренней суперпозиции в простанствах суммируемых функций // Изв. вузов. Математика. 1986. N 5. С. 18-24.

30. Забрейко П.П., Кошелев А.И., Красносельский М.А., Михлин С.Г., Раковщик JI.C., Стеценко В.Я. Интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.

31. Зверкин A.M. Общие решения линейного дифференциального уравнения с отклоняющимся аргументом // Науч. докл. высшей школы сер. физ.-мат. науки. 1959. N 1. С.30-37.

32. Канторович J1.B., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977.

33. Каретный О.Я., Кипнис М.М. Периодические режимы работы широтно-импульсных систем управления // Автомат, и телемех. 1987. N 11. С.46-54.

34. Клемент Ф., Хейманс X., Антенент С., К. ван Дуин, Б. де Пахтер. Однопараметрические полугруппы. М.: Мир, 1992.

35. Колмановский В.Б., Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. М.: Наука, 1981.

36. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Гос. изд-во физ.-мат. литературы, 1959.

37. Крейн М.Г. О характеристической функции А(Х) линейной канонической системы дифференциальных уравнений второго порядка с периодическими коэффициентами // Прикл. математика и механика. 1957. Т.21, вып.З. С.320-328.

38. Кучко Л.П. Функциональные уравнения с вырожденным преобразованием аргумента // Вест. Харьковского ун-та. 1987. N 298. С.98-101.

39. Кучко Л.П. О существовании и единственности решений многомерных функциональных уравнений // ДАН СССР. 1987. Т.297, N 4. С.788-790.

40. Курбатов В.Г. Линейные дифференциально-разностные уравнения. Воронеж: Изд-во Воронеж, ун-та, 1990.

41. Лышова А.Д. Разностные уравнения в некоторых пространствах аналитических функций // Сб. науч. тр. Балт. гос. акад. рыбал. флота. 2002. N 53. С.22-24.

42. Максимов В.И. Задачи динамического восстановления входов бесконечномерных систем. Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 2000.

43. Мартынюк Д.И. Лекции по качественной теории разностных уравнений. Киев: Наукова думка, 1972.

44. Миролюбов А.А., Солдатов М.А. Линейные однородные разностные уравнения. М.: Наука, 1981.

45. Миролюбов А.А., Солдатов М.А. Линейные неоднородные разностные уравнения. М.: Наука, 1986.

46. Митюшев В.В. О линейном функциональном уравнении в классе аналитических функций // Вест. Белорусского ун-та. 1985. Cep.l. N 1. С.44-47.

47. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М.: Наука, 1972.

48. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука, 1950.

49. Никитин В.Г. Однозначная разрешимость функционального уравнения u(t) — аи(оЛ) = f{t) в пространстве периодических функций // Исследование по прикладной математике. Казань. 1984. N 11. С. 96-109.

50. Пастур П.А. Оценки снизу показателя Ляпунова некоторых конечно-разностных уравнений с квазипериодическими коэффициентами / / Операторы в функцион. пр-вах и вопросы теории функций. Киев. 1987. С.3-12.

51. Пелюх Г.П. Общее решение систем линейных разностных уравнений с непрерывным аргументом // ДАН Украины. 1994. N 1. С.16-21.

52. Пелюх Г.П. Общее решение систем нелинейных разностных уравнений с непрерывным аргументом // Укр. матем. журнал. 2000. Т.52, N 7. С.936-953.

53. Пелюх Г.П. О представлении непрерывных решений систем нелинейных функциональных уравнений // Ин-т мат. АН УССР. Препринт. 1985. N 26. 28с.

54. Пелюх Г.П. Представление непрерывных решений систем нелинейных функциональных уравнений // ДАН УССР. 1986. А. N 3. С.18-21.

55. Петухов В.К. Инвариантность и функциональные уравнения // Ин-т теор. и экспер. физики. Препринт. М., 1979. N 92.

56. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977.

57. Самко С.Г., Умархаджиев С.М. Об одном функциональном уравнении с бесконечной группой сдвигов // Матем. анализ и его прил. Грозный. 1984. С. 11-14.

58. Середкин В.Н. Об устойчивости систем линейных разностных уравнений с отклоняющимся аргументом // Межв. сб. науч. тр. Пенз. полит, ин-та. 1987. N 8. С.66-68.

59. Смолин Ю.Н. Некоторые ворпросы теории функционально-дифференциальных моделей. Магнитогорск: МаГУ, 2003.

60. Тихонов А.Н. О функциональных уравнениях типа Вольтерра и их применении к некоторым задачам математической физики // Бюллетень МГУ. Сек.А. 1938. T.l, N 8. С. 1-25.

61. Тонков E.JI. Показатели Ляпунова и Ляпуновская приводимость линейной системы с последействием // Вестник Удмуртского ун-та. 2001. N 3. С.13-30.

62. Тураев Х.О. О структуре нерерывных решений систем линейных разностных уравнений с периодическими коэффициентами // Краевые задачи для дифф. уравн. смешан, типов. Ин-т матем. АН УзССР. Ташкент. 1991. С.193-194.

63. Халанай А., Векслер Д. Качественная теория импульсных систем. М.: Мир, 1971.

64. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир,1984.

65. Хилле Э, Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. М., 1962.

66. Шарковский А.Н., Майстренко Ю.А., Романенко Е.Ю. Разностные уравнения и их приложения. Киев, 1986.

67. Шаталов Ю.С., Пучков Н.П., Дмитриев О.С. Уточненное функционально-интегральное уравнение для решения обратной коэффициентной задачи теплопроводности // Функционально-дифференциальные уравнения. Пермь.1985. С. 80-91.

68. Шиманов С.Н. Устойчивость линейных систем с периодическими коэффициентами и запаздыванием. Свердловск: УрГУ, 1983.

69. Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющим аргументом. М.: Наука, 1971.

70. Якубович В.А., Старжинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. М.: Наука, 1972.

71. Agarwal R., Ahbbrandt C.B., Hartin P.A. Discrete linear hamiltonian systems: a survey // Dyn. Syst. and Appl. 1999. V.8. N 3-4. P.307-333.

72. Braaksma B.L.J., Faber B.F., Immink G.K. Summation of formal solutions of a class of linear difference equations. // Pasif. J. Math. 2000. 195. N 1. P.35-65.

73. Dosty 0., Histscher R. Linear hamiltonian difference systems: transformations recessive solutions, generalized reciprocity // Dyn. Syst. and Appl. 1999. V.8. N 3-4. P.401-420.

74. Ferreira Jose M. On the stability and oscillatory behavior of a retarted functional equation. // Providence: Amer. Math. Soc. 2002. P. 143-150.

75. Halanay A., Rasvan V. Stability and boundary value problems for discrete time linear hamiltonian systems // Dyn. Syst. and Appl. 1999. V.8. N 3-4. P.439-459.

76. Hanh W. Theorie und Anwendung der directen Methode von Ljapunov. Berlin: Springer Verlag, 1958, 142p.

77. Henry D. Linear autonomous neutral functional differential equations //J. Diff. Eq. 1974. V.15. N 1. P.106-128.

78. Kuczma M. Functional equations in a single variable. Warszawa, PWN, 1968, 383p.

79. Liu Xinhe. Analitic solutions of systems of functional equations // Appl. Math. J.Chin.Univ. B. 2003. V.18. N 2. P.129-137.

80. Perron O. Uber stabilitat und asimptotishes rehalfer der losunger eines systems endlicher differenseng-leichungen. J.Rein Angew. Math, 1929.

81. Qian Lin, Jiang Xing-guo. The explicit representation of general solution of linear defference equation with constant coefficients. J.YangZhou Univ.Natur. Sci.Ed. 2002. 5. N 4. P.12-15.

82. Romanenko E. Attractors of continuous difference equations // Comput. and Math. Appl. 1998. V.36. N 10-12. P.377-390.

83. Sanderfur J.T. Discrete Dynamical System. Theory and Applications. Clarendou Press. Oxford, 1990, 445p.

84. Кукушкина E.B. Существование решения линейной системы функционально-разностных уравнений // Современные методы теории краевых задач. Материалы ВВМШ "Понтрягинские чтения XIIIй. Воронеж. 2002. С.90.

85. Долгий Ю.Ф., Кукушкина Е.В. Представления решений стационарных функционально-разностных уравнений // Изв. Уральск, ун-та. 2002. N 22. Вып.4. С.62-80.

86. Долгий Ю.Ф., Кукушкина Е.В. Общий вид решения нестационарной системы функционально-разностных уравнений // Изв. вузов. Математика. 2003. N 7. С.27-34.

87. Кукушкина Е.В. Существование и единственность решения линейной системы функционально-разностных уравнений // Современные методы теории краевых задач. Материалы ВВМШ "Понтрягинские чтения XIV". Воронеж. 2003. С.71-72.

88. Кукушкина Е.В., Долгий Ю.Ф. Представления решений нестационарных функционально-разностных уравнений // Актуальные проблемы соврем, науки. Естеств. науки. Математика. Труды 4-й международной конф. молодых ученых и студентов. Самара. 2003. С.46-48.

89. Кукушкина Е.В. Общий вид решения нестационарной системы функционально-разностных уравнений // Дифференц. уравнения и процессы управления. 2004. N 2. С. 1-34.

90. Кукушкина Е.В. О продолжимости решений системы функционально-разностных уравнений // XXVI Конференция молодых ученых мат.-мех. ф-та МГУ им. М.В. Ломоносова. Тез. докл. Москва. 2004. С.68.

91. Кукушкина Е.В. Устойчивость стационарных систем функционально-разностных уравнений // Алгоритмический анализ неустойчивых задач. Тез. докл. Всероссийской конференции. Екатеринбург. 2004. С.182-183.

92. Кукушкина Е.В. Об устойчивости периодических систем функционально-разностных уравнений // Современные методы теории краевых задач. Материалы ВВМШ "Понтрягинские чтения XV". Воронеж. 2004. С.126.