Анализ дифференциальных операторов на многообразиях со слоением тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор физико-математических наук Кордюков, Юрий Аркадьевич

• Кордюков, Юрий Аркадьевич
• доктор физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Кордюков, Юрий Аркадьевич

Введение

1 Предварительные сведения

1.1 Некоторые сведения из теории слоений.

1.1.1 Слоения.

1.1.2 Голономия

1.1.3 Трансверсальные меры.

1.1.4 Связности.

1.1.5 Инфинитезимальные преобразования.

1.1.6 Римановы слоения.

1.1.7 Дифференциальные операторы на многообразиях со слоением

1.1.8 Геометрические операторы на многообразиях со слоением

1.1.9 Группоид голономии

1.1.10 Голономно эквивариантные векторные расслоения

1.1.11 Операторные алгебры слоения.

1.2 Трансверсальное псевдодифференциальное исчисление.

1.2.1 Классы Ут-°°(М,Т,Е).

1.2.2 Анизотропные пространства Соболева и классы

1.2.3 Символическое исчисление в классах ф"1--00.

1.2.4 Непрерывность символьного отображения.

1.2.5 Остаточный след.

2 Функциональное исчисление для касательно эллиптических операторов на многообразиях со слоением

2.1 Псевдодифференциальное функциональное исчисление

2.1.1 Комплексные степени.

2.1.2 Действие в пространствах Соболева.

2.1.3 Оператор вида f(A) как псевдодифференциальный оператор

2.1.4 Случай финслеровых слоений.

2.2 Глобальные аспекты функционального исчисления.

2.2.1 Функциональное исчисление в С*-алгебрах

2.2.2 Совпадение спектров для аменабельных слоений.

2.2.3 Свойство касательности операторов f{A).

2.2.4 Глобальная регулярность касательных ядер.

2.2.5 Функция распределения спектра для касательно эллиптических операторов

2.3 Поведение при больших временах послойного уравнения теплопроводности

2.3.1 Теорема Ходжа для касательно эллиптических комплексов

2.3.2 Доказательство теоремы 2.24.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Анализ дифференциальных операторов на многообразиях со слоением»

5.1.2 Параболическая полугруппа, порожденная оператором Ah 192

5.1.3 Асимптотика следа операторов параболической полугруппы .196

5.1.4 Самосопряженный случай.200

5.2 Адиабатические пределы и спектральная геометрия слоений . . 202 5.2.1 Введение.202

5.2.2 Оценки для геометрических операторов в адиабатическом пределе.203

5.2.3 Асимптотическая формула для функций оператора Лапласа .205

5.2.4 Формулировка в терминах послойных спектральных характеристик .209

5.2.5 Пределы собственных значений.210

6 Спектральные последовательности и малые собственные значения 212

6.1 Спектральные последовательности слоения.212

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Кордюков, Юрий Аркадьевич

Заключение

Все результаты, полученные в диссертации, являются новыми. Основными из них являются следующие.

Исследованы различные аспекты функционального исчисления для касательно эллиптических операторов на многообразиях со слоением, в частности, псевдодифференциальное функциональное исчисление и функциональное исчисление в С*-алгебре слоения. Установлены взаимосвязи различных характеристик (например, функций от оператора или его спектра) для касательно эллиптических операторов в глобальном представлении с их аналогами в послойном представлении. Построена функция распределения спектра самосопряженного касательно эллиптического оператора [131, 142].

Исследовано поведение решений послойного уравнения теплопроводности на римановом слоении при больших временах. Доказаны аналоги теорем Ходжа для редуцированных послойных С°°-когомологий риманова слоения [138].

Построены аналоги стандартного псевдодифференциального исчисления и эллиптической теории для трансверсально эллиптических операторов на многообразиях, снабженных действием группы Ли, и на многообразиях со слоением. Доказано существование и основные свойства спектральных инвариантов трансверсально эллиптических операторов на многообразиях, снабженных действием группы Ли. Установлены основные факты трансверсальной спектральной геометрии римановых слоений: аналоги теоремы Егорова и теоремы Дюйстермаата-Гийемина. Построены спектральные тройки, задаваемые трансверсально эллиптическими операторами на римановых слоениях, описан их спектр размерностей и ассоциированный геодезический поток [134, 135, 136, 140, 141, 143, 146].

Доказана асимптотическая формула для функции распределения спектра некоторых классов эллиптических операторов на компактных многообразиях со слоением, зависящих от малого параметра h > 0, которые при h 0 вырождаются в трансверсальном направлении таким образом, что в пределе получается касательно эллиптический оператор. Доказана асимптотическая формула для функции распределения спектра оператора Лапласа на компактном многообразии, снабженном римановым слоением, в адиабатическом пределе [132, 133, 144, 145].

Установлена связь числа малых собственных значений оператора Лапласа на компактном многообразии, снабженном римановым слоением, в адиабатическом пределе с дифференциальной спектральной последовательностью слоения. Исследовано асимптотическое поведение собственных форм оператора Лапласа на компактном многообразии, снабженном римановым слоением, соответствующих малым собственным значениям в адиабатическом пределе [137].

Дано определение размерности редуцированных послойных когомологий (послойных чисел Бетти) для транзитивных слоений коразмерности один как обобщенных функций на вещественной прямой и доказана формула типа Леф-шеца для соответствующей эйлеровой характеристики [139].

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Кордюков, Юрий Аркадьевич, 2004 год

1. Алексеев А. Б. Асимптотика спектра эллиптических граничных задач по малому векторному параметру // Дифференциальные уравнения. Теория рассеяния. Проблемы математической физики. Том 11. Ленинград: Изд-во Ленингр. ун-та, 1986. С. 7-31.

2. Асланян А.Г., Лидский В.Б. Распределение собственных частот тонких упругих оболочек. М.: Наука, 1974.

3. Атья М. Лекции по К-теории. М.: Мир, 1967.

4. Березанский Ю.М. Разложение по собственным функциям самоспряженных операторов. Киев: Наукова думка, 1965.

5. Гийемин В., Стернберг С. Геометрические асимптотики. М.: Мир, 1981.

6. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Том 1. М.: ИЛ, 1962.

7. Егоров Ю. В. О канонических преобразованиях псевдодифференциальных операторов// УМН. 1969. Т. 24. № 5. С. 149-150.

8. Займан Дж. Принципы теории твердого тела. М.: Мир, 1971.

9. Каспаров Г. Г. Операторная /^-теория и ее приложения / / Современные проблемы математики. Новейшие достижения. Том 27. Москва: Всесо-юзн. Инст. Научн. и Техн. Информ., Акад. Наук СССР, 1985. С. 3-31, 232.

10. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972.

11. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967.

12. Крылов А. Л., Федоров Е. М. О собственных колебаниях ограниченного объема замагниченной холодной плазмы // Докл. АН СССР. 1976. Т. 231. С. 68 70.

13. Левендорский С. 3. Спектральные асимптотики для дифференциальных операторов с операторными коэффициентами и некоторые приложения // Доклады АН СССР 1985 Т. 280. N 6. С. 1303 1306.

14. Лифшищ А.Е. О колебаниях анизотропных резонаторов // Функц. анализ и его прил. 1980. Т. 14. Вып. 2. С. 62-63.

15. Маслов В.П. Асимптотические методы и теория возмущений. М.: Наука, 1988.

16. Меладзе Г. А., Шубин М. А. Собственные равномерные псевдодифференциальные операторы на унимодулярных группах Ли // Труды сем. им. И.Г. Петровского. 1986. Т. 11. С. 74-97, 244, 246-247.

17. Смагин С. А., Шубин М. А. Дзета-функция трансверсально эллиптического оператора // Сиб. мат. ж. 1984. Т. 25. № 6. С. 158-166.

18. Тейлор М. Псевдодифференциальные операторы. М.: Мир, 1985.

19. Трев Ф. Введение в теорию псевдодифференциадьных операторов и интегральных операторов Фурье. Том 2: Интегральные операторы Фурье. М.: Мир, 1984.

20. Хёрмандер Л. Линейные дифференциальные операторы с частными производными. М.: Мир, 1965.

21. Хёрмандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными I. М.: Мир, 1986.

22. Хёрмандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными III. М.: Мир, 1987.

23. Хёрмандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными IV. М.: Мир, 1988.

24. Цикон X., Фрёзе Р., Кирш В., Саймон Б. Операторы Шрёдингера с приложениями к квантовой механике и глобальной геометрии. М.: Мир, 1990.

25. Шефер X. Топологические векторные пространства. М.: Мир, 1971.

26. Шубин М. А. Псевдодифференциальные операторы и спектральная теория. М.: Наука, 1978.

27. Шубин М. А. Плотность состояний самосопряженных эллиптических операторов с почти-периодическими коэффициентами // Труды сем. им И.Г. Петровского. 1978. Т. 3. С. 243 275.

28. Шубин М. А. Спектральные свойства и функция распределения спектра трансверсально эллиптического оператора // Труды сем. им. И.Г. Петровского. 1982. Т. 8. С. 239 258.

29. Alvarez L6pez J. A. Duality in the spectral sequence of Riemannian foliations // American J. Math. 1989. V. 111. P. 905 926.

30. Alvarez L6pez J. A. A finiteness theorem for the spectral sequence of a Riemannian foliation // Illinois J. of Math. 1989. V. 33. P. 79 92.

31. Alvarez L6pez J. A. The basic component of the mean curvature of Riemannian foliations // Annals of Global Anal, and Geom. 1992. V. 10. P. 179 194.

32. Alvarez L6pez J. A., Hurder S. Pure-point spectrum for foliation geometric operators // Preprint. 1994.

33. Alvarez L6pez J.A., Tondeur Ph. Hodge decomposition along the leaves of a Riemannian foliation // J. Funct. Anal. 1991. V. 99. P. 443 458.

34. Analysis and Geometry in Foliated Manifolds. Proceedings of the VII International Colloquium on Differential Geometry, Santiago de Compostela, 26-30 July, 1994. Singapore: World Scientific, 1995.

35. Anantharaman-Delaroche C., Renault J. Amenable groupoids. Geneva: L'Enseignement Math6matique, 2000.

36. Arraut J.L., dos Santos N. M. Linear foliations of T" // Bol. Soc. Bras. Mat. 1991. V. 21. P. 189 204.

37. Atiyah M. F. Elliptic operators and compact groups. Lecture Notes in Mathematics. V. 401. Berlin Heidelberg New York: Springer, 1974. P. 1 -93.

38. Atiyah M.F., Bott R. A Lefschetz fixed point formula for elliptic complexes. I // Ann. of Math. 1967. V. 86. P. 374 407.

39. Attie O., Hurder S. Manifolds which can not be leaves of foliations // Topology. 1996. V. 35. P. 335 353.

40. Avron J., Simon B. Almost periodic Schrodinger operators. II. The integrated density of states // Duke Math. J. 1983. V. 50. P. 369 391.

41. Baaj S. Calcul pseudo-diff6rentiel et produits crois£s de C*-algebres. I // C. R. Acad. Sci. Paris, serie I. 1987. T. 307. P. 581 586.

42. Baaj S. Calcul pseudo-diff6rentiel et produits crois6s de C'-algebres. II // C. R. Acad. Sci. Paris, serie I. 1988. T. 307. P. 663 666.

43. Baker G. A., Dodziuk J. Stability of spectra of Hodge-de Rham Laplacians // Math. Z. 1997. V. 224. P. 327 345.

44. Balazard-Konlein A. Asymptotique semi-classique du spectre pour des operateurs a symbole operatoriel // C.R.Acad.Sc. Paris, Serie I. 1985. V. 301. P. 903 906.

45. Bismut J. M., Cheeger J. ^-invariants and their adiabatic limits // J. Amer. Math. Soc. 1989. V. 2. P. 33 70.

46. Bismut J. M., Freed D.S. The analysis of elliptic families. I. Metrics and connections on determinant bundles // Commun. Math. Phys. 1986. V. 106. P. 159 176.

47. Bismut J.M., Freed D.S. The analysis of elliptic families. II. Dirac operators, eta invariants and the holonomy theorem // Commun. Math. Phys. 1986. V. 107. P. 103 163.

48. Bott R. On topological obstructions to integrability // Congrfes Intern. Math. Nice, 1970, tome 1. Gauthiers-Villars, 1971. P. 27 36.

49. Bott R. Lectures on characteristic classes and foliations // Lecture Notes in Math. V. 279. Berlin, Heidelberg, New York: Springer, 1972. P. 1 94.

50. Candel, A., Conlon, L. Foliations. I. Providence: American Mathematical Society, 2000.

51. Candel, A., Conlon, L. Foliations. II. Providence: American Mathematical Society, 2003.

52. Chazarain J. Formule de Poisson pour le vari4t4s riemanniennes // Invent. Math. 1974. V. 24. P. 65 82.

53. Cheeger J. Spectral geometry of singular Riemannian spaces // J. Diff. Geom. 1983. V. 18. P. 575 657.

54. Cheeger J. Eta invariants, the adiabatic approximation and conical singularities // J. Diff. Geom. 1987. V. 26. P. 175 221.

55. Cheeger J., Gromov M., Taylor M. Finite propagation speed, kernel estimates for functions of the Laplace operator and the geometry of complete Riemannian manifolds // J. Diff. Geom. 1982. V. 17. P. 15 53.

56. Chernoff P.R. Essential self-adjointness of powers of generators of hyperbolic equations // J. Func. Anal. 1973. V. 12. P. 401 414.

57. Colin de Verdifcre Y. Spectre du Laplacien et longeurs des g4od€siques periodiques // Сотр. Math. 1973. V. 27. P. 159 184.

58. Connes A. Sur la th4orie non-commutative de l'int£gration // Algfebres d'op6rateurs. Lecture Notes in Math. V. 725. Berlin Heidelberg New York: Springer, 1979. P. 19 143.

59. Connes A. Noncommutative differential geometry // Publ. Math. 1986. V. 62. P. 41 144.

60. Connes A. Noncommutative geometry. London: Academic Press, 1994.

61. Connes A. Geometry from the spectral point of view // Lett. Math. Phys. 1995. V. 34. P. 203 238.

62. Connes A. Trace formula in noncommutative geometry and the zeros of the Riemann zeta function // Selecta Math. (N.S.) 1999. V. 5. P. 29 106.

63. Connes A., Moscovici H. The local index formula in noncommutative geometry // Geom. and Funct. Anal. 1995. V. 5. P. 174 243.

64. Dai X. Adiabatic limits, non-multiplicity of signature and the Leray spectral sequence // J. Amer. Math. Soc. 1991. V. 4. P. 265 321.

65. Deninger C. Some analogies between number theory and dynamical systems on foliated spaces // Doc. Math. J. Extra Volume ICM98. V. 1. 1998. P. 163 186.

66. Deninger C., Singhof W. A note on dynamical trace formulas // Dynamical, spectral, and arithmetic zeta functions (San Antonio, TX, 1999). Contemp. Math. V. 290. Providence: Amer. Math. Soc., 2001. P. 41 55.

67. Douglas R. G., Hurder S., Kaminker J. The longitudinal cocycle and the index of the Toeplitz operators // J. Funct. Anal. 1991. V. 101. P. 120 144.

68. Duistermaat J.J., Guillemin V. The spectrum of positive elliptic operators and periodic bicharacteristics // Invent.Math. 1975. V. 29. P. 39 79.

69. Duistermaat J.L., and Hormander L. Fourier intergal operators II // Acta Math. 1972. V. 128. P. 183 269.

70. Fack Т., Skandalis G. Sur les rep^sentations et ideaux de la C-algfebre d'un feuilletage // J.Operator Theory. 1982. V. 8. P. 95 129.

71. Fedida E. Sur les feuilletages de Lie // C. R. Acad. Sci. Paris. Ser. A-B. 1971. T. 272. P. A999 A1001.

72. Forman R. Spectral sequences and adiabatic limits // Commun. Math. Phys. 1995. V. 168. P. 57 116.

73. Ge Z. Adiabatic limits and Rumin's complex // C. R. Acad. Sci., Paris. 1995. T. 320. P. 699 702.

74. Gilkey P. B. Invariance Theory, the Heat Equation and the Atiyah-Singer Index Theorem. Berkeley: Publish or Perish Press, 1984.

75. Godbillon C. Feuilletages. Etudes g£om6triques. Basel: Birkhauser Verlag, 1991.

76. Golse F., Leichtnam E. Applications of Connes' geodesic flow to trace formulas in noncommutative geometry // J. Funct. Anal. 1998. V. 160. P. 408 436.

77. Greiner P. An asymptotic expansion for the heat equation // Arch. Ration. Mech. and Anal. 1971. V. 41. P. 163 218.

78. Gromov M., Shubin M. Von Neumann spectra near zero // Geom. and Funct. Anal. 1991. V. 1. P. 375 404.

79. Guillemin V. A new proof of Weyl's formula on the asymptotic distribution of eigenvalues // Adv. Math. 1985. V. 55. P. 131 160.

80. Guillemin V. Gauged Lagrangian distributions // Adv. Math. 1993. V. 102. P. 184 201.

81. Guillemin V. Residue traces for certain algebras of Fourier integral operators // J. Funct. Anal. 1993. V. 115. P. 391 417.

82. Guillemin V., Sternberg S. Some problems in integral geometry and some related problems in microlocal analysis // Amer. J. Math. 1979. V. 101. P. 915 959.

83. Guillemin V., Uribe A. Circular symmetry and the trace formula // Invent. Math. 1989. V. 96. P. 385 423.

84. Haefliger A. Vari6t6s feuillet6s // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa. 1962. V. 16. P. 367 397.

85. Haefliger A. Some remarks on foliations with minimal leaves // J. Diff. Geom. 1980. V. 15. P. 269 284.

86. Heitsch J. A cohomology for foliated manifolds // Comment. Math. Helvetici. 1975. V. 50. P. 197 218.

87. Heitsch J., Lazarov C. A Lefschetz theorem for foliated manifolds // Topology. 1990. V. 29. P. 127 162.

88. Heitsch J., Lazarov C. Spectral asymptotics of foliated manifolds // Illinois J. Math. 1994. V. 38. P. 653 678.

89. Hilsum M., Skandalis G. Morphismes K-orient6s d'espaces de feuilles et fonctorialite en th£orie de Kasparov // Ann. scient. Ec. Norm. Sup. 1987. V. 20. P. 325 390.

90. Julg P. Induction holomorphe pour le produit d'une С*-а^ёЬге par une groupe de Lie compact // C. r. Acad. sci. Paris. 1982. T. 294. P. 193 -196.

91. El Kacimi-Alaoui A., Hector G. D6composition de Hodge sur l'espace des feuilles d'un feuilletage riemannien // C. R. Acad. Sci., Paris. 1984. T. 298. P. 289 292.

92. Kamber F., Tondeur P. De Rham-Hodge theory for Riemannian foliations // Math. Ann. 1987. V. 277. P. 415 431.

93. Klein M., Martinez A., Seiler R., Wang X.P. On the Born-Oppenheimer expansion for polyatomic molecules // Comm. Math. Phys. 1992. V. 143. P. 607 639.

94. Kontsevich M., Vishik S. Determinants of elliptic pseudo-differential operators// Preprint MPI/94-30. 1994.

95. Kontsevich M., Vishik S. Geometry of determinants of elliptic operators // Functional analysis on the eve of the 21st century. Vol. I. (Progress in Mathematics. Vol. 132). Boston: Birkhauser, 1996. P. 173 197.

96. Kordyukov Yu. A. ZAtheory of elliptic differential operators on manifolds of bounded geometry // Acta Appl. Math. 1991. V. 23. P. 223 260.

97. Kordyukov Yu. A. .//-estimates for functions of elliptic operators on manifolds of bounded geometry // Russ. J. Math. Ph. 2000. V. 7. P. 216 229.

98. Lazarov C. Transverse index and periodic orbits // Geom. and Funct. Anal. 2000. V. 10. P. 124 159.

99. Levendorskii S. Z. Asymptotic Distribution of Eigenvalues of Differential Operators. Dordrecht: Kluver Acad. Publ., 1990.

100. Martinez A. Dёveloppments asymptotiques et effet tunnel dans 1'approximation de Born-Oppenheimer // Ann. Inst. Henri Ротсагё 1989 V. 49. P. 239 257.

101. McClearly J. User's Guide to Spectral Sequences. Mathematics Lecture Series. Vol. 12. Berkeley: Publish or Perish, Inc., 1985.

102. Masa X. Duality and minimality in riemannian foliations // Comment. Math. Helvetici. 1992. V. 67. P. 17 27.

103. Melrose R., Mazzeo R. The adiabatic limit, Hodge cohomology and Leray's spectral sequence for a fibration // J. Diff. Geom. 1991. V. 31. P. 185 213.

104. Moerdijk I., MrCun J. Introduction to foliations and Lie groupoids. Cambridge: Cambridge University Press, 2003.

105. Molino P. G£om6trie globale des feuilletages Riemanniens // Proc. Nederl. Acad. Al. 1982. V. 85. P. 45 76.

106. Molino P. Riemaimiaii foliations. Progress in Math., vol. 73. Boston: Birkhauser, 1988.

107. Moore С. C., Schochet C. Global Analysis of Foliated Spaces, Math. Sci. Res. Inst. Pub-, vol. 9. Berlin Heidelberg New York: Springer, 1988.

108. Nestke A., Zickermann P. The index of transversally elliptic complexes // Rend. Circ. Mat. Palermo. 1985. V. 34. Suppl. 9. P. 165 175.

109. O'Neill. The fundamental equations of a submersion // Mich. Math. J. 1966. V. 13. P. 459 469.

110. Peetre J. ТЬёогётеэ de r6gularit6 pour quelques classes d'op6rateurs differentiels // Medd. Lunds Univ. Mat. Sem. 1959. V. 16.

111. Peetre J. Another approach to elliptic boundary problems // Comm. Pure Appl. Math. 1961. V. 14. P. 711 731.

112. Reinhart B. Foliated manifolds with bundle-like metrics // Ann. Math. 1959. V. 69. P. 119 132.

113. Reinhart B. Harmonic integrals on foliated manifolds // Amer. J. Math. 1959. V. 81. P. 529 536.

114. Reinhart B. L. Differential Geometry of Foliations. Berlin Heidelberg New York: Springer, 1983.

115. Roe J. Finite propagation speed and Connes' foliation algebra // Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 1987. V. 102. V. 459 466.

116. Roe J. An index theorem on open manifolds. I // J. Diff. Geom. 1988. V. 27. P. 87 113.

117. Roger. C. Mёthodes Homotopiques et Cohomologiques en ТЬёопе de Feuilletages. Paris: Universit6 de Paris XI, 1976.

118. Rumin M.Sub-Riemannian limit of the differential form spectrum of contact manifolds // Geom. Func. Anal. 2000. V. 10. P. 407 452.

119. Rummler H. Quelques notions simples en g£om6trie Riemannienne et leur applications aux feuilletages compacts // Comment. Math. Helvetici. 1979. V. 54. P. 224 239.

120. Sanmartin E. The manifold of bundle-like metrics // Quart. J. Math. Oxford Ser. 1997. V. 48. P. 243 254.

121. Schrader R., Taylor M. E. Semiclassical asymptotics, gauge fields and quantum chaos // J.Funct.Anal. 1989. V. 83. P. 258 316.

122. Schwarz G. W. On the de Rham cohomology of the leaf space of a foliation // Topology. 1974. V. 13. P. 185 187.

123. Seeley R. T. Complex powers of an elliptic operator // Proc. Symp. Pure Math. V. 10. Providence: Amer. Math. Soc., 1967. P. 288-307.

124. Sergiescu V. Sur la suite spectrale d'un feuilletage riemannien // Proc. of the XlXth Nat. Congress of the Mexican Math. Soc, Vol. 2 (Guadalajara, 1986). Comun., 4. Mexico City: Soc. Mat. Mexicana, 1987. P. 33 39.

125. Singer I. M. Recent applications of index theory for elliptic operators // Proc. Symp. Pure Appl. Math. V. 23. Providence: Amer. Math. Soc., 1973. P. 11 31.

126. Sullivan D. A homological characterization of foliations consisting of minimal surfaces // Comment. Math. Helvetici. 1979. V. 54. P. 218 223.

127. Tondeur, Ph. Geometry of foliations. Basel: Birkhauser Verlag, 1997.

128. Winkelnkemper H.E. The graph of a foliation // Ann. Glob. Anal. Geom. 1983. V. 1. P. 53 75.

129. Witten E. Global gravitational anomalies // Comm. Math. Phys. 1985. V. 100. P. 197 229.

130. Wodzicki M. Noncommutative residue. Part I. Fundamentals // K-theory, arithmetic and geometry (Moscow, 1984-86), Lecture Notes in Math. V. 1289. Berlin Heidelberg New York: Springer, 1987. P. 320 399.

131. Кордюков Ю. А. Теорема о совпадении спектров для касательно эллиптических операторов на расслоенных многообразиях // Функц. анализ и его прилож. 1985. Т. 19. Вып. 4. С. 90 91.

132. Кордюков Ю. А. О квазиклассических асимптотиках спектра эллиптических операторов на многообразиях со слоением // Матем. Заметки. 1993. Т. 53. Вып. 1. С. 157 159.

133. Кордюков Ю. А. О квазиклассической асимптотике спектра гипоэллип-тических операторов на многообразии со слоением // Функц. анализ и его прилож. 1995. Т. 29. Вып. 3. С. 98 100.

134. Кордюков Ю. А. Формула следов для трансверсально эллиптических операторов на римановых слоениях // Алгебра и анализ. 2000. Т. 12. Вып. 3. С. 81 105.

135. Alvarez L6pez J., Kordyukov Yu. A. Adiabatic limits and spectral sequences for Riemannian foliations // Geom. and Funct. Anal. 2000. V. 10. P. 977 -1027.

136. Alvarez L6pez J., Kordyukov Yu. A. Long time behavior of leafwise heat flow for Riemannian foliations // Compositio Math. 2001. V. 125. P. 129 153.

137. Kordyukov Yu. A. Transversally elliptic operators on G-manifolds of bounded geometry // Russian J. Math. Phys. 1994. V. 2. N. 2. P. 175 198.

138. Kordyukov Yu. A. Transversally elliptic operators on G-manifolds of bounded geometry (contunued) // Russian J. Math. Phys. 1995. V.3. N 1. P. 41 64.

139. Kordyukov Yu. A. Noncommutative spectral geometry of Riemannian foliations // Manuscripta Math. 1997. V. 94. P. 45 73.

140. Kordyukov Yu. A. Adiabatic limits and spectral geometry of foliations // Math. Ann. 1999. V. 313. P. 763 783.

141. Kordyukov Yu. A. Semiclassical spectral asymptotics on foliated manifolds // Math. Nachr. 2002. V. 245. P. 104 128.

142. Kordyukov Yu. A. Egorov's theorem for transversally elliptic operators on foliated manifolds and noncommutative geodesic flow // Препринт math.DG/0407435. Math. Phys. Anal. Geom. (в печати).