Анализ и прогнозирование структурных изменений в поведении экономических агентов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Куць Андрей Сергеевич

• Куць Андрей Сергеевич
• кандидат наук
• 2025

Оглавление диссертации кандидат наук Куць Андрей Сергеевич

Введение

Глава 1. Модель потребительского спроса Парето и подходы к

регуляризации обратных задач

1.1 Методы проверки рационализируемости торговой статистики и непараметрический метод

1.2 Методы определения сегментации товарных рынков по статистическим данным

1.3 Нарушение условий рационализируемости и варианты регуляризации обратных задач в теории спроса Парето

1.3.1 Обобщенный непараметрический метод

1.3.2 Способы регуляризации обратной задачи модели Парето

для идентификации шоковых моментов времени

1.3.3 Методы определения степени нарушения условий рационализируемости, характерной для нормального состояния рынка

1.4 Прогнозирование с помощью обобщенного непараметрического метода

1.5 Оценки сложности задач согласованности с коллективными моделями потребительского спроса

Глава 2. Исследование экономических данных для изучения структурных изменений и сегментации товарных рынков

2.1 Анализ структурных изменений в поведении экономических

агентов

2.1.1 Модель анализа структурных изменений

2.1.2 Исследование структурных изменений на примере торговой статистики Швеции

2.1.3 Оценка мощности тестов выполнения однородной

сильной аксиомы

Стр.

2.2 Выделение экономических агентов путем сегментации регионов России по типу потребительского поведения

2.2.1 Кластеризация регионов России

2.2.2 Анализ дифференциации регионов по потребительским расходам населения

2.3 Методика расчета коэффициентов региональной экономической дифференциации

Глава 3. Исследование данных рынка публичных вакансий в рамках модели спроса рационального

репрезентативного агента

3.1 Анализ изменений на рынке публичных вакансий под влиянием шоковых событий

3.1.1 Временная идентификация моментов шоковых событий

3.1.2 Оценка справедливого уровня предлагаемой заработной платы в периоды шоковых событий

3.1.3 Определение уровня показателя нерациональности, свойственного нормальному состоянию рынка публичных вакансий

3.1.4 Описание структуры рынка публичных вакансий

3.2 Влияние трудового потенциала регионов на дополнительную кадровую потребность

3.2.1 Анализ роста предлагаемых зарплат при повышении квалификации

3.2.2 Определение сегментов вакансий, определяющих дефицит

Заключение

Список литературы

Список рисунков

Список таблиц

Стр.

Приложение А. Свидетельство о государственной регистрации

программы для ЭВМ

Приложение Б. Акт внедрения результата интеллектуальной

деятельности

Приложение В. Листинги программ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Анализ и прогнозирование структурных изменений в поведении экономических агентов»

Введение

В середине XIX века возник вопрос универсального описания сложившегося спроса и уровня цен на товары, которые покупают разные группы населения. Индексы потребительских цен и спроса являются обобщенными показателями, которые позволяют судить о тенденциях развития экономики в целом. Они широко используются статистическими службами, чтобы отслеживать общую инфляционную динамику цен и потребления и не детализировать показатели до уровня цен и объемов потребления отдельных товаров. Исходными данными для вычисления индексов цен и спроса являются цены и объемы потребления в разные моменты времени.

Стандартные подходы к вычислению экономических индексов полагаются на оценку изменения стоимости некоторой фиксированной потребительской корзины в разные периоды времени. Статистические службы вычисляют индексы цен Ласпейреса или Пааше, выбирая в качестве потребительской корзины объемы потребления в базовый или текущий период времени соответственно. В условиях роста экономики, связанного с расширением разнообразия товаров и услуг, возникает необходимость принимать во внимание замещение одних товаров другими, чтобы исследовать структурные сдвиги в потреблении.

В начале XX века Парето предложил модель [1; 2], учитывающую замещение товаров. Согласно ей спрос совокупности домашних хозяйств объясняется поведением одного рационального репрезентативного агента, который принимает решение о потреблении с целью увеличения значения своей функции полезности при ограниченном бюджете. На основе теории Парето Г.Бюшгенс [3] и А.Конюс [4] предложили экономический индекс, учитывающий изменение структуры потребительского спроса при изменении структуры цен. В 1925 г. Ф.Дивизиа [5] ввел формулы для расчета индексов потребления и цен Дивизиа. В общем случае индекс потребления Конюса не совпадают с индексом Дивизиа. Однако индекс Конюса становится равен индексу Дивизиа при требовании положительной однородности функции полезности, т.е. при кратном росте объема потребляемых товаров и услуг значение функции пропорционально увеличивается. Полученные индексы были названы индексами Конюса—Дивизиа.

Существование индексов Конюса—Дивизиа сводится с вопросу разрешимости обратной задачи потребительского спроса Парето. Она заключается в поиске функции полезности по известным данным о спросе.

В работе 1915 г. Слуцкого [6] впервые были сформулированы условия для наличия решения обратной задачи. Одним из них является условие интегрируемости Фробениуса, которое заключается в существовании интегрирующего множителя для дифференциальной формы, соответствующей обратной функции спроса. Условие Фробениуса является ограничением вида равенства, поэтому оно нарушается при малых возмущениях обратных функций спроса. Эта проблема была названа проблемой интегрируемости [7], она порождает вопрос об интерпретации и выполнимости условий интегрируемости.

Дальнейшие усилия по анализу проблемы интегрируемости привели к созданию теории выявленных предпочтений, предложенной Самуэльсоном в 1938 году [8]. С помощью теории удалось привести условия рациональности потребительского поведения в форму, удобную для практического применения.

Как правило, при анализе исследователи взаимодействуют только с конечным набором данных о ценах и объемах потребления товаров и услуг, которые объединены в торговую статистику. Для такого вида данных в работах Хауттекера [9] и Стигума [10] было показано, что сильная аксиома выявленного предпочтения является критерием согласованности с моделью Парето. В 1972 г. в работах Африата [11] и Диверта [12] также был получен критерий согласованности торговой статистики с моделью Парето, но уже с требованием положительной однородности функции полезности. Критерием являлось выполнение однородной сильной аксиомы выявленного предпочтения.

В 1983 г. Х.Вериан [13] с помощью результатов Африата сформулировал и доказал теорему Африата—Вериана. Результат предоставил эффективный способ тестирования согласованности торговой статистики с моделью Парето путем проверки разрешимости системы линейных неравенств с помощью полиномиального алгоритма Варшалла—Флойда. Это привело к разработке метода построения индексов Конюса—Дивизиа, который был назван непараметрическим.

В экономической литературе задача определения сегментации потребительского рынка часто сводится к задаче отделимости. Отделимая товарная подгруппа может рассматриваться, как сегмент рынка, структура потребления которого определяется независимо от потребления других товаров.

Вопросы проверки слабой отделимости изучены в работах [13-18]. В работе [15] было показано, что задача проверки слабой отделимости является КР-трудной, а также был предложен алгоритм для проверки, основанный на поиске решения задачи целочисленного программирования. В [18] была предложена серия сходящихся эффективно проверяемых необходимых и достаточных условий для тестирования слабой отделимости с положительно-однородными функциями полезности как для отделимой подгруппы, так и для всей группы товаров.

Обратная задача для модели Парето может быть не всегда разрешима. Нарушение гипотезы о рациональном репрезентативном агенте может быть связано с погрешностями, неизбежно существующими при формировании статистики, а также небольшими отклонениями потребителей от рационального поведения. Для решения данной проблемы Африат в [19] предложил ввести индекс эффективности, который ослабляет условия разрешимости. В работе [20] Вериан ввел индекс эффективности для каждого момента времени по отдельности, совокупность которых была названа вектором эффективности Вериана. Он позволяет определить, спрос в какие моменты времени привел к нарушению сильной аксиомы. При требовании положительной однородности функции полезности похожим образом вводятся гомотетические индекс эффективности и вектор эффективности, как поправки необходимые для соответствия данных модели Парето с соответствующими функциями полезности. В [21] показано, что тесты, проводимые с введением таких поправок, имеют высокую мощность.

Другие подходы к введению поправок, измеряющих степень отклонения от рационального поведения, рассматриваются в работах [22-26]. В российской литературе [27; 28] распространено использование индекса, значение которого обратно индексу эффективности. Такой показатель называется показателем нерациональности статистики, он служит мерой погрешности, принимаемой при построении индексов Конюса-Дивизиа. Развитие непараметрического метода с использованием показателя нерациональности привело к разработке обобщенного непараметрического метода построения индексов.

Для определения допустимого уровня нарушения гипотезы о рациональном репрезентативном агенте в работе [29] приводится подход к определению уровня показателя нерациональности, характерного для нормального состояния изучаемого рынка. Он заключается в анализе средних

значений показателя нерациональности для срезов статистики, относящихся к более короткому временному интервалу.

В работе [30] введена метрика «денежного насоса», отражающая стоимость отклонения поведения потребителя от рационального поведения. Метрика рассчитывается для каждой последовательности моментов времени, выбор объемов потребления в которые привел к нарушению сильной аксиомы выявленного предпочтения. Для расчета допустимого уровня отклонения выдвинута гипотеза, что причиной является различие между наблюдаемыми ценами и реальными ценами транзакции, которые могут отличаться на величину скидок и других акций. Предполагается, что различия в ценах на товары являются независимыми и нормально распределенными случайными величинами. Исходя из таких предположений, проводится оценка распределения исходной метрики «денежного насоса» и определяется критический уровень метрики, превышение которого говорит о значительном отклонении от гипотезы рационального поведения.

Кроме того, анализируемый рынок может характеризоваться несколькими группами потребителей с различными предпочтениями. В таком случае корректно использовать модели нескольких рациональных репрезентативных потребителей. В работе [31] предложены модели проверки согласованности статистики с коллективными моделями, основанными на слабой аксиоме выявленного предпочтения. Было доказано, что КР-полными являются 2 варианта задачи моделирования: при индивидуальном потреблении товаров внутри домашних хозяйств и при публичном (совместном) потреблении. В работе [32] показана КР-полнота проверки согласованности статистики с коллективными моделями, основанными на сильной аксиоме выявленного предпочтения. Задачи согласованности с моделями временного диктатора, основанные на гипотезе, что в каждый момент времени решение о потреблении принимает только один из агентов, также являются КР-полными: для случая сильной аксиомы [33], для случая слабой аксиомы от 3 потребителей [34] и для однородной сильной аксиомы [35]. Для эффективного поиска решений таких задач необходимы эвристики и подходы, позволяющие объяснять наблюдаемый спрос действиями нескольких рациональных агентов.

В условиях геополитических потрясений российская экономика проходит через структурную трансформацию: акцент с развития экспортно ориентированных секторов смещается на развитие трудоёмких отраслей,

например обрабатывающей промышленности. Такие изменения инициируют новые процессы на рынке труда, для анализа которых необходимо создать математические модели, способные описывать и прогнозировать структурные сдвиги в экономике.

Поэтому актуальна разработка инструментов для анализа структурных изменений в экономике, связанных с шоковыми событиями, кризисами или технологическим прогрессом, а также методов изучения сегментации рынков для определения групп потребителей, спрос которых подвергся структурным изменениям.

Целью данной работы является разработка математических моделей для анализа структурных изменений на потребительском рынке и рынке труда.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1. Разработать методику для анализа изменений в поведении экономических агентов и изучения гетерогенных рынков. Предложить критерий, позволяющий построить множество прогнозов потребления одновременно для нескольких периодов времени.

2. Выделить экономических агентов на основе анализа структуры потребительского поведения регионов России.

3. Разработать методику расчета относительного уровня цен в регионах России, которая применима для определения коэффициентов региональной экономической дифференциации.

4. Предложить и применить методы, основанные на теории выявленного предпочтения, для анализа рынка труда.

Научная новизна:

1. Разработана модель анализа влияния изменений, связанных с технологическим прогрессом, на потребительский рынок с помощью коллективной модели спроса Парето. Для решения возникающей системы нелинейных неравенств предлагаются конструкции эвристик и дополнительные предположения, позволяющие разрешить ее эффективными численными методами.

2. Предложен инструмент расчета дифференциации цен в регионах, учитывающий замещение товаров и услуг.

3. Предложена методика определения показателя нерациональности, допустимого для нормального состояния функционирования

рынка. Это позволяет оценивать значимость нарушений условий рационализируемости и проводить анализ торговых статистик при небольших отклонениях от гипотезы рационального репрезентативного агента.

4. Впервые для анализа рынка труда применены методы, основанные на теории выявленного предпочтения. В результате этого анализа проведена оценка влияния пандемии на уровень предлагаемой заработной платы в обрабатывающей промышленности. Обоснована согласованность теории сравнительных преимуществ Рикардо с ситуацией на российском рынке труда.

Теоретическая и практическая значимость.

Теоретическая значимость работы состоит в разработке методики анализа структурных изменений под влиянием технологического прогресса. На основе модели рационального репрезентативного агента получен критерий, позволяющий проверять прогнозы потребления одновременно для нескольких моментов времени. Предложена методика расчета коэффициентов региональной экономической дифференциации. Разработан подход к вычислению уровня показателя нерациональности, характерного для нормального состояния исследуемого рынка.

Практическая значимость работы заключается в выделении репрезентативных агентов, отражающих сегменты на потребительском рынке России, которые могут быть применимы для различных моделей анализа экономического поведения населения. Реализован программный комплекс для вычисления актуальных значений коэффициентов региональной экономической дифференциации, который внедрен в использование в ФГБУ «ВНИИ труда» Минтруда России. Показано влияние пандемии и структурных изменений экономики на рынок труда. Получена оценка уровня завышения предлагаемой заработной платы рабочим в обрабатывающей промышленности в периоды шоковых событий.

Научная работа соискателя по теме диссертации поддержана грантами РФФИ №20-07-00285, РНФ №23-21-00281, №24-11-00329.

Методология и методы исследования. Основой методологии исследования является непараметрический метод построения экономических индексов, который позволяет проверять согласованность статистических данных с моделью поведения рационального репрезентативного агента. Для

подготовки входной статистики используются методы поиска аномалий в данных, сглаживания и агрегирования. В процессе проведения исследования и обработки результатов применялись методы решения экстремальных задач, авторегрессионная модель и алгоритмы на графах. Программные коды реализованы на языке Python.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. На основе модели потребительского спроса Парето получен критерий, позволяющий проверять прогнозы объемов потребления одновременно для нескольких периодов времени. Разработан инструмент для анализа структурных изменений в результате технологического прогресса и шоковых событий с помощью модели двух рациональных репрезентативных агентов, один из которых вытесняет другого. Модель формулируется в виде системы полиномиальных неравенств, для решения которой предложена эвристика, основанная на модельных предположениях. Методика успешно апробирована для анализа изменений на потребительском рынке Швеции в первой трети XX века. Экспериментально доказана высокая мощность задачи проверки согласованности с введенной моделью.

2. Проведена сегментация потребительского рынка России, для этого решалась задача кластеризации регионов в группы по схожести стиля потребительского поведения. Показано, что для регионов с высокими среднедушевыми расходами населения пандемия привела к изменениям в структуре потребления в сфере услуг, а для населения провинциальных регионов шоковые события в большей степени влияют на потребление продовольственных товаров. Получена оценка дифференциации групп регионов по уровню среднедушевых расходов. Установлено, что темпы роста цен в разных группах регионов за последние 12 лет практически не отличаются, поэтому необходимо изучать дифференциацию уровней цен в регионах.

3. Разработана методика определения коэффициентов уровней цен в регионах России относительно среднероссийского уровня на основе построения индексных функций Конюса—Дивизиа. Предложенный подход позволяет учесть эффекты замещения одних товаров и услуг другими, а значения коэффициентов демонстрируют, как воспринимают уровень цен жители указанного региона при переезде

в среднестатистический регион России с учетом сохранения стиля потребления, сложившегося в их регионе проживания.

4. Разработан подход для анализа влияния внешних шоков на рынок публичных вакансий. Предложен алгоритм определения моментов времени, в которые происходили структурные сдвиги на рынке. Предложена методика для оценки уровня показателя нерациональности, свойственного нормальному состоянию рынка. Проведена оценка влияния пандемии на уровень предлагаемой заработной платы рабочим. Выделены группы отделимых вакансий, которые отражают различные варианты трудоустройства для работников рабочих профессий. Выявлено соответствие теории сравнительных преимуществ Рикардо с уровнями предлагаемых зарплат на региональных рынках труда в зависимости от квалификации работника.

Достоверность результатов работы обеспечивается математическими доказательствами теорем и лемм, корректным проведением математического и компьютерного моделирования. Результаты работы были обсуждены и получили одобрение специалистов на следующих конференциях и семинарах.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на:

— International conference «Quasilinear Equations, Inverse Problems and their Applications» (QIPA 2022), 2022, Sirius, Sochi, Russia.

— Международная конференция Математика в созвездии наук. К юбилею ректора МГУ академика Виктора Антоновича Садовничего, 2024, Москва, Россия.

— International conference «Quasilinear Equations, Inverse Problems and their Applications» (QIPA 2024), 2024, Sirius, Sochi, Russia.

— 67-я Всероссийская научная конференция МФТИ, 2025, Москва, Россия.

Личный вклад. Положения, выносимые на защиту, получены лично соискателем под научным руководством А. А. Шананина. В работах, опубликованных с соавторами, вклад автора диссертации заключается в следующем: [36] — разработка подхода для анализа влияния пандемии на рынок труда, разработка и реализация численных алгоритмов, анализ результатов, формулирование выводов; [37] — анализ статистики фондового рынка Китая с помощью обобщенного непараметрического метода.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 7 печатных изданиях [36-42], включая 3 статьи в журналах уровня К1 [37;38; 40] по Собственному перечню журналов МФТИ и 2 публикации в тезисах докладов. Зарегистрирована 1 программа для ЭВМ [43].

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения и 3 приложений. Полный объём диссертации составляет 124 страницы, включая 26 рисунков и 8 таблиц. Список литературы содержит 63 наименования.

Глава 1. Модель потребительского спроса Парето и подходы к

регуляризации обратных задач

При построении экономических индексов цен обычно принято выбирать некоторую потребительскую корзину из т товаров с объемами потребления X и сравнивать стоимость (Р, X) этой корзины при ценах Р, заданных в разные моменты времени. В большинстве случаев статистические службы для расчета индексов цен используют корзину некоторого базового периода времени £ и сравнивают ее стоимость в момент выбора с стоимостью в текущий момент т, построенный таким образом индекс (Рх,Хг)/(Рг,Хг) называется индексом цен Ласпейреса. Если в качестве потребительской корзины рассматривать потребление Xх в текущий момент времени т, получается индекс цен Пааше (Рх,Хт)/(Рг,Хт). Как правило, индекс цен Пааше не превосходит значения индекса цен Ласпейреса, что связано с процессами замещения товаров, у которых выросла цена, более дешевыми аналогами. Эффект существования различия между индексами называется эффектом Гершенкрона. Чтобы учесть эффекты замещения, Парето предложил модель в рамках которой спрос совокупности домашних хозяйств описывается действиями одного рационального репрезентативного агента, который выбирает объемы потребления X с целью максимизации своей функции полезности Р при заданном размере бюджета I и ценах Р. Возникающая при этом задача называется прямой задачей в модели потребительского спроса Парето:

^(X) ^ тах , (Р,Х) ^ I, X ^ 0.

Потребительское поведение можно задавать с помощью обратных функций спроса Р(X) = (Р\(Х),...,Рт(Х)), которые устанавливают связь между ценами и объемами потребления X = (Х\,..., Хт). Обратная задача Парето заключается в нахождении функции полезности Р из некоторого класса функций Ф при известных обратных функциях спроса Р(X) такой, что для любого вектора X ^ 0 выполнено

^(X) = тах{^(У)\(Р(X),У) < (Р(X),Х)}. (1.1)

Если обратная задача имеет решение, то обратные функции спроса Р(X) называются рационализируемыми в классе функций Ф.

Обозначим К™ - класс векторов с т неотрицательными компонентами, а - векторы размерности т с положительными компонентами. Определим класс функций Ф^, как класс положительных на тШ™, непрерывных на К™, ненасыщаемых, монотонно неубывающих, вогнутых функций. Пусть класс функций Фя дополнительно включает в себя требование, чтобы функции были положительно-однородными первой степени. Требование положительной однородности делает условие рационализируемости более надёжным, поскольку позволяет учесть изменения, вызванные экономическим ростом или увеличением численности населения.

В работе Слуцкого [6] были сформулированы условия для наличия решения обратной задачи в случае Р (X) € Ф^ и непрерывной дифференцируемости на тШ™. Одним из них является условие интегрируемости Фробениуса

+ Рк (X И ^ (X) - ^ (х ))=0 = 1,т,Х € 1пШ™. (1.2)

«<* к а <*) <* о+*) ш) - ао+

дР,

Ч

Условие (1.2) равносильно существованию интегрирующего множителя для

т

дифференциальной формы обратных функций спроса ш = ^

г=1

Условие интегрируемости Фробениуса выражено в форме равенства, а значит нарушается при малых возмущениях обратных функций спроса Р(X). Это приводит к невозможности построения экономических индексов, такая проблема была названа проблемой интегрируемости.

Дальнейшее исследование проблемы интегрируемости привело к созданию теории выявленных предпочтений, предложенной Самуэльсоном [8]. На основе теории была сформулирована слабая аксиома выявленного предпочтения, которая является необходимым условием для рационализируемости обратных функций спроса в классе Ф^.

Определение 1. Если для векторов Х,У € К™ выполнено (Р(X),Х) ^ (Р(X),У), то вектор объемов потреблениях выявленно предпочтительнее, чем вектор У. Обозначим X У У.

Определение 2. Обратные функции спроса удовлетворяют слабой аксиоме выявленного предпочтения, если для векторов Х,У е К™ таких, что X у У, выполнено (Р(У),У) < (Р(У),Х).

Однако, как показано в [44], слабая аксиома не является достаточным условием для рационализируемости обратных функций спроса в Ф^. В работе [9] было получено, что необходимым и достаточным условием для рационализируемости обратных функций спроса в классе функций Ф^ является сильная аксиома выявленного предпочтения.

Определение 3. Обратные функции спроса Р(X) удовлетворяют сильной аксиоме выявленного предпочтения, если для любых X1,Х2,...,Хк е К? таких, что X1 У X2,Х2 У X3,... ,Хк-1 у Xк, выполняется (Р(Xк),Хк) < (Р (X к ),Х1).

Для проверки рационализируемости в классе функций Фн предложен следующий критерий.

Теорема 1 ( [27; 45]). Пусть Р(X) - неотрицательная, непрерывная на К™ функция, для которой (Р(X),Х) > 0 на множестве К™\{0}. Тогда следующие утверждения эквивалентны.

1) Обратные функции спроса Р(X) рационализируемы в классе Фн.

2) Существует положительное и непрерывное на тШ™ решение системы линейных неравенств

\(У)(Р(У),Х) ^ \(Х)(Р(X),Х) уХ,У е К™. (1.3)

3) Обратные функции спроса Р(X) удовлетворяют однородной сильной аксиоме выявленного предпочтения, т.е. для любых X 1,Х2,... ,Хк е К™ выполнены неравенства

( Р (X г), X 2)(Р (X 2) ,Х 3) ... (Р (X к), X1) ^

^ ( Р(X 1),Х 1)(Р(Х2),Х2)... (Р(Хк),Хк). (1.4)

4) Существуют индексные функции цены Q(P) и спроса Р(X) из класса Фн такие, что

Q(P) < ущ, Р,Х е К? (1.5)

Q(P(х)) = ), х 6 к;- (1.6)

1.1 Методы проверки рационализируемости торговой статистики и

непараметрический метод

На практике при изучении потребительского поведения доступна лишь ограниченная информация: вместо полных обратных функций спроса имеются лишь их значения в конечном наборе точек. На основе этих данных формируется торговая статистика — последовательность наблюдений {(Р1, Хг)}1^=1, где X1 — вектор потребления, а Pt = Р(Хг) — соответствующие им вектора цен. Исходя из определения рационализируемости, приведённого в (1.1), естественным образом возникает понятие рационализируемости торговой статистики.

Определение 4. Торговая статистика называется рационализируемой в классе функций Ф, если существует функция полезности Р € Ф такая, что для любого г = ЦТ выполнено Р(Xг) = тах{Р(У)\(Рг,У) ^ (Рг,Хг)}.

Рационализируемость торговой статистики подразумевает, что по данным торговой статистики возможно восстановить обратные функции спроса Р (X), которые будут рационализируемы в Ф, и для которых при Ф = Ф^ и непрерывной дифференцируемости будут выполнены условия интегрируемости Фробениуса (1.2).

Следующая теорема Африата—Вериана предлагает критерий рационализируемости для обратных функций спроса, определенных на конечном числе точек и обладающих свойствами класса Ф<^.

Теорема 2 ( [12;46;47]). Следующие утверждения эквивалентны.

1) Торговая статистика {(Рг, Хг)}1^=1 рационализируема в классе функций Фс.

2) Существует положительные числа Лt и неотрицательные числа и \ Ь = 1,Т, для которых выполнены неравенства

и -ит < лт(рт,хг -хт) у, т = 1х (1.7)

3) Торговая статистика {( Р1,ХГ)}1^=1 удовлетворяет сильной аксиоме выявленного предпочтения, т.е. для любого упорядоченного набора моментов времени {Ь1, ... , ^} € 1,Т выполняется (Р1к,Х1к) ^

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Куць Андрей Сергеевич, 2025 год

Список литературы

1. Pareto V. Manual of Political Economy. — New York : Augustus M. Kelley, 1971. — 504 с. — Пер. c франц.

2. Pareto V. Ophelimity in nonclosed cycles // Preferences, utility and demand / Ed. by J. Chipman, L. Hurwicz, M. Richter, H. Sonnenschein. — Harcourt Brace Jovanovich, Inc., 1971.- P. 370-385.

3. Бюшгенс С. С. Об одном классе гиперповерхностей: По поводу «идеального» индекса Ирвинга Фишера покупательной силы денег // Математический сборник. — 1925.— С. 625-631.

4. Конюс А. А. Проблема истинного индекса стоимости жизни // Экономический бюллетень Конъюнктурного института.— 1924.— Т. 9-10. — С. 64-72.

5. Divisia F. L'indice monétaire et la theorie de la monnaie // Revue d'Economie Politique. - 1925.-Vol. 39.-P. 842-864, 980-1008.

6. Slutsky E. On the Theory of the Budget of the Consumer (1915) // Moscow University Economics Bulletin. — 2016.— no. 4. — P. 86-111.

7. Samuelson P. The problem of integrability in utility theory // Economica (new series). - 1950.-Vol. 17, no. 68. - P. 355-385.

8. Samuelson P. A note on the pure theory of consumer's behavior // Economica (new series). — 1938. — Vol. 5, no. 17. — P. 61-71.

9. Houthakker H. S. Revealed preference and the utility function // Economica (new series). - 1950.-Vol. 17, no. 66.-P. 159-174.

10. Stigum B. Revealed preference: a proof of houthakker's theorem // Econometrica. - 1973.-Vol. 41, no. 3.- P. 411-423.

11. Afriat S. N. The theory of international comparison of real income and prices // International Comparisons of Prices and Output / Ed. by J. D. Daly. — National Bureau of Economic Research, Inc., 1972.— P. 13-84.

12. Diewert W. E. Afriat and revealed preference theory // The Review of Economic Studies. - 1973. - Vol. 40. - P. 419-425.

13. Varian H. Non-parametric tests of consumer behavior // The Review of Economic Studies. - 1983.-Vol. 50, no. 1.- P. 99-110.

14. Swofford J. L., Whitney G. A. A revealed preference test for weakly separable utility maximization with incomplete adjustment // Journal of Econometrics. — 1994. - Vol. 60. - P. 235-249.

15. Revealed preference tests for weak separability: An integer programming approach / L. Cherchye, T. Demuynck, B. De Rock, P. Hjertstrand // Journal of Econometrics.-2015.-Vol. 186.-P. 129-141.

16. Fleissig A., Whitney G. A. A nonparametric test of weak separability and consumer preferences // Journal of Econometrics. — 2008. — Vol. 147. — P. 275-281.

17. Shananin A., Tarasov S. Positive solutions of real homogeneous algebraic inequalities // Smart Modeling for Engineering System. — Vol. 133. — Cham : Springer International Publishing, 2019.— P. 32-40.

18. Shananin A. A., Tarasov S. P. Necessary and Sufficient Conditions for Weak Separability Problem for Homogeneous Utility Functions // Lobachevskii Journal of Mathematics. - 2019. - Vol. 40, no. 4. - P. 507-512.

19. Afriat S. Efficiency Estimation of Production Function // International Economic Review. - 1972. - Vol. 13, no. 3. - P. 568-598.

20. Varian H. Goodness-of-Fit in Optimizing Models // Journal of Econometrics. — 1990.-Vol. 46.- P. 125-140.

21. Heufer J., Hjertstrand P. Homothetic Efficiency: Theory and Applications // Journal of Business & Economic Statistics.— 2017.— Vol. 37, no. 2.— P. 235-247.

22. Swofford J. L., Whitney G. A. Nonparametric Tests of Utility Maximization and Weak Separability for Consumption, Leisure and Money // The Review of Economics and Statistics. - 1987. - Vol. 69. - P. 458-464.

23. Houtman M., Maks J. A. H. Determining All Maximal Data Subsets Consistent With Revealed Preference // Kwantitatieve Methoden. — 1985.— Vol. 19.— P. 89-104.

24. Gross J. Testing Data for Consistency with Revealed Preference // The Review of Economics and Statistics. — 1995. — November. — Vol. 77, no. 4.— P. 701-710.

25. Fleissig A. R., Whitney G. A. Testing for the Significance of Violations of Afriat's Inequalities // Journal of Business and Economic Statistics. — 2005. — Vol. 23. — P. 355-362.

26. Heufer J. A Geometric Measure for the Violation of Utility Maximization // Ruhr Economic Paper No. 69. — 2008. — 25 p.

27. Поспелова Л. Я., Шананин А. А. Показатели нерациональности потребительского поведения и обобщенный непараметрический метод // Математическое моделирование. — 1998. — Т. 10, № 4.— С. 105-116.

28. Поспелова Л. Я., Шананин А. А. Анализ торговой статистики Нидерландов 1951-1977 гг. с помощью обобщённого непараметрического метода. — М. : ВЦ РАН, 1998. — 35 с.

29. Klemashev N., Shananin A., Zhang S. Inverse problems in Pareto's demand theory and their applications to analysis of stock market crises // Journal of Inverse and Ill-posed Problems. — 2018. — Vol. 26, no. 1.— P. 95-108.

30. Echenique F., Lee S., Shum M. The Money Pump as a Measure of Revealed Preference Violations // Journal of Political Economy.— 2011.— Vol. 119, no. 6.- P. 1201-1223.

31. Complexity results for the weak axiom of revealed preference for collective consumption models / B. Smeulders, L. Cherchye, B. De Rock et al. // Journal of Mathematical Economics. - 2015. - Vol. 58. - P. 82-91.

32. Revealed Preference Tests of Collectively Rational Consumption Behavior: Formulations and Algorithms / F. T. Nobibon, L. Cherchye, Y. Crama et al. // Operations Research. - 2016. - Vol. 64, no. 6.- P. 1197-1216.

33. Deb R. An efficient nonparametric test of the collective household model. — 2010. — URL: https://www.economics.utoronto.ca/debrahul/files/Collective_ Model.pdf (online; accessed: 15.06.2025).

34. Smeulders B., Cherchye L., De Rock B. et al. The Weak Axiom of Revealed Preference for Collective Households.— 2014. — URL: https://archive.illc.uva.nl/C0MS0C/proceedings/comsoc-2014/ SmeuldersCherchyeDeRockSpieksmaNobibon2014.pdf (online; accessed: 15.06.2025).

35. Клемашев Н. И., Шананин А. А. Оценка сложности проверки гипотезы о временном диктаторе с положительно-однородной функцией полезности // Труды МФТИ. — 2015. — Т. 7, № 4. — С. 17-27.

36. Куць А. С., Джума В. И. Применение непараметрического метода для анализа изменений на рынке публичных вакансий под влиянием пандемии // Социально-трудовые исследования. — 2023. — Т. 53, № 4. — С. 28-40.

37. Kuts A. S., Trusov N. V. Analysis of the Stock Market Crisis Based on Mean Field Games Concept // Lobachevskii Journal of Mathematics. — 2024. — Vol. 45, no. 1.- P. 272-286.

38. Kuts A. S. Nonparametric Method and Its Application for the Analysis of Changes in Consumer Behavior // Lobachevskii Journal of Mathematics. — 2022.-Vol. 43, no. 4.- P. 1006-1017.

39. Куць А. С. Применение непараметрического метода для анализа дополнительной кадровой потребности в зависимости от трудового потенциала регионов // Социально-трудовые исследования. — 2024. — Т. 57, № 4. — С. 185-195.

40. Куць А. С. Применение непараметрического метода для сегментации потребительского спроса // Математическое моделирование. — 2025. — Т. 37, № 4. — С. 137-152.

41. Куць А. С. Анализ изменений на рынке публичных вакансий с помощью непараметрического метода // Международная конференция Математика в созвездии наук. К юбилею ректора МГУ академика Виктора

Антоновича Садовничего: Тезисы докладов. — Издательство Московского университета. — 2024. — С. 586-587.

42. Куць А. С. Кластеризация регионов России по типу потребительского поведения с помощью непараметрического метода // 67-я Всероссийская конференция МФТИ: Тезисы докладов. — 2025. — 3 с.

43. Куць А. С. Свидетельство о гос. регистрации программы для ЭВМ. Инструмент расчета коэффициентов региональной экономической дифференциации в России.— 2025.— №2025680695. Правообладатель: Федеральное государственное бюджетное учреждение «Всероссийский научно-исследовательский институт труда» Министерства труда и социальной защиты Российской Федерации. Дата государственной регистрации в Реестре программ для ЭВМ 07 августа 2025 г.

44. Gale D. A Note on Revealed Preference // Economica (new series). — 1960. — Vol. 27, no. 108.-P. 348-354.

45. Levin V. Reduced cost functions and their applications // Journal of Mathematical Economics. - 1997.-Vol. 28, no. 2.- P. 155-186.

46. Afriat S. The construction of a utility function from expenditure data // International Economic Review. — 1967. — Vol. 8, no. 1.— P. 67-77.

47. Varian H. The Nonparametric Approach to Demand Analysis // Econometrica. - 1982. - Vol. 50, no. 4. - P. 945-973.

48. Afriat S. On a system of inequalities in demand analysis and extension of the classical method // International Economic Review. — 1973. — Vol. 14, no. 2. — P. 460-472.

49. Varian H. Revealed preference // Samuelsonian Economics and the 21st Century. — Oxford University Press, 2006. — 23 p.

50. Шананин А.А. Непараметрические методы анализа структуры потребительского спроса // Математическое моделирование.— 1993.— Т. 5, №9. —С. 3-17.

51. Houtman M. Nonparametric consumer and producer analysis : Ph. D. thesis / M. Houtman ; University of Limburg. — Maastricht, Netherlands, 1995.

52. Goodness-of-fit measures for revealed preference tests: Complexity results and algorithms / B. Smeulders, F. Spieksma, L. Cherchye, B. De Rock // ACM Transactions on Economics and Computation. — 2014. — Vol. 2, no. 1. — P. 1-16.

53. The Money Pump as a Measure of Revealed Preference Violations: A Comment / B. Smeulders, L. Cherchye, B. De Rock, F. C. R. Spieksma // Journal of Political Economy. - 2013. - Vol. 121, no. 6. - P. 1248-1258.

54. Cherchye L., De Rock B., Vermeulen F. The Revealed Preference Approach to Collective Consumption Behaviour: Testing and Sharing Rule Recovery // The Review of Economic Studies. - 2011. - Vol. 78, no. 1.- P. 176-198.

55. Blundell R., Chiappori P.-A., Meghir C. Collective Labor Supply with Children // Journal of Political Economy.— 2005.— Vol. 113, no. 6.— P. 1277-1306.

56. Cherchye L., de Rock B., Vermeulen F. The collective model of household consumption: A nonparametric characterization // Econometrica. — 2007. — Vol. 75, no. 2.-P. 553-574.

57. Средние потребительские цены (тарифы) на товары и услуги. Витрина статистических данных.— URL: https://showdata.gks.ru/report/277328 (дата обращения: 29.09.2024).

58. Структура потребительских расходов населения для расчета индекса потребительских цен. Витрина статистических данных.— URL: https:// showdata.gks.ru/report/273362 (дата обращения: 15.10.2024).

59. Доходы, расходы и потребление домашних хозяйств. — URL: https://rosstat. gov.ru/compendium/document/13271 (дата обращения: 15.10.2024).

60. Ильенкова С. Д. Микроэкономическая статистика. Учебник. — М. : Финансы и статистика, 2004. — 544 с.

61. Трусов Н. В. Свидетельство о гос. регистрации программы для ЭВМ. Анализ спроса на потребительский кредит в РФ. — 2022.— №2022619524. Правообладатель: Трусов Николай Всеволодович. Дата государственной регистрации в Реестре программ для ЭВМ 23 мая 2022 г.

62. Ricardo D. Principles of political economy and taxation / Ed. by E.C.K. Gonner. - London : Bell, 1908.- 455 p.

63. Численность занятых в возрасте 15 лет и старше по субъектам Российской Федерации. — URL: http://ssl.rosstat.gov.ru/storage/mediabank/TRUD_2_ 15-s.xlsx (дата обращения: 03.04.2024).

Список рисунков

1. Рисунок 2.1 — Несогласованные годы для торговой статистики

Швеции.................................... 43

2. Рисунок 2.2 — Доля объемов потребления товара, %........... 45

3. Рисунок 2.3 — Матрица косинусной близости векторов объемов

потребления ................................ 46

4. Рисунок 2.4 — Матрица косинусной близости векторов объемов

потребления для потребителей со старыми предпочтениями...... 52

5. Рисунок 2.5 — Матрица косинусной близости векторов объемов

потребления для потребителей с новыми предпочтениями....... 52

6. Рисунок 2.6 — Показатели нерациональности статистик случайной

группы регионов в зависимости от размера группы........... 56

7. Рисунок 2.7 — Динамика показателя нерациональности при

последовательном добавлении регионов.................. 57

8. Рисунок 2.8 — Кластеризация регионов России по типу

потребительского поведения........................ 58

9. Рисунок 2.9 — Динамика показателя нерациональности для

статистики Столичной группы регионов, построенная методом скользящего окна шириной 8 кварталов................. 60

10. Рисунок 2.10 — Динамика индекса цен и среднедушевых расходов в ценах 2012 года для выделенных групп регионов............ 61

11. Рисунок 2.11 — Динамика индекса Джини между отдельными регионами и между выделенными группами регионов......... 62

12. Рисунок 2.12 — Зависимость показателя нерациональности статистики продовольственных товаров от доли расходов на них в выделенных 7 группах регионов...................... 63

13. Рисунок 3.1 — Зависимость показателя нерациональности от времени: скользящее 12-месячное окно для вакансий рабочих со опытом 1-3 года............................... 71

14. Рисунок 3.2 — Несогласованные пары периодов времени для статистики вакансий рабочих с опытом 1-3 года при О = 0.025. ... 72

15. Рисунок 3.3 — Оценка справедливого уровня нижней границы предлагаемой зарплаты токарям с опытом работы от 1 года до 3 лет. 74

16. Рисунок 3.4 — Оценка справедливого уровня нижней границы предлагаемой зарплаты сварщикам с опытом работы от 1 года до 3

лет...................................... 74

17. Рисунок 3.5 — Распределение показателя нерациональности случайных сгенерированных статистик на основе статистики

рабочих со стандартным методом работы................ 76

18. Рисунок 3.6 — Структура рынка публичных вакансий рабочих в регионах со средним уровнем доходов населения............ 79

19. Рисунок 3.7 — Индексы предлагаемой зарплаты для типовых

позиций рабочих в регионах со средним уровнем доходов населения. 80

20. Рисунок 3.8 — Индексы количества вакансий для типовых позиций рабочих в регионах со средним уровнем доходов населения...... 80

21. Рисунок 3.9 — Индексы предлагаемой зарплаты для рабочих без

опыта работы в зависимости от трудового потенциала региона. . . . 83

22. Рисунок 3.10 — Индексы предлагаемой зарплаты для рабочих с требуемым опытом от 1 года до 3 лет в зависимости от трудового потенциала региона............................. 84

23. Рисунок 3.11 — Индексы предлагаемой зарплаты для рабочих с требуемым опытом 3 года и более в зависимости от трудового потенциала региона............................. 84

24. Рисунок 3.12 — Коэффициент роста предлагаемой заработной

платы с приобретением опыта работы.................. 86

25. Рисунок 3.13 — Динамика доли вакансий рабочих с требуемым опытом работы от 1 года.......................... 88

26. Рисунок 3.14 — Количество вакансий на 1000 человек занятого населения. ................................. 89

Список таблиц

1. Таблица 1 — Одно из решений задачи выделения объемов

потребления для потребителей со старыми и новыми

предпочтениями, в кг на человека..................... 44

2. Таблица 2 — Число подходящих векторов объемов потребления

среди 100 тысяч случайных векторов У35 с компонентами

У,35 е и [а35X35, в35^35], г = 16 Л = 1,735 ................ 49

3. Таблица 3 — Число подходящих векторов объемов потребления

среди 100 тысяч случайных векторов У33 с компонентами

Уг33 е и[а33Х33, в-3^33], г = 16,3 = 153................ 49

4. Таблица 4 — Число подходящих векторов объемов потребления

среди 100 тысяч случайных векторов У34 с компонентами

Уг34 ей [а34Х34, в34^34], г = 1,6,3 = 154................ 49

5. Таблица 5 — Доля объемов потребления, приходящаяся на

потребителей со старыми и с новыми предпочтениями, % ....... 51

6. Таблица 6 — Показатели нерациональности для торговых статистик

выделенных групп регионов и минимальный показатель нерациональности статистик после исключения одного региона из группы.................................... 59

7. Таблица 7 — Распределение показателя нерациональности

сгенерированных случайных статистик вакансий рабочих ....... 77

8. Таблица 8 — Показатели нерациональности статистик рынка

публичных вакансий рабочих в зависимости от трудового

потенциала региона размещения вакансии и требуемого опыта работы 82

Приложение А

Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ

Приложение Б

Акт внедрения результата интеллектуальной деятельности

расчета минимального размера оплаты труда

3. Началом использования «07»

августа

2025 г.

следует считать _

Срок полезного использования до одного года составляет

Исключительное право на вышеназванный результат интеллектуальной деятельности принадлежит ФГБУ «ВНИИ труда» Минтруда России.

Члены комиссии:

Секретарь комиссии: Гаврилина И.А. Автор работы: Куць А.С.

Заместитель генерального директора_

Джума В.И.

Приложение В Листинги программ

Листинг В.1 Исходный код программы расчета нормального показателя нерациональности с помощью авторегрессионной модели

# 0. Подгрузка необходимых библиотек import pandas as pd

import numpy as np import os 5 import re

import datetime

import matplotlib.pyplot as plt import matplotlib.cm as cm from scipy.optimize import linprog 10 from scipy.optimize import minimize from scipy.stats import norm from tqdm import tqdm

# 1. Функции для расчета показателя нерациональности статистики 15 def c_fun(df_pr, df_c):

num_years = df_pr.shape [1]

C_ = np.zeros((num_years, num_years))

20

# Заполняем матрицу С_ for t in range(num_years):

for tau in range(num_years):

25

index_tau = df_pr[tau].values

index_t = df_pr[t].values

ut_t = df_c [t] .values

over_ = np.dot(index_tau , ut_t)

under_ = np.dot(index_t, ut_t)

C_[t] [tau] = np.log(over_ / under_)

if np.isnan (C_) .sum() > 0:

30

print('B C_ NaN:', t, tau, np.isnan(C_).sum())

return C_

def alg_(c_, irr_) : # print('alg_ ') num_years = c_.shape [1]

45

50

55

60

65

70

C_1 = c_.copy ()

C_1 = C_1 + np.round(irr_, 6)

C_2 = np.zeros((num_years, num_years))

for k in range(num_years):

for t in range(num_years):

for tau in range(num_years):

C _2 [t, tau] = min(C_1[t, tau], C_1[t, k] + C_1[k

, tau])

if t == tau and C_2[t, t] < -0.00000001: # print (t, C_2[t, t]) return 0, None C_1 = C_2.copy () # print ( > YES ') return 1, C_1

def region_irr_fun(df_pr, df_c): a = 0 b = 1

diff = b - a

c_ = c_fun(df_pr, df_c)

while diff > 1e-06:

irr = np.round((a + b) / 2, 6) if alg_(c_, irr) [0] :

b = irr else:

a = irr diff = np.round(b - a, 6) if b == 0.000001 and alg_(c_, 0.) [0] : b = 0.0 return b

# 2. Реализация авторегрессии

# функция для настройки метода наименьших квадратов (МНК)

def mls_fun_from10(b, p_i, z_i):

sum_ = 0

if p _ i > 10:

return 'Error ! ' for j in range(12-2, T-1): # индекс 3 - это z~5 pre_sum_ = 0 for k in range(p_i):

85

90

95

100

105

110

pre_sum_ += b [k + 1]*z_i [j-k-1] sum_ += (z_i[j]- b [0] - pre_sum_)**2 return sum_

# Функция генерации случайных статистик в количестве ssize по ис

ходной статистике def autoreg_fun(df_pr, df_c, ssize):

m = df_pr.shape [0] # кол-во товаров T = df_pr.shape[1] # кол-во периодов

goods_pred_dic = {} goods_var_dic = {}

for ii in range (m) :

print('Товар', ii)

z_i = [np.log(df_pr.loc [ii , i]/df_pr.loc [ii, i-1]) for i in range(1, T)]

# подбираем лучший p_i по критерию Акаике

AIC_min = 9999999

for p_i in range(1, 11):

x0 = np.array([0]*(p_i+1))

res = minimize(lambda x: mls_fun_from10(x, p_i, z_i), x0, method='nelder-mead',

options={'xtol': 1e-8, 'disp': False, '

maxiter': 10000})

print(p_i, 'Решение задачи:', res.x) AIC = 2*(p_i+2)+(T-12 + 1)*np.log(res.f un/(T-12 + 1)) if AIC < AIC_min: p_i_best = p_i AIC _min = AIC res _x = res.x print('Лучшая глубина p_i=', p_i_best)

pred_ar = [] # сохраняем прогноз для p_i с самым низким

AIC

res2 = res_x [1 : ] [ : : -1] for j in range(12-2, T-1):

pred_ar += [res_x[0] + np.dot(z_i[j-p_i_best:j] , res2)

]

# список невязок

120

125

130

135

140

145

eps_ar = [z_i[12-2:][i]-pred_ar[i] for i in range(len(pred ar))]

eps_ar2 = [x**2 for x in eps_ar]

# сохранить для каждого товара pred_Ar, \sigma goods_pred_dic[ii] = pred_ar

goods_var_dic [ii] = np . sqrt (np . sum (eps_ar2) /len (eps_ar2) )

# Вычисление показателя sample_size = ssize # <генерации rand_irr_ar = []

количество случайных статистик для

for i in tqdm(range(sample_size)): df_pr_new = df_pr.copy()

z_df = pd.DataFrame([np.exp(goods_pred_dic[ii]+norm.rvs(0, goods_var_dic [ii] , size=T-11)) for ii in range(m)]) for j in range(11, T):

df_pr_new[j] = df _pr_new [ j-1] *z_df [ j - 11] rand_irr_ar += [region_irr_fun(df_pr_new, df_c)] return rand_irr_ar

# 3. Определение распределения по казателя нер ацио наль но сти случа

йных статистик

# df_pr_nov, df_c_nov - данные исходной статистики цен и объемов rand_irr_ar3 = autoreg_fun(df_pr_nov, df_c_nov, 1000)

print('Значений' , len(rand _irr_ar3)) print('Минимум' , np.min(rand_irr_ar3)) print('Среднее ' , np.mean(rand_irr_ar3)) print('Медиана', np.median(rand_ irr_ ar3)) print('Максимум', np.max(rand_irr_ar3))

print('0.05 квартиль', np.quantile(rand_irr_ar3, 0.05)) print('0.01 квартиль', np.quantile(rand_irr_ar3, 0.01)) print('0.005 квартиль', np.quantile(rand_irr_ar3, 0.005))

Листинг В.2 Исходный код комплекса программ для расчета коэффициентов региональной экономической дифференциации в России

Инициализация функций реализации непараметрического мето

### 0. да

10

15

20

25

30

35

import pandas as pd import numpy as np import math import os import re

import matplotlib.pyplot as plt

from datetime import datetime

from dateutil.relativedelta import *

# Матрица индексов цен Пааше: c[t][tau] = ln ((P_tau, X_t)/(P_t,

X_t))

def c_fun(df_pr, df_c):

num_years = df_pr.shape [1]

C_ = np.zeros((num_years, num_years))

# Заполняем матрицу С_ for t in range(num_years):

for tau in range(num_years):

index_tau = df_pr[tau].values index_t = df_pr [t] .values ut_t = df_c [t] .values over_ = np.dot(index_tau , ut_t) under_ = np.dot(index_t, ut_t) C_[t] [tau] = np.log(over_ / under_) return C_

# Матрица C*

def alg_(c_, irr_):

# print( 'alg_ ') num_years = c_.shape [1]

C_1 = c_.copy ()

C_1 = C_1 + np.round(irr_, 6)

C_2 = np.zeros((num_years, num_years))

for k in range(num_years):

for t in range(num_years):

for tau in range(num_years):

C_2[t, tau] = min (C_1 [t , tau], C_1[t, k] + C_1 [k

, tau])

if t == tau and C_2[t, t] < -0.00000001: # print (t, C_2[t, t]) return 0, None

50

55

60

65

70

75

80

C_1 = C_2.copy ()

# print ( > YES ') return 1, C_1

# Расчет показателя нерациональности торговой статистики def region_irr_fun(df_pr, df_c):

a = 0

b = 0.5

diff = b - a

c_ = c_fun(df_pr, df_c)

while diff > 1e-06:

irr = np.round((a + b) / 2, 6) if alg_(c_, irr) [0] :

b = irr else:

a = irr diff = np . round (b - a, 6) if b == 0.000001 and alg_(c_, 0.) [0] : b = 0.0 return b

# Функция Бергсона расчета полезности def W_fun(x, pr, lamb_):

# print ('W_fun ') Cost_ = np . array ([] )

for ii in range(len(lamb_)):

Cost_ = np.append(Cost_ , np.dot(pr [ii] .values , x) ) return np.min(lamb_ * Cost_)

# Вычисление индексов Ко нюса-Дивизиа def count_index2(df_pr , df_c):

irr_ = region_irr_fun(df_pr , df_c) print('irr2:', irr_) c_ = c_fun(df_pr, df_c) C_reg = alg_(c_, irr_)[1]

# Выводим решения системы num_years = C_reg.shape [0] lamb_ = np . array ([] )

# ind_ = np . array([])

for t in range(num_years):

lamb_ = np . append (lamb_ , np . exp (np . min (C_reg [t] ) ) )

# Price index pr_ind = 1 / lamb_

95

100

105

110

115

# Индексы 'продукта' prod_ind = np . array ([] ) for iii in range(num_years):

prod_ind = np.append(prod_ind, W_fun(df_c[iii].values, df _pr , lamb_)) return pr_ind, prod_ind

### Последний квартал статистики. Заполнить, исходя из имеющихс

я исходных данных. ### Месяц квартала кратен 3: 03, 06, 09, 12

end_per = '2024-03-01' # <------Задается пользователем

# Далее в коде все входные файлы лежат в директории "C:\Users\ feron\Pyscripts\CPI_structure_forecast\kred_all_data[for_RID ]\"

### 1. Расчет средней цены по группам товаров

import pandas as pd import numpy as np import math

from datetime import datetime import locale

locale.setlocale(category=locale.LC_ALL, locale="Russian") ## 1.1. Разбираемся с ценами

df_nom_pr_file = pd.read_excel(r'C:\Users\feron\Pyscripts\CPI_ structure_forecast\kred_all_data[for_RID]\nominal_prices_ emiss.xls', header= [2 , 3]) def trim_all_columns(df):

trim_strings = lambda x: x.str . strip () if x.dtype == object else x

return df.apply(trim_strings) df_nom_pr_file = trim_all_columns(df_nom_pr_file)

cols = [i [1] + ' '+i[0] for i in df_nom_pr_file.columns] df_nom_pr_file.columns = cols

df_nom_pr_file.columns = np.append(['region_name', 'Товар'], [' pr_ '+ str (datetime . strptime (x , '/B °/„Y ') . date () ) for x in df _ nom_pr_file.columns[2:]])

# фикс наименований в ценах (дубляж товаров)

125

130

135

140

145

for g in ['Сухие супы в пакетах, кг', 'Сырки творожные, глазиров анные шоколадом, кг']:

for reg in df_nom_pr_file[df_nom_pr_file['Товар']==g][' region_name'].unique():

df_temp = df_nom_pr_file[(df_nom_pr_file['Товар']==g)&( df_nom_pr_file['region_name']==reg)] if df_temp.shape [0] > 1:

df_nom_pr_file.loc[df_temp.index [0], 'Товар'] =g+'[

upd] '

# удаляю товары-агрегаты extra_goods = ['Бензин автомобильный',

'Плата за жилье в домах государственного и муниципального жилищн

ых фондов, м2 общей площади', 'Водоснабжение холодное и водоотведение, м3' , 'Услуги по снабжению электроэнергией' |

df_nom_pr_file = df_nom_pr_file[~df_nom_pr_file ['Товар'] .isin( extra_goods) ]

# Подгружаем переходники

path_per = r'C:\Users\feron\Pyscripts\CPI_structure_forecast\

kred_all_data[for_RID]\Переходники\\' df_per = pd.read_excel(path_per+'Переходник.xlsx') df_reg_x_id = pd.read_excel(path_per+'reg_x_id.xlsx', index_col= 'reg_ id')

df_id_to_rus_reg = pd.read_excel(path_per+'id_to_rus_reg.xlsx', index_col='reg_id')

## 1.2. Разбираемся со структурой

# структура по регионам

df_reg_str_file = pd.read_excel(r'C:\Users\feron\Pyscripts\CPI_ structure_forecast\kred_all_data[for_RID]\structure_emiss.xls ' , header = [2,3]) df_reg_str_file = trim_all_columns(df_reg_str_file) df_reg_str_file.columns = np.append(['region_name', 'Товар'], [' str_' + str(x[0] ) for x in df_reg_str_file.columns [2:]])

# структура по РФ с 2019

df_rus_str_file = pd.read_excel(r'C:\Users\feron\Pyscripts\CPI_ structure_forecast\kred_all_data[for_RID]\rus_structure_since _2019_emiss.xls', header= [2 , 3])

155

160

165

170

df_rus_str_file = trim_all_columns(df_rus_str_file)

df_rus_str_file.columns = np.append(['Товар', 'region_name'], ['

str_' + str(x[0] ) for x in df_rus_str_file.columns [2:]]) df_rus_str_file.drop(['region_name'], axis=1, inplace=True)

############## Большая обработка данных Ростата

# фикс ошибок в наименованиях

for g in ['Сухие супы в пакетах, кг', 'Сырки творожные, глазиров анные шоколадом, кг'] :

# фикс в структуре по РФ

df_temp = df_rus_str_file[df_rus_str_file['Товар']==g] if df_temp.shape [0] >1:

df_rus_str_file.loc[df_temp.index [0], 'Товар'] = g+'[upd

] '

# фикс в структуре по регионам

for reg in df _reg_ str _f ile [df _reg_ str _f ile [' Тов ар ' ] ==g] [ ' region_name'].unique():

df_temp = df_reg_str_file[(df_reg_str_file['Товар']==g)& (df_reg_str_file['region_name']==reg)] if df_temp.shape [0] >1:

df_reg_str_file.loc [df_temp.index [0] , 'Товар'] = g+'

[upd] '

# # фикс, добавляем недостающую структуру в 2022 год из-за измен

ения граммов к и

for g_part in ['Йогурт,', 'Консервы мясные,', 'Консервы рыбные в томатном соусе, ' ,

'Консервы рыбные натуральные и с добавлением масл а, ', 'Масло подсолнечное, ' ,

'Молоко сгущенное с сахаром,', 'Сухие супы в пак етах, ' , 'Сырки творожные, глазированные шоколадом, '] : for reg in df_reg_str_file['region_name'].unique():

df_temp = df_reg_str_file[(df_reg_str_file['Товар'].str. contains(g_part))&(df_reg_str_file['region_name']==reg)]

if df_temp.shape [0] == 2 and not math.isnan(df_temp.loc[ df_temp.index[0], 'str_2022']) and math.isnan(df_temp.loc[df_ temp.index [1] , ' str_2022']) :

df_reg_str_file.loc[df_temp.index[1] , 'str_2022'] = df_reg_str_file.loc[df_temp.index[0], 'str_2022']

# # фикс, убираем дублирующую структуру

for g_part in [' Йогурт, ' , ' Консервы мясные, ' , ' Консервы рыбные в томатном соусе, ' ,

' Консервы рыбные натуральные и с добавлением масл а, ' , ' Масло подсолнечное, ' ,

180

185

190

195

'Молоко сгущенное с сахаром,', 'Сухие супы в пак етах,', 'Сырки творожные, глазированные шоколадом,']: for reg in df_reg_str_file['region_name'].unique():

df_temp = df_reg_str_file [ (df_reg_str_file['Товар'] .str. contains(g_part))&(df_reg_str_file['region_name']==reg)]

if df_temp.shape [0] == 2 and not math.isnan(df_temp.loc[ df_temp.index [0] , 'str_2022']) and not math.isnan(df_temp.loc [df_temp.index [1] , 'str_2022 ' ]) :

df_reg_str_file.loc[df_temp.index [0] , 'str_2022'] =

None

##################################### статистика расходов start _per = '2020-03-01'

end_per1 = datetime . strptime (end_per , "°/„Y-°/„m-°/„d") . date () + relativedelta(months=+1)

# столбцы с р асхо дами по кварталь но

qtime_c_range = pd.date_range(start_per, end_per1, freq='Q').

strftime ( " %Y-°/„m-°/„d " ) . tolist () qtime_c_range = [i[:-2]+'01' for i in qtime_c_range]

path_full_exp = r"C:\Users\feron\Pyscripts\CPI_structure_

forecast\kred_all_data[for_RID]\Полные расходы по кварталам\\

df_full_exp_q = pd.DataFrame([] , columns = np.append(['rus_reg' , '

month_'], ['x'+str(i) for i in range(1, 33)]), dtype=float) for qt in qtime_c_range:

df_full_exp = pd.read_excel(path_full_exp+'FULL_EXP_ '+qt [:4] + '_К' + str(int(qt [5:7])//3) + ' .xlsx ' ) df _ f ul l _ exp ['month _'] = qt

df_full_exp = df_full_exp[np.append(['rus_reg', 'month_'], [ 'x'+str(i) for i in range(1, 33)])]

df_full_exp_q = pd.concat([df_full_exp_q, df_full_exp], axis =0, ignore_index=True)

## 1.3. Цикл по reg_id