Анализ импульсных систем управления энергообеспечением мощных нагревательных установок для выращивания искусственных кристаллов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Абдирасулов Айтибек Закирович

• Абдирасулов Айтибек Закирович
• кандидат наук
• 2025

Оглавление диссертации кандидат наук Абдирасулов Айтибек Закирович

3.5. Бифуркационный анализ

3.6. Система управления с однополярной широтно-импульсной модуляцией

3.7. Математическая модель системы управления с ОРМ

3.8. Исследования бифуркаций периодических и хаотических режимов

3.9. Основные результаты и выводы

4. Исследование нелокальных бифуркаций, механизмов трансформации двухчастотных колебаний, бифуркаций граничного столкновения и мультистабильности в многоуровневых системах с однополярной реверсивной

модуляцией

4.1. Математическая модель системы управления с ШИМ-1 для изучения двухчастотных колебаний

4.2. Нелокальная динамика, приводящая к мультистабильности

4.3. Двухчастотные колебания и мультистабильность в многоуровневой системе с ОРМ

4.4. Основные результаты и выводы

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Анализ импульсных систем управления энергообеспечением мощных нагревательных установок для выращивания искусственных кристаллов»

Введение

Актуальность темы исследования. Потребность в искусственных кристаллах во многих отраслях науки и техники, таких, например, как физика, электроника, радиотехника, оптика, лазерная и измерительная техника, производство строительных материалов, обусловила интенсивное развитие отрасли промышленности - выращивание кристаллов. Кристаллизация - это сложный физико-химический процесс, протекание которого зависит от большого числа факторов [1-9].

Качество получаемого кристалла, наряду с физико-химическими характеристиками исходного материала, зависит и от качества управления температурными режимами систем нагревательного обрудования. Так, например, при выращивании кристаллов сапфира методом Киропулоса необходимо обеспечить закон изменения температуры расплава определенной скоростью ее повышения и снижения в диапазоне от 25°C до 2050oC. Начальная стадия выращивания сапфира предполагает получение из исходного сырья расплавленного оксида алюминия и дальнейшее поддержание температуры расплава на уровне выше точки плавления. Для получения и поддержания таких высоких температур используются системы нагревательного оборудования (http://techsapphire.ru/).

Основная сложность при построении обратной связи рассматриваемых систем состоит в невозможности измерения температуры в зоне кристаллизации материала. Поэтому в промышленных системах, например, выращивания кристаллов сапфира, обратная связь основана на измерении потреб-

ляемой активной мощности (http://techsapphire.ru/), косвенно характеризующей распределение температуры в зоне кристаллизации, а энергетическая часть реализована на базе управляемых ключевых преобразователей энергии.

Однако, современные ключевые элементы на ЮБТ и МОБРЕТ транзисторах позволяют создавать управляемые преобразователи энергии ограниченной мощности - не более от одного до двух десятков киловатт. В тоже время, для производства, например искусственного сапфира, требуется мощность в десятки раз больше (до 240 кВт). Увеличение мощности особенно важно для обеспечения оптической симметрии при выращивании крупногабаритных кристаллов.

Один из путей повышения мощности системы нагревательного оборудования для выращивания искусственных кристаллов - использование многоячеечных (многоуровневых/многозонных) автоматически управляемых преобразователей энергии [10-14].

При этом наряду с повышением мощности достигаются другие показатели, как высокая точность воспроизведения управляющего сигнала, низкие гармонические искажения и пульсации тока/напряженмя нагрузки; высокий к.п.д.; работа преобразователя во всем диапазоне изменения нагрузки.

Многоуровневые автоматические системы в настоящее время широко применяются в различных областях промышленности, например, в автономных фотоэлектрических установках преобразования солнечной энергии; мощных промышленных электроприводах и электроприводах электрического транспорта, судовых механизмов и мобильных робототехнических систем; системах энергообеспечения сверхпроводящих систем, магнитно-резонансных томографов, вычислительной техники и медицинского оборудования.

С другой стороны, реализация положительных свойств многоуровне-

вых систем управления является сложной задачей, связанной с проблемой подавления нерегулярных колебаний и мультистабильности, возникающих при вариации параметров. Такие динамические явления снижают качество управления, нарушают ход технологического процесса и приводят к внезапным отказам оборудования. Это вынуждает выполнять большой объем экспериментальных исследований для достижения заданных показателей качества управления, прогнозирования и подавления скачкообразных переходов от одного динамического состояния к другому.

В связи с этим поиск путей повышения показателей качества управления систем энергообеспечения награвательных установок большой мощности для выращивания искусственных кристаллов является актуальной задачей.

Степень разработанности темы.

Состояние систем с многоуровневым импульсным управлением описывается дифференциальными уравнениями с разрывными правыми частями. Эти уравнения сводятся к негладким непрерывным отображениям, которые демонстрируют широкий круг нелинейных явлений [15-35], получивших название бифуркаций «граничного столкновения» («border collision bifurcations») [36-39].

Бифуркации «граничного столкновения» не имеют аналогов в гладких системах, на которых базируется современная нелинейная динамика, и не связаны с нарушением условия гиперболичности неподвижной/периодической точки. По этой причине они не поддаются анализу методами современной теории колебаний [40,41].

Другой тип нелинейных процессов - мультистабильность [42-48]. Муль-тистабильность или одномерная устойчивость при одних и тех же значениях параметрoв - широко распространенное явление в нелинейных системах. Такое поведение связано с нелокальными (глобальными) бифуркациями.

Основная проблема заключается в том, что для его изучения требуется найти седловые периодические движения вместе с их устойчивыми и неустойчивыми инвариантными многообразиями, которые играют ключевую роль в мультистабильной динамике. Например, устойчивые многообразия определяют границы бассейнов притяжения сосуществующих аттракторов. Более того, трансверсальное пересечение этих множеств приводит к гомо-, ге-тероклиническим структурам, и динамика становится хаотической. Устойчивые и неустойчивые многообразия являются глобальными объектами и рассчитываются только численно. Расчет устойчивых многообразий сед-ловых периодических орбит является одной из самых сложных задач в нелинейной динамике.

В настоящее время разработано несколько методов расчета инвариантных множеств седловых периодических орбит [49-57]. Стандартный подход базируется на теореме о локальном устойчивом многообразии [41,49] и заключается в итерации малой окрестности седловой периодической орбиты вдоль устойчивого и неустойчивого подпространств собственных векторов матрицы монодромии. При таком подходе устойчивое инвариантное многообразие вычисляется как неустойчивое обратной функции.

Жусубалиев Ж. Т. и др. [58,59] разработали алгоритм расчета устойчивых инвариантных многообразий негладких бимодальных отображений, в которых число многообразий переключения равно двум. Основой алгоритма является оригинальный метод нахождения обратной функции, состоящий в численном решении скалярного уравнения независимо от порядка модели и размерности инвариантного множества.

Однако многоуровневые системы описываются негладкими отображениями с большим числом многообразий переключения, что требует модификации алгоритма для расчета устойчивого инвариантного многообразия.

Кроме того, в многоуровневых системах был обнаружен особый вид

мультистабильного поведения, когда наряду с рабочим режимом сосуществуют несколько двухчастотных аттракторов [60, 61]. В фазовом пространстве отображений сосуществующим устойчивым двухчастотным колебаниям отвечают вложенные друг в друга замкнутые инвариантные кривые. Такое поведение рассматриваемых систем остается малоизученным, за исключением разрозненных работ [60-62].

Диссертационная работа поддержана Ошским государственным университетом (ОшГУ) (гранты №14-22, №19-24) в рамках договора о сотрудничестве между ОшГУ, г. Ош, Кыргызкая Республика и Федеральным государственным бюджетным образовательным учреждением высшего образования «Юго-Западный государственный университет» (ЮЗГУ), г. Курск, РФ.

Объект исследований. Многоуровневые системы автоматического управления энергообеспечением мощных нагревательных систем для выращивания искусственных кристаллов.

Предмет исследований. Управление колебаниями и анализ глобальных бифуркаций многоуровневых автоматических систем.

Цель и задачи. Повышение показателей качества управления энергообеспечением нагревательного оборудования большой мощности для выращивания искусственных кристаллов путем применения многоуровневых автоматических систем с однополярной реверсивной модуляцией, создания методов и алгоритмов их бифуркационного анализа, обеспечивающих подавление нерегулярных режимов, мультистабильности и управляемые колебания с заданными динамическими характеристиками.

Для достижения этой цели в диссертации решаются следующие задачи.

1. Анализ управления и повышения мощности и показателей качества управления нагревательными установками для выращивания искусственных кристаллов, разработка многоуровневой системы управления энерго-

обеспечением нагревательной установки.

2. Создание семейства математических моделей многоуровневых систем управления энергообеспечением с однополярной реверсивной модуляцией, и разработка системы методов, алгоритмов для изучения нелинейных явлений и мультистабильных колебаний.

3. Анализ бифуркаций периодических и хаотических режимов в системах управления с разными типами импульсной модуляции.

4. Исследование двухчастотных колебаний и мультистабильности в нагревательных установках с многоуровневым управлением энергетического потока, направленного на подавление мультистабильной динамики и обеспечение управляемых колебаний с заданными свойствами, улучшающие показатели качества управления.

Научная новизна.

1. Разработана многоуровневая система управления энергообеспечением нагревательной установки с однополярной реверсивной модуляцией, позволяющая повысить мощность нагреватальной установки и одновременно улучшить показатели качества управления.

2. Разработан алгоритм анализа мультистабильной динамики кусочно-гладких непрерывных отображений с большим числом многообразий переключения, включающий:

• алгоритм поиска сосуществующих периодических орбит и исследования их локальной устойчивости, позволяющий проводить анализ мульти-стабильности;

• алгоритм расчета устойчивых/неустойчивых инвариантных многообразий негладких отображений, который является обобщением метода для бимодальных отображений на негладкие непрерывные отображения с произвольным числом многоообразий переключения, что позволило изучить нелокальные бифуркации, приводящие к мультистабильному поведению.

3. Выполнен анализ бифуркаций периодических и хаотических режимов в негладких бимодальных непрерывных отображениях, описывающих поведение систем энергообеспечения нагревательных установок с разными типами импульсного управления, что позволило выявить следующие закономерности динамики:

о в системах управления с широтно-импульсной модуляцией первого рода (ШИМ-1 или цифровой) переход от регулярных колебаний к хаотическим при вариации параметров происходит через последовательность классической суперкритической бифуркации удвоения периода и бифуркаций «простого изменения типа решения»;

о в системах управления с однополярной реверсивной модуляцией - через последовательность субкритической бифуркации удвоения периода и касательной бифуркации граничного столкновения, что является причиной бистабильного поведения.

4. Найдены уравнения бифуркационных границ в аналитической форме, что позволило построить в пространстве параметров области устойчивости периодических и существования многополосных хаотических режимов.

5. Исследованы механизы возникновения мультистабильного поведения системы управления энергообеспечением оборудования для выращивания искусственных кристаллов с однополярной реверсивной модуляцией, построенной на базе ШИМ-1, когда сосуществуют несколько вложенных устойчивых двухчастотных колебаний.

Положения, выносимые на защиту.

1. Алгоритм анализа мультистабильной динамики кусочно-гладких непрерывных отображений с большим числом многоообразий переключения, включающий:

• алгоритм поиска сосуществующих периодических орбит и исследова-

ния их локальной устойчивости, позволяющий проводить анализ мульти-стабильности;

• алгоритм расчета устойчивых/неустойчивых инвариантных многообразий негладких отображений, который является обобщением метода, разработанного ранее для бимодальных отображений, на негладкие непрерывные отображения с произвольным числом многообразий переключения, который позволил изучить нелокальные бифуркации, приводящие к мульти-стабильному поведению.

2. Анализ бифуркаций хаотических аттракторов в негладких бимодальных непрерывных отображениях, описывающих поведение систем энергообеспечения нагревательных установок с разными типами импульсной модуляции, позволил выявить следующие закономерности их динамики:

- в системах управления с ШИМ-1 переход от регулярных колебаний к хаотическим при вариации параметров происходит через последовательность классической суперкритической бифуркации удвоения периода и бифуркаций «простого изменения типа решения»;

- в системах с однополярной реверсивной модуляцией этот переход индуцируется последовательностью субкритической бифуркаций удвоения периода и касательной бифуркации граничного столкновения. Это является причиной бистабильного поведения.

3. Уравнения бифуркационных границ получены в аналитической форме, что позволило построить в пространстве параметров области устойчивости периодических и существования многополосных хаотических режимов.

4. Системы управления энергообеспечением оборудования для выращивания искусственных кристаллов с однополярной реверсивной модуляцией, построенной на базе ШИМ-1, демонстрируют особый тип мультистабиль-

ного поведения, когда сосуществуют несколько вложенных друг в друга устойчивых двухчастотных колебаний.

Теоретическая и практическая значимость работы.

• Развитие теории нелокальных бифуркаций в негладких динамических системах.

• Создание новых способов расширения области устойчивости рабочих режимов в пространстве параметров промышленных установок, гарантирующих сохранение требуемых рабочих режимов при неконтролируемых вариациях параметров.

• Разработка практических рекомендаций по синтезу схем и параметров корректирующих устройств в цепи обратной связи, обеспечивающих колебательные режимы с заданными динамическими характеристиками в условиях значительной неопределенности окружающей среды.

Методология и методы исследования базируются на методах системного анализа, теории автоматического управления, методах нелинейной динамики, вычислительной математики, теории устойчивости и бифуркаций.

Реализация и внедрение. Результаты диссертационной работы рекомендованы к внедрению на предприятии ООО «Техсапфир» (г. Белгород). Научно-методические результаты диссертации используются в образовательном процессе ФГБОУ ВО «Юго-Западный государственный университет» по направлениям подготовки «Информатика и вычислительная техника»; Института математики, физики, техники и информационных технологий, Ошского государственного университета по специальности «Прикладная математика и информатика», а также при выполнении выпускных квалификационных работ.

Степень достоверности и апробация результатов. Достоверность научных выводов и положений достигается использованием общепринятых

допущений при построении математических моделей, строгих методов бифуркационного анализа, а также согласованностью с существующими теоретическими знаниями о динамике негладких систем, публикацией основных результатов диссертации в высокорейтинговых отечественных и зарубежном журналах и их опробацией на международных специализированных конференциях.

Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались на International Russian Automation Conference (RusAutoCon, БосЫ, 2022); XVII Международной научно-технической конференции «Распознавание- 2023», (Курск, 2023); VII Всемирном конгрессе математиков тюркского мира (TWMS Congress-2023, Туркестан, 2023); Международной научной конференции по механике «Десятые Поляховские чтения», посвященной 300-летию Санкт-Петербургского государственного университета (СПбГУ) и 300-летию РАН, 23-27 сентября 2024, СПбГУ (The 10th Polyakhov's Reading, September 23-27, 2024, St. Petersburg State University); научных семинарах Международной лаборатории динамики негладких систем ЮЗГУ и Института математики, физики, техники и информационных систем ОшГУ в 2021 - 2024 гг.

Область исследований. Содержание диссертационной работы соответствует следующим пунктам паспорта специальности 2.3.1 - «Системный анализ, управление и обработка информации, статистика (технические науки)»:

• 14. Разработка принципиально новых методов анализа и синтеза элементов систем управления с целью улучшения их технических характеристик.

• 15. Теоретический анализ и экспериментальное исследование функционирования элементов систем управления в нормальных и специальных условиях с целью улучшения технико-экономических и эксплуатационных

характеристик.

Публикации. По результатам диссертации опубликовано 9 печатных работ, из них - 4 статьи в журналах, входящих в перечень ВАК РФ, 3 статьи в изданиях, индексируемых в базах Web of Science и Scopus, 1 свидетельство об официальной регистрации программ для ЭВМ.

Личный вклад автора. В работах, выполненных в соавторстве, лично автором в [63] выполнен анализ бифуркаций слияния хаотических аттракторов в трехмерной модели системы управления с амплитудно-частотно-импульсной модуляцией; в [35,66,69] разработан алгоритм и проведен бифуркационный анализ систем управления с широтно-импульсной и одно-полярной реверсивной модуляцией; в [64] выполнен анализ гомоклиниче-ских бифуркаций в системе с ШИМ-1; в [65,67,68] проведены исследования мультистабильной динамики многоуровневой системы, построенной на базе однополярной реверсивной модуляциии; в создание программы [71] для ЭВМ авторы внесли равный вклад.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка литературы, включающего 104 наименований, изложена на 115 страницах, содержит 58 рисунков.

1. Анализ управления и повышения мощности нагревательных установок для выращивания искусственных кристаллов и разработка многоуровневой системы управления

Первая глава посвящена анализу систем автоматического управления энергообеспечением нагревательных установок для выращивания искусственных кристаллов в целях нахождения путей повышения их мощности и показателей качества управления. Как отмечалось во введении, один из путей повышения мощности нагревательного оборудования - использование многоячеечных (многоуровневых/многозонных) автоматически управляемых преобразователей энергии [10].

Как известно, основу многоуровневой (многозонной) модуляции положено разделение всего диапазона изменения выходной переменной на требуемое количество зон. В каждой зоне (между двумя уровнями) осуществляется импульсная модуляция: модулируемый параметр, например, относительная длительность импульса (коэффициент заполнения) изменяется по полному циклу от 0 до 1. Завершение цикла определяет условие перехода из зоны в зону.

В настоящее время многоуровные системы применяются во всех отраслях промышленности, где требуются мощные системы энергообеспечения и высокие показатели качества управления. Такие системы позволяют приблизить энергетические показатели к предельным характеристикам

неискажающей системы [11]. Примерами промышленного применения являются сверхпроводящие системы и системы энергообеспечения магнитно-резонансных томографов, мощные электроприводы электрического транспорта и судовых механизмов [11-14]

* 3

(в)

Рис. 1.1. (а) Искусственный сапфир. (б) Ростовая установка. (в) Схема нагревательной установки [72-74]. Здесь 1 - внутреннее печное пространство; 2 - электронагреватель; 3 - внутренний и 4 - внешний слои

футеровок

Рис. 1.2. Конструкция нагревательной установки [74]. Здесь 1 -внутреннее печное пространство; 2 - электронагреватель; 3 - внутренний слой футеровки; 4 - внешний слой футеровки; 5 - оболочка из

оцинкованной стали

1.1. Нагревательная установка для выращивания

искусственных кристаллов

Кристаллизация - это сложный физико-химический процесс, протекание которого зависит от большого числа факторов [1-9,75].

Качество получаемого кристалла, наряду с физико-химическими характеристиками исходного материала, зависит и от качества управления температурными режимами систем нагревательного оборудования. Так, например, при выращивании кристаллов сапфира (рис. 1.1 (а)) методом Ки-ропулоса необходимо обеспечить закон изменения температуры расплава определенной скоростью ее повышения и снижения в диапазоне от 25°0 до 2050оС.

Начальная стадия выращивания сапфира предполагает получение из исходного сырья расплавленного оксида алюминия и дальнейшее поддержание температуры расплава на уровне выше точки плавления. Для получения и поддержания таких высоких температур используются системы нагревательного оборудования (http://techsapphire.ru/).

В общем случае ростовая установка (рис. 1.1 (б)) состоит из печного пространства; электронагревателя, расположенного между внутренним и

внешним слоями футеровок (рис. 1.1(в) и рис. 1.2). В электорнагревателе ростовой установки происходит преобразование электрической энергии в тепловую. Входной переменной является мощность, подводимая к нагревателю, а выходной - температура.

Основная сложность при построении обратной связи рассматриваемых систем, состоит в невозможности измерения температуры в зоне кристаллизации материала. Поэтому в промышленных системах, например, выращивания кристаллов сапфира, обратная связь основана на измерении потребляемой активной мощности (http://techsapphire.ru/), косвенно характеризующей распределение температуры в зоне кристаллизации, а энергетическая часть реализована на управляемых преобразователях электрической энергии [74].

Однако, современные ключевые элементы на ЮБТ и МОБРЕТ транзисторах позволяют создавать управляемые преобразователи энергии ограниченной мощности - не более от одного до двух десятков киловатт. В тоже время, для производства, например, искусственного сапфира, требуется мощность в десятки раз больше (до 240 кВт), в целях создания тепловых условий фазовых переходов растущего кристалла.

Один из путей повышения мощности системы нагревательного оборудования для выращивания искусственных кристаллов - использование многоячеечных (многоуровневых/многозонных) автоматически управляемых преобразователей энергии [11-14]. При этом наряду с повышением мощности достигаются другие показатели, такие, как высокая точность воспроизведения управляющего сигнала, низкие гармонические искажения и пульсации тока/напряженмя нагрузки; высокий к.п.д.; работа преобразователя во всем диапазоне изменения нагрузки.

Для решения задач диссертационного исследования впервые предложено использовать однополярную реверсивную модуляцию (ОРМ) в системе

Рис. 1.3. Многоуровневая система управления на базе ОРМ

управления энергообеспечением нагревательной установки для выращивания искусственных кристаллов. Выбор однополярной реверсивной модуляции обусловлен следующим обстоятельством.

Выполненные в [76] исследования характеристик разных видов модуляции (например, однополярная нереверсивная, однополярная реверсивная, двухполярная реверсивная модуляции) показали, что по коэффициенту гармоник (0.52261), среднеквадратичному отклонению (точности воспроизведения управляющего сигнала 0.46317) и коэффициенту пульсаций (максимальное значение - 2.001) наилучшим является ОРМ.

Другая проблема состоит в возникновении скользящих режимов в импульсных системах. Этот режим является потенциально опасным в связи с

Рис. 1.4. Многоуровневая система управления на базе двух ячеек ОРМ

тем, что он проявляется в возникновении высокочастотных переключений силовых элементов преобразователя (в идеальном случае частота переключений равна бесконечности). Поэтому на практике импульсные системы реализуются таким образом, чтобы в течение тактового интервала было одно переключение. Это достигается включением в схему «защелки» по первому моменту сравнения посредством добавления управляющего триггера. В диссертации предлагается реализовать это другим путем, а именно использованием классического широтно-импульсного модулятора первого рода (ШИМ-1, цифровой вид).

Система на рис. 1.3 рекомендована к внедрению на предприятии ООО «Техсапфир».

(в) (г)

Рис. 1.5. (а)-(г) Временные диаграммы формирования управляющих

сигналов

1.2. Разработка многоуровневой системы управления энергообеспечением нагревательной установки с однополярной реверсивной модуляцией

Как известно, основу многоуровневой (многозонной) модуляции положено разделение всего диапазона изменения выходной переменной на требуемое количество зон. В каждой зоне (между двумя уровнями) осуществляется импульсная модуляция: модулируемый параметр, например, относительная длительность импульса (коэффициент заполнения) изменяется по полному циклу от 0 до 1. Завершение цикла определяет условие перехода из зоны в зону.

Разработана многоуровневая система управления с ОРМ нагревательной установки для выращивания искусственных кристаллов, позволяющая примерно пропорционально числу преобразовательных ячеек увели-

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Абдирасулов Айтибек Закирович, 2025 год

- V0 - -

Vramp(t) = — (t/a - [t/aj), [t/aj = k, k = 0,1, 2,...,

(а)

(б)

Рис. 3.2. (а) Функциональная схема системы управления. (б) Датчик тока

нагрузки

3.2. Исследование возможностей возникновения скользящих режимов в системах с ШИМ-1

После приведения к безразмерному виду получим уравнение (3.1), в котором

х — . £ — £ / аа. Ео

= К-е! р р =

Я = р Р = №,

р = А = —

Здесь E0 - напряжение питания; VTef - задающий сигнал; VTamp(i) - пилообразное напряжение, где V0 - опорный сигнал, а - период модуляции; Vcs = в i - выходной сигнал датчика тока SC, где в - чувствительность CS; L, R - индуктивность и сопротивление нагрузки («Load»); t - время. Функция f (t, x) разрывна на кривой

S0 = {(t,x) : ((t,x) = 0},

называемой многообразием переключения (switching manifold). Кривая £0 делит пространство (t, x) на две части

Е- = {(t, x) : ((t, x) < 0}, = {(t, x) : ((t, x) > 0},

в каждой из которых поведение системы описывается линейными векторными полями f-(t,x) и f+(t,x), соответственно. Функция ((t, x)

((t, x) = q - x(t)|i=Ltj - n(t), n(t) = a(t - LtJ). (3.2)

Здесь n(t) - вынуждающее воздействие, представляющее собой пилообразные импульсы с периодом 1: n(t + 1) = n(t); LtJ = k, k = 0,1, 2,..., где L^J - функция, выделяющая целую часть аргумента.

Сначала выясним, выполнены ли условия трансверсальности пересечения x(t) линии £0:

(I+f • (г+f > 0. (3.3)

Если же нарушается (3.3), то тогда встает вопрос об описании движения по поверхности £0 (скользящие режимы). Такая ситуация возникает в системах со скользящими режимами движения, когда траектории в пространстве состояний принадлежат поверхностям разрыва. Для описания

скользящих режимов или продолжения решения на границе разрыва предложены разные методы [77-90]

Небольшое пояснение. Рассмотрим классическую систему:

Р+(х), х е В

+ 5

х =

Р-(х), х е Б-,

(3.4)

х=

, (х) =

I

где

В- = {х е К2 : р(х) > 0}, В+ = {х е К2 : р(х) < 0}

и Р±(х) есть гладкие вектор-функции класса Сг, г ^ 1. Граница разделяющая области В±

2 = {х е К2 : р(х) = 0}

называется многообразием переключения. Для х е 2 определим

а(г,х) = (Ур(х),Р-(х)> • (Ур(х),Р+(х)> =

= (Р* + Рх 1 ) • (Р* + Рх /+),

Ур(х) =

Р*

Ра

др

др

' Р1 = ' Рх = о 'д1 дх

и введем два множества:

1

(а) точки трансверсального пересечения на Е («crossing points»): Ес = {(t,x) G Е : a(t,x) > 0} (рис. 3.5);

(б) точки скользящего решения («sliding points»): Es = {(t,x) G Е : a(t,x) < 0}.

Здесь (•) - скалярное произведение векторов; Ec/s С Е.

Рис. 3.3.

Для определения уравнения скользящих режимов наиболее распространенными считаются методы Филиппова А.Ф. и Уткина В.И. Подробности можно посмотреть в специальной литературе [77,87-90].

Для (Ь, х) С Е8 определим уравнение для скользящего режима методом

Филиппова А. Ф. [88-90].

ж = /о(£,ж), (£,ж) е Е8,

/о = А • / + + (1 - Л) • /-,

Л =

+ • /+ • (/ + - /-) '

Рис. 3.5. = (д^±/д£, д^/дж)* - градиент функции. Здесь д^±/д£ частные производные в областях к < £ < £* и £* < £ < к + 1

Проверим условие (3.3).

1. Сначала найдем £(£,ж) = ж(£)^=^| для к < £ < £*. Для этого решим уравнение (3.1) с начальным условием ж(к) = ж*

ж(£) = 1 + (ж* - 1)еЛ(^, к < £ < £*

Отсюда

£(£,ж) = ж* = 1 + (ж(£) - ^е-^-^, к < £ < £*. (3.5)

Рис. 3.6. (а), (б) - Периодические режимы с периодами 1 и 2. (в) -

Хаотические колебания

ОС! щ

Р(х)

у

/ ■'' г

/ /

/ / ЩЩ^Т / ш / / ш ш

/ / /Г / / Ч - Р/а --•- ч -4-

0.4

0.88

т

5--

Жх

/

щ

/ - * - р л_______

/*

с

0.6

0,84

Рис. 3.7. (а) Отображение (3.12) обратимое, если 0.5 < а <

Я е

.(б)

Р'м = 0, если а =

д ел ~2Л

(в) Отображение (3.12) бимодальное, если

а >

Я ел

Подставив (3.5) в (3.2), найдем

х(г)) = я - 1 - (х(г) - 1)е-л(^ - Р(г - к).

а

(3.6)

Найдем производную

% = I + д7Т №

аг дг дх

(3.7)

где

£ = Л(ж(£) - - (3.8)

д£ а

дж

Подставив частные производные (3.8) в (3.7), и принимая во внимание /+(ж) = Л (ж - 1), находим

^ = e"Л«"k> • /+(ж) - e"Л<f"k> • /+(ж) - ^ = -

а£ а а

и поэтому

# Р

— =--= шиз!, к < £ < £*.

а£ а

2. Точно также решение (3.1) с условием

ж(£*) = 1 + (ж* - -А) на интервале £* < £ < к + 1:

ж(£) = ж(£*) = eЛ(t-tk) + (ж* -

Следовательно,

£(£,ж) = ж* = 1 + e-Л(tfc-k) + ж(£)e-Л(t-k), £* < £ < к + 1. (3.9)

Подставив (3.9) в (3.2), находим

<^(£, ж(£)) = я - 1 - жС^-^-^ - Р(£ - к) + e-Л(tfc-k). (3.10)

а

Частные производные

Ы = ^ а' дх = е •

Отсюда, учитывая что g-(x) — Ах, получим

^ — е-л(^ • /-(х) - е-л(^ • /-(х) - р — -р. ^ -1 ^ -1 ^ а а

Так как и в этом случае

^ = Р а

то условие (3.3) трансверсальности выполняется:

(I + • (I + I • /+(')) — 5 > 0-

Заметим, что в точке разрыва £ — правой части (3.10) функция х) имеет непрерывную производную первого порядка

Ж

р

¿ь а

На рис. 3.6 изображены зависимости колебательных режимов от коэффициента усиления а.

Таким образом, проведенные исследования строго показали, что в системах, реализованных на базе ШИМ-1, скользящих режимов не может быть.

3.3. Математическая модель с дискретным временем

Динамическая система (3.1) сводится к негладкому непрерывному отображению.

В пределах интервала к < £ < к + 1 имеем,

1, к < £ < ^;

К —

0, £Л < £ < к + 1, где - момент переключения модулятора, равный

к, Я - х^ ^ 0,

Я

£Л — < к + 1, я - х^ ^ —,

2а

2а(я - ^) я

--Ь к, 0 < я - х^ < —.

Я 2а

В к < £ < сигнал на выходе модулятора $ — 1, и уравнение (3.1) принимает вид

х — А (х - 1).

Запишем его решение с условием х(к) — :

х(£) — 1 + ел(*-^(х& - 1).

Отсюда для £ — получаем, что

х(£&) — 1 + ел(*ь-А)(х* - 1).

В интервале < £ < к + 1 сигнал $ — 0, и уравнение (3.1) представим следующим образом:

х — Ах, х(£&) —1 + ел(*ь^(х* - 1),

решение которого

х(£) — ел(^-^)(х^ - 1) + ел(^ь). Для момента времени £ — к + 1 находим, что

х*+1 — ел(х* - 1) + ел(к+1-^).

Введем обозначение г* — £* - к, где г* - длительность импульса (коэффициент заполнения).

Окончательно отображение принимает вид:

х*+1 — ел(х* - 1) + ел(1-^ь) = Р(х*), к — 0,1, 2,....,

(3.11)

где

0, х* ^ я,

) л ^ Я

г* — < 1, х* < я - тг",

2а

2а(я - х*)

Я

Я

Я /

— < х* < Я-2а

Отображение (3.11) можно переписать в виде [17]

F : x ^ F(x), (3.12)

2а - 1

FL(x) = eA(x - 1) + 1, x < q

F (x) = <

2а ' 2а - 1

FM(x) = eA(x - 1) + eA(1-z(x)), q —-< x < q;

2а

FR(x) = eAx, x ^ q,

z(x) = -а(q - x). q

Переменная x в (3.12) - выход системы; Л (Л < 0) - величина, по модулю обратно пропорциональная постоянной времени непрерывной части системы управления; разность q - x есть входной сигнал модулятора, где q - задающий сигнал; а - коэффициент усиления. Все переменные и параметры в (3.12) нормированы.

Отображение (3.12) в зависимости от параметров может быть обрати-

q eA

мым или необратимым. Если а >--—, как показано на рис. 3.7(в), отоб-

2Л

ражение (3.12) является бимодальным. В области Z3 каждая точка имеет три прообраза ранга один, а в двух областях, обозначенных Z1 — только один прообраз ранга один (рис. 3.7 (в)).

Кусочно-гладкие отображения вида (3.12) возникают во многих приложениях современной теории динамических систем, например в силовой электронике и теории управления, механике, а также в биологии, медицине, экономике и социальных науках [15,17,19]. Такие отображения демонстрируют широкий круг нелинейных явлений [15,17-19,22,24-30,32,33], индуцированных как классическими, так и специальными типами бифуркаций, получивших название бифуркаций «граничного столкновения» («border collision») [39] (для отображений) или «C-бифуркаций» (для векторных

полей) [36-38], не имеющих аналогов в гладких системах [41].

Кусочно-гладкие отображения «сшиваются» из отдельных гладких функций, области определения которых разделены так называемыми многообразиями переключения. При вариации параметров инвариантное множество, например неподвижная или периодическая точка, сталкивается с одним из многообразий переключения. Это вызывает необычные нелинейные явления, такие как непрерывный переход от одного типа периодического движения к другому («persistence border collision»). Возможны и более сложные переходы, например, «умножение» периода колебаний, рождение из неподвижной точки квазипериодических или хаотических колебаний [15,17-19,22-30,32,33,37].

Другой тип нелинейных явлений - кризисы хаотических аттракторов, связанные с гомоклиническими бифуркациями неустойчивых периодических орбит. К ним относятся так называемые бифуркации «слияния» («merging»), «расширения» («expansion») и «окончательная» («final») бифуркация [22,30]. Это нелокальные бифуркации, известные, как «merging crisis», «interior crisis» и «boundary crisis» [91].

Кризисы проявляются также как во внезапном («interior crisis») или плавном («merging crisis») изменении размеров хаотических аттракторов при непрерывном изменении параметров [22,30].

Этот класс нелокальных бифуркаций в импульсных системах остается мало изученным. В представленной работе численно и аналитически исследуются бифуркации хаотических аттракторов в бимодальном кусочно-гладком непрерывном отображении, описывающем поведение системы управления с широтно-импульсной модуляцией первого рода.

Показано, что переход от регулярных колебаний к хаотическим при вариации параметров происходит через последовательность классической суперкритической бифуркации удвоения периода и бифуркаций «гранич-

ного столкновения». В области нерегулярной динамики наблюдаются бифуркации слияния циклов хаотических интервалов (cycles of chaotic intervals») [22, 92]. Установлено, что границы хаотических аттракторов (циклов хаотических интервалов) определяются одной из критических точек и ее образами [22].

Если отображение кусочно-гладкое, то роль прообраза критической точки играет многообразие переключения, где отображение недифференциру-емо [93]. Результаты, относящиеся к определению границ хаотических аттракторов, базируются на понятии критической кривой, впервые введенного Мира К. для двумерных эндоморфизмов (см., например, [93]), которое является обобщением понятия критической точки одномерных гладких необратимых отображений. Определение критической точки дается в п. 2.

В момент бифуркации неустойчивая периодическая орбита сталкивается с некоторыми из границ, становясь гомоклинической. Найдены уравнения бифуркационных границ в форме явной зависимости от параметров. На плоскости управляющих параметров построены области устойчивости периодических режимов и области существования четырех-, двух- и однополосных хаотических аттракторов.

3.4. Некоторые свойства отображения и предварительные понятия

Каждая из функций Fc(x), Fm(x), Fr(x) в (3.12) монотонна в своей области определения: Fc(x), Fr(x) - линейно возрастающие, а Fm(x) -монотонно убывающая. Точки x = cL и x = cR являются границами областей определения функций Fc(x), Fm(x) и Fr(x) [22], которые называются многообразиями переключения («switching manifold»), где F(x) - недиф-ференцируема [19,22] (рис. 3.8).

0.82

ш

0.64 F7г(c7г)

х 0.82

Рис. 3.8. График функции Р(ж), с£, - многообразия переключения

Введем некоторые предварительные понятия и определения теории негладких непрерывных одномерных отображений (подробности можно найти в [22], см. также цитируемую там литературу). Перепишем (3.12) в виде жк+1 = Р(жк), к = 0,1, 2, ... .

• Точка ж1, в которую отображается ж0 за одну итерацию ж1 = Р(ж0), называется образом ранга один точки ж0 £ I, I С К.

• Любая точка ж0, такая что Р(ж0) = ж1, называется прообразом ранга один точки ж1 или ж1 = Р-1(ж0), где Р-1(ж) - обратная функция. Образы и прообразы ранга к точки ж0: (ж0) = Р о Р о ... о Р(ж0) и Р-к(ж0) = Р-1 о Р-1 о ... о Р-1(ж0), к = 1, 2, ... (см. [93]).

• Если

при некотором т > 0, то ж0 - периодическая точка. Заметим, что если ж0 есть т-периодическая точка, то она является к т-периодической для любого положительного целого к. Поэтому под т понимается наименьший период [41]. Таким образом, если т - наименьшее положительное целое число, обладающее таким свойством, то т называют периодом цикла.

Рт(ж0) - Ж0 = 0

• Пусть ж0 - периодическая точка. Тогда

От(ж0) = {ж0 £ I : ж0, Рк(ж0), к = 1, 2, ..., т - 1},

РтЫ = Ж0, Рк(Ж0) = Ж0

называется периодической орбитой периода т или т-циклом. Если т = 1, т.е.

Р(ж0) - Ж0 = 0,

то ж0 есть неподвижная точка или 1-цикл [41,94].

• Локальная устойчивость гиперболического т-цикла определяется мультипликатором р(От) [41, 94]. Цикл периода т локально (линейно) устойчив, если [41,94]

|р(От)| =

т-1

П )

к=0

< 1, Жк = (Ж0),

где Жк - периодические точки.

Мультипликатор т-цикла отображения (3.12)

р(От) = Р'(Ж0) • Р'(Ж1) • ... • Р'(Жт-1),

где

Р'(ж) = еЛ + <

0,

2Аа

если г (ж) = 0 или г(ж) = 1.0;

• еЛ(1-^)\ если 0.0 < г(ж) < 1.0, г (ж) = 2а(я жк) I Я Я

• Функция Р(ж) имеет два локальных экстремума в точках ж = с£ =

2а - 1 , ч ^

Я—2- и ж = оп = я ( рис. 3.8), которые называются многообразия переключения. Образы ранга один с0 = Рс(с£), с1 = Р-^(с^) точек с£ и оп

называются критическими точками [93].

Существует несколько определений критической точки. Согласно наиболее распространенному определению, критическая точка непрерывной функции есть внутренняя точка области ее определения, в которой первая производная либо равна нулю, либо не определена. Это определение включает в себя точки локальных экстремумов, точки перегиба и точки недифференцируемости функции.

Другое определение критической точки в смысле Жюлиа и Фату дается следующим образом: «Критическая точка с0 непрерывной функции Р(х) есть точка, для которой с0 = Р(св) и Р-1(со) ^ св. Здесь св - точка локального экстремума Р(х)».

Таким образом, критическая точка есть значение функции в точке локального экстремума. Кроме того, точки перегиба, а также точки «излома», которые не связаны с экстремумом, исключаются из рассмотрения. Автор диссертации придерживается второго определения.

• Интервал 3 называется поглощающим [22], если

(а) Р(3) С 3. Это означает, что 3 либо инвариантен Р(3) = 3, или Р(3) С 3;

(б) существует окрестность и С 3 такая, что для любого х £ и существует конечное целое число к > 0, так что Рк(х) £ 3 ;

(в) интервал 3 ограничен двумя разными критическими точками или критической точкой и ее образом (см. рис. 3.11).

• Одно из наиболее распространенных определений хаоса дано Эепауеу (см., например, [94], а также [22]):

Непрерывное отображение Р : I ^ I, I С К называется хаотическим на замкнутом инвариантном множестве О С I, если

(1) Р топологически транзитивно;

(2) периодические точки Р плотны в О;

(3) F чувствительно к начальным условиям.

Хаотический аттрактор - это притягивающее множество D, на котором F хаотично [22]. Пояснение определения дано в [22] (см. также цитируемую в [22] литературу).

• Пусть хаотический аттрактор A состоит из m > 1 непересекающихся полос (интервалов) B«, i = 0,1, ...,m-1, тогда A является циклическим [9597], если

Вг+1 = F(Bi), i = 0,1,m - 1, Bo = F(Bm_i) (см. рис. 3.12).

• Пусть A - многополосный хаотический аттрактор («multi-band chaotic attractor» [96,97]) непрерывного отображения. Тогда A цикличен [97].

• Для описания m - цикла, следуя [22], будем использовать три символа L, M и R («left», «middle », «right»). Тогда периодическая орбита описывается последовательностью

• • • aTO_i.

(3.13)

Здесь символ a«, i = 0,1, 2,..., m _ 1 в (3.13) для каждого 0 ^ i ^ m _ 1 находится [22]

/

L, < с£,

= < M, c£ < Xi < CR

• В кусочно-гладких системах возможны разные типы периодических орбит с одинаковым периодом. Для описания т - цикла конкретного типа далее будем применять обозначение Оаоа1а2 ...ат_1.

В исследованиях были выбраны следующие значения параметров: А =

-0.2, 0.7 <q< 1.0; 3.0 < a < 8.7.

Рис. 3.9. Двупараметрическая бифуркационная диаграмма. П1, П2, П3, П4, П6 - области устойчивости 1- 2-, 3- 4-, 6-циклов. П^0, Щ°, Щ° - области существования одно-, двух-, четырех полосных хаотических аттракторов

3.0 a б.о

Рис. 3.10. Бифуркационная диаграмма для q = 0.8 (сечение A на рис. 3.9), где a2M и aM - точки «бифуркации слияния» («merging»)

4.5227 а 4.525

(в)

Рис. 3.11. Увеличенный фрагмент бифуркационной диаграммы (а), (б) и

2

возникновение четырехполосного хаотического аттрактора в точке а^е

(в)

3.5. Бифуркационный анализ

На рис. 3.9 приведена двупараметрическая бифуркационная диаграмма, рассчитанная на плоскости параметров (а, я), а на рис. 3.10 - однопарамет-рическая бифуркационная диаграмма для сечения я = 0.8, обозначенного буквой А на рис. 3.9.

На диаграмме (рис. 3.9) через П1, П2, П3, П4, П6 обозначены области устойчивости 1- 2-, 3- 4-, 6-циклов, , отвечают областям суще-

ствования одно-, двух-, четырехполосных хаотических аттракторов.

0.82

(a) Li-L i-ULt-

0.64 B2 B0 x Bl Вi 0.82

(б)

Рис. 3.12. Границы многополосного хаотического аттракторов, д = 0.8602151 (а). К определению циклов хаотических интервалов: В = Р(Во), В2 = Р(Вх), Вз = Р(В2), Во = Р(Вз) (б)

Область Пх слева ограничена линией классической бифуркации удвоения периода. При переходе через границу области Пх возникает устойчивый 2-цикл, а неподвижная точка (1-цикл) продолжает существовать, но становится неустойчивой с отрицательным мультипликатором. Как показано в [35,63], устойчивый 2-цикл, возникающий из неподвижной точки через классическую суперкритическую бифуркацию удвоения периода, претерпевает бифуркацию граничного столкновения, когда одна из периодических точек сталкивается с границей cL = q ^ 1 — — ^ (см. рис. 3.11,(a). В результате этой бифуркации 2-цикл меняет тип: устойчивый 2-цикл с символической характеристикой M2 переходит в устойчивый 2-цикл с символической характеристикой LM. Такой переход называется бифуркацией простого изменения типа периодического решения [38] или «border collision persistence» [19] (см. рис. 3.11,(а). Такую периодическую орбиту в соответствии с символической характеристикой, введенной ранее, обозначим через °см.

(а)

(б)

(в)

Рис. 3.13. Четырехполосный хаотический аттрактор (а). Переход от

2

четырехполосного хаотического аттрактора в двухполосный в точке ам (б). Переход от двухполосного хаотического аттрактора в однополосный в

точке аМ (в)

При дальнейшем изменении а устойчивый 2-цикл Olm претерпевает классическую бифуркацию удвоения периода. На рис. 3.11, (б) показан увеличенный фрагмент бифуркационной диаграммы, иллюстрирующий этот переход. При переходе через бифуркационное значение параметра цикл периода 2 становится неустойчивым с отрицательным мультипликатором и

мягко рождается устойчивый 4-цикл.

Далее в точке а|св устойчивый 4-цикл претерпевает бифуркацию «граничного столкновения», при которой возникает четырехполосный хаотический аттрактор (рис. 3.11, (в), а 4-цикл становится неустойчивым [15,17, 19,37,38,63]. Таким образом, область устойчивости 4-цикла на плоскости параметров (a, q) слева ограничена линией классической бифуркации удвоения периода, а справа - линией бифуркации «граничного столкновения», приводящей к рождению четырехполосного хаотического аттрактора. Как можно видеть из рис. 3.9 и рис. 3.11, (б), область устойчивости 4-цикла на плоскости параметров (a,q) очень узкая.

В точке (рис. 3.10) a = aM четырехполосный хаотический аттрактор переходит в двухполосный через так называемую бифуркацию «слияния» («merging»), связанную с гомоклинической бифуркацией неустойчивого 2-цикла Olm с отрицательным мультипликатором.

Границы четырехполосного хаотического аттрактора образованы со = Fl(cl) = eA (q — 0.5q/a — 1) + 1 и ее образами ci = FR(c0), c2 = Fc(ci), Сз = fm(c2), C4 = Fc(c3), C5 = fm(c4), Cß = ^с(сб), C7 = fm(cO) (см. рис. 3.10, рис. 3.12, (а).

На рис. 3.12, (а) серым цветом обозначены границы хаотического аттрактора, образованные критической точной с0 = Fl(cl) и ее образами Ci+i = F(ci), i = 0,1,...6. Рис. 3.12, (б) иллюстрирует четырех полосный хаотический аттрактор:

Bi = F(Во), B2 = F(Bi), В3 = F(В2), Во = F(Вз)

(см. определение).

Здесь (см. рис. 3.12, (б) и рис. 3.13, (а))

Во = [С7,Сз] , Bi = [С4, Со] , В2 = [ci, С5] , Вз = [С2 ,Сб].

В точке aM неустойчивый 2-цикл с отрицательным мультипликатором Olm (рис. 3.10), сталкивается с c4, c6 и c5, c7, что приводит к рождению гомоклинической орбиты, которая является критической в момент бифуркации. Это означает, что неустойчивый 2-цикл Olm претерпевает гомокли-ническую бифуркацию (см. рис. 3.13(б)).

Бифуркационное значение параметра можно найти из условия, когда образы критической точки с0 = Рс(с£) сливаются в точке бифуркации. На рис. 3.10 хорошо видно, что, действуя таким образом, мы решаем любое из двух уравнений:

С4 = Сб, С5 = С7, (3.14)

где

С4 = ° Рм ° ° Рс(Сс),

С5 = ° ° Рс(Сс),

Сб = ° ° ° Рс(Сс),

С7 = ° ° ° Рс(Сс).

Очевидно, что уравнения (3.14) приводят к одному и тому же результату, причем первое уравнение из них самое простое, поскольку оно включает образы критической точки с0 самого низкого ранга. Из первого уравне-

ния (3.14) получаем, что

Г2 = {(а,я): 0(а,я) = О}. (3.15)

Здесь

0(а,д) = е2Л • (п(а,я) - 1) +

+елм(а,,) + (е4Л - е3Л) • (я - 0.5я/а - 1) + еЛ • (1 - п(а, я)) + 1,

где

п(а,я) = еЛ(1-еЛ)^(1-а2+2а/«),

/ N ч - 1 3Л /2а ^ 2а\ 2а Л , , ч _ д(а, я) = 1 - 2---а + е3Л--я - 1--+--еЛ • (п(а, я) - 1).

я V я я У я

При дальнейшем увеличении параметра двухполосный хаотический аттрактор переходит в однополосный (рис. 3.10 и рис. 3.13, (б), (в), когда в 2

точке ам полосы хаотического аттрактора, определяемые с2 и с3 сливаются, сталкиваясь с неподвижной точкой Ом.

В бифуркационном значении параметра а = аМ неустойчивая неподвижная точка с отрицательным мультипликатором сталкивается с с2 и с3, что приводит к рождению гомоклинической орбиты, которая является критической при а = а^. Гомоклиническая орбита выделена на рис. 3.13,б синим цветом.

Бифуркационное значение параметра можно найти, решив уравнение

С2 = С3, С2 = Рс° Рм ° Рс(сс), С3 = Рм ° Рс о Рм ° Рс^с),

что дает границу Гх:

Гх = {(а,д): £(а,д) = 0}, (3.16)

£(а, д) = е-(1-*-еЛ+^М+Л - (1 - еЛ) • (1 + ^ (а, д)) - е2Л,

0(а, д) = 2а(д - 1) - д • е3Л + е^^Н1-2^2«^. 2а

Границы Г1, Г2 (см. (3.15) и (3.16)) рассчитывались численно. Результаты этих расчетов представлены на рис. 3.9. Как отмечалось ранее, область Щ° слева ограничена линией бифуркации «граничного столкновения» для устойчивого 4-цикла.

3.6. Система управления с однополярной широтно-импульсной модуляцией

На рис. 3.14 (а) изображена функциональная схема системы управления с однополярной реверсивной модуляцией (ОРМ). Систем управления содержит одну ячейку с ОРМ, которая реализует две зоны и три уровня [11]. На рис. 3.14(б) показаны временные диаграммы, поясняющие принципы формирования управляющих импульсов. Генератор формирует прямоугольные импульсы ^оск, которые определяют величину тактового интервала а.

На каждом тактовом интервале ка < 1 < (к + 1)а, к = 0,1, 2,... генерируются линейно-нарастающий УТатр и линейно-падающий -УТатр сигналы.

Сначала усилитель определяет сигнал ошибки £ = а(Уе - УСз), УС8. Здесь - опорное напряжение, а УС8 - выходное напряжение датчика тока/напряжения СБ нагрузки; а - коэффициент усиления Если УС8 = вг - выходное напряжение датчика тока СБ, г - ток нагрузки, то в -чувствительность датчика тока.

Как показано на рис. 3.14,(б), устройство выборки-хранения Б/Н запо-

(а)

(б)

Рис. 3.14. (а) Функциональная схема системы управления с однополярной реверсивной модуляцией. (б) Временные диаграммы, поясняющие работу

системы

минает значение £ в начале каждого тактового интервала и хранит его в да конца этого интервала.

Компараторы DAi. DA2 сравнивают управляющий сигнал VCon из S/H с +VTamp, — V-amp и генерируют сигналы S+, S—, которые управляют сило-

выми ключами 51, 53 и 52, 54. Если Усоп > +У-атр, то 5+ = 1 ключ 51 включен, а выключен. Если же УСоп < +У-атр, то 5— = —1 и ключ 51 -выключен, а 53 - включен.

Другая пара ключей 52, управляется аналогичным образом. Выходное напряжение Уои (рис. 3.14(б))генерируется из напряжения Е0 [11]

Е

Уи = у (5+ + 5—).

3.7. Математическая модель системы управления с

ОРМ

Поведение системы согласно на рис. 3.14 описывается уравнением

* = — — • 4 + . (3.17)

^ Ь Ь v 7

Здесь 5

5 = 2(5— + 5+), 5— = ^п(Усоп — Угатр), (3.18)

= й!ёп(УСоп + Уатр^

где

Уатр — 2 ' У ' (

V а

— 0.5 , (3.19)

усоп = £ 1г=ка , £ = а(уге! — ^

Введем безразмерную переменную х = —, время t = ¿/а и параметры:

Р = У—, д = ^ • Р, г = , Л = — —.

Е* У Е* Ь

Тогда структурная схема рассматриваемой системы имеет вид на рис. ??. Здесь W(й) - передаточная функция

1

W (й) =

1+ 5Тп'

(3.20)

где Т0 - постоянная времени

То = -т-

1

Л'

и й = - оператор дифференцирования.

Уравнение движения (3.17) системы в соответствии с W(й) имеет вид

х = / (£, х),

(3.21)

где

Л • х - Л,

/(*,х)= ^ Л • х,

- П(£) > 0 а^ ^ + п(£) > 0,

(^ - ОД) • (р* + ОД) < 0,

Л • х + Л, - п(£) < 0 aпd + п(£) < 0,

я Р

^ = Г - х(^)|4=л , п(£) = от(£ - 1А1) - 1/2).

Уравнение (3.21) сводится к кусочно-гладкому непрерывному отображению:

хл+1 = еЛхл + йл(е0'5Л(1"^к) - еа5Л(1+^)),

к = 0,1, 2,...,

(3.22)

where

Sk =

+1, if pk < 0,

-1, if Pk ^ 0,

Zk = <

1,

Sk •

аГ

P

• Pk,

if |Pk| > if |Pk| <

P

аГ: P

аГ:

q

Pk = Г - Xk.