Анализ локализации деформаций в разнопрочных средах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Кузоватова, Ольга Игоревна

• Кузоватова, Ольга Игоревна
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кузоватова, Ольга Игоревна

Введение

1. Математическая модель

1.1. Реологический подход.

1.2. Математическая модель разнопрочной среды.

1.3. Конус Мизеса - Шлейхера

2. Теория предельного равновесия

2.1. Кинематическая теорема

2.2. Линейная зона локализации.

2.3. Зона локализации в виде логарифмической спирали

3. Вычислительный алгоритм

3.1. Регуляризованная модель разнопрочной среды.

3.2. Вариационные принципы.

3.3. Итерационный алгоритм.

4. Результаты расчетов

4.1. Задача о деформации цилиндрического образца.

4.2. Задача о деформации прямоугольного образца с боковым надрезом.

4.3. Задача о разрушении углеграфитового блока электролизера

4.4. Задача о продавливании связной сыпучей среды.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Анализ локализации деформаций в разнопрочных средах»

Теория разнопрочных сред представляет собой один из самых интересных и интенсивно развивающихся разделов механики. Свойством разнопрочности (разносопротивляемости) в той или иной мере обладают практически все известные природные искусственные материалы. Для некоторых из них несоответствие модулей упругости, пределов текучести или диаграмм ползучести, полученных при растяжении и сжатии, настолько мало, что им целесообразно пренебречь. Однако при изучении знакопеременных деформаций^ в сыпучих средах, представляющих собой частный случай разнопрочных материалов, такое пренебрежение невозможно. Например, идеальные среды, частицы которых свободно контактируют между собой, при сжатии ведут себя как упругие или упругопластические тела, в зависимости от уровня напряжений, и не сопротивляются растяжению. В связных средах (грунтах, горных породах) допустимые растягивающие напряжения существенно меньше сжимающих и не превышают критического значения, обусловленного сцеплением частиц. Для сравнительно широкого круга горных пород отношение пределов прочности.,на .сжатие и растяжение изменяется в диапазоне от 8 до 10, но для некоторых видов достигает 50 и более высоких значений, [3]. . ., ,

В настоящее время выполнено достаточно большое количество экспериментальных работ по исследованию механических свойств материалов, обладающих различной сопротивляемостью. При одноосном нагружении, производимом вдоль одного и того же направления, древесина, чугуны, бериллиевая медь, сплавы алюминия, горные породы, графиты, углепластик, пенопласты и многие другие материалы с микроразрушениями имеют несимметричные диаграммы деформирования при растяжении и сжатии, что и показано в работах Писаренко Г. С., Ковальчука Б. И., Лебедева А. А., Строкова В. И., Протосени А. Г., Hodgkinson Е., Richard J. T., Grover S. F., Munro W. и др. авторов, [8, 9, 17, 24, 25, 27, 29, 36, 44, 52, 67, 72, 77, 81, 82, 84, 85, 86]. При малых напряжениях эти диаграммы слабо нелинейны, обратимы и плавно, почти без излома, переходят одна в другую. Если аппроксимировать их прямыми, то модули при растяжении и сжатии могут существенно различаться между собой. В отдельных случаях эта разномодуль-ность, а также существенное различие соответствующих коэффициентов Пуассона объясняются влиянием микротрещиноватости, микронарушениями адгезионных связей, микровыпучиваниями волокон.

Согласно современным представления система микронарушений гранита около 1 % при отсутствии внешних нагрузок содержит межзе-ренные границы, микротрещины и поры, [88]. Благодаря такой структуре любое, даже достаточно малое, нагружение вызывает изменения в системе микронарушений гранита, которые выражаются, прежде всего, в закрытии межзеренных трещин. При давлениях больших, чем 200 . 300 МПа все эти трещины являются уже полностью закрытыми. Но при снижении давления эти трещины снова приоткрываются. Такие изменения в структуре горной породы при нагружении и разгрузке обусловливают нелинейность начального участка диаграмм чистого сжатия, приведенных в работе [88].

В экспериментах на двуосное пропорциональное нагружение чугуна в условиях плоского напряженного-состояния, [24, 37], и на трехосное осесимметричное пропорциональное нагружение песчаника, угля, каменной соли и других горных.пород, [23, 62, 63, 64, 87], обнаруживается расхождение диаграмм деформирования при малых, напряжениях с образованием веера кривых, полученных при разных коэффициентах пропорциональности.

В экспериментах на трехосное осесимметричное нагружение горных пород, [68], чугуна, [16], также наблюдается расхождение диаграмм деформирования. В экспериментах на трехосное неравнокомпонентное нагружение горных пород, [24, 37], наблюдается систематическое нарушение пропорциональности девиаторов напряжений и деформаций. При кручении чугуна, горных пород отмечается возникновение осевых деформаций сплошных и трубчатых образцов — явление Вертгейма Пойнтинга - Кельвина, [24, 37].

Таким образом, из приведенных экспериментальных данных можно сделать вывод, что система микронарушений, имеющаяся; в материале, .по-фазному реагирует на. разные типы нагрузки, что. приводит к нарушению пропорциональности девиаторов напряжений и деформа- .

Корректные с механической точки . зрения уравнения одноосного динамического деформирования разнопрочной среды, представляющие собой предельный вариант уравнений разномодульной теории упругости, [2,.43], исследованы Масловьш.и Мосоловым, [42]. Феноменологические модели пространственного напряженно-деформированного состояния связных грунтов при конечных.деформациях предложены Григоряном, [19], и Николаевским, [49]. Обобщению основных положений теории пластичности для описания динамики и статики равнопрочных сред посвящены также работы [6, 15, 22].

В работах В. П. Мясникова и В. М. Садовского получены некоторые аналитические результаты исследования модели, обобщающей классическую теорию упругости на случай материала, по-разному сопротивляющегося растяжению и сжатию, в частности, доказаны теоремы о разрешимости граничных задач, сформулированы вариационные принципы для оценки предельных состояний среды.

В монографии, [59], разработан принципиально новый подход, в котором определяющие соотношения разнопрочных материалов строятся с помощью реологических схем, включающих в себя специальный элемент - жесткий контакт. Путем комбинации этого элемента с традиционными элементами - упругой пружиной, вязким демпфером и пластическим шарниром - получены оригинальные математические модели механики сыпучих сред, учитывающие характерные особенности процесса деформирования.

Актуальность задачи. Многие природные и искусственные материалы разнопрочны, они имеют существенно различные прочностные свойства при растяжении и сжатии.

Классические модели механики деформируемого твердого тела - теории упругости, пластичности и ползучести - не учитывают этого фактора. В работах Амбарцумяна С.'А., [2], Мясникова В. П., [47], Олейникова А. И., [50], Цвелодуба И. Ю., [73], 3. Неутап, [79, 80], и Б. РавсиаЦ [76], и др. авторов разработаны специальные математические модели, описывающие деформирование материалов, по-разному сопротивляющихся растяжению и сжатию.

Вопросам численного исследования моделей разнопрочных сред посвящено относительно небольшое количество, публикаций. Эти модели существенно нелинейны, поэтому трудоемки для численного счёта. Одна из моделей, имеющих хорошую математическую структуру для применения прямых вычислительных методов, предложена в рабо-, те [48]. Основная цель данной работы - реализовать эту модель численно в плоских квазистатических задачах.

Диссертация посвящена исследованию процесса локализации деформаций в образцах из разнопрочнош. ¡материала. Важность решения этой задачи продиктована тем;, что в узких зонах локализации растягивающих; деформаций, в которых податливость материала оказывается значительно выше, чем в остальной части образца, па практике происходит микроразрушение, поэтому при. расчете конструкций на прочность такие зоны необходимо определять. В то же время, возможности построения точных решений в данной: задаче ограничены, поэтому актуальной является разработка вычислительных процедур.

Цель диссертации. В качестве основной цели исследования выступает разработка эффективного численного . метода для анализа напряженно-деформированного состоянияфазнопрочной упругопластиче-ской среды на основе метода конечных элементов.

Для достижения поставленной цели в, работе поставлены следующие задачи:

• построение численного метода решения задачи,

• создание компьютерных прикладных программ,

• применение разработанного алгоритма и программ к решению задач о локализации деформаций. ^

Объектом исследования настоящей работы является модель разнопрочной среды, по-разному сопротивляющейся растяжению и сжатию.

Методы исследования. В работе наряду с общими методами механики деформируемого тела применяются методы вариационного исчисления, элементы выпуклого анализа, численные методы. В качестве методики исследований используется вычислительный эксперимент, включающий в себя следующие этапы: математическая формулировка задачи, разработка вычислительного алгоритма, программирование для ЭВМ, проведение расчетов, анализ и визуализация полученных численных результатов.

Основные положения, выносимые на защиту:

1) приближенное решение задачи 'для цилиндрического образца с радиальным надрезом в случае линейной зоны локализации;

I I

2) обоснование гипотезы Друккера и Прагера о том, что линиями локализации в разнопрочной среде служат логарифмические спирали;

3) вычислительный алгоритм, реализующий модель разнопрочной среды на основе метода конечных элементов, и результаты численных экспериментов по исследованию линий локализации в образцах цилиндрической, прямоугольной и криволинейной формы.

Научная новизна, представленных в диссертации резуль

I п I татов. На основе специальной математической модели, обобщающей классическую теорию упругости на случай материала, по-разному сопротивляющегося растяжению и сжатию, впервые разработан алгоритм численного решения задачи о локализации деформаций в разнопроч-ной среде. Разработан комплекс компьютерных программ, включающий в себя подготовительный модуль, расчетный модуль и модуль визуализации результатов. Получены результаты численного исследования напряженно-деформированного состояния образцов из разнопрочного материала.

Достоверность результатов работы. Основные результаты работы снабжены строгими доказательствами. Достоверность полученных результатов подтверждается соответствием численных решений оценочным решениям, которое показало, что линиями локализации в плоском деформированном состоянии связной сыпучей среды служат логарифмические спирали. . , ,,,,,,

Практическая значимость результатов. Результаты диссертации представляют собой теоретический и практический интерес и могут быть применены в теории разнопрочных упругопластических сред.

Апробация работы.,,Основные .результаты исследований были представлены и обсуждены на следующих научных конференциях: Конференция-конкурс молодых ученых. ИВМ СО РАН (г. Красноярск, 2005 г., 2006 г., 2007 г.), Всероссийская конференция "Деформирование и разрушение структурно-неоднородных сред и конструкций" (г. Новосибирск, 2006 г.), VII Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (ИВМ СО РАН, СФУ, СибГТУ, г. Красноярск, 2006 г.), XX Всероссийская конференция по численным методам решения задач теории упругости и пластичности (ИТПМ СО РАН, КузГТУ, г. Кемерово, 2007 г.),

V и VI Всесибирский конгресс женщин-математиков (ИВМ СО РАН, СФУ, СибГТУ, г. Красноярск, 2008 г., 2010 г.). Кроме того, результаты диссертации в целом докладывались на семинаре отдела «Вычислительной механики деформируемых сред» ИВМ СО РАН.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 печатных работ, из них 2 статьи в изданиях по списку ВАК.

Работа выполнялась при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 08-01-00148) и Междисциплинарного интеграционного проекта Сибирского отделения РАН № 40.

Структура диссертационной работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырехглав, заключения и трёх приложений. Список литературы включает 88 наименований, в том числе работы автора. Диссертация содержит 37 рисунков. Объем диссертации составляет 131 страницу, приложений - 18 страниц.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Кузоватова, Ольга Игоревна

Заключение

Исследования, выполненные в рамках настоящей диссертационной работы, посвящены исследованию процесса локализации деформаций в образцах из разнопрочного материала.

В диссертационной работе получены следующие результаты:

1. С помощью кинематической теоремы теории предельного равновесия разнопрочной среды получено приближенное решение задачи деформирования цилиндрического образца из разно-прочного материала с радиальным надрезом в предположении о линейной зоне локализации и обоснована гипотеза Друккера и Прагера о том, что линиями локализации деформаций в плоском деформированном состоянии разнопрочной среды служат логарифмические спирали., , .

2. Предложен эффективный вычислительный алгоритм для исследования плоских квазистатических задач в рамках математической модели разнопрочной среды. Численное решение задачи строится с помощью сходящегося итерационного процесса, на каждом шаге которого решаются уравнения статической теории упругости с начальными напряжениями на основе метода конечных элементов.

3. На основании проведенных расчетов подтверждено наличие зон локализации деформаций в разнопрочных средах в модельных задачах о деформации цилиндрического образца с радиальным разрезом, о деформации прямоугольного образца с боковым надрезом, о локализации деформаций в углеграфитовом блоке электролизера, о продавливании связной сыпучей среды.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кузоватова, Ольга Игоревна, 2010 год

1. Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979. - 429 с.

2. Амбарцумян С. А. Разномодульная теория упругости. М.: Наука, 1982. - 320 с.

3. Баклашов И. В., Картозия Б. А. Механика горных пород. — М.: Недра, 1975. 271 с.

4. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. М.: БИНОМ, 2003. - 632 с. . / ,,

5. Бригадиров Г. В., Матченко Н. М. Вариант построения основных соотношений разномоульной теории упругости // Изв. АН СССР. МТТ. 1971. - № 5. - С. 100-109.

6. Бережной И. А., Ивлев Д. Д., Чадор В. Б. О построении модели сыпучих сред, исходя из определения диссипативной функции // ДАН СССР. 1973. Т 213, № 6. - С. 1270-1273.1 Г • I.

7. Бердичевский В. Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. М.: Наука, 1983. - 447 с.

8. Бурштейн Л. С. Диаграммы растяжения и сжатия песчаника // ФТПРПИ. 1964. - № 1. - С. 24-29.

9. Бурштейн Л. С. Статические и динамические испытания горных пород. М.: Недра, 1970. 176 с.

10. Быковцев Г. И., Ивлев Д. Д. Теория пластичности. Владивосток: Дальнаука, 1998. - 528 с.

11. Васидзу К. Вариационные принципы в теории упругости и пластичности. М.: Мир, 1978. - 542 с.

12. Виноградов Г. В., Малкин А. Я. Реология полимеров. М.: Химия, 1977. - 438 с.

13. Воеводин В. В. Численные методы алгебры (теория и алгоритмы). М.: Наука, 1966.

14. Воеводин В. В. Матрицы и вычисления / В. В. Воеводин, Ю. А. Кузнецов // Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1984. - 320 с.

15. Гениев Г. А., Эстрин М. И.' Динамика пластической и сыпучей среды. М.: Стройиздат, 1972. - 216 с.

16. Головенко В. С., Мидуков В. 3., Седоков Л. М. Прочность и деформируемость серого чугуна при всестороннем неравномерном сжатии // Пробл. прочности. 1973. - № 1. - С. 56-58.

17. Голъдмап А. Я., Фрейндин А. Б. Влияние гидростатического давления на деформирование АБС-пластика при сдвиге // Механика композитных материалов. -, 1989. № 1. - С. 23-28., , I11••V I .

18. Горунович С. В., Злобин В. С., Садовский В. М. Термонапряженное состояние подовой секции алюминиевого электролизера // Сиб. ж. индустр. матем. 2002. - Т. V, № 2(10). - С. 61-69.

19. Григорян С. С. Об основных представлениях динамики грунтов // Прикл. матем. и мех. 1960. - Т. 24, вып. 6. - С. 1057-1072.

20. Друккер Д., Прагер В. Механика грунтов и пластический анализ или предельное проектирование // Определяющие законы механики грунтов. Сер. «Новое в зарубежной науке». Вып. 2. М.: Мир, 1975. - С. 166-177.

21. Дюво jГ., Лионе Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. М.: Наука, 1980. - 383 с.

22. Ивлев Д. Д. Механика пластических сред: Т. 1. Теория идеальнойпластичности. М.: Физматлит, 2001. - 448 с.< 1 , \

23. Каталог механичесиких свойств горных пород при широкой вариации видов напряженного состояния и скорости деформирования. Л.: ВНИМИ, 1976. 171 с.

24. Ковалъчук Б. И., Лебедев, А, А. Деформационные свойства серого чугуна при плоском напряженном состояни в условиях низких температур // Пробл. прочности. 1970. - № 7. - С. 9-13.

25. Ковалъчук Б. И., Лебедев А. А., Уманский С. Э. Механика неупругого деформирования материалов и конструкций. Киев: Наукова думка, 1987. - 280 с.I

26. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1989. - 623 с.i

27. Кончиков В. В., Гурьев В. В. Упругие и прочностью свойства пенопласта с искривленными ячейками // Механика композитных материалов. 1983. - № 1. - С. 3-6.

28. Крылов А. Н. О численном решении уравнения, которым в технических вопросах определяются частоты малых колебаний материальных систем. // Известия АН СССР. Отделение математических и естественных наук. 1931. Серия VII № 4. С. 491-539.

29. Кузнецов Г. Н. Механические свойства горных пород. М.: Угле-техиздат, 1947. - 180 с.

30. Кузоватова О. И. Численное исследование локализации деформации в разнопрочной среде // Материалы конференции молодых учёных Института вычислительного моделирования СО РАН. -Красноярск: ИВМ СО РАН, 2005. С. 58-61.

31. Кузоватова О. И. Численное исследование предельного состояния разнопрочной среды // Материалы конференции молодых учёных Института вычислительного моделирования СО РАН. Красноярск: ИВМ СО РАН, 2006. - С. 60-63.

32. Кузоватова О. И. Исследование направления локализации деформации в разнопрочной среде // Материалы конференции молодых учёных Института вычислительного моделирования СО РАН. -Красноярск, 2007. С. 18-23.'' I I! к ' t • 1 . I •

33. Кузоватова О. И. Численное исследование задачи о продавлива-нии связной сыпучей среды / О. И. Кузоватова, В. М. Садовский // Вестник СибГАУ. Красноярск, 2009. - № 4. - С. 21-25.

34. Кусков Н. И. Некоторые результаты исследования физико-механических свойств углей // Труды ВНИМИ. 1964. 53. -С. 40-48.

35. Лебедев А. А., Ковалъчук Б. И., Ламашевский В. П. О коэффициенте поперчной дефомации углеродистой стали и серого чугуна при нормальной и низкой температурах // // Пробл. прочности. -1991. № 3. - С. 51-56.

36. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972. - 537 с.

37. Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир, 1972. - 416 с.

38. Марчук Г. И., Агошков В. И. Введение в проекционно-сеточные методы. М.: Наука, 1981. - 416 с.

39. Марчук Г. И. Итерационные методы и квадратичные функционалы //Г. И. Марчук, Ю. А. Кузнецов // Методы вычислительной математики. Новосибирск: Наука, 1975. - С. 4-143.

40. Маслов В. П., Мосолов П. П. Общая теория решений уравнения движения разномодульной, упругой ¡среды // Прикл. матем. и мех. 1985. - Т. 49, вып. 3. - С. 419-437.

41. Маслов В. П., Мосолов П. П. Теория упругости для разномодуль-ной среды. М.: Изд-во Моск. ии-та электронного машиностроения, 1985. - 100 с.

42. Мешков Е. ВКулик В. И., У питие 3. Т., Нилов А. С. Деформирование ортогонально армированных органопластиков при одноосном растяжении и сжатии // Механика композитных материалов. 1987. - № 4. - С. 609-615.

43. Мосолов П. П., Мясников В. П. Вариационные методы в теории течений жестко-вязкопластических сред. М.: Изд-во МГУ, 1971. -114 с.

44. Мосолов П. П., Мясников В. П. Механика жесткопластических сред. М.: Наука, 1981. - 208 с.

45. Мясников В. П. Избранные труды // Том III. Механика технологических процессов. Владивосток: Дальнаука, 2008. 342 с.

46. Мясников В. П., Садовский В. М. Вариационные принципы теории предельного равновесия разнопрочных сред // Прикл. матем. и мех. 2004. - Т. 68, вып. 3. С. 487-498.

47. Николаевский В. Н. Определяющие уравнения пластического деформирования сыпучей среды // Прикл. матем. и мех. 1971. -Т. 35, вып. 6. - С. 1070-1082.

48. Олейников А. И. Основные общие соотношения модели изотропно-упругой разномодульной среды // ПММ. 1993. - Т. 57. Вып. 5. -С. 153-159.

49. Панферов В. М. Теория упругости и деформационная теория пластичности для твердых тел с разными свойствами на сжатие, растяжение и кручение // Докл. АН СССР. 1968. - Т. 180. - № 1. -С. 41-44.

50. Писаренко Г. С., Лебедев А. А. Деформирование и прочность материалов при сложном напряженном состоянии. Киев: Наукова думка, 1976. - 416 с.

51. Работное Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела.11. М.: Наука, 1979. 744 с.

52. Ревуженко А. Ф. Механика упругопластических сред и нестандартный анализ. Новосибирск: Изд-во Новосиб. ун-та, 2000. -426 с.

53. Рейнер М. Реология. М.: Наука, 1965. - 224 с.

54. Садовский В. М. Методы решения вариационных задач механики. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 1998. - 184 с.

55. Садовский В. М. Численное моделирование в задачах динамики сыпучих сред // Тр. мат. центра им:'Н.И. Лобачевского. Казань: Изд-во Казан, мат. о-ва, 2002. - Т. 15. - С. 183-198.

56. Садовский В. М. Реологические модели разномодульных и сыпучих сред // Дальневосточный математический журнал. 2003. - Т. 4, № 2. - С. 252-263.

57. Садовская О. В., Садовский В. М. Математическое моделирование в задачах механики сыпучих сред. М.: Физматлит, 2008. - 368 с.

58. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979. - 392 с.

59. Седов Л. И. Механика сплошной среды. М.: Наука, 1994. - Т. 2. - 560 с.

60. Ставрогип А. Н., Протосеня А. Г. Механика деформирования и разрушения горных пород. М.: Недра, 1991. - 224 с.

61. Ставрогип А. Н., Протосеня А. Г. Пластичность горных пород. -М.: Недра, 1979. 301 с.

62. Ставрогип А. Н., Тарасов Б. Г., Ширкес О. А., Певзнер Е. Д. Прочность и деформация горгых пород в допредельной и запредельной областях // ФТПРПИ. 1981. - № 6. - С. 3-11.

63. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988. - 333 с.

64. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов // Перевод с англ. Агошкова В. И., Василенко В. А., Шайдурова В. В. Под ред. Марчука Г. И. М.: Мир, 1977. - 350 с.

65. Строков В. И., Барабанов В. Н. Методика исследования прочностных и деформационных свойств графита в условиях сложного напряженного состояния // Заводская лаборатория. 1974. - № 9. -С. 1141-1144.

66. Тарасов Б. Г. Прочностные, упругие и деформационные свойства горных пород как функция структурных особенностей материалац И!

67. ФТПРПИ. 1992. - № 2. - С. 30-39.

68. Темам Р. Математические задачи теории пластичности. М.: Наука, 1991. - 288 с.

69. Фиалков А. С. Углеграфитовые материалы. М.: Энергия, 1979. -320 с.

70. Фикера Г. Теоремы существования в теории упругости. М.: Мир, 1974. - 159 с.

71. Цабулис У. А., Грузиньш И. В., Зелтинъш В. ЯЗелтиня Д. П., Жмудь Н. П., Алкснис А. Ф. Исследование физико-механических свойств изоциануратуретановых пенопластов при разных температурах // Механика композитных материалов. 1988. - № 6. -С. 1110-1124.

72. Цвелодуб И. Ю. О разномодульной теории упругости // Прикладная механика и техническая физика. Новосибирск: РАН Сибирское отделение, 2008. Т. 49, № 1 (287). С. 156-164.

73. Экланд ИТемам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы.- М.: Мир, 1979. 399 с.

74. Cipra В. A. The Best of the '20г th Century: Editors Name Top 10 Algorithms. // Comput. Sei. Eng. 2000. - V. 332. - № 4.- P. 291-293.

75. Di Pascuale S. Questioni concernenti la meccanica dei mezzi non reagenti a trazione. In: Proceedings of the 7th National Conference of Applied and Theoretical Mechanics. AIMETA, Trieste. 1984.

76. Grover S. F., Munro W., Chalmers B. The moduli of aluminum alloys in tension and compression //J. Inst. Metals. 1948. - V. 74. -P. 310-314.

77. Hestenes M. R. Methods of conjugate gradients for solving linear systems. / M. R. Hestenes, E. Stiefel //J. Res. Nat. Bur. Standards Sect. 1952. - V. 495. - №5. - P. 409-436.

78. Heyman J. The stone skeleton. // Jornal of Solids and Structures. -1966. № 2. - P. 269-279.r

79. Heyman J. The safety of masonry arches. // Jornal of Mechanic Sciences. 1969. - № 2. - P. 363-384.

80. Hodgkinson E. On the transverse strain and strength materials // Memoirs or the Literary and Philosophical Society of Manchester. -1824. Second ser. 4. - P. 225-289.

81. Hodgkinson E. Theoretical-and experimental researches to ascertain the strength and best forms of iron beams // Memoirs or the Literary and Philosophical Society of Manchester. 1831. - Second ser. 5. -P. 407-544.

82. Kuzovatova О. I. Numerical Investigation of the Problem of Cohesive Running Soils Punching Shear / О. I. Kuzovatova, V. M. Sadovsky // Вестник СибГАУ им. акад. М. Ф. Решетпева. Красноярск, 2009. - № 5. - С. 36-40.1 I » I .I

83. Medri G. A nonlinear elstic model for isotropic material with different behaivor in tension and compression // ASME. J. of Eng. Mater, and Tech. 1982. - V. 104. - P. 22-27.1. I • ц , ■ i . ) »4 131 ¿^y^

84. Richards J. T. On evalution of several static and dynamic methods for determing elastic moduli // ASTM. Symp. on the Determin. of Elastic Constrants. Spec. Techn. Publ. 1952. - № 129.

85. Seldin E. J. Stress-strain properties of polycristalline graphites in tension and comression at room temperatures // Carboon. 1966.- V. 4. № 2. - P. 297-302.

86. Vijayakumar K., Ashoka J. G. A bilinear constitutive model for isotropic bimodulus materials // J. of Eng. Mater, and Tech. 1990.- V. 112. P. 372-379.

87. Walsh J. B. Static deformation of rock // J. of the Engineering Mech Div., ASCE. 1980. - V. 106. № EM5. - P. 1005-1019.