Аномальные размерности операторов Вильсона Твиста-2 в суперсимметричных теориях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Велижанин, Виталий Николаевич

• Велижанин, Виталий Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Велижанин, Виталий Николаевич

Глава I Введение

1.1 Уравнения эволюции в КХД.

1.1.1 Уравнение ДГЛАП.И

1.1.2 Уравнение ЕР-БЛ.

1.1.3 Уравнение БФКЛ.

1.2 Связь между уравнениями БФКЛ и ДГЛАП в N ~ 4 суперсимметричщ ной теории Янга-Миллса.

Глава II Аномальные размерности операторов Вильсона твиста-2 для рассеяния вперёд в N = 4 СЯМ

2.1 N = 4 суперсимметричная теории Янга-Миллса.

2.2 Вычисление двухпетлевых матричных элементов операторов Вильсона твиста-2.

2.2.1 Неполяризованный случай.

2.2.2 Поляризованный случай.

2.3 АдС/КТП соответствие.

Глава III Ядра эволюции и аномальные размерности операторов Вильсона в J\f = 1 суперсимметричной модели Весса-Зумино

3.1 Модель Весса-Зумино.

3.1.1 Бозонные операторы

3.1.2 Фермионный оператор

3.2 Конформное Тождество Уорда.

3.2.1 Бозонный операторы.

9 3.2.2 Фермионный оператор

3.3 Суперсимметричное тождество Уорда.

3.4 Решение уравнения эволюции в следующем после лидирующего приближении

Глава IV Аномальные размерности операторов Вильсона при ненулевом переданном импульсе в N — 4 суперсимметричной теории Янга-Миллса

4.1 Конформные операторы твиста-2 в ЛГ = 4 СЯМ.

4.2 Суперсимметричное тождество Уорда.

4.3 Универсальная аномальная размерность в N = 4 СЯМ

Глава V Трёхпетлевая аномальная размерность операторов Вильсона ъ N = 4 СЯМ

5.1 Нахождение собственных значений матрицы аномальных размерностей ъ Я - 4 СЯМ.

5.2 Трёхпетлевые поправки к универсальной аномальной размерности

5.2.1 Предрл j —> оо.

5.2.2 Предел j -* 1.

5.2.3 Предел j -» -1 - г, г > 0.

5.3 Предел j —* оо и АдС/КТП соответствие.

5.4 Оператор дилатаций в N — 4 СЯМ и интегрируемость.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Аномальные размерности операторов Вильсона Твиста-2 в суперсимметричных теориях»

Квантовая хромодинамика (КХД), открытая Гелл-Манном, Фритцшем и Лейтвил-лером [1], является хорошо подтверждённой на данный момент микроскопической теорией сильных взаимодействий. Это перенормируемая неабелева калибровочная теория [2] основанная на цветовой группе SUc(3) и содержащая кварки и глюоны в качестве элементарных полей. Главная мотивация в пользу неабелевой калибровочной теории, имеющей асимптотическую свободу, происходит от партонной модели глубоко-неупругого рассеяния (ГНР), в соответствии с которой партоны (кварки) ведут себя как свободные частицы в жёстких, высокоэнергетичных соударениях.

Кварк-партонная модель Бьёркена и Фейнмана (3, 4) даёт простую физическую ф картину скейлинга структурных функций, который был предсказан Бьёркеным [3] инаблюдался в первых экспериментах по глубоко-неупругому рассеянию в SLAC, где была получена приближённая независимость структурных функций от переданного импульса. Модель основывается на утверждении, что протон (адрон) состоит из точечных невзаимодействующих центров рассеяния - партонов. Данное простое предположение позволило получить важные результаты, касающиеся внутренней структу-^ ры адронов и составляющих их элементарных частиц, которые были отождествленыс кварками и глюонами. Учёт взаимодействия между партонами ведёт к возможности изучения динамики сильных взаимодействий. Однако из-за неразрешённых до сих пор проблем связанных состояний, невозможно предсказать измеряемые наблюдаемые из первых принципов. Стандартное приближение, которое преодолевает эти трудности основано на теоремах о факторизации, которые позволяют разделить для каждого процесса физику малых расстояний (пертурбативную или жёсткую) и физику больших расстояний (непертурбативную или мягкую). Мягкий вклад описывается значениями матричных элементов соответствующих операторов в обкладках между адронными состояниями, с применением соответствующих уравнений эволюции, которые дают их зависимость от масштаба (виртуальностей или энергий партонов). Этот вклад связан с непертурбативными эффектами и может быть найден из экспериментальных данных. В то же время, используя замечательное свойство асимптотической свободы (являющимся следствием неабелевой природы калибровочной группы), жёсткие процессы и эволюция мягких вкладов могут быть систематически вычислены по теории возмущений. Успехи пертурбативной КХД в предсказании импульсной зависимости адронных наблюдаемых служат главным и наиболее важным аргументом в правильности теории.

Главную роль в факторизационных методах играют абсолютные и относительные значения жёстких масштабов, участвующих в процессе. В процессе ГНР виртуальность Q2 переданного импульса является единственным жёстким масштабом (энергия в лабораторной системе имеет тот же самый порядок величины). Для таких одно-масштабных процессов пертурбативная КХД предсказывает эволюцию по Q2 рассматриваемых величин представляемых в виде ряда по степеням калибровочной константы связи as(Q2). Естественное свойство этого класса явлений есть коллине-арная факторизация, при которой существенны только продольные (по отношению к налетающему адрону) степени свободы партонов на массовой поверхности. Поперечные степени свободы, специфические для асимптотически свободной КХД, дают логарифмические поправки Q2. Эти большие логарифмы, которые необходимо учитывать во всех порядках теории возмущений, суммируются посредством уравнения Докшицера-Грибова-Липатова-Альтарелли-Паризи (ДГЛАП) [5, б, 7, 8, 9| и ответственны за нарушение Бьёркеовского скейлинга, то есть за отклонения от чисто масштабного поведения, которое может быть получено при пренебрежении партон-партонным взаимодействием.

Другой подход используемый для изучения калибровочных теорий при асимптотических энергиях, связан с так называемой теорией полюсов Редже [10], и основан на достаточно общих предположениях о матрице рассеяния, таких как Лоренц-инвариантность, унитарность, причинность, аналитичность, кроссинг-симметрия и другие. Поведение амплитуды рассеяния при больших энергиях и фиксированных переданных импульсах полностью определяется сингулярностями £-канальных парциальных волн в комплексной плоскости углового момента [10). В канале с вакуумными квантовыми числами такая сингулярность, называемая помероном, возникает как связанное состояние двух реджезованных глюонов. На пертурбативном уровне большие логарифмы по энергиям были суммированы посредством уравнения Балицкого-Фадина-Кураева-Липатова (БФКЛ) [11, 12, 13, 14, 15, 1б[, предсказывающим при малых х степенной рост структурных функций. Дальнейшие исследования показали, что в главном логарифмическом приближении БФКЛ динамика обладает различными замечательными симметрийными свойствами, такими как Мёбиус-инвариантность померонной функции Грина [17], голоморфной сепарабельностью БФКЛ гамильтониана [18|, голоморфной факторизацией n-глюонной волновой функции при больших числе цветов Nc [18], дуальностью многоцветовой КХД [19], интегрируемостью при большом числе цветов [20], эквивалентностью с интегрируемой моделью Гейзенберга [21, 22]. Таким образом, различные симметрии позволяют получить дополнительную информацию о различных свойствах теории и её динамике.

Идея рассмотрения уравнений ДГЛАП и БФКЛ в суперсимметричных теориях (предполагающих симметрию между фермионами и бозонами [23, 24, 25]) основывается на предположении о том, что наличие дополнительной высокой симметрии позволит существенно упростить структуру и анализ данных уравнений.

Суперсимметричные теории обладают различными интересными свойствами, такими как сокращение квадратичных расходимостей, неперенормируемость суперпотенциала и многие другие. N = 1 суперсимметричная теория Янга-Миллса (СЯМ) является естественной и достаточно интересной моделью для КХД, результаты для которой могут получены из результатов КХД если положить для операторов Казимиров Ca,Cf,Tj следующие значения С а = Cf — АГС, Т/ = Nc/2. Возможность объединения в суперсимметричных теориях векторной частицы (глюона) и фермиона (глюи-но) в один супермультиплет позволяет построить так называемые мультипликативно-перенормируемые линейные комбинации квазипартонных операторов с аномальной размерностью, получаемой из универсальной функции со сдвинутым на целое число аргументом [26, 27]. Более того, суперконформная инвариантность позволяет установить связь между различными элементами матрицы аномальных размерностей или соответствующих им ядрам эволюции уравнения ДГЛАП [26, 27, 28, 29, 30|. Данные соотношения служат важной проверкой результатов вычислений матриц аномальных размерностей операторов твиста-2 в КХД [9, 31], и позволили впервые получитьядра эволюции с ненулевым переданным импульсом [32, 33] (подробнее в Главах III и IV).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Велижанин, Виталий Николаевич, 2004 год

1. Fritzsch Н., Gell-Mann М., Leutwyler Я. Advantages of the color octet gluon picture // Phys. Lett. - 1973. - Vol. B47. - Pp. 365-368.

2. Yang C.-N., Mills R. L. Conservation of isotopic spin and isotopic gauge invariance // Phys. Rev. — 1954. — Vol. 96. Pp. 191-195.3J Bjorken J. D. Asymptotic sum rules at infinite momentum /j Phys. Rev. — 1969. — Vol. 179. — Pp. 1547-1553.

3. Feynman R. P. Very high-energy collisions of hadrons // Phys. Rev. Lett. — 1969. — Vol. 23. Pp. 1415-1417.

4. Altarelli G., Parisi G. Asymptotic freedom in parton language If Nucl. Phys. — 1977. Vol. B126. - Pp. 298-318.

5. Dokshitzer Y. L. Calculation of the structure functions for deep inelastic scattering and e+ e- annihilation by perturbation theory in Quantum Chromodynamics // Sov. Phys. JETP. 1977. - Vol. 46. - Pp. 641-653.

6. Regge T. Bound states, shadow states and Mandelstam representation j I Nuovo ш Cim. 1960. - Vol. 18. - Pp. 947-956.

7. Lipatov L. N. Reggeization of the vector meson and the vacuum singularity in gauge theories // Sov. J. Nucl. Phys. 1976. - Vol. 23. — Pp. 338-345.

8. Fadin V. S., Kuraev E. A., Lipatov L. N. On the Pomeranchuk singularity in asymptotically free theories // Phys. Lett. — 1975. — Vol. B60. — Pp. 50-52.

9. Kuraev E. A., Lipatov L. N., Fadin V. S. Multi reggeon processes in the Yang-Millstheory // Sov. Phys. JETP. 1976. - Vol. 44. - Pp. 443-450.

10. Kuraev E. A., Lipatov L. N., Fadin V. S. The Pomeranchuk singularity in nonabelian gauge theorie // Sov. Phys. JETP. 1977. - Vol. 45. - Pp. 199-204.

11. Balitsky I. I., Lipatov L. N. The Pomeranchuk singularity in Quantum ^ Chromodynamics // Sov. J. Nucl. Phys. 1978. - Vol. 28. - Pp. 822-829.

12. Balitsky I. I., Lipatov L. N. Calculation of meson meson interaction cross-section in Quantum Chromodynamics // JETP Lett. 1979. — Vol. 30. - Pp. 355-358.

13. Lipatov L. N. The bare Pomeron in Quantum Chromodynamics // Sov. Phys. JETP. 1986. - Vol. 63. - Pp. 904-912.18J Lipatov L. N. Pomeron and odderon in QCD and a two-dimensional conformal field theory // Phys. Lett. 1990. - Vol. B251. - Pp. 284-287.

14. Lipatov L. N. Duality symmetry of Reggeon interactions in multicolour QCD // Nucl. Phys. 1999. - Vol. B548. - Pp. 328-362.

15. Lipatov L. N. High-energy asymptotics of multicolor QCD and exactly solvable lattice models // Padue preprint. 1993. - Vol. DFPD/93/TH/70. - Pp. 6.

16. Lipatov L. N. High-energy asymptotics of multicolor QCD and exactly solvable lattice models // JETP Lett. 1994. — Vol. 59. — Pp. 596-599.

17. Faddeev L. D., Korchemsky G. P. High-energy QCD as a completely integrable model // Phys. Lett. 1995. - Vol. B342. - Pp. 311-322.

18. Golfand Y. A., Likhtman E. P. Extension of the algebra of Poincare group generators and violation of P invariance j j JETP Lett. — 1971. — Vol. 13. — Pp. 323326.

19. Volkov D. V., Akulov V. P. Is the neutrino a Goldstone particle? // Phys. Lett. — * 1973. Vol. B46. - Pp. 109-110.

20. Wess J., Zumino B. A lagrangian model invariant under supergauge transformations // Phys. Lett. 1974, — Vol. B49. — Pp. 52-54.

21. Bukhvostov A. P., Kuraev E. A., Lipatov L. N., Frolov G. V. Supersymmetry and anomalous dimensionalities of quasi parton operators in QuantumлChromodynamics // JETP. Lett. 1985. - Vol. 41. - Pp. 92-95.

22. Bukhvostov A. P., Frolov G. V., Lipatov L. N., Kuraev E. A. Evolution equations for quasi partonic operators // Nucl. Phys. — 1985. — Vol. B258. — Pp. 601-646.

23. Belitsky A. V., Muller D., Schajer A. Implications of N = 1 supersymmetry for m QCD conformal operators // Phys. Lett. 1999. - Vol. B450. - Pp. 126-135.

24. Belitsky A. V., Muller D. N = 1 supersymmetric constraints for evolution kernels j I Nucl. Phys. Proc. Suppl. 1999. - Vol. 79. - Pp. 576-578.

25. Belitsky A. V., Muller D. Superconformal constraints for QCD conformal anomalies // Phys. Rev. — 2002. Vol. D65. - Pp. 054037:1-17.л

26. Antoniadis I., Floratos E. G. A study of a possible quark gluon symmetry in QCD // Nucl. Phys. - 1981. - Vol. B191. - Pp. 217-226.

27. Belitsky A. V., Muller D., Freund A. Reconstruction of non-forward evolution kernels // Phys. Lett. 1999. - Vol. B461. - Pp. 270-279.

28. Seiberg N., Witten E. Electric magnetic duality, monopole condensation, and confinement in N=2 supersymmetric Yang-Mills theory // Nucl. Phys. — 1994.—tfeVol. B426. Pp. 19-52.

29. Seiberg N., Witten E. Monopoles, duality and chiral symmetry breaking in N=2 supersymmetric QCD // Nucl. Phys. 1994. — Vol. B431. — Pp. 484-550.

30. Montonen C., Olive D. I. Magnetic monopoles as gauge particles? /j Phys. Lett. — m 1977. Vol. B72. - Pp. 117-120.

31. Avdeev L. V., Tarasov О. V., Vladimirov A. A. Vanishing of the three loop charge renormalization function in a supersymmetric gauge theory // Phys. Lett. — 1980. — Vol. B96. Pp. 94-96.

32. Grisaru M. Т., Rocek M., Siegel W. Zero three loop beta function in N—4 Super Yang-Mills theory // Phys. Rev. Lett. ~ 1980. — Vol. 45. Pp. 1063-1066.

33. Caswell W. E., Zanon D. Vanishing three loop beta function in N=4 supersymmetric Yang-Mills theory // Phys. Lett. 1981. - Vol. B100. - Pp. 152-156.

34. Brink L., Lindgren O., Nibson В. E. W. The ultraviolet finiteness of the N=4 Yang-Mills theory // Phys. Lett. 1983. - Vol. B123. - Pp. 323-328.

35. Lipatov L. N. Next-to-leading corrections to the BFKL equation and the effective action for high energy processes in QCD // Proc. of the Int. Workshop on very high multiplicity physics. — 2000. — Vol. Dubna. — Pp. 159-176.

36. Maldacena J. M. The large N limit of superconformal field theories and supergravity // Adv. Theor. Math. Phys. — 1998. — Vol. 2. — Pp. 231-252.

37. Gubser S. S., Klebanov I. R., Polyakov A. M. Gauge theory correlators from non-critical string theory // Phys. Lett. — 1998. — Vol. B428. — Pp. 105-114.

38. Witten E. Anti-de Sitter space and holography // Adv. Theor. Math. Phys.— ** 1998. Vol. 2. - Pp. 253-291.

39. Gubser S. S., Klebanov I. R., Polyakov A. M. A semi-classical limit of the gauge/string correspondence // Nucl. Phys. — 2002, — Vol. B636. — Pp. 99-114.

40. Kotikov A. V., Lipatov L. N., Velizhanin V N. Anomalous dimensions of Wilson operators in N = 4 SYM theory // Phys. Lett. 2003. - Vol. B557. - Pp. 114-120.ftS

41. Moch S., Vermaseren J. A. M., Vogt A. The three-loop splitting functions in QCD: The non-singlet case // Nucl. Phys. 2004. - Vol. B688. - Pp. 101-134.

42. Vogt A., Moch S., Vermaseren J. A. M. The three-loop splitting functions in QCD: The singlet case // Nucl. Phys. 2004. — Vol. B691. - Pp. 129-181.

43. Kotikov A. V., Lipatov L. N., Onishchenko A. /., Velizhanin V. N. Three-loopuniversal anomalous dimension of the Wilson operators in N = 4 SUSY Yang-Mills model // Phys. Lett. 2004. - Vol. B595. - Pp. 521-529.

44. Callan Curtis G. J., Gross D. J. High-energy electroproduction and the constitution of the electric current 11 Phys. Rev. Lett. — 1969. — Vol. 22. — Pp. 156-159.

45. Wilson K. G. Nonlagrangian models of current algebra // Phys. Rev. — 1969. — Vol. 179.- Pp. 1499-1512.

46. Christ N. #., Hasslacher В., Mueller A. H. Light cone behavior of perturbation theory // Phys. Rev. 1972. - Vol. D6. - Pp. 3543-3562.

47. Politzer H. D. Asymptotic freedom: an approach to strong interactions // Phys.Rept. 1974. - Vol. 14. - Pp. 129-180.

48. Gross D. J., Wilczek F. Asymptotically free gauge theories. 2 j j Phys. Rev. — 1974. Vol. D9. - Pp. 980-993.

49. Sasaki К. Polarized electroproduction in asymptotically free gauge theories // Prog. Theor. Phys. 1975. - Vol. 54. - Pp. 1816-1838.

50. Ahmed M. A., Ross G. G. Polarized lepton hadron scattering in asymptotically free gauge theories // Nucl. Phys. - 1976. - Vol. Bill. - Pp. 441-460.

51. Gross D. J., Wilczek F. Asymptotically free gauge theories. I // Phys. Rev. — 1973. Vol. D8. - Pp. 3633-3652.

52. Callan Curtis G. J. Broken scale invariance in scalar field theory j j Phys. Rev.— 1970. Vol. D2. - Pp. 1541-1547.

53. Symanzik K. Renormalizable models with simple symmetry breaking. 1. Symmetry breaking by a source term // Commun. Math. Phys. — 1970. — Vol. 16. — Pp. 48-80.

54. Symanzik K. Small distance behavior in field theory and power counting // Commun. Math. Phys. 1970. - Vol. 18. — Pp. 227-246.

55. Gross D. J., Wilczek F. Ultraviolet behavior of non-abelian gauge theories // Phys. Rev. Lett. 1973. - Vol. 30. - Pp. 1343-1346.

56. Politzer H. D. Reliable perturbative results for strong interactions? // Phys. Rev. Lett. 1973. - Vol. 30. - Pp. 1346-1349.

57. Floratos E. G., Ross D. A., Sachrajda С. T. Higher order effects in asymptotically free gauge theories: the anomalous dimensions of Wilson operators // Nucl. Phys. — 1977. Vol. B129. - Pp. 66-88.

58. Floratos E. G., Ross D. A., Sachrajda С. T. Higher order effects in asymptotically free gauge theories. 2. Flavor singlet Wilson operators and coefficient functions // Nucl. Phys. 1979. - Vol. B152. - Pp. 493-520.

59. Gonzalez-Arroyo A., Lopez C., Yndurain F. J. Second order contributions to the ^ structure functions in deep inelastic scattering. I. Theoretical calculations // Nucl.Phys. 1979. - Vol. B153. - Pp. 161-186. '

60. Gonzalez-Arroyo A., Lopez C. Second order contributions to the structure functions in deep inelastic scattering. 3. The singlet case // Nucl. Phys.— 1980.— Vol. B166. Pp. 429-459.

61. Curci G., Furmanski W., Petronzio R. Evolution of parton densities beyond leading•вorder: the nonsinglet case // Nucl. Phys. — 1980. — Vol. B175. — Pp. 27-92.

62. Furmanski W., Petronzio R. Singlet parton densities beyond leading order // Phys. Lett. ~ 1980. Vol. B97. - Pp. 437-442.

63. Floratos E. G., Kounnas C., Lacaze R. Higher order QCD effects in inclusive annihilation and DIS // Nucl. Phys. 1981. - Vol. B192. - Pp. 417-462.

64. Lopez C., Yndurain F. J. Behavior at x = 0, 1, sum rules and parametrizations for structure functions // Nucl. Phys. 1981.- Vol. B183. - Pp. 157-181.

65. Hamberg R., van Neerven W. L. The Correct renormalization of the gluon operator in a covariant gauge // Nucl. Phys. — 1992. — Vol. B379. — Pp. 143-171.

66. Mertig R., van Neerven W. L. The Calculation of the two loop spin splitting functions P(ij)(l)(x) // Z. Phys. — 1996,- Vol. C70. Pp. 637-654.

67. Vogelsang W. A Rederivation of the Spin-dependent Next-to-leading Order Splitting Functions // Phys. Rev. — 1996. — Vol. D54. — Pp. 2023-2029.

68. Vogelsang W. The spin-dependent two-loop splitting functions // Nucl. Phys. — 1996. Vol. B475. - Pp. 47-72.

69. Efremov A. V., Radyushkin A. V. Factorization and asymptotical behavior of pion form-factor in QCD // Phys. Lett. 1980. - Vol. B94. - Pp. 245-250.

70. Efremov A. V., Radyushkin A. V. Asymptotical behavior of pion electromagnetic form-factor in QCD // Theor. Math. Phys. 1980.- Vol. 42. - Pp. 97-110.

71. Mikhailov S. V., Radyushkin A. V. Evolution kernel for the pion wave function: two loop calculation in scalar phi**3 in six-dimensions model // Theor. Math. Phys. — 1986. Vol. 65,- Pp. 999-1014.

72. Mikhailov S. V., Radyushkvn A. V. Evolution kernels in QCD: two loop calculation ^ in feynman gauge // Nucl. Phys. — 1985. Vol. B254. - Pp. 89-126.

73. Mikhailov S. V., Radyushkin A. V. Structure of two loop evolution kernels and evolution of the pion wave function in phi**3 in six-dimensions and QCD // Nucl. Phys. 1986. - Vol. B273. - Pp. 297-319.

74. Muller D. Constraints for anomalous dimensions of local light cone operators in phi**3 in six-dimensions theory // Z. Phys. — 1991. Vol. C49. - Pp. 293-300.

75. Muller D. Conformal constraints and the evolution of the nonsinglet meson distribution amplitude I j Phys. Rev. — 1994. — Vol. D49. Pp. 2525-2535.

76. Makeenko Y. M. Conformal operators in Quantum Chromodynamics // Sov. J. Nucl. Phys. 1981. - Vol. 33. - Pp. 440-445.

77. Ohmdorf T. Constraints from conformal covariance on the mixing of operators of lowest twist 11 Nucl. Phys. 1982. - Vol. B198. — Pp. 26-44.

78. Belitsky A. V., Muller D. Broken conformal invariance and spectrum of anomalous dimensions in QCD // Nucl. Phys. 1999. - Vol. B537. - Pp. 397-442.

79. Belitsky A. V., Freund A., Muller D. Evolution kernels of skewed parton distributions: Method and two-loop results // Nucl. Phys. — 2000. — Vol. B574. — Pp. 347-406.

80. Lipatov L. N. Small-x physics in perturbative QCD // Phys. Rept. — 1997. — Vol. 286. Pp. 131-198.

81. Collins P. D. B. An introduction to Regge theory and high-energy physics. — Cambridge 1977, 445p.

82. Donnachie A., Landshoff P. V. Dynamics of elastic scattering // Nucl. Phys.— 1986. Vol. B267. - Pp. 690-701.

83. Bartels J. High-energy behavior in a nonabelian gauge theory. 2. First corrections to T(n—>m) beyond the leading In s approximation // Nucl. Phys. — 1980. — Vol. B175. Pp. 365-401.

84. Kwiecinski J., Praszalowicz M. Three gluon integral equation and odd с singlet regge singularities in QCD // Phys. Lett. 1980. — Vol. B94. — Pp. 413-416.

85. Fadin V. S., Lipatov L. N. BFKL pomeron in the next-to-leading approximation // Phys. Lett. 1998. - Vol. B429. - Pp. 127-134.

86. Ciafalom M., Сатгсг G. Energy scale(s) and next-to-leading BFKL equation I j Phys. Lett. 1998. - Vol. B430. - Pp. 349-354.

87. Kirschner R., Lipatov L. N., Szymanowski L. Effective action for multi Regge processes in QCD // Nucl. Phys. - 1994. - Vol. B425. - Pp. 579-594.

88. Kirschner RLipatov L. N., Szymanowski L. Symmetry properties of the effective action for high-energy scattering in QCD // Phys. Rev.— 1995.— Vol. D51.— Pp. 838-855.

89. Lipatov L. N. Gauge invariant effective action for high-energy processes in QCD j I Nucl. Phys. 1995. - Vol. B452. - Pp. 369-400.

90. Lipatov L. N. Evolution equations in QCD. — Prepared for ICTP Conference on Perspectives in Hadronic Physics, Trieste, Italy, 12-16 May 1997. — Pp. 413-427.

91. Gliozzi F., Scherk J., Olive D. I. Supersymmetry, supergravity theories and the dual spinor model // Nucl. Phys. — 1977. — Vol. B122. Pp. 253-290.

92. Brink L., Lindgren O., Nilsson В. E. W. N=4 Yang-Mills theory on the light cone j j Nucl. Phys. 1983. - Vol. B212. - Pp. 401-412.

93. Mandelstam S. Light cone superspace and the ultraviolet finiteness of the n=4 model // Nucl. Phys. 1983. - Vol. B213. - Pp. 149-168.

94. Capper D. M., Jones D. R. T. N=1 supersymmetric Yang-Mills theory in the light cone gauge // Phys. Rev. 1985. — Vol. D31. - Pp. 3295-3297.

95. Matiounine Y., Smith J., van Neerven W. L. Two-loop operator matrix elements calculated up to finite terms // Phys. Rev. 1998. - Vol. D57. - Pp. 6701-6722.

96. Matiounine Y., Smith J., van Neerven W. L. Two-loop operator matrix elements calculated up to finite terms for polarized deep inelastic lepton hadron scattering // Phys. Rev. 1998.- Vol. D58. - Pp. 076002:1-16.

97. Lipatov L. N. Next-to-leading corrections to the BFKL equation and the effective action for high energy processes in QCD // Nucl. Phys. Proc. Suppl. — 2001. — Vol. 99A. Pp. 175-179.

98. Siegel W. Supersymmetric dimensional regularization via dimensional reduction // Phys. Lett. 1979. - Vol. B84. - Pp. 193-196.

99. Altarelh G., Curci G., Martinelli G., Petrarca S. QCD nonleading corrections to weak decays as an application of regularization by dimensional reduction // Nucl. Phys. 1981. - Vol. B187. - Pp. 461-513.

100. Schuler G. A., Sakakibara S., Korner J. G. Use of four-dimensional spin methods in the calculation of radiative QCD corrections // Phys. Lett. — 1987. — Vol. B194. — Pp. 125-131.

101. Martin S. P., Vaughn M. T. Regularization dependence of running couplings in softly broken supersymmetry // Phys. Lett. — 1993. — Vol. B318. — Pp. 331-337.

102. Dixon J. A., Taylor J. C. Renormalization of wilson operators in gauge theories // Nucl. Phys. 1974. - Vol. B78. - Pp. 552-560.

103. Kluberg-Stern H., Zuber J. B. Renormalization of nonabelian gauge theories in a background field gauge. 2. Gauge invariant operators // Phys. Rev. — 1975. — Vol. D12. Pp. 3159-3180.

104. Joglekar S. D., Lee B. W. General theory of renormalization of gauge invariant operators // Ann. Phys. — 1976. — Vol. 97. — Pp. 160-215.

105. Collins J. C., Scalise R. J. The Renormalization of composite operators in Yang-Mills theories using general covariant gauge j j Phys. Rev. — 1994.— Vol. D50.— Pp. 4117-4136.

106. Harris B. W., Smith J. Anomalous dimension of the gluon operator in pure Yang-Mills theory // Phys. Rev. — 1995. — Vol. D51. Pp. 4550-4560.

107. Faddeev L. D., Popov V. N. Feynman diagrams for the Yang-Mills field // Phys. Lett. 1967. - Vol. B25. - Pp. 29-30.

108. Nogueira P. Automatic Feynman graph generation J J J. Comput. Phys. — 1993.— Vol. 105. Pp. 279-289.

109. Gorishnii S. G., Larin S. A., Surguladze L. R., Tkachov F. V. MINCER: program for multiloop calculations in quantum field theory for the SCHOONSCHIP system // Comput. Phys. Commun. — 1989. — Vol. 55. — Pp. 381-408.

110. Vermaseren J. A. M. New features of FORM.— 2000.— math-ph/0010025. — Pp. 23.138. 't Hooft G., Veltman M. J. G. Regularization and renormalization of gauge fields j I Nucl. Phys. 1972. - Vol. B44. — Pp. 189-213.

111. Breitenlohner P., Maison D. Dimensionally renormalized Green's functions for theories with massless particles. 1 // Commun. Math. Phys. — 1977. — Vol. 52. — Pp. 39-67.

112. Breitenlohner P., Maison D. Dimensionally renormalized Green's functions for theories with massless particles. 2 // Commun. Math. Phys. — 1977,— Vol. 52.— Pp. 55-92.

113. Akyeampong D. A., Delbourgo R. Dimensional regularization, abnormal amplitudes and anomalies // Nuovo Cim. 1973. — Vol. A17. — Pp. 578-586.

114. Akyeampong D. A., Delbourgo R. Anomalies via dimensional regularization // Nuovo Cim. ~ 1974. Vol. A19. - Pp. 219-224.

115. Larin S. A. The Renormalization of the axial anomaly in dimensional regularization // Phys. Lett. 1993. - Vol. B303. - Pp. 113-118.

116. Larin S. A., Vermaseren J. A. M. The alpha-s**3 corrections to the Bjorken sum rule for polarized electroproduction and to the Gross-Llewellyn Smith sum rule // Phys. Lett. 1991. - Vol. B259. - Pp. 345-352.

117. Adler S. L., Bardeen W. A. Absence of higher order corrections in the anomalous axial vector divergence equation // Phys. Rev. — 1969. — Vol. 182. — Pp. 1517-1536.

118. Makeenko Y. Light-cone Wilson loops and the string / gauge correspondence // JHEP. 2003. - Vol. 01. - P. 007.

119. Frolov S., Tseytlin A. A. Semiclassicai quantization of rotating superstring in AdS(5) x S(5) j j JHEP. 2002. - Vol. 06. - P. 007.

120. Brower R. C., Tan C.-I. Hard scattering in the M-theory dual for the QCD string // Nucl. Phys. 2003. - Vol. B662. - Pp. 393-405.

121. Onishchenko A. I., Velizhanin V. N. Anomalous dimensions of twist-2 conformal operators in supersymmetric Wess-Zumino model. — 2003. — Preprint WSU-HEP-0309. Pp. 37. - hep-ph/0309222.

122. Onishchenko A. I., Velizhanin V. N. Nonforward anomalous dimensions of Wilson operators in N = 4 super-Yang-Mills theory. // JHEP.— 2004.— Vol. 02.— Pp. 036:1-17.

123. Belitsky A. V., Derkachov S. E., Korchemsky G. P., Manashov A. N. Superconformal operators in N = 4 super-Yang-Mills theory // Phys. Rev. — 2004. — Vol. D70. Pp. 045021:1-27.

124. Andersson B. et al. Small x phenomenology: Summary and status // Eur. Phys. J. 2002. - Vol. C25. - Pp. 77-101.

125. Berenstein D., Maldacena J. M., Nastase H. Strings in flat space and pp waves from N = 4 super Yang Mills // JHEP. 2002. - Vol. 04. - P. 013.

126. Minahan J. A., Zarembo K. The Bethe-ansatz for N = 4 super Yang-Mills // JHEP. 2003. - Vol. 03. - P. 013.

127. Konishi K. Anomalous supersymmetry transformation of some composite operators in SQCD // Phys. Lett. 1984. - Vol. B135. - Pp. 439-444.

128. Beisert N., Кristjarisen C., Staudacher M. The dilatation operator of N = 4 super Yang-Mills theory // Nucl. Phys. 2003. - Vol. B664. - Pp. 131-184.

129. Bianchi M., Kovacs S., Rossi G., Stanev Y. S. Properties of the Konishi multiplet in N = 4 SYM theory // JHEP. 2001. - Vol. 05. - P. 042.

130. Mack G., Salam A. Finite component field representations of the conformal group // Ann. Phys. 1969. - Vol. 53. - Pp. 174-202.