Аппроксимация целыми функциями на подмножествах полуоси тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Сильванович, Ольга Васильевна

• Сильванович, Ольга Васильевна
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Сильванович, Ольга Васильевна

§0. Введение

Глава 1. Вспомогательные фукнции.

§1. Множество аппроксимации и приближающие функции

§2. Масштабирующая функция.,

§3. Оценки функций фе^) и У7к(г)

§4. Псевдоаналитическое продолжение функции.

Глава 2. Прямая теорема приближения.

Глава 3. Обратная теорема приближения.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Аппроксимация целыми функциями на подмножествах полуоси»

В процессе решения поставленной проблемы приближения последовательно решается ряд вопросов:

• Каким условиям должна удовлетворять комплекснозначная функция для того, чтобы некоторая сколь угодно хорошая весовая аппроксимация на некотором подмножестве целыми фукнциями из определённого класса была возможна.

• Каким должен быть класс приближающих функций.

• Каким образом строить функции, осуществляющие указанное весовое приближение рассматриваемых функций на заданном подмножестве М+.

• Возможно ли получить конструктивную характеристику функций из рассматриваемого класса непрерывных функций.

Все эти вопросы возникли в ходе исследования общей проблемы аппроксимации целыми функциями на различных областях комплексной плоскости. Ранее ответы на аналогичные вопросы для случая всей полуоси были получены в работе [7]. А именно, там была решена задача о весовом приближении функций класса Гёльдера на всей полуоси целыми функциями порядка \ из специально подобранного класса. При этом удалось доказать прямую и соответствующую обратную теоремы

-зприближения, что позволило говорить о конструктивном описании рассматриваемого класса непрерывных функций. Изменение области приближения привело к постановке сформулированных выше вопросов, появилась новая проблема конструктивного описания некоторого класса непрерывных функций, а также оценки скорости их весовых приближений.

Актуальность темы. Несмотря на то, что аппроксимация целыми функциями составляет сейчас большую ветвь комплексного анализа, некоторые вполне естественные вопросы остаются пока без ответов. К числу подобных проблем относится и конструктивное описание классов непрерывных функций, скорость их весовых приближений. Диссертация выполнена в русле этой тематики и потому актуальна.

Цель работы состоит в формулировании и доказательстве соответствующих прямой и обратной теорем приближения целыми функциями, что даёт возможность говорить о получении конструктивного описания класса гладкости функции из классов типа Гёльдера при помощи скорости весового приближения.

Основные результаты работы.

• - класс целых функций порядка | и переменного типа а > 0, с нормой, задаваемой равенством

ПРИ 1 + ИМИ) + <7-М"-2)

- функции, являющиеся приближающими агрегатами.

• шкала весового приближения определяется с помощью введения следующей функции рн(г) = (ИзЬ(г, Ьн), г в С, где

Ьк^{геС\Е: = К] , К > О,

О - гармоническая в С \ Е функция, обладающая определёнными свойствами.

• Сформулирована и доказана прямая теорема приближения.

• Сформулирована и доказана обратная теорема приближения.

Научная новизна. В диссертации получены утверждения о конструктивном описании классов непрерывных функций на новых типах несвязных множеств. Все основные результаты являются новыми.

Теоретическая значимость. В диссертации конструктивно описаны классы функций в ситуациях, требующих соединения соображений, относящихся к приближениям полиномами на областях комплексной плоскости и соображений, относящихся к приближениям целыми функциями.

Достоверность научных результатов. Все результаты диссертации являются строго доказанными научными фактами.

Апробация работы. Основные результаты диссертации были доложены на 1У-й Петрозаводской международной конференции по комплексному анализу (июль 2008 года), а также на Герценовских чтениях в докладе "Обратная теорема для приближения целыми функциями на подмножествах полуоси,"которые проходили 17 апреля 2008 года в РГПУ им. А. И. Герцена.

Публикации. По теме диссертации опубликованы 3 работы.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав и списка литературы, изложена на 71 стр. Список литературы включает 21 название.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Сильванович, Ольга Васильевна, 2009 год

1. E.M.Dyn'kin. The rate of polynomial approximation in the complex domain // Springer Lecture Notes in Math, Vol.864, 1981, 90-142.

2. K.G.Mezhevich, N.A.Shirokov. Polynomial approximation on the union of conven continua // J.Math.Sci., (132), 2006, No.4, 400403.

3. N.A.Shirokov. Analityc functions smooth up to the boundary // Springer Lecture Notes in Math.,Vol. 1312,1988, 220 p.

4. Н.И.Ахиезер. Лекции по теории аппроксимации. М.,1965.

5. В. И. Белый. Конформные отображения и приближения аналитических функций в областях с квазиконформной границей // Матем. сборник АН СССР (102) 1977, No.3, 331-361.

6. Г.М.Голузин. Геометрическая теория фукнций комплексного переменного. М., 1961.

7. Т. С.Давыдова, Н.А.Широков. Приближение функций из класса Гёльдера на полуоси // Зап. научных семинаров ПОМИ (262) 1999, 127-137.

8. В.К.Дзядык. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. М.,1977.

9. Е.М.Дынькии О равномерном приближении функций в жордановых областях // Сиб.мат.ж. (18) 1977, N0.4, 775-786.

10. Е.М.Дынькин. Оценки аналитических функций в жордановых областях // Зап. научных семинаров ЛОМИ (73) 1977, 70-90.

11. Е.М.Дынькин. Гладкости интегралов типа Коши // ДАН СССР, 1980, 199-202.

12. Е.М.Дынькин. Конструктивная характеристика классов Соболева и Бесова // Труды мат. ин-та им. В. А. Стек лова (155) 1983, 39-74.

13. Н.А.Лебедев, Н.А.Широков. О равномерном приближении фукнций на замкнутых множествах, имеющих конечное число угловых точек с ненулевыми внешними углами // Известия АН Арм. ССР,(6) 1971, N0.4, 311-341.

14. К.Г.Межевич, Н.А.Широков. Полиномиальные приближения на дизъюнктных отрезках // Проблемы математического анализа 1998, N0.18,118-132.

15. О.В.Силъванович, Н.Л.Широков. Приближение целыми функциями на подмножествах полуоси // Зап. научных семинаров ПОМИ (337) 2006, 233-237.

16. О.В.Силъванович, Н.А.Широков. Скорость приближения и гладкость функций / / Вестник Санкт-Петербургского университета, Серия 1. Математика, механика, астрономия, 2008, Вып.4, 39-45.

17. О.В.Силъванович, Н.А.Широков. Гладкость функции и скорость приближения // Тезисы докладов IV Петрозаводской международной конференции по комплексному анализу, Петрозаводск, 29 июня 5 июля (2008), 36-37.

18. П.М.Тамразов. Гладкости и полиномиальные приближения, Киев, 1975, 255 с.

19. У.Хейман, П.Кеннеди. Субгармонические функции, М.,1980,

20. Н.А.Широков. О равномерном приближении функции на замкнутых множествах с ненулевыми внешними углами // Изв. АН Арм ССР,(11) 1974, N0.1,62-80.

21. Н.А.Широков. Приближение многочленами на компактах с бесконечносвязным доплнением // Алгебра и анализ (10) 1998, N0.1, 248-264.