Асимптотические свойства некоторых ортогональных систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Приходько, Максим Александрович

• Приходько, Максим Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Приходько, Максим Александрович

Введение

Глава 1. Информационная энтропия релятивистского атома водорода

1 Введение

2 Волновые функции связных состояний в координатном и импульсном представлении.

3 Асимптотическое поведение энтропии.

4 Принцип неопределенности.

Глава 2. Информационная энтропия релятивистского гармонического осциллятора

1 Решение уравнения.

2 Вычисление энтропии в координатном представлении.

3 Соотношение неопределенности.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Асимптотические свойства некоторых ортогональных систем»

Диссертация относится к классическому разделу математического анализа — она посвящена изучению асимптотического поведения ортогональных систем, связанных с классическими ортогональными многочленами и другими классами специальных функций.

Дано приложение полученных асимптотических формул к задачам тео-ре1ической физики, а именно к теории водородоподобного атома и гармонического осциллятора в модели Козлова-Никишина.

В начале введения мы даем краткое описание этой модели, которая порождает ряд интересных ортогональных систем, изучению которых посвящена диссертация.

Затем формулируются основные результаты диссертации. Предшествующие работы в этом направлении (см. ссылки ниже) были посвящены решению аналогичных задач, но в классических нерелятивистских моделях.

Состояние квантово-механической системы описывается волновой функцией определенной в конфигурационном пространстве, и удовлетворяющей уравнению Шредингера

ЯФ = £Ф,

Л где самосопряженный оператор Я — это гамильтониан системы, а Е — ее энергия Уравнение Шредингера служит выражением закона сохранения энергии.

Связным состояниям системы соответствуют интегрируемые с квадратом решения этого уравнения. Тогда |Ф|2 представляет собой плотность распределения частиц в конфигурационном пространстве (после соответствующей нормировки)

Переход к импульсному представлению Ф( q ) Ф*(д*) осуществляет преобразование Фурье. Важную роль во всей квантовой механике играет принцип неопределенности Гейзенберга, который в безразмерных величинах имеет вид

Aq ■ Aq* > с, где q — одна из обобщенных координат, с — некоторая константа, зависящая, например, от размерности пространства,

Д qf = ((q-{q)f).

Аналогичное выражение справедливо для Aq*. При этом q) = J q\*\2dlt. 3

С другой стороны для изучения меры неопределенности плотности вероятности используется так называемая информационная энтропия Больцма-на-Шеннона

В работе [6] было доказано неравенство

5ф + 5ф. > (1п7г+ 1) • D, где D — размерность конфигурационного пространства.

Это неравенство также описывает неопределенность квантово-механи-ческой системы и возможно является более точной мерой неопределенности.

Исследование энтропии и энтропийного соотношения неопределенности различных систем привлекает все большее внимание.

Существует множество работ, написанных на эту тему (см., например, [9], [11], [7], [8]), однако все они ограничиваются нерелятивистским случаем. Один из способов исследования релятивистского случая предложили В В Козлов и Е. М Никишин [4] для пространства Минковского с тремя пространственными и одной временной координатами, т. е. для D = 3, где D в дальнейшем — число пространственных координат.

В 1986 г в работе [4] В. В. Козлов и Е. М. Никишин предложили следующую модель взаимодействия релятивистских частиц, отличающуюся от общепринятых подходов Клейна-Гордона и Дирака. В частности, в рамках эюй модели была получена формула Бора для энергетических уровней атома

Конфигурационное пространство системы — это четырехмерное пространство Минковского Q = М4 с декартовыми координатами {,s = (ct, x:y,z)} и с иденфинитной метрикой s2 = c2t2-x2-y2-z2. (1)

Здесь с — скорость света; х, у, z — пространственные координаты частицы относительно центра взаимодействия, t — рассогласование собственных времен частицы и центра. Обозначим

С = {s G Q : s2 < 0} пространственноподобный конус в конфигурационном пространстве. Соответственно,

JC± = {seQ:s>0,±ct>0} конусы абсолютного будущего и абсолютного прошлого, а

С0 = {s G Q : s2 = 0} световой конус

Для того, чтобы частица могла взаимодействовать с центром, рассогласование времен должно быть "достаточно мало". Формально, это условие сводится к тому, 41 о точка s принадлежит пространственноподобному конусу

С = {s : s2 < 0}.

Таким образом, состояние системы описывает волновая функция

Ф : К, —> С, удовлетворяющая лоренц-инвариантному уравнению Шредингера где dt2 С \дх2 + ду2 + dz2) оператор Даламбера, т.е. кинетическая энергия частицы, U — потенциальная энергия, Е — полная энергия (не включающая в себя внутреннюю энергию тос2) Здесь h — постоянная Планка, то — масса частицы. В общем случае полагают

U = U(p), р> о, где р2 = -s2 = х2 + у2 + z2 - c2t2 > 0.

В гамильтониан входят следующие физические постоянные:

• е0 = 4.80294 • Ю~10 ед. СГСЭ - заряд электрона,

• то = 9.1086 • Ю-28 г — масса электрона,

• с — 2.997928 • Ю10 см/сек — скорость света в вакууме,

• h — 1.054 • Ю-27 эрг • сек — постоянная Планка (введенная Максом Планком в 1900 г.).

Фактически в уравнении Шредингера вместо то должна стоять приведенная масса электрона, получающаяся после перехода к системе центра масс Но поскольку масса протона примерно равна 1840то, то столь малой погрешностью принебрегают.

Подчеркнем, что время t не является собственным временем электрона, это — рассогласование времени электрона и времени ядра. Этим объясняется выбор просгранственноподобного конуса в конфигурационном пространстве — для того, чтобы электрон мог взаимодействовать с ядром, рассогласование времен должно быть "достаточно мало".

В дальнейшем пользуемся атомной (кулоновской) системой единиц: h = ео = то = 1, также полагаем Z = 1, с = 1.

Перейдем к атомной системе единиц, в нашем случае совпадающей с кулоновской

• единица массы — то,

• единица длины — а» = ~~ — 0.529 • Ю-8 см — боровский радиус, т. е радиус первой боровской орбиты атома водорода (полученный Нильсом Бором в 1913 г),

• единица времени — = 0-24 • Ю-16 сек — характерное время атомных процессов,

• единица энергии — = 27.21 эл.-вольт,

• единица заряда — ео

Тогда рассматриваемое уравнение примет вид

-£ + □ +[/(р)) ф = 0, (3)

Это уравнение инвариантно относительно группы Лоренца, т. е группы линейных преобразований конфигурационного пространства, сохраняющих квадратичную форму (1).

Наряду с конфигурационным пространством Q рассмотрим сопряженное пространство импульсов Р = Q* = 1R4 с декартовыми координатами s* = (ct*,x*,y*,z*), которые имеют смысл энергии и трех импульсов соответственно, и с иденфинитной метрикой, аналогичной (1). Обозначим JC* пространственноподобный конус в сопряженном пространстве.

Переход от координатного представления к импульсному осуществляет преобразование Фурье, которое в безразмерных единицах имеет вид

J Щз)е™'<1М, (4) Q где ц* * * *

SS = сtt — XX — уу — ZZ иденфинитное скалярное произведение, a dji(s) = с dt dx dy dz — элемент объема. Тогда Ф* будет волновой функцией в импульсном представлении. Напомним, что мы рассматриваем волновые функции Ф, определенные в конусе /С, тем самым в (4) полагаем Ф = 0 вне /С.

Определим гильбертово пространство Н — подпространство в Z/2(/C, cf/х), состоящее из функций, носители преобразований Фурье которых принадлежат №. Аналогичным образом определим сопряженное пространство ТС*. Тогда преобразование Фурье будет унитарным оператором

В модели Козлова-Никишина ищутся решения стационарного уравнения Шредингера (3) с потенциалом U(p) = принадлежащие гильбертову пространству Н. Ищутся связные состояния системы, т е. решения уравнения (3), интегрируемые с квадратом: Ф € L2(/C) Для волновых функций, нормированных условием

J |Ф|2g?/z = 1, dfi = dxdydzdt, к. величина |Ф|2 будет плотностью распределения вероятности обнаружения частицы в данной точке пространственноподобного конуса.

В работе [4] было показано, что дискретный спектр уравнения (3) состоит из энергитических уровней, определенных формулой Бора

Соответствующие собственные функции ФП)1/^тнумерую гея четырьмя квантовыми числами, а именно:

• п = 1,2,3,. — главное квантовое число,

• = — | — квантовое число, не имеющее аналога в классическом случае и связанное с временной координатой,

• I = и, и + 1,^ + 2,.— орбитальное квантовое число,

• т = —I, —l + l,.,l — магнитное квантовое число.

Выбор связных состояний с фиксированными квантовыми числами обусловлен законами сохранения соответствующих физических величин. Мы видим, что энергитические уровни Еп имеют бесконечное вырождение.

Для квантовых чисел п, I, т мы используем стандартную терминологию Квантовое число и не имеет аналога в нерелятивистской теории, оно появляется из-за временной координаты. Но фактически, число v также, как числа I и ш, связано с законами сохранения вращательного момента и его проекций

Волновые функции Ч!n,v,i,m были получены в работе [4] методом разделения переменных в псевдосферических координатах А именно, в простран-ственноподобном конусе К, вводятся следующие криволинейные координаты. t = рьЪф, z = р ch^cosf?, у = р ch ij; sin в cos </?, х = р ch 1р sin в sin ip,

0 < p < +oo,

- 00 < Ф < +00, о < 9 < 7Г, oo < (p < +oo (mod 2тг), (5)

Элемент объема в псевдосферических координатах равен dfi = pz ch2 ipsmO d pdtjj d6 dip.

Тогда

Фп ,f,l,m — An,и

Радиальная составляющая выражается через многочлен Jlareppa: где к = п — v — \ = 0,1,2, —

Временная составляющая выражается через собственные функции потенциала Пешля-Теллера [5] d2 т Щ-1-11 2гп Т + ^ 9 'Т = и Т, d-ф2 ch ф а именно

Ш = g-ЗД), где т мл 1 -*)*(" + * + !)* 1 ch (i/ + l )kk\ (e^ + lf1 к—О и (р)^ = р(р + 1) •. • (р + к — 1) — символ Похгаммера. Угловая составляющая — это сферическая функция

YltmiPM = QiAO) = CY sin,m| ocj^ (cos 0), где С^ ~ многочлен Гегенбауэра.

Здесь С а, Ст, Су — положительные нормировочные постоянные такие, что

00 ос j\CAAnM\2dp=l, j IСтТ„М\Чф = I,

О -00

2тг 7Г

J J \%n(0,<p)\2 Sine dO dip = I. 0 0

Отличительной особенностью этой модели является рассмотрение анги-периодических (по переменной <р) сферических функций.

Диссертация состоит из двух глав. В первой главе в дополнение к работе [4] получены результаты, позволяющие вычислить волновую функцию в импульсном представлении в общем виде.

Для произвольного центрально-симметричного потенциала волновая функция в импульсном представлении, как и в координатном представлении, разделяется по переменным и фактически состоит двух частей — не зависящей от вида потенциала угловой составляющей и радиальной функции, которая зависит от вида потенциала U(p) и вычисляется с помощью интегрального преобразованием, ядром которого является функция Бесселя При этом угловая составляющая отличается от нерелятивистского случая добавлением функции Т^(ф), отвечающей за временную координату. вид где

Теорема 1. Волновые функции в импульсном представлении имеют ос

КЛР)= I a„Ap)Jj^p'dp. рр

7)

Для радиальиой волновой функции в импульсном представлении вычислена равномерная асимптотика при п —> оо.

Теорема 2. При п —> оо имеет место равномерная асимптотическая формула

8 2 cos5 Ф n'J К J yft sini2ф \ 2 4

VK 7Г cos 2пф -I- — + —

1+0 ft'

8) где ф = arctg (пр).

Вычислена энтропия волновой функции в координатном и импульсном представлении при различных предельных переходах. Наибольший интерес помимо очевидного перехода п —> оо представляют случаи I —> оо при фиксированных т и и и I = v —> оо

Теорема 3 Для энтропии волновой функции в координатном и импульсном представлении верны следующие выражения 1) При n—^oo,l = v = m — \.

5Ф = 81nn + 21n2 + 41nTr + i + o(l),

13

Ф. = -41пп + 71п2 + 41п7г- —- + 0(1).

Ld

2а) При I —> оо; v = т — п = 1:

5Ф = 2Ы + 31п2 + 21птг + - + о(1),

17 21П/ + 91П2 + 31П7Г + 7 —— + о(1). о

2Ь). При v = 1 оо, п = v + \ 1

5Ф = 71п/ + 31п2 + 21птг + - + о(1), - -4Ы + 31п2 + 1п7г + о(1).

Для доказательства теоремы 1 была доказана лемма об интегральном преобразовании временной составляющей волновой функции — функции T„ti(ip), которое является частью преобразования Фурье, следствием интеграла Сонина-Гегенбауэра и с точностью до константы совпадает с самой функцией Tv0).

Лемма 1. Справедлива формула ос

-ос h ф л/а ch ф где а = ррс\\ф, Ъ = рръ)\ф.

Вычислены вакуумные волновые функции для основного состояния в координатном и импульсном представлениях, после чего вычислена их энтропия и исследована с точки зрения соотношения неопределенности.

Лемма 2. В основном состоянии

2е~Р 1 1 /2 е1*?

Фу = —— • -7=—^— \ -у/втв • л/р V^chV 7Г V2TT = 4>/2 1 1[2 /—7 ^

7 V^\/P(l+P2)2'v^ch^'' VTT ЬШ ' v^F"

Лемма 3. Энтропийные соотношения неопределенности выполнены. = 7 In тг + 8 In 2 - ^ - 7 « 12.4811 > 4(1 + In тг) « 8.57892.

5ф + ~ 4 In 72, 71 —> 00. ^ф + 5ф. ~ 4 In / —» оо, г/ = const.

5ф + 5ф* ~ 3 In I, I = v —> оо.

Во второй главе диссертации изучен случай гармонического осциллятора

Найден вид радиальной составляющей волновой функции в координатном представлении, а также уровни энергии

Теорема 4 Для гармонического осциллятора U = р2 радиальная составляющая волновой функции имеет вид где IJr\ — многочлен Лагерра.

Уровни энергии:

En = An + 2{v + l), гг = 0,1,2

Вычислена волновая функция в импульсном представлении, которая с точностью до константы совпадает с волновой функцией в координатном представлении.

Теорема 5. Радиальная составляющая волновой функции в импульсном представлении с точностью до константы совпадает с координатным представлением. JrirWWJM3dp=

J pi VP Р 2 О

Вычислена асимптотика волновой функции в координатном и импульсном представлениях для различных предельных переходов. Исследованы предельные переходы, аналогичные тем, что были рассмотрены в первой главе.

Теорема 6. Для асимптотики волновой функции в координатном и импульсном представлении верны следующие выражения:

1). При п —> оо, I = и — т = 7j\ 3

Зф^Зф, = 21пп + 41п2 + 41п7г — - + о(1). и

2а) При I оо, и = т = п = О

7 7

5Ф = 5Ф. = 21п/ + 1п2 + - 1птг + 1 + + о(1).

Л &

2Ь) При v = I —> оо, п = 0:

Ф = 5Ф. = 1п/ + 21птг + | In 2 + 2 -f о(1).

Вычислены вакуумные волновые функции в основном состоянии в координатном и импульсном представлениях. Также вычислена их энтропия и исследована с точки зрения выполнения соотношений неопределенности

Лемма 4 В основном состоянии д 11 Д Г—а

Фу = Фу = J——- • ■ \ —vsm0 ■ -=.

Лемма 5. Энтропийные соотношения неопределенности выполнены. S<K = 4 - 7 + 2 In 2 + 71птг « 12.8222 > 4(1 + In тг) « 8.57892. вф + 5ф- ~ 4Inn, п —> оо.

5ф + 5ф» ~ 4 In /, / —> оо, и = const.

6'ф + 5ф> ~ 2 In I — и —» оо, п = 0.

Авюр выражает глубокую признательность своему научному руководителю В. Н Сорокину за постоянное внимание, искреннюю заинтересованность, постановку интересной задачи, многочисленные обсуждения и ценные советы, а также всестороннюю поддержку в течение всего диссертационного исследования

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Приходько, Максим Александрович, 2006 год

1. Аптекарев А. И., Буяров В. С., Дегеза X. С Асимптотическое поведение LP-норм и энтропии для общих ортогональных многочленов Мат сб 1995. Т 82. С. 373-395.

2. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции Наука, М., 1965

3. Г. Бейтмен, А. Эрдейи Таблицы интегральных преобразований. Наука, М., 1970.

4. Козлов В. В , Никишин Е. М. Релятивистский вариант гамильтонова формализма и волновые функции водородоподобного атома. Вестник Московского Университета. Серия 1. Математика Механика. N°5. М., 1986 С 11-20.

5. Флюгге 3. Задачи по квантовой механике. Мир, М., 1974

6. Bialynicki-Birula I., Mycielski J. Uncertainty relations for information entropy in wave mechanics. Cummun. J. Math. Phys 1975. V. 44. P. 129-132.

7. Dehesa J. S., Martinez-Finkelshtein A., Sorokin V N. Quantum-information entropies for highly-excited states of single-particle systems with power-type potentials. Phys Rev. 2002. A 66. P. 1-7.

8. Dehesa J S , Martinez-Finkelshtein A , Sorokin V N. Asymptotics of information entropies of some Toda-hke potentials. J. Math. Phys. 2003. V. 44 N 1 P 36-47

9. G N Watson. Theory of Bessel Functions. Cambridge. At the University Press 1922

10. Yanez R J , Van Assche W., Dehesa J S. Position and momentum information entropies of the D-dimensional harmonic oscillator and hydrogen atom. Phys Rev 1994 A 50 P 3065-3079.Работы автора по теме диссертации

11. Приходько М.А. Асимптотика информационной энтропии для двумерного аналога релятивистского атома водорода в модели Козлова-Никишина Математические заметки. Т. 78 Вып. 5. Ноябрь 2005 Стр 727-744

12. Приходько М.А. Информационная энтропия релятивистской модели Козлова-Никишина. Теоретическая и математическая физика Т 148 Вып 3. Сентябрь 2006. Стр. 444-458.