Автоволны и самоорганизация тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Харьков, Андрей Евгеньевич

• Харьков, Андрей Евгеньевич
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Харьков, Андрей Евгеньевич

Введение.

Глава I. Сходство и различие плоских и трехмерных волн.

§1. Волновое уравнение на окружности.

§2. Волновое уравнение на торе.

§3. Осцилляторы Гюйгенса, бегущие волны, хаос.

§4. Схема и результаты численного интегрирования волнового варианта уравнения Ван-дер-Поля.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Автоволны и самоорганизация»

Последние тридцать лет активно развиваются различные аспекты автоволновых процессов. Условно установленные результаты можно разбить на три группы.

Первое направление связано с так называемым методом обратной задачи [1].

Второе направление возникло в биофизике и связано с системами типа реакция-диффузия. С прикладной точки зрения наиболее полно проблема исследована в работах [2]-[3]. Интересные экспериментальные исследования связаны с автоколебательной окислительно-восстановительной химической реакцией Белоусова [4]-[6].

Третье направление - исследование динамики нелинейных волновых уравнений при предположениях имеющие содержательный физический смысл. Относящиеся сюда некоторые результаты общего характера содержатся, например, в [7]-[8].

Вообще говоря, в каждом из последних двух направлений следует различать локальные методы анализа и специфические в каждой задаче нелокальные феномены. К настоящему времени локальный анализ, получивший название метода квазинормальных форм, в достаточной степени подробности позволяет получать существенную информацию о динамических особенностях многих важных задач [9]-[11], наводящих, кстати, на мысль, что может быть принципиально разной динамика на отрезке и в плоской области.

Собственно, последнему аспекту проблемы и посвящена данная работа. Ее основной вывод формируется просто: явление самоорганизации - главный составляющий элемент динамики автоволн в плоской области. Предварительно нужно уточнить смысл понятия самоорганизации. Основной послужила статья [12], где изучено явление самоорганизации в одновидо-вом биоценозе. С математических позиций самоорганизация -это одновременно просто и сложно устроенные автоволны. В [12] в качестве их числовой характеристики взят уровень биомассы: на режимах самоорганизации он максимален. В рассматриваемых ниже режимах самоорганизации нелинейных волновых уравнений эквивалентной числовой характеристикой служит понятие энергии автоволны. При таком подходе совпадают в главном наши выводы и выводы статьи [12].

Во второй главе сначала излагаются результаты, связанные с явлением нелинейного параметрического резонанса волновых уравнений, т.е. продолжено начатое в [13]-[14] теоретическое исследование данного вопроса. Использование численных методов, позволяет проникнуть в суть нелокальных эффектов, характерных для всех рассматриваемых в работе задач. Затем в плоской области рассматривается задача хищник-жертва, что устраняет обнаруженный в [15] парадокс: явление буферности, столь характерное для отрезка, в двумерной области места не имеет - здесь реализуются иные феномены с понятной биологической сутью. Завершается глава анализом математической модели реакции Белоусова при учете диффузионного фактора [16]. Оказывается, что не имеют места якобы экспериментально наблюдаемые автоволновые процессы [4]-[5], но зато в точности наблюдается картинка, обнаруженная в экспериментах иностранных авторов (например, см. [б]).

В приложениях 1-5 приведены программы численных исследований. Для разработки использовалась среда Microsoft

Visual Studio 6.0. При этом для трехмерной визуализации получаемых решений использовалась библиотека SceneLib разных версий (см. http://marcus-software.ch).

Результаты работы опубликованы в статьях [25]-[29] и докладывались на двух отчетных научных конференциях в Яр-ГУ. Работы [28]-[29] выполнены в соавторстве с научным руководителем.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Харьков, Андрей Евгеньевич, 2003 год

1. Захаров В.Е., Манаков C.B., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов: метод обратной задачи. М.: Наука, 1980.

2. АхромееваТ.С., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Самарский A.A. О классификации решений системы нелинейных дифференциальных уравнений в окрестности точки бифуркации // Итоги науки и техн. Соврем, пробл. мат. Нов. достижения. ВИНИТИ, 1986. С. 207-313.

3. Ахромеева Т.С., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г. Паг радоксы мира нестационарных структур // Компьютеры и нелинейные явления: инф. соврем, естествозн. М. 1988. С. 44122.

4. Кринский В.И., Жаботинский A.M. Релаксационные колебания в математических моделях экологии // В сб.: Автоволновые процессы в системах с диффузией. Горький: Из-во ИПФ, С. 6-32.

5. Жаботинский A.M. Концентрационные автоколебания. М.: Наука, 1974.

6. Пригожин И. От существующего к возникающему. М.: Наука, 1985.

7. Бабин A.B., Вишик М.И., Неустойчивые инвариантные множества полугрупп нелинейных операторов и их возмущения // УМН. 1986. Т. 41. т. С. 3-34.

8. Бабин A.B., Вишин М.И. Аттракторы параболических и гиперболических уравнений. Характер их компактности и притяжения к ним // Вестн. МГУ. Мат., мех, 1988. №3. С. 71-73.

9. Колесов Ю.С. Особенности бифуркационной проблемы для волнового уравнения в узкой щели // Докл. РАН. 1999. Т. 367. т. С. 442-444.

10. Колесов Ю.С. Проблема аттракторов нелинейных волновых уравнений в плоских областях // Матем. заметки. 2000. Т. 68. т. С. 217-229.

11. Колесов Ю.С. Парадоксальные свойства аттракторов нелинейных волновых уравнений в плоских областях // Докл. РАН. 2002. Т. 187. №3. С. 443-445.

12. Колесов Ю.С., Майоров В.В. Пространственная и временная самоорганизация в одновидовом биоценозе // Динамика биологических популяций. Горький: Изд-во Горьковско-го ун-та, 1986. С. 3-18.

13. Колесов Ю.С. Нелинейный параметрический резонанс в сингулярно возмущенном телеграфном уравнении // Дифферент уравнения. 1991. Т. 27. №10. С. 1828-1829.

14. Колесов Ю.С. Асимптотика и устойчивость нелинейных параметрических колебаний сингулярно возмущенного телеграфного уравнения // Матем. сб. 1995. Т. 186. №10. С. 57-72.

15. Захаров A.A., Колесов Ю.С. Пространственно неоднородные режимы в задаче хищник-жертва // В сб.: Нелинейные колебания и экология. Ярославль: Из-во ЯрГУ 1984. С. 3-15.

16. Колесов А.Ю., Колесов Ю.С., Майоров В.В. Реакция Бе-лоусова: математическая модель и экспериментальные факты // Динамика биологических популяций. Горький: Из-во ГГУ, 1987. С. 43-51.

17. Колесов Ю.С. Устойчивость и бифуркация бегущих волн // Нелинейные колебания в задачах экологии. Ярославль:Изд-во ЯрГУ, 1985. С. 11-22.

18. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969.

19. Мищенко Е.Ф., Колесов Ю.С., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Периодические движения и бифуркационные процессы в сингулярно возмущенных системах. М.: Физматлит, 1995.

20. Самойленко A.M. Элементы математической теории многочастотных колебаний. Инвариантные торы. М.: Наука, 1987.

21. Колесов Ю.С. Обоснование метода квазинормальных форм для уравнения Хатчинсона с малым коэффициентом диффузии // Изв. РАН. Серия матем. 2001. Т. 65. №4. С. 111132.

22. Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974.

23. Колесов А.Ю., Колесов Ю.С. Релаксационные колебания в математических моделях экологии// Тр. МИ РАН. 1999. Т. 199.

24. Колесов Ю.С. Задача паразит-хозяин // в сб.: Динамика биологических популяций. Горький: Из-во ГГУ, 1984. С. 1629.

25. Харьков А.Е. Численное исследование модели хищник-жертва с миграционными факторами в единичном квадрате // В сб.: Современные проблемы математики и информатики, выпуск 3. Ярославль: Из-во ЯрГУ, 2000. С. 84-89.

26. Харьков А.Е. Об одном феномене в задаче о параметрическом резонансе нелинейных волновых уравнений // В сб.: Современные проблемы математики и информатики, выпуск 4. Ярославль: Из-во ЯрГУ, 2001. С. 101-104.

27. Харьков А.Е. Аттракторы распределенной модели реакции Белоусова // Моделирование и анализ информационных систем, Из-во ЯрГУ, 2001. Т. 8. Ж. С. 44-46.

28. Колесов Ю.С., Харьков А.Е. Аттракторы сингулярно возмущенных систем типа реакция-диффузия с крайней точкой поворота в плоской области // Докл. РАН. 2001. Т. 377. т. С. 173-175.

29. Колесов Ю.С., Харьков А.Е. Закономерности нелинейных параметрических автоволновых процессов сингулярно возмущенных волновых уравнений в плоских областях // Докл. РАН. 2002. Т. 383. №4. С. 464-467.

30. Колесов А.Ю. Описание фазовой неустойчивости системы гармонических осцилляторов, слабо связанных через диффузию // ДАН СССР. 1988. Т. 300, т. С. 831-835.